Inductancia Mutua y Transformadores1

7/26/2019 Inductancia Mutua y Transformadores1

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CAP. V

CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNETICAMENTE

INDUCTANCIA MUTUA Y TRANSFORMADORES

5.1 Inductancia mutua

El flujo magntico total provocado por una bobina en un inductor lineal esproporcional a la corriente que pasa por ella; es decir, Li= (ver Figura 5.1). eg!nla le" de Farada", la tensi#n entre los e$tremos del inductor es igual a la derivadarespecto al tiempo del flujo total; es decir,

dt

diL

dt

d==

V

El coeficiente %, en & ('enrios) se llama coeficiente de autoinducci#n de la bobina.

Figura 5.1.

os conductores de diferentes circuitos mu" pr#$imos uno de otro estarn acopladosmagnticamente dependiendo de su pro$imidad f*sica " de la relaci#n de lascorrientes que los atraviesan. Este acoplamiento se incrementa cuando una bobinaest arrollada sobre la otra. i adems, un n!cleo de 'ierro dulce suministra un

camino para el flujo magntico, el acoplamiento se ma$imi+a. (i bien 'a de tenerseen cuenta que la presencia del 'ierro puede producir una no linealidad en el circuito.)

ara encontrar la relaci#n entre la tensi#n " la corriente en los e$tremos de las dosbobinas acopladas mostradas en la figura 5.-, se anali+a el modo en que las

corrientes 1i . e 2i establecen el flujo magntico mutuo en cada bobina, " se

comprueba que el efecto de acoplamiento mutuo entre las dos bobinas es simtrico

1


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2111 MiiL +=

2212 iLMi += (5.1)

onde / es la inductancia mutua (coeficiente de inducci#n mutua) (en &)

Figura 5.-.

%as tensiones entre los terminales son las derivadas respecto al tiempo de los flujosmutuos.

dt

diM

dt

diL

dt

dtv 211

11 )( +==

(5.-)

dt

diL

dt

diM

dt

dtv 22

122 )( +==

%as bobinas acopladas forman un tipo especial de circuito con dos entradas,estudiado en el cap*tulo de cuadripolos. %as caracter*sticas del terminal (-) pueden

e$presarse tambin en el dominio de la frecuencia o en el dominio sde la placecomo

ominio de la frecuencia dominio s

2111 MIjILjV += 2111 MsIsILV += (5.0) (5.)

2


3/22

2212 ILjMIjV += 2212 sILMsIV +=

El coeficiente de inducci#n mutua / se ver mas adelante en la secci#n 5.-. %asecuaciones del dominio de la frecuencia (5.0) se aplican en estados sinusoidalesestacionarios, mientras que las ecuaciones en el dominio s(5.) se aplican a fuentes

e$ponenciales de frecuencia compleja s.

EJEMPLO 5.1. ado ,1.01 HL = HL 5.02 = e tsentiti == )()( 21 en las bobinasacopladas de la figura 5.- determinar )(1 tv " )(2 tv para a) / 2 3.31&, b) / 2

3.-&

oluci#n

4plicando el sistema de ecuaciones (5.-) se tiene

)(cos11.0cos01.0cos1.0)(1 Vttttv =+=a)

)(cos51.0cos5.0cos01)(2 Vttttv =+=

)(cos3.0cos2.0cos1.0)(3 Vttttv =+=

b)

)(cos7.0cos5.0cos2.0)(4 Vttttv =+=

5.2. COEFICIENTE DE ACOPLAMIENTO

na bobina de 6 espiras con un flujo magntico atravesando cada espira tieneun flujo magntico total . N= eg!n la le" de Farada", la fem (fuer+aelectromotri+) inducida (tensi#n) en la bobina es ).( dtdNdtde ==Frecuentemente la ecuaci#n se precede con un signo negativo para significar que lapolaridad de la tensi#n se establece de acuerdo con la le" de %en+. or definici#n deautoinducci#n esta tensi#n viene dada tambin por ).( dtdiL por tanto,

dtdN

dtdiL

dtd ===V o

didNL = (5.5.a)

Las unidades de son los 7eber, donde 1 8b 2 19:s, " se obtiene de la relaci#nmostrada arriba, que es 1 & 2 1 8b 4. 4 lo largo de este libro se supone que ei son proporcionales, de forma que

3


4/22

teconsi

NL tan==

(5.5.b)

En la figura 5.0 el flujo total 1 resultante de una corriente 1i a lo largo de 1N

espiras est formado por un flujo disperso 11 " un flujo de acoplamiento o flujo

mutuo, 12 . %a fem inducida en una bobina acoplada se obtiene de ).( 122 dtdN

Esta misma tensi#n puede reescribirse utili+ando el coeficiente de inducci#n mutua Mde la forma siguiente

dt

dN

dt

diMe 122

1 == o1

122dt

dNM

= (5.)

El coeficiente de acoplamiento, ?, se define como la relaci#n entre el flujo mutuo " elflujo total

2

21

1

12

=k

4


5/22

onde .10 k =omando el producto de (5.


6/22

Fi&u"a5.'.os circuitos acoplados magnticamente a trabes de un n!cleo.

C""i#nt# natu"a!

ara una mejor comprensi#n de las bobinas acopladas se considera un segundo

circuito pasivo, como el mostrado en la figura 5. %a fuente 1v suministra una

corriente 1i , con el correspondiente flujo 1 . 4'ora bien, la le" de %en+ implica que

la polaridad de la tensi#n inducida en el segundo circuito es tal que si el circuito estcerrado pasar corriente a travs de la segunda bobina con el sentidocorrespondiente a la creaci#n de un flujo que se oponga al flujo principal establecido

por 1i . Esto es, cuando el interruptor est cerrado en la figura 5.5 el flujo 2 tendr

la direcci#n mostrada en la misma. %a regla de la mano derec'a, con el pulgar

apuntando en la direcci#n de 2 , suministra el sentido de la corriente natural 2i . %a

tensi#n inducida es la tensi#n de alimentaci#n para el segundo circuito, como semuestra en la figura 5.


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Figura 5.t , al aplicar la segunda le" de ?irc''off al segundo

circuito se tiene

022222 =+dt

diM

dt

diLiR

/ientras que en el circuito activo es

121

111 vdt

diM

dt

diLiR =+

Deescribiendo las ecuaciones anteriores en el dominio scon las condiciones iniciales0)0()0( 21 ==

++ii " eliminando )(1 sI se encuentra que.

211221

22

211

2

)()()(

)()(

RRsLRLRsMLL

Ms

sV

sI

excitacin

respuestasH

+++==

" de los polos de )(sH se tienen las frecuencias naturales de .2i

5.'. LA )E*LA DEL P+NTO

El signo de una tensi#n elctrica debida a la inductancia mutua puede determinarsesi el sentido del arrollamiento del devanado de la bobina aparece indicado en eldiagrama del circuito, como as* ocurre en la figura 5. " 5.5. ara simplificar elproblema de obtener el signo correcto, las bobinas se marcan con puntos en losterminales que instantneamente son de la misma polaridad.

7


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ara asignar los puntos a un par de bobinas acopladas se selecciona una direcci#nde la corriente en una bobina " se coloca un punto en el terminal donde la corrienteentra en el devanado. e determina el flujo correspondiente aplicando la regla de lamano derec'a (ver figura 5.>a). El flujo del otro devanado, de acuerdo con la le" de%en+, se opone al primer flujo. e usa la regla de la mano derec'a para encontrar el

sentido de la corriente natural correspondiente a este segundo flujo (ver figura 5.>.b).4'ora se coloca un punto en el terminal del segundo devanado donde la corrientenatural abandona el devanado. Este terminal es positivo simultneamente con el=erminal de la primera bobina donde entraba la corriente inicial. Con la polaridadinstantnea de las bobinas acopladas dada por los puntos, la representaci#n deln!cleo con los sentidos de los arrollamientos "a no es necesaria, " las bobinasacopladas pueden representarse como en la figura 5.>c. or ello, la regla del puntopuede usarse del modo siguiente

1) cuando las corrientes supuestas entran o salen de un par de bobinasacopladas por los terminales con punto, los signos de los trminos de / sernlos mismos signos que los trminos de %; pero

2) si una de las intensidades entra por un terminal con punto, mientras que laotra sale por un terminal con punto, los signos de los trminos de / sern designo contrario que los signos de los trminos con %.

(a)

(b) (c)

8

Figura 5.>. Depresentaci#nesquemtica de la regla del punto


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E(#m$! 5.3 %os sentidos de la corriente elegidos en la figura [email protected] son tales quelos signos de los trminos de / son contrarios a los signos de los trminos de %, "los puntos indican los terminales con la misma polaridad en cada instante.

Comprese esto con el circuito con acoplamiento conductivo de la figura [email protected], donde

las dos intensidades de malla pasan a travs de un elemento com!n con sentidosopuestos, " en los cuales los sentidos de la polaridad son los mismos que los dadospor los puntos en los circuitos acoplados magnticamente. %a similitud ser 'ace msaparente cuando se coloca una +ona sombreada que sugiera dos cajas oscuras.

(a)

(b)Figura 5.@. Circuitos para el ejemplo 5.0

5.5 ENE)*,A EN DOS BOBINAS ACOPLADAS

%a energ*a almacenada en una bobina de coeficiente de autoinducci#n % por la cual

circula una corriente i es ( )JLi 25.0 . %a energ*a almacenada en dos bobinasacopladas magnticamente viene dada por la e$presi#n

2122

2

112

1

2

1iMiiLiLW ++= (ou) (5.)

9

2i1iv

2i1iv

G G

H


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onde 1L " 2L son los coeficientes de auto inducci#n de cada una de las bobinas "

M es el coeficiente de inducci#n mutua. El termino M 21ii en (5.) representa laenerg*a debida al efecto de la inducci#n mutua. El signo de este trmino es

a) positivo si ambas corrientes 1i e 2i entran a los terminales con punto o a los

terminales sin punto, o b) negativo si una de las intensidades entra a un terminal conpunto " la otra a un terminal sin punto.

E(#m$! 5.' En dos bobinas con HL 1.01 = " ,2.02 HL = en un determinadomomento Ai 41 = e .102 Ai = determinar la energ*a total de las bobinas si elcoeficiente de inducci#n mutua Mes

a) ,1.0 H b) ,10

2H c- ,1.0 H d) .

10

2H

oluci#n

4plicando la ecuaci#n (5.) se tiene

a) jW 8.14)4)(10)(1.0(10)2.0)(5.0(4)1.0)(5.0( 22 =++= (ou)

b) jW 46.16= (ou).

c) jW 0.6= (ou).

d) jW 14.5= (ou).

El m$imo " el m*nimo de la energ*a ocurren en conjunci#n con el acoplamiento

perfecto, tanto positivo

=

10

2M como negativo .

10

2

=M

5. CI)C+ITOS COND+CTI/OS E0+I/ALENTES ACOPLADOS.

e las ecuaciones de las corrientes de malla escritas para bobinas acopladasmagnticamente se puede obtener un circuito equivalente con acoplamiento

conductivo. Considrese el circuito sinusoidal estacionario de la figura 5. (a) con las

corrientes de malla mostradas.

%as ecuaciones correspondientes en forma matricial son

10


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=

+

+0

1

2

1

22

11 V

I

I

LjRMj

MjLjR

En la figura 5. (b), por la reactancia inductiva I/2 / circulan las dos

corrientes de malla con sentidos opuestos, por lo que

J1- 2 J-12 j M

En la matri+ de impedancia si a'ora se coloca una inductancia L1 Men laprimera malla, la ecuaci#n de la corriente de malla para esta ser

( ) + =1 1 1 - 1R j L I j MI V

e forma similar L2 M en la segunda malla aparece en la misma ecuaci#n decorriente de malla que para el circuito de las bobinas acopladas. or tanto, los doscircuitos son equivalentes. %a regla del punto no es necesaria en los circuitosconductivos acoplados " se puede aplicar tcnicas ms familiares de circuitos.

11


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5. T)ANSFO)MADO) LINEAL.

n transformador es un elemento para producir un acoplamiento mutuo entre dos oms circuitos elctricos. El trmino transformador de n!cleo ferromagntico identifica

las bobinas acopladas que estn arrolladas en un n!cleo magntico de aceroespecialmente laminado para confinar el flujo " ma$imi+ar el acoplamiento. %ostransformadores de n!cleo de aire se utili+an en aplicaciones electr#nicas " decomunicaciones. n tercer grupo consiste en bobinas arrolladas una sobre otra en unn!cleo no metlico, con un dispositivo m#vil de material magntico en su interior deforma que es posible variar el acoplamiento.

e incidir en los transformadores de n!cleo ferromagntico donde la permeabilidad4del material ferromagntico se considera constante dentro del rango de operaci#nde las tensiones e intensidades. El estudio se restringe a transformadores con dosdevanados; sin embargo, aquellos con tres o ms devanados para el mismo n!cleo

no son infrecuentes.

En la figura 5.13 el devanado del primario, de 61vueltas, se conecta a la fuente detensi#n /1, " el devanado del secundario, de 6- vueltas, se conecta a la impedanciade la carga L. %as resistencias de las bobinas se representan por los parmetros )1 )2. %a corriente natural I2 produce un flujo -2 -1 G --, mientras que I1 produce

12 1- G 11. %os flujos de dispersi#n en funci#n del coeficiente de acoplamiento ?

son

112 (1H K) 1 --2 (1 L K) -

12

Figura 5.. Conversi#n de un circuito acoplado magnticamente aun circuito conductivo.


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ero1

12

=k

Entonces

112 k=

de donde

11111 )1( kk ==

del mismo modo

22221222 )1( kk ===

e estas relaciones del flujo, las inductancias de dispersi#n pueden e$presarse enfunci#n de los coeficientes de autoinducci#n, del modo siguiente

Como 111 )1( k=

erivando respecto de 1i

1

1

1

11 )1(di

dk

di

d =

13

Figura 5.13. Circuitos acoplados a trabes de un material ferro magntico.

12111

11121

=+=


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111 )1( LkL =

el mismo modo 222 )1( k=

2

2

2

22 )1(di

dk

di

d =

222 )1( LkL =%as correspondientes corrientes de reactancia son

I112 (1 H K) I1 I-- 2 (1 H K) I-e puede demostrar que el coeficiente de autoinducci#nLde una bobina con Nespiras es proporcional a N2. or tanto, para todos los devanados con el mismon!cleo,

=

-

-

1 1

-

L N

L N (5.13)

El flujo com!n a ambos devanados de la figura 5.13 es el flujo mutuo, M m 2 M1- HM-1.Este flujo induce una fem en la bobina, seg!n la le" de Farada",

e12 61

md

dt e-2 6-

md

dt

efiniendo la relaci#n de espiras, a 2 61 6-se obtiene de la ecuaci#n bsica de untransformador lineal

ae

e=

2

1 (5.11)

En el dominio de la frecuencia, E1E- 2 a.

%a relaci#n entre el flujo mutuo " la inducci#n mutua (M) puede desarrollarse por unanlisis de la fem inducida en el secundario, del modo siguiente

dt

kd

dt

dN

dt

dN

dt

dN

dt

dNe m

)( 2122

212

12222

===

tili+ando las ecuaciones (5.


15/22

22

2

2

2))(( kaLLLakM ==

efiniendo la corriente de magneti+aci#n iM por la ecuaci#n

ia

ii += 21 N I

a

II += 21 (5.1-)

e tiene que

dt

diMe =2 N IjXE M=2 (5.10)

e acuerdo con (5.10), la corriente de magneti+aci#n puede considerarse como la

necesaria para establecer el flujo mutuo men el n!cleo.

En funci#n de las fems de las bobinas " de las reactancias de dispersi#n se puededibujar un circuito equivalente al transformador lineal, en el cual el primario " elsecundario estn efectivamente desacoplados. Esto puede verse en la figura 5.11(a)," por comparaci#n el circuito equivalente con puntos se muestra en la figura 5.11 (b).

Figura 5.11. Circuito equivalente del transformador lineal

4plicando la %9O al m*nimo se tiene

[ ]dt

diLeiR

dt

dN

dt

dNiR

dt

dNiR mm

111111

111111111111 ++=++=++=

V

Cu"o modelo circu*tal se encuentra en la figura (5.11a)

E(#m$! 5.5

15

E1

P1

jI11 jI-- D-

9-E-J%

P-

G

H

D1 D-jI/

P-P1

G

H

91 jI1 jI-

(a) (b)


16/22

ibujar el diagrama fasorial de tensiones e intensidades correspondiente a la figura5.11(a), " de l obtener la impedancia de entrada del transformador.

oluci#n

El diagrama se muestra en la figura 5.1-, en el cual Q%muestra el argumentode L. 6ote que, de acuerdo con (10), las fems inducidas E1 " E2 adelantan a la

corriente de magneti+aci#n Ipor 3o. El diagrama comprende las ecuaciones de lostres favores

( ) 111111 IJXREV ++=( )= + +1 1 11 1MV ajX I R jX I

( ) ++=22222

IJXRZEL

= + +- -- -( )M LjX I Z R jX I

= +

1 -

1I I I

a

Eliminando I-e Ide estas ecuaciones, resulta que

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ += = + +

+ + +- ---1

1 11

1 - --

;

;

M L

en

M L

jX a R jX ZVZ R jX a

I jX a R jX Z (5.1a)

Figura 5.1-.iagrama funcional del transformador lineal de la figura (.11a) donde se

va tomando al voltaje 2V como referencia.

16


17/22

or otra parte, si las ecuaciones de las corrientes de malla de la figura 5.11 (b) seutili+an para obtener en(impedancia de entrada), el resultado es

L

Men

ZjXR

XjXRZ

++++=

22

2

11 (1b)

5.6 T)ANFO)MADO) IDEAL.

n transformador ideal es un transformador 'ipottico en el que no e$isten perdidas" cu"o n!cleo tiene una permeabilidad infinita, dando como consecuencia unacoplamiento perfecto sin flujo disperso. En los grandes transformadores de potencialas perdidas son tan pequeRas en relaci#n a la potencia transferida que lasrelaciones obtenidas del transformador ideal pueden ser mu" !tiles en lasaplicaciones de ingenier*a.

e acuerdo con la figura 5.10, una condici#n sin perdidas se e$presa por

*22*

11 IVIV =: den#ta el complejo conjugado.ero

2211 aVaEEV ===

S as*, siendo a un n!mero real,

aI

I

V

V==

1

2

2

1 (5.15)

%a impedancia de entrada se obtiene con facilidad de las igualdades de (5.15)

Len Za

I

Va

a

I

aV

I

VZ

2

2

22

2

2

1

1====

(5.1


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E(#m$! 5.

El transformador ideal puede considerarse como el caso limite del transformador de

la secci#n 5.>. or tanto, en la ecuaci#n (5.5a) se debe asimilar que

D12 D-2 I112 I--2 3

(in perdidas) " entonces, 'aciendo que MX (permeabilidad infinita del n!cleo),

se obtiene

( ) ( )

( )

= = +

- -;

lim;M

M L

en Lx

M L

jX a Zz a a Z

jX a Z

Esta soluci#n es idntica a (5.1


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5.8 A+TOT)ANFO)MADO)

n autotransformador es un devanado elctricamente continuo de una o ms tomas

" un n!cleo magntico. n circuito est formado por los e$tremos del devanado,mientras que el otro se conecta entre un e$tremo del devanado " una de las tomasque se encuentra en un punto intermedio del devanado.e acuerdo con la figura 5.15(a), la relaci#n de transformaci#n es

1 1 2

2 2

1V N N

aV N

+= = +

%a cual e$cede en una unidad la relaci#n de transformaci#n de un transformadorideal de dos devanados que tengan la misma relaci#n de espiras. %a intensidad I1a

travs de la parte serie o superior del devanado, de 61vueltas, produce un flujo 1.or la le" de %en+, la intensidad natural en la parte inferior del devanado produce un

flujo opuesto-.

or tanto, la intensidad Insale del devanado inferior por la toma central. %os puntosen el devanado son los que se muestran en la figura 5.15 (b). En unautotransformador ideal, como en un transformador ideal, las potencias aparentes deentrada " salida deben ser iguales.

91 I:12 91I9ab2 9- I:%or tanto,

= +%

ab

P a 1P

Es decir, las intensidades tambin cumplen la relaci#n de transformaci#n.Sa que I%2 IabG Icb, la potencia aparente de salida consta de dos partes

9- I:%2 9-I9abG 9-I9cb2 9- I:abGa (9-I9ab)

19

Figura 5.1. =ransformador de tres devanados


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El primero de los trminos de esta igualdad se refiere a la conducci#n, mientras queel segundo 'ace referencia a la inducci#n. or lo tanto, en un autotransformadore$iste acoplamiento conductivo " magntico entre la fuente " la carga.

5.1: IMPEDANCIA )EFLEJADA.

Cuando se conecta una carga J- al secundario de un transformador, como semuestra en la figura 5.1


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%a carga J- vista desde la fuente se representa como /-- (J- G -j % ). Este

mtodo se utili+a a menudo para cambiar una impedancia a un valor determinado;por ejemplo, para igualar una carga con una fuente.

E(#m$! 5.6

ado %12 3,- &, %- 2 3.1 &, / 2 3,1& " D 2 13T en el circuito de la figura 5.1>,obtener i1para 12 1-,0 sen 133t (9).

%a impedancia de entrada J1para 2 133 es ;vase ecuaci#n (5.1@)-

( ) !6.711051551010

1000001.020

22

22

11 =+=++=

++= j

jj

LjZ

MLjZ

Entonces

= = 3

1 1 1P 9 J >1,< 4. # i12 sen (133t L >1,)-

=

+

- -

1 1

- -

/ sJ (s) % sD % s

ustitu"endo los valores dados para los elementos, se tiene que+

=

+1

s(s -33)J (s)

13(s 133) #

+=

+1

13(s 133)S (s)

s(s -33)

ara t U 3, la entrada 12 1(9) es una e$ponencial est, cu"o e$ponente s 2 3 es unpolo de S1(s).

or tanto ii.f 2 ?t con ? 2 1%12 5. Este resultado puede obtenerse directamenteanali+ando del circuito de la figura 5.1>.

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