Eindhoven University of Technology

MASTER

Het herkennen van bekende patronen in een volgorde-tabel van een sequentiële machine

Houben, J.W.

Award date:1972

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

AFDELING DER ELEKTROTECHNIEK

TECHNISCHE HOGESCHOOL

EINDHOVEN

Groep: E.c.B.

Onderwerp: Het herkennen van bekende patronen in een volgorde-tabel van een sequentiële machine.

door J. W. Houben

Rapport van het afstudeerwerk

uitgevoerd van maart 1970 tot januari 1971

in opdracht van prof. ir. A.Heetaan

onder leiding van ir. A.J.Ekas

DSM l~ RAPPORT

J.W. Houben 4 jan. 1971

HET HERKENNEN VAN BEKENDE PATRONEN IN EEN VOLGORDE-TABEL VAN EEN

. SEQUENTI!LE MACHINE

Samenvatting

Bij het ontwerp van sequenti~le machines wordt meestal uitgegaan van gegeven

ingangs- en uitgangstuncties. Om een eerste indruk te verkrijgen van de

werking van de te ontwerpen machine wordt een volgorde-tabel gebruikt.

Er zijn verscheidene methodes ontwikkeld o. aan de hand van deze tabel een

machine te ontwerpen met een kleinst mocelijke afhankelijkheid. D.w.z. het

aantal onderlinge koppelingen (combinatorische netwerken) tussen de geheugen­

eleaenten zo klein aGKelijk, terwijl ook aeetreetd wordt naar een so aering

.ogelijk aantal geheugenelaaenten.

Bij de huidige stand der techniek, met name de M.S.I. en L.S.I. Integrated

circuit technieken, wordt het echter belangrijker om een sequenti•le machine

op te bouwen met behulp van tellers en schuifre&istera. Deze zijn vaak als

'standaard machines' in een intearated circuit chip verkrijgbaar.

In dit rapport worden enkele methodes ontwikkeld aet behulp waarvan derge­

lijke 'standaard machines' in de volgorde-tabel reeds herkenbaar zijn.

t\CJl-7-3002 W8ij

INHOUD

Hoofdstuk 1

1.1 Algemeen

1.2 Geheugenelementen

Hoofdstuk 2

2.1 Definitie van een sequenti~le machine

2.2 Representatie van een sequentiäle machine

2.3 Volgorde-tabel

2.4.1 Theorie der partities

2.4.2 Partities met substitutie-eigenschap

2.4.3 Partitie-paren

Hoofdstuk 3

3.1 'Standaard' sequentiäle machines

3.2 Input-onafhankelijke tellers

3.2.1 Bepaling met behulp van de partities met substitutie­

eigenschap.

3.2.2 Bepaling met behulp van kringloop-methode

3.3 Schuifregisters

3.3.1 Bepaling van schuifregisters met behulp van de methode

van Nichols

3.3.2 Bepaling van schuifregisters met behulp van 2 bloka­

partitie-paren

3.3.3 Bepaling van schuifregisters rechtstreeks uit de

vplgorde-tabel

Hoofdstuk 4

4.1 Enkele toepassingen

Referenties

-III-

-1-

HOOFDSTUK 1

1.1 Algemeen

De opdracht is ontleend aan het vakgebied Schakeltechniek.

De schakeltechniek houdt zich bezig met de analyse en synthese van schakel­

netwerken (logische schakelingen), welke opgebouwd zijn uit elementen die

slechts twee toestanden kennen, welke toestanden elkaar uitsluiten.

Deze toestanden worden aangeduid met '1' wanneer het gestelde waar is en 'O'

wanneer het gestelde niet waar is. Dit in analosie met de verzamelingenleer

waar '1 1 genomen wordt voor een niet lege verzameling en 1 0 1 voor een lese

verzameling. Van deze verzamelingenleer wordt ook gebruik geaaakt voor de

definitie van de in de schakeltechniek veelvuldig voorka.ende notaties a+b

(a 'of' b) en a.b (a 'en' b) waarin a en b toestanden zijn die aangeduid

worden met 0 of 1.

Verenili!ll: w + >.= w u }. c de vereniging van w en >.. Dit stelt voor de ver­

zameling van alle elementen die 6f tot w 6f tot }. óf tot beide behoren.

Doorsnede: w • >. "" W() }. a de doorsnede van W en >.. Dit etel t voor de ver­

zameling van alle elementen die tot w én tot }. behoren.

De netwerken waarmee we in de schakeltechniek te maken hebben kunnen we onder­

verdelen in twee hoofd&roepen:

a) Ca.binatorische netwerken

door Dit zijn netwerken waarvan de uitgangsgrootheden bepaald worden de opbouw van

de betreffende netwerken en de momentane combinaties der ingangsgrootheden

b.v. zoemer in combinatie met een drukknop aan de huisdeur.

b) Seguenti~le netwerken

Van deze netwerken zijn de uitgangsgrootheden niet alleen afhankelijk van

de momentane combinaties der inganesgrootheden maar ook afhankelijk van de

vorige co.binaties van die variabelen.

Ten gevolge van de vorige ingangscombinaties wordt door het netwerk een

toestand gevor.d waarin bet zich bevindt op het ogenblik dat de momentane

ingangscoabinaties optreden. Kenmerkend voor sequenti~le netwerken is de

noodzaak dezetoestand vast te leggen, daartoe is een geheUfen noodzakelijk.

Een eenvoudig voorbeeld van een sequentie•! netwerk is de drukknop van een

bureaulamp. Wordt hierop eedrukt terwijl de lamp niet brandt dan zal door

deze handeling de 1.-p gaan branden. Echter wordt dezelfde handeling nos­maats uitsevoerd dan zal de lap wederom. doven. De toestand waarin de scha­

kelaar zich bevindt wordt vastselegd d.a.v. een mechanisch cebeuaen

1.2 Geheuaeneleaenten

Het in een sequent1 .. 1 netwerk noodzakelijk geheqen wordt in de schakel­

elektronica meestal gevorad door een binair element, d.w.z. een element waar­

bij maar twee toestanden 0 en 1 aoselijk zijn, zoals b.v. een relais of

flip-flop.

In dit verslag zal uitsluitend sebrulk semaakt worden van de getrl&gerde

J.K. master-•lave flip-flop of combinatles hiervan zoals .aaenteel toesapast

worden in de 'Mediua scale integratlon' en 'Larse scale lntegratlon' tech­

nieken.

Fis. 1 geeft de logische opbouw van een o.c. gestuurde J.K. maater-alave

flip-flop. Deze flip-flop bezit vijf ingansen, J, K, c , R en S en twee uit-- p

sangen Q en Q welke steeds een teseneestelde informatie bevatten.

De ingangen J, K en C en de uitganeen Q en Q zijn vla twee AND poorten aet p

de zogenaamde 'meester' flip-flop (A en A') verbonden. De aeester flip-flop

la op zijn beurt weer verbonden vla twee AND poorten met de zosenaaade

'alaaf' flip-flop (Ben B'). De werking is als volgt: Wanneer de klokpuls

C 'hoog' is d.w.z. 1 zal de meester flip-flop onder invloed van de infor.atle p

die aangeboden is op de J en K ingangen en de informatie welke op de uit--gangen Q en Q staat, in een bepaalde toestand gezet worden.

De slaaf flip-flO,P wordt echter seblokkeerd en kan niet van toestand veran­

deren. Wordt de klokpuls 'laas' dan wordt de meester flip-flop geblokkeerd

en is dan ongevoelis voor veranderingen op de inaangen. De alaaf flip-flop

wordt nu echter gedeblokkeerd en neemt de informatie van de meester flip-flop

over. De ingangen R en S resp. reset en set cenoemd zijn ingansen waa~e

de J.K. tlip-flop onafhankelijk van de klokpuls gezet kan worden.

In formule kan deze J .K. maater-alave flip-flop geseven worden door:

Q = [ (J.Q 1 + K.Q l).S.R 1 .c + S.R n n- n- p

De tabellen 1 en 2 geven van deze flip-flop de functietabellen weer.

-3-

s

Q

-ct

Ftc. 1

Tabel 1 Tabel 2

- -J K c R en B Qn Qn p s R Qn Qn

... 0 0 0 0 Qn-1 Qn-1 0 0 Qn-1 Qn-1

-0 0 1 0 Qn-1 Qn-1 1 0 1 0

... 1 0 0 0 Qn-1 Qn-1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1 1 N'.D. N.D.

-0 1 0 0 Qn-1 Qn-1

0 1 1 0 0 1 N.D. = niet gedefinieerd

-1 1 0 0 Qn-1 Qn-1

1 1 1 0 Qn-1 Qn-1

-4-

HOOFDSTUK 2

2.1 Definitie van een sequentiale machine

Een sequenti&le machine kan beschreven worden als een model voor discrete

dete~inistisohe reken- en schakeleenbeden .at een eindig geheugen. Voorbeel­

den van apparaten die door een sequenti&le machine voorgesteld kunnen worden

zijn digitale computers, digitale regelapparatuur of elektronische circuits

met gesynchroniseerde vertragingselementen. Al deze apparaten hebben eigen­

schappen die g .. eenschappelijk vastgelegd kunnen worden in de definities van

een sequentiale machine:

1) Een eindige verzameling van inganesgrootheden die sequentieel aan het

apparaat toeaevoerd kunnen worden.

2) Een eindige verzameling van inwendige toestanden waarin hetapparaat zich

kan bevinden. Deze toestanden geven aan de verschillende combinatie-.acelijk­

heden van bits in een geheucen, pulsen in vertragingslijnen, of standen

van flip-flops in een elektronisch circuit. Deze toestanden worden meestal

bereikt aan het eind van een ingebouwde klokperiode (synchrone sequentiäle

machines).

3) De inwendige toestand waarin een apparaat verkeert en de toegevoerde in­

ganaagrootheid leggen vast in welke volgende toestand het apparaat zal over­

gaan. Dit betekent dat de toestand waarin het apparaat verkeert een functie

is van de starttoestand en van de volgorde waarin de ingangsgrootheden worden

toegevoerd.

4) Een eindige verzameling van uitgangsgrootheden die bepaald worden door de

inwendige toestand waarin het apparaat zich bevindt, of door de overgang van

de ene toestand naar de volgende toestand. De uitgangsgrootheden worden dus

bepaald door de ingangsgrootheden. Hierbij dient echter opgemerkt te worden dat

een optredende uitgangsgrootbeid niet alleen afhankelijk is van de optredende

ingangsgrootheden maar ook afhankelijk is van de voorgaande incanesgrootheden.

Uit deze definities van een sequenti&le machine volgt meteen dat we te maken

hebben aet twee soorten machines:

Deze kan voorgesteld worden door:

M = (S, I, O, 0,)..)

1) S is een eindige niet lege verzameling van toestanden. 2) I is een eindige niet lege verzameling van ingangsgrootheden.

3) 0 is een eindige niet l~e verzameling van uitaanasarootheden.

4) 0

5) }l :

s x I _. s wordt de overaangs-(volsende toestand) functie senoemd.

s __... 0 wordt de ui teanaafunctie genoemd.

a4_Q!_:!ttlx:_,!çb!D! Deze kan voorpsteld worden door:

M • ( S, I, 0, \ • )I> waarbij 1eldt:

1) S is een eindige niet lege verzameling van inwendise toestanden. 2) I is een ein~ige niet lese verzameling van ingangsgrootheden. 3) 0 is een eio•U.a• niet lep veraaaeliRi van W.t&~roothed.en.

4) 6 : S x I--. S wordt de Oftqanga- (volpmde toeatand) funoUe cenoead. $) Jl ; S x I_ 0 wordt de ui teanes-functie ..-110111lld. Jrr

Opc .. lkt kan worden dat de def:l.ni ties van belde uchines se lijkluidend

zijn met uitzondering van punt 5).

Oppervlakkis kan seateld worden dat:

fJ(s,x) = ).(s) waarbij x in I en s in S

-5-

Hierbij dient wel in het 001 sebouden te worden dat een uitsanss-crootheid

bij een 'Moore' machine optreedt wanneer de machine in een bepaalde toestand

verkeert. Bij een 'Mealy' machine treedt echter een uitgangsgrootheid op

wanneer de machine ove~aat van de ene in de andere toestand.

2.2 Re2resentatie van een seguentiale aachine

Een sequentiale machine kan het duidel~~t gerepresenteerd worden met behulp -van een flow-dia1ru of liet behulp van een volprde-tabel. Aan de band van een

voorbeeld kan .. n duidelijk zien hoe de opbouw van derselijke dtacr.-.en of

tabellen is. Stel we .aeten een machine ontwarpen die een uitsangsgrootbeid 1

geeft wanneer er aan de 1nsang een serie van drie niveau'a sequentieel aan­

geboden wordt in de volgorde 1, 0, 1. In elke andere aancaboden volgorde

moet de uitgans 0 blijven. Bij het opzetten van het tlow-diaar• kan aen

het best starten aet de toestand waarin de machine verkeert wanneer een vol­

gende serie niveau' s aancaboden kan worden. Deze toestand wijzen we het rarc­

n~r 1 toe. Willen we een 'Moore' machine ontwikkelen dan IlOeten we de bij

deze toestand behorende uitgangsgrootheid toewijzen. De toestand 1 en de bij­

behorende uitgang 0 geven we aan in de cirkel aet 1/0 (fig. 2). Wordt nu het

eerste niveau aangeboden dan zal de •achine overcaan naar toestand 2 wanneer

een 0 niveau aangeboden wordt en J'Ul&r toestand 3 wanneer een 1 aanareboden wordt,

we krijgen dus respp 2/0 en 3/0. Voor beide gevallen geldt dat de uitgang 0

blijft. Op de verbindingslijn van 1/0 naar 2/0 en de lijn naar 3/0 wordt de

ina&nRaRroothetd 0 reeD. 1 aeaet.

-6-

Het flow-diagram dat op deze wijze ontstaat is weergegeven in fig. 2.

Evenzo kan een volgorde-tabel opgezet worden zoals gegeven in fig. 3a. In de

linkerkolom de toestanden waarin de machine op dat ogenblik verkeert, in de

matrix de toestanden waarin de machine kan overgaan onder invloed van de r•t:.h "' ingangsgrootheden 0 of 1, en geheel ~ de uitgangsgrootheid die hoort bij

de toestand waarin de machine verkeert.

fig. 2.

Present state Next state

0 cl

1 2 3 2 4 5 3 6 7 4 8 9 5 10 11 6 12 13 1 14 15 8 1 1 9 1 1 10 1 1 11 1 1 12 1 1 13 1 1 14 1 1 15 1 1

fig. 3a

Output z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

------------,

Output z

0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

fig. 3b

I I

t I I I I I ! I I

__ I

-7-

Zowel in fi1. 2 als fil• 3 is duidelijk te zien dat alleen toestand 13

aan de sestelde eisen voldoet en een output 1 kan 1even.

Wordt echter een equivalente 'Mealy' ontwikkeld dan dienen we er rekenins

mee te houden dat een output optreedt bij de overlag& van de toestanden.

In het flow-diagram .aet nu de output-waarde op de verbindingslijn van de

toestanden geplaatst worden b.v. bij overgans onder input 1 hoort output 0

wordt aangeduid met 1/0.

De outputfunctie in de volgorde-tabel moet nu opgesplitst worden voor input 0

en input 1, zoals ce1even in fig. 3b.

Opsemerkt kan worden dat de 'Moore' machine vier klokperioden gebruikt terwijl

de 'Mealy' machine met 3 klokperioden een cyclus kan doorlopen om hetzelfde

resultaat te bereiken (fig. 4 en fig. 5).

' Fis •. 4 I

'

.t i

Present state Next state OUtput Z

0 1 0 1

1 2 3 0 0

2 4 5 0 0

3 6 7 0 0

4 1 1 0 0

5 1 1 0 0

6 1 1 0 1

7 1 1 0 0

Fig. 5

-8-

2.3 Vollorde-tabel

Aan de hand van de volgorde-tabel kan men voor elke toestand een tweede

toewijzin, doen, nl. de toewijzing van de stand der binaire geheugenelementen

die men wenst toe te passen. Om n toestanden te onderscheiden zal men een 2

aantal binaire elementen p~ log n moeten toepassen. Wanneer we nogmaals 2

fig. 3 bekijken dan zouden we voor deze machine (p ~ log 15) 4 elementen

moeten toepassen. Men kan echter opmerken dat een aantal toestanden redun­

dant zijn. Wanneer twee toestanden in dezelfde volgende toestanden overgaan

en ook IQUJke output opleveren dan kunnen deze toestanden vervangen worden

door één toestand. Dit is in fia. 3a het geval met de toestanden 8, 9, 10,

11, 12, 14 en 15. Nemen we voor deze toestanden alleen de toestand 8 dan

ziet de volgorde-tabel er uit als in fig. 6 gegeven.

Present state Next state ~t~tz

0 1

1 2 3 0

2 4 5 0

3 6 7 0

4 8 8 0

5 8 8 0

6 8 13 0

7 8 8 0

8 1 1 0

13 1 1 1

Fig. 6.

Hierna blijkt weer een verdere vereenvoudiging mogelijk te zijn. De toe­

standen 4, 5 en 7 mogen nu samen aanomen worden zoals 1egeven in fi1. 7.

~resent state Next state Output Z

0 1

1 2 3 0 2 4 4 0 ~ 6 4 0 ~ 8 8 0 6 8 13 0 8 1 1 0 13 1 1 1

-9-

Er blijven nu nog slechts 7 verschillende toest~nden over. Bij de uitvoering 2 van de machine kunnen we dus volstaan met p ~ log 7. Een machine met 3

binaire elementen voldoet aan de gestelde eisen.

Een toewijzing die gedaan kan worden is b.v.

yl y2 y3

Voor toestand 1 0 0 0

2 1 0 0

3 1 0 1

4 0 1 0

6 0 1 1

8 1 1 0

13 1 1 1

y1

, y2

en y3

stellen de output der binaire elementen v1

, y2

en y 3

voor.

De volgorde-tabel met de gegeven secundaire toewijzing ziet er dan uit als -gegeven in fit. 8 met input x en x

I

-·· x x z

)\ y2 y3 y1 y2 y3 y1 y2 1 3

0 0 0 1 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1

fig. 8.

Voor het schakelschema m.b.v. J.K. Master-alave flip-flop levert dit op (1)

~= 1

J3 ::::: 71 y2 x

K3 = y2x + ylx

-1o-

Zouden we de toewijzing nemen

yl y2 Ya Toestand 1 0 0 0

2 0 1 1

3 1 1 0

4 0 0 1

6 1 1 1

8 1 0 1

13 0 1 0

Dit zou opleveren voor het schake !schema

J1 = y2 (x + y3) J2 = y3 J3 = y1 + y2x z = y1 1 2 1 3 -

K1 = 1 2 y3 + x K2 • ,.1 + y3x + y3x K3 = y1 1 2 + 1 1x

Duidelijk is te zien dat de toewijzing in het eerste geval een eenvoudigere

machine oplevert dan in het tweede geval. Het aantal te gebruiken combina­

torische netwerken is veel kleiner.

Om te komen tot een secundaire toewijzing, die een machine oplevert aet een zo

klein moselijke afhankelijkheid, kan sebruik gemaakt worden van de partitie•

theorie (2) en (3). Een gedeelte van deze theorie, die in het verdere ver­

loop van het verslag gebruikt wordt, zal in hoofdstuk ~.4 belicht worden.

Bij een nadere beschouwing van de volgorde-tabellen, van de verschillende

machines, blijkt dat deze te verdelen zijn in 5 groepen.

a) Volgorde-tabellen waar een duidelijke be&intoestand aan te wijzen ia.

Deze begintoestand wordt steeds na een gelijk aantal klokperioden weer

bereikt. Men kan dan spreken vaneen machine met een beiintoeatand en eon­

stante clclus. (fig. 3 en fig. 5).

b) Volgorde-tabellen waar een begintoestand aan te wijzen is echter de

cycluslengte niet steeds hetzelfde is.

Als voorbeeld een machine die een output 1 ceeft, voor elke sroep van 5

niveaus die p-recies 3 énen bevat aolang de groep aet 2 énen begint. Zijn

de eerste 2 niveaus geen 2 énen dan wordt terugaegaan naar de begintoestand.

Is dit wel het geval dan wordt de gehele cyclus van 5 niveaus afgetast en

daarna al of niet een output gegeven en teruggesaan naar de begintoestand.

-11-

De niveautrein 1 1 0 1 1 0 1 0 zal geen output opleveren echter 1 0 0 1 1 0 1 0

levert wel een output 1 op.

Het flow-diagram en volgorde-tabel zien er dan als volgt uit (fig. 9 en

fig. 10).

Fig. 9.

0/0

---------l I I I I I I I I

t I I I I I I I

f 1 ~-------_j ,..__/

-12-

SJI N.S. OUtput z

0 1 0 1

1 1 2 0 0

2 1 3 0 0

3 4 5 0 0

4 6 7 0 0

5 8 9 0 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

8 1 1 1 0

9 1 1 0 0

Fig. 10

c) Volgorde-tabellen waarbij niet eenvoudig een begintoestand aan te wijzen

ia echter wel een of meerdere cycli doorlopen worden (zie fis. 11).

Bij deze machine wordt een cyclus doorlopen van de toestanden 0 ot 1 naar de

toestanden 4 of 5 dan naar 6 of 7 en vervolgens via 2 of 3 terug naar 0 ot 1.

~t 0 1 z

0 5 4 0

1 4 4 1

2 1 0 0

3 0 1 1

4 7 7 0

5 6 7 1

6 3 2 0

7 3 3 1

Fig. 11.

d) Volsorde-tabellen waarbij aeen besintoestand aan te wijzen is en ook geen

sprake is van een cycluslenate. Als voorbeeld een machine die een output 1

levert wanneer de laatste vier inputs de binaire getallen 3, 6, 7, 11 of

15 voorstellen dus bij input 1 1 0 0

0 1 1 0

1 1 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

-13-

Wanneer we gebruik maken van drie geheugeneleaenten voor de drie voorgaande

bits levert een 'Mealy' aachine de volgorde-tabel op zoals in fi1. 12

gegeven.

S/1 N.S. Output z

0 1 0 1

1 000 1 2 0 0

2 1 0 0 3 4 0 1

3 0 1 0 5 6 0 0

4 1 1 0 7 8 1 1

5 0 0 1 1 2 0 0

6 1 0 1 3 4 0 1

7 0 1 1 5 6 0 0

8 1 1 1 7 8 0 1

fig. 12

e) Vollorde-tabellen die niet volledil gedefinieerd zijn.

Don • t cares-toestanden.

Voor een uitgebreide behandeling van deze theorie kan verwezen worden naar

J. Hartaanis and R.E. Stearns Algebraic Structure Theory of Sequentia!

Machines.

Enkele beariPP!n en notaties

Een verzameling S die alle eleaenten bezit aet de eigenschap W wordt

geschreven,

S = { s/s heeft de ei1enschap W J

-14-

b.Y. de verzameling van alle evengetallen kan worden geschreven,

S = /i/ i ::: 2 K, K = 0, 1 , 2, ••••• J Wanneer s een element is van de verzameling S dan noteren we 8 E S.

Wanneer a € S inhoudt dat s E. T dan is S een onderverzameling van T,

genoteerd S S T.

Ook geldt:

Doorsnede S n T = i s/ s E. S en s e T J Vereniging S U T = { 8/ s ~ S of s e. T of 8 e: S en T J Wanneer S en T niet lege verzamelingen voorstellen dan wijst een tunetie t

van S in T, geschreven als

aan ieder element s in S een element t in T toe.

Een ~artitie w van S is een verza.eling, van onderverza.elingen van S, die •

geen zelfde element per onderverzameling bezit.

Dus

zodat

Ba n Bfj = ~ voor a I. B pJ ie lege verzaaeling

en

De onderverzamelingen van 1T noemen we verder blokken van 1T en noteren een

blok dat het element s bevat als:

B fT (8)

Wanneer de verzameling S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 J is dan noteren we

een partitief11 vanS met blokken { 1, 2] ,[3, 4}, {~. 6} en{7, 8, 91

•15-

als "t ={1.2; 3, 4; 5, 6; 7, 8, sj

en b.v. ook

Ook hier gelden de bewerkingen doorsnede en vereniging

1T 1 • "2 = { 1,2; 3, 4; 5, 6; 7. 8, 9 J . { 1,""6; 2,3; 4, 5; 7,8; 9}

= { Ï; 2; "ia 4: 5; ij 7,8; i} tll+W2 a{1,2; 3, 4; 5,8; 7, I, ej + {r;-i; 2,3; 4, 5; 7, 8; i}

= { t, 21 31 ... s, 6; 7, 8, 8} ot in bet alge~~een:

n ffl •• 2 •••• - ---· fl" .n = K1 .. i

n

en 'JT 1. + 1T 2 + -- - + V' n = ~ 11"t

Voor fl'1 en w2 van S noemen we 'lr2 groter of gelijk 'JT 1

dan en alleen dan wanneer ieder blok van f1' 1 bevat is in een blok van tr 2

Dus fT 1 < 1r2 dan en alleen dan wanneer ft 1 • ft 2

= 11' 1

, dan en alleen dan

wanneer tr1 + 1r2

= 1r2 •

We spreken van een partitie 'lr={Ojwanneer elk blok van de partitie uit één

eleaent bestaat.

Evenzo de partitie •={IJwanneer alle elementen in één blok van 1T zitten.

Men spreekt dan van triviale partities

!~~~~-~!!!!!!!!_!!!_!~~!!!!~1!!_!!1!~!2~!2

In hoofdstuk 2.3 hebben we gezien dat het zeer belangrijk is een juiste

secundaire toewijzing te doen a. tot een zo eenvoudig mogelijke aachine

te ka.en, die aan de gestelde eisen voldoet. Een belangrijk hulpaiddel

hiervoor zijn de partities aet de substitutie-eigenschap.

-18-

Definitie van de partitie met de substitutie-eigenschap. Een partitie van

een verzamelins toestanden, van een sequenti~le machine, beeft de substitutie

eigenschap, voor die machine, wanneer er geldt dat voor elke 2 toestanden

Sa en Sb, die tot hetzelfde blok van de partitie V behoren, en elke input I

er twee toestanden, l88

en ISb aan te wijzen zijn die wederoa in eenzelfde

blok van W zitten. (IS is de toestand waarin toestand S overgaat onder a a

invloed van input 1).

S/1 N.S. Output

X=O x=l z

0 3 6 0

1 2 7 1

2 4 5 0

3 5 5 0

4 7 2 0

5 6 3 0

6 0 1 0

7 1 1 0

Fig .• 13

Wanneer we de tabel van fig. 13 bekijken dan zien we dat de partities

11'1

= [ 0, 1; 2, 3; 4, 5; e;--1 J en

"2 = { o, 4; 1,"""5; 2, 6; 3;'"7}

voldoen aan de eisen zoals boven beschreven en kunnen dus partities met

substitutie-eigenschap senoemd worden.

Deze machine bezit 8 toestanden en we zullen dus drie binaire geheugen­

elementen Y1 , Y 2 en Y 3 nodig hebben. Wanneer we nu een secundaire toewijzins

doen voor Y 1

en Y 2 dan kunnen we hiermee de 4 blokken van de aparti tie 1i1

onderscheiden. Onderscheid .a.t dan nog gemaakt worden tussen de toestanden

f O, 1}, { 2, 3} , { 4, 5 J en { 6, 7 J . Hiervoor kunnen ; het derde ele•nt

Y 3 gebruiken ut de partitie 'l" wtt.arvoor we dan nog 4 cOIIbinatiemoselijk-

-17-

heden bez 1t ten. Nemen we b.v. 't' ={ 1,2.5,8; 0.3,4, 7} dan ziet de secundaire

toewijzing er als volgt uit:

~\ y2

en { 1, e} Ya

Voor toestanden { 0, 1} 0 0 2, 5, 0

{ 2, 3 J 1 0 { o, 3, 4, 7} 1

{ 4, 5} 0 1

{ 6, 7} 1 1

y1 y2 Ya

Ofwel toeetand 0 0 0 1

1 0 0 0

2 1 0 0

3 1 0 1

4 0 1 1

5 0 1 0

6 1 1 0

7 1 1 1

We vinden dan een machine waarbij y1 en y2

alleen onderlinc en van de

input x afhankelijk zijn, terwijl y3

afhankelijk!..!!'! zijn van y1

, y2

en

de input x.

Een betere toewijzing verkl'ijpn we wanneer we van beide partities ir1

en 1r 2

gebruik !laken. De verenigins tr1

+ v2

={ 0, 1, 4, 5; 2, 3, 6, 7 J bezit

nl. ook de substitutie-eigenschap.

We kunnen deze partitie r 1 + v2

gebruiken voor de_ toewijzing van !1

•

De partitiesv1

en w2

splitsen elk blok vantr1 +tr2

in 2 delen. We kunnen

nu de toewijzing van Y2 gebruiken om samen met de toewijzing van Y1

onder­

scheid te IDaken tussen de blokken van 1'1'1

en de toewijzing van Y3

samen ~~et

de toewijzing van Y1 onderscheid te laten maken tussen de blokken vantr2 •

We vinden dan een machine waarbij y1

alleen afhankelijk !!2 zijn van de

input x, terwijl y 2 en y3 alleen afhankelijk zijn van y1

en input x

zie fig. 14.

z ...

-18-

S/I N.S. Output

x::O Xa:1 z

000 1 0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 00 1 1 1 1

1 00 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 00 0

0 1 1 1 1 0 1 0 1 0

1 1 0 000 0 0 1 0

1 1 1 0 0 1 0 0 1 0

Fig. 14.

Een toewijzing m.b.v. partities met substitutie-eigenschap is alleen dan

eenduidig bepaald wanneer alle partities waarmee de toewijzing geschiedt

deze substitutie-eigenschap bezitten.

Een toewijzingsaethode die in vele gevallen betere resultaten óplevert is

de toewijzing m.b.v. partitie-paren.

Definitie van de partitie-paren

Een partitie-paar (111 V) van een verzameling toestanden van een sequentiäle

machine, is een geordend paar partities, van deze toestanden, zodat wanneer

de toestanden Sa en Sb tot betzelfde blok van fT behoren,en voor iedere input x·, dan behoren de toestanden !Sa en ,I'Sb tot eenzelfde blok van 11' (IS& is de- toe­

stand waarin de toestandS overgaat onder invloed van de input I). a Wanneer we dus weten in welk blok van11 een toestandS zich bevindt dan

weten we ook voor elke input I , in welk blok van 11' de toestand zich be­

vindt waarin toestand S overcaat onder invloed van de input l.

Opaemerkt kan worden dat wanneer 11 =fT' we te maken hebben met een partitie

met substitutie-eigenschap.

-19-

S/1 11 12 13 14 z

1 1 2 3 4 1

2 3 4 1 2 1

3 2 1 4 3 0

4 4 3 2 1 0

Fis. 15.

Voor de machine saseven in fil• 15 vinden we de partitie-paren:

(11"1, "i> ={ï;2; 3, 4 J , { 1, .3; 2.4}

(112, 11~) = {1.3; 2, 4} ' { ï,2; 3.4}

(11'"3, "3> = {1.4; 2, 3 J , { 1,4; 2,3}

Een toewijzins die gedaan kan 'WOrden is nu:

Voor y1 de partitie u1

dus 11 = 0 voor de toestanden 1 en 2

Voor y2 de partitie • 2 11 = 1 voor de toestanden 3 en 4

Er geldt ..-1 • ".2

= 0 12 = 0 voor de toestanden 1 en 3

12 = 1 voor de toestanden 2 en 4

Rest nu nos een gunstige toewijzing te zoeken voor de inputeoab1nat1es.

Tot nu toe is er alleen sprake geweest van partities waarbij toestanden

overgaan in toestanden (S, S) partities,

Het is mosslijk de partities echter verder uit te breiden door b.v. voor

de eerste partitie de verza.eling van inputs te nemen en voor de tweede

partities de volgende toestanden(}, Sparen).

Definitie

Een I-S paar ()., fT), van een aachine, is een ceordend paar partities, ).

betrekkina hebbend op de input I en fT op de verzaaeling van toestanden, zo­

dat wanneer ,I~ en lb tot hetzelfde blok van). behoren, dan zullen ook

laS en x·bs tot hetzelfde blok van).. behoren voor elke toestand S.

Evenzo kan (r•O) paren en (S, 0) paren gevormd worden.

Voor de machine van fig. 14 vinden we de volgende (I-S) paren

(X1, 11'1) = f I 1' I2; I3, I4 J , { 1,2; 3;4}

{~, 172) = [ 11, I 3; 12, 14} , { 1,3; 2, 4}

<"'a, 173) = [ Il, 14; ·12, 13} , { ï;4; 2.3}

Voor de toewijzing kunnen we neaen

~ en ;..2 daar er pldt "\ • ~ = 0

De toewijzing van toestanden en input-variabele is nu:

11 y2 xl x2

t--o 0 r1--o 0

2 0 1 12 0 1

3 1 0 13 1 0

4 1 1 I4 1 1

Voor het schakelschema geldt:

J1 = xl 1 2 + x1 1 2

K1 = xl 1 2 + xl 1 2

"""' J2 = x2 1 1 + x2 1 1

K2 = x2 11 + x2 11

-2o-

-21-

HOOFDBroK 3

3.1 'Standaard' s~uenti~le aachines

De methodes van secundaire toewijaina, die behandeld aijn in hoofdstuk 2.4,

leveren machines op aet veralnderde afhankeliJkheid.

Eigenschappen van deze machines zijn:

a) Het aantal binaire 1eheu1enelementen, voor een bepaalde aachine, is

tot een mini•ua beperkt.

b) Het aantal toe te passen combinatorische netwerken is zoveel aogelijk

beperkt.

c) Van de te passen b~aire elementen aoet input en output bereikbaar zijn.

Een andere benadering van het probleem der secundaire toewijzins is trachten

de 1evraagde aachine op te bouwen uit een coabinatie van 'standaar~aohinee'.

Bij de fabricage van 'Integrated circuits' elementen is het tegenwoordil

mogelijk meerdere binaire ele.enten op een chip te plaatsen. Deze worden

reeds inwendig, vaak van buitenaf niet bereikbaar doorverbonden aodat een

sequenti~le aachine ontstaat die bepaalde functies kan verrichten. Zo'n

complete schakeling, waarvan de functie slechts gedeeltelijk of in geheel

niet te wijzigen is zou .en 'standaard' aachinea kunnen noeaen.

Voorbeelden hiervan zijn:

1) Input onafhankelijke tellers (periode-tellers)

2) Schuifre11sters

3) Input afhankelijke tellers.

!~2 Input onafhankelijke tellers

Eisen waaraan een volgorde-tabel voor een teller moet voldoen:

1) Volgende toestand moet afwijken van de vorige toestand.

2) Volgende toestand die bereikt wordt is onafhan;kelijk van de input.

voor i= 1 ••••• n

y1 is de toestand van het ilelement van de teller,~

f wordt bepaald door de toegepaste coabinatorische netwerken.

-22-

3) Er is één en slechts één klokperiode (op één en slechts één manier

in de uitgangspositie terugkeren).

4) Bezit de teller n ge~eugen-elementen dan kan de volgorde-tabel maximaal

2n toestanden bezitten.

5) ledere toestand kan slechts overgaan in één volgende toestand.

Vaak bevatten sequentiäle machines een input onafhankelijk gedeelte. Men kan

de machine scheiden in een gedeelte dat input onafhankelijk is en een gedeelte

dat input afhankelijk is.

Aan de hand van enkele voorbeelden zullen de eigenschappen behandeld worden

waaraan een volgorde-tabel moet voldoen om een input onafhankelijk gedeelte

te kunnen ontwerpen.

Stel dat we een machine moeten ontwerpen die voorgesteld wordt door de

volgorde-tabel van fig. 16. Deze machine bezit 8 verschillende toestanden.

We zullen dus minstens 3 binaire geheugen-elementen moeten toepassen.

S/I 0 1 z

0 5 4 0

1 4 4 1

2 1 0 0

3 0 1 1

4 7 7 0

5 6 7 1

6 3 2 0

7 3 3 1

Fig. 16

Wanneer we een input onafhankelijk deel van deze machine willen afsplitsen,

bestaande uit K binaire variabelen, zal de toewijzing van deze elementen

zodanig moeten zijn dat deze K variabelen onafhankelijk zijn van de input

en van de overige 3-K variabelen.

Uit de theorie der partities is bekend dat een machine, die een secundaire

toewijzing bezit waarvan een gedeelte der variabelen alleen onderlinc en van

de input afhankelijk is, een p•rtitieW met substitutie-eigenschap moet

bezitten op de verzameling van toestanden, van deze machine.

De eis dat de machine-input-onafhankelijk is houdt in dat we een partitie U r

moeten vinden waarbij alle toestanden die in eenzelfde rij, van de volgorde-

tabel, voorkomen ook tot eenzelfde blok van deze partitie moeten behoren.

Voor een exacte definitie kan verwezen worden naar hoofdstuk 3.3 van dit

verslag.

In ons voorbeeld vinden we voor de blokken van de partitie " r

--4, 5 o, 1 6, 7 2, 3

Hierbij dienen we te bedenken dat wanneer de toestanden Sast Sb en Sb :Sc

er dan ook geldt dat S e S • a c

Voor de rijpartitie 1r1

vinden we dan { '0";-1; '2,"'3; 0; 6, 7} De partities aet substitutie-eigenschap zijn

111 = { o, 1, 6, 7 i 2, 3, 4, 5}

en

"2 = { o;1; '2,"'3; 4,5; 6,'7"}

Voor de secundaire toewijzing moeten we nu een partitie, met substitutie­

eigenschap, 1r nemen waarvoor geldt dat 11 > fT • r

In het algemeen geldt voor een partitie fT en de rijpartitie fT dat fT ~ 11 r r

dan en alleenci.dan wanneer het blok van 1T waarin een toestand, van de machine,

zich bevindt na een aantal klokperioden alleen afhankelijk is van het

blok van fT, waarin de begintoestand zich bevond,en het aantal klokperioden

maar onafhankelijk van de input-volgorde.

In ons voorbeeld voldoen beide partities fT 1 en 1f 2 aan de gestelde eisen.

Wanneer we fT 1 > 1T r nemen voor de secundaire toewijzing, hebben we te maken

met een 2-bloks partitie.

Het input onafhankelijke gedeelte bestaat dan uit een 2 toestandenmachine die

opgebouwd kan worden met ~én geheugen-element. Beter is echter de partitie

-24-

g2

= gr te kiezen. Deze bezit 4 blokken en levert dus een 4 periodenteller

op.

Bij de secundaire toewijzing van de standen van de toe te passen geheugen­

elementen, aan de blokken van u2, kunnen we nu ook meteen rekening houden met

het type teller dat we willen toepassen.

Allereerst moeten we vast leggen in welke volgorde de blokken van w2

door­

lopen worden.

Dit blijkt te zijn o, 1 - 4, !') - 6, 7 - 2, 3 - o, 1- enz.

Willen we de machine uitvoeren met een B.C.D.-teller die de volgorde

0 0 - 1 0 - 0 1 - 1 1 - 0 0 enz.doorloopt dan wordt de toewijzing

van de toestanden als volgt:

y1 y2 y1 y2

Toestanden 0 en 1 .. 0 0 1 q2 4 en 5 1 0

6 en 7 0 1 1 '2 2 en 3 1 1

Passen we een 'twisted rinacounter' toe die de volgorde

o o- 1 0 -· 1 1- 0 1- oo- enz. doorloopt dan wordt de toerij zintf' :

y1 12 Toestanden 0 en 1 .. 0 0

4 en 5 1 0

6 en 7 1 1

2 en 3 0 1

De toewijzing van 2 binaire elementen is nu bekend. Voor de toewijzing van

het derde element kan in dit geval het best gebruikt gemaakt worden van het

toestanden-output (S, 0) partitiepaar.

(S, 0) = <•3

, 0) ={ O, 2, 4, 6; 1, 3, 5, 1){o, ïj

Er geldt dan fr 2 • • 3 = 0

-25-

De totale toewijzing, wanneer de machine uitgevoerd wordt met een B.C.D.­

teller, wordt dan:

y1 y2 Y3 Toestand 0 ... 0 0 0

1 0 0 1

2 1 1 0

3 1 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 0 1 0

7 0 1 1

Voor het schakelschema geldt:

4 Periode Teller

·------------, I J1 = 1 J2 = y1 I J3 = x + y1 y2 z = Y3 I I I K=1 K=y I K3 = y1x + Y1 Y2 L __ l_ _____ ~ __ l__.J

Bij de berekening van het input-afhankelijke gedeelte, in dit geval v3

, is

het van bel&n~, voor de benodigde ingangsschakeling, dat men weet welk

type teller toegepast wordt.

Als tweede voorbeeld, van de werking van deze methode, een machine met een

volgorde-tabel volgens tig.17. Bij deze machine is toestand 6 niet bereik­

baar vanuit elke andere toestand.

Allereerst bepalen we de rijpartitie U • r

Hiervoor vinden we :

~ ={ 1, 3, 14, 16; 2, 13; 4, 15; 5, 7, 9, 11; 6; 8, 10, 12}

Deze partitie bezit niet de substitutie-eigenschap. De kleinste partitie,

met substitutie-eigenschap, die groter is dan de partitie ~ is r

"r = { 1, 3, 14, 16; 2, 4, 13, 15; 5, 7, 9, 11; i; 8, 10, 12}

-26-

S/I 0 1 z

1 5 11 1 6 1, 3, 14, 16 5, 7, 9, 11

2 10 8 1

3 11 7 1

4 8 8 0

5 13 2 0

6 3 16 0

~ 4 15 0

8 14 3 0

9 2 13 0

10 16 1 0

11 15 4 0

12 3 14 0

13 8 12 0

14 9 5 1

15 12 12 0

16 7 5 0 2, 4, 13, 15

fig. 17

Dit zou wijzen op een 5 perioden-teller met 3 geheugen-ela.enten. Bij nadere

beschouwing blijkt echter dat dit geen strikt 5 perioden-teller is aadat

toestaniS nooit bereikt wordt. Scha.atisch ziet deze teller er uit als

gegeven in fig. 18. Zowel blok 6 als blok 8, 10, 12 gaan over naar blok -1, 3, 14, 16. We kunnen ter vereenvoudiging blok 6 en blok 8, 10, 12 sa.en

namen. Dit levert dan een 4 perioden-teller op zoals schematisch gegeven

in fig. 19.

De bijbehorende partitie met substitutie-eigenschap is dan

w2 = { 1, 3, 14, 16; 2, 4, 13, 15; 5, 7, 9, 11; 6, 8, 10, 12} > fTr

Wanneer we ook hier weer de partitie w2 schrijven in de volgorde waarin

de blokken in elkaar overgaan, kan weer een toewijzing gedaan worden af­

hankelijk van het toe te passen type teller.

-27-

Deze volsorde is 1113" 14" 16 - 5, 7, 9, 11- 2, 4, 13, 15-6, 8, 10, 12- en

Uitvoering met een 'twisted ring counter' met volgorde 0 0- 1 0- 11-

- 0 1- enz. levert een toe~ijzing op.

y1 y2 Toestanden 1, 3, 14 en 16 .. 0 0

5, 7, 9 en 11 1 0

2, 4, 13 en 15 1 1

6, 8, 10 en 12 0 1

Voor de toewijzing van het input afhankelijk sedeelte dienen we nu noc een

partitie "r te zoeken zodanig dat fT 2

• -t = 0.

Voor dit input afhankelijke sedeelte van de machine zijn mini•aal 2 geheugen•

elementen noodzakelijk.

De methode, zoals in het vooraaande beschreven levert alleen een teller op

wanneer we te maken hebben .. t volgorde-tabellen &enoe.d in de groepen a en c

van hoofdstuk 2.3.

Geen oplossing wordt gevonden voor de groepen b en c, terwijl wel een cyclus

aanwezig !!2 zijn.

In groep b is er zeker sprake van een cyclus echter met vari8rende lengte.

Voor machines van dit type zouden we een teller kunnen toepassen mits we de

te doorlopen cyclus kunnen betnvloeden. De hierna volgende methode geeft

hiervoor een oplossing.

Een ander groot bezwaar van de vorige methode is de grote hoeveelbeid werk,

bij grotere machines, v:oor de bepaling van de · teller.

Als voorbeeld hiervan kunnen we een machine neaen die een output 1 geeft

wanneer een input gegeven wordt bestaande uit een groep van vijf pulsen 0 of

die geen drie enen achter elkaar bezit, b.v. 0 1 0 1 1 geeft output 1.

en 1 1 1 0 0 geeft output o. De machine start in een begintoestand,onderzoekt 5 input-pulsen en gaat dan

weer naar de begintoestand terug en is klaar voor het ontvangen van de

volgende groep van 5 pulsen,, De gereduceerde volgorde-tabel van deze machine

is gegeven in fig. 20.

1

-28-

S/.1: N.S. Output

0 1 0 1

1 2 3 0 0

2 4 5 0 0

3 4 6 0 0

4 7 8 0 0

5 7 9 0 0

6 7 10 0 0

7 11 11 0 0

8 11 12 0 0

9 11 13 0 0

10 13 13 0 0

11 1. 1 1 1

12 1 1 1 0

13 1 1 0 0

Fig. 20

Wanneer we van deze machine de teller bepalen, op de manier zoals in vorige

paragraaf beschreven, dan moeten we allereerst alle partities met substi­

tutie-eigenschap bepalen.

Voor deze machine zijn dit reeds &5 partities waaruit d~ partitie gekozen

moet worden die groter of gelijk is aan de, eveneens te bepalen rijpartitie •r

We vinden de rijpartitie • r

•r = { Ï; "2;3; 4, 5, 6; 7·, 8, 9, 10J 11, 12, 13}

en de partitie fT aaet substitutie-eigenschap waarvoor geldt 1T ) 11 r

11= {ï; 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9, 10; 11, 12, 13 J Conclusie is dat we de machine kunnen opsplitsen in een deelmachine bestaande.

uit een input-onafhankelijke 5 perioden-teller en een input-afhankelijk

gedeelte.

-29-

Een snellere methode voor de bepaling van de teller werkt als volgt:

Allereerst kiezen we een willekeurige toestand waarin de machine zich kan

bevinden, b.v. toestand 1. We bepalen nu de toestanden waarin deze toestand

overgaat voor elke input, in dit geval de toestanden 2 en 3. Vervolgens bepaler.

we de toestanden waarin de toestanden 2 en 3 overgaan voor elke input ens.

We krijgen zo voortgaande:

2, 3 - 4, ~. 6 - 7, 8, 9, 10 - -1-1-,-1-2-, _1_3_ J Wanneer, zoals in dit geval, een teller aanwezig is zal er een kringloop

optreden. Het aantal blokken waarin de toestanden bevat zijn is weer een

maat voor het aantal te doorlopen perioden van de teller.

Men kan dan weer een toewijzing doen voor de verschillende toestanden. Bij

toepassing van een B.C.D.-teller wordt dit:

y1 y2 y3

Toestanden 1 0 0 0

2 en 3 1 0 0

4, 5 en 6 0 1 0

7, 8, 9 en 10 1 1 0

11, 12 en 13 0 0 1

Voor het schakelschema geldt dan

J1 = y3 J2 = y1 J3 = y1 • y3

K1 = 1 K2 = y1 K3 = 1

y1 y

1 3

Zouden we als starttoestand b.v. toestand 5 kiezen dan ziet de kringloop er

als volgt uit:

-3o-

~L ,..... 5 - 7, 9- 11, 13 - 1 - 2, 3 - 4, 5, 6 - 7, 8, 9, 10 -

-1-1-, _1_2_,_1_3 J - ,.- -... -.... -, L----t'----~---------------' I I L---.-------------------~ I

~------------------------~

We vinden nu meerdere kringlopen.

Er geldt echter: We mogen dan en slechts dan tot een teller besluiten

wanneer in de kringloop alle toestanden bevat zijn die ook in de 'volcende

toestand' matrix opgenomen zijn.

Verder blijven we eisen, volgens de partitie-theorie, dat iedere toestand

slechts in een blok voorkomt. Deze eisen toepassende zien we dat de ge­

stippelde lijnen niet voorkoeen en er weer de 5 perioden teller overblijft.

Voor de machine uit fig. 17 geldt op deze wijze b.v. startend met toestand 9.

9- 2, 13ç 8, 10,12- 1, 3, 14,16-5, 7, 9,11- 2, 4,.13, 15.-J

We vinden nu meteen de 4 perioden-teller echter we missen toestand 6 die •et

in de 'volgende toestand' matrix opgenomen is. Evenals bij de vorige methode

kunnen we besluiten deze toestand 6 op te ne.en in het blok 8, 10, 12.

we vinden dan de 4 perioden-teller met de blokken:

1, 3, 14, 18 5, 7, 9, 11 2, 4, 13, 15 en e, 8, 10, 12

Nemen we nu de volsorde-tabel van fis. 10 blz. 12. Met behulp van de

partitie-methode was het niet moselijk tot een teller te besluiten.

Beginnend met toestand 1 vinden we op deze wijze.

o, 1

-J 1 - o, 1 o, 1 2 - 3 _....;._ __ 4, 5 ---'--- 6, 7, 8, 9]

Op de verbindingslijnen zijn de input aangebracht die de overgang tot

gevolg hebben.

Voor de grootste kringloop vinden we nu ook een 'input onafhankelijke' 5

perioden-teller.

De 2 kleine kringlopen 1aan naar dezelfde toestand 1 terus: als de grote

-31-

kringloop. Het optreden van deze kringlopen is echter afhankelijk van de

toegevoerde input.

Bij uitvoering van de machine met J.K. flip-flops kan men deze kringlopen

bereiken door gebruik te maken van de Set en Reset-functie.

We moeten dan de toestand waarin alle kringlopen samenkomen de toewijzing le­

ven waarin alle elementen 0 of 1 zijn. Daar bij M.S.I. en L.s.x. meestal

alleen een reset mogelijk is zullen we alleen gebruik maken van de toewijzing

dat alle elementen 0 zijn, voor deze becintoestand. We dienen op te aarken

dat de reset-ingans nu niet alleen afhankelijk is van de input maar ook

van de toestand waarin de teller verkeert en de toestand waarin de eventuele

input afhankelijke deelaachine verkeert.

In het algemeen kunnen we stellen:

Bij aanwezi;heid van meerdere kringlopen, die elkaar omvatten, kan men be­

sluiten tot een teller met een periode gelijk aan het aantal blokken die

omvat worden door de crootste kringloop. Een eis is verder dat alle kring­

lopen in êén toestand samenka.en en cebruik gemaakt kan worden van de Reset

functie van de toe te passen ceheugen-elementen.

3.3 Schuifregisters

In hoofdstuk 3.2 zijn alleen machines ter sprake ;ekomen die input-onaf­

hankelijk zijn of een input-onafhankelijke deelaachine bezitten. Daarnaast

zijn machines veelal input-afhankelijk of bevatten een input-afhankelijke

deelmachine. Om voor een input-afhankelijke machine een'standaardaachine'

te kunnen toepassen moeten we trachten deze aachine op te bouwen aet behulp

van zo weinig mogelijk input-lijnen, eventueel ten koste van een aini.ua

aantal binaire geheugen-elementen. Een van de meest ce&isende aachine hier­

voor is het sch~ifregiater.

Machines die uitsevoerd worden met schuifregisters kunnen in 2 groepen ver­

deeld worden:

a) Schuitrecieters zonder inwendise terugkOPE!lins (zie fis- 21) . b) Schuifregisters met inwendige te~opP!lin& (zie fig. 22)

Fi~. 21

y

Fig. 22

I I __ .....~ ____ _ I I ___ L ____ _

y n

y n

In beide fia~ren zijn Y1 t/• Yn de binaire ceheugen-elementen b.v.

-32-

Output z

J .K. flip-flops. a, {3 , y en cl zijn combinatorische netwerken. a en Y be•

palen de input van Y1

•

{3 endbepalen de output z. xi is de input van de machine. 1 = 1 •••• m

Eigenschappen van schuifregisters zijn:

1) Bezit een schuifregister n geheugen-elementen dan kan dit niet meer dan n 2 verschillende toestanden bevatten.

2)~.>De volaende toestand moet afwijken van de vorige toestand. UitzonderbiC

hierop ontstaat wanneer geschoven wordt terwijl alle geheugen-eleaenten een

output 0 bezitten en de input van het eerste eleaent 0 bedraagt. Evenzo

wanneer de output 1 ia van alle elementen en de input van het eerste element l

is.

-33-

3) Iedere toestand kan overgaan in hoogstens twee andere toestanden.

4) Iedere toestand kan slechts het sevolg zijn van twee voorsaande toestanden.

5) Wanneer twee toestanden in één ge•eenschappelijke toestand kunnen over- .

gaan dan kunnen zij in twéé s•eenschappelijke toestanden overgaan. Wanneer

twee toestanden atkomstis zijn van één vorise toestand dan kunnen zij af­

komstis zijn van twéé vorige toestanden.

6) Slechts het eerste seheugen-eleaent kan van buitenaf betnvloed worden.

Voor een schuifregister zonder te!Ufkopf!li~ geldt dat de input van het

eerste element alleen afhankelijk is van de combinaties van de input xi.

Voor een sohuifregister .at 1nwendile te~oppeli~ is de input van het eer­

ste element afhankelijk van de coabinaties van de input xi en de toestand

(yi ••••• y0

) waarin het schuif~ister zich bevindt.

De vergelijkingen waaraan een schuifregister zonder inwendise terugkoppelin&

uit fig. 21 voldoet:

y'j+1 =Yj voor j = 1 ••••• (n-1)

y i = a (x i) voor i = 1. • • • • m

y1

is de toestand van het il geheugen-element

Yj+1 is de volgende toestand verkresen met yj.

Voor het schuifregister met teruckoppeling uit fig. 22:

Yj+1 = yj voor j = 1 •••• (n-1)

y' 1

z

.... xl, •• • •

x ) m

x ) 11

Wanneer we aan de hand van een volgorde-tabel een machine willen opbouwen

met behulp van schuifregisters zijn er twee moselijkheden.

1) Gebruikmaken van een aantal schuifregisters die ieder een •inimua aantal

geheugen-eleaenten bezitten.

-34-

2) Gebruikmaken van een mini.um aantal schuifregisters.

Deze laatste mogelijkheid zal in het verdere verloop van het verslas nader

uitgewerkt worden. We zullen een oplossing die een schuifrestster met

3 elementen oplevert beter noemen dan een oplossing met drie schuifregisters

bestaande uit ieder ê~n element.

Een van de kenmerkende eigenschappen van een schuifregisters, bestaande uit

n elementen is dat er steeds geldt

Y' a y voor i= 1 •••• (n-1) i+1 i

Deze beperking van het aantal mogelijkheden, waarin een toestand, van een

.schuifregister, kan oversaan seeft hieraan enkele bijzondere eigenschappen.

Stel dat we een schuifregister bezitten bestaande uit twee ceheugen-elementen

Y1 en Y2

en dat dit schuifreetster zich bevindt in de toestand y1 = 0

en y2 = o. De volgende toestand waarin het schuifregister kan oversaan is

y2

= 0 en y1

= 0 of 1.

De toestand 1 0 kan alleen oversaan in de toestand 0 1 of de toestand 1 1

enz. Van deze overaangamogelijkheden kunnen we een diagram opzetten

('Goods diacram) zoals gegeven in fig. 24. Voor een lp 3 resp. 4 el~enten

schuifregister zijn deze diagrammen getekend in de figo 23, 25 en 28.

1 element

fig. 23.

2 elementen

fig. 24.

-35-

3 elementen

:fig. 25.

4 elementen

fig. 26.

Beschouwen we nu een aachine bestaande uit n elementen Y1

, Y2, •••• Yn

waarvan b.v. de elementen Y1 en Y2 geschakeld zijn als schuifregister.

Iedere toestand waarin de machine zich kan bevinden is bepaald door de

codering van y1 , y2 •••• en Yn•

We kunnen nu die toestanden samennemen die voor y 1 "en y 2

beide de code 0

bezitten, dus alle toestanden met o,o, y3 , •••• yn (Q0 , 0). Evenzo de

groepen van toestanden die de tO,wijzing o, 1, y3, •••• y2 • t,o,y3, •••• Yn

en t 1 t 1 y3 , •••• yn) bezitten, aangeduid met resp. QO,l' Ql,O en Q1, 1 •

Uit de theorie der partities weten we dat deze groepen QO,O' Ql,O~ Q0 , 1 ,en Ql,J

een partitie voraen op alle toestanden van deze machine. Ook kunnen we

deze groepen opne.en in een 'Goods•diasram' en we zien dan dat dit diasram

-36-

gelijk van vorm is aan een 'Goods-diagram' voor een schuitregister met

2 geheuaen-elementen,zie fig. 27.

tig. 27.

Omgekeerd mogen we nu stellen dat tedere machine die een partitie V bezit,

waarvan de blokken passen in een 'Goods-diagram' van een schuitregister

van de lengte 1, opgebouwd kan worden •et als deel•achine een schuifregister

met 1 geheugen-elementen.

We kunnen nu een definitie geven van deze bijzondere partitie, de Schuit­

register-partitie, SRP.

Definitie.

Een partitie fT, op de toestanden van een machine, wordt een schuitresister­

partitie, met lengte 1 genoemd, wanneer de blokken van de partitie ~

passen in de hoekpunten van een 'Goods-diagram' van een 1 eleaenten

schuifrestster.

Om de schuifregisterpartities te detecteren wordt gebruik semaakt van de

kolompartitie 'lfk en de rijpartities V r"

Definitie

Twee toestanden~. en ~b' van een machine, zijn kolomverbenden (aangeduid

met~ a ~ ~ b) dan en talleen dan wanneer bij de ingangsgrootheden Pi en P j (niet noodzakelijk verschillend) en een toestand~ (niet noodzakelijk ver-

c schillend van ~a en~ b) geldt P 1 ~a = P j~ b = ~c • ~a en ~b zijn rij-verbonden (aangeduid met ~a ..!: ~ b) dan en alleen dan

wanneer bij de insangsgrootheden pi en pj en een toestand ~c geldt

PlT'c =~a en Pj~c = ~b.

De kola.partitie is een partitie Vk wanneer tweee toestanden~ en~ zich k a b

in één blok van 1rk bevinden dan en alleen dan wanneer~ -~ b of wanneer er Jf k ka k

toestanden~ , ~d' •••• ~ zijn zodat~ ~ - ~d ""' ••••• - ~b. c z a c

-37-

_De __ ~~a~r_t~i_t.i~e is een partitie gr wanneer twee toestanden o- en w zich a b

blok van W bevinden dan en alleen dan wanneer w r a er to~tanden Wc, o-d' •••• w z zijn zodat

~rl r r r tl"'a f"!f ;o-e o-d - •••• -o-b

in

I i

1:. er of wanneer b

De ~ac~ine van fig.

en rtjtarti ties.

28 geeft een voorbeeld voor de bepaling van de koloa-

l ) . , I ' . l

S/I 11 p2 Pa Kolomrelaties Rijrelaties

1 1 3 1 1

k 3 1

r 3 - -

2 6 2 5 2 k

6 2 r

5 .... -3 4 3 - 2

k 2

r 6 - 7 -4 7 - 7

5 - 4 4 3

k 4 3

r 4 - -

6 5 5 8 4 k 8 5

r 6 ""' -

7 6 6 6 5

r 8 -

8 - 7 7

fig. 28

Uit de kolom- en rijrelaties vinden we

Kol011part1t1e 'ITk = [ 1, 3, 5; 2, 6, 7; 4, 8} en

Rijpartitie gr = { 1, 3, 4; 2, 5, 6, 8; 7 J

Van deze kolom- en rijpartities kunnen enkele bijzondere eigenschappen bekeken

worden.

Aan de hand van het voorbeeld is te zien dat ieder blok van de rijpartitie

r.rr ontstaat door overgang van één blok van de kolompartitie wk.

Omgekeerd seldt ook dat een blok van de kolGilpartitie "k overgaat in Un

blok van de rijpartitie gr• Deze eisenschap kan de 'eomappi~ eigenseh!e• &e,noemd worden •. In algemeen geldt:

Jèf'lnitie: I Wanneer een machine twee part i ties fT1 en 1f 2 bezit dan kan aaen zeggen dat 11'1 de ~ fPPins' eiaenschaJ!.' bezit dan en alleen dan wanneer ieder blok van 1Jj, ovf111j1Ult nar 1al

-38-

hoogste één blok van· 1r2

en ieder blok van 1r2

een gevolg is van de overgang van

ten hoogste één blok vanu1 • OPCeaerkt kan worden dat deze eigenschap niet

symmetrisch is.

Van een sachine kunnen alle schuifregisterpartities • gezocht worden waar-a

voor geldt tra )I fl'k en alle schuifregisterpartities fT b waarvoor moet gelden

1rb )lfl'r. De part1t1e1fa bezit dan ook de 'coaapPing eienschap' met11b.

Voor de bepaling van alle schuifregisterpartities is de volgende definitie

van belang.

Definitie

Een schuifregister 1r met lengte 1+1 bestaat dan en slechts dan wanneer c

er tw:ee partlUes 11 a en fl'b' met lengte 1, bestaan waarbij 1110et gelden dat

1Ta de 'coaapping eigenschap' ~~et 'll'b moet bezitten. Er geldt dan

11 = 11 • 1T.b. c a Aan de hand van het voorbeeld in fig. 29 zal deze methode verder toegelicht

worden ..

Allereerst worden uit de volgorde-tabel de koloa- en rijpartities, •k en fTr•

bepaald. Voor de bepaling van de eerste schuifregisterpartitie 1r , met a

lengte 1, worden alle coabinaties van de blokken van de koloapartitiefl'k

genomen, die een 2 bloka-partitie opleveren. Dit levert ·7 schuifregister­

partities op waarvoor natuurlijk geldt 118

)I fTk.

Met behulp van de 'coaapping eigenschap' kunnen, uit de volgorde-tabel

en de partities 11'8

, de schuifregisterpartities fTb gevormd worden waarvoor

110et gelden 11' b )I "r.

S/1 pl p2 = {1;3; --~- 6, 7} .".k 2; 4, 5;

1 1 6

2 4 4

.". ... {1;6; 4; 3, 7 i 2.5] r

3 6 -4 3 3

5 7 3

6 2 5

7 - 2

fig. 29.

f1,'3i 2, 4, 5, 6, 7}

{ 1, 3, 2i 4, 5, 8, 7 J { 1, 3, 4, 5i 2, 6, 7}

{ 1' 3, 6, 7 i 2,· 4, 5}

{ 1, 3, 2, 4, 5i 6."7}

[1, 3, 2, 6, 1i 4.5}

{1, 3, 4, 5, 8, 1i 2}

' ".b

{1,6; 2, 3, 4, 5, 7}

{ 1, 4, 6 i 2, 3, 5, 7}

{1;6; 4; 3, 7; 2.5}

{ 1, 2, 5, 8; 3, 4, 7}

{ 1, 3, 4, 6, 7; 2:5}

{ 1, 2, 4, 5, 6; 3,"7}

{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7}

-39-

' fl'a

{1.6"; 2, 3, 4, 5, 7 J { Ï; 2, 4, 5, 7; 3; i}

{ 1, 4, 6; 2, 3, 5, 7} { Ïi 2, 3i 4, 6; F,'7'}

f 1, 3, 8, 7 i 2, 4, 5}

{ 1, 2, 5, 6i 3, 4, 7} { 1,6"; 2.5"i 3;"1; 4}

{ 1, 3, 4, 6, 7; 2.5} { 1, 3, 4; 2, 5; a;-1}

{ 1, 2, 4, 5, 6; 3.7} { 1' 2, 6; 3.1i 4, 5}

{1, 2, 3, 5, 6"7i 4} {13567;2;4}

Uit deze twee partities fl'a en vb, met lengte 1, die de 'com•pping eigenschap'

bezitten kunnen we nu de valsende partitie"., vormen waarvoor geldt a

fT' = ff • "b· a a

-4{)-

We vinden hiervoor ook weer 7 verschillende partities. Deze bevatten allen

meer dan 2 blokken en zijn dus schuifregisterpartitles, met lengte 2, echter

alleen voor de partitie W'~ = {1;'3; 2; 4,5; i7} geldt dat W'; > W'k. Deze

partitie is een schuifregisterpartitie, met lengte 2, en kan dus ook alleen

maar de 'comapping eiaenschap' bezitten met een schuifresisterpartitieW'b'

waarvoor moet gelden w~ > •r• '11 ~ = {r;-i; 4; 3, 7; 2,5'} . De doorsnede W'~ • W'~ levert de 0 partities op. Deze 0 partitie is een schuif­

registerpartitie van de lengte 3. Hieruit blijkt dus dat we de machine

kunnen opbouwen m.b.v. een enkel schuifregister dat bestaat uit 3 seheugen­

elementen. Voor de secundaire toewijzina kunnen we gebruikmaken van de

partitie •; = {r;-'3; 2; "4;S; "ë,"?} voor de elementen Y1

en Y2

en de

partitie ". • { 11 2 1 5,6; 3, 4, 7} , afgeleid van de partitie fT~, voor het

element Y3

•

Hieruit volgt dus:

y1 y2

De toestanden 1 en 3 _ 0 0

2 1 1

4 en 5 0 1

6 en 7 1 0

De toestanden 1, 2, 5 en 6 - 0

3, 4 en 7 1

De volgorde-tabel met secundaire-toewijzing ziet er dan uit als gegeven in

fig. 30.

Voor nadere toelichting van deze methode kan verwezen worden naar een

publicatie van J.A. Nichols (3).

S/l pl p2 ·-

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

2 1 1 0 0 1 1 0 1 1

3 0 0 1 1 0 0 -4 0 1 1 0 0 1 0 0 1

5 0 1 lO 1 0 1 0 0 1

6 1 0 0 1 1 0 0 1 0

~ 1 0 1 - 1 1 0

fig. 30

Voor het schakelschema levert dit op:

J1 = pl (yzY3 + y2y3) + p.j2

Kl = y2 + P.j3

-41-

In hoofdstuk 2.4.3 hebben we de eigenschap van een partitie-paar gedefinieerd.

Definitie

Een partitie-paar <•, v'), van een verzameling toestanden van een sequenti8le

machine, is een geordend paar partities, van deze toeststanden, zodat wanneer

de toestanden S8

en Sb tot hetzelfde blok van de partitie • behoren, en voor

iedere input I, 9an

de partitie tf (IS a

behoren de toestanden ISa en ISb tot eenzelfde blok van

is de toestand waarin de toestand S ~vergaaat, onder in­a

vloed van de input I).

Wanneer we dus weten in welk blok van • een toestand S zich bevindt dan weten

we, voor elke Input I,in welk blok van •' de toestand IS zich bevindt waarin

toestand S overgaat onder invloed van de input I.

Omgekeerd geldt ook, wanneer we weten in welk blok van fT' zich een toestand

IS bevindt dan is ook bekend, voor elke input I, in welk blok van • de toe­

stand S zich bevindt waaruit toestand IS is ontstaan door overgang onder

invloed van I.

In de hoofdstukken 3.2.1 en 3.3 is ook het begrip rijpartitie ter sprake ge­

komen evenals de eisen waaraan een volgorde-tabel moet voldoen om tot een

input-onafhankelijk deelmachine te kunnen besluiten.

We kunnen nu de volgende definitie geven:

Definitie:

De toestanden

gaan dan en

S' en S' die a b

Sa en Sb, die tot eenzelfde blok van een part i tie fT behoren,

slechts dan, onafhankelijk van de input I, over in de toestanden

tot eenzelfde blok van een partitie fT' behoren, wanneer er

geldt .".. > "r·

Nemen we nu een machine die bestaat uit een schuifregister

y~+l • yi voor i= 1 •••• (n-1)

y' 1

xj is de Input voor j = 1 •••• m

-42-

n Het aantal toestanden, waarin deze machine zich kan bevinden, bedraagt 2

toestanden.

Stel nu dat van deze machine alleen de toestand van het element Yd bekend

is (1 < d < n).

De toestanden waarin de aachine zich kan bevinden worden nu verdeeld in twee

groepen, nl. de groep A waarbij geldt yd = 0 en de groep B voor yd = 1.

Aangezien dit elkaar uitsluitende groepen zijn (A.B = 0) mogen we spreken

van de 2 bloks-partitie 71'= { Ä; B} . Wanneer bij deze machine een overgang

heeft plaatsgevonden is de informatie van het element Yd overgedragen aan

het element Yd+1 • Wanneer de toestand van alle andere elementen onbekend is

levert dit een tweede partitie Tr' .. { Ä'; B '} op met blok A' voor Y d+l a 0

en blok B' voor Yd+l = 1.

Deze partitie 11'' zal groter of gelijk aoeten zijn aan de rijpartitie 11' daar r

de overgangstoestand ontstaan is onafhankelijk van de input. Uit de definitie

van een partitie-paar volgt tevens dat we deze partities~ en W' aogen be­

schouwen als een partitiepaar (fT, fT') waarbij 11 betrekking heeft op eleaent

Yd en u' op element Y 1 • Voor partitie 11' geldt eveneens 11' >fT indien ~ r

d ~ 1. De partitie 11, voor het element Yd, kan ook genomen worden als

partitie 1f van een nieuw partitiepaar (1r, fT'). De daarbijbehorende partitie

11' is dan de partitie die hoort bij de toewijzing van het eleaent Yd_1

•

Voor partitiepaar (11', ft'), waarbij fl' geldt voor de toewijzing van Y2

en 11'

voor de toewijzing van Y1 , geldt dat u'> fTr echterfl:., fTr daarYl; in­

put-afhankelijk is.

Voor par ti tiepaar (fT, 1T') , waarbij fT geldt voor de toewij zing van Y , zal n

de partitie u' ={IJ(I is de partitie waarbij alle toestanden, van een machine,

in een blok zijn opgenomen). Dit levert dus de triviale partitie (fT, I) op.

Aan de hand van een voorbeeld, waarvan de volgorde-tabel gegeven is in fig. 3l,

zullen deze methode nader toelichten.

S/I lol p2

1 1 6

2 4 4

3 6 ~ 4 3 3

5 7 3

6 2 5

7 ~ 2

Fig. 31

-43-

De omcirkelde toestanden 8 en 9 kunnen ala don't•cares beschouwd worden, en

verder verwaarloosd worden.

De rijpartitie ft'r= {1, 6, 8; 2, 5, 9; 3,7; i} Van de rijpartitie ft' kunnen alle 2 blokscombinaties gevormd worden. Deze zijns r

{1, 6, 8; 2, 5, 9, 3, 7, 4}

{ 1' 6, 8, 2, 5, 9; 3, 7, 4]

{ 1, 6, 8, 3, 7; 2, 5, 9, 4}

{ 1, 6, 8, 4; 2, 5, 9, 3, 7}

{ 1, 6, 8, 2, 5, 9, 3, 7; 4}

f 1, 6, 8, 2, 5, 9, 4; 3.1)

f 1, 6, 8, 3, 7, 4; 2, 5, 9}

Alle gegenereerde 2 bloka-partities-paren volgen hieronder: (4) (5)

{ } { I } 11 ft'

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6; 7} { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 9}

{ 1, 2, 3, 4, 5, 7; 6 } { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9; 5}

a2 ( 1, 2, 3, 4, 5; a:?) { 1, 3, 4, 6, 7, 8; 2, 5, 9 } al

{ 1, 2, 3, 4, 6, 7; 5 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9; 7}

{ 1, 2, 3, 4, 6; 5, 7 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8; 7, 9}

b2 { 1' 2, 31 6 t 7 j 4.5} { 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9; 3.1} bl

c2 { 1, 2, 3; 4, 5, 6, 7} { 1, 4, 6, 8; 2, 3, 5, 7, 9} cl

{ 1, 2, 4, 5, 6, 7; 3 } {I, 2, 3, 'i, 5, 6, 1, '§; ë}

{ 1, 2, 4, 5, 7; 3."6}

d2 { 1 1 3 f 41 51 6 I 7 j 2}

f 3"{ 1, 3, 4, 5; 2, 6, 1}

f2 { 1, 3, 6, 7; 2, 4, 5}

12 {1;3; 2, 4, 5, 6, 7}

{ 1, 5, 7; 2, 3, 4, 6}

{ 1,5; 2, 3, 4, 6, 7}

{1.7; 2, 3, 4, 5, 6}

{ï; 2, 3, 4, 5, 6, 7}

{ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9; 5, 8}

{ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9; 4} dl

{ 1, 3, 6,' 7, 8; 2, 4, 5, 9} tlf2

{ 1, 2, 5, 6, 8, 9; 3, 4, 7 } fl

{ 1, 6, 8; 2, 3, 4, 5, 7, 9} gl

{ 1, 7, 9; 2, 3, 4, 5, 6, 8}

{1.7; 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}

{~; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

{ï; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

-44-

De toewijzing van een moselijk laatste element van een zo groot mocelijk

schuifregister kan men vinden door de partities 1r te nemen waarvoor geldt

fT' illl fT r. Dit zijn de partities aangegeven met a1 t/m s1 • De bijbehorende fT

a2

t/m g2

is dan de toewijzing van het voorgaande element. Wil dit el~nt

ook input-onafhankelijk zijn dan zal ook deze partitie illl fT moeten zijn. Dit r

is het gevalliet partitie f2 .". ={1, 3, 6, 7; 2 4 s;. Deze partitie kan gebruikt worden als partitiew' en de bijbehorende par­

titie fT is dan de toewijzing voor het daaraan voorafgaande elaaent.

Dit is partitie 1r = { l, 3, 4, 5; 2, 6, 1) geaerkt met f 3•

Deze part1t1ef1 j "r zodat dus dit element input-afhankelijk is.

Voor de toewijzins vinden we dus:

Stand 0 1

Element y3 ... 1, 2, 5, 6, 8, 9 3, 4, 7

y2 ... 1, 3, 6, 7, 8 2, 4,5, 9

yl .. 1, 3, 4, 5 2, 6, 7

-45-

Per toestand y1 y2 y3

Toestand 1 0 0 0

2 1 1 0

3 0 0 1

4 0 1 1

5 0 1 0

e 1 0 0

7 1 0 1

Dit levert eenzelfde toewijzing op als de methode van Nichols, behandeld in

hoofdstuk 3.3.1. Voor verdere uitwerking kan hier naar verwezen worden.

Een kenmerk van beide vorige .athodes is dat eerst alle 2 bloks-SRP-partities

of 2 bloka-partitie-paren gegenereerd moeten worden. Hieruit wordt dan

systematisch een keuze gemaakt zodat een zo groot mogelijk schuifregister

gevonden wordt. Bij grotere •achines leveren deze methodes een grote hoeveel­

heid S.R.P. partities of partitie-paren op, waarvan echter slechts een zeer

beperkt aantal gebruikt wordt bij de secundaire toewijzing van de machine.

Met behulp van de nu volgende methode worden alleen die partities gegenereerd

die nodig zijn om een secundaire toewijzing van een schuifregister te ver­

krijgen. Tevens is het m.b.v. deze methode mogelijk om aachines, die niet

tot een schuifregister leiden, met beide voorgaande methodes, toch hieraee

uit te voeren.

Dit gebeurt door uitbreiding van het aantal toestanden, dat echter vaak een

groter aantal geheugen-elementen vereist voor de machine.

Stel we hebben een machine, bestaande uit een schuifregister met n geheugen­

elementen, Y1 ••••• Yn' waarvan de volgorde-tabel gegeven is. De machine kan D

max. 2 toestanden bevatten die opgenomen worden in de 0 partitie r 1 (Partitie

waarin elke toestand opgenomen is in een apart blok).

De toestanden worden vastgeleld door de stand van elk der elementen

11 1 2 •••• 1n· We kunnen nu aan de hand van de volgorde-tabel bepalen naar welke volgende

toestanden een toestand overgaat wanneer niet gelet wordt op de input-waarde.

We vinden dan weer een partitie • 2 voor de toestanden die bepaald zijn door

-46-

de stand van de geheuaen-elementen Cf/>, y 2 •••• y n) • f/> mq don' t care ce­

noemd worden.

Voor deze overgangspartities celdt:

1) Indien toestand 1 overgaat onder input I1

naar 2 en onder input I 2 naar 3

dan worden toestanden 2 en 3 in een blok van de partitie opgenoaen.

2) Indien toestand 1 volgens bovenstaande overgaat naar toestanden 2 en 3, en

toestand 4 overgaat naar toestanden 3 en 4 dan worden toestanden 2, 3 en 4

in 6én blok van de partitie opgenomen.

3) Zijn de toestanden 2 en 3 in een blok van een partitie opgenomen en gaat

toestand 2 over naar toestanden 4 en 5 en toestand 3 over naar de toestanden

6 en 7 dan worden de toestanden 4, ~. 6, en 7 in een blok van de overgangs­

partitie opgenomen.

Nu kan opnieuw een partitie ~3 gevonden worden door bepaling van de toe­

standen waarin. een blok van de partitiew2 overgaat.

De toestanden opgenomen in deze partitie w3

worden gedefinieerd door de stand

van de geheugen-elementen<;, - 2 y3 •••• yn).

Zo doorgaand wordt de partitie • gevonden met de toestanden gedefinieerd n door Cf/> 1 ••••• ;n_

1 yn). De partitie un gaat over naar de triviale partitie

u =fi1(alle toestanden in één blok). De partitie wn is een 2 bloks partitie

1r' waarmee een secundaire toewijzing gedaan kan worden voor het element Y n n

van het schuifregister b.v. w~ ={Ä; ä} voor alle toestanden in AYn = 0

en de toestanden in B y • 1. De daaraan voorafgaande part i tie W' 1

kan ook n n-omgewerkt worden tot een 2 bloka-partitie •'

1• Men kan namelijk van deze n-

partitie 11' 1

alle toestanden waarvan de overgangstoestanden in één blok n-van de partitie w' zitten, ook in één blok opnemen. De zo verkresen 2 bloka­

n partitie w'

1 kan gebruikt worden voor de toewijzing van het element Y 1 • n- n-

De toestanden in een blok van ~ 1

die overgaan naar een blok van u dat 0 n- n resp. 1 pcodeerd ia wordt ook 0 resp. 1 gecodeerd.

Als voorbeeld voor deze methode nemen we een machine die opgebouwd kan worden

met een 4 eleaenten schuifrerister, waarvan de volgorde-tabel gegeven is in

fig. 32.

={i; - - - - - - ii} wordt Uitgaande van de 0 partitie ... 1 2· 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; , aan de hand van de volprde•tabel de overgangs-partities w2, .3 en 11

4 ge-

vorad.

-47-

Deze worden achtereenvol8ens:

fT 2 =(1,'"'2; 8, 9; 5,6; 11; 3, 4; ÏÖ; 7}

1T 3 =f 1, 2, 3, 4; 8, 9, 1o; s s 1; IT }

fT 4 =f 1' 2, 3, 4, 5, 6, 7; 8, 9, 10, 11}

De partitie u4 is een 2 bloks-partitie.

De oversangspartitie van 71'4

levert de triviale partitie I op.

De part1tie u4 mag dus gebruikt worden voor de secundaire toewijzins van het

laatste ela.ent v4 van het schuifregister.

De partitie 1T 3 kan D~~Kewerkt worden tot een 2 bloks-parti tie 7TS door de

blokken die naar eenzelfde blok van v4 overgaan samen te nemen.

Dit wordt dan

.. 3 ={ 1, 2, 3, 4, 8, s, 1o; s, 6, 1, u}

en even110 worden

•2 • { 1, 2, s, 6, 6, 9, 11; 3, 4, 7. 10}

"i·{ 1, 3, s, 7, 8, 10, 11; 2, 4, ,, 9}

;evol"'ld.

De secundaire toewijzing kan nu cesebieden doOr ''n blok van de partitie "i de waarde 0 toe te kennen van bet eerste eleaent. Het andere blok van deze

partitie wordt dan de waarde 1 toecekend.

Van de partities "2• "s en 1r~ worden dan ook alle blokken de waarde 0

toegekend die ontstaan zijn door overgang van het blok van 7Ti met de waarde 0

Evenzo aeldt voor toekenning van de waarde 1.

- 48-

S/I p1 p2

1 2 2

2 4 3

3 5 6

4 7 7

5 8 9

6 10 10

7 11 11

8 1 2

9 4 4

10 6 5

11 9 8

Fic. 32.

i - .. - 3 - 7 I 2 9 - 4 .". 1 • 8 5 11 10 6 0 partitie l

\ I \ I \ I ~ I \ I ~ t - I

1T 2 = 1 2 8 9 6 6 11 I 3 4 10 7

' I \ I I ~ I t I

"3 = l 2 3 4 8 9 10 I 5 I

6 7 IT

"" I I \ I I

.".4 = 1 2 3 4 5 6 7 I 8 9 10 11 I

\ I I

1 2 3 4 5 8 7 8 9 10 11 I partitie

Voor de toewijzinc kWl.nen we dan nemen:

10 [ 1, } ... 3, 5, 7,, 8, 10, 11; 2, 4, 6, 9 y1 1

.".~ ={1, 2, 5, 6, 8, 9, 11; 3, 4, 7, 101 y2

tr3 = { l, 2, 3, 4, 8, 9, 10; 5, 6, 7, u} y3

•4 a { 1 1 2, 3, 4, 5, e, 7; 8, 9, 10, uJ y4

-49-

:11 :12 :13 y4

zodat: toestand 1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

3 0 1 0 0

4 1 1 0 0

5 0 0 1 0

6 1 0 1 0

7 0 1 1 0

8 0 0 0 1

9 1 0 0 1

10 0 1 0 1

11 0 0 1 1

De volgorde-tabel met secundaire toewijzing ziet er dan uit als geseven in

fi;. 33.

S/1 pl p2

y1 y2 y3 y4 ,.1 y2 y3 y4 ,.1 ,.2 ,.3 y4

toestand 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

3 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

4 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0

5 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

6 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

7 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

9 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

10 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

11 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1

Fig. 33.

Voor het schakelsohellla volgt dan:

-&o-

-Kl = 12~ + Y4~ + 7374

In hoofdstuk 3.3 hebben we gezien dat een machine uitgevoerd met behulp van

een schuifregister in twee groepen te verdelen is nl. het schuifregister met

of zonder teruakoppeling.

Wanneer de toewijzing van het schuifregister bepaald wordt met behulp van

de hierboven beschreven methode of met behulp van de 2 bloka-partitie-

paren van hoofdstuk 3.3.1, kan men, zonder verdere berekening reeds besluiten

met welk soort schuifregister men te maken heeft.

Er geldt nl.:

Definitie

Een schuifregister v1

, v2 , •••• Vn is dan en slechts dan alleen alleen afhan­

kelijk van de input-coabinat1es wanneer de 2 bloks-partitie, die toesewezen

wordt aan het eerste element Y1 van het schuifregister, de substitutie­

eigenschaR bezit.

In het boven behandelde voorbeeld bezit de aan het eerste element v1

toe~&we­

zen 2 bloks-partl. tie { 1, 3, & , 7, 8, 10, 11; 2, 4, 6, 9} niet de substitutie

eigenschap. Het bie~ toe te passen schuifregister moet dus met een terua­

koppeling uitgevoerd worden.

Uitbreid1~ van het aantal toestanden van een machine

Stel een machine, waarvan de volgorde-tabel gegeven is in fig. 34.

~/I pl p2 17'1 1 2 3 4 5 0 partitie

1 1 5 \ ~ I \I

2 5 5 .".2 1 2 5 3 4

3 2 1 \ I

4 3 3 1 2 3 4 5 I partitie

5 4 3

1: { 1, 4.5} tr' 2, 3; 1 Fig. 34.

.".. 2

... { 1, 2, 5; 3, 4 J

-51-

Een oplossine met behulp van de boven bescbreven aethode of met partitie•

paren levert twee deelmachtnee op nl.:

1) Een 2 eleaenten schuifresiater met een secundaire toewijzins sedefinieerd

door de partities •i en •2· Deze partities leveren seen onderscheid op tussen

de toestanden 1 en 2.

2) Een 1 eleaent schuifrestster dat onderscheid aaakt tussen de toestanden 1

en 2 met een partitie

Een secundaire toewijzins voor de machine is dan

Toestand 1·

2

3

4

5

Y3 r---1 I 0 '1 I 1 I I I I 0 I I I I 0 I I I I 0 I L_..J 1 el

schuifres. schuifres.

De volgorde-tabel met sec. toewijzing en schakelschema zien er dan uit als

seseven in fis. 35.

S/I p1 p 2

1 000 0 0 0 1. 0 0

2 0 0 1 1 0 0 1 0 0

3 0 1 0 0 0 1 0 0 0

4 1 1 0 0 1 0 0 1 0

5 1 00 1 1 0 0 1 0

Fis. 35.

Om voor derselijke machines tot een enkelvoudig schuifregister te kunnen

besluiten moeten we afstappen van de toewijzing d.a.v. partities. De toe­

wijzing aoet dan geschieden m.b.v. een 'blokken-systeem'.

Definitie

Een 'Blokken-systeem' van een verzameling van toestanden, van een sequenti•le

machine, is een onderverdeling van deze toestanden in blokken zodat de ver­

eniging van deze blokken weer alle toestanden van de machine oplevert.

Verschil tussen partities en dit systeem is dat in een partitie een toestand

slechts in 66n blok mag voorkomen, bij 'blokken-systeea' mag een toestand in

meerdere blokken voorkoaen.

Dit toegepast op de aachine in fig. 34, levert allereerst weer een 'blokken­

systeem' .,.1

op waarbij alle toestanden in een apart blok zijn OPeenomen dus

.,.1 = { ï; 2; 3; 4; sJ

.. 1 1 2 3 4 5

' ' ' ' ' '1"2 1, ,5 . 5 1, 2 3 3,4

' ' ' ' ' ·-'1"3 1, 3, 4, 5 '3,. 4 1, 5 1, 2 1, 2,

' ' ' ' ' -"r4 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3 1, 3, 4, 5 1, 5 1, 2,

' ' ' ' ' T5

1 2, ;i, 4, 5 1, 2, s 1, 2, 3, 4, 5 1, 3, 4, 5 1, 3, 4, ... Van de blokken van systeem .,.

1 kunnen alle overgangstoestanden bepaald

worden en opgenomen worden in blokken van 'systee~~' -r 2

• Dit wordt dan

-r2

= {1;5; 5; '1,2; 3; 3';4.} Door de oversangstoestanden van -r2

te nemen

vinden we ,.3

= { 1, 3, 4, 5; "..--:4; 1,'"""5; 1, 2 1, 2, 3 J en ··

T4 =f 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3; 1, 3, 4, 5; 1, 5; 1, 2, 5} enz. tot een

'systeem' T gevonden wordt waarvan alle blokken alle voorkomende toestanden n

bevatten.

Evenals bij voorgaande methode moeten we nu alle 'systemen' T 1

ooabineren tot 2 bloks•syst ... n om een secundaire toewijzing te

voor de l&heugen-elementen Y1 t/m Yn_1 •

t/a T 1 n-

verkrijgen

3

5

5

-53-

Bij de bepaling van deze 2 bloka-systemen dienen we te bedenken dat elk der

toestanden minstens 6~nmaal gescheiden van elk der andere toestanden .aet

voorkaaen in deze 2 bloks-systemen, Ti t/a T~_1 •

Nemen we b.v.

T' 1 = {1.2; 3, 4, ~ }

T2 = [1,5; 1, 2, 3, 4}

T' 3 ={ 1, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 5]

T' 4 ~ [ 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4, 5} I systeem

We zien dat deze combinatie niet voldoet, de toestanden 1 en 2 komen niet ge­

schei.den voor in de 'systemen' Ti• T2 en T3· Nemen we echter

' = { 1, } Tl 3 2 4 5

= { 1, } ' 2, 5 3, 4, ~ T2

= { 1, 4} ' 3, 4, 5; 1, 2, 3, T3

' 'r4 = { 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, ~}

• ={ I } Ts

Deze combinatie voldoet en we kunnen besluiten tot een 4 elementen schuif­

register, waarbij echter ~én toestand •erdere toewijzingen bezit. We zullen

deze toestanden .aeten splitsen.

De toewijzing aan de verschillende elementen van het schuifreglater ziet

er dan als volgt uit.

1) Ele~~ent Yl: De toewijzing 0 voor de toestanden 1 en 3

1 .. " " 2, 4 en 5

2) Element Y2: 0 " " " 1, 2 en 5

1 " .. " 3, 4 en 5

I

-54-

3) Ele~~~ent Y3

: De toevoering 0 voor de toestanden 1, 3, 4, en 5

1 " .. ft 1, 2, 3 en 4

4) Element Y4: 0 .. .. u 1, 2, 3, 4 en 5

1 " .. ft 1, 2, 3 en 5

De toewijzingen per toestand zijn nu

y1 y2 Y3 y4

Voor toestand 1 0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

2 1 0 1 0

1 0 1 1

3 0 1 0 0

0 1 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

4 1 1 0 0

1 1 1 0

5 1 0 0 0

1 1 0 0

1 0 0 1

1 1 0 1

Uit deze aogelijkheden dienen we nu een keuze te maken.

We kunnen starten met toestand 2. Deze heeft maar twee mogelijkheden en de

overgangstoestand is voor beide inputs gelijk.

Er volgt ct (2) = 5 (toestand 2 gaat over in 5, onafhankelijk van de input).

De toestand 5 zal nu een toewijzing; 1 0 1 moeten bezitten willen we aan de

eis van een schuifreetster voldoen<; betekent 0 of 1).

Hieraan voldoet alleen toestand 5a met; = 1.

De overgang ~(&a)= (3, 4). Dus de toestanden 3 en 4 aoeten zijn; 1 1 0

Hieraan voldoet toestand 3a ut toewij~ins 0 1 1 0

en toestand 4a met toewijzins 1 1 1 o.

In tabel:

Toestand Sa 1 1 0 1

0 1 1 0

1 1 1 0

0 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

1 0 0 1

0000

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

3a

4a

la

2a

3b

1b

Sb

1c

Sc

3c

4b

ld

2b 1 0 1 0

Evenzo IT( 3a) = ( 1, 2) wordt ; 0 1 1

enz.

dus toestand la wordt 0 0 1 1

dus toestand 2a wordt 1 0 1 1

IT(4a) = (3) wordt ; 1 1 1

dus toestand 3b wordt 0 1 1 1

O'"(la) = (1, S) wordt rjJ 0 0 1

dus toestand 1b wordt 0 0 0 1 .. 5b wordt 1 0 0 1

-se-

De volgorde-tabel ziet er dan als gegeven in fig. 36 en fig. 37.

S/I pl p2 S/I pl p2

la lb 5b 00 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

lb lc 5c 0 0 0 1 0000 1 000

lc lc 5c 0 0 0 0 0000 1 000

ld lb 5b 0 0 1 0 0 0 o: 1 1 00 1

2a 5a 5a 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1

2b 5a 5a 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1

3a 2a la 0 1 1 0 1 0 1 1 001 1

3b 2a la 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1

3c 2b ld 0 1 00 1 0 1 0 0 0 1 0

4a 3b 3b 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1

4b 3a 3a 1 1 00 0 1 1 0 0 1 1 0

5a 4a 3a 1 1 0 1 1 1' 1 0 0 1 1 0

5b 4b 3c 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0

5c 4b 3c 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0

Fig. 36 fig. 37

De volgorde-tabellen leveren een machine op die een uitbreiding is van de

machine van fig. 35. Zouden we de volgorde-tabel van fig. 36 reduceren

volgens de methode beschreven in het boek Algebraic Structure Theory of

Seq. machines van J. Hartmanis en R.E. Stearns, dan zou dit een gereduceerde

machine opleveren die exact gelijk is aan de machine gegeven in fig. 34.

HOOFDSTUK 4

4.1 Enkele toepassingen

Voorbeeld 1.

v~n de machine is gegeven de niet-gereduceerde volgorde-tabel volsens

:fig. 38.

S/1 p1 p2

1 1 2

2 3 3

3 4 5

4 6 5

5 7 8

6 9 10

7 9 10

8 6 5

9 1 2

10 11 12

11 1 2

12 13. 14

13 4 5

14 8 8

Fig. 38.

Allereerst kan van deze tabel de rijpartitie W gevormd worden, r

fTr = {1."2; 3; 4 .5 6; 7,8; 9, 10; 11, 12; 13, 14}

en hiervan alle 2 bloka-rijpartitie ca.binaties.

-57-

Tevens kan men alle 2 bloks-partitie~paren (fT,~) vormen waaruit een keuze

gemaakt kan worden voor de toewijzing van een schuifregister.

Voor de toewijzing van het laatste element van een schuifregister zoeken we

de triviale partitie (W, I) waarbij w gelijk is aan een der 2 bloks-rij­

partitie-coabinaties. In dit geval vinden we!!!! partities • die hieraan

voldoen nl.

-58-

fTal =[ 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14; 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

"'b1 = { 1, 2,· 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14; 3, 7' 8, 11, 12}

Dit duidt erop dat we te maken hebben met een machine die OPiebouwd kan

worden met behulp van twee schuifregisters.

We nemen de partitie ~1 als partitie 11~2 van een partitie-paar (f1a2 , 11~2 ). De hierbij behorende partitie w a2 = { 1, 2, 9, 10, 11, 12; 3, 4, 5, 8, 7, 8,13,1~ kan dan gebruikt worden voor toewijzing van het voorlaatste element. Wordt

de partitie 1ra2

wederom gebruikt als partitie 1r ~3 van het partitie-paar

(f1a3 , 11~3 ) dan levert dit op

f1a3 = { 1, 6, 7, 9, 10, 11; 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 14)

We zien dat deze partitie 1r83 j fTr en dus de toewijzing is voor het input­

afhankelijke element van het schuifregister a. Daar partitie va3 niet de

substitutie-eigenschap bezit kunnen we concluderen dat dit een teruggekoppeld

schuifregister oplevert met 3 geheugen-elementen Y81 , Ya2 en Ya3 •

We nemen nu partitie 11b1 als toewijzing voor het laatste element van het

schuifregister b. Nemen we partitief1b1 als partitie 11~2 van het partitie•

paar (tT b2 , tr~2 ) dan vinden we, uit de lijst van gegenereerde partitie-paren,

.". b2 = { 1 , 3 J 4, 6, 7 ' 8 , 9. 11 , 12, 13 ; 2, 5 , 1 0' 14 }

Deze partitie fl' b2 f ffr en is dus de toewijzing voor het eerste element van

het schuifregisters b.

Dit schuifregister bestaat dus uit twee elementen Ybl en Yb2 • Daar partitie

11b2 de substitutie-eigenschap bezit kunnen we concluderen dat schuifregister b

geen terugkoppeling bezit.

De toewijzing per geheugen-element ziet er dan als volgt uit:

-59-

Geheugen-element Y81

wordt 0 voor de toestanden 1, 6, 7, 9, 10, 11

en 1 " " " 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 14

Ya2 0 voor 1, 2, 9, 10, 11, 12

1 " " " 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14

Ya3 0 " " " 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14

1 " " " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

ybl 0 " " " 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12,

1 " .. " 2, 5, 10, 14

yb2 0 " " " 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14

1 " .. " 3, 7, 8, 11, 12

Geven we de toewijzing per toestand aan in de volgorde-tabel dan ziet deze

eruit als gegeven in :lig. 3 9.

Aan de hand van deze tabel kan dan een berekening uitgevoerd worden die het

gewenste schakelschema oplevert (fig. 40).

S/I

Val

1 0

2 1

3 1

4 1

5 1

6 0

rr 0

8 1

9 0

10 0

11 0

12 1

13 1

14 1

Fig. 39

I

Ya2 v s' a I ybl

0 0 I 0

0 0 I

1 I

1 0 I 0

1 1 I 0

1 1 I 1

1 1 I 0

1 1 I 0

1 1 I

0 I

0 1 I

0

0 1 I 1

0 0 I 0

0 0 I 0 I

1 0 I 0

1 0 I 1 I

schui:treg.a

pl

yb2 Val

0 0

0 1

1 1

0 0

0 0

0 0

1 0

1 0

0 0

0 0

1 0

1 1

0 1

0 1

schuif­reg. b

p2 I

Ya2 Ya3 I ybl I

yb2 Ya1 Ya2 Ya3 ~ Ybl yb2

0 0 lo 0 1 0 0 1 0

1 0 lo I

1 1 1 0 0 1

1 1 10 0 1 1 1 1 0

1 1 10 0 1 1 1 1 0

1 1 10 1 1 1 1 0 1

0 1 10 0 0 0 1 1 0

0 1 IO 0 0 0 1 1 0

1 1 lo 0 1 1 1 1 0

0 0 lo 0 1 0 0 1 0

0 0 lo 1 1 0 0 0 1

0 0 lo 0 1 0 0 1 0

1 0 lo 0 1 1 0 1 0

1 1 lo 0 1 1 1 1 0

1 1 10 I 1 1 1 1 10 1

13

ft

Berekende schakelscheaa:

Fig. 40

y al

1

1

Ja2 = y al

Ka2 = Y 1 a

y a2

I---

-eo-

Ja3 = 1 a2

Ka3 = 1 a2 1

f--

-61-

Voorbeeld 2.

Van een machine is de volgorde-tabel gegeven voleens fig.·41.

S/1 p1 p2

1 1 2

2 3 3

3 4 5

4 6 4

5 7 8

6 9 9

7 9 9

8 6 4

9 1 2

Fia. tt

Van deze machine kan het schakelschema bepaald worden m.b.v. de partitie­

paren zoals beschreven in hoofdatuk 3.3.2 en reeds toegepast in voorbeeld 1

We kunnen de rijpartitie ft' r • {ï;2; 3; 4 5 6; '7,"8; i} en alle 2 bloka­

partitie-paren bepalen.

Hieruit kunnen we evenals in voorbeeld 1 een keuze 11aken voor de secWldaire

toewijzing.

In dit geval vinden we een 3 eleaenten-schu1fregister en een 2 elementen-

schuifrealater 11et de toewijzing:

Voor elellent Y81

de toewijzing 0 voor de toestanden 1, 6, 7, 9 .. 1 " .. " 2, 3, 4, 5, 8

Ya2 0 l, 2, 9

1 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ya3 0 1, 2, 3

1 4, 5, 6, 7, 8, 9

yb1 0 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9

1 5

yb2 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9

l 7, 8

-62-

De volgorde-tabel met de secundaire-toewijzing ziet er dan uit als gegeven

in fig. 42

S/I pl p2 I I I

Ya1 Ya2 Ya3 IYb1 yb2 Yal Ya2 Ya3 lyb1 yb2 yal Ya2 Ya3 1Ybl yb2 I I lo

I

lo 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 I lo

I 2 1 0 0 ,o 0 1 1 0 . I 0 1 1 0 IO 0

3 1 1 0 lo 0 1 1 1 10 0 1 1 1 lt 0

4 1 1 0 lo 0 0 l 1 lo 0 1 1 1 lo 0 I I I & 1 1 0 ll 0 0 1 1 10 1 1 1 1 lo 1

6 0 1 1 'o 0 0 0 1 lo 0 0 0 1 lo 0 I I I

7 0 1 1 tO 1 0 0 1 lo 0 0 0 1 lo 0

IB lo I 'o 0 0 1

I 0 0 0 0 jO 0 1 0 0 I 0

9 1 1 1 10 1 0 1 1 lo 0 1 1 1 Jo 0 I J

Fig. 42

Hieruit volgt voor het schakelschema

-Jal = Y a2Jt. Ja2 :s 1 a1 Ja3 • 1 a2 Jbl 1111 Ya2YaaF2 Jb2 = 1bl

-Kal = Ya3J\ Ka2 = Yal Ka3 = Ya2 Kb1 = 1 Kb2 = yb1

We zien bieruit:

1) Schuifregister a is een 3 elementen-schuitregister !!! inwendige .terug­

koppeling daar partitie 1r • { 1, 8, 7, 9; 2, 3, 4, ~. 8} geen substitutie

eigenschap bezit.

2) Schuifregister b is een 2 elementen-schuifregister zonder inwendige terus­

koppeling. De ingangsgrootheden worden niet alleen bepaald door input \• ll&ar

ook de toestanden van schuifregister a.

Hie~ is het niet moselijk 011 met behulp van de partitie met substitutie

eigenschap te bepalen of dit schuifregister al of niet met inwendige terug­

koppeling is uitgevoerd.

Men kan zich wel atvragen of een dergelijke machine ook niet te voeren is.met

één enkel schuifregister.

·-

-63-

We kunnen de methode toepassen die beschreven is in hoofdstuk 3.3.3. Uitbreiding

van het aantal toestanden van een •achine.

In dit reval vinden we voor de 'blokken-syste•' T1

t/11 'Tn gegeven op blz. 64

Voor de secundaire toewijzing aoeten we de 2 blokssystemen Ti t/m T~ vormen.

Hierbij dienen we te bedenken dat alle toestanden minstens 6én.aal gescheiden

van elk der andere toestanden moet voorkomen in deze 2 bloks•systeaen. Tevens

m~ten we erop letten dat in ieder systeem Ti m1netens éé!llllaal voork011t.

Voor de 2 bloka-systemen kunnen we b.v. nemen:

"~"i :z:f1, 6, 7, 9; 2, 3, 4, 6, 8

T2 = { 1, 2, 9; 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ti=[1,2,3; 4, 5, 6, 7, 8, 9

'I" elk der toestanden n

}

}

T~ •[1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}

T; ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; 1' 2, 3, 4, 6, 9 }

'~"6 ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 }

I • , I }

Aangezien we te maken hebben met 6 niet triviale 2 bloks-systemen kunnen we

besluiten tot een 6 elementen schuitregister.

De toewij zing ziet er dan als volgt uit:

Element Y1 de toewijzins o voor de toestanden 1, .6, 7, 9

1 2, 3, 4, 5, 8

y2 0 1, 2, 9

1 3, 4, 5, 6, 7' 8

y3 0 1, 2, 3

1 4, 3, 6, 7, a, 9

y4 0 1, 2, 3, 4, 5

1 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9

Tl • f1. 2; ,, 4; 5; 6; 7: 8; 9:

'~"z·ft,2; ,, 4,5; 4,6; 7,8; 9; 9: 4,6: 1, 2; }

-r, .ft,2,,; 4,5; 4,6,7,8; 4,6,9; 4,6,9; 1, 2; 1" 2; 4,6,9: 1, z .. '; }

,.4 -{ 1,2,,,4,5; 4,6,7,8; 4, 6, 9; 1,2,4,6,9: 1"2,4,6,9; 1, 2" 3 1, 2, 3 1,2,4,6,9; 1,2",,_4,5: }

,.5 - { 1,2,,,4,5,6,7,8: 4,6,9: 1,2,4,6,9: 1,2,,,4,6,9; 1,2,,,4,6,9: 1,2,,,4,5; 1,2,:5,4,5: 1,2,,,4,6,9: 1,2,,,4,5,6,7,8;}

T 6 • {Ï; 1,2,4,6,9; 1,2,,,4,6,9; 1 ,2, ,,4,5,6,9; 1,2,,,4,5,6,9: 1,2,3,4,5,6,8: 1, 2,3,4,5,6,7,8: 1,2, ,,4,5,6,9: I;

'~"7 • (î; 1,2,3,4,6,9; 1,2,,,4,5,6,9; Ï· , I; I; I: I; I; J

TB • {Ï; 1,2,,,4,5,6,9: I; I; I; I; I; I: I; }

I ca t

-66-

Element Y5

de toewijzing 0 voor de toestanden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7' 8

1 1, 2, 3, 4, 6, 9

Ye 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9

Hieruit kunnen we de toewijzins per toestand bepalen.

Deze worden:

Toestand 1 0 0 0 :o 0 0 ld I

000 11 1 1 la

0 0 0 :o 1 1 lb I

0 0 0 I 0 0 1 lc I

enz.

2 1 0 0 I o o o 2d

1 I

0 0 11 1 1 2a I

1 0 0 10 1 1 2b

1 0 0:0 0 1 2c I enz.

3 1 1 0 0 I 0 0 3c I

1 1 0 0 11 0 l

1 1 0 0 IQ 1 3b I

1 1 00 11 I

1 3a

4 1 1 1 I 0 0 0 I

4d

1 1 1 11 I

0 0 4e

1 1 1 11 1 0 4~ I

1 1 1 11 1 1 4b

1 1 1 I I 0 0 1 4c I enz.

5 1 1 1 0 0 10 5a I

1 1 1 0 0 1 1 I

5b

6 0 1 1 1 I o o Be I

0 1 1 1 11 0 6a I

0 1 1 1 Jo I

1

0 1 1 1 11 1 I

8b

7 0 1 1 1 0 0 7a

8 1 1 1 1 0 0 Sa

9 0 0 1 1 lÎO 9a I

1 1 1 11 ~h

-66-

Aan de hand van de systeaen '~'"i t/m 'T~ is te zien dat de toestanden 1, 2 en 4

ieder , 8 110pl1jkheden bezitten die echter nlet allemaal toeaewezen worden.

De toestanden 3 on 6 bevatten ieder 4 aocelijkheden, terwijl de toestanden 6 en 9

ieder 2 mogelijkheden en de toestanden 7 en 8 sleehts ''n toewijzing bezitten.

Uit deze toewijzingen zal nu een keuze paaakt moeten worden. We starten

aet b.v. de toestand 5a die slechts twee mogelijkheden bezit en kan overgaan

naar de toestanden 7 en 8. De methode toepassend die in hoofdstuk 3.3.3 be­

schreven is levert dit op.

5a

1a Ba

9a

4a

Ga

la

2a

4b

6b

9b

lb

2b

3a

-----------

---

7a

Ba

9a

4a

ea la

2a

4b

6b

9b

lb

2b

3a

4b

6b

9b

la

2a

lc

2c

3b

4c

5b

lc

~c

3b

4c

----

5b -

ld

2d

3e

4d

6c

----

--

ld

2d

3c

4d

5a

4e

6e

7a

Sa

ld

2d

3c

4d

5a

Sc

9a

4a

6a

Pt

-67-

Voor de volgorde-tabel levert dit op zoals fig. 43 geeft. De volgorde-tabel

met secundaire toewijzing is pgeven in tig. 44 We vinden aan de hand hiervan

een schakelschema•

L 1 r--t--J - - t----

a K "' r ....... ...__ .....__

S/I Pt lD2

la lb 2b

lb lc 2c

lc ld 2d

ld ld 2d

2a 3a 3a

2b 3b 3b

l:ac 3c 3c

2d 3c 3c

3a 4c 5b

3b 4d Sa

3c 4d Sa

4a 6b 4b

4b Ga 4a

4c 6c 4e

4d 6c 4e

4e 6a 4a

Sa 7a 8a

15b 7a 8a . Ie a 9b 9b

[eb 9b 9b

lee 9a 9a

t'la 9a 9a la a 6a 4a

~- la 2a 19b la 2a

Filr. 43

.P.S.

~J2..l.~.g; : «t, 0 ( ~....2.l .. ~.1:1,1 .1.11. -J..-J.t:>. /...LJ. ~-ç.J;, .liJ •

N. s.

·- . ../~~-41 +' :JlJI.~J;. ~ -'- ; 1..Jl..IL.Q... . . t t liP,Il,'l-~ ,.Ll ../~·-·

.,, - .JI 1'3 -·--~.~~· ...... .._ • .f'

1-. -.:..14-l-L./..L.Jl, ..• (/,qJJJ / ~-~ / /_/ / of• ;_.J-L.J . .I.L.~. .#.1,.1./ /J ,; , /' ; I

-.4LI.,...l....L..Jl'1' • J• iRjA' I L,.(I1--LJ!J.tJ • .!.~'. I ~.I!J;,.;

~t.tL.L • .Q~- ~ . .,.......,_._,._,_.,__,._ "-t

~--'LL.Il• i te< t "~·9~-~~R,./1? .

. ''tI 11 a . ..L..fl'-·· ,_LjL~L-~

.) e· 4 9' p L.-L~ ·-· ••. ~ .. d,. ~ .... -· ,.....-~..9j..,..t 1 .• ..JI...(!>.I1 ".II.L J.".<'.tV:IJ .tJ~_L.iP.~./: ,/.1 tl.ll 1,.1. // P.4jl . .l

1.._ i--,.Jf-L. #,11, i.L. t.IJ 11,11,/ ,/_.1_; .I!J <>I I '.alt 9P,J..._(.h ~ Jl.j,_t • .IJ .. I.

~~-'-'• '>--+L..Il.J "./ I.

./ 4.tJ '·'·'

!

.. -+..:......;___..~ f- ··~·-....-i--.--.,-

··~-~·--

' ' ' t

'

--

-69-

Voorbeeld 3.

Van een machine is de volgorde-tabel eegeven volgens fig. 45

~/I P:t p2

1 2 3

2 4 5

3 6 6

4 7 8

5 9 9

~ 10 10

~ 1 11

~ 12 12

9 13 13

10 14 13

11 15 15

12 16 16

13 17 16

14 18 18

15 19 19

16 20 19

17 21 21

18 4 5

19 22 10

20 23 23

21 7 8

22 24 24

23 1 11

24 2 3

Voor de bepaling van de 'standaard-machines~ waaruit een machine opsebouwd

kan worden,kan men het beste eerst een input-onafhankelijk sedeelte trachten af

te scheiden.

-7o-

Hiervoor zijn twee methodes besproken in hoofdstuk 3.2.1 de bepaling m.b.v.

de partities met eubstitutie-eigenschap en in hoofdstuk 3.2.2 de bepaling m.b.v.

de kringloop-methode. Deze laatste methode zullen we gebruiken.

Voor de kringloop vinden we

2 4

7

8

1

11

2

3

lS

4

5

6

7

a. 9

1

11

12

1 - 3 - 5 - 9 - 12 - 16 - 19 - 10 - 13 6 10 13

14

17

18

20

21

22

23

14

24

Deze bevat 4 blokken zodat we kunnen beslulten tot een 4 perloden-teller opse­

bouwd uit de elementen Y1 en Y2 •

Schakelen we deze elementen als B.C.D. teller dan volgt hieruit voor de toe­

wijzing per blok:

1, 11, 12, 13, 14, 24 2, 3, 15, 16, 17' 18 4, 5, 6, 19, 20, 21 7' 8, 91 10, 22, 23

De volgende stap is een input-afhankelijk schuifregister te bepalen m.b.v.

partitie-paren volgens hoofdstuk 3~3.2 of rechtstreeks uit de volgorde-tabel

volgens hoofdstuk 3.3.3.

Allereerst m.b.v. 2 bloks-partitie-paren vinden we een inwendig terugaekoppeld

schuifregister met de volgende toewijzing per element v3

, Y4

en Y5

•

Element Y 3 toewijzing 0 voor de toestanden 1, 2:, 4, 7 ,14, 17, 18, 20,21, 22, ~3, 2•

1 3,6,6,8,9,10,11,12,13,15,16,19

y4 0 1,2,3,4,5,7,8,11,18,21,23,24

1 6,9,10,12,13,14,15,16,17,19,20,22

y5 0 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15

1 10,13,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24

Zetten we aan de hand van deze gegevens een volgorde-tabel met secundaire toe­

wijzing op en bepalen hieruit het schakelschema dan levert dit op

r-----------, 1 Jl = 1 J2 = Y1 I I I I - I I K1 = 1 K2 e Y1 I L ____________ J

Input-onafhankelijk

4 periode-teller

-71-

r------------ ------, I J 3 "" y 4~ J 4 = y 3 J 5 = y 4 I I I I - - I I K3 = y 5~ K4 = y 3 K5 .. y 4 I

L------------------~ Input-afhankelijk

3 ela.enten schuifregister.

Trachten we het input-afhankelijk schuifregister te bepalen rechtstreeks uit

de volgorde-tabel dan stuiten we op een moeilijkheid.

In hoofdstuk 3.3.3 is gesteld dat de toewijzingspartitie voor het laatste

element van het schuifregister overaaat naar de triviale I partitie.

Bezit de totale machine echter behalve een schuifregister ook een input-onaf­

hankelijk gedeelte dan gaat deze partitie niet over in de I-partitie maar caat

deze over in een een der blokken van de partitie van dit input-onafhankelijk

gedeelte.

Aan de hand van dit voorbeeld blijkt dit duidelijk wanneer we de overgangs­

toestanden aangeven in fig. 46

P&ze eindigen in de 4 blokken-partitie die exact gelijk is aan de partitie die

we gevonden hebben voor de teller.

Door samennemen van de verschillende deelpartities kan de toewijzinga-partitie

voor het schuifregister bepaald worden.

Deze zijn dan

T 3 ={ 1,2,4,7,14,17,18,20,21,22,23,24; 3, 5,6,8,9,10,11,12,1S,15,16,19}

T4

•{ 1,2,3,4,5,7,8,11,18,21,23,24; 6,9,10,12,13,14,15,16,17,19,20,22 }

T5 ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,15; 10,13,14,18,17,18,19,20,21,22,23,24 }

-72-

1 _2, 3

24/ \

14-18 _4, 5, 6

-----------------" 7

::~ 15 ;-19, 20, 21/ ,

13\16, 17

8, 9, 10, 22, 23--1 11 I I 12, 13, 14, 24

11, 12, 13, 14 24 2 3 , -- , , 15, 16, 17, 18

4 -7 8

21/. \ 20- 23 ---1, 11, 12

;-:::_-9----=.13,-14,-24) 2, 3, 15, 18, 17. 18-4, &, 6, 19, 20, 21

:9\10, 22/

7 --1 11

23/, \

22-24 ___ 2, 3, 15 ---------------""' 4

8 - 12 --16, 17, 18/ ,

5, 6, 19, 20, 21-7 8 . , 9, 10, 22, 23

9

"' 10--13, 14/ tig.46

-73•

Retereratiea

1) Collegedictaat Schakeltechniek Sequentiöle netwerken naar colle1es van

Prof.ir. A. Heetman

2) Algebraic Structur Theory of Sequentia! Machines by J. Hartmanis and

R.E. Stearns

3) Minimal Shift-Register Rea11zat1ons of Sequentia! Machines by A.J. Nichola

J .E .• E.E. Tranaactions on Electronic Computers. Vol E.c. -14 no. 5 okt. 1965

p~ 688.

4) Rapport van het afstudeerwerk van P.G. Jansen

5) Rapport van het afstudeerwerk van H.J.M.A. Cuypers