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Cálculo por Elementos Finitos

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA

CÁLCULO POR ELEMENTOS FINITOS

INFORME: Laboratorio N° 02 – Segunda Práctica Calificada

CÓDIGO: MC 516

SECCION: E

DOCENTE: Ing. Ronald Cueva Pacheco

ALUMNO:

Cruz Saravia James J. 20112093E

UNI 2015 - I

1

ÍNDICE

Pág.

Índice…………………………………………………………………………………………………………………….…………… 1

Enunciado del Problema………………………………………………………………………………………….…………. 2

Solución …………………………………………………………………………………………………………………..………. 3

Modelado del cuerpo real………………………………………………………………………………….….………….… 3

Grados de libertad nodales………………………………………………………………………………………………….. 4

Vector carga………………………………………………………………………………………………………………...…….. 5

Matriz de Rigidez…………………………………………………………………………………………………………………. 7

Ecuaciones de rigidez y condiciones de contorno…………………………………………………...…………….8

Esfuerzos ……..……………………………………………………………………………………………………………………. 9

Diagrama de flujo………………………………………………………………………………………………….……………. 10

Uso de MATLAB………………………………………………………………………………………………….………..…….11

Conclusiones……………………………………………………………………………………………………….……….…….13

1

SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA(TRACCION CON VARIACION DE TEMPERATURA)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante t=150mm se encuentra afectado por la carga mostrada y a un aumento de temperatura de 150 °C. Calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar los elementos finitos necesarios.

Considerar:

Pa = 50KN

t (espesor) = 150 mm

E = 3.0x105 N/mm2

∝=11×10−6 °C−1

Y = 8.0gr-f/cm3 = 78,48x10-6 N/mm3

∆T=150 ° C

2

SOLUCIÓN

1. MODELADO DEL CUERPO REAL:

Según el problema, tomaremos 4 elementos finitos para conseguir errores bajos. Por ende, lo dividiremos según las alturas “le ” de 375 mm, 375mm, 375mm y 375mm respectivamente para cada elemento y así se facilitaran los cálculos.

Luego de la división, hallaremos sus respectivas dimensiones de anchura “b”de cada elemento finito, y por consiguiente tendremos el modelado del cuerpo como se aprecia en la figura:

b1=1000+7502

=875mm

b2=750+5002

=625mm

b3=500+2502

=375mm

b 4=2502

=125mm

3

El área de cada elemento finito “e” lo calculamos geométricamente de la forma:

Ae=be×t

Con los resultados anteriores tenemos la siguiente tabla de conectividad:

Elemento e

NODOS GDLle (mm) Ae (mm2)

1 2 Qi Qj

1 (1) (2) Q1 Q2 375 131250

2 (2) (3) Q2 Q3 375 93750

3 (3) (4) Q3 Q4 375 56250

4 (4) (5) Q4 Q5375

18750

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (VECTOR DESPLAZAMIENTO)

En el siguiente grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Con ello se tiene el vector desplazamiento siguiente,

4

Qj=[Q1Q2Q 3Q 4Q 5

] (mm )→Qj=[0Q 2Q3Q 4Q5

] (mm )

Donde se tiene que por ser un cuerpo empotrado y fijo, Q1 será igual a 0, luego de ello los demás desplazamientos serán calculados.

3. VECTOR CARGA (Fi)

El vector carga se obtendrá luego de hallar cada fuerza que actúa en cada elemento finito.

5

Analizando las fuerzas en cada elemento finitos por las relaciones de ecuaciones que tenemos, se obtendrá cada una de ellas como a continuación:

f e(nodo )=Anodo×le2

. Y +F+(E . A .α .∆T )e . [−11 ] donde { E=3×105N

mm2

Y=78.48×10−6 N

mm3

∆T=150 ° C

f 1(1)=1312502

.375 .78 ,48.10−6−(3.105 .131250 .11 .10−6 .150 )+R1=−64966818.6562+R1 (N )

f 1(2)=1312502

.375 .78 ,48.10−6+(3.105 .131250.11 .10−6 .150 )=64970681.3438 (N )

f 2(2)=937502

.375.78 .48 .10−6−(3.105 .93750 .11 .10−6 .150 )=−46404870.4688 (N )

f 2(3)=937502

.375 .78,48.10−6+ (3.105 .93750 .11 .10−6 .150 )+Pa=46407629.5312+Pa (N )

f 3(3 )=562502

.375.78,48 .10−6−(3.105 .56250 .11 .10−6 .150 )=−27842922.2812 (N )

f 3(4 )=562502

.375 .78,48 .10−6+(3.105 .56250 .11 .10−6 .150 )=27844577.7188 (N )

f 4(4 )=187502

.375.78,48 .10−6−(3.105.18750 .11 .10−6 .150 )=−9280974.0937 (N )

f 4(5 )=187502

.375 .78,48 .10−6+(3.105 .18750 .11 .10−6 .150 )=9281525.9062 (N )

Con ello tendremos la fuerza en todo el cuerpo.

F1=f 1(1 )=−64966818.6562+R1 (N )

F2=f 1(2)+ f2

(2)=64970681.3438−46404870.4688=18565810.875 (N )

F3=f 2(3)+f3

(3)=46457629.5312−27842922.2812=18614707.25 (N )

6

F 4=f 3(4 )+ f4

(4 )=27844577.7188−9280974.0937=18563603.6251 (N )

F5=f 4(5 )=9281525.9062 (N )

Entonces el vector fuerza será:

Fi=[F 1F 2F 3F 4F 5

]=[−64966818.6562+R1

18565810.87518614707.2518563603.62519281525.9062

] (N )

4. MATRIZ DE RIGIDEZ

Para hallar la matriz de rigidez global usaremos de la siguiente ecuación:

K ij=( A× El )1[1 −1 0 0 0

−1 1 0 0 0000

000

0 0 0000 00 0

]+( A×El )2[0 0 0 0 00 1 −1000

−100

1 0 0000 00 0

]+( A×El )3[0 0 0 0 00 0 0 0 0000

000

1 −1 0−10

1 00 0

]+( A× El )4[0 0 0 0 00 0 0 0 0000

000

0 0 0001 −1−1 1

]Reemplazando los valores ya anteriormente calculados que se muestran también en la tabla de conectividad, nos resultará la matriz de rigidez:

K ij=(131250×3.105375 )1[1 −1 0 0 0

−1 1 0 0 0000

000

0 0 0000 00 0

]+( 93750×3.105375 )2[0 0 0 0 00 1 −1000

−100

1 0 0000 00 0

]+( 56250×3.105375 )3[0 0 0 0 00 0 0 0 0000

000

1 −1 0−10

1 00 0

]+( 18750×3.105375 )4[0 0 0 0 00 0 0 0 0000

000

0 0 0001 −1−1 1

]Resolviendo tenemos:

7

K ij=106 .[105 −105 0 0 0

−105 180 −75 0 0000

−7500

120 −45 0−450

60 −15−15 15

] ( Nmm )

5. ECUACIÓN DE RIGIDEZ Y CONDICIÓN DE CONTORNO

La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación:

Fi=K ij×Qj

Con los valores anteriormente obtenidos y usando la anterior ecuación, tenemos:

Fi=[−64966818.6562+R1

18565810.87518614707.2518563603.62519281525.9062

]=¿ 106 .[105 −105 0 0 0

−105 180 −75 0 0000

−7500

120 −45 0−450

60 −15−15 15

]×[0Q 2Q 3Q 4Q 5

]Haciendo uso de propiedades, tomaremos una submatriz para hacer sencillo el cálculo de los desplazamientos.

[ 18565810.87518614707.2518563603.62519281525.9062

]=106 .[ 180 −75 0 0−75 120 −45 000

−450

60 −15−15 15

]×[Q 2Q 3Q 4Q 5

]Resolviendo este sistema de ecuaciones, tendremos:

[Q 2Q 3Q 4Q 5

]=[0.6192911.2387561.8575372.476305

]mmY para poder calcular la reacción R1 usaremos la ecuación:

8

[−64966818.6562+R1 ]=106 . [105 −105 0 0 0 ]×[0Q2Q 3Q 4Q 5

]Y así obtenemos que

R1 = -58736.3438 (N)

6. ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

σ e=Ele× [−1 1 ]×[ QiQi+1]−(E .∝ )e .∆T

→ (E .∝ )e . ∆T=495

Con los valores anteriores tenemos lo siguiente:

σ 1=3×105

375× [−1 1 ]×[ 0

0.619291]−495=0.4 328 Nmm2

σ 2=3×105

375× [−1 1 ]×[0.6192911.238756 ]−495=0.572 N

mm2

σ 3=3×105

375× [−1 1 ]×[1.2387561.857537]−495=0.0248 N

mm2

σ 4=3×105

375× [−1 1 ]×[1.8575372.476305]−495=0.014 4 N

mm2

Finalmente los resultados son los siguientes:

9

{R1=−58736.3438N

σ1=0.4328Nmm2

σ2=0.572Nmm2

σ3=0.0248Nmm2

σ 4=0.0144Nmm2

7. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROCESO

VECTOR DESPLAZAMIENTO: Qi

INICIO

NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS A UTILIZAR: “n” = 4

MODELAMIENTO

CALCULO DE BASES: b i

MATRIZ DE RIGIDEZ: K i

VECTOR CARGA: F i

F i=K iQ i

VALOR DE Qi

EFECTOS TERMICOS: E× A×∝×∆ t

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8. USO DEL MATLAB

Al hacer uso del programa MATLAB, una opción es la siguiente para poder hallar los resultados anteriores en “n” elementos finitos, para nuestro caso hallado tomamos 4 elementos.

clear allclc

%Ingreso de datos

disp('***Ingreso de Datos***');n=input('Ingrese Número de Elementos Finitos=');

%Datos iniciales

L=1500; %en mmw1=1000; %en mmw2=0; %en mmt=150; %en mmP=50000; %P en NewtonE=3*(10^(5)); %E en Newton/mm^2d=78.48*10^(-6);alpha=11*10^(-6); %Valor de alpha en ºC^-1dt=150; %Delta de temperatura en ºC

%calculo de las áreas

l=L/n;ll=(w1-w2)/n;b=zeros(1,n);for i=1:n b(i)=(w1-i*ll);enda(1)=(w1+b(1))/2*t;for j=2:n a(j)=(b(j)+b(j-1))/2*t;end

%Càlculo de la Matriz de Rigidez y el Vector Fuerza

w=zeros(n+1);

REACCION R1

ESFUERZOS σ i

FIN

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K=zeros(n+1);F=zeros(1,n+1);FF=zeros(1,n);ff=0;for k=1:n w(k,k)=1;w(k,k+1)=-1;w(k+1,k)=-1;w(k+1,k+1)=1; K=K+a(k)*E/l*w; F(k)=d*a(k)*l/2-E*a(k)*alpha*dt; FF(k)=F(k)+2*E*a(k)*alpha*dt; if(k>1 & k<n+1) ff=FF(k-1); F(k)=F(k)+ff; end w=zeros(n+1);endF(n+1)=d*a(n)*l/2+E*a(k)*alpha*dt;h=10*25.4 % distancia de P en mmdisp('*****Cálculos y Resultados*****');disp('Resolviendo . . .');

%Añadiendo la carga P al Vector de Fuerza

for s=1:n if(h==s*l) F(s+1)=F(s+1)+P; break; endend

%Grados de Libertad Nodales

Q=zeros(1,n+1);

%Eliminado el grado de libertad fijo

KK=K(2:n+1,[2:n+1]);FF=F(1,[2:n+1]);QQ=Q(1,[2:n+1]);

%Resolviendo las Ecuaciones

QQ=FF/KK;Q=[Q(1),QQ];

%Cálculo de los Esfuerzos

e=zeros(1,n);for z=1:n e(z)=E/l*[-1,1]*[Q(z);Q(z+1)]-E*alpha*dt;end

%Cálculando la Reacción

R=K(1,:)*Q'-F(1);

%Mostrando los Resultadosdisp('Matriz de Rigidez K');

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disp(K);disp('Vector de Fuerza F');disp(F');disp('Desplazamientos Q');disp(Q');disp('Esfuerzos');disp(e');disp('Reacción en el grado de libertad 1');disp(R);

9. CONCLUSIONES

El sentido asumido fue hacia abajo, con lo cual obtuvimos una reacción negativa lo que nos muestra que el sentido verdadero de la reacción es hacia arriba como que debía ser obtenido.

La reacción que obtuvimos es parecida a la que se obtuvo cuando no hubo una variación de temperatura.

Con los resultados obtenidos podemos apreciar que las deformaciones son pequeñas (del orden de los micrómetros) y nos resulta positivas como se debía de esperar ya que la carga actúa hacia abajo.

Las deformaciones en este caso en el cual se varia la temperatura nos resulta diferentes comparándolas con el caso sin variación de temperatura, lo cual resulta que la temperatura afecta en gran parte a las deformaciones.

Los resultados de los esfuerzos nos resultaron positivos ya que la carga también es positiva, lo que existe una tracción en dichos puntos, estos a su vez resultaron en magnitud parecida al caso sin variación de temperatura.

La división del cuerpo en cuatro elementos nos resulta apreciable y suficiente en la obtención de errores comparando al usar el MATLAB para varios elementos finitos.

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