Incidence Geometry We are now ready to begin our study of geometries in earnest. We will study neutral geometry, based on the axioms of Hilbert. This means that we will study all that we can, almost, without the introduction of a Parallel Postulate of any sort. At the appropriate time we will add a parallel postulate and see where we will be led.

For an ease of notation, let denote the statement that the point B lies between the point A and the point C.

Definition: Let be any line and let A and B be any points that do not lie on . If A=B or if the segment AB contains no point lying on , we say that A and B are on the same side

of . If if and if AB contains a point of , we say that A and B are on opposite sides of .

Let us quickly review the incidence axioms.

Incidence Axiom 1: For every point P and for every point Q not equal to P there exists a unique line that passes through P and Q.

Incidence Axiom 2: For every line there exists at least two distinct points incident with .

Incidence Axiom 3: There exist three distinct points with the property that no line is incident with all three of them.

This does not seem like much, but already we can prove several easy properties that any set satisfying these three axioms must have.

Theorem 5.1: If and m are distinct lines that are not parallel, then and m have a unique point in common.

Let's be brave and give a formal and an informal proof of this theorem. Having done that, I think that you will see how an informal proof is really a rigorous proof, just not a formal proof.

Proof: First, the formal proof. We shall break the statement into its three constituent parts.

P: .

Q: . R: and m have a unique point in common.

We are to prove then that

: and

Assuming P and Q in an RCP proof

: and m have at least one point in common.

negation of the condition of being parallel

: Assume and m have more than one point in common.

Proof by Contradiction

: From and , and m have at least

two points, A and B, in common

: There exists a unique line through A and B

Axiom I-1

: Thus,

and

: We have Q and , a contradiction

and

: Thus and m have a unique point in common

the other case of

An informal proof of this result follows much the same line, but is easier to read.

Proof: Since and m are not parallel and since , they must have at least one point in common. Assume that they have more than one point in common. They then have at least two points in common. Axiom I-1 says that two points determine a unique line, so

, which is contrary to the hypothesis. Thus, and m have a unique point in common.

Definition: Two or more lines are concurrent if they intersect in one common point.

Definition: Two or more points are collinear if they are all incident with the same line.

We have four other results to mention.

Theorem 5.2: For every line there is at least one point not incident with it.

Theorem 5.3: every point there is at least one line not incident with it.

Theorem 5.4: every point there exist at least two lines incident with it.

Theorem 5.5: exist three distinct lines which are not concurrent.

To introduce you to the concept of a model for geometry, let us look at a simple example of some mathematical object which satisfies the three axioms of incidence, based on our interpretation of the undefined concepts.

Example: Consider the set . We shall interpret a point to be a singleton

subset of U. Thus, , and are points. We shall interpret a line to be a

doubleton subset of U. The lines are then , , and . We shall agree that a point is incident with a line if it is a subset of the line. Now, before we continue, we must verify that each of the Incidence Axioms is valid in this particular example.

Axiom I-1: If X and Y are any of the points of this geometry, then is the unique line which contains them, for there are only three possible lines.

Axiom I-2: If is any line in this geometry, then and are two distinct points incident with it.

Axiom I-3: The points , and are three distinct points which are not collinear.

Thus this is a model of a geometry which satisfies the Incidence Axioms. Such a geometry is called an incidence geometry. There are a number of different ways of visualizing this geometry.

Example: Again, consider the set . We shall interpret a point to be a

doubleton subset of U. The points are then , , and . We shall

interpret a line to be a singleton subset of U. Thus, , and are lines. We shall agree that a point is incident with a line if it contains the line as a subset. Now, we must verify that each of the Incidence Axioms is valid in this example.

Axiom I-1: If X and Y are any of the points of this geometry, then is the unique line which contains them. There are three possible points and each must contain two elements from U. Thus, the intersection in the set U will be nonempty.

Axiom I-2: If is any line in this geometry, then and are two distinct points incident with it.

Axiom I-3: The points , and are three distinct points which are not collinear, since their intersection is empty.

Thus this, too, is a model of an incidence geometry. It is sometimes referred to as the dual geometry to the previous example.

Note that since the three incidence axioms hold for each of these two examples, the five theorems must also hold. One further item to note about these geometries--there are no parallel lines. Given a line and a point not on that line in each of these two examples, there is no line through that point parallel to the given line. We say that these two models exhibit the elliptic parallel property. This property is not inherent in the incidence axioms, but is inherent in the examples. There are other examples of incidence geometries which do not exhibit the elliptic parallel property.

This implies that we cannot prove the Euclidean Parallel Postulate based only on the incidence axioms. In fact we cannot prove that parallel lines even exist, based solely on the incidence axioms. Furthermore, we cannot prove that they do not exist.

Example: If we take and take the same interpretation for point and line as in Example 1, then we will have an incidence geometry which exhibits the Euclidean parallel property--unique parallels.

Example: If we take and take the same interpretation for point and line as in Example 1, then we will have an incidence geometry which exhibits the hyperbolic parallel property--multiple parallels.

Definition: We say that two models for incidence geometry are isomorphic if there is a one-to-one correspondence between the points of the models, , and the lines of the models , which preserves the incidence relations; i.e., P' is incident with if and only if P is incident with .

Note that we will not be able to have a model with the elliptic parallel property isomorphic to a model with the hyperbolic or Euclidean parallel property, for incidence would not be preserved.

http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/node28.html

GEOMETRI INSIDENSI

Sekarang kita siap untuk memulai pembelajaran geometri dengan sungguh-

sungguh, kita akan mempelajari geometri netral berdasarkan pada aksioma-aksioma

Hilbert. Artinya kaita akan mempelajari hamper semua yang akita peroleh tanpa

pengenalan suatu postulat kesejajaran dari sembarang jenis. Pada saat yang tepat kita

akan menambahkan sebuah postulat kesejajaran dan menemukan dimana kita akan

arahkan.

Untuk notasi yang mudah. Ambil A*B*C menyatakan bahwa titik B terletak di

antara titik A dan titik C.

Definisi :

Ambil sembarang garis l dan ambil sembarang titik A dan B yang tidak terletak

pada garis l, jika A=B atau segmen garis AB berisi bukan titik yang terletak pada l, kita

katakana bahwa A dan B berada pada sisi yang sama dari l. jika A≠ B dan jika AB

memuat titik pada l, maka A dan B berada pada sisi yang berlawanan dari l.

Mari kita perhatikan aksioma insidensi berikut:

Aksioma 1 : Untuk setiap titik P dan titik Q yang tidak sama dengan titik P terdapat

sebuah garis khas l yang melalui P dan Q.

Aksioma 2 : Untuk setiap garis l terdapat sedikitnya 2 kejadian titik yang nyata pada l

Aksioma 3 : terdapat tiga titik yang nyata dengan cirri-ciri bahwa tidak ada garis yang

mempengaruhi ketiga titik tersebut.

Hal ini tidak demikian nampaknya, tetapi kita benar-benar dapat membuktikan

beberapa cirri-ciri yang mudah dengan sembarang bentuk / alat merumuskan tiga

aksioma yang harus kita kuasai.

Theorema 5.1 : Jika m dan l garis-garis yang nyata dan tidak sejajar, selanjutnya l dan m

mempunyai sebuah titik khas pada umumnya

Kita harus berani dan memberikan pembuktitan formal dan informal dari theorem

ini, dengan melakukan itu saya pikir bahwa anda akan menjumpai sebuah kebnaran

pembuktian informal suatu pembuktian yang lurus, bukan hanya sebuah pembuktian yang

formal.

Bukti : pertama, pembuktian formal. Kita akan memisahkan pernyataan itu menjadi tiga

bagian ketentuan.

P : l≠ m

Q : l tidak sejajar m

R : l dan m mempunyai sebuah titik yang khas yang digunakan bersama

Kita harus membuktikan kelanjutannya bahwa : ( RQP ⇒∧ )

S1 : l tidak sejajar m dan l ≠ m

Dengan asumsi bahwa P dan Q dalam pembuktian RCP

S2 : l dan m mempunyai tepat sebuah titik yang digunakan bersama

Negasi dari persyaratan dari kejadian kesejajaran

S3 : Asumsikan l dan m mempunyai lebih dari satu titik yang dipakai bersama (

persekutuan)

Buktikan dengan kontradiksi

S4 : dari S1 dan S3 , l dan m mempunyai tepat dua titik A dan B yang dipaki

bersama

S5 : ada sebuah garis khas yang melalui titik A dan B

Aksioma 1-1

S6 : Jadi l = m (s4 dan S5)

S7 : kita memiliki sebuah kontradiksi Q dan ˜Q (S1 dan S6)

S8 : Jadai l dan m memiliki sebuah titik khas yang digunakan bersama

Hal lain dari S2

Sebuah pembuktian informal dari penjumlahan yang mengikuti beberapa garis

yang sama, tetapi lebih mudah dibaca

Buktikan :

Jika l dan m tidak sejajar dan l≠ m, mereka harus mempunyai tepat satu titik yang

digunakan bersama. Asumsikan bahwa mereka memiliki lebih dari satu titik yang

digunakan bersama, mereka memiliki tepat dua titik yang digunakan bersama. Aksioma

1-1 menyatakan bahwa dua titik menentukan sebuah garis khas, sehingga l = m

pernyataan ini bertentangan dengan hypothesis, jadi l dan m mempunyai sebuah titik khas

digunakan bersama.

Definisi : Dua garis atau lebih adalah sama sebangun jika mereka berpotongan pada satu

titik bersama/persekutuan.

Definilah : Dua titik atau lebih adalah segaris jika mereka berpengaruh dengan garis yang

Sama

Kita memiliki empat penyelesaian/hasil yang lain untuk di sebutkan :

Theorema 5.2 : untuk setiap garis terdapat tepat satu titik yang tidak insiden dengan garis

tersebut

Theorema 5.3 : untuk setiap titik terdapat tepat satu titik yang tidak insiden dengan titik

tersebut

Theorema 5.4 : untuk setiap titik terdapat tepat dua garis yang insiden dengan titik

tersebut

Theorema 5.5 : terdapat 3 garis nyata yang tidak konkuren

Untuk memperkenalkan anda pada konsep sebuah model geometri, mari kita lihat

contoh sederhana dari beberapa objek matematika yang memenuhi 3 aksioma insidensi,

berdasarkan pada penafsiran kita terhadap konsep-konsep yang tidak terdefisi.

Contoh :

Anggaplah sebuah himpunan U= {A,B,C } ,kita akan menganggap sebuah titik

sebagai sebuah himpunan bagian tunggal dari U, maka {A},{B} dan {C} adalah titik.

Kita akan menganggap sebuah garis sebagi himpunan bagian anggota ganda dari

himpunan U, garis-garis itu adalah : {A,B},{A,C}, dan {B,C}.kita akan menyetujui

bahwa sebuah titik berinsidensi dengan sebuah garis jika titik tersebut himpunan bagian

dari garis.

Sebelum kita lanjutkan sekarang kita harus menguji kebenarannya bahwa masing-

masing dari aksioma insidensi adalah valid dalam contoh khusus ini.

Aksioma 1-1 : Jika x dan y adalah sembarang titik dari geometri ini, kemudian P→Q

adalah garis khas yang mereka tentukan, untuk hanya 3 garis yang

memungkinkan.

Aksioma1-2 : Jika P→Q adalah sebuah garis sembarang dalam geometri, maka {X} dan

{Y} adalah dua titik yang insidensi dengannya.

Aksioma 1-3 : Tititk-titik {A},{B}, dan {C} dalah tiga buah titik nyata yang tidak

colinier (segaris)

Jadi ini adalah sebuah model geometri yang mempengaruhi aksioma-aksioma

insidensi. Geometri yang demikian disebut geometri insidensi. Itu adalah sejumlah cirri-

ciri yang ditunjukkan oleh geometri ini.

Contoh :

Anggaplah sebuah himpunan U= {A,B,C}. kita kan menganggap sebuah titik

sebagagai himpunan bagian ganda dari U. Titik-titik tersebut adalah {A,B},{A,C} dan

{B,C}, kita akan menafsirkan sebuah garis sebagai himpunan bagian tunggal dari U. jadi

{A},{B},dan {C}adalah garis-garis.kita sepakat bahwa sebuah titik adalah inseden

dengan sebuah garis jika titik tersebut berisi sebuah garis sebagai subset, sekarang kita

harus membuktikan kebenaran bahwa dalam contoh ini masing-masing aksioma insidensi

adalah valid.

Aksioma 1-1 : Jika x dan y adalah sembarang titik dari geometri ini, maka {X}I {Y}

adalah garis khas yang berisi mereka. Ada 3 titik yang mungkin dan

masing-masing harus berisi dua unsure dari U, sehingga irisannya dalam

himpunan U menjadi tidak kosong.

Aksioma 1-2 : Jika {X} adalah sembarang garis dalam geometri ini, maka P→Q dan

{X,Z} adalah dua titik nyata yang berinsidensi dengan garis tersebut.

Aksioma 1-3 : Tititk-titik {A,B},{A,C}, dan {B,C} . adalah tiga titik nyata yang tidak

segaris karena irisannya himpunan kosong. Maka ini juga disebut sebagai

geometri insidensi, ini kadang kala diacukan sebagai goemetri ganda

pada contoh terdahulu.

Catatan :

Karena tiga aksioma insidensi di tampilkan dengan-masing-masing diberi contoh,

kelima theorema itu harus juga digunakan , satu item lebih jauh untuk mencatat tentang

geometri-geometri ini, terdapatlah garis-garis yang tidak sejajar,diberikan sebuah garis

dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis dalam contoh ini.tidak ada garis yang

melalui titik-titik itu sejajar dengan garis yang diberikan . kita nyatakan bahwa dua model

ini menunjukkan cirri-ciri eliptik yang sejajar, cirri-ciri ini tidak terpisahkan dalam

aksioma insidensi, tetapi terpisah dalam contoh itu. Ada contoh-contoh lain dari goemetri

insidensi yang tidak menunjukkan cirri-ciri elliptic yang sejajar.

Ini berarti bahwa kita tidak dapat membuktik postulat kesejajaran Euclidean

berdasarkan hanya pada aksioma insidensi.kenyataan kita tidak dapat membuktikan

bahwa garis-garis sejajar, bahkan ada semata-mata pada aksioma insidensi, yang akan

dating kita tidak dapat membuktikan bahwa mereka tidak exist.

Contoh :

jika kita ambil U={A,B,C,D} dan kita ambil beberapa penafsiran yang sama

untuk titik dan garis seperti pada contoh 1, maka kita akan memiliki geometri insedensi

yang menunjukkan cirri-ciri kesejajaran Euclidean- kesejajaran yang khas.

Contoh :

Jika kita ambil U = { A,B,C,D,E} dan kita ambil beberapa penafsiran yang sama

untuk titik dan garis seperti pada contoh 1, maka kita akan memiliki geometri insedensi

yang menunjukkan cirri-ciri kesejajaran hyperbolic- kesejajaran ganda.

Definisi :

Kita mengetahui bahwa dua model geometri insidensi adalah isomorfhic jika

ada hubungan korespondensi satu-satu antara titik-titik dari model. P ↔ p ' , dan

garis garis dari model l ↔ l ' yang menghantarkan hubungan insedensi , yaitu

p ' insidensi dengan l ' jika dan hanya jika P insidensi dengan l.

Catatan :

kita tidak dapat memiliki sebuah model dengan cirri-ciri kesejajaran elliptic

yang isomorphic pada sebuah model dengan cirri-ciri hyperbolic atau kesejajaran

Euclidean, karena insidensi tidak akan disediakan.