Problem 1

Water from a treatment plant is pumped into a distribution system at a rate of 4.38 m3

s, a

pressure of 480 KPa, and a temperature of 20°C. The pipe has a diameter of 750 mm and is made of ductile iron. Estimate the pressure 200m downstream of the treatment plant if the pipeline remains horizontal. Compare the friction factor estimated using the Colebrook equation to the friction factor estimated using the Jain equation. After 20 years in operation, scale buildup is expected to cause the equivalent sand roughness of the pipe in increase by a factor of 10. Determine the effect on the water pressure 200m downstream of the plant.

Problema 1

El agua de una planta de tratamiento es bombeada en un sistema de distribución en una

circulación de 4.38 m3

s, una presión de 480 KPa, y una fiebre de 20°C. El tubo tiene un diámetro

de 750 mm y está hecho del hierro dúctil. Calcule la presión 200 m río abajo de la planta de trato si el gasoducto se queda horizontal. Compare el factor de rozamiento que usa la ecuación de Colebrook con el factor de rozamiento calculado usando la ecuación de Jain. Después de que 20 años en la operación, la acumulación de balanza es esperada causar la aspereza de arena equivalente del tubo de la que aumentar por un factor de 10. Determine el efecto sobre el presión del agua sobre el agua 200 m río abajo de la planta de trato.

Procedimiento:

Datos:

Q=¿ 4.38 m3

s

P¿=¿480 KPa

T=¿20°C

D=¿750 mm

L=¿200 m

Pout=¿?

Para la resolución del problema se3 utilizara las siguientes ecuaciones que son las que se necesitan:

La ecuación de la energía (D. Bernoulli, 1738)

P¿

γw+ z+V ¿

2

2 g=Poutγw

+ z+V out

2

2g+h¿−out

Donde para establecer las perdidas (h¿−out ¿, se requiere trabajar con las ecuaciones de Colebrook y de Jain.

Para operar con las ecuaciones, necesitamos los siguientes datos:

El factor de rugosidad, que, para una tubería de hierro dúctil es: ϵ=0.25mm según el libro de Streeter.

Ecuación de Reynolds (O. Reynolds, 1883)

ℜ=V∗Dѵ

Dónde: V es la velocidad del fluido expresada en ms

D es el diámetro de la tubería expresado en m

Ѵ es la viscosidad cinemática expresada en m2

s

Es evidente que el número de Reynolds no tiene una unidad representativa.

Para determinar Reynolds necesitamos la velocidad la misma que la obtenemos de la fórmula del

caudal Q=A∗V , con los datos de Q=4.38 m3

s (caudal) y de A=π∗D2

4=0.4417m2 (área),

obtenemos la velocidad correspondiente: V=9.91ms

.

Adicional a la velocidad necesitamos el valor de la viscosidad ѵ , según el libro de Streeter, apéndice C, tabla C1 la viscosidad para una temperatura de 20°C es: ѵ=1.007E-6

Con los valores de la velocidad, viscosidad y diámetro en sus respectivas unidades, calculamos Reynolds, que resulta: ℜ=7380834.16

Ecuación de Colebrook (C. F. Colebrook, 1938-1939)

1

√ f=−0.869∗ln( ϵ

3.7∗D+2.523ℜ∗√ f )

Calculando obtenemos con la ecuación de Colebrook que el factor de fricción es: f=0.01535

Ecuación de Jain (A. K. Jain, mayo 1976)

f= 1.325

[ ln( ϵ3.7∗D

+5.74

ℜo .9 )]2

Calculando obtenemos con Jain que el factor de fricción es: f=0.1540

Luego:

Para obtener las perdidas por fricción (h f ) , utilizamos:

Ecuación de Darcy Weisbach (J. Weisbach, 1855)

h f=f∗L∗V 2

D∗2 g

Cálculos:

Para Colebrook con un factor de fricción f=0.01535, las pérdidas son: h f=20.49m Para Jain con un factor de fricción f=0.1540, las pérdidas son: h f=20.55m

Comparando las pérdidas obtenidas con cada ecuación, obtenemos un error de: er=0.06

Por ultimo solo falta encontrar la presión de salida Pout, para ello volvemos a la ecuación de la energía:

P¿

γw+ z+V ¿

2

2 g=Poutγw

+ z+V out

2

2g+h¿−out

Dónde, según la ecuación de la continuidad para flujos permanentes las velocidades de entrada y salida con las mismas, la cabeza de posición z son las mismas, lo que reduce la ecuación de la energía a:

P¿

γw=Pout

γw+h¿−out

Calculamos y obtenemos Pout, sabiendo que γw para temperaturas de 20°C es 9789 N, según la tabla C1 del apéndice C del libro de Streeter.

Resultando, finalmente:

Con las perdidas obtenidas en Colebrook, Pout=278.836KPa Con las perdidas obtenidas en Jain, Pout=279.423KPa

Realizando un promedio de las presiones obtenidas tenemos: Pout=279.129KPa

Problem 2

A 50mm diameter galvanized iron pipe is connected to a water main in which the pressure is 450 KPa gage. If the length of the pipe to a faucet is 40 m and the faucet is 1.2 m above the main, estimate the flowrate when the faucet is fully open.

Problema 2

Un tubo de hierro galvanizado de 50 mm diámetro está conectado con una cañería principal en la que la presión es 450 KPa a lo ancho de vía. Si la longitud del tubo a un grifo es 40 m y el grifo está 1,2 m encima de la tubería matriz, calcule el caudal de circulación cuando el grifo está completamente abierto.

Procedimiento:

Datos:L=¿ 40 m

T=¿ 15 ˚C

P=¿ 450 KPa

D=¿ 50 mm

Para determinar el caudal, necesito la ecuación de la continuidad para secciones distintas de tubería.Ecuación de la continuidad

Q3=Q2+Q1

Donde: Q1 el caudal antes del tubo de 50mm Q2 el caudal en el tubo de 50 mm Q3 el caudal después de haber abastecido al tubo de 50mm

Es fácil darse cuenta que A1=A3 debido a que estas tuberías tienen el mismo diámetro; por

consiguiente: A1=A3=0.82∗π4

=1.96E-3m2

La ecuación queda:

A2∗V 2=A1∗(V 1−V 3 )→V 2=256∗(V 1−V 3 )

Como la tubería principal es de 800mm y la secundaria de 50 mm, relacionando asi el caudal de salida seria el 6.25% del incicial y el que continua después seria el 93.75% del inicialAsi V 3=0.9375V 1

Entonces V 2=256∗(0.0625V 1 ) y V 1=V 2

16

La velocidad también podría encontrarla planteando la ecuación de la energía entre el punto 1 y 2P1ϒ

+Z1+V 1

2

2 g=P2ϒ

+Z2+V 2

2

2g+h1−2

Cuando la válvula se abre completamente P2 es 0 por estar abierta a la atmosferaRemplazo V1 en la ecuación y me queda

P1ϒ

+(V ¿¿2/16)2

2g=1.2m+

V 22

2g+h1−2¿

Para la temperatura a 15˚C tenemos los siguientes datos sacados de Streeter (1999)

ϒ = 9798 N

m3 v = 1.141∗10−6m2

s

Analizo todas las perdidas en h1−2

h1= (perdida en la entrada asumiendo de bordes redondeados)= 0.05V 2

2g (Streeter, 2006)

h2= (perdida por friccion en el tubo) = f∗LD

∗V 2

2g Ec. Darcy Weisbach (Mott, 2006)

h3= (perdida en codo estándar de 90˚) = f∗30∗V2

2 g (Mott, 2006)

h3= (perdida en el grifo abierto completamente) = 0.19∗V2

2 g (Mott, 2006)

Para calcular f usamos la ec. de Colebrook (Streeter, 1999)

1

√ f=−0.869∗ln( є

3.7∗D+2.523ℜ∗√ f )

Necesito Re, sin embargo como desconosco la velocidad me impongo una velocidad inicial

ℜ=V 2impuesta∗D

v(Streete r ,1999)

Con este Re calculo f y lo meto en la ec. de la energía y encuentro una nueva velocidad, con esta nueva velocidad vuelvo a repetir el proceso y así sigo iterando hasta obtener un error de 5% entre las velocidades

Vasum ms

Re fV2

ms

Error %

6 262927.3 0.02666183 6.128 26.128 268536.4 0.02665124 6.129 0.01

Entonces la velocidad de salida seria V 2 = 6.128 ms

Tengo un caudal de Q = 12.03 ¿s

Problem 3

A galvanize iron pipe from a water main is required to delivered 200 L/s during a fire. If the length if the pipe is 35 m and the head loss in the pipe is not exceeds 50 m, calculate the minimum pipe diameter that can be used.

Problema 3

Un tubo galvanizado de hierro de una cañería principal es requerido a 200 l / s repartida durante un fuego. Si la longitud del tubo es 35 m y la pérdida de cabeza en el tubo no excede 50 m, calcule el diámetro de tubo mínimo que puede ser usado.

Procedimiento:

Datos:

T=¿ 15 ˚C

Q=¿ 200 L/s

h1−2 ¿ 50m

L=¿ 35 m

Ecuación de Darcy Weisbach (J. Weisbach, 1855)

h f=f∗L∗V 2

D∗2 g

Con la fórmula de Darcy despejo el diámetro correspondiente a dicha perdida. Para ello necesito el dato de la velocidad que me es fácil obtener con el caudal que tengo, así:

Q=A∗V despejo V sabiendo, que a zu vez va a quedar en función del diámetro;

V= Q∗4π∗D 2

Necesito el valor del factor de fricción para poder obtener finalmente el valor del diámetro, como el factor de fricción f también está en función de Reynolds y Reynolds a su vez está en función del diámetro, entonces tengo:

Ecuación de Jain (A. K. Jain, mayo 1976)

f= 1.325

[ ln( ϵ3.7∗D

+5.74

ℜo .9 )]2

Reemplazando tengo:

h f=

1.325

[ ln( ϵ3.7∗D

+ 5.74

(( Q∗4π∗D2 )∗D

ѵ)o .9 )]

2∗L∗( Q∗4

π∗D2 )2

D∗2g

Sabiendo que la viscosidad para una temperatura de 15 ˚C es de 1.14E-6m2

s

Por tanteos necesito encontrar un valor para el diámetro que cumpla con la igualdad:

Para determinarlos finalmente necesito el valor del coeficiente de rugosidad que resulta ser ϵ=0.15 que corresponde a una tubería de hierro galvanizado. (Fuente: Computer Applications in Hydraulic Engineering, 5th Edition, Haestad Methods)

Así se logró determinar que el mínimo diámetro que puede ser usado es:

D=136.3mm

Con un diámetro de 136 mm tenemos una pérdida de 50.0033m, pero como por apreciación de deja el diámetro en: D=136mm

Problem 4

A pump is to be select that will pump water from a well into a storage reservoir. In order to fill the reservoir in a timely manner, the pump is required to deliver 5 L/s when the water level in the reservoir is 5 m above the water level in the well. Find the head must be added by the pump.

Problema 4

Una bomba debe ser seleccionada que bombeará el agua de un pozo para una represa de almacenamiento. Para llenar la represa en una manera en el momento oportuno, la bomba es requerida repartir 5 L / s cuando el nivel de agua en la represa es 5 m encima del nivel en el pozo. Encuentre la cabeza que debe ser añadida por la bomba.

Procedimiento:

Para resolver el problema se necesita la ecuación de Bernoulli, con pérdidas, elegimos doa puntos en los que exista más información con el afán de poder utilizar la ecuación y equilibrar los datos es decir, que no existan más incógnitas de las que son posibles calcular.

La ecuación de la energía con energía adicional de la bomba (D. Bernoulli, 1738)

P1γw

+z1+V 1

2

2g+Ebomb=

P2γw

+z2+V 2

2

2g+∑ hf+∑ hz

Según la información de los puntos 1 y 2, tenemos:

P1γw

=0 yP2γw

=0debido a que las superficies están abiertas a la

atmosfera.

z1=0 debido que desde ahí se toma un nivel de referencia 0.

V 1

2

2 g=0 y

V 22

2 g=0 debido a que la relación de áreas es muy grande.

z2=5m es la altura hasta el punto 2 desde el punto de referencia.

Así la ecuación se reduce a:

Ebomb=5m+∑ h f+∑ hm

Luego:

Para determinar las pérdidas por fricción utilizamos:

Ecuación de Darcy Weisbach (J. Weisbach, 1855)

h f=f∗L∗V 2

D∗2 g

Para determinar las perdidas menores utilizamos:

hm=k∗V 2

2g

Donde k es un factor que depende del tipo de accesorio:

Tipo de accesorio k

Válvula check 2.5

Codo estándar 0.9

Entrada de la tubería 1

A la entrada de la tubería tenemos un ejemplo de pérdidas debidas a una expansión súbita en una tubería, en la página 149 del libro de Streeter tenemos la formula:

h=V 1

2

2g (1− A1A2 )

2

que indica las perdidas, donde: k=(1− A1A2 )

2

el hecho de no usar esta ecuación en el ejercicio es debido a que no tenemos datos de radio del tanque lo que imposibilita calcular el área y por consiguiente utilizar la formula.

Es por ese motivo que utilizamos el factor k=1

En el sistema tenemos una línea de succión antes de la bomba que determinaremos con la letra s, y una línea de descarga después de la bomba que determinaremos con la letra d.

Realizando los cálculos tenemos:

∑ hf=( f s∗8m∗V s2

0.089m∗2 g )+( f d∗22m∗V d2

0.059m∗2 g )∑ hm=(2.5 V s

2

2g )+(0.9 V s2

2 g )+3∗(0.9 V d2

2 g )+(1 V d2

2g )Luego para obtener las velocidades tanto en la línea de succión como en la línea de descarga, utilizamos la ecuación de la continuidad: Q=A sV s=AdV d, el caudal es el mismo.

Tenemos: A s=6.22E-3m2→V s=0.80

ms

Ad=2.73E-3m2 →V d=1.83

ms

Ecuación de Colebrook (C. F. Colebrook, 1938-1939)

1

√ f=−0.869∗ln( ϵ

3.7∗D+2.523ℜ∗√ f )

La ecuación de Colebrook nos sirve para determinar los factores de fricción en la línea de succión como en la línea de descarga.

Para ello necesitamos el número de Reynolds y el factor de rugosidad

Para la línea de descarga tenemos un factor de rugosidad ϵ=0.0015 que corresponde a una tubería de PVC, y para la línea de succión tenemos un factor de rugosidad ϵ=0.15 que corresponde a una tubería de hierro galvanizado. (Fuente: Computer Applications in Hydraulic Engineering, 5th Edition, Haestad Methods)

Determinamos el número de Reynolds para la velocidad en la línea de succión y en la línea de descarga:

Ecuación de Reynolds (O. Reynolds, 1883)

ℜ=V∗Dѵ

Reynolds en la línea de succión: ℜ=62456.14 Reynolds en la línea de descarga: ℜ=142868.42

Con la ecuación de Colebrook calculamos los factores de fricción:

f d=0.01678

f s=0.02542

Finalmente ya con todos los datos podemos calcular la cabeza adicional que da la bomba.

Ebomb=5m+∑ h f+∑ hm=5m+1.66m+0.74m

Ebomb=7.40m→alturanetade bombeo

Ahora calculamos la altura bruta de bombeo Ebomb

eficiencia

alturabruta de bombeo=7.400.8

=9.25m

Problem 5

Water flows through a rectangular concrete culvert of width 2m and depth 1m. if the length of the

culvert is 100m and the flowrate is 6 m3

s, estimate the head loss through the culvert. Assume that

the culvert flows full.

Problema 5

El agua fluye por una alcantarilla de hormigón rectangular del ancho 2 m y 1m de profundidad. Si la longitud de la alcantarilla es 100 m y el flujo es 6 m3 / s, calcule la pérdida de cabeza por la alcantarilla. Suponga que la alcantarilla fluye lleno.

Procedimiento:

Datos:

Q=¿ 6 m3

s

L=¿ 100m

El coeficiente de rugosidad para una alcantarilla de hormigón directamente no hay para lo cual suponemos que la alcantarilla trabaja como una tubería debido a que se encuentra trabajando a full, entonces en tal caso el coeficiente de rugosidad es ϵ=0,3−3, (Fuente: Computer Applications in Hydraulic Engineering, 5th Edition, Haestad Methods)

Se realizara los cálculos para dos casos en el máximo valor cuando ϵ=3 y en el mínimo cuando ϵ=0,3

Caso1, ϵ=3

Calculamos, el número de Reynolds:

Ecuación de Reynolds (O. Reynolds, 1883)

ℜ=V∗4 Rhѵ

,donde Rhesel radio hidraulico

En este caso la fórmula de Reynolds se la aplica con el radio hidráulico debido a que no se trata de una tubería circular sino de una cuadrada y el radio hidráulico en teoría es igual al área sobre el perímetro hidráulico

Luego, Rh=APer

=13

Adicional al dato del radio hidráulico necesito determinar la velocidad de fluencia y la viscosidad,

con la ecuación de la continuidad Q=A∗V obtengo la velocidad que resulta V=3ms

Para la viscosidad como no tengo el dato de la temperatura me impongo una temperatura de 20°C, así resulta que la viscosidad es: ѵ=1.007E-6, según el libro de Streeter, apéndice C, tabla C1.

Con estos datos calculamos el número de Reynolds que resulta: ℜ=3972194.63

Determinación del factor de fricción:

Ecuación de Colebrook (C. F. Colebrook, 1938-1939)

1

√ f=−0.869∗ln( ϵ

3.7∗4∗Rh+2.523ℜ∗√ f )

Realizando el cálculo, tenemos: f=0.02423

Para la perdida de cabeza, utilizamos:

Ecuación de Darcy Weisbach (J. Weisbach, 1855)

h f=f∗L∗V 2

4∗Rh∗2g

Calculando, tenemos: h f=0.8336m

Caso 2, ϵ=0,3

Calculamos el factor de fricción con la ecuación de Colebrook:

f=0.01436

Finalmente calculamos las pérdidas ocasionadas, resultando: h f=0.4940m