Esquemas Volumenes Finitos

8/18/2019 Esquemas Volumenes Finitos

1/58

1

HIDRÁULICA COMPUTACIONAL 2

Máster en Ingeniería del Agua

Introducción al método de

volúmenes finitos

Luis Cea GómezGrupo de Ingeniería del Agua y del Medio Ambiente, GEAMA

Universidad de A Coruña


2/58

2

1. Introducción

2. Mallas de cálculo

3. El método de volúmenes finitos

3.1. La ecuación de convección-difusión

3.2. Propiedades de los esquemas numéricos

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS

. .

3.4. Esquemas descentrados

4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE


3/58

3

Volúmenes finitos Impone conservación de forma natural Flexibilidad geométrica Resuelve ecuaciones en forma integral (ondas choque)

Discretización muy intuitiva (leyes físicas) Elementos finitos Flexibilidad geométrica Muy versátil (diferentes áreas de aplicación)

Métodos

Introducción al método de volúmenes finitos

Introducción

Discretización sencilla Problemático en geometrías complicadas

Smoothed Particle Hydrodynamics Adecuado para superficie libre compleja Método sin malla. Lagrangiano

Coste computacional muy elevado Todavía en desarrollo Tendencia a creerse los resultados

Otros

numéricosen CFD


4/58 4

Volúmenes finitos


Introducción

0A)u(ρA)u(ρA)u(ρA)u(ρ snwe =−+−

Flujo a través de las aristas de las celdas

Lo que sale de una celda entra en la celda de al lado

Conservación de masa / momento


5/58 5

Volúmenes finitos


Introducción


6/58 6

Diferencias finitas

∆y2

vv

x∆2

uu

y

v

x

u0

1 ji,1 ji, j1,i j1,i −+++ −+

−≈

∂

∂+

∂

∂=


Introducción

Elementos finitos

( ) 0F =φ

( ) ( ) )(Cincógnitas-nxf Cx~ jn

1 j

j j∑=

=φ

ecuaciones-n(0dV)~

F(w n)1,iV

i ==⋅∫ φ


7/58 7

Smoothed Particle Hydrodynamics


Introducción


8/58 8

Smoothed Particle Hydrodynamics


Introducción


9/58 9

1. Introducción






. .




10/5810

Malla estructurada vs. Malla no estructurada


Mallas de cálculo


11/5811


Tipos de mallas

Malla estructurada cartesiana Malla estructurada por bloques cartesiana

Malla estructurada curvilínea Malla estructurada por bloques

Mallas de cálculo

Malla no-estructurada cartesiana Malla no-estructurada triangular


12/5812

Tamaño de malla

Aspecto fundamental en CFD al que muchasveces no se le presta la atención merecida

Malla más fina en: contornos pared recirculaciones discontinuidades

Ventaja para mallasno estructuradas

Multigrid methods


Mallas de cálculo


13/58

13

Convergencia en malla

Malla 1


Mallas de cálculo


14/58

14

Tamaño de malla


Mallas de cálculoConvergencia en malla

Malla 2


15/58

15



Malla 3


16/58

16




17/58

17

1. Introducción






. .




18/58

18

Consistente si tiende a la ecuación diferencial cuando∆x 0

Conservativo si conserva la masa, el momento, etc. en ausecia de términos fuente

Transportividad (transportivity) si tiene en cuenta la dirección en la que se transmite la información

Propiedades de los esquemas numéricos


Volúmenes finitos

sin términos fuente no se generan máximos ni mínimos locales Estabilidad

si no es generan oscilaciones numéricas a partir de errores infinitesimales

Orden de precisión

Boundedness

para un esquema lineal (ai no depende de U)

Boundedness aj positivos, ai>= sumatorio aj ∑ −=≤+=

≥

i ji

iiii

j

saa

ssbS a

00

φ


19/58

19

Sxxx

u

t j j j

j+

∂

∂Γ

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ φ φ φ

La ecuación de convección-difusión 3D

( ) ( ) ∫∫∫ +∇Γ ⋅∇=⋅⋅∇+−

+

iii VVVi

n

i

1n

i dV SdVdVV∆t

φ φ φ φ

u


Volúmenes finitos

( ) ( )( ) iiin

i

n

i

VSV∆t +⋅∇Γ =⋅⋅+

−

∑∑ ∈∈

+

ii K j

ij

K j

ij nnu φ φ φ


20/58

20

ii1/2i1/2ii

n

i

1n

i ∆xSFFx∆t

=−+∆−

−+

+ φ φ

Sxxx

u

t+

∂

∂Γ

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ φ φ φ


Volúmenes finitosLa ecuación de convección-difusión 1D

( )1/2i

1/2i1/2ixΓuF

+

++ ∂

∂

−=

φ φ

i

i1i

1/2i1/2i ∆xxΓ

φ φ φ −Γ =

∂

∂ ++

+

Convección Difusión


21/58

21

Esquema centrado de orden 2

( )22

uuuu 1ii1ii1/2i1/2i1/2i

++

+++

++== φ φ

φ φ

∆x

2

2ux

∆t

1ii1i1i1i

n

i

1n

i −+−+

++−

Γ =−

+∆− φ φ φ φ φ φ φ


Volúmenes finitos

Esquema numéricamente inestable

Permite oscilaciones de Φ en la solución

n epen ente e i


22/58

22

Esquema descentrado de orden 1

0usi

0usi

1/2i1i1/2i

1/2ii1/2i

=

+++

++

φ φ

φ φ

( ) ( )1ii1i2

1ii

n

i

1n

i 2∆x

Γ

∆xu

∆t −+

−

+

+−+

−+

−φ φ φ

φ φ φ φ

( )0cteu >=


Volúmenes finitos

Esquema numéricamente estable

No genera oscilaciones de Φ en la solución

Muy difusivo

( )( )

( )1ii1i21i1in

i

1n

i 2∆x

∆tΓ

∆x2

∆tu

∆x2

∆tu−+−+

++−

++−−= φ φ φ φ φ φ φ

Difusión numéricaDiscretización centradade orden 2 2

∆xun =Γ


23/58

23

Hybrid upwind scheme

Power-law scheme

QUICK

Otros esquemas


Volúmenes finitos


24/58

24

0∆x

FF

∆t

ww 1/2i1/2in

i

1n

i =−

+−

−+

+

( ) ( )i1i1ii1/2i ww∆t2

∆xFF

2

1F −−+=

+++ ( )n 1i

n

1i

n

i ww2

1w

+− +=

Esquema de Lax-Friedrichs (muy difusivo)

w

FA

∂

∂=

equivalente a centrado con:

Condicionalmente estable (CFL


25/58

25

0∆x

FF

∆t

ww 1/2i1/2in

i

1n

i =−

+−

−+

+

w

FA

∂

∂=

Esquema de Lax-Wendroff de 2 pasos



26/58

26

Otros esquemas

Esquema FORCE

−−+= +++ )F(F

∆x

∆t

2

1)w(w

2

1w i1i

n

1i

n

i

LW2

1/2i


Volúmenes finitos

0∆x

FF

∆t

ww 1/2i1/2in

i

1n

i =−

+−

−+

+

w

FA

∂

∂=

−−++= ++++ )w(w∆t

∆x

F)2F(wF4

1

F n

i

n

1i1i

LW2

1/2ii

force

1/2i



27/58

27

0x

F(w)

t

w=

∂

∂+

∂

∂

[ ]1/2i1/2in

i

1n

i FF∆x∆tww

−+

+−−=

Métodos conservativos


Volúmenes finitos

Fi+1/2 Flujo a través de las aristas de las celdasLo que sale de una celda entra en la celda de al lado

Conservación de masa / momento


28/58

28

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂

Ejemplo: Conservación de masa 1D

0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2in

i

1n

i =−

+−

−+

+

uhq ⋅=


Volúmenes finitos

?q¿ 1/2i+


29/58

29

Ejemplo: Conservación de masa 1D


Volúmenes finitos

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂

0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2in

i

1n

i =−

+−

−+

+

uhq ⋅=

+

+

++

=

+

++

++

+

otras

h2

uu2

uhuh2

uu

2

hh

q

i

1ii

1i1iii

1ii1ii

1/2i

Centrado

Centrado

Descentrado


30/58

30

0

∆x2

uhuh

∆t

hh 1i1i1i1in

i

1n

i =−

+−

−−++

+

Ejemplo: Esquema centrado 1D

Esquema numéricamente inestable

Permite oscilaciones de h en la solución

Independiente de hi


Volúmenes finitos

1n1i

n1i

1n1i

n1i

ni

1ni hu

∆x2∆thu

∆x2∆thh

+

++

+

−−

+

−+=

Coef. negativo esquema NO monótono puede generar oscilaciones (inestabilidades)


31/58

31

Ejemplo: Esquema descentrado 1D

0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2ini1ni =−+− −++

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂


Volúmenes finitos


32/58

32


0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2ini1ni =−+− −++

>+ 0usiq 1/2ii

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂


Volúmenes finitos

<

=

++

+

0usiq

q

1/2i1i

1/2i


33/58

33


0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2ini1ni =−+− −++

>+ 0usiq 1/2ii

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂

hh n1n

−− −

+


Volúmenes finitos

<

=

++

+

0usiq

q

1/2i1i

1/2i

∆x∆t

=+ −


34/58

34


0∆x

qq

∆t

hh 1/2i1/2ini1ni =−+− −++

>+ 0usiq 1/2ii

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂

hh n1n

−− −

+


Volúmenes finitos

<

=

++

+

0usiq

q

1/2i1i

1/2i

∆x∆t

=+ −

( )21ii1i1i1i

n

i

1n

i

∆x

q2qq

2

∆x

x2

qq

∆t

hh−+−+

++−

=∆

−+

−


35/58

35


0∆x

qq∆t

hh 1/2i1/2ini1ni =−+− −++

>+ 0usiq 1/2ii

0x

q

t

h=

∂

∂+

∂

∂

hh n1n

−− −

+


Volúmenes finitos

<

=

++

+

0usiq

q

1/2i1i

1/2i

∆x∆t

=+ −

( )21ii1i1i1i

n

i

1n

i

∆x

q2qq

2

∆x

x2

qq

∆t

hh−+−+

++−

=∆

−+

−

2

2

x

q

2

∆x

x

q

t

h

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂Difusión numérica


36/58

36

0∆x

qq

∆t

hh n 1in

i

n

i

1n

i

=

−

+

− −

+


0∆x

qq

∆t

hh 1n

1i

1n

i

n

i

1n

i =

−

+

− +

−

++

nnnn1n hu∆t

u∆t

1hh + +

−= 1nnnn1n ∆t∆t ++

=

⋅

Discretización Explicita Discretización Implicita


Volúmenes finitos

∆x∆x −− 1i1iiii

∆x∆x −−

n

i

n

i

n

iu

∆x∆t1u

∆x

∆tCFL0u

∆x

∆t1


37/58

37

Esquemas descentrados de Godunov

[ ]1/2i1/2in

i

1n

i FF∆x∆tww

−+

+−−=

0x/tF wF == Flu o numérico

0x

F(w)

t

w=

∂

∂+

∂

∂


Volúmenes finitos

(x/t)w 1/2i+ solución del problema de Riemann

>


38/58

38

Esquemas descentrados de Godunov

Riemann Solvers

(0))F(wF 1/2i1/2i ++ = aproximado(x/t)w 1/2i+

Primera opción resolver el problema de Riemann de forma exacta (no analítico)

Resolventes de Riemann aproximadas (approximate Riemann solvers)

Aproximar el estado de Riemann


Volúmenes finitos

1/2iF + aproximar el flujo directamente

Aproximar el flujo de Riemann

Roe Esquema de Roe

HLL Harten - Lax - van Leer(mucha difusión en discontinuidades de contacto, vórtices)

HLLC Harten - Lax - van Leer Contact

( ) ( )i1i1/2i1ii1/2i wwA

21FF

21F −−+=

++++


39/58

39

1. Introducción


3. El método de volúmenes finitos3.1. La ecuación de convección-difusión



. .

3.4. Esquemas descentrados4. Esquemas en volúmenes finitos para las 2D-SWE


40/58

40

∑=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

k

k

yx Gy

F

x

F

t

w

Ecuaciones de aguas someras en forma vectorial y conservativa

=

+=

= qq

q

Fghq

q

Fq

h

w yx

y

y

22

x

x

xx

∂

∂

∂

∂−=

−=

∂

∂=

j

e3xb,2b

1x

Uh ν

x

0

Gτ

0

Gx

Zgh-

0

G

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Definido en un dominio 2D


Esquemas numéricos para 2D-SWE

( ) i3

1k

ik,L

yyxxi

n

i

1n

i AGdLn~Fn~FA∆t

wwi ∑∫ =

+

=++−

Flujo convectivo Término fuente

Discretización temporal y espacial

+

2

gh

h

q

h

qq

q

22

yyx

y

∂

∂

∂

∂

−

−

∂

∂

j

j

e

j

yb,b

x

Uh νx

τ

y

Zgh-


41/58

41

( )

∑∫∈

≈+

ii

K j ijRLijL yyxx

)n,w,(wFdLn~Fn~F

Flujo numérico

Esquemas descentrados de GodunovFlujo convectivo



Estado medio de cada celda

Flujo normal entre celdas

Fij Proyección 1D del flujonormal entre celdas


42/58

42

( ) ∑∫ ∈

≈+

ii

K jijRLijL yyxx

)n,w,(wFdLn~Fn~F

Flujo numérico

( ) yyxxLRLR

RLij nFnFZwwA

1ZZF +=−−

+=

Esquemas descentrados de GodunovFlujo convectivo



Centrado Upwind Flujo normal

Matriz |A| de descentramiento Roe (1986) con regularización de Harten (1983)

HLL. Harten – Lax – van Leer HLLC. Harten – Lax – van Leer - Contact


43/58

43

Extensión a orden 2

Esquemas tipo WAFWeight Averaged Flux

Esquemas tipo MUSCLMonotone Upstram Scheme for Conservative Laws




44/58

44

[ ]waf 1/2-iwaf

1/2i

n

i

1n

i FF∆x∆tww −−=

+

+ x∆1 β x∆2 β

λ =t x /

2

t ∆

t ∆

A B C • ••

Extensión a orden 2Esquemas tipo WAF



t

0

n

iq

n

iq

n

1iq +

n

1iq +

1/2ix + 2

x∆−

2

x∆

)(A wc)(1

2

1)(A wc)(1

2

1F n 1i

n

i

waf

1/2i ++ ⋅−+⋅+=

WAF ~ Lax-Wendroff si c


45/58

45

1. Se realiza una reconstrucción lineal de lasvariables en cada celda a partir del valormedio en la celda y del gradiente

Extensión a orden 2Esquemas tipo MUSCL



2. Extrapolación lineal de las variablesconservadas de los nodos a lasaristas

3. Los valores extrapolados se utilizan en

vez de los valores nodales en elesquema de Godunov correspondiente(Roe, van Leer, HLL, ...)

( ) ∑∫∈

≈+

ii

K j

ijiJIjijL

yyxx )n,w,(wFdLn~Fn~F


46/58

46


Orden 2. Oscilaciones espúrias



Esquemas de alta resolución Orden 2 excepto en discontinuidades Sin oscilaciones espúrias Alta resolución en discontinuidades


47/58

47


Lax-Wendroff Godunov-Upwind



I d ió l é d d lú fi i


48/58

48

)w,...,w,...,H(ww n

ri

n

i

n

si

1n

i +−

+=

jtodopara 0w

Hn

j

≥∂

∂

Esquema monótono

∑=+ j

n

j j

1n

i waw

Esquema monótono

linealnoEsquema(w)aa

linealEsquemactea

j j

j

→=

→=



jtodopara 0a j ≥Esquema lineal monótono

Teorema de Godunov

Esquemas lineales monótonos son de primer orden

( ) ( )( ) ( )ni

1n

i

n

i

1n

i

1n

i

1n

i

n

i

n

i

qminqmin

qmaxqmax

iqwiqw

≥

≤

∀≥→∀≥

+

+

++

Esquema monótono

I t d ió l ét d d lú fi it


49/58

49

Extensión a orden 2Esquemas de alta resolución TVD

Propiedad TVDTotal Variation Diminishing

)TV(u)TV(uTVD

uu)TV(u

n1n

i

n

i

n

1i

n


50/58



51/58

51

i

b22

x

zghgh

2

1hU

xt

hU

∂

∂−=

+

∂

∂+

∂

∂ ( )ii

b2

x

hgh

x

zghhU

xt

hU

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

Equivalentes en flujo gradualmente variado

Formulación A Formulación B

xF xF



Diferentes en ondas de choque, resaltos hidráulicos

Formulación A más precisa si hay choques / cambios de régimen

Formulación B más sencilla / menos problemas con términos fuente

Preferible formulación A



52/58

52

i

b22

x

zghgh

2

1hU

xt

hU

∂

∂−=

+

∂

∂+

∂

∂

Formulación A

Condiciones hidrostáticas

bzh ∂∂



Discretización descentrada de términos fuente

ixx ∂−

∂

Descentrado Centrado

Errores en el equilibrio si fondo irregular



53/58

53

Discretización descentrada del flujo convectivo: estabiliza el esquema, pero introduce difusión numerica en las ecuaciones

Discretización descentrada de términos fuenteVázquez-Cendón (1994), Bermúdez et al. (1998)

Discretización descentrada para términos fuente en general



∑∈−≈

iK jij

1-

ijij

ijij

i

C

ii S

~

QQ2

Ld

A

1

SS

Correcciones de orden 2 para pendiente del fondo

iI

K j

ijij

i

i

*

i S~

2

Ld

A

1SS

i

∑∈

−≈



54/58

54

Término fricción fondo

A. Discretización explicita

qqCxzghgh

21hU

xthU f

i

b22 ⋅−∂

∂−=

+∂

∂+

∂

∂

qqCIhgρ

τf

b ⋅==7/3

2

f h

ngC =



n

i

ni

nif,

ni

ni

n

i

1n

i qqCSC∆t

qq ⋅−=+−+

Inestabilidades si fricción importante, valores negativos

( )nin

i

n

i

n

if,

n

i

1n

i SC∆tqC1qq +−⋅+−⋅=+



55/58

55

Término fricción fondo

B. Discretización semi-implicita

qqCxzghgh

21hU

xthU f

i

b22 ⋅−∂

∂−=

+∂

∂+

∂

∂

qqCIhgρ

τf

b ⋅==7/3

2

f h

ngC =



n

i

1ni

nif,

ni

ni

n

i

1n

i qqCSC∆t

qq ++

−=+−

( )nin

i

n

i

n

i

n

if,

1n

i SC∆tqqC∆t1q +−⋅+=⋅⋅++

Siempre positivo no genera Inestabilidades



56/58

56

Término difusivo(laminar / turbulento)

A. Discretización explicita


B. Discretización semi-implicita||tot DDD += ⊥

ix, jx,D UUΓD −= ⊥⊥

Vx,Bx,D||

UUΓD||

−=



57/58

57

Contornos tipo pared


Condición dedeslizamiento libre

0y

ε0

y

k

0τ0V

ww

ww

=∂

∂=

∂

∂

==

Condición deno deslizamiento

2

2

ww

ww

y

k νε0k

0V0U

∂

∂==

==

malla de pared muy fina1y ≈+

malla de pared gruesa100y >>+



58/58

58

Discretización del fondo en escalones dealtura constante

Parametro εwd para definir el frente seco-mojado

Redefinición del fondo Condición de reflexión en el frente =0

Tratamiento del frente seco-mojado

jb,i Zwse <


Flujos normales = 0 en el frente

No se redefine el fondo

No se aplica condición de reflexión

jb,i Zwse >

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