Universidad Virtual LiverpoolBachillerato

Guía de estudio de Aritmética yÁlgebra

Francisco Jaramillo Aguilar

Agosto 2012

1

Índice general

I Aritmética. 4

1. Los números y su representación en la recta numérica. 61.1. Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ....} . . . . . . . . . . . . 61.2. Enteros: Z = {...− 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4....} . . . . . . . . 71.3. Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Representación en la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Las cuatro operaciones fundamentales 112.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. División. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Regla de los signos. 143.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Uso de paréntesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II Álgebra 16

4. Polimomios 184.1. Jerarquía de las operaciones y regla de los signos. . . . . . . . 194.2. Operaciones básicas con polinomios de una variable. . . . . . . 204.3. Productos notables básicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

4.4. Factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5. Igualdades y despeje de variables. 24

III Funciones. 27

6. Ecuaciones de primer grado. 29

7. Representación geométrica para el cálculo de perímetros yáreas usando polinomios y ecuaciones. 32

8. Solución de ecuaciones simultáneas. 358.1. Suma y resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.2. Igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.3. Sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.4. Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9. Ecuaciones de segundo grado. 439.1. Las raíces de una ecuación cuadrática. . . . . . . . . . . . . . 43

10.Funciones. 4510.1. Concepto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.2. Notación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

Parte I

Aritmética.

4

Objetivo: Resuelve problemas físicos y financieros desu vida cotidiana que involucran números reales, medi-ante la aplicación del lenguaje matemático, las cuatrooperaciones fundamentales y el uso de la recta numérica.

5

Capítulo 1

Los números y surepresentación en la rectanumérica.

Existen diferentes conjuntos de números tales como los naturales N, en-teros Z, racionales Q, irracionales I, reales R y complejos C. Una de lasrelaciones entre los diferentes conjuntos de números es la de contención, esdecir, unos son subconjuntos de otros de tal manera que:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C y se tiene que I ⊂ R

1.1. Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ....}Los naturales son los números que usamos para contar y están com-

puestos por los enteros positivos y el cero.

6

La cardinalidad de un conjunto se refiere al número de elementos queeste contiene. La cardinalidad de los naturales es el infinito matemático máspequeño llamado aleph cero.

El conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de losnúmeros enteros.

1.2. Enteros: Z = {...−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4....}Si unimos los números naturales con sus inversos aditivos y el cero obten-

emos el conjunto de los números enteros.El conjunto de los números enteros es un subconjunto del conjunto de

los números racionales.Completa la serie de números enteros: -13,-12,-11,-10,-9,-8,-7

1.3. Racionales

Los números racionales son aquellos que nos sirven para medir longi-tudes, pesos, tiempo, etc. En general aquellas magnitudes que no se puedenmedir con los números enteros.

Los racionales se pueden obtener como cociente de dos números enteros,así los números racionales son de la forma p

qdonde p y q pertenecen a los

enteros.El conjunto de los números racionales es subconjunto del conjunto de los

números reales.

Asocia los siguientes números con su definición.8

25= 0.32 : Expresión decimal exacta

7

8

22= 0.363636... = 0.36 : Expresión decimal periódica pura

4

15= 0.266666... = 0.26 : Expresión decimal periódica mixta

1.4. Irracionales

Los irracionales son números decimales infinitos no periódicos y por lotanto no pueden representarse por una fracción.

Los siguientes son números irracionales:a) Pib) ec) 0.00010001d)√2

e) 123.0009900099

La razón aúrea es un número irracional que existe como patrón en la natu-raleza y que artistas como Leonardo DaVinci y los antiguos griegos utilizaronen sus obras. La razón aúrea es igual a:

RA =1 +

√5

2=?

a) 2.6180339887....b) 0.6180339887....c) 1.6180339887....d) 3.6180339887....

1.5. Reales

La unión de los números racionales y los irracionales forma el conjuntode los números reales Q ∪ I = R.

Los números reales se pueden representar gráficamente en una recta, enla que cada punto representa un número.

A diferencia de los conjuntos de los números naturales, enteros yracionales los números reales son un conjunto no numerable.

8

Según la figura asocia la letra con su correspondiente número:A = −2.25B = −0.75C = 2.833333D = 3.5

1.6. Complejos

Los números complejos son el conjunto de números más grande y son dela forma a+ ib donde a y b son números reales.

Todo número es un número complejo. Verdadero

Al número a se le llama parte real y al número b se le llama parteimaginaria.

Cuando la parte real de un número complejo es cero se llama imaginariopuro. VERDADERO

Cuando la parte imaginaria de un número complejo es cero se llamanúmero real. VERDADERO

La unidad imaginaria i se define como:a)√1

b) −√1

9

c)√−1

d)√2

Asocia los siguientes números con sus respectivos conjuntos:−1001 : Entero4256000 : Natural√2 : Irracional

3.25 : Racional2 + 4i : Complejo

1.7. Representación en la recta

Indica cuál de las siguientes relaciones de orden es la correcta:a) −4 < −3 < −2 < −1 > 0b) −4 > −3 > −2 > −1 > 0c) −4 < −3 < −2 < −1 < 0d) −2 < −1 < 0 > 1 > 2

Indica cuales de las siguientes relaciones de orden son verdaderas:

a) −2.25 < −0.75 < 2.833333 < 3.5 VERDADEROb) −2.25 > −0.75 > 2.833333 > 3.5 FALSOc) −8.5 < 0 < 7.5 < 8.5 VERDADEROd) −2.25 > −3 > −7.2 > −10 VERDADEROe) −9 > −8 > −7 > −6 FALSO

Un número en la recta entre más a la izquierda se encuentre del cero serámenor. VERDADERO

Un número en la recta entre más a la derecha se encuentre del cero serámenor. FALSO

Un número en la recta entre más a la izquierda se encuentre del cero serámayor. FALSO

10

Capítulo 2

Las cuatro operacionesfundamentales

Una operación aritmética es una relación que consiste en un conjunto dereglas entre dos o más cantidades ya sean literales ó numéricas y que da comoresultado una nueva cantidad.

2.1. Suma

La suma (+) es la operación aritmética que permite obtener una cantidadtotal a partir de dos o más números a los que llamamos sumandos.

a+ b = c

3 + 12 = 15

Asocia las siguientes propiedades de la suma:

a+ b = b+ a : Conmutativa(a+ b) + c = a+ (b+ c) : Asociativaa+ 0 = a : Elemento neutro aditivoa+ (−a) = 0: Elemento inverso aditivo

11

2.2. Resta

La resta (−) es la operación aritmética que permite obtener una cantidadtotal a partir de dos o más números que pueden ser positivos o negativos.

Las partes de la resta reciben el nombre de minuendo, sustraendo ydiferencia.

a− b = c

13− 6 = 7

La resta no es una operación conmutativa ya que a − b �= b − a. VER-DADERO

2.3. Multiplicación.

La multiplicación es la operación aritmética que indica la cantidad deveces que un número debe sumarse a si mismo.

Las partes de la multiplicación son llamados factores y el resultado esllamado producto.

3 · 5 = 5 + 5 + 5 = 15

a · b = c

Asocia las siguientes propiedades de la multiplicación:

a · b = b · a : Conmutativa(a · b) · c = a · (b · c) : Asociativaa · 1 = a : Elemento neutro multiplicativoa · 1

a= 1: Elemento inverso multiplicativo

a · (b+ c) = a · b+ a · c : Distributiva

12

2.4. División.

La división es la operación aritmética que da como resultado el númerode veces que cabe el denominador en el numerador.

A la división también se le llama cociente.

a

b= c

La división es una operación no conmutativa ya que ab�= b

a.Verdadero

Es posible realizar divisiones entre cero. FalsoUn número a esmúltiplo de un número b si a se obtiene demultiplicar

b por otro número c, es decir:

a = b · c21 = 3 · 7

así 21 es múltiplo de 3 y de 7.

Los siguientes son múltiplos de 7:a) 7, 49, 84, 139, 147b) 7,49,84,140,147c) 49, 84, 140, 146, 216d) 49, 84, 138, 146, 216

Sí a es múltiplo de b, entonces al dividir a entre b el resultado es exacto.VERDADERO

Indica cuál de las siguientes divisiones son exactas.

a) 36

8

b) 144

9

c) 25

6

d) 132

11

e) 54

3

13

Capítulo 3

Regla de los signos.

3.1. Suma

La regla de los signos para la suma indica el signo final de realizar lasuma de dos o más números positivos y negativos. Es el signo resultanteubicar posiciones en la recta numérica.

Realiza las siguientes operaciones ubicando un punto sobre la recta ymoviéndolo según los valores correspondientes:(−2) + 7 = 56 + (−11) = −50 + (−4) = −4(−3)− (−2) = −15 + (−9) = −4

3.2. Multiplicación

Indica si las siguientes relaciones son falsas o verdaderas.(+)(−) = + Falso(−)(+) = − Verdadero

14

(−)(−) = − Falso(−)(−) = + Verdadero(+)(+) = + Verdadero

3.3. Uso de paréntesis.

Los paréntesis en las operaciones aritméticas nos indican la jerarquía delas operaciones, es decir, nos dicen que operación debemos efectuar primeroy en que secuencia hacerlo. Por ejemplo en la operación:

a · (b+ c)

el paréntesis nos indica que primero debemos sumar b+ c y el resultadomultiplicarlo por a.

En el caso de los signos, los paréntesis nos ayudan a asociar las operacionesde tal manera que podamos seguir una secuencia para la obtención del signofinal.

(−3) + (−9)− (−5) = −3− 9 + 5 = 5− 9− 3 = −7Asocia las siguientes operaciones con sus correspondientes resultados:

(−5) + (−8) = −13(2)(−3) + (−6) = −12(−4)(−3) + (7)(−2) = −2(−5)(8) + (−7)(−2) = 26(−12)(−3) + (−6) = 30(−4)(−1) + (17)(−2) = −30(−28) + (−9)− (−12) + 8 = −17(−5)(−4)(−1) + (17)(−2) + (−1) = −55

15

Parte II

Álgebra

16

Objetivo: Resuelve problemas de geometría, reales yabstractos, mediante métodos aritméticos, algebraicos ygeométricos, y compara los resultados obtenidos con losdistintos procedimientos.

Álgebra es la rama de las Matemáticas que empleanúmeros, letras y signos para elaborar múltiples opera-ciones aritméticas. El término tiene su origen en el latíny proviene de un vocablo árabe que se traduce al españolcomo reducción". El álgebra es el resultado de aplicar lasoperaciones elementales (+,−,×,÷) y sus propiedades alos diferentes conjuntos de números, con el fin de obtenerexpresiones matemáticas más simples.

17

Capítulo 4

Polimomios

Un polinomio es una expresión matemática compuesta de la suma devarios términos los cuales a su vez son el producto de una cantidad por lapotencia de una variable.

a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + ...anxn

ejemplo : 5 + 3x+ 7x2 − 12x3 (4.1)

a los números reales a0, a1, a2, a3, ...an se les llama coeficientes del poli-nomio y x es la variable.

El grado de un polinomio es el valor de la potencia más grande de sustérminos.

Cuando la mayor potencia de la variable de un polinomio es igual a uno,el polinomio se dice que es de primer grado.

Asocia los siguientes polinomios con sus respectivos grados:

31 + 12x+ 3x− 11x :Primer grado5 + 42x+ 7x2 − 16x3 : Tercer grado25x+ 17x2 − 16x5 + 9 : Quinto grado39x7 + 57x2 − 8x5 + 4 : Séptimo grado

Los términos de un polinomio se pueden reducir sumando los términoscuya variable tenga la misma potencia. VERDADERO

18

Los términos semejantes en un polinomio son aquellos términos quetienen la misma variable con el mismo exponente.

En un polinomio es posible sumar términos que no son semejantes. Falso

2x+ x2 − 9x2 + 21xEn el polinomio anterior los términos semejantes son 2x con 21x y 9x2

con x2

Reduce los siguientes polinomios de primer grado (suma los términossemejantes):

3− 2x+ 21x− 9x+ x = 11x+ 3−5x+ 12 + 15x− 9x+ x = 2x+ 123x+ 19 + 6x− 9x+−2 + x = x+ 1760x− 2x+ 31x− 7x+ x+ 18 = 83x+ 18

4.1. Jerarquía de las operaciones y regla delos signos.

Las operaciones aritméticas se deben realizar en cierto orden que dependede la estructura de la operación. Los paréntesis nos indican la secuencia quedebemos seguir en la operación o reducción de una expresión matemática.

Las operaciones dentro de los paréntesis se deben realizar primero ycomenzando por el paréntesis que se encuentre más al interior de la estruc-tura.

3 + (2− (−3))x+ 2(3 + (−4))x= 3 + (2 + 3)x+ 2(3− 4)x= 3 + 5x+ (6− 8)x= 3 + 5x− 2x= 3 + 3x

Asocia las siguientes operaciones con su correspondiente resultado:

19

2 + (7− (−2))x+ 5(6 + (−1))x = 34x+ 2(4 + (−23))x+ 17 + 5(6 + (−8))x = 17− 29x(9 + (−6))x+ 2(4x) + 3(6− (−3))x = 38x120 + 2(7− (−3))x+ 5(6 + (−5))x = 25x+ 120

4.2. Operaciones básicas con polinomios deuna variable.

La suma de polinomios de una variable se obtiene sumando los coefi-cientes de los términos que tengan el mismo grado.

(2x3 + 2x2 + 5x− 3) + (7x3 − 11x+ 12)= 2x3 + 7x3 + 2x2 + 5x− 11x− 3 + 12= 9x3 + 2x2 − 6x+ 9

La resta de polimonios de una variable se obtiene de manera análoga ala suma y aplicando la regla de los signos y la jerarquía de las operacionesindicada por los paréntesis.

(2x3 + 2x2 + 5x− 3)− (7x3 − 11x+ 12)= (2x3 + 2x2 + 5x− 3)− 7x3 + 11x− 12= 2x3 − 7x3 + 2x2 + 5x+ 11x− 3− 12= −5x3 + 2x2 + 16x− 15

La multiplicación de un número por un polinomio se realiza multiplicandoel número por cada término del polinomio.

4 · (−5x3 + 2x2 + 16x− 15)= 4(−5)x3 + 4(2)x2 + 4(16)x+ 4(−15)= −20x3 + 8x2 + 64x− 60

La multiplicación de polinomios se realiza multiplicando término a tér-mino es decir cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de lostérminos del otro.

20

(5x3 − 2x+ 3) · (2x2 − x+ 3)

= (5x3)(2x2) + (5x3)(−x) + (5x3)(3) + (−2x)(2x2)+(−2x)(−x) + (−2x)(3) + (3)(2x2) + (3)(−x) + (3)(3)

= 10x5 − 5x4 + 15x3 − 4x3 + 2x2 − 6x+ 6x2 − 3x+ 9= 10x5 − 5x4 + 11x3 + 8x2 − 9x+ 9

Asocia los siguientes productos de polinomios con sus respectivos resul-tados.

(2x+ 1) · (x2 + 3x− 2) = 2x3 + 7x2 − x− 2(x+ 1)(x+ 2) = x2 + 3x+ 2(x+ 2)(x− 2) = x2 − 4(2x3 − x)(x+ 1) = 2x4 + 2x3 − x2 − x

4.3. Productos notables básicos.

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. Tam-bién sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se en-cuentran frecuentemente y su identificación nos ayudan a obtener resultadosrealizando un menor número de operaciones algebráicas.

Uno de los productos notables básicos es el binomio cuadrado perfectoque da como resultado el trinomio cuadrado perfecto.

(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b)

= a2 + ab+ ba+ b2

= a2 + 2ab+ b2

Cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2

debemos identificarla de inmediato y saber que podemos expresarla como(a+ b)2.

Asocia las siguientes expresiones con su respectivas formas de binomio alcuadrado:

21

x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2

32 + 2(3)(6) + (6)2 = (3 + 6)2

z2 + 2zt+ t2 = (z + t)2

p2 + 2pq + q2 = (p+ q)2

Otro de los productos notables básicos es el producto de binomios conju-gados que da como resultado la diferencia de cuadrados.

(a+ b)(a− b)

= a2 − ab− ba+ b2

= a2 − b2

Cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 − b2 debemosidentificarla de inmediato y saber que podemos expresarla como (a− b)2.

Asocia las siguientes expresiones con su respectivas formas de diferenciade cuadrados:

x2 − y2 = (x+ y) · (x− y)(7 + 2) · (7− 2) = 72 − 22z2 − t2 = (z + t) · (z − t)(p+ q) · (p− q) = p2 − q2

4.4. Factorización.

Un número natural como 28 puede expresarse como producto de númerosde diferentes formas:

28 = 2 · 14 = 1 · 28 = 4 · 7En cada uno de estos casos, los números que forman el producto se llaman

factores.Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de

dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el productode dos o más factores algebraicos.

22

Al proceso de expresar un polinomio como producto de factores se lellama factorización.

Los factores comunes son aquellos números o literales que aparecen mul-tiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Factorizar quiere decir identificar los factores comunes a todos los tér-minos y agruparlos en uno solo.

2x3 + 8x2y = 2x2x+ 4(2)x2y

= 2x2(x+ 4y)

Indica si las siguientes factorizaciones son falsas o verdaderas:

9a+ 6b− 12c = 3(3a+ 2b− 4c)3a− 4b+ 5b2 + 9a2) = 3a(1 + 3a)− b(4− 5b)16x2 − 4x+ 2y − 6y3 = 4x(4x− 1) + 2y(1− 3y2)4x+ 6x3 + 4x4 + 16x5 = 2x(2 + 3x2 + 2x3 + 8x4)

23

Capítulo 5

Igualdades y despeje devariables.

Una igualdad es una identidad que es verdadera para todo valor de lavariable y se compone de dos miembros, izquierdo y derecho, relacionadosentre sí por el signo igual (=).

A la literal le llamamos variable ó incognita.Y llamamos solución al valor que toma la incógnita de tal manera que

se cumpla la igualdad.

2x+ 2 = 2(x+ 1)

2(3) + 2 = 2(3 + 1)

6 + 2 = 2(4)

8 = 8

Partes de la igualdad:

a+ d = b+ c

a+ d : Primer miembrob+ c : Segundo miembro=: Signo de relación de igualdad

Propiedades de la igualdad1.− Identidad o reflexiva: toda cantidad es igual a si misma.a = a

24

2.− Simétrica: Se pueden intercambiar los miembros de la igualdad y estano se altera.

Si a = b⇒ b = a3.− Transitiva: Si una cantidad es igual a otra y ésta a su vez es igual a

una tercera entonces la primera es igual a la tercera.Si a = b y b = c⇒ a = c4.− Propiedad fundamental de la igualdad: Si en ambos miembros de una

igualdad se efectúan operaciones iguales con cantidades iguales, la igualdadse conserva.

Sea a = b entonces se cumple que:

a = b

a+m = b+m

a− n = b− n

a · k = b · ka

p=

b

pp �= 0

an = bn

n√a =

n√b

Despejar una literal de una igualdad, es dejarla sola en uno de losmiem-bros de esta.

En los despejes se utilizan las propiedades de los números reales y las deigualdad.

Para conocer el valor de la incógnita es necesario despejarla, aplicandouna serie de operaciones algebráicas y aritméticas.

3x− 5 = 7− 12xa) 3x− 5 + 5 = 7− 12x+ 5 (5.1)

3x = 7− 12x+ 5b) 3x+ 12x = 7− 12x+ 12x+ 5

15x = 12

c)(1

15)(15x) = (

1

15)12

x =12

15

25

Relaciona los pasos del despeje con la correspondiente operación realizadaen ambos miembros de la igualdad.

En el inciso a) sumó 5, en el inciso b) se sumó 12x y en el inciso c) semultiplicó por 1/15.

En los pasos intermedios a los incisos se puede ver que los términos que es-taban sumando pasaron restando, los que estaban restando pasaron sumandoy los que estaban multiplicando pasaron dividiendo.

Asocia las igualdades con el respectivo despeje de su literal.

−4x− 5 = 13− 14x : x = 18

10

9x− 12x+ 5 = 7 + 11x : x = − 2

14

45x− 22x+ 17x = 7x+ 11x+ 7 : x = 7

22

−31x− 5x+ x = 10− 18x : x = −10

17

Se sabe que el perímetro del cuadrado más grande de la figura es P =78.¿Cuál es el valor de x?

a) 62/4b) 4/62c) 60/4d) 62/8

El perímetro del siguiente tríangulo es P = 94. ¿Cuál es el valor de x?

a) 63/2b) 60/2c) 63/8d) 94/2

26

Parte III

Funciones.

27

Objetivo: Resuelve e interpreta la solución de prob-lemas físicos, químicos y financieros de su entorno co-tidiano que involucran ecuaciones de primer y segundogrado, así como sistemas de ecuaciones, utilizando méto-dos gráficos y algebráicos.

28

Capítulo 6

Ecuaciones de primer grado.

Si una igualdad se satisface únicamente para ciertos valores de su variable,recibe el nombre de ecuación. Al Resolver este tipo de ecuaciones se encon-trará un solo valor para la incógnita, que hace que la ecuación se satisfagacomo igualdad.

Por ejemplo la igualdad:

(x− 1)2 = x2 − 2x+ 1es una identidad por que se satisface para cualquier valor de x:

(x− 1)2 = x2 − 2x+ 1(4− 1)2 = 42 − 2(4) + 1

32 = 16− 8 + 19 = 9

ejemplos de ecuaciones son:

n+ 2 = 5

x2 + x− 2 = 0

¿Para qué valor de n se satisface la primera igualdad?

a) 3b) 5

29

c) 2d) 6

Comprueba que la segunda igualdad se satisface para los valores x =1, x = −2.(sustituye un valor a la vez y efectua las operaciones).

Al resolver una ecuación se deben aplicar las operaciones algebraicas quehasta el momento se han aprendido, así como las reglas para despejar.

Para la solución de ecuaciones simples debemos seguir los siguientes pasos:

3x− 2− 7 = x+ 3

1◦ Se pasan al primer miembro los términos que contengan a la incógnitay al segundo los que no la contengan:

3x− x = 3 + 2 + 7

2◦ Se reducen términos semejantes en cada uno de los miembros:

2x = 12

3◦ Se despeja la incógnita y se simplifica el valor obtenido:

x =12

2x = 6

La comprobación del resultado consiste en sustituir en la ecuación originalel valor encontrado para la incógnita. Si se cumple la igualdad, entonces sedice que el valor encontrado es solución de la ecuación.

3(6)− 2− 7 = (6) + 3

18− 2− 7 = 6 + 3

9 = 9

Por lo tanto x = 6 es solución de la ecuación.

Aplica los pasos para resolver la ecuación y comprueba el resultado:

2x− 5 = 5x+ 4

30

a) x = −3b) x = 3c) x = 6d) x = 5

31

Capítulo 7

Representación geométricapara el cálculo de perímetros yáreas usando polinomios yecuaciones.

Podemos utilizar los polinomios para calcular el perímetro y áreas dediferentes polígonos.

El perímetro de un cuadrado cuyo lados es L=a+b se puede obtenersumando cada uno de sus lados.

P = (a+ b) + (a+ b) + (a+ b) + (a+ b)

= 4(a+ b)

Si tenemos un cuadrado cuyos lados conforme la figura son a = 7 y b = 4el perímetro del cuadrado es:

32

P = 4(7 + 4) = 4(28) = 112

El binomio al cuadrado representa el cálculo del área de un cuadrado cuyolado mide L = a+ b.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

Si tenemos un cuadrado cuyos lados conforme la figura son a = 5 y b = 3el área del cuadro es:

(5 + 3)2 = 82 = 64

= 52 + 2(5)(3) + 32

= 25 + 30 + 9

= 64

¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al perímetro del polígonomostrado en la figura?

a) P = 10a+ 8b+ 3cb) P = 10a− 8b+ 3cc) P = 8a+ 10b+ 3cd) P = 3a+ 8b+ 10c

Usa un binomio al cuadrado para determinar el área de la figura.

33

a) 121b) 221c) 212d) 120

El área del cuadrado pequeño de la figura es 24. FALSOEl área de los rectángulos de la figura es 24. VERDADEROEl perímetro de los rectángulos de la figura es 11. VERDADERO

Resuelve los siguientes problemas.

1.− Un comerciante dice: Si lograra duplicar mi dinero y pagara $10800que debo, me quedarian $7500. ¿Cuánto dinero tiene el comerciante?

a) $12900b) $12000c) $11000d) $12500

2.− Calcular los tres ángulos de un triángulo, sabiendo que el primeroes el doble del segundo, y el tercero mide 12◦ más que el segundo. ¿Cuántomide cada ángulo?

a) a = 84◦,b = 42◦, c = 54◦

b) a = 84, b = 49, c = 54c) a = 89, b = 42, c = 55d) a = 90, b = 40, c = 54

34

Capítulo 8

Solución de ecuacionessimultáneas.

A las ecuaciones de primer grado también se les llama ecuaciones lineales.Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la forma:

ax+ by = c

donde a y b son números diferentes de cero.Una ecuación de la forma:

ax+ by + cz = k

con a, b, c diferentes de cero, es una ecuación lineal con 3 incógnitas x, y, z.Se llama sistema de ecuaciones lineales a todo conjunto de ecuaciones

formado por dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

5x+ 3y = 5

x− 4y = 1

2x+ y + 5z = 7

x+ y − 7z = 1

−x+ y + 3z = 3

35

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar la solución común, es decir, elconjunto de valores (un valor para cada incógnita) que satisfacen simultánea-mente cada una de las ecuaciones.

Los métodos más comunes para resolver estos sístemas son:

1.− Suma y resta.2.− Igualación.3.− Sustitución.4.− Determinantes5.− Método gráfico

8.1. Suma y resta.

Sea el sistema:

(1) 6x+ 2y = −3(2) 5x− 3y = −6

Algoritmo de solución:1◦ Se hacen simétricos los coeficientes de la incógnita que se quiere elimi-

nar, para ello basta con multiplicar la ecuación (1) por el valor del coeficienteque tiene la incógnita que se quiere eliminaren la ecuación (2) y viceversa,procurando que sean de diferente signo.

Eliminando y :Se multiplica la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2 :

18x+ 6y = −910x− 6y = −12

2◦ Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones.

28x = −21despejando:

x = −2128

36

Simplificando:

x = −34

3◦ Se sutituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales.Sustituyendo x = −3

4en la ecuación (1):

6(−34) + 2y = −3

−92+ 2y = −3

−9 + 4y = −64y = −6 + 94y = 3

y =3

4

Los valores obtenidos para las dos incógnitas son x = −3

4y y = 3

4. Al

sustituir estos valores en ambas ecuaciones. En la ecuación (1):

6(−34) + 2(

3

4) = −3

−184+6

4=

−124

=

−3 = −3

en la ecuación (2):

5(−34)− 3(3

4) = −6

−154− 94=

−244

=

−6 = −6

por lo tanto x = −3

4y y = 3

4es la solución al sistema de ecuaciones.

37

8.2. Igualación.

Sea el sistema:

2x+ 3y = 23

5x− 2y = 10

Algoritmo de solución:

1◦ Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones:

2x = 23− 3yx =

23− 3y2

5x = 10 + 2y

x =10 + 2y

5

2◦ Se igualan las dos ecuaciones despejadas, con lo cual se obtiene unaecuación con un una incógnita.

23− 3y2

=10 + 2y

5

3◦ Se resuelve la ecuación que resulta:

5(23− 3y) = 2(10 + 2y)

115− 15y = 20 + 4y

−15y − 4y = 20− 115−19y = −95

(−1)(−19y) = (−1)(−95)19y = 95

y =95

19y = 5

38

4◦ Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de los dos ecuacionesdespejadas.

x =23− 3(5)

2

x =23− 152

x =8

2x = 4

Realiza la comprobación del resultado.

8.3. Sustitución.

Sea el sistema:

(1) 3x+ 7y = 2

(2) 7x+ 8y = −2

Algoritmo de solución:1◦ Se despeja a una e las incógnitas de cualquiera de las ecuaciones que

forman el sistema.Despejando x de la ecuación (1):

3x = 2− 7y(3) x =

2− 7y3

2◦ Se sutituye la ecuación (3) en la ecuación que no se utilizó para eldespeje:

7(2− 7y3

) + 8y = −2

3◦ Se resuelve la ecuación obtenida:

39

14− 49y3

+8y

1= −2

11(14− 49y) + 3(8y) = 3(−2)

14− 49y + 24y = −6−49y + 24y = −6− 14

−25y = −2025y = 20

y =20

25(8.1)

y =4

5(8.2)

4◦ El valor encontrado se sustituye en la ecuación 3, con lo cual se en-cuentra el valor de la otra incógnita:

Sustituyendo y = 4

5en la ecuación (3):

x =2− 7(4

5)

3

x =2− 28

5

3

x =10− 2815

x = −1815

x = −65

Realiza la comprobación del resultado.

8.4. Determinantes.

El símbolo:

∣∣∣∣a1 b1a2 b2

∣∣∣∣

representa un determinante de orden dos y el símbolo:

40

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

representa un determinante de orden 3. En los determinantes se distinguenrenglones y columnas.

A las números que están en el determinante les llamamos entradas deldeterminante.

El determinante de orden dos se calcula de la siguiente forma:

∣∣∣∣a1 b1a2 b2

∣∣∣∣ = a1b2 − a2b1

Se multiplican cruzadas las entradas del determinante.

∣∣∣∣2 −5−4 −1

∣∣∣∣ = 2(−1)− (−5)(−4)∣∣∣∣2 −5−4 −1

∣∣∣∣ = −2− 20 = −22

Para resolver un sistema de 2x2 usando determinantes se debe aplicar laregla de Cramer.

Resolver el sistema:

3x+ 2y − 7 = 0

y − 5x+ 3 = 0

Algoritomo de solución:Se dispone cada ecuación de tal manera que ambas estén ordenadas en la

misma forma con respecto a sus incógnitas, con los términos independientesen el segundo miembro.

3x+ 2y = 7

−5x+ y = −3

El determinante del sistema∆ lo forman los coeficientes de las incógnitas:

41

∆ =

∣∣∣∣3 2−5 1

∣∣∣∣

∆ = 3(−1)− (−5)(2) = 3 + 10∆ = 13

Para obtener el determinante de x denotado∆x se sustituye en la primeracolumna de ∆ el valor de los términos independientes:

∆x =

∣∣∣∣7 2−3 1

∣∣∣∣

∆x = 7(1)− (2)(−3) = 7 + 6 = 13

El valor de x está dado por el cociente:

x =∆x

∆=13

13x = 1

El valor de y se cálcula de la misma formo sólo que ahora sutituyendo elvalor de los términos independientes en la segunda columna:

∆y =

∣∣∣∣3 7−5 −3

∣∣∣∣

∆y = (3)(−3)− (7)(−5) = −9 + 35 = 26

El valor de y está dado por el cociente:

y =∆y∆=26

13y = 2

La solución del sistema es x = 1; y = 2.

42

Capítulo 9

Ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación de la forma:

ax2 + bx+ c = 0

en la cual a, b y c son constantes, con a �= 0, se llama ecuación cuadráticao de segundo grado.

9.1. Las raíces de una ecuación cuadrática.

A los valores de la incógnita que satisfacen una ecuación cuadrática se lesllama raíces de la ecuación, estos pueden ser números reales o complejos.

Las raíces de la ecuación:

x2 − 2x− 3 = 0son x1 = 3 y x2 = −1; ya que al sustituir cada valor en la ecuación se

cumple la igualdad.

x2 − 2x− 3 =

32 − 2(3)− 3 =

9− 6− 3 = 0

(−1)2 − 2(−1)− 3 =

1 + 2− 3 = 0

43

Para resolver ecuaciones de segundo grado podemo susar la fórmula gen-eral de segundo grado:

x =−b±

√b2 − 4ac2a

Resuelve la ecuación:

6x2 = 12 + x

Algoritmo de solución:

1◦ Se lleva la ecuación a la forma:

ax2 + bx+ c = 0

6x2 − x− 12 = 0de donde se puede observar que a = 6, b = −1 y c = −12, que sustituyen-

do en la fórmula general se tiene:

x =−(−1)±

√(−1)2 − 4(6)(−12)2(6)

x =1±

√1 + 288

12

x =1± 1712

x1 =1 + 17

12=18

12=3

2

x2 =1− 1712

= −1612= −4

3

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

8x2 − 2x− 15 = 0a) x1= −5

4,x2=

3

2

b) x1 =5

4, x2 =

3

2

c) x1 = −5

4, x2 = −3

2

d) x1 = −3

4, x2 =

5

2

44

Capítulo 10

Funciones.

Piensa en una función como una máquina de calcular, ésta toma unnúmero llamado entrada y produce un resultado llamado salida. A cadanúmero en la entrada le corresponde un único número como salida, peropuedo suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor desalida.

10.1. Concepto.

Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto xde un conjunto llamado dominio un valor único f(x) de un segundo conjunto.El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.

45

10.2. Notación.

Para denotar una función se usa una sola letra como f, g, F , etc. Entoncesf(x) se lee "f de x.o "f en xτ designa el valor que f asigna a x. Por lo tanto,si f(x) = x3 − 4 entonces:

f(2) = 23 − 4 = 4f(−1) = (−1)3 − 4 = −5

f(x+ h) = (x+ h)3 − 4 = x3 + 3x2h+ 3xh2 + x3 − 4

Sea f(x) = x2 − 2x, encuentra y simplifica a) f(4), b) f(4 + h), c) f(4 +h)− f(4):

a) f(4) = 42 − 2(4) = 8

b) f(4 + h) = (4 + h)2 − 2(4 + h)

= 8 + 6h+ h2

c) f(4 + h)− f(4) = 8 + 6h+ h2 − 8= 6h+ h2

46