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Título: Números Naturales - DivisibilidadAutores: Barrera, Leandra - Strasorier, ValeriaProfesoras: Erika Delgado - Fregona, Dilma - Parnisari, Marta Carrera: Profesorado en Matemática Fecha: 06/12/2010
1
CLASIFICACIÓN
08 – General Algebraic Systems
11- Number theory
97- Mathematics education
PALABRAS CLAVES
Números Naturales. Divisibilidad. Múltiplos y divisores. Numeros primos y
compuestos. Criba de Eratóstenes. Criterios de divisibilidad. Factorización.
Mínimo Común Múltiplo. Máximo Común Divisor. Resolución de problemas.
Primer año.
RESUMEN
El trabajo que se presenta a continuación se basa en las prácticas
docentes realizadas en el Instituto Privado Mixto “San Agustín”, en los
cursos 1° “A” y 1° “C”, con la coordinación y seguimiento de las
profesoras a cargo de la cátedra Metodología, Observación y Práctica de la
Enseñanza. Se consignarán aspectos tales como:
La institución, las aulas, los alumnos, docentes y la relación entre
ellos, obtenidos en el período de observaciones.
Selección de contenidos, objetivos, planificación de clases,
evaluaciones y resultados estadísticos de las mismas.
Análisis de un “problema”-didáctico matemático- desde un lugar
teórico.
Reflexiones finales.
2
ÍNDICE:
Caracteristicas de la institución………………………………………………..………….
….pág.3
Observaciones previas a las prácticas.………………..…….……..…………….
…....pág.4
Tema de la práctica….……………………………………………..…….……….
…………….…pág.4
Objetivos
• Objetivos generales…………………………………………………….
……………………pág.5
• Objetivos específicos…………………………………………………..
……………………pág.5
Desarrollo de la práctica…..……………………………………..……….….……………….
….pág.6
• Contenido nº 1: Múltiplos y Divisores…………………….….…..…….………
pág.7
• Contenido nº 2: Números Primos y Compuestos.………………….….…
pág.11
• Contenido nº 3: Máximo Común Divisor (M.C.D.) y Múltiplo Común
Menor (m.c.m.).………………………………………………………..
……………………pág.17
• Ejercitación de repaso……………………………………………………………….
…..pág.21
• Evaluación de
matemática……………………………………………………………..pág.22
• Resultados de las
evaluaciones……………………………………………………..pág.24
• Porcentajes de la evaluación…………………………………………………….
……pág.25
• Análisis de un “problema” desde un lugar teórico……….
……………….pág.26
• A modo de conclusión………………………..……………………………….…..
…….pág.29
Anexo
• Mini evaluaciones.…………….
…………………………………………………………...pág.30
3
• Ejercitación de repaso realizada por un alumno……………………………
pág.32
• Ejercicios adicionales….…………………………………………………………….
…..pág.34
Bibliografía…………………………….……………………….……….……..……………….
…….…pág.36
4
• Nombre de la Institución: Instituto Privado Mixto “San Agustín”
• Dirección: Provincias Vascongadas Nº 2410
• Cursos en los cuales se desarrollaron las prácticas: Primer año “A” y “C”
• Profesora a cargo: Viazzo, Claudia Beatriz
• Practicantes: Barrera, Leandra (1º C)
Strasorier, Valeria (1º A)
• Horario de clase:
Miércoles: 1ºA - Primer módulo (de 7:20hs. a 8:40hs.)
- Medio segudo módulo (de 11hs. a 11:40hs.)
1ºC - Cuarto módulo (de 11:50hs. a 13:10hs.)
Jueves: 1ºA - Tercer módulo (de 10:20hs. a 11:40hs.)
Viernes: 1ºC - Medio primer módulo(de 7:20hs. a 8hs.)
- Segundo módulo (8:50hs. a 10:10hs.)
• Periodo de observación: Días 5, 6 y 7 de Mayo de 2010
• Periodo de prácticas: 12 de Mayo al 18 de Junio de 2010
Caracteristicas de la institución:
La institución ofrece Educación Primaria que se cursa durante la tarde y
Educación Inicial y Educación Secundaria, durante la mañana. Esta última brinda
a los estudiantes una orientación en Ciencias Económicas y Gestión de las
Organizaciones.
En cuanto a la infraestructura, la Institución cuenta con planta baja y planta
alta. En la planta baja se encuentra: el ingreso, sala de espera, siete aulas,
sanitarios, salón de usos múltiples (con una capacidad para 300 personas),
cantina, baños de profesores, preceptoría, gabinete psicopedagógico, sala de
profesores y asesoría pedagógica.
En planta alta se encuentra: siete aulas, preceptoría, dirección general,
vicedirección, administración, secretaría y sala de informática. Dicha sala tiene
acceso a internet, y los alumnos pueden hacer uso del mismo cuando lo deseen.
No posee un espacio fisico destinado a una biblioteca, pero si cuenta con el
material bibliografico, al cual los alumnos pueden recurrir.
Actualmente (al momento de realizada las prácticas) la escuela está
edificando tres aulas, un salón de multiusos y una biblioteca.
Se espera concretar en el año 2012 la construcción de un laboratorio y una
bateria de baños.
5
El timbre de entrada suena a las 7:20 hs. e inmediatamente los alumnos
ingresan a las aulas. Mientras que el de los docentes suena 5 minutos antes para
recibir a los alumnos en el momento de ingreso.
Observaciones previas a las prácticas:
El aula destinada a 1º C se encuentra en planta alta y resulta pequeña para
los 38 alumnos1 por lo cual se imposibilita la movilidad entre los bancos y el
trabajo grupal, pero cuenta con amplio pizarrón. En cambio, el aula de 1º A está
en planta baja y es más cómoda, pero su pizarrón es más pequeño.
La organización del trabajo en el aula está estructurada en base a un libro de
texto que cada alumno tiene disponible. Se trata de Matemática I. Para resolver
problemas. Editorial Santillana. 2010. Habitualmente, de una clase a la siguiente,
los alumnos tienen ejercicios como tarea tomados de ese texto. En el inicio de la
clase, la profesora controla banco por banco si los alumnos trajeron la tarea
resuelta. A continuación, se lleva a cabo la corrección de las mismas, oralmente o
en el pizarrón con la participación de los alumnos. Luego procede a introducir
teóricamente un nuevo contenido por medio de la exposición oral y con el
recurso del pizarrón. Una vez llevado a cabo esto, la docente indica los ejercicios
a realizar, ya sean dictados o tomados del texto. Los alumnos tienen buena
predisposición para realizar las distintas actividades, la mayoría consulta sobre
las consignas, durante el desarrollo y al final sobre el resultado obtenido.
Manifiestan gestos propios de alumnos que ingresan al nivel secundario
comportándose en ciertos aspectos como si estuvieran todavía con una profesora
que les debe indicar qué escribir, dónde, qué pegar en la carpeta y dónde, etc.
Tema de la práctica:
Los contenidos a desarrollar son: Divisibilidad. Múltiplos y divisores. Criba de
Eratóstenes. Factorización. Mínimo Común Múltiplo. Máximo Común Divisor.
Según el programa enviado por la profesora a cargo del curso, el tema
corresponde a la unidad 2: NUMEROS NATURALES cuyos contenidos son:
Sistemas de numeración: posicionales y no posicionales. Operaciones básicas. El
conjunto de N. Operaciones. Representación gráfica. Potenciación y Radicación.
Ejercicios combinados. Divisibilidad. Múltiplos y divisores. Criba de Eratóstenes.
Factorización. Mínimo Común Múltiplo. Máximo Común Divisor
Objetivos generales:
1 Ambos cursos contaban con la misma cantidad de alumnos.6
Que los alumnos sean capaces de:
• Resolver progresivamente de forma autónoma problemas y actividades.
• Buscar regularidades, establecer conjeturas, formularlas adecuadamente
usando lenguaje matemático, argumentar y validarlas.
• Plantear situaciones problemáticas y admitir distintos modos de resolución
para la producción de diferentes escrituras con el fin de representar el
mismo proceso.
• Propiciar relaciones basadas en el respeto y tolerancia.
• Ofrecer a los alumnos instancias de evaluación de su tarea, de la tarea de
los demás y de su aprendizaje.
• Ofrecer a los alumnos instancias de deliberación, toma de decisiones y
asunción progresiva de responsabilidades.
• Proponer situaciones que ofrezcan la oportunidad de coordinar diferentes
formas de representación, favoreciendo que los alumnos puedan usar unas
como medios de producción y de control del trabajo sobre otras.
• Introducir al álgebra, visualizando algunas de las distintas interpretaciones
de las letras, valorando las notaciones simbólicas por su claridad,
brevedad y como lenguaje universalmente reconocido.
Objetivos específicos:
• Recuperar a través de situaciones problemáticas los conceptos de
múltiplos y divisores abordados en el nivel primario.
• Analizar la tabla de doble entrada de multiplicación de dígitos para
descubrir relaciones entre ellos.
• Aplicar conceptos de divisor y/o múltiplo para realizar la Criba de
Eratóstenes.
• Utilizar la tabla de múltiplos y la criba de Eratóstenes para buscar
regularidades y formular los criterios de divisibilidad por 2, 4, 3, 5, 6, 8, 9,
10.
• Aplicar los criterios de divisibilidad más simples (por 2, por 3, por 5) para
reconocer múltiplos, para identificar números primos y compuestos y
factorizar estos números.
• Consolidar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común
múltiplo.
7
• Resolver problemas y actividades donde los conceptos desarrollados sean
la solución óptima.
• Trabajar ordenadamente en pequeños grupos, valorando las distintas
intervenciones personales y el trabajo colectivo.
• Exponer conclusiones de su trabajo a sus pares.
Desarrollo de la práctica
Al inicio de cada clase, se comienza con un repaso de lo visto en la clase
anterior y luego se controla y se registra que los alumnos hayan realizado las
tareas. Paso seguido, se destina un tiempo para la corrección de las mismas ya
sea oralmente o en el pizarrón por los mismos alumnos.
A continuación, se plantea a los alumnos la resolución de diversos
problemas, sin anticipar los contenidos y aplicando los conocimientos previos,
para la introducción de los mismos.
Mientras los estudiantes realizan las actividades, nosotras recorremos el
aula contestando dudas, guiándolos en las consignas y observando el desarrollo
de las mismas.
Una vez llevada a cabo la puesta en común, se debate cual es el título más
apropiado para los diversos contenidos.
En su mayoría, las actividades planteadas son entregadas en fotocopias y el
resto son copiadas en el pizarrón. También se complementan con ejercicios del
libro.
Los alumnos tienen buena predisposición para realizar las distintas
actividades, aunque les resulta difícil trabajar de forma autónoma, por lo cual se
debe hacer hincapié constantemente en el pegado de fotocopia y copiado del
pizarrón.
Para facilitar la comunicación en el presente informe numeramos los
contenidos que consideramos principales. Utilizamos la fuente itálica para los
comentarios sobre las actividades realizadas y recuadramos las distintas
definiciones.
Contenido nº 1: Múltiplos y Divisores
Actividades 1: Un grupo de 24 personas fue seleccionado para participar, como equipo, en un certamen de preguntas y respuestas. Para entrenarse, piensan organizar subgrupos, de tal modo que todos tengan el mismo números de integrantes, o trabajar individualmente o bien los 24 juntos.
a) ¿Cuáles son todas las formas en que pueden organizarse? ¿Por qué?
8
Esperamos que aparezca el algoritmo de la división. Y recuperaremos la relación entre cociente, divisor y resto.
b) Escribe tu conclusión en forma matemática.
Hasta aquí esperamos obtener un primer contacto con los conceptos de factores, divisores y descomposición de un número en factores.
Actividad 2: Observa con atención esta tabla que está formada por filas (horizontales) y columnas (verticales)
fila 1 1 2 3 4 5 6 7
fila 2 2 4 6 8 10
fila 3 3 6 9 12 15
fila 4 4 8 12 16
fila 5
fila 6
fila 7
fila 23
a) Completa las cuatro primeras columnas hasta la séptima fila.
b) ¿Qué característica tienen los números de cada columna?
c) ¿Te animas a escribir los números en la columna del 6?
d) ¿Puedes escribir la 7ma fila utilizando valores dados ya?
e) Escribe la fila 23.
f) El número 12 está escrito varias veces. Escribe cómo lo obtuviste por estar en
esa columna. Anota la operación, compara, concluye que observas. Ahora toma
otro que se repita y realiza lo mismo. Explica con tus palabras lo que observas,
anota con símbolos lo que tu explicaste.
g) ¿3 es divisor de 12?
Se espera que los alumnos, después de lo trabajado, puedan contestar
que “3 es divisor de 12 porque existe el número 4 que nos permite escribir
12 = 3.4”
A continuación de esto presentaremos las siguientes definiciones:
9
• Un número es divisor de otro si al dividir al segundo por el primero el resto es cero.
• Un número es múltiplo de otro número cuando es el resultado de multiplicar un número por otro.
• Decimos que un número natural “a” es divisor de otro número natural “b”, si existe un número natural “c” que nos permita escribir b = c.a. También podemos decir que “b” es múltiplo de “a” y de “c”. En este caso decimos también que “b” es divisible por “a” y por “c”.
La última definición es considerada la indicada para que los alumnos tomen
como justificación a la hora de resolver las distintas actividades.
Actividad 3: a) ¿27 es múltiplo de 9? ¿Por qué? b) ¿36 es múltiplo de 5? ¿Por qué? c) ¿15 es divisor de 5? ¿Por qué?
Actividad 4: Resolver del libro Matemática I. Resolución de problemas. Pág. 19.
Ejercicio 3: Tachar las afirmaciones que no son correctas:
45 es múltiplo de 9 45 es divisor de 9 9 es múltiplo de 45
45 es divisible por 9 9 es divisor de 45 Actividad 5: Rodear con rojo los divisores de 48 y con azul los múltiplos de 6.
6 8 12 16 21 24 44 10 2 1
Las actividades 4 y 5 nos permitirán ver el grado de comprensión de la
definición y reconocimiento del vocabulario específico.
Actividad 62: Resolver del libro Matemática I. Resolución de problemas. Pág. 18.
Ejercicio 1: En una reunión se sirvió una docena de platos iguales al de la foto. Todos los presentes comieron la misma cantidad de bocaditos y no sobró ninguno.
a) ¿Puede ser que de la reunión participaran 18 personas? ¿y 20? Si decís que no, explica por qué.
b) ¿Cuántos pudieron ser los presentes, si eran más de 10?c) ¿Puede ser que cada uno comiera 4 bocaditos? ¿y 8? ¿Cómo lo sabes?
2 Esta actividad solo fue dada en 1º A.10
Actividad 7: a) ¿Cuáles son los divisores del número 72? (Puedes ayudarte con la tabla de la actividad 2). b) ¿Cuáles son los divisores de 120?c) Sabiendo que 100 es múltiplo de 10, ¿podemos indicar si el producto de 100 por 2 es divisible por 10?d) Si sabemos que 45 es divisible por 9, ¿podemos decir que 45 es múltiplo de 3?
e) ¿Y 60 que es múltiplo de 3 es divisible por 9?
Actividad 8: Resolver del libro Matemática I. Resolución de problemas. Pág. 19, ejercicio 4, 6, 7 y 8.
Ejercicio 4: Rodea con rojo los divisores de 144 y con azul los múltiplos de 8.
6 8 9 10 16 18
40 72 96 104 800
Ejercicio 6: En una división el dividendo es 2.114, el divisor es 21 y el cociente es 100. ¿Podés indicar a simple vista si 2.114 es múltiplo de 21?
Ejercico7: Sabiendo que 221 es múltiplo de 13, ¿podés indicar a simple vista si el producto de 221.7 es divisible por 13? Explica cómo te das cuenta.
Actividad 9: En base a la tabla de la actividad 2), contesta y justifica:a) ¿Que relación hay entre todo número y uno?b) ¿Es uno divisor de todo número?c) ¿Es cierto que todo número es divisor y múltiplo de si mismo?d) Escribir todos los múltiplos y divisores de 21.
Con esta actividad d) pretendemos, junto con los alumnos, llegar a la
conclusión que los divisores son finitos y los múltiplos son infinitos; luego,
extenderlo a todos los números naturales.
Conclusión:
• Todo número natural es múltiplo de si mismo.
• Los múltiplos de un número son infinitos.
• El cero es múltiplo de todo número.
• Todo número natural es divisor de si mismo.
• El numero uno es divisor de todo numero natural.
• Los divisores de un número son finitos.
Ejercicios adicionales dados como tarea a algunos alumnos:
11
I. En el supermercado venden los huevos en cajas de seis. ¿Podré comprar dieciséis? ¿Es dieciséis múltiplo de seis?
II. Una florista tiene doce claveles con los que quiere formar varios ramos con el mismo número de claveles cada uno. ¿De cuántas maneras los podrá formar? ¿Cuáles son los divisores de doce?
Comentario sobre lo sucedido: El desarrollo de este contenido fue llevado a
cabo en dos módulos y medio (una semana). La respuesta de los alumnos frente
a las actividades fue satisfactoria; pero en un principio les resultaba dificultoso
interpretar los enunciados. Observamos que no hacían uso de la carpeta como
instrumento de estudio para la resolución de las actividades, como así también la
dependencia de los alumnos hacia nosotras (por ejemplo que deben pegar las
fotocopias en la carpeta; copiar títulos y enunciados, etc.). La mayoría se
mostraba interesada y dedicada a la resolución de las actividades.
La actividad 4 (el ejercicio 3 del libro) nos demostró que los alumnos tenían
dificultades con los conceptos trabajados, por lo cual retomamos nuevamente el
debate sobre los mismos. Una de esas dificultades estaba en justificar con la
definición dada de múltiplo y divisor, respondían básicamente “es divisor porque
la división da resto cero”, nuestra expectativa era una respuesta más formal.
Los ejercicios 6 y 7 del libro fueron corregidos con detenimiento ya que
presentaban números bastantes grandes y se dificultaba la ejecución de los
mismos por parte de los estudiantes. Este tipo de ejercicios pierden el objetivo
central, el manejo de múltiplos y divisores, por el impacto que les produce a los
alumnos trabajar con números grandes.
Contenido nº 2: Números Primos y Compuestos
La primera y la segunda actividad están destinadas a construir los
criterios de divisibilidad y la tercera, la criba de Eratóstenes con el fin de
introducir los números primos y compuestos.
Ya que el curso esta distribuido en tres filas, realizaremos diferentes
consignas, una para cada fila, y se entregarán dichas actividades junto con
una tabla, con los números organizados del 1 al 100.
Actividad 13: Realizar las siguientes consignas en la tabla, de acuerdo a la fila en la que estás ubicado.
Fila 1: • Tachar con / todos los números divisibles por dos, mayores que él. ¿Qué
características tienen las cifras de los números que tachaste?
3 Por falta de tiempo, en el curso 1º C se realizaron las actividades consecutivamente entre todos.12
• Tachar con \ los números divisibles por tres, mayores que él. Si sumamos las cifras de los números tachados, ¿Qué nos puedes decir al respecto?
• Con lo observado, puedes decir si 4368 es divisible por 3.
• Los números que tachaste dos veces ¿qué característica tienen? Fila 2:• Tachar con / todos los números divisibles por dos, mayores que él. ¿Qué
características tienen las cifras de los números que tachaste?• Con lo observado, puedes decir si 35248 es divisible por 2.
• Tachar todos números divisibles por 4, con \.
• Tachar con ― los números divisibles por siete, mayores que él.
• ¿Los números que tachaste dos veces que característica tienen?
Fila 3:• Tachar con ― los números divisibles por cinco, mayores que él. ¿Qué
características tienen? • Usando lo observado decir si 2065 es divisible por 5.
• Tachar con / los números divisibles por nueve. Si sumamos las cifras de los números tachados, ¿qué nos puedes decir al respecto?
• Usando lo que observaste decir si 1017 es divisible por 9. Verifica tu conclusión.
• Tachar con \ todos los números divisibles por once, mayores que él.
A medida que se obtengan las conclusiones de la actividad 1, se completará
el cuadro de la siguiente actividad:
Actividad 2: Completar el siguiente cuadro teniendo en cuenta las conclusiones de la actividad 1.
Criterios de divisibilidad
13
Divisibilidad por
Criterio
2 Un número es divisible por 2 cuando.....…
3 Un número es divisible por 3 si…
4 Un número es divisible por 4 cuando el número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 Un número es divisible por 5 cuando…
6 Un número es divisible por 6 si…
8 Un número es divisible por 8 si…
9 Un número es divisible por 9 cuando…
10 Un número es divisible por 10 cuando…
Actividad 3: Construcción de la criba de Eratóstenes:
a) Observa los números que quedaron sin tachar y responde: ¿Cuántos divisores tiene cada uno y cuáles son?b) Marcar con un círculo los números que solo tienen dos divisores.
Comentaremos a la clase que se llama criba de Eratóstenes al cuadro
con todos los números naturales ordenados del 1 al 100 en el que se
tachan los números que no son primos.
Por medio de las conclusiones obtenidas plantearemos a continuación
las siguientes definiciones:
14
Números primos: Son los números naturales que tienen sólo dos divisores distintos: …............. y…...............
Números compuestos: Son los números naturales que poseen más de dos divisores.
Actividad 4: ¿Cuántos divisores tienen los siguientes números?
a) 523 b) 112 c) 455 d) 379 e) 1 f) 182
¿Cuáles de estos números tienen un solo divisor? ¿Cuáles tienen dos? ¿Cuáles tienen más de dos? Clasificarlos en primos y compuestos.Analizar que sucede con el número uno. Y concluir que no es primo ni compuesto.
El número uno no es primo ni compuesto porque tiene un solo divisor (el mismo).
Actividad 5: Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique. Usar la criba en caso necesario.
a) Todos los números terminados en 3 son primos.b) No existen números primos terminados en 0.c) El 2 es el único número par primo.d) Existe algún primo que termine en 5, además del 5.
e) Hay algún primo cuyas cifras sumen 21.f) Salvo dos casos, cualquier número primo termina en 1, 3 ,7 o 9.
Actividad 6: Escribir los siguientes números como el producto de otros.
a) 112= b) 399= c) 523= d) 257=
Actividad 7: Volver a hacer el ejercicio anterior usando solamente factores primos.
Actividad 8: Realizar los ejercicios 10, 12, 13 y 20 del libro Pág. 20 y 21.
Ejercicio10: Santino pensó un número primo. Empieza con “veinti” y sus cifras no suman 5. ¿Cuál es? ¿Y los dos números primos siguientes a ese? (Puedes utilizar la criba de Eratóstenes)
Ejercicio 12: Completa la tabla
15
Número Divisores ¿Es primo o compuesto?101314414961
Ejercicio 13: Federico sabía que uno solo de estos números es primo. Pudo encontrarlo rápido aplicando los criterios de divisibilidad para descartar los compuestos. ¿Cómo hizo?
1.420 501 785 93.204 853
Ejercicio 20: Completa la tabla escribiendo cada número como producto de la cantidad de factores indicada. No uses el 1 como factor, salvo que sea imprescindible.
Número Dos factores Tres factores Cuatro factores
8204570
100
Actividad 9: a) Escribe los siguientes números como producto de números primos.
1) 16 2) 24 3) 99 4) 60
b) Expresa por escrito cómo lo hicieron.
Las tres últimas actividades conducen a trabajar la idea de que los
números compuestos pueden ser expresados como producto de factores primos.
Y se rescatan en el pizarrón diferentes procedimientos: por arbolito y por rayita.
Para factorizar un número se puede utilizar uno de los siguientes esquemas: 30
es igual a 15 por 2. Pero a 15 podemos escribirlo como 15 igual a 3 por 5. Como
2, 3 y 5 son primos, 30 nos quedaría expresado como 30 igual a 2 por 3 por 5. A
continuación, expresaremos esto por medio del diagrama de árbol.
16
30 2 Se escriben a la derecha los15 3 divisores primos comenzando 5 5 por el primo más chico. 1
A la izquierda se escriben los resultados de la división.
30= 2.3.5
Queda instalada la rayita como técnica de factorización.
Actividad 10: Factorizar los siguientes números.
a) 120 b) 210 c) 297d) 156
Actividad 11: Completa las siguientes factorizaciones por diagrama de árbol.
17
30
15
2
3
5
1925
5
1190
2
Actividad 12: Realizar los ejercicios 21, 22, 23, 24, 25, 26 de la pág. 22 del libro.
Ejercicio 21: Descompone cada número como producto de sus factores primos:
a) 84 b) 325 c) 450 d) 540 e) 168 f) 8885
Ejercicio 22: Un número se puede escribir como 22 .3.5. Si multiplicas este número por 6, ¿cuál será su factorización en primos? ¿Y si lo multiplicas por 8?
Ejercicio 23: Teniendo en cuenta que 8=23, escribí “mentalmente” la factorización en primos de cada número:
a) 16 b) 32 c) 24 d) 40 e) 56 f) 88
Ejercicio 24: La descomposición en factores primos de 10 es 2.5, la de 100 es 22.52 ¿Cuál es la descomposición de 100.000? ¿Y la de diez millones?
Ejercicio 25: Respondé con solo mirar que 140= 22 .5.7
a) ¿140 es divisible por 6?
b) ¿140 es múltiplo de 35?
c) ¿28 es divisor de 140?
d) ¿140 es divisible por 44?
Ejercicio 26: Mira estas descomposiciones y responde a toda velocidad:
A= 24 .72.11 B=32.7.13 C=3.52.17 D=23.54.19
I) ¿Cuál corresponde al 95.000? La……………., porque…………
II) ¿Y al 1.275? La…………….., porque……………..
III) ¿Y al 8.624? La…………….., porque……………..
IV) ¿Cuál es múltiplo de 21? La…………….., porque……………..
V) ¿Cuál es divisible por 16? La…………….., porque……………..
Comentario sobre lo sucedido: Las primeras 3 actividades fueron realizadas
con éxito, ya que los chicos pudieron reconocer regularidades para construir los
criterios de divisibilidad y distinguir los números primos y compuestos. Esto
favoreció a las siguientes actividades relacionadas con las técnicas de
factorización.
Con respecto a la técnica de la rayita, hubo dificultades en escribir a la
derecha los divisores primos del número y comenzar con el primo más chico.
También, les costaba terminar la factorización, pues no expresaban el
número como producto de factores primos y a su vez, no realizaban
correctamente las divisiones. Tampoco corroboraban las igualdades obtenidas.
18
Durante este contenido, se comenzaron a tomar "mini evaluaciones"4 para
ver las progresiones de los alumnos en los contenidos trabajados. Con esto
pudimos observar las dificultades particulares de cada uno y hacer un
seguimiento más minucioso para superarlas. Además, al inicio de cada clase se
realizaba un repaso de los temas anteriores por medio de un diálogo con los
alumnos.
Contenido nº3: Máximo Común Divisor (M.C.D.) y Múltiplo Común Menor (m.c.m.)
Con la siguiente serie de problemas introduciremos el tema Común Divisor;
con el objetivo de afianzar el concepto del mismo, para luego abordar el
significado de Máximo común divisor.
Actividad 1: En una excursión escolar a un museo van 20 alumnos del curso A y
30 del curso C. Las profesoras quieren formar grupos con los alumnos de cada
curso, todos con el mismo número de integrantes en cada grupo.
a) ¿Cuáles son los grupos que se podrán formar en el curso A? ¿y cuáles en el
curso C? Relaciona la cantidad de alumnos de cada grupo con el número de
alumnos en total de ambos cursos.
b) ¿Cuáles son los grupos que tienen igual cantidad de alumnos?
c) Teniendo encuentra la respuesta de b) identifica el grupo que tiene mayor
cantidad de alumnos. ¿Qué representa este número (cantidad de alumnos)?
A continuación de la resolución de los incisos, se expondrá la definición de
M.C.D. y seguido una regla para el cálculo del mismo:
El Máximo Común Divisor (M.C.D.) entre dos o más números es el mayor de los divisores que tienen en común esos números.
Actividad 2: Completar la siguiente tabla.
Divisores de Divisores de Divisores comunes M.C.D.
2= 5= M.C.D. (2;5)=
4= 6= M.C.D. (4;6)=
4 Se encuentran en Anexo pág. 28.19
10= 15= M.C.D. (10;15)=
9= 21= M.C.D. (9;21)=
A continuación, se presentará la técnica seguido de un ejemplo que se irá
realizando entre todos.
Técnica: Se factorizan los números y se multiplican los factores comunes con menor exponente.
Ejemplo: Calcular el Máximo Común Divisor de los números 20 y 30.
• Primer paso: factorizar los números
20 2 30 2 20= 2.2.5= 22.510 2 15 3 5 5 5 5 30= 2.3.5 1 1
• Segundo paso: multiplicar los factores comunes con su menor exponente.
M.C.D. (20; 30)=2.5 = 10
Actividad 3: Se quiere repartir 20 lápices rojos y 36 azules en varios vasos, de
manera que haya el mismo número de lápices, todos del mismo color, en cada
vaso y no sobre ninguno. ¿Cuántos lápices se pueden meter como máximo en
cada vaso? ¿Cuántos vasos se usarán?
Actividad 4: Realizar el ejercicio 32 de la pág. 24.
Ejercicio 32: Halla el M.C.D. de cada par de número.
a) 30 y 792 b) 1815 y 1782 c) 378 y 2205 d) 168 y 2058
Actividad 5: Calcular el M.C.D. de las siguientes ternas de números:
a) 36, 35 y 63 b) 60, 40 y 150 c) 20, 80 y 240
Para desarrollar el tema Múltiplo Común Menor, se dará un problema con el
cual se pretende que los alumnos analicen los diferentes múltiplos comunes y el
significado de Múltiplo Común Menor. A continuación, presentaremos la
definición, una regla para obtenerlo y un ejemplo que se realizará entre todos.
20
Actividad 6: En la catedral de nuestra ciudad el reloj suena cada 3 días debido a
un desperfecto, mientras que las campanas cada 2 días anuncian la misa. Si hoy
suenan juntos:
a) ¿Dentro de cuántos días vuelven a sonar juntos? ¿Qué son estos números de
3 y 2?
Ayuda: ¿Dentro de cuántos días volverá a sonar la campana? ¿Y dentro de
cuánto el reloj?
b) ¿Cuándo suenan juntos por primera vez?
El Múltiplo Común Menor (m.c.m.) entre dos o más números es el menor de los múltiplos que tienen en común esos números.
Actividad 7: Completa la tabla con los 5 primeros múltiplos.
Múltiplos de Múltiplos de Múltiplos comunes m.c.m.
2= 5= m.c.m. (2;5)=
4= 6= m.c.m. (4;6)=
10= 15= m.c.m. (10;15)=
6= 9= m.c.m. (6;9)=
Técnica: Se factorean los números y se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo: Encontrar el Múltiplo Común Menor (m.c.m.) de los números 18 y 45.
• Primer paso: factorizar los números
18 2 45 3 18=2.3.3= 2.32
9 3 15 3 3 3 5 5 45= 3.3.5= 32.5 1 1
• Segundo paso: multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
m.c.m. (18; 45)= 2.32 .5= 90
Actividad 8: Carlos va cada tres días a la piscina a nadar, mientras que Pedro va
cada cuatro. Si han coincidido hoy,
a) ¿dentro de cuántos días se volverán a encontrar?
b) ¿Y cuándo coincidirán por tercera vez?
21
c) ¿Sabrías decir dentro de cuántos días coincidirán por cuarta vez? ¿Y cuándo
será su quinto encuentro?
Actividad 9: Realizar el ejercicio 28 del libro (pág. 23)
Ejercicio 28: Halla el m.c.m. de cada par de números:a) 16 y 24 b) 45 y 72c) 48 y 54d) 810 y 96
Actividad 10: Calcular el m.c.m. de las siguientes ternas de números:
a) 36, 35 y 63 b) 60, 40 y 150 c) 20, 80 y 240
Comentario sobre lo sucedido: En el desarrollo de cada uno de estos dos
contenidos, los alumnos no presentaron mayores dificultades en las actividades
de introducción pero sí en lo que respecta a las técnicas presentadas para el
cálculo pues consideramos que se debe lograr un salto cognitivo para poder
interpretarlas y aplicarlas. En general, no diferenciaban una técnica de otra y
como los cálculos no estaban en el contexto de problemas, esto los condujo a no
distinguir más los conceptos de m.c.m. y M.C.D. Esto generaba la invención de
métodos, en su mayoría erróneos, y en consecuencia generó un desfasaje entre
las situaciones problemáticas y la aplicación de una técnica en ellas.
Ejercitación de repaso
La siguiente ejercitación tiene como objetivo el repaso de los distintos contenidos
trabajados previo a la evaluación. Se indicará que la resolución sea en pequeños
grupos.
I. Responde las siguientes preguntas y justifica.
a) ¿Todos los números primos, excepto el dos, son impares? b) ¿16 es múltiplo común de 2, 4 y 8? c) ¿El máximo común divisor entre 13 y 15 es 3?
II. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo común menor entre 36 y 12? Muestra las operaciones realizadas.
a) 36 b) 12 c) 4
III. Federico leyó esta afirmación: “Todo número que termina en dos es divisible por 2”. Luego se hizo esta pregunta: ¿Si todo número termina en 3, es divisible por 3? Responde y justifica.
22
IV. Escribe:
a) Tres números compuestos menores que 15.b) Tres números que sean múltiplos de 3 y 4 a la vez.c) Cuatro divisores de 20, además de 1 y 20. d) Cuatro múltiplos de 6.
V. Completa la tabla con si o no según corresponda y justifica los casos marcados, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad.
Número Es divisible por:
1 2 3 4 5 6 9 10
43
210
81
63
VI. Factoriza los siguientes números:
a) 72 b) 56
VII. Calcula el Múltiplo Común Menor (m.c.m.) y el Máximo Común Divisor (M.C.D.) en cada caso:
a) 28 y 84 b) 12, 48 y 36
23
EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA CURSO: FILA 1
ALUMNOS: _____________________________________________________
• PUNTAJE: ejercicio 1 vale 1,5 ptos; ejercicio 2 vale 1,5 ptos; ejercicio 3 vale 1 pto; ejercicio 4 vale 2,5 ptos; ejercicio 5 vale 1,5 ptos; ejercicio 6 vale 2 ptos.
I. Escribe:a) Tres números compuestos menores que 20 y mayores que 10.b) Tres números que sean múltiplos de 2 y 3 a la vez.c) Cuatro divisores de 30, además de 1 y 30. d) Cuatro múltiplos de 9.
II. Colorea los números que son:a) Divisores de 40.
b) Múltiplos de 7.
III. Responde Verdadero (V) o Falso (F). En caso de ser falso, busca un ejemplo que justifique la respuesta:
a) Los divisores de un número son finitos.b) Todos los números terminados en 5 son divisibles por 10.c) Todo número es múltiplo de sí mismo.d) Los múltiplos de un número son infinitos.
IV. Completa la tabla con si o no según corresponda y justifica los casos marcados, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad.
V. Escribir como producto de primos los siguientes números:a) 120 b) 36
VI. Calcula el Múltiplo Común Menor y el Máximo Común Divisor en cada caso:a) 36 y 84 b) 12, 48 y 28
EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA CURSO: FILA 2
ALUMNO: _______________________________________________________
• PUNTAJE: ejercicio 1 vale 1,5 ptos; ejercicio 2 vale 1,5 ptos; ejercicio 3 vale 1 pto; ejercicio
24
Número Es divisible por:1 2 3 4 5 6 9 10
541244739
7
20
8 16
12
80
1
32
23
35
114
4 vale 2,5 ptos; ejercicio 5 vale 1,5 ptos; ejercicio 6 vale 2 ptos.
I. Escribe:a) Tres números compuestos menores que 20 y mayores que 10.b) Tres números que sean múltiplos de 2 y 3 a la vez.c) Cuatro divisores de 30, además de 1 y 30. d) Cuatro múltiplos de 9.
II. Colorea los números que son:a) Divisores de 60.
b) Múltiplos de 7.
III. Responde Verdadero (V) o Falso (F). En caso de ser falso, busca un ejemplo que justifique la respuesta:a) Los divisores de un número son finitos.b) Todos los números terminados en 5 son divisibles por 10.c) Todo número es múltiplo de sí mismo.d) Los múltiplos de un número son infinitos.
IV. Completa la tabla con si o no según corresponda y justifica los casos marcados, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad.
Número Es divisible por:1 2 3 4 5 6 9 10
541366193
V. Escribir como producto de primos los siguientes números:a) 100 b) 64
VI. Calcula el Múltiplo Común Menor y el Máximo Común Divisor en cada caso:a) 12 y 84 b) 36, 48 y 2
25
80
7
20
112
6 16
32
23
35
114
Resultados de las evaluaciones:
• Primer año “A”:
• Primer año “C”:
26
Porcentajes de la evaluación:
• Primer año “A”:
• Primer año “C”:
27
Análisis de un “problema” desde un lugar teórico:
Como hemos mencionado al comienzo de este trabajo, los contenidos han
sido introducidos por medio de resolución de problemas. Esto tiene como fin “(…)
proveer especial motivación a ciertos temas: los problemas son frecuentemente
usados para introducir temas, con el convencimiento implícito o explícito de que
favorecerán el aprendizaje de un determinado contenido”5.
Ante esto, podemos decir que durante la etapa de comprensión, los
alumnos respondieron satisfactoriamente ya que propusimos problemas con un
nivel de dificultad que resultó adecuado, tratando de ser expuestos de forma
interesante para los estudiantes. Además, los guiamos a través de preguntas
hacia una estrategia para la solución de problemas basada en conocimientos
previos. Finalmente, se llevó a cabo la verificación de resultados y el análisis del
razonamiento seguido, permitiéndole al estudiante afianzar sus conocimientos y
desarrollar aptitudes para resolver otros problemas.
A continuación, se presenta la resolución de la actividad 1 de M.C.D. y m.c.m. por
parte de un alumno.
Actividad 1: En una excursión escolar a un museo van 20 alumnos del curso A y 30 del
curso C. Las profesoras quieren formar grupos con los alumnos de cada curso, todos con
el mismo número de integrantes en cada grupo.
a) ¿Cuáles son los grupos que se podrán formar en el curso A? ¿y cuáles en el
curso C? Relaciona la cantidad de alumnos de cada grupo con el número de alumnos en
total de ambos cursos.
b) ¿Cuáles son los grupos que tienen igual cantidad de alumnos?
c) Teniendo encuentra la respuesta de b) identifica el grupo que tiene mayor cantidad de
alumnos. ¿Qué representa este número (cantidad de alumnos)?
5 Schoenfeld, Alan. Notas de clase, pág. 7. 28
En la resolución, se refleja la selección de diversos grupos y la identificación de
aquellos que tienen igual cantidad, a pesar de no haber estudiado en clase el
concepto de M.C.D.
Si bien esto fue novedoso para los alumnos, no hay que dejar de lado las
dificultades que se presentaron en el desarrollo del contenido m.c.m. y M.C.D.,
particularmente con el uso de la técnica6.
Una vez dada la técnica, se comienza a trabajar con ejercicios de rutina para
reforzar la misma. En su crítica a estos ejercicios de práctica, Schoenfeld
considera que “(…) para los estudiantes este conjunto de ejercicios refuerzan la
idea de que hacer matemática significa seguir las reglas enseñadas por el
6 Ver técnica M.C.D. y m.c.m., pág. 16 y 17 de este ejemplar. 29
docente. Conocer matemática significa recordar y aplicar la regla correcta donde
los estudiantes se ven obligados a usarla.”
Si bien el uso de la técnica fue posterior al cálculo por procedimientos propios
(tal como lo mostramos en esta sección) los resultados de su aplicación, dejaron
a la vista un fuerte desfasaje entre las situaciones problemáticas y el uso de la
técnica. Por lo tanto hubo una gran dificultad al momento de trabajar con
problemas para contribuir al sentido del objeto de enseñanza (cálculo de M.C.D.).
En conclusión, no había un proceso de compresión sobre los propios procesos de
pensamiento y reflexión sobre el tema en cuestión. Esta problemática surgió
nuevamente al momento de trabajar con problemas para el cálculo del m.c.m.
Luego de este análisis, se nos presenta un abanico de interrogantes. Nos
preguntamos en el papel del alumno, ¿por qué buscar los factores comunes y no
comunes? ¿Por qué es necesario buscar los factores con mayor exponente si
tenemos que calcular el mínimo?
Como docentes comprendemos el razonamiento de la técnica y reconocemos la
complejidad de la misma, por esta razón nos preguntamos, ¿qué ventajas tiene la
enseñanza de esta técnica? ¿Por qué la insistencia en que se aprenda de
memoria la técnica y no buscar otras alternativas?
30
A modo de conclusión:
Consideramos que a pesar de la gran cantidad de bibliografía y el
seguimiento de los docentes a cargo de la materia, nos resultó un gran desafío
llevar a cabo el proceso de elaboración y de puesta en práctica de las
planificaciones.
Esta experiencia nos ayudó a replantear nuestra formación profesional y los
aspectos a tener en cuenta para llevarla a cabo con éxito. Como por ejemplo los
conocimientos previos de los alumnos, la redacción de las consignas para facilitar
la comprensión y resolución, la secuenciación y organización de los contenidos,
los objetivos para trabajar el tema, decidir cuándo y de qué manera intervenir en
las actividades desarrolladas por los alumnos, etc.
En cuanto al manejo y gestión de las clases, el uso del pizarrón como
herramienta didáctica y del tiempo fueron cuestiones de gran preocupación para
nosotras, pero con el correr de las prácticas pudieron ser superadas.
Esta experiencia nos fue enriquecedora y nos permitió tener una visión más
amplia del rol docente, ya que el haber tenido la oportunidad de estar en
contacto directo y relacionarnos con los alumnos, nos brindó la ocasión de
situarnos como docentes. Como así también, poner en juego nuestros
conocimientos acerca de la matemática y nuestra concepción del ser docente.
Uno de los propósitos que nos planteamos fue crear y mantener un clima
abierto e informal en la clase para asegurar a los estudiantes la libertad de
preguntar y explorar sus ideas, así como alentarlos a imaginar, conjeturar y
seguir sus propios razonamientos más que mostrarles cómo alcanzar soluciones
o dar respuestas. Y de esta manera lograr un aprendizaje significativo.
Debido al escaso tiempo con el que contábamos, las planificaciones se
llevaron a cabo de manera apresurada desde nuestro punto de vista. A pesar de
esto, destacamos la cooperación de los alumnos en las clases y agradecemos
toda su predisposición.
Además, queremos dar gracias a la institución que nos abrió sus puertas y
nos permitió tener un primer contacto con el sistema educativo y sobre todo,
reconocer el gran esfuerzo y dedicación a nuestras profesoras de prácticas,
Dilma Fregona, Marta Parnisari y Erika Delgado.
Anexo:
31
• Mini evaluaciones:
32
33
• Resolución de la ejercitación de repaso por un alumno:
34
35
• Ejercicios adicionales:
I. Para realizar una fiesta, Mariana tiene 20 cuchillos, 40 tenedores y 60 vasos.
a) ¿A cuántas personas puede invitar como máximo?
b) ¿Cuántas mesas con igual números de invitados puede armar?
II. Mechi tiene 54 piedritas verdes, 72 blancas y 36 azules. Con todas ellas va a
armar collares iguales sin que sobre ninguna piedrita. ¿Cuál es la mayor cantidad
de collares que puede armar? ¿Cuántas piedritas de cada color tendrá cada uno?
III. a) Se quieren repartir 18 caramelos en bolsas que tengan solo caramelos. ¿De
cuántas formas puede hacerse si quieren que tengan el mismo número?
b) Se quieren repartir 24 bananitas en bolsas que contengan el mismo número de
bananitas, solo bananitas.
c) Si queremos poner en cada bolsa caramelos y bananitas y que todas las bolsas
sean iguales para repartir en el cumple. ¿Cómo podrías hacer ese reparto?
d) Si quiero que estas bolsas combinadas alcancen para la mayor cantidad de
chicos posibles
e) ¿Que estás considerando de los números 18 y 24 en cada pregunta?
IV. El helicóptero amarillo transporta (cada 10 días) productos de farmacia,
perfumería y limpieza a un refugio de montaña. El rojo, en cambio, (cada 6 días)
lleva víveres. Hoy coincidieron. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir?
36
Bibliografía:
• Aprendiendo Matemática. Fascículo 9: Múltiplos y divisores. La Voz del
Interior. 2009
• Carpeta de Matemática 7. Cuadernillo 1. Editorial Aique. Luis Garaventa,
Nora Leorburo, Patricia Rodas. 2006
• El libro de la Matemática 7. Editorial Estrada. Prof. Laura Inés Canteros,
Prof. Ana María Felissia, Prof. Dilma Fregona. 1997
• Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and
Sense Making in Mathematics, in Handbook for Research on
Mathematics Teaching and Learning. Editorial Grouws, Macmillan, New
York. Traducción no literal en español, fragmento. Schoenfeld, Alan.
1992
• Libro del Docente. Estudiar Matemática en 7º. Editorial Santillana.
Claudia Broítman, Mónica Escobar, Mercedes Etchemendy, Verónica
Grimaldi, Andrea November, Inés Sancha. 2006
• Libro del Docente. Estudiar Matemática en 8º. Editorial Santillana.
Claudia Broítman, Mónica Escobar, Mercedes Etchemendy, Verónica
Grimaldi, Andrea November, Inés Sancha. 2006
• Matemática 8. Editorial Tinta Fresca. Valeria Borsani, Gustavo Carnelli,
Cecilia Lamela. 2006
• Pitágoras 7º. Matemática. Editorial S.M. Fernando Chorny, Gustavo
Krimker, Claudio Salpeter. 2006
37
