IMPLEMENTAC¸AO˜ DE CONTROLADOR ROBUSTO PARA O … · system subject to failures using optimization techniques based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) formulated based on the

IMPLEMENTACAO DE CONTROLADOR ROBUSTO PARA O SISTEMA BALL

BALANCER SUJEITO A FALHAS ESTRUTURAIS

Rafael de Paula Camata∗, Edvaldo Assuncao∗, Emerson R. P. da Silva†, Marcelo C.

Minhoto Teixeira∗, Luiz Francisco S. Buzarecho‡, Uiliam Nelson L. T. Alves∗, Diogo R.

de Oliveira∗

∗Laboratorio de Pesquisa e Controle (LPC), Departamento de Engenharia Eletrica, UniversidadeEstadual Paulista - UNESP

Avenida Carlos Rossi, no 1370, 15.385-000, Ilha Solteira - SP, Brasil

†Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Cornelio Procopio, Avenida Alberto Carazzai, no 1640, 86300-000, Cornelio Procopio - PR,

Brasil

‡Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Apucarana, Rua Marcılio Dias, no 635, 86812-460, Apucarana - PR, Brasil

[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

Abstract— It is presented in this paper, the practical implementation of a robust controller for a dynamicsystem subject to failures using optimization techniques based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) formulatedbased on the theory of stability second Lyapunov. The addition of restriction of the decay rate was also carriedout in order to reduce the duration of the transient. Several techniques were used to compare the stability of apolytopic uncertain system, which is a structural failure of equipment, such techniques is optimizing the K norm,in order controllers with lower cost and better performance. Another method was applied Finsler’s lemma, whichconsiderably reduces the gains. This paper proposed implementing this type using the system Ball Balancer ofQuanserR© in which one can compare the theoretical and experimental results illustrating the efficiency of thedesign and its different methods.

Keywords— Robust Control, Structural Failures, Linear Matrix Inequalities (LMIs), Optimization of Stan-dard Controllers, Finsler’s Lemma, Decay Rate, Ball Balancer .

Resumo— Neste trabalho e apresentado a implementacao pratica de controladores robustos em um sistemadinamico sujeito a falhas no modelo. Utiliza-se tecnicas de otimizacao baseadas em Desigualdades MatriciaisLineares (LMIs - do Ingles Linear Matrix Inequalities) formuladas com base na teoria de estabilidade segundoLyapunov. Ainda, para o projeto, foi considerado o acrescimo da restricao da taxa de decaimento, de modo adiminuir o tempo de duracao do transitorio. Varias tecnicas foram utilizadas para comparar a estabilidade deum sistema politopico incerto, na qual representa uma falha estrutural do equipamento. Uma dessas tecnicas ea otimizacao da norma de K visando controladores com menores ganhos e melhor desempenho. Outro metodoaplicado foi o Lema de Finsler, na qual reduz os ganhos consideravelmente. Este trabalho propos realizar aimplementacao utilizando o sistema Ball Balancer da QuanserR© no qual pode-se comparar resultados teoricos eexperimentais ilustrando a eficiencia do projeto levando em conta os diferentes metodos.

Palavras-chave— Controle Robusto, Falhas Estruturais, Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs), Otimiza-cao da Norma de Controladores, Lema de Finsler, Taxa de Decaimento, Ball Balancer.

1 Introducao

O projeto de controladores via Desigualdades Ma-triciais Lineares, ou LMIs (do ingles Linear Matrix

Inequalities), e uma ferramenta de projeto impor-tante na area de controle e possui muitas aplica-coes em varias outras areas da engenharia. Exis-tem tambem outras tecnicas de projeto de con-troladores na literatura, como os encontrados emChen (1995). O projeto de controlador robustousando LMIs e muito interessante devido a suacaracterıstica de resolver problemas que ate entaonao possuıam solucoes conhecidas, utilizando paraisso tecnicas computacionais avancadas (Gahinetet al., 1994; Sturm, 1999).

Neste trabalho, foi realizado projetos de con-troladores robustos de sistemas sujeitos a incer-

tezas no modelo (um caso particular pode servisto como falha estrutural) com realimentacaodos estados (da Silva et al., 2009; Buzacheroet al., 2010; Buzachero et al., 2012; Neves, 2012).Nos ultimos anos o uso de LMIs tem crescidomuito, e com isso criou-se uma diversidade muitogrande para analise de estabilidade robusta desistemas lineares (Leite et al., 2004) e tambemdiversas tecnicas de controle robusto (Assuncaoet al., 2007; Pipeleers et al., 2009). O Lema deFinsler (Skelton et al., 1997) tem sido muito usadona teoria de controle para a analise de estabilidadepor LMIs (Leite et al., 2004), o mesmo apresentaresultados semelhantes aos das LMIs de estabili-dade quadratica, contudo ele utiliza novas matri-zes, levando a relaxacao na analise de estabilidade,atraves da obtencao de uma maior regiao de facti-

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

4099

bilidade. Sua maior vantagem esta na aplicacao desıntese de controladores de sistemas a partir da re-alimentacao dos estados, realimentacao de saıda,como tambem na realimentacao derivativa, entreoutras.

Este trabalho tem como objetivo demonstrarde maneira pratica a qualidade e utilidade de va-rios metodos para a obtencao de controladores,analisando a magnitude dos mesmos que muitasvezes e alta e acaba prejudicando sua implemen-tacao. Assim, torna-se necessaria a minimizacaodos ganhos do controlador, viabilizando sua im-plementacao (otimizacao da norma do ganho K).Contudo, somente este metodo nao foi suficiente,pois sabe-se que ao utilizar tal otimizacao o tempode estabilizacao do sistema pode ser maior que orequisitado nas especificacoes do projeto. Assim,tem-se a necessidade de restringir as LMIs limi-tando sua taxa de decaimento, formulada com ainsercao do parametro γ nas LMIs, de forma a vi-sar as vantagens e desvantagens de cada metodo,analisando seus resultados para cada caso.

As comparacoes serao realizadas a partir daimplementacao pratica de cada um dos sistemasde controle, sendo eles o controlador do fabricante,e aqueles com controle robusto, sendo com taxade decaimento, minimizacao da norma e Lema deFinsler.

2 Lei de Controle Para Realimentacao de

Estados

O controle em malha fechada sempre resulta emmelhores resultados do que o controle de malhaaberta, visto que diminui-se as variacoes a incer-tezas, por exemplo. Assim, considerando um sis-tema linear e invariante no tempo, tem-se a repre-sentacao no espaco de estados

x(t) = Ax(t) +Bu(t), (1)

sendo x(t) ∈ ℜn o vetor de estados, A ∈ ℜ

n×n amatriz de estados, B ∈ ℜ

n×m a matriz de entradado sistema, u(t) ∈ ℜ

m o vetor de entrada. Con-siderando que todos os estados estao disponıveispara realimentacao, o sistema pode ser tomadopela lei de controle (Chen, 1995)

u(t) = −Kx(t), (2)

sendo K ∈ ℜm×n uma matriz de ganhos cons-

tantes. A partir das equacoes anteriores, pode-seconsiderar o seguinte sistema realimentado

x(t) = (A−BK)x(t). (3)

2.1 Projeto para estabilidade segundo Lyapunovusando LMIs

A funcao de Lyapunov mais comum e a de formaquadratica, e e dada por

V (x) = xTPx =

n∑

i,j=1

pijxixj , (4)

P = PT> 0. (5)

A forma quadratica e positiva definida paratodo ℜ

n se P e positivo definido da matriz sime-trica, assim, sendo V (x) negativa definida e o sis-tema assintoticamente estavel obtem-se

ATP + PA < 0, (6)

se a equacao algebrica de Lyapunov (Chen, 1995)for satisfeita

ATP + PA = −Q, Q = Q

T> 0, (7)

sendo Q uma matriz positiva definida. Para queexista a estabilidade assintotica usando o teoremade estabilidade segundo Lyapunov as LMIs encon-tradas nas equacoes (5) e (6) devem ser satisfeitas.Desta maneira, em malha fechada, a equacao (6)pode ser dada por

(A−BK)TP + P (A−BK) < 0, (8)

ATP −K

TB

TP + PA− PBK < 0, (9)

a equacao (9) e uma Matriz de Desigualdade Bili-near (BMI - do ingles Bilinear Matrix Inequality),com algumas manipulacoes matematicas e possı-vel converte-la em uma LMI multiplicando P

−1

em ambos os lados

P−1[ATP−KTBTP+PA−PBK]P−1 <0,

P−1ATPP−1−P−1KTBTPP−1+P−1PAP−1

−P−1PBKP−1 <0,

P−1AT−P−1KTBT+AP−1−BKP−1 <0.

(10)

Definindo por fim que X = XT = P

−1 e M =KX = KP

−1, substituindo entao na equacao (10)

AX +XAT−BM −M

TB

T< 0, (11)

X > 0, (12)

considerando que as LMIs encontradas em (11)e (12) sejam factıveis uma possıvel matriz de re-alimentacao de estados pode ser encontrada em(13)(Boyd et al., 1994)

K = MX−1

. (13)

3 Controle Robusto para Sistemas com

Realimentacao de Estados

Tomando um sistema incerto dado por

x(t) = A(α)x(t) +B(α)u(t), (14)


4100

que pode ser descrito como uma combinacao con-vexa dos vertices dos politopos

.x(t) =

r∑

j=1

αjAjx(t) +

s∑

j=1

αjBju(t), (15)

αj > 0, j = 1, ..., r er

∑

j=1

αj = 1,

sendo r o numero de vertices dos politopos A e B.Tomando assim o sistema incerto dado em (15) junta-mente com a teoria de Lyapunov citada anteriormente(6), tem-se o seguinte lema (Boyd et al., 1994):

Lema 3.1. Uma condicao suficiente para garantir a

estabilidade do sistema incerto sujeito a uma taxa de

decaimento maior do que γ e a existencia de matrizes

X = XT ∈ ℜn×ne M ∈ ℜm×n

, de modo que

AjX +XAjT −BjM −MTBj

T + 2γX < 0 (16)

X > 0 (17)

com j = 1, ..., r. Desta forma, quando as LMIs (16) e

(17) forem factıveis, uma matriz de realimentacao de

estados que estabiliza o sistema pode ser tomada por

K = MX−1. (18)

Prova: Vide (Boyd et al., 1994).

Com esta analise feita pode-se realimentar o sis-tema incerto apresentado em (14), visto que (16) e (17)sao condicoes suficientes para a estabilidade assinto-tica do politopo. Nota-se que a falha pode acontecertanto no politopo A como em B com qualquer inten-sidade, desde que nao haja perda da controlabilidadedo sistema. Se para este tipo de falha a solucao dasLMIs for factıvel garante-se a estabilidade do sistema.

3.1 Otimizacao da norma da matriz K

A norma de uma matriz e uma quantidade escalarque indica a magnitude dos elementos da matriz. Emalguns casos a magnitude da matriz de realimenta-cao K deve ser limitada em valores realistas para queo controlador possa ser implementado eficientemente.Observa-se que grandes sinais de controle sao normal-mente indesejaveis e podem aumentar a complexidadee custo do controlador, desta maneira a otimizacao danorma de K de realimentacao de estados se faz neces-saria e a mesma pode ser especificada utilizando LMIscomo demonstrado em Assuncao et al. (2007).

Lema 3.2. Tomando uma constante µ0 > 0, um li-

mitante para a norma da matriz K ∈ ℜm×nde rea-

limentacao dos estados pode ser obtido encontrando o

valor mınimo de β, β > 0, tal que KKT <β

µ02Im.

Um valor otimo de β pode ser definido atraves da so-

lucao do seguinte problema de otimizacao:

min β

s.a

[

βIm M

MT In

]

> 0(19)

X > µ0In (20)

(LMIs (16) e (17)) (21)

sendo que Im e In sao identidades de ordem m e n.

Prova: Vide (Assuncao et al., 2007)

Com a minimizacao de β a magnitude dos elemen-tos de K sao decrescidos, com as outras LMIs pode-segarantir a estabilidade e uma taxa de decaimento es-pecıficas.

4 Lema de Finsler

Usado para expressar condicoes de estabilidade emtermos de desigualdades matriciais o Lema de Finslertem certas vantagens, quando trata-se de sistemas in-certos, sobre a teoria ja existente de Lyapunov (Boydet al., 1994), visto que ha a introducao de novas va-riaveis (µ,X ) em condicoes que envolvem apenas L, Be B⊥ (Oliveira, 2004).

Lema 4.1 (Finsler). Tomando w ∈ ℜnx , L ∈ ℜnx×nx

e B ∈ ℜmx×nx com rank(B) < nx e B⊥uma base para

o espaco nulo de B (isto e, BB⊥ = 0), as seguintes

condicoes sao equivalentes

1. wTLw < 0, ∀w 6= 0 : Bw = 0

2. B⊥TLB⊥ < 0

3. ∃µ ∈ ℜ : L − µBTB < 0

4. ∃X ∈ ℜnx×mx : L+ XB + BTX T < 0.

Prova: Vide (Skelton et al., 1997; de Oliveira andSkelton, 2001).

4.1 Estabilidade robusta de sistemas utilizando o

lema de Finsler

Considere o sistema realimentado encontrado naEquacao (3). Definindo entao (Buzachero et al., 2012)w = [ x.x ] , B = [ (A−BK) −I ] , B⊥ =

[

I(A−BK)

]

e

L =[

2γP PP 0

]

, nota-se que Bw = 0 equivale a (3) e

wTLw < 0 corresponde a restricao de estabilidadecom taxa de decaimento formulada a partir da funcaoquadratica de Lyapunov (Boyd et al., 1994). Destamaneira as dimensoes das variaveis do Lema 4.1 saodadas por: nx = 2n e mx = n.

Desta forma, e possıvel definir a estabilidade pormeio da funcao quadratica de Lyapunov (4), criandoassim novos graus de liberdade para a sıntese de con-troladores.

Pode-se concluir, a partir da prova existente doLema de Finsler, que, se as propriedades 1 e 2 saoverdadeiras, entao as propriedades 3 e 4 tambem se-rao. Desta maneira, pode-se reescrever a propriedade4 da seguinte maneira, como visto em Buzachero et al.(2012)

4. ∃X ∈ ℜ2n×n, P = P T > 0 tais que[

2γP PP 0

]

+ X [ (A−BK) −I ] +[

A−BKT

−I

]

X T < 0.

tomando convenientemente a matriz de variaveis X =[ ZaZ ], com Z ∈ ℜn×n nao simetrica e a uma constantede relaxacao com funcao de flexibilizar a matriz X naLMI, (Pipeleers et al., 2009). Tal constante pode serdefinida atraves de uma busca unidimensional. Uti-lizando a propriedade 4 e aplicando a transformacao

de congruencia[

Z−10

0 Z−1

]

a esquerda e[

Z−10

0 Z−1

]T

a direita, tem-se (Buzachero et al., 2012)[

z−10

0 z−1

] [

ZA+ATZT −ZBK−KT BT ZT+2γP

P+aZA−aZBK−ZT

P+aATZT −aKT BT ZT −Z

−aZ−aZT

] [

z−10

0 z−1

]T

< 0 ⇒


4101

[

AZ−T +Z−1AT−BKZ−T

−Z−1KT BT +2γZ−1PZ−T

Z−1PZ−T +aAZ−T−aBKZ−T

−Z−1

Z−1PZ−T+aZ−1AT −aZ−1KT BT −Z−T

−aZ−T −aZ−1

]

< 0 (22)

fazendo entao Y = Z−T ; M = KY e Q = Y TPY em(22), sao encontradas as seguintes LMIs

[

AY +Y T AT−BM−MT BT +2γQ Q+aY T AT

−aMT BT−Y

Q+aAY −aBM−Y T−aY −aY T

]

< 0,

(23)

Q > 0 (24)

sendo Y ∈ ℜn×n, Y 6= Y T , M ∈ ℜm×n e Q ∈ ℜn×n,como citado em Buzachero et al. (2012).

Ao utilizar o Lema de Finsler para analise de es-tabilidade robusta, tem-se como vantagem uma maiorflexibilidade na escolha da funcao de Lyapunov, defi-

nida agora como Q(α) =

r∑

j=1

αjQj ,

r∑

j=1

αj = 1, αj ≥ 0

e j = 1...r, ja que, agora, consegue-se definir uma fun-cao de Lyapunov Qj para cada vertice j do politopo,ainda, estas LMIs atendem as restricoes para a esta-bilidade assintotica do sistema descrito em (1) coma realimentacao de estados dada por (2). Com istoapresenta-se o seguinte lema

Lema 4.2. (Buzachero et al., 2012) Para se garan-

tir a estabilidade do sistema incerto definido por (15)sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a γ e con-

dicao suficiente a existencia de matrizes Y ∈ ℜn×n,

Qj = QjT ∈ ℜn×n

e G ∈ ℜm×n, tais que

[

AjY +Y T AjT −BjM−MT Bj

T+2γQj

Qj+aAjY −aBjM−Y T

Qj+aY T AjT−aMT Bj

T −Y

−aY−aY T

]

< 0 (25)

Qj > 0 (26)

com j = 1, ..., r.

Quando as LMIs (25) e (26) forem factıveis, exis-

tira uma matriz de realimentacao de estados que es-

tabiliza o sistema

K = MY −1. (27)

Prova: Ver em Buzachero et al. (2010).

5 Sistema Ball Balancer QuanserR©

Considere o sistema 2D Ball Balancer QuanserR© en-

contrado na Figura 1 no qual consiste em uma placaquadrada que esta acoplada a dois servomotores (umno eixo x e outro no eixo y) onde uma esfera pode sercolocada e movimenta-se com dois graus de liberdade(2 DOF). Sua posicao e medida por uma camera co-locada numa posicao superior a placa, o controle temcomo objetivo posicionar a esfera em um ponto de re-ferencia ou rastrear uma rota determinada.

Figura 1: Sistema Ball Balancer da QuanserR© per-

tencente ao LPC-FEIS-UNESP.

Para a modelagem matematica deste sistema e to-mado que cada eixo e independente do outro e vistoque ambos tem o mesmo funcionamento, pode-se en-tao representar apenas um mesmo modelo matematicocomo definido em Quanser Innovate Educate (2008)para ambos. Uma planta esquematica do eixo x eapresentado na Figura 2.

Eixo paraSuporte

Esfera

θl

Conjunto de

Engrenagens

do Motor

α

Plataforma Movel

Suporte

x L

h

r arm

Figura 2: Planta esquematica do movimento noeixo x do Ball Balancer (adaptado de (Alves,2014)).

O modelo matematico do sistema pode ser ob-tido ao se aplicar o diagrama de corpo livre na es-fera e assumir que o angulo θl(t) ficara proximo a0 (sen(θl(t)) ≈ θl(t)) com isso sabe-se que, com aobtencao da posicao da esfera, encontra-se sua rela-cao com o angulo θl(t) pela Equacao (28) visto em(Quanser, 2008).

x(t) = kbbθl(t), kbb =2mb rarm r2b g

L(mb r2b + Jb). (28)

As variaveis de estado do sistema sao dadas porx(t), x(t), θl(t) e θl(t) e em cada eixo do sistema Ball

Balancer e dado em espaco de estados pela Equa-cao (29):

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

=

0 1 0 00 0 kbb 00 0 0 1

0 0 0 −Beq

Jeq

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

+

000

Am

Jeq

u(t).

(29)

Os valores das constantes podem ser encontradosna Tabela 1.


4102

Tabela 1: Parametros do sistema Ball BalancerQuanser R© (Quanser Innovate Educate, 2008).

Descricao Valor

BeqAmortecimento referenteao motor

0,0844 Nms/rd

Jeq Inercia no motor 0,0021 kgm2

Am Ganho do motor 0,129 Nm/V

LComprimento da placamovel

0,275 m

rarm

Distancia entre eixo daengrenagem de saıda doservomotor e o ponto defixacao da barra

0,0254 m

rb Raio da bola 0,0196 m

mb Massa da bola 0,003 kg

6 Comparacao Entre as Diversas TecnicasUtilizadas

Neste trabalho o principal foco foi implementar algunsmetodos de controle estudados de maneira a encontraro melhor controlador para cada situacao. Visto que osistema pode seguir uma rota pre-determinada foi uti-lizado entao um quadrado de 10 cm de lado como re-ferencia para todas as implementacoes praticas. Tam-bem, em todas as implementacoes a falha foi inseridano sistema aos 30 segundos, e inserida no eixo x, ouseja, este eixo caracteriza a falha, no qual consta deuma perda de potencia no motor (ganho Am do motor,como definido em (29)). Esta falha foi implementadaartificialmente no software por um ganho no sinal decontrole com valor menor que um.

Nos primeiros testes realizados foi utilizado ocontrolador do fabricante (Quanser Innovate Edu-cate, 2008), que consiste de um controle em cascatautilizando um controlador proporcional e um PID parao controle da posicao da esfera. Verifica-se que o sis-tema ainda operou mesmo apos a ocorrencia de umafalha de 50%, isso pode ser verificado nas implemen-tacoes praticas vistas nas Figuras 3 e 4.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6

Coordenada do eixo x

x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 3: Movimentacao da esfera no eixo x com ocontrolador do fabricante. Referencia em vermelho.

Observa-se que houve um desequilıbrio no ins-tante de 30 segundos, entretanto o sistema ainda con-seguiu seguir o referencial.

Foi realizada a implementacao das LMIs com umataxa de decaimento fixa (16) com valor γ = 2, 5 eforam obtidos, para uma falha de 50%, as seguintes

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)

Antes da Falha Apos a Falha

Figura 4: Movimentacao da esfera nos eixos xy emimplementacao com o controlador do fabricante. Re-ferencia em vermelho.

implementacoes, definidas nas Figuras 5 e 6.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 5: Movimentacao da esfera no eixo x para 50%de falha e taxa de decaimento γ = 2, 5. Referencia emvermelho.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 6: Movimentacao da esfera nos eixos xy comtaxa de decaimento γ = 2, 5. Referencia em vermelho.

Com esta configuracao foi determinado,

K =[

−250, 3175 −154, 0843 −39, 7232 −1, 6920]

,

(30)

|K| = 296, 6170.

Foi entao testado a robustez do sistema, alcancandouma situacao crıtica de 90% de falha no motor, ouseja, mesmo com um ganho total de apenas 10% osistema manteve a estabilidade mesmo com a falhacrıtica, tal conclusao foi alcancada devido a variassimulacoes computacionais e implementacoes no Ball

Balancer , como pode-se verificar nas Figuras 7 e 8.Detecta-se que apos a falha o sistema continua

equilibrado, tendo um γ de 1, 7, demostrando a dimi-nuicao do tempo de resposta do sistema, alcancandoos ganhos

K =[

−321, 116 −278, 734 −140, 471 −4, 250]

, (31)


4103

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 7: Movimentacao da esfera no eixo x para90% de falha com taxa de decaimento. Referencia emvermelho.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 8: Movimentacao da esfera nos eixos xy emsimulacao com taxa de decaimento e 90% de falha.Referencia em vermelho.

|K| = 396, 6948

que sao considerados muito altos para o sistema Ball

Balancer , podendo ate mesmo, em um grande tempode uso, danifica-lo.

Com estas implicacoes faz-se necessaria a otimi-zacao de K de maneira que estes ganhos sejam dimi-nuıdos, otimizando a norma e a taxa de decaimento,entao, de acordo com (19), foram obtidos os seguin-tes resultados, definidos nas Figuras 9 e 10, para umafalha de 50%.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 9: Movimentacao da esfera no eixo x paracontrolador com otimizacao da norma |K| e 50% defalha no eixo x. Referencia em vermelho.

Observa-se que apos a falha, o tempo de duracaodo transitorio agora e maior que anteriormente, istoja era algo esperado (Assuncao et al., 2007), e com

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 10: Movimentacao da esfera nos eixos xy para50% de falha e otimizacao da norma K. Referencia emvermelho.

γ = 2, 5, obteve-se

K =[

−217, 2370 −169, 0542 −18, 1413 −5, 4403]

,

(32)

|K| = 237, 2673

uma norma consideravelmente pequena. Seguiu-se en-tao para a implementacao do controlador com umafalha de 90% e γ = 1, 7 , encontrando

K =[

−240, 4546 −158, 1720 −79, 9202 −2, 2909]

,

(33)

|K| = 294, 6891

mesmo com uma norma superior a taxa de decaimentofoi diminuıda, isto acontece pois trabalha-se com umafalha maior que a anterior, levando a diminuicao davelocidade de reacao do sistema, como pode ser vistonas Figuras 11 e 12.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 11: Movimentacao da esfera no eixo x paracontrolador com otimizacao da norma |K| e 90% defalha. Referencia em vermelho.

Por fim, foram realizadas as implementacoes deacordo com o Lema de Finsler, com resultados aindamelhores que os obtidos ate o momento, para 50% defalha na potencia enviada ao motor do eixo x, tem-se, como encontrado nas Figuras 13 e 14, a seguinteimplementacao.

Tal sistema foi implementado com γ = 3, 9 e

K =[

−237, 3561 −105, 0122 −21, 9164 −0, 4659]

,

(34)

|K| = 260, 4727.


4104

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 12: Movimentacao da esfera nos eixos xy para90% de falha com otimizacao da norma. Referencia emvermelho.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 13: Movimentacao da esfera no eixo x. Refe-rencia em vermelho.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 14: Movimentacao da esfera nos eixos xy nocaso Finsler. Referencia em vermelho.

Sendo assim pode-se obter um controlador comuma taxa de decaimento elevada e uma norma satisfa-toria para o sistema Ball Balancer , ou seja, caso essataxa se mantivesse a mesma a norma seria muito me-nor alcancando valores onde o sistema Ball Balancer

nao funcionaria corretamente, com isso pode-se ave-riguar que a otimizacao e muito grande utilizando oLema de Finsler, pois os ganhos sao alcancados comum γ maior, diminuindo a duracao do transitorio dosistema. Sao esperados resultados ainda melhores queos obtidos ate agora para todos os testes realizadoscom 90% de falha na potencia do motor no eixo x.Foram obtidos assim, para uma falha de 90%, um γde 2,1, superior aos obtidos anteriormente e ainda

K =[

−234, 6929 −165, 4040 −52, 1494 −1, 1697]

,

(35)

|K| = 291, 8221.

Nas Figuras 15 e 16 encontra-se os resultados para asimplementacoes praticas do controle em questao.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

−6

−4

−2

0

2

4

6


x(cm)

t (seg)

Falha →

Figura 15: Movimentacao da esfera no eixo x com90% de falha e γ = 2, 1. Referencia em vermelho.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

x (cm)x (cm)

y(cm)

y(cm)


Figura 16: Movimentacao da esfera nos eixos xy nocaso Finsler e 90% de falha e γ = 2, 1. Referencia emvermelho.

Tabela 2: Comparacoes para as Normas e Taxasde Decaimento para cada um dos controladoresimplementados no Ball Balancer Quanser R© com90% de falha no ganho do motor do eixo x.

Norma |K| γ

Taxa de Decaimento396,6948

1,7

Otimizacao da Norma137,2673

1,7

Lema de Finsler291,8221

2,1

Analisando a Tabela 2 pode-se concluir que ocorreuma eficiente otimizacao da norma com o mesmo va-lor de γ e por fim o Lema de Finsler acarreta nummaior valor para a taxa de decaimento sem danificaro sistema.

Cabe observar que se o valor da taxa de decai-mento continuasse em 1,7 quando utilizado o Lema deFinsler o valor de sua norma seria dado por 128, 5806.

7 Conclusoes

Os metodos de projeto analisados mostraram-se sa-tisfatorios, contudo o metodo utilizando o Lema de


4105

Finsler mostrou melhores resultados quando compa-rado com os demais. Implementaram-se os controla-dores projetados tanto com 50% de falha como 90%, oprimeiro caso para comparar com o projeto do fabri-cante, os resultados mostraram que houve maior ro-bustez para o projeto estudado, onde foi alcancado ate90% de perda no ganho do motor, e tambem melho-res resultados quando comparados com a mesma falhadeterminada no projeto do fabricante (50%). Tomou-se um γ constante de forma a comparar a norma Kentre os metodos utilizados, com isso pode-se verificarque, com o Lema de Finsler foi possıvel aumentar essataxa de decaimento levando entao a uma diminuicaono tempo de duracao do transitorio otimizando aindamais o controle do sistema Ball Balancer .

Na analise de todas as tecnicas pode se verificarque ha um aumento significativo na robustez do sis-tema assim como uma melhor resposta do controlador,deve se considerar tambem que as LMIs utilizadas fo-ram menos conservadoras do que as classicas, e cadauma das implementacoes provaram a eficiencia do usodessas LMIs.

Agradecimentos

Todos autores sao gratos a Coordenacao de Aperfeico-amento de Pessoal de Nıvel Superior (CAPES), peloapoio financeiro, a Fundacao de Amparo a Pesquisado Estado de Sao Paulo (FAPESP), processo numero2011/17610-0, pela aquisicao do sistema Ball Balancer

QuanserR© , e tambem ao CNPq pela bolsa de iniciacao

cientıfica.

Referencias

Assuncao, E., Teixeira, M., Faria, F., Silva, N. D.and Cardim, R. (2007). Robust state-derivativefeedback lmi-based designs for multivariable li-near systems, International Journal of Control

80(8): 1260–1270.

Boyd, S. P., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrish-nan, V. (1994). Linear matrix inequalities in sys-

tem and control theory, Vol. 15, SIAM.

Buzachero, L. F. S., Assuncao, E., Teixeira, M. C. M.and da Silva, E. R. P. (2012). New techniquesfor optimizing the norm of robust controllers ofpolytopic uncertain linear systems, Frontiers in

Advanced Control Systems, InTech, pp. 75–100.

Buzachero, L. F. S., Assuncao, E., Teixeira, M., Faria,F. and da Silva, E. (2010). Otimizacao de contro-ladores robustos de sistemas dinamicos sujeitos afalhas estruturais, Anais, CBA (XVIII Congresso

Brasileiro de Automatica) pp. 4068–4075.

Chen, C.-T. (1995). Linear system theory and design,Oxford University Press, Inc.

da Silva, E. R. P., Teixeira, M., Assuncao, E. andFaria, F. (2009). Controle robusto de sistemasnao-lineares sujeitos a falhas estruturais, Proce-edings of the 8th Brazilian Conference on Dyna-

mics, Control and Applications.

de Oliveira, M. C. and Skelton, R. E. (2001). Stabilitytests for constrained linear systems, in l. n., Con-trol and I. Sciences (eds), Perspectives in robust

control pp. 241–257.

Gahinet, P., Nemirovskii, A., Laub, A. J. and Chi-lali, M. (1994). The lmi control toolbox, IEEEConference on Decision and Control, Vol. 2, INS-TITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS INC(IEE), pp. 2038–2038.

Leite, V. J., Montagner, V. F., Oliveira, P. J. d.,Oliveira, R. C., Ramos, D. C. and Peres, P. L.(2004). Estabilidade robusta de sistemas linea-res atraves de desigualdades matriciais lineares,Sba: Controle & Automacao Sociedade Brasileira

de Automatica 15(1): 24–40.

Neves, G. C. (2012). Controle automatico de um sis-

tema bola e viga, Graduacao, Unesp - Universi-dade Estadual Paulista.

Oliveira, M. C. d. (2004). Novos testes de estabi-lidade para sistemas lineares, Sba: Controle &

Automacao Sociedade Brasileira de Automatica

15(1): 17–23.

Pipeleers, G., Demeulenaere, B., Swevers, J. and Van-denberghe, L. (2009). Extended lmi characteriza-tions for stability and performance of linear sys-tems, Systems & Control Letters 58(7): 510–518.

Quanser (2008). 2D Ball Balancer Control using

QUARC: Instructor Manual.

Quanser Innovate Educate (2008). Rotary control

challenge: Product Information Sheet.URL: http://www.quanser.com/Products/

Docs/1823/Quanser\_Rotary\_Control\_Lab\

_Brochure.pdf

Skelton, R. E., Iwasaki, T. and Grigoriadis, D. E.(1997). A unified algebraic approach to control

design, CRC Press.

Sturm, J. F. (1999). Using sedumi 1.02, a matlabtoolbox for optimization over symmetric cones,Optimization methods and software 11(1-4): 625–653.


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IMPLEMENTAC¸AO˜ DE CONTROLADOR ROBUSTO PARA O … · system subject to failures using optimization techniques based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) formulated based on the