Epsilon No1

8/9/2019 Epsilon No1

1/154

8/9/2019 Epsilon No1

2/154

d

2

8/9/2019 Epsilon No1

3/154

 Tp chí online ca cng đng nhng ngưi yêu Toán

EPSILON Ch biên: TRN NAM DŨNG

Biên tp viên: VÕ QUC BÁ CN Biên tp viên: LÊ PHÚC L

S 1, ngày 13 tháng 02 năm 2015

8/9/2019 Epsilon No1

4/154

d

4

8/9/2019 Epsilon No1

5/154

LI NG Ban biên tp Epsilon

Epsilon, tc là rt nh, nhưng không bng 0. Và nhiu epsilon cng li có th tr thành nhng cái đáng k. Có th là 1, là 2, có th là vô cùng. Điu quan trng là ta có bit cách kt hp các

epsilon khác nhau li hay không. Epsilon là t báo ca cng đng, dành cho cng đng. Nó là mt s khi đu. Còn tip ni như th nào s hoàn toàn ph thuc vào s đón nhn, ng h, tr giúp, tham gia ca cng đng. Đ có đưc s xut hin đu đn, đúng hn, Epsilon s không có bt c mt gii hn v s trang ca mt kỳ, s trang ca mt bài, và cũng không gii hn ch đ, không bt buc phi có mc này, mc kia.

Ch đ ca Epsilon đa dng nhưng s ch yu là v toán và  các vn đ liên quan, mc đ thưng thc ph thông, truyn

 bá toán hc. Epsilon luôn mong mun nhn đưc s đóng góp t phía các nhà toán hc, các nhà khoa hc, các thy cô giáo, các bn sinh

 viên, các bn hc sinh và tt c nhng ngưi yêu toán và nhng ngưi yêu nhng ngưi yêu toán. Đ nâng cao cht lưng tp chí, chúng tôi xin đưc phép s trao đi vi tng tác gi, cùng

 biên tp li các bài báo phù hp.

S báo mà các bn đang đc là s 1 ca tp chí. Trong s này, chúng tôi có tng cng 9 bài vit. Bên cnh các bài liên quan

đn kỳ thi HSG cp quc gia (VMO) 2015 va qua, chúng tôicũng gii thiu mt s bài vit thưng thc, lý thuyt Toán c đin và hin đi.

Epsilon s c gng ra đu đn 2 tháng 1 ln, vào các ngày 13 ca các tháng chn. Chn ngày   13  đ th hin s quyt tâm.

 Vn s khi đu nan. Chúng ta hãy c gng khi đu. Và c gng đi tip. Đi nhiu ngưi, bn s đi rt xa. . .

5

8/9/2019 Epsilon No1

6/154

d

6

8/9/2019 Epsilon No1

7/154

MC LC

1   Li ng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .  5

2   S phc và đa thc Trn Nam Dũng  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

3   Thut toán phc hi s hu t Nguyn Hùng Sơn  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4   Toán hc gii trí và các bài toán đi nón Đng Nguyn Đc Tin   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   31

5   V bài hình hc thi VMO 2015Trn Quang Hùng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..  47

6   V bài bt đng thc trong đ thi VMO 2015 Võ Quc Bá Cn   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .  57

7   Phân tích và m rng trong các bài toán t hp Lê Phúc L   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .  101

8   Các vn đ c đin và hin đi Trn Nam Dũng  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139

9   Bài toán chuyn xe Bus Lê T Đăng Khoa   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   147

10  Nhn xét v kỳ thi VMO 2015  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   151

7

8/9/2019 Epsilon No1

8/154

d

8

8/9/2019 Epsilon No1

9/154

S PHC VÀ ĐA THC  Trn Nam Dũng (ĐHKHTN, ĐHQG Tp HCM )

 Tóm tt

 Trong kỳ thi chn hc sinh gii Toán Quc gia năm hc 2014-2015 va qua, có 2 bài toán có th gii rt hiu qu 

 và ngn gn nu dùng đn s phc. Th nhưng, s hc sinh nm vng s phc đ s dng mt cách hiu qu li không nhiu, và các bn đã rt vt v gii các bài toán đã  cho bng các phương pháp khác.

 Trong bài vit nh này, chúng tôi mun gii thiu trưc ht  là các ng dng ca s phc trong bài toán v đa thc, sau đó là ng dng ca s phc và đa thc trong các bài toán t hp đm.

1. S phc trong các bài toán v đa thc Nghim ca đa thc đóng vai trò quan trng trong vic xác đnh mt đa thc. C th nu đa thc  P(x) bc  n có  n nghim x1,  x2, . . . ,  xn thì  P(x) có dng  P(x) = c(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn).

 Tuy nhiên, nu ch xét các nghim thc thì trong nhiu trưng hp s không có đ s nghim.

Hơn na, trong các bài toán phương trình hàm đa thc, nu ch  xét các nghim thc thì li gii s là không hoàn chnh. Đnh

lý cơ bn ca đi s vì vy đóng mt vai trò ht sc quan trngtrong dng toán này. Và ta s dng cách phát biu đơn gin nht ca nó: mt đa thc vi h s phc (thc) luôn có ít nht  mt nghim phc. Dưi đây ta xem xét mt s áp dng.

Bài toán 1.  Tìm tt c các đa thc  P(x) khác hng sao cho:

P(x) · P(x + 1) = P(x2 + x + 1).   (1)

9

8/9/2019 Epsilon No1

10/154

8/9/2019 Epsilon No1

11/154

Li gii.  Gi s   α   là nghim ca   P(x) =   0.  Khi đó t phương trình suy ra   α 2,  α 4, α 8, . . . cũng là nghim ca   P(x) =   0. T đây 

suy ra rng   |α |   =   0  hoc   |α |   =   1,   vì nu ngưc li ta s thu đưc dãy vô hn các nghim ca  P(x). Tương t, bng cách thay  x  =  α  − 1,  ta suy ra  (α  − 1)2 cũng là nghim ca  P(x). Bng các lý lun tương t, ta cũng đưc

 (α − 1)2 =  0  hoc (α − 1)2 =  1. Gi s rng   |α | =  1 và 

 (α − 1)2 =  1.  Vit  α  =  cosϕ + i · sinϕ, ta có 1 − α  = (1 − cosϕ) − i · sinϕ

= 2 · sin2 ϕ 2

  − 2i · sinϕ 2  · cosϕ

2

= 2 · sin ϕ

2 · 

sin ϕ

2   − i · cos ϕ

2 

nên  (1 − α )2 = −4 · sin2ϕ 2  · (cosϕ + i · sinϕ), suy ra 

(1 − α )2 =  4 · sin2 ϕ 2

  = 2  − 2 · cosϕ.

Do  (1 − α )2 =  1  nên  2 · cosϕ =  1. T đây suy ra  cosϕ =   1

2 , ta tính

đưc ϕ  =   π 3  hoc   5π

3   . Gi s  ϕ  =   π

3 .

 Xét   α 2 cũng là nghim ca   P(x) =   0. Như vy   (α 2 − 1)2 cũng là 

nghim ca  P(x) = 0  và   

(α  2

− 1) 2

 =  2  − 2 · cos 2π 3   = 3.  Mâu thun vì mi nghim ca  P(x) = 0  có mô-đun bng  0 hoc  1. Tương t

 vi trưng hp ϕ =   5π 3

  .

Như vy, ta có th kt lun rng  α  =  0, hoc  α  − 1  =   0. T đây  P(x) có dng  cxm(1 − x)n, vi  c là mt hng s khác  0 nào đó và  m , n là các s nguyên không âm không đng thi bng  0.

 Thay vào phương trình đã cho, ta d dàng kim tra đưc rng c =  1  và  m  =  n. Như vy lp các đa thc tho mãn điu kin đã  cho là  P(x) = xm(1 − x)m trong đó  m  là mt s t nhiên.

Nghim phc ca đa thc vi h s nguyên, trong nhiu trưng hp là chìa khoá đ chng minh tính bt kh quy (trên  Z và  Q) ca đa thc đó. Chúng ta tìm hiu các lý lun mu trong vn đ này thông qua các ví d sau:

Bài toán 3 (IMO, 1993). Chng minh rng vi mi  n > 1, đa thc  xn + 5xn−1 + 3  không th phân tích thành tích ca hai đa thc có  bc không nh hơn  1  vi h s nguyên.

11

8/9/2019 Epsilon No1

12/154

Li gii.  Gi s x1,  x2, . . . ,  xn là tt c các nghim ca  P(x). Khi đó ta có P(x) = (x−x1)(x−x2)

· · · (x−xn). Suy ra  3  = (−1)nx1x2

· · · xn.

 Ta có vi mi  i thì  xni   + 5