Electrocinétique Sup

c Boukaddid Cours electrocinetique sup TSI

[LE,RO]1 [LO] [RE] plain

Lois generales dans le cadre de lapproximation des regimes quasi-permanents

Table des matie`res

1 Definitions 21.1 Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P . . . . . . . . . 21.2 Courant electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Types de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Effets de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Intensite du courant i(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Lois de Kirchhoff 32.1 Caracteristiques dun circuit electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Lois de Kirchhoff en regime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Lois des Noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Classification des dipoles electrocinetiques 53.1 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1.1 Convention algebrique thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 Puissance electrique P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Convention recepteur ou generateur . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Caracteristique tension courant dun dipole . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.2 Caracteristique statique ou dynamique . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Dipole actif ou passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Dipole lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 / 7


Lors de letude des circuits electriques ,nous rencontrons : Regimes permanents : La grandeur physique G ne varie pas dans le temps :

G(t+ dt) = G(t) Gt

= 0

Regimes variables : La grandeur physique G varie en fonction du tempsG(t+ dt) 6= G(t)

donc on doit preciser la grandeur G en un point M du circuit G(M, t)On sinteresse dans ce chapitre aux regimes lentement variables,ou quasi-permanent .

1 Definitions

1.1 Approximation des regimes quasi-permanents A.R.Q.P

Il consiste a` negliger le temps de propagation devant un temps cracteristique de lavariation du signal . Exemples : Un circuit de longueur L = 1mLe temps de propagation est de lordre de : =

L

C=

1

3.108= 3.109s

Pour rester dans LA.R.Q.P,la periode du signal doit etre T >> f


1.2.3 Effets de courants

On peut distinguer entre les :

I Effet thermique (effet Joule)I Effet magnetique (Champ magnetique produit par un circuit)I Effet chimique (electrolyse )

1.2.4 Intensite du courant i(t)

On appelle intensite du courant electrique traversant la section (S) dun conducteur ,la quantite delectricite dq traversant (S) par unite du temps dt .

i(t) =dq

dten ampe`re (A)

2 Lois de Kirchhoff

2.1 Caracteristiques dun circuit electrique

I Dipole electrocinetique : Il sagit dun composant electrique comportant dexbornes , lune dentree et lautre de sortie du courant .

A B

R

UAB = UA UBUAB est la difference de potentiel aux bornes du dipole

I Noeud : Borne commune a` plus de deux dipoles (N1, N2..).I Branche : portion de circuit entre deux noeuds consecutifs (N1N2) .I Maille : ensemble de branches successives definissant un circuit ferme qui passe

une seule fois par les noeuds rencontres (N1, N2, N3...).

D1

D2

D3

D4

D5

N1 N2

N3N4

3 / 7


2.2 Lois de Kirchhoff en regime permanent

2.2.1 Lois des Noeuds

Considerons un conducteur filiforme de longueur tres grand devant son diame`tre sesepare au noeud N en deux autres conducteurs filiformes :

dq

dq1

dq2

N

La conservation de la charge entre les instant t et t+ dt se traduit par :

dqe = dqs dq = dq1 + dq2 dqdt

=dq1dt

+dq2dt

donc

i = i1 + i2

Generalisation au cas de N conducteurs : Loi de Kirchhoff

Nk=1

kik = 0

k = +1 pour un courant arrivant vers Nk = 1 pour un courant seloignant de N

2.2.2 Loi des mailles

Considerons la maille suivante :

4 / 7


D3 D2

D1

U1

U3 U2

N1 N2

N3

+

VN3 VN1 + VN1 VN2 + VN2 VN3 = 0 U3 + U1 + U2 = 0 Generalisation : Loi de Kirchhoff relative a` une maille

k

kUk = 0

k = +1 pour Uk orientee dans le sens de la maillek = 1 pour Uk orientee dans le sens inverse de la maille

Remarque : Les lois de Kirchhoff sont valables en A.R.Q.P en remplacant ik et ukpar ik(t) et uk(t).

3 Classification des dipoles electrocinetiques

3.1 Aspect energetique

3.1.1 Convention algebrique thermodynamique

En thermodynamique par convention on compte positivement lenergie recue par unsyste`me detude et negativement lenergie cedee par le syste`me au milieu exterieur .

3.1.2 Puissance electrique P

La puissance electrique algebriquement recue par un dipole D est :

P = uAB.iAB en (W)

En peut distinguer entre deux types de dipoles :

I Dipole recepteur : P = uAB.iAB > 0 le courant et la difference de potentiel ontun sens inverse (car le sens reel du courant est celui des potentiels decroissant)le dipole recoit alors de lenergie electrique .

I Dipole generateur : P = uAB.iAB < 0 le courant et la difference de potentiel ontle meme sens , le dipole fourni de lenergie .

5 / 7


3.1.3 Convention recepteur ou generateur

I Convention recepteur : P = uAB.iAB > 0I Convention generateur : P = uAB.iAB < 0

D

iAB

UAB

A BD

iABAB

UABconvention recepteur

convention generateur

3.2 Caracteristique tension courant dun dipole

3.2.1 Definition

Soit un dipole (D) quelconque etudie en convention recepteur . On appelle caracteristiquecourant tension du dipole D la courbe representant les variations du courant i en fonc-tion de la tension u

M

iM

uM

i

u

Tout point M(uM , iM) de la caracteristique est un point de fonctionnement du dipoleD

3.2.2 Caracteristique statique ou dynamique

I Caracteristique statique : Lensemble des points (u,i) obtenus en regime continu(permanent). Si la courbe obtenue est symetrique par rapport a` lorigine le dipole est ditsymetrique (on peut permuter ses bornes de connexion). Si la courbe obtenue est dissymetrique par rapport a` lorigine ,le dipole est ditnon symetrique ou polarisee.

6 / 7


I Caracteristique dynamique : lensemble des points (u,i) obtenus en regime va-riable . En general elle ne correspond pas au deplacement du point de fonction-nement sur la caracteristique statique .

3.3 Dipole actif ou passif

I Dipole actif : sa caracteristique statique ne passe pas par lorigine (pile,alimentationstabilisee...)

I Dipole passif : Sa caracteristique statique passe par lorigine (toujours recepteur).

3.4 Dipole lineaire

Un dipole est lineaire si la tension u(t) entre ses bornes et le courant qui le traversei(t) sont liees par une equation differentielle a` coefficients constants :

Nn=0

andnu(t)

dtn+

Mm=0

bmdmi(t)

dtm= F (t)

En regime continu

a0u+ b0i = F

Cest une relation affine entre u et i la caracteristique statique dun dipole lineaireest une droite .Exemples :

I Ordre 0 : Resistance U(t) = R.i(t)

I Ordre 1 : Condensateur i(t) = cdu(t)dt

Bobine u(t) = Ldi(t)

dt

7 / 7


Elements de circuits lineaires en regime continu ou quasi-permanent

Table des matie`res

1 Dipoles passifs lineaires fondamentaux : R,L,C 21.1 Conducteur ohmique ou resistor R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Mode`le microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Aspect energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Groupement de resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Groupement des condensateurs ideaux . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Aspect energetique pour une bobine ideale . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Groupement de bobines ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Diviseur de tension ou de courant 82.1 Pont diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Dipoles actifs 93.1 Source de tension (source independante de tension) . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Source lineaire ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Mode`le de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Source de courant (source independante de courant ) . . . . . . . . . . 93.2.1 Source ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Mode`le de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Equivalence Thevenin-Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Groupement de dipoles actifs lineaires 114.1 Groupement serie : modelisation de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Groupement paralle`le : mode`le de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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1 Dipoles passifs lineaires fondamentaux : R,L,C

1.1 Conducteur ohmique ou resistor R

La resistance est constituee soit par un depot de carbone ou doxyde metallique sur unisolant soit par un enroulementdun fil conducteur.

1.1.1 Loi dOhm

un conducteur ohmique ou resistor satisfait a` la loi dOhm :

u = r.i ou i = G.u

R : resistance en ohm ()

G =1

Rconductance en Siemens(s)

i

u

R

i

u

Les caracteristiques statiques et dynamiques sont confondues . Il sagit dun dipolesymetrique .

1.1.2 Mode`le microscopique

La resistance R ne depend que de la nature du conducteur et ses caracteristiquesgeometriques et pas de son etat electrique (u,i) .Application : Resistance dun conducteur cylindrique homoge`neSoit un fil metallique cylindrique homoge`ne daxe (ox) de section s et de resistivite ,alimente par un courant continu I . resistance R dune longueur l du filOn admet

E = grad(V )

et

dV = E .dl

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V(x) V(x+l)

x

S

La loi dOhm local

E = .

j

j : densite volumique de courant

V (x) V (x + l) = x+lx

dv =

x+lx

E.dx = .j.l (en regime permanent E et j sont

des constantes)

or i = j.s u = v1 v2 = R.i avec R = . ls

ResultatPout tout conducteur de section s constante on a :

R = .l

s

avec R : resistance () : la resistivite (.m)l : la longueur du conducteur (m)s : la section du conducteur (m2) Remarque : La resistance dun conducteur metallique est une fonction croissante dela temperature.

1.1.3 Aspect energetiques

Le passage dun courant dans un resistor se manifeste par un echauffement du mi-lieu conducteur, ce phenome`ne est appele effet Joule,qui sinterpre`te par lechangesenergetiques entre les electrons mobiles (acceleres par le champ electrique) et les ionsfixes du reseau a` la suite des collisions.La puissance consommee par le resistor secrit :

P =W

dt= u.i = R.i2 =

u2

R

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1.1.4 Groupement de resistor

1. Groupement en serie

R1 R2 Rn Req

u1 u2 un u

u

A BA

Bi i

u =nk

uk =k

Rk.i = Req.i avec Req la resistance equivalente entre A et B .

Req =nk

Rk

2. Groupement pralle`le

R1

Rn

iReq

i

u

u

AB

A B

in

i1

La loi des noeuds : i =nk

ik =nk

u

Rk=

u

Req

1

Req=

nk=1

1

Rk

Application : ShuntUn shunt est une resistance de faible valeur s que lon monte en paralle`le avec uneresistance R

i

u

R

s

i

4 / 13


i = Geq.u = (1

R+

1

s)u or s


i

u

i

uumin umax Um

CUm

caracteristique statiquecaracteristique dynamique

1.2.2 Groupement des condensateurs ideaux

1. Groupement serie

A B A B

U1 U2 Un U

U

C1 C2 Cn Ceq

le courant traversant ces condensateurs i = Ckdukdt

= Ceqdu

dt

u =

k uk du

dt=

k

dukdt

=

k

i

Ck=

i

CeqDonc

1

Ceq=

k

1

Ck

2. Groupement paralle`le

A B A B

i1

i2

in

C1

C2

Cn

Ceq

U

U

ii

i =

k ik =

k(Ckdu

dt) = (

k Ck)

du

dt= Ceq

du

dt

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Ceq =

k Ck

1.3 Bobine

Cest un enroulement dun fil conducteur avec ou sans noyau , la bobine sans noyaupresnte une inductance L = ctePour une bobine

u = r.i+ Ldi

dt

L :inductance en Henry (H)r : resistance en Ohm ()Pour une bobine ideal

u = Ldi

dt

i i

u u

(L,r) L

Bobine Bibine ideale

1.3.1 Aspect energetique pour une bobine ideale

La puissance instantannee : P = u.i = Lidi

dt=

d

dt(1

2Li2) =

dEmdt

Em =1

2Li2

Em represente lenergie magnetique emmagasinee dans la bobine ideale . Le bilanenergetique exige la continuite de Em par consequent lintensite dun courant i tra-versant une bobine ideale reste toujours continue .

Remarque : En regime continu i = cte u = Ldidt

= 0 donc la bobine ideale se

comporte comme un court-circuit .La cracteristique dynamique dune bobine est une ellipse .

1.3.2 Groupement de bobines ideales

1. Groupement serie

L1 L2 Ln Leq

u1 u2 un u

u

i i

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u =

k uk =

k(Lkdi

dt) = (

k Lk)

di

dt= Leq

di

dt

Leq =

k Lk

2. Groupement pralle`leOn montre que

1

Leq=

k

1

Lk

2 Diviseur de tension ou de courant

2.1 Pont diviseur de tension

R1 R2

u

u

i

u

R1 +R2=

u

R2

u =R2

R1 +R2u

2.2 Diviseur de courant

R1 R2 R3u

i

i1 i2 i3

ik =u

Rk i1 = u

R1, i2 =

u

R2, i3 =

u

R3

i =

k ik = (

kGk)u = Gequ avec G =1

R

ik =GkGeq

i

Donc i1 =

1

R11

R1+

1

R2+

1

R3

i ;i2 =

1

R21

R1+

1

R2+

1

R3

i ;i3 =

1

R31

R1+

1

R2+

1

R3

i

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3 Dipoles actifs

3.1 Source de tension (source independante de tension)

3.1.1 Source lineaire ideale

Elle presente une force electromotrice constante e = cte quelque soit le courant

e

i

u = e

A B A B

u = e

e

i

u

regime variableregime continu caracteristique statique

3.1.2 Mode`le de Thevenin

Il tient compte les effets dissipatifs au sein de la source

e

R

u = eRi

3.2 Source de courant (source independante de courant )

3.2.1 Source ideale

Elle presente un courant constant quellque soit la tension u a` ses bornes i = = cte,u

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u

i

u

i=

3.2.2 Mode`le de Norton

Il tient compte des effets dissapatifs

r

i

u

i = ur

= gu

3.2.3 Equivalence Thevenin-Norton

En general :Les deux mode`les obtenus sont equivalent et lon exploitera lun ou lautre suivant lanature du circuit exterieur connecte.

10 / 13


A

B

dipolelineaire

u0

u0i0

A

B

i0

u0i0

A

B

u0 : tension en circuit ouverti0 : courant de court circuit

4 Groupement de dipoles actifs lineaires

4.1 Groupement serie : modelisation de Thevenin

Considerons un groupement de deux generateurs :

i

e1

r1

e2

r2i

e1 e2r1 + r2

uu = (e1 e2) (r1 + r2)i

Plus generalement,un groupement de generateursDk(ek, rk) est equivalent a` un generateurDeq de :

I f.e.m eeq =

k kek avec :

k = +1 pour ek suivant le sens de uk = 1 pour le cas contraire

I de resistance interne : req =

k rk

4.2 Groupement paralle`le : mode`le de Norton

Quand les generateurs sont montes en paralle`le on utilise en pratique le mode`le deNorton

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A

B

1 2r1 r2 eq = 1 2 geq = g1 + g2

A

B

u

i i

i = 1 g1u 2 g2u avec (gk = 1rk

)

donc pour un groupement de generateurs (k, gk)

i =

k kk + (

k gk)u

eq =

k kk

geq =

k gk =

k

1

rk

avec :k =1 si k oriente suivant ik = 1 dans le cas contraire Application : modelisation dun groupement mixte

e

A C

r

r

2e

e

2rB

entre A et C les dipoles actifs sont en paralle`le on doit utiliser le mode`le de Norton

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A

=e

r

r

2 =2e

r

r

C B2r

e

A

3

r

2

e

C2r

3r

2=

3

2e r

2 e

2r

e

2 5

2r

B A C B

A B

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Theore`mes de base et modelisation des reseaux lineaires

Table des matie`res

1 Reseau a` une maille : Loi de Pouillet 2

2 Reseau quelconque : Lois de kirchhoff 2

3 Potentiel de noeud-theore`me de Millman 33.1 Loi des noeuds en termes de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Theore`me de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Modelisation des reseaux lineaires : theore`mes de bases 54.1 superposition des etats-theore`me dHelmoltz . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Theore`me de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Theore`me de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Application : pont de Wheatston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.1 Modelisation du pont par le generateur de Thevenin (eeq, Req) . 84.4.2 Modelisation de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 / 9


Un reseau electrique est un syste`me de dipoles electrocinetiques,reliees entre eux par desfils conducteurs de resistance negligeable . Ce reseau est dit lineaire lorsquil ne fait in-tervenir que des dipoles actifs (source de tension ou de courant) et passifs (resistances...)lineaires .

1 Reseau a` une maille : Loi de Pouillet

Considerons la maille suivante :

+

R

e1

r1

e2

r2

u

u1

u2

i

Loi des mailles : u+ u1 + u2 e1 + e2 = 0 Ri+ r1i+ r2i e1 + e2 = 0

i =e1 e2

R + r1 + r2

Generalisation : Loi de PouilletPour une maille comportant Dk(ek, rk) generateurs et dautres resistors R la loi dePouillet secrit sous la forme :

i =

k kek

R +

k rk

k = +1 pour ek suivant le sens de ik = 1 pour le cas contraire

2 Reseau quelconque : Lois de kirchhoff

Pour determiner ik dans un reseau quelconque on utilise les lois de kirchhoff

I Loi des Noeuds :k

kik = 0

I Loi des mailles :k

kuk = 0

Application : Circuit comportant un transistor

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e

R1

R2

iB

B

Rc

C

E

RE

uc

B

C

E

BiB

rB iB

E

C

Exprimer la tension uc en fonction de e, , Rc, RE et rB

e R1R2

rB iB

RE

Rc

uc

iB

iE

A B C

E

M

La loi des Noeuds au point E : iE = iB + iB = ( + 1)iBLa maille ABEMA : e = rBiB +REiE = [rB + ( + 1)RE]iBuc = iBRc

uc = RcrB + ( + 1)RE

e

3 Potentiel de noeud-theore`me de Millman

3.1 Loi des noeuds en termes de potentiels

Considerons le montage suivant :

3 / 9


e1

i1

i2

i3

2r1

A1 A2 A3

r3r2

(e1, r1) generateur de tension(2, r2)generateur de courantvN le potentiel au noeud N (commune entre les 3 branches)vk le potentiel au noeud Akon a v1 vN = r1i1 e1i1 = g1(e1 + v1 vN)i2 = 2 + g2(v2 vN))i3 = g3(v3 vN)la loi des noeuds au ptN : i1 + i2 + i3 = 0 g1(v1 vN) + g2(v2 vN) + g3(v3 vN) + g1e1 + 2 = 0 GeneralisationPour n branches (dindice k) parvenant en N et comportant eventuellement des sourcesde tension ou de courant la relation se generalise

k

gk[(Vk VN) + kek] +k

kk = 0

k = +1 si ek ou k oriente vers N .

3.2 Theore`me de Millman

Il sagit dune variante de la loi de des noeuds en terme de potentiel

(k

gk)VN =k

gk(Vk + kek) +k

kk

VN =

k gk(Vk + kek) +

k kk

k gk

k = 1 si ekou k orientes vers NEn pratique les points Ak sont relies a` la masse Vk = 0 donc le theore`me de Millmandevient :

VN = VN Vmasse =

k gkkek +

k kkk gk

ApplicationExprimer lintensite i traversant la resistance de charge R en fonction des composantesdu reseau

4 / 9


R1

R1 R2 R3

N

M

R U

e1 e2

i

Theore`me de Millman u = VN VM =e1

2R1 e2R2

+

1

2R1+

1

R2+

1

R3+

1

R

= Ri

i =1

R

e12R1 e2R2

+

1

2R1+

1

R2+

1

R3+

1

R

4 Modelisation des reseaux lineaires : theore`mes de

bases

4.1 superposition des etats-theore`me dHelmoltz

Letat electrique dun reseau lineaire comportant une distribution quelconque de sources(tension ou courant) est obtenu en superposant les etats associes a` chaque source sup-posee seule dans le reseau .

I lintensite du courant circulant dans une branche est la somme des intensitesproduites par chaque source supposee seule (on eteint les autres sources) .

I la tension aux bornes dun dipole est la somme des tensions produites par chaquesource supposee seule .

Remarque : En pratique on eteint une source independante (libre) de manie`re sui-vante :

I source de tension est remplacee par un court circuit (fil conducteur)I source de courant est remplacee par un circuit ouvert(coupe-circuit)

ApplicationExprimer lintensite i du courant circulant dans la resistance R en superposant deuxetats electriques du reseau .

I Etat 1 (e1 = 0, 2) correspond au courant i1I Etat 2 (e1, 2 = 0) correspond au courant i2

i = i1 + i2

5 / 9


e1

r1

2 r2

R

A

B

i

si on eteint la source e1 on obtient un diviseur de courant

r1r2 R

2

2 i1

i1 =

1

R1

R+

1

r1+

1

r2

i

pour letat 2 on utilise le mode`le de Norton

e1

r1

r2 R

i2

1 =e1r1

1

r1r2 R

i2

i2 =

1

R1

R+

1

r1+

1

r2

e1r1

6 / 9


Donc

i = i1 + i2 =

1

R1

R+

1

r1+

1

r2

(e1r1

+ 2)

4.2 Theore`me de Thevenin

Un reseau dipolaire lineaire,entre deux bornes A et B,peut etre modelise par une sourcede tension ou generateur de Thevenin .

I de f.e.m eeq egale a` la tension en circuit ouvert entre A et B : eeq = (uAB)0I de resistance interne egale a` la resistance equivalente Req du reseau dipolaire

passif (apres extinction des sources) entre A et B .

4.3 Theore`me de Norton

Un reseau dipolaire lineaire,entre A et B,peut etre modelise par une source de courantou generateur de Norton :

I de C.e.m eq egale au courant de court-circuit,entrant en B dans le reseau,A etB etant reliees par un fil conducteur.

I de conductance Geq =1

Req(Req en paralle`le avec la source libre ) .

4.4 Application : pont de Wheatston

i1

B

i2

P

Q

e

X

i3

R

r

i4

i A

C

D

Le pont de Wheatston est dit equilibre lorsque le courant i qui circule dans le galva-nome`tre de resistance r est nul .

7 / 9


4.4.1 Modelisation du pont par le generateur de Thevenin (eeq, Req)

eeq

Req

r

uAC

A

C

i

I Calcul de eeq eeq = (uAC)0 le circuit est ouvert entre A et C (en enle`ve la brancheAC)i2 = i4 et i1 = i3e = (P +X)i1 = (Q+R)i2

eeq = Pi1 + Qi2 = e( QQ+R

PP +X

) = eXQRP

(Q+R)(P +X)cest la f.e.m de

Thevenin

I Calcul de Req

A B

D

C

P

X

Q

R

Req = (P//X) + (Q//R) Req = PXP +X

+RQ

R +Q

Le courant i =eeq

Req + rloi de Pouillet

lequilibre du pont exige i = 0 Req = 0 doncXQ = PR

Utilite du pont : le pont permet de determiner la valeur de la resistance X inconue

8 / 9


4.4.2 Modelisation de Norton

eq i A

C

rReqeq =eeqReq

i =eeq

Req + ri = 0 XQ = PR

9 / 9

cS.Boukaddid Cours electrocinetique sup TSI

Regime transitoire

Table des matie`res

1 Circuit RC serie soumis a` un echelon de tension 21.1 Echelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Charge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Expression de u(t) et i(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Regime transitoire-temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Temps de monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Decharge dun condensateur - Regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Regime libre dun circuit R,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Regime transitoire dun circuit RL 62.1 Reponse dun circuit RL a` un echelon de tension . . . . . . . . . . . . . 62.2 Regime libre du circuit RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Regime libre dun circuit RLC 93.1 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Equation differentielle - Facteur de qualite - Pulsation propre . . . . . . 93.3 Divers regimes de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3.1 Regime aperiodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Regime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.3 Regime pseudo-periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Reponse dun circuit RLC serie a` un echelon de tension 134.1 Regime transitoire-Regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Aspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 / 14


Dans ce chapitre on va sinteresser a` leffet dune brusque variation de tension sur unsyste`me lineaire . Cette variation sera modelisee par une fonction appelee echelon detension .

1 Circuit RC serie soumis a` un echelon de tension

1.1 Echelon de tension

Il sagit dun signal electrique produit par une source libre de tension de la forme :

u(t) =

{u0, t > 00, t < 0

On peut realiser cet echelon de tension par un basculement de linterrupteur K a` t = 0

e

K

u(t)

u(t)

t

u0

1.2 Charge dun condensateur

1.2.1 Conditions initiales

E

k

u(t)qC

i

R

Pour t < 0 linterrupteur k est ouvert et le condensateur est non charge .q(0) = 0, u(0) = 0, i(0) = 0on ferme linterrupteur k a` t = 0,la continuite de la tension aux bornes du condensateurse traduit par

u(0) = u(0+) = 0

2 / 14


de meme la continuite de la charge

q(0) = q(0+) = 0

1.2.2 Expression de u(t) et i(t)

Pour t > 0 la loi des mailles : E = u+Ri avec i = Cdu

dtdonc

RCdu

dt+ u = E

On pose = RC : constante du temps du circuit RC

du

dt+ u = E

La solution de cette equation secrit sous la forme

u(t) = u1(t) + u2(t)

u1 : solution generale de lequation : equation sans seconde membreu2 : solution particulier de lequation comple`te

u1(t) = k exp( t

)

u2 = cte u2 = Edonc

u(t) = k exp( t

) + E

on determine la constante k par les conditions initalesa` t = 0 u(0) = 0 k + E = 0 k = E finalement

u(t) = E(1 exp( t

))

i(t) = Cdu

dt=E

Rexp( t

)

u

t

0,63E

0, 37E

R

i

t

E

RE

3 / 14


Remarque :on observe :

I une continuite de la tension u(t) en t = 0I Une discontinuite du courant i(t) en t = 0

1.2.3 Regime transitoire-temps de relaxation

Pour t >> u E le syste`me se trouve alors en un regime etabli independant dutemps . Soit tn la duree necessaire au syste`me pour approcher le regime etabliut = E a` 10

n pres (n = 2.3...)ut u(tn)ut u(0) = 10

n =E u(tn)

E= exp(tn

)

tn = 2, 3n

: de lordre de grandeur du regime transitoire est appelee temps de relaxation ordre de grandeurR = 103, C = 0, 1F = 104s

1.2.4 Temps de monte

On appelle le temps de montee du signal la duree tm necessaire a` la tension pour passerde 100/0 a` 90

0/0 de sa valeur finale.

u(t)

t

tm

0, 9E

0, 1E

t1 t2

E

u(t1) = E(1 exp(t1

)) = 100/0E = 0, 1E exp(t1

) = 0, 9 t1 = 0, 1

u(t2) = E(1 exp(t2

)) = 900/0E = 0, 9E t2 = 2, 3

tm = t2 t1 = 2, 2

1.2.5 Aspect energetique

u+Ri = E en multipliant par i = Cdu

dt

d

dt(1

2Cu2) +Ri2 = Ei

4 / 14


Ei : puissance fournie par le generateurRi2 : puissance liee a` leffet joule dans la resistance1

2Cu2 = Ee : energie electrique emmagasinee dans le condensateur E0

d(1

2Cu2) +

0

Ri2dt =

0

Eidt =

E0

ECdu = CE2

wJ =

0

Ri2dt = CE2 12CE2 =

1

2CE2

1.3 Decharge dun condensateur - Regime libre

1.3.1 Regime libre dun circuit R,C

Le regime libre (ou propre ) caracterise levolution du circuit RC en labsence de lasource .

R

E C

u

(1)

(2)k

a` t < 0 k se trouve dans la position (1) qui permet la charge du condensateur .Apresquelques u atteint la valeur de Ea` t = 0 k bscule vers la position (2) , le circuit RC se trouve dans le regime librela continuite de u aux bornes de C : u(0+) = u(0) = u0 = E

i = Cdu

dtet u+Ri = 0

u+ du

dt= 0

avec = RC

la solution de cette equation secrit sous la forme u(t) = k exp( t

) , avec u(0) = E = k

donc

u(t) = E exp( t

)

i = Cdu

dt= E

Rexp( t

)

5 / 14


u

t

0, 37E

i

t

ER

0, 37ER

continuite de u en t = 0discontinuite de i en t = 0

1.3.2 Aspect energetique

En multipliant lequation u+Ri = 0 par idt = Cdu

Cudu+Ri2dt = d(1

2Cu2) +Ri2dt = 0

lintegration entre t = 0 et t = (quelques ) on obtient :

wJ =

0

Ri2dt =1

2CE2

Le condensateur restitue ,au cours de la decharge ,sous forme deffet Joule lenergiequil avait emmagasinee pendant la charge .

2 Regime transitoire dun circuit RL

2.1 Reponse dun circuit RL a` un echelon de tension

E

RK(1)

(2)

Lu

Pour t < 0,le courant circulant dans le circuit RL est suppose nul .k est place en position (1) a` t = 0

6 / 14


la continuite du courant dans la bobine se traduit par i(0) = i(0+) = 0

pour t > 0 : E = Ri+ u = Ri+ Ldidt

i+ di

dt=E

R

avec =L

Rtemps de relaxation

la solution de cette equation secrit sous la forme

i(t) =E

R+ k exp( t

)

i(0) = 0 k = ER

i(t) =E

R(1 exp( t

))

u(t) = Ldi

dt= E exp( t

)

i

t

u

t

iM =E

R0, 63iM

E

continuite de i(t) en t=0 discontinuite de u(t) en t=0

Aspect energetiqueEn multipliant E = Ri+ L

di

dtpar idt

Eidt = Ri2dt+ d(1

2Li2)

0

Eidt =

0

Ri2dt+

d(

1

2Li2)

wg = wJ +1

2Li2M

avec : iM =E

Rwg : lenergie fournie par le generateurwJ : lenergie dissipee par effet Joule dans la resistance

7 / 14


2.2 Regime libre du circuit RL

E

(1)

(2)

R

uL

i

a` t < 0 k est dans la position (1),on attend letablissement du courant iM =E

Rdans le

circuit .a` t = 0 on bascule linterrupteur k vers la position (2) , le circuit se trouve a` t > 0dans le regime libre .La continuite du courant en 0 : i(0) = i(0+) = iM .

u+Ri = Ldi

dt+Ri = 0 di

dt+ i = 0, =

L

R

i(t) = k exp( t

) avec i(0) = iM = k

i(t) = iM exp( t

)

u = Ldi

dt= RiM exp( t

)

i

t

u

t

RiM

iM

Bilan energetiqueMultiplions L

di

dt+Ri = 0 par idt on obtient d(

1

2Li2) +Ri2dt = 0

par integration entre t = 0 et t1 >> :

wJ =1

2Li2M

Lenergie electromagnetique initiale dans la bobine est totalement dissipee par effetJoule dans la resistance .

8 / 14


3 Regime libre dun circuit RLC

3.1 Conditions initiales

Pour resoudre les equations dun circuit RLC il es necessaire dutilser les conditionsinitiales et les deux conditions suivantes :

I La continuite du courant i (circulant dans la bobine)I La continuite de la tension u aux bornes du condensateur

3.2 Equation differentielle - Facteur de qualite - Pulsationpropre

R

LCq

uc

uRuL

i

Ldi

dt+Ri+ u = 0; i = c

du

dtd2u

dt2+R

L

du

dt+

1

Lcu = 0

d2u

dt2+ 2

du

dt+ 20u = 0

=R

2L: Coefficient damortissement

0 =1Lc

: pulsation propre

On definit le facteur de qualite du circuit RLC par

Q =L0R

=1

Rc0=

1

R

L

c

d2u

dt2+0Q

du

dt+ 20u = 0

de meme lequation en charge q : q = cu

d2q

dt2+0Q

dq

dt+ 20q = 0

9 / 14


3.3 Divers regimes de variation

lequation caracteristique de lequation differentielle r2 + 2r + 20 = 0 avec =02Q

= 2 20 = 20(1

4Q2 1)

3.3.1 Regime aperiodique

Pour un amortissement eleve > 0 > 0 Q < 12 R > 2

L

c

r1,2 = 2 20 donc

u(t) = exp(t)(a exp(2 20t) + b exp(

2 20t))

Portrait de phaseCest la representation de

du

dten fonction de u(t) .

Pour un signal sinusoidal le portrait de phase est un ellipse

du

dt

u

u(t)

t

Q1Q2

Q3

Q1 > Q2 > Q3

Les trajectoires de phase montrent un retour sans oscillation vers le point attracteur a`lorigine .

10 / 14


Ordre de grandeur de la duree du regime librePour t suffisament eleve : u(t) a exp((

2 20)t) = a exp(

t

)

=1

2 20

=+

2 2020

La duree du regime libre est de quelques varie avec le facteur de qualite Q .

3.3.2 Regime critique

= 0, c = 0, Qc =1

2, Rc = 2

L

c

u(t) = (a+ bt) exp(0t) Ordre de grandeur du regime libre

c =1

0

u

t

du

dt

u

Portrait de phase

Qc =1

2 Qc =1

2

Le syste`me tente encore a` contourner lorigine dans le sens horaire mais ne peut yparvenir : il echoue rapidement au point o .

3.3.3 Regime pseudo-periodique

Pour un amortissement faible : < 0; < 0;Q >1

2;R < 2

L

c

r1,2 = i20 2 = i

11 / 14


=20 2

: pseudo-pulsationla solution est :

u(t) = a exp(t) cos(t+ )a; sont des constantes dintegration

=02Q

= 0

1 1

4Q2< 0

Pseudo-periode Tla periode propre T0 =

2pi

0la pseudo-periode :

T =2pi

=

T01 1

4Q2

> T0

Decrement logarithmiqueu(t+ T ) = exp(T )u(t)

= T =02Q

T01 1

4Q2

=2pi

4Q2 1

= ln[u(t)

u(t+ T )]

la duree du regime pseudo-periodique

=1

=

2Q

0

Portrait de phase

12 / 14


4 Reponse dun circuit RLC serie a` un echelon de

tension

4.1 Regime transitoire-Regime libre

E

R

Lu

i

lequation differentielle :

d2u

dt2+0Q

du

dt+ 20u =

20E

la solution de cette equation secrit sous la forme :

u(t) = u1(t) + E

avec :

I E : solution particulie`reI u1(t) : solution generale

u1(t) correspond au regime libre (aperiodique-critique-pseudo-periodique) . Pendantla duree de lexistence du regime libre le circuit RLC se trouve en regime transitoire,cependant au bout de quelques on parvient a` un regime etabli independant du tempsu1 = 0;u = E .Le regime etabli ne depend pas des conditions initiales (i0, u0) car u1(t) 0 lorsquet .

4.2 Aspect energetique

En multipliant lequation E = Ldi

dt+Ri+ u par idt = cdu

Eidt = d(1

2Li2 +

1

2cu2) +Ri2dt = dE + wJ

lintegration entre t = 0 et t =

13 / 14


E

q()q(0)

dq =1

2L(i2 i2(0)) +

1

2c(u2() u2(0)) +

0

Ri2dt

avec : q(0) = u(0) = i(0) = 0 et q() = cE ;u() = E ; i() = 0

cE2 =1

2cE2 + wJ wJ = 1

2cE2

I La bobine nintervient pas dans le bilan energetique globale de la charge ducondensateur .

I Lenergie fournie par le generateur se repartit a` egalite entre la resistance (effetJoule) et le condensateur .

14 / 14

c Boukaddid Cours delectrocinetique sup TSI

Regime sinusoidal force dun circuit RLC

Table des matie`res

1 Diagramme de Fresnel 21.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Application : Etude dun circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Dipoles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Groupement R,L,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Methode des grandeurs complexes-Impedance complexe 52.1 Notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Preliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Application a` une grandeur alternative sinusoidale . . . . . . . . 62.1.4 Derivee et primitive en notation complexe . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Lois de Kirchhoff en notation complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Impedance complexe-Admittance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Dipoles fondamentales R,L,C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Groupement serie de dipoles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.1 Impedance equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.2 Cas du RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Groupement paralle`le de dipoles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Theore`mes generaux 9

4 Resonance dun circuit RLC 104.1 resonance en intensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 Intensite efficace du circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2 Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.3 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.4 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Resonance en tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . 124.2.1 Tension efficace aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . 124.2.2 Resonance en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.3 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 / 13


On sinteresse a` un circuit RLC,soumis a` une tension sinusoidale . Le regime sinusoidalforce setablit rapidement apre`s extinction du regime transitoire .

1 Diagramme de Fresnel

1.1 Definitions

Diagramme de Fresnel : Il sagit dune representation vectorielle des grandeurs sinu-soidales . Vecteur de Fresnel : Il sagit dun vecteur representant une grandeur sinusoidale .Considerons un vecteur

OP de module Vm tournant autour du poit O dans le sens

trigonometrique avec une vitesse angulaire constante .

On choisit laxe OX de reference tq :(OX,

OP ) = a` t = 0

Y

X

P

O

t+

H

H la projection de P sur OX

OH = OP cos(t+ ) = Vm cos(t+ )

Resultat : a` toute grandeur sinusoidale on peut faire correspondre un vecteur deFresnel .v(t) = Vm cos(t+ ) OP tq :||OP || = Vm lamplitude de v(t)(OX,

OP ) = t+ la phase instantannee

I Somme de deux grandeurs sinusoidalesSoient : v1(t) = V1m cos(t + 1) et v2(t) = V2m cos(t + 2) des grandeurs

sinusoidales associees aux vecteursOP1 et

OP2

OP =OP1 +

OP2 donc

v = v1 + v2 = Vm cos(t+ )

2 / 13


XO

P2

P1

P

2

1

I Derivee et primitive dune grandeur sinusoidalev(t) = Vm cos(t+ ) OPdv(t)

dt= Vm sin(t+ ) = Vm cos(t+ + pi

2) OP1

Resultat : la grandeur dvdt

est en quadrature avance par rapport a` v(t)vdt =

Vm

sin(t+ ) =Vm

cos(t+ pi2

) OP2 Resultat : la grandeur

vdt est en quadrature retard par rapport a` v(t)

O

P

P1

P2

X

pi

2

pi2

1.2 Application : Etude dun circuit RLC

1.2.1 Dipoles fondamentaux

Par analogie avec la loi dOhm :

Um = ZIm et Im = Y Um

Um : Amplitude de la tensionIm : Amplitude du courantZ : Impedance modulaire ()Y : Admittance modulaire (1 ou siemens s)

3 / 13


I Resistance pure : u(t) = Um cos(t) = Ri(t) i(t) = UmR

cos(t)

En prenant comme axe de reference la tension,nous obtenons un diagramme tressimple .

Im

Um

= 0

Z = R

I Bobine pure : u(t) = Ldi(t)dt

= Um cos(t) i(t) = UmL

cos(t)dt =

UmL

sin(t)

i(t) =UmL

cos(t pi2

) Im = UmL

; = pi2

;Z = L

pi2

+

Im

Um

Z = L

= pi2

Resultat : Le courant est en quadrature retard par rapport a` la tension .I Condensateur : u(t) = q(t)

C= Um cos(t)

i(t) =dq

dt= CUm sin(t) = CUm cos(t+ pi

2)

On deduit : Im = CUm et = +pi

2

Im

Um

pi

2

+

Z =1

C =

pi

2

Resultat : Le courant est en quadrature avance par rapport a` la tension .

1.2.2 Groupement R,L,C

En serie la grandeur commune est lintensite on la choisit comme axe de reference .i(t) = Im cos(t)

4 / 13


u1 u2 u3

R L C

u

i

u1(t) = RIm cos(t) = U1m cos(t)

u2(t) = L cos(t+pi

2) = U2m cos(t+

pi

2)

u3(t) =ImC

cos(t pi2

) = U3m cos(t pi2

)

axe de reference

Im

U2m

U3m

U1m

Um

U3m U2m

U2m = U21m + (U3m U2m)2 = [R2 + (

1

C L)2]i2m

Z =

R2 + (

1

C L)2

tan =1C LR

cos =R

Z

2 Methode des grandeurs complexes-Impedance com-

plexe

2.1 Notation complexe

2.1.1 Preliminaire

En physique pour ne pas confondre le nombre dHamilton i tq i2 = 1 avec lintensitedu courant on note j2 = 1 .Un nombre complexe peut se mettre sous la forme

5 / 13


z = a+ jb = r(cos + j sin ) = r exp j

a : partie reelleb : partie imaginairer : module : argument

On peut lui associer un vecteurOM dans le plan complexe (uX ,uY )

O

M

Y

Xa

b

uX

uY

r

r =a2 + b2

tan =b

a

2.1.2 proprietes

I z1 = z2 a1 = a2; b1 = b2 r1 = r2; 1 = 2I z = z1z2 r = r1r2; = 1 + 2I z = z1

z2 r = r1

r2; = 1 2

I z = a+ jb z = a jb; z = (r,)I Lexpression du module de z est r =

z.z

I La condition z reel se traduit par z = z

I La condition z imaginaire se traduit par z = z

2.1.3 Application a` une grandeur alternative sinusoidale

Considerons les grandeurs sinusoidales : u(t) = Um cos(t) et i(t) = Im cos(t+ )On peut leur faire correspondre les grandeurs complexes :u(t) = Um exp jt et i(t) = Im exp(jt+ )seules les parties reelles ont un sens physique .Usuellement on pose Im = Im exp j lintensite maximale complexe de i(t)

i(t) = Im exp jt avec|Im| = Im : intensite maximale de i

argIm = : phase a` lorigine de i(t)/u(t)

6 / 13


2.1.4 Derivee et primitive en notation complexe

i(t) = Im exp jtdi

dt= jIm exp jt

di

dt= ji(t)

i(t)dt =1

jIm exp jt

i(t)dt =1

ji(t)

2.2 Lois de Kirchhoff en notation complexe

Dans le cadre de lARQP,en regime sinusoidal les lois de Kirchhoff se generalisent ennotation complexe :

I Loi des Noeuds k

kik = 0

I Loi des mailles k

kuk = 0

2.3 Impedance complexe-Admittance complexe

2.3.1 Definitions

D

i

u

Par analogie avec la loi dOhm :

u = Z.i i = Y .uZ : Impedance complexe

Y =1

Zadmittance complexe

u(t) = Um exp jt et i(t) = Im exp(jt+ ) = Im exp jtla relation precedente se simplifie en

Um = Z.Im

est le dephasage de i/u

I En modules Um = Z.ImI Le dephasage

0 = argZ +

7 / 13


2.3.2 Dipoles fondamentales R,L,C

I Resistance pure : u(t) = R.i(t) u(t) = R.i(t) donc

ZR = R ; Y R =1

R

I Bobine pureu(t) = L

di(t)

dt u = Ldi

dt= jLi

ZL = jL;Y L =1

jL

|ZL| = L et i/u = argZ = arg Y = pi

2(quadrature retard)

I Condensateur u(t) = 1c

i(t)dt u = 1

c

idt =

1

jci

Zc =1

jc;Y c = jc

i/u =pi

2(quadrature avance)

2.4 Groupement serie de dipoles passifs

2.4.1 Impedance equivalente

Z1 Z2 ZN Zeq

u1 u2 uN u

u

u =k

Zki = Zeqi

Zeq =k

Zk

2.4.2 Cas du RLC serie

RL c

i

u

i(t) = Im cos(t+ ) et u(t) = Um cos(t+ )en utilisant les impedances complexes :Z = ZL + ZR + Zc

8 / 13


Z = R + j(L 1c

)

Im =Um|Z| =

UmR2 + (L 1

c)2

tan = L 1

cR

avec cos > 0

2.5 Groupement paralle`le de dipoles passifs

i

u

D1

DN

i =k

ik =k

Y ku

Y eq =k

Y k;Zeq =1

Y eq

3 Theore`mes generaux

Les lois de kirchhoff et les theore`mes generaux qui decoulent de la linearite du syste`mese generalisent au regime sinusoidal dans le cadre de la representation complexe . Toutles theore`mes vu precedement restent valables a` condition de remplacer chaque dipolepar son impedance complexe ou son admittance complexe .

9 / 13


4 Resonance dun circuit RLC

4.1 resonance en intensite

4.1.1 Intensite efficace du circuit

i

u(t)

L

R

c

u(t) = U

2 costi(t) = I

2 cos(t+ )

En notation complexeu = U

2 exp jt

i = I

2 exp(jt+ ) = I

2 exp jt

u = Z.i avec Z = R + j(L 1c

)

I exp j =U

R + j(L 1c

)et () = arctan

L 1c

R

On definit :

I Pulsation propre du circuit : 0 =1Lc

I Facteur de qualite du circuit : Q = L0R

=1

RC0

I Pulsation reduite du circuit : X = 0

I(X) =

U

R1 +Q2(X 1

X)

(X) = arctan (Q(X 1X

))

4.1.2 Resonance

Il se produit le phenome`ne de resonance en courant lorsque lintensite efficace I est

maximale Xr 1Xr

= 0 Xr = 1 r = 0 et (Xr) = 0 Resultat : La pulsation de resonance en intensite est egale a` la pulsation propre ducircuit, et le courant est en phase avec la tension a` la resonance quelque soit le facteurde qualite Q du circuit RLC serie .

r = 0 et (r) = 0

10 / 13


4.1.3 Bande passante

A` la resonance lintensite efficace est maximale Imax =U

R.

On appelle bande passante en pulsation reduite lintervalle X = X2X1 pour lequelImax

26 I(X) 6 Imax

I(X) =Imax

2 1 +Q2(X 1

X)2 = 2 X 1

X= 1

Q X2 X

Q 1 = 0 on prend

les solutions positives

X1 = 12Q

+1

2

1

Q2+ 4

X2 =1

2Q+

1

2

1

Q2+ 4

La bande passante en pulsation reduite

X = X2 X1 = 1Q

La bande passante en pulsation

=0Q

=R

L

La bande passante est dautant plus etroite que le facteur de qualite est plus eleve .

4.1.4 Aspect graphique

I(x) 0 lorsque X 0 ou X cest le comportement limite du condensateur etdu bobine . Y c = jc 0 lorsque 0 un condensateur se comporte comme une coupe -circuit aux tres basses frequences .

Y L =1

jc 0 lorsque la bobine se comporte comme une coupe circuit aux

frequences eleves .

11 / 13


I

Imax

Imax2

XX1 X21

pi

2 pi

4

pi4

pi2

X

4.2 Resonance en tension aux bornes du condensateur

4.2.1 Tension efficace aux bornes du condensateur

RL

Cu

i

uc

uc(t) = Uc

2 cos(t+ )i(t) = I

2 cos(t+ )

u(t) = U

2 cost

uc =ZcZu =

u

jc[R + j(L 1c

)]

12 / 13


Uc exp j =U

1 Lc2 + jRc Uc =U

(1 Lc2)2 +R2c22

Uc =U

(1X2)2 + X2

Q2

4.2.2 Resonance en tension

Il existe une resonance en tension aux bornes du condensateur , lorsque la tensionefficace Uc aux bornes du condensateur passe par un maximum pour une certaine

valeur Xr =r0

(r pulsation de resonance ) .

A` la resonance la fonction f(X) = (1X2)2 + X2

Q2doit etre minimale

(df

dx)X=Xr = 0 2Xr[2(1 X2r ) +

1

Q2] = 0 X2r = 1

1

2Q2> 0 ce qui exige

Q >12

donc r = 0

1 1

2Q26= 0

Pour Q 12

La pulsation de resonance en tension r = 0

1 1

2Q2

Dephasage : U cm =1

jcIcm =

pi

2La courbe representant en fonction de se deduit directement a` partir de la courbe

= f() par un simple decalage vers le bas de pi2

.


Uc

X

X

1

pi2

piQ = 0, 5

Q = 1

Q = 1, 5

13 / 13


Puissance en regime sinusoidal

Table des matie`res

1 Puissance instantanee 21.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Puissance moyenne 22.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Puissance moyenne dun resistor - grandeurs efficaces . . . . . . . . . . 32.3 Puissance moyenne en regime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Puissance en notation complexe 43.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Adaptation dimpedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 / 5


1 Puissance instantanee

1.1 Expression

Di

u

Dans le cadre de la convention recepteur la puissance consommee par un dipole electrocinetique(D) est definie par :

P (t) = u(t).i(t)

En regime sinusoidal u(t) = Um cost et i(t) = Im cos(t+ )

P (t) = UmIm cost. cos(t+ ) =Um.Im

2[cos+ cos(2t+ )]

Donc la puissance P (t) est une fonction periodique de pulsation p = 2

La periode Tp =2pi

p=pi

=T

2

1.2 Aspect graphique

P

t

Um.Im2

cos

Tp

Au cours dune periode T le dipole se comporte reellement : Comme un recepteur si P > 0 comme un generateur si P < 0

2 Puissance moyenne

2.1 Definition

Dans le cas de signaux periodiques (u(t) et i(t)) on definit la puissance moyenneconsommee par un dipole electrocinetique par :

2 / 5


Pm =1

T

T0

P (t)dt en watt : w

Remarque : En regime sinusoidal cette puissance est appelee puissance active .

2.2 Puissance moyenne dun resistor - grandeurs efficaces

En regime continu (I = cte) la puissance moyenne consommee par effet Joule secritPm = U.I = R.I

2

En regime variable la puissance moyenne consommee :

Pm =1

T

T0

P (t)dt =1

T

T0

Ri2(t)dt

Definition : On appelle intensite efficace I la valeur de lintensite du courant continuqui produirait le meme effet Joule quen regime periodique .Pm = R.I

2 donc lintensite efficace est :

I2 =1

T

T0

i2(t)dt

Pour un courant sinusoidal i(t) = Im cos(t+ )

I2 =I2mT

T0

cos2(t+ )dt =I2m2T

T0

(1 + cos(2(t+ )))dt avec T = 2pi

I =Im

2

Valeur efficace dune tension sinusoidaleIl sagit de la valeur quadratique moyenne de la tension u(t) = Um cos(t+) sur uneperiode T .

U =Um

2

2.3 Puissance moyenne en regime sinusoidal

u(t) = Um cost et i(t) = Im cos(t+ )

P (t) = u(t).i(t) =Um.Im

2[cos+ cos(2t+ )]

Pm =1

T

T0

P (t)dt =Um.Im

2[cos+

1

T

T0

cos(2t+ )dt]

Pm =Um.Im

2cos

avec Um = U

2 et Im = I

2

Pm = U.I cos

I La puissance moyenne represente la puissance active consommeeI Le produit U.I designe la puissance apparente (V.A) du dipole

3 / 5


I cos est appele facteur de puissance Exemples

I Puissance moyenne dun condensateur et dune bobinePour un condensateur le courant est en avance de

pi

2par rapport a` la tension

Pour une bobine le courant est en retard depi

2par rapport a` la tension

Donc cos(pi2

) = 0 donc Pm = 0

Le condensateur et la bobine emmagasinent de lenergie pendant une alternanceet restituent cette energie lors de lalternance suivante .

I Cas de RLC serie

RL C

uR uL uc

u

i

u = uR + uL + ucPm = PR + PL + Pc = PR = RI

2

La seule energie consommee lest par effet Joule dans la resistance .

3 Puissance en notation complexe

3.1 Definition

On definit la puissance complexe P consommee par le dipole par

P =1

2u.i

i complexe conjugue de iu = U

2 exp jt et i = I

2 expj exp jt = I

2 exp jt P = U.I = U.I exp j

P = UI(cos+ j sin)

I la puissance active ou moyenne (w)

Pm = Rel(P )

I la puissance reactive (V.A)

Im(P ) = pr

4 / 5


3.2 Adaptation dimpedance

i

Zg

D

u

e

Considerons un dipole D dimpedance Z = R + jX,alimente par un generateur def.e.m e(t) = E

2 cost dimpedance interne Zg = Rg + jXg .

La puissance moyenne consommee par un dipole D est :Pm = Rel(Z).I

2 = R.I2

loi de Poouillet : i =e

Zg + Z=

e

Rg +R + j(Xg +X) I2 = E

2

(Rg +R)2 + (Xg +X)2

Pm =RE2

(Xg +X)2 + (Rg +R)2

Pm = f(R,X)

Pm est maximale : (PmR

)Xfixe = 0 et (PmX

)Rfixe = 0

Pour simplifier les calculs on utilise la derivee logarithmique1

Pm(PmX

)R = ( lnPmX

)R = 2(Xg +X)(Rg +R)2 + (Xg +X)2

= 0 donc X = Xg1

Pm(PmR

)X = ( lnPmR

)X =1

R 2(Rg +R)

(Rg +R)2 + (Xg +X)2=

Rg RR(Rg +R)

= 0 donc

R = Rg Resultat :Pm est maximum si

Z = Zg R = Rg;X = Xg

5 / 5


Diagramme de Bode des filtres du premier et second ordre

Table des matie`res

1 Fonction de transfert dun circuit lineaire 21.1 Ordre dun circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fonction de transfert harmonique H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Stabilite dun circuit lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Crite`re de stabilite en regime sinusoidal force . . . . . . . . . . . 31.3.3 Crite`re de stabilite en regime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Diagramme de Bode dun filtre 42.1 Gain en decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Pulsation de coupure c - bande passante a` 3dB . . . . . . . . 42.2.3 Diagramme asymptotique-diagramme reel . . . . . . . . . . . . 5

3 Filtre dordre un 53.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Dephaseur ou filtre passe tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Filtres dordre 2 84.1 Filtre passe bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Filtre passe bande dordre deux : resonance en intensite . . . . . . . . . 124.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Filtre coupe bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Dephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Filtres actifs 155.1 Proble`me des filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 / 16


Le filtrage est une forme de traitement de signal qui consiste :

I Selectionner une partie de linformation utile dans un signal et le transmettre(transmission de quelques frequences du signal et attenuation des autres)

I Eliminer les frequences parasites dans un signalI Un filtre est tout circuit lineaire realisant loperation filtrage

1 Fonction de transfert dun circuit lineaire

1.1 Ordre dun circuit

Circuitdetude

e(t) s(t)

Du fait de la linearite du syste`me les signaux e(t) et s(t) sont reliees par une equationdifferentielle de type :

a0s+ a1ds

dt+ ...+ an

dns

dtn= b0e+ b1

de

dt+ ...+ bm

dme

dtm

Definition : On appelle ordre du circuit lineaire,lordre de lequation differentielle lineaireassociee cest-a`-dire lordre de la derivation le plus eleve (n si n > m)

Exemples

e(t)

LR

Cus

e(t) = us +Rcdusdt

+ Lcd2usdt2

circuit dordre 2

1.2 Fonction de transfert harmonique H

Circuitlineaire

ue(t) us(t)

Le signal dentree est suppose sinusoidal, du fait de la linearite du syste`me le signal desortie est aussi sinusoidal .On definit la fonction de transfert harmonique par :

2 / 16


H(j) =usue

cette fonction permet de determiner lamplitude et le dephasage du signal de sortieus(t) par rapport a` ue(t) .

H(j) = H() exp j avec = s e

Us = H()Ue

s = e + arg(H(j))

A` partir de lequation differentielle :

a0s+ a1ds

dt+ ...+ an

dns

dtn= b0e+ b1

de

dt+ ...+ bm

dme

dtm

En regime harmoniqued

dt j

H(j) =b0 + b1j + ...+ bm(j)

m

a0 + a1j + ...+ an(j)n

1.3 Stabilite dun circuit lineaire

1.3.1 Definition

un circuit est dit stable lorsque sa reponse s(t) , a` un signal dentree e(t) restantborne,ne diverge pas quelque soient les prame`tres du signal dentree et les conditionsinitiales du syste`me .

1.3.2 Crite`re de stabilite en regime sinusoidal force

Notons p = j , la fonction de transfert secrit sous la forme :

H(j) =N(j)

D(j)=b0 + jb1 + ...+ (j)

mbma0 + ja1 + ...+ (j)nan

=b0 + b1p+ ...+ bmp

m

a0 + a1p+ ...+ anpn

Definition : On appelle poles de fonction H(p)les racines de lequation D(p) = 0.Afin que H(p) ne diverge pas , il faut que les poles pk ne soient pas des imaginairespurs (si non pour k telle que pk = jk ,H devient infini).

Dautre part : lorsque H(p) bmanp(mn)

H(p) reste fini si m 6 n

1.3.3 Crite`re de stabilite en regime libre

I Syste`me du premier ordreEn regime libre : a0s+ a1

ds

dt= 0 s(t) = k exp(a0

a1t)

Lorsque t le signal diverge si a0 et a1 ont des signes contraires .

Resultat : Un syste`me du premier ordre est stable si les coefficients a0 et a1 de lequationdifferentielle ont le meme signe .

3 / 16


I Syste`me du second ordrea0s+a1

ds

dt+a2

d2s

dt2= 0 on montre le syste`me est stable si les coefficients a0, a1, a2

ont le meme signe

2 Diagramme de Bode dun filtre

2.1 Gain en decibel

ue = Uem exp jt et us = Usm exp j exp jtOn appelle gain du filtre G() tq

G() = |H(j)|

() = argH(j)

Definition : On appelle gain en decibels (dB)(grandeurs electriques)

G(dB) = 20 logG()

Remarque : Pour des grandeurs energetiques (ou de puissance) le gain en decibelsest defini par :

X(dB) = 10 log(p1p2

)

2.2 Diagramme de Bode

2.2.1 Definition

On appelle diagramme de Bode dun filtre lensemble de deux graphes :

I G(dB) = f(log) : courbe de reponse en gainI = f(log) : courbe de reponse en phase

On appelle decade un intervalle de log egale a` 1 (2 = 101)

2.2.2 Pulsation de coupure c - bande passante a` 3dB La pulsation de coupure c dun filtre est definie par :

G(c) =Gmax

2

GdB(c) = GdB(max) 3 La bande passante dun filtre est lintervalle de pulsation qui satisfait a` :

Gmax26 G() 6 Gmax

4 / 16


2.2.3 Diagramme asymptotique-diagramme reel

Il sagit de representer les asymptotes,associees a` 0 et ,des graphes GdB =f(log)On deduit ensuite le diagramme reel en faisant intervenir la pulsation de coupure .

3 Filtre dordre un

3.1 Filtre passe bas

La fonction de transfert dun filtre passe bas secrit sous la forme :

H(j) =1

1 + j

c

avec c : la pulsation de coupure

G() =1

1 + (

c)2

= arctan( c

)

ExemplesR

Cue us

H(j) =usue

=zc

zR + zc

H(j) =1

1 + jRc=

1

1 + j

c

donc c =1

Rc

G() =1

1 +R2c22

G(0) = Gmax = 1 et G(c) =12

=Gmax

2

la bande passante du filtre passe bas tq :Gmax

26 G() 6 Gmax

donc la bande passante est [0, c]

Si >> c H(j) = 11 + j

c

cj

=usue dus

dt= cue

5 / 16


us = c

uedt

Resultat : En haute frequence le filtre passe bas du premier ordre se comporte comme unintegrateur Diagramme de BodeG(dB) = 20 logG = 20 log

11 + (

c)2

= 20 log1

1 + x2avec x =

c

pour x 0+ ,G(dB) 0 asymptote horizontale . pour x + ,G(dB) 20 log x asymptote oblique de pente 20dB par decade

= argH(j) = arctanx pour x 0, 0 pour x +, pi

2

G(dB)

log x

log x

pi4

pi2

3dB20dB /decade

3.2 Filtre passe haut

La fonction de transfert dun filtre passe haut secrit sous la forme :

H(j) =j

c

1 + j

c

G =1

1 + (c

)2

G() = 1 = Gmax et G(c) = Gmax2

=12

la bande passante du filtre passe haut est : [c,] Pour


us =1

c

duedt

Resultat : En basse frequence le filtre passe haut du premier ordre se comporte commeun derivateur

Exemple

ueus

C

R

H(j) =usue

=jcR

1 + jcR=

j

c

1 + j

c

c =1

Rc

Diagramme de Bode G(dB) = 20 log 1

1 + (c

)2= 10 log(1 + 1

x2)

x G(dB) 0 x 0 G(dB) 20 log x = pi

2 arctanx

x 0 pi2 x 0

G(dB)

log x

log x

20dB/decade

pi

2

pi

4

3.3 Dephaseur ou filtre passe tout

La fonction de transfert dun dephaseur secrit :

7 / 16


H(j) =1 j

c

1 + j

c

G() = |H(j)| = 1

donc le dephaseur naffecte pas lamplitude quelque soit la frequence f .

= argH(j) = 2 arctan c

= 2 arctanx

x 0 0 x pi

log x

pi2

pi

4 Filtres dordre 2

4.1 Filtre passe bas

4.1.1 Definition

La fonction de transfert dun filtre passe bas dordre 2 secrit sous la forme :

H(j) =20

(j)2 +0Q

(j) + 20

Q : facteur de qualite du circuit0 : pulsation propre du circuitOn pose p = j

H(p) =20

p2 +0Qp+ 20

=1

1 + jx

Q+ (jx)2

avec x =

0 Exemple

8 / 16


RL

Cue

us

ie

H(j) =usue

=

1

jc1

jc+ jL +R

=1

1 + jRc Lc2 =1

1 + jx

Q+ (jx)2

0 =1Lc

et Q =L0R

=1

Rc0


Conside`rons lequation p2 +0Qp+ 20 = 0 avec p = j

=20Q2 420 = 20(

1

Q2 4)

I Premier cas : > 0 Q < 12

p1 = 02Q

+02

1

Q2 4

p2 = 02Q 0

2

1

Q2 4

On pose

p1 = 1; p2 = 2On verifie que

1.2 = 20

H(j) =20

(j + 1)(j + 2)=

1

(1 + j

1)(1 + j

2)

G(dB) = 20 log1

1 + (

1)2

+ 20 log1

1 + (

2)2

= G1 +G2

() = arctan(H(j)) = 1 + 2

9 / 16


G(dB)

log xlog

10

log20

40dB/decade

20dB/decade

log x

pi2

pi

log10

log20

I Deuxie`me cas : = 0 Q = 12

H(j) =1

(1 + j

0)2

G(dB) = 20 log1

1 + (

0)2

= 2G(filtre passe bas)

G(dB)

log x

log x

pi40dB/decade

I troisie`me cas : < 0 Q > 0 : Resonance en tension

H(j) =1

1 ( 0

)2 + j1

Q

0

G(dB) = 20 log1

(1 ( 0

)2)2 +1

Q2(

0)2

= 20 log1

(1 x2)2 + x2

Q2

> 0 ; G 40 log

0asymptote de pente 40dB /decade

G presente un maximum si : ddx

[(1 x2)2 + x2

Q2] = 0 x2r = 1

1

2Q2

= 0

1 1

2Q2

10 / 16


= arctan1

Q

0

1 ( 0

)2

> 0 pi

G(dB)

log x

log x

pi40dB/decade

Q1 >12

Q2 > Q1

pi2

4.2 Filtre passe haut

4.2.1 Fonction de transfert

H(p) =p2

p2 +0Qp+ 20

H(j) = 2

20 2 + j0Q

=1

1 20

2 j 1

Q

0

=(jx)2

1 + jx

Q+ (jx)2

G(dB) = 20 log1

1 (0

)2 +1

Q2(0

)2

En remplacant

0par

0

on retrouve le G du filtre passe bas .

= (filtre passe bas)+ arg(2)=(filtre passe bas)+pi

11 / 16



G(dB)

log x

log x

pi

2

pi

Q 1 : La courbe se trouve au dessus des asymptotes

= arctan[Q(x 1x

)] = (filtre passe bas)+pi

2

13 / 16


G(dB)

log x

(1)

(2)

pente de 20dBpar decade

pente de 20dBpar decade

pi

2

pi2

log x

Q1 < 1 : courbe au dessous des asymptotesQ2 > 1 : courbe au dessus des asymptotes

Plus Q est grand plus le filtre est selectif

4.4 Filtre coupe bande

la fonction de transfert dun coupe bande

H(p) =p2 + 20

p2 +0Qp+ 20

H(j) =1

1 + j1

Q

0

20 2

G(dB) = 20 log1

1 +1

Q2(

020 2

)2

= (passe bas)+ arg(20 2)

0 = ; G > 0 ; G 0 (p.b) + pi

14 / 16


G(dB)

log x

log x

pi

2

pi2

4.5 Dephaseur

H(p) =

p2 0Qp+ 20

p2 +0Qp+ 20

|H| = 1 pas dattenuation

= 2(passe bas)

log x

2pi

5 Filtres actifs

5.1 Proble`me des filtres passifs

Les impedances de sortie et dentre ne sont pas adaptees Le gain en bande passante ne depasse pas un

15 / 16


I Les filtres actifs utilisent les amplificateurs operationnelsI Les filtres passifs sont utilisees en hautes frequences et puissance elevee (limita-

tion des O.A)

5.2 Exemple

ve

R

R

R C

rr

CA

B

vs

Millman en A et B

vB = v+ = v =1

1 + vs

H(j) = k

j0Q

(j)2 + j0

Q+ 20

0 =

2

Rc;Q =

2

4 ; k =1 +

4

16 / 16

c S.Boukaddid TP-Cours 2 delectronique sup TSI

Amplificateur operationnel en regime lineaire

Table des matie`res

1 AO reel - AO ideal 21.1 Description de lAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Fonctionnement lineaire dun AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Syste`me lineaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Cas du regime continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Comportements non lineaires dun AO : phenome`nes de saturations . . 31.3.1 Saturation en tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Limitation en courant de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.3 Vitesse de balayage : limitation en frequence (slew-rate) . . . . . 4

1.4 AO ideal en regime lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.1 AO ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Propriete fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Amplificateur non inverseur 52.1 Modelisation dun amplificateur lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Amplificateur ideal en regime continu . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Amplificateur reel-Resistance dentree et de sortie . . . . . . . . 62.1.3 Cas dun regime sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Amplificateur non inverseur a` AO en regime lineaire . . . . . . . . . . . 62.3 Stabilisation du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Amplificateur ideal de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Amplificateur a` AO reel en regime sinusoidal . . . . . . . . . . . 7

3 Montages usuels a` AO ideal 83.1 Suiveur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Sommateur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Soustracteur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Integrateur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 derivateur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 / 12


Lamplificateur operationnel,designe par AO dans la suite du cours,est un syste`meelectronique complexe,du type circuit integre compose de resistance , condensateurdiodes , transistors .

1 AO reel - AO ideal

1.1 Description de lAO

1 2 3 4

5678

1 : reglage de loffset2 : Entree inverseuse (-)3 : Entree non inverseuse (+)4 : Polarisation negative (Vcc = 15V )5 : Reglage de la tension de decalage (offset)6 : Sortie7 : Polarisation positive (+Vcc = 15V )8 : Borne non connecteeExemples : TL081 , CA741 , A741Shematiquement on represente AO par

+

(2)

(3)(2)

(3)

(6) (6)E+

Es

E+ : Entree non inverseuseE : Entree inverseuse

1.2 Fonctionnement lineaire dun AO

1.2.1 Syste`me lineaire du premier ordre

us

2 / 12


La tension de sortie us est reliee a` par lequation suivante :

dusdt

+ us =

: temps de relaxation du syste`me 102s : Coefficient damplification : gain en regime continue = 105

lequation precedente secrit sous la forme suivante

us

=

1 + j

0

avec 0 =1

1.2.2 Cas du regime continu

En regime continu lequation precedente devient

Us =

1.3 Comportements non lineaires dun AO : phenome`nes desaturations

1.3.1 Saturation en tension

En regime continue faisons varier entre 0 et +0 la reponse est comme suit :us

+

Usat

Usatsaturation basse

saturation haute

+0

0

En pratique Usat = Vsat = 15V Pour > M : saturation haute (phenome`ne non lineaire) Pour < M : saturation basse Dans le cas dun signal sinusoidal us(t) damplitude Usm superieur a` Usat

3 / 12


us

t

+Usat

Usat

saturation

Ordre de grandeur : Usat = 13V ,Vcc = 15V , = 105 M = Usat

104V

Conclusion : En regime lineaire dun AO reel,la tension est tres faible < M .

1.3.2 Limitation en courant de sortie

Le courant de sortie is produit un echauffement des composantes internes en circulantdans lAO . Pour eviter la deterioration de leurs composants,les AO sont en generalmunis de limiteurs de courant de sortie is < Imax 20mA .

1.3.3 Vitesse de balayage : limitation en frequence (slew-rate)

Dans la structure des AO,il existe une vitesse limite de variation de tension us ditevitesse de balayage notee avec

|dusdt| 6 0, 5V.s1

La vitesse de balayage caracterise le temps de reponse t dun AO .

=ust

augmente t diminueus

t

us

t

tpas de limitation en frequence limitation en frequence

4 / 12


La vitesse de balayage est responsable sur la triangularisation de us .us(t) = Usm cos(t+ ) telque Usm. > .

Il existe un intervalle de temps pour laquelle |dusdt| = Usm| sin(t+ )| >

on doit poser |dusdt| = us(t) = .t+ cte variation affine de us(t) dans t .

1.4 AO ideal en regime lineaire

1.4.1 AO ideal

Un AO ideal est un amplificateur differentiel de tension :

I de gain infini : I de courants nuls en entree : i+ = i = 0

1.4.2 Propriete fondamentale

Pour eviter le phenome`ne de saturation en tension il faut que us < Usat

En regime lineaire us = on deduit que =us6 Usat

avec donc 0

En regime lineaire de lAO ideal = 0

us

Usat

+Usat

RemarqueI La puissance fournie en entree est nulle :i+ = i = 0 P+ = U+.i+ = 0, P = U.i = 0

I Lenergie consommee par la charge et par les composantes internes de lAO estpreleve des sources dalimentation (+Vcc et Vcc)

2 Amplificateur non inverseur

2.1 Modelisation dun amplificateur lineaire

2.1.1 Amplificateur ideal en regime continu

Un operateur qui amplifie la tension dentree (us > ue) sans prelever denergie en entreeest appele amplificateur ideal de tension .

Gain de lamplificateur G0 = usue

> 1

5 / 12


ueus

ie = 0

G0ue

2.1.2 Amplificateur reel-Resistance dentree et de sortie

ue us

ie

Rs

GueRe

2.1.3 Cas dun regime sinusoidal

ueus

ie

zs

H.ueze

Lamplificateur est conside`re comme ideal si : ze =, zs = 0

2.2 Amplificateur non inverseur a` AO en regime lineaire

Conside`rons le montage suivant

r

e

ve

i = 0

ie = i+ = 0

R

Ru

Rve

i

vs

is

i

operateur amplification

6 / 12


2.3 Stabilisation du montage

= ve ve est lie a` vs par : dvsdt

+ vs =

ie = i+ = i = 0 , ve = ve + = e rie = e ,ve = Ri =

R

R +Rvs on pose =

R

R +Rlequation devient

dvsdt

+vs

(1 + ) =e

la solution de lequation homoge`ne (regime transitoire)

vs = K exp[(1 + ) t

] 0, t donc loperateur a` AO est stable

2.3.1 Amplificateur ideal de tension

si on suppose que lAo est ideal = 0ve = v

e = vs G =

vsve

=1

=R +R

R

vsGveve

Operateur damplification

2.3.2 Amplificateur a` AO reel en regime sinusoidal

En regime sinusoidal lAo se comporte comme un filtre passe bas de fonction de transfert

h =vs

=

1 + j

0

avec 0 =1

0 represente la pulsation de coupure ou la bande passante de lAo

ve =R

R +Rvs =

vsG

, ve = + ve = vs(

1

h+

1

G)

vsve

=1

1

h+

1

G

=1

1

+

1

G+ j

0

=

G

(+G)

1 + j

0

G

(+G)

vsve

=

1 + j

0

avec =G

+Get 0 =

0(+G)

G

7 / 12


.0 = .0 = cte

Ce facteur est appele facteur de merite ou le produit gain x bande passante Resultat : Le produit gain x bande passante est le meme pour un AO en boucle fermeou en boucle ouverte .

3 Montages usuels a` AO ideal

3.1 Suiveur de tension

= 0

ve

vsRc

+

AO ideal : i = i+ = 0, = 0 v+ = v = ve or v = vs ve = vsve = vs

donc on peut modeliser le suiveur par un amplificateur ideal de tension de gain 1,dimpedancedentree infini et dimpedance de sortie nulle .

Suiveur

ve = e evs

La puissance delivree a` la resistance de charge Rc est

Ps =v2sRc

=e2

Rc= Pmax

Conclusion : En suiveur la puissance maximale disponible de la source de tension aete transmise integralement a` la resistance de charge . Le suiveur est un adaptateurdimpedance .

8 / 12


3.2 Amplificateur inverseur

-

+

R

R

us

ue

ie

ie

0

v+ = v = 0 et v =

ueR

+usR

1

R+

1

R

= 0

G =usue

= R

R

supposons que R > R donc on peut modeliser lamplificateur inverseur par le montageamplificateur non ideal de tension de gain G et de resistance dentree R =

ueie

ie

ueR Gue

us

cet operateur damplification consomme de lenergie en entree ce qui constitue un defautpar rapport a` lamplificateur non inverseur .Remarque : si R = R on obtient us = ue cest un changeur de signe .

3.3 Sommateur de tension

R

R

R

ve1

ve2

vs

-

+

ie

9 / 12


v+ = v = 0 et v =

vsR

+ve1R

+ve2R

1

R+

1

R+

1

R

= 0

vs = (ve1 + ve2) sommateur inverseur

3.4 Soustracteur de tension

R

vs

-

+

R

R

R

ve2ve1

AO ideal : v+ = v avec v+ =

ve1R

1

R+

1

R

et v =

vsR

+ve2R

1

R+

1

Rv = v+ vs + ve2 = ve1

vs = ve1 ve2

3.5 Integrateur simple

vs

-

+

R

ve

uc

k

ie

10 / 12


a` t = 0 on ouvre linterrepteur (k) uc(0) = 0

ue = Rie, ie =dq

dt= c

ducdt

et vs = ucie = cdvs

dt=veR

vs = 1RC

vedt

En regime sinusoidal ve = Vm exp(jt)

v = v+ =

vszc

+veR

1

zc+

1

R

= 0 vs = veRzc =

vejRc

donc vs = 1

Rc

vedt vs(t) =

1

Rc

ve(t)dt

Remarque : En pratique , il se produit le phenome`ne de derive en tension du auxcourants de polarisation dun AO reel,donc on realise le montage pseudo-integrateur

vs

-

+

R

ve

uc

ie

R

v = v+ =

vszc//R

+veR

1

zc//R+

1

R

= 0 vsve

=1

R(zc//R)

zc//R =

R

jc

R +1

jc

=R

1 + jRc

doncvsve

=R

R1 + jRc

=R

R

1 + j

0

Si >> 0 = 1Rc vs

ve R

R

1

j

0

11 / 12


vs =1Rc

vedt

3.6 derivateur simple

vs

-

+

ve

ie

R

Cie

ie = cduedt

= ueR us = Rcdue

dt

v = v+ = 0 =

vezc

+vsR

1

zc+

1

R

vs = R

zcve = jRcve

vs = Rcdvedt

En pratique on utilise le montage pseudo-derivateur

vs

-

+

ve

ie

R

C ieR

v = v+ = 0 =

veR + zc

+vsR

1

zc +R +

1

R

vs = RR +

1

jc

ve =jRc

1 + jRcve

si


Amplificateur operationnel en regime non lineaire

Table des matie`res

1 Comparateur a` AO 21.1 Comparateur simple en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Comparateur en boucle fermee : trigger de schmitt . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Stabilisation du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Comparateur a` hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Multivibrateur astable 42.1 Montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Etude theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 / 6


1 Comparateur a` AO

Il sagit doperateur a` AO suppose ideal,en regime non lineaire ( 6= 0) on obtient a` lasortie Saturation basse si < 0 Saturation haute si > 0

1.1 Comparateur simple en boucle ouverte

Cet operateur a` AO va permettre de comparer une tension ve(t) appliquee sur uneentree (+) (par exemple) et une tension de reference vr sur lautre entree .

+

-

vevr vs

= v+ v = ve vrsi ve > vr > 0 saturation hautesi vr > ve < 0 saturation basse

vs

vevr

Remarque : Si lon permute les deux entrees,le comparateur est dit inverseur .En pratique la caracteristique de transfert est visualise en mode XY de loscilloscope.

2 / 6


1.2 Comparateur en boucle fermee : trigger de schmitt

1.2.1 Montage

+

-

ve

i

i

R1R2

vr

vs

On pose

=R1

R1 +R2

vr = (1 )vr =R2

R1 +R2vr

1.2.2 Stabilisation du montage

Pour montrer linstabilite du montage on conside`re que lAO est reel tq vs et sontrelies par lequation : on suppose que vr = 0

dvsdt

+ vs =

v+ = R1i =R1

R1 +R2vs = vs et = vs ve

dvsdt

+ (1 )vs = ve

>> 1 vs = k exp(t), t (solution de lequation SSM)

donc vs diverge et lAO sature en tension .

1.2.3 Comparateur a` hysteresis

v+ = vr +R1i = vr +R1vs vrR1 +R2

= vr + (vs vr) = vs + vr

= v+ v = vs + vr veI Saturation haute > 0 ve < vs + vr = Vsat + vr = ve2

3 / 6


I Saturation basse < 0 ve > Vsat + vr = ve1I Cycle dhysteresis

vs

veve1 ve2vr

A0

A1

A2

A0

+Vsat

Vsat

On part du point A0 tq vs = +Vsat > 0On augmente la tension jusqua` v

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Electrocinétique Sup