EcuacionesDiferenciales

Ordinariaspara Estudiantes

de FsicaJuan M. Aguirregabiria

III

A LEIRE Y AITOR

IV

Prlogo

Hell is paved with good intentions.James Boswell

Este texto est pensado para ser utilizado por alumnos de fsica que abordan por primera vezel estudio sistemtico de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Tras ensear durante muchosaos esta materia en la asignatura de Mtodos Matemticos II de la licenciatura de Fsica en laUniversidad del Pas Vasco, me fui convenciendo poco a poco de que entre los muchos y ex-celentes textos que haba a nuestra disposicin ninguno se adecuaba con precisin al enfoqueeminentemente prctico que quera imprimir a la asignatura, de forma que la exposicin tericapor parte del profesor se redujera al mximo, en favor del tiempo dedicado a que los alumnosresolvieran problemas. Me atrev, por ello (y para intentar erosionar la costumbre de la gran ma-yora de estudiantes de convertir la asistencia a clase en un mero ejercicio de copiado al dictado),a escribir unos apuntes que, tras ser utilizados con distintos grupos y sufrir numerosas adicionesy correcciones, se han convertido en este texto, que podra resultar til para cualquier estudiantede fsica (y, probablemente, tambin para los de matemticas e ingeniera, a quienes ofreceraun punto de vista distinto) con conocimientos de lgebra lineal y clculo diferencial. Espero quela osada de aadir otro texto a la larga lista de los ya existentes sea disculpada, y que puedanreconocerse aportaciones originales en algunos problemas y en el enfoque de varios apartados,ya que, por razones obvias, no las hay en resultados fundamentales.

Teniendo en cuenta el objetivo primordial de que el alumno desarrolle su capacidad de clcu-lo, no debe extraar que, de acuerdo con una tradicin bien establecida en textos para fsicos, laexposicin terica prescinda en ocasiones de demostraciones formales y puntos de rigor, ni queest salpicada de ejercicios que el alumno debe ir resolviendo mientras se comenta brevementeel resto de la teora. (Para evitar lagunas en el texto, se recogen en el apndice G los resultadosde los ejercicios que no se incluyen en el propio enunciado). Al final de cada captulo hay unalista de problemas: as el lector tendr la oportunidad de comprobar lo que ha aprendido. Algunosproblemas son aplicacin directa de lo visto en teora, pero en otros muchos se estudian cosasnuevas: complementos de la teora, demostraciones que quedaron sin hacer, anticipos de lo que sever en temas ulteriores, etc. A menudo, el estudiante concienzudo encontrar en los problemasun contenido ms interesante del que pudiera creer a primera vista, y se le recomienda que intentehacerlos todos, ya que me he esforzado en elegirlos con cuidado. Los ltimos de cada lista hanaparecido en exmenes en los ltimos aos. (No se han incluido las soluciones de los problemas,para ayudar al alumno a superar la tentacin de ahorrarse trabajo personal). Debe insistirse, es-pecialmente en los exmenes, en que los clculos han de llevarse, en lo posible, hasta el final, deforma que las integrales sean resueltas, las series sumadas, etc.

Hay una pregunta importante que todo autor actual de un manual de estas caractersticas debe

V

VI Prlogo

plantearse y responder: qu hay que hacer con los potentes sistemas de clculo simblico ynumrico que cada da nos resultan ms accesibles? En modo alguno creo que puedan ignorarsey seguir enseando y estudiando la asignatura como hace treinta aos, o limitarse a aadir al finalde la lista de problemas de cada captulo algunos para ser resueltos, numrica o simblicamente,por medio del ordenador, como si ste fuera un vecino fastidioso pero inevitable al que, porcortesa, hay que conceder un mnimo de atencin.

Consideremos, por ejemplo, el caso de las ecuaciones lineales homogneas con coeficientesconstantes: su resolucin a mano, cuando es posible, no tiene dificultades de principio, pero re-sulta a menudo fatigosa y propensa a errores, mientras que los sistemas de lgebra por ordenadorproporcionan la solucin correcta de forma eficaz (aunque a menudo haga falta cierta ayuda porparte del usuario para conseguir la expresin ms sencilla). Por ello, el numeroso espacio que amenudo se les dedica, incluso en los ms recientes textos, donde cada caso particular posible esestudiado en gran detalle, me parece fuera de lugar. No quiero decir con esto que deberan eli-minarse por completo de los textos actuales los mtodos de resolucin de estas ecuaciones. Y noporque no est de ms saber cmo podran resolverse a mano, sino, sobre todo, porque las ideasfundamentales del mtodo de Euler son imprescindibles para entender la estabilidad lineal. Loque creo ms conveniente, y as he intentado plasmarlo en el texto, es explicar las ideas bsicas yresumir los mtodos de resolucin rpidamente para que el alumno los aplique una vez, aunqueuse un sistema de clculo simblico para los clculos intermedios. Hay, sin embargo, que dejarlebien claro que, excepto en los casos ms triviales es tan ridculo usar un sistema de clculo al-gebraico para resolver el oscilador armnico como valerse de una calculadora para sumar 2+2,en la prctica resultar ms eficaz y seguro usar lgebra por ordenador para resolver directamenteese tipo de problemas. Algo parecido podra decirse de otras muchas familias de ecuaciones conmtodo de resolucin bien conocido: probablemente no sea intil verlas rpidamente una vez,porque algunas ideas y tcnicas (como la bsqueda de cambios de variables apropiados y el usode las simetras) pueden resultar de gran inters en otros muchos casos en los que los sistemasde clculo algebraico son de escasa ayuda; pero no parece razonable que en un examen la nicadificultad consista en identificar la receta que hay que aplicar a una ecuacin.

Tampoco creo que el enfoque adoptado en muchos de los libros titulados Ecuaciones Dife-renciales con . . . sea el ms adecuado. Aqu pretendemos ensear al alumno ecuaciones dife-renciales, no a valerse de un programita (tan fcil de usar como intil una vez que cambiemosde apartado) que, por ejemplo, nos fuera pidiendo los coeficientes de una ecuacin lineal paraevitarnos el trabajo escasamente superior de aprender la sintaxis que permite pedir la solucin decualquier tipo de ecuacin.

En resumen, deberamos aceptar el clculo simblico como una herramienta imprescindibleen el uso cotidiano de las matemticas. El alumno debera tener a su disposicin uno de estossistemas tanto en clase como en los exmenes, lo que evitara perder el tiempo en largos clculostriviales para invertirlo en aprender cosas ms interesantes. Quiero resaltar, sin embargo, que hayque ensearle a manejar correctamente el lgebra por ordenador, porque puede inducir a erroresms fcilmente de lo que pueda parecer1. Afortunadamente, en esta asignatura esa tarea se vefacilitada por el hecho de que el resultado, una vez hallado, puede muchas veces comprobarsefcilmente mediante un clculo directo, que puede hacerse con el mismo programa usado paraencontrarlo. (El alumno debera aprender la conveniencia de realizar siempre esta comprobacinfinal, que suele ser mucho ms corta que el clculo inicial que condujo al resultado). Inclusocuando esta comprobacin directa no es posible, puede recurrirse a menudo al mismo sistema

1Vase, por ejemplo, el artculo [40].

VII

para hallar la solucin numrica del problema en casos particulares y compararla con la obtenidapor mtodos exactos, lo que permite a menudo descubrir errores en el clculo original o aumentarnuestra confianza en l, aunque, en rigor, nunca constituya una prueba de su exactitud.

No quiero decir que los mtodos numricos deban reducirse a este papel auxiliar del clculoexacto; por el contrario, constituyen el mtodo de resolucin ms importante en la prctica co-tidiana de la ciencia y la tecnologa actuales. Merecen, por esa razn y porque tampoco su usoes trivial, un estudio detallado, que es ms propio de una asignatura de clculo numrico que deuna como la que este texto pretende cubrir, donde tan solo se har una introduccin a los queson directamente aplicables a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Afortunadamente, aligual que no hace falta conocer el algoritmo de Risch para resolver una integral mediante clculosimblico, no es necesario un conocimiento profundo de clculo numrico para usar uno de losprogramas integrados que permiten hallar fcilmente, sin necesidad de programacin de ningntipo, la solucin numrica de ecuaciones y sistemas diferenciales. Deberamos estimular a nues-tros alumnos a usar un programa de ese tipo para comprobar los dibujos que aparecen en lostextos, as como para dibujar espacios de fases y compararlos con las conclusiones cualitativasobtenidas por los mtodos analizados en el captulo 8.

He hecho una eleccin consciente que quisiera comentar con cierto detalle: se utiliza en eltexto la notacin matemtica anglosajona, ya que un estndar para las expresiones matemticas,aunque no derive de un consenso explcito, parece altamente conveniente. Por ello, se escribe0,1 en vez de 0, 1 o 012, sin x en vez de sen x, tan x en vez de tgx, erf(x) envez de fer(x), etc. La razn principal de esta discutible decisin es iniciar al alumno en lanotacin que va a encontrar en prcticamente todos los artculos y libros profesionales. Muchome temo (?) que, al igual que pasa ya de hecho con la lengua cientfica, la potencia creadoray la gran influencia del mundo anglosajn la hayan convertido en la notacin universal. (Bastafijarse en las teclas de cualquier calculadora, e, incluso, en lo incmodo que ahora nos resultanlos escassimos programas localizados que utilizan la coma como separador decimal). Cuandose usan dos notaciones, he elegido la que creo ms precisa, aunque no sea la ms corriente:el logaritmo neperiano se escribe como ln x (en vez de log x) y he preferido arcsinh x asinh1 x (y a arg shx o arc shx, claro).

La inexcusable lista de agradecimientos est encabezada por los excelentes textos que he po-dido manejar a lo largo de los aos y que, al menos en cierta medida, se indican en la bibliografa.La presentacin de muchos puntos se ha beneficiado de forma importante de conversaciones conManu Valle, con quien he compartido muchas veces la responsabilidad de esta asignatura y aquien tambin debo un cierto nmero de correcciones de erratas en los apuntes que precedierona este texto. Tambin quiero agradecer la ayuda prestada por mi compaero Martn Rivas en larealizacin de las figuras 8.33 y 8.34. El resto de las precisiones de rigor que los errores re-manentes solo pueden achacarse a mi ignorancia o desidia, que todos los elementos gramaticalescon formas personales masculinas y femeninas diferentes deben ser entendidos en ambos gne-ros, etc. se dan por sobreentendidas, y espero que sern comprendidas y aceptadas por el sabiolector.

Leioa, junio de 1997febrero de 2000

2La edicin de 1999 de la Ortografa de la Real Academia Espaola dice, en el apartado 5.13.1.b): Es aceptable,de acuerdo con la normativa internacional, el uso del punto para separar la parte entera de la parte decimal en lasexpresiones numricas escritas con cifras.

VIII Prlogo

ndice general

Prlogo V

ndice de figuras XVndice de apuntes biogrficos XIX1. Conceptos fundamentales 1

1.1. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Tipos de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Unicidad de la solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Mtodos de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Ecuaciones de primer orden 132.1. Significado geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Familias uniparamtricas de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. Congruencias de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Teorema de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6.1. Factores integrantes que no dependen de y . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6.2. Factores integrantes que no dependen de x . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.3. Factores integrantes del tipo (x, y) = g(h(x, y)) . . . . . . . . . . . . . 23

2.7. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8. Mtodos de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9. Ecuaciones homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.10. Ecuaciones del tipo y = f(ax+ by + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11. Ecuaciones del tipo y = f

(ax+by+cx+y+

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.12. Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.13. Ecuaciones de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.14. Envolventes y soluciones singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.15. Ecuaciones no resueltas en la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.15.1. Ecuaciones de la forma F (y) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.15.2. Ecuaciones de la forma x = g (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IX

X NDICE GENERAL

2.15.3. Ecuaciones de la forma y = g (y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15.4. Ecuaciones de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15.5. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.15.6. Mtodo de derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.16. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Ecuaciones de orden superior 393.1. Significado geomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Teorema de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Equivalencia entre ecuaciones y sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4. Reduccin de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1. Ecuaciones sin la variable dependiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2. Ecuaciones autnomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.3. Ecuaciones equidimensionales en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.4. Ecuaciones equidimensionales en y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.5. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5. Dependencia lineal de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.6. Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7. Ecuaciones lineales homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.7.1. Wronskiano y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7.2. Espacio de soluciones de la ecuacin homognea . . . . . . . . . . . . . 483.7.3. Sistema fundamental de soluciones y ecuacin lineal homognea . . . . . 493.7.4. Frmula de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7.5. Resolucin de la ecuacin homognea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.8. Ecuaciones lineales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.8.1. Mtodo de variacin de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8.2. Mtodo de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9. Funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9.1. Funcin escaln unidad de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.9.2. Derivada generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.9.3. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.9.4. Lmite generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.9.5. Sucesiones que convergen a la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 613.9.6. Solucin elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.10. Ecuaciones homogneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . 633.11. Ecuaciones completas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.11.1. Mtodo de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.11.2. Mtodo del operador inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.12. Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Sistemas de ecuaciones 774.1. Definicin y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1. Sistemas dinmicos autnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Mtodos de resolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1. Reduccin a una ecuacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.2. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

NDICE GENERAL XI

4.3. Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4. Sistemas lineales homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.1. Espacio de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4.2. Matrices fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5. Sistemas lineales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.6. Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.6.1. Exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.6.2. Resolucin del sistema homogneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6.3. Resolucin del sistema completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5. Transformacin de Laplace 1015.1. Definicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.1. Espacio F() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.2. Existencia y propiedades asintticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.2. Teorema del desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.3. Cambio de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.4. Derivadas y productos por potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3. La transformacin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4. La convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5. Transformacin de funciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.6. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.6.1. Una ecuacin de orden arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6.2. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6.3. Osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6.4. Funciones continuas por trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Solucin por series de ecuaciones lineales 1196.1. Repaso de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2. Soluciones en forma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.2.1. Puntos ordinarios y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3. Puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.1. Ecuacin de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4. Ecuacin de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.5. Mtodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.5.1. Demostracin del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.5.2. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.3. Un ejemplo con ndice doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.4. Un ejemplo con trmino logartmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5.5. Un ejemplo sin trmino logartmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5.6. Suma de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

XII NDICE GENERAL

7. Mtodos aproximados 1437.1. Smbolo de orden de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.2.1. Mtodo de la serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2.2. Mtodo de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.3. Mtodo de Picard de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4. Mtodos perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4.1. Perturbacin regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.2. El oscilador de van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.3. El mtodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.5. Mtodos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.5.1. Mtodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.5.2. Mtodo de Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.5.3. Mtodo del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.6. Mtodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.7. Mtodos de varios pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.8. Mtodos de extrapolacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.9. Mtodos implcitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8. Teora de la estabilidad 1678.1. Concepto de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.2. Sistemas dinmicos autnomos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.3. Sistemas dinmicos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.4. Sistemas cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1748.5. Estabilidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.5.1. Races caractersticas reales distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.5.2. Races caractersticas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.5.3. Races caractersticas reales iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.5.4. Resumen: Clasificacin de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.6. Trayectorias de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.7. Sistemas mecnicos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.8. Funciones de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.8.1. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.8.2. Demostracin del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.8.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8.4. Sistemas mecnicos unidimensionales disipativos . . . . . . . . . . . . . 1958.8.5. Sistemas mecnicos unidimensionales conservativos . . . . . . . . . . . 195

8.9. Centros no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.9.1. Sistemas dinmicos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.9.2. Sistemas dinmicos hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.9.3. Sistemas dinmicos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.10. Ciclos lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1998.11. Ms dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.12. . . . y caos determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.12.1. Dependencia sensible de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . 2058.12.2. Exponente de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

NDICE GENERAL XIII

8.12.3. Transformacin del panadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.12.4. Atractores extraos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.13. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9. Problemas de contorno de Sturm-Liouville 2199.1. Producto escalar de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.2. Ecuacin adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.3. Problemas de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.4. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5. Problema inhomogneo de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.6. Funcin de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Apndices

A. Teoremas fundamentales 239A.1. El teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

A.1.1. Existencia de la solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.1.2. Unicidad de la solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241A.1.3. Dependencia continua de las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . 242

A.2. Comparacin de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242A.3. Existencia global de la solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

B. Mtodos simblicos 245B.1. Mtodos exactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245B.2. Transformaciones de Laplace y Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251B.3. Mtodos aproximados analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B.3.1. Mtodo de la serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254B.3.2. Mtodo de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255B.3.3. Mtodos perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256B.3.4. Mtodos numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

B.4. Otros clculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.4.1. Ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.4.2. Exponencial de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.4.3. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262B.4.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.4.5. Suma de series y resolucin de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.4.6. Desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.4.7. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265B.4.8. Ecuaciones en diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

C. Resumen de mtodos analticos exactos 269C.1. Ecuaciones de primer orden resueltas en la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 270C.2. Ecuaciones de primer orden no resueltas en la derivada . . . . . . . . . . . . . . 271C.3. Ecuaciones lineales de orden superior al primero . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

C.3.1. Ecuaciones lineales homogneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273C.3.2. Ecuaciones lineales completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

C.4. Ecuaciones no lineales de orden superior al primero . . . . . . . . . . . . . . . . 275

XIV NDICE GENERAL

C.5. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276C.5.1. Sistemas de ecuaciones lineales homogneas . . . . . . . . . . . . . . . 276C.5.2. Sistemas completos de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 277

C.6. Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

D. Definicin y propiedades de algunas funciones 279D.1. Nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279D.2. Valor principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281D.3. Funcin de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282D.4. Funcin error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283D.5. Funcin gamma de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284D.6. Funcin subfactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286D.7. Integral exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286D.8. Integrales elpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287D.9. Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289D.10.Funcin hipergeomtrica confluente de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290D.11.Funcin hipergeomtrica de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291D.12.Polinomios ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

D.12.1. Polinomios de Chbichev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293D.12.2. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294D.12.3. Polinomios generalizados de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295D.12.4. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

E. Tablas de transformadas de Laplace 297E.1. Propiedades de la transformacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298E.2. Valores en los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299E.3. Transformadas de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300E.4. Transformadas de funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

F. Tablas de transformadas de Fourier 303F.1. Propiedades de la transformacin de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304F.2. Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

G. Soluciones y sugerencias para algunos ejercicios 307Bibliografa 321

ndice alfabtico 325

ndice de figuras2.1. Congruencia de curvas, derivada y pendiente de la tangente. . . . . . . . . . . . 152.2. Congruencia y campo de direcciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Circunferencias tangentes al eje de abscisas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Envolvente y puntos mltiples de un haz de curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. rbitas elpticas, pericentros y apocentros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1. Funcin escaln unidad de Heaviside. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2. Familia de gaussianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. Descomposicin de f(t) en impulsos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4. Una funcin continua por trozos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1. La congruencia de un sistema autnomo y su proyeccin en el espacio de fases. . 794.2. Una solucin de (4.21) y su proyeccin sobre el plano de fases. . . . . . . . . . . 804.3. Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1. Dominios de integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.1. Algunas funciones de Bessel Jn de orden entero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2. Algunas funciones de Bessel Yn de orden entero. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1. Aproximacin con trminos seculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2. Aproximacin sin trminos seculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3. Mtodo de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.4. Mtodo de Euler para cuadratura numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.5. Mtodo de Heun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.6. Mtodo de los trapecios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.7. Mtodo del punto medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.8. Mtodo del punto medio en cuadratura numrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.1. Punto de equilibrio (a) estable, (b) asintticamente estable, (c) inestable. . . . . . 1698.2. Diagrama de bifurcacin de x = ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.3. Solucin general del sistema autnomo y su proyeccin sobre el espacio de fases. 1708.4. Una solucin de (8.9) y su proyeccin sobre el espacio de fases. . . . . . . . . . 1718.5. Evolucin de un dominio del espacio de fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.6. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = 1, r = 5/2 y (a) = 0, (b) = 1. . . 1778.7. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = 1, r = 5/2 y (a) = 0, (b) = 1. . . . 1788.8. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = r = 1 y (a) = 0, (b) = 1. . . . . . 1788.9. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = 3, r = 1 y (a) = 0, (b) = 1. . . . 1808.10. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = 1, r = 0 y (a) = 0, (b) = 1. . . . . 180

XV

XVI NDICE DE FIGURAS

8.11. Espacio de fases de (8.57)(8.58) con (a) n = 2, (b) n = 3. . . . . . . . . . . . . 1818.12. Espacio de fases de (8.61)(8.62) con (a) = 0 y (b) = 1. . . . . . . . . . . . . 1828.13. Espacio de fases de (8.38)(8.39) con d = 1, r = 2 y (a) = 0, (b) = 1. . . . 1838.14. Clasificacin de los puntos fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.15. Hoja de Descartes y espacio de fases del sistema (8.69). . . . . . . . . . . . . . . 1858.16. Energa potencial y espacio de fases del sistema (8.78) para = 0,1. . . . . . . . 1878.17. Diagrama de energa en las proximidades de un mnimo. . . . . . . . . . . . . . 1888.18. Energa potencial y espacio de fases del sistema (8.78) para = 0. . . . . . . . . 1898.19. Variedades estable e inestable del punto cspide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.20. Energa potencial y espacio de fases del pndulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1908.21. Trayectorias de fases y evolucin de los correspondientes valores de U . . . . . . 1938.22. Espacio de fases del sistema (8.94). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.23. Espacio de fases del sistema (8.104). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.24. Una trayectoria de fases de (8.107) y su gemela. . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.25. Espacio de fases de (8.108)(8.109) para = 0,01. . . . . . . . . . . . . . . . 1998.26. Diagrama de bifurcacin de la ecuacin (8.110). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.27. Espacio de fases de (8.108)(8.109) para = 1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.28. El ciclo lmite del oscilador de van der Pol para = 2. . . . . . . . . . . . . . . 2028.29. Proyecciones y seccin de Poincar del sistema (8.114)(8.116). . . . . . . . . . 2038.30. Proyecciones de una rbita del atractor de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2048.31. Evolucin de dos soluciones inicialmente muy prximas. . . . . . . . . . . . . . 2058.32. Proyecciones de una rbita del atractor de Rssler. . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.33. La transformacin del panadero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.34. Estructura de conjunto de Cantor del atractor de Rssler. . . . . . . . . . . . . . 2088.35. Secciones estroboscpicas del atractor de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.36. Seccin estroboscpica del atractor de Duffing para t mod 2 = 0. . . . . . . . . 2098.37. Ampliaciones de la seccin estroboscpica del atractor de Duffing. . . . . . . . . 2098.38. Construccin del conjunto ternario de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.39. Cuenta ensartada en alambre liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.40. Espacio de fases cerca de un puerto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.41. Sistema del problema 8.40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.42. Grfica de la funcin f(y) del problema 8.42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.1. La funcin f(x) = (x) sin x en (, ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.2. Funcin sierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

D.1. Formas cartesiana y polar de un nmero complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . 280D.2. La rama principal de la funcin de Lambert en la recta real. . . . . . . . . . . . . 282D.3. Las funciones de error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284D.4. La funcin gamma de Euler en el eje real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285D.5. Integral exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286D.6. Integrales seno y coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287D.7. Integrales elpticas completas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288D.8. Algunas funciones de Bessel de orden entero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

G.1. Las funciones 0 y 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309G.2. Espacio de fases del ejercicio 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311G.3. La fuerza y la solucin del ejercicio 5.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

NDICE DE FIGURAS XVII

G.4. Diagrama de bifurcacin de la ecuacin (8.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314G.5. Espacio de fases del oscilador armnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314G.6. Espacio de fases del sistema (8.70). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315G.7. Serie de Fourier de la funcin de la figura 9.2: se han usado 64 trminos. . . . . . 318

XVIII NDICE DE FIGURAS

ndice de apuntes biogrficosAbel, Niels Henrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Abraham, Max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Adams, John Couch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Bernoulli, Jacob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Bertrand, Joseph Louis Francois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Bessel, Friedrich Wilhelm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Cardano, Girolamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Cauchy, Augustin Louis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Cayley, Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Chbichev, Pafnuty Lvovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Clairaut, Alexis Claude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32DAlembert, Jean Le Rond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51De Moivre, Abraham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Descartes, Ren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Dirac, Paul Adrien Maurice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Einstein, Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Euler, Leonhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Ferrari, Ludovico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Fibonacci, Leonardo Pisano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Fourier, Jean Baptiste Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Fredholm, Erik Ivar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Frobenius, Ferdinand Georg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Gauss, Johann Carl Friedrich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Green, George . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Gibbs, Josiah Willard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Hamilton, William Rowan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Heaviside, Oliver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Hermite, Charles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Hilbert, David . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Hopf, Heinz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Jacobi, Karl Gustav Jacob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Kepler, Johannes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Kronecker, Leopold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Kummer, Ernst Eduard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Kutta, Martin Wilhelm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Lagrange, Joseph-Louis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

XIX

XX ndice de apuntes biogrficos

Laguerre, Edmond Nicolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Landau, Lev Davidovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Laplace, Pierre-Simon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Lebesgue, Henri Lon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Legendre, Adrien-Marie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Lerch, Mathias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Leibniz, Gottfried Wilhelm von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88LHpital, Guillaume Francois Antoine Marqus de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Liapunov, Aleksandr Mikhailovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Liouville, Joseph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Lipschitz, Rudolf Otto Sigismund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239Lissajous, Jules Antoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315Lorentz, Hendrik Antoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Maxwell, James Clerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Newton, Isaac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ostrogradski, Mikhail Vasilevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Parseval des Chnes, Marc-Antoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Peano, Giuseppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Picard, Charles mile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Poincar, Jules Henri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Poisson, Simon Denis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Riccati, Jocopo Francesco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Richardson, Lewis Fry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Riemann, Georg Friedrich Bernhard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Rodrigues, Olinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Runge, Carle David Tolm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Schrdinger, Erwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Schwarzschild, Karl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Simpson, Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Stirling, James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Sturm, Jacques Charles Francois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224Taylor, Brook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Torricelli, Evangelista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Vandermonde, Alexandre Thophile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Verhulst, Pierre Francois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Volterra, Vito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Wronski, Josef Hon de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Captulo 1

Conceptos fundamentales

How can it be that mathematics,being after all a product of human thought independent of experience,

is so admirably adapted to the objects of reality?Albert Einstein

En este primer captulo se discuten algunas generalidades sobre ecuaciones diferenciales queirn siendo analizadas con mayor detalle en los siguientes captulos. Comenzaremos introdu-ciendo el concepto de ecuacin diferencial y una primera clasificacin de los tipos a que puedepertenecer. Luego analizaremos las distintas formas en que aparecen sus soluciones y haremoslas primeras observaciones sobre la existencia y unicidad de la solucin en las dos principalesfamilias de problemas que aparecen en fsica. Acabaremos el captulo clasificando los mtodosde resolucin de ecuaciones diferenciales.

1.1. Ecuaciones diferencialesEn una ecuacin ordinaria que por oposicin a las diferenciales ser llamada en este texto

finita comox2 + y2 = 1 (1.1)

no aparecen las derivadas de la incgnita. Cuando aparezca alguna de esas derivadas, diremosque se trata de una ecuacin diferencial. Un ejemplo sencillo es

x+ yy = 0, (1.2)donde, como haremos a partir de ahora siguiendo una extendida costumbre, hemos usado unaprima para indicar la derivada con respecto a x:

y dydx

. (1.3)Puesto que tomamos derivadas con respecto a x, decimos que x es la variable independien-te, mientras que la incgnita (y en este caso) recibe el nombre de variable dependiente. Yaque en (1.2) solo hay una variable independiente y la derivada es ordinaria, se dice que es unaecuacin diferencial ordinaria, como lo es tambin la ecuacin del pndulo matemtico:

+g

lsin = 0. (1.4)

1

2 1 Conceptos fundamentales

En esta ltima expresin hemos seguido la costumbre de la mecnica de que cada punto indicauna derivada con respecto t, que es la variable independiente de la ecuacin (1.4):

x dxdt. (1.5)

A partir de este momento utilizaremos indistintamente las abreviaturas (1.3) y (1.5), alternndo-las con el uso ocasional de la notacin completa para la derivada. Tambin sern abundantes losejemplos tomados de la fsica, lo que no debera sorprendernos si tenemos en cuenta, ademsdel tipo de pblico a que est destinado este texto, que la historia y las aplicaciones de las ecua-ciones diferenciales estn inextricablemente unidas a la fsica: baste recordar las contribucionesdel propio Newton1 o el papel central que las ecuaciones diferenciales juegan entre los tilesmatemticos del fsico.

Tambin es ordinaria la ecuacin de Newton para el movimiento relativo en un sistema dedos cuerpos si la interaccin mutua viene dada por un campo de fuerzas newtoniano:

d2r

dt2= k

r3r. (1.6)

Puesto que en este ltimo caso cada vector tiene tres componentes, nos hallamos en realidad enpresencia de un sistema de ecuaciones diferenciales:

d2x

dt2= kx

(x2 + y2 + z2)3/2, (1.7)

d2y

dt2= ky

(x2 + y2 + z2)3/2, (1.8)

d2z

dt2= kz

(x2 + y2 + z2)3/2, (1.9)

donde las variables dependientes son tres: x, y, z.Si la ecuacin contiene derivadas parciales, se llama ecuacin diferencial en derivadas par-

ciales. Por ejemplo, en la ecuacin de Schrdinger2

ih

t= h

2

2m2 + V (r) (1.10)

las variables independientes de las que depende la funcin de onda son el tiempo t y lastres coordenadas espaciales que aparecen tanto en el vector r como en forma de variables dederivacin en el operador laplaciano 2.

1 Isaac Newton naci el da de Navidad de 1642 (4 de enero de 1643 en el calendario gregoriano)en Woolsthorpe (Inglaterra) y muri el 31 de marzo de 1727 en Londres. Su magna obra PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica (1687) es considerada sin discusin el libro cientfico ms importantee influyente de todos los tiempos. En l sent las bases de la mecnica y la teora de la gravitacinuniversal. Fue el creador, al tiempo que Leibniz, del clculo diferencial, que l llam de fluxiones.

Su contribucin a la ptica es tambin de excepcional importancia e incluye el telescopio reflector y su influyenteOpticks (1704). Su nombre aparece en muchos otros contextos, incluyendo la cuadratura numrica, el desarrollo delas potencias del binomio y la regla de Barrow, a quien sucediera como Lucasian Professor en Cambridge.

2 Erwin Schrdinger (12-08-1887, Viena; 4-01-1961, Alpbach, Austria). En 1926 su mecnicaondulatoria supuso, junto a la mecnica matricial que Heisenberg haba propuesto en 1925, el naci-miento de la mecnica cuntica, aunque nunca acept la interpretacin probabilstica de la funcin deonda sostenida por Born y la escuela de Copenhague. Tambin trabaj en radiactividad, dinmica deredes cristalinas, fsica atmica y relatividad general. Comparti con Dirac el premio Nobel de Fsica

de 1933.

1.2 Tipos de soluciones 3

Puesto que se llama orden de una ecuacin al mximo orden de derivacin que en ella apa-rece, las ecuaciones del pndulo, de Newton y de Schrdinger que acabamos de mencionar sonde segundo orden, como la mayor parte de las ecuaciones fundamentales de la fsica, mientrasque (1.2) es de primer orden. Igualmente, las ecuaciones de Maxwell3 en el vaco constituyenun sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden con dos variablesdependientes vectoriales (o seis escalares):

E = 4, B = 0, (1.11) E = B

t, B = E

t+ 4J. (1.12)

Las ecuaciones de Schrdinger y Maxwell satisfacen el principio de superposicin (la sumade soluciones es solucin), lo que matemticamente se traduce por su carcter lineal: las incg-nitas aparecen solo en forma de combinaciones lineales con coeficientes que son constantes oque dependen exclusivamente de las variables independientes. La aparicin de una funcin nolineal, el seno, en la ecuacin del pndulo matemtico hace que sta sea no lineal excepto en laaproximacin de pequeas oscilaciones en la que se reduce al oscilador armnico

x+ 2x = 0. (1.13)Tampoco es lineal la ecuacin (1.6), ni lo son las ecuaciones de Einstein4 en el vaco, que, aunquese escriben como

R = 0, (1.14)esconden bajo esa apariencia engaosamente simple un sistema altamente no lineal.

No debe pensarse que las ecuaciones diferenciales agotan junto con las finitas los tiposde ecuaciones que aparecen en fsica. Por ejemplo, veremos en los problemas 5.12 y 5.16 delcaptulo 5 un caso muy simple de ecuaciones integro-diferenciales, en las que las incgnitas osus derivadas aparecen bajo el signo de integral y en el problema 5.31 aparece el caso ms simplede ecuaciones diferenciales funcionales: las ecuaciones diferenciales con retraso, en las que laincgnita y sus derivadas aparecen para distintos valores de la variable independiente.

Desde este momento solo consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias y dejaremoslas ecuaciones en derivadas parciales para otros textos.

1.2. Tipos de solucionesAunque los conceptos que estudiaremos aqu se pueden generalizar de forma inmediata a

sistemas de ecuaciones, para simplificar la notacin nos limitaremos a considerar en este apartado3 James Clerk Maxwell (13-06-1831, Edimburgo, Escocia; 5-11-1879, Cambridge, Inglaterra). Su

primera contribucin relevante fue la prediccin de que los anillos de Saturno deban estar compuestosde numerosas partculas para ser estables. Es el creador, junto a Boltzmann, de la teora cintica de losgases y su inmortal contribucin, las leyes del electromagnetismo que llevan su nombre, apareci en ellibro A Treatise on Electricity and Magnetism en 1873. Su proposicin de que la luz es un fenmeno

ondulatorio electromagntico fue confirmada experimentalmente por Hertz.4 Albert Einstein (14-03-1879, Ulm, Alemania; 18-04-1955, Princeton, EE.UU.) Cualquiera de

sus contribuciones de 1905 la hiptesis del cuanto de luz para explicar el efecto fotoelctrico (que levali el premio Nobel de 1921), los dos trabajos sobre el movimiento browniano, el artculo fundadorde la teora de la relatividad especial y aqul en que estableci la equivalencia entre masa y energale hubiera valido por s sola un puesto de honor en la historia de la fsica. En 1906 escribi el primer

trabajo en teora cuntica del estado slido al estudiar los calores especficos. En 1907 formula el principio deequivalencia, que inicia una serie de trabajos que culminara en 1916 y establecera la teora general de la relatividad.

4 1 Conceptos fundamentales

una nica ecuacin diferencial ordinaria de orden arbitrario n, que siempre puede escribirse como

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0, (1.15)

por medio de una funcin F adecuada.Se llama solucin explcita de la ecuacin (1.15) a toda funcin de la variable independiente,

y = f(x), (1.16)que sustituida en la ecuacin diferencial la convierte en una identidad en un cierto intervalo I ,que es el intervalo de definicin de la solucin:

F[x, f(x), f (x), f (x), . . . , f (n)(x)

]= 0, x I. (1.17)

EJERCICIO 1.1 Compruebe que y =1 x2 es solucin explcita de la ecuacin (1.2). Cul es

su intervalo de definicin?

No siempre se expresa la solucin de una ecuacin diferencial con la variable dependientedespejada. De hecho, a menudo es ms fcil hallar una solucin implcita, es decir, una ecuacinfinita,

g(x, y) = 0, (1.18)tal que cada una de sus soluciones y = f(x) (con g (x, f(x)) = 0, x I) sea solucin explcitade la ecuacin diferencial. El concepto de solucin implcita es til porque, en general, no esnecesario hallar las soluciones explcitas de (1.18), ya que puede verse si son soluciones de laecuacin diferencial comprobando que

F

(x, y,g/x

g/y, . . .

)= 0 (1.19)

se satisface idnticamente como consecuencia de (1.18). En la prctica, a menudo es ms f-cil comprobar que la ecuacin diferencial se convierte en una identidad si en ella se sustituyenjuiciosamente la ecuacin finita y las que se obtienen derivando sta con respecto a x.

EJERCICIO 1.2 Compruebe que x2 + y2 = 1 (que puede escribirse en la forma (1.18) sin ms quecambiar de miembro el 1) es una solucin implcita de (1.2). No despeje y para hacer esta comproba-cin.

No obstante, aunque no haga falta calcularla es preciso asegurarse de que existe alguna solu-cin explcita de la ecuacin (1.18), ya que en caso contrario tendramos una solucin formal.

EJERCICIO 1.3 Compruebe que x2 + y2 = 1 es una solucin formal de (1.2), al menos si noadmitimos soluciones complejas.

Puesto que a menudo es ms fcil dar soluciones paramtricas de las ecuaciones finitas quehallar las correspondientes soluciones explcitas, no debera extraar que tambin sean tiles lassoluciones paramtricas de ecuaciones diferenciales, que consisten en un par de funciones deun parmetro, x = f(t) e y = g(t), que convierten a la ecuacin diferencial en una identidad,

F

(f(t), g(t),

g(t)f (t)

, . . .

)= 0, (1.20)

a lo largo de un cierto intervalo del parmetro.

EJERCICIO 1.4 Compruebe que x = cos t, y = sin t es una solucin paramtrica de (1.2).

1.3 Existencia de soluciones 5

1.3. Existencia de solucionesAunque es cierto que no toda ecuacin diferencial tiene soluciones (por ejemplo, es obvio

que tanto la ecuacin finita y2 + 1 = 0 como la diferencial (y)2 + 1 = 0 carecen de solucionesreales), las ecuaciones diferenciales que se encuentran en la prctica tienen muchas soluciones,en general. De hecho, son corrientes las familias paramtricas de soluciones, es decir, solu-ciones (explcitas, implcitas o paramtricas) que dependen de uno o varios parmetros que sonconstantes en la derivacin con respecto a la variable independiente.

EJERCICIO 1.5 Compruebe que las siguientes expresiones definen familias uniparamtricas de so-luciones de la ecuacin (1.2):

y =C2 x2, (1.21)

y = C2 x2, (1.22)

x2 + y2 = C2, (1.23)x = C cos t, y = C sin t. (1.24)

De qu tipo es cada una de estas familias?

Se llama solucin general a cualquier familia de soluciones de una ecuacin de orden n quedependa, precisamente, de n parmetros independientes. Por ejemplo, todas las soluciones delanterior ejercicio son soluciones generales, ya que dependen de un parmetro y la ecuacin es deprimer orden. El mismo ejercicio demuestra que la solucin general no es necesariamente nica.Es, por tanto, claro que solucin general no es sinnimo de conjunto de todas las soluciones dela ecuacin excepto, como veremos, en las ecuaciones lineales.

EJERCICIO 1.6 Demuestre que y3 3xy = 2C es solucin general implcita de la siguiente ecua-cin:

y +(x y2) y = 0. (1.25)

Puede hallar la correspondiente solucin general explcita?

Por cada eleccin de los valores de los parmetros de una familia de soluciones (sea gene-ral o no) se obtiene una solucin particular. As, tomando C = 1 en las soluciones generales(1.21), (1.23) y (1.24) del ejercicio 1.5 se obtienen soluciones particulares que haban sido dis-cutidas anteriormente en algunos ejercicios. Una solucin de una ecuacin diferencial que no seasolucin particular de una cierta solucin general, es decir, que no pueda ser obtenida eligiendoadecuadamente los valores de los parmetros en la solucin general5 se dice que es una solucinsingular respecto a la general considerada.

EJERCICIO 1.7 Compruebe quey = C(x C), (1.26)

es una solucin general de(y)

2 xy + y = 0. (1.27)Clasifique como particulares o singulares las siguientes soluciones de esta misma ecuacin:

y = 0, (1.28)y = x 1, (1.29)y =

x2

4. (1.30)

5En general, se admite tambin tomar lmites cuando los parmetros van a , ya que este proceso equivale asustituir un parmetro arbitrario C por otro parmetro arbitrario D 1/C y tomar D = 0.

6 1 Conceptos fundamentales

1.4. Unicidad de la solucinEl anterior apartado ha puesto de manifiesto que las ecuaciones diferenciales tienen habitual-

mente un nmero infinito de soluciones. Se plantea, en consecuencia, el problema de identificarla que corresponde al problema fsico concreto que queremos analizar. Dicho de otra forma, elproblema no est completamente planteado cuando se conoce la ecuacin diferencial: son ne-cesarios otros datos. Es fcil sospechar que, hablando en trminos generales, harn falta tantosdatos (condiciones) adicionales como parmetros aparezcan en la solucin general.

Una forma habitual de proporcionar esos datos adicionales consiste en dar los valores dela variable dependiente, y(x0), y de sus n 1 primeras derivadas, y(x0), . . . , yn1(x0), paraun cierto valor, x = x0, de la variable independiente. Se dice entonces que se ha planteadoun problema de condiciones iniciales o un problema de Cauchy. Por ejemplo, es inmediatocomprobar que el problema de valores iniciales

(y)2 xy + y = 0, y(0) = 1 (1.31)admite como soluciones a y = x1, que se obtienen sin ms que elegir C = 1 en la solucingeneral. Ntese que aunque el punto x = x0 se llama inicial, nada impide integrar la ecuacinhacia atrs, es decir, para valores x < x0.

EJERCICIO 1.8 Demuestre que

(y)2 xy + y = 0, y(0) = 0 (1.32)

admite tambin dos soluciones, mientras que si elegimos y(0) = 1 no hay ninguna (real).

Estos dos ejemplos muestran sin lugar a dudas que las condiciones iniciales no garantizansiempre la existencia y unicidad de las soluciones. Como podemos sospechar, acertadamente,que al menos parte del problema proviene del hecho de que en la ecuacin diferencial estudiadaantes la derivada de orden ms alta est elevada al cuadrado, consideremos una ecuacin escritaen forma normal, es decir, con la derivada de orden ms alta despejada. Para hacer creble laexistencia y unicidad de la solucin de un problema de condiciones iniciales del tipo

y = f(x, y), y(x0) = y0, (1.33)intentemos construir la solucin en forma de serie de Taylor alrededor del punto x = x0 dondese ha dado la condicin inicial:

y(x) = y(x0) + y(x0)(x x0) + + 1

n!y(n)(x0)(x x0)n + (1.34)

El primer coeficiente de la serie nos lo da directamente la condicin inicial, y(x0) = y0, que juntocon la propia ecuacin diferencial y sus derivadas tambin permite calcular los otros coeficientes:

y(x0) = f(x0, y0), (1.35)y(x0) =

f

x(x0, y0) +

f

y(x0, y0)f(x0, y0), (1.36)

.

.

.

Por supuesto, para que este procedimiento constructivo garantice la existencia y unicidad de-ben aadirse condiciones matemticas que aseguren la existencia y convergencia del desarrollo.

1.5 Mtodos de resolucin 7

Siguiendo trabajos del propio Cauchy, Peano6 demostr que basta la continuidad de la funcinf(x, y) para garantizar la existencia de soluciones, pero el siguiente ejercicio demuestra que esacondicin no es suficiente para asegurar la unicidad, lo que obligar a enunciar en distintos con-textos teoremas precisos de existencia y unicidad.

EJERCICIO 1.9 Demuestre que y = 0 e

y =

0, si x 0,(2

3x

)3/2, si x 0 (1.37)

son dos soluciones diferentes del problema de condiciones iniciales

y = y1/3, y(0) = 0. (1.38)

Cul puede ser el origen de la ausencia de unicidad?

No siempre se dan las condiciones adicionales en un nico punto. Cuando las mismas seproporcionan para distintos valores de la variable independiente se dice que se ha planteado unproblema de condiciones de contorno. Podemos adelantar que este problema es, en general,mucho ms difcil que el de condiciones iniciales. (Por ejemplo, la falta de solucin para lamayora de los valores de la energa es la razn de que dicha magnitud aparezca cuantizada enmuchos sistemas cunticos). Limitmonos aqu a analizar un ejemplo ilustrativo muy sencillo.

EJERCICIO 1.10 Considere el oscilador armnico clsico unidimensional en variables adimensio-nales apropiadas:

y + y = 0. (1.39)Compruebe que y = A cosx+B sinx es la solucin general y admitamos, hasta que lo demostremosen el captulo 3, que contiene todas las posibles soluciones. Demuestre que el nmero de solucionesde los problemas de condiciones de contorno

y(0) = 1, y(2

)= 2, (1.40)

y(0) = 1, y () = 2, (1.41)y(0) = 0, y () = 0, (1.42)

es, respectivamente, uno, nulo e infinito.

1.5. Mtodos de resolucinUna parte importante del contenido de este texto est dedicado a describir mtodos que per-

miten hallar las soluciones de ecuaciones diferenciales. En general, preferiramos disponer deun mtodo exacto, es decir, de uno que proporcione una expresin analtica cerrada para la so-lucin. De hecho, a este tipo pertenecen la mayor parte de los mtodos descritos en este texto.Pero ya podemos adelantar que, al igual que ocurre con las ecuaciones finitas o las integrales,

6 Giuseppe Peano (27-08-1858, Cuneo, Piamonte; 20-04-1932, Turn, Italia). Adems del teoremade existencia de soluciones, se recuerdan los axiomas de Peano que definen los nmeros naturales entrminos de conjuntos y las curvas que rellenan por completo el interior de un cuadrado. Es juntocon Frege el fundador de la lgica matemtica y destac por la importancia que conceda al rigormatemtico.

8 1 Conceptos fundamentales

solo unos pocos tipos de ecuaciones (muy especialmente las lineales) son abordables mediantemtodos exactos. Desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales se considera que el pro-blema est terminado cuando ha sido reducido a cuadraturas, es decir cuando la solucin hasido escrita en una forma que contenga a lo sumo integrales de funciones que dependen solo dela variable independiente. Sin embargo, urgimos al lector a intentar resolver todas las integralesque aparezcan, ya que, en contra de lo que sucede a menudo en la prctica, sern casi siempreresolubles en los ejemplos y problemas considerados en este libro.

Tambin debe tenerse en cuenta que al expresar analticamente la solucin de una ecuacindiferencial deben usarse muy a menudo funciones especiales, es decir, funciones que no sonelementales (como lo son el seno hiperblico, la exponencial o el arco tangente) y que en muchoscasos tienen como definicin natural el hecho de ser soluciones apropiadas de ciertas ecuacionesdiferenciales.

La aparicin y desarrollo de sistemas de clculo simblico ha aliviado notablemente la difi-cultad de aplicar los mtodos exactos ms conocidos (y algunos menos conocidos, o poco prc-ticos para el clculo a mano).

El reducido nmero de ecuaciones que pueden resolverse mediante mtodos exactos obligaa recurrir a menudo a mtodos aproximados que, a su vez, pueden clasificarse en distintostipos. A pesar de su gran importancia, el nivel de esta asignatura nos obligar a ver solo un pocosobre mtodos aproximados analticos. Los mtodos grficos siguen siendo muy importantespara estudiar propiedades cualitativas de algunas ecuaciones diferenciales, pero como mtodosde resolucin aproximada han sido sustituidos por los mtodos numricos, que con la granextensin alcanzada por los ordenadores se han convertido en los ms usados en la prctica porcientficos y tcnicos.

Como alternativa a los mtodos cuantitativos que hemos mencionado hasta ahora y en losque se intenta construir (aunque sea aproximadamente) la solucin, existen los mtodos cualita-tivos con los que se pretende obtener informacin descriptiva del sistema. Por ejemplo, a menudointeresa conocer el comportamiento del sistema en alguno de los lmites t si t es lavariable independiente, en especial si se sabe que el comportamiento asinttico es simple yque se alcanza rpidamente tras un corto transitorio ms o menos difcil de calcular. El captulo 8estar dedicado a los mtodos cualitativos.

No queremos terminar este apartado sin recordar que para un fsico el mtodo ms importantey til para resolver ecuaciones diferenciales consiste en el uso de sus conocimientos de fsica. Dehecho muchos conceptos y tcnicas aprendidas en las asignaturas de fsica muy especialmentelas leyes de conservacin y las simetras asociadas son de gran ayuda para resolver (o, almenos, avanzar en la resolucin de) las ecuaciones diferenciales que aparecen en la prctica dela fsica.

Consideremos, como ejemplo, el pndulo matemtico

+g

lsin = 0, (1.43)

e intentemos resolverlo. A menudo en los libros de texto se utiliza en este caso una de las tcnicasde solucin de problemas ms fructferas: se hace una aproximacin, que en este caso consisteen suponer que las oscilaciones son lo suficientemente pequeas como para que sin , conlo que la ecuacin se reduce al oscilador armnico, que es una ecuacin lineal cuya conocidasolucin se recuerda en el problema 1.3.

Si queremos hallar la solucin exacta, aprovecharemos que es un sistema conservativo uni-dimensional para reducirlo a cuadraturas. Primero utilizaremos la ley de conservacin de la

1.5 Mtodos de resolucin 9

energa mecnica para obtener una integral primera, concepto ste que analizaremos en el apar-tado 3.4.5.

EJERCICIO 1.11 Multiplique los dos miembros de la ecuacin (1.43) porml2 e integre el resultadopara obtener la energa mecnica conservada en funcin de la amplitud .

Tambin nos es conocida de mecnica la siguiente tcnica que, como veremos en el aparta-do 2.5, recibe el nombre de separacin de variables.

EJERCICIO 1.12 Demuestre que el resultado del ejercicio 1.11 puede reescribirse, cuando el pndu-lo est ascendiendo, como

0

d

2

sin2

2 sin2

2

=

g

l(t t0) , (1.44)

siendo t0 el instante en que ha pasado por el mnimo: (t0) = 0.

La integral de la ltima expresin no puede expresarse en trminos de funciones elementales:hacen falta funciones especiales. En efecto, se calcula fcilmente haciendo uso de las integraleselpticas del apartado D.8.

EJERCICIO 1.13 Use el cambio de variable de integracin sin(/2) = sin(/2) sin para probarque la solucin implcita del pndulo es

F

[arcsin

(sin 2sin 2

)

2

]=

g

l(t t0) . (1.45)

Cul es la solucin explcita?

10 1 Conceptos fundamentales

1.6. Problemas1.1 Escriba la ecuacin diferencial que describe la cada de una partcula puntual en el seno deun fluido en el que el rozamiento es proporcional a la velocidad y clasifquela. Qu sucede si elrozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad?

1.2 Compruebe si y2 2y = x2 x 1 es solucin de la ecuacin

2y =2x 1y 1 .

En caso afirmativo, discuta el correspondiente intervalo de definicin.

1.3 Oscilador armnico. Demuestre que el oscilador armnico,

x+ 2x = 0,

admite como solucin general todas y cada una de las siguientes expresiones:

x = C1 cost+ C2 sint,

x = D1 eit +D2 e

it,

x = A cos(t+ ),

x = A cos [ (t t0)] .Son equivalentes entre s? Podra aadir alguna expresin a la anterior lista?

1.4 Cules son los intervalos de definicin de las soluciones (1.21) y (1.22) de la ecuacin (1.2)?Es solucin

y =

{ C2 x2, x < 0,

C2 x2, x 0?

1.5 Es x2 + Cy2 = 1 solucin general implcita de

y =xy

x2 1?

1.6 Compruebe que

y =1 Ce2x1 + Ce2x

es solucin general de y = y2 1. Halle directamente dos soluciones sencillas por inspeccin ydiscuta si son soluciones singulares o no.

1.7 Compruebe que todas las soluciones de la ecuacin

xy = y

satisfacen la condicin inicial y(0) = 0. Por qu no se cumple la unicidad de la solucin? Esla funcin

y =

{0, x 0,x, x 0,

una solucin de este problema de condiciones iniciales?

1.6 Problemas 11

1.8 Demuestre que el problema de valores iniciales

y = 2y, y(0) = 0

admite como solucin toda funcin

y =

{0, x C,(x C)2, x C,

con C 0.

1.9 El cubo vaco. Si nos muestran un cubo vaco con un pequeo agujero en el fondo es imposi-ble saber cundo estaba lleno de agua hasta el borde. Demuestre que este hecho es consecuenciade que no se satisface el teorema de existencia y unicidad.Nota: Recuerde que la altura h del agua viene dada por la ley de Torricelli7:

dh

dt= k

h,

donde k es una constante.

1.10 Perodo del pndulo. Use el ejercicio 1.13 para calcular el perodo del pndulo. Desarrolleel resultado hasta el cuarto orden en la amplitud .

7 Evangelista Torricelli (15-10-1608, Faenza, Romaa; 25-10-1647, Florencia, Toscana). Fuesecretario de Galileo y el primero en crear y mantener un vaco importante. Tambin descubri elprincipio del barmetro e hizo otras contribuciones en matemticas, mecnica de la partcula e hidro-dinmica, incluyendo la ley que lleva su nombre.

12 1 Conceptos fundamentales

Captulo 2

Ecuaciones de primer orden

In order to solve this differential equationyou look at it till a solution occurs to you.

George Polya

Se analizan en este captulo las principales propiedades de las ecuaciones diferenciales ordi-narias de primer orden, que constituyen el caso ms sencillo a priori, de forma que resultan degran utilidad para introducir o refinar conceptos que sern analizados en captulos subsiguientesen contextos ms generales. Tambin se recogen los mtodos exactos de resolucin ms conoci-dos, cuya importancia estriba en que, en la prctica, en numerosas ocasiones (con la importantesalvedad de las ecuaciones y sistemas lineales) la resolucin de ecuaciones orden superior o sis-temas de ecuaciones acaba por recurrir a la resolucin de una nica ecuacin de primer orden.

2.1. Significado geomtricoPara motivar el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden podemos

valernos de su sencillo significado geomtrico.

2.1.1. Familias uniparamtricas de curvasComo es bien sabido, una ecuacin finita del tipo (x, y) = 0 define una curva en el plano.

Por ejemplo, x2 + y2 = 1 (o la expresin equivalente x2 + y2 1 = 0) describe la circunferenciaunidad centrada en el origen. Si en vez de una curva consideramos una familia uniparamtrica decurvas, su ecuacin ser del tipo

(x, y, C) = 0, (2.1)de forma que para cada valor del parmetro C (dentro de un cierto rango) se obtiene una curva dela familia. Por ejemplo, la familia de circunferencias centradas en el origen tiene como ecuacin

x2 + y2 = C2, (2.2)

siendo el parmetro C el radio de la circunferencia (para C 0).

13

14 2 Ecuaciones de primer orden

Si entre la ecuacin de una familia y su derivada

(x, y, C) = 0, (2.3)

x(x, y, C) +

y(x, y, C) y = 0 (2.4)

eliminamos el parmetro C, obtendremos la ecuacin diferencial de la familia en la forma

F (x, y, y) = 0, (2.5)

que, recordando el significado geomtrico de la derivada, establece una relacin entre cada puntodel dominio y la pendiente de las curvas de la familia que por l pasan.

EJERCICIO 2.1 Derive la ecuacin (2.2) para comprobar que la ecuacin diferencial de la familia decircunferencias centradas en el origen es

x+ yy = 0. (2.6)

Ntese que en otros muchos casos, para hallar la ecuacin diferencial de la familia, serpreciso usar, adems de la derivada, la ecuacin finita de partida.

EJERCICIO 2.2 Halle la ecuacin diferencial de la familia de circunferencias de radio unidad concentro en el eje de abscisas. Hay soluciones singulares?

Como por construccin las funciones (2.1) forman una familia uniparamtrica de solucionesde la ecuacin (2.5) y sta es de primer orden, la familia es una solucin general de la ecuacindiferencial. Por supuesto, nada impide que haya, adems, otras soluciones, tanto singulares comogenerales, que hayan sido introducidas en el proceso de derivacin y eliminacin de C. Cadacurva de la familia cuya ecuacin es (2.1) recibe el nombre de curva integral y su ecuacinviene dada por una solucin particular de la ecuacin diferencial. En los ejemplos anteriores, cadacircunferencia es una curva integral de la correspondiente ecuacin diferencial y su ecuacin unasolucin particular.

2.1.2. Congruencias de curvasExiste un caso particular muy importante: si las curvas de la familia no se cortan, es decir,

si por cada punto del plano dentro de un cierto dominio pasa una curva de la familia y solo una,se dice que la familia es una congruencia de curvas. En tal caso, a cada punto le corresponde lacurva del haz que por l pasa y, por tanto, el valor del parmetro que identifica a esa curva. Enconsecuencia, es posible despejar al menos en principio en la ecuacin de la familia (2.1) elparmetro y escribir la misma en la forma

u(x, y) = C, (2.7)

que nos da el valor C que corresponde al punto (x, y). Un ejemplo de congruencia es la familia decircunferencias que hemos estado estudiando en el ejercicio 2.1 y que, de hecho, hemos escritoen (2.2) con el parmetro despejado.

EJERCICIO 2.3 Es una congruencia la familia analizada en el ejercicio 2.2?

2.1 Significado geomtrico 15

Como hemos visto en el ejercicio 2.1, en el caso de una congruencia, al calcular la derivada desu ecuacin se obtiene directamente la correspondiente ecuacin diferencial ya que el parmetrodesaparece:

u

x(x, y) +

u

y(x, y) y = 0. (2.8)

Multiplicando por dx esta ecuacin puede escribirse en forma simtrica,

P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0, (2.9)

con P u/x y Q u/y. En el caso de la ecuacin (2.6) la forma simtrica es

x dx+ y dy = 0. (2.10)

Veremos que la forma simtrica es til en ciertas ocasiones, pero mucho ms usual es laforma normal que se obtiene cuando se despeja la derivada de orden ms alta

y = f(x, y), (2.11)

con

f(x, y) u/xu/y

= P (x, y)Q(x, y)

. (2.12)

En el ejemplo (2.6) la forma normal es

y = xy. (2.13)

FIGURA 2.1 Congruencia de curvas, derivada y pendiente de la tangente.

La forma normal permite una interpretacin geomtrica precisa que se esboza en la figura 2.1.La ecuacin diferencial (2.11) da la pendiente y = tan de la tangente en el punto (x, y) a lacurva integral que por l pasa. Por cada punto pasa una nica curva que tiene all una tangentedada que define una direccin. Hay, por tanto, un campo de direcciones, descrito precisamen-te por la ecuacin diferencial (2.11) en su dominio de definicin, que nos da la direccin quecorresponde a cada punto.

16 2 Ecuaciones de primer orden

FIGURA 2.2 Congruencia y campo de direcciones.

2.2. Teorema de existencia y unicidadLa relacin entre congruencias y ecuaciones diferenciales en forma normal es biunvoca, en

su dominio de definicin, si se cumplen ciertas condiciones matemticas que se establecen conprecisin en un teorema de existencia y unicidad. Aunque demostramos una forma ms refinadadel teorema en el apndice A, nos limitaremos aqu a enunciar sin demostracin una variantemenos potente, pero que resulta de mayor utilidad prctica, ya que las condiciones suficientesson ms fciles de comprobar que otras menos restrictivas que pueden utilizarse en su lugar.

Teorema 2.1 (Existencia y unicidad) Si la funcin f y su derivada f/y son continuas en undominio, el problema de condiciones iniciales

y = f(x, y), (2.14)y(x0) = y0, (2.15)

tiene una nica solucin para cada condicin inicial (x0, y0) en el dominio.

Esto garantiza que el conjunto de curvas integrales es una congruencia, con tal de que secumpla una condicin de continuidad, o incluso algo menos como veremos en el apndice A. (Lanecesidad de condiciones matemticas de regularidad ya haba sido anticipada en el ejercicio 1.9).

FIGURA 2.3 Circunferencias tangentes al eje de abscisas.

Como ejemplo consideremos el conjunto de circunferencias tangentes al eje de abscisas conorigen en el de ordenadas que aparece en la figura 2.3.

2.3 Ecuaciones exactas 17

EJERCICIO 2.4 Demuestre que la ecuacin diferencial de esa familia es

y =2xy

x2 y2 . (2.16)

Por el origen pasan infinitas soluciones, pero esto no contradice el teorema de existencia yunicidad ya que all la ecuacin diferencial tiene una singularidad. Tambin la tiene en las dosbisectrices y = x, pero excepto en el origen esto no impide la unicidad sino que refleja elhecho ms trivial de que all la tangente a las curvas integrales es vertical ya que la continuidades condicin suficiente, pero no necesaria.

2.3. Ecuaciones exactasComo vimos en el apartado 2.1, al derivar la ecuacin de una congruencia de curvas u(x, y) =

C se obtiene una ecuacin diferencial en forma simtrica

du P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0, (2.17)con

P =u

x, (2.18)

Q =u

y. (2.19)

Por definicin, una ecuacin obtenida de esta forma como diferencial de una funcin, es decir,tal que cumpla las condiciones (2.18)(2.19), se llama exacta.

Como consecuencia del teorema de Schwarz, que nos asegura la igualdad de las derivadascruzadas de funciones regulares1 se cumple

P

y=Q

x(2.20)

para una ecuacin diferencial exacta. Adems, el recproco de este resultado elemental es tambincierto.

Teorema 2.2 Una ecuacin diferencial en forma simtrica, P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, esexacta si y solo si se satisface la condicin (2.20).

La demostracin del teorema es interesante porque es constructiva y proporciona, por tanto,un mtodo de resolucin de ecuaciones que satisfagan (2.20). Para que se cumpla (2.18) defina-mos u(x, y) como la integral indefinida de P con respecto a x:

u(x, y) xx0P (v, y) dv + h(y), (2.21)

1Como es costumbre en fsica, llamaremos funciones regulares a aquellas que satisfacen, junto con sus deriva-das, las condiciones de continuidad necesarias para garantizar el enunciado en que se usa el calificativo regular.Esta costumbre, aunque poco precisa, aligera los enunciados de resultados matemticos al evitar tener que indicar laclase de diferenciabilidad de las funciones involucradas. En los casos de inters prctico, las condiciones necesariassuelen cumplirse, salvo a lo sumo en algunos puntos (o lugares geomtricos). Hay que sealar, sin embargo, queesos puntos singulares suelen ser de gran importancia en fsica (en uno de ellos se encuentra, por ejemplo, la cargapuntual que crea el ms sencillo de los campos electrostticos) y en matemticas (en especial, en la teora de lasfunciones analticas). Algunos puntos singulares jugarn un importante papel en el captulo 6.

18 2 Ecuaciones de primer orden

donde h(y), que no depende de x, est an por determinar. Para que se satisfaga (2.19) debecumplirse

Q(x, y) = xx0

P

y(v, y) dv + h(y), (2.22)

que, si hacemos uso de la hiptesis (2.20), se convierte en

Q(x, y) = xx0

Q

x(v, y) dv + h(y) = Q(x, y)Q(x0, y) + h(y). (2.23)

Simplificando el resultado tenemos una ecuacin en la que la x ha desaparecido y que se integradirectamente con respecto a y:

h(y) = Q(x0, y) h(y) = yy0Q(x0, v) dv +D, (2.24)

donde D es una constante de integracin arbitraria. Sustituyendo este valor en (2.21) la solucingeneral de la ecuacin exacta ser la ecuacin de la congruencia u(x, y) = C o, si se prefiere unaexpresin ms formal, x

x0P (v, y) dv +

yy0Q(x0, v) dv = C, (2.25)

tras una redefinicin trivial de la constante arbitraria.No hemos escrito esta ltima ecuacin porque recomendemos su uso para resolver ecuaciones

exactas (para lo que no hay nada mejor que recordar la definicin y calcular la integral indefinidacon respecto a una variable, derivar respecto a la otra y volver a integrar), sino porque es un casoparticular de un resultado general que conocemos del clculo vectorial.

Si consideramos que V = u es un potencial escalar, la congruencia de curvas (u = C V = C), es el conjunto de lneas equipotenciales y la ecuacin diferencial de la congruenciadV = 0 expresa que el potencial es constante a lo largo de las lneas equipotenciales y tambinque el campo vectorial correspondiente

E V = P i+Q j (2.26)es ortogonal en cada punto a dichas lneas (E dr = P dx+ Qdy = dV = 0). Adems, reco-nocemos en este contexto que la condicin (2.20) indica, precisamente, que el campo vectoriales conservativo: E = 0. Sabemos que en este caso el potencial puede recuperarse medianteuna integral curvilnea:

V (x, y) = V (x0, y0) (x,y)(x0,y0)

E dr = V (x0, y0) (x,y)(x0,y0)

(P dx+Qdy). (2.27)

El camino de integracin es arbitrario y si elegimos el formado por los segmentos (x0, y0)(x0, y)y (x0, y)(x, y), la ecuacin de las lneas equipotenciales (2.27) viene dada por (2.25).

Como ejemplo consideremos la ecuacinx dx+ y dy = 0, (2.28)

que como se comprueba inmediatamente es exacta. Si integramos respecto a x el coeficiente dedx obtenemos u = 1/2 x2 + h(y), y si derivamos respecto a y e igualamos al coeficiente de dyse obtiene h(y) = y, que integrado da h = 1/2 y2 + D, con lo que la solucin general, trasuna redefinicin de la constante arbitraria es, como ya sabamos, la familia de circunferenciascentradas en el origen x2 + y2 = C2.

2.3 Ecuaciones exactas 19

EJERCICIO 2.5 Resuelva la ecuacin

(x+ y + 1)dx+ (x y2 + 3)dy = 0. (2.29)

Vemos a continuacin dos familias de ecuaciones diferenciales que son casos particulares delas exactas.

Ecuaciones sin la variable dependiente

Si en la ecuacin falta la variable dependiente,

y = f(x), (2.30)

es claro que la ecuacin es exacta ya que las dos derivadas cruzadas son nulas. De hecho, estaecuacin es muy simple y est prcticamente reducida a cuadraturas:

y =f(x) dx+ C. (2.31)

EJERCICIO 2.6 Resuelva el siguiente problema:

y = ln |x|, lmx0

y(x) = 0. (2.32)

Es nica la solucin?

Ecuaciones de variables separadas

Tambin cuando las variables dependiente e independiente aparecen separadas en dos trmi-nos distintos,

P (x) dx+Q(y) dy = 0, (2.33)las derivadas cruzadas son nulas por lo que la ecuacin es exacta. De hecho, se resuelve directa-mente mediante cuadraturas:

P (x) dx+Q(y) dy = C. (2.34)

Tomando f = P y Q = 1 se recupera como caso particular el anterior. Un ejemplo de este tipode ecuacin es (2.28), que ha sido resuelta antes como si fuera una exacta del tipo ms generalposible.

EJERCICIO 2.7 Resuelva (1 + y)eyy = 2x.

20 2 Ecuaciones de primer orden

2.4. Factores integrantesConsideremos qu sucede si en la ecuacin (2.28) se despeja y, para obtener

x

ydx+ dy = 0. (2.35)

Aunque las derivadas cruzadas no son iguales y, por tanto, la ecuacin no es exacta, sabemosque en realidad se trata de una ecuacin exacta que ha sido multiplicada por 1/y. La pregunta essi este proceso es reversible en general, al igual que en este caso particular basta multiplicar laecuacin no exacta por y para recuperar la exacta de partida.

Si dada una ecuacin no necesariamente exacta

P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0 (2.36)existe una funcin (x, y) tal que

(x, y) [P (x, y) dx+Q(x, y) dy] = 0 (2.37)sea exacta, se dice que es un factor integrante o multiplicador de la ecuacin (2.36). Comola nueva ecuacin es exacta, puede resolverse y sus soluciones sern tambin solucin de laecuacin de partida, con alguna posible excepcin.

En efecto, como la ecuacin original se obtiene multiplicando (2.37) por 1/(x, y), puede ha-ber soluciones de la ecuacin original que anulen este factor sin anular la nueva ecuacin (2.37),por lo que cuando se haya usado un factor integrante deber comprobarse si hay solucionesde 1/(x, y) = 0 que no estn en la general obtenida resolviendo la ecuacin exacta, en cu-yo caso sern soluciones singulares de la original. Como ejemplo, consideremos la ecuacinxy dx + y2 dy = 0, que no es exacta, pero que admite el factor integrante = 1/y, con el querecuperamos la ecuacin (2.28), pero entonces 1/ = y = 0 es una solucin singular.

Por otro lado, es posible que al multiplicar la ecuacin de partida por se hayan aadidosoluciones, que lo sean de (x, y) = 0 y, por tanto, de (2.37), sin serlo de la ecuacin de parti-da (2.36), por lo que deber comprobarse en cada caso si las soluciones de esa ecuacin finita loson realmente de (2.36).

EJERCICIO 2.8 Compruebe que la ecuacin diferencial

(xy + y2) dx x2 dy = 0 (2.38)admite como factor integrante = 1/xy2. Calcule la solucin general. Hay alguna solucin singu-lar? Y alguna raz de que no satisfaga la ecuacin diferencial?

Es obvio que si multiplicamos un factor integrante por una constante se sigue teniendo unfactor integrante. Incluso veremos en distintos problemas que los factores integrantes no sonnecesariamente nicos en un sentido mucho menos trivial: es posible tener dos factores integran-tes que no sean el uno mltiplo del otro. Tras responder negativamente a la unicidad, podemosplantear otra pregunta ms difcil: admite toda ecuacin (2.36) un factor integrante que la con-vierta en exacta? La respuesta es afirmativa, pero un poco decepcionante: como consecuenciad