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®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional
I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos
2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
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Góó m
ez,
07/0
8m
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07/0
8Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de Gauss
r(q1,q2,q3)
X
Z
YO
P
=Σi Ai (q1,q2,q3) uiDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorial
A=A(r) continuo y derivable (en general)
definición intrínseca: “divA(P)” es flujo de A por unidad de volumen en torno a P
expresión en coordenadas ortogonales:
Teorema de GaussTeorema de Gauss“el flujo de A(r) a través de ∂τ es igual a la integral de div A(r) en el volumen τ”
0( )
1div ( )= limP
dP ddτ
ττ τΔ →∂ ΔΔ
Φ= ∈⋅∫A A S
31 2 3
11 2 3
1 div ( ) ii i i
h h h Ah h h q h=
⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
∑A r = A∇ ⋅
( )( ) d dτ τ
τ∂
⋅ =∫ ∫A r S A∇ ⋅
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Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad ρm constante), se muevesegún una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese la masa de fluido que atraviesa la superficie Σ por unidad de tiempo.
InterpretaciInterpretacióón fn fíísica de flujo: caso particularsica de flujo: caso particular
( )dm ddt ΣΣ
Σ
= ⋅ = Φ∫ rA S
Solución:es igual al flujo del campo vec-torial A(r)=ρ mv(r) a través de la superficie Σ.
flujo neto en el sentido de dS:(dm/dt)Σ > 0
flujo neto contrario a dS:(dm/dt)Σ < 0
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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial“perturbaciones escalares” que actúan como
causas del campo vectorial• las líneas de campo divergen o convergen en los
puntos donde existen fuentes escalaresdiv A(r)=∇·A(r) proporciona la distribución
de las fuentes escalares de A(r)Caso a) ausencia de fuentes escalares
agua fluyendo en torno a un punto P• densidad de masa constante: ρm=1 gr/cm3
en Δτ entra y sale la misma cantidad de agua
(( )( )
)dmddt ττ
τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ
ΔΦ = ⋅ =∫ A S 0= div ( )= 0P
dPdτΦ
=A
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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Caso b) presencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto F donde hay un reactor que actúa como “manantial”
• H2+O2 → H2O (líquida)
las líneas de A(r) divergen desde F
en Δτ sale más agua que entra (ρm cte.):
“div A(F) > 0” indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas
0> div ( )= 0F
dFdτΦ
>A(
( )( ))
dmddt ττ
τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ
ΔΦ = ⋅ =∫ A S
HH22 OO22
ddSS
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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)
Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial
Caso c) presencia de fuentes “negativas”agua fluyendo en torno a un punto S donde hay un “sumidero”:
• H2O (líquida) → H2+O2
las líneas de A(r) convergen en S
en Δτ entra más agua que sale (ρm cte.) :
“div A(F) < 0” indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas
0< div ( )= 0S
dSdτΦ
<A(
( )( ))
dmddt ττ
τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ
ΔΦ = ⋅ =∫ A S
HH22 OO22
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Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial
A=A(r) continuo y derivable en P
definición intrínseca de rotacional:
“rot A(r)” mide la variación de las componentes de A(r) tangenciales al entorno ∂(Δτ)
… en coordenadas ortogonales:dS=dSnθ ∂(Δτ)
Rotacional. Teorema de Rotacional. Teorema de StokesStokes (I)(I)
( )P =rot A
1 2 3
1
1 2 3
1 2 2 3 3
1 2 31 2 3
1 ( )h h h
q q q
h h hA A Ah h h
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=u u u
rotA r = × A∇
An
At
A
dS×A
|dS×A|=dS|At|dS×A=dS×At ;
3
( )( )d
τ∂ Δ× ∈∫ S A r1
τΔ0limτΔ →
r(q1,q2,q3)
X
Z
YO
P
rot A(P)A(r)|∂(Δτ)
dS×A|∂(Δτ)
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8Rotacional. Teorema de Rotacional. Teorema de StokesStokes (II)(II)
Significado del rotacional: circulaciSignificado del rotacional: circulacióónn
la circulación por unidad de superficie de A(r) alrededor de ΔS ⊥ n, es la proyección de rot A(P) sobre la dirección n
0 ( S)
1Z lim ( )S
P Sd ddS Δ → ∂ ΔΔ
= ⋅∫ A r r ( )P= ⋅ ∈n rot A
Teorema de Teorema de StokesStokes::“el flujo del rot A(r) a través de una superfi-cie Σ es igual a la circulación de A(r) a lo largo de su perímetro ∂Σ”
( ) ( )d d∂ΣΣ
× ⋅ ⋅∫ ∫A S = A r r∇
dr
n·rotA(P)
P A(P)
rot A(P)
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8Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (I)sico del rotacional: fuentes vectoriales (I)
Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial“perturbaciones vectoriales” que actúan como
causas del campo vectorial•las líneas de campo “giran” en torno a los puntos donde existen fuentes vectoriales
rot A(r)=∇×A(r) proporciona la distribución de las fuentes vectoriales de A(r)
Ejemplo 1: un hilo de corriente elun hilo de corriente elééctrica es ctrica es fuente vectorial de un campo magnfuente vectorial de un campo magnéético tico BB((rr))
• las líneas del campo son circunferencias concén-tricas alrededor del hilo de corriente
en un punto donde hay corriente (P)
en un punto donde no hay corriente (Q)
Pn
B(r) I
Q
( )Q =rot B 0
0( )P
IPS
μ Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠rot B n
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0( )O
dZdS
O =⋅n = rot A
n
Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (II)sico del rotacional: fuentes vectoriales (II)
eje de simetría
Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorialEjemplo 2: fluido de densidad constante y
moviento rectilíneo a la largo de una tuberíadistribución de velocidades:• no uniforme ⇒ A(r)=ρmv(r)• simétrica respecto del eje longitudinal
ausencia de fuentes vectorialesdistribución simétrica de A(r) en torno a O:•el “molinillo” en O no es movido por el fluido
las líneas de A(r) no giran en torno a Ocirculación nula de A(r) en torno a O:•(proyección del) rotacional nulo
( S )OO
dZ∂ Δ
⋅Δ = ∫ A r 0=
ΔSO
OO
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0( )P
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P >⋅n = rot A
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Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (III)sico del rotacional: fuentes vectoriales (III)
eje de simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial
Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería
fuentes vectoriales positivasA(r) no es simétrico respecto de P:• el “molinillo” en P gira en sentido antihorario
las líneas del campo A(r) “giran” en torno a P en sentido positivo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a P:
“n·rot A(P) > 0” indica presencia de fuente vectorial positiva (con el sentido de n)
( S )PP
Z d∂ Δ
Δ = ⋅∫ A r 0>
ΔSP
PP
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Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)sico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)eje de simetría
ΔSQ
Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorialEjemplo 2: fluido de densidad constante y
moviento rectilíneo a la largo de una tuberíafuentes vectoriales negativas
A(r) no es simétrico respecto de Q:• el “molinillo” en Q gira en sentido horario
las líneas del campo A(r) “giran” en torno a Q en sentido negativo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a Q:
“n·rot A(Q) < 0” indica presencia de fuente vectorial negativa (con sentido opuesto a n)
( S )QQ
Z d∂ Δ
Δ = ⋅∫ A r 0<
0( )Q
dZdS
Q <⋅n = rot A