Erika Riveros Morán · Plano cartesiano. Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ” ”

Erika Riveros Morán

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Funciones

El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: Los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de ("depende de") los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.

El concepto de función es uno de los conceptos fundamentales más importantes de la Matemática. La parte principal de la Matemática actual se centra en torno a este concepto, que es básico para el estudio del Cálculo.

Definición de función

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una relación que a cada elemento x A

asocia uno y sólo un elemento 𝑦 en B.

“𝑦 " es llamado el valor de 𝑓 en 𝑥 (Imagen de 𝑥 bajo 𝑓) y se denota por 𝑓(𝑥)

El conjunto 𝐴 es llamado Dominio de definición de la función 𝑓 y se denota por 𝐷𝑜𝑚 𝑓 y

corresponde al conjunto de partida para el cual 𝑥 tiene imagen.

El conjunto B es llamado Codominio.

Usaremos la siguiente notación para explicitar el Dominio y Codominio de la función f.

f : A B

A: Es el dominio B: Es El codominio

Ejemplo

1) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥2

Es decir, f es la función que a cada real x le asocia su cuadrado 𝑥2. Así tenemos que:

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 ;


2

además, 𝑓 ( 1 ) = 1 , 𝑓 ( 0 ) = 0 , 𝑓 ( −4 ) = (−4)2 = 16, 𝑓 ( 2 ) = 2.

2) 𝑔 ∶ 𝑅+ 𝑅+ y 𝑔 ( 𝑥 ) = x

g es la función que a cada real x > 0 le asocia su raíz cuadrada positiva.

En esta función 𝐷𝑔 = 𝑅+ además, 𝑔 ( 1 ) = 1 𝑔 ( 2 ) = 2

No todas las funciones están definidas mediante una ecuación, pero son en éstas en las que

centraremos nuestro interés; aún más, trabajaremos con funciones

𝑓 ∶ 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅, llamadas Funciones Reales ( 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅 ).

𝑓: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 → 𝑅

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Dominio de una Función.

Para funciones definidas mediante una ecuación el Dominio consta de todos aquellos valores

de x para los cuales puede computarse 𝑓 ( 𝑥 ), de modo que el resultado sea un número real. Para el

caso esto implica la exclusión de valores de x que llevan a división por cero y a las raíces de índice par

de números negativos.

Ejemplos

1) Si se da 𝑓 ( 𝑥 ) = 3𝑥2 + 2 ; ( 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 ).

2) 𝑓 ( 𝑥 ) = 3𝑥2 + 2; 1 ≤ 𝑥 ≤ 10, entonces el dominio de f es 1, 10.

3) 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2

𝑥 + 1 , llamada FUNCIÓN RACIONAL

Debemos analizar el denominador, tener cuidado que no debe ser 0 al reemplazar 𝑥

Como 𝑔 ( 𝑥 ) debe ser valor real; no puede considerarse 𝑥 = 1

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 − {1} , lo que significa , el dominio consiste de todos los números reales menos el 1

4) Sea f ( x ) = x1 llamada FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

De acuerdo a lo anterior para determinar el Dominio de esta función debemos encontrar los

valores de x para los cuales f ( 𝑥 ) 𝑅

𝑓 ( 𝑥 ) 𝑅 x1 𝑅

1 – 𝑥 0

𝑥 ≤ 1

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ( − , 1] , o sea, los números reales menores o iguales que 1


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5) Una función puede expresarse por partes

𝑆𝑒𝑎

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13

12

xsix

xsi

xsix

xf

Esta función es llamada FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS

En esta función el Dominio está dado explícitamente y de acuerdo a la definición de la función f, en el

ejemplo 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅

Rango o recorrido de una Función.

Dada una función f: A B. El conjunto de los elementos y B tales que existe 𝑥 𝐴 (por lo

menos uno) tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑦 es llamado conjunto imagen de la función f o Rango de la función f

y designado por 𝑅𝑒𝑐 𝑓

Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el rango de una función definida por una

ecuación.

Ejemplo

1) Consideremos la función 2

1

xxf , x ≠ -2

Sea 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ), esto es, 𝑦 = 2

1

x

Encontrar el Rango de la función f es equivalente a determinar todos los valores de 𝑦 que son

imágenes de 𝑥

Despejando x, desde 𝑦 = 2

1

x se tiene : 𝑥 =

y

1 − 2

𝑥 está determinado para cada valor de y, excepto el 0. Luego, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝑅 − { 0 }

2) Sea 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) = x1

Puesto que se calcula la raíz cuadrada no negativa, entonces y 0.

Resolviendo la ecuación y = x1 para x,

x = 1 – y2

𝑥 es un número real cuando y es un número real ; entonces tomando en cuenta que

y 0, para que cumpla la condición de función . Concluimos que 𝑅𝑒𝑐𝑓 = [0, + ).


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Plano cartesiano.

Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ”𝑋” o abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “𝑌” u ordenadas. Formando de esta manera cuatro cuadrantes. Y( u ordenadas) II (-, +) I (+, +) X ( abscisas) III (-,-) IV (+,-) En el plano cartesiano se pueden encontrar parejas de números llamados coordenadas que se forman con un valor para “x” y un valor para “y”, el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦). Ejemplo: Representar los puntos: 𝐴 = (2,3) 𝐵 = (−2, 5) 𝐶 = (3, 0) 𝐷 = (5, − 3) Gráfico de una Función. Las gráficas producen un impacto visual. También suministran información que puede no ser evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas.


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La última gráfica muestra la variación en la producción industrial total de cierto país durante

un período de 4 años. Observar que el punto más alto en la gráfica se presenta cerca del final del tercer año, lo cual indica que la mayor producción ocurrió en esa época

La gráfica de una función 𝑓 dada, está formada por todos los puntos (𝑥, 𝑦) en que 𝑥 está en el

dominio de 𝑓 y 𝑦 = 𝑓(𝑥) . El gráfico de una función determina una curva en 𝑅 𝑥 𝑅, la cual permite

ver el comportamiento analítico de la función.

El gráfico 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 de una función se define por:

𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑅2 / 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) }

Para graficar una función usaremos el sistema cartesiano de coordenadas y como en la

mayor parte de los casos, una adecuada tabla de valores con dos columnas. En la primera se colocan

algunos valores del dominio de la función y en la segunda columna se escriben los valores

correspondientes de la función.

El número de puntos a considerar en esta tabla de valores dependerá de la precisión que se requiere para el gráfico.

Criterio de la recta vertical

Un curva es la gráfica de una función si y sólo sí ninguna recta vertical corta la curva más una vez.


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Ejemplo

Se muestran algunos gráficos de funciones con sus respectivas tablas de valores.

𝑓 ( 𝑥 ) = x2 – 1.

𝑥 -2 -1 0 1 2

𝑓(𝑥) 3 0 -1 0 3

b) 𝑓 ( 𝑥 ) = x

Para que corresponda a una función debemos considerar sólo el signo positivo de la raíz

c) 𝑓(𝑥) =1

𝑥

d) 𝑆𝑒𝑎

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13

12

xsix

xsi

xsix

xf


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Nota Del gráfico de una función f se puede determinar el Dominio y Rango de f

La proyección del gráfico de f sobre el eje x determina el Dominio de f.

La proyección del gráfico de f sobre el eje y determina el Rango de f.


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Ejemplos: 1) Expresar en términos de 𝑥 el Volumen de una caja rectangular, formada a partir de una hoja

de cartulina de dimensiones 30 cm por 20 cm, a la cual le hacemos un recorte cuadrado de x cm por lado en cada esquina. Solución:

El volumen dependerá del ancho del cuadrado 𝑥

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜

𝑉 = (30 − 2𝑥)(20 − 2𝑥)𝑥

𝑽(𝒙) = (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙)(𝟐𝟎 − 𝟐𝒙)𝒙

2) Expresar el área de una lámina rectangular cuyo perímetro es 60 cm en término de uno de

sus lados.

El área del rectángulo es 𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑏 ∗ 𝑥 Obtenemos b a partir del perímetro 𝑃 = 2𝑏 + 2𝑥 , 2𝑏 + 2𝑥 = 60 ⟹ 𝑏 = 30 − 𝑥

𝑷(𝒙) = (𝟑𝟎 − 𝒙)𝒙


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3) La siguiente gráfica corresponde a la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de un día

a) ¿Cuál es la variable independiente? La variable independiente corresponde a la hora del día (ℎ𝑟. )

b) ¿Cuál es la variable dependiente? La variable dependiente es la temperatura

c) ¿A qué hora estaba peor? A las 20 horas

d) ¿En qué momento la temperatura fue anormalmente baja? A las 14 horas.

e) ¿Cuál es el dominio de la función? El dominio corresponde a [0, 24]

f) ¿Cuál es le recorrido? El recorrido corresponde a [35, 40]

g) Por qué aparece quebrada la línea vertical que representa la temperatura entre 0° y 35°. ¿Qué respuesta daría usted.

C las i f icación de funciones


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Las func iones pueden es t ar de f in id a s en fo r ma exp l í c i t a o i mpl í c i t a Fu n c io n e s e xp l í c i ta : Son aquel l as en las cu al es 𝑓(𝑥) o 𝑦 v iene expres ad o en t érminos de 𝑥 Por e je mplo : 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2

Funciones impl íc i tas : Son aquel las def in idas en términos de una ecuación

de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 s iendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) Por e jemplo 5𝑥 − 𝑦 − 2 = 0

Función pol inómica Es la función que v iene def in ida por un polinomio.

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² + 𝑎3𝑥³ +··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛

Su domin io es 𝑅, es decir , cua lqu ier número rea l t iene imagen.

Función constante

El c r i te r io v iene dado por un número rea l . 𝑓(𝑥) = 𝑘

La gráf i ca es una rec ta hor izonta l pa ra le la a a l e j e de absc isas .

Funciones pol inómica de pr imer grado :

Función L ineal

http://www.vitutor.com/fun/2/c_2.html


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Es de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 Su gráf i ca es una rec ta ob l i cua, que queda def in ida po r dos puntos de

la func ión

La función l ineal es de l t ipo: 𝒚 = 𝒎𝒙 Su gráf i ca es una l ínea rec ta que pasa por e l or igen de coordenadas . E jemplo

a) 𝑦 = 2𝑥 b ) 𝑦 = 2𝑥 + 4 c ) 𝑦 = −2𝑥 + 4

x 0 1 2 3 4

𝑓(𝑥) = 2𝑥 0 2 4 6 8

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 2 4 6 8 10

𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2

Pendiente de una recta m es la pendiente de la rec ta .

La pendien te es la inc l inac ión de la rec ta con respec t o a l e je de absc isas (e je X)

Si m > 0 la función es creciente y e l ángulo que forma la rec ta con la par te pos i t i va de l e je OX es agudo .

Si m < 0 la función es decrecien te y e l ángulo que forma la rec ta con la par te pos i t i va de l e je OX es obtuso .


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S i m = 0 la recta es hor izontal , es dec i r , para l e la a l e je X

La pendiente de una recta L que pasa por dos puntos 𝑷𝟏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y 𝑷𝟐 = (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) se puede obtener mediante:

𝒎 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

La ecuación de una recta que tiene pendiente 𝒎 y pasa por e l punto 𝑷𝟏 = (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) corresponde a 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)

Al desarro l lar queda de la forma 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 l lamada forma general

Función ident idad

Es d e l a fo r ma 𝒇(𝒙) = 𝒙

Su gráf ica es la b isectr iz del pr imer y tercer cuadrante.


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Funciones cu adrát i cas Son func iones po l inómicas de segundo grado, s iendo su gráf i ca una

curva l lamada parábola . 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Representac ión gráf i ca de la parábol a

Podemos cons t ru i r una pa rábola a par t i r de es tos puntos :

1) Vér t i ce 𝑉 = (ℎ, 𝑘)

Obtenem os ℎ = 𝑥 = −𝑏

2𝑎 , 𝑘 = 𝑦 = 𝑓(ℎ) = 𝑓(−

𝑏

2𝑎)

V = (h, k) = (−b

2a, f (−

b

2a))

Por e l vér t i ce pasa e l e je de s imet r í a de la pa rábola .

La ecuac ión de l e je de s imet r ía es : 𝑥 = −𝑏

2𝑎

2) In tersección con eje X Puntos de corte con el e je OX En e l e j e de absc isas la segunda coordenada es cero, por lo que

tendremos : 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Resolv iendo la ecuac ión podemos ob tener : Dos puntos de cor te : (𝑥1, 0) y (𝑥2, 0) s i b² − 4ac > 0

Un punto de cor te : (𝑥1, 0) s i b² − 4ac = 0

Ningún punto de cor te s i b² − 4ac < 0



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3 ) I n tersecc ión con e je Y . P unto de cor te con e l e je OY En e l e je de o rdenadas la p r imera coordenada es cero, por lo que

tendremos :

𝑓(0) = 𝑎 · 0² + 𝑏 · 0 + 𝑐 = 𝑐 (0, 𝑐)

E jemplo :

Graf i ca r la func ión 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3.

Vér t i ce h= x = − (−4) / 2 = 2 k = 2² − 4· 2 + 3 = −1 V= (2 , −1)

I n tersecc ión con e je X (hacer y = 0)

Nos queda 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 reso lv iendo

𝒙 =𝟒 ± √𝟏𝟔 − 𝟏𝟐

𝟐=

𝟒 ± 𝟐

𝟐 𝒙𝟐 = 𝟏

𝒙𝟏 = 𝟑

l os puntos son (3, 0) 𝑦 (1, 0)

In tersección con eje Y (hacer x = 0) Nos queda y = 3 E l punto es (0 , 3) Ubicamos esos puntos en un p lano car tes iano, los un im os pa ra form ar l a

curva.

Funciones de f in idas a t ramo s o por partes

Son func iones def in idas po r d is t in tos c r i ter ios , según los in terva los que

se cons ideren.



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E l domin io lo forman todos los números rea les menos e l 4 y e l recor r ido todos los rea les pos i t i vos y e l cero.

Funciones racionales

E l c r i t e r io v iene dado por un coc iente ent re po l inomios :

𝑓(𝑥) =𝑝𝑛(𝑥)

𝑞𝑚(𝑥)=

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑚𝑥𝑚

E l domin io lo fo rman todos los números rea l es excepto los va lores de x que anulan e l denominador .

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2

𝑥 + 1

Algebra de Funciones Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones. Sean f y g dos funciones cuyos dominios son Dom f y Dom g , respectivamente.

La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:

(𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) , considerar 𝑥 / 𝑔(𝑥) ≠ 0

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.



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Ejemplo

Sea f ( x ) = x - 2 y 𝑔(𝑥) =1

𝑥 dos funciones

Determinar:

( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x - 2 + x

1

( f – g ) ( x ) = f ( x ) – g ( x ) = x - 2 - x

1

( f*g ) ( x ) = f ( x )*g ( x ) = x

x 2

xg

xfx

g

f = x ( x - 2 )

El Dominio de la función f es 2, + )

El Dominio de la función g es R - { 0 }

Luego el Dom ( f + g ) = 2, + ), al igual que el de la diferencia, producto y cuociente

La definición de suma y producto de funciones, se puede generalizar para un número

finito de funciones

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Una función "𝑓 (𝑥)" lo que hace es transformar números "𝑥" en nuevos números que

designamos por "𝑓(𝑥)". A veces sobre un elemento 𝑥 actúa primero una función "𝑓" y,

después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función "𝑔".

Dada las funciones 𝑓 𝑦 𝑔, definiremos la COMPOSICIÓN de funciones; denotado

Por ( 𝑓 𝑜 𝑔 ) como ( 𝑓 𝑜 𝑔 )(𝑥) = 𝑓 ( 𝑔 ( 𝑥 ) ),

donde 𝐷𝑜𝑚( 𝑓 𝑜 𝑔) = { 𝑥/𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑔 ( 𝑥 ) 𝐷𝑜𝑚𝑓 }


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Ejemplo

1) Sean 𝑓 ( 𝑥 ) = x y 𝑔 ( 𝑥 ) = 2𝑥 + 3. Hallar

a) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 0 ) 𝑏) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 1 ) 𝑐) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 3 )

Solución

a) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 0 ) = 𝑓 ( 𝑔 ( 0 ) ) = 𝑓 ( 3 ) = 3

b) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 1 ) = 𝑓 ( 𝑔 ( 1 ) ) = 𝑓 ( 5 ) = 5

c) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 3 ) = 𝑓 ( 𝑔 ( 3 ) ) = 𝑓 ( 9 ) = 9 = 3

2) Si 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥

Obtener

a) ( 𝑓 𝑜 𝑔 )( 𝑥 ) , b) ( 𝑔 𝑜 𝑓 )( 𝑥 ) c) ( 𝑔𝑜 𝑔 )( 𝑥 ) y d) ( 𝑓 𝑜 𝑓 )( 𝑥 )

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