Cuadricas y Conicas

8/16/2019 Cuadricas y Conicas

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AlumnaANABELLACARBALLO

ProfesorSERGIO IGURI

CatedraMATEMATICA YFISICA APLICADA I

LAS SECCIONESC!NICAS Y LASSUPERFICIES

CUADRICAS EN ELDISE"OAR#UITECT!NICO$[Escriba aquí una descripción breve del documento. Una descripción breve esun resumen corto del contenido del documento. Escriba aquí una descripciónbreve del documento. Una descripción breve es un resumen corto delcontenido del documento.]


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INTRODUCCION

Cuando nos referimos a la geometría en plano, se entiende que una curva seobtiene de una función explicita y=f(x), además se conoce la ecuación general

ax+c = y la ecuación de la circunferencia (x!a)" +(y!b)" = r" # $ero estasexpresiones, si bien ayudan muc%o, no nos terminan de dar la posibilidad de %acer cálculos de la curva completa#

&n este tema profundi'aremos las ecuaciones y los elementos fundamentales delas conicas, que son curvas planas de segundo grado, y las cuadráticas, lassuperficies en segundo grado# elacionando todo esto con la arquitectura, ya quedesde aos inmemorables la geometría y la arquitectura se cru'an dando lugar agrandes obras arquitectónicas#

Secciones Cónicas *enecmo, %acia a#de C#, se ocupa del problema clásico de la duplicacióndel cubo (construir un cubo de doble volumen que otro dado), en cuya motivacióny descripción no entraremos aquí# edu-o el problema al de la construcción de lasdos medias proporcionales entre " y .# &n nuestro lengua-e, si encontramos x e y

tales que

entonces x"="y, y"=x, y así x="y, es decir, el cubo de lado x es de volumendoble que el de lado y#

&n general, el problema de las dos medias proporcionales entre a y b consisteen %allar x e y, tales que

/u resolución se reduce a %allar la intersección de la curva x"=ay con xy=ab yes así como aparecen lo que nosotros llamamos parábola e %ip0rbola equilátera#

1racias a estos estudios descubrieron las cónicas como secciones de un conocircular recto por un plano perpendicular a una generatri'#

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CONO RECTÁNGULO: 1iro en torno a un cateto de triángulo rectánguloisósceles#

CONO ACUTÁNGULO: 1iro en torno al cateto mayor de un triángulorectángulo#CONO OBTUSÁNGULO: 1iro en torno al cateto menor de un triángulorectángulo#

&l estudio de las cónicas tiene origen en el libro de 2polonio de $erga, Cónicas, enel cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera

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por diversos planos# /i bien no disponía de la geometría analítica todavía, 2polonio %ace un tratamiento de las mismas que se aproxima muc%o a aqu0lla#3os resultados obtenidos por 2polonio fueron lo 4nicos que existieron %asta5&*26 y 7&/C26&/, retomaron el problema %aciendo grandes aportes a suestudio#

2polonio demostró que no es necesario considerar secciones perpendiculares auna generatri' del cono y que de un cono 4nico pueden obtenerse los tres tipos desecciones cónicas sin más que variar la inclinación del plano que corta al cono# 8oes necesario que sea el cono recto, es decir, que el e-e sea perpendicular al planode la base circular# 6ambi0n, puede sustituirse el cono de una %o-a por el cono dedos %o-as (par de conos orientados en sentido opuesto, con v0rtices coincidentesy e-es sobre la misma recta)# 3o que le lleva a descubrir que la %ip0rbola es unacónica con dos ramas#/i una recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fi-o se %acemover sobre la circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano que el

punto dado, de tal manera que pasa sucesivamente por todos los puntos de dic%acircunferencia, entonces la recta móvil describirá la superficie de un cono doblerecto si la recta es perpendicular al círculo u oblicuo si no lo es#

&xisten cuatro tipos de cónicas, seg4n el ángulo del plano que intersecta conel cono y su base9Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base#Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta enning4n momento#Par!ola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatri' y quecorta a la base#

"ip#r!ola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor alde la generatri' del cono#

CIRCUN$ERENCIA

3a circunferencia es una figura geom0trica cerrada cuyospuntos están a una distancia constante r, llamada radio, delcentro (C)#

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Ele%en&os 'e la circunferencia

Cen&ro9 el centro C es el punto interior que está a una distancia r de todos lospuntos de la circunferencia

Ra'io9 es el segmento r que une el centro (C ) de la circunferencia con cualquiera

de sus puntos# Di%e&ro9 segmento D que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el

centro (C )# /u longitud es el doble que la del radio# Cuer'a9 es un segmento K que une dos puntos de la circunferencia sin necesidad

de pasar por el centro#

Arco9 es la parte de la circunferencia que queda entre los dos extremos de unacuerda (a)#

Án(ulo cen&ral9 es el ángulo entre dos segmentos que van del centro a dospuntos de la circunferencia (α )

Pun&o in&erior 9 punto que está dentro de la circunferencia ( I ), encontrándose auna distancia del centro menor que r #

Pun&o e)&erior 9 puntos que están fuera de la circunferencia (E ), es decir, a unadistancia del centro mayor que r

ELIPSE

:na elipse es la curva cerrada condos e-es de simetría que resulta alcortar la superficie de un cono por unplano oblicuo al e-e de simetría ;conángulo mayor que el de lageneratri' respecto del e-e derevolución# :na elipse que giraalrededor de su e-e menor generaun esferoide ac%atado, mientras queuna elipse que gira alrededor de su

e-e principal genera un esferoidealargado# 3a elipse es tambi0nla imagen afín de una circunferencia#

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Ele%en&os 'e la elipse

$ocos: son los puntos fi-os 5. y 5" que generan la elipse# 3a suma de las dosdistancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d. y d") es constante#

Dis&ancia focal *+c,: distancia entre los dos focos# &s decir, 5.5"="c# c es lasemidistancia semifocal#

Cen&ro: es el punto medio de los dos focos ( (a)# 3a longitud es mayor (o igual

en el caso de la circunferencia) a la del semie-e menor# 3a suma de las distanciasde cualquier punto de la elipse a los focos es constante y 0sta es igual a dosveces el semie-e mayor9

Se%ie-e %enor: longitud del segmento C? o C3 (b)# 2mbos semie-es son los dose-es de simetría de la elipse# &xiste una fórmula que relaciona los dos semie-es yla semidistancia focal9

Como vemos en el dibu-o, esta relación cumple el teorema de $itágoras# Ra'ios /ec&ores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse ($=(x,y)) son

los dos segmentos que lo unen con los dos focos# $5. y $5" (en eldibu-o, d. y d")#

0#r&ices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la rectaque pasa por los focos, 5.5", y su perpendicular que pasa por el centro# &s decir,son los puntos , ?, > y 3

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Ecuación 'e la elipse

3os puntos pertenecientes a la elipse (x,y) son los puntosdel plano que cumplen que la suma de su distancia a losdos focos es constante# 3a ecuación de la elipse es lasiguiente9

&n el caso de que la elipse est0 centrada (el centro es el punto (,)),la ecuación es9

Área 'e la elipse

&l área comprendida dentro de una elipse es @ veces elproducto de los dos semie-es (a y b)#

&n el caso de que los dos semie-es sean iguales (r=a=b), sufórmula es la misma que el área comprendida dentro de unacircunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo)9

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E-e%plo :

/ea una elipse de semie-es conocidos, siendo elmayor a= cm y el menor b=" cm# ACuál es su áreaB

Per1%e&ro 'e la elipse

&l cálculo del perímetro de la elipse (o longitud de la elipse)es muy difícil, aunque no lo pare'ca# equiere de integrales

complicadas para su cálculo# &xisten fórmulas queaproximan el cálculo %asta valores bastante exactos#&xiste una aproximación con menos del de error,

siempre que el semie-e mayor (a) no sea muc%o másgrande que el menor (b)9

&l matemático amanu-an dio una aproximación más exacta que la anterior 9

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E)cen&rici'a' 'e la elipse

3a excentricidad de una elipse (e) es un valor que determinala forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada osi se aproxima a un segmento# /ea c la semidistancia focal

y al semie-e mayor9

3a excentricidad puede tomar valores entre y . (DeD.)# &s cuando la elipse esuna circunferencia# &n este caso los semie-es mayor y menor son iguales y losfocos (5. y 5.) coinciden en el centro de la elipse# Cuando la excentricidad crece

y tiende a ., la elipse se aproxima a un segmento#

&xiste otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semie-es (a y b)#

&sta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que9

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PARABOLA

3a parábola es el lugar geom0trico de los puntosque equidistan del foco (5) y de una recta

denominada directri'#&l foco y la directri' determinan cómo va a ser laapariencia de la parábola (en el sentido de queserá más o menos abierta seg4n la distanciaentre 5 y la directri')#

6ambi0n puede definirse como la intersección entre un cono recto y un planoparalelo a una generatri' del cono y que pase por la base del mismo .

"IPERBOLA

3a %ip0rbola es el lugar geom0trico de los puntosde un plano cuya diferencia de distancias (d. yd") a dos puntos fi-os llamados focos (5. y5") esconstante#&l valor de esa constante es la distancia entre losv0rtices E. y E" de la %ip0rbola ("a)#

Ecuación (eneral 'e las cónicas

3as cónicas tienen una fórmula general para definir los puntos (x,y) que laforman# /eg4n las características de los parámetros 2, F, C, 7 y &,

definirán cada uno de los cuatro tipos de cónica#

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SUPER$ICIES CUADRICAS

:na cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la

forma9donde $ es un polinomio de segundo grado en las coordenadas #Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual,en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas sellaman x, y, '#

Clasificacion 'e cua'ricas

ELIPSOIDE

3a gráfica de la ecuación9

corresponde a un elipsoide# &s sim0trico con respectoa cada uno de los tres planos coordenados y tiene

intersección con los e-es coordenados en

, y #3a tra'a del elipsoide sobre cada uno de los planoscoordenados es un 4nico punto o una elipse#

PARABOLOIDE ELIPTICO

3a gráfica de la ecuación

es un paraboloide elíptico#/us tra'as sobre planos %ori'ontales son

elipse 9

/us tra'as sobre planos verticales, ya sean

o son parábola#

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"IPERBOLOIDE DE UNA "O4A


es un %iperboloide de una %o-a#/us tra'assobre planos %ori'ontales sonelipses

/us tra'as sobre planos verticales son

%ip0rbolas o un par de rectas que seintersecan

"IPERBOLOIDE DE DOS "O4AS


es un %iperboloide de dos %o-as#/u gráfica consta dedos %o-as separadas#/us tra'as sobre planos%ori'ontales son elipses y sobre planosverticales son %ip0rbolas#

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E4E5PLOS AR6UITECTONICOS

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Ar7ui&ec&ura PreincaicaCiudad de Caral

Ar7ui&ec&ura Incaica 2ndenes de *oray

Ar7ui&ec&ura colonial *irador de Hana%uara (2requipa)

Claus&ros 'e la co%pa89A"A "ADID DUBAI

OPERA "OUSEAr7ui&ec&ura repu!licana $la'a de 2c%o

2SCAR NIE5E;ER CATEDRAL DE BRASILIA

SANTIAGO CALATRA0A


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BIBLIOGRA$IA%ttp9IIJJJ#universoformulas#comImatematicasIgeometriaIconicasI

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