Eindhoven University of Technology

MASTER

Grootsignaalanalyse van Baritt-diodes met niet-uniforme dotering

Coenen, N.G.M.G.

Award date:1977

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN AFDELING DER ELEKTROTECHNIE}{

Grootsignaalanalyse. van

Baritt-diodes met niet­

uniforme dotering.

N.G.M.G. Coenen.

ET-~7-77

Verslag van een afstudeerop­

dracht verricht in de vak­

groep ET onder leiding van

Ir. Th.G. v.d. Roer, in de

periode £ebruari 1977-novem­

ber 1977.

Eindhoven, oktober 1977.

1. Voorgeschiedenis.

2. Opstellen van de vergelijkingen.

2.1 De gelijkstroomtoestand.

2.2. De wisselstroomtoestand.

3. Impedantieberekeningen.

4. De baritt in een circuit

4.1 Circuitautomatisatie.

1

3 7

9

12

17 23

5. Correctie op de randvoorwaarde aan het injecte- 29

rende contact.

5.1 Barriereverlaging voor positieve en negatieve

veldsterkte

6. Plaatsafhankelijke donorconcentratie.

33

39 6.1 De gelijkstroomtoestand. 41 6.2 Temperatuurafhankelijkheid. 47 6.3 Tijdafhankelijke berekeningen voor Nd(X). 48

6.4 Impedantieberekeningen voor verschil1ende dopings- 51 profielen.

Conclusie. 57

Figuren. 58

Literatuur. 101

Lijst met symbolen. 103

Bijlagen 107

-1-

1.1 Voorgeschiedenis.

Er bestaan vele solid-state devices waarmee we microgolven

kunnen opwekken.

J?e solid-state devices met een hoog rendement en een groot

vermogen, zoals impatt-en trapatt-diodes, die gebruik maken

van het avalanche-mechanisme, worden gekenmerkt door een -' .-

goede ,temperatuurstabil_iteit. Nadelenl?chter,z\inhethog~_

ruisgetal en de complexe circuits die nodig zijn om ze te

laten functioneren.

De gunn-diodes zijn laag vermogen devices, waarvoor we geen

ingewikkelde circuits nodig hebben. Hun lineariteit in am­

plitude en £ase is aanzienlijk en hun betrouwbaarheid hoog.

Het principe van de baritt-diode is al te vinden in de theo­

rie van de vacuum-Iooptijd diode.

J. Huller toonde in 1934 aan dat een ruimteladingsstroom,

die tussen twee elektrodes loopt, door het looptijde££ect

rtegatieve weerstand ~engevolg kan hebben [1].

Shockley publiceerde in 1954 een theorie waarbij hetzel£de

resultaat verkregen werd in halfgeleiderstructuren [2]. Dat het nog zolang geduurd heeft voordat de eerste baritt­

diodes gerealiseerd werden is te wijten aan het feit dat de

belangstelling geheel door impatt-en gunn-diodes werd opge­

eist en doordat de technologie niet beheerst werd.

Baritt-diodes geven een laag vermogen af, gepaard gaande met

een laag rendement en een grote temperatuurafhankelijkheid.

Daarnaast hebben ze echter een grote betrouwbaarheid en een

laag ruisgetal. Baritt-diodes gebruikt als versterker hebben

een grote gevoeligheid en een goede fase-en amplitudelineari­

teit. Hun doorlaatband is in vergelijking met bovenstaande

devices echter smal, waardoor hun toepassingsgebied beperkt

is tot speciale gevallen zoals local-oscillator of doppler­

radar. Bovenstaande is nog eens aangegeven in figuur 1.

De baritt-diode bestaat uit een laag n-type halfgeleider

-2-

tussen twee lagen metaal o£ hoog gedoteerd p-type materiaal.

Deze ov~rgangen vormen twee Schottky-diodes ruggelings in se­

,rie geschakeld, zodat er altijd een spert, zie figuur 2.

In thermionisch evenwicht ontstaan tengevolge van dif£usie

van elektronen naar het n-materiaal depletielagen aan de over­

gangen.

We kunnen nu een gelijkspanning aanleggen, waardoor zich de

depletielaag aan het rechtercontact zal gaan uitbreiden tot­

dat het veldverloop continu is, zie £iguur 3.

Bij verdere spanningsverhoging zal de barriere voor gaten a£­

nemen zodat de gatenstroom gaat overheersen.

Wanneer we nu een gelijkspanning met daarop gesuperponeerd

een wisselspanning aanleggen zal de hoeveelheid ladingsdra­

gers, die aan het linkercontact binnenkomt, gemoduleerd wor­

den door de wissel spanning. Er ontstaan ladingswolken die de

halfgeleider binnen driften.

Bij een geschikt gekozen lengte van de diode zal de grondhar­

monische component van de stroom in £ase verschoven zijn ten

opzichte van de spanning, wat voor een bepaald frequentiege­

bied zal resulteren in een negatief reeel deel van de impe­

dan tie.

De differentiaal vergelijkingen die he"t gedrag van de bari tt­

diode beschrijven zijn niet-lineair en dus niet analytisch op

te lossen, wat we daarom numeriek zullen doen.

Aanvankelijk werken we met een baritt-diode met een constante

doping. Later zullen we deze doping plaatsa£hankelijk maken,

waarvan we een betere amplitudeafhankelijkheid van het nega­

tieve reile deel van de impedantie verwachten.

Mijn afstudeerwerk is een voortzetting van het werk verricht

door M.Legius in een voorgaande afstudeerperiode. We zullen

hiervan nu een korte samenvatting geven, waarbij we voor een

gedetailleerde behandeling verwijzen naar[3J.

-3-

De berekeningen hebben betrekking op hetn-gebied, waarin

we voorlopig een uniforme Nd-verdeling aangebracht denken.

Reden voor deze aanpak van het probleem is:

1) Het draincontact, zwaar gedoopt p-materiaalof metaal,

belnvloedt de microgolfeigenschappen van het device

nauwelijks, we beschouwen dit contact als een ideale

geleider.

2) De invloed van het injecterende contact kan door een

goed gekozen randvoorwaarde ter plaatse van dit contact

worden aangegeven.

Het voordeel van deze aanpak blijkt

als we het verloop van het elek-

trisch veld beschouwen. In het

n-gebied heeft dit veld een tame­

lijk glad verl~pPt dit in tegenstel­

ling tot het veld in het metaal,

waar het een sprong zal moeten

niaken. We kunnen dus zodoende de --

benodigde rekentijd drastisch ver-

lagen.

Alvorens we overgaan tot het op-

Me:

+i~n r~+ I I :

I t

stellen van de vergelijkingen geven we eerst debenodigde

randvoorwaarden. Wanneer we de lengte van het n-gebied vol­

doende groot kiezen (~8fm) zal de diffusie van gaten ter

plaatse x=L verwaarloosbaar zijn:

~F -I - 0 ox x.= l -(2.1 )

De gaten: die vanuit het metaal in het il-gebied terecht­

komen hebben een potentiaalbarriere moeten overwinnen,wat

we als onderstaand kunnen aangeven:

(2..1. )

-4-

Later zullen we deze randvoorwaarde corrigeren, aangezien

boven f'lat-band (E l:o~o) hat Schottky-ef'f'ect gaat meespelen[4'J ..

We veronderstellen dat het elektrisch veld buiten het device

nul is, en tevens veronderstellen we dat we het probleem

eendimensionaal mogen beschouwen. Alle grootheden kunnen dus

f'uncties van x en t zjjn.

De wet van Poisson gaat dan over in:

, De totale stroom door de diode is te splitsen in een gelei-

dingsstroom en een verschuivingsstroom.

Het transport van ladingsdragers vindt voornamelijk plaats

onder invloed van het dif'f'usiemechanisme en het elektrisch

veld:

V~l:F V(~) _ n . opex .. t) :I f(>st) '0 x

'~cLX)l) = 9 V~,t) P0,t) (1.5)

Elim;i.na tie van JC(IC.t) levert:

(%.' )

We zullen nu een Me-n-Ivle diode beschouwen met een unif'orme

doping Nd(x)=Nd , hiervoor geldt dat Na=O.

Bovenstaande dif'f'erentiaalvergelijking en de randvoorwaarden

zijn dan te schrijven als:

( 2·1>

-5-

Voor de specificatie van de v-E relatie maken we gebruik

van de gemeten karakteristieken van Canali [5] , die we goed

kunnen benaderen met:

V(E:) = 1. + I ,Po E I

. Vs

Hierin zljn;Uoen~functies van de temperatuur waarvoor we naar

[J] willen verwljzen. Deze v-E relatie zullen we later wljzigen

in:

V At> E J t.";>o.

1-r )A.o'C

~ Vs

('2. ~)

V - AoE > E <. o.

Dit verschil in twee gebieden van E wordt veroorzaakt door

de diffusie die steeds dezelfde richting heeft, en weI van

het injecterende contact af. Hierdoor zullen het elektrisch

veld en het diffusiemechanisme in het gebied waar E<o elkaar

~egenwerkent waardoor de snelheid kleiner dan de verzadigings­

snelheid zal blljven.

Teneinde het interval lvaarin de grootheden kunnen varieren te

beperken, voeren we de onderstaande normering in:

A::: A *.f\HM ..

E"'M= ~ ~ N~ = 9N~v.s til'" -=- e::. po ~ Nt>?o

XflM = e VS "OHM = e \Is. '-Nl:)' (1.10) ,NJ)f'o <f ~I:)}lo ?tol'M == - -. '

De ,genormeerde stroomvergelljking wordt dan:

('2..11)

De wet van PO'isson ziet er dan als voIgt uit:

-6-

De diIIusievergelijking voor het elektrisch veld:

De randvoorwaarden:

( 1 + .. L6 x=-

(~.I~)

(.2 . ILt)

Ter vereenvoudiging van het schrijIwerk worden hierna de ster­

retjes weggelaten. Aangezien het veld tamelijk lineair verloopt

t behalve in de buurt van het injecterende contact, is een

coordinatentransIormatie ingevoerd [3]waarbij het gebied waar­

in E sterk varieert wordt uitgerekt en waarbij x=o en x=L op

zichzelI worden afgebeeld.

Gekozen is voor de navolgende transIormatie:

J ' ~\ -30 ctx. x:o-

(~. IS)

(zie bijlage 1). Door bovengenoemde eisen zijn Aoen Bovast­

gelegd.

Aangezien het veld bij benadering lineair is voeren we de na­

volgende substitutie in:

E= 'F -t- a. u~ +-b. (2.1~)

0.= '1..-t- ~T + ~(~ )/~oo 104

b: -o.S .,.. 0.02., ~2, ( J/:h). ''04. .

Met behulp van~~ezesubstitutie wordt de diIferentiaalverge­

lijking opgelost,waarbij wordt uitgegaan van een beginschat­

ting, die net zolang gecorrigeerd wordt totdat de aIwijking

voldoende klein is.

We zullen nu met daze coordinatentransforrnatie en de substi­

tutie voor het elektrisch veld het stelsel vergelijkingen

gaan herschrijven. Hierbij maken we onderscheid tussen de ge­

lijkstroomtoestand (0 -::'00\ en de wisselstroomtoestand • . 'C>t:' .,

-7-

~.1 De gelijkstroomtoestand.

De gelljkstroomtoestand wordt beschreven door de navolgende

differentiaalvergelljking:

D cfr:o<) E(~) [cJ ax) 1.J 9j ~ - I .... (Et.x)i -ax-- - T = 0

met als randvoorwaarden:

dE l - :: I + 'Po ctx )(=0

dEli ..... f+IE'I.~ ~ x=~ 1;:

Substitutie van de transformaties:

levert eentweede orde differentiaalvergelijking met rand­

voorwaarden ter plaatse x=o en x=L.

met als nieuwe randvoorwaarden:

d F -= Vo (1-0..+1>0) '> ~':"() d!j

~~ :: V ( I -0.'" ~T t; I G: I ) , 'j= L

waarin ~.2.1.)

We verdelen nu het interval [o,L] in N deelintervallen en

voeren voor de afgeleiden de navolgende discretisaties in:

Fc:,.. - !l. F l. ... Fir. h:L.

F i-+1 - F (',-1

2~ -4-

(zie bijlage 2).

Teneinde de randvoorwaarden nauwkeurig genoeg te kunnen in-• brengen laten we ~ va4 0 tot N lopen. We vinden dan vergelij-

kingen waarin F_\s Fo >·.· .... > F"+I voorkomen. Ui t deze vergelijkingen

kan men dan F en F:. elimineren. -1. ... + \ .

-8-

F =- ~ h VoN (1. - '" 1- "'L.. N~I """ ..... ,

Voor de vergelijkingen vinden we dan uiteindelijk:

~ ~ L 6 No-I

SN -= F", - FN-, - h(VN- \'~H )(1- 0. .,.. ~T _l-+-i;~l ) =. 0 (1 .. ~)

We ontwikkelen nu elke vergelijking in een Taylorreeks rond F I:

"C_->'

... (Fi-,-F('~,)~F.~ I ... (1==i._l=.I)~c:.J +IF. -r':,'£& J u ... "'"1 F.' l. ~~ \ l:.Jt"1 '" Jor.-

(.-. rt vt _I I ~I .... nos-erA O~& te.R.~e.I'\.

l/ Oc'iL t,,:. "0 ...... N. ('2..25")

Verwaarlozing van hogere orde termen leidt tot:

of weI:

~. ,I F~\ L j '"OF" ~ J:c..-I 1 Fj

Newton-Rapbson gebruikt deze vergelijking om uitgaande van e e

een benadering in de k- slag een benadering voor de k+1 slag

te berekenen: , -

~ F lK+1)..£5.b1 ~ elK) ()S:.I" C ( t'<) Lt() (..l) ~ j VFj f~') = ~ r} or- F.lK)- Jc:.,Fi.-I,F, ,F.;,;., , '2..28) J'= "'...., _.) J=- c.-'l. J ) ~

Met behulp vandeze methode vinden we uiteindelijk een tri­

diagonaal stelsel:

-9-

0... Co

A= b' -.

,o".. .. ..

":: .. ,.

Q: =- oSi.. be.. =- ?K..., c.. 1)Fi.. ~

U· - ~ ~. £.£!... c ' .1,,- L 'j of' - ~c..'

jo.i,.-I J

""' ........ "".CN

__ F:.

Voor een nadere specd..:ficatie van de coe:f:ficienten verwijzen

we naar bijlage 3.

2.2 De wisselstroomtoestand.

Deze toestand wordt beschreven door de navolgende" di:f:feren­

tiaalvergelijking en randvoorwaarden:

We vinden dan na toepassen van de coordinatentransformatie

en de substitutie voor het E-veld het onderstaande stelsel "

vergelijkingen:

Met als beginvoorwaarde in het t-domein: . r= F(o.)~.

-10-

Voorgaande dif£erentiaalvergelijking (2.~~) is gemakshalve

alsvolgt geschreven:

'OF = r f ~)CJF I F 1 ':J}' 1) C T 1.. ClCjl. ()~ j

Wanneer we nu in het tijddomein de trapeziumregel (Crank-Ni-

cholson) toepassen vinden we:

waarin k de tijdstap is.

We zullen verder in deze verge~ijking

de a£geleiden naar de plaats discre­

tiseren met:

We vinden dan uiteindelijk:

( ":J. "!o.i.t)

(,zie bijlage 2).

~ .w· {

Fi.)i+, - Fi.Jl = ~ [ t t Ft -•. 1+d f=i¥, j Fi.+')J"" ;C)JT.j+\l+~ \Fc:,..')i ;F~j) F;,.. .. i ~~! met

c.~o ......... N.

)=-0 -+F=F(o)~).

'D --. v·:a. (.

( 2. '.>S")

Met behulp van dezel£de discretisaties voor de a£geleiden

kunnen we de randvoorwaarden omschrijven en daarna F-1 en FN+~

elimineren.

-11-

We vinden dan het onderstaande stelsel niet-lineaire diffe­

rentievergelijkingen:

We vinden aus vergelljkingen van het ty.pe:

S;, ( ('J j i f£,.l. j+l; .. - -' '. _. fi.+11 i ; t=:c.:-tIJjt-:) =. 0

We ontwikkelen G. rand Ft_(ct . I' Fl.) (. - I (,-1) 1'" J • • -. • ..: ... ,) J .... I

en verwaarlozen hogere orde termen.

Wanneer we nu Newton-Raphson toepassen vinden we weer een

stelsel differentiever~elljkingen die we als onderstaand

kUnnen schrljven.

ceo. ) Fo

Hf.::::~ ----tIJ> b". Q,. "'~

= .. .. " .. ".t, ,:.. 'c

"b ' .. tI-I FN .,.., ' o.N

Voor specificatie van de coefficienten zie bijlage 4.

-12-

We hebben nu met behulp van voorgaande theorie de impedan­

tie berekend, waarblj

)

De impedantie van de baritt bepalen we door een stroom van

de vorm c-= TDc(I+'HSl.nt..,;)-l::.). M

op te drukken, de spanning over de diode te berekenen en

hierop, nadat het inschakelverschljnsel uitgedempt is, de

Fourieranalyse toe te passen [6]. De impedantie wordt dan bepaald met

V= -Ai Co1lVC. -+- ~l.S""'wt ~ =. E1. c.:o wt 1- F~ s ........ w ....

z = A. - ')':B.* _ A, E" I 1-'"'Bo. ra. E,. - j F1. r,&+F,& (~.2)

Resultaten van deze berekeningen zljnweergegeven in de navol­

gende graf"iek:

o

-1

-.2.

-3

-s

[ .. Ie ~+o..5"S:""la>!:) ,/ ~<» .... ~ I I

i 06 ...... 9 I

-~o

'"'\ i..:: 3.0 (I +-c>.:rs':-";"l) ~A

LcsrW'l 'ILl -~ N.:.>= \.~. It) m

l' .. 2,S·C.

-13-

. kleinsignaalimpedantie berekend. De maximale negatieve im-

pedantie werd bereikt v~~r f=6.66 Ghz. Hierblj was L=8pm, 21 -~ 0 fo=0.2 eV, Nd= 1.2.10 m , T=2S C en z=-4.7-j66.sJl.

Voor deze biasinstelling bezit de baritt-impedantie tussen

5.7 en 8 Ghz een negatief reeel deel.

De Q-factor van de baritt is dan:

(J ::: \ X I := _ ~o L "P...

We moe ten ervoor zorgen dat de serieverliezen gereduceerd

worden in dit tamelljk hoog Q-device. Blj een bepaalde fre­

quentie kunnen we de baritt vervangen door een serieschake­

ling van een negatieve weerstand en een capaciteit.

Tevens is in de grafiek de invloed van de biasstroom blj een

bepaalde i'requentie {7. 09 Ghz) w:eergegeven. Blj kleine bias­

stroom is de negatieve weerstand klein omdat de deeltjes­

stroom klein is, en er dus ook maar een kleine stroommodu­

latie mogelljk is. Bij grotere biasstrome,ll wordt de negatieve

weerstand weer kleiner omdat nu het injectiemechanisme ten­

gevolge van de ruimtelading begrensd wordt, waardoor de veld­

modulatie klein wordt.

lianneer we nu de afhankelijkheid van de impedantie ten aan­

zien van de rf-ampli tude ui tzetten (, figuur " 4) zien 've da t

he treEHe deel afneemt met de signaalampli tude, waarui t we

kunnen begrljpen hoe de diode stabiel zal oscilleren.

Blj een gegeven biasstroom zal de negatieve weerstand afne­

men en de signaalamplitude toenemen, totdatde baritt-weer­

stand gelljk is aan de belastingsweerstand. Dan is een sta­

biele situatie bereikt.

De susceptantie van de diode wordt voornamelljk bepaald door

kristalcapaciteiten en is veel minder afhankelljk van de rf­

amplitude. Deze variatie wordt veroorzaakt door de ruimte­

ladingscapaciteiten. Tevens zien we dat de verandering van de

susceptantie groter is blj kleine rf-amplitudes dan blj de ho­

gere, wat de frequentiestabiliteit ten goede komt.

-14-

Met toenemende rf-amplitude daalt de gelijkspanning over de

bari tt (figuur 5) wa took in de dynamische'I.V-karakteristie­

ken te vinden is (zie figuur).

Wanneer de rf-amplitude gro-

ter wordt neemt de geleidings-

stroom ten opzichte van de to­

tale stroom gezien aft waar­

door de negatieve serieweer­

stand afneemt. Omdat de nega­

tieve weerstand snel afneemt

met de toenemende rf-ampl~tude

is het maximaal haalbare ver-

:r. os.:.

1

mogen laag. Ter illustratie van het afnemen van de gelei-

dingsstroom is onderstaande tabel opgenomen.

IDe. :; 30MA

J:~ .. t::.rv ::t: c:....,..l f'V I ... " 0 /0 ll'Y'>A'J LIMAJ

-48 lb.;!. "1s .b 00 39.3 bb.S

1.50 bg.O ltf>·o

.., -3 10 M

De totale stroom wordt negatieft maar de geleidingsstroom

in het potentiaalminimum niet,hiervoor verwijzen we naar blad­

zijde 22.

De geometrische elektrodecapaciteit is gegeven door:

c= £!:!... =- ~. 1;3 F d

Voor lage frequenties is de dynamische capaciteit kleiner dan

de geometrische capaciteit tengevolge van de vertraging van

de ruimtelading in het looptijdgebied. Dit heeft een serieca­

paciteit tengevolg waardoor de totale oapaciteit kleiner

wordt.

Voor de kleinsignaalimpedantie vinden we met de eenvoudige

theorie, waarin v=vs [7J:

z, = f +­Jt.>c...

C. ':::'-

e = £dfi::..· t.:)l

--y

::

::

-15-

geomeh;..:.ch~ CAp. va.Y\ de. d;Qd~

Loophoek.

co",st;O\.~l& ::. (.) £.. E, I ~1 'It.:: C>

CO"",!:. OI.o..""~",,,o\Me¥\.

Hierblj zijn enkele aannames gemaakt, te weten:

i) Ook in dit frequentiegebied geldt de thermionische emis­

sieformule.

~ De wisselspanningscornponent van E, E1 , is links van xm

constant. Dit berust op de aannarne

dat de wisselstroorn links van x m .voor het grootste deel capacitief

is (zie f'iguur).

We vinden dan:

1- <:.cr.>e+ \").>..~o e(,+ V'()

Negatieve weer8~and treedt >op rond e~~en voor het irnagi­

naire deel van de impedantie geldt dan:

(3.S)

H · . i \' ~er~n z en we da t - > C' mi ts de gedane aannamea cor--.- UCto~ W [ n

rect zijn. Wanneer de> rf'-amplitude toeneernt neernt ~ toe 8J

en

zal de totale capaciteit naar de geornetrische capaciteit toe­

gaan (zie figuur 4). Uit berekeningen blijkt dat bovenstaande aIleen waar is voor

lagere frequenties. Bij hogere frequenties is de geometrische

capaciteit kleiner dan de werkelijke capaciteit. Dit overgangs­

punt is bovendien nog ternperatuur-afhankelijk (zie figuur 6 )[~J

Het afnernen van de biasspanning met Vrf,blljk~ praktisch fre­

quentieonafhankelljk te zljn (zie figuur 5);

De impedantie van de baritt bepalen we zoals eerder vermeld

met de RC-procedure ItFourieranalysis".

Deze procedure neemt, omdat de spanning praktisch sinus­

vormig is, voor ons doel te veel componenten mee.

We kunnen volstaan met termen tot met de tweede harmonische.

Tevens kennen we de periode van het signaal van te voren, we

drukken immers een sinusvormige stroom op. Hierdoor zal het

voordeliger zijn om de impedantie te bepalen met behulp van

kleinste kwadratenaanpassing.

Functie:

Meetwaardes: ~ = 2:. 0.", t",(x)::: f(X) .}

~i. (Xi.) VOO~ ~:::: 1), .••. , Y\ W'le~ M:>N ....

Minimaliseer nu: Z; \ l;1.: - !(X())~ Dit minimum wordt bereikt als de vector X-£(x) loodrecht

staat op alle vectoren f(X): tJ

~I I;)t ( y - ~ o..,~ ). ~) = ~

~::. ~::. - . . «;:)"1

, N •

(~-? ~t",l}t»). W:: 0

Dit levert nu het stelsel:

M~=b m.\:' M

Mf>~:::(h' h) -:?. ff>()(d·f,\(>«),

b~::. (b' ~) ::::! {~()tij' ~~ . L~I

In ons geval is:

f,()c) = 1 11\lt)::: ~ .... \:. t.;).Q<.) = .:.i...,.t.:>ttlflx):. CP1t..2~t.. tstx)= Sw.. t..:>t fl'n Mp"l..':: t\~ V = CA,.... Q..a, GcD~~: ...... w •• 0.5 50'''''''' 2.t..)t.J._ Z = '

~+J~ I:::: b,.. 62,.s.i.- ""t; h... b2

Ter' illustratie van bovenstaande hebben wernet behulp van de .. ·

spanningswaarden verkregen uit impedantieberekeningen de impe-·

dantie berekend met kleinste kwadratenaanpassing.

-17-

- 4.0(,> - j llt·3~ SL

. - ~. It'" - j 1';). .~o St - '1- lilt - j 13..~o.Jl.

4. De baritt in een circuit. =========~=================

Bij hetprogrammawaarmee de impedantieberekeningen zijn uit­

gevoerd, is de stroom zuiver sinusvormig wat voor debaritt

in de trilholte niet hoeft te gelden. Teneinde het oscilleren

van de bari tt in een trilhol te te simuleren--wGrd-t- deze in

onderstaand circuit opgenomen.

'RL

Rbr en Lbr dienen zo gekozen te zijn dat de brontak als stroom­

bron fungeert. Later is hiervoor ook een stroombron gekozen.

R is de substraatweerstand ,C een ontkoppelcondensator die s 0

dan samen met spoel L gebruikt wordt om degewenste reactieve

belasting te crearen.

We s tellen nu de circui tvergelijkingen op en vinden dan een

stelsel differentiaal- en integraalvergelijkingen diel voor

een gekozen bronfunctie moeten worden opgelost. De circuit­

vergelijkingen zijn:

G

v

+ Vco• o - L:L ~y- - I.aK\... = 0

l1 ole CttTa) - Vl3:t - J::'R.s 11: 0

-18-

Dit atelsel vergelijkingen l.ossen we op door discretisatie

in de tijd, het resultaat is een stelsel dat op elk tijdstip

tj opgelost kan worden. Hierbij maken we onderscheid tussen

j=l en j~2.

Dit onderscheid wordt gemaakt omdat voor j~2 steeds span­

ningen en stromen op twee vorige tijdstippen bekend zijn en er

dus betere discretisaties, dus met kleinere afbreekfouten,

mogelijk zijn.

Discretisatie voor j=l:

Discretisatie voor ~2:

I,.,;(-R:50)+ 1.2.,,) ( '!J..~o -I- l;: + 12.\.. ) == "gr - :Co

I2.T - Veo"o +

-t ': t ~ r",j_' - I.2,j-2.).

:. Vj of- !~ ("1l:.,j_I-J:1,j_'). ....

... "-t ']:'&/)_1 - T.z, j -2. ) - VST.j

Teneinde dit stelsel op te lossen is het vorige programma

omgeschreven in een procedurevorm "IVTI-1DP" die bij gegeven

tijdafhankelijke stroom door de baritt de spanning ero~erult­

rekent (zie bijlage 5 en programmabijlage).

Tevens he.bben we een beginvoorwaardenodig, waarvoor de ge­

lijkstroomtoestand gekozen is. Hetgelijkstroomcircuit ziet

-19-

er als onderstaand uit: (.,. -:-. Vb-VeT _ VO-V'&I

1<. e.fo\ + '""R.s - '"R.

Vr:a.T: ~(~) (p1tbce...l ....... c

:rVTy\Di» ,.... 'N ""

F (i..) :::. V - '--'R - v ST ( c:. ) = <:>

Linear~satie van deze vergelljking rond I~-~(methode van

Newton) geef't voor de n-de benadering It") voor de stroom

We hebben ~ de af'geleide van de IV-karakteristiek blj een "" "&T

bepaalde stroom nodig. Deze af'geleide benaderen we met

Tevens geldt op t=o: <-2.:: 0 ~ Veo -=- V~_ \ -+ <-oKs , .... , t:::::o

-

Door het oplossen van de vergelljkingen kan de stroom door '"

en de spanning over de baritt worden berekend. Wanneer nu de

gelijkstroominstelling in een gebied ligt waar negatieve weer­

stand optreedt kan de bari tt blj geschikt gekozen belastings ..... ·;"

impedantie gaan oscilleren.

De tijdaf'hankelljke berekeningen zijn onder andere uitgevoerd

voor:

V(b) -=.

{ Va ( 1-+ C SW\ ~Tttt ) t ..:;..to

"0 t =?to ( :sic: Ji~. 1)'

{ Vo ( '''' c.) 1;:.<1::0 (t-,. by

Yo t~to (-z.;e F'3 S)·

V(t:} :::

Duidelljk wordt hieruit het aangroeien van de rf'-spanning tot~

dat de bari tt-'veerstand gelijk is aan de belastingsweerstand

en het bereiken van de stabiele toestand.

-20-

Teneinde de benodigde rekentijd te minimaliseren kunnen we

het beste het circuit met een sinusvorm, die ongevear de

juiste

van de

en bij

amplitude heaft, aanstoten. De kleinsignaalimpedantie

baritt blijkt (zie impedantiebarekeningen) bij Ip~=30mA

f=6.66Ghz het grootste negatieve reele deel te bezitten. 21 -3 0 L=8pm, Nd =1.2 10 m t T=25 C, z=-4-j66S't

Tevens kiazen we het broncircuit zodanig dat het de rest van

hat circuit niet beinvloedt.

::Z;,. ::. - LS 103 .. j 110.52..

StAJ nl..l. ~9.'Il. == 2.0 1<St W Lty:l ::: 2. \-CSt -+ L Bt. ': 50 n H.

Teneinde een indruk te krijgen van het verloop van de verschil­

lende variabelen bepalen wa de bij hat circuit behorende tijd­

oonstanten. De baritt-impedantie wordt·constant verondersteld

zodat het oircuit lineair is.

Voor een RLC-oircuit zijn eenvoudig onderstaande betrekkingen

te verifieren:

Het opstellen van de circuitvergelijking~n.voor hat vervangings­

schema levert:

-21-

We vinden dan een vierde.~graads vergeIijking die niet zonder

meer op te Iossen is, te weten:

Uitgaande van een verschijnsel met een korte periode en een

relatief lange aangroeitijd (zie figuur 8) stellen we:

. 1 Q -I . j-+ 0'= 8·10 S-

ID _I 4. a . 10 S

Q -'1. Uit de resultaten van figuur 8 vinden we voor 't'-:: 5.10 ::>

wat dus redeIijk overeenstemt. In de berekeningen zagen we

tevens een stijging van de geIijkstroom optreden wat we alsvolgt

kunnen verklaren. Wanneer we de baritt-gelijkstroomkarakteris­

tiek beschouwen moeten we onderscheid maken tussen weI of niet·

oscilleren.

v

We zien dat of weI:

i) Vb constant is en de stroom toeneemt,

ii) of Ib is constant en dan zal de spanning dalen.

Ais nu Vb wil dalen dan zal de condensater C zich via de - 0

baritt ontladen, waardoor de gelijkstroom erdoor zal toenemen.-

Aangezien aIle verschijnselen met tamelijk grote tijdconstanten ,

verlopen, kunnen we de baritt beter aanstoten met:

v= c t :: 0 , t '> 1.. er'\

Hiervan zijn in figuur 9 de resultaten gegeven voor RI=l en 3Jl, waarbij de brontak vervangen is door een stroombron.

-22-

De stroom in het programm~ bepaald is de totale externe

stroom, hiervoor geldt:

Het potentiaalminirnum verdeelt het n-gebied in twee stukken,

te weten de barrieregebieden van het injecterende contact en

van het collecterende contact. Als de wisselstroomamplitude

groter is dan de DC-component zal de totale stroom tijdelijk

negatie~ worden. Dit is echter grotendeels een capacitieve

stroom. We zullen nu de geleidingsstroom ter plaatse van het

potentiaalminimum en ter plaatse van het injecterende contact

bepalen, waarbij we verwachten dat eerstgenoemde positie~ zal

blljven. Voor de geleidingsstroom ter plaatse x=o geldt:

Teneinde de geleidingsstroom in het potentiaalminimum te be­

palen gaan we alsvolgt te werk:

i)

ii)

Zoek het potentiaalminimum (E.=O)-.x=x J m

Bepaal met behulp van interpolatie het veld in dit

punt ten tijde (j-l)k en tijde (j-2)k.

De geleidingsstroom in het potentiaalminimum kunnen we dan

benaderen met:

<:J<\ ~!: = ~T"'- E { 0 - " t I ~~~)~ + E I ~-;t.~ .. J In ~iguur 10, 11 en 12 zijn enkele resultaten van deze bere­

keningen weergegeven. In ~iguur 11 is· de"stroom logari tmisch

en in figuur 12 lineair uitgezet. Hieruit kornt duidelijk het

exponentiele verloop van I (x ) met v naar voren. Voor ge-e m 'm

lijkstroom geldt:

Deze helling is ook in figuur 11 aangegeven, hieruit zien we

dat de lussen inderdaad volgens deze helling verlopen, waar­

bij de grotere afwijkingen in het lage stroomgebied door de 10-

garitmisehe scha~l versterkt worden weergegeven. Tevens zien

we dat ~ (x=O) negatief wordt voor voldoend grote wissel­c

stroomamplitude.

-23-

Ook de 'geleidingsstroom in het potentiaalminimum wordt gering

negatie£ (£actor 100 kleiner t.o.v. I (x=O». Dit wordt ver-' c

oorzaakt door de onnauwkeurigheid in de bepaling van I (x ), c m er wordt namelijk drie keer geinterpoleerd, een keer om het

nUlpunt van E te bepalen ten tijde j:

~;:::o t~1\ P \a-c...t.se.

)< = ')(~-I E~ _ >'~ E ~-I E;. - E i-I

en twee keer om op deze plaats het veld ten tijde j-l,j-2 te

bepalen

(.t;.IG)

4.1 Circuitaut9matisatie.

Uiteindelijk is gekozen voor het onderstaande belastingscir-

cuit:

Hiermee kunnen we door een geschikte keuze van R,L en C-waar­

den zowel een parallel- als een seriecircuit parallel aan de

baritt creeren. Tevens kunnen we met dit circuit de impedan­

ties van het circuit voor de eerste en de tweede harmonische

voorschrijven. Het programma berekent dan hierbij de benodigde

numerieke waarden van weerstand,spoelen en condensatoren in

-24-

het circuit. Door het opstellen van de circuitvergelijkingen

vinden we weer een stelsel differentiaal-en integraalverge­

lijkingen die voor een gekozen bronfunctie opgelost moeten

worden.

Vooraleer we hiertoe overgaan willen we allereerst de benodig­

de circuitberekeningen uitvoeren.

z ~ _1_ + .lwL1 . j t.:>L'3 11....:>C... \-~L,c, -t- \- w~~c.,.

Re Z = R( 1. .... t.o'1.L:z.C"Y .. (\ - 1 •. /Lls,C.z.)'I. + ul-R"'C,."L

~ Z I wL!.. W L3. ..... . Yt\ ::. - r.>Co + 1_ w l L

t'1. + )- wtt,J.C.J,.

Stel bij een bepaalde frequentie f : o

t....) C.t,q.,2.( I-t.>~ L",c .. ) (,- w2..l,a C.z.) 't t..:iL R 2;C:Jl,l.

WO C ... 1<,. ... ( 1- ""1> 2.L;;z, Co...,) (,- t..:>o" L2.c.~y·-t f.4:.2..R l.Cz"-

2..t.:>aC21tC-4~L.=..cz) I

(I - 4~L L.).Ca)2+4.~Ifc.&2..

Hieruit moeten Ll,L2,LJ,Co,C1,C2 en CJ

zo te bepalen zijn dat

voor een bepaalde frequentie f alle mogelijke combinaties van o

Rf,R2f'Xf,X2f te realiseren zijn.

Stel nu: f'\ 1. L rl::. (0", a. C ... ::> 0

We vinden dan:

'R:; 2> 'RaJ (, - ~ 1=\2.. )

LJ (\-Aya-C.- (I-LtA).1.

Hierbij moet geld en dat R en C22 positief zijn voor alle waar­

den van Rfen R2f , dus van C, waaruit voorwaarden voor.A en

C volgen. Allereerst zullen we R onderzoeken.

ofwel teller en noemer moe­

ten eenzelfde teken hebben.

Voor wat betreft de teller merken we op dat A positief is.

De noemer is een parabool vorm en wel een dalparabool voor c: > "'-I

-25-

en een bergparabool voor c<4, met ala nulpunten:

R ::;. c: - \ ± j\f'C": ·met lo~ c.- "i

dR. de. <'0 en

Aangezien altijd moet gelden dat A~o moet Al~o zijn en dua

c~1/4. We vinden dua dat R~o als

of A> .L .z.

!x __ -r

Voor 0>1/4 geldt het grenscriterium:

C-I-iVC _' c.-,q - L -.. C::. 1 -to

-it < C< 1 o < A <.. c- I - 'k VC

C-4 of A"> V.t.

Het gebied 0>1 mogen we laten lopen tot 0=4 omdat dan de pa-

rabool in een dalparabool overgaat:

:1< c~" A <. t -1-~kl{;' c.- ~.

~oek onderwerpen.

.,.. .... - - """. .

Voor 0 .. - gaan A1 t 2 naar 1 t we blij­

ven dua buiten het interval [Ot1/2}

We hebben nu R onderzocht en de be­

nodigdevoorwaarden afgeleid, nu

zullen we C 2 aan een nader onder-2

-26-

Stel nu: - c. c::: 1.

We vinden dan:

o.c::c:<~ f<{ - 'It&f ":> 0 -+ LtC('-A)t.-~_4A):l \'\toe.l pos;li~{ :.rUn_

A:> t VSflllo.U .•

Net zo voor de andere gebieden vervalt A:>1/2 ofwel A<1/2.

Samenvattend vinden we dan:

0 < c < V~

Y; ~ .::: C < 1-

1 <" C < It

c. > 4

Cc. (;) --+ A::. Y",

c >1. --+ A:> Y2.

C-l + i YC c-~. < R <

0 <::. A < A :>.

e-I-AVc' < A <. .. C-"t

<:-1 -. 0 < Ii.c. 1/2-

c._(>O ...... A_ 1.

Voor gekozen Rf

en R2f bepalen we A alsvolgt:

(C<t) .ki~

(C>1..) \(ies

c-/ - iv;r c.-"t

c-/ - ~\IC C-4

C-I- iVC" - .. <:,- 4.f

c-, ... i€ c...-...,

2 Bereken nu RL enC2 • Vinden we een negatieve waarde voor 2 C2 dan kiezen we A dichter bij 1 of 1/4 afhankelijk van de

waarde van Rf

/R2f en herhalen de berekening, voor L2 geldt

dan: L 2. = A /c....:i: C". Stel:

Xl _ QoC!l.~ (1-~L2C.,:I) J - (1- ~'-l,.c.:&. )1.+ ~'2..R~a~

Xf ::. I + t.::>,. L I + - 1-c.,.:)2.Lc ""0 Co .. I I

>;r~ - I ..2t...">."ll _ + 2.c..;>oC'o I - .Lf t...¥ ~CI

x' ::. .2 c.::>pCII.:"R.2. ( t -" u: L,. Ca )

.it . (1-~ 'La C;t)1.+ ~2..R2C.:&.'J.

t...>.,. L3 \ -~f>?.LJ.C"",

.:f(,..:)o l3 1-'1 w.:> ... 'Z.L,3,C;s

Voor Ll en Co kunnen we schrijven:

U>oLt =_1 .t (1-4 13 .>J\'-LjB.1.) )( .2.. '2.. - ~"'B3 - 4~1

( I - 133) ( I - B I) 2. - "B30 - \31

-27-

I (I - 't 13J( \ - 41"5. ,) 1&. .2. - ~ 13,;,. - ~~i.

We kiezen nu B3

=O.249 en B1=O.252 en we berekenen daarmee

Co en L1t als Co of L1 negatief is dan wljzigen we B3:=B3/2

en B1:=~Bl+l)/2 en herhalen de berekening.

L~:: Li -+ C, = ""BI eY'l ,... '-'0 ~ L,

De circuitvergelljkingen luiden:

VeT :. ~(~,) :. i (10 -(,f.)

VL.c: - L d'La. _ L C /l· VI.t:.I.~ I.~ - I~ a t I,:' I.:' d ell.

! .

( (.1. - i.~ yRL::: ~,.) ~ cU:. + Ll,.w V'S< + \I.,-4.) K,. ~ ~J ~Ldh - Vao,6 - VI-C, - ~". - (i.. - "'Y~L~6 ('1' ~;;; )

()

Voor de discretisatie maken we weer onderscheid tussen j=l

en j.;r2 (zie bIz. 17). Voor j=1 vinden we met ~ \j:n :: '::I, ~~Q het navolgende stelsel in matrixnotatie'! A 15 = b

:<:0 .... 1<1. 1- 'Rs -~\... 1. 1

!:!. 0 _ \",C, I

0 0 K k). -'i. " ~::. A= l), 0

K'. 0 0 -~-.L

\(... ... lit\. -~ - 1.: -'Ri.

0 .2.G,.. k <> <>

Voor j~2 vinden we met

~_ '::1\-2. -44(-1 +3':2; ro.,(1.) ~1<1 Yi-2.4i-' .... ljj-, + r-"\,o) a l:.. - 2.\-( ... V K ch:i.."::. . "1(:L -- ~

(~.';l' )'

-28-

.JL. + 'Rl..r~5 -'KI- t. 1 2C.

A = SL.

0 )",CL -1..

kt. 0 LK

~L3 0' & ......

1{L _'i\.. -~ _:1 L2. 2c;. ,.. \AI

.%. (...%'J-l l i

K

.2. £'2,! k-' L3.

~(L . -2'< Jo)j-!l

t.'lI)"'2. L I 2.'<

~.;-2 L3 2... ......

~ (..3~.i-I)

0 . L1c-t, _ , - k.1

0 6'

ttC. (., . V \ + ~ VLCI))_2. - 2. \.Cl,)_I)

+ l3~t (VLClL,~-"4~!l V\.c:p~-I) .:4- JL ~,.

.2<:;

Voo+ de oplossing van het stelsel vergelijkingen is weer een

beginvoorwaarde nodig, waarvoor we naar blz. 19 willen ver­

wijzen. Aanvankelijk bleek in het aangegeven circuit. geen os­

cillatie op te treden, waarna de baritt vervangen werd door

een serieschakeling van een negatieve weerstand en een con­

densator. Hier bleek dat een van de oorzakenvan het niet

oscilleren de slechte discretisatie van de spanningsverge­

lijkingen van de LC-kringen was (orde k). Daarom is tenslot-

te voor j~3 de tweede afgeleide benaderd met onderstaande

betrekking: .2.Vj - SVi- 1 :4-4'1;-2 -V1-:3

k~

2 Hierbij is de afbreekfout van de orde k in tegenstelling tot

orde k in het voorgaande. In het simulatiecircuit bleek nu

oscillatie op te treden. Wanneer echter de baritt weer in

hetcircuit werd opgenomen trad ook na verkleining vande tijd-. stap geen oscillatie op. Met de R,L,C-,.,raarden verkregen uit

de circui tauto.matisa tie werd de impedantie berekend als func­

tie van de frequentie (zie figuur13).

Hier zien we dat vlak bij de oscillatiefrequentie van het cir­

cuit, te weten6.66.Ghz, een LC-kring resoneert en wel bij

7.33 Ghz. Na deze resonantiefrequentie te hebben veranderd bij

gelijk blijvende impedantie:

-29-

'3. L.

bleak de baritt weI te oscilleren. Tevens bleak een verdere

verkleining van de tijdstapgrootta geen merkbare veranderingen

in het resultaat teweeg te brengen.

Aangezien er meerdere resonantiefrequenties mogelijk waren

werd de schakeling met een sinus van de juiste frequentie

aangestoten, zia figuur 14.

~~=~g~~~g~~~=gg=~~=~~g~Xgg~~~~~~~=~~g=g~~=~~j~g~~~~g~~ ggg~~g~~

De geinjecteerde gatendichtheid is volgens de gebruikte for­

mule Pc.:. Nv~t~)onafhankelijk van de veldsterkte aan het in­

jecterende contact. In de praktijk is dit niet zo, de ladings­

dragerconcentratie'ter plaatse x=o wordt door de ruimtalading

beinvloed. Zelfs al zou men de spanning over de diode extreem

hoogopvoeren, dan zal de injectie niet ongelimiteerd blijven,

maar er zal verzadiging optreden.

Wanneer E(x='o) positief wordt, zal debarriere v~rlaagdwor­

den door hat Schottky-effect [4]:

V% I 'j C =- ~ oS ..eoe,o 9 Lfl'1. Es. U Jlj \ fE:"

I kT ----.0/ Jc;:::" S ~ V~

E ... .ef ·u,,,e.cf'.el:::s.:h = £;. 10& ~'m £(e.t PQQl(ly" = fl •••• • tal,. lOS VIW\

(5,1)

Hierin heeft €s een wa~rde die van E in de stationaire toe­

stand kan verschillen. Uit de resultatenvan het programma

waarbij de bari tt-diode in een circui,t is opgenomen zien we

dat we inderdaad dat een positieve veldsterkte aan het con­

tact gehaald wordt.

In het programma met een opgedrukte stroom kunnen we de cor­

rectie alsvolgt aanbrengen:

-(!>. "-)

-30-

Hieruit kunnen we een randvoorwaarde voor E halen. Een o

probleem hierbij ia eehter dat we~ moeten uitrekenen. We "bx

moe ten dus E ,E en E" bepalen. Tevena moeten we het Newton--t 0 ...

Raphson stelael fiE::: ~ oploasen.

Dit kan niet zonder meer, we zouden E_I opnieuw moeten elimi­

neren en G bepalen. Alvorens we hiertoe overgaan, willen we o onderzoeken of we niet eenvoudiger kunnen werken met onder-

staande vergelijkingen.

We zien dus dat ala we I tot voorsehrijven we Ie als funetie

van de tijd kunnen bepalen, mits E poaitief is. Let weI dat o

er aan bovenataande vergelijking twee oplossingen voldoen, te

weten:

Discretisatie van deze vergelijking naar de tijd levertl

Ie 5 ': Ttb\: . _ ex.~''''' (3~!; - ~ "Ic,,)_\"T I~\-"l.J • .) l Ic,j

. F(rc;)):: Ic,j - I tot,)

~)= ~(Ic.; , ). Is,

Wanneer wenu de methode van Newton toepassen vinden we:

Bij deze formulering treedt zoals we zagen convergentie op

naar I = T .0:lQr(! Vb'). Bij het optreden van het minteken Co 5 E"r.el ..

(S.b)

-31-

moeten we een eorreetie aanbrengen t dus als I <I nemen we e s I '- 1t/I e '- S C •

We waren uitgegaan van een stelsel van de vorm:

[

0.0 Co ) [ F <>J [ l)", 1 b.o, c\ .. . ~.. -'" .. . -

, '. ". '. '. r:!' u_. ',' rN _ IN

We kennen nu F 0 ui t de randvoorlvaarde en dus sehrijven we

bovenstaand stelsel, wat we hadden afgeleid onder de rand­

voorwaarde Po::' Nv e,oQf (-~) t alsvolgt:

(5.S)

Hieruit lossen we F1 •••••• F n op. Bij het gebruik van deze me­

thode treden grote afwijkingen op, Itol:.-ECr~~\6 ~ Lco ,voor

kleine waarden van E • Dit kunnen we alsvolgt verklaren: o

Voer kleine E geeft dus een kleine fout in de I -bepaling o e

een grote fout in E • Daarom zullen we eerst E bepalen en o 0

daaruit I t aangezien de foutenvoortplanting dan veel min-e \ fE::1

der erg is (# \J "E!t).

Icc>~ - £.(y ~~ 10 :: Lt:o h- £. c;r. • ;1:3 1: 50._

~--------------~ ---__ ...... .J

doe-i: ~

De invloed van de waarde van E ~,bij een opgedrukte stroom re.L van de vorm 'Iil:>t.-:::.lo(1.-; o.~WlPt t is weergegeven in figuur 15. ~

-32-

Blj een hogere waarde van E ~ reL zal 0[0 kleiner worden waardoor

at . het verschil tussen It t en.I

. 0 c zal toenemen. Uit berekeningen

blljkt dat voor lage waarden van 9'<:> de veldsterkte aan het in-

jecterende contact negatief blij:ft, tenminste als men maximum­

vermogenopbrengst nastree:ft. Ter illustratie van de corrige­

rende werking zullen. we foverhogen en de invloed van de ver­

schillende parameters onderzoeken.

Volgens de theorie van de Schottky-barriere zou Is bij gekozen

~oen Teen constante waarde moeten hebben. Deze waarde en het

verband tussen Is en ~kan dan bepaald worden door voor I{t)

by. een langzaam toenemende ramp:functie te kiezen en te onder­

zoeken wanneer de veldsterkte aan het injecterende contact

positie:f wordt. Het verband tussen In(Is ) en ~o is weergegeven

in :figuur 16. Dit verband is praktisch lineair wat in over-

t . . t i' I .t..I -l9W,. eans emm1ng 1S me de theor e, 1mmers S~ e •

Voor de verzadigingsstroomdichtheid J kunnen we schrijven: S

~ * 1 . _ ) J~ = 'R -r ~ ( '-5>o/YT • waarin A*de e:f:fectieve Richardson-constante is. Uit :figuur 16

vinden we voor If 1.77 .105 A/m2K2 •

Bij berekeningen bleek de waarde van I waarvoor de veldsterk-co te aan het injecterende contact nul werd niet constant te zijn,

met dien verstande dat hij verschilde van de waarde bepaald met

de ramp:functie. Blijkbaar mogen we I niet de:fenieren als de s

geleidingsstroom waarbij de veldstarkte aan het injecterende

contact positie:f wordt. In :figuur 17 is het verband tussen I s en de wisselstroomamplitude uitgezet voer 9~=0.22 en 0.24 eVe

Hier zien we dat bij toenemende amplitude van de opgedrukte

streom de verzadigingsstroom toeneemt. Teneinde discontinui-

teiten.in de

extrapolatie

berekeningen te vermijden

(als E positie:f wordt). o

wordt I bepaald door s

[Teo,; 1-

-33-

Beneden flat-band bepalen we I met lroi;-E8~, met de co 0""

geextrapoleerde waarde van I krijgen we een continue over­s

gang naar spanningen boven flat-band. Bij de omgekeerde over-

gang treden er echter slingeringen op in I die te wijten co . .

zijn aan de discontinuiteiten in E , wat weer veroorzaakt o

wordt door het discontinue inbrengen van de Schottky-bar-

riereverlaging. In de totale spanning over de diode blijkt

dit niet meer naar voren te komen, tevens gebruiken we I co in de berekening aIleen daar waar deze een continu verloop

heeft (V ..... V>V fb).

Met deze theorie werden enkele impedantie-berekeningen uit­

gevoerd door een sinusvormige stroom op te drukken, de span­

ning over de baritt uit te rekenen en Fourier-analyse toe te

passen. De resultaten zijn weergegeven in figuur 18. Tevens

zijn de ongecorrigeerde impedanties weergegeven. Hier zien we

duidelijk de invloed van de Schottky-barriereverlaging.

De gecorrigeerde impedanties blijken bij de theoretische waar­

de van E f minder negatief te worden. Uit meetresultaten re aan de barittdiode K19 blijkt dat we een hoge waarde van ~o

moeten combineren met een lage waarde van E f' nl.a:>=.24eV re Je> en E f=6Xl0 5V/m. Voor deze parameterwaarden bleek de impe­re dantiemeer negatief te worden (vgl. curve 2 en 5).

Voor hogere waarden van E f valt de impedantiecurve sneller re af (vgl. curve 4,5 en 6). Op de imaginaire delen van de im-

pedantie blijkt de correctie praktisch geen invloed te hebben.

Voor E f=l 06v 1m en (0 =0. 24eV wordt de impedantie minder ne-re Jo gatief en is er tevens eencontinue aansluiting aan de onge-

corrigeerde kromme.

;.1 Barriereverlaging voor positieve ennegatieve veldsterkte.

In het voorgaande zagen we dat we meerdere parameters hadden

waarvan we de juiste waarden en afhankelijkheden niet kennen,

tevens is de correctie discontinu ingebracht. Hier willen we

onderzoeken of we niet met een gewijzigde theorie een aantal

-34-

van deze problemen kunnen vermijden.

-tp

Voor voldoend kleine x zal - ~~positie£ worden en zou de

gatendichtheid aan het contact groter worden dan N , daar-v

(5.11, )

om zullen we v~~r de gatendichtheid een £ermi-verdeling aan-

nemen, die voar gratere x tach hetzel£de resultaat hee£t (de

bol tzmann-verdeling is aIleen correct als .e:t)2.p t ~T)«:i) • p= Nv/(1.+ ~ (<:g+CSi-f)/v-r))-. <S::-'Si.T+VT~(~-~)' (S.IS)

Door di££erentieren vinden we een vergelijking analoog met de

Poisson-vergelijking:

q

Op grond hiervan wijzigen we de stroomvergelijking in:

....

/ correctieterm correctieterm

t.g.v. t.g.v.

de beeldkracht de £ermi-verdeling

We wijzigen nu de voorgaande theorie alsvolgt, als randvQor~

waarde kiezen we p=p en voor de transportvergelijking boven-o . "

(s. '1)

staande vergelijking. Hiertoe zullen we als randvoorwaarde p=p o

op X 1=10- 12m nemen. Dit omdat in de vergel.ijkingen twee termen

voorkomen die voor"x=o ~oneindig worde"n en tegen elkaar weg-" 'I

vallen, wat numeriek niet te verwezenlijken is.

(.s-. is)

-35-

Aangezien voor kleine x nog steeds geldt p=N zal in tegen-d v

stelling tot het normale gedrag $ ... 0 gelden.

Met de al eerder gebruikte normeril1gen (1.l0) kunnen we dit

stelsel schrijven als:

'dE\::1..+ fk-'Ox ~I 1'4.0

9;) No' }-I:,l> \ kn: .. £.3 v.s3 (6: ICY

Met een coordinatentrans£ormatie waarbij x1~xl en L~L wordt

a£gebeeld en na substitutie van E=F+ax+b vinden we onder­

staande vergelijkingen:

Met als randvoorwaarden:

Met de hierna vermelde discretisaties:

~ ... L-X, N

(i'tF \= Fi-t-l -,-Fe: +- Fi_1 -t-/~~\.,,.) ct '1~ . h'L \.../\!

(., .

V01 VQ = V. \AJ ()(,)

'\It, Wi == V. W (XI+~ \.,)

(5 .... 1..1)

vinden we na eliminatie van F-l en FW+1 weer een stelsel niet­

lineaire di££erentievergelijkingen, te weten:

-36-

Fe. _ fc:.1'-' _ F..:-! + (!" .... , - .... c:-I)~ NoSe.. .2 .t.. €1 N"D

+

hv~ (F. -F- ))(, h?V,t./\lf. <4V t.-t'" I l.-"li. - ~D li..

FI'i- FN _1 - hVrtO + hl..vN1.. [ NDX~N .:ltD N"

0'= 1-0..+ ~T

EL

Teneinde dit stelsel op te lossen met Newton-Raphson bepalen

we de benodigde matrix en vectoren, waarbij we voor de resul­

taten naar bijlage 6 willen verwijzen.

Bij de berekning bleek geen convergentie op te treden. Tenein­

de een betere beginbenadering te vinden werden de vergelijking­

en opgelost met een tweede orde Runge-Kutta methode.

~~~ = t,0,~ .. '1L)

K" =: \.... {I ( X.., • "'Z' U'\ ) 'Z:;a ~ ')

'<21 ::: h 12. \ x~. ZIr\, Z'a",)

d ~ 'l. = J (~:. '1. 1 ~'2. J. o\x }2

1.(.2. -::: h II (X",-h> '2:''''-''(11) ZSt.vrl<.z,,)

~u"" h ~J. ( Xt\ -h, 'Zh'\ - '<\1 .. "Z':a",- '<.u)

We starten de berekening in een punt x max en verkleinen x

zolang ale p<N • We gebruiken voor de twee benodigde eerste v

orde differentiaalvergelijkingen de (genormeerde)- stroomver-

-37-

gelijking en de wet van Poisson: -

dE = \ +? ax 4:; -1.[ pt: -<:Ax "D l+lEI

We vinden dan:

L<,=

Lt. :::" h.. [ ?""~y\ "D 11" lEr\ \

h. [ (f'V') - L ,lEn - \(:) 1:::> l 1- I &n - 1<, I

(5.2.5")

uit de resultaten van deze berekeningen zien we de. oorzaak

van het niet convergeren. In figuur 19 is voor E(x )=1.92 max .107Y/m het veldpatroon weergegeven. Duidelijk zijn de proble~ men veroorzaakt door het sterke verval van het veld in de

buurt van het contact. De plaats waar het veld afvalt is af­

hankelijk van de keuze van E(x ), maar het "overall"-beeld max blijft. ~n het voorgaande konden we contoleren of men de juis-

te E(x ) gekozen had doordat p de juiste waarde had, en max 0

weI P¢~Ny~~(-~). Hier is dit niet mogelijk omdat altijd zal

gelden p=N voor X~O. v

Gezien voorgaande conclusies zullen we toch het model, zoals

op bIz. 27~e.v. beschreven, gebruiken. Teneinde het model te

toetsen aan de werkelijkheid werd de verzadigingsstroom be­

paald voor de diodes G19 en K19 (T=20 C). Yoor deze diodes

gelden de volgende parameten . ..raarden [10] :

S 'J L .::. 11. 1 ,}A"t' .l

N.c .u ~l

~~= '0 ,.."""'~ =- 1.2~ Ie:> W\ S.3..

11* - Ib fJ/1N\~k~

'fo - O.\LteV

Met het model vinden we voor deze parameters J = 2·3 \ ~ b ty\'ll\~ S

-38-

k '9 L .:: {"'13> P""" Ms:> b &.1 -3

::::. t. Ii" • '0 W\

Aft :::. .'2.l52 I o~ 'R / \IIo\.z K t.

'80 = O •• 1.."i t!!!:"

Hiervoor vinden we J = I. '3.14 • lOb f'Vw!1.. s

Ojs -:. H *T.l. ~ <- - cg~T) ]

Fo = Nv ~ (- '8o/vT)

Aangezien <S>O in beide vergelij­

kingen voorkomt en '.fo ui t de

meetresultaten bepaald is, zul-

len we trachten de uit de meetresultaten bepaalde waarde van

J s te benaderen door

eerst de v-E relatie

taten voor laag-veld

N aan te passen. Hiertoe zullen v

wijzigen in een relatie waarbij de

we aller­

resul-

De

berekeningen beter zijn ~O,11].

1\).::. , .... ,up'.?

"s. )..to = )..-\""'0..)( - ..,u.W\~1I\ + Pmi"

1 -t- (No/N~~

( )-2.2..

.).AMo.>t = O.0.q~5 ~~o

,.....u. Mi", = 0.004 Q [M)vsJ , Vs: 10& (~BO)-O'S2. [M/sJ ,

[h'l/vs.J ,

0<..= 0'76

E<o

/ 2.2_~ N .... = b.6. Jo W\

gevohden waarde van Nt t waarbij de· juiste waarde van v J s vonden werd, zijn:

I<I~

Tt"c.1 ~s. ~/~l.] Nv'LM-lo] ."

. I Nv -1]

Sob :2 .Ie It>S 1·80 .2.~

1'0 "5 11:>3-&1

50 5. :2.& S L"t 30 ,.%$ Il>

'c::. .z·o.., '0 (.J Il:>.i.t ,.

10'

_ ..

foo 2·2.3 .z4.j ::>() 1·40 )b

6 :2.2.$ ,(;)

~ AI 140 S. '5 10 "lot 10C) !it .ttbli:) ('50 It> 2.2$ 11).

ge-

Met deze resultaten werden de IV-karakteristieken beneden

:flat-band berekend. Boven :flat-band komen de resultaten over­

" een, omdat ~A,Nd en L bepaald zijn uit metingen boven :flat-

-39-

band. Uit deze resultaten zien we dat voor G19 (zie figuur 20)

het resultaat poyer is, hetgeen vanwege de grote lekstroom te

verwachten was. VoorK19 is het resultaat voor wat betreft de

overeenkomst in de helling goed te noemen. Voor lage stroom­

d'ichtheden geldt:

--%T = C ~ (- VW\/vT') -to cJ ~~T - V.

avllv\ - - 1'" (s. ~s.)

T' p'cJ V-r

!2.S .3',5't So 3S'3b

I Lfo 2&l.O~

De temperatuurafhankelijkheid is niet de juiste, de meetresul­

taten zijn meer temperatuurafhankelijk, wat weer door de veran­

derde Nv-waarde wordt veroorzaakt G 2J.

Voor de keuze van het doteringsprofiel laten we ons leiden

door 'de navolgende beschouwing (zie ook [13]).

Voor een hoge Nd-waarde in de buurt

van het injecterende contact zal bij

eenzelfde waarde van de modulatie van

v een grotere varia tie van de veld-m sterkte aan het injecterende contact,

dus van de spanning over de diode, mo-

gelijk zijn. Hierdoor zal de negatieve

weerstand minder snel met de wissel­

spanningsamplitude afnemen.

I e. .. ""

We zouden nu, teneinde een beginbenadering'voor de gelijkstroom-'

toestand te bepalen, analoog als in het"voorgaande te, werk " '"

,kunnen gaan.

Stel p verwaarloosbaar t.o.v. Nd -- df: - N 'x) x -- ~)( - c'-!:

E" = 5 NJ) ( '1::) ol<:: + c.. o

-40-

We zouden dua nu de navolgende betrekking,kunnen substitu-

eren: x

E :::: F + 'H f No~)ol1::" +~~ o

waarbij we de parameters A en B weer expirimenteel kunnen be­

palen, zodanig dat voldoend snelle convergentie optreedt.

We zouden dan de getalwaarden van A en B aan moeten pasaen

aan variaties van ~o,T,J etc. Tevens zou dit voor iedere

andere plaataa£hankelijke donorconcentratie opnieuw moeten ge­

schieden, wat de toepasbaarheid van het model in negatieve

zin beinvIoedt.

We zullen dan ook een andere methode invoeren die deze nade­

len niet hee£t.

Voor een plaatsa£hankelijke donorconcentratie vinden we onder­

staande tweede-orde di£ferentiaalvergelijking:

'D :. ~o V" j: "D(e) N~) = ND0.>-NA~)

V:::. Mo Y( I + Po§/vs,. ') Q.\s, E' >0:> V=)J<o E;

V~ :::: l) ~\:: _ '2> l: 0)(' (b. "3.]

Ala beginvoorwaarde kiezen we weer de toestand op t=o en ala

randvoorwaarde ter plaatse van het injecterende contact:

:> X:o

De gebruikte normeringsconstanten zijn:

,

, )

Dit levert de onderstaande genormeerde differentiaalvergelij­

king, waarbij we de sterretjes bij de genormeerde grootheden

weglaten:

o

-lt1-

We veronderstel1en nu dat de veranderingen in het dopings­

profiel ver genoeg van het rechtercontact liggen en dat de

veldsterkte daar hoog is.

6.1 De gelijkstroomtoestand.

Voor de gelijkstroomtoestand kunnen we de str90mvergelijking

schrijven als:

Mp E"p 'D(li-b)

Wanneer we de diffusie verwaarlozen vinden we:

?=

Di t beschoUl-iende zul1en we voor..)Ao E ;;fj> '1. een methode invoeren

waarbij we p in negatieve machten van E zullen ontwikkelenD~.

p=

(f:,.. \ 0)

Aangezien we werken met ,l..(c>\::?'/1 geldt 1:)=PoE en

Wanneer we de coe££icianten van gelijke machten van E bij el-

kaar schrijven vinden we:

C\., =

en voor p~3:

Hiermee is p(E) bek~nd. Teneinde de x(E)-relatie te bepalen

beschouwen we de genormeerde wet van Poisson.

d~f -0\)(. l:I" o\E 01£ dE ~ b -\1\1\ - WlE - .......

N+-p Nt- L ~ne:-h N WI =- Q

""-::<>

De coefficienten a kennende, z:ijn hieruit de coefficienten n

b te bepalen. n

b .bp \ :E On b.

.::: ::t N' p-n ()

~ _n=l

1+ f~J I-J- ~<::. N

N Deze coefficienten in de wet van Poisson substituerend vinden

we:

dE" - 60 d E -r 6. d f' N N N 8

l(,· ':)

(b. Ii)

(,.f~:

We bepalen nu de beginbenadering door in een punt x de bere­

kening te starten en naar links te rekenen totdat aan de

randvoorwaarde is voldaan. We rekenen van rechts naar links

omdat we de. waarde van E en p ·in de buurt van het injecterende

contact nie:t;nauwkeurig genoeg kunnen berekenen. Door de klei-·

ne waarde van D zal een kleine fout in peen grote fout in ~ 'Ox

en daardoor ook in de verderop berekende waarde van p opleve-

rene

Stel nu: d~ ::. - d X

~:: - +c.. lb. 11)

We zullen de berekening starten in x=L1 , y=L-L1 met als be-

nadering voor de veldsterkte in dit punt E=Eb :

+ ~ ~(~) + ~ bWl \i-'.. £:'-'\ N ~E: L N WI-' 1

M::I2.

(b. 18.

WeI moeten we bij de hier beschreven methode voor lage Nd Ll

voldoende groot kiezen, aangezien Eb voldoende groot moet zijn

om de reeksontwikkeling te doen gelden. Voor kleine x, dus als

niet meer Po E/>1 geldt, rekenen we verder met een Runge-Kutta

methode.

Voar constante Nd hebben we het veIdverIoop met deze theorie

bepaald en weergegeven in figuur 22. Teneinde te onderzoeken

of Newton-Raphson met deze beginbenadering in het geval van

een plaatsafhankelijke doping convergeert, vereenvoudigen we

Nd(x) en verdelen we de diode in twee gebieden met constante

Nd - Voor het berekenen van de beginbenadering gaan we als

onderstaand te werk:

Start de berekening in y=L-L1 en

reken met de reeksontwikkeling te­

rug totdat de Iaatste meegenomen

termen IbT maal de eerste termen

worden (E=E ). Reken daarna terug c met een Runge-Kutta methode met een

variabele stap totdat p=p • o

.Pas daarna L naar rechts af en reken . '1

y _/ N.ot ..

. ~ 5. K>rJ,.,~

a~::'-I}'" ..

verder met de .reeksontwikkeling totdat x=L.

N"s. :: ~ 0.5" ,I" wi) V n

_ ~2.~Sr

R.

---+II! ~

De waarden van E, benodigd voor Newton-Raphson t zullen in h.et

Runge-Kutta gebied worden bepaald met interpolatie uit de waar­

den opgeslagen in de array's. De waarden van E in de rest van

het diodegebied worden berekend met de reeksontwikkeling, waar­

bij weI de coefficienten voor de twee gebi.eden met verschillend.e .. ·

Nd-waarden verschillend zijn.

Enkele resultaten van deze berekeningen zijn. weergegeven in fi-

guur 23. Hierin' is minder

voor kleine x te zien dan

waardoor het verloop zeer

goed het exponentiele verloop van E 21 -3

in het voorgaande omdat Nd ,=S.10 m

steil wordt. Tevens zien we onregel-

matigheden in het verloop van E in de buurt van L, wat veroor-

-44-

zaakt door de coordinatentransformatie en de discontinuiteit

in de donorconcentratie.

Teneinde Newton-Raphson te kunnen toepassen zullen we op de­

zelfde manier als in het voorafgaande, met dezelfde discre­

tisaties, weer een stelsel niet-lineaire vergelijkingen op­

stellen:

E -1. ::. ;:: 1.. - 2..\'-Wo ( No ..... ?<»

FN1-I::- EN-, +:t.hVN(NN + '.3T ( I+~N)) .,..u~ EN

Na eliminatie van E I en E vinden we dan onderstaand stelael - Ni-l

differentievergelijkingen:

(6.20)

(Voor voorgaand geval zijn de termen ~~ nul).

Voor dit stelsel kunnen we weer de coefficientenmatrix bepa­

len, waarvoor wenaar bijlage 8 verwijzen.

De berekening bleek zonder aanpassing van de coordinatentrans­

formatie te convergeren, ondanks de fout geintroduceerd door

de discontinuiteit in Nd en het geringe aantal punten in de

buurt van deze diacontuiteit.

Ter illuatratie van het convergeren dient onderstaande tabel,

-45-

waarin het cij£er het aantal slagen waarbinnen convergentie

optrad aangeeft. Daar waar geen cijfer vel'meld is w.erd de

matrix singulier.

N:::50 J:)T ['A/W\.l.J ,[OC] <j>o ~eV] td- ,ci* lOS' C.

10 lO'"::f S.IO"::J

30 O.~o r- io 5 .Lt .3 ~ so 0·"20 7t b s "t 3 2-

1 (> () 0.2.0 t b 5 -4 Lf .3 100 O. IS C; T b s s -4 toO 0.10 Ie 8 r b 6. b 30 0·10 10 g b & S-olO o. ~o b 4 ..3 4 - -

We zullen nu een fysisch gezien meer reele Nd-verdeling aan­

brengen. Voor deze verdeling verwijzen we naar figuur 24, waar­

in tevens de functies zijn aangegeven waaruit de verdeling is

opgebouwd. In deze figuur is tevens bij de eerder vermelde

coordinatentransformatie de puntenverdeling aangegeven, waar­

b:ij we zien dat voorN=250, zowel in het gebied waar Nd vari­

eert als in de buurt van het injecterende contact een redelijk

aantal punten ligt. Dit werd ook bij berekeningen bevestigd, ~n

de onderstaande tabel is voor een aantal waarden van de param.e-

.ters het resultaat van de veldberekehingen weergegeven •

..:J T [ A /"",2-

T[ee] ~o[eV] lo2.C"bS~ Id (N:.2So) IJ' (N=2S0) 5.'~ (N::250)

-9 2..gj-l~ 2 -,

~ 2.~ -c;

So 0.';40 it 3.~1 tu .3 2S2. 10 10 ~ _ -8 1 'o~ 2 '.3~

-8 ISo 6.2.0 ~ .0. 10 :;.~ l.l3. (0 ~.lj \0

-8 -«j $.51 IOfj

-fl 5'0 0. IS" 4 4. 2 (.10 3 a.ljS 10 2 '2. 1.88. 10

oS -i .3 ' ~« !.. -S

'50 C.IS "t 1.94 lo .3 t-~l~' It) ~."l 10 7· S7 10

-'a ~ -tl 2- S.2" 1.(;'\ 50 0.25' ~ It·7.1'i:) 3 'SI.IO 3 #J.,5=t 10

ISO 00.2S 4 ..a. 2. J -9

2 -'t.otS ,;c; 2- u;9 l.~3. 10 b.~2...It> ~S4

Hierin is ook het aantal benodigde punten aangegeven, waarbij

-46-

we nog varia ties in de derde decimaal toelaten.

Tevens zien we dat beide berekeningsmethoden, te weten New­

ton-Raphson en Runge-Kutta gecombineerd met de reeksontwik­

keling, nagenoeg hetzelfde resultaat afleveren, wat de juist­

heid van beide methodes bevestig,t. Naast het benodigde aan­

tal slagen is ook de residuvector (~ CS:' ) na de eerste

slag aangegeven. ~

AIleen voor lage stroomdichtheden werd het aantal benodigde

punten groter, maar voor wat betreft de rekentijd maakt dit

niet veel uit, omdat voor een groter aantal punten ook in

minder slagen convergentie optreedt.

De kleine fout wordt o.a. veroorzaakt door discontinuiteiten

in ~~ , immers Nd(x) was opgebouwd uit meerdere functies.

Voor gegeven Nd verdeling hebben we E en pals f'unctie van

de plaats weergegeven in f'iguur 25. Voor wat betref't de be­

rekening van p moeten we opmerken dat p voor kleine waarden

van x groot is. We kunnen dan p berekenen met de gediscreti­

seerde wet van Poisson (genormeerd):

Voor grotere x wordt p klein, en zeker voor lagere stroom­

waarden. We bepalen dan p niet meer met bovenstaande methode

omdat dan p. bepaald zou moe ten worden uit het verschil van l. ,

twee grote getallen, waardoor een kleine fout in E. een grote l.

af'wijking in p oplevert (p nam plaatselijk toe met toenemende

x en werd soms zelf's negatief). Daarom is voor voldoend grote

x p bepaald met de reeksontwikkeling p:. !o.n E~V\. 1\",0

Als extra illustratie van de juistheid moge onderstaande die-

nen .. 'vanneer we aannemen dat de veldsterkte in het grootste ,

deel van de diod~ zo hoog is' dat v=v's en verder de dif'fusie

verwaarlozen geldt: ' 0;:> ~T' ' :, r ~ 'I Vs •

Voor ~e t 4 R/ JL vinden we ui t de graf'iek: '-"IX 10 /t"\ :> X >~rWl , , H

llb.8 -/"'t.~) 1~/(?-4)IC€::. 'Y'W\2. = T' b:=r 10 '9'"",.1-en met bovenstaande benadering:

I~ \.bc>~ 10

I,o.b. Il)"o

-47-

Welke resultaten met elkaar in overeenstemming zijn.

6.2 Tempera tuurafhankel\jkheid.

In dit model zijn de volgende grootheden temperatuurafhanke-

lijk: Nil (-9 ~~) Po = JZnA.f KT

Nv = 2.S(!/: ),.5"

10 2.50

'vs = s (~ )-0.52-

10.. 230

(T :y~.'J. ,).{ O.o4~S" ~90 - o.oC::>'i 8

0 - (N 0 "")°'1- 6 I ...- o b.3 \b

-0.0049

D .fA vI""'" - r"o' '" (6.'1'2)

Figuur 27 toont de IV-karakteristieken en in figuur 28 is o

het verband tussen Eo,EL,xm,vmen J t voor T=50,100 en 150 C

aangegeven.

Voor wat betreft x ,v en E kunnen we opmerken dat voor lage m m 0

stromen een ongeveer evenwijdige verschuivLng optreedt.

De spanningen V en v berekenen we met: m

L N V:. - Vee. =- - J E.Jx :-?-~ (EL + E(~,)( Xi. -Xl-I)

o '=1 . ~o K -+~--~F-~

\I~::: - L. ~ ( ~~ +-~i--I)()(.~ - xt.-,) - ~ (xW\ -)C~} L:o

-48-

6.3 Tijdaf'hankelijke berekeningen voor Nd~

De genormeerde partiele dif'f'erentiaalvergelljking voor het

elektrisch veld luidde:

Als beginvoorwaarde gebruiken we de gelijkstroomtoestand en

als randvoorwaarden:

p= Po -= Nil ~l- ~)

QJ?\ =0 '0'>< X=L

De stroomvergelijking levert na normering de onderstaande ver-

gelljking:

(b. 2. b)

We kunnen hiermee de randvoorwaarde ter plaatse x=L schrljven

als: x:::L ,

Met de genormeerde wet van Poisson zijn deze randvoorwaarden

te schrijven als:

We voeren nu weer de eerder vermelde coordinatentransf'ormatie

in:

en vinden dan voor de dif'f'erentiaalvergelijking;

+ J..lnE [N - ..L~]+~ i+\. Vo~

en voor de randvoorwaarden: (b.30)

-49-

o:fwel:

We brengen nu teneinde de di:f:ferentiaalvergelijking te kun­

nen oplossen weer eenzel:fde raster in het x,t-vlak aan als

in voorgaande beschouwingen.

Gemakshalve schrijven we voor de di:f:ferentiaalvergelijking:

Wanneer we nu als integratie:formule de trapeziumregel ge­

bruiken vinden we:

= E· . + '-I,) )I.J

J

Na sUbstitutie van de discretisaties vinden we onderstaand

stelsel vergelijkingen:

E l.,~+, tt. El..J' .... x.[ J (c.. . :1 E. ~ E. . , ~r )

J .2. 1 '--l'lt-' c. .. j+\ ''tl)'tl j+>,

waarin

, (E c:,..,.~ > E :'Jj' E i.+I)j , ~l) ") E ( j = ~h" t = j K )

+

l b.32.)

-50-

Voor de gediscretiseerde randvoorwaarden kunnen we schrijven:

Met de randvoorwaarden zullen we E_I en EN+1

elimineren, E

was al expliciet gegeven, voor EN+I leiden we hierna een be­

trekking af,

Discretisatie levert:

Na eliminatie van E I en ELI vinden we: - .... + I

I\.'OJ' -~ -

-51-

Dit stelsel vergelijkingen lossen we weer op met Newton-Raph­

son. Voor de bijbehorende matrix en vectoren verwijzen we naar

bijlage 9.

6.4 Impedantieberekeningen vpor verschillende dopingspro­

fielen.

We berekenen allereerst de impedantie voor het dopingspro­

fiel N (x) zoals aangegeven in figuur 24. We drukken daartoe o een sinusvormige stroom op en nadat de inschakelverschijnse-

len verdwenen zijn passen we Fourieranalyse toe op de bereken­

de spanning. Zo kunnen we dan de impedantie van de baritt be­

palen (zie blz.7). De berekende resultaten zijn in figuur29t'

30 en 31 weergegeven.

De bandbreedte wordt groter, maar aangezien de frequentie ook.

toeneemt betekent dit relatief gezien geen verbetering.

Wat wel verbeterd is, is de afhankelijkheid van de biasstroom,­

instelling, tenminste in het optimale gebied (figuur 30).

We zien uit figuur 29 dat de kleinsignaalimpedantie kleiner

is, echter uit figuur 31 blijkt dat de amplitudeafhankelijkheid

beter geworden is. We houden een grotere negatieve weerstand

over bij grotere amplit~des dan voor Nd =1.2 1021 m- 3 •

Teneinde de tempera tuurafhankelijk:1:1:eid·te . onderzoeken berekenen".

we de impedantie voor verschiilende stromen, te weten 10,25

en 50 rnA (zie figuur 32 en 33). We. zien dan dat aanvankelijk

bij hogere temperaturen voor hogere stromen het optimum bereikt

wordt. Het imaginaire deel is veel minder temperatuurafhanke­

lijk dan het· reEHe deel van de impedantie, wat gezien de fre­

quentiestabiliteit ook gewenst is.

-52-

We zullen nu het dopingsprofiel gaan wijzigen en onderzoeken

waarin dit zal reaulteren. We zullen de berg in het dopings­

profiel verder van het injecterende contact aanbrengen.

In figuur 34 hebben we de verschillende profielen t alamede

de functies waaruit ze zijn opgebouwd weergegeven.

In figuur 35 en 36 is respectievelijk het bijbehorende veld-

aterkteverloop en de gatendichtheid voor T=50 o C 6

en J T=5 10 2 Aim aangegeven. De gatendichtheden vallen voor grote x samen

omdat daar de diffusie te verwaarlozen is en J T gelijk is voor

de drie dopingsprofielen. Voor kleinere x is ~; en Nd(x) be­

palend·voor de waarde van p.

Voor N2(x~ hebben we ook weer de kleinsignaal-impedantie als

functie van de frequentie bepaald (figllur 37). Uit deze re­

sultaten zien we dat de maximale negatieve impedantie groter

wordt. Tevens wordt dit punt bereikt voor een lagere frequen­

tie, wat veroorzaakt wordt door het feit dat aanvankelijk de

driftsnelheid lager is, waardoor de diode als het ware langer

en dus de optimale frequentie lager wordt.

De kleinsignaalimpedantie wordt dus neg~tievert belangrijker

echter is het gedrag voor grote wisselspanningsamplitudes,

waartoe we v~~r f=7.77Ghz, Idc=25mA en T=50o

C de grootsig­

naalimpedantie bepalen (figuur 38). Hieruit blijkt ook dit ge­

drag beter te zijn geworden. Voor grotere,amplitudes liggen de

krommes voor NJx) en N2 (x) vlak bij elkaar.

In wezen zijn voorgaande vergelijkingen niet juist en weI om

twee redenen:

i) De looptijden verschill~n,

ii) De veldsterktes aan het eind van de diode verschillen.

Voor wat betreft de looptijden. verwijzen we naar figuur 39 t waar

we, om de verschillen in de looptijd beter tot uitdrikking te

brengen, starten in het potentiaalminimum. Voor het potentiaal­

minimum zijn E en J vrijwel in fase, zodat de looptijd daar niet

interessant zal zijn.

We berekenen de looptijd alsvolgt:

dl = 9jDe~ oS ::::; ox.

-53-

d)< v

'P9 v

~ ( ND~) .,. P~»)

21 -3 We zien dat voor Nd

=1.2Xl0 m de looptijd het grootst is,

waardoor de bijbehorende optimale frequentie de laagste zal

zijn. De verschillen in looptijd omzeilen we door steeds bij

een bepaald dopingsprofiel de optimale frequentie te kiezen.

Belangrijker zijn de verschillen in de veldsterkte aan het eind

van de diode. Deze blijkt namelijk het maximaal haalbare oscil­

lator vermogen te bepalen en is tevens bepalend voor het al

of niet optreden van het avalanche-breakdown effectD5].

Teneinde nu iets te kunnen zeggen over de invloed van de

plaatsafhankelijke doping zullen we tevens de impedanties be­

rekenen voor constante dopingen die we zo kiezen dat de veld­

sterkte aan het eind van de diode (maximale veldsterkte in

ons geval) aan elkaar gelijk zijn.

Zoals blijkt uit figuur 35 vinden we dan:

Nd(X)=NO(X)

Nd (x)=N2 (x)

Nd

(x)=1.7 1021m-3

Nd (x)=2.0 1021 m- 3 •

Uit deze berekeningen kunnen we constateren dat de kleinsig-.. 21 21 21 -3 ( ) naal-1mpedant1e voor Nd =1.2 10 ,1.7 10 ,2 10 m en N2 x

niet zoveel verschillen (zie figuur 40 en 42).

Voor lage constante doping blijkt de impedantie sneller af te

nemen met toenemende amplitude dan voar hoge doping, tenminste

in het gebied wat interessant is, lagere belastingsweerstanden

dan 1n zijn in praktijk niet haalbaar.

Uit de gelijkstroomberekeningen zagen we dat we N2 (x) met 2.1021

m- 3 moesten Vergelijken. De kleinsignaalimpedantie voor de con-;

stante doping is groter, terwijl het afvallen met de amplitude

praktisch gelijk geschiedt.

Voer N (x) is de kleinsignaalimpedantie wel lager dan voor o vergelijkbare constante doping, maar het afvallen met toene-

mende wisselstroomamplitude geschiedt veel langzamer waardoor

voor grotere amplitudes meer negatieve weerstand overblijft.

-54-

Voor de verschillende dvpingsprofielen hebben we tevens het .

maximaal haalbare vermogen blj een substraatweerstand van 0.5~

aangegeven: -p = /.2. .,.'.2 (\'K.e..f'\I-"R:s.) (zie figuur 41 en 43),

waarin we zien dat voor N (~) de beste resultaten bereikt zijn, o

wat we verwacht hadden.

Bij dit alles dienen ve nog op te merken dat de spanning over

de diode bij de plaatsafhankelijke doping groter is dan voor de

constante dopingen, terwijl de optimale stroom ongeveer gelljk

blijft (T=50oC) , zodat het rendement lager wordt.

Teneinde nu een indruk te krijgen van ;de invloed v,an de ver­

schillende parameters zoals frequentie, biasstroom en tempe­

ratuur hebben we de klein- en grootsignaalimpedanties bepaald 21 -3 ( ) voor Nd =2Xl0 m en N2 x voor verschillende waarden van de

parameters.

We zien dat de kleinsignaalimpedantie voor zowel T=50oC als

1000 C voor 25mA biasstroom minder negatief wordt (~O.3J1max), zie figuur 44 en 45.

Voor wat betreft de invloed van de biasstroom moeten we onder­

scheid maken tu.ssen de verschillende ,frequenties. Voor hoge

f'requenties is de variatie van X en R klein in vergelijking met

de lagere frequenties, bij eenzelfde va~iatie van de biasstroom.

Tevens is het gebied waarover we de stroom varieren bij hogere

frequenties groter.

Bij variatie van de biasstroom zien we dat voor lage frequen~

ties de kleinsignaalweerstand groter wordt dan in het aanvan­

kelijke, optimum (7.77Ghz bij T=50oC en 6.66Ghz bij T=1000C).

De kleinsignaalimpedan~ies voor N2 (X) en Nd =2Xl021

m-3 gedragen

zich verder praktisch identiek.

Wanneer we voor de verschillende frequenties de bijbehorende

optimale biasstroom op een log-lin schaal uitzetten, vinden

we een rechte lijn (zie figuur 46) waarvan de oorzaak onduide­

lijkis.

Wanneer we de looptijden, vanuit het potentiaalminimum startend

berekenen (zie figuur 47), dan zien we dat we deze niet mogen

gebruiken om de optimale frequenties van de verschillende do-

-55-

pingsprofielen te bepalen, weI bv. voor een dopingsprofiel

bij verschillende temperaturen.

De amplitudeafhankelijkheid is voor beide dopingsprofielen

voor f=7.77Ghz,T=50 o C (zie fig. 48) identiek. Voor f=5.63Ghz

hebben we ook de stroom rond het optimum gevarieerd, hierbij

zien we dat de curve voor IDC=5mA de overige curves snijdt.

Voor N2 (x) ligt dit snijpunt gunstiger dan voor Nd =2X1021 m- 3 ,

d.w.z. voor kleinere amplitudes.

In zijn totaliteit zien we echter dat het gedrag voon de plaats­

afhankeIijke doping N2 (x) niet beter wordt. We moeten dus

concluderen dat het verschuiven van de bult in de donorcon­

centratie t verder van het injecterende contact, geen gunsti­

gere eigenschappen oplevert dan bij een vergelijkbare constante

doping.

We zullen nu terugkeren naar het uitgangspunt, te weten een

hoge doping voor kleine x en een lage voor grote x, aangezien

hierme~de beste reaultaten waren g~boek~.

Voor de eenvoud kiezen we nu twee gebieden met constante do-,.

ping, en weI zo dat het elektrisch veld aan het eind van de

diode hetzelfde is als voor N2 (x) en Nd=2 1021 m- 3 , te weten

~21.5 kV/cm. Teneinde de invloed van de grootte van de dopingen

en de lengte van het hoog-gedoopte gebied te onderzoeken wer-

ken we met verschillende dopingsprofielen (zie fig. 49). In de figuren 50 en 51 hebben we voor de verschillende pro­

fielen de kleinsignaalimpedantie als functie van de frequentie

weergegeven, tevens is hierin voor enkele frequenties de in­

vloea van de biassroom aangegeven. ,

Voor de kle>:insignaalimpedanties kunnen we dan de volgende con-

clusies trekken:

Het ophogen van de concentraties voor kleine x niet

.blijven doen.

Het hoog-gedoopte gebied niet blijven uitbreiden.

-56-

of weI de concentratie aan het eind niet te veel verlagen (bij

gelijk blijvende veldsterkte aan het eind).

V~~r de rest zien we dat de kleinsignaalimpedanties zich prak­

tisch hetzelfde gedragen, ook v.w.b •. de biasstroomafhankelijk­

heid. Tevens blijft de kleinsignaalimpedantie voor vergelijkbare

constante doping zich beter gedragen dan voor de overige pro­

fielen, wat we ook verwacht hadden.

Zo kunnen we ook de grootsignaalimpedanties beBchouwen (fig.

52,5) en 54).

Allereerst merken we op dat voor N)(X)ten bij grotere amplitu­

des ook voor N4(X), bij een zekere amplitude een steil afval­

len van de weerstand optreedt. Uit het feit dat dit bij N5

(x)

niet optreedt zou men kunnen concluderen dat dit komt doordat

het hoog-gedoopte gebied niet lang genoeg is (of niet hoog

genoeg gedoopt).

We zien dat in een bepaald amplitudegebied het profiel N)(X)

de beste resultaten oplevert. Tevens zien we dat voor grotere

amplitudes N4 (x) de beste resultaten levert. Echter beter dan

voor N (x) zijn de resultaten niet. o

Wat we ook zien, maar dit geldt ook voor de constante doping,

is dat het optimum in de kleinsignaalimp~dantie niet hoeft

samen te vallen met dat van de grootsignaalimpedantie.

Voor wat betreft de grootsignaalimpedantie kunnen we opmerken

dat, teneinde een zo groot mogelijk vermogen te verkrijgen, de

doping aan het injecterende contact voldoende hoog en uitge­

strekt dient te zijn, ook al om te voorkomen dat de weerstands­

kromme steil gaat afvallen.

-57-

Uit dit alles moge men concluderen dat het lonend zal z~n

een plaatsa£hankel~ke doping aan te brengen. De technologie

hiertoe benodigd wordt goed beheerst. Teneinde een beter in­

zicht te kr~gen kunnen verdere optimaliseringsberekeningen

worden uitgevoerd. Tevens kan nog getracht worden om de ver­

gel~kingen voor bepaalde v-E relaties analytisch op te los­

senV~ en de verschillen met de hier vermelde resultaten te

onderzoeken. Ook kan men hiermee misschien de benodigde re­

kent~d verlagen.

-58-

1. Eigenschappen van de verschillende diodes

2. Opbouw van de diode

3. Veldverloop en energiebandenpatroon beneden reach-through

4. Amplitudeat:hankelijkheid van het reele en het imaginaire

deel van de impedantie

5. DC-spanning vs wisselstroomamplitude

6. Eigenschappen van de Schottky-diode

7. Simulatie van de baritt in een trilholte

8. Zie 7 9. Zie 7

10. Geleidingsstroom en spanning als :func.tie van de tijd

11. Verband tussen de geleidingsstroom in x=O en v m

12. Verband tussen de geleidingsstroom in x=x en v m m 13. Impedantie van een belastingscircuit als :functie van

de :frequentie

14. Zie 7

15. Invloed van Ere:f op Ic(x=O)

16. Verband tussen In(is ) en ~o

17. A:fhankelijkheid van I van de amplitude s 18. Invloed van E ~ op'de grootsignaalimpedantie

re.l. 19. E-x bij gewijzigde theorie

20. IV-karakteristieken voor G16

21. IV-karakteristieken voor K19

22. E-x met beginschatting

23. E-x

24. 25.

26.

Dopingspro:fiel

E-x voor N (x) o

P-x voor N (x) o

N (x) o '

27. JV-kromme met T als parameter

28. a) x -J m T b) v -J m T c) Eo-JT met T als parameter

d) EL-JT Kleinsignaalimpedantie 1.2 1021 m-3 29. en N (x) o

/

-59-

30. Afhankelijkheid van -R t.a.v. de biasstreem

31. Reele deel van de greetsignaalimpedantie

32. R(T) met de streem als parameter

33. X(T) met de stroom als parameter

34. Verschillende depingsprofielen

35. E-x veer deze profielen

36. P-x veor deze profielen

37. Kleinsignaalimpedantie

38. Grootsignaalimpedantie voor verschillende profielen .

39. Looptijden veer verschillende prefielen

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

R(Am) P(Am)

R(Am)

P(Am)

Kleinsignaalimpedantie

Kleinsignaalimpedantie

Ln(I t) vs f op Leoptijden voor verschillende dopingen en temperaturen

R(Am)

49. E-x voor verschillende prefie1en

50. Kleinsignaalimpedantie voor~N3,4(x) 51. Kleinsignaalimpedantie voor N3 ,5(x)

52.

53.

54.

R(A ) m peA )

m R(A )

m

--'K.tSlJ . I t

100 t I

10

:! .

+------------------~---

+ :: + - i-

v

-60--

IT" a]

~b rf~'-..L-// A vo-lc:.V.tlOl...~

J . .--__+-----4-1 --

~-4-'1-+ t ~ 1-+~ I:: +I~ --t----t- .... T .. : --p'1'

+- ....... -... --

.~ ~(SH-,]

2

---

E

i

-61-

-k [SL1

t it

3

:J

'.1.

(}

0 !L. 3- :> +

Fig. 4

bO

s8

C 1. s

Fig. 5

5f

\ r:l'.

---.Vr-\lV] t:.t.

S:c~()l:l:v..J 6",'rrr:R:c::-';;:e.

1 _~ f.

7:>. I C> C..v\

!to -

\0

:F'ig. 6

.4

.35

.3

.. 25

.2

.15

. 1

.05

o

-.05

- • 1

- . 15

.2

-.25

Itl11 -63-

I I

11111

. II I

- . 3 '----'--. ......L........ .. ~~___'____'_____'_ __ .. .I_.JI_..L__'_____'__L_...J..._._l_____L__.l.__J

o 3.063305 6.12661 9.189915 12 . .25322

-----t.~ t [SEC] "d~-09 ,

I:tl<a~l l!Va ~ - I

,o. t • • J • V ... c(~-t- 'F J<tSo TItEN c.1> $.1'\ (t...::.I:)

'nsEt 0)

80

40~··~~~_~~~~L~~~~-~.l.--J

o 3.063305 6.12661 9.i89915 12.25322 *@ 09 ---+. t [$ t: c:. ]

Fig. 7

-64-.4

( ...... I' V = C I .... J.F ;)-S.<.> "tHe,.lo.~ 'ElSi< <».

35

.3

.25

I

-.1 S

.2~~~·········~~····~~~~~~~_ .. L ........ ~~~~j

o

80

75

70

65

60

V'O tV]

i

2.297479 4.594958 *©-09

I

~M~~~lr ~t i, I, ' ,

I

!

6.892436 9.189915

-----.. t [";>l<<:J

, II II I !

I I"

: I ! i I

I

II • I ·

!I :

SOL .. J o 2,297479 4.594958 6.892436 9.189915

*©-09 "1; [Sec]

Fig. 8

.04

.035

.03

.025 .

. 02 o

.04

.035

.03

.025

.02 o

.7658263

.7658263

1.531653 *©-09

1.531653 *@-09

-65-

3S2

2.297479 3.063305

---+ 1:. [S EC]

Fig. 9

2.297479 3.063305

-----.. t [SEC] -.-

Iaif'l'S. :: 30Wl~

so

30

l . )

'Ol/

f= b. ,<; S tI 'Z •

VB, Iu 4

T .... 2S:-<::O C.

1"" l I

i I

/ \

i I \ / \

~ b2 I / \

~ ~ 0\ 0\

. \

I /

\ I "-' \

. "'j

!-'. (Jt;j

/ \ ~ bo •

-'

c / \

\\ .

1 / \

\ I s&

t

\

"-'-...,.

51-"'-. .................. -- .. -.- ..................

I

o :s- ID '.0 ?,c 40 So

-I:a :J -j;; t r X 3. ·Db·IO $<;!'C !-

., 1 I

:I..

-68-

10

t .."., •

Fig .. 12

10

......... _­-.I I , ----

X R

r i go j

\ S'

.30

10

o o

-10

-,20

" .. I

'. 9 ~

I ' , I I

9 ---r I

Co

to

Lt. :;r:

L~ = Ll -.::. Co =­C1:=

CL '" CS =­'RL ",

Te.if'\:S'::: 30 ""'~ ..

kle; .... sl::)V\~ 'wtpcd<:\.nt..ie.

.05

.045

.04

.035

.03

.025

.02

.015

.01 o

70

65

60 o

.7658263

,7658263

-70-

1.531653 *©-09

1.531653 *©-09

2.297479 3.063305

Fig. 14

2.297479 3.063305

----+_~- t [SEC.]

-71-

'3

305

~> ~e ::: 0."2. e:-V

MET C.o?"?Ecri E :

1 · E-~t = s kVlcW\ · 2- · Eref =.10 W~ · 3 · .. ErteJ ::: 51::> kV/c~

4 ZendeR c..o'R~EC.T;E

S: I \:;oi:...,

~I

Fig. 15

---..... ~ t:. [ 1< 0.'1<:\') ;'~ So] ~bs~ ____ ~ ______ J-____ ~~ ____ ~ ____ ~~ ____ ~ ______ __

Is ,,' L INI flJ <fe:. -= 0. 2..Zc=. V

I-I-...t- '::t .lo C 1+ ~S~~ c...>t) \Ao\A 1

f-= b·'('S~Z lob

IO~

lem

40

-1.00

-3·00

O. I'ii?

Fig. 16 I

-.1 N I

'ke Z [..:Jl] i .

-it

-3

-2

(; = 36 L I ...... "RM 'S~ I.¢-!;) \M~

-\-- b. bb S~-z:. I: :2S0C

fLo;: G.\b"'W'\

1

2-

3-

4 S b

Fig. 18

"" O~----~----~--~3~--~--~~",,----~£----~----L---~--~~~--~

"" ~'" "'-~

t -:/ W I

-7h-

1.0

0.5"

6.1. Fig. 19

.2.

"'0.1

-o.l.j

-75-,-

rt~J / //

/ ;// 1 ~2.. / / /

to / /; I /

/ I /

II I / II / /

4

/ / 10 --~

/ I

/ I _ -- 'beW\e.b=,\") _ be.~el(e.nd

!J I / I;;

/ / Fig. 20

/ I I

/ h

~OOG -" / 'Ploot':- tJ~ S,lb ..

10-

j f

/ I I

A. looC I I

.;t I I I

/ I / '/

~ "' .. I I - _ Aco be -+ V[v3

-l It:)

-76-

/' /'

/ / / //

/ ./ / / ,/

/ 1//

/ / /

I 1/

I / I I/, I /1

I r I J I J

I I I

I I J I

I I I I I I I I 1[ -I 1

. 14o~ ~'l

/ /

I

/ I

I

J I ::J.:t 0 c...

I I

40

Diooe..

Fig. 21

-77-

Fig. 22

o

-Q\~r-______ -J ________ ~ ________ ~ ______ ~€~-----

o --P' x tfl'<l-:J

I,S"

Fig.. 23

• -,..~ I- '--_________________ _

~t;6 o

---.... ,..

-78-

3

o

-, Nl>~) ( -I·QS x

\\.. Il + 6.'3030 X Io.

b .... i:-S' )

:al -3 C> J!5. )( <: 1.'9 It> ..... = 11> Ie. W\

_b -b (- 'ty':s. X Co

.... II •• ~~) a.\ -3.

I.QIo.$ X ..:; ::2 1o ,..., '"

10 10 1M

_4 -c. l

2 \.2, b ) oz.\ -3 2.10 ,s, ,.. <.3 ~ 1M ", '.t..l-U )< It> - j . "1 ~¥ X Ie. T I i""S''i3 H:. ...

_b )c.,

_6 ~, -.l .3'10 .I!O, <. =I ~t> W\ = O.:S:- If:. WI

H .. l.'io ----7· ... · ..... ~ ............. "' .. " .......... .. . . . . . ... . . . ... . . . .. .. . .. . . . 106 ---_ ................. ' .......... .

-,,_ ...... "" ~.. .. ... . .. . . .. .

-79-

Fig. 25

_~ L-____ -+ ______ ~----~------~------~----~------~

1J2-

.It 10

o tL J

<& 1.

1---.... x. r ;f.lWlJ

,::SQ°c.

USo-=t>.2."""V

Fig. 26

--..... X~"'J

"

It>

80

-80-

• I--1f--- • 00 c. ..

H--+-- I Sb C. Fig. 27

-..---... .. V [v]

100 i I c>

-81-

.. '--__ I c;() C Fig •. 28a

• ...... '"""""--'00 c:

0.1

o lolt

Fig 28b

0,2

Id'

o

, ~U .. lb

',l-

-82-

cg .. ::.O.2_ V

N - N(~J D - o\;;

Q :. =rr-

~O:'b ... "2..

WO::: Nex) e ~-;)A

Fig. 28c

Fig. 28d

-83-

3

2. _.

o.

-2

f= S.5~ SI1-z. No~) T;:: 50°C

~C>;' 0.2- e V

Fig. 29

Fig. 30

-- 8 M

10 g I.e> 12 0-+-----------:....---·-4--·,---1-1 ---...-,,0---------"'----'--

-2

-3

-Jt

N.cQ<) = f\,Cx.) f = 8. s-~ S ti-z

Fig. 31

R [32]

1 o

-1.

-Lt

X[Sl]

r

-So

-bo

. J:.pc:.":f 1(;).> 2. S",) 6"6 WI ~

NoLl<) :: NeJ o

So

-85-

Fig.32

JOo.

Fig. 33

N~) r

J

i

o 1

,,~)< :5'~S }AWl

:1.&~ x ~ 2-2. "5 x l!( 3

. X ;>3

o.S,S" X ~ 2."!..

~3 ~X ~~.s-

Ll:" :s.X s; &.')­

X ~ 3.~

0.3-:;; >\ ~ I;l

1.3 ~><; ..$0. 1.1"

3.l ~ x. ~ 3.S­

J.S'~X e;;, 4S

X ~ 4.S:-

-86-

Fig. 34

tb

-4

I ott.

:u ''1>

SO If:)

0 t

1 [~-'J

o

-87-

Fig. 35

S b III x[f'-j

T-= So."C

. c:s,.,. =- "0 • .2 = \/ ~T '::r \'01:. 1Y_~

Fig. 36

.3

2

-,

-2

-3

-'1

-88-

-x [.:s1.]

Fig. 37

T ~ So-C

CS' .. ::; I> ~ 2"e. J ~.,. 3.c.-lA

'K[SL1

1

-2

-I

()

.2.

-tl ~ [ "'0 sec.]

1 Ib

-89-

4

(>

T:::. sO V

I - '-5 Witl Jb.-~ .... 0.,2. e.V

Fig. 38

'0

Fig. 39

-I

-2 -

20

10

-90-

Fig. 41

Fig. 40

&t -.30 1.2. 10 W'\ o ~~ __ ~ _______ ~ ____ ~ ______ ~ ____ ~ ______ ~ ___ ~

----- 'HWI 4

1< [.57.]

-I 1 -2

20

to

o o

-91-

Fig. 43

I. '2. . ltl>

Fig. 42

'2.

.2.1 -.> 2.10 W\

-92-

Fig •. 44

---- N.t~) 7.\ -3

NII:):t a,. \b ~ I I I '

1il •• (, ..... 1'

~ -:2. II

" I I I

I I

-':!. S·".l f , 's ,

1 I I /

s",,'A

-4 ~ee

o

-1

-S'

-93-

So

\ , ~o

\ \ \ \ \

}I

" " \ g.t ....... ?-?'1 .... " -0- \

&0>001\ 1;~r,

Fig. 45

--...... X[5L]

f I (

J(..'( /1

I I I I

I J

I J I I

I I

1n 741 \ Ib""A \. I \2.~IS-... A

~2.woA-

2,.. t('>~1 cs =o·::t e V

T::: s() 0 C.

:t:.oc,::o zs:"'!"\A (\:.~:z:.~ ""W'\~ ve.a...-.e1d)

t.'S'

a.z

t ,,,

1 12.

10

L

-94-

Fig. 46 /

&b

to f (Cj4-l:c)_

\

<3''-

1/ ~ ')' C>f.\- -::; L. bh So-t:a 2. .. ~ f c.r+ ::;: -::l""TCf Stl "4.

Fig. 47

R [51..]

- --3

- --I

, II \/Ills:)

] "'-..;..

• --.. --.. 2 'S .... A. \00· C .) S.bl. S+1a. -- --0 -----..3 S "..A ---0-.-

-2.

~ :z • ... A .., $0· c..) i17 C~l~ I f

\.0 \..n

"\ -J. I

N.!): !2.. \00 Wi

o 1I 1.2,

---........ At'\

1'2...

0

--'I

EI.';~",]

i N3~) N",Q'-) :

Ns (><) :

0

-96-

o .c: x: ..::::. o· S)-l.

0.:;;..:: X <: '7.).-'.

C> < X "'" o.s)-A

os",,< x .:::::r.)A.

vlI\II t 1t>'"2. II]

Ee. l \04 %;1 E I.. t I o~;t-~J 'X..., [1;'1-~]

.2 J '"

Fig. 49

N~~) N",0) Ns~)

'-22- f:,.Ls b,.?., -1."2£:.. -',So -1.2..(.

2",,3. 2.\ ·30 .2.1.,). L'~ O'SQ I. I S"

.. X r).\ '"'] :;;

" T

-97-

-t-I .1 c~ leAs It ,fRe9I.Cevt+;e [5t-1l:] N",~)

2. cstec.e. # " Xe; A t~A:1 s.QJJ . \ :!o

II " Lie> t 50 bO '7.0

5 I --- X [n] 1 I I

I I / I \ \ /20 I?

I ' bs / I \ I

\ I \ / I

J \ / I I ~}' \ - / I \ 150 ,\ !b~ j

\ \ If,

I \ t

1/\ I I :s

'. ~/

I~c I

j\(fi'

I i.e.t. I /

030 / / Fig. ,50

/'

. Nj1'fI~1 .. ' 1.9.0 ' .

t>.s JA -.,.. ><.

2.1 NJilnlO " 4 ~",},

o.~ _)c.

-I

-it

-5

·,0 b \

\

1.9 \0. ... 1

-98-

bO

%0

j I

1"0

II I I

I I I I I

I I

'.~t ~f / I

/ J I

I

U¥)~'l.-$I I :1.1

I. \:)Tm

• 0'15')J. -IO)t

Fig • .51

-99-

Fig. 52

:2 NJ)~)

.\~ Sl _:!. 2.. 10 WI. 5'#.1'

2. N),Q.) S.'J. \ 3 NsQ<) 15.

03 . \

Lf N~~) . S'.S3 \2.

r \ --.f/II> 'R M 0 ,

tb

tp~wJ

10 I

Fig. 53

2.

o \0. "2,.

-100-

t-RlSlJ

N{)(.'J<) f5~z1· 21

b. !of." S 2..10 .22-

2- N.>Q<) b.b, 20

3 Ns<.~\ r'Oj 22

4 N'i(x) 7.0 3 22

Fig. 54

2.

o 6

12-to

-101-

Literatuur. ===========

1. Muller, I., Elektronenschwingungen in hochvakuum, .

Hochfrequenztechnik u. Elektroakustik 14, 156-167

(193j); ibid. 43, 195 (1934).

2. Shockley, W., Negative resistance arising from transit­

time in semiconductor devices, D.S.T.J. 22 799-826

(1954 )

3. Legius, M.G.M., Groot-signaal-analyse van de Baritt­

diode, ET-6-76.

4. Sze, S.M., Physics of semiconductor devices, 364-68,

Wiley, 1969.

5. Canali, C. e.a., Elektron and hole drift velocity mea­

surements in silicon and their empirical relation to

the electric field and temperature, IEEE Trans.Elec­

tron. Devices, vol. ED-22 , no.8, 515-22 (Aug.1975).

6. RC-procedure "Fourier-analysis", RC-informatie-stencils.

7. v.d.Roer, Th. en Th.Scharten, College "Elektrotechnische

modelvorming van halfgeleiders in microgolfcircuits",

(1976).

8. Zie 7, Groot-signaal-theorie van Baritt- en Impatt-diodes.

9. Snapp, C.P. and P. Weissglas, Expirimental comparision of

silicon p+-n-p+ and Cr-n-p+ t;ansit-time oscillators,

Electron. Lett., vol.7, no 25, 743-44 (Dec 1971).

10. v.d.Roer, Th., DC and small-signal AC-properties of sili­

con baritt-diodes, 33 e.v.,proefschrift TH-Eindhoven.

11. Jacoboni, C. e.a., A revieuw of some charge transport pro­

perties of silicon. Solid-State Electronics, 20,77-89

(1977)

12. Coenen, N.G.M.G., Bepaling van gelijkstroomkarakteristie­

ken van baritt-diodes. (ET-7-76).

-102-

13. Eknoyan, O.,e.a., Multilayered ion-implanted baritt-dio-

des with improved efficiency. Sol. st. Electron. 20, 291-5

14. Zie 10, 40-43. . (1977).

15. Zie 4, 111 e.v.

16. Temmink, J. t Analytische baritt-theorie.(ET-1B-77) ,

VOQr aIle numeriekegegevens:

17. Veltkamp, G.W., Numerieke methoden,dictaat TH-Eindhoven.

18. Stoer, J. und R.Bulirsch, Einfuhrung in die Numerische

Matematik 2, Springer, Berlin, 1972.

/

sxmbool =-=====

A o A m a

a. :1.

C

CBA Ctot C 0,1,2,3 c

D

D

Di D nm d

F

- 103-

matrix

Richardson-constante

constante

modulatiefactor

parameter

matrix- of reeks element

constante

parameters

parameter

matrix- of reekselement

capaciteit

baritt-capaciteit

totale capaciteit

netwerkcapaciteiten

constante

matrixelement

dielectrische verschuiving

~iffusieconstante

diffusieconstante in x=x. 3..

normeringsconstante voor D

afstand tussen de metaalcontacten

elektrische veldsterkte

beginbenadering voor E

veldsterkte in. x. l.

normeringsconstante voor E

referentie-veldsterkte

a.c. component van E

verschil tussen E en een lineaire

benadering

bIz. ==:;=

9 32 6

12

6

9,41

6

26

6

9,42

14

20

15

17L

21

9

4

4

/ 44

5 14

4

43 44

5 29

15

6

G. ~

h

Ib I co I "cj I

J c J nm J s J tot J,

M

Me

M pq

-104-

waarde van F in xi

waarde van F in xi ten tijde tj

f'unctie

:rrequentie

bepaalde f'requentie

vergelijking met rangnummer i

stapgrootte in plaatsdomein

stroom door de baritt-diode

geleidingsstroom in x=O

geleidingsstroom ten tijde tj

stroomamplitude

biasstroom

geleidingsstroomdichtheid

normeringsconstante voor J

verzadigingsstroomdichtheid

totale stroomdichtheid

wisselstroomcomponent van J

tijdstapgrootte

parameter

lengte van de diode

spoel in brontak

parameter

matrix

metaal

matrixelement

aantal punten

acceptor-concentratie

donor-concentratie

donorconcentratie in Xi

normeringsconstante voor Nd

/

7

10 16

16

24

8

7

21

22

22

20

12

4

5 22

4

15

10

36 7

17

17

16

4 ,6

7 4

4

44 40

N v

n

o p

P

Pi

Pnm

Q

q

T

t

tj t nm

u

V. l..

v m

v s

-10.5-

eff. aantal toestanden in de

valentieband

plaatsafhankelijke donorconcentratie

type halfgeleider

oppervlakte

vermogen

gatendichtheid

gatendichtheid in xi

normeringsconstante voor p

kwaliteitsfactor

elementaire lading

reele deel van de impedantie

bari tt-1veerstand

bronweerstand

reele deel van de impedantie voor

een frequentie f

belastingsweerstand

sUbstraat(serie}weerstanct

temperatuur

tijd

tijdstip t=jk

normeringsconstante voor t

coordinatentransformatie

bronspanning

spanning over de baritt·

thermospanning

eerste afgeleide van u

waarde van v in x. l..

barrierespanning

verzadigingssnelheid

/

3

39

3

14

54

3

7

5

13

3

13

20

20

24

18

18

3 4

10

5

6

17

17

12

7

7

22

5

w

y

z

e

~ £.

~ &. '-V

"­~o lf~ )D e

-106-

tweede a~geleide van v

waarde van w in xi

imaginaire deel van de impedantie

waarde van X voor een bepaalde

~requentie ~

plaats van de barriere

normeringsconstante voor x

plaatscoordinaat

getransformeerde plaatscoordinaat

vectorcomponent

impedantie

parameter

parameter

tijdconstante

dielektrische constante

beweeglijkheid

parameter

parameter

parameter

contactpotentiaal

image-~orce potentiaal

ruimtelading

loophoek

parameter

radiale-frequentie

7

7

+3 24

22

5

3

6

9

12

35 36 20

4

5 40 36 1 1

3 34 4

15 14

12

-107-

Bijlage 1 : Coordinatentransformatie.

:~ ~o[ ~(~-~J x (0) = 0 }- )

)( (1..) -= L

L.::. ~o [ ULfJ( ~J- ~J , j ~ ~L --p (1) , clt~ J Aod:Y\

:. e ~/9. ct~

(j")\ f\l\:: "lo ---. d~ ) ;.?'o ~)(. 'f<.:.c \ .~/ L = QV\ ( ~oL 't 1 )

3<:::>

We bepalen nu de constanten a en b met de methode van

Newton:

.f- C1-l =- ')<. - f/~) :: 0

B~k+l) :::. B~ l<.)

,,(0) _

C:So -

Bijlage 2 : Afleiding van de resttermen.

Deze afleiding geschiedt met de methode van de onbepaalde

~~efficienten []die we hier aan de hand van een voorbeeld

willen toelichten.

Stel we zoeken een formule van het type: ,-­I ,

~ (0):. a f (0) + b f ( -h) ~ c f (-:J.h) + 1\. (h ) .

a) Eerst bepalen we at b en c zo dat R nul is voor aIle po­

lynomen met graad 0,1,2 •••• {zo hoog mogelijk). Dit levert

als vergelijkingen

-f (x)::. 1.

ftx) ~x. f (-x) =- x'l

voor at b, c:

a. +b .... c ::. 0

h (-6-u:):: 1

\,2 ( b + ~ C) .::: 0

-108-

Door deze drie vergelijkingen zijn atb en c geheel bepaald.

o.~ 1.,.. , b::::. ~~ . c. ~ * En met deze waarden blijkt dat voor~®::fJR(h)F 0tnl.

RLh)= _ hJ. (-b-ac):: 2.h~

b) Veronderstel nu dat R(h) geschreven kan worden ala

(Stelling van Peano).

Wat zijn nu de waarden van C, p en q?

Zeker geldt q~Jt want R(h)=O voor alle polynomen met

graad~ 2.Anderzijds kan niet q">J zijn, want voor ~~)=x3 is

R(h~O. Dus q=J. Nemen we nu weer ~)-=-x" dan voIgt door

v.ergelijking van (1) en (2) p=2 en C=l/J.

Bijlage 3 : Newton-Raphsoncoefficienten van blz. 9.

"'Q::: 1- ..f-

a.. I.- ::. t i-

O-t.,l - 1..00T

b. ::: ,

,.- J .2.

b", :: -1-

C. o =- 1.

~~= h t t- \)~~). (9J~:i + 1 - ~ + 9.l.. t +i~N \ ) . E ~:.F~ + O'(A~+ b.

-109-

BljIage 4 : Newton-Raphsoncoefficienten van bIz. 11.

Ci.=

s. -rJ.) rl -

I _ -'i-\-

(-~

(

5 0 .));-1 -t;j ::::

C. :=

-110-

-111-

Bijla~e 5 : Opbouw en gebruik van de procedure IVTMDP.

("00)

(~oc) (booo)

I J

r ---- -- --'l

I I I I I

f

I I'

F c..,..;.-t; ~ -= l=' (,

~ll4:r:::.. "KL~

I I I

I I I I I

_r:JTM1)? _ J ~

uitkomsten voor j worden ~

gebruikt als beginbenade-

ring voor j+1 •

Circui tvergel:ijkingen J . IVTMDP ~ Kies ia~1'I:i"tT ,bereken met de proce­

de spanning over de diode. dure

Nu veT bekend is kunnen we spanningen

en stromen in het circuit uitrekenen.

Met deze resul taten corrigeren we ilS"tiTT.

etc.

-112-

B!jlage 6 Newton-Raphsoncoef':ficienten van blz.36

a .,.. o -

i-

b - _ I t.J ~\ -

E' t. + \+I£d

.2- o<.lVo [Ci.':', ) u~lN"

.2.. I>< Nt) (Q... -I ') u,.l N" ... .

Ceo :. - \ c:. • <..

'jc -:;: (Ae> rb of" Co. F',- S <:>

.... ~ tJ b • G.-a..)E\. Nv , +- 1 E( I

:::: I - b~_1

'-3.~ - bc:._, FC-. + 0..<. ~ or- C;. l-L..+ I - ~~

~IJ':::' b .... -t Ftt + a.., FI.l - S,tJ

0..-1

;. ~:t }Jc) NV

-113-

Bylage 7 ; Flow-diagram van het programma NDXPX.

bV/ Ec::::. Ec _'0 .Itt'i

N::o

iNTfI4Vl'tl­f------,li-----f-----4------; 11t1I.V GRiNS 1---..,

~----------~

Pc '')(::0 -Po 'Po

of

<

-<.. 10

Co ~i~olj; 10 c ft. j I::..e A.: t.t 1'1"1

voL~V\

N= ~s

KLA9'R

-114-

RLl.Ii\~e KuHa. Qt-f+ l. yli:: c::o:t 0 I at i a..

Bijlage 8

'jc =

<jl.-

~N

Bijiage 9

Q. -b-

0.= fIJ

. b~_,

-115-

Newton-Raphsoncoefficienten van bIz.44

1+

\ +

0..0 t;b

::= b~_t

-::. 6"'_1

C;'" ::. \ - bC:-1

+ Cc> E"\ - C;c E L-I + Q.~ C' <- + Ci.. E':'"t ,- ~~

E IJ-\ +- o.tJ b J.J - q~

).-<o~ N ~ (\.:. ~() l-

Newton-Raphsoncoefficienten van bIz.

Ii-

• ~1 + ~)(.IL.

LI.' -JI.- -

-116-

5;..,j+1 .... T~#j + Ci..

_ h2

A' \'1;. E~l.~ , '1-' ':')'1'1