Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung „Bionik I“

Evolutionistische Bionik auf dem Prüfstand

Der Fundamentalbeleg der Bionik

Bionik

Evolution

Am Anfang war die

Genpoolder

Population

Rekom binationM utation

GentransferIsolationM igrationGendrift

Selektion

Synthetische Theorie der Evolution

Ernst Mayer 1904 - 2005

Synthetische Evolutionstheorie

Eine einfache Theorie der Evolution

Nur Mutation und Selektion

Evolutionsstreit

Formgebungsproblem

Tragflügelprofil

Windkanal

Flexible Stahlhaut

Idee für ein mechanisches Evolutionsexperiment (1964)

„Darwin“ im Windkanal

Schlüsselexperiment mit der Evolutionsstrategie

1964

Zahl der Einstellmöglichkeiten:

515 = 345 025 251

51 Einrastpunkte

Fiktive Mutationsmaschine

GALTONsches Nagelbrett

34

52

1

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

xi

+++++

x1

x2

x3

x4

x5

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

80400

2

4

6

0120 160 200 240 280 320

M u ta tio n e n

E rg e b n isW

ide

rsta

nd

Künstliche Evolution: Gelenkplatte im Windkanal

Ändernder

Umwelt

8040200 60 100 140 180

4

5

3

2

1

6

120 160 200M u ta tio n e n

E rg e b n isW

ide

rsta

nd

Künstliche Evolution: Angewinkelte Gelenkplatte im Windkanal

18. November 1964

Google: Der Spiegel Zickzack nach Darwin

Sechs verschiebliche Stangen bilden die Variablen der flexiblen Rohrumlenkung

Evolution eines 90°-Rohrkrümmers

Optimaler 90°- Strömungskrümmer

Start Ergebnis9% weniger Umlenkverluste

Heißwasserdampfdüse für das Evolutionsexperiment mutierbar gemacht

Zur Herstellung der Varianten

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

35

31

32

33

34

36

37

38

39

40

41

42

43

44

0

45

Evolutionsexperiment

mit einer

Heißwasserdampfdüse

= 45%

= 79%

Evolution des Pferdefußes

Vom Eohippus zum Equus (60 Millionen Jahre)

Bionik

Evolution

Fundament

Fundamentalbeleg der Bionik

Wie effektiv arbeitet die

biologische Evolution ?

Ist es nur die lange Zeit oder ist es die Raffinesse der Evolutionsstrategie ?

„Einen Naturvorgang verstehen heißt, ihn in zu übersetzen“MechanikMathematik

Herrmann von Helmholtz

(1 + 1)-ES

DARWINs Theorie inmaximaler Abstraktion

ggg zxx EN

Algorithmus der zweigliedrigen Evolutionsstrategie

1Egx

)() ENN (für ggg QQ xxx

sonst Egx

x = Variablenvektor

= Mutationsschrittweitez = Normalverteilter Zufallsvektor

N = Index Nachkomme

E = Index Elter

Q = Qualität (Tauglichkeit)

g = Generationenzähler

z. B. 5 Gelenkwinkel

z. B. Galtonsches Nagelbrett

Wie schnell ist bei

der Problemlösung …

Die Biologische Evolution

Der Mathematiker

Komplexität

Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines Objekts in der Biologie und der Technik

Objekt?

Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines technischen oder biologischen Objekts ist im Bereich kleiner Änderungen voraussehbar

Behauptung

Starke Kausalität

Normalverhalten der Welt

Eingang: Neigung der Kaffeekanne

Ausgang: Stärke des Kaffeestroms

Kausalität

Schwache Kausalität

Starke Kausalität

Es gibt eine universelle Weltordnung

Gleiche Ursache, gleiche Wirkung

Kleine Ursachenänderung, große Wirkungsänderung

Kleine Ursachenänderung, kleine Wirkungsänderung !

Starke Kausalität

Normales Verhalten der Welt

nicht so sondern so

x xyy

sondern so

xy

nicht so

xy

yx

Hier gilt starke Kausalität

Hier gilt starke Kausalität

Hier gilt starke Kausalität

Hier gilt starke Kausalität

Hier gilt starke Kausalität

Hier gilt starke Kausalität

Qualität

Unter der An-nahme, dass es signifikant gute und schlechte Lösungen gibt

Experimentator

Suchfeld

Suche nach dem höchsten GipfelSchwache Kausalität

Suche nach dem höchsten Gipfel

Experimentator

Suchfeld

Starke Kausalität

Dünenwanderung mit verbundenen Augen Folgen des steilsten Anstiegs

Bewegte Strecke bergauf

Zahl der Generationen

Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit im Fall der starken Kausalität

Zahl der Versuche

bei kleinen Schritten

Lokales Klettern

nichtlinear

Lokales Klettern

linear

Dünenwanderung mit verbundenen Augen Folgen des steilsten Anstiegs

Z

x

y

Linearitätsradius

Fortschritt

Lokale deterministische Suche

Wandern entlang des steilsten Anstiegs

3)2(

grad

1)(

grad n

n

Fortschritt

Versuchszahl

Bewegte Strecke bergan

Zahl der Versuche

Hier haben wir das Verhalten auf einer geneigten Ebene (gerade Höhenlinien)

(1 + 1)-ES

DARWINs Theorie inmaximaler Abstraktion

Z

x

y

Linearitätsradius

Lokale stochastische Suche

Zufallsdriften entlang des steilsten Anstiegs

1. Kind

2. KindElter

?)2(evo

?)(evon

Plus-Kind

Minus-KindSchwerpunkt der Halbkreislinie

Statistisches Mittel des Fortschritts

Bestimmung des linearen Fortschritts

Elter

Linearitätsradius

2/s

s

+

−

Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind !

rr

rs 2 rs21 rn

n

s)(

)(

21

21

2 Dim. 3 Dim. n Dim.

s ss

Schwerpunkt

Paul Guldin (1577 – 1643)

Die 1. Guldinsche Regel

Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.

Paul Guldin (1577 – 1643)

Die 1. Guldinsche Regel

Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.

Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel gleich der Länge des Halbkreises ( r ) mal dem Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreises.

Beispiel:

Halbkreisschwerpunkt

Halbkreis mit dem Radius r

Schwerpunktsweg

s

Okugel =2s ½ UKreis

KreisKugel 212 UsO

Kreis

Kugel

UO

s

12

Kugel )/(2

2

/)(

n

nn rOn

Formel für die Oberfläche einer n-dimensionalen Hyperkugel (m) = (m – 1)! für

ganzzahlige m(x +1) = x (x), (1) =(2) = 1, (1/2) =

Beispiel n = 2: (2)KugelO r2 KreisU

gedeutet als

)(

)1()(

Kugel

Kugeln

nn

O

Os

rs n

nn

)()(

2

21

1)(

)2(

)3()2(

Kugel

Kugel

O

Os

Allgemein

Was ist eine Hyperkugel ?

Hyperraum

Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee

Hyperwürfel

a

a

a a

a

a

a 2a 3a na

Eine n-dimensionale Kugel ?

Genannt:

Stecke Fläche Volumen Hypervolumen

Beispiel: Volumenelement

212 )( xx

212

212 )()( yyxx

212

212

212 )()()( zzyyxx

212

212

212

212 )()()()( zzyyxx

}{ 11 xP

}{ 22 xP

},{ 111 yxP

},{ 222 yxP },,{ 2222 zyxP

},,{ 1111 zyxP },,,,{ 11111 zyxP

},,,,{ 22222 zyxP

Entfernung zweier Punkte1P

2PAnaloge Extrapolationsidee für die

Besitzen Elter und Kind sehr unterschiedliche

Variableneinstellungen, liegen sie im Hyperraum

„geometrisch“ weit auseinander und umgekehrt

rs n

nn

)()(

2

21

1)(

Fortschrittsgeschwindigkeit

2

)()(

hlVersuchszabergaufWeg n

n s rn

n

)()(

21

2

2

1

Asymptotische Näherung n

rn 12

)(

n1

2

für n >> 1

= mittlere Eltern-Pluskind-Pfeillänge Richtung bergan im n-dimensionalen Raum

Wichtige asymptotische Formel:

nn

n2

21

2

Für n >> 1 gilt:

Z

x

y

Linearitätsradius

Lokale stochastische Suche

Zufälliges Folgen des steilsten Anstiegs

)2(evo n

n 12

)(evo

n >> 1

1. Kind

2. KindElter

)()(

21

22

)(evo

n

nn

Für n >> 1

nn

21)(

evonn )(

grad

1/ n

Evolutionsstrategie

1/n

Gradientenstrategie

Ausgeklügeltes Handeln kontra Evolution

Text

Bionik

EvolutionFundamentalbeleg

Ende

www.bionik.tu-berlin.de

Ergebnis der linearen Theorie:

Eine ausgeklügelte Strategie (hier die einfachste Form einer Gradientenstrategie) erzielt den größtmöglichen Fortschritt. Doch dazu muss die Umgebung durch Messungen (bei der Gradientenstrategie n +1 Messungen) erkundet werden. Bei 2 Dimensionen sind das lediglich 3 Messungen. Bei 1000 Dimensionen müssen aber 1001 Erkundungsmessungen durchgeführt werden, um optimalen Fortschritt zu erreichen. Anders bei der Evolutionsstrategie: Hier erbringt im linearen Funktions-bereich im Mittel schon jeder 2. Versuch einen Fortschritt. ½ mal dieser reduzierte Zufallsfortschritt erbringt mehr als 1/(n+1) mal der größtmögliche Gradientenfortschritt.

Behauptung:

Ausgeklügelte Optimierungsstrategien, auch wenn sie raffiniert über den linearen Funktionsbereich hinaus extrapolieren, werden mit wachsender Variablenzahl immer irgendwann von der Evolutionsstrategie überholt. Daraus folgt: Die Evolutionsstrategie ist für sehr, sehr viele Variablen die bestmögliche Optimierungsstrategie.