Informe 4 dinamica aplicada.docx

8/10/2019 Informe 4 dinamica aplicada.docx

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Universidad Tecnolgica de PanamFacultad de Ingeniera Elctrica

Licenciatura en Ingeniera ElectromecnicaLaboratorio de Dinmica Aplicada

Facil itador: Stephen Krol

LABORATORIO #4

Irvin Rodriguez

[email protected]

Eddie Herrera

8-798-1833

[email protected]

Oscilacin de un Pndulo Simple

1. Introduccin

En esta experiencia estaremos comparando el comportamiento experimental de un pndulo que realiza

oscilaciones pequeas contra los modelos matemticos del mismo. Para realizar esto primeroobtendremos el comportamiento experimental del pndulo. Mediante un desplazamiento inicial de 10

o menos haremos oscilar el pndulo. La magnitud del desplazamiento inicial nos permite suponeroscilaciones pequeas. Mediremos el comportamiento del pndulo para obtener su comportamiento

empricamente.

Paralelamente modelaremos matemticamente el pndulo de dos formas distintas, asumiendo una masa

puntual y asumiendo una masa esfrica. Para visualizar el modelo utilizaremos graficas en funcin deltiempo en dos programas: SimulinkdeMatlaby enExcel.

Una vez obtenido el comportamiento emprico del pndulo lo estudiaremos a travs de grficas en

Excel. Finalmente compararemos la efectividad de los diferentes modelos mediante el clculo del errorentre las frecuencias de oscilacin resultantes.

2.Resultados

Para este experimento utilizamos una esfera cuyos parmetros se especifican a continuacin:

Tabla 1. Parmetros de la esfera utilizada en la experiencia

Dimetro de laesfera

Masa de laesfera

Momento de inercia de laesfera

2.9 cm 522 g 126.15 gcm

El momento de inercia lo calculamos con respecto al centro de gravedad de la misma.

Ahora se tomaron datos y se hicieron clculos del modelo del pndulo simple para los siguientesvalores de longitud del hilo que se fij a la esfera y al marco.


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1. Para y () a) Mtodo experimental:

Se midi experimentalmente el periodo promedio de 3 oscilaciones y a partir de eso se calcul , y

() Luego utilizando el modelo del pndulo simple, resolvimos la ecuacin diferencial para las condicionesiniciales dadas.

()

Evaluamos las constantes y con las condiciones iniciales () () Por tanto la solucin nos queda: () Para la velocidad y la aceleracin tenemos que:

() () Las grficas de cada funcin se muestran a continuacin:

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Posicin ()

Posicin ()


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Figura 1. Grfica de la posicin para las condiciones iniciales (CI) indicadas anteriormente y el experimental.

Figura 2. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el experimental.

Figura 3. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el experimental.b) Mtodo Analtico asumiendo la esfera como una masa puntual

Asumiendo que la esfera es una masa puntal conectada al extremo del hilo el modelo matemtico seraigual a: Donde la y la solucin de la ecuacin quedara de la siguiente manera

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Velocidad (')

Velocidad (')

-4

-2

0

2

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Aceleracin ('')

Aceleracin ('')


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Solucin de la ecuacin: () Evaluamos las constantes y con las condiciones iniciales () () () () Por tanto la solucin nos queda:

() Para la velocidad y la aceleracin tenemos que:() ()

Las grficas de cada funcin se muestran a continuacin:

Figura 4. Grfica de la posicin para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntual.-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Posicin ()

Posicin ()


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Figura 5. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntual

Figura 6. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntualc) Mtodo Analtico asumiendo la esfera como una masa esfrica

Asumiendo que la esfera se modela como una masa esfrica y que la distancia del hilo ahora es desdeel marco hasta el centro de la esfera, la ecuacin diferencial sera la siguiente:

( )

Dnde: ( ) ( )Reemplazando en la ecuacin diferencial nos queda que:

() ( )

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Velocidad (')

Velocidad (')

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Aceleracin ('')

Aceleracin ('')


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De esta ecuacin obtenemos que:

()

( ) ( )( )

( ) ( )

La solucin de esta ecuacin diferencial ser:

() Con las constantes y , evaluadas con las condiciones iniciales y cuyos valores son: Por tanto la solucin nos queda: () Para la velocidad y la aceleracin nos queda:

() ()


ParaSimulinkse utiliz el siguiente diagrama de bloques:

Figura7. Diagrama de bloques realizado en Simulink.


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Figura 8. Grficas de la posicin para las CI indicadas anteriormente y el para la masa esfrica, en

Simulink y Excel respectivamente.


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Figura 9. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el para masa esfrica, en


Figura 10. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el para masa esfrica, enSimulink y Excel respectivamente.


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Tabla 2. Valores de la frecuencia angular natural, frecuencia natural, periodo natural.

Experimental Masa puntual Masa esfrica % error 1 % error 2 % error 3[ 4.33 3.98 3.93 8.79% 10.18% 1.27%[] 0.688 0.633 0.625 8.69% 10.08% 1.28%[] 1.453 1.580 1.600 8.04% 9.19% 1.25%En la tabla 2 se aclara que:El % de error 1 es entre el valor experimental y el de masa puntual.

El % de error 2 es entre el valor experimental y el de masa esfrica.

El % de error 3 es entre el valor de masa puntual y el de masa esfrica

Segn lo que podemos observar en la tabla 2, los errores incurridos por utilizar los diferentes modelo

son aceptables tanto para el modelo de masa puntual como para el modelo de masa esfrica, aunquepara la masa puntual el error es menor que para la masa esfrica, y esto se puede deber a la falta de

exactitud a la hora de resolver la ecuacin diferencial para ese modelo, tambin a la hora de tomar losdatos, se pudo incurrir en error cuando se midi el dimetro de la esfera, o a la hora de realizar las

oscilaciones con el pndulo.

Tambin podemos ver por la columna de % error 3, que la aproximacin de la esfera a una masa

puntual causa un error en el resultado aceptable y que este modelo puede ser usado sin problemasdebido a su sencillez matemtica y esto no causa una desviacin tan grande del valor real.

2. Para y () a) Mtodo experimental:

Se midi experimentalmente el periodo promedio de 3 oscilaciones y partir de eso se calcul la

y

() Luego utilizando el modelo del pndulo simple, resolvimos la ecuacin diferencial para las condiciones

iniciales dadas.

()

Evaluamos las constantes y con las condiciones iniciales () () Por tanto la solucin nos queda: ()


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Para la velocidad y la aceleracin tenemos que:

()

()


Figura 11. Grfica de la posicin para las CI indicadas anteriormente y el experimental

Figura 12. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el experimental

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Posicin ()

Posicin ()

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Velocidad (')

Velocidad (')


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Figura 13. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el experimentalb) Mtodo Analtico asumiendo la esfera como una masa puntual

Tomando la asuncin de que la esfera es una masa puntal conectada al extremo del hilo el modelo

matemtico sera igual a: Donde la y la solucin de la ecuacin quedara de la siguiente manera

Solucin de la ecuacin: () Evaluamos las constantes y con las condiciones iniciales () () () () Por tanto la solucin nos queda: () Para la velocidad y la aceleracin tenemos que:

() ()

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Aceleracin ('')

Aceleracin ('')


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Figura 14. Grfica de la posicin para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntual

Figura 15. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntual

Figura 16. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el para masa puntual

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Posicin ()

Posicin ()

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Velocidad (')

Velocidad (')

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Aceleracin ('')

Aceleracin ('')


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c) Mtodo Analtico asumiendo la esfera como una masa esfrica

Tomando la asuncin de que la esfera se modela como una masa esfrica y que la distancia del hiloahora es desde el marco hasta el centro de la esfera, la ecuacin diferencial sera la siguiente:

( )

Dnde: ( ) ( )Reemplazando en la ecuacin diferencial nos queda que:

() ( ) De esta ecuacin obtenemos que:

( ) ( )( ) ( ) ( )

La solucin de esta ecuacin diferencial ser:

()

Con las constantes y , evaluadas con las condiciones iniciales y cuyos valores son: Por tanto la solucin nos queda: () Para la velocidad y la aceleracin nos queda:

()

() Las grficas de cada funcin se muestran a continuacin:

Para Simulink se utiliz el diagrama de bloques de la figura 7.


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Figura 17. Grfica de la posicin para las CI indicadas anteriormente y el para masa esfrica, en


Figura 18. Grfica de la velocidad para las CI indicadas anteriormente y el para masa esfrica, enSimulink y Excel respectivamente.


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Figura 19. Grafica de la aceleracin para las CI indicadas anteriormente y el para masa esfrica, en


Tabla 3. Valores de la frecuencia angular natural, frecuencia natural, periodo natural.

Experimental Masa puntual Masa esfrica % error 1 % error 2 % error 3[ 5.97 5.76 5.62 3.65% 6.23% 2.49%[] 0.950 0.917 0.894 3.60% 6.26% 2.57%[] 1.053 1.090 1.118 3.40% 5.81% 2.50%De la tabla 3 se aclara que:

El % de error 1 es entre el valor experimental y el de masa puntual.

El % de error 2 es entre el valor experimental y el de masa esfrica.

El % de error 3 es entre el valor de masa puntual y el de masa esfrica

Como vimos en la tabla anterior el error es pequeo y aceptable, pero cabe resaltar que el error de estamedicin es menor que en la medicin anterior, pero sin embargo la diferencia entre lo valores

obtenidos analticamente es mayor que la medicin anterior, lo que nos indica que la aproximacin que

se incurre al utilizar el modelo de masa puntual es menos exacta para distancias menores del hilo quesostiene la esfera, y esto se justifica ya que a medida que la longitud del hilo es menor, la distancia del

radio de la esfera ,la cual se desprecia cuando utilizamos el modelo de masa puntual, es ms

significativa y esto incurre en un error mayor.


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Conclusiones

Podemos concluir que un sistema de pndulo simple a primera instancia, si obtenemos la ecuacin

diferencial que explica la dinmica del sistema, observamos que la misma no es lineal, debido al

termino , pero esta ecuacin es posible linealizarla con solo aproximar el termino anterior a , para ngulos menos de 10, si hacemos esa linealizacin la ecuacin diferencial resultantees muy parecida o idntica a la ecuacin diferencial para el sistema masa-resorte, por lo cual ambas

tendrn una solucin similar, a diferencia de la frecuencia angular que para el caso de pndulo simple

es asumiendo el modelo de masa puntual.Tambin podemos pudimos observar que a medida que la longitud del hilo aumentaba la frecuencia

angular disminuye, lo que provoca que el periodo sea ms grande, es decir que las oscilaciones sean

ms largas, tambin en esta experiencia obtuvimos la frecuencia angular por dos mtodos analticos,

uno aplicando un modelo donde asumimos que la esfera es una masa puntual y otro donde la esfera

es una masa esfrica, y notamos que para longitudes ms grandes del hilo, el modelo de masa

puntual presentaba menos error en comparacin con el de masa esfrica, ya que la distancia del radio

de la esfera que se desprecia cuando aplicamos la masa puntual se vuelve ms insignificante a medida

que la longitud del hilo aumenta por tanto, para longitudes considerablemente grandes con respecto

al radio de la esfera, aplicar el modelo de masa puntual presentar resultado con un grado de error

aceptable para fines de clculos de ingeniera

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