Guia de Estudio Matematica II

7/28/2019 Guia de Estudio Matematica II

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UNIVERSITARIA AGUSTINIANAUNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

GUIA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA II

LUIS FERNANDO ARIAS RAMÍREZ Autor

MARÍA JOSÉ ARANGO DE MANRIQUEDirectora Académica

Unidad de Ciencias Básicas

NATALIA MORENO MARTÍNEZOCTAVIO ECHEVERRY VALENCIARICARDO ALFONSO SANABRIA

WILBERTO DE JESÚS PÉREZ FUENTESColaboradores

FRANKLIN ANTONIO MORA MAESTRE

LUIS FERNANDO ARIAS RAMÍREZMARÍA JOSÉ ARANGO DE MANRIQUERevisión

Bogotá D.C Octubre 02 de 2012



CONTENIDO

Unidad 1

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Unidad 2

DERIVADAS

Unidad 3

INTEGRALES

Unidad 4

MATRICES



Primer corte:

Unidad 1


1.1 Definición de límite y propiedades

1.2 Límites laterales

1.3 Límites indeterminados

1.4 Límites infinitos y al infinito

1.5 Continuidad, definición y propiedades

1.6 Aplicaciones



Segundo corte:

Unidad 2

DERIVADAS

2.1 Interpretación geométrica de la Derivada.

2.2 Teoremas: Derivada de una constante, de una potencia, de una constante por una función, de una suma, del producto, del cociente. Derivada de unacomposición de funciones (regla de la cadena).

2.3 La derivada como una razón de cambio. Razones relacionadas. Problemas derazón de cambio.

2.4 Análisis de gráficas. Máximos y Mínimos. Criterio para la primera derivadapara máximos y mínimos relativos. La segunda derivada y concavidad. Criterio dela segunda derivada.

2.5 Optimización en la empresa y la economía. Elasticidad de la demanda-maximización del ingreso-minimización del costo promedio-maximización de laganancia.



Prohibida la reproducción totalo parcial de éste documento porcualquier medio, sin permisoexpreso y por escrito del(los)autor(es).

DERECHOS RESERVADOSRESPECTO A LA PRIMERAEDICIÓN A LA UNIVERSITARIAAGUSTINIANA. ©2012.

Tercer corte:

Unidad 3

INTEGRALES3.1 Anti derivada y reglas de integración

3.2 Integración por sustitución

3.4 Área bajo una curva

3.5 La integral definida: Teorema fundamental del Cálculo

3.6 Área entre dos curvas

3.7 Aplicaciones de las integrales definidas en la empresa y la economía

Unidad 4

MATRICES

4.1Definiciones de Matriz, fila, columna, elementos, orden.

4.2 Tipos especiales de matrices.

4.3 Operaciones: suma y producto por escalar, resta de matrices.

4.4 Producto de matrices.

4.5 Propiedades de matrices, teoremas.

4.6 Matriz inversa.

4.7 Ecuaciones matriciales.

4.8 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.9 Método de reducción de Gauss –Jordan.

4.10 Determinantes y Regla de Cramer.

4.11 Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief.



1

MATEMÁTICA II

CONDUCTA DE ENTRADA

Operaciones con Expresiones Algebraicas

Definición de expresión algebraica:

Se le da el nombre de expresión algebraica a la combinación de númerosreales y letras, estas últimas llamadas variables, las cuales se relacionan por lasoperaciones fundamentales establecidas para los números reales (suma,diferencia, producto y cociente).

Ejemplo

Son expresiones algebraicas:

ba 65 ;22ax ; )56( y x ; x2 ;

Definición de término algebraico

El nombre de término algebraico se le da a la expresión comprendida entre lossignos de suma o diferencia, la cual consta de una o más variables y una cantidadconstante o número real llamado coeficiente.

Definición de términos semejantes

Se llaman términos semejantes, a todos los términos de una expresión algebraica

que solo se diferencian en su coeficiente o valor real; estos se componen delmismo factor literal o las mismas variables elevadas a las mismas potencias.

Ejemplo

Son términos semejantes:a2, 2a2, -3a2, 0.5a2.



2

Ejemplo

No son términos semejantes:

a2 b y ab2 , -a y -a2 , 2ab y ab2

Vemos en la primera parte, (términos semejantes) que el factor literal de todos lostérminos es a2 ; por esta razón son todos semejantes.

Sin embargo en la segunda parte correspondiente a términos no semejantes,tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí. Aunque las letrasson a y b, cada una de ellas se encuentra elevada a una potencia diferente, por lotanto, son de diferente grado lo que hace que no sean semejantes.

Definición de polinomios

Se llama polinomio a la expresión algebraica formada por uno o más términos.Estos se clasifican de acuerdo a la cantidad de términos, según el grado, y elnúmero de variables.

Ejemplos

73523

x x x

y xa

ba

Clasificación de los polinomios según el número de términos

Los polinomios se clasifican en monomios si poseen un solo término, binomio si

poseen dos términos, trinomio si poseen tres términos y polinomio si poseenmás de tres términos.

Ejemplos

Son monomios:



3

a3 ; b5 ; 3

2

4n

y x

Son binomios:

ba ; y x 2 ; m

x

y

x

54

33

2

Son trinomios:

1-5xx 2c ba 2

Clasificación de los polinomios según el número de variables

Los polinomios pueden ser clasificados por la cantidad de letras diferentes ovariables que se encuentren en sus términos, así, si solo posee una variable sepuede decir que es univaluado o en una variable, con dos o más variables se lespuede llamar polinomios multivariados.

Definición del grado de un polinomio

El grado de un polinomio cualquiera, se define por el mayor exponente quecontiene la variable en el polinomio, si este es multivariado, se puede definir sugrado por la variable, aplicando la regla anterior y también se puede establecer elgrado del polinomio el cual se determina sumando los exponentes de las variablesen cada término y el mayor resultado será el grado general del polinomio.

Ejemplo

Sea el polinomio ,54²7 123892646 z y z x z xy z y x clasifíquelo según el número de

términos, el número de variables y el grado.



4

Solución

Esta expresión tiene 4 términos, por lo tanto es un polinomio, las letras distintas

que poseen los términos, son las 3 variables, luego es un polinomio de 3 variables.Los grados en cada variable son:

Para la variable x su grado es 9 ya que es el máximo exponente en esta variable,para la variable y su grado es 6, y para la variable z su grado es 12. Para esteejemplo se toma como grado general del polinomio, el del tercer término ya que esel mayor de todos ellos y su valor es 17. Es decir, sumando 8 + 9 que son losexponente de las variables que lo componen.

Ejercicios propuestos

Clasifique los siguientes polinomios según el número de términos, el número devariables y el grado.

1. 9781066 11753 y x y x xy y x

2. 224481032325 6768 z xyba y x yz ba y xa

3. 1682

x x

4. 166 st

5. 22433 4128 d cbcd abbca

Las operaciones básicas que se presentan en las expresiones algebraicas son deadición, resta, producto y división. A continuación definiremos y ejemplificaremosdichas operaciones:

Adición de polinomios:

Para realizar una operación de adición, suma o resta, tenemos en cuenta lareducción de términos semejantes y la eliminación de los signos de agrupación. Esimportante recordar que si antes de un paréntesis hay un signo positivo “+”, los



5

signos de los términos que están dentro del paréntesis quedaran iguales aldestruirlo, pero si el signo antepuesto al paréntesis es negativo “-“, todos lossignos de los términos internos al paréntesis serán automáticamente opuestos aldestruirlo.

Reducción de términos semejantes:

En la reducción de términos semejantes, se pueden presentar los siguientes casos:

1. Términos semejantes de igual signo: En este caso, se suman los coeficienteso valores reales de los términos implicados. Y la parte literal, es decir, las variableso letras que componen los términos no sufren cambio alguno, finalmente al

resultado obtenido se le deja el signo original de los términos. Lo anterior quieredecir, que si los términos tienen signo positivo, el resultado final se deja positivoo si tienen signo negativo, queda negativo.

Ejemplo

333 19109 x x x

2. Términos semejantes de diferente signo: Para este caso se tiene en cuenta

que los coeficientes de los términos se restan, la parte literal se deja igual, y alresultado final se le coloca el signo del coeficiente que muestre el mayor valor absoluto.

Ejemplo 1

Reducir

333 19109 x x x 5 5 54 7 11 x x x

2. Términos semejantes de diferente signo: Para este caso se tiene en cuentaque los coeficientes de los términos se restan, la parte literal se deja igual, y al



6

resultado final se le coloca el signo del coeficiente que muestre el mayor valor absoluto.

Ejemplo 2

Reducir

22

22

7)125(

12,5

mm

mm


Reducir los términos semejantes

1. 3232 15 ,9 nmnm

2. 33 12 ,18 x x

3. 22 32 ,19 x x

Ejemplo 1

Efectuar la siguiente suma de polinomios:

²)56²3(²)227²4( y xy x y xy x x

En primer lugar destruimos los paréntesis correspondientes, y como estos estánprecedidos de un signo positivo “+” (si no hay signo, por omisión sabemos que espositivo), esto implica que los términos en cada uno de ellos quedaran con elmismo signo:

²56²3²227²4 y xy x y xy x x

Luego aplicamos la ley conmutativa de la suma y la ley asociativa de los númerosreales, con el fin, de aplicar las reglas de reducción de términos semejantes,quedando agrupados los términos de la siguiente manera:



7

x y y xy xy x x 7)52()62()34( 2222

Finalmente aplicando las reglas de reducción de términos semejantes y las dedestrucción de paréntesis se obtiene:

x y xy x 7²34²7

Ejemplo 2

Efectuar la siguiente resta de polinomios

)14²2(³)3²5( xy x y xy x

Inicialmente destruimos los paréntesis, teniendo en cuenta las reglas paradestruirlos, la cual también se le conoce como la ley de los signos, obteniendo:

14²2³3²5 xy x y xy x

Aplicando la ley conmutativa de la suma de términos y la ley asociativa, se obtiene:

1³)43(²)2²5( y xy xy x x

Aplicando las reglas de reducción de términos semejantes y la de destrucción de

paréntesis se obtiene finalmente:

1³7²3 y xy x

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios se debe conocer y aplicar el concepto de la conocidapropiedad distributiva de la multiplicación, además de saber utilizar la ley de los exponentes para potencias de igual base, la cual en forma general se define así

nmnmaaa

siempre y cuando m y n sean reales.

Ejemplo 1

Hallar el producto de la siguiente expresión

²)3³)(²5( 4 y x y x



8

Solución

En primer lugar tenemos en cuenta los signos de los términos a multiplicar, con elfin de aplicar la ley de los signos, seguidamente realizamos la multiplicación de

sus coeficientes, y para terminar aplicamos la ley de los exponentes siempre ycuando la parte literal o variables estén contenidas y sean las mismas en lostérminos a multiplicar. Como se muestra a continuación la solución del ejercicioanterior, paso a paso.

564

56

5

64

15²)3³)(²5(

15

²³.

².

1535

y x y x y x

y x

y y y

x x x

Ejemplo 2

Hallar el producto de la siguiente expresión

³)5²2)(2²3( y xy x y x

Solución

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación se obtiene:

³)5²2(2³)5²2²(3³)5²2)(2²3( y xy x y y xy x x y xy x y x

Aplicando la ley de los signos, la propiedad distributiva de la multiplicación y laley de multiplicación de potencias de igual base se llega a:

44 2²10²4³²3³156³)5²2(2³)5²2²(3 y xy y x y x y x x y xy x y y xy x x

Finalmente se concluye que:

44 2²10²4³²3³156³)5²2)(2²3( y xy y x y x y x x y xy x y x

Por leyes de los exponentes, si se tiene multiplicación de potenciasde la misma base, se suman los exponentes



9

División de polinomios

División polinómica

En cuanto a la división, dado dos polinomios p(x) y q(x) con 0)( xq , al dividir

p(x)(llamado dividendo) por q(x)(llamado divisor) se obtiene el polinomio c(x)

(llamado cociente) y otro polinomio r(x)(llamado residuo), de tal manera que altener en cuenta la definición de división se llega a la siguiente igualdad:

0)(0)()()()()( xr xr con xr xc xq x p

Si r(x) es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta, pero si r(x) esdiferente de cero, la división se llama inexacta. En los dos casos el grado del

cociente siempre será menor que el del dividendo p(x). Los polinomios resultantes,cociente y residuo son únicos, y se obtienen mediante el proceso llamado divisiónpolinómica.

Ejemplo

Determine los polinomios cociente y residuo, al realizar la división entre lospolinomios dados a continuación:

²41)(6³3²234)( 4 x x xq x x x x x p

Para realizar la división pedida y dar respuesta al interrogante, se debe tener encuenta la siguiente regla. Los términos de cada uno de los polinomios dados(dividendo y divisor) deben ordenarse en forma descendente con respecto alexponente de la variable x en cada uno de ellos. Además si llegasen a faltar términos en el polinomio dado, de acuerdo al orden lógico descendente, estosespacios correspondientes deberán ser llenados con ceros.

43²2³36)( 4 x x x x x p Dividendo

1²4)( x x xq Divisor

Al dividir p(x) por q(x) obtenemos:



10

46 x 33 x 22 x x3 4 24 x x 1

46 x 3

2

3 x ²

2

3 x ²

2

3 x x

8

3

32

31

3

2

3 x ²

2

7 x x3

3

2

3 x ²

8

3 x x

8

3

²8

31 x x

8

21 4

²8

31 x x32

31 32

31

x32

115

32

159

De donde el cociente es:

32

31

8

3

²2

3

)(

x x xc

y el residuo es:

32

159

32

115)( x xr


Realizar las siguientes operaciones entre polinomios:

1. )25158()3( 22 x x x

2. ³²15³²9 nmnm



11

3. )4()2811( 2 x x x

4. )18611()191159( 223 mmmmm

5. 2323 67 baba

División sintética

Al igual que en cualquier división entre polinomios, en la división sintéticaordenamos en forma descendente los términos correspondiente a cada uno deellos, tanto al polinomio dividendo p(x) como al polinomio divisor q(x), pero hay

que resaltar que este proceso o método solo se utiliza cuando el divisor es unbinomio lineal de la forma (x+ b; donde b es un número real), es decir, elexponente de la variable es igual a la unidad (1).

Ejemplo

Realizar la siguiente división de polinomios

)2()59³62(

4 x x x x

Como vemos el divisor es de la forma c x con c = 2. Inicialmente vamos aorganizar los coeficientes del polinomio llamado dividendo, teniendo en cuenta elorden descendente de los términos del polinomio con respecto a la variable x. Como se muestra a continuación.

59062

En la tercera posición agregamos el cero por cuanto no hay términos de segundogrado. Luego al tomar c del divisor, comenzamos nuestro proceso.

Bajamos el primer coeficiente perteneciente a la primera columna como semuestra a continuación.



12

2 -6 0 9 5 2

2

El paso siguiente es multiplicar este coeficiente que se baja por el valor de c = 2, Luego este resultado se ubica debajo del coeficiente que se encuentra en lasegunda columna, se realiza la operación indicada entre ellos y su resultado secoloca debajo de la línea horizontal en la misma dirección de los dos términosoperados, así:

2 -6 0 9 5 2

4

2 2

Para continuar con el proceso repetimos el paso anterior, hasta terminar con elúltimo coeficiente que representa el residuo, así:

2 -6 0 9 5 2

4 -4 -8 2

2 -2 -4 1 7

Ahora reducimos en uno el exponente mayor del dividendo P(x), y se vaordenando en forma descendente el exponente de X, con el fin de establecer elresultado final, como se muestra a continuación.



13

14²2³2 x x x Residuo2

7

x


Realizar las siguientes divisiones, aplicando la división sintética:

1. )1()9724( 23 x x x x

2. )1()12( 2 x x x

3. )3()3( 223 x x x x x

Factorización

Definición

La factorización es el proceso mediante el cual un número o una expresiónalgebraica se puede expresar como el producto de dos o más factores. La basedel desarrollo de las operaciones con fracciones algebraicas y en general defunciones racionales y límites es la factorización, muchos de ellos se operan deésta forma.

Factor común monomio

Consiste en buscar en los monomios (términos) que componen un polinomio,aquellos coeficientes numéricos que contengan el mayor número múltiplo entreellos y además la variable común con el mayor exponente común.

Ejemplo 1

Hallar el factor común del siguiente polinomio

44 2³³6²8 xy y x y x



14

Solución

Empezamos por buscar entre los coeficientes numéricos, el mayor múltiplo entre

ellos:

8 / 6 / 2 En este caso 2 es el mayor múltiplo común de los coeficientes numéricos

Observamos que todos los monomios tienen x e y entre sus variables, entoncestomamos como factor común la letra con su mayor exponente (grado mayor) ycomún entre los términos así:

Para x el mayor exponente común es 1 y para y es 2. Finalmente el factor comúnes: ²2 xy

En conclusión se llega a que:

²)²3³4²(22³³6²8 44 y y x x xy xy y x y x

Ejemplo 2

Hallar el factor común del siguiente polinomio

44433223523 3584 cbacbacbacba

Solución

Buscamos entre los coeficientes, el mayor múltiplo entre ellos:

4 / 8 / 5 / 3 Como no hay múltiplo común de todos ellos, entonces se toma 1

Observamos que todos los monomios tengan a, b y c entre sus variables ytomamos las de mayor grado común así: Para a es 2, para b es 2 y para c es 1.Quedándonos finalmente lo siguiente.

)3²5³84(²²3³³²5²³8²³4 3224445 cbabcbcaacbacbacbacbacba



15

Diferencia de cuadrados perfectos

Definición

Es una expresión algebraica que se caracteriza porque consta de dos términos loscuales tienen raíz cuadrada exacta y además se encuentran unidos por laoperación diferencia (resta). El resultado es un producto entre dos factores. Laforma que tiene este término llamado diferencia de cuadrado y su definición es lasiguiente:

))((²² bababa

Ejemplo 1

Factorizar:

²4 y x

Solución

Para este caso se tiene que:

yb xa ²;

Esto se deduce a continuación al sacar las raíces cuadradas

Se obtiene la raíz cuadrada de ambos términos, las cuales deben ser exactas:

²4 x x y y 2

El resultado será:

)²)(²(24 y x y x y x Uno de los factores es la suma de las raíces y el otro

es la diferencia de las raíces encontradas.



16

Ejemplo 2

Factorizar:

25

96 x

Solución


5

3³; b xa

Lo anterior se deduce al determinar las raíces cuadradas exactas de los términosdel binomio cuadrado, por tanto nos queda que:

Uno de los factores está compuesto por lasuma de las raíces y el otro por la diferencia delas raíces encontradas.


Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1. 126 x

2. aba 1224

3. mnnm 7²14

4. ²6³8 aa

5

3

5

3

25

9 336 x x x



17

5. ³4 bb

6. 352114 ba

7. xz xy x 41220

8. xy xy y x 25²15²10

9. ²25²9 ba

10. 14 8 x

11. 25²²36 nm

12.126

196196 nm

13. 22

36

49

25

9ba

14. 144256 22 x

15. 169²81 y

Factorización de trinomios.

Definición

Un trinomio es un polinomio formado por tres términos. Los más conocidos son de

la forma cbx x 2 y cbxax 2 , la factorización se puede obtener a partir de la

división de polinomios, como se explica en la definición de polinomios.

Para determinar la forma de factorizar los polinomios anteriores, se realiza elsiguiente procedimiento:



18

Sea ))((2 r x p xcbx x , el estudiante debe de probar que al multiplicar los

dos paréntesis del segundo miembro de la igualdad se obtiene: pr xr p x )(2

luego la igualdad se convierte en pr xr p xcbx x )(22 , igualando término

a término los trinomios se obtiene que: 22 x x , xr pbx )( y pr c , cuyo análisis,es que para factorizar estos polinomios, debemos buscar dos números quemultiplicados equivalgan a c y que sumados den como resultado b.

Ejercicios resueltos de trinomios de la forma cbx x 2

Ejemplo 1

Factorizar el siguiente polinomio:

1072 x x

Solución

De lo expuesto anteriormente se puede decir que b = 7 y c = 10, entonces se debeencontrar dos números cuyo producto sea 10 y que al sumarlos, su resultado sea

7, entonces se tiene que 5 x 2 = 10 y que 5 + 2 = 7, como se puede ver el 5 y el 7cumplen con las condiciones, es decir, p = 2 y r = 5.

Luego la factorización del polinomio es:

)5)(2(1072 x x x x

Ejemplo 2


1072 x x



19

Solución

Se puede concluir del polinomio dado que b = -7 y c = 10, por lo tanto los valoresde p y r son -5 y -2 respectivamente, los cuales cumplen con las condiciones de

factorización planteadas en los párrafos anteriores, ya que (-5)(-2) = 10 y (-5)+(-2)= -7.

Entonces la factorización del polinomio es:

)5)(2(1072 x x x x

Ejemplo 3

Factorizar:

12² x x

Solución

Hallar dos números que den -12 al multiplicarse y -1 cuando se sumen.Buscamos factores comunes en el número 12, estos son 4 y 3.

)3)(4( x x

Otro trinomio que es de carácter más general que el anterior, es el que tiene la

forma cbxax 2 , que se diferencia del anterior en el coeficiente de 2 x , que en

este caso es “a” el cual debe ser siempre diferente de 1. Existen varias formas derealizar la factorización de este tipo de polinomios, pero uno de los métodos másconocidos y utilizados, consiste en multiplicar y dividir el polinomio por el

coeficiente “a” de 2 x , así:

a

cbxaxa )( 2 ,

Efectuando el producto indicado en el numerador aplicando la propiedaddistributiva de la multiplicación y ordenando en forma adecuada, se obtiene lasiguiente expresión:



20

a

caaxb xa

a

caaxb xaa

)(²²)()(²)(

Aplicando una de las propiedades de la potenciación, la expresión anterior se

convierte en:

a

caaxbax )()( 2

Haciendo los siguientes cambios de variable z = ax y ca = d, la expresión anterior se convierte en:

a

d z b z )()²(

Luego

a

d bz z ²

El término en el numerador en esta última expresión se puede resolver como untrinomio de la forma:

cbx x 2

Ejercicios de aplicación resueltos de trinomios de la forma cbx x 2


464 2 x x

Solución

Aplicando el procedimiento explicado anteriormente, debemos multiplicar y dividir

el polinomio por el coeficiente de 2 x que es 4, quedando así:



21

416)4(6)4(

4

16)4(6)4(4

2

2

x x

x x

Sustituyendo 4x = z la expresión anterior se convierte en:

4

1662 z z

Como se observa en el numerador de la expresión anterior, esto es un trinomio dela forma:

cbx x 2

Lo cual nos lleva a buscar dos números que multiplicados den -16 y sumados den-6, estos números son -8 y 2, quedando factorizado el polinomio así:

4

)2)(8( z z

Reemplazando a z por 4x , el producto se convierte en:

4

)24)(84( x x

Sacando factor común 4 en el primer paréntesis del producto indicado en el

numerador se obtiene.

4

)24)(2(4 x x

Simplificando el 4 en el numerador con el 4 en el denominador, la expresión se

convierte en:)24)(2( x x

Entonces la factorización del trinomio dado queda expresada así:

)24)(2(464 2 x x x x .



22

Ejemplo 4

Factorizar

2x2 + 5x + 3

Solución

Se multiplican todos los términos del polinomio por el primer coeficiente y sedivide por el mismo para no alterar la ecuación:

2

232522 2 x x

2

625)2( 2 x x

Ahora buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5, estosson 3 y 2 que son múltiplos de 6.

2

2232 x x

Sacando 2 como factor común en el segundo paréntesis del numerador seobtiene:

2

1232 x x

Simplificando el 2 contenido en el numerador y en el denominador, se obtiene elsiguiente resultado:

(2x + 3) (x + 1)



23


)1)(32(35²2 x x x x


Factorizar los siguientes trinomios:

1. 342 p p

2. 962 x x

3. 2452

x x

4. 50152 y y

5. 862 y y

6. 16122 2 x x

7. 16249 2 z z

8. 21362

y y

9. 3842 y y

10. 1572 2 x x

Simplificación de Expresiones Algebraicas

Concepto de Fracción Algebraica

Definición

Una fracción algebraica es el cociente de dos expresiones algebraicas. Si lafracción algebraica es el cociente de dos polinomios, la llamamos una fracciónracional.



24

La mayoría de las fracciones que consideramos, son fracciones racionales en unasola variable. Como la división por cero no es posible, siempre que tratemos confracciones, supondremos implícitamente que el denominador de la fracción esdiferente de cero.

Simplificación de fracciones

En el trabajo con fracciones, se acostumbra a simplificarlas hasta donde seaposible, de tal manera que obtengamos fracciones donde el numerador y eldenominador no tengan factores comunes. El principio básico para simplificar fracciones es la relación siguiente:

0 z si y x

yz xz

Este principio, nos indica que podemos cancelar los factores comunes distintos decero que aparecen en el numerador y el denominador de una fracción.

Ejemplo

Simplifique la siguiente expresión:

2

4

2

22

2

x x

x

x

x

Solución

2

4

2

22

2

x x

x

x

x

Factorizamos las expresiones algebraicas del segundo factor, es decir, delsegundo paréntesis. Como se puede observar el numerador representa una



25

diferencia de cuadrados y el denominador un trinomio de la forma cbx x 2.

Luego solucionándolos de acuerdo a los métodos correspondientes se obtiene:

)1)(2(

)2)(2(

2

2

x x

x x

x

x

Realizando el planteamiento del producto de fracciones indicadas se llega a:

)1)(2)(2(

)2)(2)(2(

x x x

x x x

Ahora simplificando los términos semejantes se obtiene:

)1()2(

x x


1

2

2

4

2

22

2

x

x

x x

x

x

x



26

CONTENIDO

Primer corte:

Unidad 1


1.1 Definición de límite y propiedades

1.2 Límites laterales

1.3 Límites indeterminados

1.4 Límites infinitos y al infinito

1.5 Continuidad, definición y propiedades

1.6 Aplicaciones



27

Concepto intuitivo de límite

Si f(x) se aproxima a tomar el valor único numérico L en la recta numérica o eje Y,cuando x tiende a tomar el valor c, tanto por su izquierda como por su derecha enla recta numérica o eje X, decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a c , es L ylo simbolizamos de la siguiente manera:

L x f c x

lim

Como se puede observar en la gráfica No. 1 el límite por la derecha tiende almismo punto que el límite por la izquierda por tanto el límite de la función f(x) =L,

en la gráfica No. 2 el límite por la izquierda tiende a infinito hacia abajo, y el límitepor la derecha tiende a infinito hacia arriba, por lo tanto el límite no existe.

Evaluación de límites

Definición

Los límites se evalúan sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite

de la función.

Ejemplo 1

)13(lim 2

3

x x

x

Gráfica No. 1 Gráfica No. 2



28

Solución

Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la

función obtenemos el valor del límite:

191991)3)(3()3()13(lim 22

3

x x

x

Entonces:

19)13(lim 2

3

x x

x

Ejemplo 2

)10928(lim 234

2

x x x x

x

Solución

Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción obtenemos el valor al cual tiende el límite:

60)10928(lim

60101886416

1018)4(2)8(816

10)2(9)2(2)2(8)2()10928(lim

234

2

234234

2

x x x x

x x x x

x

x



29

Límite de la Suma de dos Funciones

Definición

El límite de la suma de dos funciones en x, cuando está tiende a tomar el valor “a”,es igual a la suma de los límites de las funciones, con x tendiendo a este número.Lo anterior se expresa de la siguiente forma.

)(lim)(lim)]()([lim x g x f x g x f a xa xa x

Ejemplo 1

Evalúe la suma de:

)2(lim)(lim1

2

1

x y x

x x

Solución

Se suman los dos límites algebraicamente y se aplica la propiedad de la suma de

límites de funciones, obteniendo:

)2(²lim)2(limlim11

2

1

x x x x

x x x

Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción obtenemos el valor del límite:

4

)21()1(

)2(lim²lim

2

11

x x x x

Ejemplo 2

Evalúe los siguientes límites:



30

)65(lim)32(lim2

23

2

x x x

x x

Aplicando la propiedad de suma de límites

)65(lim)32(lim2

23

2 x x x

x x )65()32(lim 23

2

x x x

x

Solución

Sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en el límite de lafunción en la parte derecha de la ecuación anterior, obtenemos el valor del límiteen ella:

)65()32(lim 23

2

x x x

x

126101216

6)2(5)4(3)8(2

6)2(5)2(3)2(2 23


12)65(lim)32(lim2

23

2

x x x

x x

Límite del producto de dos funciones

Definición

El límite del producto de dos funciones, cuando la variable x tiende a tomar el valor “a”, es igual al producto de los límites de las funciones, cuando x tiende a tomar elvalor de este número.Lo anterior se expresa de la siguiente manera.



31

)(lim).(lim)]().([lim x g x f x g x f a xa xa x

Ejemplo1

Evalúe el producto de los siguientes límites cuando a = 2:

)1(lim)1(lim 2

x y xa xa x

Solución

)1(lim)1(lim 2

2

2 x x x x )1)(1(lim2

2 x x x

Multiplicamos algebraicamente las dos funciones:

1)1)(1( 232 x x x x x

Quedándonos

)1)(1(lim 2

2

x x x

)1(lim 23

2

x x x x

Sustituyendo el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el resultado del límite:

)1(lim 23

2

x x x

x912481)2()2()2( 23

Concluyendo

9)1(lim 23

2

x x x

x

Entonces:

9)1)(1(lim 2

2

x x

x



32

Ejemplo 2

Evalúe el siguiente límite:

)65)(43(lim 2

3

x x

x

Solución

Multiplicamos algebraicamente las dos funciones:

24201815)65)(43( 232 x x x x x

)24201815(lim

)65)(43(lim

23

3

2

3

x x x

x x

x

x

Sustituyendo el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el valor del límite:

)24201815(lim 23

3 x x x

x

2072460162405

24)3(20)9(18)27(15

24)3(20)3(18)3(15 23

Obteniendo al final

207)65)(43(lim 2

3

x x

x



33

Límite del cociente de dos funciones

Definición

El límite del cociente de dos funciones (si existe) cuando la variable x tiende atomar el valor “a” es igual al cociente entre los límites de las funciones cuando xtiende a tomar este número, siempre y cuando el límite de la función denominador sea diferente de cero. Es decir: 0)(lim

x g

a x

Lo anterior se expresa de la siguiente forma.

)(lim

)(lim

)(

)(lim

x g

x f

x g

x f

a x

a x

a x

Ejemplo 1

Evalúe el cociente de los siguientes límites:

)1(limy)1(lim1

2

1

x x

x x

Solución

Empezamos por simplificar el cociente algebraico entre las funciones argumentosde los dos límites así:

1

12

x

x

Desarrollamos el numerador del cociente como un producto notable, el cualrepresenta una diferencia de cuadrados perfectos, quedando la expresión anterior

así:

)1(

11

x

x x



34

Luego el límite del cociente entre las dos funciones queda expresado de lasiguiente forma:

)1(

11lim

1 x

x x

x

Simplificando los términos en el límite de la función se llega a: 1lim

1

x

x

Sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite de la funciónobtenemos el valor del límite:

21

1lim

21lim

)11(1lim

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

Ejemplo 2

Evalúe

3

18lim

1

x

x

x

Solución

Aplicando las propiedades de los límites

3

18lim

1

x

x

x



35

)3(lim

)18(lim

3

18lim

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

Sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, específicamente en el cociente de límites dentro del radical, obtenemos elvalor del límite pedido:

2

3

4

9

)3)1((

)1)1(8(

Por lo tanto:

2

3

3

18lim

1

x

x

x


Calcula los límites de las siguientes funciones, aplicando las propiedadescorrespondientes.

1. 2

13lim x

x

2. 4lim 2

2

x x

x

3. 127lim 23

x x x

4.

63

9lim

2

1 x

x

x



36

5. )77(lim5 x

6. 457lim 2

3

2

x x x

Limites laterales

Definición

Para confirmar la existencia o la inexistencia del límite de una función para un

determinado valor dado “a” de x, se hace necesario intuir el valor que toma lafunción para este valor de la variable independiente. Esto se hace tomandovalores muy cercanos al valor “a” tanto por su derecha como por su izquierda en larecta numérica. A esta forma de determinar el límite o valor de la funciónacercándose al punto dado de x por sus lados laterales, se le conoce comoLímites Laterales y se simboliza por las siguientes expresiones:

Limite por la derecha

L x f a x

lim

Limite por la izquierda:

L x f a x

lim

Ejemplo 1

Indicar si el límite de la siguiente función, existe o no en el punto o valor indicado:

112

112)(

2

x x

x x x f



37

Solución

En esta función definida a intervalos, tomaremos inicialmente el límite por la

derecha, es decir, para los valores de x mayores que 1, al cual le corresponde la

función:

Luego por la definición de límite por la derecha tenemos que:

31)1(2)12(lim 22

1

x

x

Ahora hallaremos el valor al cual tiende la función f(x) cuando nos acercamos al

valor definido de x por la izquierda, es decir, para los valores de x menores o

iguales a 1, a este intervalo le corresponde la función.

12)( 2 x x f

Luego por la definición de límite por la izquierda tenemos que:

31)1(2)12(lim 22

1

x

x

Finalmente, como los dos limites laterales hallados son iguales, entonces

podemos decir que el límite de la función f(x), en el punto x = 1, es 3.

Ejemplo 2

Indicar si el límite de la siguiente función, existe o no en el punto o valor indicado:

12)( x x f



38

132

13²2)(

x x

x x x f

En esta función definida a intervalos, tomaremos inicialmente el límite por la

derecha, es decir, para los valores de x mayores que 1, al cual le corresponde la

función:

1)32

()( xcuando x

x f

Luego por la definición de límite por la derecha tenemos que:

5.22

53

2

1)3

2(lim

1

x

x

Ahora hallaremos el valor al cual tiende la función f(x ) cuando nos acercamos al

valor definido de x por la izquierda, es decir, para los valores de x menores o

iguales a 1, a este intervalo le corresponde la función.

132)( 2 xcuando x x f

Luego por la definición de límite por la izquierda tenemos que:

13)1(2)32(lim 22

1

x x

Finalmente, como los dos limites laterales hallados no son iguales, entonces

podemos decir que el límite de la función f ( x ), en el punto x = 1 no existe, aunque

se hallan encontrado valores para los dos limites laterales.



39

Ejemplo 3

Determine si existe el límite o no para la siguiente función:

11²3

1513

x si x

x si x si x

x f

Solución

Hallamos inicialmente el límite de la función por la izquierda, el cual esta definidoasí:

x f x 1lim

3lim

1

x

x

Evaluamos el límite anterior para x = 1:

4313lim1

x

x

Evaluamos ahora el límite de la función por la derecha, el cual esta definido así:

1limlim 2

11

x x f

x x

Evaluamos el límite anterior para x =1:

41311313lim22

1

x

x

Como los límites son iguales por la derecha y por la izquierda, entonces se deduceque:

4lim1

x f x

Por lo tanto el límite de la función existe y es igual a 4. El valor de lafunción 51 f no desempeña ningún papel al calcular el límite en este caso.



40

Ejemplo 4

Sea f la función definida a intervalos como se denota a continuación:

11²

12

x si x

x si x x f

Evaluar el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda, cuando x tiendea 1 por la derecha.

Solución

El límite por la izquierda es:

x f x 1

lim

x x

2lim1

Evaluando el límite:

1122lim1

x x

El límite por la derecha es:

x f x 1lim

1lim 2

1

x

x

Evaluando el límite por la derecha:

211111lim22

1

x

x

Como los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, entonces:

x f x 1lim = no existe

Existen funciones que representan algunas discontinuidades.



41

Generado en illustrator cs4

b x f

a x

)(lim

Se usa el signo (+) como súper índice cuando x se aproxima a a por la derecha

c x f a x

)(lim

Se usa el signo (-) como súper índice cuando x se aproxima a a por la izquierda.

Consideremos la siguiente gráfica en la que existe una discontinuidad cuando x esigual a 3

Generado en illustrator cs4



42

2)(lim3

x f x

Cuando x se aproxima a tres por la derecha la función tiende a tomar el valor 2

1)(lim3

x f x

Cuando x se aproxima a tres por la izquierda la función tiende a tomar el valor 1


De acuerdo con las siguientes gráficas de funciones, determinar si el límite existe.

1. a. )(lim1

x f x

b. )(lim

1 x f

x

Figura 1. Generado en illustrator cs4

2. a. )(lim1 x f x b. )(lim0 x f x



43


3. a. )(lim0

x f x

b. )(lim2

x f x

c. )(lim1

x f x


Determine si los límites existen:

4.

13

1³

x si x

x si x

x f



44

5.

13

113

x si x

x si x

x f

6.

11

11

11²

x si x

x si

x si x

x f

7.

1)²1(

10

)(

x si x

x si

x f

8.

01

01²

)(

x si x

x si x

x f

9.

2

13²

2

11

)(

x si x x

x si x

x f

10.

21

212²

)(

x si x

x si x x

x f

Limites indeterminados

Definición

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estasformas de solución:



45

1,,,0,,

0

0 00

Siempre que el límite de una función presente una solución indeterminada,

debe optarse por una solución algebraica, aplicando la factorización comomedio de solución, en algunos casos, aplicando la conjugada o racionalizacióndel numerador o del denominador, todo esto, con el fin, de eliminar laindeterminación y dar respuesta al problema planteado.

Ejemplo 1

Calcular el siguiente límite:

x

x x

x

25lim

2

0

Solución

Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que el límite es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:

ind x

x x

x

0

0

0

)0(2)0(525 lim

22

0

Entonces, con el fin de quitar esta indeterminación, factorizamos el numerador dela función por medio de uno de los casos de factorización como es el de factor común.

Luego sacando el factor común x en el numerador de la función, obtenemos:

x

x x

x

)25(

lim0

Simplificando el término común x se obtiene:

)25(lim0

x x



46

Finalmente sustituyendo directamente el valor al cuál tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:

0

22020525lim

x x

Ejemplo 2


1

12 lim

2

1

x

x x

x

Solución

Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que su resultado es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:

ind x

x x

x

0

0

0

121

1)1(

)1)1(2)1(

1

12 lim

22

1

Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,

factorizamos el numerador de la función, el cuál es un trinomio de la forma:x2 + bx + c.

Factorizando obtenemos:

)1(

)1)(1(lim

1

x

x x

x

Simplificando los términos se obtiene:

)1(lim1

x x

Finalmente sustituyendo el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción se obtiene el valor del límite:

011)1(lim1

x x



47

Se concluye que:

01

12lim

2

1

x

x x

x

Ejemplo 3


25

5 lim

25

x

x

x

Solución

Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, observamos que su resultado es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:

ind x

x

x

0

0

2525

0

25)5(

55

25

5lim

225

Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,factorizamos el denominador de la función, el cual es una diferencia de cuadrado.

Factorizando obtenemos:

)5)(5(

)5(lim

5 x x

x

x

Simplificando los términos se obtiene:

5

1lim

5 x x

Finalmente sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:



48

10

1

55

1

5

1lim

5

x x

Se concluye que:

10

1

25

5 lim

25

x

x

x

Ejemplo 4


4

2

lim4

x

x

x

Solución

Al sustituir el valor al cuál tiende la variable x en el límite de la función,observamos que es indeterminado, ya que un cociente cuyo numerador ydenominador sea cero no existe:

ind x x

x

00

022

4424

42lim

4

Entonces, con el fin, de quitar esta indeterminación en el límite de la función,racionalizamos el numerador de la función, esto se hace multiplicando por el

término 2 x , tanto al numerador como al denominador de la función argumento

del límite. (El término 2 x es la conjugada del numerador de la función).

2

2

4

2lim4 x

x

x

x

x

)2)(4(

)2(lim

22

4

x x

x

x



49

)2)(4(

4lim

4

x x

x

x

Simplificando los términos semejantes en la expresión anterior, se obtiene:

)2(

1lim

4 x x

Finalmente, sustituyendo directamente el valor al cual tiende la variable x en ellímite de la función obtenemos el valor del límite:

4

1

22

1

24

1

2

1lim

4

x x

Se concluye que:

4

1

4

2lim

4

x

x

x

Ejemplo 5


x

x

x

24lim

0

Solución

Al sustituir directamente el valor al cual tiende la variable x en el límite de la

función, observamos que el límite es indeterminado, ya que un cociente cuyonumerador y denominador sea cero no existe:

ind x

x

x

0

0

0

22

0

20424lim

0



50


término, 24 x tanto al numerador como al denominador de la función

argumento del límite. (El término 24

x es la conjugada del numerador de lafunción argumento).

24

2424lim

0 x

x

x

x

x

24

)2(4lim

22

0 x x

x

x

Realizando las operaciones indicadas:

24

44lim

0 x x

x

x

24lim

0 x x

x

x

Se simplifica el término x

24

1lim

0 x x

Finalmente sustituimos el valor al cual tiende la variable x en el límite de la funciónse obtiene el valor del límite:

4

1

)22(

1

24

1

204

1

24

1lim

0

x x

Se concluye que:

4

124lim

0

x

x

x



51


Calcule los siguientes límites:

1.1

1lim

31

x

x

x

2.8

4lim

3

2

2

x

x

x

3.2

12

lim

2

2

x

x x

x

4.1

312lim

1

x

x

x

5.3

9lim

9

x

x

x

Limites al infinito

Definición

Son aquellos límites de funciones en los cuales la variable independiente x tiendeal infinito. Al calcular esto tipos de límites sustituyendo la variable x directamenteen la función por infinito, la mayoría de las veces el resultado es una expresión

infinita, la cuál es necesario intentar resolver ya que esta solución no tiene sentidoen el concepto de límite, porque el infinito no tiene límite.

Además en los límites al infinito, el resultado infinito representa únicamente unaexpresión simbólica puesto que y no son números definidos o determinados.



52

Ejemplo1


x x x

x x x

x 642

8354 lim

23

23

Solución

Al sustituir en las funciones, el resultado obtenido es una indeterminación

x x x

x x x

x 642

8354

lim 23

23

Entonces, con el fin, de eliminar ésta indeterminación, se realizan los siguientespasos:

1, Se escoge el término x en la función argumento del límite al infinito que tenga elmayor exponente, éste último llamado también grado de la función.

2. Luego se procede a dividir cada uno de los términos de la función por el términoescogido de la siguiente manera:

33

2

3

3

333

2

3

3

23

23

642

8354

lim

642

8354 lim

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x

x x x

x x x

x

x

Simplificando la x indicada con su correspondiente grado en cada uno de lostérminos en la función del límite se obtiene:



53

2

32

642

8354

lim

x x

x x x x

Por propiedad de los límites al infinito: Si k es un número racional positivo y r es un

número real arbitrario entonces 0lim k x x

r siempre que k

x esté definido.

Aplicando esta propiedad:

2

2

4

002

0004lim

x

Se concluye que:

2642

8354 lim

23

23

x x x

x x x

x

Ejemplo 2


110

135 lim

23

23

x x

x x

x

Solución

Si reemplazamos directamente el valor infinito al cual tiende la variable x en ellímite de la función, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación,entonces para eliminarla se dividen todos los términos de la función planteadasobre la variable de mayor grado, así:



54

3

3

33

2

3

3

33

2

3

3

23

23

11

10

135

lim

:simplifica Se

110

135 lim

110

135 lim

x x

x x

x x

x

x

x

x x x

x x

x x

x x

x

x

x



r siempre que k

x esté definido.


2

1

10

5

0010

005lim

x

Se concluye que:

2

1

110

135 lim

23

23

x x

x x

x

Ejemplo 3

82

45 lim

2

2

4

x x

x x

x

Solución

Factorizamos el numerador y el denominador:



55

)1)(4(452 x x x x )2)(4(822 x x x x

Reemplazamos:

2

1

)2(

)1(lim

6

3

)24(

)14(

)2(

)1(lim

:Evaluamos

)2(

)1(lim

:mosSimplifica

)2)(4(

)1)(4(lim

82

45 lim

4

4

4

42

2

4

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x x

Se concluye que:

2

1

82

45 lim

2

2

4

x x

x x

x

Ejemplo 4Determinar el siguiente limite

1

25lim

1

x

x

x



56

Solución

Al reemplazar el valor al cual tiende el límite propuesto tenemos:

0

0

0

24

1)1(

2)1(5


término 25 x tanto al numerador como al denominador de la función

argumento del límite. (El término 25 x es la conjugada del numerador de lafunción).

4

1

1

25lim

41

221

241

215

1

2)1(5

1

:Evaluamos25

1lim

:mosSimplifica

)25)(1(

1lim

)25)(1(

45lim

)25)(1(

2)5(lim

25

25

1

25lim

1

25lim

1

1

1

1

22

1

11

x

x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x



57

Ejemplo 5

x x x x x

22

13lim

Solución

Sustituimos el valor al cual tiende la variable x en el límite de la función:

1131

11131

3lim

22

22

1

x x x x x

22

3lim

24

22

1

x x x x

x

Ejemplo 6

Demuestre que:

b

h

bhb

h2

)(lim

22

0

Solución

Desarrollamos el producto notable:



58

:osFactorizam2

lim

semejantestérminosReducimos2

lim

)2( lim

)( lim

2

0

222

0

222

0

22

0

hh

hbh

h

bhbhb

h

bhbhb

h

bhb

h

h

hh

2)2(lim

02)2(lim

:Evaluamos)2(lim

:mosSimplifica)2(

lim

0

0

0

0

bhb

bhb

hb

h

hbh

h

h

h

h

Ejemplo 7

Demuestre que:

233

03

)( lim x

h

xh x

h

Solución

)( lim

33

0

h

xh x

h

Resolvemos el paréntesis:



59

h

h xhh x

h

xh xhh x x

hh

322

0

33223

0

33 lim

)33( lim

Factorizamos la “h”:

233

0

222

0

2222

0

22

0

22

0

3)(

lim

003)33lim(

)0()0(33)33(lim

:Evaluamos)33(lim

:mosSimplifica)33(

lim

xh

xh x

xh xh x

x xh xh x

h xh x

h

h xh xh

h

h

h

h

h

Ejemplo 8

Evaluar el siguiente limite

33

2 )1( lim

b x

bb x x

b x

Solución

: planteadassoperacionelasresuelvenSe

)1( lim33

2

b x

bb x xb x



60

:Factorizar

)()( lim

lim)(

lim

33

2

33

2

33

2

b xb xbx x

b x

b xbx x

b x

b xbx x

b x

b xb x

222

22222

2222

22

22

22

3

11 lim

11 lim

11 lim

:Evaluamos

1 lim

:mosSimplifica

))((

)1)(( lim

))((

)()( lim

b

b

bbx x

x

bbb

b

bbx x

x

bbbb

b

bbx x

x

bbx x

x

bbx xb x

xb x

bbx xb x

b xb x x

b x

b x

b x

b x

b x

b x

233

2

3

1)1( lim

b

b

b x

bb x x

b x



61

Ejemplo 9

Demuestre los siguientes límites infinitos.

11

10

2

1lim

22

a

a

a

a

a

Solución

1

10

2

1lim

22

a

a

a

a

a

Realizando la resta de fracciones algebraicas por mínimo común múltiplo

)1)(2(

)2)(10()1)(1( lim

22

aa

aaaa

a

Realizando las multiplicaciones indicadas en el numerador tenemos

)1)(2(

)20102()1( lim

2323

aa

aaaaaaa

Suprimiendo paréntesis teniendo en cuenta la ley de los signos llegamos a:

)1)(2(

201021 lim

2323

aa

aaaaaa

a

Reducimos términos semejantes y se factoriza el signo menos (-)

)1)(2(

199 lim

)1)(2(

199 lim

22

aa

aa

aa

aa

aa

Multiplicamos los factores del denominador



62

23

199 lim

2

2

aa

aa

a

Si reemplazamos directamente el valor infinito al cual tiende la variable “a” en ellímite de la función, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación,entonces para eliminarla se dividen todos los términos de la función planteadasobre la variable de mayor grado, así:

222

2

222

2

23

199

lim

aa

a

a

a

aa

a

a

a

a

Simplificando

aa

aaa

2

2

231

1991

lim



r siempre que k

x esté definido.


11

1

001

001

Se concluye:

11

10

2

1lim

22

a

a

a

a

a



63

Ejemplo 10

Demostrar que:

2

1lim 2

x x x

x

Solución

Reemplazando directamente obtenemos:

2lim x

Indeterminación


término x x x 2 tanto al numerador como al denominador de la función

argumento del límite. (El término x x x 2 es la conjugada del numerador de lafunción).

x x x

x x x x x x

x 2

22lim

Realizando los productos indicados, teniendo en cuenta que el producto de losnumeradores es una diferencia de cuadrados, obtenemos:

x x x

x x x

x 2

22

2

lim

La potencia 2 elimina el radical, lo cual nos lleva a:

x x x x x x

x

2

22

lim

Se reducen los términos semejantes en el numerador, llegamos a:



64

x x x

x

x 2lim

Si reemplazamos el valor infinito al cual tiende la variable x en el límite de lafunción, encontramos que esto nos lleva a una indeterminación, entonces para

eliminarla se dividen todos los términos de la función planteada sobre la variablede mayor grado, así:

x

x

x

x x

x

x

x 2lim

Al introducir x en el radical, tenemos:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

22

2lim

Simplificando:

11

1

1lim

x

x

Por la propiedad de los límites al infinito siguiente: Si k es un número racional

positivo y r es un número real arbitrario entonces 0lim k x x

r siempre que k

x esté

definido. Aplicando esta propiedad:

101

1

2

1

11

1

Se concluye:

La variable con mayor exponente aparentemente es x², sin embargo como ésta

se encuentra dentro de la raíz, se aplica el teorema de los exponentes

x x ² , quedando así la variable por la cual dividiremos todos los

términos.



65

2

1lim 2

x x x

x

Ejemplo 11

Hallar el valor de b que hace a la siguiente función f(x) continua.

3si52)(

3si 13)(2

xbx x x f

xbx x f

Solución

Hallamos el límite de cada función en el punto dado para que la función seacontinua:

Cuando buscamos la continuidad en una función por partes, lo primero quedebemos hacer es evaluar los límites de cada una de la partes, por separado, y

después igualar los resultados para encontrar el valor que hace de unión entre lasdos.

19)13lim

1)3(3)13(lim

)13lim

13

3

3

3

bbx

bbx

bx

bx f(x)

x

x

x

(

(

)(



66

233)52(lim

5318)52(lim

53)9(2)52lim(

5)3()3(2)52(lim

)52lim(

52)(

2

3

2

3

2

3

22

3

2

3

2

bbx x

bbx x

bbx x

bbx x

bx x

bx x x f

x

x

x

x

x

Ahora igualamos los dos valores para hallar “b” :

3

11

6

22226

1233923319

233)52(lim

19)13(lim

)52(lim)13(lim

2

3

3

2

33

bbb

bbbb

bbx x

bbx

bx xbx

x

x

x x



67

353

112)(

313

113)(

2

x x x x f

x x x f

si

si

Figura 4.Generado en Derive 6.0

Ejemplo 12

Hallar el valor de b que hace a la siguiente función g(t) continua

2si23

2si9)(

2

t bt

t t bt g

Solución:

Hallamos el límite de cada función en el punto dado para que la función seacontinua:



68

49)9(lim

29)9(lim

)9(lim9)(

2

2

22

2

2

2

2

bt b

bt b

t bt bt g

t

t

t :Evaluamos

26)23(lim

2)2(3)23(lim

)23(lim23)(

2

2

2

bbt

bbt

bt bt t g

t

t

t :Evaluamos

Ahora igualamos los dos valores para hallar “b” :

42692649

26)23(lim

49)9(lim

2

2

2

bbbb

bbt

bt b

t

t

2

3

663 bbb

2si262si18)(

2si2)2(3

2si)2(9)(

2

2

t t t t t g

t t

t t t g



69


Ejemplo 13

Analizar la continuidad en los puntos -2 y 1 de la siguiente función:

12

11

25

)( 2

x x

x x

x x

x f

si

2-si

si

Solución

Hallamos el límite de cada función en los puntos dados para analizar sucontinuidad:



70

3)5(lim

52)5(lim

)5(lim5)(

2

2

2

x

x

x x x f

x

x

x

:Evaluamos

3)1(lim

14)1(lim

1)2()1(lim

)1(lim

1)(

2

2

2

2

22

2

2

2

2

x

x

x

x

x x f

x

x

x

x

0)1(lim

11)1(lim

1)1()1(lim

)1(lim)1()(

2

1

2

1

22

1

2

1

2

x

x

x

x x x f

x

x

x

x

:Evaluamos



71

3)2(lim

21)2lim(

)2lim(

2)(

1

1

1

x

x

x

x x f

x

x

x


Se dice que una función f es continua en el número “α” si y solo sí, se cumplen lassiguientes condiciones:

iii)

existe ii)

existe i)

)()(lim

)(lim

)(

a f x f

x f

a f

a x

a x



72

Los dos primeros se cumplen, pero la tercera condición no se cumple porque ellímite de una función en 1 es diferente a la otra, luego la función no es continua en1, pero si es continua en -2.


Calcule los siguientes límites:

1. x x x

x x x

x 6102

9155lim

32

23

2.542

137lim

2

2

x x

x x

x

3. 21

1lim

x

x

x

4.2423

1lim

23

2

nnn

nn

n

5.242

1542

23

nn

nn Limn

6.

nnnn

31

21

11lim

7.

32

2lim

n

nn

n

8. 12

1212lim

2

22

n

nn

n



73

9.

3 4

2 43

n

nn Limn

10.32

14lim

n

nn

Ejemplo 1

En una empresa, en una caldera, el vapor de agua, que sale del proceso desuministro de calor a los equipos se mantiene a temperatura constante dentro de

la caldera. Cuando el gas se comprime el volumen disminuye hasta que se llega auna presión crítica. Al rebasar ésta presión el gas se convierte en líquido.Interpretar la siguiente gráfica y calcular:

V P 100

limy

V P 100

lim

Solución

Observamos que cuando la presión P (en Torrs) es baja la sustancia es gaseosa yel volumen V (en litros) es grande. Cuando P se acerca a 100 tomando valoresmenores que 100, el volumen disminuye y tiende a 0.8 litros, o sea que:



74

8.0lim100

V

P

Cuando la Presión tiende a 100 tomando valores mayores que 100 la sustancia es

líquida y el volumen aumenta muy lentamente (los líquidos son casiincompresibles) tendiendo a 0.3 litros, así:

3.0lim100

V

P

Cuando la presión es igual a 100 Torrs, las formas líquida y gaseosa coexisten enequilibrio y la sustancia no se puede clasificar como gas o como líquido.

Ejemplo 2

En una casa matriz de vehículos de alta gama, se aplica la fórmula de Lorentzpara la contracción,

2

2

1c

v L L o

La cual da la relación entre la longitud L de un vehículo que se mueve convelocidad v respecto a un observador y la longitud Lo en reposo, donde c es lavelocidad de la luz. Esta fórmula indica que un objeto (vehículo) es más corto

cuando se está moviendo que cuando se halla en reposo.Calcular e interpretar L

cv lim

Solución

Lcv

lim=

2

2

1limc

v L

ocv

2

2

1limc

v L

cvo



75

2

2

1limc

v L

cvo

00 o L

Por lo tanto, si la velocidad de un objeto pudiera acercarse a la velocidad de la luz,entonces su longitud, medida por un observador en reposo, tendería a cero. Esdecir, ningún objeto puede tener una velocidad mayor o igual a c.


1. Un paciente recibe una dosis inicial de 200 mg (miligramos) de ciertomedicamento. Posteriormente se le administran dosis de 100 mg cada 4 horas. Lafigura muestra la cantidad m(t) del medicamento en la sangre a las t horas.Calcule e Interprete:

)(lim8

t f t

y)(lim

8t f

t

2. Una lente convexa tiene una distancia focal f en centímetros. Si un objeto secoloca a p centímetros de la lente, la distancia q de la imagen a la lente estárelacionada con p y f por la ecuación de las lentes



76

f q p

111

P debe ser mayor que f para que los rayos converjan.

a. Analice:

q f p

lim

b. ¿Qué le sucede a la imagen cuando p tiende a f por la derecha?



77

CONTENIDO

Segundo corte:

Unidad 2

DERIVADAS

2.1 Interpretación geométrica de la Derivada.

2.2 Teoremas: Derivada de una constante, de una potencia, de una constante por una función, de una suma, del producto, del cociente. Derivada de unacomposición de funciones (regla de la cadena).

2.3 La derivada como una razón de cambio. Razones relacionadas. Problemas derazón de cambio.

2.4 Análisis de gráficas. Máximos y Mínimos. Criterio para la primera derivadapara máximos y mínimos relativos. La segunda derivada y concavidad. Criterio dela segunda derivada.

2.5 Optimización en la empresa y la economía. Elasticidad de la demanda-maximización del ingreso-minimización del costo promedio-maximización de la

ganancia.



78

Concepto de derivada

El concepto más importante del cálculo y en general de todas las matemáticas es

el de derivada. Un ejemplo muy particular es el de calcular la pendiente de larecta tangente a una curva en un punto dado. La razón de cambio en un instante yla pendiente de la recta tangente a la curva se definieron como el límite delcociente entre el incremento de la variable dependiente sobre el incremento de lavariable independiente, cuando éste último tiende a cero en el límite, y siempreque exista.

x

y

x 0lim

x

x f x x f

x

0

lim

Entonces se llama derivada de la función f(x) en un punto x, al límite del cocienteincremental cuando x tiende a 0.

Interpretación geométrica de la derivada

Consideremos la siguiente representación geométrica

La interpretación geométrica de la deriva se puede abordar a partir del cálculo dela pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.



79

La pendiente de una curva en un punto P es la pendiente de su recta tangente enP.

Puesto que la tangente en P es una posición limitante de las rectas secantes PQ,

la pendiente de la tangente es el valor límite de las pendientes de las rectassecantes, conforme Q se aproxima a P. se encontrara una expresión para lapendiente de la curva y= f(x) en el punto P= (x1, f(x1)) que se muestra en la figura.

Si Q= [x2, f(x2)], la pendiente de la recta secante PQ es:

12

12)()(

x x

x f x f m PQ

Se denomina h a la diferencia , es decir, h = , entonces se puede

escribir como (haciendo uso del despeje de ecuaciones). Aquí, se tieneque h tiene que ser diferente de cero, en consecuencia Reemplazando el valor de en la ecuación anterior que define la pendiente yreduciendo términos en el denominador se obtiene.

h

x f h x f

xh x

x f h x f m PQ

)()(

)(

)()( 11

11

11

Conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, entonces se aproxima aesto significa que h tiende a cero. Por lo tanto el valor limitante de las

pendientes de las rectas secantes a la curva, se determina a través del siguientelímite:

h

x f h x f m

h

)()(lim 11

0tan

Esta ecuación representa la definición de derivada, así:

h

x f h x f y

h

)()(lim 11

0

,



80

Ejemplo1

Hallar la derivada de la función ²3)( x x f en el punto x = 2.

Solución

Primero: se aplica la definición de derivada a partir del límite.

h

x f h x f x f

h

)()(lim)(' 11

0

Segundo: para reemplazar se cambia el valor de x en la fórmula,colocando el valor indicado en el punto, en este caso x = 2.

h

f h f f

h

)2()2(lim)2('

0

Tercero: teniendo en cuenta como ésta definida la funcion dada ²3)( x x f se

tiene que )²2(3)( hh x f y además )²2(3)2( f reemplazando estas

últimas expresiones en la fórmula de derivada anterior, se obtiene:

hh f

h

22

0)2(3)2(3lim)2('

Cuarto: Realizando el cuadrado del binomio se obtiene.

h

hh f

h

12)44(3lim)2('

2

0

Eliminando el paréntesis al pasar a multiplicar el 3 por cada uno de lostérminos en él, llegamos a.

h

hh f

h

1231212lim)2('

2

0

Reduciendo términos semejantes se obtiene.



81

h

hh f

h

123lim)2('

2

0

Factorizando el numerador de la expresión

h

hh f

h

)123(lim)2('

0

Simplificando h

)123lim)2('0

h f h

(

Evaluando el límite

es decir, la derivada de

Ejemplo 2

Hallar la derivada de la función 7532)( 23 x x x x f

Solución


h

x f h x f x f

h

)()(lim)(' 11

0

Segundo: teniendo en cuenta como está definida la función dada

7532)( 23 x x x x f entonces para x1=x tenemos que

7532)( 23

1 x x x x f y 7)(5)(3)(2)( 23

1 h xh xh xh x f entonces

reemplazando estas dos últimas igualdades en la definición de derivada,

obtenemos:

12)2(' f 12 es 2 x en x f )(



82

h

x x xh xh xh x x f

h

)7532(7)(5)(3)(2lim)('

2323

0

Tercero: Realizando las operaciones algebraicas correspondientes, esdecir, el cubo del binomio y el cuadrado del binomio y destruyendo

paréntesis se obtiene:

h

x x xh xh xh xh xhh x x x f

h

75327)(5)2(3)33(2lim)('

23223223

0

Suprimiendo los paréntesis, realizando las multiplicaciones

correspondientes y teniendo en cuenta la ley de los signos se obtiene:

h

x x xh xh xh xh xhh x x x f

h

75327553632662lim)('

23223223

0

Reduciendo términos semejantes se llega a:

h

hh xhh xhh x x f

h

536266lim)('

2322

0

Sacando el factor común h en el numerador se llega:

h

h xh xh xh x f

h

)536266(lim)('

22

0

Simplificando h

)536266(lim)('

22

0 h xh xh x x f h

Evaluando el límite se obtiene finalmente la derivada de la función, así.



83

56²6)('

5)0(36)²0(2)0(66)(' 2

x x x f

x x x x f

Ejemplo 3

Hallar la derivada de x

x f 2

)(

Solución


h

x f h x f x f

h

)()(lim)(' 11

0

Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada x

x f 2

)( se reemplaza en

x de la siguiente manera:

h

xh x x f h

22

lim)('0

Tercero: se realizan las operaciones algebraicas correspondientes.

h

xh x

h x x

x f h

))((

222

lim)('0

Se reducen términos semejantes y luego se aplica la ley de extremos

sobre medios.

))()((

2lim)('

0 h xh x

h x f

h



84

Simplificando h en el numerador y el denominador.

))((

2lim)('

0 xh x

x f h

Multiplicando el denominador.

xh x x f

h

20

2lim)('

Aplicando el límite con h tendiendo a cero, por lo tanto la derivada de

x

x f 2

)( es:

2

2)('

x x f

Ejemplo 4

Hallar la derivada de x x f )(

Solución


h

x f h x f x f

h

)()(lim)(' 11

0

Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada x x f )( se reemplaza en x

de la siguiente manera:

h

xh x x f

h

0lim)('



85

Tercero: en este caso se realiza la multiplicación por la conjugada para

poder racionalizar las raíces presentes en el numerador.

xh x

xh x

h

xh x x f

h

.lim)('

0

Se realizan las multiplicaciones correspondientes.

.)(

lim)('0 xh xh

x xh x xh xh x x f

h

Se reducen términos semejantes

.)(

lim)('0 xh xh

h x f

h

Simplificando h en el numerador y el denominador

.1

lim)('0 xh x

x f h

Aplicando el límite con h tendiendo a cero obtenemos,

.2

1)('

x x f

Por lo tanto la derivada de es

Ejemplo 5

Si determinar Después hallar una ecuación de la rectatangente a la gráfica de f en (1,7).

x x f )( .2

1)('

x x f

322)( 2 x x x f ).1(' f



86

Solución


h

x f h x f x f

h

)()(lim)(' 11

0

Segundo: teniendo en cuenta la funcion dada 322)( 2 x x x f se

reemplaza en x de la siguiente manera:

h

x xh xh x x f

h

)322(3)(2)(2lim)('

22

0

Tercero: se realizan las operaciones algebraicas correspondientes

Se realiza el binomio al cuadrado, la multip licación y se suprime el

paréntesis teniendo en cuenta la ley de los signos.

h

x xh xh xh x x f

h

322322)2(2lim))('

222

0

Se eliminan el paréntesis multiplicando.

h

x xh xh xh x x f

h

322322242lim)('

222

0

Reduciendo términos semejantes.

h

hh xh x f

h

224lim)('

2

0

Sacando factor común en los términos del numerador y simplificando h

en el numerador y el denominador se obtiene.



87

24))(' x x f

)224(lim)('0

h x x f h

Aplicando el lími te cuando h tiende a cero :

24)('

2)0(24)('

x x f

x x f

Ahora se halla reemplazando en la derivada

624)1('

2)1(4)1('

f

f

Cuarto: se construye la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto

(1,7).

Consecuentemente, la recta tangente a la gráfica en (1,7) tiene pendiente igual

a 6, ya que la derivada de una función representa la pendiente de la recta

tangente a la curva en ese punto. Entonces aplicando la ecuación punto

pendiente.

)( 11 x xm y y

Se tiene que: m= 6 y el punto es (1,7), reemplazando:

16

766

667

)1(67

)( 11

x y

x y

x y

x y

x xm y y

)1('

f



88

Luego la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1, 7) está

dada por:


1. Utilice la definición e interpretación geométrica de la derivada para hallar la

derivada de la función 34)( 2 x x x f

2. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 42)( 2 x x f en el punto

(3,-14)

3. Obtener la pendiente de la curva1

23)(

x

x x f en el punto (1,1)

4. Derivar la función 13)( x x f utilizando la definición de límite.

5. Determine la pendiente de la curva 54)( 2 X x f cuando x=0

Teorema

Derivada de la función constante

La derivada de una función constante (c) es cero.

Como la derivada por definición de límites es:

x

x f x x f x f x

)()(lim)('0

Entonces:

16 x y



89

y x f

x f

x x f

c x f x

cc x f

x

x

x

)(

00lim)('

00

lim)('

)()()(

lim)('

0

0

0

Para

con ,

0' yc ySi

Ejemplo

Hallar la derivada de 5 y

Solución

Como y es una función constante:

0'5 y y

Derivada de una potencia

La derivada de una potencia se halla de la siguiente forma:Se multiplica el exponente por el coeficiente de la función potencia.Se le resta uno (1) al exponente.

Así: 1' nn ncx ycx y donde c es una constante

Ejemplo

Calcular la derivada de:

312 x y



90

Solución

Como se sabe la función es:

312 x y

Para derivar ésta función, bajamos el exponente, lo multiplicamos por elcoeficiente de la variable x y al exponente le restamos 1, así.

13)12)(3(' x y

236' x y

Derivada de una constante por una función

La derivada de una constante (c) por una función es igual a la constante por laderivada de la función, de la siguiente forma:

x f c y x f c y '')(

Ejemplo

Hallar la derivada de )1²(5 x x y

Solución

Como 5 es una constante entonces:

Derivando la función:

)12(5'

)012(5'

x y

x y



91

Derivada de la suma de funciones

La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las

funciones.

Es decir, si y ( x ) está determinada por la suma de dos funciones, así:

)(')('')()( x g x f y x g x f y

Ejemplo

Halle la derivada de la siguiente función:

854 3 x x y

Solución

854 3 x x y

Realizamos la derivada de cada término, como si cada uno de ellos fuera unafunción independientemente. En cierta forma se utilizó la propiedad de la derivadade suma de funciones, así:

02

1113

5)3)(4('

05)3)(4('

x x y

x x y

Recordemos que al quedar x0= 1, en el segundo término, por las propiedades dela potenciación el resultado es 5 x 1.

512'

5)3)(4('

2

02

x y

x x y



92

Derivada del producto de dos funciones

La derivada del producto de funciones es una regla especial, por lo tanto, no esigual al producto de la derivada de cada función. Esta se define de la siguientemanera:

Dadas las funciones derivables f y g, y sea x g x f y )()( se define su derivadade la siguiente manera:

x' g x f x g x f y )()()()(''

Ejemplo

Halle la derivada de la siguiente función:

)52)(84( 2 x x y

Solución

Como se sabe:

)52)(84( 2 x x y


)2()(

)1(4)( 2

52x x g

y 8 x x f

Derivando las funciones f ( x ) y g ( x ) tenemos:

)3(8' x(x) f

)4(2' (x) g

Teniendo en cuenta como está definida la derivada de un producto que se

expresa:



93

)5()()()()('' x' g x f x g x f y

Reemplazando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) en la (5) se obtiene:

842528' 2 x x x y

Ahora realizamos las multiplicaciones algebraicas:

1684016'

)84(2)52)(8('

22

2

x x x y

x x x y

Reduciendo términos semejantes en:

164024'

1684016'

2

22

x x y

x x x y

Sacando factor común se obtiene finalmente:

)253(8' 2 x x y

Derivada del cociente de funciones

La derivada del cociente de dos funciones es igual, a la derivada de la funciónnumerador por la función denominador, menos la función numerador por laderivada de la función denominador, sobre el cuadrado de la función denominador.

Es decir, sí )(

)(

x g

x f y

)(

)()()()(''

2 x g

x' g x f x g x f y

Ejemplo

Calcular la derivada de la función52

353

x

x x y



94

Solución

Se conoce que:

52

353

x

x x y

Para este caso se puede decir que:

)2()(

)1(35)( 3

x

x x x f

52xg

y

Derivando las funciones f ( x ) y g ( x ) tenemos que:

)4()(

)3(315)(' 2

x

x x f

2g'

y

Teniendo en cuenta como está definida la derivada de un cociente que se

expresa:

)(

)()()()(''

2

x g

x' g x f x g x f y

Reemplazando las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) en la (5) se obtiene:

2

32

52

23531552'

x

x x x x y

Realizamos las operaciones indicadas:

2

323

52

6101575630'

x

x x x x x y

Reducimos términos semejantes:

2

23

52

157520'

x

x x y



95

Sacando factor común en el numerador, finalmente la derivada de la función es:

2

23

52

)3154(5'

x

x x y

Derivada de funciones compuestas

Regla de la cadena

La derivada de una función compuesta x f g x f g se define como el

producto de la derivada de la primera función, la cual debe estar inicialmente entérminos de la segunda como variable independiente, por la derivada de lasegunda función llamada derivada interna, la cual actúa como función argumentoo variable independiente de la primera función. Cada una de ellas se deriva conrespecto a su variable independiente x.

Es decir, sí x f g y x f x f g y '''

Ejemplo

Hallar la derivada de la función )³2³4( x x y

Solución

Se conoce que:

)³2³4( x x y

Para este caso se puede decir que.

)1(2³4)( x x x f



96

y )2³()( x x g

Derivando la función f(x)

)3(2²12)(' x x f

Derivando la función g(x)

)4²(3)(' x x g

En consecuencia la función derivada compuesta queda:

(5) )²2³4(3)]([' x x x f g

Teniendo en cuenta como está definida la derivada de la regla de la cadena que

se expresa:

x f g y )6(''' x f x f g y

Reemplazando las ecuaciones (3) y (5) en la (6) se obtiene:

)2²12)²(2³4(3' x x x y

Multiplicando el 3 por el paréntesis derecho se obtiene:

)²2³4)(6²36(' x x x y


Calcule la derivada de las siguientes funciones, aplicando las reglas de derivación:

1. y = 9x3 - 2x + 7

2. y =3

53

x

3. y = (2x4 – 3) (-5x3 + 4)



97

4. y = x3 (-5x2 -2x)

5. y = x x

x x

32

872

23

6. y = (2x – 1)2

7. y = 12x (4x – 3)2

8. y =

1

373

x

x

9. y =

2

2

32

34

x

x

La derivada como razón de cambio o tasa de variación

Definición

Para denotar el cambio de una variable como x, es común que se utilice el símbolo(que se lee “delta de x”). Por ejemplo, si x varia de 1 a 3. Entonces el cambio

en x es . El nuevo valor de x=3 el cual es igual al valor inicial másel valor del cambio, es decir 1 + . De igual forma si t aumenta en , el nuevovalor es t + .

El análisis de la tasa de variación o razón de cambio de una variable con respectoa otra se aplica a cualquier función y = f(x). Esto significa lo siguiente:

Si y = f(x), entonces:

Tasa media de variación de y con respecto a x sobre el intervalo de x a x +está dada por la expresión:

x

x f x x f

x

y

)()(



98

Luego la tasa instantánea de variación de y con respecto a x se define a través delsiguiente límite:

x y

dxdy

x 0lim

La derivada como razón de cambio permite solucionar situaciones (problemas) enun contexto determinado, en estas situaciones se tiene una función de la que sequiere medir u obtener su razón de cambio, es decir, la derivada.

Ejemplos de aplicación

1. Hallar la razón de cambio del área de un cuadrado respecto a un lado cuandoel lado mide 5 pulgadas.

Solución

Sea 2( ) A f a a , el área del cuadrado como función de su lado.

Entonces:

aa f da

adf

da

dA

2)()( ,

Ahora para a = 5 pulgadas tenemos que:

)5(2)(' pul a f

pul a f 10)('

2. Supóngase que la ecuación de movimiento de una partícula que se mueve a lo

largo de una recta numérica está dada por 4

53 2

t s metros, encontrar la

rapidez cuando t = 10 segundos.



99

Solución

La rapidez en cualquier tiempo t está dada por

dt

dsv

Se derivada la función de distancia s con respecto al tiempo t obteniendo lafunción de rapidez, así.

t t t dt

d t

dt

d

dt

dsv

2

3)06(

4

1)53(

4

1

4

53 22

Cuando t = 10 segundos la función de rapidez toma el siguiente valor:

m/s 1510.2

3v

3. Sea 2100 q p la función de demanda para el producto de un fabricante.

Hallar la tasa de variación del precio p por unidad con respecto a la cantidad q.

¿cuán rápido cambia el precio con respecto a q cuando q = 5? El precio p estáen unidades monetarias.

Solución

Para hallar la tasa de variación de p con respecto a q se debe hallar la derivada dep, es decir, de la función de la demanda con respecto a la cantidad q.

qqdqd

dqdp 2)100( 2

Cuando q = 5



100

10

)5(2

dq

dp

dq

dp

Analizando el resultado, se puede decir que cuando se tiene una demanda de 5unidades, el aumento de una unidad en la demanda corresponde a unadisminución de aproximadamente $10 en el precio por unidad que losconsumidores están dispuestos a pagar.

4. Un sociólogo está estudiando varios programas que se sugiere pueden ayudar en la educación de niños en edad preescolar de cierta ciudad. El sociólogo

considera que después de x años de iniciado un programa específico, f(x) millaresde preescolares se inscribirán. Se tiene que:

)12(9

10)( 2 x x x f 0 ≤ x ≤ 12

¿A qué tasa cambiaria la inscripción después de tres años del inicio de eseprograma?

Solución

La tasa de variación de f(x) es la derivada de esta función:

)212(9

10)(' x x f

Después de tres años:

3

206

9

10))3(212(

9

10)3(' f

Por ello, la inscripción estaría aumentando a una tasa de millares depreescolares por un año.

3

20



101

4. Evaluar la tasa de variación de respecto a x. Evaluar la razón decambio cuando x = 2

Solución

La razón o variación de cambio es la derivada de la función 4 x y entonces su

derivada está dada por:

34 xdx

dy

Cuando x = 2, 32)2(4 3 dxdy

Eso significa que si x aumenta en una cantidad pequeña, entonces y aumentaaproximadamente en 32 veces el aumento en x. En términos simples, se dice quey aumenta a un ritmo 32 veces superior al de x.

Ejercicios propuestos de aplicación

1. En un análisis de las aguas contemporáneas de mares poco profundos, seafirma que en estas aguas el total de materia orgánica (en miligramos por litro) esfunción de la diversidad de las especies en x (en número de especies por millar deindividuos). Si y = 100/x, ¿a qué tasa de variación el total de materia orgánica conrespecto a la diversidad de especies cuando x = 10?

2. Con el método de depreciación en línea recta, el valor v de cierta maquinadespués de haber transcurrido t años, está dado por v = 50.000 + 5.000t, endonde t esta entre 0 y 10. ¿Con qué rapidez cambia v con respecto a t cuando t =2?

3. La temperatura aproximada t de la piel en términos de la temperatura Te delambiente, está dada por:

4 x y



102

)20(27,08,32 eT t

En donde t y Te están en grados Celsius. Determine la tasa de cambio de t con

respecto a Te

1. El peso W de la rama de un árbol está dado por W = 2t 0,432 en donde t estiempo. Halle la tasa relativa de cambio de W con respecto a t .

Análisis de gráficas y trazado de curvas

Derivadas de orden superior

Cuando la derivada de una función es otra función que se puede derivar, entoncespodemos hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, y el resultado es de nuevo unafunción que puede ser a su vez derivada, podemos determinar la derivada de estanueva función. En conclusión se puede decir que cuando continuamente se puededeterminar una y otra vez la derivada de una función dada, tenemos lo que seconoce por derivada de orden superior .

Ejemplo

²4³5)( x x x f

Primera derivada es: x x x f 8²15)('

Segunda derivada es: 830)('' x x f

Tercera derivada es: 30)(''' x f

Cuarta derivada es: 0)()4( x f

La n-ésima derivada es: 0)( x f n



103


1. Sea la función:

34236)( 234 x x x x x f

Hallar )1(''' f .

2. Hallar las primeras cuatro derivadas de:

x y

2

Trazados y curvas

Definición

Es una de las aplicaciones de la derivada más útil ya que permite determinar laforma y el comportamiento real de la gráfica de una función.

Al realizar el trazado de una curva se pueden analizar los siguientes elementos:

Crecimiento y decrecimiento

Máximos y mínimos

Concavidad

Puntos de inflexión

En los dos primeros se aplica el criterio de la primera derivada y en los otros dos elcriterio de la segunda derivada. Analicemos cada uno de estos elementos:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento



104

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función setiene en cuenta el criterio de la primera derivada y los siguientes aspectos:

Se deriva la función f ( x ).

Se iguala a cero la primera derivada de la función, y se resuelve la igualdadhallando los valores de x para los cuales ésta es cero.

Con los valores hallados de x en el anterior procedimiento, se determina elcomportamiento de la función original tomando intervalos que incluyan estosvalores, luego:

Para los intervalos en los que los valores de la función primera derivada seanpositivos se concluye que la función original crece.

Para los intervalos en los que los valores de la función primera derivada seannegativos se concluye que la función original decrece.

Máximos y mínimos

Los puntos de transición de crecimiento y decrecimiento y viceversa se denominanmáximos y mínimos respectivamente.

Estos valores se pueden determinar con el criterio de la primera derivada así:

Se halla la primera derivada de la función.

Se iguala la primera derivada a cero y se hallan los valores de x, por medio defactorización o por la fórmula cuadrática.

Se reemplazan los valores de x en la función original para hallar los respectivosvalores de la función.

Se grafican los puntos encontrados para saber cuál es máximo y cuál el mínimo.



105

Concavidad

Definición

Para determinar la concavidad de una función se tiene en cuenta el criterio de lasegunda derivada y los siguientes aspectos:

1. Se deriva dos veces la función f ( x ).

2. La segunda derivada se iguala a cero, y se determinan los valores de la variablex para los cuales el resultado de la ecuación sea cero.

3. Con los valores anteriores hallados de x se determina el comportamiento de lafunción así:

Se toman intervalos en los que se involucran los valores anteriores hallados dex. Luego para valores tomados en éstos en los cuales es positivo el valor de lasegunda derivada, se dice entonces que la gráfica de la función original es

cóncava hacia arriba.

Igualmente para los valores de los intervalos en los que los valores de lasegunda derivada sean negativos, se dice que la función original es cóncavahacia abajo.



106

Puntos de inflexión

Definición

Un punto de inflexión es el punto en donde la curva de una función cambia deconcavidad, estos involucran el criterio de la segunda derivada. Para hallar lospuntos de inflexión se tienen en cuenta los siguientes aspectos.

A la primera derivada le sacamos una segunda derivada y a esta última funciónhallada la igualamos a 0.

Hallamos los valores de x para los cuales nos de cero la segunda derivada.

Con los valores hallados de x, estos se remplazan en la función original paraencontrar los valores que toma la función.

Con los valores de x y los de la función determinamos los puntos de inflexión.

Ejemplo 1

De la ecuación x x x 3223 hallar:

a. Los puntos críticos si los hay.

b. Dónde la función crece o decrece.

c. Puntos de inflexión si los hay.

d. Dónde la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.

e. Las coordenadas de los puntos principales.

Solución

a. Los puntos críticos si los hay.

Primero sacamos la primera derivada de la función



107

343'

1343343´

3223

32

2

2012

111213´

23

x x y

x x x x x y

x x x y

x x x y

Para hallar los puntos críticos igualamos a cero la primera derivada:

0343

343'

2

2

x x

x x y

Para determinar los valores de x para los cuales se cumple la igualdad en laecuación anterior, se utiliza la formula general para resolver ecuacionescuadráticas, así:

)3(2

)3)(3(444

0343

2

4

2

2

2

x

x x

a

acbb x



108

869,13

13

3

2

53503

13

3

2

3

13

3

2

6

132

6

4

6

1324

61344

61344

6

524

6

36164

22

11

x x

x x

x

x x

x x

x x

,

Tenemos dos puntos críticos en:

869,1

535,0

2

1

x

x

b. Dónde la función crece o decrece.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original,tomamos un valor en el intervalo comprendido entre -∞ y el primer punto crítico,luego otro valor en el intervalo comprendido entre el primer valor y el otro punto

crítico y por último otro valor en el intervalo comprendido entre el último puntocrítico y +∞, todos estos valores elegidos se remplazan en la primera derivada dela función, luego se tienen en cuenta los siguientes aspectos: si el valor determinado en la función de la primera derivada al reemplazar los valoresescogidos en los diferentes intervalos es positivo, se concluye que la funciónoriginal crece y si es negativo la función original decrece.



109

1)2('

3812)2('38)4(3)2('

3)2(4)2(3)2('

343)('

2

2

f

f f

f

x x x f

Entonces la función crece en el intervalo )869,1,(

3)0('

300)0('

3)0(4)0(3)0('

343)('

2

2

f

f

f

x x x f

Entonces la función decrece en el intervalo )535,0,869,1(

4)1('

343)1('34)1(3)1('

3)1(4)1(3)1('

343)('

2

2

f

f f

f

x x x f

Entonces la función crece en el intervalo ),869,1(

c. Cuando los puntos hallados, son de inflexión.Para hallar los puntos de inflexión, hallamos la segunda derivada de la función:



110

Solución

46)(''

046)(''

04)3(2)(''

343)('

01

1112

2

x x f

x x x f

x x x f

x x x f

Igualamos la segunda derivada a cero:

046

46)(''

x

x x f

66,0

3

2

6

4

6

446

x

x x

x x

Ahora reemplazamos éste valor en la función para hallar la coordenada en y:



111

3

6

9

8

27

8)

3

2(

)3

2(3)

9

4(2)

27

8()

3

2(

)

3

2(3)

3

2(2)

3

2()

3

2(

32)(

23

23

f

f

f

x x x x f

6,2

27

70

27

70)

3

2(

27

54248)

3

2(

y

y

f

f

Tiene un punto de inflexión en )6,2,66,0(

d. Donde la concavidad es hacia arriba o hacia abajo.

Para hallar los intervalos de concavidad, damos un valor entre -∞ y el punto deinflexión y otro valor entre el punto de inflexión y +∞, a la segunda derivada de lafunción, si el valor es positivo, el intervalo de concavidad es hacia arriba y si esnegativo el intervalo de concavidad es hacia abajo.



112

Solución

2)1(''

46)1(''

4)1(6)1(''

46)(''

f

f

f

x x f

El intervalo de concavidad es hacia abajo en )6,0,( -

4)0(''

40)0(''

4)0(6)0(''

46)(''

f

f

f

x x f

El intervalo de concavidad es hacia arriba en ),6,0( .

e. Las coordenadas de los puntos principales.

Para hallar las coordenadas de los puntos máximos y mínimos, se reemplazan lospuntos críticos en la función para hallar la coordenada en y:

Solución

869,1

535,0

2

1

x

x



113

88,0)535,0(

)535,0(3)535,0(2)535,0()535,0(

)535,0(3)535,0(2)535,0()535,0(

32)(

23

23

23

f

f

f

x x x x f

06,6)869,1(

)869,1(3)869,1(2)869,1()869,1(

32)(

23

23

f

f

x x x x f

Entonces el punto mínimo está en )0,88 , 535,0(

El punto máximo está en ),066 , 869,1(

El punto de inflexión está en )6,2,6,0(

La siguiente es su gráfica:

Generado en Derive 6.0



114


1. Determine cuando la función es creciente o decreciente y halle cuando ocurren

máximos y mínimos de la función f(x) = x3

– 6x2

+ 12x - 6

2. Determine la concavidad y los valores de x en donde ocurren puntos deinflexión. No trace las gráfica. Y= 3x2 – 6x + 5

3. Trace la gráfica de la función y= x3 – 12x + 20

Optimización de la empresa y la economía

Elasticidad de la demanda y oferta

Concepto de demanda

La demanda determina la relación que existe entre las cantidades de productosque los consumidores desean adquirir de un bien determinado (cantidad dedemanda) y el precio de dicho bien.

Dicha relación puede establecerse matemáticamente y representarse por mediode una gráfica o tabla de demanda, en donde se mostraría que cuando el preciode un artículo es mayor, es decir, crece, menor cantidad de ese bien estaríadispuesto a comprar el consumidor, o viceversa, cuanto más bajo es el precio,más unidades del mismo demandaran.

En matemáticas las relaciones que se comportan de esta manera se denominan

relaciones inversas, porque cuando el precio aumenta la cantidad demandadadisminuye o cuando el precio disminuye la cantidad demandada aumenta.

Los consumidores pueden disminuir la cantidad demandada en la medida que elprecio suba por las siguientes razones:



115

a. Cuando aumenta el precio de un bien algunos consumidores que previamentelo adquirían dejaran de hacerlo y buscaran otros bienes que lo sustituirán.

b. Otros consumidores aun sin dejar de consumirlo demandaran menos unidades

del mismo por dos razones, porque se han encarecido respecto a otros bienescuyo precio no ha variado y porque la elevación del precio ha reducido lacapacidad adquisitiva de la renta.

Concepto de oferta

La oferta es la relación que existe entre el precio de un bien y las cantidades queun empresario desearía ofrecer de ese bien en un tiempo determinado.

Al igual que la demanda, la oferta se puede representar matemáticamente a través

de una tabla o gráfica. Esta tabla muestra el comportamiento de los productores, silos productores bajan los precios del producto los costos de producción no secubren, por lo tanto, los productores no producirían nada lo que quiere decir que aprecios más altos, la producción seria mayor.



116

El equilibrio en el mercado

Definición

Un mercado determinado está formado por los compradores y vendedores de unbien o de un servicio. Cada uno tiene sus expectativas de consumo y producción,estas están representadas por la demanda y la oferta.

Al representar la demanda y la oferta como curvas se puede encontrar un puntoen común denominado punto de corte entre la oferta y la demanda. En este puntode corte de las curvas de oferta y demanda se dice que los compradores yvendedores coinciden en las decisiones, es decir, en este punto de equilibrio loscompradores están comprando la cantidad que desean comprar, y los vendedoresestán vendiendo la cantidad que desean vender.

El punto de equilibrio en el mercado, es una pareja ordenada cuya abscisa es elprecio y la ordenada es la cantidad. En la gráfica, es el punto de intersección entrelas curvas de oferta y la demanda.



117

Elasticidad de la demanda

Definición

La elasticidad de la demanda, es un medio por el cual se mide la incidencia delprecio de un producto en la cantidad demandada.

Matemáticamente la elasticidad de la demanda se define como la razón entre elcambio porcentual en la cantidad demandada y el cambio porcentual en el precio.

dq

dp

q

p

ó

,,precioelenporcentualcambio

cantidadlaenporcentualcambioE.D.

Siendo la elasticidad de la demanda, p el precio, q la cantidad de artículos, dp lavariación en el precio y dq, la variación en la cantidad.

Al realizar la gráfica de la demanda, cuanto más horizontal sea la curva de

demanda, mayor es la elasticidad de la demanda. Del mismo modo, si la curva dedemanda es más bien vertical, la elasticidad de la demanda será inelástica alprecio.



118

Elasticidad de la oferta

Definición

La elasticidad de la oferta se define como el cambio de la cantidad ofrecida enrazón a la variación del precio.

La elasticidad de la oferta se divide en tres clases:

Nula: Es aquella en donde la cantidad ofrecida no cambia por las variaciones deprecio.

Infinita: Se presenta cuando al disminuir el precio no se vende nada.

Unitaria: Se da en el momento en que aumenta el precio generando unincremento en la cantidad ofrecida.

La elasticidad de la oferta depende en gran medida de cómo se comporten loscostos al variar el volumen de producción.

Ingresos, costos y ganancia

Definición

El precio que debe fijar el empresario es aquel para el cual la elasticidad de lademanda es unitaria. El gasto total de los consumidores se maximiza en el puntoen el que la demanda tiene elasticidad unitaria. El beneficio total de una empresase calcula por la diferencia entre sus ingresos totales y sus costos totales y laempresa logra maximizar sus ganancias o beneficios totales a corto plazo en el

punto en el cual se encuentra la mayor diferencia positiva entre sus ingresostotales y sus gastos totales.



119

Maximización del ingreso

Definición

La función del ingreso total para un fabricante está dada por: r = f (q), estafunción establece que el valor total en unidades monetarias que se recibe por laventa de q unidades de un producto es r.

El ingreso marginal se define como la tasa de variación del valor total que serecibe con respeto al número total de unidades que se vende. Por consiguiente, elingreso marginal es simplemente la derivada de r con respecto a q.

Ingreso marginaldq

dr I

Los ingresos marginales señalan la tasa a la cual varían los ingresos con respectoa las unidades que se venden, se le interpreta como los ingresos aproximados quese reciben por la venta de una unidad adicional de producción.

Minimización del costo promedio

Definición

La función de costo total de un fabricante está dada por la ecuación: c =f (q), estádetermina el costo total c de fabricar y vender q unidades de un producto. La tasade cambio de c con respecto a q se denomina costo marginal. En consecuencia,

Costo marginal =dq

dc

Si c es el costo total de fabricar q unidades de un producto, entonces el costopromedio por unidad, c está dado por:



120

q

cc

Ejemplo 1

Consideremos la siguiente gráfica que nos muestra la oferta y la demanda en unmismo plano cartesiano.

Si el precio fuera superior a $20, por ejemplo $30, la demanda se desalienta.Muchos compradores no dispondrían de los ingresos suficientes para adquirir elproducto, y la cantidad demandada disminuye a 10 unidades. Con respecto a laoferta, el nuevo precio alienta a los productores a ofrecer más, las cantidadesofrecidas aumentan a 60 unidades.

La diferencia entre cantidades ofrecidas y demandadas provoca un excedente(exceso) de producción de 50 unidades que quedan sin vender, y los oferentescomenzarán a bajar los precios

Si por el contrario el precio bajara a $15, los compradores se sentiríaninsatisfechos, porque demandarían 40 unidades, y los vendedores ofrecerían solo



121

15, existiría un exceso de demanda de 25 unidades (escasez). La presión de lademanda haría aumentar el precio.

Ejemplo 2

Hallar el punto de equilibrio entre la oferta y la demanda es una de lasaplicaciones de la matemática en la administración y la economía. En el caso quese conocieran las leyes que rigen la oferta y la demanda de un bien, paraencontrar el punto de equilibrio se aplican los conocimientos de los métodos desolución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Encontrar el punto de equilibrio de un determinado bien sabiendo que las leyes deoferta y demanda se comportan de la siguiente manera:

853 p D Demanda

202 pO Oferta

Resolviendo el sistema de ecuaciones, en este caso igualando la ecuación deoferta y demanda se tiene:

21

5

1051055

852023

202853

p

p p

p p

p p

En este caso, el precio de equilibrio es p = 21 y la cantidad de equilibrio es q = 22.

Ejemplo 3

Determinar la elasticidad de la ecuación de demanda:



122

400402 p pq

Esta ecuación define implícitamente a p como función de q.

402 pdp

dq

Por lo tanto,

dp

dqdq

dp 1

)402(

1

pdq

dp

Y la elasticidad de la demanda seria:

q

p p

p

q

p

dq

dp

q

p

)402(

402

1

Por ejemplo, si p = 15, entonces q = 25; por ello 625/)]10(15[ y la

demanda es elástica.

Ejemplo 4

Si la ecuación de costos promedios de un fabricante es:

qqqc

000.5502,00001,0 2

Obtener la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando sefabrican 50 unidades?



123

Solución

En primer lugar, se encuentra el costo total c. como

cqc , entonces

000.5502,00001,0

]000.5

502,00001,0[

23

2

qqqc

qqqqc

cqc

Derivando la función c se obtiene la función de costo marginal:

504,00003,0

0)1(5)2(02,0)3(0001,0

2

2

qq

qqdq

dc

El costo marginal cuando se fabrican 50 unidades es:

75,35)50(04,0)50(0003,0 2

50

qdq

dc

Si c está en dólares y se aumenta la producción en una unidad de q = 50 a q = 51,entonces el costo de la unidad adicional es aproximadamente $3,75.Si se aumenta la producción en un tercio de unidad a partir de q = 50, entonces el

costo de la producción adicional es aproximadamente 25,1$)75,3(

3

1

Ejemplo 5

Si la ecuación de demanda para el producto de un fabricante es)5(

000.1

q p

hallar la función de ingreso marginal y evaluar cuando q = 45 unidades.



124

Solución

El ingreso r que se obtiene por la venta de q unidades es:

Ingreso = (precio)(cantidad)

pqr

Por consiguiente, la función de ingreso es:

5

000.1

))(5

000.1(

q

qr

qq

r

La función de ingreso marginal esdq

dr

Realizando la derivada del cociente, multiplicando y reduciendo términossemejantes tenemos:

2

2

)5(

000.5

)5(

)1)(000.1()000.1)(5(

qdq

dr

q

qq

dq

dr

Ahora se reemplaza q en la función de ingreso marginal por 45 unidades:

2

45 )545(

000.5

qdq

dr

|



125

2500.2

000.5

)50(

000.52

Esto significa que vender una unidad por encima de 45 unidades da comoresultado aproximadamente $2,00 más de ingreso.


1. Considérese la función de costo en la que c es el costo de fabricar q unidadesde un producto. Halle la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginalcuando q = 3?

85023,0 2 qqc

2. Supóngase que es una ecuación de demanda para elproducto de un fabricante.

a. Obtenga la tasa de cambio de p con respecto a q.

b. Determine la tasa de cambio relativa de p con respecto a q.

c. halle la función de ingreso marginal.

3. Supóngase que la demanda p (en dólares) al fabricar q unidades de unproducto es:

4002,2396 2 qq p

4. Evalúe el cambio aproximado en las utilidades, si el nivel de producción cambiade q = 80 a q = 81.

a. Halle el punto de equilibrio para las ecuaciones de oferta y demanda:

20100 2 q p



126

12800

1 q p Ecuación de demanda.

8300

1 q p Ecuación de oferta.

b. Halle el punto de equilibrio para la oferta.

c. Halle el punto de equilibrio para la demanda.





128

Antiderivada y reglas de integración

Antiderivada de una función

Definición

Consiste en averiguar la función original conociendo la derivada de ésta. Es decir,aquí siempre se averigua la integral de la derivada de una función dada.

Sí la función y =f(x), tiene como derivada a y’ =f ’(x), es posible establecer lasrelaciones: y’ es la derivada de y; y es la anti derivada de y’.Por ejemplo, la función y = 2x, es la derivada de la función y = x 2, pero también es

la derivada de y = x2 – 3; y = x2 – 5; y = x2 + 2 5 .

Por lo tanto, si y = x

2

, entonces y’ = 2x O sea, que sí y = x2 + C, entonces y’ = 2x + 0. Podemos concluir que y’ = 2x es la derivada de y = x2 + C; donde C es cualquier número real.

Anti derivada de la función de la forma f(x) = xn

El siguiente cuadro muestra algunas funciones y las anti derivadas de cada una de

ellas:

FUNCI N ANTIDERIVADAf(x) F(x)1

x

x2

x3

x + C

C x

2

2

C x

3

3

C x

4

4

Para realizar una anti derivada de la forma xn se procede de la siguiente forma:



129

Ejemplos

1. Hallar la antiderivada de 5)( x x f

Solución

La antiderivada es F(X).

Si 5)( x x f para hallar F(x), al exponente se le suma 1 y éste pasa a dividir al

coeficiente de la función, así:

C x

x F

15

)(15

C x

6

6

2. Hallar la antiderivada de la función 410)( x x f

Solución

Para hallar F(x), se le suma 1 al exponente y éste baja a dividir:

C

x x F

14

10)(

14

Realizamos las operaciones del caso:

Por lo tanto, F(x) de 410)( x x f es:

C x x F 52)(

En general podemos decir que si n es un número real diferente de -1, F(x) de la

función n x x f )( , es el cociente que resulta de dividir la base elevada a su

exponente original aumentado en uno, por el exponente también aumentado enuno, es decir:



130

Si n x x f )( entonces, C

n

x x F

n

1)(

1

Reglas de integración

Integral definida de una función

Definición

El conjunto de todas las anti derivadas de f(x) se llama integral de la función f(x) y

se denota de la siguiente forma:

dx x f

Se lee como la integral de la función f(x) de x. La notación dx se refiere a lavariable x, respecto a la cual se integra la función.

La notación dx x42 , se lee como la integral de 2x4 respecto a la variable x.

La notación dx x3

2

1, se lee como la integral de un medio de x al cubo respecto a

la variable x.

Integral de una constante

Definición

La integral de una constante k se soluciona aplicando la siguiente expresión:

C kxkdx



131

Ejemplo 1

Resolver la siguiente integral:

dx23

Solución

De acuerdo a la definición de la integral de una constante tenemos que elresultado de la integral propuesta es:

C xdx 2323

Ejemplo 2


dx5

Solución

Otra forma de realizar ésta integral es sacando el coeficiente de la integral,incluyendo el signo, así:

dxdx 55

La integral de es , por lo tanto:

dx5 C xdx 55

dx x



132


Resolver las siguientes integrales:

1. dx17

2. dx5

1

3. dx100

4. dx36

6

5. dx

Integral de una potencia

Definición

La integral de un monomio, se obtiene aplicando la siguiente expresión:

C n

xdx x

nn

1

1

, con n -1.

Ejemplo 1


dx x53

Solución

La función es 53 x



133

Se suma 1 al exponente y como denominador queda el exponente aumentado en1, así:

C x

15

315

Realizando la operación indicada en el denominador tenemos:

C x

6

3 6

Reduciendo términos

C x

2

6

Se concluye que:

C x

dx x 23

65

Ejemplo 2

Resolver la integral:

dx x

3

Solución

Reemplazamos la raíz cuadrada por la fracción ½, teniendo en cuenta la ley delos exponentes (específicamente, potencia de una potencia): se obtiene

dx x 23

Como es de la forma xn, entonces aplicamos la regla de integración indefinida,obteniendo la siguiente expresión:



134

C x

dx x

1

2

3

12

3

23

Realizamos las operaciones indicadas:

La suma de 12

3 =

2

2

2

3 =

2

1

Tenemos que:

C

x

dx x

2

1

21

23

Realizando productos de extremos sobre el producto de medios:

C xdx x

21

23

2

Volvemos el exponente raíz cuadrada, y ésta es la respuesta:

dx x

3 = C x

2


Resolver las siguientes integrales:

1. dx x

5

3

2. dx x95

3.

dx x2

5

4



135

4. dx x

315

5. dx x53

Integral de la suma o diferencia de funciones

Definición

La integral de una adición (suma o diferencia) de funciones está determinada por la expresión:

dx x g dx x f dx x g x f

O sea, la integral de una adición (suma o diferencia) de funciones polinómicas,será igual a la adición (suma o diferencia) de las integrales de cada uno de lostérminos monomios que integran el resultado de realizar cualquiera de las dosoperaciones.

Ejemplo 1


dx x x x 4245 23

Solución

Se comienza separando cada uno de los términos que componen la función polinómica:

dx xdxdx xdx xdx x x x 42454245 2323



136

Integramos cada uno de los términos, aplicando las reglas de la Integraciónanteriores, así:

)1(4

5

5 1

43

C xdx x

)2(3

44 2

32 C xdx x

)3(2

22 3

2

3

2 C xC x xdx

)4(44 4 C xdx

El resultado es la suma de (1), (2), (3) y (4):

dx x x x 4245 23

=C x x x x

4

3

4

4

5 234

Con C = C1 + C2 + C3 + C4

Ejemplo 2

Resolver la integral:

dx x x x x 56

71

32 25

Solución

Se comienza separando cada uno de los términos que componen la función polinómica:

dx x xdxdx xdx xdx x x x x 567

1

3

2

567

1

3

2 2525

Realizamos las integrales de cada uno se los términos que componen la funciónpolinomio:



137

)1(9

1

18

2

3

21

6

1

65 C xC xdx x

)2(21

1

7

1

2

32 C xdx x

)3(32

66 3

2

3

2 C xC x xdx

)4(53

2

53

2

12

1555

4

3

42

3

4

12

1

21

21

C xC x

C x

dx xdx xdx x

El resultado es la adición (suma o diferencia) de (1), (2), (3) y (4):

dx x x x x 56

7

1

3

2 25

=C x x x x

3236 5

3

23

21

1

9

1

Con C = C1 + C2 + C3 + C4


Solucionar las siguientes integrales

1. dx x x x 25 125

2.

dx x x x 345

5

7

11

4

3

1

3.

dx x x x 3 335 216

5

12

Cuadro de algunas funciones conocidas, con su derivada y su antiderivada



138

FUNCION DERIVADA INTEGRAL

1, n x y n

1 nnx

dx

dy

1;1

1

nC n

xdx x

nn

xa y aadx

dy x ln C

aadxa

x

x

ln

xe y

xedx

dy

C edxe x x

x y ln xdx

dy 1

C x x

dxln

Integración por sustitución

Definición

La integración por sustitución se efectúa en funciones compuestas,estableciéndose en el siguiente teorema:

Integración de una función compuesta

Si f y g son funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena parala función compuesta y = f[g(x)], y si F es una función primitiva de f , entonces:

C x g F dx x g x g f '

Si entonces , por lo tanto:

C u F duu f

Ejemplo 1


)( x g U dx x g dU )('



139

dx x f k dx xkf )()(

dx x x )3()2( 22

Solución

La integración por sustitución sigue el siguiente procedimiento:

1. Aplicando el teorema de las integrales a la expresióndada:

dx x x )3()2( 22

dx x x )²2²(3

2. Reemplazamos por u la función más compleja:

)2²( xu

3. Hallamos la derivada de u con respecto a x

xdx

du2

4. Despejamos dx en función de du

dx x

du

2

5. Se sustituye dx y u en la función dada

xduu xdx x x2

)(3)²2²(3 2

6. Simplificando X y sacando la constante de la integral



140

x

duu xdx x x

2)(3)²2²(3 2

duu)²(2

3

7. Aplicando el teorema de la integralC

n

xdx x

nn

1

1

C u

3

³

2

3

8. Simplificando y reemplazando la u

C x

2

)2²( 3

En consecuencia:

C

xdx x x

2

2)3()2(

3222

Ejemplo 2


dx x x 1

Solución

Aplicando el teorema de los exponentes para las raíces

)1()1(1 2/1dx x xdx x x

Reemplazamos por u la función más compleja

)1( xu

Hallamos la derivada de u con respecto a x



141

1dx

du

Despejamos dx en función de du

dxdu

Se sustituye dx y u en (1)

)2()()1( 2/12/1duu xdx x x

Como ésta integral queda con dos variables diferentes, es necesario despejar x enfunción de u y reemplazarla en (2)

duuuduu x

xu xu

))(1()(

11

2/12/1

Aplicando la ley distributiva y resolviendo

duuu

duuuu

)(

1

2/12/3

2/12/1

Por el teorema de la integral de adición de funciones

duuduu2/12/3

Aplicando el teorema de la integralC

n

xdx x

nn

1

1

duuduu 2/12/3C

uu

12/112/3

12/112/3

Resolviendo las operaciones indicadas



142

C uu

C uu

3

2

5

2

2/32/5

2/32/5

2/32/5

Reemplazando u y Factorizando

C x

x

C x

x

C x x

3

1

5

1)³1(2

3

1

5

1)1(2

3

)1(2

5

)1(2

2/3

2/32/5

Por lo tanto

C x

xdx x x

3

1

5

1)³1(21


Calcula las siguientes integrales por el método de sustitución:

1. dx x x 22

2. dx x

x

29

3. dxa x2



143

Integración por partes

Definición

Cuando una función que se desea integrar es igual al producto de dos funciones,una de las cuales es la derivada de una función conocida, se puede aplicar elmétodo de integración por partes.

vduuvudv

El método de integración por partes se aplica a funciones que sean el producto dedos funciones, una de las cuales es la derivada de una función conocida. Para susolución se procede de la siguiente forma:

1. La función a integrar es expresada como el producto de dos funciones. A una

de ellas se le denota u, la otra función multiplicada por dx se denota como dv.

2. La parte seleccionada como dv debe ser integrable y de fácil solución.

3. La integral sustraendo en el teorema debe ser simple, es decir, de fácil

solución, más que la integral inicial .

Ejemplo 1

Solucionar la siguiente integral:

xdx2ln

Solución

ln 2 x dx

Este tipo de integrales se hallan por el método de la integración por partes que seenuncia así:

vduudv



144

.udv u v vdu

Para:

ln 2

1*2

2

u x

du

dx x

dxdu

x

dv dx

dv dx

v x

Remplazando los valores hallados en el teorema citado

ln 2 dx ln 2 .( ) ( ).

Simplificando la x

ln 2 dx ln 2 .( )

Evaluando el integral y organizando la expresión

ln 2 dx ( ) ln 2

dx

x x x x x

x x x dx

x x x x C

Ejemplo 2.

Solucionar la integral dxe x x2

Solución

2

Los integrales del tipo x e se suelen realizar por la integración por partes

.

x

n nx

x e dx

udv u v vdu



145

Aplicando el teorema, hallamos el valor de du y v, correspondientemente.

2

2

2

u x

du x

dx

du xdx

x

x

x

dv e dx

dv e dx

v e

2 2

2 2

Reemplazando los valores hallados en el teorema citado

. (2 )

. 2 (1)

Como nuevamente queda un integral de la forma x e , volvemos a aplicar

el teorema anterior

x x x

x x x

n nx

x e dx x e e xdx

x e dx x e xe dx

dx xe x

Hallamos el valor de du1 y v1, correspondientemente.

1

1

1

u

1

x

du

dx

du dx

1

1

1

x

x

x

dv e dx

dv e dx

v e

Reemplazando los valores hallados en el teorema citado:

dxe xedx xe x x x

Evaluando la integral que resulta en forma directa:

C e xedx xe x x x



146

2 2

2 2

Factorizando

( 1) (2)

Reemplazando el valor de (2) en (1)

. 2 ( 1)

Factorizando y terminando

2( 1)

x x

x x x

x x

xe dx e x C

x e dx x e e x C

x e dx e x x C


Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales:

1. dx x x 1

2. dxe x x3

3. xdx x ln

La Integral Definida

Definición

El área bajo la curva de una función es igual al límite de la suma de las áreas de nrectángulos, a medida que el número de rectángulos se acerca al infinito, y la basede los rectángulos se aproxima a cero.



147

El límite de ésta suma de áreas se llama integral definida y se define como laintegral definida de la función y =f(x) entre los valores a y b:

n

k n

b

a

x xk a f límdx x f 1

Y se lee: integral definida entre a y b de la función f(x) respecto a x.

El lado izquierdo de la ecuación muestra cómo se denota la integral definida. Losvalores a y b que aparecen, abajo y arriba del signo de la integral, se llamanlímites de integración. El límite inferior es a y el límite superior es b.

Teorema fundamental del cálculo

Si f(x) es una función continua definida en un intervalo cerrado [a, b], entonces laintegral definida de f(x) es la diferencia entre los valores de los extremos superior e inferior de la antiderivada de f(x).

a F b F dx x f b

a , donde F es cualquier antiderivada de f , es decir

)()(' x f x F

Ejemplo 1

Calcular la integral definida dx x 1

0

22)23(

Solución

Desarrollamos primero el producto notable:



148

dx x x

x x x

)4129(

)4129()23(

1

0

24

2422

Ahora aplicando la propiedad de la integral de la adición de funciones tenemosque:

0

1

5

999

4129)4129(

51

0

4

1

0

4

1

0

1

0

2

1

0

4

1

0

24

xdx xdx x

dxdx xdx xdx x x

0

144

5

9)4129(

0

14

312

59)4129(

0

144

0

1

3121212

3

51

0

24

351

0

24

1

0

31

0

2

1

0

2

x x x

dx x x

x x x

dx x x

xdx

xdx xdx x

Evaluamos la función hallada en los valores dados de integración:



149

005

044

5

9

)0(4)0(45

)0(9)1(4)1(45

)1(9

0

144

5

9)4129(

3535

351

0

24 x x x

dx x x

cuadradas.unidadessonU²queSabiendo

2

1

0

22

5

49)23(

5

498

5

908

5

9

U dx x

Ejemplo 2

Calcule la integral definida dx x 1

0

23

Solución

Integramos por el método de sustitución de variable:

)1(23

1

0

dx x

Haciendo u a la función que se encuentra dentro de la raíz

3

23

dx

du

xu

dxdu

3



150

Remplazando u y du en (1)

323

1

0

1

0

duudx x

Sacando la constante de la integral:

duu

1

03

1

Aplicando el teorema de los exponentes para la raíz:

duu

1

0

2/1

3

1

Utilizando el teorema de los integrales:

1

0

2/31

0

2/1

1

0

2/31

0

2/3

9

2

3

1

33

2

2/33

1

u

duu

uu

Cambiamos nuevamente la variable, entonces:

0

1

9

)23(2

0

1

9

2 2/32/3 xu

Evaluamos:

0

1

9

)23(2 2/3 x



151

9)20(2

9)23(2

9

)2)0(3(2

9

)2)1(3(2

2/32/3

2/32/3

2

1

0

2/32/3

855980613.19

24

9

510

924

951023

9

24

9

510

9

82

9

1252

9

22

9

52

U

dx x

Siendo U2 = unidades cuadradas.


Hallar el valor de la integral en cada caso:

1. 5

2

2 )1( dx x

2. 3

1

)52( dx x

3. 4/3

1

1dx x



152

4.

0

2

2 )32( dx x x

5.

3

2/1

2

1

dx x

Área bajo la Curva

Definición

Calcular la integral definida de una función f, entre dos valores dados de x, esexactamente el problema de calcular el área bajo la curva entre la función f y el ejex, en el intervalo comprendido entre los valores dados de x.

Ejemplo 1

Halle el área limitada por la curva xy = 46, el eje x ylas rectas x = 5, x = 20

Solución

46

46

46( )

xy

y x

f x x

Para hallar el valor del área limitada por la curva y el intervalo dado, integramos enforma definida dentro del intervalo dado de la siguiente forma:

20546

)( x x x

x f



153

20

5

20

5

20

5

||46

46

46

x Ln A

xdx A

dx x

A

Evaluando en el intervalo dado la función solución tenemos:

20

46 | 20 | | 5 | 465

46 | 4 |

A Ln Ln Ln

A Ln

20

5

20

2

5

2

4663.76954061|

46 64

Siendo U unidades cuadradas

dx x

dx U x

Ejemplo 2

Hallar el área limitada por la curva y la recta que pasa por los puntosP1 = (1,4) y P2 = (−1,0), es:

Solución

Tenemos que hallar la ecuación de la recta con los puntos dados:

22 x y



154

)0,1()4,1( 21 P y P

Hallamos la pendiente de la recta:

224

1140

mmm

La ecuación canónica de la recta es:

bmx y

224

)1(24

bb

bmx yb

22 x ybmx y

Luego el área pedida se encuentra entre la línea y la parábola determinadasrespectivamente por las siguientes funciones.

222 2 x y x y

Ahora hallamos los valores de x que nos determinan los puntos de corte quelimitan el área pedida, esto se hace así:

Como:

222 2 x y x y

Igualando las expresiones y despejando la x, se obtienen los puntos deintersección:

20

0)2(02

0222

222

21

2

2

2

x x

x x x x

x x

x x

y



155

Entonces el intervalo de valores para la variable x es: [0,2]

Para hallar el valor del área limitada por la parábola y la recta, solucionamos laintegral definida, tomando como límites de integración el intervalo de valores

determinado de la variable x, así:

2

0

2

2

0

2

)222(

)]2()22[(

dx x x A

dx x x A

2

0

2 )2( dx x x A

2

3322

2

0

32

0

2

2

0

32

0

22

0

2

2

0

2

0

2

2

0

34

3

4

3

84

3

0202

3

3222

2

U A

A

A

x x A

x xdx x xdx A

dx x xdx A

Siendo U2 = unidades cuadradas.



156

Ejemplo 3.

Determinar el área bajo la curva entre la función, , la línea x = e y el eje x.De donde:

“El número e conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue

reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien

introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. Más adelante bajo ese

mismo concepto se definen los logaritmos naturales ( ln ) como los logaritmos de base

e. Su valor aproximado es 2.7182818284…”

Solución

Teniendo en cuenta que los valoresde y sobre el eje x son iguales a cero.

Ahora para hallar el punto deintersección entre estas dos funcioneslas igualamos de la siguiente manera:

0||

0||

xln

y xln y Si

Hallamos el punto de corte de la función y con el eje x para hallar el intervalo:

0||ln0|| x x ySi eln

Por definición de logaritmo:

unoaigualesresultadosu

quecuentaenteniendoLuego

b

,exp

0ln

ln

0

cero seaonentecuya potenciatodaque sabe seComo

xe

x

cebcSi

e

e

x

queconcluye se Entonces

e

1

10

ln( ) y x



157

Entonces el intervalo de valores determinado de x es:

],1[ e

Para determinar el valor del área limitada por la curva y el eje x, integramos enforma definida dentro del intervalo hallado para x, así.

dx x Ln

e

1

|| Integramos por integral inmediata, así:

Este tipo de integrales se hallan por el método de la integración por partes que seenuncia así:

vduvuudv .

Para:

x

dxdu

xdx

du

xu

1

||ln

xv

dxdv

dxdv

Remplazando los valores hallados en el teorema citado

ee

x

dx x x xdx x

11

)().(||ln||ln

Simplificando la x:

ee

dx x xdx x11

)().(||ln||ln

Organizando la expresión anterior:

ee

x x xdx x1

1

||ln)(||ln

Evaluamos la integral hallada:



158

110||ln

1)0(10||ln

1)0(1)1(||ln

1|1|ln1||ln||ln

1

1

1

1

e

e

e

e

dx x

dx x

eedx x

eeedx x

Entonces:

1||ln1

e

dx x

El área bajo la curva de la función , la línea x = e y el eje x, es:

21U A


Hallar el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funcionesdadas, el eje x y las rectas indicadas:

1. y = x2 , x = 0 , y = 2

2. y = x

, x = 3

3. y = x3 , x = 0 , y = 4

|| x Ln y



159

Áreas entre dos curvas

Definición

El área entre dos curvas, entre y = f ( x ) y y = g ( x ), en el intervalo cerrado [a,b],está dado por el valor de la integral definida de │f - g│ en [a,b].

Ejemplo 1

Hallar el área comprendida entre las líneas L 1 que pasa por los puntos p1 = (4, -4)y p2 = (0,4) L2 que pasa por los puntos q1 = (0,4) y q2 = (-4, -4) y L3 que pasa

por los puntos r 1 = (-4,- 4) y r 2 = (4, -4).

Solución

Se hallan las ecuaciones de las rectas, por medio de los puntos de A, B y C.

1

2

3

2 4

2 4

4

L x

L x

L

Como cada línea representa una función lineal, entonces le asignamos a cada unade las rectas un nombre de función:

1

2

3

2 4 ( ) -2 4

2 4 g( ) 2 4

4 h( ) -4

L x f x x

L x x x

L x



160

Como se puede observar en la gráfica el área total comprendida entre las tresfunciones, es simétrica con respecto al eje y, por tanto se hace necesariocalcularla en dos partes, de tal forma que :

1 2T A A A

Para hallar el A1 utilizamos las funciones g ( x ) y h( x ), con los límites de integracióna = - 4 y b = 0, como se desarrolla a continuación:

0

1

4

0

1

4

0

1

4

2 4 4

2 4 4

2 8

A x dx

A x dx

A x dx

Aplicando las propiedades de las integrales obtenemos



161

0 0

1

4 4

0 0

1

4 4

02

0

1 4

4

2 8

2 8

2 82

A xdx dx

A xdx dx

x A x

Aplicando el teorema fundamental del cálculo

22

1

1

1

2 2

1

(0) 4 8((0) ( 4))

(0 16) 8(4)

16 32

16 U (Recuerde que U unidades cuadradas)

A

A

A

A

Para calcular A2 utilizamos las funciones f(x) y h(x), con los límites de integración

a= 0 y b = 4, como se muestra continuación:

4

2

0

4

2

0

4

2

0

2 4 4

2 4 4

2 8

A x dx

A x dx

A x dx




162

4 4

2

0 0

4 4

2

0 0

42

4

1 0

0

2 8

2 8

2 82

A xdx dx

A xdx dx

x A x

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

22

2

2

2

2 2

2

(4) 0 8((4) (0))

(16 0) 8(4)

16 32

16 U (Recuerde que U unidades cuadradas)

A

A

A

A

En consecuencia

2 2 216 16 32T

A U U U

Ejemplo 2

Determinar el área comprendida entre las funciones 325.0)( x x f y ( ) 4 g x x .

Solución

Hallamos el intervalo donde se encuentra definida el área, encontrando los puntosde corte entre las dos funciones, igualándolas:



163

4

16

16

016

0

025,0

016025,0

0)16(25,0

0425,0425,0

)()(

4)(

25,0)(

2

2

2

2

3

3

3

x

x

x

x

x

x

x x

x x

x x x x

x g x g

x x g

x x f

opciónsegundalaTomando

opciónprimeralaTomando

:realeslosdepropiedadla Aplicando

Como los puntos de intersección son -4, 0 y 4 y al observar la gráfica verificamosque la función es impar, es decir, que es simétrica con respecto al origen, vamos ahallar el área de uno de los dos trozos y la multiplicamos por dos; de otra forma se

anularían por estar arriba y abajo del eje horizontal y de acuerdo a la ley de lossignos serían iguales pero opuestas. Tomamos aleatoriamente el área A 1 yevaluamos:

4

0

3

1

4

0

1

)25,04(

)]()([

dx x x A

dx x f x g A


4

0

3

4

0

1 25,04 dx x xdx A



164

4

0

4

4

0

2

1

4

0

3

4

0

1

425,0

24

25,04

x x A

dx x xdx A

Simplificando y evaluando las integrales:

2

1

1

1

4422

1

16

1632

4

25625,0)16(2

4

0425,0)04(2

U A

A

A

A

En consecuencia, el área total sería la suma de A1 y A2, ó, la multiplicación de A1

por 2, esto es:

2

2

1

21

32

)16(2

2

U A

U A

A A

A A A

T

T

T

T


Calcula el área de la región limitada por las curvas o funciones:



165

1. f(x) = x ; g(x) = x2

2. f(x) = x3

; g(x) = 3x + 2

3. f(x) = 4x – 3 ; g(x) = x

3

Aplicaciones de las integrales definidas a la economía

Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos desituaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.

Función de oferta

Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza ésta funciónpara relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en elmercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puededecir entonces que en respuesta a diferentes precios, existe una cantidadcorrespondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en elmercado en algún periodo específico. Si el precio es alto, mayor será la cantidadde productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al disminuir el costo,disminuye la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p yq, y se le denomina función de oferta y a su gráfica se le conoce como la gráficade oferta.

Función de demanda

Una empresa utiliza ésta función para relacionar la cantidad de productosdemandada por los consumidores con el precio unitario al que se puede vender,esa cantidad de acuerdo con la demanda. Si el valor del producto aumenta, se

producirá una disminución de la cantidad demandada del artículo, ya que no todoslos consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. Lademanda disminuye al aumentar el precio, por eso ésta función es decreciente.Para cada precio de un producto, existe una cantidad correspondiente de eseproducto que los consumidores demandan en un determinado periodo. Si el preciopor unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en



166

unidades está dada por q, la ecuación que relaciona a las dos se llama función dedemanda y a su gráfica se le llama gráfica de demanda.

Excedente de los consumidores y de los productores

La determinación del área de una región tieneaplicaciones en Economía. En la figura 1, la curva deoferta para un producto indica el precio por unidad alque un fabricante venderá q unidades. Ademásencontraremos la curva de demanda en la cual seindica el precio por unidad al que los consumidorescomprarán q unidades. El punto de equilibrio delmercado es el

intersecto en el cual las curvas de oferta y demanda seencuentran representado por , donde es elprecio por unidad al que los consumidores compraránla misma cantidad de un producto que los fabricantes desean vender a eseprecio. En resumen, es el precio en el que se presenta estabilidad en elmercado por su relación entre el productor y el consumidor.

Supongamos que el mercado está en equilibrio y elprecio por unidad del producto es . De acuerdocon la curva de demanda, hay consumidores que

están dispuestos a pagar menos por el producto,pero así mismo existirán los fabricantes quebusquen cobrar más del precio de equilibrio por elmismo artículo. De tal forma el excedente que estápagando el consumidor es el área comprendidaentre la recta horizontal que pasa por el punto deequilibrio y el punto de intersección con el eje

vertical de la función de demanda, con límites entre y . (Figura 2).Modelando ésta situación establecemos el área como:

0

( )oq

o A p p dq

Esta integral bajo ciertas condiciones, representa la ganancia total de losconsumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio y se



167

considera como el excedente del consumidor (EC), SI la función de la demandaestá dada por , entonces:

0

0

( )

oq

EC f q p dq

Algunos de los productores se benefician del precio de equilibrio, puesto que estándispuestos a suministrar al producto a precios menores, bajo estas condiciones laganancia total de los productores se representa mediante el área horizontal quepasa por el punto de equilibrio (P.E.) y la intersección de la curva de oferta con eleje y.

Esta ganancia llamada Excedente de los productores abreviada como EP se

halla mediante:

0

0

( ) oq

EP p g q dq

Donde y p representa la curva de oferta.

Ejemplo 1

La curva de la oferta para un producto es3

( ) 52

q P q Encuentre la ganancia de

los productores si la producción asciende a 30 artículos.

Solución



168

Si la producción asciende a 30 artículos el precio es:3(30)

(30) 52

90(30) 5 45 5 50 dólares

2

P

P

La ganancia o superávit de los productores es:

30

0

30

0

350 5

2

Resolviendo operaciones

350 5

2

q EP dq

q EP dq

dqq

EP

30

0

452

3

Aplicando las propiedades de las integrales:

30

0

30

0

452

3dqdqq EP

30

0

30

0

2

30

0

30

0

2

45

4

3

4522

3

qq

EP

qq

EP

Por el teorema fundamental del cálculo:

)030(45)030(4

3 22 EP



169

dólares 675

350.1675

350.1)900(4

3

EP

EP

EP

La ganancia de los productores es de 675 dólares.

Ejemplo 2

Los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado lafunción f ( x ) describió la razón de ventas cuando pasaron x años desde que elproducto se presentó en el mercado por primera vez.

Se sabe que 250.1200 x x f sí 100 x . Calcule las ventas totalesdurante los primeros seis años.

Solución

Planteamos la integral definida:

6

0250.1200 dx x Desarrollamos la integral:

6

0250.1200 dx x =

6

0

21

250.1200 dx x

Solucionando la integral y evaluándola en sus límites de integración se obtiene:

6

3/2

0

400 12503

x x = 3/2 3/2400 6 0 1250(6 0)3

= 1960 + 7500 = 9460

Finalmente se obtiene que la venta total durante los primeros seis años asciende a9460 unidades.



170


1. La curva de demanda está dada por la ley d( x ) = 50 – 0.06 x 2. Encuentre el

superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a 50unidades.

2. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas dedemanda y oferta dadas.

Función de demanda: 1( ) 1.000 0,4 ² P q q

Función de oferta:2( ) 42 P q q

3. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en loscostos de operación. Cuando la máquina tenga x años de uso la razón de ahorrosea de f ( x ) pesos al año donde f(x) =1.000 + 5000x.

a) ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años?

b) Si la máquina se compró a $ 67.500 ¿cuánto tiempo tardará la máquina enpagarse por sí sola?



171

Unidad 4

MATRICES

4.1Definiciones de Matriz, fila, columna, elementos, orden.4.2 Tipos especiales de matrices.

4.3 Operaciones: suma y producto por escalar, resta de matrices.

4.4 Producto de matrices.

4.5 Propiedades de matrices, teoremas.

4.6 Matriz inversa.

4.7 Ecuaciones matriciales.

4.8 Sistemas de ecuaciones lineales.

4.9 Método de reducción de Gauss –Jordan.

4.10 Determinantes y Regla de Cramer.

4.11 Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief.



172

Matriz

Definición

Recibe el nombre de matriz, a un conjunto X, que se denomina matriz de mfilas y n columnas, a un conjunto de m x n elementos de X, dispuestos en un

arreglo rectangular de m filas y n columnas. Las características de loselementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza delproblema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, depalabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que seespecifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales ydenotaremos el conjunto de todas las matrices de orden m x n ( m filas y n

columnas).

En un ordenamiento regular de números con m filas y n columnas. Se dice que lamatriz tiene dimensiones m x n.

43

3620

4

35

3

2

2

14132

X

A

Esta matriz es de la forma 3 x 4 porque tiene 3 filas y 4 columnas y sedenota A de 3 x 4.

Para representar una matriz A de orden m x n se escribe:

.2.1.

.22.21.2

.12.11.1

...

............

...

...

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A



173

43

4.33.32.31.3

4.23.2

2.21.2

4.13.12.11.1

4321

3620

4

35

3

2

2

1

4132

3

2

1

X

A

ColumnaColumnaColumnaColumna

Fila

Fila

Fila

Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la mismaletra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en lamatriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna.

Ejemplo 1

Si denotamos por M la matriz, entonces el orden de M es 2 × 3 (2 filas y 3columnas) y sus elementos son:

3235.05

018

X

M

m1.1 = 8 m1.2 = -1 m1.3 = 0

m2 .1 = 5 m2.2 = 0,5 m 2 .3 = 3

También se escribe A = (aij ) (i = 1,..., m) y j = 1,...,n) para indicar que A es la matriz

de orden m x n que tiene elementos aij Dos matrices A = (aij ) y B=( bij ), de orden m x n, son iguales si aij = bij para todo i

= 1,..., m y j = 1,...,n.

Matrices iguales

Definición

Dos matrices son iguales si los elementos que ocupan la misma posición enambas matrices coinciden en su valor.



174

Ejemplo

434.33.32.31.3

4.23.22.21.2

4.13.12.11.1

X bbbbbbbb

bbbb

B

433620

4

3

53

2

2

14132

X

A

La matriz B = A si se cumple:

b1.1 = 2 b1.2 = 3 b1.3 = -1 b1.4 = 4

b2.1 =2

1 b2.2 =

3

2b2.3 = 5 b2.4 =

4

3

b3.1 = 0 b3.2 = -2 b3.3 = 6 b3.4 = 3

Tipos especiales de matrices

Matriz cuadrada

Definición

Es aquella cuyo número de filas m, es igual al número de columnas n (m = n). Enese caso se dice que la matriz es de orden M,.

Ejemplo

Sea la matriz:

A =33

12.04330

231

X

La anterior matriz es cuadrada de orden 3.Denotaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden m x n = M



175

Así, en el ejemplo anterior, A∈ M 3

Los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son aquellos que

están situados en la diagonal que va desde la esquina superior izquierda hasta

la inferior derecha. En otras palabras, la diagonal principal de una matriz A = (ai j )está compuesta por los elementos a11, a22 ,. . ., amn.

En el ejemplo anterior la diagonal principal está compuesta por los elementos:

a11 = 1, a22 = -3, a33 = 1

Matriz nula

Definición

Una matriz es nula, si todos sus elementos son iguales a cero.En el siguiente ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3 × 2.

23

00

00

00

x

T

Matriz diagonal

Definición

Una matriz cuadrada, A = (aij ), es diagonal si aij = 0, para toda i ≠ j.

Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero.

La siguiente matriz es diagonal:



176

33300

060

001

x

D

Matriz identidad

Definición

Una matriz identidad es aquella en la cual los elementos que integran su diagonalprincipal son todos iguales a 1 y las demás componentes son cero.

A continuación se muestra la matriz identidad de orden 2.

10

01 I

Matriz triangular

Definición

La matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementossituados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero.La siguiente matriz es triangular inferior:

100

4603

112

S

Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunoscasos se hace la distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores



177

en dependencia de los elementos nulos de la matriz; los que están por encima opor debajo de la diagonal principal correspondientemente.

Operaciones entre matrices

Adición de matrices

Definición

Dos matrices A y B se pueden sumar si son del mismo orden.

Sean A = ija y B = ijb matrices de igual dimensión m x n, entonces, la suma A +

B es la matriz m x n obtenida al sumar elementos correspondientes de A y B.

ijij ba B A

Ejemplo 1

Sume las siguientes matrices:

893

4

725

653

2

432

B A

Solución

La suma entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:



178

89

3

4

725

653

2

432

B A

a1.1 = 2 + 5 = 7 a1.2 = -3 + (- 2) = -5 a1.3 = 4 + (-7) = -3

a2.1 =3

2+

3

4=

3

6= 2 a2.2 = 5 + (-9) = - 4 a2.3 = -6 + 8 = 2

242

357

893

4

725

653

2

432

B A

Ejemplo 2

Sume las siguientes matrices:

365.2

722

53

218

0105.0

2.1252

143

B A

Solución

La suma entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:

365.2

722

5 3

218

0105.0

2.1252

1

43

B A



179

a1.1 = -3 + 8 = 5 a1.2 = -4 + (-1) = -5 a1.3 =2

1+

3

2=

6

7

a2.1 = 5 +2

5=

2

15a2.2 = 2 + 2 = 4 a2.3 = 1.2 + (-7) = -5.8

a3.1 = 0.5 + 2.5 = 3 a3.2 = -10 + 6 = -4 a3.3 = 0 + 3 = 3

343

8.542

156

755

365.2

722

53

218

0105.0

2.1252

143

B A

Sustracción de matrices

Definición

Si A y B son matrices, entonces la diferencia A - B entre las dos matrices sedefine por A – B = A + (-1) B. Hay que tener en cuenta además que dos matrices

cualesquiera se pueden restar si son del mismo orden.

Sean A = ija y B = ijb matrices de igual dimensión m x n, entonces, la

diferencia A - B es la matriz m x n obtenida al restar los elementoscorrespondientes de A y B.

A - B = ijij ba

Ejemplo 1

Reste las siguientes matrices:



180

42

35

23

A

78

44

53

B

Solución

La resta entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:

78

44

53

42

35

23

B A

a1.1 = 3 – (- 3) = 6 a1.2 = 2 - 5 = -3

a2.1 = 5 – (- 4) = 9 a2.2 = 3 - 4 = -1

a3.1 = 2 – (- 8) = 10 a3.2 = 4 - 7 = -3

310

19

36

78

44

53

42

35

23

B A

Ejemplo 2

Reste las siguientes matrices:



181

1104

2.473

24

15

A

019

553

42

17

B

Solución

La resta entre las componentes de las matrices se efectúa entre los elementos delas matrices de acuerdo a sus posiciones correspondientes, para así hallar unanueva matriz:

019

553

42

17

1104

2.473

24

15

B A

a1.1 = -5 - 7 = - 12 a1.2 = - 4

1

- 2

1

= - 4

3

a1.3 = 2 - 4 = - 2

a2.1 = 3 - 3 = 0 a2.2 = 7 – (- 5) = 12 a2.3 = - 4.2 - 5 = - 9.2

a3.1 = 4 - 9 = - 5 a3.2 = -10 – (- 1) = - 9 a3.3 = 1 – (- 1) = 2

195

2.9120

24

312

019

553

42

17

1104

2.473

24

15

B A



182

Producto de una matriz por un escalar

Definición

Un escalar c por una matriz A se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.

Sean A = ija una matriz de dimensión m x n y sea c cualquier número real,

entonces, el producto escalar c A es la matriz m x n obtenida al multiplicar cadaelemento de A por c, y se expresa así.

ijcacA

Ejemplo

Sean las siguientes matrices que aparecen a continuación, observamos que elescalar 5 multiplica cada elemento de la matriz A, para obtener la matriz C .

643

532 A

764325

B

643

5325

C

Solución

565453555352 C

La matriz resultante será:



183

302015

251510 C

Ahora restemos a la matriz resultante o matriz C la matriz B

32

3232

372619

221315

764

325

302015

251510

BC

BC


Sean las matrices:

70

52

A

311

52

13

B

320

02

52

C

0

2

1

D

100

010

001

E



184

225

016

1035

F

Hallar:

1. B + C

2. C – B

3. 3B + 2C

4. E – 3F

5. 5E + 2F

Producto de matrices

Definición

Sean las matrices A de dimensión m x p y B la matriz de dimensión p x n, se ledenomina matriz producto C , entre A y B a la matriz resultante cuyos elementosque la componen surgen de cada una de las sumas de los productos entre loselementos de la fila i en la primera matriz por los elementos de la columna j en la

segunda matriz. La multiplicación de las matrices se puede realizar si y solo si, elnúmero de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda.

Observemos en detalle cómo se obtiene el elemento C 23 en el siguiente ejemplo:

C AB

1208

740

1427

302

521

40

12

31

fila 2 por columna 3 = elemento que ocupa la posición 23

73103)1(5223221321

2

1

3223

bababac j

j j



185

Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columnas de laprimera matriz sea igual al número de filas de la segunda. En ese caso se diceque las matrices son enlazadas.

En el siguiente ejemplo podemos ver cuál es el orden de la matriz producto.

Ejemplo 1

1. Sean las matrices:

436010

1221

4432

x

A

242320

11

22

x

B

Hallar la matriz producto entre A y B

Solución

Como vemos las dimensiones son A3x4 y B4x2 entonces la matriz producto será C cuya dimensión es 3 x 2.

23

20

11

22

6010

1221

4432

B A

La matriz resultante C resulta de las siguientes operaciones:

Posición 11 Fila 1 x Columna 1 (2x2) + (3x1) + (4x0) + (4x3) = 4 + 3 + 0 + 12 = 19




186


Posición 22 Fila 2 x Columna 2

(1x2) + (2x1) + (2x2) + (1x2) = 2 + 2 + 4 + 2 = 10



Así, la matriz resultante será:

231319

107

2319

23

20

1122

6010

1221

4432

x

4x2

3x4

C B A

En el mismo ejemplo no podemos calcular B x A, ya que la matriz B es de 4 x 2 yla matriz A de 3 x 4, de modo que las columnas de B y los renglones o filas de A no son iguales, por tanto no se puede determinar el producto entre las dos.

436010

12214432

23

20

11

22

x

4x2

A B

Ejemplo 2

Hay casos, como veremos en este ejemplo, en los que se pueden calcular los

productos A x B y B x A, aunque se obtienen resultados diferentes.

Consideremos las siguientes matrices:



187

23

32

03

3120

321

234

x

x

B

A

Solución 1

Como vemos las dimensiones son A2x3 y B3x2 entonces la matriz producto será C cuya dimensión es 2 x 2.

B A

03

31

20

321

234

Realizando las operaciones respectivas hallamos que:

)03()32()21()33()12()01(

)02()33()24()32()13()04(

x x x x x x

x x x x x xC

C B A

811

179

C

Solución 2

Como vemos las dimensiones son B3x2 y A2x3 entonces la matriz producto será D cuya dimensión es 3 x 3



188

321

234

03

31

20

A B

Realizando las operaciones respectivas hallamos que:

)30()23()20()33()10()43(

)33()21()23()31()13()41(

)32()20()22()30()12()40(

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

D

D A B

6912

1197

642

D

Observamos que C es diferente de D, aunque se efectúen los productos con lasmismas matrices, lo que quiere decir que el producto de matrices no esconmutativo.


Sean las matrices:

70

52

A

320

02

52

B



189

225

016

1035

C

Halle:

1. A x B

2. B x C

3. C x A

4. 2 A x 3C

5. 5B x A

Propiedades de la suma y la multiplicación de matrices por un escalar

Sean A, B y C matrices m x n y sean c y d escalares, se cumplen las siguientespropiedades:

A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma de matrices

( A + B) + C = A + (B + C ) Propiedad asociativa de la suma de matrices

C (d A) = (cd) A Propiedad asociativa de la multiplicación de

escalares

(c + d) A = c A + d A Propiedades distributivas de los escalares

c( A + B) = c A + cB Propiedad distributiva de la multiplicación

Ejemplo 1

Sean las matrices:



190

25

32 A

61

14 B

Resuelva la siguiente ecuación matricial:

B A x 2

Solución

Para hallar el valor de la matriz x aplicamos las propiedades de las matrices.

La ecuación dada esDespejamos la matriz x de la ecuación

)(2

1 A B x

Sustituimos las matrices A y B

61

14

25

32

2

1 x

Sumamos las matrices A y B

44

26

6 1

14

25

32

Multiplicamos por el escalar:

22

13

4426

21

- x

x

B A x 2

A B x 2



191

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

Definición

Sean A, B y C matrices para los cuales los productos siguientes estándeterminados, y sean las matrices de igual dimensión (m x n) entonces:

A(BC ) = ( AB)C Propiedad Asociativa

A(B + C ) = AB + AC Propiedad Distributiva

Ejemplo 1

Para

12

39

87

54

25

73

-C B A

Halle

a. A(BC )

b. ( AB)C

c. B + C

d. A(B+C )e. AC

f. AB + AC

a. A(BC)

12

39

87

54

25

73

-C B A

Hallamos primero el producto de BC así:

12

39

87

54)(

- BC



192

2947

746)(

))1(8())3(7())2(8()97(

))1()5(())3(4())2()5(()94()(

BC BC

Luego el producto de A(BC )

2947

746)(

25

73

BC A

23136

224467)(

))29()2()7(5())47()2(()465(

))29(7())7(3()477()463()(

2947

746

25

73)(

BC A

BC A

BC A

b. (AB)C

12

39

87

54

25

73

-C B A

Hallamos primero el producto de AB así:

87

54

25

73)( AB

4164161)(

)8)2(())5(5(7)2(45)87())5(3()77()43()( AB AB

Luego hallamos el producto de ( AB)C



193

23136

224467)(

))1()41(())3(6())1(41())3(61(

)2()41(()96())2(41()961()(

12

39

416

4161)(

C AB

C AB

-C AB

c. B + C

12

39

87

54

-C B

75

813

12

39

87

54

C B

-C B

d. A(B+C )

75

813

25

73C B A

Hallamos el producto de A(B+C )así:

5455

2574)(

))7)2(())8(5(

))77())8(3(

))5()2(()135(

)57()133()(

75

813

25

73)(

C B A

C B A

C B A



194

e. ( AC )

12

39

25

73

- A C

1349

1613)(

))1()2(())3(5())2()2(()95(

))1(7())3(3())2(7()93()(

AC

AC

f. AB + AC

12

39

87

54

25

73

-C B A

Hallamos primero el producto de AB así:

416

4161)(

)8)2(())5(5(7)2(45

)87())5(3()77()43()(

AB

AB

Luego hallamos el producto de ( AC )

1349

1613)(

))1()2(())3(5())2()2(()95(

))1(7())3(3())2(7()93()(

AC

AC

Finalmente realizamos la suma de las dos matrices resultantes



195

54552574

1349

1613

416

4161

AC AB

AC AB

Ecuaciones matriciales

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación de unasola matriz.

Ejemplo 1

Escriba el siguiente sistema de ecuaciones como una ecuación matricial:

3225

532

243

z y x

z y x

z y x

Solución

Se toman los coeficientes de cada una de las variables de las ecuaciones y se

forma una matriz de 3 x 3 con ellos. Con las variables también se forma otramatriz de 3 x 1, luego el producto de la matriz de coeficiente por la matriz devariables será igual a la matriz de 3 x 1 formada con los términos independientesde cada ecuación. Así:



196

3

5

2

225

132

143

z

y

x

Separamos las matrices:

3

5

2

225

132

143

-

B

z

y

x

X A

Entonces la ecuación matricial se puede escribir como:

AX = B

Ejemplo 2

Escriba el sistema de ecuaciones como una ecuación matricial.

1232

1152

32

y x

z x

z y x

Solución

Identificamos los componentes de las tres matrices:

12

11

3

032

502

211

z

y

x

Separamos las matrices:



197

12

11

3

D

z

y

x

X

032

502

211

C

Entonces la ecuación matricial se puede escribir como:

CX = D

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

1. Sustitución2. Igualación3. Reducción

A continuación, desarrollaremos un ejercicio de dos ecuaciones con dos incógnitaspor los tres métodos.

Ejemplo

Método de Sustitución

Sea el sistema

74

823

y x

y x

Solución

Resolver el sistema de ecuaciones por el método de sustitución



198

El sistema de ecuaciones

)2(74

)1(823

y x

y x

En la ecuación (1) se despeja una de las incógnitas. Por ejemplo despejemos a x.

)3(3

28

823

y

y x

x

2y83x

Se sustituye en la ecuación (2) la expresión a la cual es igual x , hallada en el pasoanterior, obteniendo:

73

28

4

y

y

Realizamos las siguientes operaciones, para obtener una ecuación expresada por una sola incógnita, en este caso queda en términos de y :

y y y y y y

321832)7(3)28(473

284

Despejamos la incógnita “y ” y finalmente hallamos su valor, así:

111

111111322138

y

y y y y

Conocido el valor de y , lo sustituimos en la ecuación (3)

23

6

3

28

3

)1(28

x x x x

Así la solución del sistema de ecuaciones propuesto es:

12 y x



199

Para comprobar que la solución es correcta, remplace los valores hallados de x yy en cualquiera de las ecuaciones del sistema de ecuaciones dado, como semuestra a continuación en una de ellas:

8)1(2)2(3

)1(823

y x

88

826

Método de Igualación


)2(74

)1(823

y x

y x

Despejamos en las ecuaciones (1) y (2) la misma incógnita. En la ecuación (1) sedespeja la incógnita x.

x

= )3(3

28

y

Despejamos la incógnita x en la ecuación (2):

)4(4

7

7474

y

x

y x y x

Igualamos las expresiones (3) y (4)

y y

4

7

3

28

Aplicamos la propiedad de las proporciones:



200

y y

y y

y y

322138

321832

)7(3)28(4

1

11

11

1111

y

y

y

Ahora remplazamos el valor de “y” en (3) o en (4):(Se utiliza arbitrariamente la ecuación (4))

24

8

4

17

4

)1(7

4

7

x

x

x

x

y x

Así la solución del sistema de ecuaciones propuesto es:

12 y x

Método de Reducción


)2(74

)1(823

y x

y x



201

El método consiste en igualar los coeficientes de una variable en las dosecuaciones, pero con signo diferente; para ello multiplicamos la ecuación (1) por elcoeficiente de la variable a trabajar en la ecuación (2), y viceversa.

y x

y x

y x

1) y x

1428

823

)2(74

(823

Luego realizamos la correspondiente suma para cancelar la variable concoeficientes iguales en las dos ecuaciones.

2211

1428

823

x

y x

y- x

Despejamos la variable de la ecuación resultante

2

11

22

2211

x

x

x

Para hallar el valor de la otra variable realizamos el mismo procedimiento,multiplicando por los coeficientes de las variables correspondientemente:

21312

32812

)3(74

)4(823

y x

y x

y x

y x

Como podemos ver los coeficientes de la variable “x” son iguales, pero no designos contrarios, entonces debemos multiplicar por (-1) cualquiera de las dosecuaciones, con el fin, de cancelar la variable estipulada.



202

1111

2131232812

21312

)]1([32812

y

y x y x

y x

y x

Despejamos la variable de la ecuación resultante

-1y

11

11

1111

y

y

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es:

12 y x

Existen además sistemas de ecuaciones de 3 x 3 que pueden ser solucionadospor los métodos anteriores, pero en nuestro estudio vamos a abordar la soluciónde estos sistemas por Gauss – Jordán que enunciaremos a continuación:

Método de reducción de Gauss – Jordán

Definición

Es una técnica utilizada para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando lamatriz aumentada, efectuando operaciones matemáticas elementales con las filaspara llegar a una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz aumentada, lacual nos permite determinar los valores de las variables.

La matriz aumentada es aquella que está compuesta en sus primeras columnaspor los coeficientes de las variables y en la última columna por los términosindependientes, o constantes del sistema; se acostumbra a colocarle una rectavertical antes de la última columna para recordar que estos son los términos



203

independientes que aparecen en el lado derecho de la igualdad en cada una delas ecuaciones.

Se puede obtener una matriz de forma escalonada de la siguiente forma:

1. Inicialmente se obtiene un 1 en la parte superior izquierda de la matrizaumentada, esto se hace dividiendo el valor que se encuentra en esta posición por el mismo, luego se obtienen ceros en los términos inferiores siguientes al primer término tomado y que componen entre todos la primera columna, esto se hacemultiplicando por valores y con signo adecuados la primera fila ya transformada ysumando sus resultados por la fila siguiente inferior término a término, así se siguehasta lograr el objetivo trazado desde el principio.

2. Con el mismo procedimiento anterior se obtiene un 1 en la siguiente fila, en la

posición correspondiente al término que pertenece a la diagonal principal, luegollevamos a ceros a los valores que están por debajo y por encima de esté valor transformado, los cuales en su totalidad integran la segunda columna de la matriz,esto último se logra de la misma forma que se hizo en el primer paso,multiplicando en la segunda fila por valores con signos adecuados y sumandosus resultados con las otras filas término a término.

3. Así se continúa el proceso hasta dar una matriz escalonada, específicamenteuna matriz identidad.

Es importante tener en cuenta que algunos autores llaman las filas renglones, sinque eso cause diferencia alguna en el método a trabajar, ya que son palabrassinónimas.

Ejemplo

Sea el sistema

Solucionar el sistema de ecuaciones lineales por medio de su matriz escalonada.

Para empezar, se toman los coeficientes de cada variable y los términosindependientes de cada ecuación para hallar la matriz aumentada:

103

52

6

z y x

z y x

z y x





205

por -1/2, o igualmente la fila 2 se divide por -2, quedando la matriz de la siguienteforma:

164202

1

2

110

6111

2

1

16420

1120

6111

22

- F F

Ahora el segundo término de la fila 1, es 1, por lo tanto se necesita llevar a ceropor medio de las siguientes operaciones: Se le restan a cada uno de los términosde la fila 1 cada uno de los términos de la fila 2, y su resultado se ubica en la fila 1,así:

Fila 1 Columna 1 - Fila 2 Columna 1 = (1 - 0) = 1Fila 1 Columna 2 - Fila 2 Columna 2 = (1 - 1) = 0Fila 1 Columna 3 - Fila 2 Columna 3 = (1 – (- 1/2)) = 3/2Fila 1 Columna 4 - Fila 2 Columna 4 = (6- 1/2) = 11/2

Quedando:

1642021

2110

2

11

2

301

1642021

2110

6111

211

F F F

Como se observa en la última matriz el segundo término de la fila 3, es -2, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 2 por 2 luego se suman los valores resultantes de estamultiplicación término a término con los de la fila 3, y su resultado se ubica en lafila 3 así:

(Fila 2 Columna 1) x (2) + Fila 3 Columna 1 = (0 + 0) = 0(Fila 2 Columna 2) x (2) + Fila 3 Columna 2 = (2 - 2) = 0(Fila 2 Columna 3) x (2) + Fila 3 Columna 3 = (-1 -4) = -5(Fila 2 Columna 4) x (2) + Fila 3 Columna 4 = (1 + -16) = -15Quedando:



206

15500

2

1

2

110

2

11

2

301

16420

2

1

2

110

2

11

2

301

323

2 F F F

Ahora, debemos convertir el tercer término de la fila 3 en 1, a través de lasiguiente operación matemática: Se multiplica cada uno de los términos de la fila 3por -1/5, o igualmente se divide la fila 3 por -5, quedando la matriz de la siguienteforma:

31002

1

2

1

10

2

11

2

301

5

1

155002

1

2

1

10

2

11

2

301

33

F F

Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 2, es -1/2, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: A cadauno de los términos de la fila 2 se le suman los valores resultantes de lamultiplicación de la fila 3 por 1/2, y su resultado se ubica en la fila 2 así:

Fila 2 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (1/2) = (0 + 0) = 0Fila 2 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (1/2) = (1 + 0) = 1Fila 2 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (1/2) = (-1/2 + 1/2) = 0Fila 2 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (1/2) = (1/2 + 3/2) = 2

Quedando:

3100

20102

11

2

301

2

1

3100 2

1

2

110

2

11

2

301

322

F F F

Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 1, es 3/2, por lotanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por -3/2, luego se suman los valores resultantes de esta



207

multiplicación término a término con los de la fila 1, y su resultado se ubica en lafila 1, así:

(Fila 3 Columna 1) x (-3/2) + Fila 1 Columna 1 = (0 + 1) = 1(Fila 3 Columna 2) x (-3/2) + Fila 1 Columna 2 = (0+0) = 0(Fila 3 Columna 3) x (-3/2) + Fila 1 Columna 3 = (-3/2 + 3/2) = 0(Fila 3 Columna 4) x (-3/2) + Fila 1 Columna 4 = (-9/2+11/2) = 2/2=1Quedando:

3100

2010

1001

2

3

3100

20102

11

2

301

131

F F F

Como se sabe la columna 1 contiene los coeficientes de x, la columna 2 loscoeficientes de y, la columna 3 los coeficientes de z y la columna 4 los términosindependientes.

Así, el valor de cada una de las variables es:

x = 1y = 2z = 3

Si sustituimos estos valores de las variables en las ecuaciones del sistema, laigualdad debe corroborarse así:Ecuación 1.

666)3()2()1(6 z y x

Ecuación 2.

5556215)3(2)2()1(52 z y x

Ecuación 3.



208

10101092110)3(3)2()1(103 - z y x

Ejemplo 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el Método de Gauss-Jordán.

1453

1022

43

z y x

z y x

z y x

Solución

La matriz aumentada es:

14513

10221

4311

Como se observa, el primer término de la fila 1 es 1, por lo tanto no necesitaoperación alguna para transformarlo.

El primer término de la fila 2, es 1, por lo tanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Se restan los términos de la fila 2 con lostérminos de la fila 1, y su resultado se ubica en la fila 2, así:

Fila 2 Columna 1 - Fila 1 Columna 1 = (1 - 1) = 0

Fila 2 Columna 2 - Fila 1 Columna 2 = (2- (- 1)) = 3Fila 2 Columna 3 - Fila 1 Columna 3 = (-2 - 3) = -5

Fila 2 Columna 4 - Fila 1 Columna 4 = (10 - 4) = 6

14513

6530

4311

14513

10221

4311

122

F F F





210

2420

23

510

63

401

2420

23

510

4311

211 F F F

Ahora el segundo término de la fila 3, es 2, por lo tanto se necesita llevar a ceropor medio de las siguientes operaciones: Se multiplican cada uno de los términosde la fila 2 por -2 y se suman con cada uno de los términos de la fila 3, y suresultado se ubica en la fila 3, así:

Fila 3 Columna 1 + (Fila 2 Columna 1) x (-2) = (0 + 0) = 0

Fila 3 Columna 2 + (Fila 2 Columna 2) x (-2) = (2 - 2) = 0Fila 3 Columna 3 + (Fila 2 Columna 3) x (-2) = (-4 + 10/3) = -2/3Fila 3 Columna 4 + (Fila 2 Columna 4) x (-2) = (2 - 4) = -2

23

2

00

23

510

63

401

2

2420

23

510

63

401

233 F F F

Ahora, debemos convertir el tercer término de la fila 3 en 1, a través de lasiguiente operación matemática: Se multiplica cada uno de los términos de la fila3 por -3/2 o igualmente se divide la fila 3 por -2/3, quedando la matriz de lasiguiente forma:

3100

23

510

63401

2

3

23

200

23

510

63401

33 F F



211

Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 1, es 4/3, por lotanto se necesita llevar a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por -4/3, luego se suman los valores resultantes de estamultiplicación término a término con los de la fila 1, y su resultado se ubica en la

fila 1, así:

Fila 1 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (-4/3) = (1 + 0) = 1Fila 1 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (-4/3) = (0 + 0) = 0Fila 1 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (-4/3) = (4/3 - 4/3) = 0Fila 1 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (-4/3) = (6 - 4) = 2

3100

23

510

2001

3

4

3100

23

510

6

3

401

131 F F F

Como se observa en la última matriz el tercer término de la fila 2, es -5/3, por lotanto se necesita llevarse a cero por medio de las siguientes operaciones: Semultiplica toda la fila 3 por 5/3, luego se suman los valores resultantes de esta

multiplicación término a término con los de la fila 2, y su resultado se ubica en lafila 2, así:

Fila 2 Columna 1 + (Fila 3 Columna 1) x (5/3) = (0 + 0) = 0Fila 2 Columna 2 + (Fila 3 Columna 2) x (5/3) = (1 + 0) = 1Fila 2 Columna 3 + (Fila 3 Columna 3) x (5/3) = (-5/3 + 5/3) = 0Fila 2 Columna 4 + (Fila 3 Columna 4) x (5/3) = (2 + 5) =7

3100

7010

2001

3

5

3100

23

510

2001

322 F F F







214

Solución

Calculamos los productos de las diagonales:

5

249

5

150

3

1

5

3)5)(10(

53

15

310

Determinante de una matriz cuadrada de cualquier nivel

Definición

El determinante de una matriz n x n cuadrada se definirá de manera deductiva, es

decir, tomaremos la definición de un determinante de 2 x 2 para hallar un

determinante de 3 x 3, y éste a su vez determinará el determinante de 4 x 4, y así,

sucesivamente. A pesar de que existen varias maneras de definir un determinante,

se escoge la forma más fácil y aplicativa, con el fin, de facilitarle el entendimiento

al estudiante. Es importante recordar que para nombrar a un determinante

utilizamos el apócope “det” que asigna a una matriz cuadrada un valor escalar.

Determinante por cofactores

Un cofactor es el elemento de la forma ija en donde i es el número de la fila y j el

número de la columna a ser reducidas, para lograr una matriz menor, de tal forma

que si tenemos la matriz:





216

Ahora tomamos el segundo término de la primera fila como cofactor, los númerosde la primera fila y la segunda columna no participan en el producto de lasdiagonales:

64)16)(4()106)(4(

)]52()23)[(4(25

234

Ahora tomamos el tercer término de la primera fila como cofactor, los números dela primera fila y la tercera columna no participan en el producto de las diagonales:

23]518)5()18)[(1(

)]51()63)[(1(6 5

131

Ahora, los signos para hallar el valor final del determinante de la matriz dada, vanintercalados empezando por el signo positivo, como se muestra en la formulageneral de arriba para determinar el determinante de una matriz de 3x3, por lotanto se llega a:

21236420 DetA


Encuentre el determinante de las matrices:

1.

310420

012



217

2.

353

232

521

3.

122

10422

1

2

32

Matriz inversa

Definición

Se sabe que una matriz identidad es la matriz m x n, cuadrada donde m = n parala cual cada término que hace parte de su diagonal principal es 1 y todos los otrosvalores que componen la matriz son iguales a 0, como se muestra a continuación:

100010

001

La inversa de una matriz se define así:

Sea A una matriz m x n, cuadrada donde m = n, entonces si existe una matriz A-1 de orden m x n, cuadrada donde m = n, que cumpla la siguiente condición opropiedad: AA-1 =A-1A = In. Entonces se dice que A-1 es la matriz inversa de A. Donde In es la matriz identidad. Una matriz es invertible si su determinante es 0.

Inversa de una matriz 2x2

1

Ad c

ba A

ac

bd

bcad

1





219

A-1 =

2

7

2

321

Para demostrar que la matriz hallada es inversa realizamos la multiplicación de las

dos matrices A y A-1 cuyo resultado es la matriz identidad I.

10

01

2

72232

32)13(

2

7427

2

34)17(

2

7

2

321

23

47

1

1

1

A A

A A

A A

Ejercicios de aplicación para solucionar

Determine la inversa de las siguientes matrices, si existen:

1.

23

35

2.

135

52

3.

48

36

Inversa de una matriz m x n por el Método de Gauss



220

Definición

Si A una matriz m x n, cuadrada donde m = n, para determinar su inversa primero

se construye la matriz m x 2n que tiene los elementos de A en la izquierda y loselementos de la matriz identidad In a la derecha, es decir, se crea una especie dematriz aumentada. Luego se efectúan las operaciones correspondientes ynecesarias con los renglones de la matriz A para transformarla en la matrizidentidad. Finalmente la matriz que quede a la derecha, específicamente dondeinicialmente estaba la matriz identidad In es la matriz inversa buscada.

Ejemplo 1

Sea la matriz:

1563

632

421

A

Halle la matriz inversa.

Solución

Comenzamos construyendo un matriz 3 x 6 en donde la mitad izquierda es A y lamitad de la derecha es la matriz identidad.

100

010

001

1563

632

421

Ahora transformamos la mitad izquierda de ésta nueva matriz en la matriz

identidad, efectuando operaciones elementales entre filas por el método deeliminación de Gauss-Jordán: A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1:

100

012

001

1563

210

421

2

100

010

001

1563

632

421

122

F F F



221

A la fila 3 le sumamos 3 veces la fila 1:

103

012

001

300

210

421

3

100

012

001

1563

210

421

133

F F F

Multiplicamos la fila 3 por 3

1:

3

101

012

001

100

210

421

3

1

103

012

001

300

210

421

33

F F

A la fila 1 le sumamos 2 veces la fila 2:

3

101

012

023

100

210

001

2

3

101

012

001

100

210

421

211

F F F

Por último, la fila 2 le restamos 2 veces la fila 3:

3

101

3

214

023

100

010

001

2

3

101

012

023

100

210

001

322

F F F

Ya se ha transformado la mitad izquierda de la matriz en una matriz identidad.Por tanto la matriz inversa de la matriz dada, está representada por los valorescomponentes que se encuentran en la parte derecha de la recta perpendicular que divide la matriz resultante en dos partes, es decir:



222

3101

3

214

0231

A

Para demostrar que la matriz hallada es inversa realizamos la multiplicación de las

dos matrices A y A-1 cuyo resultado es la matriz identidad I.

1

3 2 01 2 4

22 3 6 4 1

33 6 15

11 0

3

A A

1

2 1(1 (-3))+((-2) ( 4)) (( 4) 1) (1 2)+((-2) 1) (( 4) 0) (1 0)+ (-2) ( 4)3 3

2 1(2 ( 3)) (( 3) ( 4)) (( 6) 1) (2 2) (( 3) 1) (( 6) 0) (2 0) ( 3) ( 6)

3 3

(( 3

A A

2 1

) ( 3)) (6 ( 4)) (15 1) (( 3) 2) (6 1) (15 0) (( 3) 0) 6 153 3

54661524922346126

3

4422483

1

A A



223

I A A

000

010

0011


Determine la inversa de las siguientes matrices:

1.

041

111

142

2.

1011

154

321

3.

101

233

324

Aplicaciones de las matrices: Modelos de entrada-salida de Leontief

Definición

Para referirnos a los modelos matemáticos que se aplican en la economíadebemos establecer el concepto de modelo económico, referido como laherramienta para entender la realidad en forma simplificada, esquemática yaproximada.

En consecuencia la expresión matemática, que permite crear dichos modelos sedesarrolla a través de funciones, que relacionan entre otras: las variables de



224

demanda, oferta, costos y producción, así como otros modelos económicosespecíficos donde se trabaja para poder estimar análisis de equilibrio.

Fue así como en la década de los años treinta del siglo XX como un profesor de la

Universidad de Harvard “Wassily Leontief” desarrolla una de los primeros métodosde análisis matemático del comportamiento económico. A continuacióndesarrollare con más detalle éste planteamiento que se basa principalmente en larelación insumo – producto, diseñado a partir de matrices y su relación con elentorno.

Supongamos que existen tres sectores de producción:

1. Agrícola2. industrial

3. Servicios

Cada uno de ellos produce un bien o servicio, el vendedor de abarrotes vendeproductos necesarios para la vida diaria, el ebanista construye los enseres que seutilizan en los diferentes negocios y viviendas, y el panadero produce el pan y losalimentos propios. Para poder expresar este modelo en un análisis de insumo-producto es la formulación de una tabla que contiene partidas que demuestran, yasea cuantitativamente o en términos de valor, de qué manera se distribuye laproducción total de una industria a todas las demás industrias en forma deproducción intermedia y a los usuarios finales no productores.

Compras - ventasDemanda Intermedia

Demanda Producción Agrícola Industria Servicios

Agrícola 600 400 1400 600 3000Industrial 1500 800 700 1000 4000Servicios 900 2800 700 2600 7000

En la primera columna de esta tabla la cifra 600 representa las compras que las

empresas del sector agricultura han efectuado a otras empresas del mismo sector,tales como semillas mejoradas, abonos, ganado para engorde, forrajes, etc. Lacifra 1.500 representa las compras que las empresas del sector agricultura hanefectuado al sector industrial, tales como: tuberías, herramientas, fertilizantesquímicos, insecticidas, tractores, etc. La cifra 900 representa las compras que lasempresas del sector agricultura han efectuado al sector servicios, tales como:



225

servicios de transporte de carga, servicio de sanidad, servicios de asesoría legal,servicios de almacenajes en silos y bodegas, servicios de comercialización, etc.

Recordando los conceptos de algebra lineal podemos escribir estas ecuaciones en

forma matricial simbolizando con x i la producción del sector, con y i la demandafinal correspondiente al sector, y con x ij las ventas que el sector i ha efectuado alsector j de la siguiente manera:

7000

4000

3000

3

2

1

x

x

x

2600

1000

600

3

2

1

y

y

y

7002800900

7008001500

1400400600

333231

232221

131211

x x x

x x x

x x x

Como la producción de cada uno de los sectores es igual a la suma de las ventaso demanda intermedia más las ventas a demanda final, las relaciones entreproducción y demanda se pueden expresar de la siguiente forma:

33332313

22322212

11312111

y x x x x

y x x x x

y x x x x

En términos matriciales:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

1

1

1

.

y

y

y

x x x

x x x

x x x

x

x

x

Una vez realizadas estas relaciones elaboraremos lo que se conoce como lamatriz de coeficientes de requisitos directos por unidad de producción bruta. Endonde cada transacción contiene dos sectores: un sector vendedor, que indicamoscon el subíndice i y el sector comprador que representamos con el subíndice j.Relacionando cada xij (ventas del sector i al sector j) con la producción bruta x j del



226

sector comprador, efectuamos el cocientei

ij

x

xque define el coeficiente técnico aij.

Escrito de forma matricial:

2,03000

60011 a 1,0

3000

40012 a 2,0

7000

140013 a

5,03000

150021 a 2,0

3000

80022 a 1,0

7000

70023 a

3,03000

90031 a 7,0

4000

280032 a 1,0

7000

70033 a

1,07,03,0

1,02,05,02,01,02,0

333231

232221

131211

aaa

aaaaaa

A

Regresando al sistema de ecuaciones:

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

.

y

y

y

x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

Simbólicamente, se expresa:

y x A X .

Establecido ya el sistema de ecuaciones como una relación funcional entreproducción bruta y demanda final el vector x es la variable dependiente y el vector y es la variable independiente.

En este ejemplo, se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para elpróximo año de actividad de 400 unidades en el sector agrícola, 200 unidades enel sector industrial y 200 unidades en el sector servicios, y se pregunta: ¿Cuálesdeben ser los valores que permitirán satisfacer esos incrementos?

Despejando el vector x de la ecuación anterior se obtiene:



227

y A I X .)( 1

La matriz )( A I se denomina la matriz de Leontief y la matriz 1)( A I se llamamatriz inversa de Leontief o matriz de coeficientes de requerimientos directos por

unidad de demanda final. Si aplicamos esto a nuestro ejemplo obtenemos:

9,07,03,0

1,08,05,0

2,01,08,0

1,07,03,0

1,02,05,0

2,01,02,0

100

010

001

A I

Hallamos la matriz inversa de (I – A)

Comenzamos construyendo un matriz 3 x 6 en donde la mitad izquierda es A y lamitad de la derecha es la matriz identidad.

100

010

001

9,07,03,0

1,08,05,0

2,01,08,0

Ahora transformamos la mitad izquierda de ésta nueva matriz en la matrizidentidad, efectuando operaciones elementales entre filas por el método deeliminación de Gauss-Jordán:

Multiplicamos la fila 1 por 25,1 :

100

010

0025,1

9,07,03,0

1,08,05,0

25,0125,01

A la fila 2 le restamos (0,5) veces la fila 1:

100

01625,0

0025,1

9,07,03,0

225,07375,00

25,0125,01

)5,0(

100

010

0025,1

9,07,03,0

1,08,05,0

25,0125,01

122 F F F

A la fila 3 le sumamos (0,3) veces la fila 1:



228

10375.0

01625,0

0025,1

825,07375,00

225,07375,00

25,0125,01

)3,0(

100

01625,0

0025,1

9,07,03,0

225,07375,00

25,0125,01

133 F F F

Dividimos la fila 2 por 0,7375:

10375.0

03559,18474,0

0025,1

825,07375,00

3050,010

25,0125,01

7375,0

10375.0

01625,0

0025,1

825,07375,00

225,07375,00

25,0125,01

22 F F

A la fila 1 le sumamos 0,125 veces la fila 2:

0375.0

355,18474,0

169,03559,1

825,07375,00

3050,010

2881,001

)125,0(

10375.0

03559,18474,0

0025,1

825,07375,00

3050,010

25,0125,01

211 F F F


111

03559,18474,0

01694,03559,1

6,000

3050,010

2881,001

)7375,0(

10375.0

03559,18474,0

01694,03559,1

825,07375,00

3050,010

2881,001

233 F F F

Dividimos la fila 3 por 0,6:

67,167,167,1

03559,18474,0

01694,03559,1

100

3050,010

2881,001

6,0

111

03559,18474,0

01694,03559,1

6,000

3050,010

2881,001

33 F F




229

67,167,167,1

03559,18474,0

48,065,084,1

100

3050,010

001

)2881,0(

67,167,167,1

03559,18474,0

01694,03559,1

100

3050,010

2881,001

311 F F F

Por último a la fila 2 le sumamos 0,3050 veces la fila 3:

67,167,167,1

51,086,136,1

48,065,084,1

100

010

001

)3050,0(

67,167,167,1

03559,18474,0

48,065,084,1

100

3050,010

001

322 F F F

Ya se ha transformado la mitad izquierda de la matriz en una matriz identidad.

Por tanto la matriz inversa está representada por la parte derecha, es decir:

67,167,167,1

51,086,136,1

48,065,084,1

)( 1 A I

Tomando en cuenta los incrementos previstos en la demanda final, se tiene que

satisfacer para el año próximo los niveles:

2800

1200

1000

200

200

400

2600

1000

600

y

Al sustituirlos en la ecuación:

y A I X .)( 1

Podemos hallar los siguientes valores:



230

350.8

020.5

964.3

800.2

200.1

000.1

67,167,167,1

51,086,136,1

48,065,084,1

X

Estos resultados nos muestran que para satisfacer la demanda de 1.000 unidades,el agrícola debe generar una producción mínima de 3.964 unidades; el sector industrial 5.020 unidades, y el sector de servicios 8.350 unidades.

Al establecer la comparación de los resultados obtenidos en X, con los anteriores,encontraremos los incrementos de producción de cada sector necesarios paracumplir con la demanda final, los cuales serían x igual a:

350.1

020.1964

000.7

000.4000.3

8350

020.5964.3

a f x x x

Ya realizado todo el procedimiento podemos concluir que para satisfacer losincrementos previstos de demanda final sectorial (Agrícola = 400, Industria = 200,servicio = 200), se debe generar en el sistema de producción 964 unidades por elsector agrícola, 1.020 unidades en el sector industrial y 1.350 unidades en elsector de servicios. Es importante también resaltar que los cambios bruscos que

se visualizan en los incrementos de producción y de demanda se deben a lacompleja interrelación entre los sectores y su economía.

Para reflexionar

El modelo insumo-producto tiene como ventaja principal la de obligar alplanificador a considerar explícitamente el problema de la interdependencia entrelos sectores productivos. Esta relación de compra y venta entre sectores queda

explicita en la tabla de insumo producto.

Otros sectores de aplicación de la matriz insumo –producto es el cálculo de losefectos de cambio de la producción generados por los cambios en la composiciónde la demanda al aumentar los niveles de ingresos y educación; la incidencia delos salarios, impuestos o importaciones sobre el nivel de los precios, y es estudio



231

de las repercusiones de las inversiones sobre la producción intersectorial comosobre los ingresos o importaciones.


Dada la siguiente tabla de relaciones intersectoriales realice las siguientesactividades:

Sector productor SECTOR COMPRADOR

Ganadero Manufactura ComercialGanadero 11 19 1 10 41

Manufactura 5 899 40 106 240Comercial 5 37 37 106 185

Insumos Primarios 20 95 107 21 243Producción Total 41 240 185 243 659

1. Hacer un comentario global sobre las diferentes relaciones intersectoriales de la

tabla.

2. Hallar la matriz de coeficientes técnicos de producción.3. Si cambiamos la demanda de uso final por Ganadería 25, Manufactura 201 ycomercial 145 unidades. Encontrar la producción total para esa demanda.

4. Lo mismo que lo anterior para los datos 30, 150 y 125 de los sectoresGanadero, Manufactura y Comercial respectivamente.



BIBLIOGRAFÍA

Arya, J. y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la Administración y a laEconomía. Cuarta. Edición. Editorial Pearson Prentice Hall. México, 2002.

Haussler E ; Paul R y Wood Rwicks E Matemáticas para administración

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Guia de Estudio Matematica II