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INSTITUTO POLITECICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERIA Y CIENCIAS SOCIALES Y ADMINISTRATIVAS

LLLAAABBBOOORRRAAATTTOOORRRIIIOOO DDDEEE FFFIIISSSIIICCCAAA

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PROLOGO

Las razones que me motivaron para emprender la tarea de escribir estas notas, fueron entre otras, la preocupacin por definir un enfoque y una forma de ensear la Fsica Experimental, que considere su desarrollo histrico, sus procedimientos y su mtodo en la adquisicin del conocimiento. Y de esta forma, mostrar que la Fsica Experimental merece un lugar de mayor importancia y de mayor peso del que actualmente tiene en los planes de estudio de toda escuela de Ciencias e Ingeniera. Desde la primera aparicin de estas notas y su utilizacin como gua bsica en los cursos de la asignatura de Metodologa Cientfica Aplicada a la Mecnica Clsica, ha sufrido varias modificaciones y correcciones, basadas en las observaciones y comentarios de los profesores de las Academias de Fsica. A cada uno de ellos les agradezco su colaboracin, su participacin y su apoyo para que estas notas se consideren realmente como una gua bsica de los cursos de Fsica Experimental y muy especialmente agradezco al profesor Fernando Garzn Garces sus observaciones respecto al clculo del coeficiente de correlacin y sus implicaciones. Espero seguir mejorando el contenido de estas notas y contribuir, de esta forma, en la preparacin de nuestros estudiantes hasta alcanzar la excelencia.

A T E N T A M E N T E

EL AUTOR

ENERO 2008

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REGLAMENTO INTERNO PARA EL LABORATORIO DE FSICA EXPERIMENTAL I

SEMESTRE AGOSTO-DICICEMBRE 2007

INSCRIPCIN. a) Los grupos de Laboratorio de Fsica son de un mximo de 20 alumnos para las secuencias numricas y 20 para las alfabticas. Los profesores de las secuencias no darn autorizacin para inscribir alumnos. b) Slo se atendern los alumnos inscritos oficialmente. c) El laboratorio no aceptar alumnos una vez concluido el perodo de inscripcin d) El laboratorio aceptar alumnos que estn en proceso de inscripcin, dependiendo del nmero de alumnos inscritos y que asistan, as como del cupo de cada secuencia.

ASISTENCIA. a) La tolerancia mxima de entrada al laboratorio ser de 15 minutos.

b) El retardo a clase se considera mximo a los 20 minutos del horario asignado. c) Tres faltas, causan baja y reprobacin del curso. d) Cinco retardos, causan baja y reprobacin del curso. e) Cualquier retardo o falta del profesor deber ser reportado a la Jefatura de los Laboratorios. f) La ausencia del personal del almacn de los laboratorios deber ser reportada a la Jefatura de la Seccin. g) Cualquier falta colectiva no justificada a la clase del laboratorio, ser considerada como experimento visto. h) Los alumnos podrn reponer hasta dos prcticas durante el semestre, dependiendo de las condiciones de espacio y tiempo, as como de los acuerdos de Academia.

AULA a) Los equipos de trabajo se integrarn dependiendo de los materiales y

aparatos, lo ideal es de 4 alumnos por equipo. b) Los integrantes de los equipos debern participar en el desarrollo de los experimentos. c) El alumno deber presentar su instructivo, en caso contrario no se le permitir el acceso al laboratorio. d) Los alumnos debern estudiar su instructivo y el tema a desarrollar, con base a su plan de trabajo, en caso contrario el profesor podr sancionar con la suspensin de la actividad experimental. e) En las mesas de trabajo se tienen 4 divisiones para que los alumnos depositen su material escolar, razn por la cual slo se permitir sobre las mesas el instructivo, material y equipo a utilizar. f) El alumno que se siente sobre las mesas de trabajo ser sancionado con la suspensin del experimento. g) No se permite la estancia en los laboratorios cuando no haya clase.

CLASES. a) Las clases debern ser de 100 minutos.

b) No se deber realizar ms de un experimento por sesin. c) No se permitir realizar experimentos en otras secuencias, aunque sean del mismo profesor.

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d) Las clases inician la primer semana del calendario oficial, excepto en casos de fuerza mayor.

MATERIALES a) Se deber llenar un vale al almacn y anexar la credencial actualizada

para que se preste el equipo y los materiales a utilizar. b) Los integrantes de los equipos de cada secuencia se harn responsables del equipo y los materiales que ampara el vale. c) El equipo y los materiales daados por los alumnos sern repuestos en un plazo mximo de dos semanas, de no ser as se quedar la credencial en el almacn y se reportar a las autoridades. d) El personal del almacn deber entregar el material y equipo limpio y en buen estado, en caso contrario deber reportarse a la Jefatura de los Laboratorios. e) Al finalizar el experimento, los alumnos debern entregar en el almacn el material y equipo completo y en buen estado para recoger su credencial. f) Cuando se adeude material, los alumnos quedarn sin derecho al examen departamental correspondiente. g) Para utilizar equipo y material fuera del horario de la secuencia correspondiente, se deber contar con la autorizacin de la Jefatura de los Laboratorios y dentro del horario del personal del almacn.

SEGURIDAD a) Se establecern las disposiciones necesarias y suficientes para el uso HIGIENE de altos voltajes que puedan poner en peligro la integridad de las personas

dentro de los laboratorios al realizar los experimentos. b) Los alumnos no deben permanecer sentados en las escaleras y/o platicar en los pasillos. c) Se realizarn simulacros de evacuacin por lo que es necesario que las puertas de acceso a los laboratorios queden abiertas. d) Las aulas al iniciar las clases debern estar limpias en los pizarrones, mesas de trabajo y piso. Se tendrn recipientes para la basura y de ser posible hacer la separacin de la misma. Cualquier anomala, reportarla a la Jefatura de los Laboratorios. e) No se permite fumar en las aulas de los laboratorios.

EVALUACIN a) El laboratorio se considera acreditado cuando la calificacin sea mnimo

de seis. b) El porcentaje mnimo de asistencia para tener derecho a acreditar el laboratorio es del 80%. c) Los alumnos que reprueben el laboratorio, debern cursarlo por segunda vez. En caso de reprobar por segunda ocasin, tendrn derecho a presentar un perodo de acreditamiento durante el perodo de E.T.S., el que se programar al finalizar el semestre y dependiendo de los acuerdos de las Academias. d) En el formato de actividades se establecen los porcentajes de evaluacin.

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PLAN DE TRABAJO

FSICA APLICADA FECHA SESION 1er. DEPARTAMENTAL

01

Planteamiento del curso. Objetivo y filosofa. La observacin cientfica, el proceso de medicin y sus errores. Experimentos: medicin de cantidades fsicas en los experimentos de cada libre o rebotes en un plano inclinado.

02 Incertidumbre en las mediciones y construccin de histogramas, utilizando las

mediciones tomadas en la sesin 01.

03

Introduccin a la teora de errores (sin propagacin). Parmetros estadsticos involucrados. Errores aleatorios en las mediciones efectuadas en la sesin 01. (E.A. DEL EXP)

04

Regresin lineal usando el mtodo de mnimos cuadrados. Efectuar todos los clculos para determinar los parmetros de regresin y despus hacer lo mismo utilizando el programa de la calculadora. Unidades e interpretacin fsica de los parmetros de la regresin. Ley Fisca. Experimento: Ley de Hooke.

FECHA SESION 2o. DEPARTAMENTAL

05

Contina Regresin lineal. Prueba de validez de la ley fsica: Prueba grafica y calculo de coeficiente de correlacin lineal r. Experimento: Movimiento rectilneo uniforme.

06

Introduccin a la adquisicin de datos utilizando sensores como transductores, interfaces, y PC (meca trnica) Experimento: Movimiento sobre un riel de colchn de aire horizontal bajo la accin de una fuerza constante. Anlisis de las mediciones utilizando el cambio de variable (Z=y/x).

07 Ley de Ohm, Relaciones V- I y V- R.

08

Carga y descarga de un capacitor. Utilizar el equipo tradicional para efectuar la parte de descarga y despus completarlo utilizando equipo computarizado para la carga.

FECHA SESION 3er. DEPARTAMENTAL

09 El transformador y su eficacia. Efectuar el experimento con el equipo

tradicional y apoyarse con el equipo nuevo. Determinar la razn de vuelas.

10 Corriente alterna.

11 El diodo y su curva caracterstica.

12 Circuito RLC.

ACTIVIDAD A EVALUAR %DEL TOTAL Participar en el desarrollo experimental y reportes 30%

Exmenes parciales escritos 70%

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INTRODUCCIN LA FSICA EXPERIMENTAL

La Fsica Experimental es la parte de la fsica cuyo propsito es adquirir conocimiento de las cosas, tomando como punto de partida los Hechos. El procedimiento o camino que se sigue para que se adquiera el conocimiento de los fenmenos de la naturaleza es algo que se debe enfatizar en los cursos bsicos de toda carrera de ingeniera. En la descripcin de este camino o mtodo de la Fsica Experimental, se encuentran trminos y conceptos que el estudiante de ingeniera debe conocer y entender. Este conocimiento le servir para realizar una investigacin bien dirigida, ordenada y fructfera y poder entonces as, recorrer el camino que lo llevar al conocimiento de aspectos y conceptos en otros mbitos de la ciencia, tales como la Economa, Administracin, Ciberntica, entre otras.Para proveer a los estudiantes de estas herramientas de investigacin, se prepar este curso que se inicia en esta misma introduccin, con un breve bosquejo del desarrollo histrico de la fsica experimental, su metodologa y con el propsito de enfatizar los pasos que se siguen en la Fsica Experimental, se prepar un programa de computadora interactivo que simula todo el proceso de la investigacin experimental aplicado a fenmenos sencillos. El El proceso de la Fsica Experimental es expuesta en estas notas con la exposicin detallada de cada uno de los conceptos y trminos que la componen, se incluyen tambin casos prcticos realizables en todo laboratorio de fsica. El orden de estas notas es el siguiente: El captulo 1 se inicia con la exposicin de la primera parte de la metodologa de la fsica experimental que trata el proceso de Observacin de un fenmeno y el proceso de Medicin de cantidades fsicas, as como la tipificacin y cuantificacin de los errores que se comenten al efectuar una medicin. El segundo captulo se inicia con la formulacin de las hiptesis cientficas, para continuar con la verificacin de dicha hiptesis utilizando el proceso de Experimentacin. En esta descripcin de pasos se incluye el anlisis estadstico necesario para determinar la existencia de una Ley Fsica. En el captulo 3 se determina las condiciones necesarias para que la lnea de mejor ajuste se considere una Ley Fsica, en el caso que no se detecta aleatoriedad en la cantidad fsica dependiente. Finalmente para el captulo 4 se concluye el proceso de la fsica experimental al proponer realizar una generalizacin de los conocimientos adquiridos empricamente y expresados en leyes fsicas o leyes Empricas. Se incluyen en la parte final de estas notas una lista de las referencias utilizadas y cuatro apndices: el primero de ellos contienen una propuesta del orden y contenido de los reportes de trabajo (reportes de prcticas). El segundo apndice contiene las condiciones necesarias y suficientes de un punto ptimo no restringido. En el tercer apndice se expone un estadstico que se utiliza para determinar la aleatoriedad en los valores experimentales alrededor de la lnea de mejor ajuste y por ltimo en el apndice D se encuentra el clculo del error al determinar los parmetros de la lnea de mejor ajuste.

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CAPITULO 1 ANLISIS ESTADSTICO DE LAS MEDICIONES

La metodologa de la Fsica Experimental se inicia en un Fenmeno o Hecho de la naturaleza del cual se tiene un conocimiento inicial que puede ser simple o sofisticado, limitado o amplio. Con ayuda de los sentidos del ser humano y de los instrumentos disponibles, se realiza una Observacin Cientfica, que pretende dar una descripcin del fenmeno formada por un conjunto de propiedades cualitativas y cuantitativas, tambin llamadas Datos que cuantifican en forma clara y sin ambigedad alguna propiedad del fenmeno de la naturaleza (PRRAFO 1: Solo acepte como verdadero lo evidenciado). Los datos as generados presentan propiedades importantes que se abordarn en varias secciones de este captulo. Este captulo se inicia con la seccin 1.1 donde se expone de la primera parte de la metodologa de la fsica experimental que trata con en el proceso de Observacin de un fenmeno. En la seccin 1.2 se expone el proceso de Medicin de cantidades fsicas y se tipifican los errores que ocurren en todo proceso de medicin. En la seccin 1.3 se propone la repeticin de mediciones con la ayuda de tres dispositivos capaces de cuantificar varias cantidades fsicas. En la seccin 1.4 se inicia el estudio estadstico de las mediciones para cuantificar los errores aleatorios que ocurren en todo proceso de medicin. El estudio de los errores implcitos de todo instrumento, denominados errores de escala se realiza en la seccin 1.5. Este captulo termina con la seccin 1.6 en donde se expone la cuantificacin del efecto que provocan los errores en las cantidades fsicas indirectas. 1.1.- OBSERVACIN CIENTFICA. El trmino Observacin se entender como un proceso mediante el cual se obtienen Datos, estos pueden ser del tipo cualitativo o cuantitativo. El proceso de observacin requiere de los cuatro elementos siguientes: OBJETO.- Es el ente que est expuesto a la observacin. SUJETO.- Es aquel que quiere hacer la observacin. MEDIO AMBIENTE.- Otros objetos o cosas que puedan distinguirse del sujeto. MEDIOS DE OBSERVACIN.- Consisten en los sentidos, instrumentos y el conocimiento. La interaccin entre estos elementos forma el proceso de la Observacin que consiste en: a) Tomar conciencia del objeto por parte del sujeto; b) Reconocer el objeto y distinguirlo de su medio ambiente y c) Describir el objeto. El trmino "reconocer" significa interpretar una seal, que utiliza el conocimiento ordinario o cientfico para atribuirle propiedades al objeto observado o tambin significa interpretar la seal que enva un instrumento para obtener un Dato. Esto significa que se necesita un conocimiento inicial del objeto de estudio para realizar una observacin (de aqu en adelante se denominar Fenmeno Fsico al objeto de estudio) para distinguir sus propiedades y cuantificar la intensidad de ellas mediante la interpretacin del sujeto hacia el fenmeno fsico. El conjunto de datos obtenidos por la observacin de algn fenmeno fsico se le llama Descripcin del fenmeno.

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1.2.- EL PROCESO DE MEDICIN Y SUS ERRORES. El proceso de cuantificacin de la intensidad de las propiedades del fenmeno fsico en un nmero real se denomina Medicin. Esta se realiza mediante una comparacin de un elemento de referencia llamado " PATRN ", con el objeto a medir. Para que esta comparacin sea correcta, es necesario que el elemento de referencia tenga el mismo tipo de propiedad que la que se desea cuantificar. Con el elemento de referencia adecuado, la cuantificacin consiste en especificar que tantas veces es ms grande o ms pequea la intensidad de la propiedad del objeto respecto a la intensidad del elemento de referencia. El resultado del proceso de Medicin es un Dato, formado por un Nmero Real acompaado por una abreviatura (Unidad de Referencia) que representa al elemento de referencia utilizado DATO => NUMERO REAL + UNIDAD DE REFERENCIA El proceso de Medicin requiere de una Tcnica, un Instrumento y de una Percepcin. La Tcnica; se necesita seleccionar el tipo instrumento y la forma de utilizarlo; Un Instrumento que refleje la intensidad de la propiedad y de una Percepcin del observador, ya que debe interpretar la seal que le enva el instrumento y representarla con un nmero real. Supngase que se desea realizar la medicin de la longitud de un cierto objeto, donde se utiliza como instrumento una regla graduada en centmetros. 1.- Tcnica: Coloque en forma paralela el objeto y el instrumento. 2.- Instrumento: Una regla con escala en centmetros. 3.- Percepcin: El observador hace uso de su sentido de la vista para interpretar la seal dada por el instrumento.

Figura 1.1.- Medicin de un objeto utilizando una escala graduada.

Para el caso mostrado en la figura 1.1 se puede establecer dos cifras 1.8 sin ninguna controversia, pero el instrumento enva una seal que indica que la intensidad de la propiedad a medir est entre 1.8 y 1.9, con el propsito de realizar una buena medicin se determina una tercera cifra que depender directamente de la agudeza visual del observador: 1.87 cm. El proceso que se realiza para obtener el nmero real conlleva un error que se muestra al comparar el resultado de esta medicin con otra medicin y constatando una diferencia entre ellas. Esto indica que el intento por determinar la intensidad de la propiedad no siempre es idntico y las condiciones en que se realiza no siempre son las mismas, de tal forma que se presentan las siguientes cuatro componentes que intervienen en todo proceso de Medicin. 1o COMPONENTE.- Lo referente a la tcnica de medicin. El observador no aplica la tcnica en forma idntica en mediciones consecutivas (Factor Aleatorio).

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2o COMPONENTE.- Lo referente al instrumento. El observador percibe la seal que proporciona el instrumento en forma diferente de una medicin a otra medicin utilizando un instrumento analgico (Factor de Escala). 3o COMPONENTE.- Lo referente a la propiedad que se desea cuantificar. Por efecto del medio ambiente o por un control inadecuado de las condiciones ambientales, la intensidad de la propiedad es cambiante (Factor Aleatorio). 4o COMPONENTE.- El instrumento utilizado es copia de la unidad de referencia. Es posible que el instrumento tenga defectos en su construccin o est mal calibrado (Factor Sistemtico). Como consecuencia, se dice que en toda medicin existen tres tipos de errores: a) Error Aleatorio = EA b) Error de Escala (o de Aproximacin) = EE c) Error Sistemtico = ES d) Error Total = ET = EA + EE + ES 1.3.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO: 1.- Realizar las mediciones de cada una de las cantidades fsicas que se indican para cada uno de los tres fenmenos fsicos que a continuacin se detallan (5). 1.3. a.-CHOQUE UNIDIMENSIONAL. Es un fenmeno fsico que muestra las caractersticas energticas y cinemticas de un objeto cuando realiza una colisin con otro objeto. Material Utilizado:

Riel para colchn de Aire. Deslizador Compresor Procedimiento de Medicin.

1.- Ensamble el riel para colchn de aire y las terminales de la compresora como indica la figura 1.2 2.- Coloque el riel para colchn de aire en una posicin inclinada como indica la figura 1.2 3.- Coloque el deslizador en la posicin de 100 cm. utilizando la escala del riel de colchn de aire. 4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador 5.- Registre la distancia mxima alcanzada por el deslizador despus del primer rebote (Dentela por X1) y despus del segundo rebote (dentela por X2). Efecte este procedimiento cada integrante del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la tabla 1.1.

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Figura 1.2 .- Choque Unidimensional

MEDICIN X1(cm) X2(cm) 1 2 3 4

Tabla 1.1.- Mediciones repetitivas del experimento de choque unidimensional.

1.3.b.- MOVIMIENTO SOBRE UN PLANO INCLINADO. Este es un fenmeno fsico en donde se pueden observar las caractersticas de movimiento de objetos dentro del campo gravitacional terrestre. Material Utilizado.

Riel para Colchn de Aire. Deslizador. Compresor. Cronmetro Manual. Calibrador Vernier. Procedimiento de Medicin.

1.- Ensamble el riel para colchn de aire y las terminales del compresor como indica la figura 1.3. 2.- Coloque el riel para colchn de aire en un posicin inclinada como ilustra la figura 1.3 3.- Sostenga el deslizador a una distancia L = 150 cm medida en la escala del riel. 4.- Accione el compresor y deje deslizar libremente el deslizador. En se mismo instante, accione el cronmetro y mida el tiempo que tarda el deslizador en llegar al otro extremo del riel (dentelo por T). Mida tambin las alturas H1 y H2 como ilustra la figura 1.3.

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Efecte este procedimiento cada uno de los integrantes del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la tabla 1.2.

MEDICIN H1 (cm) H2(cm) T(seg) 1 2 3 4

Tabla 1.2.- Mediciones repetitivas del experimento de movimiento sobre un plano inclinado.

Figura 1.3.- Movimiento sobre un Plano Inclinado

1.3.c- CADA LIBRE. Experimento clsico de la cinemtica donde se observa el efecto del campo gravitacional terrestre sobre una partcula libre. Material Utilizado.

Pie en "A" Nuez Doble Varilla Cuadrada (1,25 m) Aparato de Cada Libre. Regla Graduada. Contador Digital Electrnico (PHYWE). Cables. Baln.

Conexiones: Los cables superiores del aparato de cada libre entran en STAR/STOP. Los cables inferiores entran en STOP. En ambos casos no importa la polaridad. Procedimiento de Medicin. 1.- Encienda el reloj contador y espere cinco segundos. Oprima la tecla FUNKTION.

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2.- Con la tecla TIGGER seleccione la columna del smbolo 3.- Coloque el platillo interruptor hacia arriba y sostenga el baln con el disparador. 4.- Oprima la tecla STOP y despus RESET. El reloj debe quedar en ceros. 5.- Oprima la tecla STAR . El reloj esta listo para iniciar el conteo. 6.- Suelte el baln y registre la lectura (dentela como t). 7.- Mida la distancia que recorre el baln (dentela como h). Efecte este procedimiento cada uno de los integrantes del grupo de trabajo. Anote sus mediciones en la tabla 1.3.

MEDICIN h(cm) t(seg) 1 2 3 4

Tabla 1.3.- Mediciones repetitivas del experimento de cada libre.

Figura 1.4.- Cada Libre.

1.4.- INCERTIDUMBRE EN LAS MEDICIONES. El estudio de las mediciones consiste en caracterizar su comportamiento, tipificar los errores y desarrollar procedimientos que cuantifiquen las magnitudes de estos errores. Para ello se expondr a continuacin el error aleatorio, sus caractersticas, sus orgenes y el procedimiento para cuantificarlo. Supngase que se desea cuantificar la intensidad de alguna propiedad de un objeto, sta se realiza a travs de un instrumento de medicin que refleje la intensidad de la propiedad en algo observable. Mediante una tcnica utilizando un instrumento e interpretando su seal, se obtiene un nmero real ( Yi) y un smbolo que representa la unidad de referencia. Pero este nmero es un valor aproximado del Valor Verdadero( ). Para obtener el mejor valor aproximado (la mejor estimacin de un valor desconocido), es

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necesario realizar varias veces la medicin de la propiedad de inters. Para ejemplificar lo anterior, considere que se desea medir: La distancia que recorre un mvil sobre un plano Inclinado despus de sufrir un choque en la parte ms baja del plano inclinado". TCNICA: Colocar el instrumento de medicin en forma paralela al plano inclinado, ubicando el cero del instrumento en el punto ms bajo del plano inclinado. INSTRUMENTO: Dada la propiedad que se desea cuantificar, se selecciona como instrumento una rplica del metro patrn con escala hasta milmetros. PERCEPCIN: El experimentador hace uso de su sentido de la vista para determinar el momento de mximo avance e interpretar la seal que enva el instrumento, obtenindose la medicin cuando el movimiento tiene como origen una distancia de 100.0 cm. El conjunto de datos generados en la seccin 1.3.a, referidos a este mismo experimento, se obtuvieron midiendo varias personas la distancia del mximo avance despus del primer choque, cuando el origen del movimiento es un punto comn. Este conjunto de datos rene las caractersticas de repetitividad que se requiere para realizar un anlisis estadstico que se inicia con la construccin de la tabla de datos de la cantidad fsica X1. La tabla 1.4 rene los datos obtenidos en la seccin 1.3.a. Medicin X1(cm) Medicin X1(cm) Medicin X1(cm) Medicin X1(cm)

1 6 11 16 2 7 12 17 3 8 13 18 4 9 14 19 5 10 15 20

Tabla 1.4.- Mediciones obtenidas en el primer choque del experimento 1.3.a. Como se puede apreciar, los resultados de las mediciones son diferentes. Este aspecto de variacin en los resultados de las mediciones puede ser explicado por la presencia de factores que intervienen en el proceso de medicin, entre ellos se pueden mencionar: lo.- La intensidad de la propiedad no siempre es la misma en sucesos consecutivos del choque, ocasionado por : a) La posicin inicial, no es la misma; b ) El choque no presenta las mismas caractersticas (el dispositivo se deforma). 2o.- Las condiciones en que se realiza el evento no permanecen constantes: a) Variacin en el ngulo de inclinacin; b) Variacin en la presin del aire en el compresor; c) Las condiciones ambientales no permanecen constantes. La presencia de estos factores hacen prever que es prcticamente imposible definir el resultado de la medicin antes de realizar la medicin, solo ser posible definir un rango de posibles resultados. Este aspecto se presenta en muchos de los fenmenos de la naturaleza. El ejemplo ms sencillo es el proceso del juego del dado, donde se conocen los resultados {1,2,3,4,5,6}, pero no es posible definir con exactitud el resultado de un evento futuro. Estos eventos descritos se denominan Eventos Aleatorios y como tales, el proceso de medicin se considera un evento aleatorio. El estudio terico(6) (Teora de la Probabilidad y la Estadstica) de estos eventos o procesos aleatorios se realizan utilizando

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una relacin entre los resultados del evento aleatorio y una entidad matemtica, denominada inicia con la construccin de la tabla de datos de la cantidad fsica X1 . La tabla 1.4 rene los datos obtenidos en la seccin 1.3.a. Variable Aleatoria (V.A.). Esta teora representa matemticamente el comportamiento del evento aleatorio por medio de la Funcin de Distribucin ( f(y) ). Existen varios tipos de funciones de Distribucin que representan a otros eventos aleatorios, entre ellas se pueden mencionar a: Binomial, Poisson, Exponencial, Gaussiana o Normal, Log-Normal, Uniforme, Gamma, entre otras ms. Fu en 1812 cuando R. Laplace(), demostr que el comportamiento de las mediciones repetitivas es representado por una funcin de distribucin tipo Gaussiana. La Distribucin Gaussiana de una variable aleatoria Y est dada por:

Est expresada por dos parmetros m (media) y S (desviacin estndar) y su representacin grfica se muestra en la figura 1.5.

Figura I.5.- Grfica de la distribucin Gaussiana

En la figura 1.5 se observa su simetra respecto a un eje vertical que pasa por la media y un intervalo [m - s , m + s] que define el 68% del rea total bajo la curva. El rea bajo la curva entre los valores Y1,Y2 se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria Y se encuentre entre dichos valores. Con el concepto anterior y la figura 1.6, se puede explicar el comportamiento gausssiano de la manera siguiente: En la figura 1.6 se muestra que la probabilidad del intervalo central I1 es mayor que la probabilidad del intervalo no central I2, siendo estos intervalos del mismo ancho, lo que equivale a decir, que la variable aleatoria tiene una probabilidad mayor de adquirir valores cercanos al valor central que valores lejanos al central.

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Figura 1.6.- rea bajo la curva = Probabilidad

Para mostrar en forma sencilla si un conjunto de mediciones posee la caracterstica de una funcin de distribucin Gaussiana, se organizan estas mediciones para formar un Histograma de Frecuencias (7). Si ste presenta, en trminos generales, que el intervalo central es el de mayor ocurrencia, significa que el conjunto de mediciones es un conjunto adecuado de datos. En caso contrario, es posible que: a.- No se reproduzca el evento en forma adecuada para que se pueda considerar que se mide en forma repetitiva el mismo evento. b.- El o los que realizan las mediciones no dominan la tcnica de medicin. c- El nmero de mediciones es reducido. 1.4.a.- TRABAJO PROPUESTO. 1.- Construya los histogramas de frecuencias de cada conjunto de mediciones X1, X2 (Choque Unidimensional); T, H1 ,H2 (Movimiento sobre un Plano Inclinado); t,h(Cada Libre). 2.- Especifique con detalle los factores aleatorios que interviene en el proceso de medicin de los fenmenos fsicos, a) Movimiento sobre un Plano Inclinado; b) Cada Libre. 1.4.b.- ERROR ALEATORIO (E.A.) La caracterstica aleatoria de las mediciones es causada por la intervencin de los factores aleatorios en el proceso de medicin. Si estos factores interviene en forma intensa, ocasiona que el rango de variacin sea amplio, en caso contrario, cuando la intervencin es escasa, se obtiene un rango de variacin pequeo. Esta interrelacin se utiliza para cuantificar el efecto de los factores aleatorios en el proceso de medicin mediante las siguientes expresiones: Cuantificacin de los Factores Aleatorios = Error Aleatorio = E.A.

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donde : Yi = medicin i-esima.

Se considera que el valor ms representativo del conjunto de mediciones es la media aritmtica o valor ms probable (Y ), el cual se le conoce tambin como el Estimador de la Media de la Distribucin Normal. Sy y S2 y son tambin estimadores de la desviacin Estndar s y de la varianza s2 respectivamente. Relacionado con el aspecto aleatorio de las mediciones repetitivas, se define el trmino Precisin al grado de reproductibidad de las mediciones, es decir, la precisin se establece en base al rango de variacin de las mediciones, de tal forma que si la desviacin estndar es grande el instrumento ser poco preciso y por lo contrario ser ms preciso si la desviacin es pequea. 1.4.c- TRABAJO PROPUESTO. 1.- Determinar el estimado de la media de la Distribucin y el estimado de la Desviacin Estndar de cada uno de los conjuntos de mediciones de los fenmenos: Choque Unidimensional, Movimiento sobre un Plano Inclinado y Cada Libre. 2.- Determinar el error aleatorio de cada uno de los tipos de mediciones. ( Choque Unidimensional X1 X2; Movimiento sobre un Plano Inclinado T, H1 ,H2; Cada Libre t,h). 3.- Describir con detalle las posibles mejoras que se le pueden hacer a cada uno de los tres dispositivos experimentales para mejorar el proceso de medicin. Considere que no existe limitacin en los recursos financieros. 1.5 .- ERROR DE ESCALA ( E.E. ). El observador, al hacer una medicin, percibe la seal que proporciona el instrumento y la interpreta. Por ejemplo, considere la medicin de la longitud de un cuerpo slido utilizando una regla graduada en centmetros, como muestra la figura 1.7

Figura I.7.- Medicin de un objeto con una escala graduada.

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La seal que proporciona el instrumento, establece que la longitud del cuerpo slido se encuentra entre 1.4 y 1.5 cm., pero debido a la irregularidad del cuerpo slido, es necesario en forma imaginaria dividir al milmetro (escala mnima del instrumento), en diez partes iguales y determinar la divisin que corresponde con la frontera del cuerpo slido para definir una tercera cifra. Como se puede observar en el dibujo anterior, esta tercera cifra puede ser 2. Esta misma seal la percibe otra persona y bajo su particular interpretacin definir la tercera cifra como 3. Si este proceso se realiza por varios observadores, se obtendrn resultados, que en trminos generales, se diferencian por la ltima cifra. La fuente de discrepancia de los resultados, es la escala del instrumento y por tal motivo se le denomina Factor de Escala.

Cuantificacin del Factor de Escala = ERROR DE ESCALA = E.E.

E.E. = Mnima Divisin del Instrumento/2 Esta cuantificacin se aplica a instrumentos de medicin de Escala Fija. Cuando se trata de instrumentos de Escala Mvil se tiene que:

E.E. = Mxima Aproximacin del Instrumento/2

Para los instrumentos digitales, la seal que proporciona obviamente ya no esta sujeta a la interpretacin del observador. Pero el resultado de la medicin con un instrumento digital tiene implcito un error por su limitacin de proporcionar un determinado nmero de dgitos. Por ejemplo, considere un contador digital que mide las vueltas en una audiocasettera, al utilizar este instrumento se obtiene, por ejemplo el nmero 345, significando que el audiocasette gir 345 vueltas. Pero como el instrumento no es capaz de medir fracciones de vuelta, este resultado tiene un error. No es posible distinguir si se trata de una medicin de 345.0 vueltas o de 345.9 vueltas. Por lo anterior, los instrumentos digitales tiene un error que por su naturaleza de le denomina Error de Aproximacin (E.AP).

Cuantificacin del Error de Aproximacin = E.AP.

E.AP. = Mxima Aproximacin/2 1.5.a .- ERROR SISTEMTICO ( E.S.). El error sistemtico se presenta cuando se utiliza un instrumento que no esta calibrado, es decir que por defecto en el instrumento, la seal que enva al observador no sea confiable. Por ejemplo, para un cronmetro no calibrado ste puede registrar los segundos con una duracin menor o mayor que el valor de referencia. La caracterstica de este tipo de error es que tiene una magnitud constante, es invariante con respecto al nmero de mediciones. Es conveniente establecer que es necesario revisar y calibrar el instrumento cuando sea posible. En caso contrario NO efectuar mediciones cuando se sabe que el instrumento no esta calibrado. Respecto a este tipo de error, se define Exactitud de un instrumento como la proximidad de sus seales respecto a la magnitud de la intensidad real de la propiedad. Por lo tanto el Error Total al medir una cantidad [ Y ] se expresa como :

E.Ty = E.Ay + E.Ey (Para instrumentos Analgicos). E.Ty = E.Ay + E.APy (Para instrumentos Digitales).

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Finalmente se expresan las magnitudes de las cantidades medidas, con un nivel de confianza del 68%, por medio de un intervalo dado en los trminos siguientes:

[Y -E.Ty, Y + E.Ty] 1.5.b.- TRABAJO PROPUESTO. 1.- Exponer la tcnica, especificar el instrumento y explicar la percepcin para realizar la medicin de las tres cantidades fundamentales: Masa, Longitud y Tiempo. 2.- Calcular el error total al medir cada una de las cantidades fsicas de los tres experimentos estudiados: Cada Libre ( E.T.t, E.T.h), Movimiento sobre un Plano Inclinado (E.T.H1, E.T.H2, E.T.T), Choque Unidimensional ( E.T.x1, E.T.X2). 1.6 .- PROPAGACIN DE ERRORES. En el fenmeno del movimiento Pendular Simple, una de las caractersticas del objeto suspendido es su Forma Esfrica y su cuantificacin se realiza por la medicin de su dimetro (D). Con el conocimiento de su dimetro es posible Calcular (No Medir) el volumen del objeto, esto mismo sucede con la superficie y el permetro de dicha esfera. Consideremos la superficie del objeto esfrico (S) como la propiedad desconocida y que se desea conocer su valor. Como se sabe, una de las formas para cuantificar esta propiedad es utilizando una expresin que relaciona la cantidad desconocida (Cantidad Fsica Indirecta) con la cantidad medible (Cantidad Fsica Directa), esta expresin es la siguiente: Superficie = S = U * D2 Para calcular la superficie de la esfera seD necesita conocer el valor de su dimetro (D) y sustituirlo en la expresin anterior, pero no se conoce el valor verdadero del dimetro, solo se conoce su valor ms probable ( D ), entonces es posible calcular el valor ms probable de la superficie de la esfera S = p* (D )2. Es de suponer que la superficie calculada tendr un error que debe estar relacionado con el error del dimetro. Se dice entonces, que el error de la cantidad fsica medida se propag a la cantidad fsica calculada. A este concepto se le conoce como Propagacin de Errores. La magnitud del error propagado en la cantidad calculada puede ser mayor, menor o igual que el error de la cantidad medida, esto depende de la forma analtica de la relacin utilizada para hacer el clculo. 1.6.a.- PARA UNA FUNCIN DE UNA SOLA VARIABLE Z = F(y). Supngase que Z es funcin de una sola cantidad fsica directa (y). El Error Aleatorio Propagado al Calcular Z (E.A.z) est dado por:

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De forma anloga el Error de Escala Propagado al Calcular Z (E.E.z) est dado por:

Para formar el denominado:

Error Total al Calcular Z = E.T.Z = E.A.Z + E.E.Z

Y por tanto se dice que el valor calculado de Z se encuentra dentro del intervalo [Z - E.T.z , Z + E.Tz] con un nivel de confianza del 68%. 1.6.b.- EJEMPLO NUMRICO. Considere el conjunto de 20 mediciones repetitivas del dimetro de la esfera con un instrumento de escala fija con divisiones mnimas de lmm. De este conjunto se obtiene un valor promedio (D ) de 3.5 cm. y una desviacin cuadrtica media (SD ) de 0.3 cm. Se desea calcular el valor esperado de la superficie ( S ) de la esfera y el error total propagado al calcular S:

0.09

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Para la cantidad Fsica Indirecta se tiene:

Para el error de Escala Propagado se tiene:

El error total propagado al calcular S es :

E.Ts = 1.4752 +1.0995 = 2.5747 cm2 Entonces, existe un nivel de confianza del 68% que el valor calculado de la superficie se encuentre dentro del intervalo :

[38.4846-2.5747, 38.4846 + 2.5747] 1.6.c- PARA UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES Z = F(x,y) Cuando la cantidad fsica calculada requiere de dos cantidades fsicas directas X,Y, es decir, que Z = F(x, y), las expresiones para el clculo de los errores propagados son:

Estas expresiones se pueden proyectar en forma anloga para cantidades fsicas indirectas que requieran de tres o ms cantidades fsicas directas. 1.6.d.- TRABAJO PROPUESTO. 1.- Determine los errores propagados de la aceleracin de la gravedad (g), para el experimento de cada libre, utilizando la expresin g = 2h/t2 . Utilice los datos medidos de h y t.

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2.- Determine los errores propagados de la aceleracin de la gravedad (g), para el experimento de Movimiento sobre un Plano Inclinado, utilizando al expresin Utilice los datos medidos de H1,H2T y considere que el valor de L es igual a 150 cm. 3.- Determine los errores propagados del coeficiente de restitucin ( e ), para el experimento de choque unidimensional, utilizando la expresin: Utilice los datos de las mediciones de X1, X2,.

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CAPITULO 2 HIPTESIS CIENTFICAS Y SU CONTRASTACIN

Despus de analizar el concepto de aleatoriedad en las mediciones y establecer que el conjunto de mediciones forman lo que se conoce como la descripcin del fenmeno. El trabajo cientfico contina cuando existe alguna Inquietud, Pregunta, Duda, referente al fenmeno, a su comportamiento de alguna de sus facetas o a sus elementos que lo constituyen. Esta fase est definida en el 2a Prrafo descrito por R. Descartes el cual establece las bases las bases del llamado Pensamiento Reduccionista que consiste en desmembrar en sus partes ms simples un todo ms complicado, con el propsito de conocer con mayor detalle cada una de ellas y de esa forma conocer el todo original. Con cada una de estas facetas o partes mas simples se debe estructurar una Hiptesis, que debe tener la forma de una Aseveracin o Negacin que rena la o las inquietudes o dudas originales. La falsedad o veracidad de la hiptesis y sus implicaciones se deben probar mediante la llamada Contrastacin Formal o mediante la Contrastacin Emprica. Con la primera, se utilizan las estructuras tericas referente al fenmeno y con la segunda se utilizan los hechos como nica forma de validar las implicaciones o aseveraciones contenidas en las hiptesis y es esto precisamente lo que se emplea en la metodologa de la Fsica Experimental. La respuesta a las diversas preguntas, la validez o falsedad de aseveraciones se deben encontrar en la naturaleza misma, mediante procedimientos que conduzcan a los fenmenos o hechos a la direccin adecuada o deseada. Este procedimiento se le denomina Experimentacin, que consiste de una serie de pasos que tienen como propsito final el de verificar la hiptesis planteada, pero para esto es necesario determinar previamente la Ley Fsica o Ley Emprica. Esta ley fsica especifica el comportamiento observado por el fenmeno en uno de sus aspectos y entonces realizar una comparacin de lo afirmado en la hiptesis y lo encontrado como respuesta en el fenmeno o en los hechos. El resultado de la comparacin, ya sea verificando lo establecido en la hiptesis o contradiciendo la misma, se considera como un conocimiento adicional que ser incluido en el marco de conocimiento del fenmeno. Este captulo se desarrolla en el siguiente orden: En la seccin 2.1 se introduce el concepto de Hiptesis Cientfica y su relacin con el 2a Prrafo dado a conocer por R. Descartes; En la seccin 2.2 se especifican, en forma breve, cada una de los pasos que forman el proceso de Experimentacin. En la seccin 2.3 se desarrolla el paso denominado Interpretacin utilizando un procedimiento Grfico que servir como antecedente para el desarrollo y la mejor comprensin del mismo paso de Interpretacin pero utilizando conceptos analticos. En la seccin 2.4 se aplican los conceptos de la interpretacin grfica a un fenmeno de la cinemtica. Para la seccin 2.5 y 2.6 se expone la interpretacin analtica y su aplicacin a un fenmeno de la cinemtica, respectivamente. Con el propsito de dosificar los temas a exponer, se abordarn los dos ltimos pasos del proceso de experimentacin (definicin de la ley fsica y su comprobacin) en el captulo siguiente. 2.1.- HIPTESIS CIENTFICA. Una hiptesis cientfica es una suposicin que permite establecer relaciones entre hechos, la cual debe ser susceptible de verificarse, de tener un poder predictivo o

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explicativo y ser sencilla. Estas hiptesis son las que dirigen la investigacin y con ellas se han construido valiosas guas que se han utilizado para la formulacin de teoras cientficas. La formulacin de una hiptesis no es una tarea fcil porque requiere de capacidad creativa para expresar lo relevante de los hechos; requiere del conocimiento de otros hechos ya confirmados, para plantear nuevos aspectos de los hechos y de una capacidad de observacin para detectar propiedades o caractersticas no investigadas. Al observar la cada libre de un objeto, se puede plantear la siguiente hiptesis cientfica: "La velocidad de cada de los cuerpos depende de la masa de ellos". Esta hiptesis plantea un aspecto del fenmeno de la cada libre que parece equivocado, pero sin importar esto, su verdadero valor radica en las posibilidades experimentales para verificar su falsedad o veracidad ya que las hiptesis son tan valiosas para la investigacin que an las que se consideran falsas o incorrectas, se abandonan para formular otra hiptesis que la reemplace y de esta forma se inicia otra vez el proceso. El concepto fundamental que se debe considerar en el planteamiento de las hiptesis est expresado en el 2a prrafo de R. Descartes en los siguientes trminos:

La divisin de cada una de las dificultades con que tropieza la inteligencia al investigar la verdad, en tantas partes como fuera necesario para resolverlas ".

De lo anterior se desprende que para entender toda una problemtica, es necesario dividir a la problemtica total en problemticas ms pequeas, que sea posible entender sus caractersticas, sus propiedades y sus comportamientos. El fenmeno puede presentar varias facetas que pueden estar involucradas todas o algunas de las cantidades fsicas contenidas en la descripcin del fenmeno. Un intento por dividir al fenmeno en sus partes fundamentales es:

"Proponiendo interrelaciones entre cantidades fsicas Directas"

Esto significa que se propone una Hiptesis que establece una relacin entre dos cantidades fsicas directas (X,Y) como una interrelacin importante y predominante en el comportamiento y desarrollo del fenmeno. Es conveniente decir, que las interrelaciones son solo escalones, la finalidad es obtener un conjunto de relaciones funcionales que representen estructuras. Estas interrelaciones son antorchas que ilumina la bsqueda de estructuras, pero no es la nica antorcha en la bsqueda del conocimiento ni tampoco es infalible. 2.2.- CONTRASTACIN EMPRICA. La contrastabilidad es la propiedad metodolgica, que permite determinar si una hiptesis es verdadera o falsa. Existen dos formas de contrastar una hiptesis, la formal y la emprica. La contrastacin formal consiste en fundamentar las hiptesis con bases tericas ya establecidas, en cambio la contrastacin emprica se apoya en los hechos. Es la contrastacin emprica la que se utiliza en la fsica experimental y al procedimiento para constratar una hiptesis se le conoce como Experimentacin. Este procedimiento est formado por los siete pasos siguientes: 1) Definicin de Variables.- Definir las cantidades relevantes y de inters del fenmeno. En esta etapa de desarrollo metodolgico, se considera solo dos cantidades fsicas que pueden cuantificarse directamente (cantidades fsicas que sean posibles medir).

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2o) Diseo del Dispositivo.- Disear un dispositivo donde sea posible controlar y cuantificar alguna de las dos variables y sta considerarla como la variable independiente (X) y al mismo tiempo sea posible cuantificar la otra variable considerada como variable dependiente (Y). La variable independiente es aquella que ser posible cambiarla en forma controlada (Causa o Estmulo) y la variable dependiente es aquella que se considerar como Respuesta o Efecto. 3o) Reproductividad del Fenmeno.- Este paso consiste en reproducir varias veces el fenmeno fsico cambiando los valores de la cantidad fsica independiente y registrando los valores de la cantidad fsica dependiente. Es importante destacar que es necesario mantener durante este proceso de repeticin, las condiciones externas sin variacin y de esa forma reunir los resultados en la tabla 2.1.

CANTIDAD FSICA

CANTIDAD FSICA

INDEPENDIENTE DEPENDIENTE (U.R.) (U.R.)

Tabla 2.1.- Tabla de Resultados. 4o) Grfica de Dispersin.- Consiste en construir una Grfica de Dispersin tridimensional formada por puntos en un plano que son determinados por las parejas ordenadas de la tabla de resultados. En el eje horizontal se grfica la cantidad fsica Independiente y en el eje de las ordenadas la cantidad fsica Dependiente. En esta etapa ya es posible observar en forma general el tipo de interrelacin que existe entre las dos cantidades fsicas. Este tipo de interrelacin puede ser de relacin Directa cuando el aumento de la cantidad fsica independiente ocasiona un aumento de la cantidad fsica dependiente (figura 2.1.a). Tambin se puede observar una relacin inversa cuando el aumento de la cantidad independiente ocasiona una disminucin de la cantidad fsica dependiente (figura 2.1.b). Es posible observar que existe un comportamiento de indefinicin de la cantidad fsica dependiente cuando la grfica de dispersin tiene el aspecto general mostrado en la figura 2.1.c.

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Figura 2.2 (a, b, c ).- Grficas de Dispersin

5o) Interpretacin.- Este paso consiste en interpretar en forma analtica la interdependencia entre las dos variables, mediante la determinacin de una relacin lineal utilizando el procedimiento de "Ajuste de los valores experimentales a una Lnea Recta". 6o) Definicin de la Ley Fsica.- Se conoce como una Ley Fsica o Ley Emprica a una expresin matemtica que represente "adecuadamente" el comportamiento de un proceso fsico. Si se logra obtener, en forma clara y contundente, una relacin entre las variables involucradas, como la obtenida en la lnea de mejor ajuste, entonces sta ser considerada como una posible Ley Fsica. Es decir, si la lnea de mejor ajuste representa adecuadamente el comportamiento del fenmeno, entonces esta lnea ser considerada como Ley Fsica. En este curso se utilizarn dos criterios de aceptacin que permite definir la ley fsica con un nivel de confianza adecuado. Estos criterios se aplican segn las caractersticas aleatorias de las variables involucradas. 7o) Comparacin de Resultados.- Este paso consiste en comparar lo expresado o inferido de la hiptesis con lo establecido por la Ley Fsica, de tal forma que se pueda concluir la falsedad o veracidad de la hiptesis planteada. En las dos siguientes secciones se desarrolla el concepto de "ajuste de valores experimentales a una lnea recta", en la primera seccin bajo el titulo de Interpretacin Grfica se aborda el concepto y se utilizan fenmenos sencillos para su aplicacin. En la segunda seccin con el titulo de Interpretacin Analtica se utiliza el concepto grfico para dar un sentido prctico al mtodo analtico, as tambin se utilizan fenmenos fsicos sencillos para ejemplificar dicho mtodo. Es conveniente aclarar en este momento, que el propsito de este curso es exponer cada uno de los pasos que se siguen en la fsica experimental y hasta este momento falta exponer los criterios estadsticos de aceptacin para definir la ley fsica y la comparacin de resultados, que sern desarrollados en el captulo siguiente.

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2.3.- INTERPRETACIN GRFICA (Mtodo Grfico) Esta interpretacin se basa principalmente en el aspecto que presenta la grfica de dispersin. Consiste en expresar en forma clara y sencilla el comportamiento del fenmeno, por ejemplo, si en una grfica de dispersin se observa una relacin de proporcionalidad directa en las variables graficadas, entonces una forma sencilla de expresar esta relacin de proporcionalidad es por medio de la ecuacin de una lnea recta de pendiente positiva. Se puede decir que esta interpretacin consiste en determinar la ecuacin de la lnea recta que represente el comportamiento del fenmeno. El procedimiento para obtener los parmetros de la ecuacin de esta lnea recta es el siguiente: a.- Trazar una lnea recta sobre la grfica de dispersin procurando que sta pase por los puntos experimentales lo mas cerca posible, como se muestra en la figura 2.2 (a, b, c). b.- Considere dos puntos sobre la lnea recta trazada (figura 2.7), sean estos el punto A de coordenadas (X1, Y1) y el punto B de coordenadas (X2 0, Y2 0), donde es necesario que X1 sea menor que X2 0. Debido a que estos dos puntos estn sobre la lnea recta trazada y sta tiene una pendiente m y una ordenada b, entonces se pueden establecer las igualdades siguientes:

Figura 2.2(a, b, c).- Ajuste de los Valores Experimentales a una Lnea Recta

Para el primer punto ............. ec.2.l Para el segundo punto ...........ec.2.2

Re stando la ec.2.1 menos la ec.2.2, se tiene :

Despejando: m = ............................. ec.2. 3

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Ahora, sustituyendo la ec.2.3 en la ec 2.2, se tiene:

Con las ecuaciones ec.2.3 y ec.2.4, es posible calcular los parmetros de una lnea recta que pasa lo ms cerca posible de los puntos experimentales. A este proceso se le conoce como "Ajustar los Puntos Experimentales a una Lnea Recta" o tambin se le conoce como la determinacin de " La Lnea de Mejor Ajuste". Por lo tanto, la lnea de mejor ajuste esta dadapor:Y = mX + b.

Figura 2.3.- Clculo de la Pendiente en el Mtodo Grfico

2.4.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO. 2.4.a.- Deformacin de un Resorte. Material Utilizado 1.- Dinammetro. 2.- Varilla de 50 cm. 3.- Una base de tipo A. 4.- Un marco de pesas. 1.- Considere un dispositivo mostrado en la figura 2.4, que consiste de un resorte colocado en posicin vertical, con el extremo superior sujeto a un punto fijo y el otro extremo a un soporte con una pesa. 2 .- Describa con todos los detalles posibles el dispositivo y obtenga la mayor cantidad de datos cuantitativos de diferente naturaleza y en caso necesario incluir datos cualitativos.

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Figura 2.4.- Deformacin de un Resorte.

3.- Desarrolle el proceso de Experimentacin en sus primeros cinco pasos para encontrar la lnea recta de mejor ajuste utilizando la interpretacin grfica. Proceda en el orden siguiente: 1o) Considere las cantidades fsicas directas del fenmeno: Longitud del Resorte ( L ). y Masa de los objetos colocados en la parte inferior del Resorte (M). 2o) Considere a la masa de los objetos ( M ) como cantidad fsica independiente y a la longitud del resorte ( L) como la cantidad fsica dependiente. Ensamble el dispositivo y verifique la posicin vertical del resorte. 3o) Reproduzca el fenmeno variando en forma ordenada las magnitudes de las masas y registre las longitudes del resorte. Anote sus mediciones en una tabla de resultados. 4o) Construya la grfica de dispersin. 5o) Utilice la interpretacin grfica para obtener los parmetros de la lnea recta de mejor ajuste y exprese la ecuacin de esta lnea recta.

2.5.- INTERPRETACIN ANALTICA. El propsito de esta interpretacin analtica es el mismo que la interpretacin grfica, pero aqu se utilizan conceptos matemticos que pertenecen al clculo diferencial para obtener los parmetros de la lnea de mejor ajuste. A este procedimiento se le conoce como el Mtodo de los Mnimos Cuadrados y se basa en el concepto denominado Desviacin (d). El concepto de Desviacin se muestra en la grfica de dispersin de la Figura 2.5, en donde se ha trazado una lnea recta cualesquiera (no es la lnea de mejor ajuste) cuya ecuacin es Y = mX+ b. En esta grfica aparece la desviacin en el punto experimental i-simo (di), definida por la diferencia de la ordenada del punto experimental Yi menos la ordenada definida por la lnea recta i dada por i = mXi + b de tal forma que la desviacin est y, dada por la expresin: di = Yi - i = Yi - mXi - b. Estas desviaciones pueden ser positivas, negativas o nulas, dependiendo de que los puntos experimentales se encuentren arriba, abajo o sobre la lnea trazada. Basndose en lo anterior se puede establecer que: La lnea de mejor ajuste, expresado en trminos de desviaciones, es aquella que logra anular la suma de todas las desviaciones.

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Figura 2.5 .- El concepto de Desviacin.

Si la suma de las desviaciones se representa por ), se se, observa que esta funcin F es una funcin de dos variables (m, b) ya que (Xi, Yi) son los valores experimentales contenidos en la tabla de resultados, entonces resulta inmediato que el encontrar los valores de (m, b) para los cuales la funcin F es igual a cero equivale a determinar las races de una funcin en el espacio de dos dimensiones (m, b). Existen varios mtodos para encontrar las races de una funcin, pero tienen la particularidad de que son mtodos de aproximacin que se pueden aplicar a cualquier tipo de funcin pero su convergencia, en algunos casos, es muy lenta, es decir, se requieren de muchas iteraciones numricas para encontrar una buena solucin. Para evitar estas complicaciones y otras referentes a la existencia de races mltiples de la funcin F, se considera una expresin equivalente a esta funcin F, que est formada por la suma de cuadrados de las

El problema del Mnimo de una Funcin es un problema clsico del clculo diferencial, el cual se resuelve en forma exacta utilizando conceptos sencillos de aplicar, siempre y cuando la funcin sea doblemente diferenciable. Este mtodo consiste en determinar el punto M (en el espacio de dos variables (m,b)) que cumpla con las dos condiciones siguientes:

Entonces, se dice que el punto M es un punto crtico y si este punto M tambin cumple con la condicin de segundo grado, entonces se dice que el punto M es el punto donde la funcin G (m,b) adquiere su valor mnimo. Para mayor detalle de la condicin del segundo grado consulta el apndice A. Efectuando operaciones algebraicas en las expresiones anteriores se obtienen las ecuaciones siguientes:

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Esto quiere decir, que el punto M donde la funcin G (m,b) adquiere un mnimo es aquel que satisface las ecuaciones 2.5. Entonces, si sustituimos los valores de las sumatorias utilizando la tabla de valores, se obtienen dos ecuaciones con dos incgnitas m (pendiente) y b (ordenada al origen). La solucin simultnea de estas dos ecuaciones dan como resultado un valor para m (m*) y otro valor para b (b*) que son las coordenadas del punto M donde la funcin G (m,b) adquiere un mnimo. Estos valores de los parmetros (m*,b*) definen una recta que minimiza la funcin G (m,b) y como consecuencia esta lnea recta anula la funcin F (m,b). Por lo tanto, se ha encontrado la lnea recta que ms se ajusta a los puntos experimentales: Y = m*X + b*. Una forma de comprobar que los parmetros m* y b* fueron correctamente calculados, consiste en graficar la lnea recta de mejor ajuste sobre la grfica de dispersin y se debe observar claramente que dicha lnea recta pasa por los puntos experimentales lo ms cerca posible como lo establece el mtodo de la interpretacin grfica. Finalmente se puede decir, que la lnea de mejor ajuste obtenida por el mtodo grfico y la obtenida por este mtodo analtico, deben tener los valores de sus parmetros muy semejantes. 2.6.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO. 2.6.a) Movimiento Rectilneo de un mvil sobre un Plano Horizontal (5). Material Utilizado. 1.- Riel de Colchn de Aire. 2.- Deslizador Amarillo con Acrlico. 3.- Compresor. 4.- Cinta Registradora. 5.- Generador de Descargas. Procedimiento. 1.- Considere el dispositivo formado por un riel de colchn de aire horizontal y un deslizador que pueda desplazarse a todo lo largo del riel (ver figura 2.6).

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Figura 2.6.- Movimiento sobre un Plano Horizontal

2.- Coloque la cinta registradora a lo largo del riel. Seleccione una frecuencia en el generador entre 10 y 30 Mhz. 3.- Encienda el generador de descarga y accione el compresor. 4.- D un impulso al deslizador y cuando se encuentre en movimiento el deslizador, accione el generador de descargas para registrar por lo menos 10 puntos. 5.- Apague el generador y el compresor antes de retirar la cinta registradora. 6.- Describa en todos los detalles posibles el fenmeno que se desarrolla. Aqu es necesario obtener la mayor cantidad de datos cuantitativos de diferente naturaleza y en caso necesario incluir datos cualitativos. 7.- Desarrolle el proceso de Experimentacin en sus primeros cinco pasos para encontrar la lnea recta de mejor ajuste, conforme al orden siguiente: 1o) Considere las cantidades fsicas directas del fenmeno: Desplazamiento Horizontal del Deslizador y Tiempo 2o) Considere al tiempo como cantidad fsica independiente (X). Y como cantidad fsica dependiente (Y) al desplazamiento horizontal del deslizador. 3o) La reproduccin del fenmeno se realiz registrando las posiciones en la cinta registradora. La medicin de las posiciones del deslizador (Yi) debe ser desde el primer punto registrado y el tiempo (X1) mediante el inverso de la frecuencia utilizada en el generador de descarga, como ilustra la figura 2.7

Figura 2.7.-Toma de datos de la cinta registradora con frecuencia del generador de 15 MHz

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Anote sus mediciones en una tabla 2.2.

N Xi Yi 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 Tabla 2.2.- Datos de Desplazamiento y tiempo del movimiento del deslizador

4o) Construya la grfica de dispersin. 5o. a) Utilice la interpretacin grfica para obtener los parmetros de la lnea recta de mejor ajuste. 5.b) Aplique la interpretacin analtica para obtener los parmetros de la lnea recta de mejor ajuste. Grafique la lnea recta de mejor ajuste sobre la grfica de dispersin.

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CAPITULO 3

LEY FSICA PARA CANTIDADES FSICAS CON ALEATORIEDAD NO CUANTIFICADA.

El propsito de este captulo es definir, con un alto nivel de confianza, que el comportamiento observado en el fenmeno no es el resultado de un comportamiento fortituo, es decir, se debe tener confianza que las implicaciones que se desprendan del comportamiento observado del fenmeno sean siempre validas en el rango analizado. Para demostrar la validez de la relacin encontrada (lnea de mejor ajuste), se recurren a pruebas estadsticas relacionadas con la aleatoriedad de la cantidad fsica dependiente. Recuerde que cualquier cantidad fsica que se mide, tendr un comportamiento aleatorio representado por una funcin de distribucin Gaussiana. Por lo tanto, si se considera que la aleatoriedad de la cantidad fsica dependiente es pequea y que no es posible detectarla por las limitaciones del instrumental utilizado para medir esta cantidad, entonces, se utiliza el concepto de Coeficiente de Correlacin para definir la Ley Fsica. En caso contrario, cuando se ha detectado una aleatoriedad en la cantidad fsica dependiente, entonces se utiliza otra tcnica estadstica que requiere de un conocimiento mayor de la estadstica y que requiere tambin de un mayor control del proceso de reproduccin del fenmeno, dicha tcnica ser desarrollada en el captulo 4. En la seccin 3.1 de este captulo se expone lo relacionado con el coeficiente de correlacin, su propsito y sus limitaciones, as como el criterio utilizado para definir la ley fsica. En la seccin 3.2 se expone una forma de generar las implicaciones de la ley fsica (caracterizacin del fenmeno), para facilitar su comparacin con las posibles implicaciones generadas por la hiptesis previamente planteada. En la seccin 3.3 se aplican los conceptos antes expuestos a un fenmeno de la cinemtica de las partculas En la seccin 3.4 se expone una variante cuando el coeficiente de correlacin no est en el rango recomendado La comparacin de resultados cuando la ley fsica es no lineal se desarrolla en la seccin 3.5 y se utiliza en la seccin 3.6 otro fenmeno de la cinemtica para ejemplificar esta variante. 3.1 COEFICIENTE DE CORRELACIN. El coeficiente de correlacin (r) es una entidad que pertenece a la teora de la Probabilidad y la Estadstica y como tal, requiere de amplios conocimientos de estas teoras para comprender sus propiedades. Por estar fuera del alcance de este curso, no se profundiza en estos conocimientos, pero para aquel lector que est interesado en este tema, puede consultar las referencias (10,11). Esto no impide que se puedan utilizar las propiedades y caractersticas de esta entidad sin necesidad de demostrar su validez. Una de estas caractersticas, es la referente a que esta entidad se determina en el espacio de dos variables aleatorias (X,Y) donde existe una funcin de distribucin conjunta que establece una dependencia entre las dos variables. Se puede demostrar que si la variable aleatoria Y es directamente proporcional a la variable aleatoria X, entonces el coeficiente de correlacin es igual a 1. Si la variable aleatoria Y es inversamente proporcional a la variable aleatoria X, entonces el coeficiente de correlacin es igual a -1. Tambin se puede demostrar que el inverso de estas implicaciones son validas, es decir:

Si r = 1, entonces Y = mX + b (con m > 0) Si r = -1, entonces Y = mX + b (con m < 0)

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3.1.a) CRITERIO DE ACEPTACIN. El comportamiento de algn fenmeno fsico es observado va la medicin de la cantidad fsicas dependiente Y y la cantidad fsica independiente X. Es de mucha importancia determinar si la variacin observada por la cantidad Y es atribuida a la variacin de la cantidad X y no es debida a un proceso fortuito. El parmetro que permite conocer estos efectos de variacin es el llamado Coeficiente de Determinacin (r2), el cual especifica la proporcin de la variacin observada en Y que es atribuida a la variacin de X.

Coeficiente de Determinacin = (Coeficiente de Correlacin) = r Para algn caso cuando r = 0.985 indica que el 95% de la variacin mostrada por Y se le atribuye a la variacin de X. De tal forma que, si dos cantidades X,Y estn relacionadas linealmente como Y=mX+b, entonces: r2 = (r)2 = (1) =1, indicando que el 100% de la variacin de Y es atribuida a la variacin de X. En el mundo real, al considerar un dispositivo experimental con X, Y como cantidades Fsicas involucradas en el fenmeno y debido que est presente un proceso de medicin de X y Y y como no existe un control absoluto en el dispositivo experimental, se observa que al construir la grfica de dispersin con los valores medidos, estos puntos experimentales no estn perfectamente alineados. Es decir que existe una variacin en Y que no se puede explicar con la variacin de X. Por tanto, en un proceso experimental, no es posible observar una relacin lineal perfecta entre dos variables y en consecuencia no es posible obtener un coeficiente de determinacin igual uno. Por lo tanto, es recomendable aceptar que existe una relacin lineal entre dos cantidades fsicas cuando el coeficiente de Determinacin es muy cercano a uno. La cercana a uno del coeficiente de Determinacin depende de la aleatoriedad en Y que se espera observar en el proceso experimental, de tal forma para nuestro caso en particular, es aceptable tener por lo menos un coeficiente de determinacin de un valor de 0.985 CRITERIO DE ACEPTACIN: Se acepta que existe una relacin lineal entre las variables X, Y cuando su Coeficiente de Determinacin es de por lo menos de 0.985 Por lo tanto se dice que: La lnea de mejor ajuste Y = m*X + b* representa adecuadamente el comportamiento del fenmeno o se considera como una Ley Fsica si su coeficiente de Determinacin es de por lo menos de 0.985 El Coeficiente de Determinacin se calcula con la expresin siguiente:

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PRIMERA RECOMENDACIN EN EL ANLISIS. Para determinar una ley fsica, no se debe limitar solo al clculo del coeficiente de Determinacin y aplicar el criterio anterior, sino que se debe realizar un anlisis conjunto en los trminos siguientes: ANLISIS CONJUNTO: Primero.- Mediante una inspeccin visual a la grfica de dispersin, se debe definir la posible tendencia de los puntos graficados. Esta puede ser lineal, parablica, exponencial, logartmica, inversa etc. Segundo.- Calcular el Coeficiente de Determinacin y verificar si su valor lo hace congruente con la tendencia definida en el primer punto. En caso de que la tendencia resulte lineal, continuar al paso siguiente: Tercero.- Trazar la lnea de mejor ajuste sobre la grfica de dispersin y observar que los puntos graficados muestren una ubicacin aleatoria alrededor de dicha lnea de mejor ajuste. Este anlisis conjunto es necesario porque se dan casos en que el coeficiente de Determinacin es muy cercano a uno, ms sin embargo, la lnea de mejor ajuste no muestra la representatividad de los valores experimentales. Tambin se presenta el hecho de que se cumplen las dos primeras condiciones (l Pasa la inspeccin visual y 2o El coeficiente de Determinacin es muy cercano a uno), ms sin embargo, se observa que los puntos graficados presentan un pequeo patrn de comportamiento que la lnea de mejor ajuste no puede representar. Es decir, que los puntos graficados no estn colocados en forma aleatoria alrededor de la lnea de mejor ajuste. Para ilustrar este aspecto observe la la figura 3.0, para mayor informacin puede consultar el apndice B de estas notas.

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Figura 3.0.- Puntos graficados con una tendencia diferente a la lineal

Por tanto, surge una contradiccin, puesto que se observa que la lnea de mejor ajuste no sigue la tendencia que los valores experimentales graficados. Esta contradiccin invita a realizar otra prueba estadstica para comprobar la linealidad o la no-linealidad entre las cantidades fsicas involucradas. Una de estas pruebas, que se expondr en las siguientes secciones, es la referente a la determinacin del exponente de la variable independiente utilizando el mtodo de la Transformacin Z. 3.2.- COMPARACIN DE RESULTADOS CUANDO LA LEY FSICA ES LINEAL. En esta seccin se aborda el ltimo paso del proceso de experimentacin, el cual consiste en determinar si la hiptesis planteada es falsa o verdadera. Esta determinacin se logra comparando a la Ley Fsica y con lo expresado en la hiptesis planteada. Pero debido a que la Ley Fsica es una expresin matemtica y la hiptesis en una expresin textual, se hace necesario interpretar a la ley fsica en los mismos trminos utilizados en la hiptesis y de esta forma tener la posibilidad de realizar una comparacin y determinar la similitud entre ambas partes (Hiptesis Verdadera) o la contradiccin en las partes (Hiptesis Falsa). Una forma de generar implicaciones o de interpretar la Ley Fsica, consiste en caracterizar al fenmeno, utilizando conceptos ya conocidos y aceptados. 3.2.a.- CARACTERIZACIN DEL FENMENO. La Ley Fsica define la existencia de una relacin entre dos cantidades fsicas ( X,Y ) que se considera vlida en las condiciones en que se realiz el proceso de experimentacin y dentro del rango de variacin de la variable independiente. En consecuencia, esta Ley Fsica puede ser utilizada para caracterizar o interpretar una cierta faceta del fenmeno estudiado. Por ejemplo, en el caso del fenmeno anterior, se considera a:

Cantidad fsica independiente X tiempo ( seg). Cantidad fsica dependiente Y Magnitud del vector desplazamiento(D).

Ley Fsica D = m* t + b*

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Esta Ley Fsica establece la magnitud ms probable del vector desplazamiento de un mvil (deslizador) que se mueve sobre una lnea recta (riel de colchn de aire) para cualquier tiempo t que se encuentra dentro de su rango de variacin. La figura 3.1 muestra la grfica de la ley fsica que representa adecuadamente las caractersticas del movimiento de la partcula.

Figura 3.1.- Grfica de la Ley Fsica.

Considere un punto de coordenadas (t1, D1) sobre la lnea recta, entonces: D1 = m*t1+b* Y el punto de coordenadas (t2, D2 ) tambin est sobre la lnea recta: D2 = m*t2+b De la figura 3.1 se observa que la razn de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo para dos instantes de tiempo t1, t2:

La ecuacin anterior significa que el cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es m*. Esta relacin es vlida para dos instantes de tiempo cualesquiera (ver figura 3.1).

A esta razn de cambio se le llama Rapidez Media (v), cuyas unidades son [v] = L/T. Donde el smbolo [ W ] significa las unidades de referencia de la cantidad fsica W y donde L indica unidades de Longitud tales como: Metros, centmetros, Kilmetros, pulgadas, etc. Y la literal T indica unidades de tiempo tales como: Segundo, hora, minuto, etc. Entonces se dice que la partcula desarrolla un movimiento con rapidez media constante. Es importante observar que el valor de la rapidez media de la partcula no depende del valor b*, el cual se puede interpretar al considerar un tiempo inicial t0 = 0 seg, que significa que las mediciones de tiempo se inician con los relojes ajustados a 0.0 seg. Si este tiempo se sustituye en la ley fsica obtenida, se tiene que el desplazamiento Inicial Do es: Do = m*(0)+b* = b*, lo que indica que el parmetro b* de la ley fsica, representa el desplazamiento que tiene la partcula con respecto al sistema de referencia cuando se inicia el anlisis del movimiento de la partcula. En el clculo de la rapidez media es suficiente saber los valores iniciales y finales del movimiento rectilneo de la partcula, sin importar como fue el movimiento entre dichos puntos. Con el propsito de conocer con mayor detalle la forma de movimiento de la partcula a lo largo de todo su movimiento, consideremos dos instantes de tiempo t1 y t2

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muy cercanos, es decir, que el intervalo de tiempo t = t 2 - t1 sea muy pequeo. Para este caso se observa que la razn de cambio del Desplazamiento con respecto a este intervalo de tiempo es m*, debido a que la pendiente de la lnea recta permanece constante. Este proceso de considerar puntos muy cercanos se representa de la forma siguiente:

Esta expresin se conoce, en clculo diferencial, como Derivada del Desplazamiento con respecto al tiempo y denota como y como se refiere a la rapidez en un intervalo de tiempo muy pequeo, sta se le conoce como Rapidez Instantnea (v). Utilizando las reglas de derivacin y la expresin de la ley fsica, se obtiene: Rapidez Instantnea = v = Tambin se sabe de la cinemtica que: Aceleracin Instantnea = a = Por lo tanto, se obtiene la expresin que representa el movimiento rectilneo con rapidez (instantnea) constante, tambin conocido como Movimiento rectilneo Uniforme.

D = vt + Do..............................ec.3.2

HIPTESIS FALSA o VERDADERA. Se ha concluido que el objeto efecta un movimiento rectilneo con velocidad constante, por lo tanto, se puede decir que si la hiptesis planteada fue: a) "El objeto se mueve con velocidad constante" Hiptesis Verdadera b)"El objeto recorre distancias iguales en tiempos iguales" Hipteis Verdadera. (ver figura 3.1) c) "El objeto efecta un movimiento acelerado" Hiptesis Falsa. Por otra parte, si se hace coincidir la direccin del desplazamiento de la partcula con el eje positivo de las "X", entonces se puede representar cualquier desplazamiento como un vector horizontal de la forma siguiente:

Donde D es el vector desplazamiento D es la magnitud del vector desplazamiento i es un vector con direccin del eje positivo de las X y de magnitud unitaria

Por tal motivo, la ecuacin ec.3.2 se puede expresar como: V = y como los desplazamientos son cantidades vectoriales, entonces se tiene:

....................................................................................... ec.3.3

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Cuando el origen de referencia se ubica en el punto de inicio del movimiento de la partcula, entonces Do = 0, de tal forma que la ecuacin ec.3.3 resulta:

................................................................................................ ec.3.4 De la ec.3.4 se desprende que la cantidad v es una cantidad vectorial porque resulta de multiplicar al vector D por una cantidad escalar 1/t, con la misma direccin y el mismo sentido que el vector D pero de magnitud v = (l/t)D. 3.2.b.- EVALUACIN DEL EXPERIMENTO. Para evaluar un experimento se recurre a la comparacin de resultados obtenidos en la caracterizacin del fenmeno con los resultados de aplicar al fenmeno fsico los conceptos tericos. Es decir, es posible comparar las implicaciones de la ley Fsica mediante la determinacin de un Valor Experimental (Vexp) con el clculo del valor Terico (Vteo), de la manera siguiente:

Error Experimental Otra forma de comparar los resultados experimentales con implicaciones tericas es utilizando expresiones tericas que resulten semejantes con la relacin obtenida como Ley Fsica. Por ejemplo: Expresin experimental: D = m*t + b* Expresin Terica de la cinemtica de las partculas: D = vt+ Do Por simple comparacin de las expresiones anteriores se puede establecer que: v = m*; Do = b* 3.3.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO. 1.- Considere una vez ms el fenmeno del Movimiento Rectilneo del deslizador sobre el riel de colchn de aire en un plano horizontal que se realiz en la seccin 2.6.a y formule una hiptesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por ejemplo puede seleccionar alguna de las hiptesis siguientes: El deslizador se mueve con velocidad constante" El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales" El deslizador se mueve con aceleracin constante diferente de cero" 2.- Considere la tabla de resultados y la lnea de mejor ajuste que se obtuvo en la seccin 2.6.a. Determine el valor del coeficiente de Determinacin con la ecuacin 3.1 y obtenga la ley fsica cuando as sea considerado y contine con el inciso siguiente. En caso contrario termine. 3.- Determine los valores caractersticos del movimiento del deslizador y compare estos valores con la o las implicaciones de la hiptesis planteada. Finalice especificando la Validez o Falsedad de la hiptesis planteada.

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3.4.- LEY FSICA NO LINEAL El aceptar que la lnea de mejor ajuste represente adecuadamente el comportamiento de las variables fsicas involucradas, bajo cierto nivel de confianza, es aceptar que la relacin entre dichas cantidades fsicas es de tipo lineal. Esta relacin lineal es posible observarla en la grfica de dispersin de las cantidades fsicas, pero en muchos casos, la grfica de dispersin muestra una relacin, que est muy lejos de ser lineal (ver figura 3.2).

Figura 3.2 .- Grfica de Dispersin

Con el propsito de encontrar el tipo de relacin entre las cantidades fsicas originales (X,Y) y seguir aplicando el mismo criterio de aceptacin, se proceder a aplicar un mtodo matemtico, que llamaremos Transformacin Z, el cual consiste en demostrar que existe una relacin lineal entre cantidades modificadas (W,Z) que involucren a las cantidades fsicas originales (X,Y), para despus proceder a una transformacin inversa y as obtener la relacin entre las cantidades fsicas originales. El aplicar este mtodo no quiere decir que se transforma el fenmeno fsico que dio origen a los datos graficados, solo es un artificio matemtico para encontrar la relacin entre las cantidades fsicas originales (X,Y). 3.4.a.- TRANSFORMACIN ZETA(Z) En esta seccin se expone el procedimiento para determinar los parmetros de la lnea de mejor ajuste entre variables modificadas cuando la lnea de mejor ajuste entre las ariables originales no satisface el criterio de aceptacin. Este procedimiento consiste en modificar (o Transformar) los valores de las cantidades originales de forma tal que se observe, al graficar dichos valores y se compruebe, al calcular el coeficiente de Determinacin, que existe una relacin lineal entre ellos. El tipo de la transformacin depende de la tendencia mostrada en la grfica de dispersin de las cantidades originales. En la figura 3.3 se muestran varias tendencias y las transformaciones Z que son requeridas, en algunas de ellas solo basta con transformar la variable dependiente o solo la variable independiente o ambas.

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Figura 3.3.- Grfica de las tendencias ms comunes

El anlisis de los valores que dan origen a la grfica mostrada en la figura 3.2, se inicia con el clculo del coeficiente de Determinacin, cuyo valor esta fuera del rango requerido para aceptar como lineal la relacin existente entre las cantidades graficadas. Esta conclusin es congruente con lo mostrado por dicha figura 3.2. En dado caso se procede a la bsqueda del tipo de relacin no lineal mostrada por las cantidades involucradas, para ello se procede de la manera siguiente: 1.- En base a la tendencia mostrada por los datos originales X,Y se selecciona un transformacin Z. Es conveniente aclarar que es posible utilizar otras transformaciones que alcancen el mismo objetivo. Para el caso de la tendencia mostrada en la figura 3.2 se tiene que:

Transformacin seleccionada Z = "V/X Esta transformacin modificar los valores de las ordenadas, quedando las abscisas sin modificacin 2.- Se aplica la transformacin Z=Y/X a cada uno de los datos, obtenindose valores de Z para cada pareja de valores de (x,y), como se muestra en la 4a columna de la tabla 3.1.

Medicin X Y Z=Y/X 1 X Y 2

3 ; ; N

TABLA 3.1.- Tabla de valores originales y valores transformados.

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Con la tabla 3.1 se procede a desarrollar los pasos del proceso de experimentacin considerando las parejas de valores de (X, Z) 3o.- Construir la grfica de dispersin de las pareja de valores X,Z 4o.- Determinar los valores de los parmetros de la lnea de mejor ajuste Z = m**X + b**. Se denota m** y b** los parmetros de la lnea de mejor ajuste para diferenciarlos de los parmetros de la lnea de mejor ajuste para los datos originales X,Y. 5.- Determinar el coeficiente de Determinacin para los valores X,Z y aplicar el criterio de aceptacin para aceptar o rechazar la relacin lineal entre Xy Z. En el caso que el coeficiente satisfaga el criterio de aceptacin, esto indica que existe una relacin lineal entre X y Z, bajo un cierto nivel de confianza. De tal forma que se puede decir que Z =m**X + b** es una relacin vlida, por tanto, como Z = Y/X, se tiene:

Y/X = m**X+b** Despejando se tiene: Y = m** X + b** X

La expresin anterior resulta ser la buscada ley fsica del tipo cuadrtica. En el caso contrario de no satisfacer el criterio de aceptacin, es posible que no se haya utilizado la transformacin correcta o que simplemente que los valores originales X, Y no presentan ninguna tendencia que pueda tener un nivel de confianza aceptable y por lo tanto no es posible definir una relacin que represente adecuadamente el comportamiento del fenmeno. SEGUNDA RECOMENDACIN EN EL ANLISIS Cuando existe duda sobre la linealidad entre los valores graficados, se recomienda hacer una anlisis adicional para determinar el valor del exponente de la variable independiente y conocer si este es muy cercano a 1.0 (relacin lineal) o es ms cercano a 2.0 (relacin cuadrtica). ANLISIS ADICIONAL. Este anlisis consiste en aplicar el mtodo de la transformacin en ambas variables de la forma siguiente:

W = Ln(x), Z = Ln(Y)

Se espera que el coeficiente de determinacin para las variables transformadas (r W,Z ) sea mayor que el coeficiente de determinacin para las variables originales (rW,Z ) y aumenta la representatividad de la lnea de mejor ajuste de las variables transformadas, por tanto se acepta la existencia de una relacin lineal entre las variables transformadas de la forma:

Z = m**W+b** Pero se sabe que: W = Ln(X) y Z = Kn(Y), entonces se tiene:

Ln(Y) = m**Ln(X)+b** Aplicando las propiedades de los logaritmos: Ln(Y) = ** +b** Si consideramos que : b * * = Ln(b) Ln(Y) = ** + Ln(b) = Ln ( **) Aplicando la exponencial a ambos lados de la ecuacin, se tiene:

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Esta ltima expresin muestra, con un nivel de confianza mayor, el tipo de relacin que existe entre las variables originales, de tal forma que si el parmetros m** es muy cercano a 1.0, entonces la relacin entre las variables es lineal, pero si m** es muy cercano a 2.0 entonces la relacin entre las variables es del tipo Cuadrtica. 3.5- COMPARACIN DE RESULTADOS CUANDO LA LEY FSICA ES CUADRTICA (NO LINEAL). En esta seccin se expone una forma de generar las implicaciones del trabajo experimental que se le conoce como Caracterizacin del Fenmeno, para compararlas con las implicaciones de la hiptesis planteada. 3.5.a.- CARACTERIZACIN DEL FENMENO. La Ley Fsica define la existencia de una relacin entre dos cantidades fsicas ( X,Y ) que se considera vlida en las condiciones en que se realiz el proceso de experimentacin y dentro del rango de variacin de la variable independiente. En consecuencia, esta Ley Fsica puede ser utilizada para caracterizar o analizar una cierta faceta del fenmeno estudiado. Por ejemplo, en el caso del fenmeno anterior, se considera a: Cantidad fsica independiente X tiempo (t). Cantidad fsica dependiente Y Magnitud del vector desplazamiento (D). La Ley Fsica determinada en la seccin anterior, establece la magnitud ms probable del desplazamiento (D) del objeto que se mueve sobre una lnea recta para cualquier tiempo (t).

Ley Fsica D = m*t + b*t. De los conceptos de la Cinemtica se sabe que: Rapidez de la Partcula = v = ) =2m*t +b* Significado Fsico del Parmetro b*. Para un tiempo inicial t = 0 seg Rapidez Inicial de la partcula = Vo = b* Como se puede observar la rapidez inicial de la partcula resulta ser igual al parmetro b* de la lnea del mejor ajuste. Si b* es diferente de cero, esto indica que experimentalmente se detecta que el movimiento no parte del reposo como se esperaba que as sucediera. Tambin se sabe de la cinemtica que: Aceleracin de la Partcula = a = Significado Fsico del Parmetro m*. La ecuacin anterior establece que la aceleracin de la partcula es una constante (2m*), por tanto se puede establecer que: m** = 1/2 aceleracin del mvil. Y recordando que el movimiento del deslizador es sobre un riel de colchn de aire, se Puede establecer que el movimiento del deslizador es un:

Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado.

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3.5.b.- MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. La Ley Fsica determinada en la seccin anterior, establece que la magnitud del desplazamiento D del objeto que se mueve sobre una lnea recta para cualquier tiempo t est dada por:.

D = m*t + b*t. Con propsitos de explicacin, consideremos una ley fsica con valores numricos en sus parmetros, tal como m**= 25.67 y b** = 1.2 y su grfica es como muestra la figura 3.4 Consideremos dos intervalos de tiempo t1 = t2-t1 y t2 =t4-t3 y calculemos las velocidades medias en cada intervalo:

Figura 3.4.- Grfica de la ley Fsica D = 25.67t2+1.2t

Se observa que la rapidez media del mvil va en aumento al transcurrir el tiempo. Este efecto de aumento de la rapidez de mvil, se observa al determinar la rapidez instantnea de la forma siguiente:

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Entonces: v = 51.34/ + 1.2 ................................. ec.3.5 Esta expresin muestra que la rapidez va en aumento al transcurrir el tiempo, efecto que se muestra en la grfica 3.5. Figura 3.5.- Grfica del aumento de la rapidez con respecto al tiempo. Desde el punto de vista geomtrico, se sabe que la derivada de una funcin evaluada en un punto, representa la pendiente de la tangente en dicho punto. Esta equivalencia se Muestra en la grfica 3.6

Figura 3.6.- Grfica de Datos Originales (Desplazamiento contra tiempo)

De forma similar como se define la velocidad media, tambin se define la Aceleracin media que tiene el propsito de evaluar el cambio en la rapidez con respecto al tiempo. Para ello considrese dos puntos sobre la grfica de rapidez instantnea:

As, por ejemplo, consideremos los tiempos t1=0.1s, t2=0.2s (Figura 3.7) y aplicando la ec3.5 se tiene v1 = 6.334 cm/s, V2 = 11.468 cm/s. = 51.34 cm/ s Es posible calcular la aceleracin media para otro intervalo de tiempo y obtenemos:

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Figura 3.7.- Rapidez Instantnea a travs del tiempo

Como se puede observar, la aceleracin media es la misma, sin importar el intervalo de tiempo considerado. Este valor constante de la aceleracin media tambin se obtiene al determinar la Aceleracin Instantnea.

Entonces, la Aceleracin Instantnea es una constante = 51.34 cml s En trminos generales, considerando la expresin general de la Ley Fsica (D=m**t+b**t), se tiene que la rapidez instantnea, llamada ms comnmente como Rapidez, es igual a v = 2m**t+b** y la aceleracin instantnea, llamada comnmente como Aceleracin es igual a:

a = 2m** m** = (1/2) a De la expresin v = 2m**t+b**, si t = 0.0 s, es decir, para el tiempo inicial to = 0.0 s, la rapidez para este tiempo inicial es Vo = 2m**(0.0) + b** = b**, de esto se desprende que el parmetro de la ley fsica b** = Rapidez Inicial = Vo. Por lo tanto, la Ley Fsica del movimiento de la partcula se expresa como:

Ley Fsica: D = Vot + (1/2) at

Y como consecuencia, al derivar la ecuacin anterior con respecto al tiempo: V = Vo + at Estas expresiones representan el movimiento de la partcula cuando su aceleracin es constante e inicia su movimiento con una rapidez inicial Vo. Recordemos que las expresiones anteriores representan a las magnitudes de las cantidades vectoriales D, V y por la expresin de la aceleracin media y la aceleracin instantnea se desprende que la aceleracin es tambin una cantidad vectorial, puesto que resulta de la multiplicacin de un escalar (1/t) por un vector (V). Entonces, se dice que una partcula que realice un Movimiento Rectilneo con Aceleracin Constante, su movimiento est representado por las expresiones:

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3.6.- TRABAJO EXPERIMENTAL PROPUESTO. 3.6.a.- Movimiento Rectilneo de un Mvil bajo la Accin de una Fuerza Constante. Material Utilizado. 1.- Riel de Colchn de Aire. 2.- Compresor de Aire. 3.- Deslizador Amarillo con Acrlico. 4.- Cinta Registradora. 5.- Generador de Descargas Elctricas. 6.- Cinta magntica. 7.- Gancho de pesas y una pesa de 50 gr con ranura.

Figura 3.8.- Movimiento de un Mvil bajo la accin de una Fuerza Constante.

1.- Considere el dispositivo formado por un riel de colchn de aire en posicin horizontal y un deslizador que pueda desplazarse a lo largo de todo el riel (ver figura 3.8). 2.- Formule una hiptesis referente al tipo de movimiento que desarrolla el deslizador. Por ejemplo puede seleccionar alguna de las hiptesis siguientes: " El deslizador se mueve con velocidad constante" " El deslizador tiene desplazamientos iguales en tiempos iguales" " El deslizador se mueve con aceleracin constante". 3.- Desarrolle el proceso de Experimentacin en sus siete pasos para verificar la hiptesis planteada, mediante el orden siguiente: 1.- Considere las cantidades fsicas directas del fenmeno: Desplazamiento del deslizador sobre el riel y el tiempo. 2o.- Considere al tiempo como la cantidad fsica independiente