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Ecuaciones diferenciales ordinarias

ICA

Cod.:2413

(3x + 2y + y2) dx + (x + 4xy + 5y2) dy = 0

José Luis Guijarro

Despacho A-330

ii

September 20, 2005

0.1 Programa iii

0.1 Programa

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Introducción. Ecuaciones de variables separadas. Ecuaciones homogéneas y reduciblesa homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones reducibles a lineales: Bernoulli, Ricatti.Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante. Teorema de existencia y unicidad desoluciones.

2. Ecuaciones de orden superior

Reducción de orden. Ecuaciones lineales de segundo orden:

(a) teoría general.

(b) coeficientes constantes:

i. homogéneas: ecuación característicaii. completas: método de los coeficientes indeterminados

(c) coeficientes variables:

i. homogéneasii. completas: método de variación de constantes

Ecuación de Euler-Cauchy-equidimensional. Aplicaciones al estudio de las vibraciones:resonancia.

3. Sistemas de ecuaciones diferenciales

Sistemas lineales de primer orden:

(a) teoría general

(b) coeficientes constantes:

i. homogéneas: método matricial de orden 2ii. completas: método de variación de constantes

4. Teoría de estabilidad

Plano de fases. Puntos de equilibrio aislados: clasificación y estabilidad en los sistemaslineales autónomos. Sistemas no lineales autónomos: teorema de linealización y teoremade Lyapunov.

0.2 Bibliografía

• Simmons: ”Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas” Ed. Mc Graw-Hill1993

• Zill: ”Ecuaciones diferenciales con aplicaciones” Ed.Thomson Learning 2001• Kiseliov, Krasnow, Makarenko: ”Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias” Ed.Mir 1993

iv

0.3 EDO de primer orden

1. Resolver:

(a) x2(y + 1)dx+ y2(x− 1)dy = 0(b) (1 + ex)yy0 = ex

i. y(0) = 2ii. y(0) = 1iii. y(0) = −1iv. y(1) = 0.2

(c) 3extg ydx+ 2−excos2y

dy = 0

(d) y0 = x2y−yy+1

; y(3) = −1(e) y0 = y6−1

1+√2x+1

2. Hallar la solución particular de la ecuación y0 sen x = y Ln y que satisface la condicióninicial:

(a) y(π/2) = e

(b) y(π/2) = 1

3. Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto esproporcional a la abcisa del punto de contacto, es una parábola

4. Resolver:

(a) xy0 =px2 − y2 + y

(b) xy0 = y +py2 − x2

(c) 3√y0 = 2x−y+4

2y−x−5

(d) y0 = x2

y√2y2+x2

+ yx+ x

y

(e) y0 = 2xy3x2−y2

(f) y0 = y4+x4

x2y2+x4

5. Resolver:

(a) (x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0(b) (3y − 7x+ 7)dx− (3x− 7y − 3)dy = 0(c) 3x+ y − 2 + y0(x− 1) = 0(d) (x3 + y3)dx− 3xy2dy = 0(e) (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y − 1)dy = 0

6. Hallar una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajadadel origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abcisa del punto de contacto

0.3 EDO de primer orden v

7. Resolver:

(a) y0 − yt−2 = 2(t− 2)2

(b) y0 + ytg x

= 5ecos x ; y(π/2) = −4(c) x3y0 + (2− 3x2)y = x3(d) y0 + 2xy = 2xe−x

2

8. Resolver:

(a) dydx= 1

xcos y+sen 2y

(b) xLn (x)y0 − y = x3(3Ln (x)− 1)(c) 2ty0 − y = 3t2(d)

R 10

ϕ(ux)du = nϕ(x)

9. Hallar la solución que satisface la condición limx→∞

y = 0, de las siguientes ecuaciones

(a) 2x2y0 − xy = 2xcos x− 3sen x(b) y0 − yLn x = −(1 + 2Ln x)x−x(c) xy0 + 2

1+x2y = x−1

x 5√x

10. Resolver:

(a) y0 − y = xy5(b) y0 + 2ty + ty4 = 0

(c) y0 + y = y2(cos t− sen t)(d) xy0 + y = y2Ln x

(e) 2sen (x)y0 + ycos x = y3(xcos x− sen x)(f) (1 + t2)y0 = ty + t2y2

11. Hallar una curva tal que el punto medio del segmento de la normal comprendido entre elpunto de la curva y el punto de contacto con el eje OX, pertenezca a la parábola y2 = 4x

12. Hallar las trayectorias ortogonales a:

(a) la familia de circunferencias x2 + y2 = λ2

(b) la familia de parábolas y = cx2

(c) x2 + (y − c)2 = c2(d) y(cx+ 1) = x

13. Resolver:

(a) y0 = y − sen (x) + y2cotg (x)cosec (x)(b) x(x− 1)y0 − (1− 2x)y + y2 = 2x(c) y0[1− sen(x)cos(x)] + y2cos(x)− y + sen(x) = 0

vi

(d) y0(1− x3)− y2 + x2y + 2x = 0

14. Demostrar que las siguientes ecuaciones son diferenciales exactas, y resolverlas:

(a) (4x3y3 − 2xy)dx+ (3x4y2 − x2)dy = 0(b) (3e3xy − 2x)dx+ e3xdy = 0(c) [cos(y) + ycos(x)]dx+ [sen(x)− xsen(y)]dy = 0(d) 2x(yex

2 − 1)dx+ ex2dy = 0(e) (6x5y3 + 4x3y5)dx+ (3x6y2 + 5x4y4)dy = 0

15. Resolver:

(a) (sen(xy) + xycos(xy))dx+ x2cos(xy)dy = 0

(b) (x3 + xy2)dx+ (x2y + y3)dy = 0

(c) (y2exy2+ 4x3)dx+ (2xyexy

2 − 3y2)dy = 0(d) y0 = 1+ysen(t)−sen(y)

cos(t)+tcos(y)con y(a) = b

16. Resolver las ecuaciones siguientes buscando un factor integrante dependiente de x:

(a) (x+ y2)dx− 2xydy = 0(b) (6x5 − 5x4 + 4x3 − 6x2 + 6x− 5)y2 dx+ 2(x6 + x4 − x2 − 1)y dy = 0

17. Resolver la ecuación 2xyLn ydx+(x2+ y2py2 + 1)dy = 0 buscando un factor integrante

dependiente de y

18. Resolver la ecuación (3x + 2y + y2)dx + (x + 4xy + 5y2)dy = 0 sabiendo que admite unfactor integrante de la forma µ = ϕ(x+ y2)

19. Resolver:

(a) 8ydx+ 8xdy + x2y3(4ydx+ 5xdy) = 0

(b) x3y3(2ydx+ xdy)− (5ydx+ 7xdy) = 0(c) (x7 − x3y4 − x4y3) dy + (x7 + x5y2 + x4y3 − xy6 − y7) dx = 0

20. Resolver la ecuación tdt+(y+4y3t2+4y5)dy = 0 sabiendo que admite un factor integrantede la forma µ = ϕ(t2 + y2)

21. Dada la ecuación diferencial P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 hallar la condición que debencumplir P, y Q para que la ecuación diferencial admita un factor integrante de la formaµ(xy), y aplicarlo a resolver las ecuaciónes indicadas:

(a) (y + xy2)dx+ (x− x2y)dy = 0(b) y0 = − y

x(1+xy5)

22. Resolver la ecuación diferencial x y0 + y = y3 arcsen(1

x2)

(a) por un cambio de variable

0.3 EDO de primer orden vii

(b) usando un factor integrante del tipo µ(xy)

(c) comprobar que la solución es la misma

23. Sea la ecuación diferencial (y + y2Ln x)dx− xdy = 0

(a) Resolverla mediante un cambio de variable

(b) Resolverla mediante un factor integrante

(c) Comprobar que la solución es la misma

24. Dada la ecuación diferencial y0 =x− 1

3x− 2y − 1 se pide

(a) resolverla usando un cambio de variable

(b) hallar todos los posibles valores de a, b ∈ R para que µ(ax + by) sea un factorintegrante

(c) con un factor integrante encontrado anteriormente, resolver la ecuación

(d) comprobar que las dos soluciones coinciden

25. Resolver la ecuación

y0 =3x+ 2y + 4

2x+ 4

(a) por un cambio de variable

(b) como una ecuación lineal

(c) como una ecuación exacta, buscando un factor integrante si fuera necesario

(d) comprobar que la solución de cada apartado es la misma

26. Integrar la ecuación (1 + x2y2)y + (xy − 1)2xy0 = 0 con el cambio de variables xy = u27. Dada la ecuación diferencial xy0 − y = 2xy2−x2

x4−1 se pide:

(a) resolver buscando soluciones particulares de la forma y = xα

(b) resolver mediante el cambio de variables y = xt

28. Hallar las curvas que cumplen que la ordenada del punto de corte con el eje OY de lanormal trazada por cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto alorigen de coordenadas

29. Resolver, calcular las soluciones singulares y estudiar las curvas que aparecen en los dis-criminantes ∆p y ∆c de:

(a) y = 2xy0 − y(y0)2(b) (y0)3 + xy0 − y = 0(c) y = xy0 − (y0)2(d) 2y(y0 + 2)− x(y0)2 = 0

viii

(e) 6(y0)2y2 + 3xy0 − y = 0(f) (y0)2 = 4x2

(g) (y0)2(2− 3y)2 = 4(1− y)(h) 4(y0)2x(x−α)(x−β) = (3x2− 2(α+β)x+αβ)2 distinguiendo los casos β > α > 0,

β = α > 0, β = α = 0.

0.4 EDO de orden superior

1. Resolver

(a) y000 =p1 + y002

(b) xy00 = y0Ln(y0x)

(c) y00 + y02 = 2e−y

(d) 2yy00 + 2y02 = 3yy0

(e) yy00 = y02

2. Resolver

(a) 3y0y00 = 2y con y(0) = y0(0) = 1

(b) x2y00 = y02 − 2xy0 + 2x2(c) y00 = aey

(d) 4y00 = 14√y

(e) 2 y000 y0 = 3(y00)2 (Transformaciones de Möbius)

3. Indicar si las siguientes funciones son linealmente dependientes en su dominio de definición

(a) sen x, cos x, cos(2x)

(b) 1, sen(2x), (sen x− cos x)2(c) logax, Ln x,Ln x2

(d) 1, arcsen x, arccos x

(e) e−x, senh x, cosh x

4. Hallar la solución general de las ecuaciones

(a) y00 − 3y0 + 2y = 0(b) y00 + 4y = 0

(c) y00 + 4y0 + 8y = 0

5. Resolver

(a) y00 + y = x+ ex

(b) y00 − y = x+ e−x

0.4 EDO de orden superior ix

(c) y00 − y = sen x+ ex(d) y00 + y = cos x+ sen2x

6. Resolver

(a) y00 + y = xex

(b) y00 − y = xex(c) y00 + 4y = xcos2x

(d) y00 + 5y0 − 6y = senh x+ xcos x(e) y00 +m2y = cos nx con m,n ∈ R

7. Resolver

(a) y000 − y0 = −2x ; y(0) = 0; y0(0) = 1; y00(0) = 2

(b) y00 − 2y0 + y = 4e−x ; limx→∞

y = 0

(c) y00 − y0 − 5y = 1 ; limx→∞

y = −15

(d) y00 + 6y0 + 9y = 10sen x ; y(0) = y0(0) = 0

8. Resolver

(a) y00 − 6y0 + 9y = e3x

x2

(b) y00 + 4y = 4sec22x

(c) y00 − 4y0 + 3y = 11+e−x

(d) y00 − y = e−xsen(e−x) + cos(e−x)(e) y00 − y = (1 + e−x)−2

9. Resolver

(a) x2y00 + xy0 + y = x

(b) x2y00 − 2xy0 + 2y = x2 − 2x+ 2(c) x2y00 + 4xy0 + 2y = 2Ln2(x) + 12x

(d) x3y000 + 3x2y00 − 3xy0 = x2Ln x

10. Sabiendo que y1, y2 constituyen un sistema fundamental de soluciones de la ecuaciónhomogénea correspondiente, se pide resolver las siguientes ecuaciones

(a) xy00 − y0 − 4x3y = 16x3ex2 y1 = ex2 y2 = e

−x2

(b) x(1− xLn x)y00 + (1 + x2Ln x)y0 − (x+ 1)y = (1− xLn x)2exy1 = e

x y2 = Ln x

11. Resolver xy00 − (x+ 3)y0 + 3y = 4x4ex sabiendo que y1 = ex es solución particular de laecuación homogénea

12. Resolver (2x + 1)y00 + (4x− 2)y0 − 8y = 0 sabiendo que admite una solución particularde la forma y1 = emx

x

13. Resolver (x2 + 1)y00 + xy0 − y = 0 sabiendo que admite solución particular polinómica

14. Resolver (cos x)y00 + (sen x)y0 − 2 cos3 xsen2x

y = cos2 x sabiendo que la ecuación homogéneaadmite una solución particular de la forma y1 = sen2x

15. Resolver la ecuación de Bessel : x2y00 + xy0 + (x2 − n2)y = 0 para n = 12, sabiendo que

admite la solución particular y(x) =1√xsen x

16. Resolver la siguiente ecuación sabiendo que y =√x es solución de la ecuación homogénea:

( 3√x− x)y00 + (1− 1

33√x2)y0 +

1

4x(5

33√x2− 3)y = (1 +√x)( 3√x− x)

17. Hallar la solución general

(a) (x2 − 1) y00 − 2xy0 + 2y = (x2 − 1)2(b) (1− x2) y00 − 2xy0 + α(α+ 1)y = 0 para α = 1. (Ecuación de Legendre)

(c) x2 y00 + xy0 − 4y = 0(d) (1− x) y00 + xy0 − y = (1− x)2(e) y00 − 2xy0 + 2λy = 0 para λ = 1. (Ecuación de Hermite)

(f) (1 + x2)y00 + xy0 − (1 + 2x2)y = 0

18. Dada la ecuación diferencial t2y00 − ty0 + y = 6tLn t se pide

(a) Realizar un cambio de variable independiente que transforme la ecuación diferencialen una ecuación lineal de coeficientes constantes

(b) Resolver la ecuación anterior, por el método de los coeficientes indeterminados y porel método de variación de constantes

(c) Calcular la solución general de la ecuación original

19. Resolver el siguiente problema de valores iniciales

y00 cos x+ 2y0sen x− y cos x = cos3 xy(0) = 0y0(0) = 0

0.5 SEDO xi

0.5 SEDO

1. Resolver mediante el método matricial

(a)½x0 = x+ 3yy0 = x− y

(b)½x0 = 3x+ 5yy0 = −2x− 8y

x(0) = 2y(0) = 5

(c)½x0 = x− 5yy0 = 2x− y

(d)½x0 = yy0 = y − x

(e)½x0 = x− yy0 = x+ 3y

2. Resolver utilizando el método de variación de constantes

(a)½x0 + 2x+ 4y = 1 + 4ty0 + x− y = 3

2t2

(b)−→X 0 =

µ3 11 3

¶−→X +

µet

0

¶(c)−→X 0 =

µ0 −11 0

¶−→X +

µsec t0

¶(d)−→X 0 =

µ1 −11 −1

¶−→X +

µx√1 + x4

x√1 + x4

¶

3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

½x0 = 2x+ y + et

y0 = −x

se pide:

(a) hallar la solución general

(b) calcular la exponencial de la siguiente matriz:

µ2 1−1 0

¶

xii

0.6 Estabilidad de las soluciones

1. Determinar el tipo de los puntos de equilibrio, de los siguientes sistemas

(a)½x0 = −2x+ yy0 = −x− 4y

(b)½x0 = x− 3yy0 = 4x− 6y

(c)½x0 = 4x− 6yy0 = 6x− 9y

(d)½x0 = yy0 = −x

(e)½x0 = 3x+ yy0 = −2x+ y

(f)½x0 = −x+ 2yy0 = x+ y

(g)½x0 = −x+ 3yy0 = −x+ y

(h)½x0 = 3x+ 7yy0 = 2x+ 5y

(i)½x0 = −2x+ 5

7y

y0 = 7x− 3y

(j)½x0 = −2xy0 = −y

2. Determinar los valores del parámetro α ∈ R para los cuales la solución nula del sistema½x0 = yy0 = 5αx− α2y

es inestable

3. Discutir la estabilidad del sistema½x0 = yy0 = (α− 1)x− αy

en función del parámetro

α ∈ R

4. Estudiar la estabilidad del sistema½x0 = αx+ (β − 2αβ − 1)yy0 = x− βy

con α, β ∈ R

5. Estudiar la estabilidad, según la primera aproximación, de la solución nula x = y = 0 delos siguientes sistemas:

(a) y00 + y2 = 0

(b)½x0 = 2x+ 8 sin yy0 = 2− ex − 3y − cos y

(c)½x0 = −4y − x3y0 = 3x− y3

(d)½x0 = x− y + x2 + y2y0 = x+ y − y2

0.6 Estabilidad de las soluciones xiii

(e)½x0 = x+ 2y − sin y2y0 = −x− 3y + x(ex2/2 − 1)

(f)½x0 = −2x+ 8 sin2 yy0 = x− 3y + 4x3

(g)½x0 = 1

4(ex − 1)− 9y + x4

y0 = 15x− sin y + y14

6. Dado el sistema½x0 = 2xy0 = y(1− y) + x2 calcular los puntos de equilibrio y estudiar la

estabilidad de las soluciones de equilibrio

7. Estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema½x0 = x2 − y2 − 1y0 = 2xy

8. Dado el sistema no lineal dependiente del parámetro α ∈ R

½x0 = 3(x− 1)(y − α)y0 = 2xy

(a) estudiar la estabilidad de los puntos críticos, usando el teorema de linealización

(b) hacer un dibujo del plano de fases para α = 1

9. Dado el sistema de ecuaciones diferenciales no lineal

½x0 = x Ln yy0 = x− sen(πy) y > 0

(a) clasificar todos los puntos críticos, usando el teorema de linealización

(b) dibujar una región que contenga el eje y positivo del plano de fases

10. Dado el sistema no lineal dependiente del parámetro α ∈ R

½x0 = y (ex − α)y0 = x cos y

se pide:

(a) calcular todos sus puntos críticos aislados

(b) clasificar dichos puntos y dar su estabilidad, usando el teorema de linealización

(c) dibujar el plano de fases para el punto (0,0) cuando α = 0

11. Dado el sistema½x0 = −4y − x3y0 = 3x− y3

(a) Estudiar mediante la primera aproximación, la estabilidad del punto (0,0)

xiv

(b) Comprobar que la función f(x, y) = 3x2 + 4y2 es función de Lyapunov, analizandopor este método la estabilidad del punto de reposo (0,0)

12. Dado el sistema½x0 = −y − x3y0 = x− y3 comprobar que f(x, y) = x2 + y2 es función de

Lyapunov y analizar el punto de reposo

13. Dado el sistema½x0 = −3x+ 4yy0 = −4x− 3y estudiar la estabilidad y comprobarla buscando una

función de Lyapunov

14. Sea el sistema de ecuaciones diferencialesµx0

y0

¶=

µ −α −24 −α2

¶µxy

¶+

µ2√2−4

¶(a) Discutir en función de α ∈ R, la estabilidad del punto de reposo (0,0) para el sistema

homogéneo asociado

(b) Para α = 1 estudiar la estabilidad en el punto (0,0) para el sistema homogéneoasociado, buscando una función de Lyapunov

(c) Resolver el sistema completo para α = 0

(d) A partir del resultado anterior, razonar la estabilidad del sistema para α = 0

15. Sea el sistema diferencial½x0 = −x3 + 2y3y0 = −2xy2 Se pide:

(a) Analizar si f(x, y) = x2 + y2 es una función de Lyapunov para dicho sistema

(b) Utilizando la función f(x, y) ¿Qué puede establecerse sobre la estabilidad del puntode reposo (0,0)?

(c) ¿Puede estudiarse la estabilidad del punto de reposo (0,0) por el método de la primeraaproximación?

16. Dado el siguiente sistema½x0 = x2 − ay0 = −y(x2 + 1)

(a) Calcular en función del parámetro real a, los puntos críticos

(b) Dibujar para cada caso por separado, el plano de fases

(c) Atendiendo a la evolución del sistema en función del parámetro a, ¿qué fenómenoestá ocurriendo? Este es un ejemplo de lo que se conoce como una bifurcación

0.7 Soluciones y comentarios xv

0.7 Soluciones y comentarios

1. Viendo las soluciones con distintos valores iniciales,

(1 + ex)yy0 = ex

se puede ver que las dos soluciones con y(0) = 1 e y(0) = −1 forman parte de una mismacurva, que desde el punto de vista del cálculo sería una función bivaluada. Para podermanejar dicha curva como una verdadera función el truco está en cambiar los ejes decoordenadas entre sí. Al hacer esto, se obtiene otra gráfica que es la simétrica respectode la bisectriz principal, de la gráfica original. Entonces la curva pasa a ser una función.¿Cuál es su nueva ecuación diferencial? Una vez obtenida, integrarla y hallar la solucióngeneral. Ya se tiene entonces todas las curvas anteriores expresadas como funciones. Estoayuda a responder la siguiente cuestión: en la e.d.o. original, la solución con y(0) = 2tiene un punto de inflexión, mientras que la curva descrita por las soluciones con y(0) = 1e y(0) = −1 es una curva sin puntos de inflexión. Entonces tiene que haber una curvao solución, limítrofe entre ambas. Para encontrarla, emplear la solución general de lasegunda e.d.o. buscando para qué valores de la constante de integración, hay puntos deinflexión, y para qué valores no hay puntos de inflexión. Encontrar el valor que separaambos comportamientos. ¿Para este valor, hay punto de inflexión o no? Una vez que setiene esta función, finalmente se reescribe en los ejes originales quedando 1 + ex = ey

2/2.Por último, dibujarla en la figura.

xvi

2. ¿Qué separatrices hay en esta ecuación? ¿Están dichas separatrices contenidas en la solu-ción general?

y0 = x2y−yy+1

0.7 Soluciones y comentarios xvii

3. La solución general dependiente de una constante

y0 sen x = y Ln y

se puede entender como una superficie tomando como tercera dimensión dicha constante:en el gráfico es el eje vertical

−3 < x < 3, 0.5 < y < 3, −1 < z < 1

xviii

4. Otras soluciones generales más, vistas como superficies

xy0 = y +py2 − x2

(y2exy2+ 4x3) dx+ (2xyexy

2 − 3y2) dy = 0

0.7 Soluciones y comentarios xix

5. Dibujar y calcular las soluciones esencialmente distintas a las que hay dibujadas

(x+ y − 2)dx+ (x− y + 4)dy = 0

6. Generalmente, cuando las soluciones son diferenciables a lo largo de todo el eje x, yrecubren todo el plano, la ecuación es lineal. Así ocurre ahora, aunque se ha integradocomo una ecuación exacta.

(3e3xy − 2x)dx+ e3xdy = 0

xx

7. Dibujar y calcular soluciones esencialmente distintas a las dibujadas

(3x+ 2y + y2)dx+ (x+ 4xy + 5y2)dy = 0

8. ¿Es la curva señalada, una única solución? Compararlo con la solución algebraica obtenida

0.7 Soluciones y comentarios xxi

x(x− 1)y0 − (1− 2x)y + y2 = 2x

xxii

9. Las soluciones singulares son las envolventes de las soluciones particulares

y = 2xy0 − yy02

(y0)3 + xy0 − y = 0

0.7 Soluciones y comentarios xxiii

6(y0)2y2 + 3xy0 − y = 0

xxiv

10. Además de las soluciones singulares aparecen otras curvas muy relacionadas con las solu-ciones particulares. Identificar dichas curvas

(y0)2(2− 3y)2 = 4(1− y)

4(y0)2x(x− 1)(x− 2) = (3x2 − 6x+ 2)2

0.7 Soluciones y comentarios xxv

4(y0)2x(x− 1)2 = (3x2 − 4x+ 1)2

4(y0)2 = 9x

xxvi

11. Hallar las constantes que definen las siguientes soluciones

y00 + y02 = 2e−y

12. Dibujar sobre esta gráfica, las soluciones de la ecuación homogénea y el término indepen-diente y notar cómo influye dicho término.

(a) en la parte positiva de la variable independiente

y00 − 6y0 + 9y = e3x

x2

0.7 Soluciones y comentarios xxvii

(b) en la parte negativa

13. Explicar qué término algebraico es el responsable de las pequeñas oscilaciones de lassoluciones, en la parte negativa de las abcisas

y00 − y = e−xsen(e−x) + cos(e−x)

Las condiciones iniciales dibujadas son:

(a) y(0) = 1 y0(0) = 2

(b) y(0) = 0 y0(0) = −1(c) y(0) = 1 y0(0) = 1

(d) y(0) = 1 y0(0) = 0

(e) y(−2) = 1 y0(−2) = 1(f) y(−3) = 0 y0(−3) = 0

xxviii

14. Explicar qué sucede en x = 0

xy00 − (x+ 3)y0 + 3y = 4x4ex

0.7 Soluciones y comentarios xxix

15. Las funciones de Bessel son muy importantes en la ingeniería

x2y00 + xy0 + (x2 − 1/4)y = 0

16. La ecuación de Legendre

(1− x2)y00 − 2xy0 + 2y = 0

xxx

17. Para el punto de silla, hay dos soluciones que llegan a lo largo del eje Y, y dos que salen.Sólo está dibujada la que va hacia la derecha. ¿Con qué pendiente sale del punto dereposo?

½x0 = 2xy0 = y(1− y) + x2

0.7 Soluciones y comentarios xxxi

18. Este sistema puede describir un dipolo eléctrico

½x0 = x2 − y2 − 1y0 = 2xy

19. El plano de fase para α = 1

½x0 = 3(x− 1)(y − 1)y0 = 2xy

xxxii

0.8 Técnicas de integración

1. Inmediatas

arcsen x =

Z x

0

dx√1−x2

arccos x =

Z 1

x

dx√1−x2

arctg x =

Z x

0

dx1+x2

arccot g x =

Z x

∞dx1+x2

arcsec x =

Z x

1

dxx√x2−1

arccos ec x =

Z 1

x

dxx√x2−1

arcsh x =

Z x

0

dx√1+x2

= Ln(x+√1 + x2)

arcch x =

Z x

1

dx√x2−1 = Ln(x+

√x2 − 1)

arctgh x =

Z x

0

dx1−x2 = 1

2Ln1+x

1−x

arccot gh x =

Z x

∞dx1−x2 = 1

2Ln1+x

x−1 , |x| > 1

arcsech x =

Z x

0

− dxx√1−x2 = Ln1−

√1−x2x

arccos ech x =

Z x

0

− dxx√1−x2 = Ln1+

√1+x2

x, 0 < x < 1

2. Por partes

3. Racionales:R P (x)Q(x)

dx P (x), Q(x) polinomios

(a) gr P = gr Q : dividir

(b) gr P < gr Q : hallar las raices de Q

i. reales o complejas conjugadas simples: fracciones simples y completar cuadrados

A1x− r +

A2(x− r)2 + · · ·+

Ak(x− r)k +

Bx+ C

ax2 + bx+ c, b2 − 4ac < 0

ii. complejas conjugadas múltiples: Método de HermiteZP (x)

(x− r1)s1 . . . (x− rk−2)sk−2(ax2 + bx+ c)ndx =M(x)

N(x)+

Z kXi=1

Pi(x)

Qi(x)dx

N(x) : polinomio con todas las raices del denominador original, con una multi-plicidad menos.M(x) : polinomio de coeficientes indeterminados, un grado menor que N(x)Qi(x) : polinomio con la raíz i-ésimaPi(x) : polinomio de coeficientes indeterminados, un grado menor que Qi(x)Calcular los coeficientes derivando

0.8 Técnicas de integración xxxiii

4. Irracionales

(a)ZR(x

mn , x

pq , . . . , x

rs )dx α = m.c.m.(n, q . . . s) x = tα

(b)ZR((ax+ b)

mn , (ax+ b)

pq , . . . , (ax+ b)

rs )dx ax+ b = tα

(c)ZR(x, (ax+b

cx+d)mn , (ax+b

cx+d)pq , . . . , (ax+b

cx+d)rs )dx ax+b

cx+d= tα

(d) Binómicas:Zxm(axn + b)pdx m, n, p ∈ Q

Haciendo el cambio de variable xn = t quedaZtq(at+ b)pdt

i. p ∈ Z desarrollar el binomioii. q ∈ Z es del tipo 4b

iii. p+ q ∈ Z se reescribe comoZtp+q(at+b

t)pdt que es del tipo 4c

(e)Z

P (x)√ax2+bx+c

dx

i. gr P = 0 : completar cuadradosii. gr P = 1 : inmediata + tipo 4eiiii. gr P = 2 : Método Alemán

M(x)√ax2 + bx+ c+

ZA√

ax2 + bx+ cdx

M(x) : polinomio de coeficientes indeterminados, un grado inferior a P (x)Calcular los coeficientes derivando

(f)ZR(x,

√ax2 + bx+ c)dx Método de racionalización

i. a > 0√ax2 + bx+ c =

√ax+ t

ii. c > 0√ax2 + bx+ c =

√c+ xt

iii. a < 0 y c < 0√ax2 + bx+ c = t(x− r) , r raíz real

5. Trigonométricas

(a)ZR(sen x, cos x)dx

tg x2= t sen x = 2t

1+t2cos x = 1−t2

1+t2dx = 2

1+t2dt

(b)Zsennx cosm x dx por partes

(c)Zsen ax cos bx dx = 1

2

Zsen(a+ b)x+ sen(a− b)x dxZ

sen ax sen bx dx = 12

Zcos(a− b)x− cos(a+ b)x dxZ

cos ax cos bx dx = 12

Zcos(a− b)x+ cos(a+ b)x dx