グラフへ退化する細い領域上の Neumann Laplacian を定める ...h-kuroda/pdf/slide/20110928math.pdfグラフへ退化する細い領域上のNeumann Laplacian を定める

.

......

グラフへ退化する細い領域上の NeumannLaplacian を定める

quadratic form の Mosco 収束

黒田　紘敏

東北大学大学院理学研究科数学専攻

2011年度日本数学会秋季分科会実函数論分科会

2011年 9月 29日

supported by CREST「離散幾何学から提案する新物質創成と物性発現の解明」

黒田　紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 1 / 14

1.1 Introduction

カーボンナノチューブ

直径 10−9メートル程度の非常に微細な構造をもつ．

1991年に飯島澄男に発見された．半導体の素材や軌道エレベータのロープなどへの応用が期待されている．


1.1 Introduction

ごく細い領域をグラフで近似すると，ネットワークの性質は頂点でどのような条件を与えるかで決定される．

実際には厚みがあるので，制御するための条件はチューブの表面に与えることになる．チューブが限りなく細いときに，グラフでの結果との対応を考察する．


1.1 Introduction

ごく細い領域をグラフで近似すると，ネットワークの性質は頂点でどのような条件を与えるかで決定される．

実際には厚みがあるので，制御するための条件はチューブの表面に与えることになる．チューブが限りなく細いときに，グラフでの結果との対応を考察する．


1.2 Squeezing problem

Rn内の領域 Ωε (tube部分の半径が ε)とグラフ Gについて

Ωε −→ G (ε → +0)

という状況を考える．

Ωε G


1.2 Squeezing problem

Ωε 上のある（線形な）境界条件 Bを備えた Laplacian

−∆Ωε = −n∑

i=1

∂2

∂x2i

with Bu = 0 on ∂Ωε

に対して，ε → +0の極限について考察する．

ここで，境界条件 Bは例えば

Bu = u (Dirichlet ,−∆DΩε

), Bu =∂u

∂ν(Neumann,−∆N

Ωε), . . .

Ωε G


2.1 Quadratic forms associated with Neumann Laplacian on Ωε

Ωε

Ωε 上の重みつき測度 dµε を

dµε :=1

ωεn−1dx

とおく．ここで，ωεn−1は半径 εであるn − 1次元球の体積（チューブの部分の断面積）

次に汎関数 Qε : Hε = L2(Ωε, dµε) → [0,+∞] を

Qε[uε] = Qε[uε, uε] :=

∫Ωε

|∇uε|2 dµε if uε ∈ H1(Ωε, dµε)

+∞ otherwise

と定義すれば

Qε[uε, vε] = ⟨uε,−∆vε⟩Hε uε, vε ∈ D(∆NΩε

)



Ωε


dµε :=1

ωεn−1dx




∫Ωε


+∞ otherwise

と定義すれば


)



Ωε


dµε :=1

ωεn−1dx




∫Ωε


+∞ otherwise

と定義すれば


)


2.2 The measured GH-convergence [cf: ’03 Kuwae-Shioya]

チューブ状領域からグラフへの射影の族 fε : Ωε → Gをうまく定めると，Gromov-Hausdorffの意味で(

Ωε,O, dµε = dx/(ωεn−1)) −→ (G,O, ds) (ε → +0)

が成り立つ．これは大雑把に言うと，近い点は近い点に射影され

limε→+0

∫Ωε

ψ fε dµε =∫

Gψ ds

= N∑j=1

∫ l j

0ψ j(s) ds

が任意の ψ ∈ C0(G)に対して成り立つこと．

Ωε

O

G

O


2.3 The measured GH-convergence [cf: ’03 Kuwae-Shioya]

(X, p, m)で任意の有界集合が相対コンパクトな，基点つき可分距離空間 (X, p)と正値ラドン測度 mの組を表す．.Definition..

......

(Xε, pε, mε) → (X, p, m) in the measured GH− topologyとは

∀r > 0, ∃rε, (rε → r), ∃ηε, (ηε 0)

∃可測写像 fε : B(pε, rε) → B(p, r), ( fε(pε) = p) s.t.

B(p, r) ⊂ B( fε(B(pε, rε)), ηε)

|d( fε(x), fε(y)) − dε(x, y)| < ηε for x, y ∈ B(pε, rε)

limε→+0

∫B(pε,rε)

u fε dmε =

∫B(p,r)

u dm for u ∈ C0(B(p, r))

ここで，dε, dは Xε, X の距離で，B(A, r) = x ∈ X | d(x, A) < r


3.1 Mosco convergence of quadratic forms [cf: ’03 Kuwae-Shioya]

.Definition..

......

(Xε, mε)が (X, m)にGromov-Hausdorff収束するとする．また，Hε = L2(Xε, dmε)，H = L2(X, dm)とおく．閉準双線型形式 Φε : Hε → (−∞,+∞] と Φ : H → (−∞,+∞] に対して，Φε が ΦにMosco収束するとは，次の 2条件を満たすことである．

...1 Hε ∋ uε u ∈ H weakly =⇒ Φ(u) ≤ lim infε→+0

Φε(uε)

...2 ∀u ∈ H , ∃uε ∈ Hε s.t. uε → u strongly, Φ(u) = limε→+0

Φε(uε)

ここで，uε → u stronglyとは，今回の設定では

limε→+0

∫Xε

|uε − u fε|2 dmε = 0

ということ．（ fε : Xε → X は射影）黒田　紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 9 / 14

3.2 Quadratic form associated with Kirchhoff Laplacian on the graph

G

　汎関数 Q0 : L2(G) → [0,+∞] を

Q0[ψ] :=

N∑

j=1

∫ej

|ψ′j(s)|2 ds if ψ ∈ H1(G)

+∞ otherwise

とおく．ここで

H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j := ψ|ej ∈ H1(ej)

このとき

Q0 ←→ − d2

ds2with ψ ∈ C(G),

N∑j=1

dψ j

ds(0) = 0


3.2 Quadratic form associated with Kirchhoff Laplacian on the graph

G

　汎関数 Q0 : L2(G) → [0,+∞] を

Q0[ψ] :=

N∑

j=1

∫ej


+∞ otherwise

とおく．ここで

H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j := ψ|ej ∈ H1(ej)

このとき

Q0 ←→ − d2

ds2with ψ ∈ C(G),

N∑j=1

dψ j

ds(0) = 0


3.3 Main result

.Theorem..

......

Qε は Q0に ε → +0でMosco収束する. つまり，Ωε 上のNeumann Laplacianは G上の Kirchhoff Laplacianに収束する．

Qε[u] =∫Ωε


Q0[ψ] =N∑

j=1

∫ej


H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej)

Ωε

O

G

O


3.3 Main result

.Theorem..

......

Qε は Q0に ε → +0でMosco収束する. つまり，Ωε 上のNeumann Laplacianは G上の Kirchhoff Laplacianに収束する．

（補足）適切な V ∈ C0(Rn), V ≥ 0をとり, Vε(x) = (1/ε)V(x/ε)，定数 CV を V のmassとすると，新たに汎関数を

φε[uε] :=∫Ωε

|∇uε|2 dµε +∫Ωε

Vε|uε|2 dµε

φ[ψ] :=N∑

j=1

∫ej

|ψ′j(s)|2 ds+ CV |ψ(O)|2

とおけば，φε は φにMosco収束する．


3.4 Sketch of proof

supε>0Qε[uε] + ∥uε∥2

L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

D j,ε 上では

wεj(y) := uε|D j,ε(y1, εy′)

y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1

とおけば

supε>0∥wε

j∥H1 < +∞

∥∇y′wεj∥L2 → 0

⇒ ∃wεk

j→ ψ∞

j


3.4 Sketch of proof


L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

D j,ε 上では


y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1

とおけば

supε>0∥wε

j∥H1 < +∞

∥∇y′wεj∥L2 → 0

⇒ ∃wεk

j→ ψ∞

j


3.4 Sketch of proof


L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

D j,ε 上では


y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1

とおけば

supε>0∥wε

j∥H1 < +∞

∥∇y′wεj∥L2 → 0

⇒ ∃wεk

j→ ψ∞

j


3.4 Sketch of proof

ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

Jε 上では

vε(z) := uε|Jε(εz)

z ∈ J = ε−1Jε

とおけば

∥∇zvε∥L2 → 0

vε ≃ Cε : const

このとき，D j,ε と Jε の共通部分で

ψ∞j(0) = lim

k→∞Cεk

がわかるので，ψ∞ ∈ C(G)


3.4 Sketch of proof

ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

Jε 上では


z ∈ J = ε−1Jε

とおけば

∥∇zvε∥L2 → 0

vε ≃ Cε : const


ψ∞j(0) = lim

k→∞Cεk

がわかるので，ψ∞ ∈ C(G)


3.4 Sketch of proof

ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?

D1,εJε

D2,ε

D3,ε

O

Ωε

Jε 上では


z ∈ J = ε−1Jε

とおけば

∥∇zvε∥L2 → 0

vε ≃ Cε : const


ψ∞j(0) = lim

k→∞Cεk

がわかるので，ψ∞ ∈ C(G)黒田　紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 14 / 14

Documents

グラフへ退化する細い領域上の Neumann Laplacian を定める ...h-kuroda/pdf/slide/20110928math.pdfグラフへ退化する細い領域上のNeumann Laplacian を定める