Abstract— The main objective of this paper is to evaluate the technical aspects of the different controllers (PID, MPC and Neural) for the performance of an aircraft's behavior in relation to the longitudinal equations investigated. For this purpose, the behavior of these controllers was developed in a simulator to compare the performance of each one and to be able to decide which is the most advisable according to reference values. The development strategy is to conduct research to determine the various factors such as equations that will help us determine the correct analysis.

Keywords— Aircraft, Controllers, Benchmark, Simulation.

I. INTRODUCCIÓN

n el transcurso del tiempo los seres humanos han tenido la necesidad de trasladarse en forma eficiente; para ello,

desde un comienzo se han utilizado métodos de transporte terrestre pero a medida que el hombre ha ido generando cambios tecnológicos estos medios han ido quedando obsoletos, es así como nace en el transporte aéreo permitiendo la conexión entre las largas distancias. Sin embargo, esto conlleva la necesidad de diseñar sistemas de control que les permitan a las aeronaves tener un buen desempeño de desplazamiento incluyendo eficientes sistemas de estabilidad y seguridad de vuelo.

Durante la segunda mitad del siglo XIX el perfeccionamiento de los sistemas de control se concentró en el rumbo y estabilización de barcos. En 1874, por medio de un giroscopio para captar el movimiento de un barco, Henry Bessemer aplicó potencia generada por el sistema hidráulico del barco para mover el salón comedor del barco y mantenerlo estable. Se hicieron otros esfuerzos para estabilizar plataformas para los cañones, así como para estabilizar barcos enteros por medio de péndulos para captar el movimiento de las aguas. Sin embargo, no fue hasta los principios del siglo XX que se construyó un mecanismo de vuelo automático, que para demostrar su eficacia fue instalado en su hidroavión Curtiss y Lawrence realizó un vuelo con los brazos levantados mientras su compañero se mantenía en equilibrio sobre el ala del mismo. Los últimos sistemas automáticos de pilotaje han alcanzado tal perfección que los aviones podrían volar casi sin piloto humano, puesto que las computadoras han sido ampliamente utilizadas en los mismos.

C. Urrea, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Santiago

de Chile (USACH), Santiago, Chile, claudio.urrea@usach.cl D. Venegas, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de

Santiago de Chile, Santiago, Chile, daniel_venegas@me.com

A partir del siglo XX se introdujeron métodos convencionales de diseño de control, basados en el Diseño Asistido por Computadora (CAD), gracias a lo cual se han desarrollado modelos matemáticos de sistemas físicos que representan el comportamiento dinámico de las aeronaves cuyos controladores se implementan a través de hardware y/o software.

El desarrollo de métodos de control óptimo y el estado de espacio de análisis de los años 1950 y 1960, seguido por los avances en los métodos de control robusto y adaptivo, desde finales de 1960 hasta hoy, han hecho posible controlar con mayor precisión un número significativamente mayor de variables presentes en los sistemas dinámicos complejos, en comparación con los reguladores originales, asegurando mejoras en la estabilidad de una aeronave [1].

II. AERODINÁMICA DEL AVIÓN Y DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA EN ESTUDIO

La aerodinámica es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los gases en movimiento y las fuerzas, como la reacción, a las que están sometidos los cuerpos.

El ámbito de la aerodinámica corresponde al movimiento de un avión a través del aire, además, la presencia de un objeto en un fluido gaseoso modifica la repartición de presiones y velocidades de las partículas del fluido, originando fuerzas de sustentación y resistencia. La modificación de los valores (presión o velocidad) modifica automáticamente en forma opuesta el otro valor, como se esquematiza en la figura 1 [2], [3], [4], [5].

Figura 1. Equilíbrio de fuerzas de una aeronave.

Los sistemas de control son parte importante de la sociedad moderna y sus numerosas aplicaciones están alrededor de nosotros. Es importante recordar que en la naturaleza también existen sistemas controlados automáticamente.

Un sistema de control está formado por subsistemas y procesos interrelacionados con el propósito de controlar sus salidas, en su forma más sencilla un sistema de control

C. Urrea, Member, IEEE, and D. Venegas

Design and Development of Control Systems for an Aircraft. Comparison of Performances

through Computational Simulations

E

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produce una salida o respuesta para una entrada, como se esquematiza en la figura 2.

Figura 2. Descripción simplificada de un sistema de control.

Las características de vuelo una aeronave, incluyendo perturbaciones, pueden ser representadas por medio de ecuaciones diferenciales. Además, éstas permiten describir tanto la estabilidad estática como dinámica, los efectos de aeroelasticidad, los disturbios atmosféricos y los sistemas de control de la aeronave [6], [7]. El número de ecuaciones necesarias, acopladas y no lineales, para representar tales características de vuelo es seis. Sin embargo, bajo ciertas hipótesis, éstas pueden desacoplarse y linealizarse en tres ecuaciones longitudinales y tres laterales. En este trabajo se considera el uso de ecuaciones que representan el comportamiento longitudinal de una aeronave, pero no se realizará un estudio del comportamiento lateral. Por lo tanto, la variable de entrada es el ángulo de cola relacionado directamente con el ángulo de ataque de la aeronave.

Se emplean ecuaciones aerodinámicas que permiten hacer un análisis de la estabilidad longitudinal de la aeronave [8], [9]. C!µ + τµ + !

! C!! + C! α +!!! θ = 0 (1)

C!µ + !!!! α + τα − τθ = 0 (2)

C!!µ + C!!α + C!!!τα + C!!!τθ − hτ!θ = −C!!δ − C!!!τδ (3)

Ya que la variación de la velocidad µ , con respecto a las demás variaciones (α y θ), y despreciando el valor de C!!! (generalmente pequeño), las ecuaciones de movimiento longitudinal se reducen a:

!! C!!α + τα − τθ = 0 (4) C!!α + C!!!τα + C!!!τθ − hτ!θ = −C!!δ (5)

donde: ∝ : Ángulo de ataque. θ ∶ Ángulo de inclinación o cabeceo. δ ∶ Ángulo de deflexión del elevación. C! ∶ Coeficiente de sustentación. C!∝ ∶ Pendiente del coeficiente de resistencia. C!∝ ∶ Pendiente del coeficiente de sustentación. C!∝ ∶ Momento de cabeceo por ángulo de ataque. C!!∝ ∶ Momento de cabeceo por velocidad de cambio de ángulo de ataque. C!!! ∶ Amortiguamiento de cabeceo. C!! ∶ Potencia del elevador. C!!! ∶ Momento de cabeceo por cambio en la velocidad del elevador.

h = 2κ!!µc! ∶ Constante del avión que expresa una relación de inercia.

τ = mpSV ∶ Constante de tiempo para la condición de equilibrio del avión.

En la simulación y el análisis del comportamiento

longitudinal de la aeronave se emplearán parámetros de un avión comercial, i.e. un avión Boeing 747-400 en vuelo crucero a Mach=0,65 y 20.000 pies de altura. Los siguientes

parámetros permitirán representar de la manera más fielmente posible el comportamiento de un avión real [10].

! = 205,13 !! ! = 0,653 !"!! ! = 288.773,23 !" ! = 510,97 !! ! = 8,32 ! !! = 44,88×10! !"×!! ! = 104,07 !! = 12,47!

! = 0,0431 ! = 4,22 ! !! = 0,4 !!! = 0,2 !!! = 4,4 !!! = −1 !!!" = −0,017 !!!" = −0,085 !!! = −1,3 !!!" = −0,005

A través de la figura 3 se puede apreciar el detalle de

bloque final que representan las ecuaciones longitudinales de la aeronave. Estos bloques en conjunto forman la planta del sistema de control para cada uno de los controladores que se utilizan en las simulaciones computacionales empleando el software MATLAB [11].

Figura 3. Diagrama bloques de las ecuaciones longitudinales.

III. DESARROLLO Y ALCANCES Desde el punto de vista de la teoría de control, las aeronaves

son sistemas multivariables, no lineales y sujetos a restricciones con una dinámica rápida. De esta forma, cada avión posee una zona de operación llamada envolvente de vuelo que depende de muchos parámetros, tales como: empleo de flaps o variación del ángulo del ala, combustible, carga, condiciones meteorológicas, etc. El rango de operación para una configuración dada puede expresarse mediante diferentes variables, siendo las más comunes la velocidad y el factor de carga. Sin embargo, es más representativo emplear velocidad y la altura.

En el diseño de controladores, las limitaciones en su salida son muy importantes ya que permiten acotar el comportamiento de la aeronave dentro de unos límites deseables o incluso de seguridad para garantizar que dicha aeronave se mueva dentro de la región de validez de la linealización.

En el mercado mundial los controladores empleados presentan la siguiente distribución: un 30% utiliza controladores PID, un poco menos del 40% utiliza controladores MPC y sólo el 10% emplea la teoría de control moderna (fuzzy, inteligencia artificial, redes neuronales, etc.), siendo este último porcentaje el que está en continuo crecimiento; el porcentaje restante no presenta instalación de ningún tipo de controladores [12].

La industria aeronáutica ya ha validado el empleo de controladores que han dado excelentes resultados en el mundo

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de las aeronaves; éstos son el control PID, el control predictivo y, recientemente se están incluyendo las nuevas tecnologías de procesamiento de datos gracias a lo cual la inteligencia artificial y las redes neuronales están siendo más y más empleadas [13].

Por medio de la figura 4 se presentan las tendencias de los distintos controladores existentes en el mercado en función de las expectativas versus las posibilidades técnicas. Por lo tanto, a partir de esta información y en base a sus altas expectativas y posibilidades técnicas de implementación, en este trabajo se considera el uso de los siguientes controladores: PID, MPC y redes neuronales.

Figura 4. Posibilidades técnicas y expectativas de las técnicas de control.

Tras definir los controladores a emplear, y a partir de las ecuaciones longitudinales de la aeronave, se diseñan e implementan simulaciones computacionales para conocer el desempeño aerodinámico, considerando que el nivel de sobrepaso debe restringirse al máximo.

A. Controlador PID A la entrada de la planta G(s), presentada por medio de la

figura 3, se le conecta con la salida de un controlador PID y se realimenta, como se presenta por medio la figura 5.

Figura 5. Controlador PID y planta.

Cabe señalar que G(s) es el subsistema que contiene las ecuaciones longitudinales de la aeronave [14], [15].

Al emplear un valor de referencia de 0,2 radianes se obtiene

la respuesta graficada por medio de la figura 6.

Figura 6. Señal de salida con controlador PID.

B. Controlador MPC A partir de las librerías de simulink se diseña un MPC tal

como se presenta en la figura 7.

Figura 7. Controlador MPC y Planta.

Una vez definidos los respectivos parámetros del MPC se procede a sintonizar dicho controlador, cuyo rango de operación definido es: [-0,2 +0,2]; esto, con el propósito de realizar posteriores comparaciones de desempeño con respecto al controlador PID.

Al emplear un valor de referencia de 0,2 radianes se obtiene la respuesta graficada por medio de la figura 8.

Figura 8. Señal de salida con el controlador MPC.

C. Controlador Neuronal A continuación, se presenta el diseño de un controlador

neuronal a partir del bloque llamado “NN Predictive Controller” que corresponde a la neurona más básica de las que posee simulink como se presenta en la figura 9 [16], [17].

Figura 9. Controlador “NN Predictive controller”.

URREA AND VENEGAS : DESIGN AND DEVELOPMENT OF CONTROL SYSTEMS 737

Inicialmente se interconecta el subsistema donde se encuentran las ecuaciones longitudinales con el controlador neural predictivo. Adicionalmente, en la entrada del controlador se inserta una señal escalón como se esquematiza en la figura 10.

Figura 10. Controlador neuronal predictivo con Planta.

La configuración del controlador neuronal se realiza ingresando los parámetros presentados por medio de la figura 11, los que corresponden al control horizontal y al costo horizonte.

Figura 11. Controlador neuronal predictivo con Planta.

A continuación, se presenta la identificación de la planta mostrada en la figura 12, que incluye: la cantidad de neuronas, la cantidad de muestras de aprendizaje, los valores de entrada de la planta, el modelo de planta a entrenar y los valores de salida; con ello, el controlador neuronal dará comienzo al aprendizaje.

Figura 12. Identificación de la Planta.

Al emplear un valor de referencia de 0.2 radianes se obtiene la respuesta graficada por medio de la figura 13.

Figura 13. Señal de salida con el controlador Neural.

IV. ÍNDICES DE DESEMPEÑO Los índices de desempeño se definen como un valor para

determinar la calidad de la respuesta de un sistema ante una entrada y realizar la comparación de distintos controladores a partir de los errores (respuestas) que existe entre ellos. DE entre estos índices destacan los criterios integrales, los cuales han sido comúnmente utilizados para optimizar controladores.

A continuación, se presentan los índices de desempeño [18] con los cuales se realizará el análisis y comparación de las respuestas entregadas por los tres contralores diseñados, i.e. PID, MPC, controlador neuronal:

• Integral del error absoluto IAE.

IAE = e(t)!

! dt (6)

• Integral del error cuadrático ISE.

ISE = e(t)!!! dt (7)

• Integral del tiempo por el error absoluto ITAE.

ITAE = t e(t)!

! dt (8)

• Integral del tiempo por el error cuadrático ITSE. ITSE = t ∙ e(t)!!

! dt (9)

• Integral del tiempo al cuadrado por el error absoluto ISTAE.

!"#$% = !! ∙ !(!)!

! !" (10)

• Integral del tiempo al cuadrado por el error cuadrático ISTSE.

!"#"$ = !! ∙ !(!)!!

! !" (11)

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V. RESPUESTA GRÁFICA DE LOS CONTROLADORES La cuantificación de los índices de desempeño de los

controladores diseñados requiere el estudio previo de los factores que puedan afectar o beneficiar la planta en relación al ángulo de ataque en la inclinación de un avión. Para ello, se consideran los siguientes factores con el propósito de identificar cuál de los tres controladores ofrece un mejor desempeño dinámico a la aeronave.

• Rapidez de respuesta. • Reducción o eliminación del efecto de las

perturbaciones. • Insensibilidad a errores del modelo así como las

mediciones. • Reducción de la excesiva acción del controlador. • Condiciones operativas.

Para tener una mejor visualización del desempeño de los

tres controladores éstos se simulan en forma paralela (por medio de simulink), como se presenta en la figura 14. En la entrada se ingresa una señal de escalón de 0,2 radianes y se observa el comportamiento en un periodo de tiempo idéntico en cada uno de ellos.

Figura 14. Diagrama bloques de los controladores: PID, MPC y neuronal.

Una vez configurados los respectivos parámetros (en cada uno de los controladores) se ejecuta la simulación para ver el comportamiento de cada uno de ellos en función del tiempo y del valor de referencia. Por medio de la figura 15 se presenta la respuesta en función del tiempo de cada uno de los controladores.

Figura 15. Respuesta de los controladores: PID, MPC y neuronal.

En el gráfico se observa claramente que los controladores MPC y neuronal cumplen con lo solicitado respecto a la velocidad y el tiempo de diez segundos en llegar al valor de referencia. A continuación, se determinará el error (diferencia entre el valor de referencia y el valor de salida) generado a partir del empleo de cada uno de los controladores. Para ello, por medio de MATLAB, se determina cuál es este error quedando de manifiesto que el MPC es el que ofrece un valor más pequeño de error, como se muestra en la figura 16. Gráficamente, por medio de la figura 17 se presenta el comportamiento de cada uno de los controladores, de acuerdo a los índices de desempeño, quedando de manifiesto que el controlador que ofrece un mejor desempeño es el MPC seguido del neuronal y quedando en último lugar el PID. En la tabla 1 se presentan numéricamente esto resultados.

Figura 16. Error de controladores, PID, MPC, Neural.

Figura 17. Gráfico de índices de desempeño de los controladores.

TABLA 1 RESULTADOS DE ÍNDICES DE DESEMPEÑO.

VI. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS Con el propósito de obtener una mayor precisión en los resultados entregados por los controladores, mediante el

URREA AND VENEGAS : DESIGN AND DEVELOPMENT OF CONTROL SYSTEMS 739

software de simulación MATLAB, se realizaron simulaciones computacionales con un gran número de iteraciones concluyendo que no existe mayor diferencia en el resultado final ya que nuevamente el controlador que entregó mejores resultados fue el MPC.

VII. CONCLUSIONES En este trabajo se presentó un estudio del comportamiento de las distintas fuerzas que afectan el movimiento longitudinal del avión y para ello se realizó una investigación de la aerodinámica de un avión a partir de parámetros validados en documentación científica literatura que sustenta en forma detallada y fidedigna las distintas ecuaciones, así como sus descripciones para el desarrollo de éstas.

A través de la investigación realizada se seleccionan las ecuaciones mínimas necesarias para representar el desempeño longitudinal de la aeronave, las que en su conjunto constituyen la planta cuya entrada es conectada con las señales de salida de los controladores diseñados y simulados.

Se trabajó con herramientas de simulación ofrecidas por el software MATLAB simulink.

Como resultado final de las simulaciones realizadas, el controlador MPC es el que ofrece el mejor comportamiento de los tres controladores implementados, lo que es ratificado por medio del cálculo, análisis y comparación de los de los índices de desempeño de dichos controladores.

AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha contado con el apoyo del Proyecto

Fortalecimiento USACh USA1799_UC123012 y la Vicerrectoría de Investigación, Desarrollo e Innovación de la Universidad de Santiago de Chile, Chile.

REFERENCIAS [1] P. Castillo, R. Lozano, and A. Dzul. “Stabilization of a mini rotorcraft

with four rotors", IEEE Control Systems Magazine, vol. 25, pp. 45-50, Dec. 2005.

[2] http://www.asifunciona.com/aviacion/af_avion/af_avion2.htm [3] Hamel T. Mahoney r. Lozano r. Et Ostrowski j. “Dynamic modelling

and configuration stabilization for an X4-flyer”, In the 15éme IFAC world congress’, Barcelona, Spain. 2002.

[4] Katsuhiko Ogata., “Ingeniería de control moderna.”, 4ta ed., Prentice Hall, pp 567-641, Madrid España 2010.

[5] Donald McLean. “Automatic Flight Control Systems”, Helmel Hempstead: Prentice Hall International, 1990, pp. 63-98, 1990. ISBN 0-13- 054008-0.

[6] Anibal Isidorp Carmona S.A. Ediciones Parajinfo, 2001 “Aerodinámica y actuaciones del avión” ISBN 9788428326407

[7] http://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/20080022957_2008021658.pdf

[8] Courtland D. Perkins and Robert E. Hage. “Airplane Performance Stability and Control”, Princeton, N. J., September 1949, pp. 374-414. ISBN-10: 047168046X, ISBN-13: 978-0471680468

[9] Jan Roskam. “Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls”, Pt. II, Lawrence, Kansas: DARcorporation, pp. 183-301. 1998. ISBN-10:1884885179

[10] Jan Roskam. “Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls”, Pt. I, Lawrence, Kansas: DARcorporation, pp. 543-549. 1998. ISBN-10:1884885179

[11] MathWorks. “MATLAB and Simulink Student Suite R2016b”. Disponible en: http://www.mathworks.com

[12] János Abonyi. “Fuzzy Model Identification for Control”, 8201 Veszprém, Hungary, pp. 16-19. ISBN 978-1-4612-6579-5.

[13] Bandu N. Pamadi. “Performance, Stability, Dynamics, and Control of Airplanes”, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, pp. 452-623. ISBN 1-56347-222-8

[14] http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1/Apuntes/PID.pdf

[15] Karl J. Åström Tore Hägglund. “Control PID avanzado”, 1era Edición, Editorial Prentice Hall. ISBN 978-84-8322-511-0.

[16] http://eventos.saber.ula.ve/eventos/getFile.py/access?contribId=205&sessionId=81&resId=0&materialId=paper&confId=47

[17] Cui X. y K. G. Shin. “Direct Control and Coordination Using Neural Networks”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Vol. 23, No.3, pp. 686-697, 1993.

[18] http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/18674-learning-pid-tuning-iii--performance-index optimization/content/html/optimalpidtuning.html

Claudio Urrea was born in Santiago, Chile. He received the M.Sc. Eng. and the Dr. degrees from Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile in 1999, and 2003, respectively; and the Ph.D. degree from Institut National Polytechnique de Grenoble, France in 2003. Ph.D. Urrea is currently Professor at the Department of Electrical Engineering, Universidad de Santiago de Chile, from 1998.

He has developed and implemented a Robotics Laboratory, where intelligent robotic systems are development and investigated. He is currently Director of the Doctorate in Engineering Sciences, Major in Automation, at the Universidad de Santiago de Chile.

Daniel Venegas was born in Santiago, Chile. He holds a Master's degree in Telecommunications from Universidad de Santiago de Chile, Santiago, Chile in 2014. Currently, he studies a Ph.D. in Engineering Sciences at Universidad de Santiago de Chile.

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