SUPERFICIES CUADRICAS

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SUPERFICIES CUADRICAS

En el espacio una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en las variables x , y , z. la forma general de esta ecuación es:

0222 JIzHyGxFyzExzDxyCzByAx

Donde A ,B, C, D, E, F, G, H, I, J son constantes o números reales.

Las superficies que se estudiaran, son aquellas en las cuales los coeficientes de

los productos cruzados son iguales a cero. Es decir D = E = F = 0 , siendo la

ecuación de segundo grado de la forma:

0222 JIzHyGxCzByAx

La traza de la superficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de

superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una

circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre si pero no son

tangentes.

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.

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Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos

planos paralelos a estos.

Las trazas en cada uno de los planos coordenados de una superficie cuádrica

son secciones cónicas , las cuales se estudiaron en el calculo uno ( Circunferencia, parábola , elipse , hipérbola )

Existen seis tipos básicos de superficies cuádricas : ELIPSOIDE ,

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA , HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS , CONO ELÍPTICO , PARABOLOIDE ELÍPTICO , PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

Examinemos cada uno de ellos.

1. EL ELIPSOIDE: Se obtiene cuando los coeficientes de los tres términos cuadráticos presenten igual signo pero valores diferentes. Es importante señalar que además de esta condición se hace necesario el estudio del término independiente que se realiza despejándolo. Si el término independiente es nulo entonces la ecuación representaría un punto en el espacio, en cambio si este es diferente de cero se debe observar que una vez despejado presente el mismo signo que los términos cuadráticos ya que en caso contrario la ecuación no representaría lugar geométrico alguno. SU ECUACION GENERAL ES:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

La elipsoide corta a los ejes coordenados en los puntos ( a , 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0

) ; ( 0 , 0 , c ) .

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Su grafica se encuentra dentro de una caja rectangular definida por las

desigualdades czbyax ;; la grafica es simétrica con respecto a

cada uno de los planos coordenados porque las variables de la ecuación que la definen están elevadas al cuadrado.

Para dibujar la elipsoide a la ecuación general se le hace el siguiente análisis.

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

En la ecuación

original haciendo la variable

Se obtiene la

ecuación en dos variables

Que corresponde a

una cónica llamada

Cuya grafica es

paralela al plano

z = 0 12

2

2

2

b

y

a

x

Elipse XY

x = 0 12

2

2

2

c

z

b

y

Elipse YZ

y = 0 12

2

2

2

c

z

a

x

Elipse XZ

Si a = b = c y son diferentes de cero , la expresión representa una esfera.

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2. PARABOLIODE ELIPTICO. Su ecuación

general es:

02

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Es simétrico a los planos x = 0 , y = 0. la única intersección sobre los ejes es el origen. Excepto

por ese punto. La superficie se halla totalmente arriba o totalmente abajo del plano XY,

dependiendo del signo de c. Para graficarla se hace el siguiente análisis.

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En la ecuación

original haciendo la variable

Se obtiene la

ecuación en dos variables

Que corresponde a

una cónica llamada

Cuya grafica es

paralela al plano

z = c 12

2

2

2

b

y

a

x

Elipse XY

x = 0

c

z

b

y

2

2

Parábola YZ

y = 0

c

z

a

x

2

2

Parábola XZ

El eje de la parábola corresponde al a variable elevada a la

potencia uno.

Si a = b , se obtiene un paraboloide circular.

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3. HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA. Su ecuación general es:

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Es simétrico respecto a cada uno de los tres planos coordenados.

Las secciones cortadas por los tres planos

coordenados son:

En la ecuación original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuación en dos

variables

Que corresponde a una cónica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = 0 12

2

2

2

b

y

a

x

Elipse XY

x = 0 12

2

2

2

c

z

b

y

Hipérbola YZ

y = 0 12

2

2

2

c

z

a

x

Hipérbola XZ

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4. HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS : Su ecuación general es

12

2

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

Es simétrico respecto a los tres ejes coordenados.

SUPERFICIES CUADRICAS

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Las secciones son:

En la ecuación original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuación en dos

variables

Que corresponde a una cónica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = 0 12

2

2

2

b

y

a

x

Elipse XY

x = 0 12

2

2

2

b

y

c

z

Hipérbola YZ

y = 0 12

2

2

2

a

x

c

z

Hipérbola XZ

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5. CONO ELEIPTICO. Su ecuación general

es:

02

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

En la ecuación original haciendo

la variable

Se obtiene la ecuación en dos

variables

Que corresponde a una cónica

llamada

Cuya grafica es paralela al plano

z = kc 2

2

2

2

2

kb

y

a

x

Elipse XY

z = 0 0,0,0 Punto

x = 0 yb

cz

Recta YZ

y = 0 xa

cz

Recta XZ

Si a = b , se obtiene un cono circular recto.

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6. PARABOLOIDE HIPERBOLICO. Su ecuación general es:

2

2

2

2

a

x

b

y

c

z

tiene simetría respecto a los planos x = 0 , y = 0 .

En la ecuación

original haciendo la variable

Se obtiene la

ecuación en dos variables

Que corresponde a

una cónica llamada

Cuya grafica es

paralela al plano

X = 0 2

2y

b

cz

Parábola YZ

y = 0 2

2x

a

cz

Parábola XZ

Z= c 12

2

2

2

a

x

b

y

Hipérbola z = c

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ACTIVIDAD.

IDENTIFICAR LAS SIGUIENTES SUPERFICIES CUADRICAS.

1. 036363216916 222 yxzyx

2. 084 222 xzyx

3. 0363649 222 zyx

4. 01616116 222 zyx

5. 091661644 222 zyxzyx

6. 01849 22 xzy