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3.1 - 1
Estadísticas Elemental Tema 3: Describir, Explorar, y
Comparar Data
3.1 - 2
Variables comunes
• N = total de individuos en la población
• n = total de elementos en la muestra
• 𝒙𝒊 = un valor observado
3-2
3.1 - 3
Medidas de tendencia central
• Una medida de tendencia central describe numéricamente el valor promedio o el dato típico de un conjunto de datos.
• Es un dato representativo de un grupo de datos.
• Las medidas de tendencia central más utilizadas:
– la moda
– la media aritmética
– la mediana
3-3
3.1 - 4
Una medida de tendencia central es la moda.
La moda de una variable es la observación que se produce
con mayor frecuencia.
Si no hay ninguna observación que se produce con la mayor
frecuencia, o si más de dos observaciones se producen con
la misma frecuencia decimos que el conjunto de datos NO
tiene moda.
El conjunto de datos puede tener más de un modo. En este
caso, decimos que el conjunto es bimodal.
3-4 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Medidas de tendencia central (cont.)
3.1 - 5
EJEMPLO Identificar la Moda de un conjunto de datos
Los datos que siguen muestran los gobernadores
electos de Puerto Rico y el pueblo donde nacieron.
Identificar la moda.
3-5
# Nombre Pueblo de nacimiento
1 Luis Muñoz Marín San Juan
2 Roberto Sánchez Vilella Mayaguez
3 Luis A. Ferré Ponce
4 Rafael Hernández Colón Ponce
5 Carlos Romero Barceló Santurce
6 Pedro Rosselló González San Juan
7 Sila M. Calderón San Juan
8 Aníbal Acevedo Vilá Hato Rey
9 Luis Fortuño Santurce
10 Alejandro Garcia Padilla Coamo
3.1 - 6
La media aritmética de una variable (comúnmente
como el promedio)
se calcula sumando todos los valores de la variable en
el conjunto de datos y dividiendo la suma entre el
número total de observaciones.
3-6
Media Aritmética
La media aritmética poblacional se calcula utilizando todos los
individuos de la población.
La media aritmética poblacional es un parámetro y se denota 𝝁
(se pronuncia miu).
La media aritmética muestral se calcula utilizando los datos de la
muestra.
La media aritmética muestral es una estadístico y se denota
𝒙 . (𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 𝑥 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎)
3.1 - 7
Si x1, x2, …, xN son las N observaciones de una
variable de la población, entonces la media de la
población, µ, esta dada por
1 2 Nx x x
N
3-7
Si x1, x2, …, xn son las n observaciones de la muestra,
entonces la media de la muestra, 𝒙 , esta dada por
1 2 nx x x
xn
ó
ó 𝑥 = 𝑥𝑖𝑛
Fórmulas para la Media
3.1 - 8
ACTIVIDAD Calcular la media poblacional y la media
muestral
Los siguientes datos representan la duración del viaje al
trabajo (en minutos) para los diez empleados de una
empresa.
23, 36, 23, 18, 5, 26, 43, 45, 65, 75
(a) Calcule la 𝜇 para estos datos.
(b)Tome una muestra aleatoria simple de n = 3
empleados. Calcule 𝑥 .
3-8 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
3.1 - 9
La mediana de una variable es el valor que se
encuentra en el medio de los datos cuando
éstos se han ordenado de forma ascendente.
Utilizamos M para representar a la mediana.
3-9 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Determinar la Mediana
3.1 - 10 3-10
Pasos para determinar la mediana de un
conjunto de datos
Paso 1: Organizar los datos en orden ascendente.
Paso 2: Determinar el número de observaciones, n.
Paso 3: Determinar la observación en el centro del
conjunto de datos.
• Si el número de observaciones es impar, la mediana
es el valor que está exactamente en el medio del
conjunto.
Valor que se encuentra en la posición 𝑛+1
2
• Si el número de observaciones es par, entonces la
mediana es la media de la
dos observaciones intermedias del conjunto.
Hallar la media de los valores en posiciones
𝑛
2 𝑦
𝑛
2+ 1
3.1 - 11
EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos
con número impar de observaciones
Los siguientes datos representan los pulsos (latidos por
minuto) de nueve estudiantes matriculados en una
sección de Estadística de alguna universidad.
76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73
Determine la mediana del conjunto.
Paso 1: 60, 60, 68, 72, 73, 76, 81, 89, 89
Paso 2: Hay n = 9 observaciones.
Paso 3: La mediana está en la posición, ______________,
3-11
3.1 - 12
EJEMPLO Calcular la mediana de un conjunto de datos
con número par de observaciones
Supongamos que llega un estudiante tarde a la clase. El
pulso de este estudiante es 80. Determine la mediana
del conjunto “nuevo”.
76, 60, 60, 81, 72, 89, 89, 68, 73, 80
Paso 1: 60, 60, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 89, 89
Paso 2: Hay n = 10 observaciones.
Paso 3:
3-12
𝑛
2=
60, 60, 68, 72, 73, 76, 80, 81, 89, 89
𝑀 =
𝑛
2+ 1 =
3.1 - 13
EJEMPLO Medidas resistentes o robustas
Datos sobre la duración del viaje al trabajo (en minutos) para los
diez empleados de una empresa.
5, 18, 23, 23, 26, 36, 43, 45, 65, 75
Supongamos que se contrata a un nuevo empleado y este tiene
que hacer un viaje de 180 minutos. ¿Cuál es el impacto
sobre el valor de la media y la mediana de este nuevo
conjunto?
Media antes: 35.9 minutos
Mediana antes: 31 minutos
Media después:
Mediana después: 3-13
____ minutos
____ minutos
11 datos
3.1 - 14
Un resumen numérico de un conjunto de datos
se dice que es resistente si los valores extremos
(muy grandes o muy pequeños) relativos a los
datos, no afecta, sustancialmente, a su valor.
La mediana es una medida más robusta o
resistente que la media.
3-14
Medidas resistentes o robustas
3.1 - 15 3-15 © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved
Benjamin es dueño de una pequeña empresa de
Internet. Además de sí mismo, se emplea a otras doce
personas. Los salarios que reciben por los empleados
se ofrecen a continuación en miles de dólares (el salario
de Benjamin es el más grande, por supuesto):
Determine la moda, la media y la mediana.
30, 60,30, 75, 50, 60, 50, 55, 45, 50, 55, 30, 70
Solución:
Podríamos comenzar por ordenar los datos.
30, 30,30, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 70, 75
EJEMPLO Identificar la moda, media y mediana
3.1 - 16
Calcular la media de tablas de frecuencias agrupadas
• Cuando en vez de un conjunto de datos observados sólo tenemos datos agrupados en una tabla de frecuencia, no podemos calcular una media exacta para el conjunto de datos.
• En ese caso, debemos estimar la media aritmética real usando tabla de frecuencias y la siguiente fórmula:
𝒙 𝒈 = 𝒇 ∙ 𝒎
𝒇
donde f = la frecuencia del intervalo y
m = el punto medio del intervalo.
3.1 - 17
Ejemplo
La Tabla 1 muestra los resultados agrupados de 19 estudiantes en un examen de una clase de Estadística Elemental.
Encuentre la mejor estimación de la media aritmética.
𝝁 = 𝒇 ∙ 𝒎
𝒇
1. Encontrar los puntos medios de
los intervalos.
Solución:
2. Calcular 𝒇 .
3. Calcular la media.
