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Fenomenologia de las InteraccionesFundamentales - 2013
High Energy Physics Theory Group
Universidad de Oviedo
HEP Theory
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Contents
1 Seccion cero: preliminares 51.1 Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Convenios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Introduccion 7
3 El lenguage natural de la Naturaleza: Teoria Cuantica de Campos 83.1 Mecanica cuantica en el gran canonico ↔ Teoria Cuantica de Campos . . . 93.2 Imagen de Schrodinger vs. imagen Heisenberg en mecanica cuantica . . . . 123.3 Campos en espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Las teorias de campos son teorias efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Elementos basicos de Teoria Cuantica de Campos 154.1 Calculando amplitudes de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 La moral del asunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Path integrals como formalismo natural en Teoria Cuantica de Campos . . 18
4.2.1 Path integrals en mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.2 Ordenados temporales y path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Fuentes y funciones generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Path integrals en Teoria Cuantica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Campos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Propagadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6.1 Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7 Campos en interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7.1 Interacciones relevantes y el IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.8 Calculando correladores para campos en interaccion . . . . . . . . . . . . . 33
4.8.1 λφ4 hasta O(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.9 La moral del asunto-parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.10 Ejemplo: interacciones nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Spin 12
405.1 Preludio historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 La ecuacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Soluciones de la ecuacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2.2 Spin 1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Masa cero y quiralidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 El campo de spin 1
2cuantizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1 Cuantizacion canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2
6 Interacciones electromagneticas: QED 496.1 Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.2 Reglas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.1 Patas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.2 El vertice de QED y el momento magnetico . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 QED en el SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3.1 e+ e− → µ+ µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3.2 Crossing y e− µ− → e− µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 El limite de masa 0 y quiralidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.1 Conservacion de helicidad a altas energias . . . . . . . . . . . . . . 63
7 La interaccion fuerte: QCD 647.1 Fotografiando protones: la estructura de los hadrones . . . . . . . . . . . . 64
7.1.1 Scattering inelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.1.2 Gluones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.2.1 QCD con varios flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2.2 La constante de acoplo de QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.3 Hadrones y el infrarojo de QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2.4 Simetria quiral en QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 La fuerza electrodebil 778.1 Teorias con vertices de 4 fermiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Teorias para campos gauge con masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3 Ruptura de simetria local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.4 El sector bosonico del SM: gauge+Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.5 La materia del SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.5.1 Interacciones en el SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.5.2 Violacion de CP y CKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5.3 Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A El grupo de Lorentz 90A.1 Rotaciones en 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.2 Rotaciones en 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.3 El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B Spinorologia 93B.1 El SM con spinores left . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C Simetrias y corrientes conservadas 96
D La particula libre en formalismo de path integral 97
E Tiempo euclideo, path integrals y mecanica estadistica 98
3
F Simetrias 100F.1 Simetrias globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100F.2 Simetrias locales (gauge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101F.3 Ruptura espontanea de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102F.4 Simetrias anomalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
G Reglas de Feynman para el SM con una generacion 103
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1 Seccion cero: preliminares
La teoria cuantica de campos es el pilar fundamental de nuestra descripcion de la Nat-uraleza. Juega un papel clave en fisica, desde fisica de la materia condensada, mecanicaestadistica hasta fisica de altas energias. En particular, es el lenguaje natural en el queformular una descripcion fundamental de la Naturaleza.
Ya que la descripcion a nivel mas basico de la Naturaleza ha de ser en terminos deuna teoria cuantica de campos, los libros de teoria cuantica de campos son una buenisimafuente de bibliografia.
1.1 Fuentes
Hay muchos y muy buenos libros. Una lista parcial (y no ordenada) es
• M.Peskin V.Schroeder, An introduction to Quantum Field Theory
Es uno de los libros mas utilizados, casi un libro standard.
• A.Zee, Quantum Field Theory in a nutshell
Es un libro escrito de manera bastante informal, muy facil de leer y con mucha fisica.Muy recomendable.
• M.Maggiore, A Modern Introduction to Quantum Field Theory
Un libro conciso pero que aun asi contiene los detalles tecnicos relevantes. Escritoademas con una perspectiva moderna.
• M Srednicki, Quantum Field Theory
Un libro muy muy completo, con todos los detalles tecnicos explicitos.
• T.Banks, Modern Quantum Field Theory
Un libro escrito con un enfoque moderno. Aunque quizas un poquito avanzado, sulectura es muy recomendable.
• C.Itzykson, B.Zuber, Quantum Field Theory
Uno de los clasicos. Aunque escrito en un lenguaje un poco obsoleto hoy en dia, esuna fuente fundamental para los desarrollos mas clasicos.
• S.Weinberg, The Quantum Theory of Fields
Los 3 volumenes de Weinberg lo contienen todo, si bien un poco dificil de leer.
• L.Alvarez-Gaume y M.A.Vazquez-Mozo, An invitation to Quantum Field Theory
Una introduccion a la teoria cuantica de campos sencilla y concisa sin muchos engor-ros tecnicos.
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• A.Altman, B.Simons, Condensed Matter Field Theory
Es un libro de fisica de la materia condensada. Su introduccion a la teoria cuantica decampos –especialmente no relativista– es muy util y muy fisica. Tambien se puedenencontrar trocitos en la pagina web de Ben Simons
http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~bds10/tp3.html
Ademas de estos libros existen muy buenas notas en internet. Son particularmenteutiles las notas de David Tong para los Mathematical Tripos de Cambridge. Se puedenencontrar online en
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf
Tambien hay libros mas enfocados a la descripcion de la fenomenologia
• F.Halzen and A. Martin, Quarks and Leptons
Libro muy sencillo y muy util.
• J.Donogue, E.Golowich, B.Holstein, Dynamics of the Standard Model
• H.Georgi, Weak interactions and modern particle theory
Por ultimo, en la pagina web del Particle Data Group se puede saber todo lo mas intimosobre las particulas elementales
• http://pdg.lbl.gov
1.2 Convenios
Vamos a asumir la metrica de Minkowski en signatura mostly minus, es decir ηµν =diag(+, −, −, −). Ademas usaremos unidades tales que ~ = c = 1.
Haremos transformadas de Fourier como
f(x) =
∫ddp
(2 π)df(p) ei p·x f(p) =
∫ddx f(x) e−i p·x (1)
La δ de Dirac es
δ(x) =
∫ddp
(2 π)dei p·x (2)
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2 Introduccion
Todo el mundo sabe que la materia esta hecha de atomos. Los atomos son electricamenteneutros: tienen una nube exterior de electrones con carga electromagnetica negativa com-pensada por la carga positiva del nucleo. Que esto es asi lo sabemos en particular graciasa los experimentos de Rutherford: al bombardear una lamina de metal con particulas α–que son particulas mucho mas masivas que los electrones con carga positiva– la mayoriapasan de largo. Sin emabrgo, de cuando en cuando, las particulas α son rebotadas haciaatras, como si chocasen con algo muy masivo, muy localizado y de carga positiva: el nucleoatomico.
El atomo se mantiene unido debido a interacciones electromagneticas (su nombre tec-nico es QED, de Quantum ElectroDynamics, Electrodinamica Cuantica). La energia nece-saria para quitarle un electron a un atomo –energia de ionizacion– es del ordenden de los10 eV –13.6 eV para el H–. Eso implica que el tamagno tipico de un atomo son1 unos10−9m como estimacion grosera (en realidad es mas bien del orden de 10−10m).
Mientras que el tamagno tipico del atomo es del orden de 10−10m, el tamagno de unnucleo es del orden de 10−15m . Sin embargo, el nucleo atomico a su vez esta formado porprotones y neutrones. Dada la escala de longitud caracteristica, la energia tipica es delorden de MeV , que es mucho mayor que la energia tipica de ligadura electromagnetica.Esto, unido al hecho de que los nucleones tienen carga positiva o neutra –y todo el mundosabe que las cargas iguales se repelen electromagneticamente– implica la existencia deuna nueva fuerza mucho mas fuerte que la interaccion electromagnetica que mantieneunidos los nucelos: es la interaccion fuerte (su nombre tecnico es QCD, de QuantumChromoDynamics, Cromodinamica Cuantica). Experimentos con protones demostraronde hecho que estos no son particulas elementales, sino que estan formados por quarksinteraccionando a traves de la interaccion fuerte. Si bien los nucleones son neutros bajoesta fuerza, las interacciones residuales son las que mantienen los nucleos unidos.
Por otra parte, es conocido desde principios del siglo pasado que los nucleos cambian sunaturaleza al cambiar un proton en un neutron emitiendo radiacion β: es la desintegracionnuclear β. La responsable de dicho decaimiento es la interaccion debil.
Ademas de estas fuerzas que actuan entre particulas microscopicas, existe la fuerza degravedad. Sin embargo su intensidad es mucho menor que las otras tres. Por ejemplo, laatraccion gravitatoria entre dos electrones dividida por su repulsion electrostatica es delorden de 10−80. Asi pues, en presencia de cualquier otra carga la interaccion gravitatoriaes despreciable. El origen de esta enorme diferencia de escalas es un misterio. Sin em-bargo, a escalas astronomicas donde las galaxias, estrellas etc. son neutras, la interacciongravitatoria es la unica interaccion, y por lo tanto crucial.
Las fuerzas electromagnetica, debil y fuerte rigen las interacciones de las particulas quecreemos elementales: los leptones y los quarks. Nuestra tarea es estudiar esta estructura
1Supongamos que queremos probar un atomo con luz a una cierta frecuencia (i.e. energia). Del principiode incertidumbre de Heisenberg ∆p∆x ∼ ~. Multiplicando por c, y como para una particula sin masaE = p c, tenemos ∆E∆x ∼ ~ c ∼ 10−7 eV m. Esa energia ha de ser basicamente esos ∼ 10 eV , asi puespodemos despejar de aca ∆x para obtener una idea del tamagno tipico de un atomo.
7
Figure 1: Los ingredientes del SM
de particulas y sus interacciones. La teoria que describe esto es el Modelo Estandard(SM). Sus ingredientes estan recogidos en (1).
3 El lenguage natural de la Naturaleza: Teoria Cuan-
tica de Campos
Es un hecho que la Naturaleza sigue las leyes de la mecanica cuantica. Esto es: unaparticula esta descrita por una funcion de onda que vive en un espacio de Hilbert tal quesu cuadrado representa la amplitud de probabilidad de encontrarla en un cierto punto.La evolucion temporal del sistema –de la funcion de onda, ya que estamos implicitamentediscutiendo la imagen de Schrodinger– la dicta la ecuacion de Schrodinger
8
H |ψ(t)〉 = i ∂t |ψ(t)〉 (3)
donde H es el hamiltoniano del sistema. Ya que la probabilidad total ha de ser 1 encualquier instante, H ha de ser un operador hermitico para asegurar la unitariedad.
En nuestra discusion, completamente general, debemos especificar que hacer cuandonuestro sistema contiene mas de una particula. Es sabido que esencialmente hay dos tiposde particulas: bosones y fermiones. La diferencia es que la funcion de onda de un sistemade bosones es simetrica bajo el intercambio de las particulas dos a dos, mientras que lafuncion de onda de los fermiones es antisimetrica bajo el intercambio de particulas dos ados. COn esta informacion podemos en principio describir basicamente cualquier sistema.
En esta discusion general no hemos asumido ninguna caracteristica en particular delas particulas. Asi, por ejemplo, podriamos pensar que estamos describiendo un gas deelectrones en un metal. Estos electrones son basicamente libres, asi que para cada unoH = P 2/2m. La funcion de onda total sera la antisimetrizacion de las funciones de los Nelectrones en el gas. En la practica sin embargo esto es un engorro, ya que N es un numeroenorme. De hecho, de modo efectivo N es infinito. En tal caso esta claro que tratar elsistema como un sistema sin numero fijo de particulas es mas conveniente, es decir, es massencillo tratar el sistema en el gran canonico.
En este ejemplo el uso del colectivo gran canonico es un poco circunstancial, en tantoque depende del sistema en particular y de que tiene muchas particulas. Sin embargo, hayuna situacion en la que el uso del gran canonico nos viene impuesto por la cinematica: unsistema en el que altas energias –velocidades– esten involucradas se describira por leyesrelativistas. Como, a grosso modo, E = mc2 el numero de particulas no estara fijo. Asipues, en los casos en los que tratemos con particulas a muy alta energia la descripcioncorrecta sera en terminos de mecanica cuantica sin un numero fijo de particulas, ya queestas se pueden crear y destruir –algo de alguna manera implicito en E = mc2–.
Por otra parte, como sabemos que a nivel fundamental la Naturaleza sigue –insistamosen que nos estamos olvidando de la interaccion gravitatoria– las leyes de la RelatividadEspecial, resulta que cualquier teoria fundamental que imaginemos debe ser una mecanicacuantica en el gran canonico, es decir, sin numero fijo de particulas.
3.1 Mecanica cuantica en el gran canonico ↔ Teoria Cuantica deCampos
En mecanica cuantica un sistema se describe por un estado |ψ〉 que es un vector en unespacio de Hilbert H . En la imagen de Schrodinger dichos vectores dependen del tiempo,asi que |ψ〉 = |ψ(t)〉. La evolucion temporal la dicta la ecuacion de Schrodinger
H |ψ〉 = i ∂t |ψ〉 (4)
En general el sistema contendra N particulas, asi que en general |ψ〉 es una function dee.g. sus N posiciones ~x1, · · · , ~xN. Ademas, si las particulas son identicas, es necesarioespecificar que ocurre bajo el intercambio de dos particulas: la funcion de onda ha de ser
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simetrica para bosones y antisimetrica para fermiones. Dejando de lado por un momentolas propiedades de simetria de la funcion de onda, en el limite en el que la interaccionentre las particulas es muy pequegna, el espacio de Hilbert total se puede escribir comoHN = H1 ⊗ · · · ⊗HN , es decir, como el producto tensorial de los espacios de Hilbert decada particula por separado. El estado |ψ〉 se escribe por lo tanto
|ψ〉 = |ψ1〉 ⊗ · · · ⊗ |ψN〉 (5)
Una notacion mas util es etiquetar cada particula por sus numeros cuanticos: energia,spin. . . . Llamemoslos en general En con n = 1, · · · , N . Es decir, E1 son los numeroscuanticos de la particula 1, E2 los de la particula 2 y asi sucesivamente. En esta notacionel estado es
|ψ〉 = |E1〉 ⊗ · · · ⊗ |EN〉 (6)
En esta funcion de onda por supuesto puede ocurrir que los numeros cuanticos de laparticula n y los de la m sean identicos. De hecho, otra manera de etiquetar el sistemaes contando cuantas particulas tienen ciertos numeros cuanticos. Siendo mas concretos,supongamos un sistema donde solo hay un numero cuantico discreto E. Supongamos quelos posibles valores de E son 1, 2, 3 · · · . Si hay N particulas en el sistema, habra n1 en elestado E1 con E = 1, n2 en el estado E2 con n = 2 y asi sucesivamente. Escogiendo unorden para los posibles estados, la funcion de onda se escribe simplemente como
|ψ〉 = |n1, · · · , nN〉∑
ni = N (7)
Por supuesto, en realidad debemos imponer las pertinentes propiedades de simetria en lafuncion de onda, que en esta base –que se llama base de numeros de ocupacion– se traducenen que ni puede ser 0 o 1 para fermiones y cualquier entero positivo para bosones. Estasfunciones de onda viven en un espacio que vamos a llamar FN .
En muchas situaciones es conveniente no fijar el numero de particulas. Por ejemplo, siestamos tratando electrones en metales estos se comportan como un gas con un numero departiculas enorme, de manera que es conveniente tratarlos como si el numero de electronesno fuese fijo –mas tecnicamente en el gran canonico–. El paso crucial entonces es que paraconsiderar dichos sistemas es conveniente considerar el estado del sistema en el espacio deFock 2
F =∞⊕
N=0
FN (8)
Es importante darse cuenta de que en la suma F0 –i.e. no particulas– tambien esta incluidoen la suma. Este estado es un poco especial. Se llama vacio y lo denotaremos como |0〉.
En este espacio es natural construir unos operadores creacion/aniquilacion que nosmueven entre FN y FM :
2Victor Fock fue el fisico ruso que lo introdujo.
10
aniquilacion aEn : FN → FN−1
creacion a†En : FN → FN+1
(9)
Estos operadores actuan como
aEn |n1, · · · , nn, · · · 〉 = aEn |n1, · · · , nn − 1, · · · 〉 (10)
(11)
a†En |n1, · · · , nn, · · · 〉 = a†En |n1, · · · , nn + 1, · · · 〉 (12)
Es decir, aEn toma un estado con N particulas y lo lleva a un estado con N − 1 particulasdestruyendo una particula en el estado En (y el converso para a†En . Por supuesto, aEnaniquila el vacio, es decir
aEn |0〉 = 0 (13)
Estos operadores satisfacen que3
bosones [aλ, a†γ] = (2 π)3 δ(λ− γ) (14)
(15)
fermiones aλ, a†γ = (2π)3 δ(λ− γ) (16)
Estas relaciones de conmutacion aseguran que los estados fermionicos tengan 0 o 1 partic-ulas por estado y arbitrarias para estados bosonicos.
Supongamos ahora el sistema mas sencillo que podemos imaginar: un conjunto debosones libres. En este caso los estados estan etiquetados simplemente por el momento~p de la particula. 4 Las funciones de onda para cada boson son simplemente ondasplanas e−i ~p·~x (omitamos por sencillez el factor de normalizacion). Como cuando creamosuna particula esta viene con la funcion de onda e−i ~p·~x es natural considerar la cantidada~p e
i~p·~x + a†~p e−i~p·~x. Como el sistema contiene todos los posibles estados, es natural sumar
dichas cantidades para todos los estados, construyendo asi el operador (devolvamos ahoratodas las normalizaciones correctamente)
φ(~x) =
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
[a~p e
i~p·~x + a†~p e−i~p·~x
]ω2~p = ~p2 +m2 (17)
Esta claro –lo veremos explicitamente mas abajo– que si devolvemos este operador a fun-cion esto simplemente describe un campo clasico, de manera que los modos de Fourier secorresponden con las particulas.
3El (2π)3 es debido a como definimos la funcion δ.4Si el sistema esta en R3 el momento ~p es continuo, pero mas alla de tecnicalidades, es como si los En
se corresponden con los ~p.
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La leccion que se aprende aqui es que un sistema de particulas en donde el numerode particulas no esta fijo necesariamente se describe en terminos de campos cuanticos.Alternativamente un campo cuantico describe un sistema cuantico de particulas donde elnumero no esta fijo. Notese que esto es completamente general: solo hemos asumido unsistema sin un numero fijo de particulas libres. En particular, la relacion de dispersion ω~ppuede ser cualquiera. En el caso particular en el que estemos interesados en una teoria quedescriba particulas moviendose a velocidades comparables a la de la luz, ω~p = ~p2 + m2.Evidentemente este sera el caso si queremos estudiar los constituyentes mas fundamentales.
Es evidente ahora por que un sistema relativista cuantico debe describirse por un campocuantico: la ecuacion de Einstein E = mc2 implica que materia y energia son intercam-biables, esto es, una teoria relativista debe permitir crear y destruir particulas (cambiarmasa por energia). Por lo tanto es natural que un sistema relativista cuantico se describapor una teoria cuantica de campos.
3.2 Imagen de Schrodinger vs. imagen Heisenberg en mecanicacuantica
En la representacion de Schrodinger el estado de un sistema se describe por un vector en unespacio de Hilbert |ψ〉 que depende del tiempo, y cuya evolucion temporal esta governadapor la ecuacion de Schrodinger
H |ψ〉 = i ∂t |ψ〉 (18)
Evidentemente aca el estado del sistema evoluciona con el tiempo, asi que en realidad|ψ〉 = |ψ(t)〉. Sin embargo los operadores –entre ellos el hamiltoniano H– se asumenindependientes del tiempo. Esta es la imagen de Schrodinger.
Supongamos un estado en un instante t0 especificado por |ψ(t0)〉. La pregunta escomo evoluciona dicho estado en el tiempo. Tal evolucion ha de ser implementada por unoperador evolucion U(t, t0), tal que
|ψ(t)〉 = U(t, t0) |ψ(t0)〉 (19)
Evidentemente la evolucion ha de ser tal que la norma del estado se conserve
〈ψ(t)|ψ(t)〉 = 〈ψ(t0)|U †(t, t0) U(t, t0) |ψ(t0)〉 = 〈ψ(t0)|ψ(t0)〉 ⇐⇒ U(t, t0)† U(t, t0) = l1(20)
Enchufando esto en la ecuacion de Schrodinger
H U(t, t0)|ψ(t0)〉 = i ∂t U(t, t0) |ψ(t0)〉 (21)
Por lo tanto el operador evolucion satisface la ecuacion de operadores
H U(t, t0) = i ∂t U(t, t0) (22)
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Por lo tanto, si conocemos el operador de evolucion a traves de su ecuacion de Schrodingerpodemos simplemente considerar nuestros estados a un tiempo fijo dado t0 como indepen-dientes del tiempo y pasar toda la evolucion temporal a los operadores. Por ejemplo, sitenemos un operador O (por ejemplo momento angular, o spin o cualquier otro operador),el elemento de matriz en la imagen de Schrodinger se escribe como
〈ψ(t)| O |ψ(t)〉 = 〈ψ(t0)| U †(t, t0) O U(t, t0) |ψ(t0)〉 (23)
Esto sugiere que si consideramos los estados como independientes del tiempo, los operadorescontienen la dependencia temporal. Esto se conoce como imagen de Heisenberg. En vistade (23), un operador en la imagen de Schrodinger OS se escribe como un operador en laimagen de Heisenberg OH como
OH = U †(t, t0) OS U(t, t0) ⇐⇒ OS = U(t, t0) OH U †(t, t0) (24)
Volviendo a la ecuacion que especifica el operador evolucion, esta es una ecuaciondiferencial de primer orden, asi que necesita una condicion de contorno. Dicha condicionde contorno es obvia
U(t0, t0) = l1 (25)
Por lo tanto la solucion de la ecuacion diferencial es sencilla
U(t, t0) = e−i H (t−t0) (26)
3.3 Campos en espacio-tiempo
Apliquemos esto a nuestro operador campo. Para ello veamos que ocurre con los operadorescreacion/desctruccion al pasarlos a la imagen de Heisenberg. Usando que U(t, t0) = e−i H t
(escojamos coordenadas tal que t0 = 0), estos e convierten en
ei H t a~p e−i H t = e−i ω~p a~p ei H t a†~p e
−i H t = ei ω~p a†~p (27)
Usando esto, podemos pasarle la dependencia temporal al campo, produciendo el op-erador campo en la imagen de Heisenberg φ(~x, t) = U †(t, t0) φ(~x) U(t, t0). Explicitamente
φ(~x, t) =
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
[ap e
−i p·x + a†p ei p·x]
(28)
Donde la contraccion p ·x esta hecha con la metrica de Minkowski, es decir, p ·x = ω~p t−~p,que es evidentemente invariante bajo transformaciones de Lorentz. Como todo viene enterminos del 4-vector p = (ω~p, ~p), hemos simplificado la notacion y etiquetando a losoperadores creacion/aniquilacion por p.
A la vista de la forma del campo en imagen de Heisenberg, dado que ω2~p = ~p2 + m2,
esta claro que satisface la ecuacion de Klein-Gordon (x = (t, ~x))
13
(∂2 +m2
)φ(x) = 0 ⇐⇒
(∂2
0 − ~∂2 +m2)φ(x) = 0 (29)
Vemos de nuevo como recuperamos la cuantizacion canonica de un campo escalar quesatisface la ecuacion de Klein-Gordon. Dicha ecuacion se deriva de un lagrangiano que es
L =1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 (30)
Es importante recalcar que nuestra expresion para el campo es bajo la asuncion de quelas particulas no interactuan. Esto es explicito por ejemplo en el que el espacio sobre elque actuan los operadores creaccion/destruccion esta compuesto de productos tensorialesde espacios de Hilbert de una sola particula. Evidentemente en el mundo real las particulasinteractuan. Comencemos por suponer que la interaccion es debil. En ese caso, esta aprox-imacion libre es correcta y podemos incorporar poco a poco la interaccion asumiendolacomo una perturbacion pequegna. Evidentemente, una vez el efecto de la interaccion estatenido en cuenta, la expresion para el campo cuantico ya no sera la sencilla expansion enmodos que vimos.
3.3.1 Causalidad
En una teoria relativista debemos preocuparnos de que las segnales no se propaguen masrapido que la luz. En teoria cuantica de campos esto se manifiesta en que el conmutadorde campo en dos puntos diferentes se anula si estos dos puntos no estan uno dentro delcono de luz del otro. Esto es tanto como decir que las perturbaciones solo afectan a otrospuntos dentro del cono de luz de uno dado. Aunque aqui no lo vamos a hacer explicito, sepuede ver que en efecto esto es asi para el campo escalar.
Es importante recalcar que el uso de conmutadores esta intimamente ligado a que elcampo es de spin entero –en particular escalar–. Veremos que si el campo es de spinsemientero necesitaremos cambiar [] → , lo que lleva incorporado el principio de exclu-sion de Pauli. Esa es la conexion entre spin y estadistica conocida como teorema despin/estadistica.
3.4 Las teorias de campos son teorias efectivas
Hemos particularizado nuestra discusion para campos escalares reales, pero evidentementela podriamos haber generalizado a campos complejos, fermionicos y campos gauge. Sigamossin embargo con nuestro ejemplo del campo escalar real. Dicho ejemplo podemos de hechopensarlo como una situacion fisica de verdad: el π0 es una particula escalar sin cargaelectrica que se describe por un campo escalar real. La teoria que hemos analizado describepues π0’s libres, y en lo que resta vamos a desarrollar la teoria del π0 y sus interacciones. 5
5En el mundo real hay otros dos compagneros cargados π±, ademas de una torre enorme de otrasparticulas. Consideremos de momento el subsector que solo contiene π0.
14
Como es sabido, el π0 no es fundamental en el sentido de que esta hecho de dos quarks.Sin embargo es obvio que a bajas energias dichos quarks son irrelevantes: el π0 se vecomo una particula fundamental. Es mas, a bajas energias, las interacciones del π0 sondespreciables, con lo que una buena aproximacion es la teoria libre de arriba. Podemosentonces agnadirle interaccion, exactamente tal y como vamos a hacer. Sin embargo lateoria que obtendremos no sera valida a energias arbitrarias. Es obvio que cuando laenergia crece, la descripcion correcta no es en terminos de π0, sino en terminos de quarksy gluones libres, es decir, la descripcion correcta sera QCD.6 Por lo tanto, debemos pensaren la teoria que describe el π0 como en una teoria efectiva, valida en un cierto rangode energias. Esta es la imagen moderna de las teorias de campos, basada en los trabajosseminales de Ken Wilson, que situa todas las teorias de campos como teorias efectivas:a cada escala de energia los grados de libertad relevantes seran distintos, y por lo tantola teoria que describe de modo efectivo la fisica –de ahi el nombre de teoria efectiva– seradiferente.
Para entenderlo mejor, consideremos una analogia sugerida por David Gross: consid-eremos un fluido, por ejemplo el agua del mar. Si uno considera un objeto muy grande–e.g. un barco–, la fisica relevante es la de las olas moviendolo, todo ello descrito por lasecuaciones de Navier-Stokes. Con especificar unos pocos parametros –densidad, numerode Reynolds–. Al ir considerando objetos mas y mas pequegnos –longitud∼ 1/energia–empieza a ser mas relevante especificar mas y mas cosas –si es agua de mar, su tensionsuperficial. . . –. Si seguimos reduciendo el tamagno de la “sonda” de hecho en cierto mo-mento nos encontraremos con que la descripcion en terminos de fluido en si misma esincorrecta. . . para cuando estemos usando un objeto del tamagno de la molecula de aguaesta claro que la descripcion en terminos de un continuo gobernado por las ecuaciones deNavier-Stokes no tiene sentido! Esto es exactamente igual al ejemplo analogo del π0 yQCD.
En lo sucesivo deberemos pensar que estamos cosntruyendo una teoria de campos quedescribe los grados de libertad efectivos relevantes para la descripcion a esa energia. Porejemplo, nuestro campo escalar real sera un π0 y asumimos que estamos midiendo a escalasmucho mas pequegnas que ΛQCD.
4 Elementos basicos de Teoria Cuantica de Campos
En el mundo real las particulas –y por ende los campos cuanticos que las describen–interaccionan. La manifestacion mas directa de esto es que dos particulas chocan y sedesvian cuando se encuentran. Es por esto que uno de los intereses primarios es calcularamplitudes de scattering entre particulas. Supongamos que en un tiempo Ti tenemos un
6QCD es el acronimo en ingles de CromoDinamica Cuantica (Quantum ChromoDynamics). Es la teoriaque describe la fuerza nuclear fuerte. Es como el electromagnetismo pero con mas fotones –que se llamande hecho gluones–. Los gluones median la interaccion entre quarks. QCD se hace fuertemente acoplada abajas energias. Por debajo de una energia que se denota como ΛQCD los quarks y los gluones solo existencomo estados ligados neutros: π0, π±, proton, neutron. . .
15
cierto numero m de particulas en un cierto estado etiquetado por los momentos ~ki de cadaparticula (y sus espines etc.). La pregunta es cual es la probablidad de que a un tiempofinal Tf el estado contenga n particulas en otro determinado estado etiquetado por loscorrespondientes ~pi. Es decir, debemos calcular
〈~p1, · · · , ~pn; Tf |~k1, · · · , ~km; Ti〉 (31)
Implicitamente asumimos que Ti → −∞ y Tf → ∞, de manera que en estos estadosiniciales y finales las particulas no interactuan –por ejemplo porque todas las particulasacaban sufientemente separadas como para que sus interacciones sean despreciables–. Aestos estados que contienen basicamente particulas libres se les llama estados asintoticos. Alestado inicial |~k1, · · · , ~km; Ti〉 con Ti → −∞ se le llama estado in y al final |~p1, · · · , ~pn; Ti〉con Tf →∞ se le llama estado out. Asi pues, llamando en general al estado in como |in〉y al out como |out〉 moralmente queremos calcular
limti→−∞, tf→∞
〈out| U(tin, tout) |in〉 (32)
Donde U es el correspondiente operador de evolucion. Esto usualmente se denota asum-iendo la existencia de un operador unitario S que implementa esta transicion como
〈out| S |in〉 (33)
Al operador S se le llama matriz S. Normalmente se separa de la matriz S el caso trivialde no interaccion. Es decir, se escribe S = l1 + i T , donde T mide la probabilidad detransicion entre estados diferentes. Como solemos estar interesados en estados inicial yfinal diferentes, en realidad normalmente calculamos 〈out| T |in〉
En un experimento de verdad se hacen chocar haces de particulas y se observa el resul-tado. Una manera de comparar dichos resultados de manera independiente del tamagnodel haz de particulas, el numero de particulas u otros detalles dependientes del experimentoen particular es calculando la seccion eficaz (cross section en ingles). A groso modo, siun haz de particulas con NA particulas choca con un haz de NB particulas en una super-ficie A, algunas particulas chocaran mientras que otras ni se veran entre si. El numero descatterings # sera
#scatterings = σNANB
A(34)
donde σ es la cantidad que controla la probablidad intrinseca al tipo de particulas deinteraccion (es decir, σ lleva la informacion de como es la interaccion entre las particulasd A y las de B). Esta cantidad intrinseca al tipo de particulas y su dinamica es la seccioneficaz.
Otra cantidad con interpretacion fisica muy directa es la probabilidad de desintegracion(decay rate en ingles). Si tenemos NA particulas no estable, que se desintegran en ciertasotras particulas, podemos contar el numero de desintegraciones por unidad de tiempo.
16
Dividiendo por el numero de particulas tenemos una medida intrinseca de la probabilidadde desintegracion. Es decir
#desintegraciones = ΓNA (35)
donde Γ es el decay rate.Aunque no vamos a desarrollar toda la teoria de scattering, la cuestion es que tanto σ
como Γ se pueden definir de modo diferencial, es decir, contando decaimientos o scatteringspor angulo solido. En realidad en un experimento de verdad nunca hay un estado puro nise mide un estado puro. Asi pues en realidad lo que tenemos por ejemplo en una colisiones que los haces de particulas tienen una distribucion de momentos centrada en un ciertovalor. Por el mismo motivo, lo que medimos al final tiene tambien una cierta distribucionde momentos. Es por eso por lo que al escribir las secciones eficaces/probabilidades dedesintegracion estas vienen en terminos del elemento de matriz S correspondiente a latransicion entre el estado in y el out correspondientes multiplicado por el numero deestados out que tenemos. Por lo tanto, en ambos casos se puede dar una expresion queesquematicamente es de la forma
dσ = |Mi→f | dΦ dΓ = |MA→f | dΦ (36)
Donde dΦ es el elemento de volumen en espacio de fases, es decir, la densidad de esta-dos correspondiente, mientras que |Mi→f es el elemento de matriz correspondiente a latransicion. Si bien dΦ es una cantidad puramente cinematica, Mi→f es una cantidad quecontiene informacion sobre la teoria en si. Esto es lo que mas nos urge calcular, lo real-mente no trivial y lo que se persigue estudiar en cualquier experimento. Esta claro queeste elemento de matriz es
Mi→f = 〈out| S |in〉 = 〈out| T |in〉 = 〈~p1, · · · , ~pn; Tf |~k1, · · · , ~km; Ti〉 (37)
4.1 Calculando amplitudes de scattering
Resulta que se puede dar una expresion generica para dichas amplitudes de probabilidad.7.Para ello necesitamos introducir el ordenado temporal de campos
T[φ(x) φ(y)
]= θ(x0 − y0) φ(x) φ(y) + θ(y0 − x0) φ(y) φ(x) (38)
Con esto las amplitudes de probabilidad relevantes se pueden escribir como
( m∏
i=1
i√Z
k2i −m2
)( n∏
j=1
i√Z
p2j −m2
)in〈~p1 · · · ~pn|~k1 · · ·~km〉out = (39)
m∏
i=1
∫d4xi e
−i ki ·xin∏
j=1
∫d4yj e
i pj ·yj 〈T[φ(x1) · · · φ(xm) φ(y1) · · · φ(yn)
]〉
7Aqui no la vamos a derivar. Las demostraciones se pueden consultar en la bibliografia.
17
A esta expresion, que permite escribir amplitudes de probabilidad de transicion entreestados en terminos de correladores, se le llama formula de reducion de LSZ, en honor asus descubridores Lehmann, Symanzik y Zimmermann.
En esta expresion los campos que entran son los campos de Heisenberg –i.e. en espacio-tiempo– “exactos”. Cuando las particulas estan muy separadas, como vimos, tienden a loscampos libres que conocemos, pero para una situacion general seran cosas complicadisimascuya expresion no sabemos. En cualquier caso, la virtud de LSZ es permitir reducir elcalculo de scatterings a calcular las funciones
〈T[φ(x1) · · · φ(xn)
]〉 (40)
Dichas funciones a n puntos se llaman funciones de Green, o correladores –o simplementefunciones a n puntos–. Dichas funciones han de ser calculadas off shell, es decir, sin asumirque los campos φ satisfacen la ecuacion de movimiento libre. Los prefactores de k2
i −m2
y p2i − m2 sin embargo si son explicitamente on-shell –porque ki, pi son momentos de
particulas que entran y salen, es decir, particulas fisicas–. Ya que estos factores son 0–precisamente por ser particulas fisicas satisfacen que e.g. p2
i = m2–, LSZ nos instruye aseleccionar los polos de las funciones a n puntos que cancelen dichos ceros.
4.1.1 La moral del asunto
Lo relevante de la discusion de arriba es que en teoria cuantica de campos las cantidadescentrales son las funciones de correlacion a n puntos, que son valores de expectacion deordenados temporales de campos de Heisenberg –i.e. en espacio-tiempo–
〈T[φ(x1) · · · φ(xn)
]〉 (41)
Conocer estas funciones de manera exacta para cualquier n equivale a resolver la teoria, esdecir, a poder calcular cualquier observable de manera exacta. Es por ello que estas can-tidades son elementos absolutamente centrales en teoria cuantica de campos. Calcularloses el objetivo central.
4.2 Path integrals como formalismo natural en Teoria Cuanticade Campos
Hasta ahora una fuente comun de engorro es el hecho de que, pese a estar especialmenteinteresados en teorias invariantes Lorentz, hemos estado usando un formalismo manifi-estamente no covariante, basado en el formalismo hamiltoniano donde t juega un papeldistinguido. Para “poner remedio” a esto debemos usar el formalismo de la integral decaminos (path integral en ingles) introducido por Feynman. La ventaja agnadida es quelos ordenados temporales apareceran de manera natural, de manera que el path integralesta adaptado como un guante a calcular las funciones de correlacion que, como vimosantes, son las cantidades centrales en teoria cuantica de campos. Sin embargo, antes
18
de aplicarlo a la teoria cuantica de campos, veamoslo en el contexto mas familiar de lamecanica cuantica
4.2.1 Path integrals en mecanica cuantica
Es natural preguntarse por la propagacion de las particulas en mecanica cuantica. Enmecanica clasica una particula se propaga entre qI y qF siguiendo una trayectoria. Esoes una funcion q(t) tal que q(tI) = qI y q(tF ) = qF . En mecanica cuantica, debido aque posicion y momento no conmutan, este concepto no existe. Esto de hecho es lo queel experimento de la doble rendija pone de manifiesto: una particula no pasa por unarendija o por la otra, sino que la probabilidad de deteccion es la suma de las amplitudesde probabilidad para la particula pasando por cada uno de los dos agujeros.
Tratemos de hacer esto explicito. Consideremos la propagacion de una particula libreentre qI y qF en un tiempo T = tF − tI . La amplitud de probabilidad asociada a dichoproceso es
〈qF | e−i H T |qI〉 (42)
Donde e−i H T no es mas que el operador evolucion. Notese que estamos en la representacionde Schrodinger, donde los estados dependen del tiempo (de hecho por ejemplo |qI〉 =|q(tI)〉!). Dividamos ahora el intervalo T en N subintervalos de tamagno δt = T
N. Entonces
e−i H T = e−i H δt · · · e−i H δt. Tras cada δt podemos insertar una identidad escrita como
∫dqi |qi〉 〈qi| (43)
donde el subindice i significa “tras i intervalos δt”. Explicitamente
〈qF | e−i H T |qI〉 = 〈qF | e−i H δt · · · e−i H δt |qI〉 (44)
=N−1∏
i=1
∫dqi 〈qF | e−i H δt|qN−1〉 〈qN−1| e−iH δt |qN−2〉 · · · 〈q1| e−i H δt |qI〉
Una vez mas, recordemos que |qi〉 = q(ti)〉.Si llamamos qI = q0 y qF = qN esto es
〈qF | e−i H T |qI〉 =N−1∏
i=0
∫dqi 〈qi+1| e−i H δt |qi〉 (45)
Recordemos que estamos estudiando una particula libre. Como el hamiltoniano es sencil-
lamente P 2
2m, esta claro que es mas sencillo trabajar en espacio de momentos. Insertemos
una identidad en espacio de momentos. Para cada ti tenemos
∫dpi
(2 π)|pi〉 〈pi| = 1 (46)
19
Para ver que esto es correcto, consideremos 〈q′i|qi〉 = δ(q′i − qi). Como 〈pi | qi〉 = e−i pi qi ,eso es
∫dpi
(2 π)〈q′i|pi〉 〈pi|qi〉 =
∫dpi
(2 π)ei pi (q′i−qi) = δ(q′i − qi) (47)
Es decir, la “asignacion” de (2π)’s es correcta. Notese ademas que
〈p′i|pi〉 =
∫dqi 〈p′i|qi〉 〈qi|pi〉 =
∫dqi e
i qi (pi−p′i) = (2π) δ(p′i − pi) (48)
Volviendo ahora a nuestro calculo, insertemos 1 escrito en espacio de momentos demanera que
〈qF | e−i H T |qI〉 =N−1∏
i=0
∫dqi
∫dpi+1
(2 π)
∫dpi
(2 π)〈qi+1|pi+1〉 〈pi+1| e−i H δt |pi〉 〈pi|qi〉 (49)
Usando que 〈pi | qi〉 = e−i pi qi , esto es
N−1∏
i=0
∫dqi
∫dpi+1
(2 π)
∫dpi
(2 π)ei pi+1 qi+1 〈pi+1| e−i H δt |pi〉 e−i pi qi (50)
Por otra parte, como |pi〉 son autoestados del hamiltoniano e−i H δt |pi〉 = e−ip2i2m
δt |pi〉, asique
〈pi+1| e−i H δt |pi〉 = (2π) e−ip2i2m
δt δ(pi+1 − pi) (51)
Asi que en nuestro calculo
N−1∏
i=0
∫dqi
∫dpi+1
(2 π)
∫dpi
(2π)ei pi+1 qi+1 e−i pi qi (2 π) e−i
p2i2m
δt δ(pi+1 − pi) (52)
Integrando en dpi+1 queda
N−1∏
i=0
∫dqi
∫dpi
(2 π)ei pi qi+1 e−i pi qi e−i
p2i2m
δt (53)
Esto es
N−1∏
i=0
∫dqi
∫dpi
(2 π)e−i(
p2i2m
+pi(qi+1−qi)
δt
)δt
(54)
Podemos completar el cuadrado hasta tener
20
N−1∏
i=0
∫dqi
[ ∫ dpi(2π)
e−i(
pi√2m
+√
m2
(qi+1−qi)δt
)2
δt]ei m
2
((qi+1−qi)
δt
)2
δ t(55)
La integral en dpi es facil de hacer. Como pi corre en (−∞, ∞), podemos absorver eltermino lineal. Por lo tanto
∫dpi
(2 π)e−i(
pi√2m
+√
m2
(qi+1−qi)δt
)2
δt=
∫dpi
(2 π)e−i
p2i2m
δt =
√−2mi
δt
1
(2 π)
∫ ∞
−∞dx e−x
2
(56)
La integral Gaussiana es facil de hacer
∫ ∞
−∞dx e−x
2
=√π (57)
Asi que todo junto
∫dpi
(2 π)e−i(
pi√2m
+√
m2
(qi+1−qi)δt
)2
δt=
√− im2 π δt
(58)
Por lo que, metiendo esto en nuestro calculo, tenemos que
〈qF | e−i H T |qI〉 =(− im
2π δt
)N2
N−1∏
i=0
∫dqi e
i m2
((qi+1−qi)
δt
)2
δ t(59)
Esto lo podemos re-escribir como
〈qF | e−i H T |qI〉 =(− im
2π δt
)N2(N−1∏
i=0
∫dqi
)(∏ei m
2
((qi+1−qi)
δt
)2
δ t)
=(− im
2 π δt
)N2(N−1∏
i=0
∫dqi
)ei∑N−1i=0
m2
((qi+1−qi)
δt
)2
δ t(60)
Tomemos ahora el limite de N →∞. En tal caso δt→ 0. De hecho
(qi+1 − qi)δt
→ q δtN−1∑
i=0
→∫ tf
ti
dt (61)
Definiendo el simbolo
∫Dq = lim
N→∞
(− im2 π δt
)N2(N−1∏
i=0
∫dqi
)(62)
21
Notese que aqui se asume que q0 = qI y qN = qF .Puesto todo junto, resulta al final que
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 =
∫Dq ei
∫ tFtI
dt 12m q2
(63)
Si hubiesemos hecho el mismo razonamiento para una particula en interaccion hubiese-mos obtenido8
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 =
∫Dq ei
∫ tFtI
dt 12m q2 − V (64)
Ahora bien, la cantidad 12m q2 − V no es mas que el lagrangiano clasico de la particula,
con lo que la formula en general se escribe como
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 =
∫Dq ei S (65)
Notese que en el exponente del integrando ha aparecido la accion clasica de la particula. Porotra parte, al obtener esta formula, y oculto en
∫Dq esta el hecho de que estamos sumando
a todos las posibles trayectorias. Puesto todo junto, hemos obtenido una expresion parala propagacion de la particula que es la suma de todas las posibles trayectorias clasicaspesadas con su correspondiente accion.9
Supongamos ahora que estamos interesados en la probabilidad de evolucion de un estadoinicial |I〉 en uno final |F 〉 entre tI y tF . Esto esta dado por 〈F |e−i H (tF−tI) |I〉. Insertandoidentidades escritas en terminos de autoestados en espacio de posiciones
〈F |e−i H (tF−tI) |I〉 =
∫dqI
∫dqF 〈F |qF 〉 〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 〈qI |I〉 (66)
Pero 〈qI |I〉 y 〈qF |F 〉 no son mas que las funciones de onda asociadas a los estados incial yfinal en espacio de posciones. Por lo tanto
〈F |e−i H (tF−tI) |I〉 =
∫dqI
∫dqF ψ
∗F (qF ) 〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉ψI(qI) (67)
Es decir, podemos escribir la evolucion de un estado en terminos del path integral 〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉.Si recuperamos los factores de c y ~ dicho path integral es
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 =
∫Dq ei S~ (68)
En el limite ~ → 0 la exponencial oscila infinitamente y esta dominada por los puntos deaccion estacionaria. Es decir, en el limite ~ → 0, que es el limite clasico, el path integral
8Notese que esto es un poco mas sutil, ya que la interaccion es V = V (q, p), con lo que |p〉 ya no esautoestado del hamiltoniano. Para una discusion del caso general en detalle ver la bibliografia.
9La explicacion en el capitulo 1 del libro de Zee sobre el path integral y su significado, sobre todo en elcontexto del experimento de la doble rendija con infinitas rendijas es muy recomendable!
22
localiza en las configuraciones con δS = 0, es decir, en las configuraciones clasicas. De estamanera el mundo clasico emerge.
4.2.2 Ordenados temporales y path integral
Supongamos que queremos calcular la siguiente cantidad
∫Dq A[q(t1)] ei S (69)
con q(tI) = qI y q(tF ) = qF . Aqui A es un funcional de la funcion q(t1).Para hacer esto volvamos atras en la definicion de path integral. Recordemos que
dividiendo el intervalo tF − tI in subintervalos infinitesimales
∫ q(tF )=qF
q(tI)=qI
Dq ei SN−1∏
i=0
∫dqi 〈qi+1| e−i H δt |qi〉 = 〈qF | e−i H T |qI〉 = (70)
donde hemos hecho explicitos los limites de integracion. Esta claro por lo tanto que
∫Dq A[q(t1)] ei S =
N−1∏
i=0
|no I
∫dqi 〈qi+1| e−i H δt |qi〉
∫dqI 〈qI+1| e−i H δtA[q(t1)] |qI〉 (71)
Donde I es el intervalo donde esta t1. Es decir, A[q(t1)] aparece en el factor que corresponde
al subintervalo donde esta t1. Ahora bien, 〈qI+1| e−i H δtA[q(t1)] |qI〉 es el elemento de matriz
del operador de Heisenberg A[q(t1)], es decir, 〈qF | e−i H T A[q(t1)] |qI〉Supongamos ahora
∫Dq A[q(t1)]B[q(t2)] ei S (72)
Por las mismas, esto es
∫Dq A[q(t1)]B[q(t2)] ei S = (73)
N−1∏
i=0
|no I1, I2
∫dqi 〈qi+1| e−i H δt |qi〉
∫dqI1 〈qI1+1| e−i H δtA[q(t1)] |qI1〉
∫dqI2 〈qI2+1| e−i H δtB[q(t2)] |qI2〉
Donde I1 es el intervalo que contiene t1 e I2 el que contiene t2. Supongamos que t2 < t1.Entonces al pasar a operadores esto es
〈qF | e−i H T A[q(t1)]B[q(t2)] |qI〉 (74)
ya que primero actua el operador que esta antes al subdividir el intervalo.
23
Si por el contrario embargo, si t1 < t2, como en el path integral A[q(t1)] y B[q(t2)] sonfunciones (numeros!10), podemos escribir
∫Dq A[q(t1)]B[q(t2)] ei S =
∫Dq B[q(t2)]A[q(t1)] ei S (76)
y por el mismo motivo que antes, esto es
〈qF | e−i H T B[q(t2)]A[q(t1)] |qI〉 (77)
Por lo tanto, si t1 > t2 el path integral calcula A[q(t1)]B[q(t2)], y si t2 > t1 calculaB[q(t2)]A[q(t1)] Esto es, de manera automatica el path integral implementa de maneranatural los ordenados temporales!!! Es decir
∫Dq A[q(t1)]B[q(t2)] ei S = 〈qF | e−i H T T
[A[q(t1)]B[q(t2)]
]|qI〉 (78)
4.3 Fuentes y funciones generatrices
Volvamos a la ecuacion anterior para el caso mas sencillo, donde A[q(t)] = q
∫Dq q(t1) ei S = 〈qF | e−i H T q(t1) |qI〉 (79)
Construyamos la siguiente cantidad
Z[J ] =
∫Dq ei S+
∫ tFtI
J(t) q(t)
∫Dq ei S (80)
Si t1 ∈ [tI , tF ] esta claro que
δZ[J ]
δJ(t1)=
∫Dq q(t1) ei S+
∫ tFtI
J(t) q(t)
∫Dq ei S (81)
Asi pues, si ahora evaluamos esta derivada funcional en J(t) = 0 tenemos que
δZ[J ]
δJ(t1)|J=0 =
∫Dq q(t1) ei S∫Dq ei S =
〈qF | e−i H T q(t1) |qI〉〈qF | e−i H T |qI〉
(82)
Es por lo tanto evidente que
10Notese que si estuviesemos discutiendo fermiones, A[q(t1)] y B[q(t2)] serian variables Grassman, ypor lo tanto en lugar de conmutar, anticonmutarian. Esta es una manera de argumentar que el ordenadotemporal para fermiones debe ser
T[ψ(t1)ψ(t2)
]= θ(t1 − t2) ψ(t1)ψ(t2)− θ(t2 − t1)ψ(t2) ψ(t1) (75)
24
δnZ[J ]
δJ(t1) · · · δJ(tn)|J=0 =
∫Dq q(t1) · · · q(tn) ei S∫
Dq ei S =〈qF | e−i H T T
[q(t1) · · · q(tn)
]|qI〉
〈qF | e−i H T |qI〉(83)
Es decir, Z[J ] lo podemos pensar como funcional generador de las funciones
G(t1, · · · , tn) =〈qF | e−i H T T
[q(t1) · · · q(tn)
]|qI〉
〈qF | e−i H T |qI〉(84)
Volvamos a la definicion de Z[J ]. En el numerador tenemos
∫Dq ei S+
∫J(t) q(t) =
∫Dq ei
∫L+i J(t) q(t) (85)
Es decir, el numerador es el path integral para una particula con una accion en la quehemos agnadido la interaccion extra i J q. Para entenderlo tomemos el ejemplo sencillo deuna particula libre. En tal caso L+ Jq = 1
2m q2 + i J q. La ecuacion de movimiento es
m q = i J (86)
Es decir, J es una fuente externa. Esto es, al agnadir el termino∫J q es como haber
agnadido una fuente externa J para q. La funcion generatriz Z[J ] por lo tanto tiene encuenta la respuesta del sistema a una fuente externa J .
4.4 Path integrals en Teoria Cuantica de Campos
El path integral esta formulado de manera natural en terminos del lagrangiano, que a su vezesta adaptado a mantener explicitas todas las simetrias de una teoria invariante Lorentz.Por otra parte, el path integral incorpora de manera natural ordenados temporales. Estosugiere que la teoria de campos se formula de manera natural en terminos de path integrals.
El path integral para un campo es la generalizacion obvia del path integral en mecanicacuantica.11
〈φF | e−i H (tF−tI) |φI〉 =
∫ φ(tF )=φF
φ(tI)=φI
Dφ ei∫ tFtI
dtL (87)
A la vista de que al agnadir fuentes tenemos un funcional generador para ordenados tempo-rales, y dado que, calculados en el vacio dichos ordenados temporales son los correladoresa n puntos centrales en teoria de campos, esta claro que nos interesa tomar el limitetI → −∞, t→∞ con φI = φF = vacio. En tal caso podemos definir
11Una manera de argumentar esto es discretizando el campo, de manera que el campo es una coleccionfinita de particulas en un cierto potencial. Para cada particula podemos usar la derivacion de path integralconocida. Tomando despues el limite continuo de este sistema recuperamos el path integral para campos.
25
Z[J ] =
∫Dφ ei S+
∫J φ
∫Dφ ei S (88)
De manera que
〈T[φ(x1) · · · φ(xn)
]〉 =
δnZ[J ]
δJ(x1) · · · δJ(xn)|J(x)=0 (89)
Notese que el denominador en Z[J ] es tal que, para la funcion a 0 puntos, que no es masque la norma del vacio, tenemos 〈0|0〉 = 1.
Es importante darse cuenta de que esta formula es obvia de generalizar a teorias con unnumero arbitrario de campos, a su vez estos de un tipo arbitrario (fermionicos, bosonicos,complejos, reales, spin 1. . . incluso a priori spin 2!). De esta manera al menos en principio,podemos calcular un correlador arbitrario en una teoria arbitraria a traves de una integral.
4.5 Campos libres
Fijemonos en el caso mas sencillo del campo escalar real sin interacciones. La accion es
S =
∫d4x
1
2(∂φ)2 − 1
2m2 φ2 (90)
Por lo tanto el funcional generador es
Z[J ] = N−1
∫Dφ ei
∫d4x 1
2(∂φ)2− 1
2m2 φ2+
∫d4x J(x)φ(x) N =
∫Dφ ei S (91)
No es para nada obvio que esta integral tenga sentido (converja). Para empezar, es unaintegral de una funcion oscilatoria. Para darle sentido podemos hacer m2 → m2 − i ε ytomar el limite ε→ 0+. Asi, el exponente adquiere−
∫d4x ε φ2, que hace que la exponencial
se atenue en φ→∞, haciendo que la integral converja. Asi pues hemos de calcular
Z[J ] = N−1
∫Dφ ei
∫d4x 1
2(∂φ)2− 1
2(m2−i ε)φ2+
∫d4x J(x)φ(x) N =
∫Dφ ei S (92)
Fijemonos en el exponente. Integrando por partes podemos escribir
∫d4xφ
−i2
[∂2+(m2−i ε)]φ+
∫d4x J(x)φ(x) =
∫d4xφ
−i2
[∂2+(m2−i ε)]φ+1
2J(x)φ(x)+
1
2φ(x) J(x)
(93)Transformando de Fourier
φ =
∫d4p
(2π)4φ(p) ei p·x (94)
Tenemos
26
∫d4x
∫d4p
(2 π)4
∫d4q
(2 π)4
(φ(q)
i
2[p2− (m2− i ε)]φ(p)+
1
2J(q)φ(p)+
1
2φ(q) J(p)
)ei (p+q)·x
(95)La integral en d4x es una δ, y por lo tanto
∫d4p
(2 π)4φ(−p) i
2[p2 − (m2 − i ε)]φ(p) +
1
2J(−p)φ(p) +
1
2φ(−p) J(p) (96)
Por ahorrar notacion llamemos ∆(p) = i2[p2 − (m2 − i ε)]. Evidentemente ∆(−p) = ∆(p).
Asi pues
∫d4p
(2 π)4φ(−p) ∆(p)φ(p) +
1
2J(−p)φ(p) +
1
2φ(−p) J(p) (97)
Esto se puede escribir como
∫d4p
(2 π)4∆(p)
[φ(−p) +
J(−p)2 ∆(−p)
] [φ(p) +
J(p)
2 ∆(p)
]− J(−p) J(p)
4 ∆(98)
Por lo tanto
Z[J ] = N−1
∫Dφ e
∫ d4p
(2π)4∆(p)
[φ(−p)+ J(−p)
2 ∆(−p)
][φ(p)+
J(p)2 ∆(p)
]e−
∫ d4p
(2π)4J(−p) J(p)
4 ∆ (99)
Como la integral en Dφ corre en φ ∈ [−∞, ∞], podemos reabsorver el desplazamientofinito J/2∆, de manera que
Z[J ] = e−
∫ d4p
(2π)4J(−p) J(p)
4 ∆ N−1
∫Dφ e
∫ d4p
(2π)4∆(p)φ(−p)φ(p)
(100)
Pero
N−1
∫Dφ e
∫ d4p
(2π)4∆(p)φ(−p)φ(p)
= 1 (101)
Asi que
Z[J ] = ei2
∫ d4p
(2π)4J(−p) J(p)
p2−m2+i ε (102)
Transformando de Fourier de vuelta a espacio de posiciones
Z[J ] = e12
∫d4x
∫d4y J(x)
[d4p
(2π)4i ei p·(x−y)
p2−m2+i ε
]J(y)
(103)
La cantidad en el exponente es central en Teoria Cuantica de Campos, conocida comopropagador de Feynman DF , asi que
Z[J ] = e12
∫d4x
∫d4y J(x)DF (x−y) J(y) (104)
27
Por lo tanto tomando la segunda derivada con respecto a las fuentes y poniendolas luegoa cero tenemos que
〈T[φ(x) φ(y)
]〉 = DF (x− y) (105)
Notese que dado que conocemos exactamente Z[J ] podemos calcular todas las funcionesde correlacion en la teoria libre.
4.6 Propagadores
Hemos encontrado que el propagador de Feynman es una cantidad de imporancia centralen teoria cuantica de campos, ya que es el correlador mas basico –veremos mas adelanteesto hecho explicito–.
Para entender el significado de DF , supongamos un campo libre, y escribamoslo como
φ(x) = φ(x)+ + φ(x)− (106)
Con
φ+(x) =
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~pap e
−i p·x φ−(x) =
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~pa†p e
i p·x (107)
Recordemos ahora que DF esta definido como
DF (x− y) = θ(x0 − y0) [φ+(x), φ−(y)] + θ(y0 − x0) [φ+(y), φ−(x)] (108)
Explicitamente, usando quien es φ±, esto es
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
∫d3~q
(2 π)3√
2ω~qθ(x0 − y0) e−i p·x ei q·y [a~p, a
†~q]
+
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
∫d3~q
(2 π)3√
2ω~qθ(y0 − x0) e−i p·y ei q·x [a~p, a
†~q] (109)
Usando las reglas de conmutacion de los operadores creacion/destruccion
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
∫d3~q
(2 π)3√
2ω~qθ(x0 − y0) e−i p·x ei q·y (2 π)3 δ(~p− ~q)
+
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
∫d3~q
(2 π)3√
2ω~qθ(y0 − x0) e−i p·y ei q·x (2 π)3 δ(~p− ~q) =
∫d3~p
(2 π)3 2ω~p
[θ(x0 − y0) e−i p·(x−y) + θ(y0 − x0) ei p·(x−y)
](110)
Esta integral se puede re-escribir como una integral 4-dimensional
28
DF (x− y) =
∫d4p
(2 π)4
i
p2 −m2 + i εei p·(x−y) (111)
En donde se asume que ε va a 0+. Demostremos esto haciendo la integral en dp0 explicita.El integrando es (llamemos z = x− y por sencillez de notacion)
∫d2~p
(2 π)3e−i ~p·~z
∫dp0
(2 π)
1
p20 − ~p2 −m2 + i ε
ei p0 z0
(112)
La integral en p0 la podemos hacer usando el teorema de los residuos. Los polos delintegrando estan en
√~p2 +m2 − i ε. Como ε es pequegno podemos expandir en serie y
escribir los polos aproximadamente como
p+0 ' ω~p − i
ε
2p−0 ' −ω~p + i
ε
2(113)
Donde como siempre ω~p = +√~p2 +m2.
Notese que los polos estan ligeramente desplazados del eje real: el polo con parte realnegativa esta ligeramente subido en la parte positiva compleja mientras que el polo conparte negativa esta un poco mas bajado (ver fig. (2).
5.4 The Feynman propagator 121
Of course !+(x)|0! = 0 and "0|!!(x) = 0. Consider first the casex0 > y0. Then
T !(x)!(y) = !+(x)!+(y) + !+(x)!!(y) + !!(x)!+(y)
+!!(x)!!(y)
= !+(x)!+(y) + !!(y)!+(x) + !!(x)!+(y)
+!!(x)!!(y) + [!+(x), !!(y)]
= : !(x)!(y) : + [!+(x), !!(y)] , (5.73)
where as usual the colons denote normal ordering. Similarly for y0 > x0
we get T !(x)!(y) = : !(x)!(y) : +[!+(y), !!(x)]. Therefore
T !(x)!(y) = : !(x)!(y) : + D(x # y) , (5.74)
where
D(x# y) = "(x0 # y0)[!+(x), !!(y)]+ "(y0 #x0)[!+(y), !!(x)] . (5.75)
Now observe that the expectation value of the normal ordered term: !(x)!(y) : is zero, because there is always either one annihilation op-erator acting on |0! or a creation operator acting on "0|. Instead thecommutator of ap and a†
p is a c-number, so also D(x# y) is a c-number,and "0|D(x # y)|0! = D(x # y)"0|0! = D(x # y). Therefore D(x # y) isjust the Feynman propagator,
"0|T !(x)!(y)|0! = D(x # y) . (5.76)
Computing the commutators we find
D(x # y) =
!d3p
(2#)31
2Ep
""(x0 # y0)e!ip(x!y) + "(y0 # x0)eip(x!y)
#.
(5.77)The integral over d3p can be computed explicitly, but it is more usefulto rewrite (5.77) as a four-dimensional integral,
D(x # y) =
!d4p
(2#)4i
p2 # m2 + i$e!ip(x!y) , (5.78)
where $ $ 0+. To prove the equivalence of eqs. (5.77) and (5.78), observethat the integral in eq. (5.78) can be written as
!d3p
(2#)3eip·(x!y)
! +"
!"
dp0
2#
i
(p0)2 # E2p + i$
e!ip0(x0!y0) , (5.79)
p 0
Fig. 5.1 The position of the poles inthe complex p0-plane.
where Ep = +(p2 + m2)1/2. The integral over p0 can be computedgoing in the complex p0-plane. The i$ factor displaces slightly the polesfrom the real axis. The poles are at ±p0 % Ep(1 # i$/(2E2
p)). Thus thepole at p0 = Ep is slightly displaced below the real axis and the pole atp0 = #Ep is slightly displaced above the real axis, as shown in Fig. 5.1.
Figure 2: Posicion de los polos en el plano complejo p0.
La cuestion es que contorno usar. En particular, queremos un contorno tal que lacontribucion del semicirculo en el infinito sea nula. Supongamos z0 > 0. En tal casola exponencial ei p0 z0
decaeria para z0 → ∞ si p0 tuviese una pequegna parte imaginariapositiva. Por lo tanto vemos que para z0 > 0 debemos cerrar el contorno por arriba,atrapando el polo p−0 . El residuo en este polo es
Resp0=p−0
[ 1
p20 − ~p2 −m2 + i ε
ei p0 z0]
= − 1
2ω~pe−i ω~p z
0
(114)
Este es rodeado en sentido contrario a las agujas del reloj, y por lo tanto da unacontribucion que es directamente el residuo de arriba, es decir, contribuye
−(2 π i)1
2ω~pe−i ω~p z
0
θ(z0) (115)
29
Por otra parte, cuando z0 < 0 la exponencial se atenua si p0 tiene una pequegna parteimaginaria negativa. Debemos por lo tanto cerrar el contorno por abajo de manera querodeamos el polo p+
0 . En el
Resp0=p+0
[ 1
p20 − ~p2 −m2 + i ε
ei p0 z0]
=1
2ω~pei ω~p z
0
(116)
Como este polo es rodeado en el sentido de las agujas del reloj contribuye como menos lode arriba, es decir
−(2 π i)1
2ω~pei ω~p z
0
θ(−z0) (117)
Por lo tanto
DF (x− y) =
∫d2~p
(2 π)3e−i ~p·~z
[ 1
2ω~pei ω~p z
0
θ(−z0) +1
2ω~pe−i ω~p z
0
θ(z0)]
(118)
que es la expresion de partida. Asi pues, resumiendo, el propagador de Feynman DF
se puede escribir en notacion covariante usando la prescripcion de +i ε, que nos fuerza aescoger un contorno tal que se recupera la expresion correcta de la funcion a dos puntos.
4.6.1 Funciones de Green
Podemos actuar con el operador de Klein-Gordon sobre el propagador de Feynman. Estaclaro que en el limite ε→ 0 lo que obtenemos es
(∂2 +m2
)DF = i δ4(x) (119)
siendo δ4(x) la δ de Dirac en espacio de Minkwoski (a veces suprimiremos el superindice)
δ4(x) =
∫d4p
(2 π)4ei p·x (120)
La ecuacion de arriba es familiar: DF es simplemente una funcion de Green para el operadorde Klein-Gordon! En general, la ecuacion de Klein-Gordon con fuente δ tiene como solucion
(∂2 +m2
)G = −i δ4(x) ⇐⇒ G =
∫d4p
(2 π)4
i
p2 −m2ei p·(x−y) (121)
Es trivial que G satisface la ecuacion de Klein-Gordon con fuente δ para cualquier p talque p2 6= m2. El problema es que ocurre precisamente en p2 = 0. En tal caso uno debede dar una prescripcion para rodear los polos. Una posibilidad es la prescripcion +i ε, quelleva al propagador de Feynman como acabamos de ver. Pero esta claro que uno puedetomar otras prescripciones. Las mas relevantes son
30
• Propagador retardado:
escogiendo el contorno cerrado por arriba, solo cuando z0 > 0 la contribucion delsemicirculo se anula. Como este propagador tiene z0 > 0 se le conoce como propa-gador retardado DR(x − y). En teoria clasica, si uno conoce la configuracion delcampo en un instante de tiempo es este propagador el que la hace avanzar en eltiempo.
• Propagador avanzado:
escogiendo el contorno cerrado por abajo, solo cuando z0 < 0 la contribucion del semi-circulo se anula. Como este propagador tiene z0 < 0 se le conoce como propagadoravanzado DA(x−y). En la teoria clasica se usara cuando uno conoce la configuracionfinal y pretende encontrar de donde viene esta atras en el tiempo.
Volviendo al propagador de Feynman, vemos que es tal que propaga frecuencias posi-tivas –es decir, el trozo con e−i ω~p z
0– adelante en el tiempo –debido al θ(z0)– y frecuencias
negativas –el trozo con ei ω~p z0– atras en el tiempo –debido al θ(−z0)–.
4.7 Campos en interaccion
Hasta ahora hemos asumido que el sistema no contiene interacciones, es decir, hemoscuantizado un sistema clasico con lagrangiano
L =1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 (122)
Esta claro que el campo no tiene por que ser libre. En general podemos considerar unlagrangiano clasico compatible con todas las simetrias. En este caso, estamos asumiendoun campo escalar, asi que la unica restriccion es invariancia Lorentz. Por lo tanto, ellagrangiano mas general sera de la forma:
L =1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 −
∑
n>2
λn φn (123)
Es evidente que la ecuacion de movimiento ya no es simplemente la ecuacion de Klein-Gordon, sino que se convierte en
(∂2
0 − ~∂2 +m2)φ(x) = −
∑
n>2
nλn φn−1 (124)
Esta claro que los coeficientes λn controlan las no-linealidades, es decir, las interaccionesdel campo (en este caso consigo mismo).
Volviendo a la accion es
S =
∫d4x
1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 −
∑
n>2
λn φn (125)
31
Asumiendo unidades en las que [~] = [c] = 1, como la accion ha de ser adimensional, si xµ
tiene unidades de E−1, vemos que [φ] = E, de manera que
[λn] = 4− n (126)
Ya que los coeficientes λn son dimensionales, en realidad no tiene mucho sentido de-cir que controlan la intensidad de las interacciones. Es natural construir constantes deacoplamiento adimensionales gn usando alguna escala de energia tipica E que tenga elproblema
gn = En−4 λn ; [gn] = 0 (127)
Manteniendo λn fijo, esta claro que segun n el comportamiento de gn es muy diferente alvariar la escala caracteristica E. Esta escala podemos pensarla como la escala a la queestamos observando el sistema, y por lo tanto marca el rango de energias en el que estamosinteresados. Como nuestro mundo es un mundo de baja energia, en realidad estamosinteresados en estudiar el sistema a bajas E. En otras palabras, estamos interesados en lateoria efectiva a baja energia. Segun n cosas muy diferentes ocurren
• n > 4: el exponente de E es positivo, por lo que al ir E a cero gn va a cero. Estosterminos se llaman irrelevantes.
• n = 4: en este caso gn = λn y –al menos naifmente– no hay dependencia con E. Estosterminos se llaman marginales.
• n < 4: el exponente de E es negativo, y por lo tanto estos gn se hacen mayores ymayores al decrecer E. Estos terminos se llaman relevantes.
Esta observacion es crucial. Al final, nuestro modelo sencillo de teoria escalar podriarepresentar el campo del π0. En principio parece que uno deberia tener en cuenta lasinfinitas interacciones del π0 consigo mismo, lo que parece algo imposible de analizar. Sinembargo, dado que al final el π0 es observado en un mundo de baja energia, todas lasinteracciones con n > 4 son basicamente despreciables. Por lo tanto es suficiente conconsiderar
L =1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 − λ3 φ
3 − λ4 φ4 (128)
De hecho, imponiendo simetria bajo φ→ −φ, los unicos terminos relevantes son
L =1
2∂µφ ∂
µφ− 1
2m2 φ2 − λφ4 (129)
Este es el modelo sencillo con el que trabajaremos para hacer calculos explicitos de aquien adelante. Dado que un campo en interaccion se describe clasicamente por una ecuacionmucho mas complicada que la ecuacion de Klein-Gordon, evidentemente la cuantizacionde este sistema ya no dara algo tan sencillo como
32
φ(~x, t)
∫d3~p
(2 π)3√
2ω~p
[ap e
−i p·x + a†p ei p·x]
(130)
4.7.1 Interacciones relevantes y el IR
Como vimos, las interacciones irrelevantes no cambian la fisica de bajas energias (infra-rojo=IR), ya que en ese regimen son despreciables. Sin embargo las interacciones relevantesson cruciales para entender el IR. Las interacciones marginales pueden, por efectos cuanti-cos, volverse relevantes y cambiar completamente las propiedades del IR. De hecho esto es loque ocurre en QCD: la interaccion de QCD –como el electromagnetismo– es marginal en 4d.Sin embargo, a diferencia del electromagnetismo, QCD es una interaccion marginalmenterelevante, es decir, se vuelve, por efectos cuanticos, muy fuerte en el IR. Esto es lo quegenera el confinamiento de los quarks y gluones en π0, π±, protones, mesones. . . Podemosahora entender mejor algunos comentarios anteriores: en QCD naifmente tenemos unainteraccion marginal que se vuelve relevante, creciendo por lo tanto al bajar la energia. Auna cierta escala de energias ΛQCD la interaccion se hace tan fuerte que quarks y gluonesya no existen libres. Por debajo de esa energia, la teoria efectiva es una teoria para π0,π±, protones, mesones . . . Nosotros estamos considerando el subsector de dicha teoria quesolo contiene π0!
4.8 Calculando correladores para campos en interaccion
La definition de Z[J ] nos permite a priori calcular funciones de correlacion en terminosdel path integral en general, haya o no interaccion. En principio es posible calcular direc-tamente el path integral (sea analiticamente o numericamente, en la lattice). Sin embargoen la practica, mas alla de simulacion numerica, es generalmente imposible calcular el fun-cional generador de manera exacta. Por eso debemos recurrir a la teoria de perturbaciones.
En nuestro ejemplo de λφ4, tenemos que12
Z[J ] =
∫D ei S+
∫J φ S =
∫1
2∂φ2 − 1
2m2 φ2 − λ
4!φ4 (131)
Supongamos λ pequegno. Expandiendo el trozo e−iλ4!
∫φ4
tenemos
Z[J ] =
∫Dφ ei S0+
∫J φ − i λ
4!
∫d4x
∫Dφφ(x)4 ei S+
∫J φ + · · · (132)
donde
S0 =
∫1
2∂φ2 − 1
2m2 φ2 (133)
Ahora bien, cada insercion de φ(x) la podemos cambiar por una derivada con respectoa J(x). Es decir, esta claro que
12Asumamos que∫ei S = 1.
33
∫Dφφ(x)4 ei S+
∫J φ =
∫Dφ δ4
δJ(x)4ei S+
∫J φ (134)
Asi pues, podemos escribir que
Z[J ] =
∫Dφ ei S0+
∫J φ − i λ
4!
∫d4x
∫Dφ δ4
δJ(x)4ei S+
∫J φ + · · · (135)
con lo que resumando la serie, al menos formalmente, podemos escribir
Z[J ] = e−i λ
4!
∫d4x δ4
δJ(x)4
∫Dφ ei S0+
∫J φ (136)
Pero la integral con la accion libre la sabemos hacer, asi que podemos escribir
Z[J ] = e−i λ
4!
∫d4x δ4
δJ(x)4 e12
∫d4x
∫d4y J(x)DF (x−y) J(y) (137)
Dado este resultado, podemos, al menos en principio, calcular las amplitudes de scatteringal orden deseado.
4.8.1 λφ4 hasta O(λ)
En teoria de perturbaciones uno asume λ << 1, de manera que la exponencial de antes sepuede expandir. Supongamos que nos contentamos con precision O(λ). Entonces podemosexpandir la exponencial y escribir
ZO(λ)[J ] ∼ (1− i λ4!
∫d4x
δ4
δJ(x)4) e
12
∫d4x
∫d4y J(x)DF (x−y) J(y) (138)
Para calcular el scattering de 2 particulas en 2 particulas necesitamos el correlador a4 puntos, es decir, la 4 derivada de ZO(λ)[J ] con respecto a J . Del termino sin λ, a orden0 el correlador es pues simplemente el correlador a 4 puntos libre, que se puede calcularfacilmente usando el resultado para la teoria libre de antes.
〈T[φ(x1) φ(x2) φ(x3) φ(x4)
]〉 (139)
= DF (x1 − x2)DF (x3 − x4) +DF (x1 − x3)DF (x2 − x4) +DF (x1 − x4)DF (x2 − x4)
Ahora bien, esto es el producto de dos propagadores de Feynman, mientras que LSZ pone4 factores de (p2
i −m2). Al poner las particulas externas on shell estos dan 4 ceros mientrasque los propagadores dan solo dos polos. Por lo tanto la amplitud a orden λ0 es cero.
A orden λ debemos calcular
−i λ∫d4x 〈T
[φ(x1) φ(x2) φ(x3) φ(x4) φ(x)4
]〉 (140)
Al tener 8 campos, esta cantidad sera proporcional a 4 propagadores, con lo que poten-cialmente algunos terminos podran cancelar los 4 ceros en la formula de LSZ. La cuestion
34
clave es que al expandir el correlador de arriba, de los muchos terminos que saldran, solounos pocos son tales que se producen los polos deseados, es decir, muchos de los terminosen el teorema de Wick no contribuyen a la amplitud de scattering porque no contienen lospolos apropiados. De hecho, los terminos que contribuyen son de la forma
∫d4xDF (x1 − x)DF (x2 − x)DF (x3 − x)DF (x4 − x) (141)
Al pasar a espacio de momentos es facil ver que esto produce polos que cancelan los cerosde la formula LSZ, dejando al final simplemente −i λ. Mas explicitamente, debemos puescalcular
−i λ4!
∫d4x
δ4
δJ(x)4
δ4
δJ(x1) δJ(x2) δJ(x3) δJ(x4)e
12
∫d4x
∫d4y J(x)DF (x−y) J(y)|J=0 (142)
La manera mas sencilla de hacer esto es expandiendo la exponencial
e12
∫d4x
∫d4y J(x)DF (x−y) J(y) = (143)
∑ 1
2n n!
∫dx1 · · ·
∫dxn
∫dy1 · · · dyn J(x1) · · · J(xn) J(y1) · · · J(yn)DF (x1 − y1) · · ·DF (xn − yn)
Ya que el termino relevante es una derivada octava, esta claro que, una vez ponemos a 0 lasJ el unico termino relevante de la serie es n = 4. Tomando aqui derivadas salen un montonde terminos. Pero como sabemos, LSZ nos instruye a buscar aquellos que produzcan polosal poner las particulas externas on shell. Dichos terminos son cosas de la forma
−i λDF (x1 − x)DF (x2 − x)DF (x3 − x)DF (x4 − x) (144)
Volvamos por un momento al termino de orden λ0. Si DF (x − y) es pensado como lapropagacion de una particula entre x e y resulta que esto es simplemente los 3 posiblesdiagramas representando las maneras de unir 3 puntos (ver fig(4)).
1 :
2 :
: 3
: 4
1 :
2 :
: 3
: 4
1 :
2 :
: 3
: 4
Figure 3: Las 3 posibles propagaciones. En el ultimo las lineas se cruzan sin intersecarse.
Por otra parte, en esta interpretacion diagramatica, el primer diagrama que contribuye, aorden λ, se corresponde con
35
1 :
2 :
: 3
: 4
1 :
2 :
: 3
: 4
1 :
2 :
: 3
: 4
Figure 4: Primer diagrama contribuyendo a orden λ1. El punto gordo es la interaccion enx.
Notese que, siguiendo con la interpretacion de que el propagador representa la propagacionde una particula, este primer termino que contribuye al scattering se puede entender comoun diagrama en el que todos los puntos xi estan conectados a traves del punto de interaccionx. Por otra parte, a orden λ0, ninguno de los terminos que teniamos conectaba todos lospuntos y consecuentemente obvtuvimos cero. Si siguiesemos yendo a ordenes mas altosde nuevo veriamos que solo algunos terminos contribuyen, y de nuevo corresponderian adiagramas en los que todos los puntos estan conectados entre si a traves de interacciones.Es decir, de esta manera aprendemos que solo los diagramas conexos contribuyen a losscatterings.
De hecho, el patron que emerge es que las contribuciones a la amplitud de scattering sepueden construir orden a orden con estos dibujos –que se llaman diagramas de Feynman–,donde solo diagramas conexos contribuyen. Las conexiones internas –“puntos gordos”– secorresponden con la interaccion y se conocen como vertices. En el caso de λφ4 tenemos quepor cada vertice 13 hemos de poner un factor −i λ. Estos vertices se unen con propagadorespara formar el diagrama completo. Usualmente se trabaja en espacio de momentos, dondetodo es mas sencillo. Siendo mas explicitos, en el caso que nos ocupa –λφ4– dichas reglasen espacio de momentos son
1. Dibujar un diagrama hecho a partir de lineas que se juntan en vertices con estricta-mente 4 segmentos.
2. Asignar un momento pi a cada linea.
3. En cada vertice entran 4 momentos. Imponer conservacion del momento en cadavertice y agnadir un factor
−i λ (145)
4. Por cada linea interna agnadir un propagador de Feynman con el momento corre-spondiente
13Notese que en realidad hay varias combinaciones de este diagrama, que corresponden a las diferentesmaneras de poner los numeros externos etiquetando los puntos. Esta claro que hay 4! dichas maneras.Por eso definimos la interaccion con λ
4! , de manera que la primera contribucion a la amplitud de scattering–vertice a secas– sea simplemente −i λ.
36
DF =i
p2 −m2 + i ε(146)
5. Por cada lazo cerrado (el nombre tecnico es loop) agnadir una integral al momentocorriendo en el loop
∫d4p
(2 π)4(147)
Antes de seguir, algunos comentarios sobre estas reglas
• El hecho de que en (1) tengamos vertices con 4 patas se debe a que estamos con-siderando una interaccion φ4. Para una interaccion φn los vertices tendran n patas.
• El que el factor del vertice sea simplemente −i λ se debe a que hemos tomado queHint = λ
4!φ4. Sin el 4! tendriamos un factor de 24 extra.
• En esta prescripcion solo contribuyen diagramas conexos. Los no conexos simple-mente dan cero debido a los ceros en LSZ. Por ejemplo, cosas como el primer diagramaen la figura (4) no deben ser incluidas.
• En esta prescripcion, esto da directamente el elemento de matriz in〈~p1 · · · ~pn|~k1 · · ·~km〉out.
• Hemos basicamente olvidado las patas externas. Las patas externas son los estadosin y out. Esto nos permite entender ahora mejor la formula de LSZ: debido a losfactores de p2
i − m2, solo los polos del correlador contribuyen. Es decir, debidoa los numeradores p2
i − m2, la amplitud debe tambien tener polos (p2i − m2)−1 al
poner on shell particulas externas. Dichos polos no son mas que las patas externasdel diagrama. Podriamos haberlas tenido en cuenta, pero en tal caso deberiamostambien tener en cuenta los factores de p2 −m2 en la formula de LSZ para calcularla amplitud (que evidentemente cancelan los propagadores externos)
En resumen, siguiendo estas reglas podemos calcular en principio a un orden arbitrarioen λ, ya que cada termino en la expansion de la formula de LSZ se corresponde con undiagrama, para el que tenemos reglas sencillas para proceder.
4.9 La moral del asunto-parte II
El mensaje a extraer es que las cantidades centrales en Teoria Cuantica de Campos son lasfunciones a n puntos. En particular, las amplitudes de scattering –observables fisicos porexcelencia– se escriben en terminos de correladores.
De modo practico, cada tipo de particula vendra descrito por un campo relativista. Quetipo de campo –aunque hemos trabajado por sencillez con el campo escalar real, podriamosconsiderar campos vectoriales, spinoriales. . . –. Una accion clasica –que es un escalar de
37
Lorentz con un termino cinetico con dos derivadas– describira la fisica clasica del problema.Metiendo dicho lagrangiano en el path integral podemos cuantizar el sistema a la manerade antes: escribimos el path integral con fuentes como funcional generador, y vemos losterminos de interaccion como derivadas funcionales con respecto a las fuentes. De estemodo en principio podemos calcular Z exacto en terminos del caso libre. En la practicaesto nos da, igual que para el campo escalar, una manera de proceder iterativamente,asumiendo la constante de acoplo pequegna, a calcular las funciones de correlacion. Estaconstruccion se puede codificar en las reglas de Feynman. Las amplitudes de scatteringlas podemos deducir de las reglas de Feynman que vienen de dicho lagrangiano ya que sonbasicamente las funciones de correlacion conexas. Resumiendo de nuevo, a grosso modo
1. Por cada tipo de particula en el problema habra un campo (con las propiedades bajotransformaciones de Lorentz adecuadas: spinor, vector, escalar. . . ). Un lagrangianoclasico recogera la dinamica de estos campos.
2. El L sera de la forma Lfree+Lint, donde Lfree son los terminos cineticos (cuadraticosen derivadas de los campos) y el resto –las interacciones – son Lint.
3. Cada Lfree para cada campo conduce a un propagador de Feynman para dicho campo.Para el campo escalar real, en espacio de momentos, tenemos una regla de Feynmanque asigna a la linea correspondiente a cada campo
DF =i
p2 −m2 + i ε(148)
Aqui esto no esta on shell, es decir, tal que p2 no es necesariamente m2.
4. Cada termino en Lint es un polinomio en los campos (e.g. λφ4) que conduce, enlas reglas de Feynman, a un vertice que une las lineas de cada tipo de campo en elpolinomio. Dicho vertice contribuye –factores combinatorios a parte–
−i λ (149)
Con estas reglas podemos calcular a cualquier orden en λ cualquier proceso:
1. por cada particula que entra/sale dibujamos una linea externa.
2. las conectamos –diagramas conexos solo, ya que los no conexos dan 0 por los cerosde LSZ– con los vertices de los que disponemos, usando tal vez mas propagadores.Cada vertice contribuye −i λ
3. si queremos calcular a orden λn debemos escribir todos los diagramas que contengann vertices, calcular su valor usando las reglas de Feynman y sumarlos. Eso sera M.
4. conocido M, una vez tenidos en cuenta los espacios de fases correspondientes –quees solo dependiente de la cinematica–, podemos calcular secciones eficaces.
38
4.10 Ejemplo: interacciones nucleares
En QCD –mas adelante lo veremos mas explicito– las excitaciones de mas baja energia (lasmas ligeras) son los piones –escalares– y los nucleones –fermiones–. Como el pion es unescalar, introduzcamos un campo escalar π con masa mπ. Como cada nucleon –neutrony proton– es un fermion, introduzcamos dos campos de spin 1/2 –ver siguiente capitulo–que llamaremos ni, tal que n1 sera el proton y n2 el neutron. Como su masa es casi casiigual, supongamos que ambos tienen masa mn. El Lagrangiano mas general posible coninteracciones marginales es
S =
∫1
2∂µπ ∂
µπ − m2π
2π2 + ni γ
µ∂µ ni −mn ni ni − λ ni γ5 nj π (150)
En realidad el prion es un pseudoescalar, por lo que el termino de interaccion deberia ser∫λ ni γ5 ni π. De momento olvidemonos de esta sutileza.Calculemos ahora el proceso ni + ni → nj + nj. Como mn >> mπ, podemos suponer
que los nucleones estan en reposo. El diagrama relevante es
Ya que conocemos el propagador del escalar (pion) podemos calcular el diagrama, quevale
M = (−i λ)2 i
p2 −m2π + i ε
= −i λ2 1
p2 −m2π + i ε
(151)
Comparando con la regla de oro de Fermi, esto debe ser esencialmente la transformadade Fourier del potencial de interaccion entre nucleones
V = −λ∫
d3~p
(2 π)3
e−i ~p·(~x1−~x2)
~p2 +m2π − i ε
(152)
La integral converge sin necesidad del i ε. Debemos pues calcular
∫d3~p
(2 π)3
e−i ~p·~z
~p2 +m2π
(153)
Donde ~x1 − ~x2 = ~z. Para hacer esta integral escribamosla en coordenadas polares
∫dθ dφ dp
(2 π)3sin θ p2 e
−i p z cos θ
p2 +m2π
(154)
39
Donde usamos la notacion |~x| = x. Aqui p ∈ [0,∞]. Integrando en φ, θ
∫dp
(2 π)2
p2
~p2 +m2
∫dθ e−i p z cos θ sin θ = −i
∫dp
(2 π)2
p2
p2 +m2π
ei p z − e−i p zp z
(155)
La integral es
− iz
∫ ∞
0
dp
(2π)2
p
p2 +m2π
(ei p z − e−i p z) (156)
Separemos la integral como
− iz
∫ ∞
0
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
ei p z +i
z
∫ ∞
0
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
e−i p z (157)
En la segunda integral hagamos p→ −p. Tenemos
− iz
∫ ∞
0
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
ei p z +i
z
∫ −∞
0
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
ei p z (158)
Invirtiendo los limites de integracion en la segunda integral tenemos
− iz
∫ ∞
0
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
ei p z − i
z
∫ 0
−∞
dp
(2 π)2
p
p2 +m2π
ei p z = − iz
∫ ∞
−∞
dp
(2π)2
p
p2 +m2π
ei p z
(159)La integral a hacer ahora tiene los polos en ±imπ. Como z > 0, podems cerrar el contornopor arriba, capturando en sentido contrahorario el polo en imπ. Por lo tanto la integral es(2 π i) Res. Esto es
− iz
∫ ∞
−∞
dp
(2π)2
p
p2 +m2π
ei p z = − iz
2 π i
(2 π)2
e−mz
2=
1
4π ze−mπ z (160)
Por lo tanto
V = −λ2 1
4π ze−mπ z (161)
Esto se conoce como potencial de Yukawa. Media, de modo efectivo, la interaccion entreparticulas atomicas a traves de mesones. De la formula de arriba se desprende que, paracargas iguales, el campo escalar produce una fuerza atractiva, mientras que para cargasdiferentes produce una fuerza repulsiva.
5 Spin 12
Hasta ahora hemos trabajado con particulas escalares. Por eso nuestros operadores crea-cion/destruccion eran simplemente a, a†, de manera que al combinarlos en campos lo
40
que obtenemos es un campo escalar. Sin embargo sabemos que hay particulas de spin 1/2–i.e. fermiones. De hecho, las particulas fundamentales leptones y quarks son fermionesde spin 1/2!
5.1 Preludio historico
Es interesante conocer el desarrollo historico de las ideas. Tras el descrubrimiento de lamecanica cuantica, una pregunta evidente era su generalizacion relativista. En mecanicacuantica los postulados fundamentales son la asuncion de que un sistema se describe poruna funcion de onda compleja que vive en un espacio de Hilbert cuya evolucion temporalesta descrita por una ecuacion de Schrodinger
H ψ = i ∂t ψ (162)
El que aparezca solo la primera derivada temporal esta intimamente ligado con la conser-vacion de la probabilidad en la interpretacion de Copenhage. Tomemos la particula librepor sencillez –escojamos la masa para simplificar los factores numericos a 1 y asi no liarnoscon numeros irrelevantes–
−~∂2ψ = i ∂tψ (163)
Si definimos la densidad de probabilidad como ρ = ψ?ψ, resulta que, usando la eq. deSchrodinger
∂tρ = ∂tψ ψ? + ψ ∂tψ
? = i ~∂2ψ ψ? − i ψ ~∂2ψ? = ~∂(iψ? ~∂ψ − i ψ ~∂ψ?
)= ~∂~j (164)
Donde hemos definido una corriente de probabilidad ~j. Es decir, la ecuacion de Schrodingerasegura una ley de conservacion de la probabilidad. Como las soluciones de la ecuacion deSchrodinger son ondas planas
ψ = ei ~p2 t−i ~p·~x (165)
Esta claro que ρ = 1 –es decir, recuperamos la familiar particula libre completamentelocalizada en espacio de momentos y deslocalizada en espacio de posiciones.
Si quisiesemos estudiar una particula relativista, en principio lo natural seria tomar elhamiltoniano para una particula relativista y cuantizarlo promoviendo ~x, ~p a operadores.Sin embargo la relacion de dispersion relativista E =
√~p2 +m2, debido a la raiz cuadrada,
no se deja. La solucion obvia es tomar E2 = ~p2 + m2, lo que llevaria a una ecuacion deSchrodinger de la forma
−∂2t ψ = (−~∂2 +m2)ψ (166)
Esta es la ecuacion de Klein-Gordon. Como lleva una derivada temporal segunda ahora laley de conservacion ∂tρ = ~∂~j exige definir
41
ρ = i ψ? ∂t ψ − i ψ ∂t ψ? ~j = i ψ? ~∂ ψ − i ψ ~∂ ψ? (167)
En notacion covariante, podriamos definir un cuadrivector jµ = (ρ, ~j), tal que la ecuacionde continuidad es simplemente ∂µ j
µ = 0.Las soluciones de la eq. de Klein-Gordon son tambien ondas planas de la forma
ψ = e±i ωp t±i ~p·~x ω2p = ~p2 +m2 (168)
Sin embargo ahora tendriamos que
ρ ∼ ±ωp (169)
Es decir, nada asegura que tengamos probabilidades positivas. Como esto es un desastreenorme, Dirac, intentado encontrar una teoria con probabilidades positivas trato de buscarun hamiltoniano compatible con la relacion de dispersion relativista a la vez que conprimeras derivadas. Propuso
HD = ~α · ~P + β m (170)
de manera que la dinamica de la funcion de onda venga dada de nuevo por una ecuacioncon derivada primera respecto al tiempo HDψ = i∂tψ.
Para que este hamiltoniano sea consistente con la relatividad especial, debe ocurrir que
H2D = ~P 2 +m2. Eso implica que
αi, αj = 2 δij β2 = 1 αi, β = 0 (171)
Evidentemente esto con numeros no se puede hacer, asi que Dirac se vio obligado a asumirque sus αi, β son matrices y que por lo tanto ψ es un “vector” columna en el espaciodonde estas matrices actuan.
Supongamos por un momento que m = 0. En tal caso las relaciones de arriba sesatisfacen para αi = σi, siendo σi las matrices de Pauli. Como estas son 2 × 2, el ψ esun vector columna con dos entradas. La ecuacion de Dirac queda entonces (escojamos laparticula moviendose solo en el eje x = x3 por sencillez)
(i ∂x − i ∂t 0
0 −i ∂x − i ∂t
) (ψ1
ψ2
)= 0 (172)
Con lo que las soluciones son de la forma
ψ =
(ei p (−t−x)
ei p (t−x)
)(173)
Y la densidad de probabilidad, que es ρ = ψ†ψ seria ρ ∼ 1 –es decir, una constante, modulola normalizacion que no estamos discutiendo–. Esto sin embargo no tiene sentido en unateoria relativista: si ψ es una “funcion de onda”, la particula tendria una probabilidad no
42
nula de presencia en cualquier parte del espacio, en particular fuera del cono de luz. Esoes evidentemente un sinsentido en una teoria relativista.
Ademas, actuando con i∂t resulta que tendriamos soluciones de energia negativa ypositiva, lo que tampoco tiene ningun sentido.
Dirac decidio interpretar las soluciones de energia negativa como un hueco de energiapositiva. Es decir, asumio que el espacio estaba lleno de electrones hasta una energia E0.Las excitaciones de electrones sobre esa energia son las que veriamos en la experiencia.Podemos poner ese E0 –que es analogo a la energia de Fermi en materia condensada– a0. Excitando un electron del mar de electrones de E < 0 a E > 0 dejamos en el mar unhueco, que se comportaria como estas nuevas soluciones extragnas.
Al hacer esto Dirac estaba cambiando de una mecanica cuantica a una teoria cuanticade campos. En lenguaje moderno, la clave es que ψ no es una funcion de onda, sinoun campo cuantico que contiene todas las posibles excitaciones con un numero arbitrariode particulas –el mar de Dirac esta ahi contenido!–. Ademas, desde este punto de vista,interpretando ψ no como una funcion de onda, sino como un campo, la causalidad semanifiesta como la propagacion nula de las perturbaciones del campo fuera del cono deluz, es decir, en que el conmutador –en realidad anticonmutador– del campo es cero fueradel cono de luz.
La interpretacion moderna es como dijimos antes: para un sistema relativista debemospermitir creacion/destruccion de particulas. El formalismo adecuado es el de la teoriacuantica de campos. Para el caso del electron lo que debemos hacer es intoducir un campo–ahora fermionico dado el spin 1
2– y escribir una teoria de campos para sus interacciones.
5.2 La ecuacion de Dirac
La leccion es que para el electron debemos usar un campo cuya ecuacion de movimientoes la ecuacion de Dirac
i ∂tψ = −i ~α · ~∂ψ +mβψ (174)
Con
αi, αj = 2 δij β2 = 1 αi, β = 0 (175)
Multipliquemos por β y definamos γµ = (β, β ~α). Entonces la ecuacion de Dirac queda
(i γµ ∂µ −m)ψ = 0 (176)
Usando las propiedades de (β, ~α)
γµ, γν = 2 ηµν (177)
Notese que se puede definir una quinta matriz de Dirac
γ5 = i γ0 γ1 γ2 γ3 (178)
43
tal que anticonmuta con todas las otras matrices γµ, γ5 = 0.Definiendo
ψ = ψ† γ0 (179)
es muy facil ver que
jµ = i ψ γµ ψ ; ∂µ jµ = 0 (180)
Una posible solucion para ~α, β es la representacion de Dirac-Pauli
~α =
(0 ~σ~σ 0
)β =
(l1 00 − l1
)(181)
Evidentemente esto implica que nuestro ψ es ahora de 4 componentes. Notese que antesera de dos componentes debido a que al tener m = 0 la matriz β simplemente no esta. Asipues, para m = 0, la representacion minima es de dos componentes, mientras que param 6= 0 la representacion minima es de 4 componentes. A estos “vectores” ψ se les llamaspinores.
5.2.1 Soluciones de la ecuacion de Dirac
El hamiltoniano de Dirac es
HD =
(m ~σ · ~p~σ · ~p −m
)(182)
Escribiendo
ψ = e−i E t(uAuB
)(183)
con uA,B dos spinores de 2 componentes, tenemos, en espacio de momentos
~σ · ~p uA = (E +m)uB ~σ · ~p uB = (E −m)uA (184)
Ya que m > 0, es ahora obvio que tenemos dos soluciones en funcion de que E sea mayoro menor que 0:
• E > 0: en tal caso E +m 6= 0 y podemos escribir, usando la primera ecuacion, que
uB =~σ · ~pE +m
uA (185)
Notese que si metemos esto en la segunda ecuacion
~σ · ~p( ~σ · ~pE +m
uA
)= (E −m)uA (186)
44
tenemos
σi σj pi pjuA = (E2 −m2)uA (187)
Usando las propiedades de las matrices de Pauli
~p2 uA = (E2 −m2)uA (188)
Y dado que la particula esta on shell satisface E2 − m2 = ~p2, de manera que lasegunda ecuacion se satisface automaticamente,
Volviendo a la solucion que obtuvimos, como uA es un spinor de dos componentesarbitrario, podemos escoger como base entre
χi = (
10
),
(01
) (189)
Asi pues, el spinor completo es
ui =
(χi
~σ·~pE+m
χi
)(190)
• E < 0: en tal caso E −m 6= 0 y podemos escribir
uA =~σ · ~pE −m uB (191)
Al igual que antes, ahora la primera ecuacion se satisface automaticamente. Ahoratambien uB es un spinor de dos componentes arbitrario, podemos escoger como basede vuelta ξi, asi pues, el spinor completo es
ui+2 =
(~σ·(−~p)|E|−m χ
i
χi
)(192)
Notese que podemos pensar los spinores ui+2 como de energia positiva –por eso hemospuesto |E|– y momento negativo –dependen de −~p–.
Notese que u1, u2 se corresponden con E > 0 y u3, u4 se corresponden con E < 0.Volviendo a la notacion de Dirac, la ecuacion de Dirac en espacio de momentos es (es
tradicional definir e.g. /p = γµ pµ)
(/p−m)ψ = 0 (193)
Para los spinores u1,2 podemos escribir
45
(/p−m)ui = 0 i = 1, 2 (194)
En espacio de posiciones estos spinores son
u1, 2 = u1, 2(~p) e−i ~p·~x (195)
Sin embargo, para los spinores de energia negativa, que dependen de −~p, podemos escribir
u3, 4 = u3, 4(−~p) ei ~p·~x (196)
Es util definir u3(−~p) = v2(~p), u4(−~p) = v1(~p), de manera que la ecuacion de Dirac paraestos vi es (hay que mandar (E, ~p) a −(E, ~p))
(/p+m) vi = 0 i = 1, 2 (197)
Si tuviesemos un campo electromagnetico de fondo la diferencia entre ui, vi seria evidente:en presencia de un Aµ la ecuacion de Dirac para ui seria –esto lo veremos mas profunda-mente en el capitulo siguiente–
(/p− i e /A−m)ui = 0 i = 1, 2 (198)
De manera que los vi satisfarian una ecuacion analoga pero cambiando −e por +e, es decir,la carga opuesta. Son las antiparticulas. Esta es la realizacion explicita de la teoria delmar de Dirac: las soluciones de energia negativa tienen carga opuesta y por lo tanto secomportan exactamente como la original pero con la carga al reves, esto es, como un huecoen el mar de electrones. A esta nueva particula de carga opuesta se le llama positron. Aveces se denota como e+ por contra al electron, que seria e−.
Por ultimo, los spinores ui, vi satisfacen las reglas de completitud
∑
i=1, 2
ui(~p) ui(~p) = (/p+m)∑
i=1, 2
vi(~p) vi(~p) = (/p−m) (199)
5.2.2 Spin 12
El momento angular definido de manera usual es
L = ~x× ~p (200)
Usando las reglas de conmutacion usuales [xi, pj] = i δij, es facil ver que el hamiltonianode Dirac satisface que
[HD, ~L] = −i (~α× ~p) (201)
Es decir, el momento angular no se conserva!. Sin embargo, si definimos
~Σ =
(~σ 00 ~σ
)(202)
46
resulta que
[HD, ~Σ] = 2 i (~α× ~p) (203)
Asi pues esta claro que definiendo un momento angular total como
~J = ~L+1
2~Σ (204)
si tendremos [HD, ~J ] = 0.
El momento angular “intrinseco” representado por ~Σ es el spin. Esta pues claro que el
electron tiene spin, ya que evidentemente ~Σψ 6= 0. Es util formar la cantidad escalar
λ =1
2~Σ · ~up (205)
donde up = ~p|~p| es el vector unitario que apunta en la direccion de movimiento. A h se
llama helicidad. Da informacion sobre la proyeccion del spin a lo largo de la direccionde movimiento. Si tomamos la base ξi de arriba, esta claro que χ1 tiene helicidad 1/2mientras que χ2 tiene helicidad −1/2. Esto indica que el electon –o mas generalmenteaquello descrito por el campo de Dirac– tiene spin 1/2.
5.3 Masa cero y quiralidad
Como vimos, si la masa es 0 en realidad no necesitamos la matriz β. A la vez, las rela-ciones restantes se satisfacen facilmente tomando αi = σi. La ecuacion para dicho caso essimplemente
~σ · ~pψ = E ψ (206)
Pero en el lado izquierdo de la ecuacion lo que tenemos es proporcional la helicidad: lassoluciones de energia positiva tienen helicidad positiva mientras que las soluciones de en-ergia negativa tienen helicidad negativa.
Con esto en mente podemos construir otra representacion de las matrices de Dirac:
γ0 =
(0 l1l1 0
)γi =
(0 σi
−σi 0
)(207)
En esta representacion
γ5 =
(− l1 00 l1
)(208)
Asi pues
P± =l1 ± γ5
2(209)
47
es un proyector a las dos componentes superiores (para P−) o a las 2 inferiores (para P+).Estas dos componentes son los spinores de dos componentes con helicidades positiva –left handed– o negativa –right handed– minimales que podemos definir para particulas sinmasa.
5.4 El campo de spin 12 cuantizado
Siguiendo la estrategia general, si estamos interesados en una teoria cuantica para el elec-tron debemos empezar por asociar un campo al electron. Vimos que para el electron demasa m, como es un fermion, debemos usar el campo de Dirac. La ecuacion de Dirac sesigue de la accion
S =
∫d4x i ψ /∂ψ −mψ ψ (210)
Tomando la variacion de S con respecto a ψ es directo que la ecuacion de movimiento paraψ es la ecuacion de Dirac.
Para construir una teoria cuantica de campos de particulas de spin 12, procediendo
segun la hoja de ruta, debemos construir el funcional generador
Z[J , J ] =
∫DψDψ ei
∫d4x i ψ /∂ψ+mψ ψ+J ψ+ψ J (211)
Donde J , J son las fuentes, de manera que Z[J , J ] es el funcional generador.Como es una teoria libre la unica regla de Feynman es el propagador. Para calcularla
vamos a seguir un pequegno atajo. Ya que sabemos que el propagador de Feynman es lafuncion de Green con la prescripcion +i ε para rodear los polos, podemos tomar la ecuacionde Dirac y ponerle una fuente tipo δ en el espacio de spinores
(i /∂ +m)G = −i δ (212)
En espacio de momentos esto es
(/p−m)G = i ; G =i
/p−m(213)
Recuperando la prescripcion del i ε
DF =i
/p−m+ i ε(214)
Muchas veces es util multiplicar y dividir por /p + m. En el denominador, usando laspropiedades de las γ’s
(/p−m) (/p+m) = p2 −m2 (215)
De manera que podemos escribir
48
DF =i (/p+m)
p2 −m2 + i ε(216)
Notese que la estructura analitica del propagador –la presencia de polos– es igual a ladel caso escalar. De hecho refleja el hecho basado en la asuncion tan general como es lacausalidad de que el termino cinetico tiene dos derivadas.
5.4.1 Cuantizacion canonica
Aunque no lo vamos a hacer en detalle, si fuesemos a estudiar la cuantizacion canonicade un sistema de fermiones procederiamos como en el caso bosonico: introduciriamos unespacio de Fock y unos operadores creacion/destruccion actuando sobre los estados dedicho espacio. Llamemos a esos operadores b, b†. La clave es que, dado que la particulaa crear es spinorial, en lugar de imponer unas relaciones de conmutacion [am, a
†n] = δm,n,
hay que imponer relaciones de anticonmutacion tipo
bm, b†n = δm,n (217)
que hacen que el anticonmutador del campo ψ ∼∫bp u(p) ei p x + c.c
ψ(t, ~x), ψ(t′, ~y) (218)
se anulen fuera del cono de luz. Es decir, la condicion de causalidad fuerza para la partic-ula de spin 1/2 a usar anticonmutadores. Notese que los anticonmutadores hacen que elcuadrado del operador creacion sea 0: no podemos poner mas de una particula encada estado. Esto no es mas que el principio de exclusion de Pauli, que viene forzadopor la causalidad. Esta relacion entre spin y estadistica a traves de la causalidad en teoriacuantica de campos se conoce como teorema de spin estadistica.
6 Interacciones electromagneticas: QED
QED es la teoria que describe las interacciones electromagneticas. Todas las particulas car-gadas sienten esta fuerza. Como es una fuerza de largo alcance es –junto con la gravedad–la relevante a las escalas de nuestra experiencia cotidiana. Empecemos pues por estasfamiliares interacciones electromagneticas. Siguiendo nuestra estrategia general, para es-cribir una teoria para las interacciones electromagneticas entre materia –particulas de spin1/2– cargada neesitaremos, para empezar, un campo asociado a cada tipo de particulacon carga electromagnetica. Consideremos por sencillez uno de ellos, por ejemplo nuestrofamiliar electron. Como describimos, siguiendo la estrategia general, si estamos interesadosen una teoria cuantica para el electron debemos empezar por asociar un campo al electron.Vimos que para el electron de masa m, como es un fermion, debemos usar el campo deDirac. La ecuacion de Dirac se sigue de la accion
49
S =
∫d4x i ψ /∂ψ −mψ ψ (219)
Tomando la variacion de S con respecto a ψ es directo que la ecuacion de movimiento paraψ es la ecuacion de Dirac.
Esta accion es invariante bajo
ψ → ei α ψ (220)
donde α es un numero –transformacion global, ya que el campo transforma igual en todoslos puntos del espacio!!!–. La corriente conservada es
jµ = i ψγµψ (221)
Notese que j0 = ρ es la densidad de probabilidad que vimos antes.Como al final esta es la corriente asociada a la carga electrica del electron, es razonable,
si queremos tener en cuenta la interaccion electromagnetica, acoplarla al campo electro-magnetico agnadiendo un termino en la accion −
∫eAµ j
µ, es decir, considerando
S =
∫d4x i ψ γµ (∂µ + i eAµ)ψ −mψ ψ (222)
donde e es la carga del electron –tomemosla en valor absoluto. El signo sera el signo globaldel termino de interaccion–.
6.1 Invariancia gauge
Todo el mundo sabe que el campo electromagnetico se obtiene a partir del potencial vectorAµ. Construyendo el tensor de campo
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (223)
tenemos que los campos electrico y magnetico son
Ei = F0i Bi =1
2εijkF
jk (224)
Ahora bien, a la vista de Fµν , esta claro que los mismos ~E, ~B se obtienen si hacemos
Aµ → Aµ + ∂µϕ (225)
donde ϕ es una funcion arbitraria. Esta transfromacion se conoce como transformaciongauge.
Esta transformacion tiene un curioso efecto sobre el lagrangiano de Dirac: si hacemosuna transformacion gauge tenemos que
S →∫d4x i ψ γµ (∂µ + i eAµ + i e ∂µϕ)ψ +mψ ψ (226)
50
Ahora bien, si ahora hacemos una rotacion local en la fase de ψ tal que ψ → eiα ψ; yasumimos que α en lugar de ser un numero real es una funcion real α = −e ϕ, resulta queel termino con ϕ desaparece por completo: la accion es invariante gauge. Como latransformacion gauge en el campo de materia es una rotacion de fase, i.e. el grupo U(1),la invariancia gauge es bajo el grupo U(1).
De hecho, podemos construir
Dµ = ∂µ + i eAµ (227)
que es un operador diferencial que actua sobre un campo ψ. La clave es que bajo trans-formacion gauge
ψ → ei e ϕ ψ Aµ → Aµ − ∂µϕ (228)
resulta que
Dµψ → ei ϕDµψ (229)
es decir, Dµψ se transforma bajo rotacion gauge como ψ. Por eso al objeto Dµ se le llamaderivada covariante, ya que Dµψ es covariante bajo la transformacion U(1).
El principio de invariancia gauge es absolutamente central en fisica. Ya que debemospreservar la invariancia gauge, podemos seguir ese principio para escribir el termino cineticopara el Aµ. Como ha de ser un escalar con dos derivadas, la expresion mas general es
S[A] =
∫α1 ∂µAν ∂
µAν + α2 ∂µAν ∂ν Aµ (230)
con α1, 2 dos numeros a ajustar para que S[A] sea invariante gauge. Bajo una transforma-cion gauge infinitesimal
δS[A] =
∫α1 ∂µAν ∂
µ ∂νϕ+ α1 ∂µ ∂νϕ∂µ ∂νϕ+ α2 ∂µ ∂νϕ∂
ν Aµ + α2 ∂µAν ∂ν ∂µϕ (231)
asi que si α2 = −α1 el S[A] es invariante gauge. Pero en tal caso resulta que S[A] ∼∫Fµν F
µν . Esto era de esperar, ya que F µν era invariante. 14
Asi pues, el lagrangiano describiendo de manera invariante gauge la interaccion entreelectrones y fotones es
S =
∫d4x − 1
4Fµν F
µν + i ψ γµ (∂µ + i eAµ)ψ +mψ ψ (232)
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
14En realidad es covariante gauge, si bien al estar en la representacion adjunta, que es trivial para U(1),aparece como invariante. Esto sera importante para teorias no abelianas.
51
Z =
∫DAµDψDψ ei
∫d4x− 1
4Fµν Fµν+i ψ γµ (∂µ+i eAµ)ψ+mψ ψ+J ψ+ψ J+Jµ Aµ (233)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµconectados por Aµ → Aµ + ∂µϕ son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Siguiendo nuestra hoja de ruta, vamos a asumir que la constante de acoplo –en este casola carga del electron– es pequegna, de manera que podemos hacer teoria de perturba-ciones. Para ello necesitamos conocer las reglas de Feynman. Ya sabemos el propagadordel fermion:
De =i (/p+m)
p2 −m2 + i ε(234)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
Dγ =i ηµν
p2 + i ε(235)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangianoψγµAµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = −i e γµ (236)
Resumiendo
52
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
Z =
ZDAµ D D ei
Rd4x 1
4Fµ F µ+i µ (@µ+i e Aµ) +m +J + J+Jµ Aµ
(232)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµ
conectados por Aµ ! Aµ + @µ' son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Ya sabemos el propagador del fermion:
De =i (/p + m)
p2 m2 + i (233)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
D =i µ
p2 + i (234)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangiano µ Aµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = i e µ (235)
6.2.1 Patas externas
Como vimos antes, para calcular amplitudes de scattering nos vale con considerar dia-gramas conexos. Entonces, si adoptamos la prescripcion de no poner los propagadoresexternos ya tendremos en cuenta los factores de LSZ. Para el campo escalar, como vimos,eso era todo. Sin embargo, si tenemos campos con espacio interno –por ejemplo spin, opolarizacion para un foton– debemos indicar su estado de polarizacion. Asi pues
• Fermion in/out: u/ u
• Antifermion in/out: v/ v
• Foton in/out: µ/ ?µ
49
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
Z =
ZDAµ D D ei
Rd4x 1
4Fµ F µ+i µ (@µ+i e Aµ) +m +J + J+Jµ Aµ
(232)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµ
conectados por Aµ ! Aµ + @µ' son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Ya sabemos el propagador del fermion:
De =i (/p + m)
p2 m2 + i (233)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
D =i µ
p2 + i (234)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangiano µ Aµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = i e µ (235)
6.2.1 Patas externas
Como vimos antes, para calcular amplitudes de scattering nos vale con considerar dia-gramas conexos. Entonces, si adoptamos la prescripcion de no poner los propagadoresexternos ya tendremos en cuenta los factores de LSZ. Para el campo escalar, como vimos,eso era todo. Sin embargo, si tenemos campos con espacio interno –por ejemplo spin, opolarizacion para un foton– debemos indicar su estado de polarizacion. Asi pues
• Fermion in/out: u/ u
• Antifermion in/out: v/ v
• Foton in/out: µ/ ?µ
49
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
Z =
ZDAµ D D ei
Rd4x 1
4Fµ F µ+i µ (@µ+i e Aµ) +m +J + J+Jµ Aµ
(232)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµ
conectados por Aµ ! Aµ + @µ' son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Ya sabemos el propagador del fermion:
De =i (/p + m)
p2 m2 + i (233)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
D =i µ
p2 + i (234)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangiano µ Aµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = i e µ (235)
6.2.1 Patas externas
Como vimos antes, para calcular amplitudes de scattering nos vale con considerar dia-gramas conexos. Entonces, si adoptamos la prescripcion de no poner los propagadoresexternos ya tendremos en cuenta los factores de LSZ. Para el campo escalar, como vimos,eso era todo. Sin embargo, si tenemos campos con espacio interno –por ejemplo spin, opolarizacion para un foton– debemos indicar su estado de polarizacion. Asi pues
• Fermion in/out: u/ u
• Antifermion in/out: v/ v
• Foton in/out: µ/ ?µ
49
$
$
$
6.2.1 Patas externas
Como vimos antes, para calcular amplitudes de scattering nos vale con considerar dia-gramas conexos. Entonces, si adoptamos la prescripcion de no poner los propagadoresexternos ya tendremos en cuenta los factores de LSZ. Para el campo escalar, como vimos,eso era todo. Sin embargo, si tenemos campos con espacio interno –por ejemplo spin, opolarizacion para un foton– debemos indicar su estado de polarizacion. Asi pues
• Fermion in/out: u/ u
• Antifermion in/out: v/ v
• Foton in/out: εµ/ ε?µ
Los u, v son nuestros viejos conocidos spinoriales. Recordemos que sus relaciones decompletitud son
∑
i=1, 2
ui(~p) ui(~p) = (/p+m)∑
i=1, 2
vi(~p) vi(~p) = (/p−m) (237)
Por otra parte εµ representa la polarizacion del foton. Fijando completamente el gauge,si el foton tiene momento q, el ε satisface
ε0 = 0 ~q · ε = 0 (238)
Suponiendo el foton moviendose en x3, podemos resolver estos constraints como
53
~ε1 =
ξ1
00
~ε2 =
0ξ2
0
(239)
Es util formar las combinaciones circularmente polarizadas εL,R como
~εL = − 1√2
(~ε1 + i~ε2) ~εR =1√2
(~ε1 − i~ε2) (240)
Estos tambien satisface una relacion de completitud
∑
λ=R,L
(ελ)?i (ελ)j = δij −
qi qj~q2
(241)
Resumiendo, para las patas externas fermionicas
uu vv
6.2.2 El vertice de QED y el momento magnetico
Si nos fijamos en el vertice de QED, por ejemplo para un electron entrando y saliendotenemos que este contribuye a cada diagrama como
uout γµ uin (242)
Esto se puede escribir como (descomposicion de Gordon)
uout γµ uin = uin
1
2m
[(pin + pout)
µ + i σµν (pout − pin)ν
]uout (243)
donde
σµν =i
2[γµ, γν ] (244)
Notemos que, en por ejemplo la representacion de Dirac-Pauli
σ0i =i
2
(−σi 0
0 σi
)(245)
En esta representacion
γ5 =
(l1 00 − l1
)(246)
54
Asi que podemos escribir que σ0iγ5 = Si, esto es, el termino con σµν representa unainteraccion asociada al spin 1/2. Debe ser por lo tanto mediada por el campo magnetico.Por lo tanto, para un electron la interaccion es debida tanto a su carga como a su momentomagnetico –que es debido a su spin–.
Evidentemente este vertice esta corregido por diagramas de orden superior. Dichascorrecciones cambian ligeramente la razon entre el acoplo “electrico” y el “magnetico”. Lamagnitud de dicha correccion es muy sensible a nueva fisica –en particular para el muon:es el famoso g−2, que es la desviacion del valor, en cierta normalizacion 2, de ese momentomagnetico con respecto a QED–.
6.3 QED en el SM
En nuestra discusion sobre QED hemos supuesto por sencillez que solo hay un tipo de par-ticula cargada bajo el campo electromagnetico: el electron. En realidad hay mas particulasfundamentales con carga electromagnetica: tanto los quarks como los leptones –salvo losneutrinos– tienen carga electrica. Asi pues, podramos haber escrito todos esos camposcomo un “vector” Ψi = (electron, muon, . . . ) y escribir un lagrangiano general.15 Hastaahora nos hemos centrado en el trozo que solo contiene al electron. Sin embargo, ademasde este, en realidad el foton se acopla a todas las demas particulas. Es particularmenteutil un tipo de proceso en el que un electron y un positron se aniquilan en un foton queproduce despues un par de otro tipo de particula, por ejemplo un muon.
6.3.1 e+ e− → µ+ µ−
El proceso e+ e− → µ+ µ− es de gran importancia: es un proceso clave en QED basicoen un colisionador de leptones como era LEP. Ademas sirve como modelo simplificadopara procesos de QCD e+ e− → q q. Es por eso por lo que es muy interesante calcularloexplicitamente.
El diagrama relevante es (5).Usando las reglas de Feynman, este vale
vs′(p′)(−i e γµ)us(p)
−i ηµνq2
ur(k)(−i e γν) vr′(k′) (247)
donde estamos exhibiendo explicitamente los indices de spin s, s′, r, r′ de los fermiones.Por lo tanto –llamemos M al diagrama, ya que controla el elemento de matriz que
queremos calcular–
M = −i e2
q2vs′(p′) γµ us(p) ur(k) γµ v
r′(k′) (248)
En realidad necesitamos |M|2. Para ello necesitamos calcular en general (v γµ u)?. Usandolas propiedades de las matrices γ y los spinores, resulta que
15En realidad esto no tendria sentido, ya que las otras fuerzas de la naturaleza si distinguen esos otrostipos de particulas. Por eso no vamos ni siquiera a escribir dicha teoria para Ψi.
55
Figure 5: Diagrama relevante para e+ e− → µ+ µ−
(v γµ u)? = u γµ v (249)
Por lo tanto
|M|2 =e4
q4
(vs′(p′) γµ us(p) ur(k) γµ v
r′(k′))(
us(p) γν vs′(p′) vr
′(k′) γν u
r(k))
(250)
Esto lo podemos reordenar como
|M|2 =e4
q4
(vs′(p′) γµ us(p) us(p) γν vs
′(p′))(
ur(k) γµ vr′(k′)vr
′(k′) γν u
r(k))
(251)
Como muchas veces en el experimento no hay control sobre la polarizacion vamos a tomarel promedio en spin. Para eso hay que sumar a s, s′, r, r′ y dividir entre los 4 posiblesestados. Es decir
|Mup|2 =1
4
e4
q4
∑
s, s′, r, r′
(vs′(p′) γµ us(p) us(p) γν vs
′(p′))(
ur(k) γµ vr′(k′)vr
′(k′) γν u
r(k))
(252)Debido a las sumas sobre spines, podemos usar las relaciones de completitud. Trozo atrozo
56
∑
s, s′
vs′(p′) γµ us(p) us(p) γν vs
′(p′) =
∑
s, s′
vs′
α (p′) γµαβ usβ(p) usγ(p) γ
νγρ v
s′
ρ (p′) (253)
Donde hemos sacado explicitamente los indices spinoriales –indices griegos–. Reordenando
(∑
s
usβ(p) usγ(p))(∑
s′
vs′
α (p′) vs′
ρ (p′))γµαβ γ
νγρ (254)
Usando las relaciones de completitud (para los spinores del electron, por eso debemos usarla masa del electron me)
(/p+me)βγ (/p′ −me)ρα γµαβ γ
νγρ = Tr
((/p′ −me)γ
µ (/p+me) γν)
(255)
Haciendo lo mismo para el otro trozo –donde ahora aparecera la masa del muon mµ–
∑
r, r′
ur(k) γµ vr′(k′)vr
′(k′) γν u
r(k) =∑
r, r′
urα(k) (γµ)αβ vr′
β (k′)vr′
γ (k′) (γν)γρ urρ(k) (256)
=(∑
r
urα(k)urρ(k))(∑
r′
vr′
β (k′)vr′
γ (k′))
(γν)γρ (γµ)αβ
Usando las relaciones de completitud
(∑
r
urα(k)urρ(k))(∑
r′
vr′
β (k′)vr′
γ (k′))
(γν)γρ (γµ)αβ = (/k +mµ)ρα (/k′ −mµ)βγ (γν)γρ (γµ)αβ(257)
= Tr(
(/k +mµ) γµ (/k′ −mµ) γν)
Asi que todo junto
|Mup|2 =e4
4 q4Tr(
(/p′ −me)γµ (/p+me) γν
)Tr(
(/k +mµ) γµ (/k′ −mµ) γν)
(258)
Necesitamos calcular cada traza. En general tenemos que calcular
Tr(
(/P −m)γµ (/L+m) γν)
= Tr(/Pγµ/Lγν +m /Pγµγν −mγµ/Lγν −m2 γµγν
)(259)
Usando las identidades para trazas de matrices γ esto es
Tr(/Pγµ/Lγν
)−m2 Tr
(γµγν
)= Pα Lβ Tr
(γαγµγβγν
)−m2 Tr
(γµγν
)(260)
Que es
57
4Pα Lβ
(ηαµ ηβν − ηαβ ηµν + ηαν ηµβ
)− 4m2 ηµν = 4
(P µ Lν + P ν Lµ − P Lηµν −m2 ηµν
)
(261)Asi pues
Tr(
(/p′ −me)γµ (/p+me) γ
ν)
= 4(p′µ pν + p′ν pµ − p′ p ηµν −m2
e ηµν)
(262)
y
Tr(
(/k +mµ) γµ (/k′ −mµ) γν
)= 4(k′µ kν + k′ν kµ − k′ k ηµν −m2
µ ηµν
)(263)
Como me << mµ, hagamos la simplificacion de me = 0. Entonces el producto de los dostrozos de arriba es
16(p′µ pν+p′ν pµ−p′ p ηµν
)(k′µ kν+k
′ν kµ−k′ k ηµν−m2
µ ηµν
)= 32
((p′ k′) (p k)+(p′ k) (p k′)+m2
µ p′ p)
(264)Asi que todo junto
|Mup|2 =8 e4
q4
((p′ k′) (p k) + (p′ k) (p k′) +m2
µ p′ p)
(265)
Particularicemos ahora estas formulas para el sistema centro de masas, donde el 3-momentoinicial total es 0. Como los electrones son de masa 0 sus 4-momentos son p = (E, 0, 0, E)
y p = (E, 0, 0, −E). Analogamente, para los muones salientes k = (E, ~k) y k′ = (E, −~k),
como en la figura (6). Llamaremos θ al angulo entre ~k y el eje x3 en donde apuntan los
momentos iniciales de los electrones, es decir ~k · ~x3 = |~k| cos θ.Entonces
p′ k′ = p′ k′ = E2−E |~k| cos θ p′ k = p k′ = E2+E |~k| cos θ p′ p = 2E2 q2 = (p+p′)2 = 4E2
(266)Asi que
|Mup|2 = e4[(
1 +m2µ
E2
)+(
1− m2µ
E2
)cos2 θ
](267)
Para calcular la seccion eficaz necesitamos multiplicar por el elemento de volumen en elespacio de fases. En este caso, en el sistema centro de masas con dos particulas de igualmasa en el estado final esta dado por (se puede ver la derivacion en la bibliografia. Aquicopiemos el resultado final solamente)
|~k|32π2E3
cm
(268)
58
Figure 6: Cinematica en centro de masas para e+ e− → µ+ µ−
Usando esto tenemos que la seccion eficaz diferencial es el elemento de volumen en elespacio de fases de arriba multiplicado por la amplitud que calculamos, es decir
dσ
dΩ=e4√E2 −m2
µ
32 π2E3cm
[(1 +
m2µ
E2
)+(
1− m2µ
E2
)cos2 θ
](269)
Donde hemos usado que como las particulas externas son fisicas E2 = ~k2 + m2µ. Ademas,
dado que Ecm = 2E, podemos escribir
dσ
dΩ=
e4
256π2E2
√1− m2
µ
E2
[(1 +
m2µ
E2
)+(
1− m2µ
E2
)cos2 θ
](270)
La cantidad e2/4π se define como la constante de estructura fina. Es una redefinicionde la carga del electron –al final en lo que estamos haciendo teoria de perturbaciones– quees util –porque quita 4π del medio–. En terminos de ella
dσ
dΩ=
α2
16E2
√1− m2
µ
E2
[(1 +
m2µ
E2
)+(
1− m2µ
E2
)cos2 θ
](271)
Podemos integrar las coordenadas angulares para tener la seccion eficaz global. Como dΩes el elemento de volumen en la 2-esfera
σ =α2
16E2
√1− m2
µ
E2
∫ π
0
dθ sin θ
∫ 2π
0
dφ[(
1 +m2µ
E2
)+(
1− m2µ
E2
)cos2 θ
](272)
59
E
s
Figure 7: Seccion eficaz e+ e− → µ+ µ−.
Integrando
σ =π α2
3E2
√1− m2
µ
E2
(1 +
m2µ
E2
)(273)
Si dibujamos esto tenemos (7)La linea punteada vertical representa el corte cinematico: necesitamos una energia de
al menos mµ para poder producir los muones. Esta grafica se superpone perfecta a losresultados experimentales.
6.3.2 Crossing y e− µ− → e− µ−
Supongamos que queremos calcular ahora un proceso muy parecido: e− µ− → e− µ−. Eldiagrama relevante es (8)
Esto vale
M = u(p′) (−i e γµ)u(p)−i ηµνq2
(u(k) (−i e γν)u(k′) =e2
q2u(p′) γµ)u(p) u(k) γµ)u(k′)
(274)Notese que este resultado se puede obtener a partir del anterior si cambiamos el muon enel estado inicial por un antimuon en el estado final y viceversa para el electron en estadofinal. Esto es una manifestacion de la simetria de cruce.
La amplitud es
|M|2 =e4
q4(u(p′) γµ)u(p)) (u(p) γν)u(p′)) (u(k) γµ)u(k′)) ((u(k′) γν)u(k)) (275)
Esto lo podemos escribir en forma mas concisa: introduciendo dos tensores asociados a losvertices del electron y del muon –que no son mas que las corrientes al cuadrado–
Lµνelectron = (u(p′) γµ u(p)) (u(p) γν u(p′)) Lµνmuon = (u(k) γµ u(k′)) ((u(k′) γν u(k)) (276)
60
Figure 8: Diagrama relevante para e− µ− → e− µ−
La amplitud es simplemente
|M|2 =e4
q4[Le]
µν [Lµ]µν (277)
Fijemonos en el tensor electronico. Promediando a spines
Lµνelectron =1
4
∑
s
uα(p′)uρ(p′)∑
s′
uβ(p) uγ(p) γµαβ γ
νγρ =
1
4(/p+m)ρα (/p+m)βγ γ
µαβ γ
νγρ
(278)Esto es (suprimimos la barra ya que siempre vamos a considerar cantidades promediadas
a spin)
Lµνelectron =1
4Tr(
(/p′ +m) γµ (/p+m) γν)
(279)
Asi que
Lµνelectron = (p′)µ pν + (p′)ν pµ − (p′ p+m2) ηµν (280)
Notese que el momento del foton es q = p+ p′. Como
pµ Lµνelectron = p p′ pν+p2 p′ν−(p′ p+m2) pν p′µ L
µνelectron = p′2 pν+(p p′)(p′)ν−(p′ p+m2) p′ν
(281)
61
Como p2 = (p′)2 = m2
pµ Lµνelectron = m2 (p′ν − pν) p′µ L
µνelectron = m2 (pν − p′ν) (282)
Ası pues
qµ Lµνelectron = 0 (283)
Como ademas el tensor es simetrico, esta claro que contraer con p, p′ por cualquier ladoda 0. Como en espacio de momentos ∂µ ∼ pµ, esto simplemente refleja la conservacion dela corriente del electron.
6.4 El limite de masa 0 y quiralidad
Reconsideremos la teoria cuantica de campos para fermiones libres. El lagrangiano es
S =
∫d4x i ψ γµ (∂µ +m) ψ ψ (284)
Recordemos que la corriente conservada asociada a rotaciones U(1) globales es –agnadamosleun subindice V cuyo significado quedara claro en breve–
jµV = ψ γµ ψ (285)
En la representacion de Weyl
γ0 =
(0 l1l1 0
)γi =
(0 σi
−σi 0
)γ5 =
(− l1 00 l1
)(286)
Ya que para las γµ tenemos una misma estructura de bloques, podemos construir
σµ = ( l1, ~σ) σµ = ( l1, −~σ) (287)
Ademas, ya que en esta representacion las quiralidades estan claramente separadas, pode-mos escribir
ψ =
(ψLψR
)(288)
con ψL,R dos spinores de Weyl –i.e. de dos componentes quirales–. El lagrangiano es
S =
∫d4x i ψ†R σ
µ∂µψR + i ψ†L σµ∂µψL +mψ†L ψR +mψ†R ψL (289)
El unico termino que mezcla las quiralidades left y right es el termino de masa. Ademas,la corriente conservada es
jµV = ψ†L σµ ψL + ψ†R σ
µ ψR (290)
62
Supongamos que el fermion tuviese m = 0. En tal caso
S =
∫d4x i ψ†R σ
µ∂µψR + i ψ†L σµ∂µψL (291)
En este caso las componentes left y right son independientes, y de hecho podriamos enprincipio considerar simplemente la componente e.g. left por separado. Ya que left yright son independientes, tenemos dos corrientes conservadas asociadas a las rotacionesψL,R → ei αL,R ψL,R independientes:
jµL = ψ†L σµ ψL jµR = ψ†R σ
µ ψR (292)
Cambiando a la base suma/diferencia
jµV = jµL + jµR = ψ†L σµ ψL + ψ†R σ
µ ψR (293)
jµA = jµL − jµR = ψ†L σµ ψL − ψ†R σµ ψR (294)
Donde reconocemos nuestra querida corriente jµV que es la unica conservada si tenemosm = 0. Sin embargo, en el caso de m = 0, la corriente jµA tambien se conserva. Volviendoa spinores de Dirac
jµV = ψ γµ ψ jµA = ψ γ5 γµ ψ (295)
que se corresponden respectivamente a rotaciones ψ → eiαV ψ y ψ → eiαA γ5ψ. Mientras
que jµV es una corriente vectorial, que se corresponde con rotaciones iguales para las dosquiralidades, jµA es una corriente axial –es un pseudovector debido al γ5– que se correspondea rotaciones opuestas para cada quiralidad. En el caso de m = 0 solo las rotacionesvectoriales son simetria, pero en el caso de masa 0 ambas lo son.
Notese que, para un fermion de Dirac de masa 0, podriamos acoplar cualquiera de las dosjA, V al campo electromagnetico. Sin embargo, en realidad las rotaciones axiales no son unasimetria de verdad, ya que los efectos cuanticos la rompen –es una simetria anomala–. Es por eso por lo que QED acopla la corriente vectorial al campo electromagnetico.Mas generalmente, las teorias quirales llevan a simetrias con quiralidad definida que sonpotencialmente anomalas. Sin embargo, el SM –la naturaleza– es una teoria quiral. Dehecho la cancelacion de dichas anomalias es un exito espectacular del SM. Mas adelantehablaremos de esto en un poco mas de detalle.
Un “corolario” es que el termino de masa, al mezclar las dos quiralidades, es incompat-ible con la simetria quiral. Esta observacion sera crucial mas adelante.
6.4.1 Conservacion de helicidad a altas energias
Un corolario de la discusion anterior es que a altas energias, cuando E >> m, la masade las particulas es despreciable. En tal caso el unico termino en QED que mezcla lasdos quiralidades –la masa– es despreciable, con lo que la teoria se vuelve de modo efectivo
63
quiral. Es por ello por lo que –mas alla de las anomalias antes mencionadas, que son efectosno perturbativos y por lo tanto muy pequegnos en QED perturbativa– a altas energias laquiralidad se conserva.
7 La interaccion fuerte: QCD
Las interacciones electromagneticas son sensibles a la carga electrica. Como el foton es unaparticula sin masa, el alcance de la interaccion electromagnetica es infinito, lo que explicaque sea la interaccion dominante en nuestro mundo de baja energia. Por ser la interaccionmas accesible la podemos usar para ”iluminar” otras particulas, ver su posible estructurainterna y estudiar otras fuerzas.
7.1 Fotografiando protones: la estructura de los hadrones
Queremos iluminar con luz –fotones– particulas para ver su estructura interna. Supong-amos que mandamos un foton –emitido por ejemplo por un electron– a una particula.Supongamos la luz no muy energetica (es decir, su q2 es pequegno), y la particula sufi-cientemente pesada como para asumir que casi no sufre retroceso. Ya que no rompemos laparticula que estamos estudiando, el scattering es elastico.
En general, el acoplo de la luz a dicha particula sera a traves de un vertice efectivo
−i e F (q) η0µ (296)
Donde F (q) codifica toda la posible estructura interna. El que solo aparezca η0µ es debidoa que asumimos que el retroceso es nulo, esto es, que la particula que estamos iluminandoesta en reposo.
El diagrama relevante es (9).
Figure 9: Diagrama relevante para estudiar factores de forma.
Dicho diagrama vale
M = u(kf ) (−i e γµ)u(ki)−i ηµ0
q2(−i e F (q)) = i
e2
q2F (q) u(kf ) γ
0 u(ki) (297)
64
Promediando sobre spines para los electrones (ahora es solo un 1/2 porque hay solo dosspines)
|Mup|2 =e4
2 q4|F |2
(∑
s
usα(kf )usρ(kf )
)(∑
s′
us′
γ (ki)us′
β
)γ0αβ γ
0γρ (298)
Usando las relaciones de completidud y las identidades de las trazas de las γ
|Mup|2 =e4 |F |2
2 q4Tr(
( /kf +m) γ0 ( /ki+m) γ0)
=2 e4 F 2
q4
(2 (kf )0 (ki)0−kf ki+m2
)(299)
Dado que la particula iluminada no retrocede, podemos escribir (ki)0 = (kf )0 = E y
|~ki| = |~kf | = k, asi como ~ki · ~kf = k2 cos θ, de manera que esto lleva a
|Mup|2 =4 e4 |F |2q4
E2(
1− k2
E2sin2 θ
2
)(300)
Ademas
q2 = (kf−ki)2 = k2f+k2
i−2 kf ki = 2m2−2E2+2 k2 cos θ = −2 k2 (1−cos θ) = −4 k2 sin2 θ
2(301)
asi que
|Mup|2 =e4 |F |2
4 k4 sin4 θ2
E2(
1− k2
E2sin2 θ
2
)(302)
En este caso, en el que bombardeamos una particula que no sufre retroceso, el volumendel espacio de fases es simplemente (16π2) –es razonable que no tenga dependencia enmomento y energia: al final es como si la particula es tan pesada que pudiese absorver unacantidad arbitraria de energia/momento sin inmutarse–. Asi pues
dσ
dΩ=
α2E2
4 k4 sin4 θ2
(1− k2
E2sin2 θ
2
)|F (q)|2 (303)
A la seccion eficaz con F = Z se le llama seccion eficaz de Mott, y es la que obtendriamospara una particula puntual con carga Z e. Vemos pues que la funcion F (q) codifica laestructura interna de la particula. Claro, si nos fijamos en el vertice, esta claro que F (q) esla transformada de Fourier de la densidad de carga en la particula. Para una particula sinspin ρ(~x) = Z δ(~x), con lo que F = Z. Asi pues, si medimos la seccion eficaz iluminandouna particula con luz poco energetica y lo dividimos por la seccion eficaz de Mott lo queobtendremos es informacion sobre la estructura interna de la particula. A la funcion F (q)se le llama factor de forma.
Nos gustaria usar este metodo para fotografiar hadrones –en particular protones–. Elproblema es que en realidad el proton si retrocedera un poco en la colision –un nucleo
65
pesado si es suficientemente masivo como para ignorar el retroceso, pero no asi un proton,a no ser que estudiemos energias excesivamente bajas–. Ademas, el vertice efectivo usadoarriba es un poco demasiado simplificado. Si el proton fuese una particula puntual, teniendoen cuenta el posible retroceso, contribuiria al scattering con uproton γ
µ uproton. Podriamosentonces copiar nuestro resultado para el scattering e− µ− → e− µ−. Recordemos queesta corriente, asumiendo el proton una particula puntual con spin 1/2 como el muon,uproton γ
µ uproton se puede escribir, usando la descomposicion de Gordon, como
uout γµ uin = uin
1
2M
[(pin + pout)
µ + i σµν (pout − pin)ν
]uout (304)
donde M es la masa del proton.Es decir, la interaccion es debido a la carga electrica asi como al spin –momento
magnetico–. Los factores particulares son debidos a que estamos asumiendo una par-ticula puntual de spin 1/2. Sin embargo, si la particula tuviese estructura, dichos factorescambiarian. Es por ello que para el proton podemos asumir una forma para la corriente
jµproton = uprotonout
[F1(q2) γµ +
κ
2MF2(q2) i σµν qν
]uprotonin (305)
Donde F1, 2 precisamente codifican esa estructura interna del proton. El factor κ es elmomento magnetico anomalo. Si tuviesemos una particula realmente puntual tendriamosque κF2 = 0 y F1 = 1, recuperando nuestra vieja corriente conocida.
Notese que la forma de la corriente, parametrizada con F1, 2, es la mas general posiblecompatible con su conservacion –es decir, ∂µ j
µproton = 0–.
Se suele definir
GE = F1 +κ q2
4M2F2 GM = F1 + κF2 τ = − q2
4M2(306)
De manera que la seccion eficaz en el sistema de referencia del laboratorio es
dσ
dΩ=
α2
4E2 sin4 θ2
1
1 + 2EM
sin2 θ2
(G2E + τ G2
M
1 + τcos2 θ
2+ 2 τ G2
M sin2 θ
2
)(307)
Resulta que, por ejemplo, se observa en el experimento que
GE(q2) =1(
1− q2
0.71GeV 2
) (308)
Demostrando explicitamente que el proton tiene una subsestructura.
7.1.1 Scattering inelastico
De cara a estudiar esta estructura interna del proton –de los hadrones en general– unopodria pensar en subir la energia del foton que fotografia el proton. El problema es que al
66
hacer esto el proton se rompe: el scattering es inelastico –las particulas no solo rebotan,sino que rompen–.
El “diagrama” relevante es (10).
Figure 10: Scattering inelastico
Este diagrama lleva a una amplitud de probabilidad de la forma generica
|Mup|2 = LµνWµν (309)
Donde Lµν es el familiar tensor leptonico –el del electron– y Wµν es el correspondientetensor asociado al proton y todo en lo que se rompe. Lo unico que dicho tensor hadronicodebe cumplir es que sea simetrico y que qµW
µν = 0 maniestando la conservacion de lacorriente. Con esas restricciones el W mas general16 que podemos escribir es
W µν = W1
(− ηµν +
qµ qν
q2
)+W2
M2
(pµ − p q
q2qµ)(
pν − p q
q2qν)
(310)
Donde p es el momento inicial del proton y q el momento del foton que lo prueba. Lanormalizacion arbitraria se debe a cuestiones historicas. Las funciones W1, 2 se llamanfunciones de estructura y codifican precisamente la estructura interna del hadron.
Resulta util definir las siguientes variables adimensionales construidas con cantidadescinematicas
x = − q2
2M νy =
p q
p kν =
p q
M(311)
Sorprendentemente, al subir la energia del foton que rompe el proton –es decir, a mayorQ2 = −q2–, las funciones de estructura se parecen mas y mas a algo de la forma
16En realidad hay un termino mas que podemos escribir con εµνρσ, pero dejemoslo estar hasta masadelante.
67
W p1 = A2Q2 δ(ν − AQ2) W p
2 = δ(ν − AQ2) (312)
Donde A es una constante con unidades de Energia−1. A esto se le llama escaleo de Bjorken–James Bjorken fue quien lo descubrio–. Resulta que estas son las funciones de esctructuraque uno esperaria si el proton fuese una particula puntual de spin 1/2 y masa (2A)−1. Estoes sorprendente para empezar porque sabemos que el proton no es una particula puntual–el scattering elastico asi lo indica–, ademas de porque el valor de la masa es diferenteal de la masa del proton. La conclusion debe ser pues que el proton esta compuesto departiculas puntuales que interactuan menos y menos a medida que la energia sube. A estasparticulas puntuales Feynman las llamo colectivamente partones. Resulta que la variablex mide cuanto momento –que fraccion– lleva el parton en cuestion al que le esta dando elfoton del momento total del hadron. Estos partones de spin 1/2 que interactuan con elfoton se corresponden con los quarks de QCD.
Sin embargo, si miramos todo el momento que se llevan los partones que interactuancon el foton veriamos que no suman el momento total inicial del hadron. Eso implicaque ha de haber otros constituyentes sin carga electrica. Esos otros constituyentes son losgluones de QCD que median las fuerzas entre quarks.
La imagen que emerge es que los hadrones –el proton en particular– contiene unosquarks de valencia que le dan los numeros cuanticos acreditandole como tal hadron enparticular, asi como un mar neutro de quarks, antiquarks y gluones, que son los partonesde Feynman.
7.1.2 Gluones
Hemos visto la necesidad de introducir partones electromagneticamente neutros para darcuenta del momento total del hadron. Estos partones los hemos identificado con los gluonesde QCD. Volvamos sobre esto un momento. Si QCD se comportase de manera similar aQED si podriamos ser sensibles a estos partones neutros a traves de un proceso a ordenmas alto, como en la figura (11).
Estas desviaciones –asi como otros efectos de radiaccion de gluones–, estudiadas enparticular por Altarelli y Parisi, se observan en los experimentos y ponen de manifiesto la“realidad” de QCD.
7.2 QCD
Hemos visto que la estructura de los hadrones se entiende asumiendo que estos estanformados por quarks de spin 1/2 interactuando a traves de una teoria tipo QED para unanueva fuerza que llamamos QCD y cuyos “fotones” son los gluones. Resulta ser que, al igualque QED estaba basada en el principio de invariancia gauge bajo transformaciones U(1),QCD esta basada en el principio de invariancia gauge bajo SU(3). Para construir QCDpodemos pues seguir nuestra hoja de ruta usual, que empieza por introducir un campo despin 1/2 para los quarks. Supongamos por sencillez un solo tipo de quark transformandosebajo SU(3) en la representacion fundamental. Esto quiere decir que debemos introducir
68
Scaling: a altas energias el protones un saco de partones de spin 1/2cargados (quarks)
Desviaciones de scsaling: a travesde una contribucion a orden mas altopodemos ser sensibles a los partonesneutros (gluones)
Figure 11: Desviaciones de scaling asociadas a ver los partones neutros (=gluones).
un campo de Dirac q que se transforme como fundamental bajo SU(3). Al igual que unarotacion –de momento consideremosla global– U(1) transforma el electron como e→ ei α e,una rotacion SU(3) transforma q como
q → ei ϕa Ta q (313)
Donde T a son los generadores del grupo SU(3), de manera que ei αa Ta
es un elemento delgrupo. Considerando transformaciones infinitesimales tenemos
q → q + i ϕa Ta q (314)
Como los generadores T a en la representacion fundamental son matrices 3×3 tales queTa = T †a , esta claro que el elemento del grupo tambien sera una matriz 3×3, y por lo tantoq ha de ser un vector columna con 3 entradas:
q =
q1
q2
q3
(315)
69
Es decir, q, ademas de los correspondientes indices spinoriales, tendra indices de color.Omitiendo los spinoriales, escribamos qa con a = 1, 2, 3. La teoria para un quark libreesta descrita simplemente por
S =
∫i qa (/∂ +m) qb δ
ab (316)
de manera que es invariante bajo SU(3).Siguiendo el ejemplo de QED, queremos hacer esta transformacion local. Eso exige de
introducir un campo gauge cambiando ∂µ por Dµ tal que
Dµq = ∂µq + i Aaµ Ta q (317)
siempre y cuando los 8 –SU(3) tiene 8 generadores, es decir, 8 Ta’s– Aaµ transformen como
Aaµ → Aaµ + ∂µϕa + fabcAbµ ϕ
c (318)
siendo fabc las constantes de estructura del algebra de SU(3). Es mas iluminador escribirlocomo matrices llamando Aµ = Aaµ Ta –y analogamente para los parametros gauge ϕ =ϕa Ta–. Entonces
Dµq = (∂µ + i Aµ) q Aµ → Aµ + ∂µϕ− i [Aµ, ϕ] (319)
De esta manera Dµ q se transforma covariantemente, es decir, como q.Notese que al tener un grupo no abeliano –SU(3)– como base para la teoria, la trans-
formacion gauge es un poquito mas complicada. De hecho, el tensor de campo es
Fµν = ∂µAν − ∂ν Aµ + i [Aµ, Aν ] (320)
de manera que bajo transformacion gauge se transforma como
Fµν → Fµν − i [Fµν , ϕ] (321)
Si construimos
∫TrFµν F
µν (322)
debido a que la traza del conmutador es 0, tendremos un invariante gauge analogo altermino cinetico para el foton. Asi pues, todo junto –e introduciendo la constante deacoplo g, para QCD la accion es
S =
∫−1
4TrFµν F
µν + i q ( /D +m) q Dµq = ∂µq + i g Aµ q (323)
Notese que al tener una teoria no abeliana, basada en SU(3), F contiene terminoscuadraticos en A sin derivadas. Estos terminos daran lugar a terminos en el lagrangianode la forma AA∂A y AAAA, que se corresponden con vertices con 3 y 4 gluones respectiva-mente: los gluones interactuan entre si!!!!. Esto es muy diferente de QED y el germen
70
de la enorme diferencia entre QED y QCD. Aunque no vamos a hacer ningun calculo ex-plicit de QCD, escribamos las reglas de Feynman a modo grosero –es decir, sin fijarnos enexceso en los factores numericos etc– para hacernos una idea las reglas son como en la fig.(12).
Asi pues, el lagrangiano describiendo de manera invariante gauge la interaccion entreelectrones y fotones es
S =
Zd4x
1
4Fµ F µ + i µ (@µ + i e Aµ) + m (233)
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
Z =
ZDAµ D D ei
Rd4x 1
4Fµ F µ+i µ (@µ+i e Aµ) +m +J + J+Jµ Aµ
(234)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµ
conectados por Aµ ! Aµ + @µ' son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Siguiendo nuestra hoja de ruta, vamos a asumir que la constante de acoplo –en este casola carga del electron– es pequegna, de manera que podemos hacer teoria de perturba-ciones. Para ello necesitamos conocer las reglas de Feynman. Ya sabemos el propagadordel fermion:
De =i (/p + m)
p2 m2 + i (235)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
D =i µ
p2 + i (236)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangiano µ Aµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = i e µ (237)
Resumiendo
51
Asi pues, el lagrangiano describiendo de manera invariante gauge la interaccion entreelectrones y fotones es
S =
Zd4x
1
4Fµ F µ + i µ (@µ + i e Aµ) + m (233)
La teoria cuantica se obtiene siguiendo la hoja de ruta usual, es decir, considerando elfuncional generador –que contiene toda la informacion de la teoria–
Z =
ZDAµ D D ei
Rd4x 1
4Fµ F µ+i µ (@µ+i e Aµ) +m +J + J+Jµ Aµ
(234)
Esto esta sin embargo mal definido, ya que debido a la invariancia gauge todos los Aµ
conectados por Aµ ! Aµ + @µ' son equivalentes. Asi pues la integracion funcional sobreAµ “cuenta de mas” muchas configuraciones. Hay que eliminar esas redundancias, lo quese puede hacer de manera precisa –aunque aqui no vamos a entrar en ello en detalle–.
6.2 Reglas de Feynman
Siguiendo nuestra hoja de ruta, vamos a asumir que la constante de acoplo –en este casola carga del electron– es pequegna, de manera que podemos hacer teoria de perturba-ciones. Para ello necesitamos conocer las reglas de Feynman. Ya sabemos el propagadordel fermion:
De =i (/p + m)
p2 m2 + i (235)
El propagador del campo gauge –cuyo cuanto es el foton– se podria calcular de maneraanaloga. Sin embargo, como dijimos antes, debido a la invariancia gauge el calculo esun poco mas sutil. Contentemonos con el resultado en un gauge particular –gauge deFeynman–, cuando
D =i µ
p2 + i (236)
Por ultimo el vertice de interaccion, que se puede leer directamente del lagrangiano µ Aµ da una regla para el vertice de 2 fermiones y un foton
V = i e µ (237)
Resumiendo
51
g pµ g2
g µ
Figure 12: Reglas de Feynman para QCD
7.2.1 QCD con varios flavors
En realidad hay mas de un quark. Cada tipo de quark se llama flavor –sabor–. SupongamosNf flavors. En general tendremos pues que QCD con varios flavors se describe como
S =
∫−1
4TrFµν F
µν + i qi ( /D +m) qi i = 1 · · ·Nf (324)
con
Dµqi = ∂µqi + i g Aµ qi (325)
Los quarks en realidad estan tambien cargados electricamente. Asi pues, considerandoel sector de QCD mas sus interacciones electromagneticas
S =
∫−1
4Fµν F
µν− 1
4TrGµν F
µν+i qi ( /D+m) qi Dµqi = ∂µqi+i g AQCDµ qi+i eiA
QEDµ
(326)donde ei son las cargas electricas de cada flavor, AQCDµ el campo gauge del gluon, quematricialmente es AQCDµ = [AQCDµ ]a T
a siendo Ta los generadores de SU(3), y AQEDµ elcampo gauge del foton, que no tiene indices de color, asi que podemos escribirlo como unaidentidad en espacio de SU(3), es decir, como AQEDµ = AQEDµ l13×3.
71
La existencia de varios flavors se puede “medir” directamente en el experimento e+ e− →q q. Este expermiento es analogo al caso e+ e− → µ+ µ− que estudiamos en detalle: eldiagrama y el calculo es exactamente el mismo, tan solo con la excepcion de que segun eltipo de quark saliente habra que poner la masa correspondiente en lugar de la del muon.Dichas masas son diferentes para cada quark. Podemos medir la seccion eficaz para lareaccion e− e+ → hadrones, que esta dominada por estos procesos e+ e− → q q. Comono vamos a fijarnos en un tipo de hadron particular en el estado final, sino que vamos asumar cualquier hadron, todos los quarks contribuiran a esta seccion eficaz. Es decir, si nosfijasemos en estados finales con hadrones hechos de tales o cuales quarks los procesos rele-vantes serian aquellos con tales o cuales q q en estados finales. Como incluiremos todos loshadrones, debemos considerar procesos mediados por cualquier tipo de quark. La seccioneficaz total para cada flavor sera una copia, con los factores adecuadamente adaptados, dela seccion eficaz total e+ e− → µ+ µ− que conocemos
σ(e+ e− → qi qi) = 3eie
π α2
3E2
√1− m2
i
E2
(1 +
m2i
E2
)(327)
Las masas de los leptones estan en la figura (13)
Figure 13: Masas de los leptones
Como se ve, hay una jerarquia bastante grande en las masas. Motivados por esto,asumamos que una jerarquia similar existe en los quarks. Asi pues, existiria un rango deenergias E tal que un numero nf ≤ Nf de quarks cuayas masas mi << E para i = 1 · · ·nf .Para ellos
σ(e+ e− → qi qi) =eie
π α2
E2(328)
De manera que la seccion eficaz total sera la suma de las secciones eficaces a cada tipo dequark, es decir
σT (e+ e− → hadrons) =
nf∑
i=1
eie
π α2
E2(329)
72
Como E >> mµ, podemos normalizar por la seccion eficaz del proceso leptonico puroe+ e− → µ+ µ−, de manera que
R =σT (e+ e− → hadrons)
σ(e+ e− → µ+ µ−)= 3
nf∑
i=1
eie
(330)
Asi pues esto es sensible de manera discreta al numero de quarks con masa menor que E.Comparando con el experimento se ve que el factor 3 es necesario (es decir, QCD es SU(3),ya que ese es el origen del 3) y que la estructura de masas y cargas electricas de quarks es
Figure 14: Masas de los quarks
7.2.2 La constante de acoplo de QCD
Hasta ahora solamente hemos discutido los efectos a primer orden en teoria de perturba-ciones. Es decir, hemos considerado solo procesos tree level sin incluir ningun loop. Aordenes superiores un “fenomeno” completamente crucial en teoria cuantica de camposorcurre: los diagramas divergen y nada parece tener sentido. Consideremos el ejemplo massencillo, en la teoria escalar λφ4 en la figura (15).
Figure 15: Ejemplo de diagrama divergente
El diagrama vale
M = −i λ∫
d4p
(2π)4
i
p2 −m2 + i ε(331)
73
Para estimarlo, pasemos al euclideo haciendo p0 = i pE0 . En el euclideo la integracion sobremomentos es una integracion en R4. Como el integrando depende solo de |~pE|2, el trozoangular es facil. Olvidandonos de constantes numericas irrelevantes la integral va como
M∼ λ
∫ Λ
0
dpi
p2 +m2(332)
donde hemos puesto un regulador para p grande. Evidentemente, para p muy grande,la integral diverge como λ p2, de manera que la teoria ha de ser intrinsecamente definidacon un cu-off Λ tal que |p| < Λ. Esto simplemente refleja el hecho de que las teorias decampos son teorias efectivas, y a partir de cierta escala Λ sencillamente dejan de capturarlos grados de libertad relevantes.
Sin embargo, a veces se pueden incluir los grados de libertad relevantes a energiasmayores que Λ en la descripcion de baja energia ajustando los parametros: estas son lasteorias cuyos acoplos son como mucho marginales. Estas teorias se dicen renormalizables,porque podemos meter la dependencia de Λ en los parametros λ, m. El precio a pagar esque λ y m ya no son constantes sino que dependen de la escala de energia a la que estemosprobando la teoria.
Volviendo a nuestra descripcion de QCD, lo mismo ocurre. El acoplo de la teoria –asicomo el de QED– es marginal y la teoria es renormalizable. Eso resultara en un acoplo queen realidad depende de la energia, conocido como running coupling constant. Resultaque para QCD –normalmente se llama αs una vez metidos los correspondientes 4π2 en g2–tiene el aspecto de la figura (16).
Como se ve. . . a baja energia QCD esta fuertemente acoplada, mientras quea alta energia el acoplo tiende a cero. Esto es lo que se conoce como libertadasintotica y esta en el centro del escaleo de Bjorken. Para fotones muy energeticos losquarks se ven esencialmente libres dentro del proton.
A baja energia la constante de acoplo se vuelve enorme. Evidentemente la teoriade perturbaciones –que ha sido la herramienta fundamental hasta ahora– no es valida.Aunque no se sabe demostrar ni se entiende el mecanismo fundamental, esta claro quelo que ocurre es que a baja energia las fuerzas entre quarks son enormes. De hecho escomo si los quarks en los hadrones estuviesen atados por cuerdas, de manera que si estanseparados por distancias menores que el tamagno de la cuerda se ven como libres, mientrasque si intentamos separarlos mas que la cuerda esta nos lo impide. Esta “cuerda” generaun potencial lineal de interaccion V ∼ r. Como mucho podemos romper la cuerda, peroal romperla en cada extremo se crea un nuevo quark, de manera que los quarks nunca seven libres a baja energia. Esto es el confinamiento responsable de la existencia de loshadrones.
QED es sin embargo muy diferente en su comportamiento. La razon esta en que al serel grupo abeliano, el foton no interactua consigo mismo. Eso lleva a que en lugar de serdebilmente acoplada a alta energia y fuertemente acoplada a baja energia sea al reves. Esdecir, QCD es libre en el infrarrojo. El que su constante de acoplo crezca a altas energiasquerria indicar que, pese a ser renormalizable, QED no podria ser una teoria fundamental,ya que a altas energias su definicion en terminos de electrones y fotones rompe.
74
Figure 16: La constante de acoplo de QCD
7.2.3 Hadrones y el infrarojo de QCD
Como QCD exhibe confinamiento, a baja energia solo podremos ver estados que seanneutros bajo SU(3). Podemos leer los posibles singletes de la tabla (14), ya que las cargaselectricas fraccionarias son otra manifestacion de que los quarks a baja energia solo se venen singletes de color con carga electrica entera.
Consideremos las combinaciones singletes bajo SU(3) uud y ddu. Su carga electricaes respectivamente 1 y 0. Son el proton y el neutron. Notese que la masa de sus quarksconstituyentes es respectivamente 0.02GeV y 0.015GeV , mientras que su masa real es deaproximandamente 1GeV . Esto quiere decir que la energia de ligadura es enorme, comoes de esperar en una teoria fuertemente acoplada.
7.2.4 Simetria quiral en QCD
Ya que los quarks mas ligeros son el u y el d, que tienen una masa bastante pequegna, abajas energias podemos considerar que son los unicos relevantes y que son basicamente de
75
masa cero. En tal caso QCD tiene simetria quiral analoga a la de QED. En realidad lasimetria es un poco mayor por tener dos especies de fermiones sin masa (u y d). El trozoque contiene los fermiones es
∫qi ( /D +m) qi qi = (u, d) (333)
Esto tiene una simetria global SU(2), ya que podemos transformar
qi → U ji qj (334)
siempre y cuando U U † = l1, es decir, con una rotacion U(2) en espacio de flavor.17 Aligual que para QED, esta simetria de flavor es quiral por tener fermiones sin masa. Asipues la simetria global es U(2)L × U(2)R. Como U(2) = SU(2) × U(1), podemos escribirla simetria global como SU(2)L×SU(2)R×U(1)L×U(1)R. Asi pues tendremos corrientesconservadas para estos 4 factores para qL,R. Mezclandolas para formar las combinacionesaxial y vectorial, tenemos dos simetrias axiales
jµU(1)A= qi γ
µ qi jµSU(2)A= qi γ
µ qj σaij (335)
donde una es U(1) y la otra es SU(2) –de ahi que aparezcan las matrices de Pauli–.Resulta ser que a baja energia el bilineal de quarks qi qi toma un VEV por efecto de la
dinamica de acoplo fuerte, no perturbativa, de QCD. Es decir
〈 qi qi 〉 = 〈u†L uR + u†R uR + d†L dR + d†R dR 〉 6= 0 (336)
Esto implica que las rotaciones quirales no son una simetria a baja energia, ya que nodejarian invariante este VEV. Solo las transformaciones diagonales de U(2)L × U(2)R –esdecir, las que transforman igual left y right– dejan invariante el VEV.
Como esta ruptura es espontanea, por argumentos muy generales, debido al teorema deGoldstone (ver apendice. Lo discutiremos en mas detalle mas adelante) debemos esperaruna particula sin masa por cada generador roto –en este caso 4–. Asi pues, a baja energiaen QCD debemos esperar 4 particulas casi sin masa.
Sin embargo la corriente para U(1)A es anomala, lo que quiere decir que aunque sea unasimetria clasica, los efectos cuanticos la rompen. Asi pues uno de las 4 particulas masivasno esta protegida –de hecho no teniamos 4 generadores conservados para empezar, sinosolo los 3 asociados a SU(2)A– y adquiere masa mayor. Debemos pues esperar 3 particulascon masa muy pequegna –porque al final u, d tienen una masa pequegnita–: los 3 piones!!!!
Ademas de estos, u, d se combinan en proton y neutron. Por lo tanto, a baja energia,la fisica de QCD debe estar descrita por una teoria efectiva de la forma
S =
∫1
2∂µπ ∂
µπ − m2π
2π2 + ni γ
µ∂µ ni −mn ni ni − λ ni γ5 nj π (337)
17En el caso de QED que discutimos teniamos un solo fermion, asi que la simetria de flavor era simple-mente U(1).
76
que es el lagrangiano que escribimos antes y que da lugar al potencial de Yukawa.El SU(2)A no anomalo es de hecho el isospin de las interacciones nucleares: es la
simetria SU(2) global que la teoria de arriba tiene.
8 La fuerza electrodebil
Es un hecho que el neutron se desintegra β produciendo un proton y un electron observ-ables. Como estas dos particulas no dan para satisfacer la conservacion de la energia yel momento, Pauli postulo la existencia de una nueva particula, el neutrino –que Cowany Reines descubrieron experimentalmente despues–. Asi pues, el neutron se desintegra enun proton, un neutron y un neutrino. Sin embargo, ni las interacciones fuertes ni las elec-tromagneticas pueden ser las responsables de esto, indicando la existencia de una nuevafuerza: la fuerza debil.
8.1 Teorias con vertices de 4 fermiones
El proceso que describimos antes es neutron → proton + e− + ν. Como el proton esuud mientras que el neutron es udd, esta claro que la reaccion detras del decay β esd→ u+ e−+ ν. Este proceso, ya que involucra una parte de QCD, es complicado. Existenotros procesos analogos que solo involucran leptones –sin carga de color–. Un ejemplo esµ → 2 ν + e−.18 Esto sugiere que nuestra teoria fundamental ha de contener un verticecon 4 fermiones tal que
∫−GF√
2(ν µ) (e ν) (338)
La constante de acoplo –que tiene dimensiones de E−2, es decir, es irrelevante– se llamaconstante de Fermi, y comparando con el experimento, se puede fijar su valor.
El problema es sin embargo que la teoria de Fermi tiene una constante de acoploirrelevante, y es por lo tanto no renormalizable. Esto implica que ha de ser pensada comouna teoria efectiva por debajo de la escala G
−1/2F ∼ 200GeV .
8.2 Teorias para campos gauge con masa
Siguiendo el ejemplo de QED y QCD –cuyas fuerzas estaban mediadas por campos gauge–es natural pensar que detras de la interaccion debil este tambien una teoria gauge. Sinembargo, la fuerza debil es de corto alcance, lo que pone de manifiesto su escala caracteris-tica de G
−1/2F ∼ 200GeV . Eso implica que el “potencial de interaccion” en lugar de ser 1/r
como para el foton –es decir, de alcance infinito– debe decaer mas rapido y ser mas bienparecido al potencial de Yukawa e−M rr, donde M es la escala de masas caracteristica deesos ∼ 200GeV . Un comportamiento asi lo tendriamos si considerasemos un campo gaugeWµ con masa, esquematicamente
18En realidad los 2 neutrinos son νµ + νe. Esto lo discutiremos despues.
77
S =
∫−Fµν F µν −M2WµW
µ (339)
Donde esa masa M , constantes numericas a parte, son basicamente esos 200GeV ’s.Aqui hemos supuesto arbitrariamente un grupo U(1) por sencillez, pero el aspecto a
grandes rasgos de la teoria seria el mismo. El problema es, obviamente, que la simetriagauge Wµ → Wµ+∂µϕ esta explicitamente rota por el termino de masa: si M 6= 0, simple-mente la transformacion gauge no es simetria. Aunque esto es un problema enorme –porqueentonces, aun pese a solo contener acoplos marginales, la teoria no seria renormalizable eindicaria la existencia de nueva fisica a partir de cierta escala–, tomemos de momento unaactitud pragmatica: si dicha nueva fisica estaria suficientemente lejos en energias, a efectospracticos seria irrelevante. Asi pues consideremos la teoria del campo vectorial masivo perse.
Supongamos ahora que acoplamos este campo de juguete a un fermion de masa m concarga g bajo Wµ
S =
∫−Fµν F µν −M2WµW
µ + i ψ ( /D +m)ψ (340)
La unica diferencia con el caso con M = 0 en las reglas del Feynman es que el propagadordel campo gauge seria
i ηµν
q2→ i ηµν
p2 −M2(341)
Consideremos ahora el diagrama 2ψ → 2ψ (que es como el e− e+ → µ− µ+). El diagramavaldria
M∼ g2 (u γµ u)ηµν
q2 −M2(u γν u) (342)
Para interacciones a baja energia, cuando el momento transferido q2 sea mucho menor quela masa del campo gauge q2 −M2 ∼ −M2, de manera que
M∼ g2 (u γµ u)ηµν
q2 −M2(u γν u) ∼ g2
M2(u γµ u) (u γν u) (343)
Es decir, recuperariamos la misma prediccion que la teoria de Fermi –que explica elexperimento– con
GF ∼g2
M2(344)
Por lo tanto en efecto podriamos imaginar una teoria gauge –en pie de igualdad pues alas demas fuerzas fundamentales– que reproduzca la teoria de Fermi, si bien al precio –demomento abusivo!!!!– de que la teoria ha de ser no renormalizable. Sin embargo –ya queeste problema tendra solucion en un momento–, un problema mas fundamental es que estateoria de juguete en realidad no explica lo que ocurre en el experimento. En la reaccion
78
µ → 2 ν+ e− no hay manera de, separando de dos en 2 los constituyentes para agruparlosen los dos vertices fermion+fermion+boson mediador involucrados, de encontrar sitio almodelo sencillo de arriba, ya que la carga electrica no se conservaria. Eso implica que elboson gauge W ha de estar cargado bajo el campo electromagnetico!!!
La solucion a este ultimo problema esta intimamente ligada a la solucion del problemade la no renormalizabilidad: la ruptura espontanea de la simetria (ver apendice).
8.3 Ruptura de simetria local
Supongamos que hacemos local la simetria U(1) que esta rompiendo espontaneamente enun modelo con un potencial de sombero mejicano. Consideremos pues
S =
∫d4x−1
4Fµν F
µν+1
2|Dµφ|2−
1
2m2 |φ|2−λ |φ|4 Dµφ = ∂µ−i e Aµ φ Fµν = ∂µAν−∂µAν
(345)Con m2 > 0, de manera que el vacio es
φ0 =
√−m
2
4λei θ0 (346)
φ0 = (
√−m
2
4λ+ ρ) ei(θ0+p) (347)
Para ρ, p pequegnos encontramos
S ∼∫d4x − 1
4FµνF
µν +1
2∂ρ2 − 4λφ2
0 ρ2 +
φ20
2(∂µp+ i eAµ)2 (348)
Podemos ahora escoger un gauge en el que p = 0, teniendo
S ∼∫d4x − 1
4FµνF
µν +1
2∂ρ2 − 4λφ2
0 ρ2 +
e2 φ20
2AµA
µ (349)
Es decir, al fijar el gauge reabsorbiendo p –que seria el boson de Goldstone de masa 0 si lasimetria fuese global– en Aµ, el campo gauge se transformo en un campo masivo de masaM2 ∼ e2 φ2
0, mientras que la unica traza que quedo del escalar original es la fluctuacion ρde masa m ∼ λφ2
0, es decir
M2vector masivo ∼
(−m2) e2
λm2
escalar masivo ∼ (−m2) (350)
Evidentemente si hubiesemos tenido fermiones extra en la teoria todo esto seguiriasiendo valido. La moral del asunto es pues que agnadiendo un sector escalar acopladoal campo gauge con un potencial de sombrero mejicano, al romperse espontaneamente lasimetria gauge el boson de Goldstone puede ser reabsorbido por el campo gauge, que ganaasi un grado de libertad extra y se convierte en masivo. Por lo tanto recuperariamos el
79
modelo que vimos antes del campo gauge masivo que, a baja energia a su vez recuperabala teoria de Fermi con un vertice de cuatro fermiones. Sin embargo, a traves de todo esteproceso hemos conseguido embeber la teoria de Fermi en una teoria gauge para un campogauge de verdad –es decir, en donde la simetria gauge si se respeta–. Asi pues, el modelocon campo φ y potencial de sombrero mejicano si es renormalizable y, a baja energia,recupera la interaccion de 4 fermiones necesaria para entender la interaccion debil. A estecampo φ responsable de romper la simetria gauge se le llama campo de Higgs, y deja elρ como traza final a baja energia.
Nos queda aun entender como producir, una vez adquieren masa los campos gauge,campos vectoriales electromagneticamente cargados. Para ello la clave es considerar ungrupo un poco mas complicado que el modelo de juguete U(1). Consideremos SU(2)L ×U(1)Y . Esto tiene 4 generadores: 3 en SU(2) y uno en U(1). Supongamos ahora un Higgscargado bajo el U(1)L ∈ SU(2)L y sobre U(1)Y con carga opuesta, es decir, cargado bajoU(1)L − U(1)Y . Al tomar el Higgs VEV este U(1)Y − U(1)L se rompe espontaneamente,asi como el SU(2). Sin embargo la combinacion U(1)L +U(1)Y no se rompe. Por lo tanto,de los 4 vectores gauge originales 3 se harian masivos y uno quedaria sin masa. Este sinmasa es el foton, es decir, U(1)L + U(1)Y = U(1)QED. Entre los otros 3 masivos, comoU(1)L−U(1)Y es ortogonal a U(1)QED, tendriamos uno neutro bajo el electromagnetismoy dos cargados. Esos serian los 2 W± responsables de decaimientos tales como el delmuon que describimos arriba. El campo vectorial masivo daria lugar a otros procesosparecidos a los de QED solo que de corto alcance. Es el Z0. Esta es de hecho la estructuraque se ve experimentalmente: este es el germen del Modelo Estandard (SM). Lo veremosexplicitamente en la subseccion siguiente.
8.4 El sector bosonico del SM: gauge+Higgs
El sector bosonico del SM contiene todos los bosones vectoriales y el Higgs de spin 0. Comodijimos, de cara a tener bosones vectoriales cargados en una teoria gauge necesitamos ungrupo de gauge SU(2)L × U(1)Y –el Y significa hypercarga, y el L left. Veremos luego elpor que del nombre left–. El Higgs es fundamental del SU(2)L y esta cargado bajo U(1)Y .Asi pues, introduciendo un campo por cada particula, el trozo bosonico del SM es
SbSM =
∫−1
4TrF 2
W −1
4F 2B +
1
2(Dµ φ)†Dµ φ)− µ2 φ† φ− λ2
2(φ† φ)2 (351)
Donde Wµ = W aµ σa es el campo gauge de SU(2)L y Bµ el de U(1)Y , siendo los tensores de
campo lo usual
(FW )µν = ∂µWν − ∂νWµ + i g [Wµ, Wν ] (FB)µν = ∂µBν − ∂ν Bµ (352)
Donde g, g′ son las constantes de acoplo respectivas.Como el Higgs es fundamental de SU(2)L lo podemos escribir como
φ =
(φ+
φ0
)(353)
80
De manera que la derivada covariante es
Dµ · = ∂µ ·+i g Wµ ·+ig′
2Y Bµ · (354)
siendo Y la hypercarga, que para el Higgs es 1.El minimo del potencial escalar, cuando −µ2 > 0, esta en
φ† φ = |φ+|2 + |φ0|2 =−µ2
λ2(355)
Escojamos el vacio
φ0 =
(0v√2
)v2 =
−2µ2
λ2(356)
Par ver la masa de los campos vectoriales simplemente debemos enchufar este vacio y susfluctuaciones en la accion. Escogiendo el gauge tal que fijamos la fase a 0, y congelandolas fluctuaciones del modulo, podemos fijarnos simplemente en
SbSM =
∫−1
4TrF 2
W −1
4F 2B +
1
2(Dµ φ0)†Dµ φ0) (357)
Donde
Dµ φ0 =
(i g W 3
µ + i g′
2Bµ i g (W 1
µ − iW 2µ)
i g (W 1µ + iW 2
µ) −i g W 3µ + i g
′
2Bµ
) (0v√2
)=
(i g (W 1
µ − iW 2µ) v√
2
−i ( gW 3µ − g′
2Bµ) v√
2
)
(358)Es evidente que es util definir
W±µ =
1√2
(W 1µ ∓ iW 2
µ
)(359)
Ademas es util definir el angulo de Weinberg
g′
g= tan θW (360)
De manera que
Dµ φ0 =
(i g vW+
µ
−i gcos θW
(cos θW W 3µ − sin θW
12Bµ) v√
2
)(361)
Es obvio que es ademas util definir
Z0µ = cos θW W 3
µ − sin θWBµ
2Aµ = cos θW W 3
µ + sin θWBµ
2(362)
De manera que
81
Dµ φ0 =
(i g vW+
µ
−i g v√2 cos θW
Z0µ
)(363)
Con lo que en la accion efectiva aparece un termino de masas
∫M2
W (W+)µ (W−)µ +1
2M2
Z (Z0)µ (Z0)µ (364)
Con
MZ =g v
cos θWMW = g v (365)
Para estudiar el termino cinetico, podemos darnos cuenta de que FW es una matriz deSU(2), y por lo tanto de traza cero. Asi pues, si escribimos B = Bµ l12×2 y hacemos
Tr(F µνW +
1√2F µνB
)2
= Tr(F 2W +
1
2F 2B +√
2FW FB
)= TrF 2
W + F 2B (366)
ya que en espacio de SU(2)L FB FW es proporcional a un generador de SU(2), que es detraza cero. Ahora podemos estudiar FW + 1√
2FB. Eso es
(FW 3)µν σ3+
1√2
(FB)µν l1+[(FW+)µν+2 i (W+
µ W3ν−W+
ν W3µ)]σ++
[(FW−)µν+2 i (W−
µ W3ν−W−
ν W3µ)]σ−
(367)Donde FW i = ∂[µW
iν] y analogamente para B. Ademas σ± = σ1± i σ2
√2
. Fijemonos en esos
terminos con σ±. El coeficiente de, por ejemplo, σ+ es
(FW+)µν + 2 (W+µ W
3ν −W+
ν W3µ) = (∂µ − 2 iW 3
µ)W+ν − (∂ν − 2 iW 3
ν )W+µ (368)
Es decir, el termino cinetico para W± esta escrito en terminos de una derivada covariantecon W 3
µ como campo gauge. Como W 3µ es una suma de Z0
µ y Aµ, en efecto vemos quelos bosones gauge W± estan cargados electricamente, justo como necesitabamos para lasinteracciones debiles que median decaimientos β o el decay del muon de antes.
Al igual que en los modelos de juguete de arriba, al expandir el lagrangiano alrededorde φ0, y tras reabsorver la fase en la masa de W±, Z0, acabaremos con un escalar neutroH debido a las fluctuaciones de φ. Dicho escalar esta asociado una particula escalar: elboson de Higgs –descubierto recientemente con una masa de unos 125GeV –.
8.5 La materia del SM
Ademas del sector de campos gauge + Higgs, el SM contiene materia fermionica –evidentemente!!!–. En principio uno pensaria que necesitamos un campo de Dirac por cada particula. Larealidad es mas compleja: la Naturaleza no respeta las simetrias discretas bajo conjugacion
82
de carga, paridad e inversion temporal –todas juntas si, ya que CPT debe ser una simetriapara que el H sea hermitico–.
Aqui no entraremos en mucho detalle en ello. Nos bastara con que esa violacion desimetrias discretas implica que debemos construir la materia no con spinores de Dirac,sino con Weyls, es decir, implica que el SM es una teoria quiral.
La materia viene organizada en 3 familias, a su vez divididas en un sector leptonicoque no tiene carga de color y un sector de quarks, que si tiene carga de color. Tantoquarks como leptones se acoplan a las interacciones debiles y electromagneticas, esto es, aSU(2)L × U(1)Y .
Las 3 familias son identicas la una a la otra (salvo por las masas), asi que para empezarvamos a considerar una sola familia: la mas ligera. Fijemonos primero en el trozo leptonico.Este se acopla a SU(2)L×U(1)Y . Como ha de ser fundamental de SU(2)L necesitamos undoblete de campos, que, debido a la quiralidad del SM, seran left. Dichos dos campos sonel electron y el neutrino. Asi pues, formemos
L =
(νee
)
L
(369)
donde el subindice L nos recuerda que son spinores left, es decir, obtenidos agarrando unDirac e y haciendo por ejemplo
eL =l1 − γ5
2e (370)
Necesitamos tambien campos right –por ejemplo para cancelar anomalias. Hablaremos deesto despues–. Esos son singletes bajo SU(2)L. Resulta que solo el compagnero right delelectron existe. LLamaremos
R = eR (371)
donde el subindice R nos recuerda que es un campo right
eR =l1 + γ5
2e (372)
Notese que no estamos poniendo un compagnero right para el neutrino. No esta claro quetal particula exista –aunque si es cierto que el neutrino tiene masa–.
Siguiendo el proceso usual de escribir el lagrangiano del spinor y promover las derivadasa derivadas covariantes, esta claro que el trozo leptonico sera
Sf1 =
∫L i γµ (∂µ + i g Wµ + i
g′
2Y Bµ)L+ R i γµ (∂µ + i g Wµ + i
g′
2Y Bµ)R (373)
Igualmente, para el sector de quarks tendremos un doblete left
QL =
(ud
)
L
(374)
83
Y un par de singletes right (aqui si ponemos los dos compagneros right)
uR dR (375)
El trozo de quarks sera analogo al leptonico pero incluyendo en la derivada covarianteel acoplo al campo del gluon. Concentremonos en los leptones, de todos modos.
Las otras familias tienen la misma estructura
L1 =
(νee
)
L
L2 =
(νµµ
)
L
L3 =
(νττ
)
L
R1 = eR R2 = µR R3 = τR
8.5.1 Interacciones en el SM
Fijemonos en la derivada covariante. La podemos escribir como
Dµ = ∂µ+ i g W+µ σ
+ + i g W−µ σ
−+ ig
2 cos θW
(σ3−Y
)Z0µ+ i
g
2 cos θW
(σ3 +Y
)Aµ (376)
Vayamos trozo a trozo
• Corrientes cargadas: los W± se acoplan a la materia a traves de los operadoresescalera en SU(2)L –los σ±. Eso quiere decir que el SM contiene vertices en losque cambiamos un miembro de los dobletes SU(2) por otro. Como el electron tieneelectrica -1 y el neutrino 0, esta claro que el boson mediador –los W±– ha de estarcargado.
• Corrientes neutras: el Z0 se acopla a traves de σ3− Y , que es diagonal en espacio deSU(2). Por eso no cambia miembros del doblete. Sus interacciones son como las delfoton, tan solo que masivo.
• Corrientes electromagneticas: el acoplo al foton –diagonal en espacio de SU(2)Levidentemente– es a traves de la carga electrica Q = T 3 + Y
2, donde T 3 = σ3
2. El valor
numerico lo da e = g/ cos θW . Ya que el electron ha de tener carga -1 y el neutrino0, esto fija las siguientes asignaciones de hypercarga
σ3 Y Q
eL −12−1 −1
νL12−1 0
eR 0 −2 −1
(377)
84
Para los quarks la cosa es un poco mas complicada
σ3 Y Q
uL12
13
23
dL −12−1
313
uR 0 43
23
dR 0 −23−1
3
(378)
Un comentario esencial, aunque un poco misterioso a este nivel, es que con este con-tenido de materia y asignaciones de cargas todas las interacciones gauge son no anomalas–lo que es un requisito indispensable–. Ademas, entre las simetrias globales, resulta quehay unas anomalas y otras no anomalas. Aunque no lo vamos a discutir mas en detalle,remarcablemente estas anomalias son tales que el proton es exactamente estable en el SM.
Notese que no hemos puesto una masa. La razon es que sencillamente no es posible,ya que, siendo una teoria quiral, no podemos escribir un termino de masa. Por otra parte,aun podemos escribir un termino marginal compatible con todas las simetrias
Syuk =
∫−λ1 L φR + h.c (379)
Como el Higgs es fundamental de SU(2)L y L es antifundamental, L φ contiene un singlete,que multiplicado por R, que tambien es singlete, da un termino invariante gauge.
Este termino es un termino de interaccion. Es un vertice de Yukawa con 2 fermiones yel Higgs. Al tomar este el VEV
Syuk =
∫−λ1 v√
2eL eR + h.c (380)
y obtenemos un termino de masa efectivo para el electron. La masa del electron es asi pues
me =λ1 v√
2(381)
Es decir, es el VEV del Higgs multiplicado por el Yukawa que regula el acoplo de electron aHiggs. Desde este punto de vista, la jerarquia de masas del SM es en realidad una jerarquiade acoplos de Yukawa.
Evidentemente, expandiendo los Yukawas encontraremos acoplos al Higgs.Notese que el neutrino nos sale de masa 0. En realidad tiene una masa muy pequegna
–las oscilaciones de neutrinos asi lo exigen–, pero no esta completamente claro si es debido
85
a la existencia de νR o a la llamada masa de Majorana.19
Asi pues, el trozo leptonico del SM es
Slepton =
∫Li i γ
µ (∂µ+i g Wµ+ig′
2Y Bµ)Li+Ri i γ
µ (∂µ+i g Wµ+ig′
2Y Bµ)Ri−λi Li φRi+h.c.
(382)
8.5.2 Violacion de CP y CKM
Cuando introdujimos los Yukawas asumimos que eran diagonales en las generaciones. Engeneral podriamos haber escrito
∫−λij Li φ eiR + h.c. (383)
Donde eiR es el “electron” right de cada generacion (es decir eR, µR, τR). Sin embargo,podriamos redefinir
Li → Uij Lj eiR = Wij ejR (384)
tal que
U?ikλ
ijWjp = λk δkp (385)
Como esta transformacion conmuta con SU(2)L × U(1)Y , encontrariamos la teoria quehemos escrito desde el principio.
Sin embargo, en el sector de quarks la cosa es muy diferente, porque existen tanto dRcomo uR. Por lo tanto los Yukawas mas generales son
∫−λiju Qi φu
iR − λijd Qa
i φb εab d
iR + h.c. (386)
siendo a, b los indices de SU(2)L. Notese que el efecto del segundo termino, una vezenchufado aqui quien es el VEV de φ, es darle masa al d. Como no hay neutrino right,escribir este segundo termino para los leptones no lleva a nada nuevo.
Intentemos ahora redefinir los campos para diagonalizar los Yukawas. Para ello esmejor meter el VEV del Higgs aca y estudiar los terminos efectivos de masa, que son(esquematicamente)
∫−λiju uiL ujR − λijd diL diR (387)
Esta claro que si hacemos el mismo truco que antes
19Como el neutrino es electricamente neutro podria ser su propia antipartcula. En tal caso es posibleescribir un termino de masa. No esta claro que el neutrino sea Majorana.
86
uiL → U iju u
jL uiRW
iju u
jR (388)
(389)
diL → U ijd d
jL diRW
ijd d
jR (390)
conseguiremos diagonalizar los Yukawas escogiendo apropiadamente las matrices. Pero,como en general Ud 6= Uu, esta transformacion no transformara igual las dos componentesdel doblete de SU(2)L. Como la interaccion que mezcla las dos componentes del dobletees a traves de los W±, lo que ocurrira es que para los quarks la derivada covariante sera
Dijµ = δij ∂µ+i g V ijW+
µ σ++i g (V †)ijW−
µ σ−+i δij
g
2 cos θW
(σ3−Y
)Z0µ+i δij
g
2 cos θW
(σ3+Y
)Aµ
(391)donde esos V ij son las entradas de la matriz U †u Ud, y son en general numeros complejos.Esta matriz es la matriz de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM).
El que la matriz CKM sea en general compleja20 tiene una consecuencia dramatica: elSM viola la simetria CP si CKM tiene entradas complejas. Resulta que si las tiene y elSM viola CP –aunque, como todos los parametros del SM, no se entiende por que–.
En el SM hay otra fuente de violacion de CP: si agandimos el termino topologico parael campo del gluon
∫θ
16π2TrGµν Gαβ ε
µναβ (392)
introducimos nueva fuente de ruptura explicita de CP. No discutiremos aqui mas sobreesto, solo mencionar que θ resulta ser minusculo, casi cero pero no del todo. El por que deesto tampoco se entiende.
8.5.3 Neutrinos
Los neutrinos formar parte del doblete de SU(2)L junto con el correspondiente lepton car-gado de cada familia –eletron, muon y tau–. Asi pues han de ser de 3 tipos: νe, νµ, ντ .Como los neutrinos interactuan solo a traves de las corrientes cargadas/neutras, y su con-stante de acoplo es muy pequegna, sus interacciones son muy raras. Es por eso que paraestudiarlos se deben usar fuentes que emiten muchos neutrinos, como el sol. Sin embargo,entre 1960 y 2002 esto fue fuente de un gran misterio: la cantidad de neutrinos del electronesperada era simplemente diferente –mucho menor– que la esperada.
La resolucion de dicho puzzle –propuesta ya por Pontecorvo et al. en 1968– es que silos neutrinos tuviesen masa, y esta fuese muy peqeugna, podrian oscilar unos en otros. La
20Eso requiere al menos 3 familias de quarks, ya que de lo contrario la fase compleja se puede reabsorver.De hecho Cabbibo fue el primero en darse cuenta de esta mezcla en los quarks, lo que ocurrio cuando solose conocian dos quarks. Eso lleva a una matriz real. Sin emabargo mas tarde se descubrio que el SM violaCP y en un intento de explicarlo, Kobayashi y Maskawa propusieron la existencia de una nueva familia,de manera que la matriz V pudiese tener entradas complejas. Cabbibo se perdio el premio Nobel.
87
razon es que si los neutrinos tuviesen masa entonces habria tambien una matriz tipo CKM–llamada ahora Pontecorvo-Maki-Nakawata-Sakata, PMNS– que haria que la interacciondel neutrino fuese tambien del tipo
∫eiLW
+ U ij νjL (393)
Es decir, la interaccion debil no seria diagonal en la base νiL = νe, νµ, ντ. Llamemos aesta base que diagonaliza el termino cinetico –el /∂– como νP , es decir νiP = νe, νµ, ντ;y a la base que diagonalizaria la interaccion νiI = νIe , νIµ, νIτ. Supongamos un neutrinoproducido –por ejemplo en el sol– en t0 a traves de algun proceso electrodebil. Como labase νI diagonaliza la interaccion, se produce como νI . La matriz de PMNS permite re-escribir dicho estado en terminos de los autoestados del hamiltoniano libre, de manera queel estado de un neutrino en t0 se escribe como
|νiI(t0)〉 = U ij |νjP (t0)〉 (394)
El operador evolucion para la particula libre –el neutrino casi no interactua!– nos permiteconocer el estado en un instante t –escojamos t0 = 0 por sencillez de la notacion–
|νiI(t)〉 = U ij e−i H t |νjP (t0)〉 (395)
Como los |νiP 〉 diagonalizan el termino cinetico, son autoestados del hamiltoniano libre conautovalor Ei =
√~p+mi
|νiI(t)〉 = U ij e−i Ei t |νjP (t0)〉 (396)
Para detectar este neutrino en la tierra lo hacemos midiendo la interaccion a traves de algunproceso debil con otro lepton, supongamoslo del tipo j. La probabilidad de interaccion serapues proporcional al modulo de la proyeccion de |νiI〉 sobre |νjI 〉, es decir, a |〈 νjI | νiI(t)〉|2.
Por hacer mas sencillas las cosas, supongamos que solo dos neutrinos estan involucrados.Llamemos a la base de propagacion νe, νµ y a la de interaccion ν1, ν2. Entonces podemosescribir
U =
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(397)
De manera que θ parametriza la mezcla. Entonces
|ν1(t)〉 = e−i Ee t cos θ |νe〉 − e−i Eµ t sin θ |νµ〉 (398)
|ν2(t)〉 = e−i Ee t sin θ |νe〉+ e−i Eµ t cos θ |νµ〉 (399)
Entonces la probabilidad de detectar un neutrino tipo 2 si empezamos con uno tipo 1 es
88
〈 ν2 | ν1(t)〉 =(
sin θ 〈νe|+ cos θ 〈νµ|)(
e−i Ee t cos θ |νe〉 − e−i Eµ t sin θ |νµ〉)
(400)
que, asumiendo νe, µ ortonormales, es
〈 ν2 | ν1(t)〉 = sin θ cos θ(e−i Ee t − e−i Eµ t
)= sin 2θ sin(Ee − Eµ) t (401)
De entrada, es obvio que si mνe = mνµ el elemento de matriz es cero. Necesitamos de unadiferencia de masas en los neutrinos. Como por otra parte las masas son en cualquier casopequegnas, podemos asumir los neutrinos ultrarrelativistas, es decir
Ee − Eµ =√~p2 +m2
νe −√~p2 +m2
νµ = |~p|(√
1 +m2νe
~p2−√
1 +m2νµ
~p2
)∼ ∆m2
2 |~p| (402)
Con ∆m2 = m2νe −m2
νµ , de manera que la probabilidad es
P1→2 = sin2 2θ sin2 ∆m2 t
2 |~p| (403)
Como la particula es ultrarelativista E = |~p| c, de manera que t/|~p| = t c/E, pero t c = L,la distancia recorrida entre la emision y la deteccion, de manera que
P1→2 = sin2 2θ sin2 ∆m2 L
2E(404)
Es decir, existe una probabilidad no cero de oscilacion si θ 6= 0 y si m 6= 0, lo que explicael problema de los neutrinos solares.
Esto parece funcionar muy bien, con la salvedad de que. . . como dijimos, en el SM talcual, el el sector leptonico no hay νR. Eso lleva a que no se pueda construir un termino demasa para el neutrino, con lo que no queda sitio ni para la matriz de mezcla ni para la masadel neutrino. No esta clara la solucion del puzzle. Una posibilidad es que puede ser que elneutrino sea una particula de Majorana –que sea su propia antiparticula–. Esto permitiriaescribir un termino de masas. Esto implicaria que ciertos procesos de decaimiento β en losque se tuviese en el estado final un neutrino de menos deberian obervarse (neutrinoless βdecay). Otra manera natural de implementar esto es es que existiese νR, νL, me maneraque podamos construir un termino de masa (de Dirac y Majorana!)
mD (νL νR + νR νL) +mM νL νR =(νL, νL
) ( 0 mD
mD mM
) (νRνR
)(405)
Si tomamos la matriz de masa y la diagonalizamos, los autovalores son
m± =mM ±
√4m2
D +m2M
2(406)
89
Si mM >> mD los autovalores son
m+ ∼ −mD
mM
mD m− ∼ mM (407)
es decir, la nuevas componente serian muy pesadas –y por eso no las habriamos visto–mientras que las viejas componentes tendrian una masa suprimida por mD/mM , es decir,minuscula. Este mecanismo es el llamado seesaw mechanism: subiendo la masa de un tipode neutrinos a una escala muy grande, la masa del otro tipo de neutrinos se hace minuscula.Esto implicaria la existencia de una nueva escala –mM– de nueva fisica.
En cualquier caso, la resolucion de este puzzle no esta aun clara.
A El grupo de Lorentz
Dejando de lado gravedad, la relatividad especial establece que culaquier fenomeno ocurreen el espacio de Lorentz. Dicho espacio es un espacio vectorial de 4 dimensiones con metrica
ds2 = dxµ ηµν dxν ηµν = diag(1, −1, · · · , −1) (408)
Las transformaciones que dejan invariante ds2 forman el grupo de Poincare –en realidaddicho “grupo” contiene el grupo de Lorentz junto con las translacciones–. El postuladofundamental es que las leyes de la Fisica son covariantes bajo transformaciones del grupode Poincare.
El grupo de Poincare contiene translacciones, boosts y rotaciones. En lo que sigue nosolvidaremos de las translacciones y solo consideraremos boosts y rotaciones, es decir, elgrupo de Lorentz.
A.1 Rotaciones en 3d
La definicion del grupo de Lorentz como aquel que deja invariante el intervalo es muyreminiscente de algo muy familiar: el grupo de rotaciones. Consideremos un vector ~x enR3. La norma –longitud– de dicho vector es
|~x|2 = ~xT · ~x = xi xj δij (409)
Por definicion, una rotacion es una transformacion xi → U ij x
j tal que la norma del vectorse mantiene constante. Esto se parece mucho a la definicion del grupo de Lorentz, solo queen lugar de usar la metrica de Minkowski usamos la metrica euclidea δij. Esta claro quela matriz M debe satisfacer que
UT U = l1 ⇐⇒ M ∈ SO(3) (410)
Supongamos una transformacion infinitesimal, es decir U = l1 +M . La matriz M satisfacepues que
90
MT = −M (411)
Es decir, M es una matriz antisimetrica. Como M actua en R3, tiene 3 entradas inde-pendientes. Es decir, podemos encontrar 3 matrices M I independientes satisfaciendo serantisimetricas en R3.
Supongamos ahora la accion de una rotacion en mecanica cuantica. Supongamos unafuncion de onda ψ(~x). Bajo una rotacion xi → xi +M i
j xj tenemos
ψ → ψ(xi) +M ij x
j ∂iψ + δψ (412)
Usando la forma de las matrices M escritas como combinaciones de M I ’s, esta claro quepodemos escribir esto como
ψ → ψ(xi)− α3 [x1 ∂2 − x2 ∂1]ψ + α2 [x1 ∂3 − x3 ∂1]ψ − α1 [x2 ∂3 − x3 ∂2]ψ + δψ (413)
donde αi son los parametros de la rotacion particular. Introduciendo los generadores derotaciones actuando sobre funciones como
Lij = −(xi ∂j − xj ∂i) (414)
tenemos pues que
δψ = αi εijkLjkψ (415)
Los generadores Lij satisfacen que
[Lij, Lkl] = δik Ljl − δil Ljk − δjk Lil + δlj Lik (416)
Este alegra es el algebra de SO(3). Definiendo J i = −2 i εijk Ljk es facil ver que el algebra seconvierte en [J i, J j] = 2 i εijk Jk, es decir, tenemos el isomorfismo de algebras so(3) ∼ su(2).
Ya que las representaciones de SU(2) son sencillas –es el algebra de momento angularen mecanica cuantica!–, construir representaciones de SO(3) tambien lo es: son las mismasreps. que las de SU(2)!.
A.2 Rotaciones en 4d
Supongamos ahora el mismo ejercicio en 4d. Evidentemente de vuelta encotraremos queel generador de rotaciones en 4d satisface que MT = −M . En este caso hay pues 6generadores. Colocando esos generadores en una matriz Lij –donde ahora i, j = 1, · · · , 6–,podemos repetir exactamente el mismo calculo de arriba, y encontraremos que el algebraque los generadores satisfacen ahora es
[Lij, Lkl] = δik Ljl − δil Ljk − δjk Lil + δlj Lik (417)
91
Es decir, el mismo algebra que para las rotaciones en 3d solo que en una dimension mas.Evidentemente esto continua siendo cierto en un numero arbitrario de dimensiones. Por lotanto, hemos encontrado el algebra para SO(d) con d arbitrario.
En 3d, usando el simbolo de Levi-Civita εijk encontramos que so(3) ∼ su(2). En 4d–u otras dimensiones– esto no sera cierto. Para empezar el simbolo de Levi-Civita tendrad indices! Sin embargo si podemos hacer lo siguiente. Tomemos los generadores Lij coni, j = 1, 2, 3 y construyamos el vector
Ja = −2 i εabc Lbc a, b, c ∈ 1, 2, 3 (418)
Evidentemente estos Ja satsifaran un algebra de SU(2), ya que si eliminamos la entradax4 en SO(4) lo que tenemos es el caso conocido de SO(3). Por otra parte, construyamosel vector
Ka = −2 i L4a (419)
Podemos ahora formar las combinaciones
Na+ =
1
2(Ja +Ka) Na
− =1
2(Ja −Ka) (420)
Con un poco de paciencia se puede ver que
[Na+, N
b+] = 2 i εabcN c
+ [Na−, N
b−] = 2 i εabcN c
− [Na+, N
b−] = 0 (421)
Es decir, encontramos dos algebras de SU(2) que conmutan. Esto quiere decir que so(4) ∼su(2)× su(2). Debido a esto, construir representaciones de SO(4) es muy sencillo: simple-mente tenemos dos copias del algebra de momento angular, por lo que las representacionesde SO(4) seran dos copias de representaciones de SU(2).
A.3 El grupo de Lorentz
Estamos ahora preparados para pasar al grupo de Lorentz. Dada la similitud formal conSO(d), es obvio que el algebra que los generadores satisfaran sera muy parecida a so(d).La diferencia estriba en que los generadores satisfacen que UT η U = η, lo que contienesignos − extras con respecto a SO(d). Repitiendo lo mismo que antes, es facil ver que elalgebra es
[Lij, Lkl] = ηik Ljl − ηil Ljk − ηjk Lil + ηlj Lik (422)
De vuelta, esto es independiente de la dimension, de manera que encontramos el algebrade SO(1, d − 1) –el (1, d − 1) hace referencia a que es como un grupo SO pero con unasignatura con d− 1 direcciones con igual signo y una con el opuesto. Evidentemente estose puede generalizar de manera obvia y obtener SO(p, q)–.
Repitiendo las mismas manipulacies de antes podemos ahora definir
92
Na+ =
1
2(Ja + iKa) Na
− =1
2(Ja − iKa) (423)
tales que
[Na+, N
b+] = 2 i εabcN c
+ [Na−, N
b−] = 2 i εabcN c
− [Na+, N
b−] = 0 (424)
Por lo tanto, tambien el grupo de Lorenz es basicamente SU(2)L × SU(2)R (se suelenllamar a los dos SU(2) como left y right respectivamente). Las representaciones se con-struyen de nuevo como productos de representaciones de SU(2). Ya que tenemos dos SU(2)denotaremos las representaciones como (·, ·), poniendo en cada factor la correspondienterepresentacion de SU(2)L,R.21
• (0, 0): esto es un campo escalar de Lorentz
• (12, 0): esto es un spinor de Weyl left –transforma solo bajo SU(2) left–.
• (0, 12): esto es un spinor de Weyl right –transforma solo bajo SU(2) right–.
• (12, 0)⊕ (0, 1
2): esto es un spinor de Dirac.
• (12, 1
2): esto es una particula vectorial –spin 1–.
Hay sin embargo una diferencia crucial: la i en la definicion de Na± hace que
Na+ = (Na
−)† (425)
es decir, ambos SU(2) no son independientes, ya que conjugacion compleja nos lleva deuno a otro. Notese que las particulas de spin entero son invariantes bajo esto, pero noasi los spinores: los spinores Weyl left y right se intercambian. Aqui no vamos a elaborarmucho mas en la teoria de las representaciones del grupo de Lorentz –y su parte discreta,que aqui no hemos discutido para nada–. Para todo ello, consular la bibliografia.
B Spinorologia
Recordemos que las matrices γ satisfacen que
γµ, γν = 2 ηµν γ5 = i γ1 γ1 γ2 γ3 (426)
Construyendo
Σµν =i
4[γµ, γν ] (427)
es facil ver, usando las propiedades de anticonmutacion, que
21Por ejemplo, 12 se refiere a la representacion de spin 1
2 de SU(2).
93
[Σµν , Σρσ] = ηµρ Σνσ − ηµσ Σνρ − ηνρ Σµσ + ησν Σµρ (428)
que es el algebra del grupo de Lorentz que vimos en el apendice anterior. Como Σµν
actua en el mismo espacio donde actuan las γ’s –es decir, sobre spinores de Dirac– estaclaro que sirven de representacion del grupo de Lorentz en dicho espacio. Asi pues, unatransformacion de Lorentz con parametro αµν actua sobre un spinor de Dirac como
ψ → ei αµν Σµν ψ (429)
Hemos visto que para particulas sin masa es natural usar spinores quirales. Podemosdefinirlos empezando con un Dirac ψ como
ψL =l1 − γ5
2ψ ψR =
l1 + γ5
2ψ (430)
Notese que
[Σµν , γ5] = 0 (431)
Asi pues, la condicion de ser quiral es una condicion evidentemente covariante Lorentz,ya que la transformacion Lorentz conmuta con el proyector de quiralidad. Esto quieredecir que lo que es quiral en un sistema de referencia lo es en cualquier otro obtenidotransformando de Lorentz.
Para el campo escalar la condicion de realidad φ = φ? es, por ser escalar, invarianteLorentz. Para el spinor una condicion analoga no funcionaria, porque Σµν es compleja, ypor lo tanto imponiendo ψ = ψ† en un sistema de Lorentz se transformaria en cualquiercosa en otro sistema. Para remediar esto fijemonos en la ecuacion de Dirac
(i γµ ∂µ +m)ψ = 0 (432)
Tomando su complejo conjugado
(−i (γµ)? ∂µ +m)ψ? = 0 (433)
Definamos
ψc = C ψ? (434)
Con C un cierto operador escogido tal que
C−1 (γµ)?C = −γµ (435)
Entonces ψC satisface
(i γµ ∂µ +m)ψc = 0 (436)
Notese que si tuviesemos un campo electromagnetico todo seria analogo, salvo por el hechode que, al tomar la conjugacion compleja, como el campo electromagnetico aparece con
94
i e γµAµ, la ecuacion que ψc satisface es la misma que la de ψ pero con la carga electricaopuesta. De ahi que esta operacion implementada por C sea la conjugacion de carga.
Notese que bajo conjugacion compleja
Σµν → (Σµν)? = −C−1 Σµν C (437)
Por lo tanto bajo transformacion de Lorentz ψ → ψ + i αµν Σµν ψ tenemos que
ψ? → ψ? + i αµν C−1 Σµν C ψ? (438)
Asi pues
ψc = C ψ? → C ψ? + i αµν Σµν C ψ? = ψc + i αµν Σµν ψc (439)
Es decir, la condicion de conjugacion de carga es covariante Lorentz. Por lo tanto lapodemos usar para imponer una proyeccion extra sobre los spinores de Dirac, al igual quela condicion de realidad para campos escalares. Esto define un spinor de Majorana
ψ = C ψ? (440)
Evidentemente, al igual que el campo escalar real es neutro bajo el electromagnetismo –esreal!!!–, el spinor de Majorana correspondera a un fermion neutro.
B.1 El SM con spinores left
Para γ5 tenemos tambien que
C (γ5)?C = −i C (γ0)? (γ1)? (γ2)? (γ3)?C−1 = −γ5 (441)
Con esto
l1 ± γ5
2ψc = C
C−1 ± C−1 γ5
2C ψ? = C
l1 ∓ (γ5)?
2ψ? = C
( l1 ∓ γ5
2ψ)
(442)
De manera que si ψ es un spinor left
l1 + γ5
2ψc = C
( l1 − γ5
2ψ)
= C ψ? = ψc (443)
es decir, ψc es right, y viceversa. Es decir, el spinor conjugado de carga de un spinor quiraltiene la quiralidad opuesta.
Podemos usar esto para escribir el SM en terminos de spinores solo left. Tomemos porsencillez solo una familia leptonica. Tenemos un doblete de SU(2)L left que llamamos LLy un singlete de SU(2)L right que llamamos eR. Este ultimo lo podemos re-escribir enterminos de su conjugado de carga –que tendra carga +1– y sera un spinor left. De estemodo queda todo un poquito mas simetrico –y preparado para supersimetria!–
95
C Simetrias y corrientes conservadas
En muchos casos ocurre que un sistema descrito por una accion admite transformacionesque dejan la accion invariante. El ejemplo mas sencillo es un escalar real libre sin masa
S =
∫d4x ∂φ2 (444)
Esta accion es evidentemente invariante bajo φ→ φ+ a con a un numero real cualquiera.En general, supongamos una transformacion
δΦi = αij Φj + βi (445)
En general αij y βi podrian ser incluso funciones de x. Por lo tanto
δ∂µΦi = ∂µαij Φj + αij ∂µΦj + ∂µβi (446)
Entonces
δL =δLδΦi
δΦi +δL
δ∂µΦi
δ∂µΦi (447)
queda
δL =δLδΦi
αij Φj +δLδΦi
βi +δL
δ∂µΦi
∂µαij Φj +δL
δ∂µΦi
αij ∂µΦj +δL
δ∂µΦi
∂µβi (448)
Integrando por partes y usando las ecuaciones de movimiento
δL = ∂µ
( δLδ∂µΦi
αijΦj +δL
δ∂µΦi
βi
)(449)
Supongamos ahora el caso global, es decir, cuando ni αij ni βi dependen de x. Entonces,la transformacion de la accion es
δS =
∫d4xαij ∂µ
( δLδ∂µΦi
Φj
)+ βi ∂µ
δLδ∂µΦi
(450)
Pero ya que esta transformacion es una simetria –asi empezamos suponiendo!– δS = 0, conlo que definiendo las corrientes
jµij =δL
δ∂µΦi
Φj jµS =δL
δ∂µΦi
(451)
Tenemos que son conservadas –usando las eqs. de movimiento!–, es decir
∂µjµij = 0 ∂µj
µS = 0 (452)
Esto suele ir bajo el nombre de Teorema de Noether, ya que fue descubierto por EmmyNoether.
96
Para ejemplificar esto, tomemos el caso estrella de un escalar complejo con simetriaU(1)
L =1
2∂µφ
? ∂µφ− 1
2m2 φ?φ− λ (φ?φ)2 (453)
Esta teoria es invariante bajo φ→ eiαφ. La version infinitesimal es
δφ = i α φ (454)
Por lo tanto la corriente conservada es
jµ = φ? ∂µφ− φ ∂µφ? (455)
D La particula libre en formalismo de path integral
Consideremos el ejemplo mas sencillo: una particula libre. La accion clasica es
1
2m q2 (456)
La ecuacion de movimiento es simplemente q = 0. La solucion, con condiciones inicialesq(tI) = qI y q(tF ) = qF es
qcl(t) =qF − qItF − tI
t+ qI (457)
Escribamos una trayectoria arbitraria como q = qcl + qq, con qq tal que es cero en tI y tF .La accion es
∫ tF
tI
dt1
2m q2
cl +
∫ tF
tI
dtm qcl qq +
∫ tF
tI
dt1
2m q2
q (458)
Explicitamente
m
2
(qF − qI)2
(tF − tI)+
∫ tF
tI
dtm(qF − qItF − tI
)qq +
∫ tF
tI
dt1
2m q2
q (459)
El trozo del medio es la integral de una derivada total, asi que
∫ tF
tI
dtm(qF − qItF − tI
)qq = m
(qF − qItF − tI
) ∫ tF
tI
dt qq = m(qF − qItF − tI
)(qq(tF )− qq(tI)
)(460)
Debido a las condiciones de contorno en qq, esto es cero. Por lo tanto la accion clasica parauna trayectoria arbitraria es
S =m
2
(qF − qI)2
(tF − tI)+
∫ tF
tI
dt1
2m q2
q (461)
97
Por lo tanto
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 = ei m
2
(qF−qI )2
(tF−tI )
∫Dq ei
∫ tFtI
dt 12m q2
q (462)
Para hacer la integral demonos cuenta de que, como la condiciones de contorno son qI =qF = 0, esta integral es
〈0|e−i H (tF−tI) |0〉 (463)
Introduciendo unidades escritas en terminos de |p〉, esto es
∫dp
(2π)
∫dp′
(2 π)〈0|p〉 〈p| e−i H (tF−tI) |p′〉 〈p′|0〉 =
∫dp
(2 π)e−i
p2
2m(tF−tI) (464)
Haciendo la integral encontramos finalmente
∫Dq ei
∫ tFtI
dt 12m q2
q =
√m
i 2π (tF − tI)(465)
Por lo tanto, todo junto
〈qF | e−i H (tF−tI) |qI〉 =
√m
i 2 π (tF − tI)ei m
2
(qF−qI )2
(tF−tI ) (466)
E Tiempo euclideo, path integrals y mecanica estadis-
tica
Consideremos ahora una situacion a priori completamente diferente. Supongamos quequeremos estudiar la mecanica estadistica de un sistema a temperatura T = β−1. Comotodo el mundo sabe, la funcion de particion canonica es
Z = Tr e−β H (467)
Si |n〉 es una base del espacio de Hilbert, esto es
Z =∑
n
〈n|, e−β H |n〉 (468)
Supongamos ahora que definimos β = i TE. Entonces
Z =∑
n
〈n|, e−i H TE |n〉 (469)
Pero acabamos de ver una manera de escribir elementos de matriz genericos 〈F | e−i H TE |I〉en terminos de path integrals.
98
〈F |e−i H TE |I〉 =
∫dqI
∫dqF ψ
∗F (qF ) 〈qF | e−i H TE |qI〉ψI(qI) (470)
donde
〈qF | e−i H TE |qI〉 =
∫ qF=q(TE)
qI=q(0)
Dq ei∫ TE0 L (471)
Como la cantidad relevante en mecanica estadistica es cuando estados inicial y final coin-ciden, nos interesa en realidad
〈n|e−i H TE |n〉 =
∫dqI
∫dqF ψ
∗n(qF ) 〈qF | e−i H TE |qI〉ψn(qI) (472)
donde
〈qF | e−i H TE |qI〉 =
∫ qF=q(TE)
qI=q(0)
Dq ei∫ TE0 L (473)
Podemos asumir ψn una base ortonormalizada del espacio de Hilbert, de manera que
∑
n
ψ∗n(qF )ψn(qI) = δ(qI − qF ) (474)
Por lo tanto al final
Z =
∫ q(TE)=q
q(0)=q
Dq ei∫ TE0 L (475)
Es decir, hemos encontrado que el path integral que tenemos tras hacer
t→ −i tE (476)
e imponer condiciones de contorno periodicas q(0) = q(TE), tenemos la mecanica estadisticadel sistema.
El cambio de variables (476) se conoce como rotacion de Wick. Notese que si tenemosel espacio de Minkowski R1, 3, la rotacion de Wick lo convierte en el espacio euclideo R4.Para nuestra mecanica estadistica no solo estamos haciendo la rotacion de Wick, sino queademas estamos suponiendo que el tiempo euclideo (una de las coordenadas en R4) tieneun tamagno finito TE e imponemos condiciones de contorno periodicas. Esto es analogoa decir que la mecanica estadistica de un sistema es igual al path integral euclideo con eltiempo euclideo siendo un circulo de tamagno TE = β.
Este descubrimiendo es absolutamente sorprendente e increiblemente profundo. Dealguna manera, es como decir que la mecanica cuantica es una mecanica estadistica entiempo complejo (aunque esto son simplemente palabras!).
99
F Simetrias
La idea de simetria es central en fisica. Una simetria cuya aparicion es obvia es la simetriabajo transformaciones de Poincare –es decir, invariancia relativista–. De hecho, el pathintegral hace esta simetria completamente evidente, haciendolo por lo tanto el punto deinicio mas natural para construir una teoria cuantica de campos. Pero en general podemostener mas simetrias. Se puede demostrar22 que la unitariedad de la matriz S solo escompatible con la simetria de Poincare y un grupo de simetria interno que conmute con elgrupo de Poincare. Estas simetrias internas pueden ser locales o globales.
F.1 Simetrias globales
Supongamos la teoria mas sencilla del mundo: un boson escalar real sin masa. La acciones
S =
∫d4x
1
2∂φ2 (477)
Esta teoria es invariante bajo la transformacion φ→ φ+ a, con a una constante.Hay simetrias mas interesantes. Consideremos por ejemplo un escalar complejo
S =
∫d4x
1
2|∂φ|2 − 1
2m2 |φ|2 − λ |φ|4 (478)
Esta teoria es invariante bajo
φ→ ei α φ (479)
Esta es una rotacion U(1), que es un grupo abeliano. Podemos tambien tener simetriasno abelianas. Por ejemplo, consideremos un conjunto de N escalares reales con los queformaremos el vector ~φT = (φ1, · · · , φN). La accion es
S =
∫1
2∂~φT · ∂φ− 1
2m2 ~φT · ~φ− λ (~φT · ~φ)2 (480)
Evidentemente esta accion es invariante bajo
~φ→M ~φ (481)
con M una matriz satisfaciendo MT ·M = l1, que es la definicion del grupo O(N). Haciendolos escalares complejos, el grupo de invariancia seria U(N).
22S.Coleman and J.Mandula, All possible symmetries of the S-matrix, Phys.Rev. 159 (1967) 1251-1256
100
F.2 Simetrias locales (gauge)
Las simetrias discutidas arriba son simetrias globales, ya que la transformacion es igual entodos los puntos del espacio. Sin embargo un principio fundamental es la invariancia de lasleyes fisicas bajo transformaciones locales. Esto sugiere promover las simetrias anterioresa simetrias locales (tambien llamadas simetrias gauge). Por sencillez, concentremonos enel campo escalar complejo. Promoviendo la transformacion U(1) a simetria local, tenemosla transformacion infinitesimal
φ→ φ+ i α(x)φ (482)
Es evidente que la accion discutida arriba no es invariante bajo esta transformacion. Sinembargo si lo es si introducimos un nuevo campo cuya transformacion compense la de delescalar. Consideremos
S =
∫d4x
1
2|Dµφ|2 −
1
2m2 |φ|2 − λ |φ|4 Dµφ = ∂µ − i Aµ φ (483)
Esta accion es invariante bajo
φ→ φ+ i α(x)φ Aµ → Aµ + ∂µα (484)
Esta transformacion se conoce como transformacion gauge. Guiados por el principio deinvariancia gauge hay un termino mas con dimension 4 que podemos agnadir a la accion
S =
∫d4x− 1
4 e2Fµν F
µν+1
2|Dµφ|2−
1
2m2 |φ|2−λ |φ|4 Dµφ = ∂µ−i Aµ φ Fµν = ∂µAν−∂µAν
(485)Esto es una version con escalares del electromagnetismo (por eso a veces se le llama scalarQED).
Las simetrias locales –gauge– son intrinsecamente diferentes de las simetrias globales.Mientras que las primeras clasifican el espectro de una teoria, las segundas eliminan estados.Esto es porque una cantidad no invariante gauge se puede poner al numero que queramos–en particular a 0– haciendo transformaciones locales. Asi pues, las simetrias gauge enrealidad reflejan redundancias en la descripcion del sistema, y por eso sirven para eliminardichas redundancias. Es por eso que todas las cantidades con interpretacion fisica –esdecir, lo que se mide– deben ser invariantes gauge.
Volvamos a nuestro ejemplo de arriba. Para describir una particula sin masa de spin 1–el Aµ de arriba– hemos usado un vector en el espacio de Minkowski. Esto son en principio8 grados de libertad (4 campos y 4 momentos), aunque el hecho de tener una particula sinmasa lleva a que en realidad tengamos 6 grados de libertad (3 campos y 3 momentos). Sinembargo argumentos generales sobre las representaciones del grupo de Lorentz dictan queuna particula sin masa de spin 1 debe tener 4 grados de libertad (2 campos y 2 momentos).La manera de reconciliar estos dos numeros es a traves de la simetria gauge, que permiteeliminar uno de los 3 campos (y su momento) dejando los grados de libertad deseados.
101
Es dificil de sobreestimar la importancia de las interacciones gauge en fisica. No envano, el modelo estandard es un ejemplo particular de teoria gauge.
F.3 Ruptura espontanea de simetria
Consideremos de vuelta nuestro modelo con simetria global U(1). Las ecuaciones demovimiento son
∂2φ+m2φ+ 4λ |φ|2 φ = 0 (486)
Es evidente que las soluciones de vacio son aquellas en las que ∂φ = 0. Por lo tanto tenemosque
|φ|2 = −m2
4λo φ = 0 (487)
Es evidente que si m2
4λ> 0 la unica solucion es φ = 0. Sin emabargo si m
2
4λ< 0 –lo que ocurre
si m2 < 0. El signo de λ ha de ser positivo para que a gran φ el potencial sea acotadopor abajo– resulta que la solucion con |φ| 6= 0 no solo es valida sino que es de menor
energia. Escribiendo φ =√−m2
4λeiθ esta claro que cualquier θ soluciona la ecuacion. En
ese sentido es una direccion plana, ya que esta claro que el potencial es igual para cualquierθ0. Podemos escoger pues un θ0 a nuestro antojo y tomar como vacio
φ0 =
√−m
2
4λeiθ0 (488)
A esto se le conoce como ruptura espontanea de la simetria. El modelo original teniala simetria global U(1) que vimos. Pero el vacio resulta que no es invariante bajo dichasimetria (ya que hay que escoger un θ0), por lo que el vacio rompe la simetria de maneraespontanea. Esto es en contraste a una ruptura explicita, que seria por ejemplo agnadira la accion un termino digamos
∫φ4. Esta claro que agnadiendo a la accion esto, esta de
entrada no es invariante U(1).Expandamos alrededor del vacio que rompe espontaneamente la simetria haciendo
φ0 = (
√−m
2
4λ+ ρ) ei(θ0+p) (489)
Para ρ, p pequegnos encontramos
S ∼∫d4x
1
2∂ρ2 − 4λφ2
0 ρ2 +
φ20
2∂p2 (490)
es decir, la fluctuacion a lo largo de la direccion plana no tiene masa mientras que lafluctuacion a lo largo de la direccion no plana si tiene una masa. Este es un fenomenouniversal y exacto: cuando tenemos una simetria espontaneamente rota, por cada direccionplana original que teniamos que resulta rota por el vacio tenemos una particula escalar con
102
masa exactamente cero. Esto se conoce como teorema de Goldstone y a la particula escalarsin masa se le llama boson de Goldstonte. Es una “firma” universal de ruptura espontaneade simetria.
Cuando la ruptura espontanea de la simetria ocurre en una teoria donde la simetria eslocal ocurre un fenomeno enormemente interesante: podemos escoger un gauge tal que elboson de Goldstone esta puesto a cero –en ese sentido esta “comido por el campo gauge”–al precio de que, ya que hemos fijado el gauge, ahora los 3 grados de libertad del campovectorial son fisicos: el campo vectorial se ha vuelto masivo! Este es el celebrado mecanismode Higgs.
F.4 Simetrias anomalas
En principio, la cuantizacion de los campos fermionicos es similar a la de los camposbosonicos: se puede escribir un path integral para la accion de Dirac e integrar sobre loscampos Grassman. Sin embargo, una distincion fundamental aparece cuando hablamos desimetrias. Debido a la naturaleza fermionica, simetrias clasicas pueden no serlo a nivelcuantico. Es decir, si bien clasicamente una teoria tiene una corriente conservada jµ, esdecir, tal que ∂µ j
µ = 0, a nivel cuantico puede ocurrir que ∂µ jµ 6= 0. A estas simetrias
–que no lo son en realidad– se las llama simetrias anomalas.Un ejemplo canonico son las simetrias de flavor quirales. Como es bien sabido, en 4d
fermiones sin masa se representan por spinores de Weyl. Estos satisfacen que γ5 ψ = ±ψ,siendo los que tienen autovalor + fermiones left y los que tienen autovalor − fermionesright. Podemos en principio escribir una teoria con solo fermiones left. De hecho, si tenemosmas de un fermion left, digamos Nf de ellos, podemos escribir dicha teoria con simetriaU(Nf ). Como la simetria solo afecta a spinores de una quiralidad se llama simetria quiral.Resulta que esta simetria, a nivel cuantico, es anomala. Esto tiene una importancia capitalen QCD, ya que en particular permite decaimientos de otro modo prohibidos (en particularπ0 en 2 γ).
G Reglas de Feynman para el SM con una generacion
Listado de las reglas de Feynman para el SM con una sola generacion, tomado de
http://www.stfc.ac.uk/ppd/resources/pdf/standardmodel09.pdf.
103
Feynman Rules in the Unitary Gauge (for one Lepton Generation)
Propagators:
(All propagators carry momentum p.)
Wµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2W )/(p2 ! M2
W )
Zµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2Z)/(p2 ! M2
Z)
Aµ ! !i gµ!/p
2
ei (" · p + me)/(p2 ! m2
e)
!i " · p/p2
Hi/(p2 ! m2
H)
- 171 -
104
Feynman Rules in the Unitary Gauge (for one Lepton Generation)
Propagators:
(All propagators carry momentum p.)
Wµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2W )/(p2 ! M2
W )
Zµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2Z)/(p2 ! M2
Z)
Aµ ! !i gµ!/p
2
ei (" · p + me)/(p2 ! m2
e)
!i " · p/p2
Hi/(p2 ! m2
H)
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Feynman Rules in the Unitary Gauge (for one Lepton Generation)
Propagators:
(All propagators carry momentum p.)
Wµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2W )/(p2 ! M2
W )
Zµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2Z)/(p2 ! M2
Z)
Aµ ! !i gµ!/p
2
ei (" · p + me)/(p2 ! m2
e)
!i " · p/p2
Hi/(p2 ! m2
H)
- 171 -
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Feynman Rules in the Unitary Gauge (for one Lepton Generation)
Propagators:
(All propagators carry momentum p.)
Wµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2W )/(p2 ! M2
W )
Zµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2Z)/(p2 ! M2
Z)
Aµ ! !i gµ!/p
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ei (" · p + me)/(p2 ! m2
e)
!i " · p/p2
Hi/(p2 ! m2
H)
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Feynman Rules in the Unitary Gauge (for one Lepton Generation)
Propagators:
(All propagators carry momentum p.)
Wµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2W )/(p2 ! M2
W )
Zµ ! !i (gµ! ! pµ p!/M
2Z)/(p2 ! M2
Z)
Aµ ! !i gµ!/p
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ei (" · p + me)/(p2 ! m2
e)
!i " · p/p2
Hi/(p2 ! m2
H)
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