Eindhoven University of Technology

MASTER

Digitale kodering van muzieksignalen en dataregistratie op een kassetterekorder

Spronck, P.J.M.; van Wunnik, H.M.A.

Award date:1973

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

https://research.tue.nl/nl/studentthesis/digitale-kodering-van-muzieksignalen-en-dataregistratie-op-een-kassetterekorder(625d58d7-7e1f-4376-b1ed-990ad62c65b3).html

~ AFDELING DER ELEKTROTECHNIEKTEGHNISGHE HOGESCHOOLEINDHOVENGroep' Meten en Regelen

DIGITALE KODERING VANMUZIEKSIGNAJ£N enDATAREGISTRATIE OP EENKASSETTEREKORDERdoor ~ P.J.M. Spronck en

H.M.A. van Wunnik

TECHNISC!!::; ~:CC[SCHOOL. E.;~:': :~\:_-:J

STU'l!':- -c' '.J-~r .,-----.r-._L- .....:_,.; l •. L:":i\ELU

-1· -

SAMENVATTING.

Er wordt aandacht besteed aan de theoretische mogelijk-heden van digitale kodering van mUzieksignalen.

r

{/ Met name het systeem van "optimal Differential Puls~-Code Modulation" wordt uitgewerkt voor dit specialegeval. Er worden enige muziekspektra opgenomen enaan de hand daarvan wordt het optimale D.P.C.M.-sys-teem op de PDP 8 computer gesimuleerd.Daarnaast ~ordt onderzocht wat de mogelijkheden zijnvan digitale dataregistratie op een kassetterekor-der. Analoge en digitale registratie worden verge-leken vanuit de informatietheorie en enkele bestaan~de procedes worden behandeld. Met name de stapres-ponsie en de fasekarakteristiek vaneen gegevenrekorder worden verbeterd.

(

- 2 -

INHOUD

Inleiding.Hoofdstuk 1. Koderingssystemen; Theorie en toe-

Page

56

1.1

1.2

1.3

1. 3.11. 3. 21.3.31.41.4.1

1.5

1. 5.11. 5. 21. 5.31.6

1. 6.11.6.2

1.7

1. 7.11. 7.21.81-.9Hoofdstuk2.12.2

passingen.

Kanaalkapaciteit en signaal-ruis- 6verhouding.Ben theoretisch transmissiesysteem 7met prediktie.Toetsing van PCM en DM aan de boven- 11grens.De SiN verhouding voor PCM. 12

. De SiN verhouding voor DM. 13De bovengrens van de SiN verhouding; 13Een optimaal transmissiesysteem. 1~De quantizer volgens Max. 16Statistische eigenschappen van het 18ingangssignaal.Het vermogensspektrum van muziek. 18De correlatiefunktie van muziek. 20De amplitudeverdeling van muziek. 20Optimale DPCM m.b.v. Kalman predik- 22tor.Kalmantheorie; tweede orde prediktor. 22Uitwerking en dimensionering van de 25Kalman prediktor.Simulatie van het opt. ~CM systeem 28op de PDP 8.Theorie eerste orde kalman prediktor. 29Gegevens voor de simulatie. 32Flow-diagram en computerprogramma. 36Konklusies n.a.v. Hfdst.I 38

2. Digitale magnetische registratie. 39Bestaande registratie-procedes. 40NRZ-I registratie; Theorie van het 42magnetische weergaveproces.

(

2.3

2.6

2.6.1

2.6.2

2.6.32.6.4

Hoofdstuk 3.

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

.,-,,-

Page

Infor~atie-theoretischeaspecten.van 47

magnetische registratie.

De kapaciteit van een bandrekorder- 47

spoor.

Theoretische vergel~king van binair 49

en multi-level bandgebruik.

Theoretische vergel~king van digitaal 51

en analoog bandgebruik.

Experimenten met binaire registratie 54

( NRZ~I ).

Filter ter versmalling van de elemen- 57

taire ~apresponsie eo.

"Multi-level-recording" m.b.v. de ge- 64

hele rekorder.

De amplitudekarakteristiek van de re- 65

korder.

Meting van de fasekarakteristiek van 66

de rekorder.

De stapresponsie. 70

De korrektie van de fasekarakteris- 73

tiek.

Resultaten t.a.v. de kapaciteit van 84

de kassetterekorder.

Konklusies. 86

Li teratuur. 87

Appendix.

Programmeerbare pulsgenerator. go

300 Vtt-versterker. 93Gegevens van de gebruikte rekorder. 94

"Kjellstroms Random Search" 97

Programma E/ER/SPRONCK!ARCT. 103

Aktieve fasedraaiers v~~ de 2e orde. 105

"Improvement of Music Recording" 109

(programma).

(

B1

B2

B3

Bijlagen.Vermogensspektra.Gestyleerde vermogensspektra.Correlatiefunkties.

Page

120

128

132

(

.- ~-

INLEIDING

Ret afstudeerwerk waarvan dit rapport verslag uitbrengthad tot doel te onderzoeken wat de mogelijkheden zijn vandigitale magnetische muziekregistratie op kassettere-korders.

Ret gebruikelijke proc~d~ van analoge magnetische regis-tratie is informatietheoretisch niet optimaal. Retgeregistreerde muzieksignaal is gedeeltelijk voorspelbaar;d.• w. z. de signaalspanning op het tijdstip t is niet onaf-hankelijk van de signaalspanning op het tijdstip t-4t.Deze redundantie in het geregistreerde signaal heeft totgevolg dat de informatie-kapaciteit van het gebruiktespoor niet optimaal benut wordt.Theoretisch is een verbetering van de signaalreproduk-tie mogelijk door reduktie van de redundantie in hetsignaal, b.v. door kodering.

Vanuit deze gedachtengang is gezocht naar een optimaledigitale kodering voor muzieksignalen (hfdst.1).Daarnaast is onderzocht hoeveel digitale informatieper sekonde geregistreerd kan worden op magneetbandmet een konventionele kassetterekorder (hfdst.2)."

(

HOOFDSTUK 1 KODERINGSSYSTEMEN; THEORIE EN TOEPASSING

In dit hoofdstuk wordt gezocht naar een methode om eensignaal zodanig te koderen dat na transmissie en dekoderinghet oorspronkelijke signaal zo goed mogelijk wordt benaderd.De kwaliteit van de benadering word~ uitgedrukt in deverhouding van signaalvermogen en rui.svermogen (in dB.).waarbij de ruis ontstaan is door het quantiseren van hetsignaal.

1.1 Kanaalkapaciteit en signaal-ruisverhouding

Uit de informatietheorie is bekend dat aan elk signaalmet ruia een hoeveelheid aelektieve informatie kan. wordentoegekend.(lit.1)Wil men een signaal overz-.enden met als eia: dat de s:ignaal-ruisverhouding ~i ontvangst een gegeven waarde niet over-schrijdt, dan betekent dat in informatietheoretische termendat een bepaald aantal bits selektieve informatie persekonde getransporteerd moet worden.Of de transmissie theoretisch uitvoerbaar is hangt af vande kanaalkapa~iteit. Deze moet groter z~n dan het aantalb.s.i./sek. dat overgezonden moet worden.Shannon heaft een formule afgeleid voor het aantal b~ts datminimaal overge~onden moet worden om een vereiste signaal-ruisverhouding te halen. (lit. 2)

R ~ W bi ts/sek. 1.1.(1)

waarbij : R = transmissie hoeveelheidW = bandbreedte wan het signaal~2 = toegestaan quantiseringsruisvermogen

q

Q = 2~e exp.(2H) = "Entropy power"H = "Entropy" van het signaal (lit. t)

f

-/'-

Anderzijds is het mogelijk om, gegeven de kanaalkapaciteit,

een bovengrens VToor de: signaal-ruisverhouding aan te geven.

Substitutie van vergelijking 1.1.(1) in

sT= lO, log~

UqdB.

waarin ~ het gemiddelde vermogen van het over te: zenden

signaal is, geeft

s!r" = 6 I1l. +

210 log T dB.

waarbijJ nR=~ is het aantal bits per sample.

1.2 Een theoretis:ch transmissiesiys,teem met prediktie

Zie fIg. 1.2.-1 en lit •. 3 :

)(~}I ej ....... 5j 1 Sll;-I r/

L.D.F.+At. +

- PRoIH>. ~

{ }( 1:) 5-

-p-

2Het stationaire signaal S( t), met gemidde.'ld vermogen V enbandbreedte W, wordt met de Nyquistfrequentie ~ = 2Wgesampled. Noem deze s;amples. {Sit. De predik:or in deterugkoppellus maakt een lineaire schatt,ing Si voor Si

aan de hand van de samples {Si_'}:

...Si = a,Si_' + a 2Si _2 + •••••••• + anSi _n '.2.(-1-)

...Elke voorspelling S. wordt afgetrokken van de werkelijke

~ ...samplewaarde : e i = Si - Si •Deze foutsamples {e:.} wordenovergezonden en aan de ont-

~ .vangz~de wordt m.b.v. een analoog' aysteem het originelesignaal sCt) gereconstrueerd~Veronderstel dat het ingangssignaal een Gaussische ampli-·tUdeverdeling heef't, dan zijn de samples{s,-look Gaussischverdeeld. Indien de prediktor een lineair systeem is, danzijn de samples {e i ] ook Gaussisch verdeeld. Ala bovendiende prediktor zo gedimensioneerd wordt (keuze van dekoefficienten a 1 a 2 a 3 ••••• an ) dat de variantie a; vande sample;s {ei} minimaal is ( v; =v; ), dan zijn de samplesonafhankelijk van elkaar. (lit. ,4,5)De Entropy per sample ei wordt dan gegeven door·:

+CA

Be =- ~(e) In P'e) de- C'J

'.2.(2)

waarbij pee) de waarschijnlijkheidsdichtheidfunktie is van deamplitude van de samples. Omdat P(e) ook nog Gaussisch is"is voor de Entropy power Qe te schrijven: (

Qe = 2~e exp. (2H) = v~ =6;

Omdat het kanaal een eindige kapaciteit heeft veroorzaakt

het een quantiseringsruis,met vermogen lI~,die b~ het uitgangs-signaal Set) opgeteld dient te worden.

De quantiseringsruis wordt veroorzaakt door het feit dat eenkontinu variabel signaal S( t), me;t bandbreedte W, een oneindigaantal waarden kan aannemen en dus een oneindig aantal

bits vereiat om het signaal exact weer te geven.Voor kontinue processen geld~ dat het verschil tussen deEntropy van 'het signaal en die van de ruis een maat isvoor de informatie die overgezonden wordt.Dez.e hoeveelheidwordt aangegeven door de verhouding Qe •

v~In lit. 12 wordt bewezen dat voor dit systeem moet geldendat de Entropy E en de Entropy power Q van het ingangs-

signaal gel~k moeten z~n aan resp. de Entropy He en de

Entropy power Qe wan het foutsignaal {ei} •De bovengrens van de signaal-ruisverhouding voar dit systeemwordt dan:

S 6n + 10 u2

6n(72

N = log Q = + to log Q =e

6n + 10; log t?- 1.2.(4)=~

(;2De verhouding --2 wordt bepaald door de statistische e,igen-

vmschappen van het signaal.(lit.4)Ook gee:ft deze verhouding de mate van reduktie van het

signaalvermogen weer t·. g. v. lineaire prediktie. (f'ig. 1.2 ..-1)Vergel~king 1.2 .. (4) geeft de theoretische bovengrens aalli (

van de signaal-ruisverhouding v.oor het in fig. 1.2.-1beschouwde systeem b~ beperkte kanaalkapaciteit.

, 1_10 -

Deze verhouding kan uitgedrukt worden in termen van hetvermogensspektrum van het ingangssignaal.Veronderstel dat het vermogensspektrum F(~) van het signaalSet) er als voIgt uitziet : (fig~ 1.2.-2)

als - (.J ~ l,J ~ Wo 0

Wome t 2 Tr W »1i

c

+ 1

'1 LOfJ I F (w)/

als Iw/~ w o

1.t---_-""'-

---~> LO;J W

figuur 1.2~-2 : vermogensspektrum van het signaal

Voor een signaal met dit vermogensspektrum is in lit.5 een2

uitdrukking afgeleid voor ~:

2(7m =

(

waarb~ R01 de kovariantie is van de opeenvolgende sampleswan {si}.De autokorrelatiefunktie van Set) is per de~initiegelijk aan de inverse Fourier transformatie van het vermogens-

spektrum F( W ).

- //-

In dit speeifieke geval is voor R01 te sehrijven:

R01 = (;2 exp." - we-r)

waarbij~de tijd tussen twee opeenvolgende samples is, dUB

~ =2i = wn- (r = bandbreedte van Set) ).000

Substitutie van vergelijking 1.2.(7) in vergelijking 1.2.{~)geeft als benadering voor de verhouding c2 :

(52m --I

1 W o-2 IT we. 1.2.(8)

M.b.T. deze laatste vergelijking wordt de maximale signaal-ruiSlVerhouding ( verge 1.2.(4) ):

S

N!~ 6n 10) log

1.} Toetsing v.an PCM en DM aan deze 'bovengrens

In deze paragraaf wordt de signaal-ruisverhouding van tweebestaande koderingssystemen,te weten PuIs Code Modulatie(PCM) en Delta Modulatie (DM), )berekend en vergeleken metde maximale signaal-ruisverhouding die hij ee:n gegeven bit.-rate theoretiseh haalbaar is.Bij; deze berekening wordt erv.anuit gegaan dat het ingangssignaal een vermogensspektrumFe W) heeft zoals in § 1.. 2 gedefiniee,rd is :

-/2-

als-W ~ w, W(). 0

als Iwl ~ W o1 .. 2.(5)

W omet 2'in:J = 25

c

1.3 •. 1 De signaal-ruisverhouding 'Woor PCM

De signaal-ruisverhouding wordt in het algemeen gegevendoor:

s-r= 10) log ~C q

Voor PCM geldt (lit.6,7) dat het quantiseringsruisvermogen2 Eo

c~ r:: -r2 ' waarbi j Eo het verschil tussen twee quantiserings-niveaus is.Indien n,het aantal bits per sample~ nie~ te klein is.

Edan geldt Eo =~ .. ( Ep is de top-top waarde yah hetingangssignaal) 2Als het ingangssignaal begrensd wordt tussen -4 C en +4 C-

. (zgn.. 4,Cloading), dan is Ep = 8 ~ ( c? is het gemiddeldvermogen van het ingangssignaal).De signaal-ruisverhouding woor PCM wordt dan:

2S C~ = 10 log ---2

Cq= 20n log 2 + 20 log ~~ =

(

= 6 n 7,3 dB

Yoor vergelijking met :rormule~1.,2.(4) zie f"iguur l.3,.}.-1

- /3-

1.3.2. De signaal-ruisverhouding voor DM

In lit. 3 en 6 wordt voor de signaal-ruisverhouding vanD14 aangegeven:

s,-- = 14,65 +

Omdat er b~ DM, in tegenstelling tot de andere koderings-systemen~meestal niet met de Nyquistfrequentie wordtgesampled is n in vergel~king 1.3.2 •. (1) gedefinieerd alsde verhouding tussen de gebruikte samplefrequentie B ende Nyquistfrequentie 2fo :

Bn = 2foi

1.3.2.(2)

Voor vergel~king met formule 1.. 2.(4) zie f'iguur 1 .. 3, .. 3.-1

1.3.3. De bovengrens van de signaal-ruisverhouding

De maximale signaal-ruisverhouding b~ gegeven kanaal-·kapaeiteit werd in § 1.2. afgeleid (vergelijking 1.2 .. (9) ):

sIr = 6n + 10 log Wowe - 1010g 2 rr 1.3 .. } .. (1 ) ,

Womet ---- - 25 wordt de signaal-ruisverhouding:2W e. -

sIr = 6n + 13,0 dB

· I

In figuur 1.3.3.-1(resp. vergelijkingafgebeeld.

-/f-

zijn deze drie signaal-ruisverheudingen1.3.1.(2), 1.3.2.(1) en 1.3.3.(2) )

in dB.

40

30

20

10 '

2 4 6 8 10 12 14

_....;;x_---"-'-a=.s-~~ n

figuur 1'.3.3.-1 : signaal-ruisverheuding van drie;systemen (lit.3)

De waarden ep de x-as betekenen veer PCM en het systeemvan fig. 1.2.-1 het aantal bits per sample. Veer DM ishet de verheuding tussen de gebruikte samplefrequentieen de Nyquistfrequentie.

(

1.4. Een optimaal transmissiesysteem

Systemen gebaseerd op PCM of DM maken geen of onwollediggebruik van de statistische eigenschappen van het signaal •.Dat dit een tekortkoming is blijkt uit het volgende voor-beeld.Als het ingangssignaal met de Nyquistfrequentie wordt ge-sampled dan bestaat er, afhankelijk van het vermogensspek-trum van het signaal, korrelatie tussen de samples van hetsignaal.Deze a priori informatie wordt bij PCM-en DM-systemenniet gebruikt~ er worden a.h.w. bekende gegevens van hetsignaal overgezonden •. Het kanaal wordt dus niet .optimaalbenut.(Dit is niet het geval als het ingangssignaal een rechtvermogensspektrum heeft tot een bepaalde afsnijfrequentie f o 'want dan bestaat er geen korrelatie tussen de samples enis PCM-kodering optimaal~mits gesampled wordt met deNyquistfrequentie 2fo )

Een systeem dat weI gebruik maakt van de statistische ei-genschappen van het signaal is in figuur 1.4.-1 afgebeeld.Deze manier van koderen heet 'Wptimal Differential PulseCode Modulation". (Ii t. 10)

(

}{I s; + 'f,' J SLtJ +, +. + 'I L, D. 'FR~'

,

-.....- PRE D, ~

{I ~ 1S (t-) I I 5,' .... ei cp r. (~,. T q,) II Sa" + -

"'RN • _,

t(~

{~J

{ 5,'1-fj/} +PRED.

1+

figuur 1.4.-·1 : Optimaal transmissiesysteem

Ret verschil tussen 4it schema en dat van fig.1.2.-1 isde toevoeging van een Quantizer. Het ingangssignaal Set)wordt met de Nyquistfrequentie (= 2 x de bandbreedte)...gesampled. De geschatte sample waarde 3 i wordt afgetrokkenvan de werkelijke sample waarde Si. Defout e i wordt doorde Quantizer gediskretiseerd met een fout qi.Het uitgangssignaal van de Quantizer is fe i + qi}.Deze samples .worden overgezonden en na dekodering en filte-ring ontstaat aan de uitgang het signaal Set) + q(t).Het geschetste Opt.DPCM-systeem is optimaal als Quantizer~n. Prediktor optimaal zijn.,Een optimale Quantizer wordt beschreven in lit. 8 •.Een optimale Prediktor is beschreven door Kalman (lit.11)

1.4.1. De Quantizer volgens Max

De quantiseringsniveaus van de Max's Quantizer zijn zogekozen dat de verwachtingswaarde ~an het kwadratischeverschil tussen het ingangssignaal en het uitgangssignaalvan de Quantizer minimaal is ofwe1 ~ is minimaal.De zo gevonden niveaus zijn statistisch onafhankelijk enhun kans van woorkomen is gelijk,mits het ingangssignaal

{eileen recht vermogensspektrum heeft en de samplesGaussisch verdeeld zijn.·Voor 13 niveaus wordt bijVt. de volgende niveauverdelinggevonden (zie figuur 1.4~1.-1)Voor een Quantizer met 36 niveaus berekende Max (lit.8)dat de signaal-ruisverhouding 504 of 27"02 dB is en datde Entropy 4,895 bits per sample bedraagt.De theoretische bovengrens is 6 x 4,895 = 29,37 dB, (hetgeen 2,35 dB beter is dan de signaal-ruisverhoudingvan het systeem van fig. 1.4.-1

S a 2~ = -2,35 + 6n ~ 1010g ~

e

uitgangs- ~ 2.51 - - - - - - - - - - --signaal e.+q.

~ ~

1,&1 - - - - - - - - -I

1,"38 - - - - - . - - ,o,~~ - . - - - I

0,6'1 - -- I ,I I

I

0,'-3 -

-2,2-Z _I,6:l II

- /,/a . -q81 -c,ItB - 0,16

IO,I~ 0.',2 0)]1 1,18 1,62 2,12

II 1 I - - - 0,1'3I ingangs-

- - - - o,6itsignaal e i

I I I

- 0, f:j9- - - -I

I

- - - ',38- - -I

I,{)i-- - - - - - - - -

- 2,5' 1·- - - - - - - - - - ~ -

figuur 1.. 4.1.-1 : niveauverdeling wan de MaxQuantizerweer 13 niveaus

De niveaus zijn afhankelijk van de spreiding ~ van hetsignaal {e

i}. De waarde van de niveaus meeten vermenig--

vuldigd worden met (Ie. In deze figuur geldt V; = 1 •

f

)

- If-

Omdat de Kalmanprediktor gebruik maakt van de statistischeeigenschappen van het signaal worden deze in de volgendeparagraaf beschreven.De theorie van de Kalmanprediktor voIgt in paragraaf 1.6.

1.5. Statistische eigenschappen van het ingangssignaal

Voor het berekenen van de prediktor is het met namenodig om het vermogensspektrum (§1.5.1.),de korrelatie-funktie (§1.5.2.) en de amplitudeverdeling (§1.5.3.) tekennen.

1.5.1. Vermogensspektrum ~s~w}van muziek

In de literatuur werden weinig aanknopingspunten gevondenom het vermogensspektrum wan muziek te leren kennen.Om tochenig inzicht te krijgen in het spektrum van "gemiddeld"muziek zijn enkele metingen verricht~Hiervoor werd een willekeurige greep gedaan uit driekategorieen die men zou kunnen noemen klassiek, populairen pop.Uit de respektievelijke kategorieen werd ge~ozen:

1) 5e symphonie van Beethoven2) "Anouschka" van Udo JUrgens3) "Heart of gold" van Neil Young

Van deze drie soortem muziek zijn m.b.v. een FFT-Analyzer( PDP 11/15) de vermogensspektra berekend en op papiergezet.De Analyzer samplet 20 ms. muziek en berekent danhet spektrum ¢s~w)over dat tijdinterval (single spektrum).Tevens werden gemiddelden bepaaldvan reap. 32 of 64 singlespektra ( ~ss(W) ).De grafieken van de spektra zijn inbijlage I opgenomen.

Uit de spektra blijken aanzienlijke verschillen. Bepaaldefrequenties bevatten veel vermogen andere weer niet~ Ditmag specifiek genoemd worden voor muzieksignalen. Despektra zijn sterk afhankelijk van welk gedeelte vaneenmuziekstuk genomen werd,omdat voor elke meting maar 20 ms.gesampled wordt en h~t muzieksignaal niet stationair is.De grafieken die m. b. Vt. de FFT Analyzer gevonden werdenzijn op lin.-Iog. schaal afgezet.Om een bruikbaarder beeld van deze spektra te krijgen zijnenkele grafieken op log.-log. schaal vereenvoudigd nage-tekend.(bijlage II)Uit 'deze laatste gra~ieken is grafisch een gemiddeld ver-mogensspektrum woor muziek bepaald. Dit benaderde spektrumziet er als voIgt uit : (fig. 1.5.1.-1)

1L 051 I ¢., ('")I",

A

W,

12 dB/okt.

flguur 1.5.1.-1 : Itgemiddeld"vermogensspektrum vanmuziek.

(

met : W 1,

= - ='f"',W 2 = -'- =T1.

2 TraOO rad.!sek.Z rr3000 rad.!sek.

-go -

1.5.2 De korrelatiefunktie van muziek

De auto-korrelatiefunktie 1bss(T) van het signaal voIgtuit de inverse Fouriertransformatie van het vermogens-

spektrum ¢ss(W)

-.1fss (T) = r{¢ss(~) l

M.b.v. de FFT-Analyzer zijn enkele korrelatiefunkties bere-kend en op papier gezet.(bijlage 3)Deze funkties blijken een harmonisch karakter te hebben.Het harmonische karakter van muzieksignalen bleek ook aluit de vermogensspektra (§1.5.1).Het is bekend dat eenharmonisch signaal een harmonische korrelatiefunktie heeft.AIs'men echter voldoende lange tijd zou wachten en overvoldoende muziekstukken zou middelen dan zouden aIlefrequenties even vaak voorkomen en men krijgt dan het infiguur 1.5.1.-1 aangegeven vermogensspektrum.

1.5.3 De amplitudeverdeling van muziek

Om een indruk te krijgen van de amplitudeverdeling vanmuziek is m.b.v. een probability - meter (Norma) en eenx-y schrijver de verdeling van de amplitude van een wille-keurige muziekpassage gemeten. In figuur 1.5.3.-1 is eenmeting weergegeven en in figuur 1.5.3.-2 zijn 10 metingenover elkaar getekend. (Uit deze laatste figuur valt op te maken dat de gemiddeldeamplitudeverdeling een Gaussisch karakter heeft.

_ tr

figuur 1.5.3.-1 : Enkelvoudige meting van de amplitudeverdeling.

figuur 1.5.3.-2 : 10 amplitudeverdelingen over elkaargetekend.

f

· 1

1.6 Opt. DPCM-systeem m.b.v. Kalmanprediktor

Indien men veronderstelt dat het vermogensspektrum¢~~)v-an het ingangssignaal gegeven wordt door verge-l~king 1.5.1.(1) dan is het mogel~k om de optimaleprediktor van het in § 1.4 beschreven systeem te bere-kenen. Samen met de in lit.8 berekende optimale Quantizerverkr~gt men een optimaal koderingssysteem.(fig.1.6.-1 , lit.1Q)

+II

I +,..., '>t< +- 1-1( ,L DFs Lt-~

I + q.ltA

51(

-- P E--

f'/ f1LSit) S't< 1""'\ ,ei( eo( + tJ.j(

loHl

--+ 5 Cf I+ - "

"S'K

H :Zj( = 51

-JJ-

, 1> (t) 1 '3_l_t-)--~~

figuur 1.6.1.-1 : generatie van S(t)

BU de berekening wordt verondersteld dat de amplitude-verdeling van de samples van n(t) en de quantiserings-ruis q(t) Gaussisch verdeeld zijn. De samples zijn onder-ling onafhankelUk van elkaar.In'vektor vorm is het ingangssignaal te beschrijven als:

waarbij de vektor nk_1normaal verdeelde witte ruis ismet motp.enten ( 0 , Nk ).De signa~lvektor Sk is eveneens normaal verdeeld met

momenten (~s '~k)·. Ie

De koefficienten van de matrix A worden bepaald doorde autokorrelatiefunktie van het ingangssignaal en debandbreedte W van het signaal.Ret signaal dat voor de prediktie gebruikt wordt is:

.!k = Sk + £l.k

waarbij de vektor £l.k normaal verdeelde witte ruis is (met momenten (0 , rk).Kalman (lit.1) leidde m~b.• v. de vergelijkingeru 1.6.1.(1)en 1.6~1.(2) een uitdrukking af die gebruikt kan wordenwoor de beschr~ving van de prediktor:

· \

-I

Ak

+1: = AA

k+~k+1 n:+t (zk+1 - AA

k) 1.6..1.(4,)

met

Sk+1

~Sk+1 is de schatting' wan Sk+1 op grond wan (k+1)

metingen en A~Sk is de v-oolrspelling wan Sk+1i op grond

wan (k) metingen.Indien het signaal stationair is dan geldt:

1 ..6.1..(6 )

Ui t vergelijking 1.6.1 •. (5) :lis nu een ui tdrukking af teleiden waarbijSk wordt uitgedrukt in termen vam

A " rk en Nk :-I

-,+ N 1 +kf

Tevens is vergelijking 1.6.1.(4) te vereenvoudigen tot:

-I

~sk+1 = ~sk + S'k fk ( 2fk - A~Sk)

of m.b.w. d~ notatie

1.6. 1 • (a)

,

... ...

Sk+1 (k+t) = A Sk(k)

- t ~--

Dit is de basisvergelijking veor de prediktor.

1.6.2 Uitwerking en dimensionering van de Kalmanprediktor

In het algemeen geldt dat een systeem van de tweedeorde (zie fig. 1•. 6. 1• -1) als differentievergelijking hee,ft:

,.1.6.2.(1)

of in vektornotatie: (zie vergelijking 1~6.1.(1»

1.6.2.(2)

waarbij:

( a 1 en a 2 zijn coefficienten die bepaald worden doorde korrelatiefunktie van set) en de samplefrequentie)

Indien dezelfde notatiewijze wordt teegepast ep verge-lijking 1.6.1.(9) dan voIgt:

..sk+1(k+1) E[S~J .", ErkSk_~

E[Sk_1 sJ E[si_ux

(

x

-11-

waarbij voor '$k resp. rk is ingevuld:Sl

k = E ~kSk_~

EE~-~

N.B. E,[S~] is de verwachtingswaarde van s~. De samplesvan de quantiseringsruis q(t) zijn onafhankelijk ~an elkaar.Uitschrijven van vergelijking 1.6 .. 2.(3) geeft:

E (SkSk_~ (zk - Sk(k) ) } 1 ..6 .. 2 .. (4)en

= ;k(k) + ;'i {E [Sk_l Sk]..

( zk+1..

Sk(k+1) 0 - a 1Sk (k) -

- a 2sk_1(k) ) + E[S~_1] (zk - Sk(k»)} 1.6.• 2. (5)

Deze laatste twee vergelijkingen geven aan hoe de optimaleprediktor gerealiseerd kan worden.In figuur 1.6.2.-1i is het optimale DPCM-systeem met debeschreven prediktor geschetst.

f

IX

-

· I

1.7

-t!-

Simulatie van het optimale DPCM-systeem op de PDP8

Bij een muzieksignaal dat in bandbreedte begrensd is totbijw. 16 kHz., hoort een samplefrequentie van minimaal32 kHz.Dit zou betekenen dat de rekenmachine 3~ ms.rekentijd ter beschikking heeft per sample.Het is mogelijk deze tijd te verruimen door het signaalop een bandrekorder (Ampex) met 60 inch / sek. te re-gistreren en vertraagd op 1 7/8 inch / sek. aan dePDP8 toe te voeren.De rekentijd per sample wordt hierdooreen faktor 32 groter, wat neerkomt" op 1 ms. per sample.In § 1.8 zijn de vergelijkingen aangegeven die voor eeneerste orde" stationair Kalmanprediktor uitgerekend moe-ten worden ( zie ook Flowdiagram fig. 1.8.-1). Derekentijd die voor dit programma nodig is bedraagt ca.0,5 ms./sample.Als men bekijkt hoevee.l rekenkundige bewerkingen gedaankunnen worden in het tijdinterval van een 0,5 ms. danzal het dUidelijk zijn dat simulatie van het systeem meteen tweede orde Kalmanprediktor (zie verge 1.6.2.(4) en1.6.2.(5) ) meer dan de toegestane rekentijd van 1 ms.zal eisen.Ook in het niet-stationaire geval is voor het systeemmet een eerste orde Kalmanprediktor de rekentijd te groot,omdat de variantie c; (en dus de Quantizerniveaus, fig.1.4.1. -1 ), de koefficient 0k' en de vermogens )2 en c~(zie § 1.8) steeds opnieuw berekend moeten worden.Voor een stationair ingangssignaal S(t) is de Kalmanpre-diktor identiek aan de Wienerprediktor.

(

1.7.1 Theorie eerste orde kalman prediktor

Een earste orde benadering wil zeggen dat het vermogens-spektrum ¢s~w) van het ingangssignaal is:

rA ("")JUss. 1

De afleiding van de eerste orde Kalmanprediktor isanaloog aan die van het wektor geval (zie § 1.6.1):De skalaire ·differentievergelijking woor het aignaalwordt nu:

het ingangssignaal zk van de prediktor is:

=

waarbij geldt dat:nk = normaal verdeeld met momenten ( 0,~2)qk = normaal verdeeld met moment en ( 0., v~)Sk = normaal verdeeld met moment en ( 0,s2 )

De recurrente betrekking voor de berekening van deKalmanprediktor luidt: (lit.11)

..waarbij Sk+1(k) de voorspelling is van Sk+1 op grondvan k metingen ..

(

- Jo-

De koefficienten a en (?> k+1 worden bij het ontwerpen~an de optimale DPCM-schakeling nader gespecificeerd.Ret optimale eerste orde DPCM-systeem is infiguur 1.7.1.-1 geschetst:

A (1

- .$/-

Indien het signaaIS(t) niet stationair is kan voor

[3k+1 een recurrente betrekking worden afgeleid:

Deze recurrente uitdrukking is verkregen door kombinat,i.evan de YOIgende twee vergelijkingen: (lit.11)

= v~ a2

Pn-1

v~ + Pn-1

a Pn-1= 2

6"q + Pn-l

Voor het dimensioneren van het systeem van figuur1.7.1.-1 is het noodzakelijk om te weten hoe grootC'~ , )2 , a en de eerste schatting 31 zijn, maar oak op,welke manier het signaal{ekldoor de Quantizer gediskre-tiseerd wordt.Dit wordt beschreven door Max (lit.8 enzie § 1.4.1 ). De niveaus van de Quantizer zijn afhanke-lijk van het gemiddelde vermogen c; van het signaal {ek }.Zoals reeds in §1.7 vermeld wordt het ingangssignaal Set)stationair verondersteld.ln dit geval betekent het dat:

a) ~ = Pn = Pn-1(

b) 2 2 s2 en V; zjjn stationair) u q "Het verband tussen de onder b) genoemde vermogens is:

- St-

1 Uit vergelijking 1.7.1.(2) volgt dat

r2 =

- .13-

1.7.2.a Quantizer met vier niveaus

p: p = 0,12

"} dan is a

O~126

lit.8 geeft voor de konstantegegeven: W1=2~800 rad./sek.

f =21116000 = 32 kHz2 s 2

stel C"e = 1,05 dan is G q =

r 2 =52 =

Ini tialisatie van {8 i 1: 81 =de volgende uitdrukking:

0,966

3,479o , voor

= 0,85

ontstaat dan

Substitutie van deze gegevens in vergel~king 1.7.2.a(1)en in vergelijking 1.7.1.(7) geeft :

~2 = 0,820

~3 = 0,759"} (\ = 0,759 woor k=3,4,5, •••..•.(34 = 0,759

(In dit geval wan ean stationair ingangssignaal is ver-gel~king 1.7.1.(7) te schr~ven als·:

= ap+1 1.7.2 ..a(2)

Voor de Quantizer vindt men:

T e:k + qk1,0$'4 --

(

figuur 1.. 7 .. 2 .. a (1) : niveauverdeling Quantizer

1.7•. 2.b Quantizer met 8 niveaus

(zie §1.7.2.a)

(k = 3,4,5, ••••• )13k = 0,825

voor de konstante p: p = 0,03

= 2 800 rad./.res~} dan is a = 0,85= 2 16000 Hz

= 1,° dan iSlf~ = 0,98s = 3,54

2Vq = 0,03

voor de koefficienten (3k....

stel c;

lit. 8 geeftgegeven: W1

f s

S1=0,dan voIgt

(32= 0,843

.(33= 0,825"\(34= 0,S.25 f

Voor de Quantizer geldt :

(

k

2,'~ - - - - - -

I;~t - - - - -I

0,16 - --I

•_I"S

oj., I-',06 -os r

I II 0,'; ',06 ',15' e

I I_O,lS'

,I

I - -- -o,"i 6I

- - - _. -·,'H

- - - - - - - - 2J15

figuur 1~7.2.b (1) niveauverdeling Quantizer

1.7.2 •. c Quantizer met 16 niveaus

Lit. 8 gceft voor de konstante p: ~ = 0,009

gegeven ""'1 = 2 800 rad. /sek. '} dan . ° 85~s a = ,

f = 2 16000 Hzs

stel ~; = 0,99 dan is{r~ = 0,98s = 3,54

2C q = 0,009

31=0, dan wolgt voor de koGffici~nten~k (zie § 1.7.2. a)

(t = 0,842 (k=3,4,5, •••• )

Voor de Quantizer geldt:

ek

+q

k 12,132,0)

1,62 - - -

o,~1t

C,bb

0,1'3 -

0,13

------'- - - - - ---

figuur 1.7.2.c (1) : niveauverdeling Quantizer

)

f

1.7.2.d Simulatie PCM

Voor PCM worden de koefficienten a en ~k+1 ( ziefig 1.1~1.-1)nul gekozen. De schatting van het signaal...Sk (k=1, 2, 3, •••• ) wordt dan nul •.De Quantizer is ingesteld op 16 niveaus, zoals in§ 1.7.2.c beschreven is.Het ingangsvermogen s2 = c; = 0,99 en het quantiserings-

2ruisvermogen C q = 0,009

1.8 Flow diagram en Computerprogramma

De drie berekeningen die de PDP8 moet oplossenzijn de volgende ( zie fig 1.7.1.-1 ):

... ...Sk+1(k) = aSk (k-1) +rk+1( 1 .8. ( 1 )

a ~2 + c 2 a 2 (2._ ) 9 '-k- 2 2 2

C q ... ~ + a G q (3k1.8. (2)

...Sk + qk: = ek.... qk + Sk(k-.1)

Vergelijking 1.8~(~) vervalt omdat het ingangssignaalSet) stationair verondersteld is.(§ 1.7)De twee waarden die de koeff'icienten (3k+1i aanneme·IlL·.worden aan het b~gin van het programma ingelezen.De Quantizer heeft drie verschillende mogelijkheden( nl. 4,8,16 niveaus ) en deze zijn in het basispro-gramma opgenomen•. Omdat in aIle VTier slmulaties geldt...dat 3 1 = Q is ook deze waarde in het standaardprogramma

opgenomen

,

-JJ -

In het programma wordt de Quantizer gekarakteriseerd doorde term "funktie-nr.". Welke Quantizer ( 4,8,16 niveaus)gebruikt wordt, wordt aangegeven door achter "funktie-nr."resp. de c~fers 1,3,5 te typen.Voorbeeld:

Indien de PDP 8 met de gegevens van §1.7.2.cwerkt dan moet ingelezen worden

a == 0,85BETA = 0,848

BETA2 = 0,842funktie-nr. = 5

Het Flow-diagram ziet er als voIgt uit:

Lees in : a, 2' k enfunktie-nr.

lees : S van ADC

A A A

S := as + funktie(S-S)nee

A ...

S := S + funktie (S-3)

maak S analoog DAC

figuur 1.8-.-1 : het Flow-diagram

Het Computerprogramma voor de PDP 8 is in Appendix 7opgenomen

,

- JR-

1.9 Konklusies n.a.v. het eerste hoofdstuk.

Bij de simulatie van het opt. DPCM systeem met eeneerste-orde Kalmanprediktor is gebleken dat, zelfsbij toepassing van een quantizer met 16 niveau's eneen samplefrekwentie van 32 kHz., nog geen kwaliteits-weergave van muziek mogelijk is.Hier komt bij dat de prestaties van het gesimuleerdesysteem niet noemenswaard beter zijn dan die van detraditionele PCM kodering met hetzelfde aantal bitsper sekonde.De voornaamste 'oorzaak hiervan ligt waarschijnlijk inhet feit dat het muzieksignaal ten onrechte statio-

. .nair verondersteld is.

(

-~-

Hoofdstuk 2. Digitale magnetische registratie.

In het vorige hoofdstuk is gezocht naar een efficiente

methode om muzieksignalen digitaal te koderen. In dithoofdstuk wordt onderzocht in hoeverre een konventionele,niet - professionele stereokassetterekorder~geschiktisvoor registratie van deze digitale data.Hiertoe wordt eerst een overzicht gegeven van de bestaande

registratiemethoden met enige theorie van het magnetische

weergaveproces in 2.1 en 2.2.In 2.3 worden analoge en digitale magnetische registratie

vergeleken met elkaar en bekeken vanuit de informatie-

theorie.Paragrafen 2.4 e.v. beschrijven de experimenten met degegeven kassetterekorder.

• Als experimenteer - exemplaar werd gebruikt een AKAI

GXC - 40D kassetterekorder; voor beschrijving zie appendix.3

f

- -10-

2.1 Bestaande registratie - procedes.

---0...... snelheid

opnamekop

figuur 2. 1 .-1

(,.... magneet-'~ band

weergave-kop

Het basisprincipe van de bandrekorder is geschetst in

fig. 2.1.~: Een stuurstroom is door de opnamekop veroar-zaakt een magnetische veldsterkte in de omgeving van despleet. Hierdoor wordt de magnetische laag van het bandin een bepaalde magnetisatietoestand gebracht (remanent

magnetisme:). Het op deze manier gemagnetis:eerde band wordtlangs de weergavekop gevoerd. Het wisselende veld van deopeen~volgende magnetische dipolen doorloopt nu de kernvan de weergavekop.De permeabilitiet van de kern wordtvoar het ideale geval oneindig groot gesteld. In de win-

dingen van de weergavekop wordt een wisselende flux ver-aorzaakt met als resultaat een spanning eo over de uitein-den van deze windingen die evenredig is met de afgeleidenaar de tijd van deze flux.

In de praktijk van de digitale registratie worden slechtstwee (soms drie) magnetisatietoestanden van het band ge- rbruikt. In de mee.ste gevallen wordt bij opname het bandvoortdeurend in verzadiging gebracht: de polariteitswisse-lingen van de magnetisatie representeren dan via een ofandere kode de binaire cijfers "0" en "1". Slechts in

enkele toepassingen alterneert de magnetisatie van hetband niet tussen de beide verzadigingswaarden maar is ernog een derde toestand. Tabel 2.1./1 geeft van de meestgebruikelijke methodes het verloop van de schrijfstroom.

Data:

Return toZero (RZ)

Return toBias (RB)

No Returnto Zero-I

No Returnto Zero-C

Phase -modulatie

Pulslengtemodulatie

0 0 0 1 0 1 1 1

JL lJLlJLULf-ns-ns-0J n.r ~f-f---- - -- - -- -- 1llJh~

r--

.- -- --- -- - - - -- - -- - - - --

- -- --- --- - - - - - - - ------ - - --,-

IflJ :-1rt8- -t- -I -- -l-

~- ,- - ,....-

_. -- - --- -- - - - - - - - - - ---' - --'

-

Tabel 2.1./1 :

enige registratie procedes;verloop van de schrijfstroom.

+sat.___ t

-sat.

+sat.-----... t

bias

+sat.---t

-sat.

+sat.~t

-sat.

+sat.~t

-sat.

+sat.~t

-sat.

f

2.2 NRZ - I registratie; Theorie van het magnetischeweergaveproces.

In het geval van NRZ-I is het magneetband steeds verzadigd,bij elke binaire "1" wisselt de polariteit. Figuur 2.2.1

geeft het verloop van spalUlingen en stromen:

Stroom dooropnamekop

Magnetisatievan het band

weergavesp.eo

1 I I J---It::::11 I I-L-:::~~~v~A------

· \

\

\ \ E

yf-~-~~-~--ur-HrS--"tv .,

x If'iguur 2.2.-2 : 11--------........'

Igeometrie van kop en band.

-tilsat

passeert op t=O). Het magnetische weergaveproces kan nu alsvoIgt gekenschetst worden:

M(i) ----.. ¢(x) ~ vN ~ = e(X') = e(vt).

waarin: M(X') de magnetisatie van het band is

- ~(x) de flux in de windingen van de leeskop- N het aantal windingen van de leeskop- v de bandsnelheid- e(i) de open spanning van de leeskop.

Hieruit bl~kt in de eerste plaats het differentierendekarakter van het weergaveproces. Verder wordt geindiceerddat de bandsnelheid slechts een schaalfaktor is op de tijd-en amplitudeas.am nu te verklarcn waarom de pulsen eo(t) een eindige breedtehebben, hoewel d~~X) oneindig smal verondersteld is in dewisselpunten, kan gebruik gemaakt worden van het reciproci-teitsbeginsel.

Als twee stroomkringen i 1 en 1 2 gekoppeld z~n door eenflux ~12 dan geldt onder bepaalde lineariteitskondities

dat ¢12=112 i 2 , ~21=121i1 en 112=121 waarbij 112 en L 21 dewederzijdse-induktiekoefficienten van de kringen 1 en 2voorstellen.(112 en 1 21 zijn geometrische konstanten)Voor het geval van magneetband en weergavekop kan menzich voor i 1 een stroom door de leeskop denken. i 2Repre-senteert het kringstroompje dat men zich kan indenkenals oorzaak van het magnetisch moment van een volumeelementje dxdy van het band.

Dit leidt tot de volgende redenering: De magnetische-veldsterktevektor' H die t.g.v. een eenheidsstroom door

de leeskopoptreedt in een punt xoYo is bepalend voorde mate waarin - bij het reproduktieproces - de momentane

magnetisatie in het punt xoYo bijdraagt tot de flux doorde leesspoel.

leeskop

H

H tZ----- HY :-I

iHx

•x

figuur 2.2~3: Het magneetveld opgebouwd door eenstroom i 1 door de leesspoel heeft komponenten Hxen II •

Y

Als de laagdikte b relatief klein en de magnetisatieonafhankelijk van y gesteld wordt, dan geldt:

2.2.(1)

Waarbij de indices x en y betrekking hebben op de respek-tieve bijdragen van Mx(X) en M (x)'tot ¢(x).

. y

Op grond van het reciprociteitsbeginsel kan de funktie Hx(x)aus beschouwd worden als een gevoeligheidskurve die de in-vloed weergeeft van de horizontale magnetisatie M (x) op de

xflux ~ (x) in de leesspoel, terwijl H (x) de gevoeligheidskur-

x (-) y rJ.-ve is voor de invloed van M x op de flux p (x)., y y

In formulevorm:

¢"x(x) = k jMx(X-X)Hx(X) dx 2.2.(2)

0y (x) = kiM (x-x)H (x) dx 2.2.(3)y Y¢"(x) = ¢ + ¢ = kJ 1i(x-x)H(x) dx 2.2.(4)x y - -

De integraalgrenzen worden bepaald door het gebied waarinHx(X) en Hy(X) van nul verschillen.

Voorbeeld:

My(X) =0; Mx(x) springt van -Msat naar +Msat ter plaatsex = x = vt.Er geldt dan:

~(i) = ~xCx) = kJ Mx(x-x)Hx(x) dxe (x) = _vNd¢(x) = vkN / H (x)d~!C(x-~2 dx

x dx x .....dx 2.2.(6)

De sprong in de horizontale magnetisatie werd ideaal ver-ondersteld, d. w. z. dlVlx(X-X)/dX is een Dirac-funktie6Xd (x-x).

· I

Op grond van de zeefeigenschap geldt nu:

e (x) = e (vt) = kvNH (x)x x

Hieruit voIgt dat de vorm van de teruggelezen pulsen bepaaldwordt door de veldvorm Hx(x) t.g.v. een eenheidsstroom doorde leesspoel.Figuur 2.2.4 geeft een overzicht van het magnetische weer-

gaveproces.

H (x)y

aIleen hor.magn. MxOO..

aIleen vert.magn. M (x)

y ...

! zowel hor. als vert.magn.:M (x) enM (x)x yfiguur 2.2.4 :Overzi.cht

2.3 Informatie-theoretische a?pekten van magnetischeregistratie.

2.3.1 De kapaciteit van een bandrekorderspoor.

Als men een spoor van een rekorder beschouwt als eenkommunikatie-kanaal met een bepaalde bandbreedte W eneen signaal-ruisverhouding SiN, dan geldt voor dekanaalkapaciteit volgens Shannon:

C W ( S+N)= log2 N

Voor de kapaciteit per eenheid van tape-breedte geldtdan:

als m het aantal sporen per breedte-eenheid is.Verder geldt voor de signaal-ruisverhouding van eenspoor ter breedte d:

Waarbij do de spoorbreedte is die een SiN verhoudingvan een geeft. Deze afhankelijkheid is als volgt inte zien: De signaalspanning die de leeskop afgeeftis rechtevenredig met de spoorbreedte omdat alle flux-bijdragen afkomstig van de diverse punten van het spoorin fase zijn en bij elkaar opgeteld worden. De bandruisdaarentegen is evenredig met de wortel van de spoor-breedte omdat de fluxbijdragen geen onderlinge faserela-tie hebben en .dus vektorieel optellen (Ii t .11). (Uit 2.3.1.(1) en -(3) volgt:

Ct in formule 2.3.1.(4) is maximaal voor d=do •

Dus Ct = wid .max 0

llieruit volgt dat de kapaciteit per eenheid van tape-

breedte ciaximaal is als gebruik gemaakt wordt van

afzonderlijke sporen ter breedte do. De breedte do isnatuurlijk afhankelijk van de bandbreedte waarbij de SiNverhouding gedefinieerd is.

In het geval van witte ruis is do evenredig met Wzodat Ct voor een bepaald medium een konstantemaxis.In figuur 2.3.1.-1 is de efficientie-faktor

Ct bO

• s oorbreedte d) IC

tbij spoorbreedte d6 uitgezet voor enige waarden d do·

104 105__~........ d/do

10

~~

"'"~~~

-

0,1

0,011

1

100

jgif!JX100%10

Ct b'· spoorbr.d )figuur 2.3.1.-1: Efficientie-faktor C bOO b ).t lJ spoor r.do

(

· I

2.3.2 Theoretische vergelijking van:binair en multi-level.bandgebruik.

Voor dataregistratie wordt meestal slechts van tweemagnetisatietoestanden gebruik gemaakt. Men kan zichechter afvragen of het niet zinvol is om inplaats vantwee niveau's ("0" of "1") meerdere te gebruiken.Bij kodering met twee niveau's korrespondeert elk niveaumet een binair cijfer. Bij kodering. met b.v. b niveau'skorrespondeert elk niveau met een cijfer uit een b-tallig stelsel.·De S/N verhouding die voor het laatste geval vereist iskanop de volgeride manier bepaald worden: Om een niveaueen duidig te registreren moet de piek-piek spanning vande ruis (npp ) kleiner zijn dan de afstand tussen twee op-eenvolgende niveau's, ofwe I voor het geval van b niveau's:

figuur 2.3.2.-3: Beperking vanhet aantal niveau's door ruis.

spp+ n = bn spp/n = b - 1-pp pp pp

max. piek-piek niv.1ruis n

~slpp niv.2 pp

niv.3L

In praktijk is een absolute piek-piek waarde voor'de ruisnatuurlijk niet aan te geven. Om dit te ondervangen kan deruis Gaussisch verondersteld worden met een r.m.s. span~ning V-No Beschouwt men nu AVN als de piekwaarde dan isvoor b.v. A=10 de kans dat de piekwaarde overschredenwordt: 2 x 10-22 •

(

- ()O-

Het aantal sporen dat nodig is om een gatal G in een b-tallig stelsel te registreren met een cijfer per spoorbedraagt 10gbG.Voor de totale spoorbreedte die nodig is om G te regis-treren geldt dus:

dt = spoorbr.xaant.sporen = doA2(b-1)21ogbG2.3.2.(3)

G is in deze formule het maximale aantal onderscheidbarewaarden dat op een spoor ter breedte dt geregistreerdkan worden en dit is gelijk aan de SiN verhouding berekenduitgaande van de piek-piek waarden van ruis en signaal.Het is daarentegen gebruikelijk SiN te berekenen uit deRMS-ruisspanning en de piekspanning van het signaal.

De totale spoorbreedte die nodig is om een getal G teregistreren in een b-tallig stelsel (b niveau's per spoor)kan nu vergeleken worden met de spoorbreedte die nodig isom dat zelfde getal in een binair talstelsel (twee niveau'sper spoor) te registreren.

dtCt>J = £ (lOgb GHi-1 j~ (b-1 )2d

tI2T d~rrog2G -1 = log2b 2.3.2.(3)

/d (b)Tabel 2.3.2. 3 geeft enige waarden van dtt2) voor verschil-

lende waarden van b. t

tabel 2.3.2./3: vergebinair/multi-level.

b dt (b)/dt (2)2 13 2,54 4,58 1610 2416 56

· I

Uit tabel 2.3.2./3 blijkt dat, naarmate het aantal niveau'sper spoor toeneemt, het rendement van het bandoppervlakte-gebruik afneemt. Hier staat tegenover dat het in de prak-tijk niet wel doenlijk is om te werken met spoorbreedtes inde orde van do. Daarom kan het praktisch dus toch efficien-ter zijn om met meer dan twee niveau's per spoor te werken.Als namelijk de spoorbreedte gegeven is of wanneer ommechanische redenen de spoorbreedte niet meer verder ver-kleind kan worden, dan is S/N verhouding waarschijnlijkgroot genoeg om i.p.v. twee meer niveau's per spoor teregistreren.

2.3.3 Theoretische vergelijking van digitaal en analoogbandgebruik.

Beschouw een spoor ter breedte d : De signaal-ruisverhou-a .ding bedraagt S/N = da/do ; de bandbreedte waarbij do ge-definieerd is bedraagt W Hz.Bij analoog gebruik van de band is het maximale aantalbits selektieve informatie per sekonde dat geregistreerdkan worden:

Can. max

Uit 2.3.2.(3) volgt het grootste getal G dat reproduceer-baar is bij binair gebruik van een spoor met breedte d :a

Als de bandbreedte W Hz. bedraagt dan kunnen per sekonde

,.

2W van deze getallen G geregistreerd worden.Per sekonde bedraagt dan het aantal bits selektieve in-formatie dat geregistreerd is :

Cd" = 2W log2 G ~ 2Wd /d A2 bits/sek. 2.3.3.(3)19.max - a 0

Uit vergelijkingen 2.3.3.(1 ).en -(3) voIgt weer deefficientiefaktor:

Cd'19.maxCan. max spoorbr.da

tCdig.maXresP.can.max(in bits sel. inf.)

dido

crossover-punt

Voor A = 8 ligt het crossover-punt bijd/do= 237.

figuur 2.3.3.-1: Grafische vergelijkingvan analoge en digitale registratie.

f

- :>-.3 -

Uit figuur 2.3.3.-1 voIgt dat voor kleine waarden van

dido (d.w.z. voor kleine SiN verhoudingen) de analogeregistratie prevaleert. Boven een bepaalde SiN verhou-ding is digitale registratie efficienter.Voor A = 8 ligt het theoretische crossoverpunt bij

dido = 240, ofwe I een SiN verhouding van ca.23 dB.

Konklusie:

1) Theoretisch is binaire kodering op zeer smallesporen het meest efficient wat betreft gebruikvan bandoppervlak.

2) Analoog bandgebruik is (theoretisch!) aIleen bijlage SiN verhoudingen efficienter dan binairbandgebruik.

3) Multi-level kodering is aIleen efficient als despoorbreedte gegeven is of als de spoorbreedtedoor mechanische overwegingen beperkt wordt.

Opmerking:In het voorgaande is ervan uitgegaan dat de optredendebandruis additief en Gaussisch verdeeld is. Dit is inwerkeljjkheid niet het geval, zie lit.24).Bovendien is in voorgaande afleiding geen rekening ge-houden met een ander stochastisch effekt: de amplitude~onrust in het gereproduceerde signaaal en de z.g.n.dropouts.Door inhomogeniteiten in het magnetisch materiaal vanhet band en door imperfekties in de bandgeleiding isbij konstante opnamesterkte het uitgangssignaal van deleeskop niet konstant in amplitude.Voor verdere be-schrijving van dit effekt zie paragraaf 2.6.5 •

(

- ~-'t -

2.4 Experimenten met binaire registratie (NRZ - I).

B~ NRZ-I registratie wordt de binaire "1" vastgelegddoor een polariteitswisseling van de bandmagnetisatie.B~ de binaire "0" wisselt de polariteit niet.Het aantal bits dat op deze manier per sekonde geregi-streerd kan worden is afhankel~k van de breedte van de.elementaire stapresponsie als beschreven onder 2.2.Als de breedte van de elementaire puIs A sek. bedraagtdan bedraagt de maximale bit-rate die haalbaar iszonder dat de afzonderl~ke pulsen elkaar beInvloeden~ bi ts/sek.B~ grotere bit-rates gaan de opeenvolgende pulsen el-kaar overlappen met als voornaamste gevolgen dat depuIs-amplitude en de puls-plaats verandert (resp.amplitude- en peak-shift). Zie figuur 2.4.(1).

t ..

peak-shift

I

II ....

...... I / ... /" / , I\ i I \ I

\ I,

\ II\ I I \ I\ I / \ II\. I I \. I t" / " /

/ / " f/

, / ,\. / \I \ , \

I \ I \I \ I \

I \. I "-/ "- ......."- _/ ~

-- - - - elementaire pulsen____ samengesteld signaal

Figuur 2.4.(1):Invloed

van puIs - overlapping

- !l- ~- -

Om de breedte van de elementaire stapresponsie voor deonderhavige AKAI GXC 40-D kassetterekorder te bepalen was

het noodzake~ijk om op de rekorder een aansluiting ~e makendie direkte toegang tot de opnamekop verschaft. Deze aan-

sluiting is aangebracht volgens figuur 2.4.(2).

naar re-korder -elektro-nika•

...

1---- - - - - - - - - --,

I I

3 I": stereo L· II opn/weergc--r-I-----------------I kop I

;1'· 17I_..L..1 rt:F':....------,...::.:I ~~+-"

I )f ),-ext.aansluitingl. I

Figuur 2.4.(2): Externe kop-aansluiting.

Ter bepaling van de breedte van de elementaire puIs werd

de volgende meetopstelling gebruikt (fig. 2.4.(3)):

I---I i200kn

Versterkermax. 150Vtt.

1'80mHk:--------------------------'

GEHERATOR500Hzbloke

Figuur 2.4.(3): Meetopstelling.

De versterker~ met de 200 kfl weerstand in de uitgangs-

leiding doet dienst als stroombron om ondanks de relatief

grote zelfinduktie van de kop tech snelle polariteits-

wisselingen in de schrijfstroom te bewerkstelligen.

o Voor het principe schema van deze versterker zie appendix.2

I .

I

De uitgangsspanning van de versterker werd gevarieerdvan nul tot 150 Vtt • Bij spanningen van Vo groter dan120 Vtt werden de teruggelezen pulsen eo niet meerhoger, aIleen breder (zie fig.2.4.(4».

vo~::~: ~ t jr-----t---+------I------1F---t

_tI,I

I I, I

eo t ..LJl~:l......-_----...-~:__-""A...r...'~_~;-,I.....--~a41~- ------.... tI \:] 'W

Figuur 2.4.(4): Spanningsvormenbij figuur 2.4.(3).

In 2.2 is afgeleid dat de teruggelezen puIs bepaaldwordt door de formule:

e =o.

Hieruit voIgt dat de amplitude van eo bepaald wordtdoor o.a. de grootte van de sprong in de magnetisa-tie M. Als dus bij Vo= 120Vtt de pulshoogte niet meertoeneemt, dan voIgt daaruit dat de magnetisatie vanhet band alterneert tussen de verzadigingswaarden.Het effekt dat eo breder wordt voor spanningen vanmeer dan 120 Vtt houdt verband methet feit dat depermeabiliteit van de kopkern niet oneindig grootis.

(

· I

De pulsvorm die op deze manier werd Qepaald is weerge-geven in figuur 2.4.-5:

.1

1004-0o

j

I_ 0~ 1 _

I II I

q~s~ _ J ~ II - - i-- --,

c,ot I I I----- - i- - --------,----

1e.o

€o

Figuur 2.4.-5: genormeerde el. puls.

Uit figuur 2.4.-5 blijkt dat de volledige breedte vano

de elementaire puIs ca. 200 psek. bedraagt. D.w.z. datbij bitrates tot 5 kbit!sek. de opeenvolgende pulsen el-kaar niet noemenswaardig beinvloeden.In de volgende paragraaf wordt geprobeerd deze elemen-taire responsie te versmallen d.m.v. een filter. Het~ffekt van de beoogde versmalling op de maximale bit-rate is evident.

2.5 Filter ter versmalling van de elementaire

stapresponsie eo.

,

In 2.2 werd aangetoond dat de vorm van de pulsen eo

bepaald wordt door de formule:

· \- :;-1-

e = ko dx

Hierin was H(x) te beschouwen als de gevoeligheidskurvevan de weergavekop.In praktljk nu is dM(x-x)!dxeen smalle kurve vergelekenmet H(x). Men kan H(x) daarom beschouwen als een lineairfilter dat de ideale responsie dM(x-x)!dx nadelig bein-vloedt. Er wordt nu g~zocht naar een filter H(s) dat dezenadelige invloed zoveel mogelijk opheft; zie fig.2.5.-1.

Figuur 2.5.-1.

De kurve eo is goed te benaderen door een Gaussischetijdfunktie.(lit.19).Stel:

De overdracht H(s) van het gezochte filter zal ~u z6moeten zijn dat het uitganssignaal fo(t) eveneens eenGaussische tijdfunktie is, echter een faktor b versmald:

(

Als F.(s)'en F (6) de Laplace-getransformeerden zijn1. 0

van resp. fi(t) en fo(t) dan moet voor de overdracht

· I

R(s) van het filter gelden:

2 .H(s) = ~ exp ~(~ -1)

4a b

Als b.v. b = 3/2 dan geldt voor R(s):

R(s) 2 (_5s2 )= 3 exp 2

36a

Er geldt: x x x2 r 1 n

e = 1 + 1! + 2! +•••• = L- n! xn=o

2.5.(9)

Op grond van deze reeksontwikkeling geldt in eerste .benadering:

(

Deze funktie is geschetst in figuur 2.5.-3 waarblj voora 2de waarde 0,433.109 gesubstitueerd is, zoals voIgt uitfiguur 2.4.-5. en 2.5.-2.

Figuur 2.5.-2: verge-lijking-- eo(t)

----- exp~-O,433t 2 )

1

I

- - - - - _1- _I

1

O-..L__--1-__--+-__--t-----t--""'"""--1:-----

0,5

o 20 40 60 80 100

1

I

bV~6dB/ Y'okt.

II~~

/' 'l.,./ /--~

Figuur 2.5.-3: Benadering van

IH(jw)lmet ~~n nulpunt

0,40,3 1 2 10 20

r(kHz)...

. \

Bij wijze van experiment werd deze overdrachtsfunktiebenaderd met een tijdkonstante. Hiervoor werd de vol-gende schakeling gebruikt:

~i 1 1 ~__,.......--1 R1 IC

vu

Figuur2.5.-4: Pulsversmallend filter.

Er geldt: 1 1 = I' 1 1R1 = V. . V = -R1 11 1. , x1 1 - 12 = pCV 12R = V - Vx x u

V ,-, RHieruit voIgt: u (pCR + 2) ; CUo

2Vi = - ~ = RC

2.6.(12)

Enig experimenteren leverde de volgende komponent-waarden: R1=R=12kOhm ; C=5nF ; f o=5t3k

Hz.

Resultaten:Figuur 2.5.-5 geeft een oscilloscoop-opname van vi enVu van het beschreven filter. Het uitgangssignaal vanhet filter is inderdaad smaller dan het ingangssig-

naal.Figuren 2.5.-6 en -7 tonen de verbetering in de puls-separatie bij respektieve bitrates van 5 en 6 kbit/sek.

· I -1.6 -

Figuur 2.5.-5 : In-en uitgangssignaalvan filter.V.

1

vu

Horizontale tijdbasis100 usek/cm.

,., ,

,1/

'~-.

Figuur 2.5.-6 :Bitrate: 5 kbit/sek.

Vi

Vu

, :,..~"""'~_""""I.Iii.ilii~~!lIiiI'

Figuur 2.5.-7Bitrate: 6 kbit/sek.

V.1

vu

(

-~-

Het beschreven filter is uiteraard slechts eeri zeerruwe benadering van de ideale overdrachtsfunktie H(s).

In lit.19 worden voor H(s) nauwkeurige benaderingenafgeleid; er wordt voorts een filter beschreven datde pulsbreedte halveert.

(

· 1

2.6 "l'ilul tilevel-rec ording" m. b. v. de gehelerekorder.

Bij NRZ-registratie werd slechts van twee niveau'sgebruik gemaakt: de binaire "0" en "1".

Het is nu de bedoeling om meerdere niveau's (b.v:n)te gebruiken die elk korresponderen met een cijferuit een n-tallig stelsel (zie 2.3.2). Een 5-niveau-signaal ziet er dan bijvoorbeeld.als voIgt uit:

.J .1 3

,:'L;

3

·06

. ..!

0

cijfers

.1

o

-.1

t v( t)

It

Figuur 2.6.-1: 5-niveau signaal.

Zoals blijkt uit figuur 2.6.-1 kan de stapfunktie U(t)weer beschouwd worden als elementair signaal: vet) isimmers te schrijven als:

Om nu de kassetterekorder geschikt te maken voor re-gistratie van deze signalen dient men er dus voor tezor~en dat de responsie op U(t) optimaal is. Onder-zoek van am~litude- en fasekarakteristiek is dus ge-wenst.

,

2.6.1 De amplitud~karakteristiek van de rekorder.

Figuur 2.6.1.-2 geeft de amplitudekarakteristiekvan de rekorder AKAI_ GXC 40D. De meetopstelling isgeschetst in figuur 2.6.1.-1.

"line output"Generator / AC0-20kHz Rekorder voltmeter

sinus /"line input ll-10 dB bij 1000Hz.

Figuur 2.6.1.-1: Meetopstelling

10

II r--I-. ..........

"'-...~

r\J~

I

If( kH~)

14'

,~ I--- r--17~5"

\

~

13

t2

~

0,1 0,2 0,6// 4 5 6 10 15 20(

Figuur 2.6.1.-2: Amplitudekarakteristiek.

- t6-

2.6.2 Meting van de fasekarakteristiek van derekorder.

B~ deze meting doet zich het probleem voor dat hetin- en uitgangssignaal van de kassetterekorder nietsimultaan meetbaar zijn.De responsie van een opgenomen signaal is immerspas na ter~gspoelen beschikbaar.Een gewone fasemeter die het in- en uitgangssignaalvan een overdrachtsysteem vergel~kt is dus niet bruik-baar voor deze meting. Daarom werd ter verkrijging vande fasekarakteristiek de volgende meetmethode toege-past:

Zie figuur 2.6.2.-1.M.b.v. G1 ,D1 en G2 worden twee sinusvormige spanningenv1 en v 2 opgewekt. De frekwentie van v2is een evenveelvoud van de frekwentie van v1• De fase van v2 is~nstelbaar t.o.v. de fase van v1• .Deze fasehoek wordt nu z6 ingesteld dat v1+v2 eensymmetrische figuur is. Deze spanning v1+v2 wordt op-genomen.De weergegeven spanningsvorm v3 wordt op een geh~ugenscoop geregistreerd (v3 is in het algemeen niet meersymmetrisch) •Vervolgens worden met behulp van een tweede oscillos-koop v 1 en v 2 zodanig ingesteld dat v 1+v2

dezelfdevorm heeft als de spanning v3 die op de geheugenskoopnog zichtbaar is.M.b.v. een dubbelstraalskoop kan nu vastgesteld wordenhoeveel psekonden v 2 verschoven is t.o.v v1 t.g.v. (opnemen en afspelen.Uit deze tijdverschuivingen (zie tabel 2.6.2./1) kande helling van de fasekarakteristiek bepaald worden.

-I- t

00,

~" .3000112

Pi, 1000 liz.,G1G'e.t'}eret!Retdl 0

tYfJfZ 1:2/0 - C

I)

rI

;t.::oI

I. "- I /0"0111 ~I'1C'1

'I ......... l-----l1'"lsen /'net III) .//4Jte/IJaN/;61

-fYnc

,/hl',,~ / t. c·.~ 'If !fLu f\ f\G.t V V\T\ iGe'~er4/ I."uho

D1LJa iujJ v/J ~

/0/. fJ(j/sy~ner;clor

/lttl1J &'A'C-t------::---p.1

/foD

(

Figuur 2.6.2.-1: Meetopstelling m.b.t.fasekarakteristiek.

o \

Tabel 2.6.2./1 Meetresultaten.

Frekwentie Vertraging Periodetijd " GradenPeioden(in Hz.) t. o. v. 500 (in fsek.) naijlen naijlen

Hz. (r--~cJ1000 65 1000 0,065 23,41500 110 666 0,165 59,42000 130 500 0,260 93,64000 125 250 0,500 1806000 155 166 0,934 3368000 162 125 1,300 46810.000 162 100 1,620 58312.000 160 83 2,000 7

0

2014.000 170 71 2,400 86416.000 175 62,5 2,800 100818.000 186 56 3,320 1195

//00

0/000

::: t~ in graden

~Oo

(

~·Oo

Scoo /o.~u

----.~ f (in Hz.)

Figuur 2.6.2.-2: (Helling van de) Fasekarakteristiekgemeten aan AKAI-GXC40D rekorder.

· \

In figuur 2.6.2.-2 zijn de meetresultaten weergegeven.Omdat echter alle fasehoeken t.o.v. 500 Hz. gemetenzijn ligt vooralsnog alleen de helling van de karak-teristiek vast.De (theoretische) fasehoek voor 0 Hz wordt alsvolgtbepaald:

Beschouw de rekorder als een "black box". Het in-gangssignaal is de som van twee sinusvormige span-ningen v 1 en v 2 , het uitgangssignaal is v1+v2.(Ziefig.2.6.2.-3. )

I

, I

I At'I ,.....-Fig. 2.6.2.-3

I-II

II

II

IJ:t 0fJIIII

JL1oollt I

I---------_!... -

/

Fig.2.6.2.-4

M.b.v. figuren 2.6.2.-3 en -4 is in te zien dat:

t 1 = (X-¢0)3~0 msek. } 1.:1t ( 3x-%g13 - (x-¢ol msek.=

1L.L 3 0t 2 =(3X-¢O)360 msek.

Hieruit volgt: .0'0=540 At graden. (6.t in msek. ) (

Gemeten werd : b.. t=50 )lsek. dus:

~o = 540xO,05 = 27°

De uiteindelijke fasekarakteristiek ziet er in bena-dering dus alsvolgt uit:

-.I)'" ./'-

Figuur 2.6.2.-5: Uiteindelijkefasekarakteristiek.

N.B.: De fasekarakteristiek is aIleen recht voor fre-kwenties boven de 500 Hz.;de extrapolatie van hetrechte stuk gaat door _27 0 voor f = OHz.!

2.6.3 De stapresponsie.

Met behulp van de gemeten fase- en amplitudekarakteris-tiek is het mogelijk om de responsie te berekenen op een1000 Hz. blokspanning.Als E(t) een symmetrische blokspanning is dan geldt:

E( t) = sin(gu t) + ~Sin(3c.Vt) + ~Sin( 5wt) +waarinJJ = 2'i110 3 rad/sek

...2.6.3.(1)

f

Voor de responsie E'(t) van een lineair systeem geldt inhet algemeen:

2.6.3.(2)

De koefficienten ai en ¢i kunnen afgelezen worden uitde fase- en amplitudekarakteristiek (resp.figuren2.6.1.-2 en 2.6.2.-5).

M.b.v. een rekenmachine met plotter is E'(t) getekendvoor diverse amplitude- en fasekarakteristieken:

1) Figuur 2.6.3.-1 geeft E'(t) voor de beide gemetenkarakteristieken; de gevonden figuur stemt goedovereen met de werkelijke responsie E'(t) van derekorder.

I. -1

j .

I -!

" .. -_._---- ..--" ... ,.._..__._-_... I .

i

-I .. I

ct· -

:T :-.::--.:.==~:==--T'·-==:::-:-=J-·- --'.-.1 :...::~.::-[:'=~:~ .I -+-----t.. ·-t

Figuur2.6.3.-1: E'(t) berekend a.d.h.v. ~metenkarakteristieken.

2) Figuur 2.6.3.-2 geeft E'(t) voor geidealiseerdekarakteristieken:

a) De amplitudekarakteristiek is ideaal...(recht verondersteld "jm 15 kHz.en

daarboven nul.b) De fasekarakteristiek: 15(t..:J) = pc.,)

........." J._.. ._ __ __L - __ __••__..·,

Figuur 2.6.3.-2: E'(t) berekenda.d.h.v. geidealiseerde karakt.

3) Figuur 2.6.3.-3 Geeft E'(t) voor de gemeten amplitude-karakteristiek en de geidealiseerde fasekarakteristiek •

.... r· -- _" .. i

!

___ i

1 '--_..... al11jJl

i ... ~l'i~~-'I ~- .

--- -.~,,-, ~,_.~.~~.-._-;_:_,-"~. -' '_._-_.._.~- ~. " - _-_ .

. ,i

.-' .-.'~ .~..... -;- --

o'

Figuur 2.6.3.-3: E'(t) berekenda.d.h.v. gerneten ampl.kar. engeidealiseerde fasekarakterist.

Figuur 2.6.3.-4 geeft E'(t) voor een vlakke amplitude ka-rakteristiek tot 15 kHz. en de gemeten fasekarakteristiek.

"..- T ~---'-"'--j

- •. ,- T'-

............. _._-_.! -.._ - ..-_ ..

(

Figuur 2.6.3.-4

Uit de figuren 2.6.3.-1 tim -4 kan men konkludereren:

1) Het feit dat het frekwentiebereik van de rekor-der beperkt is tot 18 kHz. heeft tot gevolg" datde flanksteilheid afneemt en een slingering op-treedt op de ."platte stukken".

2) Het schuin aflopen van de "daken" wordt veroor-zaakt door het feit dat de fasekarakteristiekniet door de oorsprong gaat.

Het is duidel~k dat 2) het meest hinderl~ke effekt isvoor multi-level registratie. In eerste instantiekomt dan ook de fasekarakteristiek in aanmerking voorkorrektie.

2.6.4 Korrektie van de fasekarakteristiek

Voor de fasekarakteristiek van de rekorder werd gevon-den voor frekwenties boven 500 Hz.:

. ¢(f) = 64.10-3f - 27 graden 2.6.4. (1)

Ter korrektie kan een extra fasedraaier toegevoegdworden die voor frekwenties groter dan 500 Hz. devolgende karakteristiek heeft:

graden

Voor de over-all karakteristiek geldt dan:

(

· \

-J) -,-'

Figuur 2.6.4.-1: Procede voorfasekorrektie.

Er is geprobeerd om de korrektiekarakteristiek~k(f)= af+27 te realiseren m.b.v. tweede-orede fase-draaiers (lit.25).Het basisschema van de 2o-orde fasedraaier is gege-ven in figuw'2.6.4.-2; Figuur 2.6.4.-3 geeft enigekarakteristieken.

Figuur 2.6.4.-2: Tweede-o;rde f'asedraaier

(

/$0

10

fl--"]';

V- f..-.--- fJ:r.J~

V ~/ / l.---- F=/

IIV / ,,/"/' L--- ;0=411/~~ ------~jJ'~-II/?-~ p"o

---~ V/7/Z / / VIII'~ ftI / 7 V 1//1// ~7 Iq~/~k ~v

Figuur 2.6.4.-3: Kgrakteristieken van2 orde fasedraaiers

In de groep telekommunikatie A is fasekorrektie-apparatuur ontwikkeld die bestaat uit zes 2e ordefasedraaiers van bovenstaand type in serie. Despoelen en kondensatoren zijn d.m.v. dekadebankeninstelbaar. M.b.v. deze apparatuur is geprobeerd degewenste korrektiekarakteristiek experimenteel tebenaderen. Dit is niet gelukt omdat -zoals nog zalblijken- fasedraaiers nodig zijn met grote ~o en grotep hetgeen op genoemde apparatuur niet realiseerbaaris. Er is daarom geprobeerd om via analytische weghet gezochte filter te vinden.

r

Een serieschakeling van n 2e-orde filters he.eft alskarakteristiek:

i=n p. Vi.) .= L 2arctg tJ ~. _~~

1=1 01

Met deze ¢k(~) moet de ideale korrektiekarakteristiek~~) = aw+ ,00 zo goed mogelijk benaderd worden.

~;,.tJ'1~t}?,,4

Figuur 2.6.4.-4.

I

1/...., 'I' I

- I1 II II II II II II II I

..

Als kriteriumfunktie voor de benadering werd gekozen

(zie ook figuur 2.6.4.-4)

18,.2 k= 18 [ { n p . iJktJ . ] 2e = ?- ~ ~ = 2: a "1

-/1-

Resultaat: Tabei 2.6.4./1

filter 1 : LJ01 = 2179099 rad/sek P1 = 66,874filter 2 : W02= 2012921 rad!sek P2 = 7,01filter 3 : °03= 646859 rad/sek P3 = 3,30filter 4 : ~04= 105093 rad/sek P4 = 0,847helling a = 0,6568.10-4sek

M.b.v. het programma E/ER/SPRONCK/ARCT (zie appendix5 )is de karakteristiek van de serieschakeling van de viergevonden 2e-orde fasedraaiers berekend.In figuur 2.6.4.-7 is een en ander geschetst.

Realisatie van"het korrektiefilter.In appendix 6 wo"rdt een recept gegeven om bovenomschre-ven fasedraaiers te realiseren m.b.v. operationele ver-sterkers. De daar beschreven filterschema's zijn geschetstin figuren 2.6.4.-5 en -6. Tabel 2.6.4./2 geeft despecifieke komponentwaarden.

c

£/;i-/J)r-~f-----,r--I f--U---.

~jJ)c

c.f

Fi guur 2. 6 • 4• - 5: p~ 2. Figuur 2.6.4. -6: p (. 2

..

o,

. .,'y

,"

\.\,..\,

~\,'\

\"\

\\,t~ \.

~ \1:-- ,""~, \o~ , )( "-

~. \~\ )(..., \

'l~

~ ~~"- '"'>11'"

~~""t ...

"0"

\\.

~\,'e,,

\l.\",..,-,t,\,,,,

"'" ,,,'I.~,

0\,l( .\

\.\"- 0 I

,\) .., .,

v..'~ ~"? 0 \'I II .'~

.')

~ -:;

oo

~

- ........

"

,~,

..,. ,,...

\~ '\,

..,I.. ,

\

",l(. \

\,

\

-7 tP -

'"1

Filte~R C R R R (p+2)C (p-2)C 2pC(p+2) (p-2) .2p(kOhm) (nF) COhm) (Ohm) (Ohm) (pF) (pF) (pF)

1 4,590 0, 1 66,63 70,74 34,31 6890 6490 13,72 4,970 0,1 551,4 991,6 354,3 901 501 1402

3 15,46 0, 1 2910 11890 2340 530 130 660

4 9,515 1,0 3340 8250 5610 2850 1150 1690

Tabel 2.6.4./2: Komponentwaarden vande vier fasedraaiers.

Figuur 2.6.4.-8: Fasekorrektiefilter.

Resultaten.

Aan de bandrekorder werd een 5-niveau signaal toegevoerdzoals geschetst in figuur 2.6.-1. Figuur 2.6.4.-9 toonthet ongekorrigeerde uitgangssignaal van de rekorder enhet uitgangssignaal van het korrektiefilter volgens fig.

2.6.4.-8.Ret ingangssignaal is apart geschetst in fig.2.6.4.-10.Dit signaal werd gegenereerd m.b.v. de programmeerbarepulsgenerator beschreven in appendix1.

- 10-

, '

- c91-

Er werd nog een tweede experiment uitgevoerd: hetopgenomen signaal en het uitgangssignaal v66r enna korrektie is weergegeven in fig.2.6.4.-11 resp.2.6.4.-12.

Figuur 2.6.4.-11:In- en uitgangs-signaal van filter

Vi

o o

-I -I

Figuur 2.6.4.-12:Ingangssignaal vande rekorder bij fig.2.6.4.-11.

-J

(

De onderscheidbaarheid van de niveau's is ook hierbeter geworden. Er blijkt echter uit fig.2.6.4.-12

dat korresponderende niveau's in de stijgende en

de dalende trap niet op gelijke hoogte liggen.Dit effekt t dat zich niet voordeed bij het eerste ex-

r

periment t is te verklaren ui-de spektra van de ingangs-signalen.In figuur 2.6.4.-13 is het spektrum van het ingangssig-naal bij het eerste experiment gegeven. De grootste kom-ponent ligt bij 2 kHz. Figuur 2.6.4.-7 laat zien dat voordeze frekwentie de fasekorrektie al bijna ideaal is.

, i-

Figuur 2.6.4.-1: ,

-- i/Nj?ih,jSSjJtihhl'?J I- - :

I, I

__ I-

U -':

!

- -_~..t.",..sec--- I· T pi !

- ,

lilli;---•I II ,

3

/0 ..80

In figuur 2.6.4.-14 is het spektrum behorend bij hettweede experiment gegeven. De grootste komponent ligtnu bij 500 Hz. Bij deze frekwentie is de fasekorrektieonvoldoende. Hierin ligt de oorzaak van het verschuivenvan de niveau's.

Figuur 2.6~4.-1~·

i !rJja 17,jsyMhHI,?:!

___...J--- __t(

o

De voornaamste moeilijkheid die nu nog overblijft voormulti-level registratie is de amplitudeonrust in hetgereproduceerde signaal. Deze onrust wordt veroor-zaakt door inhomogeniteiten in de magnetische laagen imperfekties in de bandgeleiding.Het spektrum van de onrust we rd. gemeten m.b.v. deschakeling van figuur 2.6.4.-15.

/o..{./h Sl/J~

/ "" n.::-I1~~'Ord~" ~ ~ L N

Figuur 2.6.4.-15= Meting van het spektrumvan de amplitudeonrust.

Op de rekorder werd een signaal van 10 kHz. opgenomen.Het gereproduceerde signaal werd enkelzijdig gelijkge-richt en toegevoerd aan een laagdoorlaatfilter. Hetuitgangssignaal van het filter komt nu overeen met deamplitudevariatie in het uitgangssignaal van de rekor-der.Het spektrum is gegeven in figuur 2.6.4.-16. Uit dezefiguur blijkt dat het spektrum boven 400 Hz. geen kom-ponenten bevat. Dit betekent theoretisch dat,als fre-kwenties onder 400 Hz. niet benut worden bij de trans-missie (voor deze frekwenties is de fasekorrektietbch slecht), de onrust weggeregeld moet kunnen worden.De stapgrootte zou hierbij als referentiesignaal dienstkunnen doen.

(

-~-

2.6.5 Resultaten t.a.v. de kapaciteit van de gegeven

rekorder.

De theoretische kanaalkapaciteit van de kassetterekorderin bits selektieve informatie per sekonde is uit de ge-dane experimenten niet zonder meer te bepalen.Wel is na te gaan hoeveel b.s.i. per sekonde geregistreerdkunnen worden uitgaande van de twee behandelde registratie-

procedes.

Binaire registratie,(NRZ): Met dit procede is voor deonderhavige rekorder een bitrate haalbaar van ca.6 kbit/s.

Methulpmiddelen als beschreven in hfdst.2.5, lit.19 enlit.26 is dit op te voeren tot ca.11 kbit/sek. Bij optimalekodering korrespondeert dit met ca.11 kb.s.i./sek (p~rspoor).

Multi-level registratie: Met dit procede is het mogelijkom met een frekwentie van 5 kHz. een uit n niveau's tekiezen!, Stelt men om praktische redenen (dank aan ampli-tudeonrus~ en slechte fasekorrektie voor lage frekwenties)dat maximaal met 8 niveau's gewerkt kan worden, dan geldtvoor de bitrate: Rmax 15 kbi~/sek. (per ?poor).

(

-J\~-

Figuur 2.6.4.-16Vermogensspektrum vande amplitudeonrust.

o III Soollt : /Ooo/It

-) Een mogelijke oorzaak van de piek bij 835 Hz. zoumechanische resonantie van de band kunnen zijn:

De kombinatie kaapstander-aandrukrol trekt demagneetband tussen de opname-weergavekop enhet aandrukviltje door, het band kan hierdoor

in longitudinale trilling raken.

(

-H-

Konklusie.

Er is bij het onderzoek naar digitale koderingsmogelijkhedenvan uitgegaan dat het muzieksignaal stationair is en be-schouwd kan worden als tweede-orde gefilterde ruis.Als men echter witte ruis beluistert, via welk filter danook, zal men nooit muziek horen noch iets wat er enigzinaop lijkt.Het frekwentiespektrum van muziek varieert namelijk sterken is eerder diskreet dan kontinu. Het diskrete karakter.is als volgt te verklaren: Veruit de meeste muziek isopgebouwd rond een bepaalde grondtoon. Dit betekent datdeze frekwentie met haar harmonischen relatief sterk inhet spektrum tot uiting komt. Behalve de grondtoon zijnandere diskrete frekwenties ( b~w. kwinten en tertsen ~ande grondtoon ) sterk vertegenwoordigd.Daarnaast is muziekper definitie niet stationair.Dit alles is oorzaak van het feit dat de simulatie vanean encoder met eerste orde stationaire Kalmanprediktoren een Maxquantizer weinig hoopvolle perspektieven voorkonkrete toepassing biedt.Toepassing van de onderzochte stereo kassetterekorder ofsoortgelijke rekorders als kanaal in een dergelijk systeemis niet mogelijk vanwege de zeer beperkte bitrate diehiermee haalbaar is.

(

-J;-

Literatuur.

1. Eykhoff,P; informatietheorie. Kollege aantekeningen,THE, kursus 1970 - 71.

2. Shannon, C.E. and Weaver, W; The Mathematical Theoryof Communication. Urbana, Illinois: University ofIllinois Press, ·1962.

3. O'Neal,J.B.; A Bound on Signal-to-Quantizing NoiseRatios for Digital Encoding Systems. Proceedingsof the IEEE, vol. 55, no.3, maart 1967, pp.287-292.

4. Papoulis,A; Probability, Random Variables andStochas~ic Processes. Mc.Graw-Hill, New York, 1965.

5. O'Neal,J.B.; Predictive Quantizing Systems (dif-ferential Puls Code Modulation) for the Transmissionof Television Signals.Bell Systems Technical Journal,vol.45, Mei-juni 1966, pp.689-721.

6. O'Neal,J •. B.; Delta Modulation Quantizing Noise Ana-lytical and Computer Simulation Results for Gaussianand Television Input Signals. Bell System TechnicalJournal,vol.45,januari 1966,pp.117-141.

7. Bennett,W.R.; Spectra of Quantized Signals. BellSystem Technical Journal,vol.27,juli 1948,pp.446-472.

8. Max,Joel; Quantizing for Minimum Distortion. IRETransactions on Inf. Theory,vol.IT-6,maart 1960,pp.7-12.

9. Panter,P.F.and Dite,W; Quantization Distortion inPuls-Count Modulation whith Nonuniform Spacing ofLevels. Proceedings of the IRE,januari 1951,pp.44-48.

10. Irwin,J.D. and O'Neal,J.B.; The Design of OptimumDPCM (Differential Pulse Code Modulation) EncodingSystems via the Kalman Predictor. Ninth jointautomatic control conference, Ann Arbor, Michigan,26-28 juni,(N.Y.:IEEE 1968),pp.130-136.

- cfJ-

11. ~Sha,w.L; Kalman Filter Theory, the Dynamic Case.Hfdst.7 van de.post-doctorale kursus: Theorie enToepassingen van het Kalman Filter, gegeven op25 en 26 mei 1970,THE,pp.7.1-7.31.

12. Aaron,M.R.,McDonald,R.A. and Protonotarios,E.N.;Entropy Power Loss in Linear Sampled Data Filters.Proceedings IEEE, juni 1967,pp.1093-1094.

13. Huelsman,L.P.; Theory and Design of Active RCCircuits. McGraw-Hill Series in Electronic Systems,New York, 1968.

14. Elridge,D.F.; A Special Application of InformationTheory to Recording Systems, IEEE Transactions onAudio, jan.-feb.1963, pp.3-6.

15. Elr4;dge,D.~F;; Magnetic Recording and Reproductionof Pulses, IRE Int.conv.record,7,1959,p141.

16. Hoagland,A.S.; Magnetic Data Recording Theory,AlEE Communications and Electronics,vol.75,partI,

p.506,1956.17. Elridge,D.F. and Baaba,A.; The effects of Track

Width in Magnetic Recording. IRE Transactions onAUdio,jan.-feb.1961,pp.10-15.

18. Westmijze,W.K.; Studies on Magnetic Recording,Philips Research Report,vol.8,nr.3,juni 1953.

19. Sierra,H.M.; Increased Magnetic Recording Read-Back Resolution by Means of a Linear Passive Net-work. IBM Journal,jan.1963,pp.22-33.

~ 20. Hoagland,A.S. and Bacon,G.C.; High Density DigitalMagnetic Recording Techniques,IRE Transactions onElectronic Computers,maart 1960,vol.9.

21. Neumann,W; Grundlagen der Magnetischen Signal-speicherung, Akademie Verlag Berlin,Band IV,Berlin,1968. f

22. Davies,G.L.; Magnetic Tape Instrumentation. McGraw-Hill Book Cy.lnc, New York,1961.

23; Beex,A.A.M.; Kjellstroms Random Search Geprogrammeerdin Algol 60. stagerapport THE, groep ER, 1972.

-~-

24. Yu,F.T.S.; stochastic Approach to the Noise inMagnetic Tape. The Journal of the AcousticalSociety of America, vol.44, no.5, p.1442, 1968.

25. Verlijsdonk,A.P.; Telekommunikatie II (trans-missiesystemen), kollegediktaat THE, Dikt.nr.5.512, febr.1970.

26. Hoagland,A.S.;.A Logical System for Nonreturn-to-Zero Magnetic Recording. IRE Transactionson Electr. Comp., EC-4, pp.93-95, 1955.

, \

Appendix. 1 "P~ogrammeerbare" pulsgenerator

Zie figuurA1.-2:

Het rniddelpunt van de schakeling wordt gevormd door

twee 9300 IO's die sarnen een 8-bit schuifregister

vormen. Als een puIs op pin 2,3 verschijnt dan wordt

deze in het clock-ritme doorgeschoven van pot.meter1 naar 2 etc. Afhankelijk van de stand van S 6 tim 13worden de pulsen (nu met variabele amplitude) toege-

voerd aan de optelversterkers a 'of b. De pulsen die

via a binnenkomen, komen geinverteerd in het uit-

gangssignaal terecht, de pulsen via b worden niet

geinverteerd.

Het'ekwivalent'e schema van register tot uitgang is

gegeven in figuur A1.-1.

,I ' , ~~......' .....JL ..slcc:rf

Figuur A1.-1

'iC 1-/ U 1;= RlC;; / -S TFIC

,/ndti"/6/i4'r1(/55 ~n of (/'11-.1

Het ingangssignaal van het register kan m.b.v. een

deler van het clock-signaal afgeleid worden. In de

generator z~n drie delers opgenomen: een deler (9300)

waarvan het deeltal instelbaar is van 2 tim 15 (zietabel A1./1) en twee tweedelers m.b.v. flip-flops

7473) •

.f~-1 ~ / Q 1/ /-

.z clear

In

10

lIS"

go3oo

IJ

r 6"Y (1)6'!V.o {oj

~ I~

-l CLi.':r Q riO,., .7 c .it •

1'1 I .3

16

r- I' -u

I'

.J300

I~'~- 1'1' /3

p

/~

M.b.v. S 1 tim 4 wordt het deeltal n van de 9300 inge-steld. Met S 5 kan verder gekozen worden uit de deel-tallen n, 2n, of 4n.

(

Tabel A1./1.

-!J.4 -

n S1 (p0) S2 (p1 ) S3 (p2) S4 (P3)

2 1 1 0 1

3 1 0 1 1

4 0 1 1 0

5 1 1 0 0

6 1 0 0 1

7 0 0 (; 1 0

8 0 .. 0 19 1 0 1 0

10 0 1 0 0

11 1 0 0 0

12 0 0 0 0

13 0 0 0 1

14 0 0 1 1•

1'5 0 1 J 1

-

Appendix 2 300 Vtt Versterker.

"

-3~ -

Appendix. 3 Beschrijving van de gebruikte kassette-rekorder.

Overdruk uit Disk· augu.tu. 1972

Tp.ch."sche rcdakllCACOUSI"~ Rf·~{~ \

hl'\iJt!il.J

Ken! UD:sk ~og nie!? Vraag een gratis proefnummer bij: Misse!- Fonorama, Posfuus 26, Amersfoort, !elefo:m (03490) 18745

foutje OfJ dIt gcbled De snelheidsafwlJkmg W3S heel germg mets[echts 0,3 te Haag. He,::1 belangrijk IS natuurllJk het zwevings-percentage. dat keurig b'J 0.16 ~o bleek te I,ggen Om'de C 60casselte snel am te spoclen was 55 sec. nodlg, voor een C 90dll0 82 sec De trckkracht van de mooi stl! en rustig werkende.motor IS groet genoeg.War de elektronlca aangaat, IS natuurlljk allereerst het frekwen-tieverloop belangrljk. BIJ weergave aileen en op -10 dBnlveau reikte het bl) gebruik van normEtle band bmnen de plusen min 3 dB toleramie van 25 tot 17.000 H2, bl] toepassir:.g vanchroomdioxydeband verschoof die bovengrens naar 18.400 Hl,wat erg mooi IS. Jammer genoeg spec:jflce~rt Akai nergens, opwelke bandsoorten het deck IS afgesteld Ais "gewone" low noi-se band gebru,kten we Agfa. als Cra' saart oak Agla. Vaar dehele ,opname/weergavecyclus \'or.den we op -20 dB niveau bijCr 02 band biJ 3 dB tolera,,,ie grenswaaruen van 27 en 18.200Hz. b'J narmaalband 28 en 16300 Hz. Oat is be,de erg gaed'Met uitgeschakelde OLS toets bedraeg de harmonische ver-vorming op 0 VU nlveau Gen mOOle 1,3 % bl] weergave en 1,6 %bij opname/weergave. De toegestaande 3 % grel'\s werd bij + 4dB modulatle berelkt. Wal de 1M vervorming aangaat, kwarnenwe op een nlet ongewone waarde van 5,5 %, bepaald op -10 VUnlveau.De In normale omstandigheden wat tage baslsfrekwentie van 60kHz stlpten we al aan: blJ weprgave bedroeg de SIR verhoudingeen fraaie 47 dB. blJ opnJme/weergave44 dB. De stereo kanaal·sche1ding haalde de voor cassette recorders gang bare waardevan 32 dB 6ij opname links en weergave rechls kwamen wetot 41 dB. De wisdemping bleef lets achter bij de speciflcatie67 inplaats van 70 dBDe verschdlende in- en ullgangsgevoeligheden stemden behoor-lijk met de opgaaf overeen. Vcrmeldcn we verder nog, dat deballistisch bchoorllJk uitgekiende VU meters (pieken wordensnel geregistreerd, de wlJzers vallen niet 1e vlot terugl 1 dB telaag geiJkt bleken te Zljn. volgens DIN referent'~ biJ 0 VU.

Praktische beproevingVoor de praktische gebrulkslCst sloten we het deck aan op eenSony TA 1120 A versterker met Kenwood KT 7001 tuner en AR3 a boxen. Onder gebrulkmaking van de al eerder genoemde Ag-fa bandsoorten was I;et mogelijk verrassp.nd goede, echt HiFiwaardlge opnamp.n te rnaken. Opnamen met minieme ru:s, eenbehoorlijke dynamlek en een royaal frekwentiegamma. Zekerhet gebruik van chroGmldroxydeband loonde de moehe. OatAkai deck presteert bepaJld een stuk meer dan gewone decks,blj directe A-B vergp.lijkingen met het geDo~byseerde Teac A~350 deck bleef het evenwel hoorbaar wat achter. De weerga-ve van mlsucasseties was goed zander meer, de beperkingen inde Ir1l vctstr",kl:

aant:;r transistors

fahrikllnl

opoenomen vermogen

pTtJs

ingangsoe....oehghtrid m'cr 0.2 mV/4.7 kOhmliin' 50 mV 1200 kOhmDIN: 5 mV/-

impotleu'

here.k VU meter, ·;W - ·6 VU

afmet,ngen

aamal koppen

oscillatorlrek.....entle

NAB

aanlal ,pollm

wisdemping b'l 1 kHz

i1ewichl

SIR verhoud'ng 0 VU Imflair 4& dB

idem hij opname/weer~ave

fJek .....enttebereikwpergav8

1M vervormmg id. opn.lweer- ~i1 ave

aandriJving

band~~elheden

fr",kwent,eb"'teik opnamel Cto: ba"d 30·' B.OOO Hz ~ 3. ;3 dB 2-'-' B 200 Hzweer~ave Lij ·20 dB bttlncn 3 dO

Low no'se h(!lnd 30·16.000Hz b.nnen 3 dB

t;Jd ,nel omspotl'len 60 liec. voor C 60 cas,cHe 55 ~cc "001 C 6062 ,ec. "OQ. C 90

harm varvo.mlng bil 0 VU, 2 % 1.3 %1 kHz wcergave

In.t

.

\.N.......

I

~~,

----.E"'dc:>=:s0.-r"l><

GXC-40DSchematic Diagram

No. 000 185C

- .

~(f-

~~e ~~) """1 c'"" C24 TR:.~ J:

1270P.. N" 1~ LrlO/ 16

I.'l~

4 , ~~ ~r' u~ ~

'f~ ~. ~.~- ~~~. ~ ~ ~ ~

g u 1 I- ~J; 0 Ilil 'I"'" _ lit IE'" 1lI:....:... - ~ ~ • 2~ ~!

I7' ~~.'b~ ~§-: a~ CZ1 IQOO82-i.ld---=---' ,----~!;Ql1 I• I.....--_------.J

I I, SW'I-9 SW-I-B

.,----~ ~ -! L--_

--l

BOARD.

~j

.....

2SC4~LG () CIl' 15C81'1 iD or (l) Xl

.

VRt ~ICA LD 3141 ZSC 945 Q)or~u 2SC111~or~ ..

lI=~===~"~C~"~' ~iE)~~~(CJ~===:=============== I_1" I ~~=t=+=~---~'liZ ~ ,'~ I. ,~.,

,.,-' ", , ' '.. ~ .>'. ., ,

"'" '~ !2:~ IU:

LAMP

h';ij:i c, ! ~• " ,,,,,,,, .;: I I .ECJ ." ! " "

~g

g

IPPLY PRINT BOAr

;~!

4 E~C;5 8NORMAL := ~ BNORMAL6 E~O uo~~aL:

~'0(i)

~I=L/-'.~

~

••

~«:...J.(i)

t-'t-'ct-Ii0:~tD

Ii IPl~~I=L

0~

tD(i)

PlIi0P"

TAU[K,211='.2 EtJCE~O

J:=l SIe:e 1 UtJIlL N CC lltG1t:l 11: J=I !!:jE~ R[I",JlI=l EL~E R[I,Jp~O E!:ICI

l,tJo;R2:=R2+S+2:

U~IlL N 00 Dttl:=REAo:U~I1L N CO 6EGltJ K:=I: It I=N I~t~ ~eGl~ TAU[K,ll:=lJ TAU!K,2l 1=2 E~O

ELSE 6EG1U l~ i~N-l I~~~ DCG1~ TAU[K'111~NITAU[K,2J 1~1 E~Q~L5E DEGltJ TAU[K,111='+11

HiO:Tf.LLf.R:cTELLER + 1: F,V~CT1E:=R21

EUO F.I.'~CT If.:;EDB 1:=1 :lIE!: 1 U~I1L i-I cO [lE~HI Z[I]:=READ; U[ll:cZ[ll: EtjO: S:clil,JflICTl~(I,J,N,U!II,lJil+'l.l.2Il1FO:=S+"*AA~(S):

EGB I: =1 SHe :tEog I :=l S!E:e 1

L1D~~S~ 8~~OC~,SET~O~OO~:

e::REAn: AANTAL:=REAO;AF:=REAn: A51=REAO;Xl:=RFAn; TOL:=REAU:N:=PEAn: A:=AANTAL.N~D(~~U ~Ee~ 8BBA! Yll:A,l:N),MX[l:N],COV[lIN,l:NI,R[lIN,lINI,F[i:AI,U!llNI,Z[1 IN l:

ReAL 8BBA~ Oll:N): .l~IEGEB 8B~AX TAU[1: N.l:2J:HCAL £BQCEQUE~ F,U~CT1~( I,J,N,W,ZETJIHEAL ~,ZET; l~IE~~B I,J,N:8CGIU BE~L S,R2,R3;

R2:=0; EOS J:=l SIEe 1 UUILL 16 006EG1~ I :=N: S:=(27/360 +(~.JJ/20l*6.2831a53071

(OB I :=1 SI~~ 1 UUI1~ N~2 00~CG1U R3:=«~.2ET.J*6.283185307~+7l/[(10000.Wl+2~(6.283;a5307~.3*Jlt2l)1

lE R3 1 I~EU GQIQ START ELSE C := SCRT(" 2 • ~N(C)/Cll~Oi~A~ := U • c; YRANO := V • C

6789o

23

1 eEGHJ2345

31323334353103733::940414243444546 EUP I47 caB I :'OJ 5!l:e 1 YlH1L N 00 coB48 G:=l:MI=l:49 ~ET~O~OQ~(Xll1 BNOR~AL:=EALSEI TELLER:=1:50 'Q~~t~I DIT WAREN INITIALISATIE5 EN OECLARATIES;

171-819?D2122232425262728;:030

. .-

51 LOOP:52

~53

--:~ 54.~~-.. ' - ~;; 55

~-i 56.~> !i7~

" 511~

R1:=~O~~OLI R2:=~O~~~~: R3:c~O~~4L;

ZfG):= u[GJ ... o[GJO(Rl*RCG,Gl + P.2~RCG.TAU[G,~Jl • R3.RCG/TAUt~,2J JllZ[ThvrG,111:= UrTA u rG,11J + DCTAU[G,111.(R~*RCTAU[G,lJ,Gl • R2.RITAU(G,1J,TA~tG,11l • R3 a RITAUIG,11,TAU[G,21ll1Z[TAUrG,21 1 :c· U[tAUCG,2JJ • PCTAUCG,2J)*(R~*R[TAUCG,21,GJ + R2~RtTAUIG,21,TAUtG,ill ~ R3*RITAUIG,21 t TAU[G,21Jlls:=rV~CTIE( I ,J.N.ZLIJ,ZII+N£211:l~ s~ FQ IHC~ DCG1~ Dl~J!~AF.D1G1J OtTAU1G,lll:=AFaPCTAutG,llll DCTAU[G,2!11=ArapITAU~G,2111~~!Q LOOP

(~Ol

EQd ! 1~1 5IC~ 1 U~I~L N cc O~~LU vCM. I l:=Z[1 11 uti J:=Z[ 11 ~UOI

~;;

~!~I ;

EUll

EtJO;lE JCI rUE~ DEG.!.U lE J=N I~E~ GO!Q EIND EL.SE JI=.)+l E~O;lE Rt I .J]>·IAX2 ItJEtioECO 1 ~ .L eRr 1• J l> II AXl!~ cueECil!::l I·, AX2 I =,.\ AX11 0 =i>

" A X 1 I =R [ I , J 1 PI.) ~ ~ 0EL.5E 5EG1~ 1I AX?:=R( I.JJ Q: .,J ~t:Jc

EQg I: =1 GIC!: 1 ~.!.lL ,I DODEG.!.tJ E'1[l .I::~ S E!: 1 UUIlL ~l 00

DEG.!.U lE J 3 !UEU DEG!~ l~ 1=1 I~E~ OEG1U ,):=4/ MAXI:::R(1,21;PI=21MAX2:=R[1,3)JQ;=3 E~D

ELSE OEG1U MAX1:=R[ 1 .11/PI=1: -r·'AX2l=R[I.2l,QI::(l E~Q:

lE 1=2 I~E~ DE5!U ,):::41 MAX2:=Rt2,31IQ:=3 E~OIlE MAX2>~AXl !UEU OEG1U S:::MAX11T:=P/ -

1·1 AXl: ='1A X21 P: =(l ;MAX2:=s;a:=T EUQI

r.u~

E~O nEPA~ING VA~ DE COVA~IANTIEMATRIX/

Eoe I: =1 SICl! 1 Ub> lL. ~I 00 13Cc;lUEOg .J: =I ~Ice 1 lit! .U. 'I OD OE~lL!

R(J. I] =Rr 1 .J):=COV[ I ,JJ/SORT(COV[ I. I J*COV(J,Jl"EUO E~Q BEREKENING VAN'OE CORRE~ATI~COErF!CIEN!EMI

E~D:

EIND: TAlJ[I,11:=P;TAV[I,,,J:=O;E~Q 8fPALI~G VAN DE 3-nI MENSIONALr S~EDEN vonR DE MEEST GEcORRE~EERPE RICHTINGENIEQg I:=t 5ICE 1 ll~lH. A1.2+1 oQ 6Etilt.l r,1IN:=F[I); Xll=l;

EOE ~:=I+l ~IEE 1 WUI1~ A COQEG1~ lC F[Ll rOL I~~~ OEG1~ EOa I := 1 SIEe 1 U~Il~ N CO. 8~G1M ~~C~I115 P,~ p.ITTEHr

~PQ·,2892489112974~. 0 rMIN·.1684B25111400w+ 0 AANTAL FUNKTIEaiREKENING~N ... 91 t:-:rPQ·,2124569047269~· 0 r~IN+,1631323413696.+ 0 AANTAL rUNKTIE~EREKENING~N "'154

-PQ+.185673253B9B6~+ n rMIN+,1575701913364.+ 0 AANTAL rUN~TIEDEREKENINGEN ... 214

, .

rO+.171219056~434 •• 0 f~IN·.142061B964B12~+ 0 AANTAL rUNKTIEOEREKENINGEN .311

PG+.1565473912451.+ 0 fMIN+,136~965759466w+ 0 AANTAL rUNKTIEBEREKENINGEN ... 38(>

PO+,1 470950140605.+ 0 fMIN+.1303980523974.+ 0 AANTAL rUNKTIEOEREKENINGEN ·465

FO+.14160074?33?n~+ 0 rMIN+,1383661194959 •• 0 AANTAL FUNKTIEOEREKENI~GEN .540

PQ+,139671B150n~~~+ n fMIN+.136877n647509.+ 0 AANTAL FU~KTIEnEREKENINGEN ·646

pn+.1362169393S19.+ n fMIN·.134543A725043.+ 0 AANTAL fU~KTIEBEREKENINGEN ... 700 ,:-.:.~

'0+.1354204°907°1.+ n f~IN+.1346933577665.+ 0 AANTAL FUNKTIEOEREKENINGEN +7B6 0I

Fn+.135043499B?05.+ n fMIN+.1345D3?984n57.+ 0 AANTAL FUNKTIEOEREKENINGEN ·078

PQ+.13488D7~8?842.· n f~IN+,134633370971a.+ 0 AANTAL FUNKTIEBEREKENINGEN ... 973

PQ+,1342886159794~+ n F~IN+,13J8787110560.+ C AANTAL FU~jKT IE'IEREKEfI IIIGEN .~O23

Cor~PONEtlT VA~ DF. r" I:, I MIH,WF.C'l'Oq 1'1 DE RICHT I NG +1 ~.2~7909B571B49~+ 3-CO/1PUI,EIH VAN Dr: r" INIMllMVECTOq 1'1 DE RIr.HT I NG +2 +,2012921111361~+ :3cor,IPO~IE'iT VfI'l nF '·11 N11\IJrWF.CTOR III DE RICHTINl'; +3 +.6468587610975.+· 2cnr~PO'JE"!T VA" DI: MIN IMWWECTOR 1'1 DE: q ICfl T I 'IG +4 +,1050929516513.· 2COMPU"!E~T VAN Of I,' I'~ I '·lIJ'IVEC TOR I', DE: q ICHT I .~ G +5 +,66n7377835927~+ ?CDHPONE"1' VA'" DC r·, I NI r·l,wVEC TOtl I" DC RICIITI'IG +6 +,7al0376679G78~+· 1COr~PONE'1T v:,'j Dr '11 Nl'IIII.1VEC TOR Iii DE RICHT I"G +7 +,3303446629259~.