Eduardo bri

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Text of Eduardo bri

  • 1. Integral definidaDada una funcin f(x) de variable real y un intervalo [a,b] , la integral definida es igual al rea limitada entre la grfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. Se representa por (). es el signo de integracin. a lmite inferior de la integracin. b lmite superior de la integracin. f(x) es el integrando o funcin a integrar. dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.Propiedades de la integral definida 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los lmites de integracin. 2. Si los lmites que integracin coinciden, la integral definida vale cero.3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)5. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin. 1

2. Funcin integral Sea f(t) una funcin continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta funcin se define la funcin integral: que depende del lmite superior de integracin. Geomtricamente la funcin integral, F(x), representa el rea del recinto limitado por la curvay = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x. A la funcin integral, F(x), tambin se le llama funcin de reas de f en el intervalo [a, b]. Teorema fundamental del clculo() = ()= Sea f(x) una funcin continua en (a,b). SeaEntonces F(x) = f(x) El teorema fundamental del clculo nos indica que la derivacin y la integracin son operaciones inversas: si una funcin continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la funcin original.Ejemplos Calcular la derivada de las funciones:2 3. Regla de Barrow Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemtico ingls, cuya aportacin ms importante a las Matemticas fue la unin del clculo diferencial e integral. La regla de Barrow dice que la integral definida de una funcin continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una funcin primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo. 3 4. EjemplosCalcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow. 4 5. Calculamos la integral definida por cambio de variable.Hallamos los nuevos lmites de integracin.Integramos por partes.Tambin se puede hacer sin transformar los lmites de integracin y volviendo a la variable inicial.Teorema de la mediaEl teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que: Si una funcin es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que: 5 6. Ejemplos 1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la funcin f(x) = 3x2 en el intervalo [4, 1]. Como la funcin es continua en el intervalo [4, 1], se puede aplicar el teorema de la media. La solucin positiva no es vlida porque no pertenece al intervalo.2. Es aplicable el teorema del valor medio del clculo integral a la siguiente funcin en elintervalo [0, 1]? Como la funcin es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.6 7. Ejemplos de integrales definidas123456 7 8. 789101112 8 9. 1314 9 10. 15Aplicaciones de la integralrea de una funcin y el eje de abscisas1. La funcin es positivaSi la funcin es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por encima del eje de abscisas. El rea de la funcin viene dada por:Para hallar el rea seguiremos los siguientes pasos:1 Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin. 2 El rea es igual a la integral definida de la funcin que tiene como lmites de integracin los puntos de corte. Ejemplos1. Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = 4x x 2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los lmites de integracin. 10 11. En segundo lugar se calcula la integral:2. Hallar el rea de la regin del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e. En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.2. La funcin es negativaSi la funcin es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grfica de la funcin est por debajo del eje de abscisas. El rea de la funcin viene dada por un viene dada por: 11 12. Ejemplos 1. Calcular el rea del recinto limitado por la curva y = x2 4x y el eje OX. 2. Hallar el rea limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre /2 y 3/2.3. La funcin toma valores positivos y negativos En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el rea de la funcin seguiremos los siguientes pasos: 1 Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuacin. 2 Se ordenan de menor a mayor las races, que sern los lmites de integracin.12 13. 3 El rea es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. Ejemplos1. Calcular el rea de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 6x2 + 8x y el eje OX.El rea, por razones de simetra, se puede escribir:2. Calcular el rea del crculo de radio r.Partimos de la ecuacin de la circunferencia x + y = r.El rea del crculo es cuatro veces el rea del primer cuadrante.13 14. Calculamos la integral indefinida por cambio de variable. Hallamos los nuevos lmites de integracin.rea comprendida entre dos funcionesEl rea comprendida entre dos funciones es igual al rea de la funcin que est situada por encima menos el rea de la funcin que est situada por debajo.Ejemplos 1. Calcular el rea limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los lmites de integracin. 14 15. De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parbola.2.Calcular el rea limitada por la parbola y2 = 4x y la recta y = x.De x = o a x = 4, la parbola queda por encima de la recta.3.Calcular el rea limitada por las grficas de las funciones 3y =x2 e y = x 2 + 4x.En primer lugar representamos las parbolas a partir del vrtice y los puntos de corte con los ejes. 15 16. Hallamos tambin los puntos de corte de las funciones, que nos darn los lmites de integracin.4. Calcula el rea de la figura plana limitada por las parbolas y= x2 2x, y = x2 + 4x.Representamos las parbolas a partir del vrtice y los puntos de corte con los ejes. 16 17. 5.Hallar el rea de de la regin limitada por las funciones:y = sen x, y = cos x, x = 0.En primer lugar hallamos el punto de interseccin de las funciones:La grfica del coseno queda por encima de la grfica del seno en el intervalo de integracin.17 18. Volumen de un cuerpo de revolucin El volumen del cuerpo de revolucin engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:Ejemplos1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX: y = sen x x=0 y x= 2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectngulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje. 3. Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuacin de la circunferencia x + y = r. Girando un semicrculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.4. Calcular el volumen engendrado por la rotacin del rea limitada por la parbola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. Como gira alrededor del eje OY, aplicamos: 18 19. El volumen ser la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parbola entre losextremos y = 4 e y = 4. Como la parbola es simtrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumenengendrado entre y = 0 e y = 4.5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:1 Alrededor de su eje mayor.2 Alrededor de su eje menor.Como la elipse es simtrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado porla porcin de elipse del primer cuadrante en ambos casos.19 20. 6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por lasgrficas de y = 2x x 2, y = x + 2. Puntos de interseccin entre la parbola y la recta: La parbola est por encima de la recta en el intervalo de integracin.20