EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUEM2IF EvryMonique JeanblancUniversit dEVRYJuin 20112Contents1 Rappels 71.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Esprance conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Temps darrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Changement de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Algbre bta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Mouvement Brownien 152.1 Proprits lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Temps datteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8.1 Partie I : Rsultats prliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8.2 Partie II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Intgrale dIt 293.1 Intgrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Formule dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Brownien gomtrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6 Le crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4034 CONTENTS4 Exemples 454.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Processus de Bessel carr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Equations direntielles stochastiques 555.1 Equation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Autres quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5 Equations direntielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 Girsanov 636.1 Rsultats lmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5 Temps darrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 Complments 797.1 Thorme de Lvy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Equations rtrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3 Thormes de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5 Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.6 Filtrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.7 Options barrires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.8 Mandres, ponts, excursions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868 Processus sauts 898.1 Processus de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 Poisson compos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.3 Formule dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.4 Temps de Dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.5 March complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921 Rappels, Corrigs 951.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96CONTENTS 51.3 Esprance conditionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001.5 Temps darrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.6 Temps discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.7 Algbre bta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022 Mouvement Brownien, Corrigs 1052.1 Proprits lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.2 Processus Gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.4 Temps datteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.6 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153 Intgrale dIt, Corrigs 1173.1 Intgrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.2 Formule dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.4 Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.5 Brownien gomtrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6 Le crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264 Exemples, Corrigs 1294.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2 Processus de Bessel carr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315 Equations direntielles stochastiques, Corrigs 1335.1 Equation Linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.3 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4 Equations direntielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386 Girsanov, Corrigs 1396.1 Rsultats lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426 Rappels. Enoncs6.5 Temps darrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437 Complments, Corrigs 1457.1 Thorme de Lvy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2 Equations rtrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.3 Thormes de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.5 Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.6 Filtrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.7 Options barrires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8 Mandres, ponts, excursions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498 Sauts, Corrigs. 1538.1 Processus de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2 Poisson compos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.3 March complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561 Examens 1591.1 2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.1.1 dcembre 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591.1.2 Avril 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1601.2 2008-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2.1 Dcembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611.2.2 Mars 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1641.3 2009-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.4 Dcembre 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661.4.1 Mars 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691.5 2010-2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701.5.1 Dcembre 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1701.6 Janvier 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Chapter 1Rappels1.1 TribuExercice 1.1.1Ensembles appartenant une tribu.1. Montrer que si Fest une tribu, et siA etB appartiennent FavecA B, alorsB A FoB A est lensemble des lments deB qui ne sont pas dansA.2. Montrer que siCetD appartiennent F, alorsCDdef= {C Dc} {Cc D} appartient F.Exercice 1.1.2Exemples de tribus.1. Dcrire la tribu engendre par un ensembleA.2. Dcrire la tribu engendre par deux ensemblesA etB disjoints.Exercice 1.1.3Fonctions indicatrices.On note11A la v.a. qui vaut1 pour A et 0 sinon.1. Montrer que11AB= 11A11B.2. Montrer que, siA B= , on a11AB= 11A + 11B.3. Montrer que11BA= 11B 11A.4. Montrer que11AB= 11A + 11B 11AB.Exercice 1.1.4Union et intersection.Soit F1 et F2 deux tribus. Montrer que F1F2 est une tribu. Montrer quen gnral F1F2 nestpas une tribu.Exercice 1.1.5Tribu grossie par un ensemble.Soit Fune tribu etA nappartenant pas F. Montrer que la tribu engendre par FetA (cest--dire la plus petite tribu contenant FetA) est compose des ensemblesBtels que il existeCetDappartenant FvriantB= (C A) (D Ac).Exercice 1.1.6Tribu engendre par une v.a.Soit X une v.a. sur un espace (, G). La tribu engendre par X, note (X), est la plus petite soustribu Ftelle queXsoit mesurable de(, F) dans(R, B). Elle est engendre par C= {F , |F=X1(B), B B). Montrer que C est une tribu. Vrier que siY= h(X) avech borlienne, alorsYest(X)-mesurable. On admettra que la rciproque est vraie.78 Rappels. EnoncsExercice 1.1.7Lois de v.a.Soit(X, Y ) un couple de variables indpendantes et(Z, T) deux variables indpendantes telles queXloi=ZetYloi=T.1. Soitfune fonction borlienne (borne) de R dans R. Comparer E(f(X)) et E(f(Z)).2. Soith une fonction borlienne (borne) de R2dans R. Comparer E(h(X, Y )) et E(h(Z, T)).1.2 Variables gaussiennesOn note Nla fonction de rpartition de la loi gaussienne standard:N(x)=12xeu2/2du etN(m, 2) la loi d une v.a. gausienne desprancem et de variance2.Exercice 1.2.1Moments.SoitXune v.a.r. de loi N(0, 2).1. Calculer E(X3), E(X4), E(|X|) et E(|X3|).2. Calculer E(exp{X2+X}) pour1 22 0.3. Montrer que E(exp12a2X2)) = E(exp(aXY )) oYest indpendante deXet de mme loi.Exercice 1.2.2Somme de variables gaussiennes indpendantes.SoitXetYdeux v.a. gaussiennes indpendantes. Montrer queX +Yest une variable gaussienne.Prcisez sa loi.Exercice 1.2.3Transforme de Laplace.SoitXune v.a.r. de loi N(m, 2).1. Quelle est la loi deXm?Calculer E|X m|.2. Montrer que E(eX) = exp(m+1222). Calculer E(XeX).3. Soit (x) =12xey22dy.Calculer, dans le cas m = 0 et = 1 la valeur de E(11Xb exp X)en fonction de(, , b).4. Montrer que E(eXf(X)) = em+22/2E(f(X +2) pourfcontinue borne.5. Montrer que, sifest "rgulire" E(f(X)(X m)) = 2E(f(X)).Exercice 1.2.4Convergence.Soit(Xn, n 1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL2versX. Quelle est la loi deX?Exercice 1.2.5Vecteur gaussien.Soit X un vecteur gaussien valeurs dans Rnet A une matrice(p, n). Montrer queAXest un vecteur gaussien. Prciser son esprance et sa variance.Exercice 1.2.6VecteurGaussien. Soit(X, Y ) un vecteur gaussien centr tel que E(XY )=0.Montrer queXetYsont indpendantes.Exercice 1.2.7Projection.(*)Rappel : projection dansL2: Soit A un sous espace deL2() engendr par les variables alatoiresM. Jeanblanc M2IF Evry 9Y1, . . . , Yn, cest--dire siZ A, il existe(ai) rels tels queZ=iaiYi. SoitX L2. On appelleprojection deXsur A lunique lmentPrXde A tel queE( (X PrX)Z) = 0, Z ASoit (X1, X2, . . . , Xd, Y1, . . . , Yn)unvecteurgaussiencentrdans Rd+n. Montrerque X=(X1, X2, . . . , Xd) etY= (Y1, . . . , Yn) sont deux vecteurs gaussiens centrs.On supposed = 1. Montrer quePrXest une v.a. gaussienne(Y ) mesurable, telle queX PrXetYsont indpendantes.Exercice 1.2.8Caractrisationdevecteurgaussien. Soit (X, Y )deuxv.a.r. tellesqueYest gaussienne et la loi conditionnelle deXY est gaussienne de moyenneaY+ b et de varianceindpendante deY , cest--dire que E(exp(X)|Y =y)=exp((ay + b) +222). Montrer que lecouple(X, Y ) est gaussien.1.3 Esprance conditionnelleOn travaille sur un espace(, F, P) muni dune sous-tribu de Fnote G.Exercice 1.3.1Montrer que, siXetYsont bornesE(Y E(X|G)) = E(XE(Y |G))Montrer que si X est G-mesurable et Yest indpendante de G, pour toute fonction borlienne borne,E((X, Y )|F) = (X)o(x) = E((x, Y )).Exercice 1.3.2Montrer que siX L2, E(X|G) = Yet E(X2|G) = Y2alorsX= Y .Exercice 1.3.3Soit (X, Y ) indpendantes, X strictement positive et Z= XY .Calculer E(11Zt|X)en utilisant la fonction de rpartition deY .Exercice 1.3.4Soit (X, Y ) indpendantes, quidristibues et M= max(X, Y ).Calculer E(11Xt|M).Exercice 1.3.5Conditionnement et indpendance.SoitX, Ydeux v.a. telles que la v.a. X Yest indpendante de G, desprancem et de variance2. OnsupposequeY est G-mesurable. CalculerE(X Y | G). EndduireE(X| G). CalculerE( (X Y )2| G). En dduire E(X2| G).Exercice 1.3.6Vecteur gaussien (*) Suite de lexercice 1.2.7Soit(X, Y1, . . . , Yn) un vecteur gaussien centr dans R1+n. Montrer que E(X|Y ) = PrX.On supposen = 1. Montrer que E(X|Y ) = Y . Dterminer.Exercice 1.3.7Soit X=X1+ X2. OnsupposequeX1estindpendantede G, queX2est Gmesurable et queX1 est gaussienne.1. Calculer E(X|G) et var(X|G).2. Calculer E(eX|G).10 Rappels. EnoncsExercice 1.3.8Covarianceconditionnelle. SoitZ1, Z2deux variables alatoires de carr int-grable. On dnitCov(Z1, Z2|G) = E(Z1Z2|G) E(Z1|G)E(Z2|G) .Montrer queCov(Z1, Z2|G) = E[ (Z1 E(Z1|G)) Z2|G ].Exercice 1.3.9Tribu grossie.SoitA/ GetA FetXune v.a. intgrable. On note Hla tribu engendre par GetA. (Voirexercice 1.1.5). On admettra que les v.a. Zqui sont H mesurables scriventZ=Y111A + Y211Ac ,o les v.a. Yi sont G-mesurables. Montrer queE(X|H) = E(X11A|G)E(11A|G)11A + E(X11Ac |G)E(11Ac |G)11AcExercice 1.3.10Linarit.Soit Z= Y +, avec = 0.Montrer que E(aX+b|Z) = aE(X|Y )+b.Exercice 1.3.11Grossissement progressif Soit F une tribu. On considre la tribu G engendrepar 1 oest une v.a. valeurs dans R+.1. Montrer que toute v.a. G mesurable scrith( 1) oh est borlienne.2. Montrer que, siXest une v.a.Fmesurable, E(X|G)111=A111oA est une constante.Montrer queA = E(X111)/P(1 ).Exercice 1.3.12Conditionnement et indpendance 1.Soit G1 et G2 deux -algbres indpen-dantes, G= G1G2 et (Xi, i = 1, 2) deux variables alatoires bornes telles que Xi est Gi mesurable.Montrer que E(X1X2|G) = E(X1|G1)E(X2|G2).Exercice 1.3.13Conditionnement et indpendance 2. Montrer que si G est indpendante de(X) F, E(X|G F) = E(X|F).Exercice 1.3.14FormuledeBayes. Soit dQ=LdPsur (, F)et Gunesous-tribude F.Montrer queEQ(X|G) =1EP(L|G)EP(LX|G) .Montrer queEQ(X|G) = EP(X|G), X Fsi et seulement siL est Gmesurable.Exercice 1.3.15Soitfetg deux densits strictement positives sur R. SoitXune v.a. de densitfsurunespace(, P). Montrerquilexisteuneprobabilit QsurcetespacetellequeXsoitdedensitg.Exercice 1.3.16IndpendanceconditionnelleSoitF=(Ft, t 0)etG=(Gt, t 0)deuxltrations.1. Montrer que les proprits suivantes sont quivalentes.(H1) pour tout t, les tribus F et Gt sont conditionellement indpendantes par rapport Ft.(H2) F F, Gt Gt, E(FGt|Ft) = E(F|Ft) E(Gt|Ft)(H3) t, Gt Gt, E(Gt|F) = E(Gt|Ft)(H4) t, F F, E(F|Gt) = E(F|Ft).2. Soit F et G deux ltrations telles que Ft Gt. Montrer que(H) Toute F-martingale de carr intgrable est une G-martingalequivaut (H1).3. Dans le cas Gt= Ft (t ) oest un temps alatoire, montrer que (H1) quivaut (H5) s t, P( s|F) = P( s|Ft).M. Jeanblanc M2IF Evry 111.4 MartingalesLespace est muni dune ltration F.Un processusMest une martingale si- pour toutt,Mt est intgrable;- pour toutt > s, E(Mt|Fs) = Ms, p.s.Le processusMest une surmartingale si-Mt est adapt, intgrable;- E(Mt|Fs) Ms, s t .Le processusMest une sousmartingale si Mest une surmartingale.Exercice 1.4.1Exemple de base. SoitXune v.a. intgrable. Montrer que(E(X|Ft), t 0) estune martingale.Exercice 1.4.2Surmartingale.1. Montrer que siMest une martingale etA un processus croissant adapt (As At, s t)alorsM A est une surmartingale.2. SoitMune martingale. Que peut-on dire deM2?3. SoitMune martingale telle que E(M2) < . Montrer quesuptE(M2t ) < .4. Montrer quune surmartingale telle que E(ZT) = E(Z0) est une martingale sur[0, T].Exercice 1.4.3Martingale locale.Montrer quune martingale locale positive est une surmartin-gale.Exercice 1.4.4Martingaleenfonctiondelavaleurterminale. SoitXune martingale tellequeXT= . ExprimerXt en fonction depourt < Tau moyen dune esprance conditionnelle.Exercice 1.4.5Un lemme. On trouve dans la littrature (Due) le lemme suivant:Lemma: Letbeanadaptedboundedprocess. Then(Yt=Mt t0sds, 0 t T)forsomemartingaleMif and only ifYt= E[Ttsds +YT|Ft]Donner une dmonstration de ce lemme.Exercice 1.4.6Martingaledecarrintgrable. Soit(Mt, t 0) une Ft-martingale de carrintgrable (telle queM2tsoit desprance nie, pour toutt). Montrer que1. E((Mt Ms)2|Fs) = E(M2t|Fs) M2spourt > s.2. E((Mt Ms)2) = E(M2t ) E(M2s) pourt > s.3. La fonction dnie par(t) = E(M2t ) est croissante.Exercice 1.4.7Projectiondemartingale. Montrer que siMest une F-martingale, cest aussiune martingale par rapport sa propre ltration FMdnie par FMt=(Ms, s t). Soit H uneltration telle que Ht Ft. Montrer queYt= E(Mt|Ht) est une H-martingale.Exercice 1.4.8Unesousmartingale. Soitune v.a. positive. Montrer queZt= P( t|Ft)est une sousmartingale.12 Rappels. EnoncsExercice 1.4.9Processusaccroissementsindpendants. SoitXunPAI (processusac-croissementsindpendants, cest--diretelque, pourt>s, lav.a. Xt Xsestindpendantede(Xu, u s)). Montrer que, si, pour toutt, la v.a. Xtest intgrable,Xest une martingale et quesiXest de carr intgrable,X2t E(X2t ) est une martingale. Montrer que, sieXtest intgrable,Zt=eXtE(eXt)est une martingale.Exercice 1.4.10SoitMune martingale positive continue uniformment intgrable et=inf{t :Mt= 0}. Montrer queMest nulle surt > .Exercice 1.4.11SoitXun processus F-adapt, positif trajectoires continues et G F. Montrerque E(t0Xsds|Gt) t0 E(Xs|Gs)ds est une G-martingale.Exercice 1.4.12SoitXt= f(t) ofest une fonction. Quelles sont les fonctionsftelles que1. Le processusXest croissant2. Le processusXest une martingale?3. Le processusXest une sur-martingale?4. Le processusXest un processus de Markov?5. Le processusXest accroissements indpendants?6. Le processusXest accroissements stationnaires?1.5 Temps darrtSi F est une ltration, une v.a. positiveest un F-temps darrt si, pour toutt, { t} Ft.Exercice 1.5.1Tribuassocieuntempsdarrt. Soitun temps darrt. Montrer que Fest une tribu.Exercice 1.5.2SoitTuntempsdarrtetXunevariablealatoireappartenant FT, vriantX T. Montrer queXest un temps darrt.Exercice 1.5.3Exempledeprocessusadapt. Soit TunF-tempsdarrt. MontrerqueleprocessusXt= 11]0,T](t) est F-adapt.Exercice 1.5.4Comparaison de tribus.Soit S et T deux temps darrt tels que S T. Montrerque FS FT.Exercice 1.5.5Propritdemesurabilit. SoitSuntempsdarrt. MontrerqueSest FS-mesurable.Exercice 1.5.6SoitSetTdeux temps darrt. Montrer que {S T}, {T S} appartiennent FS.Exercice 1.5.7Exemple de processus cdlg. SoitS etTdeux temps darrt tels queS< T.Montrer que le processus Zt= 11[S,T[(t) (gal 1 si S t < Tet 0 sinon) est un processus cdlg.M. Jeanblanc M2IF Evry 13Exercice 1.5.8Exempletrivialdetempsdarrt. Montrer quune constanteest un tempsdarrt. Quelle est dans ce cas la tribu F?Exercice 1.5.9Oprationssurlestempsdarrt. Montrerquelinf(resp. lesup)dedeuxtemps darrt est un temps darrt.Exercice 1.5.10Caractrisation de martingale.1. Soits < t, A Fs etT= t11Ac+s11A. Montrer queTest un temps darrt.2. Montrerquesi E(XT) =E(X0)pourtouttempsdarrt T, alorsleprocessus Xestunemartingale.Exercice 1.5.11Thorme darrt. Soit Mune martingale continue telle que M0=aetlimtMt= 0. Montrer quesup Mtloi=aUoUest une v.a. de loi uniforme sur[0, 1].1.6 Changement de probabilitCe thorme sera central en vue dapplication la nance.Deux probabilits P et Q dnies sur le mme espace(, F) sont dites quivalentes si elles ontmmes ensembles ngligeables, cest dire siP(A) = 0 Q(A) = 0.Si P et Q sont quivalentes, il existe une variableY , strictement positive, F-mesurable, desprance1 sous P appele densit de Radon-Nikodym telle quedQ=Y dP ou encore Q(A)=AY dP. Oncrit galement cette relation sous la formedQdP= Y . Rciproquement, si Yest une v.a. strictementpositive, F-mesurable, desprance1 sous P, la relation EQ(Z) = EP(ZY ) dnit une probabilit Qquivalente P. Cette relation est facile mmoriser par la rgle de calcul formel suivante:EQ(Z) =ZdQ =ZdQdP dP=ZY dP = EP(ZY )On a aussidPdQ=1Y .Exercice 1.6.1Montrerquesi PestuneprobabilitetZunev.a. tellequelgalitdQ=ZdP(soit Q(A) = EP(Z11A)) dnit une probabilit, alors EP(Z) = 1 et P(Z< 0) = 0.Exercice 1.6.2 1. SoitUune variable de Bernoulli sous P dnie parP(U= 0) = 1 p, P(U= 1) = p.Soit Y lavariabledniepar Y =U+ (1 U). Dansquelscascettevariableestelledesprance 1?SoitdQ = Y dP, Calculer Q(U= 1). Quelle est la loi deUsous Q?2. Soit X est une v.a. de loi N(m, 2) sous P et soit Y= exp{h(Xm)12h22}. Soit dQ = Y dP.Calculer EQ{exp(X)}) = EP{Yexp(X)}. En dduire la loi deXsous Q (utiliser lexercice1.2.1.3. Soit X est un vecteur gaussien sous P et U une variable telle que le vecteur (X, U) soit gaussien.On posedQ=Y dP avecY =exp(U EP(U) 12VarPU). Montrer queXest gaussien sousQ, de mme covariance que sous P.14 Brownien. Enoncs1.7 Algbre bta-GammaExercice 1.7.1Loi Arc sinusUnevariablealatoire Aauneloi ArcSinus si sadensitest111 t11t[0,1]. Montrer quecos2()loi=A si est uniforme sur[0, 2].SoitNetN deux variables N(0, 1) indpendantes. Montrer queN2N2+N2loi=A.SoitC=NN. Montrer queCa une loi de Cauchy et que11 +C2a une loi Arc sinus.1.8 DiversExercice 1.8.1SoitX un processus etMt= sup0stXs. On noteune v.a. de loi exponentiellede paramtre indpendante deX. Montrer queE(exp(M)) = 1 E_0dueueTu_oTu= inf{t : Xt u}.Exercice 1.8.2TransformedeLaplaceetindpendance. SoitXetY deux v.a. indpen-dantes. Justier que E(e(X+Y )) = E(eX)E(eY). La rciproque est-elle vraie?Exercice 1.8.3TransformedeLaplaceetmoments. SoitXetY deux v.a. bornes tellesque E(eX)= E(eY) pour tout. Montrer queXetYont mme moments.Exercice 1.8.4Markov. SoitXun processus de Markov fort etTa=inf{t : Xt=a}. Montrerque, pourt < TP(XT dx|Xt= a) = P(XT dx|Ta= t) .Exercice 1.8.5PropritdeMarkovSoitBunmouvementBrownienetfunefonction. OnnoteTf= inf{t : Bt= f(t)}. Montrer queP(Bt f(s)|Tf= s) =1211s s,BtBs est une v.a. gaussiennecentre de variancet s) et on note F = (Ft, t 0) sa ltration naturelle.Dans certains exercices, le processusB est issu dex (soitB0= x).On rappelle que si X est un processus continu issu de 0, cest un mouvement Brownien si et seulementsiXet(X2t t, t 0) sont des martingales.Le mouvement Brownien est un processus de Markov fort: pour tout temps darrtniE(f(Bt+|F) = E(f(Bt+|B) .2.1 Proprits lmentairesExercice 2.1.1Caractrisation. Montrer quun processusXest un mouvement Brownien si etseulement sia. Pour toutt0< t1 < tn, le vecteur(Xt0, Xt1, . . . , Xtn) est un vecteur gaussien centrb. E(XtXs) = s tc. X0= 0Exercice 2.1.2Caractrisation2. MontrerquunprocessuscontinuXestunemouvementBrownien si et seulement si, pour tout le processusexp(Xt 122t) est une martingale.Exercice 2.1.3Calcul desprances.1. Calculer pour tout couple(s, t) les quantits E(BsB2t), E(Bt|Fs), E(Bt|Bs) et E(eBt|Fs).2. Calculer E(t0Budu|Fs) avect > s et E(t0Budu|Bs)3. On a vu,dans Exercice 1.2.1,que si Zest une v.a. gaussienne centre de variance2,on aE(Z4) = 34. Calculer E(B2tB2s).4. Quelle est la loi deBt +Bs?5. Soitsunevariablealatoireborne Fs-mesurable. Calculerpourt s, E(s(Bt Bs))etE[s(Bt Bs)2].6. Calculer E(11Bta) et E(Bt11Bta).7. Calculer E(t0exp(Bs)ds) et E(exp(Bt)t0exp(Bs)ds).8. Calculer E(eBt|Fs) et E((aeBtb)+|Fs).1516 Brownien. EnoncsExercice 2.1.4Lois. Montrer que E(f(Bt))= E(f(Gu + Btu)) avecG v.a. indpendante deBtu et de loi gaussienne centr rduite. En dduire le calcul de E(f(Bt)|Fs).Exercice 2.1.5Soit une variable alatoire de loi exponentielle de paramtre (soit P( dx) =ex11x>0dx) indpendante deB. Quelle est la loi deB?Exercice 2.1.6Des martingales. Parmi lesprocessussuivants, quelssontceuxqui sontdesmartingales. (On pourra utiliser, sans dmonstration, que E[t0Budu|Fs] =t0E[Bu|Fs] du.)1. Mt= B3t 3t0Bsds.2. Zt= B3t 3tBt.3. Xt= tBt t0Bsds.4. Ut= sin Bt +12t0sin(Bs) ds.5. Yt= t2Bt 2t0Bsds.Exercice 2.1.7Exponentielle de Brownien. Calculer E(ex+Bt) et E(sin(x +Bt)) en utilisantE(f(x +Bt)) = f(x) +12t0E(f(x +Bs)) ds .Exercice 2.1.8Changementdetemps. Soit Zt=BA(t)oAestunefonctiondterministecontinue strictement croissante.1. Calculer lesprance et la variance de Zt. Ce processus est-il une martingale par rapport F?.2. On dnit Gt= FA(t). Montrer queZest une G-martingale.3. Dterminer le processus croissantCtel que(Zt)2Ct soit une G-martingale.4. Soit un processus M tel que M est une martingale et il existe A, fonction dterministe continuestrictement croissante telle que M2t A(t) est une martingale. On note C linverse de A, cest--dire la fonction telle que C(A(t)) = t. Montrer que Wt= MC(t) est un mouvement Brownien.Exercice 2.1.9Calcul desprance. Comment calculer Ex(f(Bt)g(Bs))?Exercice 2.1.10CalculerE((10duBu +B1)2)Exercice 2.1.11Calcul de transforme de Laplace. Calculer Ex_exp(W2t )_.Exercice 2.1.12Comportement limite.1. Montrer quelimtBtt= 02. Montrer quelimtPx(Bt< 0) = 1/2. En dduire que pour toutx > 0, siT0= inf{t : Bt=0}, on aPx(T0< ) 1/2. (En fait, on peut montrer queT0 est ni ps.)Exercice 2.1.13Montrer que lintgrale10Bssds est convergente.M. Jeanblanc M2IF Evry 17Exercice 2.1.14Tribu triviale.On admettra quun ensemble appartenant la ltration F0= F+0a pour probabilit 0 ou 1.Si= inf{t 0: Bt> 0}, montrer queP( t) 12. En dduire queP(= 0) = 1.Exercice 2.1.15Applications de la proprit de Markov. Montrer queEx_t0h(r, Br)dr|Fs_=s0h(r, Br)dr +EBs_ts0h(s +u, Bu)du_Exercice 2.1.16Soit untempsdarrt, >0et uunefonctioncontinueborne. Onposeg(x) =Ex_0etu(Bt)dt_et f(x) =Ex_0etu(Bt)dt_ocommedhabitudelindicexprcise que le Brownien est issu dex.1. Montrer queg etfsont dnies.2. Montrer queEx_etu(Bt)dt_= Ex_11 1 etune v.a. positive. On admettra queE(supt(|Bt| tp/2)) < 1. Montrer queE(supt(|Bt| tp/2)) = E(sups(|Bs| sp/2))avec = (1)1/(p1).2. Montrer que E(|B|) E(supt(|Bt| tp/2)) +E(p/2).3. Montrer quep > 1, Cp, , E(|B|) Cp||1/2||p2.3 Brownien MultidimensionnelExercice 2.3.1Deux mouvenements Browniens B et Wsont corrls si le processus (WtBtt, t 0) est une martingale. Soit deux mouvements Browniens B et Wcorrls de coecient de corrlation. Montrer,sans utiliser la formule dIt pour des processus corrls,quil existe un BrownienZ,indpendant deWtel queB= W+1 2Z.M. Jeanblanc M2IF Evry 19Exercice 2.3.2Sommedebrowniens. SoitWunmouvementbrownienindpendantdeBet [0, 1]. Montrer que(Zt= Wt +1 2Bt, t 0) est un mouvement Brownien.SoientB etWdeux browniens indpendants et(i, i = 1, 2) deux fonctions dterministes. Montrerquil existe une fonction3 telle que le processusZdni par3(t)dZt= 1(t)dBt +2(t)dWtest un Brownien.Exercice 2.3.3SoitB un Brownienn-dimensionnel. Soitfune fonction borlienne borne. Mon-trer que, pour0 < s < t Ex(f(Bt)|Fs) = (Bs) avec(x) = Ex[f(Bts)]. En dduire queBiBjestune martingale pouri = j.Exercice 2.3.4Mouvement Brownien dansR2.1. SoitW1 etW2 deux mouvements Browniens indpendants. Le processusWt= W1(t) +W2(t)est-il un mouvement Brownien?Si oui, justiez la rponse, sinon, expliquez pourquoi. Mmequestion avecW1(t) +W2(t).2. SoitW1 etW2 deux processus. Soitc un rel donn. Montrer que si_exp_aW1(t) +bW2(t) t2[a, b]_1 cc 1_ _ab__, t 0_est une martingale pour tout couple(a, b), W1etW2sont des MB. Calculer E[exp(aW1(t) +bW2(t))].Exercice 2.3.5Brownienn-dimensionnel Soit B un MB n-dimensionnel et Uune matrice tellequeUUT= I. Montrer que(UBt, t 0) est un MB.2.4 Temps datteinteDans tous ces exercices,a R etTa= inf{t : Bt= a}.Exercice 2.4.1Transforme de Laplace. Montrer que Taest untemps darrt. CalculerE(eTa) pour tout rel. Montrer que P(Ta< ) = 1 et que E(Ta) = .Mmes questions aveca= inf{t : St= a} oSt= exp(Bt).Exercice 2.4.2Soita < 0 < b etT= Ta Tb. Calculer P(Ta< Tb) et E(T).Exercice 2.4.3Temps datteinte.1. Soitf(t) = E(erTa11Ta 0)?3. SoitTun nombre rel. CalculerZt= P(Ta> T|Ft). On rappelle quesuputBuloi= |Bt|.4. CalculerE(eTa)avecTa=inf{t : Xt=a}et Xt=t + Wt. CalculerE(eT)pourT= Ta Tb.5. Montrer quil existec tel queTrloi=cTr +XavecXindpendante dec.20 Brownien. Enoncs6. Mmes questions siTa= inf{t; t +Bt= a}.7. Soit S un brownien gomtrique (soit St= xexp(t +Wt)) et a= inf{t : St= a}. CalculerE(0ertStdt) et E(b0ertStdt). TROP DIFFICILEMontrer que si0 < a < b,b a est indpendant dea et a mme loi queba.Calculer E(erK11Kt).Exercice 2.4.4On supposeb < 0 < a. Montrer que(a Bt)(Btb) +t est une F-martingale. Endduire E(Ta,b) oTa,b= Ta Tb.Exercice 2.4.5Premier instant.Soit B un MB issu de 0 et Td= d+inf{t : Bt+d= 0}. CalculerE(eTd) et E(11BdaeTd).SoitT= d siBd a etT= d +TdsiBd a, Bd+Td a. Calculer E(eT).Exercice 2.4.6Soit Taet Tadeuxv.a. indpendantesdemmeloiqueTa. QuelleestlaloideTaTa + Ta(Sans faire de calculs).Exercice 2.4.7Loi de linf. SoitI= infsT1 Bs. Montrer que P(I dx) =dx1 +x2.Exercice 2.4.8SoitTa=inf{u: Mu Bu>a} avecMu=suptuBt. Montrer queMTaa uneloi exponentielle.Exercice 2.4.9Temps datteinte SoitA etB deux nombres positifs. On noteXt= t +Bt eth(x) =exp(2x/2) exp(2B/2)exp(2A/2) exp(2B/2). Vrier queh(Xt) est une martingale. Le temps darrtest dni par= inf{t : Xt= AouXt= B} .Calculer P(X= A).Exercice 2.4.10Soitfune fonction borlienne borne et etu(x) = Ex(exp[22T0 +T00duf(Bu)])oB est un mouvement Brownien issu dex. Montrer queu est solution de12u= (22+f)u, u(0) = 1Exercice 2.4.11Soienta, d deux nombres rels positifs.1. Calculer E(e|Bd|211Bda).2. SoitT1=inf{t d : Bt=0}. Montrer queT1est un temps darrt. Calculer E(eT1) etE(eT111Bda). Montrer queBT1+d est indpendant deBd et deT1.3. On introduit la v.a. 1 suivante : siBd a, on pose1= d. SiBd> a et siBT1+d a,on pose1= T1 +d, sinon on pose1= .Calculer pour > 0 la transforme de Laplace de1, soit E(e1).4. On continue. Si Bd a, on pose 2= d. Si Bd> a et si BT1+d a, on pose T2= T1 +d,sinon on dnitT2=inf{t T1 + d : Bt=0}. Si BT2+d a on pose2=T2 + d. Danstous les autres cas, on pose2= .M. Jeanblanc M2IF Evry 21(a) Montrer queBT2+d est indpendant de(BT1+d, Bd) et deT2.(b) Calculer la transforme de Laplace de2.5. On utilise la mme procdure pour dnir par itrationn et on pose= .(a) Montrer queest ni en utilisant, aprs lavoir justi queP(< ) =iP(BTi+d< a)(b) Calculer la transforme de Laplace de.(c) Calculer la transforme de Laplace deB.(d) Montrer queBest indpendant de.Exercice 2.4.12On trouve parfois (voir exercice prcdent, ou les temps datteinte dun niveau)destempsdarrt telsque et Bsontindpendants. Ceci nestcependantpastrscourant.Danscequisuitonadmettralersultat(nontrivial)suivant(Cramer)Si Xet Y sontdeuxv.a.indpendantes telles queX +Yest une v.a. gaussienne, alorsXetYsont des gaussiennes.Le but de cet exercice est de montrer : si est born parKet si etBsont indpendants,alorsest une constante.1. Montrer que sis > K,Bs= B+ Bsavec B un mouvement Brownien indpendant de F.2. Montrer queBet Bssont des v.a. indpendantes.3. Calculer lesprance et la variance deB. (Attention,ce nest pas trivial. Penser au cas o= Ta.)4. Montrer que Bsest une v.a. Gaussienne.5. Montrerquelonobtient K Gloi=K E() GoGestunev.a. gaussiennerduitecentre.6. Conclure.Exercice 2.4.13Soita et deux constantes strictement positives etT1=inf{t : Bt a t},T2= inf{t : Bt a +t}. On pose, pour touta 0,() = E(exp[]) avec= T1 T2.1. Montrer queT1loi=T2 et que(T1, T2)loi=(T2, T1).2. Vrierqueestbiendnieetdonnerunmajorantetunminorantsimplesde(Saiderpar un dessin).3. Montrer que() = 2E(exp(T1)11T1 t}. En dduiregtloi=td1loi=1d(1/t).4. On suppose queA est un processus croissant continu tel que, pout toutc(Bct, Act, t 0)loi=(cBt, cAt; t 0)On notea= inf{t : At a}. Montrer quedaloi=ad1. En dduireAgloi=1/d1.5. Montrer queAt= supstB2svrie les conditions prcdentes.Exercice 2.5.3Montrer quesup0t1|Bt|loi=1T1oT1= inf{t 0: |Bt| = 1}.Exercice 2.5.4Soit Aunefonctionnelledumouvementbrownien. OnditqueAalaproprit(hom) s il exister R tel que pour toutc,(Bct, Act; t 0)loi=(cBt, cr+1At; t 0)Pourquellevaleurde rlafonctionnelle At=t011(Bs>0)dsatellelaproprit(hom)? Mmequestion pour le temps local (voir la dnition plus loin)2.6 ComplmentsExercice 2.6.1Projection dun Brownien.Soit B un MB dans sa ltration F et G une ltrationplus petite que F. On suppose que E(Bt|Gt) = Bt est un MB. Montrer que Bt= Bt.Exercice 2.6.2Filtration de carrs de Browniens. SoitYt= aB2t+bW2taveca = b eta etbnon nuls,WetBtant des Browniens indpendants. Montrer que(Ys, s t) = (Bs, Ws, s t).Gnraliser au cas den carrs.Exercice 2.6.3Reprsentationprvisible. Soit B(i), i =1, 2, 3troisMB, avecB(i), i =1, 2indpendants. Montrerquilnestpaspossibledavoir(B(3)s, s t))=(B(1)s, B(2)s, s t). Onutilisera le thorme de reprsentation prvisible pour reprsenterB(1)t, B(2)ten terme deB(3).M. Jeanblanc M2IF Evry 23Exercice 2.6.4Ponts, suite de ex. 2.2.6 Pour chaquet on dnit la tribuFt= {(Bs stBt,s t}1. Montrer que la famille Ftest croissante ent.2. Soitf L2(R+, ds). Calculer la projection Ft surL2((F)t) deFt=t0f(s)dBs.3. Montrer que le processus Bt= Bt t0duBuuest un(Ft)-mouvement Brownien et queFt= {Bu, u t}4. Montrer que Ft=t0f(s)dBt, avec f(t) = f(t) 1tt0f(u)du.Exercice 2.6.5Soit BunMBrel, T0=inf{t : Bt=0}, g =sup{t 1 : Bt=0}. Montrerque Px(d>1 + t)=p(1, x; y)Py(T0>t)dyetque P0(g t)=p(t, 0; y)Py(T0> 1 t)dy.Exercice 2.6.6Loi degt. Montrer queP( supsutBu> 0, Bs< 0) = 2P(Bt> 0, Bs< 0) = 2[14 12arcsinst]En dduire la loi degt= sup{s t : Bs= 0}Exercice 2.6.7Reprsentationprvisible. Trouver unprocessus f prvisibletel que F =E(F) +T0fsdBs pour1. F= BT,2. F=T0Bsds,3. F= B2T,4. F= exp BT.Exercice 2.6.8Le mouvement BrownienB est issu de 0. SoitWun second mouvement Brownienissu de 0 indpendant deB etXt= (1 t)t0Ws(1 s)2ds + (1 t)t011 sdBs.1. Montrer quet0Ws1 sds t0dss0Wu(1 u)2du = (1 t)t0Ws(1 s)2ds.2. En admettant que si fetgsont deux fonctions dterministes on peut intervertir le sens desintgrales danst0dsf(s)s0g(u)dBu, montrer queBt t0dss011 udBu= (1 t)t011 sdBs24 Brownien. Enoncs3. Vrier queXest solution deXt= Bt +t0Ws Xs1 sds .4. (sans utiliser ce qui prcede) Montrer queXt= (1 t)t0dBs dWs1 s+Wt.5. Calculer E(XsXt).Exercice 2.6.9Soit Guneltration, WunG-mouvement brownien(cest--direunprocessuscontinutel queWet W2t tsontdesG-martingales). SoitHuneltrationpluspetitequeG.MontrerqueleprocessusMt= E(Wt|Ht)estunemartingale. (onprciseraparrapportquelleltration). SoitXt=Wt +t0Yudu oYest un processus G-adapt. On note FXla ltration deXet Yu= E(Yu|FXu). Vrier queZt= (Xtt0Yudu, t 0) est une FX-martingale (on calculeralesprance conditionnelle deZt par rapport FXs.Exercice 2.6.10SoitXun mouvement Brownien de drift (cest--direXt=t + Bt)etMXt=sup{st}Xt. Montrer queE(MXT |Ft) = MXt+MXtXt(1 F(T t, u)duoF(T t, u) = P(MXTt u)2.7 FinanceExercice 2.7.1Formule de Black et Scholes. Calculer E(eat(St K)+) quandSt= xebtexp(Bt 22t)Ecrire la formule obtenue quanda = b = r et quanda = r, b = r . Calculer E(ert(StK)+|Fs)pours < t.Exercice 2.7.2Options reset Une option reset est caractrise par une suite de dates t1, t2, . . . , tn.Le payo de cette option estA =i(ST Sti)+11Sti=inf{K,St1,St2,...,Stn} + (ST K)+11K=inf{K,St1,St2,...,Stn}Calculer le prix dune telle option, cest--dire calculer E(erTA) quandSt= xertexp(Bt 22t).Exercice 2.7.3Parmi les processus suivants, quels sont ceux qui sont un MB1. Xt= 2(W1+t/4 W1)2. Yt= W2t WtM. Jeanblanc M2IF Evry 253. Zt=t0f(s)dWs pour f(s) = signe[ sin(s)], soit f(s) = 1 si sin(s) 0 et f(s) = 1 si sin(s) < 04. (1 +t)Ut/(t+1) avecUs= Ws sW1, pours [0, 1].5. SoitXetYdeux processus continus, un nombre rel etUt= sin()Xt + cos()YtVt= cos()Xt sin()YtMontrer que Uet V sont des MBindpendants si et seulement si Xet Y sont des MBindpendants.6. Xt= 2Wt/47. Yt= Wt+1 W18. Zt= Wt+1 Wt2.8 Problme2.8.1 Partie I : Rsultats prliminairesSoit(Bt)t0unmouvementBrownienstandardsurunespacedeprobabilit(, F, P). Onnote(Ft)t0 la ltration naturelle deB.Etant donn un processus continu(Xt)t0 valeurs relles, on pose pourt > 0 ,MXt= supstXs,mXt=infstXs.Sia est un nombre rel strictement positif, on dnit galementTXa= inf{t 0; Xt= a},TXa= inf{t 0; |Xt| = a} .Il est connu queTBaest un temps darrt relativement (Ft)t0 , ni p.s. , tel que E(TBa)= etpour 0 ,E_exp(TBa)= exp_a2_.1. EninversantlatransformedeLaplacedeTBa, montrerqueladensitdelaloi deTBaestdonne para2t3exp_a22t_1(t>0).2. Dmontrer que pour 0 ,E_exp(TBa)_=_cosh_a2__1.3. Prouver queTBaest intgrable et calculer E(TBa) .4. Soientc etd deux nombres rels strictement positifs et posonsTB= TBc TBd . Montrer quepour R,E_exp_22TB1(TB=TBc)__=sinh(d)sinh((c +d)) ,E_exp_22TB__=cosh((c d)/2)cosh((c +d)/2) .26 Brownien. Enoncs5. En utilisant la proprit de Markov forte, dmontrer que sic 0 , b c ,P[Bt c , MBt> c] = P[Bt> 2c b].6. En-dduire que pour chaquet > 0 , les variables alatoiresMBtet |Bt| ont la mme loi.7. Vrier que pour chaquet > 0 , la densit de la loi du couple(Bt, MBt) est donne par2(2c b)2t3exp_(2c b)22t_1{0c}1{bc}.8. Retrouver alors la densit de la loi deTBaexplicite au 1. .2.8.2 Partie IIOn considre le processus(Yt)t0 dni par : t 0 , Yt= t +Bt , o R.1. Montrerquil existeunemesuredeprobabilitPsouslaquelle(Yt)t0estunmouvementBrownien standard.2. En utilisant le rsultat de la question I.7. , en-dduire que pour chaquet > 0 , la densit de laloi du couple(Yt, MYt) est donne par2(2c b)2t3exp_(2c b)22t_.exp_b 122t_1{0c}1{bc}.2.8.3 Partie IIISoit(St)t0leprocessustel que: t 0 , St=xexp_(r 122)t +Bt, ox, retsontdesnombres rels strictement positifs. Dans la suite, on dsignera parNla fonction de rpartition dela loi normale centrale rduite.1. Expliciter la probabilit Pqui fait de( Bt)t0un mouvement Brownien standard, avecBt=t +Bt et =r 2.2. Trouver une relation entreMStetMBtet entremStetmBtpour chaquet > 0.Dans ce qui suit,HetKdsigne des nombres rels strictements positifs.3. Montrer queP_St K , MSt H= N(d1) _Hx_(2r/2)1N(d2) ,avecd1=_log_Kx__r 122_t_/t ,d2=_log_KxH2__r 122_t_/t .4. Montrer queP_St K , mSt H= N(d3) _Hx_(2r/2)1N(d4) ,avecd3=_log_ xK_+_r 122_t_/t ,d4=_log_H2xK_+_r 122_t_/t .M. Jeanblanc M2IF Evry 275. Dduire de la question 3. que (E dsignant lesprance sous P)E_St 1{StK,MSt H}_= xert_N(d5) _Hx_(2r/2)+1N(d6)_,avecd5=_log_Kx__r +122_t_/t ,d6=_log_KxH2__r +122_t_/t .6. En utilisant le rsultat de la question 4., vrier queE_St 1{StK,mSt H}_= xert_N(d7) _Hx_(2r/2)+1N(d8)_,avecd7=_log_ xK_+_r +122_t_/t ,d8=_log_H2Kx_+_r +122_t_/t .7. On posev1(x, T) = E_erT(ST K)+1{mSTH}_.Montrer quev1(x, T) = x_N(d7) _Hx_(2r/2)+1N(d8)_erTK_N(d3) _Hx_(2r/2)1N(d4)_.Dterminer la quantitxv1(x, T t) .8. On pose v2(x, T) = E_erT(ST K)+1{MSTH}_.Donner une formule explicite pour v2(x, T)etxv2(x, T t) .9. On posev3(x, T) = E_erT(ST K)+1{MSTH}_,v4(x, T) = E_erT(ST K)+1{mSTH}_,v(x, T) = E_erT(ST K)+.Donner une relation entrev2(x, T) ,v3(x, T) etv(x, T) dune part et entrev1(x, T) ,v4(x, T) etv(x, T) dautre part.28 It. EnoncsChapter 3Intgrale dItDans tout ce chapitre,B est un mouvement Brownien dont la ltration est note F.On considre un processus, F-adapt continu gauche, et admettant des limites droite, tel que02tdt < , a.son montre quil existe des processusnde la forment=i,n11]ti,ti+1aveci,nL2() et Fti-mesurables, convergeantversdansL2( R+)(ausenso n20quandn . Ondnit t0sdBs, comme la limite de k(n)j=1j,n(B(tj+1) B(tj))Le processusI()t=t0sdBs a les proprits suivantes. SiE_02tdt_< , tle processusI() est une martingale, dans les autres cas, cest une martingale locale.SiE_02tdt_< , tle processus(I()t 02tdt,t 0)est une martingale.Intgrale de Wiener:Si f est une fonction dterministe, de carr intgrable sur tout intervalle[0, t], le processus(I(f)t, t 0) est un processus gaussien.Crochet: LecrochetdunemartingaledecarrintgrablecontinueMestluniqueprocessuscroissant M tel queM2t Mt soit une martingale.Le crochet deI() est par dnition I()t=02tdt SiXetYsont deux martingales continuesleur crochet X, Y est lunique processus variation borne tel queXY X, Y est une martin-gale. Le crochet de deux intgrales stoichastiques est I(), I() =t0ssds SiXetYsont deuxsemi-martingales continues leur crochet est le crochet des parties martingalesProcessus dIt: On appelle processus dIt un processusXadmettant une dcomposition dela formeXt= x +t0asds +t0sdBs2930 It. Enoncsoa et sont des processus F-adapts, vriant t0 |as|ds < et t02sds < .Formule dintgration par parties: SoitXetYdeux processus dItdXt= atdt +tdBtdYt= btdt +tdBtrelatifs au mme mouvement BrownienB, alorsd(XY )t= XtdYt +YtdXt +dX, Y tFormule dIt: Sifest une fonctionC1,2f(t, Xt) = f(0, X0) +t0A(s, Xs)ds +t0xf(s, Xs)dBsoAf(t, x) = tf(t, x) +b(t, x)xf(t, x) +12xxf(t, x)Cette formule scrit aussidf(t, Xt) = tf(t, Xt)dt +xf(t, Xt)dXt +12xxf(t, Xt)dXtLescrochetssecalculent formellement delafaonsuivante dX, Y =dXdY , aveclatabledemultiplication suivantedt dt = 0, dt dBt= 0, dBt dBt= dt3.1 Intgrale de WienerExercice 3.1.1SoitYt= tBt. CalculerdYt, lesprance de la v.a. Yt et la covariance E(YtYs).Exercice 3.1.2 1. Montrer que la v.a. Xt=t0(sin s) dBs est dnie.2. Montrer queXest un processus gaussien.Calculer son esprance et sa covariance E(XsXt).3. Calculer E[Xt|Fs].4. Montrer queXt= (sin t)Bt t0(cos s)Bsds.Exercice 3.1.3Montrerque(Yt=sin(Bt) +12t0sin(Bs) ds, t 0)estunemartingale. Calculerson esprance et sa variance.Exercice 3.1.4 1. Montrer que le processus(Yt=t0(tan s) dBs, 0 t xMontrer que1 (r +)x 0.Ecrire la formule dIt pouretV (t). Il apparait un termeLV (x) V (x) avecLV (x) = (1 rx)V(x) +22x2V(x)Montrer que surx > x on aLV (x) V (x) 0 et que surx x, on aLV (x) V (x) = 0En dduire queV (0) E(eTV (T))(en admettant que lintgrale stochastique est une martingale).Exercice 3.2.23Reprendre lexercice 2.6.8 en utilisant la formule dIt.Exercice 3.2.24PontBrownien CalculerP(sup0stBs y, Bt dx). En dduire que,pourun pont brownienb, issu dex l instant 0, qui doit se trouver enz, z>0 linstantt, on a poury> zP(sup0stbs y) = exp_(z +x 2y)22t+(z x)22t_.Quelle est la valeur deP(sup0stbs y) poury< z?Exercice 3.2.25FormuledeClark-OconeSoitfunefonctionbornedeclasseC1. Justierrapidement quil existe une fonction telle que, pourt 1E(f(B1)|Ft) = (t, Bt) .Expliciter(t, x) sous la forme dune esprance (non conditionnelle). Ecrire la formule dIt pour en faisant les simplications qui simposent. Montrer que(t, Bt) = E(f(B1)) +t0E(f(B1)|Fs)dBs.36 It. Enoncs3.3 Cas multidimensionnelExercice 3.3.1On considre deux processusS1 etS2 dnis pardSi(t) = Si(t)(rdt +idBit), i = 1, 2 (3.1)oB1etB2sont deux Browniens indpendants et o les coecientsr, i sont constants.1. On poseS3(t)def=S1(t)+S2(t)2. Ecrire lquation direntielle stochastique vrie parS3.2. SoitS4(t)def=S1(t)S2(t). Ecrire lquation direntielle stochastique vrie parS4.Exercice 3.3.2FormuledItmultidimensionnelle. Soient (B1(t), t 0)et (B2(t), t 0)deux mouvements Browniens indpendants. Soit(Li(t),i = 1, 2 , t 0)) les processus dnis pardLi(t) = i(t)Li(t)dBi(t) ,Li(0) = 1o(i(t), i = 1, 2) sont des processus adapts continus borns. SoitZt= L1(t)L2(t). EcriredZt.Montrer queL1(t)L2(t) est une martingale.Exercice 3.3.3Soit(B1(t), t 0) et(B2(t), t 0) deux mouvements Browniens indpendants et une constante telle que || 1.1. Montrer que le processus (Wt, t 0) dni par Wt= B1(t)+1 2B2(t) est un mouvementBrownien.2. Soit (i(t), t0; i =1, 2) deuxprocessus continus adapts decarrintgrable(tels queT 0, E(T02i(t) dt) < ).(a) On dnit(Zt, t 0) pardZt= 1(t)dB1(t) +2(t)dB2(t) etZ0= z. Montrer queZestune martingale.(b) Soit(t) = 21(t) +22(t). On suppose que(t) > 0. On dnit(Yt, t 0) pardYt=1(t)(t)dB1(t) +2(t)(t)dB2(t) ,Y0= y .Ecrire lquation vrie parY2t .Montrer que(Yt, t 0) est un mouvement Brownien.3. On dnitRt=B21(t) + B22(t). Ecrire lquation direntielle vrie parRet celle vrieparUt=Rt. On montrera quedUt=aUtdt +bdB3(t)oa etb sont des constantes etB3 un mouvement Brownien.Exercice 3.3.4Soit dS(i)t= S(i)t((i)tdt +(i)tdB(i)t) o B(i), i = 1, 2 sont deux MB corrls. Dter-minerki, i = 1, 2 pour queert(S(1)t)k1(S(2)t)k2soit une martingale.M. Jeanblanc M2IF Evry 373.4 ComplmentsExercice 3.4.1Formule de Tanaka. Soitfune fonction etFdnie parF(x) =xdzzf(y) dyVrier queF(x) =(x y)+f(y)dyet queF(x) =xf(y) dy=f(y) 11x>y dy.Montrer, en appliquant la formule dIt Fquet0f(Bs)ds = 2f(y)_(Bt y)+(B0 y)+t011Bs>ydBs_dy .Exercice 3.4.2Egalit de Bougerol. Soit B1 et B2 deux mouvements browniens indpendants.1. Appliquez la formule dIt aux processusXtdef=exp(B1(t))t0exp(B1(s)) dB2(s),Ztdef=sinh B1(t)2. Montrer quedZt=t0(Zs)dB1(s) +t0(Zs)ds.3. Vrier queMtdef=B2(t) +t0XsdB1(s) est une martingale. Calculer E(M2t ). En admettantqueMt=t0sdB3(s), oB3 est un mouvement brownien, identier.4. En dduire une relation entreXt etZt.Exercice 3.4.3Soitdrt= dt + 2rtdBt etf(t, x) une fonction deC1,2b.1. Quelle condition doit vrier la fonctions pour ques(rt) soit une martingale ?2. Quelle condition doit vrier la fonctionfpour quef(t, rt) soit une martingale ?3. SoitZt= r2tett= rt. Ecrire les EDS vries parZt et part.4. Soitdr1t=1dt + 2rtdB1tetdr2t=2dt + 2rtdB2tdeuxprocessus, avecB1etB2deuxbrowniens indpendants. On admettra que r1et r2sont indpendants. On note R le processusdni parRt= r1t+r2t. Montrer queR scrit sous la forme (4.1).Exercice 3.4.4Tempsdatteinte. Soit =Ta=inf{t : Bt=a}. OnacalculZt=P( >T|Ft). Quelle est la dynamique du processusZ?.Exercice 3.4.5Exponentielle. SoitXetYdeux martingales de la formedXt= HtdBt,dYt=KtdBt. On note Mt lunique solution de lquationdMt= MtdXt, M0= 1. Montrer que la solutiondedZt= dYt +ZtdXt, Z0= z estZt= Mt(z +t01Ms(dYs HsKsds))Quelle est la solution dedZt= dYt +ZtdXt lorsquedXt= HtdB1t,dYt= KtdB2toB1etB2sontdeux MB ventuellement corrls?38 It. Enoncs3.5 Brownien gomtrique et extensions.Dans cette section, nous tudions le Brownien gomtrique, processus de dynamiquedSt= St(b dt + dBt), S0= x (3.2)ob et sont des constantes.Exercice 3.5.1Existence et unicit de la solution de 3.2)1. SoitSt= ebtSt. Vrier pardSt= StdBt. (3.3)En dduire que Sest una martingale. Vrier que Yt= xeBt122test solution de (3.3) puisqueYt= xebteBt122test solution de (3.3)2. Soit S une autre solution de (3.3). Quelle est lEDS vrie par S/Y . Rsoudre cette quationet en dduire (3.3) admet une unique solution.3. Calculer E(St) et la valeur de E(St|Fs) pour tous les couples(t, s).4. Montrer que ST= S0 exp[(b122)T+BT], puis que ST= St exp[(b122)(Tt)+(BTBt)].5. Ecrire lquation direntielle vrie par(St)1.Exercice 3.5.2Changement de probabilit.1. Soit dLt= LttdBt o t est un processus adapt continu de L2(R) . On pose Yt= StLt.CalculerdYt.2. Soitr une constante ett dni pardt= t(r dt +tdBt)Montrer quet= Lt exp(rt). calculerd1t.3. Calculerd(Stt). Comment choisir pour queS soit une martingale ?La probailit obtenueest telle que le processusS actualis par le taux sans risquer (soit tertest une martingale.Cette (unique=) probabilit est la probbilt risque neutre (ou le mesure martingsle quivalente)Exercice 3.5.3SoitAt=1tt0ln Ssds.1. Montrer queln Ss= ln St + (b 22)(s t) +(Bs Bt) pours t.2. Montrer queAt est une variable gaussienne.3. SoitG(t, T) =1TTt(Bs Bt) ds. Montrer queAT=tT At + (1 tT )[ln St +12(b 22)(T t)] +G(t, T)4. Montrer que G(t, T) est une variable gaussienne indpendante de Ft, dont on calculera lespranceconditionnelle et la variance conditionnelle (par rapport Ft).5. En dduire que AT= Zt+U o Zt est Ft mesurable et U une variable gaussienne indpendantede Ft. Montrer que(t)eZt= E(eAT|Ft),o lon prcisera la valeur de.M. Jeanblanc M2IF Evry 39Exercice 3.5.4SoitVT=1hTThSudu oh est un nombre rel donn tel que0 < h < T. SoitXle processus dni parebtXt= E[ebTVT |Ft] .1. Quelle est la valeur deXT?2. ExprimerXt en fonction deSt pourt T h.3. ExprimerXt en fonction deSt et de(Su, T h u t) pourT h t T.4. Montrer que dXt= Xtbdt+SttdBt avec t= 11{t K. Quelle conditionsur x cela implique til?Comment peut-il raliser cet objectif?(on donnera plusieurs solutions)Exercice 3.7.12Soit dXt=YtT tXtdBt et dYt= gtdBt+dt. On note C(T t, x, ) la fonctionde Black-Scholes. Donner une relation entre g, pour que C(T t, Xt,YtT t) soit une martingale.44 Exemples. EnoncsExercice 3.7.13Calcul de E(exp T0rsds|Ft) avecrt= f(t) +22t +BtExercice 3.7.14On considre un march dans lequel sont ngocis trois actifs Un actif sans risquedont la dynamique estdS0t= S0trdt et DEUX actifs risqusdSit= Sit(idt +dBt)avec1 =2etlemmemouvementBrownienuni-dimensionnel B. Lesactifscontingentssontchoisis dans FT= (S1s, S2s, s T) = (Bs, s T).1. Montrer que le march est complet.2. Montrer que la march admet des opportunits darbitrage.3. ConstruireEXPLICITEMENTunetelleopportunitdarbitrage, cest--direexpliciter untriplet(0, 1, 2)deprocessusadaptstelsqueleportefeuilleassocisoitautonancantetV0= 0, VT> 0. On pourra se restreindre une OA statique, cest--dire telle que(0, 1, 2)soient des constantes.Exercice 3.7.15On considre un modle Black et Scholes et on note Q lunique mme.1. On noteYt=t0Sudu. Quel est le prix, la datet du payoYT(vers enT)?2. Expliciter la stratgie de couverture deYT3. On considre le payoh(YT, ST), vers enT, oh est une fonction borlienne (borne)Montrer que le prix la date t de h(YT, ST) scrit (t, Yt, St) et montrer comment obtenir(t, y, x) par un calcul desprance (non conditionnelle)Quelle est lEDP satisfaite par?Dterminer la stratgie de couverture associe.On considrec et deux processus adapts etX,cla solution dedXt= rXtdt +t(dSt rStdt) ctdt, X0= xMontrer que(ertXt +t0erscsds, t 0) est une Q-martingale.Montrer que, pourt < T,Xtert= EQ(XTerT+Tterscsds|Ft)Xtertt= EP(XTerTT+Ttserscsds|Ft)Soitetdeuxprocessusadapts. Onsouhaitequelesrelationst=tXtetct=tXtsoient satisfaites. Quelle sera dans ce cas la solutionX,ct(lexpliciter en terme des processus, , B)?.Onadmetqueleprocessus Xreprsentelarichessedunagentnancierinvestissant surlactif risqu et consommantctdt durant lintervalle de tempst, t + dt. Montrer, en utilisantcette interprtation que pour obtenir une richesse terminale (enT) positive et avoir une con-sommationpositive, lagentdoitavoirunerichesseinitialepositiveetquesarichesseserapositive chaque instantt.Chapter 4ExemplesDans tout ce chapitre,B est un mouvement Brownien dont la ltration est note F.4.1 Processus de BesselExercice 4.1.1SoitB1 etB2 deux mouvements Browniens indpendants etZt= B21(t) +B22(t) .1. Ecrire lEDS vrie parZ.2. On poseYt=Zt. Ecrire lEDS vrie parY .3. Ecrire lEDS vrie par1/Y .Exercice 4.1.2Formule dIt On considre les processus de la formedrt= dt + 2rtdBt(4.1)On admet quert 0 presque partout (par rapport t et .)1. Soitf(t, x) une fonction deC1,2b. Quelle condition doit vrier la fonctionfpour quef(t, rt)soit une martingale ?2. SoitZt= r2tett= rt. Ecrire les EDS vries parZt et part.3. Soitdr1t=1dt + 2rtdB1tetdr2t=2dt + 2rtdB2tdeuxprocessus, avecB1etB2deuxbrowniens indpendants. On admettra que r1et r2sont indpendants. On note R le processusdni parRt= r1t+r2t. Montrer queR scrit sous la forme (4.1).Exercice 4.1.3Processus de Bessel de dimension 3. SoitR le processus solution dedRt=1Rtdt +dWt, R0= 0 .1. Montrer queZt=1Rtest une martingale locale.2. Montrerque(Ut=exp(2t2) sinh RtRt, t 0)estunemartingalelocale. Onadmetraquecest une martingale.4546 Exemples. Enoncs3. En dduire la valeur de E_exp(2Tm2)_ oTm= inf{t : Rt= m}, avecm > 0.4. Soitfunefonctioncontinueborneetaunnombrerel. Quellesconditionsdoitvrierlafonctionv pour quev(Rt) exp[at t0f(Rs)ds]soit une martingale?5. Supposons quev est explicite. Comment calculerez vousE(exp[aTm Tm0f(Rs) ds]) ?Exercice 4.1.4Processus de Bessel de dimension 2. SoitdRt= dWt +12Rtdt.1. Montrer queZ= ln R est une martingale locale.2. Soitunnombrerelpositif. MontrerqueLt=[Rt]exp(22t0dsR2s)estunemartingalelocale.Exercice 4.1.5ProcessusdeBesseldedimension. SoitR le processus solution dedRt=dBt + 12Rtdt.1. Pour quelles fonctionss le processuss(Rt) est-il une martingale locale?2. Quelle est la dynamique deYt= R2t?3. Montrer queZtdef=exp(2(Yt t) 22t0Yudu) est une martingale.4. SoitdQ = ZdP. Quelle est la dynamique deYsousQ?Exercice 4.1.6Minimum dun BesselQuelle est la loi deinfstXs lorsqueXest un processus de Bessel?4.2 Processus de Bessel carrExercice 4.2.1Soit, deux constantes etdX(t) = 12X(t) dt +12dW(t). SoitYt= Xtet/2.EcriredYt.1. En dduire la forme de la solutionX(t).2. On suppose que(W1, W2, . . . , Wn) sont des Browniens indpendants et on noteXi la solutionde dXi(t) = 12Xi(t) dt + 12dWi(t). Soit r le processus dni par r(t) = X21(t)+ +X2n(t).3. Montrer que le processus B dni par B(0) = 0 et dB(t) =ni=1Xi(t)dWi(t)rtest un mouvementBrownien.M. Jeanblanc M2IF Evry 474. Montrer quedrt= (a brt) dt +rtdBtExercice 4.2.2Processus de Bessel carr. Soitx 0 etR un processus tel quedRt= dt + 2|Rt|dBt, R0= x (4.2)On admettra queR existe et queR 0.1. SoitZt= (Bt)2. Montrer queZvrie une quation de la forme (4.2). Quelle est la valeur de correspondante?2. SoitB1un mouvement Brownien indpendant deBetZ1t= (Bt)2+ (B1t)2. Montrer queZ1vrie une quation de la forme (4.2). Quelle est la valeur de correspondante?Gnralisation la somme des carrs den Browniens indpendants.3. Soitt=Rt. Montrer quedt= b(t, t, )dt +dBt. On expliciterab.4. SoitB1un mouvement Brownien indpendant deB. On noteR()(x) le processus dni en(4.2) et, poury 0, le processusR()(y) solution dedR()t= dt + 2Rt()dB1t, R()0= y (4.3)On notera simplementR()tetR()tces deux processus. On supposera que les processusR()tetR()tne sannulent pas et on admettra quils sont indpendants.(a) SoitXt= R()t+R()t. CalculerdXt.(b) Montrer que le processusZdni ci-dessous est un mouvement BrowniendZt=R()tdBt +R()tdB1tR()t+R()t(c) En dduire queXt= R()t+R()tvriedXt= dt + 2XtdZtOn explicitera en fonction de et.5. (a) On suppose que lon connat E(R()t) = m() et Var(R()t) = v() pour tout . ExprimerE(Xt) et Var(Xt) en fonction dem etv.(b) On admet que, siWest un brownien issu de x (voir exo 2.1.11)E(exp (Wt)2) =11 + 2texp(x1 + 2t) (4.4)Comment calculer E(exp [(1)t]2), E(exp R(1)t(x)) et E(exp R(2)t(x)) ?.On utilisera la question (d) et lindpendance deR()tetR()t.6. Montrer queE(exp R()t(x)) = E(exp R(1)t(x))_E(exp R(1)t(0))_1Calculer E(exp R()t(x)).48 Exemples. Enoncs7. Comment dmontrer lindpendance deR()tetR()t?Comment dmontrer (4.4) ?Exercice 4.2.3Processus de Bessel carr. SoitXunBESQ()(x).1. Montrer que(1cXct, t 0) est unBESQ()(x/c).2. Monter que, siFest un processus adaptZt= exp{12t0Fsd(Xs s) 12t0F2sXsds}est une martingale locale.3. Montrer que siFest dterministe, drivableZt= exp{12F(t)Xt F(0)X0 t0F(s)ds 12t0F2sXsds +XsdF(s)}4. Soit solution de= b2, (0) = 1,(1) = 0Montrer queZt= exp{12F(t)XtF(0)X0 ln (t) b22t0Xsds}. On admettra queZestune martingale.5. En dduire queQ()x(exp 1210Xsds) = (cosh b)/2exp(xb tanh b)Exercice 4.2.4En utilisant quesup1t1|Wt|loi=1210dsR(2)soR(2)s= Bs +12s0duR(2)umontrer que Esup1t1(|Wt|) =/2.Exercice 4.2.5ApplicationduthormedeLampertiThefollowingabsolutecontinuityrelationbetween twoBES processes (with 0)P()x=_Rtx_exp _22t0dsR2s_P(0)xwhereP()is the law of aBES with index. On utiliseraW()|Ft= exp(Wt 22t)W|Ftet(Rt; t 0)loi=xexp(BCt+Ct)Exercice 4.2.6SoitdXt=2XtdWt + (t)dt oest une fonction (continue borne). On veutcalculerA = Et,x_exp_12TtXum(u)du_f(XT)_M. Jeanblanc M2IF Evry 491. On se place dans le casf= 1, et on note la solution deuu(u, T) = m(u)(u, T) ;u(T, T) = 0Montrer queEt,x_exp_12TtXum(u)du__= exp_u(t, T)2(t, T)x_exp_12Ttu(s, T)(s, T)(u)du_2. Montrer que le calcul deA se ramne au calcul de la solution dune EDP.4.3 Autres processus.Exercice 4.3.1Processus dIngersoll. Soita < z< b etZle processus solution dedZt= (Zt a)(b Zt)dBt,Z0= zOn admet que pour toutt, le processusZvriea < Zt< b.1. Calculer la dynamique deZ1.2. soittdef=Zt ab Zt. Calculer la dynamique deet celle deln .3. Soit Xt= (bZt)g(t, t). Donner une condition sur g pour que X soit une martingale. Sauriezvous rsoudre lquation obtenue ?4. SoitYsolution dedYt= (Yt a)(b Yt)2dt + (Yt a)(b Yt)dBtMontrer quil existe une probabilit Q que lon dterminera telle que, sous QYait mme loiqueZsous P.Exercice 4.3.2Un processus stationnaire.Soit X vriant dXt= aXtdt+dBt, X0 v.a. donne.1. ExplicitezXt.2. Montrer que si X0 est une v.a. gaussienne indpendante de B, le processus X est un processusgaussien.3. On suppose queX0est gaussienne, indpendante deB. Dterminer la loi deX0pour que laloi de la v.a. Xt ne dpende pas det.Exercice 4.3.3SoitXsolution de (on admet queXexiste)dXt= Xt(1 Xt) (( Xt)dt +dBt) , X0= xavecx ]0, 1[. Soith0(x)=_1xx_21eth1(x)=2ln(1x)ln x(21)et=inf{t 0,St [a, b]}, avec0 < a < x < b < 1.1. Montrer queh0(Xt) eth1(Xt) +t sont des martingales.2. Montrer queP(X= a) =h0(x)h0(b)h0(a)h0(b)et calculer E().50 Exemples. Enoncs4.4 Des calculsExercice 4.4.1Un calcul de probabilit. On suppose connue(a, T) = P(Bt at , t T)SoitB1 etB2 deux MB indpendants etdXt= Xt(rdt +1dB1(t)), X0= 1dYt= Yt(rdt +2dB2(t)), Y0= 1Calculer, en fonction de la quantitP(Xt Yt, t T).Exercice 4.4.2Uncalcul deloi LetdXt=(t)dt + (t)dBt, X0=0 where andare piecewise constant over known time.Let us restrict our attention to the case(t) = t [0, 1[, (t) = 1t [1, [,(t) = t [0, 1[, (t) = 1t [1, 2[/, .Describe the distribution ofYt= max0stXs.Exercice 4.4.3Montrer que la solution dedCt= Ct_rtdt +m(dStStrtdt)_avecdSt= St(tdt +tdBt) scrit sous la formeCt= C0_StS0exp[at0rsds +bt02sds]_mo on expliciteraa etb.Exercice 4.4.4Changementdetemps SoitdXt= Xtdt + dBtet=inf{t : |Xt|>g(t)}ogestunefonctiondterministe. Exprimer P( >t)enfonctionde(u) =P(>u)avec= inf{t : |Bt| > h(t)}.Exercice 4.4.5Soit > 0, > 0, > 0 trois constantes etXla solution dedXt= Xt( Xt)dt +XtdWt,X0= 1(on admettra que cette solution existe et est strictement positive)1. On pose Lt= exp((22)t +Wt) et Yt=LtXt. Montrer que dYt= tdt o t est dterminexplicitement en termes de(Ws, s t) et des paramtres du modle.2. Montrer queYt sobtient de faon explicite en termes deW. En dduire la forme deXt.3. Montrer queL est une sous-martingale.4. QuelleestladynamiquerisqueneutredeXlorsqueletauxdintrtestnull? Quel estlechangement de probabilit associ?Quel serait le prix dun call de strikeKet de maturitTsurX?Exercice 4.4.6M. Jeanblanc M2IF Evry 51On considre un modle o le taux court vrie, sous la probabilit risque neutre (cest le modlede Merton)drt= adt +dWtOn rappelle que siG est une v.a. gaussienne de loi N(m, 2) la v.a. eGa pour espranceem+2/2et pour variance(e2 1)e2+2. On poseZt=rt(T t). CalculerdZtet intgrer cette quationpour obtenirZT Z0 sous forme deYT:=T0rsds et dune intgrale stochastique par rapport r.MontrerqueYT=r0T+12aT2+ TWT TT0tdWtetendduirelaloideYT. Endduirelavaleur, ent, dun zro-coupon de maturitT, que lon noteraB(t, T). Quelle est la dynamique deB?Exercice 4.4.7SoitXsolution dedXt= adt + 2XtdWt,X0= x,x > 0On admet quil existe une unique solution positive de cette EDS.1. Soitfune fonction drivable etmt= exp_12_t0f(u)dXu at t0f2(u)Xudu__Calculerdmt et montrer quem est une martingale (locale).2. Montrer que f(t)Xt f(0)X0=t0h(u)dXu+t0g(u)Xuduohet gsont des fonctionsdterministes que lon explicitera.3. Montrer quemt= exp_12_f(t)Xt t0(f2(u) +f(u))Xudu +k(t)__ok est une fonction dterministe que lon explicitera.4. Montrer que si fest valeurs ngatives etf2+ fest valeurs positives, m est borne sur[0, T] (donc sera une vraie martingale).5. Calculer E_exp_12_f(t)Xt t0(f2(u) +f(u))Xudu___ et, pourt < TE_exp_12_f(T)XT Tt(f2(u) +f(u))Xudu__|Ft_6. On posedQ = mtdP. Quelle est la dynamique deXsous Q?Exercice 4.4.8On se place dans un march Black-Scholes.1. On suppose que le taux r est constant. Rappeler comment on calcule au moyen dune esprancele prix la date 0, dun call Europen de maturitTet de strikeK(on ne demande PAS decalcul explicite). On noteC0 ce prix. Montrer que, en utilisant un (ou des) changement(s) deprobabilit (ou un (des) changement(s) de numraire),C0= S0Q1(ST K) KerTQ2(ST K)Prciser quels sont les changements de probabilit (ou changements de numraire)52 Exemples. Enoncs2. Le taux est prsent stochastique. Justier que le prix du payo H, o H FTest, la date0, gal E_H exp_T0rsds__en prcisant quel est le choix de la probabilit que lon utilise pour calculer lesprance. Quelest le prix deH la datet?3. OnnoteB(t, T)leprix, ladatet, dunzro-coupondematuritT. JustierqueL, avecLt=B(t, T) exp_t0rsds_ est une martingale (sous quelle probabilit?) Comment scrit,sousformeduneesprance, leprixduncall dematurit, avec 0 pour tout t. Soit R donn. Quelle est la dynamique de Xt= (mt(t))(calculerdXt)6. Quelle est la dynamique de Yt= (mtt(t)). Les processus X (resp. Y ) sont-ils des martingales?des surmartingales?des sous martingales?7. Onadmetquil existeunemartingale(locale) Metunprocessuscroissant tel queYt=Mtet. ExprimerdMt etdt et calculer en fonction de(f, B)8. On posedQ|Ft=LtdP|FtavecdLt=(t)LtdBt,L0=1 oest une fonction dterministe,de carr intgrable et borne. Dterminer la loi deZsous Q, et les dynamiques deXet deYsous Q.Exercice 4.4.10SoitdS0t=S0trtdt le prix de lactif sans risque etdSt=St(rtdt + dBt) le prixdun actif risqu sous la probabilit risque neutre P (le coecient est constant).1. SoitVla valeur dun portefeuille autonanant(, ) dnie parVt= tS0t+tSt. Rappelerla dnition dun portefeuille autonanant.2. Onsupposerdterministe. Quelestleprixladatetdunproduitdevaleur(enT)Z=T0ln Ssds. Quel est le portefeuille de couverture3. On suppose quer est un processus positif, F-adapt. SoitZt la valeur la datet dun payoZT. On supposeZt strictement positive et on noteV=VZ, S=SZ, S0,=S0Z .(a) Montrer quedVt= tdS0,t+tdSt .(b) On note t= exp_t0rsds_et on se donne FT, intgrable.Montrer que EP(T/t|Ft) =E(Zt/ZT|Ft) o Eest lesprance sous une probabilit P,quivalente P,que lonprcisera.M. Jeanblanc M2IF Evry 53(c) Commenter les rsultats obtenus(d) Appliquer cette mthodologie au cas o ZT= 1: comment sexprime le prix de en termedu changement de probabilit?SoitU< T. Comment calculerait-on le prix dun call destrikeK, de maturitU?Comment calculerZt dans le casdrt= a(b rt)dt +dWt?Exercice 4.4.11Lesgestionnairesdeportefeuilleutilisentsouventlamthodeducoussinpourproduire un portefeuille de valeur initialeV0et de valeur terminale plus grande quun plancherK.Ils construisent un portefeuille de valeurVt= Ker(Tt)+ Ct, oC, processus valeurs positives,est appel le coussin.1. Montrer que si V0< K, un tel portefeuille nexiste pas. Dans la suite, on suppose V0= 1 > K.2. Montrer que siCest la valeur dun portefeuille autonanant, il en est de mme pourV .3. SoitdCt= (m1)Ctrdt +mCtdStStom est une constante. Montrer queCest la valeur dun portefeuille(, ) autonanant.Quelle est la composition du portefeuilleV ?CalculerCt en fonction deSt.4. SoitCala solution dedCat= rKdt (m1)Cat rdt +mCatdStStOn admet quil existeXtel queCat= Xt(Ca0+rKt0X1sds)avecCa0= 1 K. Quelle est lEDS vrie parX?CalculerCa.5. Montrer queK +Catest la valeur dun portefeuille autonanant tel queVat K6. On suppose r = 0.On souhaite tudier le prix dune option asiatique, gal Pt:= E((T0SsdsK)+|Ft). OnadmetquilexisteunefonctionhtellequePt=h(t, St, At)oAt=t0Ssds.Ecrire lEDP dvaluation que vrieh.54 Equa. Di. EnoncsChapter 5Equations direntielles stochastiquesUne quation direntielle stochastique est une quation de la formedXt= b(t, Xt)dt +(t, Xt)dBt,X0= xo linconnue est le processusX, les donns sont le mouvement BrownienB (ventuellement multi-dimensionel) et les fonctionsb et.Lquation prcdente a une unique solution si a- les fonctionsb et sont continues,b- il existeKtel que pour toutt [0, T], x R, y Ri) |b(t, x) b(t, y)| +|(t, x) (t, y)| K|x y|ii) |b(t, x)|2+|(t, x)|2 K2(1 +|x|2). De plus cette solution vrieE( sup0tT|Xt|2) < .5.1 Equation linaireExercice 5.1.1Soit lEDSdXt= bXtdt +dBt,X0= x.1. OnposeYt=ebtXt. QuelleestlEDSvrieparYt? Exprimer YtsouslaformeYt=y +t0f(s)dBs o lon explicitera la fonctionf.2. Calculer E(Yt) et E(Y2t).3. Justier quet0Ysds est un processus gaussien. Calculer E(exp[t0Ysds]).4. ExprimerYtpourt > s sous la formeYt= Ys +tsg(u)dBuo lon explicitera la fonctiong.Calculer E(Yt|Fs) et Var (Yt|Fs)5. Calculer E(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).Exercice 5.1.2Soitdt= (1 rt)dt +tdBtetL le gnrateur associLV (x) = (1 rx)V(x) +22x2V(x)5556 Equa. Di. EnoncsSoitu une solution deLu(x) u(x) = 0On dnit x comme solution de xu(x) = u(x) et v(x) =xu(x)u(x). On admettra que v(x) 0.Soit ennVdnie par_V (x) = v(x), 0 x x= x, x > xMontrer que1 (r +)x 0.EcrirelaformuledItpouretV (t)(il apparaituntermeLV (x) (x)). Montrerquesurx > x on aLV (x) V (x) 0 et que surx x, on aLV (x) V (x) = 0En dduire queV (0) E(eTV (T))(en admettant que lintgrale stochastique est une martingale).Exercice 5.1.3Cas particulier 1.1. Montrer que la solutionYdedYt= Xtdt +XtdBt,Y0= 1 ,estYt= exp {( 122)t +Bt} .2. Montrer que si 0,Yest une sous-martingale par rapport la ltration(Ft).A quelle condition sur,Yest elle une martingale?3. Soit(Zt)t0 le processus dni parZt= x + (a b)t0Y1sds +bt0Y1sdBs.Montrer que(Zt)t0 est un processus dIt. Calculer< Y, Z>t.En dduire que la solutionXde (5.3) peut scrireXt= YtZt.Exercice 5.1.4Cas particulier 2. On considre lquationdXt= Xtdt +b dBt(5.1)X0= x.1. Montrer que lunique solution de (5.1) scritXt= et(X0 +bt0esdBs) .2. Montrer queXest un processus gaussien, calculer son esprance et sa variance.3. Justier quet0Xsds est un processus gaussien. Calculer E_exp[t0Xsds]_.4. Calculer E(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).M. Jeanblanc M2IF Evry 575. SoitXsolutionde(5.1),etunefonctiondeclasseC2. EcrirelaformuledItpourZt=(Xt).En dduire que si(x) =x0exp(y2b2 ) dy, alorsZt= bt0exp(B2sb2) dBsZest-elle une martingale de carr intgrable?6. Soit x. Calculer(t, y) = E(eX2t) .Soitt x. Etudier la martingale E(eX2t|Fs) , s t.Montrerqueestsolutiondunequationauxdrivespartielles. Soit(t, x)=ln (t, x).Montrer que(t, x) = x2a(t) +b(t), avec a(t) = 2a(t)( +b2a(t)), b(t) = b2a(t) .Exercice 5.1.5Cas particulier 3. On considre lquationdXt= (b +Xt)dBt(5.2)X0= xox = b. Soith la fonction dnie parh(y) =1ln |b +yb +x|poury = b1. On poseYt= h(Xt). Quelle est lquation vrie parY ?2. En dduire que la solution de (5.2) scritXt= (x +b) exp(22t +Bt) bExercice 5.1.6Casparticulier4. On se place dans le casa=1, b=0. On poseYt=etXt.Quelle est lquation direntielle vrie parY ?Calculer E(Xt) et Var (Xt).Exercice 5.1.7Cas gnral. Soita, , b, quatre constantes relles. Soitx R.On considre lquation direntielle stochastiquedXt= (a +Xt) dt + (b +Xt) dBt(5.3)X0= x1. Montrer que (5.3) admet une unique solution.2. On notem(t) = E(Xt) etM(t) = E(X2t ).(a) Montrer quem(t) est lunique solution de lquation direntielle ordinairey y = a (5.4)y(0) = x58 Equa. Di. Enoncs(b) Ecrire la formule dIt pourX2oXest solution de (5.3).(c) En dduire queM(t) est lunique solution de lquation direntielle ordinairey (2 +2) y = 2(a +b)m+b2(5.5)y(0) = x2o m est la solution de (5.4). (On admettra que lintgrale stochastique qui intervient estune martingale)(d) Rsoudre (5.4) puis (5.5).Exercice 5.1.8Soitf, F, g, G des fonctions continues bornes. On noteXla solution dedXt= [f(t) +F(t)Xt]dt + [g(t) +G(t)Xt]dBt,X0= xetYla solution dedYt= F(t)Ytdt +G(t)YtdBt,Y0= 11. ExpliciterY .2. SoitZdni parZt= x +t0Y1s[f(s) G(s)g(s)]ds +t0Y1sg(s)dBs.Montrer queX= Y Z.3. Soitm(t) = E(Xt) etMt= E(X2t ). Montrer quem est lunique solution dey(t) F(t)y(t) =f(t), y(0) = x. En dduirem(t) = exp(F(t))_x +t0exp F(s)f(s)ds_o F(t) =t0F(s)ds. Montrer queMest lunique solution deY(t) [2F(t) +G2(t)]y(t) = 2[f(t) +g(t)G(t)]m(t) +g2(t), y(0) = x2Exercice 5.1.9Calculer lesprance et la variance de la v.a. Xt avecdXt= a(b Xt)dt +XtdBt,X0= xExercice 5.1.10Soit0 < s < Tetm R. Vrier que la solution dedXt=(s T)Xt +mT(s T)t +T2dt +dBtestXt=mTt + [(s T)t +T2]t0dBu(s T)u +T2Exercice 5.1.11Soit un processus adapt (de carr intgrable),, etr des processus adapts(borns),c un processus positif, adapt, born etXla solution dedXx,,ct= rtXx,,ctdt ctdt +Ttt[dBt +tdt] (5.6)Xx,,c0= xOn noteHle deateur, soitHt= exp_t0rsds +t0sdBs 12t02ds_= Ltt0rsds . Montrer queles processusHtXt +t0Hscsds, t 0 etLt(XtRt +t0cRsds) sont des martingales. Vrier queleur dierence est une martingale.M. Jeanblanc M2IF Evry 595.2 Processus anesExercice 5.2.1Calculer E(exp(XT)) pourdXt= ( Xt Vt)dt +VtdB1,tdVt= k( Vt)dt +VtdB2,tExercice 5.2.2SoitdXt= (Xt)dt +(Xt)dBto et 2(le carr de ) sont des fonctions anes : (x) = 0+1x; 2(x) = 0+1x. On souhaitemontrer que pour toute fonction ane(x) = 0 + 1x, pour tout, il existe deux fonctions et telles que,E_eXTexp_Tt(Xs)ds_|Ft_= e(t)+(t)St.1. Montrer quil sut dtablir lexistence de deux fonctions et telles que le processuse(t)+(t)Stexp_t0(Ss)ds_est une martingale avec(T) = 0, (T) = .2. Montrer que la dtermination de et conduit la rsolution dune quation de Ricatti (typedquation direntielle non linaire) et dune quation direntielle linaire. On ne demandepas la rsolution de ces quations.3. Gnraliser le rsultat au cas o dSt= (St)dt+(St)dBt+dXt o (Xt, t 0) est un processusde Poisson.5.3 Autres quationsExercice 5.3.1On considre lquationdXt= 11Xt0dBt, X0= x. (5.7)On suppose quil existe une solution.1. Vrier que, pourx = 0, la solution de (1.9) nest pas identiquement nulle.2. Vrier que, pourx 0, la solution est valeurs positives. On pourra montrer, en utilisantla formule dIt, que sifest une fonction rgulire, nulle sur R+, alorsf(Xt) est nulle.3. Montrer que la solution issue de 0 est desprance nulle tout instantt.4. Que peut on en conclure?5.4 FinanceExercice 5.4.1Options Asiatiques. SoitSt solution dedSt= St (r dt + dBt)les paramtresr et tant constants.60 Equa. Di. Enoncs1. SoitKune constante. Montrer que le processusMt= E_( 1TT0Sudu K)+|Ft_ est unemartingale.2. Montrer que, si lon poset= S1t(K 1Tt0Sudu), on aMt= StE_[ 1TTtSuStdu t]+|Ft_.3. Soit(t, x)= E_[ 1TTtSuStdu x]+_. Montrer que(t, x)= E_[ 1TTtSuStdu x]+|Ft_et queMt= St(t, t).4. Ecrire la formule dIt pourM. En dduire une quation aux drives partielles vrie par.Exercice 5.4.2BlacketScholes, volatilitdterministe. Soitunefonctiondterministecontinue etr une constante et(St, t 0) la solution dedSt= St (r dt +(t) dBt) ,S0= x1. Montrer queSt= S0 exp_rt +t0(s) dBs 12t02(s) ds_2. Montrer quet0(s) dBs12t02(s) ds est une variable gaussienne dont on calculera lespranceet la variance.3. On rappelle que dans le cas constant, le prix dun call est donn parC(0, x) = xN(d1) KerTN(d2)avecd1=1T_ln( xK) +T(r +22)_, d2= d1 TEndduire(sansfairedecalculs)que, danslecasdevolatilitdterministe, laformuledeBlack et Scholes scritE((ST K)+) = xN(D1) KerTN(D2)ExprimerD1 etD2.Exercice 5.4.3La formule de Dupire. SoitdSt= St(rdt +(t, St)dBt)o est une fonction de R+R+dans R etf(t, x) la densit deSt, soitf(t, x) = P(St dx). ONadmettra quetf 12xx_x22(t, x)f(t, x)+x [rxf] = 0Onnote C(K, T) leprixenzroduncall Europendestrike Ket dematurit T. Onnote1C, 2C, 11Clesdrivespartiellesde Cparrapportlapremirevariable, secondevariable,drive seconde par rapport la premiere variable.M. Jeanblanc M2IF Evry 611. Montrer que11C(K, T) = erTf(T, K).2. Montrer que122x2_x22(t, x)f(t, x)= ert2x2(rxxC) +ert2x2Ct3. En dduire12x22(t, x)2Cx2 (t, x) = rxCx (x, t) +Ct(t, x)5.5 Equations direntiellesExercice 5.5.1Soit une constante etdXt= 2X2t (1 Xt)dt +Xt(1 Xt)dBt(5.8)la condition initiale tant X0= x avec x ]0, 1[. On admet que X prend ses valeurs dans lintervalle]0, 1[. On poseYt=Xt1 Xt.1. Quelle est lquation direntielle stochastique vrie parY?2. En dduire queXt=xexp(Bt 2t/2)xexp(Bt 2t/2) + 1 x.Exercice 5.5.2Produitdexponentielle. SoitBun MB eth un processus adapt born. Onnote E(hB)tdef= Ltluniquesolutionde dLt=LthtdBt,L0=1. Etablir uneformuledutypeE(h1B1 +h2B2)t= XtE(h1B1)tE(h2B2)t oXest dterminer.Exercice 5.5.3SoitBunmouvementBrownienissudea>0et T0=inf{t : Bt=0}. Pourt < T0, on dnitXt= (Bt). Montrer que, pourt < T0,dXt= b(Xt) dt +(Xt) dBto on explicitera b et . En dduire la forme de la solution de dYt= YntdBt+12nY2n1tdt,Y0= y 0avant le premier temps datteinte de 0. (On admettra lunicit de la solution).Exercice 5.5.4Ponts1. SoitNune gaussienne rduite centre indpendante deB. Vrier que la solution dedXt=dBt+N Xt1 tdtest Xt=tN+ (1 t)t011 sdBs. EndduirequeXestunprocessusgaussien, dont on calculera lesprance et la covariance.2. SoitWunMBindpendantdeB. VrierquelasolutiondedXt=dBt+Wt Xt1 tdtestXt= (1t)t0Ws(1 s)2ds+(1t)t011 sdBs. En dduire que X est un processus gaussien,dont on calculera lesprance et la covariance.Exercice 5.5.5Soita, b, trois constantes etdXt= a(b Xt)dt +XtdWt, X0= x (5.9)1. (*) Montrer quil existe une solution.62 Girsanov. Enoncs2. (*) Montrer que cette solution est unique.3. Calculer E(Xt) en admettant que les martigales locales qui apparaissent sont des martingales.4. (*) Justier que les martingales locales de la question prcdente sont des martingales5. (*) Expliciter la solution de (1.9) dans le casab > 0.6. Montrer que les fonctionsf(t, x) telles quef(t, Xt) soit une martingale (locale) vrient uneEDP. On ne cherchera pas rsoudre cette EDP.7. Montrer que les fonctions g(t, x) telles que g(t, Xt)etsoit une martingale (locale) vrient uneEDP. On ne cherchera pas rsoudre cette EDP.8. On suppose que lon connait une telle fonctiong qui soit croissante enx. Poura > x, on noteTa= inf{t : Xt= a}. Montrer comment calculer E(eTa).9. Quel est le changement de probabilit utiliser pour quedXt= abdt +XtdBt, X0= x10. (*) Montrer, dans le cas ab > 0, quil existe une probabilit Q telle que X soit une Q martingale(locale).Chapter 6GirsanovSoit(, F, P)unespacedeprobabilit. UneprobabilitQsur(, F)estditequivalentePsiP(A) =0quivautQ(A) =0. Danscecas, il existeunevariablealatoire Z, F-mesurable,strictement positive telle que Q(A)= EP(Z11A) ce que lon notedQ|F=ZdP|F. La v.a. ZvrieEP(Z) = 1, on lappelle densit de Radon-Nykodym.Si(, F, P) est un espace de probabilit ltr, et si Q est quivalente P sur FT(avecT ),alorsdQ|Ft=ZtdP|Ftetleprocessus(Zt, t T)estune Ft, t T)martingale. Onrappellelaformule de Bayes (voir Exercice 1.3.14): pourX FT-mesurable borneEQ(X|Ft) =1ZtEP(XZT|Ft)Dans tous ces exercices, B dsigne un P-mouvement Brownien issu de 0, F = (Ft, t 0) sa ltrationnaturelle.6.1 Rsultats lmentaires.Danslaplupartdesexercices, onconsidredesintgrales sdBsavecborn. Laplupartdesrsultat se gnralisent au cas de processus de carr intgrable.Exercice 6.1.1Dmontrer la formule de Bayes. Montrer queMest une Q-martingale si et seule-ment siMZest une P-martingale. Montrer queMest une Q-sur-martingale si et seulement siMZest une P-sur-martingale.Exercice 6.1.2Changement de probabilit.Soit (t, t 0) un processus adapt continu bornetL la martingale dfinie parLt= exp[t0sdBs 12t02sds]. Soit Q la probabilit dnie sur FTpar dQ = LTdP. Soit (t, t 0) un processus adapt continu born et Mt=t0sdBst0ssds.Montrer queMest une Q-martingale.On poseZt= MtLt. Montrer queZest une P-martingale locale. Pouvait-on prvoir ce rsultat.Exercice 6.1.3Calcul desprance 1. Soit unprocessus adaptbornet Hleprocessusdni pardHt= HttdBt, H0=1. On notedQ|Ft=HtdP|Ft. Montrer que EP(HTln HT)=EQ(12T02sds). On pourra faire une dmonstration la main (quand est dterministe) ou utiliserle thorme de Girsanov.6364 Girsanov. EnoncsExercice 6.1.4Calcul desprance2. Soitpunefonctiondterministedonne. Pourquellesfonctions h et k le processus exp(h(t) +k(t)B2t+t0p(s)B2sds) est-il une martingale?Applications :1. Calculer E[exp(B2T+T0p(s)B2sds]2. Calculer E[exp(B2T+T0p(s)B2sds)(A+BBT)]Exercice 6.1.5It+ Girsanov. Soit le processus solution dedt= t(tdt +tdBt), 0= 1o et sont des processus F adapts borns.1. Montrer quet exp_t0sds_ est une martingale locale.2. Trouver une probabilit Q telle que soit une Q-martingale locale.3. Trouver une probabilit R telle que1tsoit une R-martingale locale.Exercice 6.1.6Longstas Model. Soitrt= Y2tavecdYt= dBt (Yt +2)dt.1. Donner la dynamique der.2. Soitfetg deux fonctions dterministes (que lon supposera continues bornes). ExprimerE(expt0[f(s)Bs +g(s)]dBs 12t0[f2(s)B2s+ 2Bsf(s)g(s)]ds)en fonction deexp 12t0g2(s)ds.3. Montrer que le calcul de E(exp t0rsds) se dduit du calcul de lexpression prcdente avecdes fonctionsfetg vriant des conditions que lon prcisera.Exercice 6.1.7Loi conditionnelle. Soitt > s. Montrer que la densitP(Bt +t dy|Bs +s = x)ne dpend pas de.Exercice 6.1.8Loi du sup.On suppose que lon connait la loi du couple de v.a. (Bt, Bt) o pourun processusXon noteXt= supstXs.Montrer comment calculer la loi de(Lt, Lt) pourLt= exp(Bt 22t).Exercice 6.1.9Loi de quantiles.M. Jeanblanc M2IF Evry 651. SoitFetG deux fonctionnelles dnies surC([0, 1], R). Montrer que lon a quivalence entre(i) t, R, F(Xs, s t)loi=G(Xs, s t) le processusXtant un Brownien de drift(ii) t, F(Xs, s t)loi=G(Xs, s t) le processusXtant un Brownien.2. SoitAt=t0ds11Xs0 ett= sup{s t : supusXu= Xs}. Montrer queAtloi=t, lorsque le processusXest un mouvement Brownien de driftquivaut A1loi=1, lorsque le processusXest un mouvement Brownien3. SoitXun mouvement Brownien. Montrer que si E(f(X1, A1)11X1>0)= E(f(X1, 1)11X1>0),alors(X1, A1)loi=(X1, 1).6.2 Crochet.Exercice 6.2.1Girsanov Soit M une P-martingale de carr intgrable et dQ = exp(Mt12Mt) dP.Montrer que siNest une P martingale,N < N, M> est une Q martingale.Exercice 6.2.2h-processus. SoitXtel quedXt=dt + dBt,X0=xet hunefonctiondeclasseC1telle queh(Xt) est une martingale positive. On note Q la probabilit dnie pardQ|Ft=h(Xt)h(x)dP|Ft. Soit M une P-martingale. Montrer que Mtt0h(Xs)h(Xs) dM, Xs est une Q-martingale.6.3 Processus.Exercice 6.3.1ProcessusdeBessel. Soient et deux processus adapts borns. On note Pla probabilit telle que le processus Bdni par Btdef=Btt0sds soit un mouvement Brownienet Pla probabilit telle queBavecBtdef=Bt t0sds soit un mouvement Brownien.1. Quelles sont les densitsL=dPdPetL=dPdP?2. SoitL=LL. ExpliciterL en fonction deBpuis en fonction deB. A quel changement deprobabilit type Girsanov correspondL?3. Soit> 1 etR le processus solution dedRt= 1Rtdt +dBt,R0= 1(on admet quil existe une solution)(a) Montrer quet0dRsRs= ln Rt +12t01R2sds66 Girsanov. Enoncs(b) Soitun processus adapt born etLt=exp(t0sdB(s) 12t02sds). On note Q laprobabiit dnie pardQ = LtdP.Comment choisir pour que, sous QdRt=1Rtdt +d BtoB est un Q-Brownien. ExprimerL en nutilisant que le processusR(c) En dduire queE(f(Rt)) = E_(t)exp[t0ds2s] f(t)_o est une constante dpendant den etdt=1tdt +d Bt,0= 1 .Exercice 6.3.2Fonctionnelles exponentielles1. Calculer E(t0exp(Bs)ds) et E(exp(Bt)t0exp(Bs)ds).2. SoitA(t, ) =t0exp(Bs +s)ds.(a) Montrer en utilisant le thorme de Girsanov que le calcul de E(A(t, )) se ramne au cas= 0.(b) Peut-on faire un calcul direct?Exercice 6.3.3SoitXle processus solution dedXt= Xtdt +dBt,X0= x.1. On dnitLt= exp_t0XsdBs 22t0X2sds_.Vrier queL est une martingale locale. On admet pour la suite que cest une martingale.2. On note Pla mesure de probabilit dnie sur Ft pardP= LtdP. Quelle est la dynamiquedeXsous P?3. Montrer queLt= exp(t0XsdXs +12t02X2sds)4. CalculerEP_exp(b22t0X2sds)_.Exercice 6.3.4Processus dOrnstein-Uhlenbeck.1. On dnit sur FTla mesure PbpardPb= exp{bT0BsdBs b22T0B2s ds}dP(a) Justier que, sous Pble processus(Wt= Bt +bt0Bsds ,t T) est un brownien.M. Jeanblanc M2IF Evry 67(b) En dduire que sous Pb, le processus(Bt, t 0) est un processus dOrnstein-Uhlenbeck,et que Btest unevariablegaussiennedont onprcisera, ensappuyant sur lecours,lesprance et la variance.(c) Montrer que, sous P, on at0BsdBs=12(B2t t).La mme galit est-elle vraie sous Pb?(d) Montrer que, pour toutt T,EP(exp{B2t b22t0B2s ds}) = Eb(exp{B2t+b2(B2t t)})o Eb dsigne lesprance sous Pb.Montrer que siB est un brownien issu dea, on aEP(exp{ B2t b22t0B2s ds}) = Eb(exp{ B2t+b2( B2t a2t)})(e) En dduire (il y a des calculs) que, pour toutt,EP(exp{B2t b22t0B2s ds}) = (coshbt + 2bsinhbt)122. Montrer que siBt est un Brownien issu deaEP(exp{ B2t b22t0B2s ds}) = (coshbt + 2bsinhbt)12exp[xb21 +2bcothbtcothbt +2b]avecx = a2.Exercice 6.3.5SoitS solution dedSt= St (dt + dBt) , S0= s ,les coecients et tant constants.1. Montrer queSt= S0 exp(t +Bt 22t).2. Onpose = r. SoitQdniesur Ftpar dQ=LtdPavecLt=exp(Bt 122t).Montrer que(Wt= Bt +t, t 0) est un Q-mouvement brownien.3. SoitP dnie sur Ft pardP = ZtdQ avecZt= exp(Wt 22t).Montrer quedSt= St((r +2) dt + d Bt)oB est unP-mouvement brownien.4. SoitPt= P0ert. Montrer que_StPt, t 0_ est une Q-martingale.Montrer quePtStest uneP-martingale.68 Girsanov. Enoncs5. SoitFt= et_t0Sudu +sA_ oA, sont des constantesSoitt=FtetSt. EcrirelquationdirentiellestochastiquevriepartenutilisantleBrownienB.Exercice 6.3.6Soit, et des fonctions (dterministes) bornes etb(t) =t0(s) ds. On noter le processus solution dedrt= ((t) (t)rt) dt +(t)dBtOn suppose que ne sannule pas.1. Vrier quert= exp(b(t))_r0 +t0exp(b(u)) (u) du +t0exp(b(u)) (u) dBu_.2. Calculer E(rt) et Cov(rt, rs).3. Soit Q1 la probabilit dnie sur Ft pardQ1= LtdP, avecLt= exp(t0(s)dBs 12t0((s))2ds)o(s) = (s)(s). Onsuppose borne. Onnote B1t=Bt t0(s) ds. Montrerque(exp(b(t)) rt, t 0) est une Q1 martingale.4. Soit Q2 la probabilit dnie sur Ft pardQ2= ZtdQ1, avecdZt= Zt(t)(t) rtdB1t,Z0= 1Montrer quer est une Q2-martingale locale.Exercice 6.3.7Driftnonobservable SoitBYt= Y t + BtoYest une variable alatoire de loi, indpendante deB. SoitFune fonctionnelle surC([0, t], R). Montrer queE[F(BYs, s t)] = E[F(Bs; s t)h(Bt, y)]avech(x, t) =(dy) exp(yx y22t) En dduire que, sur lespace canoniqueXt t0dshxh(Xs, s)est une martingale sous Phavec Ph|Ft= h(Xt, t)B|Ft. Montrer que BYt= Bht+t0t0dshxh(BYs, s)o Bhtest un Brownien.Soit Q dnie pardQ = eY Bt12Y2tdP. Montrer que sous Q,BYtest indpendant deY .Exercice 6.3.8On noteh une fonction.1. Donner des conditions sur hpour que dQ=h(BT)dPdnisse, sur FTuneprobabililitquivalente P.M. Jeanblanc M2IF Evry 692. CalculerLt telle quedQ|Ft= LtdP|Ft3. Montrer que X FT, on a EQ(X|BT) = EP(X|BT)4. Expliciter Q(BT dx).5. SoitA FT, indpendante deBT. Montrer que Q(A)= P(A). Donner des exemples de telsA.6. Calculer Q(f(BT)|Ft).7. Montrer queLt= 1 +t0dBsdyh(y)e(yBs)2/(2(Ts))2(T s)8. Montrer que le processusWdni pardWt= dBt dyh(y)e(yBt)2/(2(Tt))dyh(y)e(yBt)2/(2(Tt))dtest un Q mouvement Brownien.9. (cette question ne dpend pas des prcdentes) Soit Gt= Ft(BT). Montrer que le processusMt= Btt0BT BsT sds est un P-Gt mouvement Brownien. Montrer que Mt est indpendantedeBT.10. Montrer queMest un Q-Gt mouvement Brownien.Exercice 6.3.9Soit, pour t < 1, Xt= Bt+t0x Xs1 sds et Mt= exp_t0x Xs1 sdBs 12t0_x Xs1 s_2ds_.Montrer queMt= exp_x22+(x Xt)22(1 t)+12 ln(1 t)_Exercice 6.3.10Soit dQ|Ft= h(t, Xt)dP|Ft. Sous quelles conditions sur h Q est-elle une probabil-it sur FT?Montrer queBt t0xh(s, Bs)dsest une Q-martingale?Exercice 6.3.11SoitLt= exp_14_e2Bt1_+12t0_e2Bs14e4Bs_ds_1. Question prliminaire: Calculer lintgrale t0e2BsdBs.2. Montrer queL est une martingale. Quelle est son esprance?3. On posedQ = LtdP. Quelle est la dynamique deB sous Q?70 Girsanov. Enoncs6.4 Cas multidimensionelExercice 6.4.1Cas multidimensionel. Soient(B1(t), t 0) et(B2(t), t 0) deux mouvementsBrowniens indpendants. Soit(Li(t),i = 1, 2 , t 0) les processus dnis pardLi(t) = i(t)Li(t)dBi(t) ,Li(0) = 1o(i(t), i = 1, 2) sont des processus adapts continus borns.1. Vrier queLi(t) = exp(t0i(s)dBi(s) 12t02i(s) ds) .2. Soit T 0 et Q1 la probabilit dnie sur FTpar dQ1= L1(T)dP. Soit (t, t 0) un processusadapt continu etMt=t0sdB1(s) t01(s)sds.(a) Montrer que(Mt, 0 t T) est une Q1-martingale locale.(b) Onpose Z1(t) =MtL1(t). Calculer dZ1(t). Montrer que Z1est uneP-martingale.Pouvait-on prvoir ce rsultat ?3. SoitZt= L1(t)L2(t). EcriredZt. Montrer queZest une P-martingale.4. Soit Q la probabilit dnie sur FTpardQ = ZTdP. Comment se transforment les browniensBi ?5. Soit(Si, i = 1, 2) deux processus solutions dedSi(t) = Si(t)[bi(t)dt +i(t)dB1(t) +i(t)dB2(t)]Montrer quil existe une probabilit Q quivalente P telle que, sous QdSi(t) = Si(t)[rdt +i(t)dB1(t) +i(t)dB2(t)]o(Bi, i = 1, 2) sont des Q-Browniens indpendants.6.5 Temps darrt.Exercice 6.5.1Temps darrt.Soit un (Ft)-temps darrt. Soit Q telle que dQ|FT= LTdP|FTetX FT. Comparer EP(LT11>TX) et EQ(X11>T).Exercice 6.5.2LetBbe a Brownian motion andT=inf{t : eBtt/2>a}, wherea>1. Provethat, 1/2,E(11T 0. Soitr une constante.1. Montrer quil existe tel queMtdef=exp(rt +Xt)soit une martingale.M. Jeanblanc M2IF Evry 712. Soitb un nombre positif etle temps darrt dni par= inf{t 0 | Xt= b}Calculer E(exp(r +X)). On admettra que la martingale Mt est uniformment intgrableet que le temps darrtest ni. En dduireE(exp(r)).3. On suppose que les conditions de la premire question sont satisfaites. Soit Q telle quedQ =MtdP, sur Ft. Comment se transformeB?4. SoitS le processus dni pardSt= St[rdt +dBt], S0= setYt= ln Sts . EcriredYt.5. SoitB une constante telle ques < B. SoitTBle temps darrtTB= inf{t 0 | St= B}CalculerE(exp(rTB)) .Exercice 6.5.4Soit f et gdeuxfonctionsdterministes, f declasse C1, gcontinue. OnnoteFt=t0f(s)dBs etu est la solution deu(t) 2f(t)f(t) u(t) 2g(t)f2(t)u(t) = 0avecu(T) = 2au(T)f2(T). Le but de cet exercice est de montrer queE_exp__aF2T+T0g(t)F2t dt___=_u(T)u(0)_21. Montrer que, pour toute fonctionh continue, le processusL dni parLt= exp_t0h(s)FsdBs 12t0h2(s)F2sds_est une martingale.2. En dduire que1 = E_exp_T0h(s)2f(s)dF2s 12t0(h(s)f(s) +h2(s)F2s )ds__= E_exp 12_h(T)f(T)F2T T0F2t_h(t)f(t) f(t)h(t)f2(t)_dt t0(h(s)f(s) +h2(s)F2s )ds__3. Montrer queE_exp_12_u(T)u(T)f2(T)_F2T T0F2t_u(t) 2u(t)f(t)/f(t)u(t)f2(t)_dt__=_u(T)u(0)_1/24. Rsoudre le mme problme par changement de temps.72 Girsanov. Enoncs5. Soit une fonction borlienne bone de R dans R. Comment calculerK= E_exp__aF2T+T0g(t)F2t dt_(A+BFT+T0(t)Ftdt)__Exercice 6.5.5DecompositioncanoniqueSoitBunmouvementBrownienethunefonctionpositive, vriant h(0, 0) = 1 et harmonique en espace (cest--dire telle que h(t, Bt) est une martin-gale).On dnit Q par dQ|Ft= h(t, Bt)dPFt.Montrer que Btt0hxh(s, Bs)ds est un Q-mouvementBrownien.6.6 FinanceDans toute cette section, P est la probabilit historique, Q la probabilit risque neutre.Le processusS est le prix de lactif sous-jacent aprs actualisation (soit St= Stet0rsds. Dans un modle Blacket Scholes, le prix de lactif suitdSt= St(btdt +dBt)sous la probabilit P, o est une constante.Exercice 6.6.1Moyenne. SoitdSt= St(rdt + dBt), S0= 1,r et tant des constantes. Onsouhaite calculerC= EQ[(ZT ST)+] quandZT= exp_1TT0ln Stdt_.1. Soit Q la probabilit dnie sur FTpardQ= exp(BT 2T/2)dQ. Montrer queerTEQ[(ZT ST)+] = EQ[(ZTST1)+] .2. SoitBt=Bt t. EcrireZT/STsous la formeexp(T T0(t)d Bt) pour une fonctionque lon prcisera.3. Montrer que le calcul de C se rduit au calcul de EQ((STK)+) pour un Brownien gomtriqueS dont on prcisera la loi.Exercice 6.6.2VolatilitstochastiqueOnrappellelethormedereprsentationprvisibledeux dimensions: soitB=(B1, B2) un Br