Euler diagrams with circlesGennaro Cordasco and Rosario De Chiara

Problem and ideas

INTRODUCTIONProblem and ideas

Euler Venn DiagramsEuler‐Venn Diagrams

• Euler diagrams are a diagrammatic method for representing information about the p grelationships between sets– They have been used in various forms since Euler– They have been used in various forms since Euler first introduced them, and they generalize Venn diagrams which represent all set intersectionsdiagrams which represent all set intersections

ScenariosScenarios

• Currently Euler diagrams (or their variants) are being applied in a multitude of areas g ppincluding: file‐information systems, library systems statistical data representation and assystems, statistical data representation and as the basis for logical specification and reasoning systemsreasoning systems

ScenariosScenariosVisualize the number of documents matching a query. This may help in slightly modify a query in order to refine/expand the result.

ScenariosScenariosArea proportional zones: in this Venn diagram the ellipses are drawn in order to convey more information about any single zone.

ScenariosScenariosThis diagram shows an Euler diagram with a large number of curves, being used to visualize complex genetic set relations. Evolutionary optimization techniques can be used to obtain area proportionality.optimization techniques can be used to obtain area proportionality.

ScenariosScenariosVennFS allows to draw Euler Diagrams to let user organize files within categories. The diagram is then “exported” to file system.

The problemThe problem

• To compute the set of zones associated to a given collection of contours g

The real problemThe real problem

• Adding curves to a diagram creates zones 

• Zones hardly have an analytic description:Zones hardly have an analytic description:• Cannot be described using parameters in a functionfunction

• Zones are “blob”‐shaped figures:• Non convex

• HoledHoled

Not so trivial after all

TRIVIAL ALGORITHMNot so trivial after all

Euler Diagram: Formal definitionEuler Diagram: Formal definition

A E l Di (ED) i iAn Euler Diagram (ED) is a pair: d = <C(d), Z(d)>

where:where:– C(d) is a finite collection of closed curves in the plane whose members are called contours.

– Z ∈ Z(d) is the collection of zones, where each zone is given by 

II cdisccdiscZ = )()(where X⊆C(d).

IIXdCc

jXc

iji

cdisccdiscZ−∈∈

=)(

)()(⊆ ( )

– aU)(

)(dZZ

dCZ∈

=)(dZZ∈

Euler Diagram: NotationEuler Diagram: NotationLet d be an Euler diagram. g

‐ Each contour A∈C(d) has a unique |C(d)|-bit identifierA.id having Hamming weight 1.g g g

‐ Let Z ∈ Z(d) be a zone of d with containing set of contours X. Then Z has a unique |C(d)|-bit  identifierq | ( )| fZ.id, which is the bitwise OR of all of the identifiers of the contours in X. 

000100101000

1000

0000

0100

0001

0011 1000

0101

(a) (b)

0100

Trivial algorithmTrivial algorithm

• We can use the trivial algorithm to compute the zones

Trivial algorithm 1Trivial algorithm 1

• Adding a new set at the most doubles the number of zones already present in the y pdiagram– We add 2 new candidate zones: 1 as rightmost– We add 2 new candidate zones: 1 as rightmost digit and 0 rightmost digit 

Candidate zones001 101 

Zones present in the diagram

010 110 011 111 

01 10 11

Trivial algorithm 2Trivial algorithm 2

• Check every candidate zone whether belongs to the diagram or notg– This depends on the shape of curves

Candidate zones Legal zones001 101 010 110 011 111 

010 101 010 110011 111

Trivial algorithm for circlesTrivial algorithm for circles

l l i h l i f “ i l ”• A legal zone is the solution of “simple” simultaneous inequalities:

(x – a1)2 + (y – b1)2 > r12

(x – a2)2 + (y – b2)2 ≤ r22

01:

Circleidentifier

Centercoordinates

Radius

0 0 01 ( b ) Standard

(x – ai)2 + (y – bi)2 > ri2

::0:

0…0…01 (a1, b1) r1

0…0…10 (a2, b2) r2

0…1…00 (ai, bi) ri

Standard methods

If th i th di it i 0 th t t th t f 2

(x – an)2 + (y – bn)2 ≤ rn2

::1

( i, i) i

1…0…00 (an, bn) rn

– If the i‐th digit is 0 that we want the part of  2

outside the circle iIf the i th digit is 1 that we want the part of 2– If the i‐th digit is 1 that we want the part of  2

inside the circle i

ExampleExampleCheck the zone 100

(x – 2) 2 + (y – 2)2 ≤ 4

(x 2) 2 + (y 2)2 > 1x 2 + y2 > 4

100(x – 2) 2 + (y – 2)2 > 1 0

(x – 2) 2 + (y – 2)2 ≤ 4 x 2 + y2 > 4 (x – 2) 2 + (y – 2)2 > 1

Rectangles (!?)

EULER DIAGRAMS WITH Rectangles (!?)

RECTANGLES

Euler diagrams with rectanglesEuler diagrams with rectangles

• A solution for the case of rectangle contours is presented is based upon R‐tree p p

[De Chiara et al.]R t [G tt ] i d t t t d i d t– R‐tree [Guttman] is a data structure designed to answer range queries

Range queriesRange queries

• Example:

ComplexityComplexity

S dGiven a collection S of n boxes in the  d

space, a perfectly balanced R‐tree can be built p p y[Agarwal et al.] in 

)log( nnO ⋅

ComplexityComplexity

An R‐tree can answer a query returning kboxes in

B i d 2 th ti t ll i

)log( /11 nknO d ⋅+−

Being d = 2 the query time actually is 

)log( nknO ⋅+

Zones vs SubspacesZones vs Subspaces

• The R‐Tree will be used to track down all the subspaces created by intersecting setsp y g– Contours are rectangles so it is easy to “rectangulate” the zonesrectangulate  the zones

EulerTreeEulerTree

• EulerTree extends R‐Tree– Another level is added underneath the last level of the R‐Tree

– This level contains a node for every set in theThis level contains a node for every set in the Euler Diagram

ExampleExample

s2s1Level 1 R‐Tree

s2

s3

s1

s5Level 2

R‐Tree leaves: these are the subspaces created by the

s1 s2 s3 s4s4 s5Level 3

subspaces created by the intersection of the sets

The interface: connects subspaces to the setsOne node for each set in the

Set1 Set2 Level 4One node for each set in the 

diagram

23/09/2004 ‐ Euler Diagrams 2004 Workshop

A data structure for Euler Diagrams 26

23/09/2004 ‐ Euler Diagrams 2004 Workshop

A data structure for Euler Diagrams 27What about the elegant solutions ?

An elegant solution (?)

EULER DIAGRAMS WITH CIRCLESAn elegant solution (?)

Not well formed

Wellformedness constraintsWellformedness constraints1.  Curves can only intersect trasversely: no single point intersection

Not well formed

Wellformedness constraintsWellformedness constraints2.  No triple point intersection

Not well formed

Wellformedness constraintsWellformedness constraints3.  Zones must be connected

Curves shape constraintCurves shape constraint

• Curves must be circles

• We will relax shape constraint to:We will relax shape constraint to:– Axis aligned ellipses

Elli– Ellipses

– Convex curves

Assumptions:Given two curves A and B we are still able to:‐ Find the relationship between A and B ‐ Find their intersection points Ch k if A f i i t‐ Check if x ∈ A, for any given point x.

Marker pointsMarker pointsEach zone Z has a marker point Z point whichEach zone Z has a marker point Z.point which‐ witnesses the existence of Z;

b d h k h h Z b l‐ can be used to check whether Z belongs to a given contour. 

By construction, each maker point belongs to its zone’s boundaryy

Let V a generic zone

C ) th t C th t h

Marker point associationV

Case a) the contour C, that has generated V, has no intersection:a random point in the boundary of V is assigned to V.point.

V.point

Obs:  in this case V has the same shape of C.  

Case b) the contour C that has

(a)

Case b) the contour C, that has generated V1, intersects another contour and the point associated to the split zone V belongs to V1 :V i t V i t

VV2

V1V1.point = V.pointV2.point = x where x is an intersection point  between C and V.

V.point

V1 C

V2.pointV1.pointx

(b)

Case b) the contour C, that has generated V1, intersects another contour and the point associated to the

V

V.point

V

V2.point

( )

contour and the point associated to the split zone V does not belong to V1 :V1.point = xV2.point = V.point

V2

V1 C

where x is an intersection point  between C and V.

(c)V1.point

x

The Key Idea

The Key Idea

The Key Idea

On the number of zonesOn the number of zones

j h b f i l h b fConjecture: The number of zones is equal to the number of intersection points plus the number of connected componentscomponents

A connected component is a maximal set of intersecting contours.

Our StrategyOur StrategyInductive Approach:

– Base: an empty diagram d0=<C0=∅, Z0={U}>– Inductive Step:  let di-1=<Ci-1, Zi-1> and a contour A∉Ci-1 ,  

we compute di=<Ci-1=Ci-1∪A, Zi>

⎯The set Zi is obtained by identifying the set  Y ∈ Zi-1 of zones that are split by A and the set of zones that are 

l d Aproperly contained in A.

A⎯ AY

SkimDiagramSkimDiagramComputes the relationship between each circle B ∈ Ci-1

and the new circle A to be added to d

( ) A d B

(b) A properly contains B

A and B?

(a) A and B are  interior disjoint

(c) B properly contains A

A and B overlap

(d) A and Bproperly overlapproperly overlap

rA rA rB

rArB

r

A

d(A,B)

rB

d(A,B)>rA+rB(a)

rA>d(A,B)+rB(b)

rB>d(A,B)+rA(c) (d)

SkimDiagramSkimDiagramLemmaGi ll ti f i l C d i l A th dGiven a collection of circle C and a circle A, the procedureSkimDiagram computes:

1. D,  the set of circles which properly overlap with A;2. X, the set of intersection points between A and any circle in D;3 the identifier of the zone which A belongs to (i e the bitwise OR3. the identifier of the zone which A belongs to (i.e. the bitwise OR 

of the identifier associated to the circles which properly contain A).

rA rA rB

rArB

r

A

d(A,B)

rB

d(A,B)>rA+rB(a)

rA>d(A,B)+rB(b)

rB>d(A,B)+rA(c) (d)

SkimDiagramSkimDiagram

O(|C|) steps

SkimDiagramSkimDiagramProperty

After the execution of the procedure SkimDiagram thenumber of point in X is exactly m=2|D|p y 2| |

Lemmax0Lemma

The number of zones split by A is at most m=2|D|

A A A

Computing split zonesComputing split zones1. Order split points clockwise around A. Let (x0,x1,…,xm-1)

the sorting so obtained.2. Compute the identifier of the zone in which x0 belongs to0

3. Compute the identifier of the zones associated to x1,…,xm-11 m 1

Step 2A

x0

x1

Step 2

Computing split zones: Step 3Computing split zones: Step 31. Order split points clockwise around A.

Let (x0,x1,…,xm-1) the sorting so b

Ax1

obtained.2. Compute the identifier of the zone in 

which x0 belongs to

x01

x0 g3. Compute the identifier of the zones 

associated to x1,…,xm-1

Step 3 O(|C|log|C|) steps O(|C|2) steps 

‐ Similar to step 2 (but m‐1 times  )‐ Actually, we can do something better ☺

(| | g| |) p

Computing split zonesComputing split zonesLemmaThe identifier associated to each point in X correspond to the 

identifier  of the zone split by AProof [Sketch]‐ Each arc (xi,x(i+1)mod m) split exactly one zone‐ Consecutive arcs, (xi,x(i+1) mod m) and (x(i+1)mod m,x(i+2)mod m)

are separated by exactly one contour and then the identifiers of the two zones associated differ in exactly one bit whichof the two zones associated differ in exactly one bit, which correspond to the crossed contour's  id

‐ Let G the crossed contour if an arc/zone is properlyLet G the crossed contour,  if an arc/zone is properly contained (resp. not contained) into G then the successive arc/zone is not contained (resp. contained) into G

‐ Hence, xi.id=xi-1.id ⊕ G.id

Computing split zonesComputing split zonesLemmaThe identifier associated to each point in X correspond to the 

identifier  of the zone split by AProof [Sketch]

Intersectionpoints

10100

00001

01000

00010

1 X > 10110

00001 10100 idGidxidx ii ... 1 ⊕= −

2 X > X 11110

3 X > X X 11111

4 X X X < 11101

01000

4 X X X <  11101

5 X < X 11100

6 X <  10100

00010A

AddCircleAddCircle

AddCircleAddCircle

WWW

AddCircleAddCircle

0001

0010x0

0100id=0011x0.id=1011x id=1111

1000

x1.id=1111x2.id=0111x3.id=0011

UpdateMarkedPointUpdateMarkedPoint

x0

0001

A id 100000010

A.id=10000x0

0100id=0011x0.id=1011x id=1111

1000

x1.id=1111x2.id=0111x3.id=0011

UpdateMarkedPointUpdateMarkedPointLemmaThe UpdateMarkedPoint procedure correctly maintains the invariant that the marked points associated to the zones in Y, Y belong to the boundary of the associated zone.

AddCircleAddCircle

UpdateZonesUpdateZones

O(|Z|)(| |)

A

Zones which need to update their ids

A

AddCircleAddCircle

Theoremeo eGiven a  well‐formed diagram d=<C,Z> and  a circle A∉C, then the procedure AddCircle(d,A):1. computes the new set of zones Z’ associated to C ∪A;2. for each zone V ∈ Z’ computes the  marked point 

V.point such that V.point belongs to V ’s boundary.

AddCircle: ComplexityAddCircle: Complexity

O(|C|)

O(|C| log |C|)O(|C| log |C|)

O(|C|)

O(|Z|)

To Do ListTo Do List

• P f th j t ( )• Proof the conjecture ( )• Delete ( )• Relax some constraints

– Axis‐aligned ellipses ( ) • Beware of disconnected zone

– Freely rotated ellipses ( )y p ( )• Computing intersection is tough

– Convex figure( )• Intersections can’t have a parametric form

– Triple point ( )– Single point( )

• Contour’s shapeContour s shape– Disconnected zones ( … …  ) … 

• Pixel oriented solutions ( )

BibliographyBibliography

[G tt ] A G tt “R t d i i d• [Guttman] A. Guttman, “R‐trees: a dynamic indexstructure for spatial searching” in Proceedings ofthe 1984 ACM SIGMOD international conference

fon Management of data, 1984, pp. 47–57.• [Agarwal et al.] P. K. Agarwal, M. de Berg, J. 

Gudmundsson M Hammar and H J HaverkortGudmundsson, M. Hammar, and H. J. Haverkort, “Box‐trees and R‐trees with near‐optimal querytime” in Symposium on Computational Geometry, 2001 pp 124 1332001, pp. 124–133. 

• [De Chiara et al.] “A system for Virtual Directoriesusing Euler Diagrams” Rosario De Chiara, MikaelHammar, Vittorio Scarano in Euler DiagramsWorkshop 2004

23/09/2004 ‐ Euler Diagrams 2004 Workshop

A data structure for Euler Diagrams 58