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ECONOMICS - Urban, Rural, and Regional Economics

JEL R4 - Transportation Systems

Ed. Transmitworld 2013

ISSN: 2280-1901 Transmitworld (Verona) [Online]

Sistemi dinamici lineari e non lineari di analisi e gestione del traffico autostradale, a definizione

dei parametri di conto per la previsione, a breve termine, di una gestione economica virtuosa

delle tratte autostradali

di Moreno Ferrarese1

Abstract; 1. Lo scenario; 2. L’approccio metodologico all’incidentalità; 3. I modelli di studio; 4.

Affidabilità dei modelli; 5. L’analisi modellata del traffico; 6. Approccio spazio-temporale delle

distanze di sicurezza autostradali; 7. L’utilizzo del modello MPCA a definizione dei parametri di

conto; 8. Conclusioni; Bibliografia; Appendice 1; Appendice 2.

Abstract

La puntuale e affidabile assegnazione di parametri di scenario economico, finalizzati alla

programmazione della circolazione veicolare (auto)stradale, non può prescindere dall’analisi dei

parametri di sicurezza autostradale come elementi confliggenti nella capacità decisionale del

management in condizioni di crisi. Viene presentato un nuovo metodo per la ricerca dell’equilibrio

economico dell’infrastruttura autostradale a breve termine.

The precise and reliable assignment of parameters of economic scenery, aimed at planning of

motorway traffic, can not be separated from the analysis of the parameters of highway safety as

conflicting elements in the decision-making capacity management in crisis conditions. We present a

new method for the economic balance of the motorway infrastructure in the short term.

Keyword: sicurezza stradale-conto economico-modello gestionale autostradale

1. Lo scenario

Le notizie di cronaca ci hanno abituato ad ascoltare d’incidenti autostradali con decine di vittime e

con danni ai veicoli e alle infrastrutture, fattori che impegnano le società autostradali concessionarie

a rivedere continuamente i piani della sicurezza e il posizionamento dei cantieri fissi e mobili, in

ragione della necessità di provvedere ad assicurare elevate velocità veicolari in rapporto alle

condizioni giuridiche d’esercizio - per il cui scopo vengono costruite le autostrade e le strade a

scorrimento veloce - e la sicurezza dei conducenti i veicoli nelle diverse sezioni autostradali.

In alcune condizioni, particolarmente quelle critiche, date dalla stagionalità, dalla periodicità del

traffico, dallo scorrimento orario e dalle condizioni meteorologiche, che sono fattori naturali

incidenti sulla sicurezza autostradale, assieme all’attivazione di sistemi manutentivi o migliorativi 1 Già professore titolare dell’insegnamento di Economia dei Trasporti e della Mobilità – Università degli Studi di Verona


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della circolazione, dati dai cantieri mobili oppure fissi, come fattori tecnici che interferiscono sulla

sicurezza, si verificano perturbazioni alla circolazione dei veicoli autostradali che generano

incidentalità.

Kroes e Sheldon (Kroes E.P., Sheldon R.J., 1988) indicano la frequenza generale degli incidenti in

autostrada, in presenza di congestione, come quasi doppia di quella su autostrade in presenza di

condizioni di deflusso libero. Per salire a tali casi, poiché l’aumento delle capacità delle autostrade

non sempre è possibile attraverso le manutenzioni migliorative, talora è preferibile ricorrere ad altri

approcci tra i quali la regolazione del deflusso che ha per obiettivo primario la riduzione della

congestione e dell’incidentalità.

Nel deflusso, i flussi di veicoli o persone, regolano il proprio moto unitario, dato da comportamenti

di guida o di andatura, che inducono i conducenti o i pedoni a regolare la propria velocità e le

proprie traiettorie in riferimento a posizioni e spostamenti degli altri veicoli e pedoni, attraverso

scelte temporali, di costo, di sicurezza, di comfort.

L’assegnazione dinamica dei flussi permette di riprodurre il carico variabile nel tempo in ogni

sezione dell’infrastruttura autostradale e consente, quindi, di prevedere l’insorgere di fenomeni di

congestione dovuti a un eccesso di domanda rispetto alla capacità locale della via. Offre, altresì,

l’opportunità di valutare sia l’incidenza percentuale del flusso proveniente da ogni particolare

rampa di accesso sul valore globale del carico previsto in un punto qualsiasi della rete, sia quando il

flusso entrante verrà a trovarsi in un punto critico in funzione della velocità di marcia (Camus,

Longo, Santorini, 1995).

Considerando che le modalità di deflusso sono differenti per le intersezioni tra i differenziati

elementi della via e le fermate dei sistemi di trasporto pubblico (nodi) e per gli elementi di via

compresi tra un nodo e l’altro (archi), la realizzazione delle condizioni di sicurezza e di comfort

viene usualmente normoregolata, con modalità variabili da una modalità di trasporto all’altro e, per

lo stesso modo di trasporto, secondo l’elemento viario considerato. Il sistema di regolazione è,

pertanto, costituito da un pacchetto di regole di circolazione (es. codice della strada, codice della

navigazione, regolamento di circolazione treni).

Per esempio, nel deflusso sugli archi la condizione di sicurezza stradale veicolare consiste nel

mantenere la distanza di sicurezza dell’inseguitore, sul veicolo antecedente, lungo una traiettoria

intercettata da entrambi. Nel deflusso attraverso un nodo veicolare, laddove le diverse correnti

veicolari condividono l’uso di un elemento comune della via, la decisione è relativa all’impegno

dell’area comune.

In genere, nella circolazione veicolare su tutte le infrastrutture a terra, una modalità di marcia è

denominata a densità libera, quando l’attuazione della condizione di sicurezza sugli archi viene

interamente caricata sulla responsabilità del conducente (es. autoveicoli, autobus); è a densità

controllata, quando il distanziamento tra veicoli è fisso o controllato da un sistema di segnalamento

(es. impianti a fune, funicolari, metropolitane, ferrovie); è a densità mista quando il distanziamento

tra veicoli su sede stradale propria o mista è in parte autoregolato, in parte sotto segnalamento (es.

ferrotramvie).

2. L’approccio metodologico all’incidentalità

Per quanto riguarda i modelli di flusso/deflusso tradizionali, individuiamo che le condizioni di

funzionamento sono descritte, normalmente, attraverso la valutazione di tre grandezze:

la velocità media


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il flusso o portata f

la densità2 veicolare k

Per qualsiasi scelta coerente delle definizioni operative delle grandezze citate, sussiste, fra esse, la

seguente equazione di congruenza (Ascione L., Grimaldi A., 1989), definita anche modello di

deflusso veicolare:

(1)

Quindi, l’equazione fondamentale del flusso, che deriva dall’analisi macroscopica dell'evoluzione

dinamica di un'infrastruttura, avviene studiando il variare delle grandezze medie fondamentali,

consentendo di rappresentare come proiezioni bidimensionali le relazioni tra le variabili

macroscopiche flusso, densità, velocità (Florio, Mussone, 1998). Vengono, pertanto, utilizzati dei

modelli matematici, basati su rilevazioni empiriche, che legano tra loro queste grandezze3.

2 In alcuni studi sperimentali la densità viene sostituita con l’occupazione percentuale R, che può venire misurata

attraverso sistemi di rilevamento magnetici. La densità K e l’occupazione percentuale R sono in media legate da un

rapporto di proporzionalità (Ferrari et alii, 1991). 3 I termini utilizzati nelle pagine successive, adottano le definizioni:

fc = capacità della strada

fm = valore massimo del flusso veicolare

vc = velocità massima praticabile a flusso nullo

vm = velocità alla quale il flusso è massimo

= velocità “libera”

kc = densità critica, o densità per flusso di saturazione

km = densità alla quale il flusso è massimo

kj = jam density, o densità d’arresto (a deflusso impossibile)

Ogni collezione di veicoli è caratterizzata da un proprio flusso e da una propria densità.

Si consideri, ora, un insieme di veicoli che attraversano una sezione Z, in un periodo T. Si definisce come:

flusso f , il numero di veicoli che, attraversa la sezione Z nell'unità di tempo T.

Viene calcolato come il rapporto tra il numero n di veicoli, che attraversano la sezione Z nel periodo T, cioè:

(A.1)

Per distanziamenti tra i singoli veicoli hi con n elevato, la somma dei singoli distanziamenti è coincidente con il periodo

T , cioè:

(A.2)

Dividendo entrambi i membri per n si ottiene la relazione:

(A.3)

ovvero che

LEMMA 1: l'inverso del flusso è quasi uguale al distanziamento medio temporale tra i veicoli nell'infrastruttura.

Si definisce come:

densità k, il numero di veicoli in un generico istante, insistenti nell'unità di lunghezza dell'infrastruttura.

La densità k si calcola come il rapporto fra il numero n di veicoli, che insistono nell’istante generico in un tronco

stradale di lunghezza L, e L:

(A.4)

In modo analogo, per plurime misurazioni e per distanze omogenee i-esime (di), si può approssimare la distanza al

tronco L come:

(A.5)


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Nell'andamento del flusso/deflusso dei veicoli autostradali si evidenziano due comportamenti sotto

descritti:

1) velocità media coindice con la velocità di flusso libero cioè la velocità massima praticabile

al tendere a zero della densità, con la portata in calo a zero

2) la velocità media e la portata tendono a zero, al tendere della densità o jam density, al suo

valore massimo, cioè la densità "limite" o "di arresto" kj

Come conseguenza, ad una certo valore di densità critica kc< kj e alla corrispondente velocità v, il

flusso assume un valore massimo fc pari alla capacità della strada.

Aumentando il numero di veicoli che transitano nell'unità di tempo attraverso una sezione la

velocità media del singolo veicolo diminuisce e si stabilisce, così, un rapporto di correlazione fra

velocità media e densità k.

La conseguenza di ciò, dividendo entrambi i membri per n, si ottiene l’espressione:

(A.6)

LEMMA 2: l'inverso della densità è quasi uguale al distanziamento spaziale medio tra i veicoli nell'infrastruttura.

Essendo la velocità, in genere, il rapporto spazio-temporale, otteniamo, per l’i-esimo valore di distanziamento veicolare:

(A.7)

Per cui, sommando i flussi e le densità totali nelle sezioni autostradali otteniamo:

(A.8)

(A.9)

(A.10)

(A.11)

Il flusso, pertanto, è dato dal prodotto tra la densità e la velocità media rispetto allo spazio:

(A.12)


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Figura 1. Relazione velocità, flusso, densità. Andamento delle curve f(k), v(k).

La relazione f= k * v corrisponde in modo seriale a una relazione di deflusso v(k) per la funzione

f(k)=k*v(k). La curva f(k) ha un andamento come la curva v(k):

1. nello studio delle curve si notano dei flussi intermedi con uno o più punti di massimo fra i due

punti di nullo rispetto alle curve sottese, con la funzione f-v che viene derivata dalla funzione v-

k

2. per la relazione intercorrente fra le tre variabili f, k, v, esisteranno, così, due punti a flusso nullo,

quello in cui la densità é nulla e la velocità di deflusso massima e quello in cui la densità é

massima e la velocità è nulla

3. per densità critiche kc si osserva un flusso nullo quando i primi veicoli di una colonna

rimangono fermi, per cui quelli successivi sono costretti all’arresto (il cosiddetto effetto

elastico), come nel caso di code generate dai segnali di traffico e come accade su strade libere in

caso di eventi occasionali o di cantieraggio variabile in autostrada

4. a densità nulla non si ottiene deflusso, con la conseguenza che la curva f-k intercetta l'origine

degli assi coordinati; essendo la velocità media data dal rapporto f/k, il coefficiente angolare

con cui la curva parte dall'origine rappresenta la velocità di flusso libero e coinciderà anche con

l’inclinazione massima della curva

5. la legge v(k) descrive l’andamento della velocità al crescere del numero di veicoli presenti in un

tronco di strada e rappresenta, quindi, il ben noto fenomeno della congestione, o, più in

generale, del condizionamento veicolare (in condizioni teoriche): al crescere della densità media

si riduce la velocità della corrente/plotone, il ché vale a dire che una corrente/plotone di traffico

denso (con veicoli molto ravvicinati) è meno veloce di una corrente/plotone di traffico fluido,

con veicoli molto distanziati tra loro.

La curva f-v avrà, dunque, un punto sull'origine e uno sull'asse delle velocità al valore

corrispondente alla velocità massima (vd. la proiezione delle curve f-v-k, secondo il metodo

Monge): se la curva v-k é una rettifilo di Greenshields, la risultante curva f-v é una parabola.

Per sommario, la valutazione e la previsione delle variazioni di stato, dal flusso libero alla

congestione e viceversa, potendo avvenire per valori di flusso non necessariamente prossimi alla

capacità critica (Forbes, Hall, 1990) si rappresentano come un processo di non linearità.

Altri studi, (Ferrari, 1980; 1988; 1989; 1990) mettono attenzione sul controllo del parametro della

velocità (che si dimostra essere un processo ergodico di classe ARMA integrato a media mobile del

primo ordine, la cui previsione può essere utilizzata per la valutazione della stabilità del flusso.

D’influenza per le caratteristiche del flusso possono essere, in molti casi, le condizioni

meteorologiche ambientali, quali pioggia, neve, nebbia, luminosità, ecc.

In tali casi, il rapporto tra velocità media ed i parametri caratteristici della distribuzione dei tempi di

percorrenza, dipende da alcune variabili indipendenti, quali le condizioni atmosferiche e dalla

congestione.

3. I modelli di studio

Com’è noto, gli approcci metodologici principali, definiti in relazione alle classi d’intervento, sono

raggruppati in tre classi di riferimento, evidenziate dai sottoposti modelli di studio:

A. Velocità/Densità

a) Modello lineare di Greenshield

b) Modello logaritmico di Greenberg


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B. Flusso/Densità

a) Modello parabolico

b) Modello logaritmico

C. Velocità/Flusso

a) Flussi ininterrotti

b) Reti neurali


a) Modello lineare di Greenshield

Il modello lineare di Greenshields correla la velocità e la densità, poiché, all’aumentare della

densità veicolare su una corsia o su una strada, i conducenti tendono a diminuire spontaneamente la

velocità dell’autoveicolo.

Inizialmente il modello lineare di Greenshield nasce interpolando i dati della velocità e della

densità, raccolte con aerofotografie, secondo l’equazione:

(2)

con:

è la velocità media di “libero flusso” (velocità isotachica media, relativa a veicoli che

percorrono in modo isolato, ovvero, in assenza totale di condizionamenti reciproci, il tratto

di strada oggetto dello studio)

k è la densità veicolare istantanea

kj è il valore massimo/critico della densità di traffico per sezione/tratta in corrispondenza

della quale la velocità del deflusso si annulla (quando il deflusso è impossibile)

Il modello di Greenshields postula, quindi, una relazione lineare decrescente della velocità media

del deflusso con la densità.


b) Modello logaritmico di Greenberg

Il modello teorico e sperimentale logaritmico di Greenberg (1959), teorizza e verifica

sperimentalmente, per lo stato stazionario, un legame di tipo logaritmico tra velocità e densità,

secondo l’equazione:

(3)

per l’intervallo:

(4)

dove:

è la velocità massima praticabile al tendere a zero della densità, con la portata calante allo

zero

k è la densità veicolare istantanea

kj è il valore d’arresto della densità di traffico per sezione/tratta


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rappresenta la velocità assunta da un veicolo che percorra isolato il tratto (auto)stradale

La relazione velocità-densità rappresenta il condizionamento intraveicolare e, pertanto, per

distanziamenti superiori alla distanza di sicurezza alla velocità “libera”, al tendere a zero della

densità, la velocità tende all’infinito, se non si considera l’intervallo.

Invertendo la funzione in relazione alla variabile e per a sperimentale, otteniamo:

(5)

Per evitare di avere velocità infinite, per k che tende allo 0, Underwood (Underwood R. T., 1961),

ha modificato la formula nel modo seguente:

k (6)

Applicando l’equazione (1) alla (5) nella sua classe di velocità generica, otteniamo,

dalle relazioni tra flusso e velocità e flusso e densità:

(7)

e:

(8)

Figura 2. Relazione velocità, densità. Andamento delle curve v-k nel modello di Greenberg (1959).

B. Flusso/Densità

a) Modello parabolico


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Il modello parabolico flusso-densità deriva dal modello lineare di Greenshield (velocità-densità),

mediante la sostituzione della velocità (vd. figura 1):

(9)

che, ponendo k = km e derivando rispetto a k otteniamo:

(10)

Ma, essendo otteniamo:

(11)

che si sostituisce, ottenendo:

(12)

(13)

Analogamente, partendo dal modello v-k lineare di Greenshield della (2) e sostituendo dal modello

e nella relazione f = k v, è possibile in modo analogo definire il legame funzionale tra le variabili

flusso e velocità:

(14)

(15)

con massimo in :

(16)

Per un valore nullo del flusso si verificano due situazioni: una situazione di velocità nulla o una

situazione di velocità libera per condizioni d’infrastruttura satura o vuota, come sotto descritta:

(17)

Flusso/Densità

b) Modello logaritmico

Il modello logaritmico flusso-densità deriva dal modello di Greenberg sostituendo la (3) nella (1):

(18)

che, ponendo k = km e derivando rispetto a k otteniamo:

(19)

Poiché

per

= 1

otteniamo la condizione di flusso massimo

(20)


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Con velocità di flusso massimo.

Per la relazione velocità-flusso, esplicitando il modello logaritmico v-k in funzione di v si ha:

(21)

(22)

L’equazione (23) denuncia un valore nullo di flusso quando la velocità assume il valore nullo o

tende a infinito.

Il valore di flusso massimo si ottiene per una v = vm che si rappresenta come:

(23)

Velocità/Flusso

a) Flussi ininterrotti

Dal modello di Greenshields, poiché per flussi veicolari ininterrotti abbiamo:

(24)

con:

(25)

Per cui, sostituendo:

(26)

C. Velocità/Flusso

b) Reti neurali

Per ultimo, in un approccio con reti neurali il modello di riconoscimento ha la struttura R7—R

1.

Per densità, meteo, visibilità, luminosità, percentuale di veicoli pesanti, messaggi a pannello, flusso,

si ha flusso stabile con D1> 0, instabile con D

1 < 0 e critico con D

1 = 0.

Sebbene le reti neurali si siano dimostrate buoni controllori di processo nel campo della robotica la

comunità scientifica ha riscontrato l’inefficienza per un settore come quello del traffico. Sono da

preferirsi sistemi di controllo a piani determinati che hanno costi inferiori e un’efficienza di non

molto inferiore a quella che si ottiene con sistemi di controllo in tempo reale (Torrieri, 1998).

Oltre ai citati modelli, esistono altri modelli di studio, che affrontano i legami funzionali della

relazione v-k, come ad esempio, l’esponenziale negativa (Underwood, 1961; Edie, 1960), il

discontinuo o biregime, la generalizzazione polinomiale del modello di Greenshields, fino a forme

fondate sulla teoria delle catastrofi nel piano tridimensionale f-v-k e ai modelli di deflusso di

Daganzo et alii (Daganzo C.F., Cassidy M.J., Bestini R.L., 1999) che utilizzano una relazione

funzionale di forma triangolare per il legame f-k.

4. Affidabilità dei modelli


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0

Le sezioni dove è più frequente l’innesco di criticità di traffico sono quelle in prossimità degli

accessi (Torrieri, 1998).

L’affidabilità, quale indicatore d’instabilità, è data dalla probabilità che, in un dato intervallo di

tempo predefinito, a partire dall’istante in cui l’affidabilità viene misurata, non si verifichino cadute

di velocità; consiste, in sostanza, nella predisposizione di opportuni piani di controllo predefiniti,

basati sull’analisi storica dei dati di deflusso, in grado di monitorare alcune sezioni chiave

dell’infrastruttura. E’ possibile, così, predisporre dei piani di controllo programmati per alcune

situazioni che si prevede possano verificarsi più frequentemente per la data infrastruttura. In questo

modo, il controllo può estendersi per tratti più lunghi, quali, ad esempio, i tronchi compresi tra due

accessi. Ferrari evidenzia che l’adozione di piani di controllo precalcolati fornisce dei buoni

risultati, in alcune situazioni poco discosti da quelli ottenuti con il controllo reale (Ferrari, 1998).

L’affidabilità del sistema può decrescere con il numero di utenti informati, in quanto i sistemi di

informazione sviluppati in tal senso sono obsoleti poiché si limitano a fornire dati sulla strada

migliore senza tenere conto di come le informazioni fornite influenzano la situazione futura.

L’informazione migliore che è possibile fornire all’utente è quella predittiva e nel contempo

affidabile (Ben Akiva et alii, 1991).

I benefici dati dal sistema di controllo potrebbero venire annullati da tre fenomeni principali

negativi: sovrasaturazione da informazione, iper-reazione degli utenti, concentrazione (Ben Akiva

et alii, 1991).

Al fine del controllo delle condizioni della circolazione in ambiente (auto)stradale, può essere utile

rilevare il grado di condizionamento del flusso veicolare. Un veicolo può essere definito “libero” se

ha piena libertà di movimento latitudinale, longitudinale, obliquo per corsia, nel senso che può

spostarsi alla velocità desiderata ed occupare la corsia preferita, come pure si può ritenere libero se

è isolato. Esso può venire, invece, condizionato4 dal:

a) rispetto al mantenimento della velocità desiderata

b) rispetto alla libertà di cambio corsa

Ogni utente stradale, generalmente, cerca di sfuggire al condizionamento derivante dalla presenza di

altri veicoli cambiando, ove possibile, corsia di marcia. Se sulla corsia adiacente non esistono gap

temporali sufficientemente ampi, l’utente sarà costretto a ridurre la propria velocità accodandosi al

precedente. Dai dati sperimentali risulta che l’esigenza di attuare il cambio di corsia aumenti al

crescere della densità per le correnti veicolari in transito sulle singole corsie. Le opportunità di

trovare distanziamenti interveicolari liberi diminuisce su tutte le corsie all’aumentare della densità

di flusso (Torrieri et alii, 1994).

Tra i fattori perturbativi che possono influenzare significativamente la qualità della circolazione

veicolare su un’arteria autostradale rientrano le rampe d’ingresso e d’uscita.

Torrieri (1998) sottolinea come le condizioni di conflitto e di perturbazione nel traffico autostradale

modifichino, facendolo scadere, il livello di servizio dell’infrastruttura. La natura e l’entità dei

conflitti5 dipendono da una molteplicità di variazioni quali l’intensità di traffico sulle rampe, la

4 Cfr.Torrieri et alii, 1995. 5 In realtà, esistono diversi fattori che riducono, in una sezione, la capacità limite a valori inferiori legati alle

infrastruttura stradali e al traffico che le percorrono.

Per ogni fattore perturbativo, lo “Highway Capacity Manual-Manuale della Capacità delle Strade” dell’American

Association of State Highway Officials (AASHO) prevede dei coefficienti di riduzione della capacità limite, variabili in

funzione dei vari fattori e della loro ponderazione.

I principali fattori di riduzione sono stati rilevati come:


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1

portata veicolare a monte e a valle delle rampe, la morfologia degli svincoli e dell’autostrada

(numero di corsie, larghezza, presenza di banchine, curvatura, pendenze, distanza fra le due rampe

successive). La progettazione delle rampe è, così, indirizzata a facilitare le manovre d’immissione e

di diversione, ammorbidendo il contatto fra le componenti antagoniste del traffico. Secondo

l’Highway Capacity Manual-HCM (Highway Research Board; Ferrari, Giannini, 1980) il flusso

sulla rampa d’ingresso in autostrada induce effetti sulla distribuzione tra le corsie del flusso di

traffico principale su un tratto di circa 150 metri a monte e 750 a valle (aree critiche), mentre una di

uscita avrebbe un raggio di influenza di 750 a monte e 150 a valle.

5. L’analisi modellata del traffico

Sin dalle origini dello studio fenomenico, a metà degli anni ’50, molti studiosi cercarono di

stabilire, attraverso la costruzione di modelli matematici, quale fossero i migliori e meno costosi

pacchetti di analisi da elaborare attraverso i computer dell’epoca, per la migliore definizione del

traffico e della congestione (auto)stradale.

Furono due gli approcci principali individuati: il primo approccio, detto microscopico, modella

assieme, per ciascun veicolo, le interazioni con altri veicoli e le caratteristiche biopsicografiche del

conducente.

Il secondo approccio, detto macroscopico, utilizza le leggi fisiche della fluidodinamica,

ipotizzando la strada come fosse un tubo adiabatico nel quale ogni veicolo rappresenta una

componente di un flusso liquido incomprimibile, a viscosità controllata.

Il primo approccio determina una certa complessità computazionale, per cui è preferibile, in termini

di costo, per universi di popolazione veicolare abbastanza contenuti; diversamente, l’approccio di

tipo macroscopico è indicato per universi veicolari estesi, che necessitano di semplificazione.

Entrambi conducono, sperimentalmente, nella medesima direzione, anche se la percentuale di

rumore nelle misurazioni (per rallentamenti da cantieri, congestione da traffico, fermate da

incidente) colpisce maggiormente il modello macroscopico, creando, talvolta, severi errori nelle

classi di misurazione veicolare, impedendone, quindi, l’assegnazione corretta. A tal fine sono

necessari dei campionamenti particolarmente raffinati e si ricorre alla stazionarietà come

condizione di analisi.

A. Approccio Microscopico

L’analisi con approccio microscopico, abbiamo detto, segue le leggi della meccanica che vengono

applicate a ogni singolo elemento che partecipa all’intero fenomeno. Il modello microscopico

Per la capacità dell’infrastruttura

larghezza della corsia

presenza di ostacoli laterali a distanza inferiore a 1,83 m

presenza di banchine e relativa larghezza

pendenza longitudinale

stato della pavimentazione

visibilità

Per il traffico

percentuale di veicoli commerciali

percentuale di autobus

presenza di auto in sosta

presenza di flussi pedonali


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2

descrive la dinamica di ogni singolo veicolo analizzando le intenzioni e il processo decisionale di

ciascun conducente e le interazioni fra più veicoli in un flusso ininterrotto.

Di massima, i modelli microscopici si possono dividere in due sottoclassi distinte. La prima

sottoclasse, conosciuta come follow the leader models, di moto longitudinale, descrive la

condizione di ciascun veicolo inseguitore che deve mantenere la distanza di sicurezza dal veicolo

che sta davanti in funzione della velocità relativa tra i due. Il secondo approccio descrive ogni

veicolo con una propria velocità indipendente da quella degli altri veicoli: il veicolo precedente

influenza la velocità del veicolo seguente in funzione della distanza relativa di entrambi.

Attualmente, l’approccio più utilizzato dai ricercatori risulta essere proprio il follow the leader

models, in quanto esso sembra fornire una risposta maggiomente realistica rispetto all’elaborazione

sperimentale.

I modelli per la simulazione del traffico attraverso l’approccio microscopico consentono, quindi, la

determinazione della posizione, della velocità e dell’accelerazione dei veicoli singoli o di un

gruppo di essi.

Nel suo aspetto metodologico, la simulazione di tali sistemi comprende la sommatoria dei

comportamenti di ogni singolo veicolo, in relazione ai veicoli con i quali condivide il tratto

(auto)stradale, secondo il principio della funzione stimolo-reazione allo stimolo. L’adattività ai

condizionamenti individuali indotti dall’ambiente esterno, condizionamenti, secondo i quali ogni

conducente di veicolo, che si trovi dentro una corrente/plotone veicolare, produrrà delle

accelerazioni o decelerazioni, a un tempo t + T, correlate secondo la propria sensibilità biopsichica

reattiva agli stimoli ricevuti dall’ambiente circostante al tempo t, ponendo T come tempo

psicotecnico di reazione, è data dalla relazione:

Secondo l’equazione oraria del moto, per ogni veicolo in movimento sulla strada, la posizione

spaziale al tempo t + Δt (che si succede al tempo t), dipende sia dalla posizione spaziale, che dalla

velocità già sostenuta dallo stesso veicolo al tempo t.

Invece, la velocità al tempo t + Δt è funzione delle sollecitazioni al tempo t che vengono meglio

rappresentate mediante i modelli microscopici denominati Car Following e Lane Change.

1. Car Following

Figura 3. Follow the leader rappresentazione

Per tale approccio metodologico, ogni veicolo mantiene una distanza di sicurezza dal veicolo che

sta davanti che è funzione della velocità relativa fra i due veicoli (secondo le norme sulle distanze di

sicurezza del codice stradale).


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3

Secondo Newell (2002), il moto dei veicoli su un tronco può essere modellizzato semplicemente

traslando la traiettoria del veicolo leader e i modelli appartenenti a questa categoria agiscono

direttamente sulla posizione dei veicoli piuttosto che sulla loro velocità o accelerazione (che

introdurrebbero dei lag nell’output). Vengono chiamati modelli di ordine inferiore (lower-order).

Figura 4. Follow the leader schema

Notazione per l’equazione oraria del

moto

veicolo leader

veicolo follower

posizione del leader al tempo t

velocità del leader veicolo al

tempo t

posizione del follower al tempo

t

velocità del follower al tempo t

intervallo di tempo di reazione

intervallo di tempo per

l’accelerazione del follower

gap distance

Figura 5. Follow the leader dinamica

Notazione

veicolo leader

veicolo follower

posizione dell’enne-simo veicolo al tempo t

velocità dell’enne-simo veicolo al tempo t

posizione del follower al tempo t


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4

velocità del follower al tempo t

intervallo di tempo per rimpiazzo

accelerazione dell’enne-simo veicolo al tempo t

Figura 6. Follow the leader velocità contro tempo Figura 7. Follow the leader

accelerazione contro tempo

I modelli o famiglie di modelli, dei circa 200 microscopici noti in letteratura, maggiormente

utilizzati sono, a solo titolo esemplificativo:

Pipe: dove l’algoritmo descrivente correla la distanza di sicurezza, intesa come spazio di

frenatura, con la velocità dei veicoli successivi “A good rule for following another vehicle at a

safe distance is to allow yourself at least the length of a car between your vehicle and the

vehicle ahead for every ten miles per hour of speed at which you are traveling”. Lo svantaggio

di questo modello nella forma teorica risulta, alle basse velocità, essere inferiore alle misure

sperimentali

Forbes: dove l’algoritmo descrivente comprende anche la reazione del veicolo successivo alla

frenatura del veicolo leader. Significa che il tempo di fuga rispetto all’ostacolo frenante

dovrebbe essere uguale o maggiore rispetto al tempo di reazione. Quindi, il tempo minimo di

frenatura al fine di evitare l’ostacolo, risulta uguale al tempo di reazione minimun time gap e il

tempo richiesto al leader di attraversare a distanza equivalente sia pari alla sua lunghezza. Lo

svantaggio è similare al Pipe model, con discrasie tra il modello teorico e le misurazioni sul

campo, a bassa e alta velocità

GMM (General Motors’ Model): la più popolare tra le teorie, in quanto presenta:

o ottime correlazioni tra modello teorico e dati rilevati sul campo

o la relazione matematica derivata dal GMM corrisponde al modello di Greensberg

Nel Car Following model-GMM il moto del singolo veicolo è governato da un’equazione

analoga alla Legge di Newton sulla gravità. Nella meccanica newtoniana l’accelerazione è la

risultante delle forze d’interazione tra le masse delle componenti interagenti. In equazione:

(27)

con:

enne-simo veicolo (per n = 1, 2, 3, ..)

coefficiente di sensitività


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ina1

5

Ciascun conducente può rispondere alle circostanti condizioni di traffico solamente accelerando o

decelerando il proprio veicolo. Lo stimolo può essere composto da velocità del veicolo, velocità

relative, distanza tenuta dai veicoli, ecc., pertanto la funzione viene rappresentata come:

(28)

con:

funzione stimolo dipendente dalla velocità del veicolo corrente, relativo a posizione

e velocità con il veicolo frontale

Il GMM pone due assiomi a fondamento teorico:

più alta è la velocità del veicolo, più alto dovrà essere lo spazio di frenatura

il veicolo follower dev’essere omotachico con il leader

Al proposito, dati:

è la gap distance per veicoli

distanza di sicurezza

velocità del leader

velocità del follower

la gap distance richiesta sarà:

(29)

con:


La (29) si può scrivere anche come:

(30)

E differenziando rispetto al tempo:

(31)

(32)

Il modello GM contempla una sensitività generale del tipo:

(33)

con:

esponente della distanza di attestazione {+4;+1}

esponente della velocità {-2;+2}


accelerazione del follower

Introducendo:


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6

tempo di reazione

tempo di adattamento

L’equazione generale del GMM risulta, in accordo con le leggi sul moto di Newton:

(34)

(35)

(36)

Optimal velocity model OVM: proposto da Bando et alii (1995), dove la ricerca dell’ottimo di

velocità, corrisponde al posizionamento omotachico tra i due veicoli, continuamente ricercato

attraverso lo spazio di frenatura, sperato come sufficiente per evitare l’ostacolo di un’ipotetico

scontro fronto-laterale di corsia. Ogni conducente risponde ad uno stimolo proveniente dal

veicolo che lo precede e deve, quindi, controllare l’accelerazione in modo da mantenere una

velocità desiderata “sicura”, concordemente con il moto veicolare del leader.

La formulazione dell’algoritmo, la cui espressione matematica è un’equazione differenziale del

primo ordine, parte dall’assunto che la velocità desiderata dipende dalla distanza attestata

dall’enne-simo veicolo , cioè:

(37)

con:

velocità desiderata dell’enne-simo veicolo

funzione di velocità ottimale

funzione di distanza istantanea

Dalla (37) si ricava l’accelerazione (reattività) del veicolo al tempo t data da:

(38)

con:


Quando il distanziamento temporale tra i veicoli si riduce, la velocità deve diminuire in ragione da

evitare possibili collisioni con il veicolo leader. Pertanto, la funzione

deve presentarsi come

monotona crescente e deve porsi limitata superiormente. Viene raggiunta la velocità

massima desiderata al tendere a infinito del distanziamento spaziale.

In breve, la strategia dell’enne-simo veicolo sarà quella di provare a mantenere una velocità di

sicurezza che dipende dalla propria posizione relativa, piuttosto che dalla propria velocità effettiva.

La funzione più corrispondente alla velocità “legale” degli autoveicoli che consente di simulare un

comportamento del conducente che accelera o frena in maniera graduale, riproducendo

spontaneamente i fenomeni di congestione, è data da:


Pag

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7

(39)

Intelligent Drive Model: proposto da Treiber et alii (2000, 2006, 2010). Esso è un

perfezionamento del modello di Bando, notando che il reciproco del coefficiente di sensitività è

dello stesso ordine degli usuali tempi di reazione dei conducenti, in quanto ciò è dovuto al fatto

che le velocità intra-veicolari, quando vengono trascurate dal modello, producono tassi di

accelerazione e decelerazione uguali in modulo e simmetriche nel verso al pari della velocità del

veicolo rispetto a quella di equilibrio, anch’essa uguale e opposta.

Nell’IDM, l’accelerazione del veicolo al tempo t è una funzione continua di velocità e

distanziamento veicolare-differenza intraveicolare rispetto al leader. È data da:

(40)

dove:

accelerazione massima

velocità desiderata del veicolo generico al tempo t

“characterizes how the acceleration decreases with velocity ( =1 corresponds to a linear

decreases while denotes a costant acceleration”6

distanziamento desiderato dal conducente, funzione e della velocità del follower e

della differenza del distanziamento cinetico intraveicolare

free road acceleration strategy = reattività del generico veicolo in guida

libera

deceleration strategy = reattività del generico veicolo con veicolo

leader lento

con:

(41)

e:

minimun dìstance (for low velocities only)

velocity-dependent distance at t-time, corresponds to following leading vehicle with a

constant desired time-gap T

dynamic contribution (active only in non-stationary traffic corresponding to

situations in which

This last contribution implements an ‘intelligent’ driving behaviour that, in normal situations, limits

braking decelerations to the comfortable deceleration b. In critical situations, however, the IDM

deceleration becomes significantly higher, making the IDM collision free (Treiber et al. 2000). The

IDM parameters

, T, , a and b have a reasonable interpretation, are known to be relevant,

are empirically measurable and have realistic values (Kesting, Treiber, 2006; 2010)7.

6 cfr. Kesting A., Treiber M., Helbing D. (2006; 2010), Enhanced intelligent driver model to access the impact of

driving strategies on traffic capacity, Physica A 360, 71–88. 7 Ibidem.


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8

Chandler: di tipo monoregime, cioè di semplice formulazione lineare, descrive la risposta di un

veicolo come direttamente proporzionale alla velocità relativa tra il veicolo follower e il veicolo

leader (stimolo) semplificato nell’equazione:

(42)

dove:


accelerazione del veicolo generico

tempo di reazione

velocità dell’enne-simo veicolo

Il modello di Chandler trova limite nella mancata correlazione tra lo stimolo e il distanziamento

veicolare. Infatti, a distanziamenti contenuti il modello diventa non corrispondente alla realtà.

In caso di un veicolo leader che marci a velocità maggiore che il veicolo follower, il Chandler

model produce un’accelerazione di segno positivo.

Helly (1959) introdusse una variazione al modello di Chandler, inserendo un secondo stimolo, che

fosse funzione della differenza tra il distanziamento veicolare e quello desiderato dal follower, che

nel tempo è divenuto quello enunciato nella (39).

2. Lane Change

Figura 8. Lane Change

L’operazione più naturale in caso di cambio di velocità nelle corsie autostradali è di certo il cambio

di corsia (o la frenatura). Usualmente, ricorre la necessità di effettuare un cambio di corsia per

raggiungere una méta desiderata o per superare un veicolo che procede a una velocità ritenuta troo

bassa o per temute condizioni di pericolo.

In tutti i casi, la scelta è effettuata tenendo in considerazione le condizioni dell’intorno

dell’elemento dinamico.

Si definisce, così, una nuova funzione di gap acceptance; il gap, definito come la distanza fra il

veicolo in arrivo e il veicolo che sta valutando, viene accettato a seconda della propensione al

rischio dell’ automobilista.

I Lane Change models, simulano il cambio di corsia stradale di veicoli da parte di altri veicoli

provenienti corsie laterali.

A fondamento teorico del lane changing in linea, il cambio di corsia può presentarsi come

vincolato oppure opzionale. Un cambio di corsia vincolato si determina quando il conducente del

veicolo è costretto a spostarsi per uscire da un’autostrada oppure, se su strada, per girare ad un


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9

incrocio, mentre si osserva un cambio di corsia opzionale, quando il conducente ritiene che l’altra

corsia soddisfi maggiormente le sue attuali necessità di spazio o di velocità.

I modelli di lane changing si basano, così, sull’osservazione e la valutazione di queste due

grandezze.

La figura (8) rappresenta una situazione di cambio di corsia determinato da un processo di scelta di

sorpasso operabile da parte del conducente del veicolo 1 oppure che questo debba, per motivi di

sicurezza, rimanere nella sua corsia.

Il punto di debolezza, per questi sistemi dinamici, rimane quello di riuscire a riprodurre un

comportamento realistico per un universo sufficiente di conducenti, in quanto ben si sa che le

persone conducono i loro veicoli in modo completamente diverso, le une dalle altre.

Partendo dal Car Following e integrandolo con il Lane Change e una funzione di gap acceptance è

possibile ottenere modelli di traffico multicorsia e di qualsiasi tipo di intersezione stradale e

autostradale. Uno dei modelli di lane changing deterministico fra i più usati è quello sviluppato da

Gis (Gis P.G., 1981).

3. I modelli psico-fisici o cognitivi

Il precursore del modelli psico-fisici o cognitivi si deve a Michaels (1963), il quale teorizzò la

capacità di di percepire l’avvicinamento ad un veicolo da parte dei conducenti, proporzionato alla

variazione delle sue dimensioni apparenti, percependo la velocità relativa attraverso delle

variazioni dell’angolo di percezione/visione Θ (la cd. “coda dell’occhio”) sotteso al veicolo che li

precede.

Inizialmente, la velocità relativa diminuisce fino a un primo valore di soglia e i conducenti

iniziano, dopo un tempo di ritardo lag, a decelerare. Tale decelerazione continua senza soluzioni di

continuità, finché la velocità relativa diviene nulla e il veicolo follower raggiunge un

distanziamento desiderabile.

4. Modelli misti

Alcuni modelli microscopici come il modello di Leeds (Wang et alii, 2005), possono essere

considerati appartenenti ad entrambi gli approcci decritti in precedenza. Essi combinano, infatti, sia

le proprietà dell’approccio ingegneristico che di quello psico-fisiologico.

B. Approccio Macroscopico

L’analisi viene focalizzata sul comportamento dell’insieme degli elementi che partecipano al

fenomeno.

I modelli di tipo macroscopico possono venire classificati in funzione alla loro rappresentazione

dello spaziale, assumendo il tempo in forma continua e non discreta (Cascetta, 2006).

Mentre i modelli a spazio continuo richiedono variabili definite in qualsiasi punto dello spazio, i

modelli a spazio discreto sono più prossimi ai modelli statici: le variabili di base che influenzano la

prestazione del ramo (densità e velocità) sono definite a livello dell’intero ramo e la loro soluzione

richiede una discretizzazione spazio/temporale.

I modelli macroscopici, per descrivere una situazione di traffico, usano variabili aggregate, cioè

variabili che contengano informazioni medie di grandezza per congrui di veicoli. Vennero

sviluppati in analogia con le leggi della dinamica dei gas e dei fluidi.


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ina2

0

Entrando nel merito, nei modelli macroscopici si considerano correnti/plotoni di veicoli come

sezioni di flusso di un fluido incomprimibile. In queste condizioni, l’informazione sul singolo

veicolo viene perduta e si descrive l’intero sistema. Questo processo abbisogna della necessità di

definire le opportune variabili di sistema che esprimano un comportamento standard tenuto dai

veicoli stradali.

Nel modello Lighthill-Whitham-Richards (LWR) l’approccio macroscopico, è costituito sulla

conservazione dei veicoli in sezione ed è descritto dall’equazione seguente, dove con si indica

la densità numerica di veicoli (numero di veicoli/unità di lunghezza di sezione):

(43)

dove:

f valore del flusso veicolare funzione della densità

per (44)

In generale, la relazione f = prende il nome di diagramma fondamentale del modello di

traffico. La formulazione più ristretta del modello LWR è che la velocità media v dei veicoli sia

solamente funzione della densità , il ché pone la velocità v come funzione decrescente della

densità.

5. Modelli multicorsia e multipopolazione

Nei modelli multicorsia vengono considerate le variabili macroscopiche come la densità delle auto

e la velocità media su ogni singola corsia, nel caso di strade con N corsie.

In una (auto)strada a corsie plurime, si osservano usualmente comportamenti di traffico differenti in

relazione alla densità di traffico: con traffico basso, i veicoli possono cambiare corsie ed effettuare

sorpassi a velocità media elevata. In una situazione di traffico elevato la velocità media risulta,

invece, più bassa.

I modelli multipopolazione, che prevedono il comportamento di un gruppo eterogeneo di

conducenti (Benzoni-Gavage, Colombo, 2003), vengono spesso descritti come un’appendice

naturale del modello Lighthill-Whitham-Richards:

(45)

con:

è la velocità media relativa all’i-esima classe di conducenti che percorre il tratto di

(auto)strada e dipendente da tutte le velocità medie omotachiche dei veicoli per le corsie

ossia, con:

(46)

come generalizzazione della (2) di Greenshield


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1

è la densità relativa all’i-esima classe di popolazione di conducenti che percorre il tratto

di (auto)strada8

6. Approccio spazio-temporale delle distanze di sicurezza autostradali

Spazio e Tempo di frenatura e di arresto – approccio fluidodinamico

Nella presentazione dei vari modelli di studio del traffico, al fine di evidenziare e definire

compiutamente i fattori negativi come l’incidentalità e la congestione, il conducente rimane ancora

l’arbitro nel giudicare quale sia il proprio comportamento più profittevole in termini di sicurezza e

di attuarlo in riferimento a quello degli altri conducenti. Il comportamento dei conducenti è

essenzialmente legato ai condizionamenti cui si è sopra accennato.

Secondo il criterio della marcia a vista, ogni conducente adatta la propria velocità in modo da poter

far fronte alla situazione di pericolo data principalmente dallo scontro fronto-laterale, di origine

longitudinale e/o trasversale, laddove l’ostacolo originato da un veicolo che si muove

parallelamente alla traiettoria medesima, è presente sulla traiettoria e l’ostacolo che interferisce con

la traiettoria proviene da una direzione ad essa trasversale.

Il codice della strada, in Italia, interviene imponendo delle restrizioni che servono a ridurre il

numero o la pericolosità delle situazioni di conflitto.

Resta sempre affidata al conducente sia la verifica delle effettive condizioni di sicurezza trasversale

che della sicurezza longitudinale rispetto alla propria traiettoria.

In definitiva, il conducente è vincolato dalla necessità di coesistenza in sicurezza delle tre

componenti del sistema di trasporto: strada, veicoli ed ambiente, in cui la sicurezza della marcia, è

legata perciò all’arbitrio dei singoli sovrapposto ad una base comportamentale comune.

Di seguito, verrà riportata una tavola in cui viene calcolata la distanza di sicurezza, partendo dai

parametri che determinano lo spazio di arresto, il tempo di reazione dell’individuo alla guida del

veicolo e il tempo di arresto (Siuhi, Kaseko, 2010) in condizioni di legalità prevista dal Codice

della Strada9 italiano.

Per affrontare il problema della valutazione economica della redditività in sezione/tratta

autostradale, si rende necessaria la scelta della modellazione maggiormente rispondente ai criteri di

efficienza descrittiva e di economicità procedurale.

Dall’osservazione diretta e videoripresa del fenomeno del traffico autostradale sulle autostrade A4

da Brescia Est a Padova Ovest e A31 da Vicenza a Piovene Rocchette, nel settembre 2003,

rinforzata dall’acquisizione dei dati da spire a terra, selezioniamo, per l’introduzione del modello

8 Garavello M., Piccoli B. (2006), Traffic flow on network, Applied Math Series, vol. 1, American Institute of

Mathematical Sciences, 12, 15, 16, 17, 20, 59. 9Art.149 del Codice della Strada. Distanza di sicurezza tra veicoli.

1. Durante la marcia i veicoli devono tenere, rispetto al veicolo che precede, una distanza di sicurezza tale che sia

garantito in ogni caso l'arresto tempestivo e siano evitate collisioni con i veicoli che precedono.

Titolo V Norme di comportamento-Regolamento art. 348. (Art. 149 Cod. Strada) Distanza di sicurezza tra i veicoli.

1. La distanza di sicurezza tra due veicoli deve sempre essere commisurata alla velocità, alla prontezza dei riflessi del

conducente, alle condizioni del traffico, a quelle planoaltimetriche della strada, alle condizioni atmosferiche, al tipo e

allo stato di efficienza del veicolo, all'entità del carico, nonché ad ogni altra circostanza influente.

2. La distanza di sicurezza deve essere almeno uguale allo spazio percorso durante il tempo che passa tra la prima

percezione di un pericolo e l'inizio della frenata.


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ina2

2

economico di redditività più efficiente, l’approccio dei già visti Modelli multicorsia e

multipopolazione, per i seguenti motivi:

1. il traffico autostradale nelle giornate centrali della settimana per stagionalità mitigata, per ore

centrali della giornata, appare a rappresentazione stazionaria per serie storiche

2. il traffico nelle corsie10

autostradali è assimilabile, nelle condizioni di imperturbabilità, in

assenza di viscosità11

, al flusso dinamico incomprimibile (come le distanze di sicurezza

veicolari) di un fluido contenuto in una condotta.

Si consideri, al proposito, un’ampia scala spaziale-temporale, come risultante dall’osservazione del

fenomeno di traffico o congestione effettuata da un punto lontano, in modo tale da assimilare i

veicoli stradali a microparticelle indistinte non molecolari e considerando la densità come una

distribuzione continua, il ché non contrasta con una distanza intraparticellare simile alla distanza di

sicurezza veicolare.

Inoltre, al pari della continuità distributiva nella fluidodinamica, è necessario assumere anche la

conservazione del numero di auto in una sezione/tratta autostradale senza uscite né entrate,

giungendo, così, a una legge di conservazione matematica assimilabile alla legge di conservazione

fluidodinamica: in questa condizione, quindi, si può affermare che il numero di auto si conserva e

se c’è una quantità che si conserva, allora si parla di legge di conservazione.

Quando il moto è stazionario, la velocità v in ogni punto dello spazio del flusso dinamico

incomprimibile è costante nel tempo, cioè ogni veicolo-particella che transita per un qualsiasi

punto della condotta lo fa sempre con la stessa velocità in modulo, direzione e verso.

Così, trattando il fenomeno dal punto di vista euleriano, anziché descrivere la cronologia di ogni

singola particella di fluido-traffico, si valutano la densità, la pressione-distanza di sicurezza e la

velocità veicolare-particellare puntiformi in ogni punto dello spazio occupato in ogni istante

successivo e si fa riferimento al cosiddetto volume di controllo, cioè la regione dello spazio che in

istanti diversi viene occupata da veicoli-particelle puntiformi diverse.

È possibile, alla fine, affermare che per il moto stazionario12 esiste una sola linea di flusso per ogni

punto del fluido veicolare e che l’insieme delle linee di flusso veicolare è fisso nel tempo13

. Le

linee di flusso veicolare, ovvero le traiettorie che seguono i veicoli-particelle puntiformi, possono

anche non essere rettilinee, ma rimarranno sempre costanti nel tempo14

.

10 Duderstadt J.S., Martin W.R. (1979), Transport theory, cap. 4: “The derivation of continuum description from

transport equations”,.New York, Wiley-Interscience Publications. 11

L'assenza di viscosità significa che non vi sono azioni tangenziali fra elementi fluidi a contatto. 12

Si dice in flusso stazionario, quando la velocità del fluido pur potendo variare da punto a punto, rimane costante nel

tempo in ciascun punto. 13

J. Lighthill, G. Whitham e P. Richards, mutuarono il loro metodo LWR, dalle equazioni di derivate parziali note

come equazioni di Eulero o di Navier-Stokes che descrivono il flusso d’acqua, esprimendo la conservazione della

massa, del momento e dell’energia assimilabili alla dinamica del flusso del traffico stradale . 14

La risoluzione di un problema fluidodinamico comporta generalmente la risoluzione di complesse equazioni per il

calcolo di diverse proprietà del fluido, in funzione dello spazio e del tempo. Per un flusso stazionario è verificata la

conservazione della massa e da essa ricaviamo l'equazione di continuità:

Sia dato un tubo di flusso di sezioni ed entro il quale le densità siano e le velocità siano , la massa

non può variare attraversando il tubo di flusso nella frazione di tempo dt, cioè:

(A.13)

Dunque:

(A.14)

che è l'equazione di continuità.

Effettuando il prodotto tensoriale di una equazione del trasporto di tipo lineare come quella di Boltzmann, in forma

euleriana:

http://it.wikipedia.org/wiki/Linea_di_flusso

http://it.wikipedia.org/wiki/Traiettoria

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione

http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_%28fisica%29

http://it.wikipedia.org/wiki/Tempo

http://it.wikipedia.org/wiki/Legge_di_conservazione_della_massa

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_continuit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Tubo_di_flusso

http://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_tensoriale

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_del_trasporto

http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_euleriana

http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_euleriana


Pag

ina2

3

Nella rappresentazione tavolare di figura 9 verifichiamo che, alla velocità massima di codice

autostradale (normalmente) prevista in Italia di 130 km/h, il contenuto di veicoli in sezione/tratta,

nel pieno rispetto delle distanze di sicurezza, che costituiscono la condizione minima teorica di

numerosità veicolare puntiforme, è di 31 veicoli puntiformi e questo per una sezione/tratta, a

riempimento veicolare diffuso, omotachico, lunga 3.000 metri lineari convenzionali.

(A.15)

per la velocità (microscopica) del sistema, ed integrandola nel momento coniugato in modo che vi rimanga solo la

dipendenza dalla coordinata coniugata:

(A.16)

si verifica che il vettore collisionale è nullo, se vale la conservazione della quantità di moto in ogni collisione binaria:

(A.17)

Quindi, in base alla definizione della densità nello spazio delle configurazioni come:

(A.18)

e dell'operatore media integrale nello spazio dei momenti "< >":

(A.19)

tenendo conto della potenza generalizzata definibile come:

(A.20)

si può riesprimere il vettore dinamico definendo il vettore campo medio:

(A.21)

si può riesprimere il tensore cinetico definendo il tensore degli sforzi interni:

(A.22)

Otterremo allora l'equazione di bilancio della quantità di moto in forma differenziale:

(A.23)

Si noti che l'equazione coinvolge la variabile velocità media nello spazio delle configurazioni, detta usualmente velocità

macroscopica, in cui l'equazione risulta iperbolica, applicando la regola di Leibnitz:

(A.24)

Si indicherà ora la derivata nella coordinata generalizzata sarà indicata, conformemente alla consuetudine

fluidodinamica, col simbolo nabla:

(A.25)

Quindi, in forma euleriana, applicando il teorema della divergenza, e il teorema di Reynolds all'integrale di quantità di

moto:

(A.26)

dove il volume e la sua frontiera sono considerabili costanti del tempo. Si definiscono, infine, le forze di volume e di

contatto:

(A.27)

se si riassumono i termini di forza:

(A.28)

La legge di bilancio della quantità di moto per un corpo continuo in un sistema di riferimento euleriano può essere

quindi enunciata come segue: “la variazione, nel tempo, della quantità di moto in un volume di controllo, sommata al

flusso netto di quantità di moto attraverso la superficie che lo delimita, uguaglia la risultante delle forze esterne agenti al

suo interno” (da: http://it.wikipedia.org/wiki/Fluidodinamica, 2013).

http://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Momento_coniugato

http://it.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_delle_configurazioni

http://it.wikipedia.org/wiki/Potenza_%28fisica%29

http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Campo_medio&action=edit&redlink=1

http://it.wikipedia.org/wiki/Tensore_degli_sforzi

http://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_macroscopica

http://it.wikipedia.org/wiki/Velocit%C3%A0_macroscopica

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_iperbolica

http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Leibnitz

http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Leibnitz

http://it.wikipedia.org/wiki/Fluidodinamica

http://it.wikipedia.org/wiki/Nabla

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza

http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Reynolds

http://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto

http://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto


Pag

ina2

4

Si comprende, allora, che la redditività massima esprimibile della sezione/tratta, per i soci

dell’autostrada in concessione, data dal ROE (return on equity) che è il risultato del rapporto tra

l'utile netto dell'esercizio e il capitale proprio, dipende completamente dai veicoli di quella

sezione/tratta temporalmente definita.

Ogni misura, allora, atta a intervenire in modo naturale in termini perturbativi sulle sezioni/tratte, a

causa dell’inserimento di cantieri fissi o mobili come pure per incidenti o eventi meteorologici,

ovvero in modo artificiale, includendo vincoli giuridici o tecnici di abbattimento del livello

effettivo della velocità media veicolare per corsia/carreggiata, influisce sul parametro di

produttività tecnico-economica data dai veicoli in sezione/tratta, modificando la redditività

d’impresa, alterando, a fine esercizio, il conto economico, lato ricavi, della società autostradale

concessionaria.

Il problema è tutt’altro che risibile.

La gestione economica per esercizi caratteristici, come pure la progettazione in project financing

per i periodi di vita utile dell’opera, rimangono sempre dipendenti dai ricavi di esercizio. È

strategico, quindi, provvedere alla progettazione di un modello di produttività tecnico-economica,

che tenga sotto controllo i parametri fondamentali della gestione d’impresa delle sezioni/tratte

autostradali in forma virtuosa.

Figura 9. Tavola delle velocità legali, degli spazi e tempi d’arresto, in condizioni di tempo normali

e per veicoli a norma di legge

Velocità in

Km/h

Tempo di

reazione

medio=

"spazio" di

reazione in

metri

Tempo

standard

d'arresto =

7/10mi

secondo

Spazio

d'arresto in

metri =

V^2/2g (g=

9m/s^2)

Spazio

d'arresto

TOTALE

in metri

Veicoli in

sezione

Lunghezza

sezione/tratta

autostradale in

metri

10 1,9 2/3 0,4 2,4 1.264 3.000

20 3,9 2/3 1,7 5,6 535

30 5,8 2/3 3,9 9,7 310

40 7,8 2/3 6,9 14,6 205

50 9,7 2/3 10,7 20,4 147

60 11,7 2/3 15,4 27,1 111

70 13,6 2/3 21,0 34,6 87

80 15,6 2/3 27,4 43,0 70

90 17,5 2/3 34,7 52,2 57

100 19,4 2/3 42,9 62,3 48

110 21,4 2/3 51,9 73,3 41


Pag

ina2

5

120 23,3 2/3 61,7 85,1 35

130 25,3 2/3 72,4 97,7 31

140 27,2 2/3 84,0 111,2 27

150 29,2 2/3 96,5 125,6 24

160 31,1 2/3 109,7 140,9 21

170 33,1 2/3 123,9 156,9 19

180 35,0 2/3 138,9 173,9 17

190 36,9 2/3 154,7 191,7 16

200 38,9 2/3 171,5 210,4 14

È evidente che in condizioni di guida in sicurezza, i veicoli paganti, in plotoni/correnti a flusso

continuo nelle sezioni/tratte, per condizioni meteorologiche normali, a densità critica coincidente

con la massima velocità legale, il reddito derivante dalla produttività tecnica è quello che s’iscrive

nel conto economico dell’impresa in condizioni di ottimalità ed è il minimo compatibile con la

sopravvivenza dell’attività stessa. In pratica, se si considerano il reddito d’impresa e la gestione

delle sezioni/tratte autostradali dipendenti dalla velocità veicolare in condizioni giuridiche di

legalità, può essere che la stessa velocità costituisca un vincolo al reddito stesso.

D’altra parte, l’attrattività infrastrutturale, cioè la scelta che fa in anticipo il conducente per

l’impegno della via stradale, deriva dalla velocità massima esprimibile dal veicolo e

ipotizzabile/desiderabile dal conducente, rispetto alla stessa velocità massima esprimibile dal

veicolo sull’infrastruttura stradale alternativa (strada a scorrimento veloce, strada ordinaria, ecc.).

Parimenti al modello bimodale classico, l’espressione che definisce i conducenti dei veicoli, che

impegnino qualsiasi infrastruttura stradale/autostradale, è del tipo:

(47)

con:

K = 1,2, …. M [con M = taglio modale/classe di veicoli autostradali15

]

avendo indicato con:

la frazione di spostamenti tra l’ingresso in sezione i e l’uscita in sezione j effettuati in

modalità/classe h funzione dell’infrastruttura impegnata

una funzione composita delle caratteristiche connesse allo spostamento con lo stesso

modulo/classe di spostamento h tra l’ingresso in sezione i e l’uscita in sezione j

k si riferisce al modo di spostamento tra gli m modi alternativi

15

L'obiettivo della fase di taglio modale è quello di determinare il valore Mij km

ovvero la proporzione di spostamenti

effettuati dagli individui della k-esima classe, dalla zona d’ingresso in sezione i alla zona di uscita dalla sezione j, con il

modo di trasporto/classe di veicoli m, definito il valore Tijk. E per stimare le proporzioni Mij

km si ricorre a modelli di tipo

probabilistico e solitamente sono utilizzati, in letteratura, due tipi di modelli relativi, o ad analisi di tipo aggregato

(come i modelli di separazione), oppure relativi a strutture disaggregate.


Pag

ina2

6

è un parametro sperimentale che dipende dalle condizioni del traffico in sezione/tratta

(viscosità del sistema) e si riferisce al livello di servizio offerto dal gestore

dell’infrastruttura

il totale di spostamenti tra l’ingresso in sezione i e l’uscita in sezione j effettuati in

modalità/classe h

il totale di spostamenti tra l’ingresso in sezione i e l’uscita in sezione j effettuati in tutte

le modalità/classi veicolari

Il modello Logit bimodale classico sopra rappresentato, mostra delle interessanti proprietà, tra le

quali, in particolare:

determina la generazione di una curva ad S all’ampliarsi della forbice competitiva di una

modalità rispetto all’altra, come per le curve (empiriche) dette curve di diversione

genera, a parità di caratteristiche, la ripartizione degli spostamenti che avviene tra le due

infrastrutture, da optare, per veicoli di uguale classe, in parti uguali

qualora le caratteristiche competitive, da scegliere, del modo di spostamento

sull’infrastruttura 1 tendano a essere nettamente inferiori a quelle della modalità di

spostamento sull’infrastruttura 2 (alla 1 alternativa), tutti gli individui tendono a spostarsi

su quest’ultima, nel qual caso Pijh (In) tenderà a 1

Appare evidente che lo stato stazionario richiesto, per l’applicazione dei modelli macroscopici del

tipo LWR o multicorsia e multipopolazione, richiede grande stabilità di traffico e una visione del

fenomeno proiettata su tempi lunghi.

Nella figura 10 rappresentiamo graficamente la tavola di cui alla figura 9, con l’andamento teorico

delle velocità in sezione/tratta autostradale, in condizioni di massima legalità, evidenziando le

equazioni delle polinomiali descriventi tempi di reazione/spazi di reazione in metri e spazi d’arresto

e bontà del fitting R2.

Figura 10. Rappresentazione grafica delle polinomiali spazio/temporali con le equazioni di

previsione e bontà di fitting

y = + 1,9444x R² = 1

y = 0,4287x2 R² = 1

y = 0,4287x2 + 1,9444x R² = 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Spaz

io d

i fre

nat

ura

in m

etr

i

Velocità

Andamento delle velocità in sezione/tratta autostradale

Tempo di reazione medio= "spazio" di reazione in metri

Spazio d'arresto in metri = V^2/2g (g= 9m/s^2)

Spazio d'arresto TOTALE in metri

Poli. (Tempo di reazione medio= "spazio" di reazione in metri)


Pag

ina2

7

Il grafico viene costruito in forza dei dati presenti nella tavola e mostra la rappresentazione dei dati

in equazioni, ciascuna con la propria intercetta, delle tre principali variabili:

in rosso scuro, l’equazione del “tempo di reazione/spazio di reazione” espresso in metri,

calcolato come tempo di reazione medio, e fatto corrispondere a 710mi

di secondo (il range

attualmente definito dai vari studi accademici e di settore sulle caratteristiche antropo-

biopsichiche della popolazione italiana lo fa variare da 0,45 a 1,50 sec.), la cui equazione è,

con R2 = 1:

(48)

in viola, l’equazione dello “spazio di arresto” espresso in metri (dipendente dal grado di

frenatura dei veicoli per attrito volvente delle gomme e dal grado di frenatura del manto di

usura sulle gomme, per attrito radente - e dell’elasticità del sottostante binder), con

per

, R

2 = 1:

(49)

in blu, l’equazione dello “spazio d’arresto totale spazio” espresso in metri, risultato dalla

somma delle due equazioni precedenti, con R2 = 1:

(50)

Le equazioni del moto teorico dei veicoli (puntiformi) in sezione/tratta (auto)stradale trovano le

polinomiali intercette che, già di grado 2°, offrono la totale copertura in sovrapposizione al modello

(bontà del fitting, come da attese, R2 ≈ 1). Poiché il modello viene descritto nelle sua forma

matematica principale ed esaustiva per la nostra analisi già nel grafico, tralasciamo altre

precisazione e andiamo a correlare graficamente la velocità media teorica di flusso (continuo) e i

veicoli-particelle, in sezione/tratta. L’andamento decrescente della polinomiale intercetta si

sovrappone alla curva disegnata con R2 = 0,9956 ≈ 1 e di equazione e viene

rappresentato nella figura 11.

Figura 11. Rappresentazione grafica della polinomiale veicoli/velocità

1.264

535

310 205

147 111 87 70 57 48 41 35 31 27 24 21 19 17 16 14

y = 1585,1x-1,538 R² = 0,9956

-

200

400

600

800

1.000

1.200

1.400

1.600

1.800

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Ve

ico

li in

se

zio

ne

/tra

tta

Velocità in Km/h

Andamento del traffico in sezione/tratta autostradale

Veicoli in sezione

Potenza (Veicoli in sezione)


Pag

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8

Figura 12. Rappresentazione grafica delle polinomiali veicoli/spazi/velocità

In figura 12 si rappresentano le equazioni messe a sistema tra loro ,

nel primo quadrante, ricercando, successivamente, nelle rappresentazioni

grafiche sottoposte, eventuali punti d’intersezioni tra le curve della numerosità teorica dei veicoli

puntiformi in sezione/tratta, degli spazi d’arresto totali in sezione/tratta nei quattro quadranti

cartesiani.

Ricercando i punti d’intersezioni delle curve della numerosità teorica dei veicoli puntiformi in

sezione/tratta e degli spazi totali d’arresto in sezione/tratta, rileviamo (utilizzando il software

MATHWAY):

1. Input interpretation:

(51)

Result:

(52)

Plots:


Pag

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9

Parametric plot:

Vector length:


Pag

ina3

0

(53)

Solutions:

per , indeterminata

Poiché il sistema ha radici il cui calcolo si deve necessariamente avvalere di appossimazioni,

l’applicazione del teorema di esistenza della radice come del primo e del secondo teorema di unicità

della radice appare complicato e il metodo di bisezione è di difficile applicazione.

Si rende necessaria, allora, l’analisi grafica.

Analisi grafica

La curva rossa dei veicoli/puntiformi (in realtà stiamo computando con delle “sezioni/blocchi di

sicurezza” i cui punti di frontiera dell’insieme delle distanze di sicurezza sono rappresentate dai

veicoli puntiformi) in plotoni/correnti accodati, rappresenta la massima produttività

tecnica/redditività che viene raggiunta dalla sezione autostradale.

La curva azzurra delle distanze di sicurezza, nella sua rappresentazione, costituisce il principale

vincolo legale (laddove esiste un range di velocità legale, come in Italia), l’ostacolo alla massima

produttività tecnica.

Le condizioni di massima produttività tecnica si rappresentano, nel piano cartesiano, dalle due

curve:

in condizione statica del traffico, a velocità pari a zero, in categoria 1

in condizione dinamica del traffico e alla massima velocità legale consentita ai veicoli, in

categoria 13

in condizione dinamica del traffico, alla massima velocità fisica consentita ai veicoli, in

condizioni d’illegalità - nel nostro grafico

Le antinomie

Dall’analisi grafica, si evidenziano delle antinomie trattabili secondo la teoria dell’ottimizzazione

con vincoli, la cui forma generica è:

(funzione obiettivo) (54)

(55)

(vincoli)

(56)

che rappresenta un problema con n variabili ed m vincoli. I vincoli e l'obiettivo sono funzioni reali a

variabili vettoriali e possono anche rappresentare dei vincoli sul valore delle variabili (ad esempio

di non negatività o di integralità). I vincoli e l'obiettivo possono essere quelli lineari di PL e il

modello generico diventa, quindi:

(funzione obiettivo) (57)

(58)

(vincoli)


Pag

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1

(59)

Antinomia 1: sarebbe costituita dall’accettazione, da parte del conducente, di una condizione statica

a velocità pari a zero in sezione/tratta, a distanza di sicurezza pari a zero, per un totale di veicoli

medi puntiformi di 1.700 unità statiche. Dividendo per la lunghezza media per classe veicolare

autostradale (A, B) si ottiene la reale presenza veicolare densitometrica in condizione statica.

L’espressione cartesiana è rappresentata dall’asse stesso delle ordinate (retta rossa 1).

Antinomia 2: (del “trenino”): sarebbe costituita dall’accettazione, da parte del conducente, di una

condizione dinamica a velocità massima meccanica consentita dai veicoli in condizione omotachica

e a distanza di sicurezza pari a zero, per un totale di veicoli medi puntiformi di 1.700 unità

dinamiche. Dividendo per la lunghezza media per classe veicolare (A, B) si ottiene la reale presenza

densitometrica veicolare in condizione dinamica. L’espressione cartesiana è rappresentata dall’asse

stesso delle ascisse (retta azzurra 2).

Antinomia 3: (paradosso di San Pietroburgo) sarebbe costituita dall’accettazione, da parte del

conducente un veicolo isolato, in condizione dinamica, a velocità massima meccanica consentita, di

pagare un prezzo di pedaggio pari all’equivalente reddituale del plotone/corrente veicolare in

sezione/tratta. L’espressione cartesiana è rappresentata dall’asse stesso delle ascisse reciproche

(retta gialla 3).

Antinomia 4: (primo paradosso contro il movimento - di Zenone) sarebbe costituita

dall’accettazione, da parte dei conducenti, di condizioni dinamiche a velocità massima meccanica

consentita dai veicoli in condizione omotachica e a distanza di sicurezza variabili fino a zero. È la

condizione di incidentalità a causa di un’ostacolo in sezione. L’espressione cartesiana è

rappresentata dall’asse stesso delle ordinate reciproche (retta verde 4).

L’indifferenza, secondo la teoria dell’utilità-valore, si avrebbe in laddove si eguagliano le due

equazioni per cioè non in questo piano cartesiano e in

genere nello spazio tridimensionale, in quanto, in questo spazio, la numerosità dei veicoli

puntiformi dipende dalle distanze di sicurezza che dipendono, a loro volta, dalle velocità raggiunte.

Le curve ottenute sono rigide, e l’occhio grafico generato rimane, in condizioni teoriche e di

massima legalità, costante.

Il processo decisionale del conducente

Nel costruire la lista delle decisioni possibili assumibili da parte del conducente, risulta difficile

considerare “tutto quanto possa accadere” ma, per quanto possibile, si tiene presente tutto quanto

possa condizionare la scelta della decisione da parte del conducente e che si possa ragionevolmente

verificare.

La soluzione del problema, si ottiene utilizzando la teoria delle decisioni, cioè facendo decidere il

conducente-decisore, su quale debba intraprendere, tra le varie strategie alternative di guida

immediate-future ammissibili “per fas” e non ammissibili “nefas”, nella ricerca del pay-off

conforme ai propri interessi, “pro aris et focis”, strategie e azioni il cui esito dipende anche da

fattori esterni che non possono essere previsti, come gli scenari, combinazione di insiemi di eventi

definiti nella teoria delle decisioni come “stati di natura”.

L’espressione generale dei fattori esterni non prevedibili viene rappresentata [NdA: non qui] in

primis dalla matrice di pay-off degli “stati di natura”. La struttura decisionale si completa, poi, con


Pag

ina3

2

la matrice delle conseguenze, nella quale la coppia strategia-scenario trovano composizione nella

matrice di pay-off sottoposta e sulla quale condurremo l’analisi.

STATI DELLA NATURA=EVENTI POSSIBILI FUORI DAL CONTROLLO DEL DECISORE

Strategie/Azioni SN1 SN2 ----- SNn

D1 a11 a12 ----- a1n

D2 a21 a22 ----- a2n

----- ----- ----- ----- -----

Dn am1 am2 ----- amn

Con:

aij : payoff dalla decisione Di quando si determina lo stato di natura SNj

Di : decisione i-esima da prendere

Di decisione, ha dominio su una decisione Dk quando:

(60)

Quindi:

per tutti gli stati di natura SNj le conseguenze associate a Di non sono peggiori di quelle

associate Dn

esiste almeno uno stato di natura nel quale la conseguenza associata a Di è migliore di

un’altra

A questo punto, la decisione dominata viene scartata16

e la decisione Di, dominante, è ammissibile.

Si definisce, quindi, come strategia assolutamente dominante una strategia che, indipendentemente

dalla strategia del rivale, garantisce il pay-off massimo assoluto.

Quando i conducenti (drivers-players) adottano una strategia dominante, spesso si viene a definire

un equilibrio di Nash, cioè quando a nessun driver-player conviene cambiare unilateralmente

strategia e non coincide necessariamente con uno stato d’ottimalità per entrambi. In casi collusivi,

ad esempio inserendosi in coda nella corsia autostradale di circolazione ”normale”, i colludendi

potrebbero migliorare il proprio pay-off rispetto all’equilibrio di Nash (situazione bumper-to-

bumper).

16

Secondo la teoria delle decisioni in condizioni d’incertezza, le regole decisionali comprendono 4 criteri/strategie

decisionali esclusivi assumibili in genere, in rapporto alle probabilità degli scenari:

Criteri su matrice di conseguenze

o Criterio maximin

o Criterio maximax

o Criterio minimax

o Criterio di Hurwicz

Criteri su probabilità di scenario

o Criterio della probabilità massima

Criteri bayesiani

o Criterio del valore atteso

o Criterio della media-varianza (Laplace)

o Criterio della perdita di opportunità attesa (rammarico)

Criteri di utilità attesa


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ina3

3

La funzione conseguenze, come nella risoluzione matriciale, possono avere forma di numeri (o

meno), ma in ogni caso, date due o più conseguenze, il driver-player dev’essere in grado di stabilire

quale conseguenza preferire o se siano tutte equivalenti. In genere, un driver-player vorrebbe

riuscire a ottenere per sé la conseguenza migliore, ma siccome può scegliere solo secondo il fattore

umano personale e non sullo scenario, non è in grado di arrivare a scegliere la conseguenza a cui

potrà andare (quasi) sicuramente incontro.

Introducento il criterio K di ottimalità e data C la funzione, si può descrivere la decisione del driver-

player, per come:

(61)

Un driver-player decide secondo il criterio maximin (Wald), corrispondente all’ipotesi più

pessimistica della perdita di opportunità, in relazione alla risposta degli altri drivers-players, quando

considera e calcola, come sintesi valoriale, per ciascuna strategia in disponibilità, il pay-off minimo

e sceglie la strategia che si comporti “meno peggio” o di “limitazione delle perdite”, per

come:

(62)

Un driver-player decide secondo il criterio maximax, corrispondente all’ipotesi più ottimistica

dell’acquisto di opportunità, in relazione alla risposta degli altri drivers-players, quando considera e

calcola, come sintesi valoriale, per ciascuna strategia in disponibilità, il pay-off massimo e sceglie

la strategia che si comporti “al massimo”, per come:

(63)

Un driver-player decide secondo il criterio minimax, corrispondente all’ipotesi meno pessimistica

della perdita di opportunità in relazione alla risposta degli altri drivers-players, quando considera e

calcola, come sintesi valoriale, per ciascuna strategia in disponibilità, il pay-off minimo del

massimo di perdita e sceglie la strategia che si comporti “al meglio”, per

come:

(64)

Un driver-player decide per ciascuna strategia in disponibilità secondo il criterio di Hurwicz, in

relazione alla risposta degli altri drivers-players, quando considera e calcola, come sintesi valoriale,

sia la conseguenza migliore, sia quella peggiore computate secondo il prezzo-ombra (saggio

marginale di sostituzione), per come:

(65)

dove:

Un driver-player decide per ciascuna strategia in disponibilità secondo il criterio della probabilità

massima, in relazione alla risposta degli altri drivers-players, quando considera e calcola, come


Pag

ina3

4

sintesi valoriale, la conseguenza probabilmente migliore, la maggiore convenienza probabilistica,

per come:

(66)

dove:

Nella scelta del driver-player non appaiono direttamente applicabili i criteri di Laplace (di

equiprobabilità che accada un incidente, ma nella realtà dei fatti è mera forzatura, in quanto

significa ipotizzare comportamenti di guida ripetibili secondo il paradosso di San Pietroburgo) e di

Savage (del rammarico, il quale dipenderebbe esclusivamente dal costo dell’incidente, vincolando

così il conducente a produrre testamento prima di viaggiare, come avveniva nel medioevo e ai tempi

dei “passatori”) in quanto l’adozione di decisioni da parte del driver-player in sezioni/tratte

(auto)stradali riguarda, per i due modelli decisionali, i criteri di sicurezza e incidentalità, con

conseguenze irreversibili sull’incolumità, oppure l’acquisizione di vantaggi esclusivi relativi alla

conduzione veicolare a fini competitivi, come nelle gare sportive e su pista.

L’esempio sotto proposto, per rendere chiaro quanto sopra rappresentato, enuncia la decisione del

driver-player in ritardo a un appuntamento, di aumentare la velocità per arrivare prima a un

appuntamento d’affari da 1,00 mln € o a non aumentare la velocità rischiando di perdere l’affare

venendo, così, giudicato inaffidabile.

Nella situazione, aumentando la velocità il driver-player arriverà in orario e (forse) farà l’affare ma

avrà (forse) un incidente, se pensato da quello e desiderato come, non mortale; arrivando in ritardo

(forse) perderà l’affare ma si salverà (forse) dall’incidente.

Le alternative, sono, quindi, con Wi,j = costo dell’incidente come perdita di opportunità


Strategie/Azioni SN1 = non avere un incidente SN2 = avere un incidente

D1 = rimanere a velocità legale W11 W12

D2 = aumentare la velocità W21 W22 + Wvita

Ipotizziamo di non poter assegnare alcuna probabilità a SN1 e SN2 rimanendo, così, in uno stato di

completa ignoranza informativa.

Nel caso W11, si ha W11 = 0 in quanto l’osservanza delle norme legali riduce a zero l’incidentalità.

Nel caso W22, si deve aggiungere, oltre al costo della riparazione del veicolo per incidente, anche il

costo sociale dell’infortunio/perdita della vita, perciò W22 + Wvita.

Riportando la tabella dei costi riparametrata:



D1 = rimanere a velocità legale W11 = non farà l’affare W12 = non farà l’affare

D2 = aumentare la velocità W21 = farà l’affare W22 + Wvita = non farà

mai l’affare


Pag

ina3

5



D1 = rimanere a velocità legale W11 = 0,00 € W12 = 0,00 €

D2 = aumentare la velocità W21 = - 1,00mln € W22 = 0,00 € + Wvita

Criterio del pessimismo


Strategie/Azioni SN2 = avere un incidente

D1 = rimanere a velocità legale W12 = 0,00 €

D2 = aumentare la velocità 0,00 € + Wvita

Poiché il costo dell’incidente è maggiore di zero conviene adottare l’ipotesi D1SN1

Criterio dell’ottimismo


Strategie/Azioni SN1 = non avere un incidente

D1 = rimanere a velocità legale W11 = 0,00 €

D2 = aumentare la velocità W21 = - 1,00mln €

Il criterio dell’ottimismo consiglia di adottare la soluzione D2 SN1 fuori dalla condizione di legalità

e assumendone il rischio (W21 = - 1,00mln € in quanto il guadagno ottenibile dall’affare è l’inverso

additivo cioè l’opposto, del costo sopportabile)

Criterio di Hurwicz e studio di sensitività

Introducendo una variabile, soluzione di criterio, di valore , come un coefficiente

d’ottimismo/propensione al rischio, che il driver-player deve selezionare, mentre il Wvita è un valore

generato dall’ambiente, pertanto incontrollabile, si può avanzare uno studio di sensitività con:

Z1 = W11 + (1- ) W12

Z2 = W21 + (1- ) (W22 + Wvita)

Che si sviluppa come

D2> D1 Z2> Z1 W21 + (1- ) (W22 + Wvita)> W11 + (1- ) W12



D1 = rimanere a velocità legale W11 = * 0,00 € W12 = (1- ) * 0,00 €

D2 = aumentare la velocità W21 = - * 1,00mln € (1- ) * (0,00 € + Wvita)

E ha soluzione:

Z1 = W11 + (1- ) W12 = 0

Z2 = W21 + (1- ) (W22 + Wvita) = - *1,00 + (1- ) Wvita


Pag

ina3

6

Per:

Z1 < Z2 : 0 < - *1,00 + (1- ) Wvita ; + / (1- Wvita

Figura 13. Rappresentazione grafica della propensione al rischio. Sensitività di e Wvita .

prevalenza delle alternative

La curva di figura 13 tende a + ∞ per → 1 che è asintoto verticale per la funzione y = + / (1- ).

La rappresentazione grafica ci offre i seguenti spunti:

Per propensione al rischio elevata ( → 1) a fronte di un costo percepibile dell’incidente

sopportabile e inibendo dalla coscienza il costo sociale ed economico dell’incidente, al

driver-player converrà adottare la decisione D2

Per propensione al rischio bassa ( → 0) a fronte di un costo percepibile dell’incidente

insopportabile e sollecitando alla coscienza il costo sociale ed economico dell’incidente, al

driver-player converrà adottare la decisione D1

Crescendo il rischio, la curva descrive, lungo la sua linea di soglia, l’andamento

esponenziale delle strategie, quella inibitiva e quella sollecitativa per la coscienza

individuale

Quindi, alla fine dell’analisi comportamentale esplicitata attraverso la teoria delle decisioni, il

problema della decisione che prende il driver-player, appare sempre più come un problema di

matroide uniforme: dati n situazioni di sicurezza individuale di costo Wi, estrarne un sottoinsieme di

k situazioni di sicurezza individuale di costo totale minimo. Poiché la struttura del problema è

matroidale, si applica l'algoritmo greedy17

(il test di indipendenza consiste solo nel valutare che il

17 Quando applicare la tecnica greedy?

1. Quando è possibile dimostrare che esiste una scelta ingorda

“Fra le molte scelte possibili, ne può essere facilmente individuata una che porta sicuramente alla soluzione

ottima”

2. Quando il problema ha sottostruttura ottima

“Fatta tale scelta, resta un sottoproblema con la stessa struttura del problema principale”

Un algoritmo greedy (goloso)

Seleziona una sola delle possibili decisioni... quella che sembra ottima (ovvero, è localmente ottima)

3. Sperabilmente, si ottiene così un ottimo globale

Sia S[i,j] un sottoproblema non vuoto, e m l'attività di S[i,j] con il minor tempo di fine; allora

m è compresa in qualche soluzione ottima di S[i,j]


Pag

ina3

7

sottoinsieme corrente non superi cardinalità k). In altre parole, si rendono i k oggetti di sicurezza

individuale di costo minimo18

.

Se i valori sono incerti e definiti in intervalli oppure , si può

ottimizzare la robustezza assoluta in tempo polinomiale, dato che è sufficiente considerare i valori

estremi (minimo e massimo) di ogni costo di sicurezza e non è necessario considerarne tutte le

combinazioni, grazie a regole di dominanza viste sopra. Se i valori sono definiti a scenari, oppure si

ottimizza la deviazione robusta, il problema risulta NP-completo per riduzione19

, dal problema della

Partizione20

.

In modo alternativo diverso, un criterio applicabile per le decisioni del conducente del veicolo

risulta dalla valutazione dicotomica del tempo trascorso in vettura e la velocità esprimibile dal

conducente rispetto al valore del tempo trascorso in vettura e valore dato dallo strato a cui

appartiente il conducente al tempo residuo da trascorrere in vettura, ma l’argomento esula da questo

articolo, in quanto relativo all’analisi della domanda. Non c’è un comportamento del conducente

ascrivibile a un modello interpretabile nel medio-lungo periodo ma è contingente alla situazione e

all’evento esterno generato.

A questo punto, non rimane che enunciare i fattori esterni che regolano la circolazione e il traffico

in sezioni/tratte autostradali, tenendo presente quanto detto all’inizio del paragrafo 6 a proposito

dell’approccio fluidodinamico, applicando le equazioni di continuità e del bilancio di massa21

. A

il sottoproblema S[i,m] è vuoto

Conseguenze:

Non è più necessario analizzare tutti i possibili valori di k

Faccio una scelta “ingorda”, ma sicura: seleziono l'attività m con il minor tempo di fine

Non è più necessario analizzare due sottoproblemi:

Elimino tutte le attività che non sono compatibili con la scelta ingorda

Resta solo un sottoproblema da risolvere: S[m,j]

(ridotto da: http://disi.unitn.it/~montreso/asd/lucidi/14-greedy-up.pdf). 18

Arcaini P., Cordone R., http://homes.di.unimi.it/~cordone/courses/2009-mmsd/Lez15-090430-PCI.pdf 19 Fino ad ora, tutti gli algoritmi conosciuti per problemi NP-Completi necessitano di un tempo superpolinomiale

nella dimensione dell' input. L' esistenza di algoritmi più veloci è sconosciuta. Quindi, per risolvere un problema NP-

Completo di dimensioni non banali, generalmente vengono utilizzati i seguenti approcci:

Algoritmo di approssimazione: Un algoritmo che trova velocemente una soluzione sub-ottimale che si trova

in un intorno (noto) di quella ottimale

Algoritmo probabilistico: Un algoritmo il cui tempo medio di esecuzione per una distribuzione data del

problema è provata essere buona—idealmente, uno che assegna una bassa probabilità a input "difficili"

Casi speciali: Un algoritmo veloce se l' istanza del problema appartiene all' insieme di alcuni casi speciali. La

parametrizzazione della complessità può essere vista come una generalizzazione di questo approccio

Euristica: Un algoritmo che funziona "ragionevolmente bene" in molti casi, ma per cui non c' è prova che sia

sempre veloce e che dia buoni risultati.

Un esempio di algoritmo euristico è l' algoritmo greedy sub-ottimale O(n log n) (ridotto da:

http://it.wikipedia.org/wiki/NP-Completo). 20 Averbakh I., Lebedev V. (2004), Interval data minmax regret network optimization problems, Discrete Applied

Mathematics, 138, 289-301.

Karasan O.E., Pinar M.C., Yaman H. (2001), The robust shortest path problem with interval data, Bilkent University,

Ankara, Turkey. 21 Esempio di applicazione del bilancio di massa: la velocità di fuga da un ingorgo stradale in area urbana aumenta

all’aumentare dell’ingombro laterale. Appena dopo i cantieri mobili autostradali, purché segnalati, la velocità di fuga

degli autoveicoli aumenta sempre, diminuendo le distanze di sicurezza nelle code in prossimità dell’ingorgo, in accordo

con i modelli lineare di Greenshield o logaritmico di Greenberg o quello di Underwood. In prossimità della restrizione,

la densità (da sperimentazione) sale ad un valore Kb dovuto alla ridotta velocità che consente distanziamenti inferiori


Pag

ina3

8

tal fine è bene ricordare quanta influenza possa avere sull’equazione di continuità il teorema di

Bernoulli applicato ai trasporti terrestri22

e legato alla velocità di efflusso torricelliana23

.

Dalla relazione finale dello studio portato a termine dall’autore nel 2003, presso la Società

Autostradale Brescia-Verona-Vicenza-Padova s.p.a., che è concessionaria delle autostrade A4 (da

Brescia Ovest a Padova Est) e A 31 (da Vicenza a Piovene Rocchette), è emerso un insieme di

fattori che sono relativi al traffico in sezione/tratta autostradale, risultanti, in sintesi, come:

A. Incidentalità, incidenti e cantieri

gli eventi incidentali sono determinati al 50% ca. da tamponamenti, scontri fronto-laterali e

scontri laterali nella stessa carreggiata e causati per il 15% da perdita di materiali in carreggiata

stessa

gli incidenti accadono prevalentemente di giorno, senza un’ora precisa

accadono in condizioni meteo buone

avvengono per svariati motivi, nessuno veramente prevalente

avvengono con maggiore frequenza in tratti curvilinei indotti o naturali (svincoli)

accadono in giorni casuali

sono influenzati dalla presenza di cantieri fissi (65%)

sono un po’ meno influenzati dalla presenza di cantieri mobili

non coinvolgono significativamente veicoli particolari

si distribuiscono quasi uniformemente nelle carreggiate Nord e Sud di A31, mentre prevalgono

in carreggiata Est piuttosto che Ovest di A4 (8 punti percentuali di differenza)

B. Incidentalità e nazionalità

(condizione di "coda" in movimento, o deflusso ipercritico) mentre appena dopo l'ostruzione si ha una densità Km

normalizzata inferiore a quella in condizioni stazionarie.

La propagazione dei diversi stati di deflusso (definiti da una terna di velocità, densità e flusso) avviene secondo onde

che generalmente si considerano (per approssimazione) puntuali, e che vengono definite onde cinematiche. Dal luogo

dell' accadimento partirà verso monte una cosiddetta "onda d' urto" W che investirà la corrente veicolare a densità

normale K e in ogni istante separa questa dalla corrente in stato di coda. Poiché il numero di veicoli che in un

intervallo di tempo t si trovano investiti dall' onda è costante, si ha che quindi la

velocità dell' onda d' urto è data da , ovvero la pendenza della corda che congiunge il punto sulla parabola

flusso/densità appena prima dell' accadimento (A) con quello sul ramo "congestionato" corrispondente alla restrizione

(B).

Una volta rimosso l' accadimento partirà un' altra onda con velocità maggiore della precedente che raggiungerà il

punto di capacità massima (C). Quando questa onda raggiungerà l' onda d' urto la coda sarà dissipata e l' ultima onda

da C ad A riporterà il sistema alle condizioni iniziali di deflusso (ridotto da: Wikipedia,

http://it.wikipedia.org/wiki/Deflusso_veicolare). 22 Nel caso di trasporti terrestri è possibile trascurare il termine gravitazionale dell' equazione di Bernoulli in quanto le

linee di flusso veicolare a cui si fa riferimento hanno approssimativamente la stessa energia potenziale (da: Ferrarese

M. (2012), un approccio epistemologico all’annoso problema delle infrastrutture e dei trasporti, CEDAM, Padova). 23 La legge di Torricelli afferma che la velocità di un fluido in uscita da un foro (di sezione molto piccola rispetto alle

dimensioni del recipiente) è pari alla radice quadrata del doppio prodotto dell' accelerazione di gravità e della distanza

"h" fra il pelo libero del fluido e il centro del foro che è stato praticato:

La velocità è uguale a quella che avrebbe il fluido durante una caduta libera dall' altezza "h". L' equazione di

Torricelli può essere ottenuta, calcolando il differenziale di questa formula, a meno di una costante arbitraria (che è

la velocità iniziale vi). Gli unici termini variabili sono la velocità v e l' altezza h. Nel trasporto stradale sostituiamo

l’altezza h con la lunghezza della sezione di traffico L, la gravità (nell’ambito del trasporto terrestre), viene trascurata

poiché ininfluente (da: Ferrarese M. (2012), ibidem).


Pag

ina3

9

In assenza di dati relativi all’universo statistico del traffico veicolare suddiviso per tipologia dei

veicoli e nazionalità, non è possibile individuare la relazione statistica, con metodi scientifici, tra

incidentalità e nazionalità.

Il fenomeno si è valutato, quindi, attraverso una procedura statistica di frequenza, in valori assoluto

e relativo, rilevando che i veicoli stranieri (prevalentemente dell’Est) coinvolti in incidenti

sommano al 15,5% (anno 2002).

Dalla relazione operativa 2003 emerge che il fenomeno incidentale appare veramente casuale

rispetto alle condizioni meteorologiche, alle condizioni infrastrutturali e alle abilità, nazionalità e

condizioni psicofisiche dei conducenti.

E’ necessario, allora, per quanto analizzato, presentare un modello economico di gestione, più che

di previsione, il quale ottimizzi, per avvicinamenti successivi e di approssimazione matematica, il

risultato economico atteso da parte del decisore manageriale del concessionario autostradale, che

deve assumere una decisione in condizioni critiche, come per esempio, nel caso di chiusura di

caselli e tratte a causa di incidenti, congestioni, avversità meteo.

Tale modello viene definito MPCA (Modello dei Parametri di Conto Autostradale) a definizione dei

parametri di conto e presentato nel prossimo paragrafo.


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ina4

0

7. L’utilizzo del modello MPCA a definizione dei parametri di conto

Per computare la produttività tecnico-economica e la redditività attesa delle società concessionarie

nel trasporto autostradale, si progetta, soprattutto per creare un approccio di facile comprensione per

i progettisti del settore, un modello che nomineremo MPCA, il quale che “gira” su foglio elettronico

PhStat 3.0-Pearson per Excel di Microsoft Office 2010.

Tale modello consiste in una tavola, costituita da una colonna B in cui compaiono le diverse voci da

esaminare col relativo valore assunto in colonna C e 48 righe nominali, una per ciascuna variabile

descritta.

I valori immessi non considerano la divisione in classe dei veicoli in transito (classificazione che

viene usata per determinare le diverse tariffe veicolari) poiché le spire a terra, per la rilevazione del

traffico veicolare, da cui vengono ricavati i dati, registrano il solo transito veicolare indistinto.

Si descrivono, sommariamente, le variabili ripartite per i campi del modello.

DATA ENTRY: per l’inserimento dei dati pivot

C4: Lunghezza della sezione stradale (esaminata) in metri

C5: Velocità media veicolare per corsia e carreggiata (Km/h)

C6: Tempo di osservazione della sezione (secondi)

C7: Pedaggio unitario per sezione per classe di veicolo (<=> 1,30 mt sull'asse anteriore)”,

cioè quanto del pedaggio complessivo viene speso per il tratto stradale in questione (la

tariffa chilometrica è attualmente di circa 0,06€/km

C8: Costo annuario variabile per sezione

C9: Costo annuale fisso per sezione

C10: Velocità massima esprimibile per sezione (km/h 130 o km/h150)

BREAK-EVEN ANALYSIS: per l’inserimento dei dati derivati da quelli sopra citati, a parametri

previsti dal decreto legislativo n. 285 del 30 aprile 1992 e la legge di conversione n. 214 del 1º

agosto 2003 (pubblicata nella Gazzetta Ufficiale n. 186 del 12 agosto 2003 - S.O. n. 133).

C15: Tempo di percorribilità della sezione in secondi, che risulta da =C4/1000/C5*3600

C16: Veicoli massimi in tratta per corsia e carreggiata osservabili, che risulta da

=C6/C15*C17

C17: Veicoli in sezione (quantità), che risulta da =CERCA.VERT('Break Even

Analisys'!C5;'Distanza di sicurezza'!$E2:$F21;2;VERO)

C18: Capacità di veicoli massima per sezione, data da =SE(C10=130;'Distanza di

sicurezza'!F$14;'Distanza di sicurezza'!F$16)

C19 Variazione percentuale veicolare sulla velocità massima per sezione, data da =-(C18-

C17)/C18

C20: Pedaggio per sezione per tempo di osservazione, dato da =C7*C16

C21: Costo variabile per sezione per tempo di osservazione, dato da =C8/365/24/60/60*C6

C22: Costi fissi per sezione per tempo di osservazione, dato da =C9/365/24/60/60*C6

C25: Quantità di equilibrio – Break-Even Point unitario per sezione, data da

=SE(O(C7="";C8="");0;C22/(C20-C21))

C26: Fatturato di equilibrio, dato da =C22/(1-(C21/C20))


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ina4

1

C27: Tasso di sfruttamento della capacità produttiva veicolare, risultante da

=SE(C18="";0;C25/C18)

C30: Quantità veicolari prodotte per sezione, data da =C17

C31: Load factor veicolare per sezione, risultato da =SE(C18="";0;C17/C18); data dal

rapporto Qbep/ CP, è il fattore di sfruttamento della capacità disponibile ed è un modo per

esprimere il BEP in relazione alla capacità produttiva

C32: Grado di leva operativa/Rischio economico, dato da =(C20-C21)/(C20-C21+C22)

C33: Capacità produttiva di pareggio, dato da =(C20-(C22+C21))/C20

C34: Fatturato per sezione, dato dal campo =C20

C35: Costi variabili medi unitari, dati da =C21

C36: Margine lordo di contribuzione medio unitario, dato dalla =C34-C35

C37: Costi fissi medi unitari, dati da =C22

C38: Reddito operativo, dato da =C36-C37

C40: Variazione percentuale del reddito operativo

C41: Variazione percentuale del fatturato atteso

C42: Reddito Operativo Atteso, dato da =C38*C40+C38

C43: Fatturato Atteso, dato da =C41*C34+C34

C44: Leva operativa percentuale =C43/C42. La leva operativa è un indice che misura

l’effetto della variazione del volume dei ricavi da tariffe sul Reddito Operativo RO

C46: Reddito Operativo che si intende conseguire (per un range di sensitività incrementato

del 20%)

C47: Quantità da produrre, dato da =SE(O(C7="";C8="");0;(C46+C22)/(C36))

C48: Grado di sfruttamento della capacità produttiva, dato da =SE(C18="";0;C47/C18)

L’application, a dati inseriti, verrà rappresentata non commentata a puro titolo semplificativo in

figura 15, a dimostrazione della bontà del modello sopra progettato e a sola stimolazione del lettore.

Figura 14. Gli algoritmi della tavola dei parametri di conto MPCA

A B C

2 Classe

3 Data Entry

4 Lunghezza sezione autostradale in metri

3000

5 Velocità media veicolare per corsia e carreggiata (Km/h) 130

6 Tempo di osservazione della sezione (secondi) 3600

7 Pedaggio unitario per sezione per classe di veicolo (<=> 1,30 mt. sull'asse anteriore) 0,18

8 Costo annuale variabile per sezione 450000

9 Costo annuale fisso per sezione 585390

10 Velocità massima esprimibile per sezione (km/h 130 o km/h150) 130


Pag

ina4

2

11

12 Break-even analysis*

13 * a paramentri secondo il decreto legislativo n. 285 del 30 aprile 1992 e la legge di conversione n. 214

del 1º agosto 2003 (pubblicata nella Gazzetta Ufficiale n. 186 del 12 agosto 2003 - S.O. n. 133)

14 Descrizione Classe

15 Tempo di percorribilità della sezione (secondi) =C4/1000/C5*3600

16 Veicoli massimi in tratta per corsia e carreggiata osservabili =C6/C15*C17

17 Veicoli in sezione (quantità) =CERCA.VERT('Break Even Analisys'!C5;'Distanza

di sicurezza'!$E2:$F21;2;VERO)

18 Capacità di veicoli massima per sezione =SE(C10=130;'Distanza di

sicurezza'!F$14;'Distanza di sicurezza'!F$16)

19 Variazione percentuale veicolare sulla velocità massima per sezione =-(C18-C17)/C18

20 Pedaggio per sezione per tempo di osservazione =C7*C16

21 Costo variabile per sezione per tempo di osservazione =C8/365/24/60/60*C6

22 Costi fissi per sezione per tempo di osservazione =C9/365/24/60/60*C6

23

24 Calcolo delle quantità di equilibrio (Break-even

point) per sezione Classe

25 Quantità di equilibrio - Break Even Point unitario per sezione =SE(O(C7="";C8="");0;C22/(C20-C21))

26 Fatturato d'equilibrio =C22/(1-(C21/C20))

27 Tasso di sfruttamento della capacità produttiva veicolare =SE(C18="";0;C25/C18)

28

29 Calcolo del Risultato Operativo per sezione

Classe

30 Quantità veicolari prodotte per sezione =C17

31 Load factor veicolare per sezione =SE(C18="";0;C17/C18)

32 Grado di leva operativa = Rischio economico =(C20-C21)/(C20-C21+C22)

33 Capacità produttiva di pareggio =(C20-(C22+C21))/C20

34 Fatturato per sezione =C20

35 Costi variabili medi unitari =C21

36 Margine lordo di contribuzione medio unitario =C34-C35

37 Costi fissi medi unitari =C22

38 Reddito operativo =C36-C37

39 Leva Operativa

Classe


Pag

ina4

3

40 Variazione percentuale del reddito operativo 0,01

41 Variazione percentuale del fatturato atteso 0,01

42 Reddito operativo atteso =C38*C40+C38

43 Fatturato atteso =C41*C34+C34

44 Leva operativa percentuale =C43/C42

45 Calcolo delle quantità da produrre al variare del

Risultato Operativo Classe

46 Reddito operativo che si intende conseguire 145,5

47 Quantità da produrre =SE(O(C7="";C8="");0;(C46+C22)/(C36))

48 Grado di sfruttamento della capacità produttiva =SE(C18="";0;C47/C18)

Figura 15. Gli algoritmi della tavola dei parametri di conto MPCA. Application

A B C

2 Classe

3 Data Entry

4 Lunghezza sezione autostradale in metri

3.000

5 Velocità media veicolare per corsia e carreggiata (Km/h) 130

6 Tempo di osservazione della sezione (secondi) 3.600

7 Pedaggio unitario per sezione per classe di veicolo (<=> 1,30 mt. sull'asse anteriore) 0,18

8 Costo annuale variabile per sezione 450.000

9 Costo annuale fisso per sezione 585.390

10 Velocità massima esprimibile per sezione (km/h 130 o km/h150) 130

11

12 Break-even analysis*

13 * a paramentri secondo il decreto legislativo n. 285 del 30 aprile 1992 e la legge di conversione n. 214

del 1º agosto 2003 (pubblicata nella Gazzetta Ufficiale n. 186 del 12 agosto 2003 - S.O. n. 133)

14 Descrizione Classe

15 Tempo di percorribilità della sezione (secondi) 83

16 Veicoli massimi in tratta per corsia e carreggiata osservabili 1.330

17 Veicoli in sezione (quantità) 31

18 Capacità di veicoli massima per sezione 31


Pag

ina4

4

19 Variazione percentuale veicolare sulla velocità massima per sezione 0,00%

20 Pedaggio per sezione per tempo di osservazione 239,45

21 Costo variabile per sezione per tempo di osservazione 51,37

22 Costi fissi per sezione per tempo di osservazione 66,83

23

24 Calcolo delle quantità di equilibrio (Break-even point) per sezione

Classe

25 Quantità di equilibrio - Break Even Point unitario per sezione 0,36

26 Fatturato d'equilibrio 85,08

27 Tasso di sfruttamento della capacità produttiva veicolare 1,16%

28

29 Calcolo del Risultato Operativo per sezione

Classe

30 Quantità veicolari prodotte per sezione 31

31 Load factor veicolare per sezione 100%

32 Grado di leva operativa = Rischio economico 73,78%

33 Capacità produttiva di pareggio 50,64%

34 Fatturato per sezione 239,45

35 Costi variabili medi unitari 51,37

36 Margine lordo di contribuzione medio unitario 188,08

37 Costi fissi medi unitari 66,83

38 Reddito operativo 121,26

39 Leva Operativa

Classe

40 Variazione percentuale del reddito operativo 1,00%

41 Variazione percentuale del fatturato atteso 1,00%

42 Reddito operativo atteso 122,47

43 Fatturato atteso 241,85

44 Leva operativa percentuale 197,47%

45 Calcolo delle quantità da produrre al variare del Risultato Operativo

Classe

46 Reddito operativo che si intende conseguire 145,50

47 Quantità da produrre 112,9%


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ina4

5

48 Grado di sfruttamento della capacità produttiva 3,68%

8. Conclusioni

Molte sono ancora le domande cui dare risposta, in relazione alla ricerca dei parametri di conto

economico, per scelte manageriali sulla gestione d’infrastrutture autostradali in condizioni di

criticità operativa, i quali possano diventare il focal point di una gestione caratteristica virtuosa.

Certamente, porre in evidenza e senza pregiudizi quali sono gli interventi realmente possibili in

termini operativi, permette di contenere i costi di esercizio e di valorizzare i ricavi di una società

concessionaria.

Poiché non è possibile influire direttamente sui comportamenti umani nella condotta dei veicoli

nelle carreggiate autostradali, per non entrare in aree d’illegalità, è utile conoscere quali interventi

reali siano possibili senza dover approfittare di quanto rappresentato in questo articolo per fare,

invece, pianificazione.

Quello che è stato dimostrato è che molta incidenza ha l’azione decisionale umana dei fattori esterni

in condizioni d’incertezza, mentre l’utilizzo della modellistica classica di mobilità, per la

prevenzione dei fenomeni critici, a poco serve.

Casomai, la modellistica appare come un utile strumento di pianificazione progettuale e di

programmazione generale gestionale.

Le riflessioni, a risposta di quanto richiamato nel titolo dell’articolo, impongono l’adozione di

strumenti di conoscenza dei fenomeni critici in condizioni d’incertezza e il loro trattamento

interattivo con il modello MPCA, lontano dalla manipolazione che se ne potrebbe fare, al fine di

ricercare l’utile ad ogni costo: qui è in gioco la vita umana, a cui l’economia dà sempre un prezzo

secondo l’età e l’aspettativa di vita, ma che è inapprezzabile per ogni singolo soggetto, che è

monopolista nella sua unicità razionale ed emozionale e al quale è affidata, in questo mondo,

l’incolumità propria e, per responsabilità civile, quella di tutti gli altri.


Pag

ina4

6

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2

Figure

Figura 1. Relazione velocità, flusso, densità. Andamento delle curve f(k), v(k).

Figura 2. Relazione velocità, densità. Andamento delle curve v-k nel modello di Greenberg (1959).

Figura 3. Follow the leader rappresentazione

Figura 4. Follow the leader schema

Figura 5. Follow the leader dinamica

Figura 6. Follow the leader velocità contro tempo

Figura 7. Follow the leader accelerazione contro tempo

Figura 8. Lane Change

Figura 9. Tavola delle velocità legali, degli spazi e tempi d’arresto, in condizioni di tempo normali

e per veicoli a norma di legge

Figura 10. Rappresentazione grafica delle polinomiali spazio/temporali con le equazioni di

previsione e bontà di fitting

Figura 11. Rappresentazione grafica della polinomiale veicoli/velocità

Figura 12. Rappresentazione grafica delle polinomiali veicoli/spazi/velocità

Figura 13. Rappresentazione grafica della propensione al rischio. Sensitività di e Wvita .

prevalenza delle alternative

Figura 14. Gli algoritmi della tavola dei parametri di conto MPCA

Figura 15. Gli algoritmi della tavola dei parametri di conto MPCA. Application


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3

Appendice 1.

From: Journal of the Eastern Asia Society for Transportation Studies (2005), Vol. 6, 1582-1596.


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ina5

4

From: Tripodi Antonino, Applicazione della teoria dei sistemi dinamici non lineari nei modelli microscopici di traffico,

Dottorato di Ricerca in Ingegneria delle Reti Civili e dei Sistemi Territoriali, Ciclo XIX, Università degli Studi di

Napoli “Federico II”, 16.


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ina5

5

Appendice 2.

Il Reddito Operativo RO rappresenta il risultato economico, al lordo degli oneri finanziari, degli

effetti delle poste straordinarie e di quelle accessorie, oltre che delle imposte, dell’attività tipica di

un’impresa ed è quantificato dai ricavi operativi (fatturato) meno i costi operativi.

Suddividendo i costi operativi in costi variabili CV e costi fissi CF, in relazione alle quantità

prodotte e vendute, si può ottenere la successiva formulazione del RO:

Fatturato

- Costi Variabili

Margine di Contribuzione

- Costi Fissi

Reddito Operativo

Il Margine di Contribuzione MC rappresenta la quantità di ricavi destinati alla copertura dei costi

fissi CF.

la Leva Operativa LO è l’espressione di elasticità del RO rispetto al fatturato F e quantifica la

variazione che subirà il RO in percentuale a fronte di una variazione percentuale nelle quantità

vendute. Si formula come:

F

FRO

RO

F

ROLO

%

%

Una variazione percentuale di queste quantità determina la medesima variazione nel fatturato a

prezzi di vendita costanti al variare delle quantità vendute, quando le quantità prodotte vengono

interamente vendute.

La variazione assoluta del RO è pari alla variazione assoluta del MC, in quanto la differenza tra le

due grandezze è rappresentata dalla costante dei costi fissi.

La variazione del MC può anche venire scritta come:

F

MdCFMdC

per giungere a una formulazione della LO:

RO

MdC

FF

ROF

MdCF

F

FRO

MdC

F

FRO

RO

LO

Break even point: volume di ricavi da tariffe al quale l’organizzazione non guadagna e non perde, in

quanto i ricavi derivanti dalle ricavi da tariffe e i costi si equivalgono. BEP = Costi Fissi/(1-Costi

Variabili/Ricavi da tariffe) = (Ricavi da tariffe * Costi Fissi)/(Ricavi da tariffe - Costi Variabili).


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6

Grado di leva operativa/rischio economico: indice che misura l’effetto della variazione del volume

delle ricavi da tariffe sul reddito operativo. Grado di leva operativa = (ricavi da tariffe - costi

variabili)/reddito operativo = (ricavi da tariffe - costi variabili)/(ricavi da tariffe - costi totali).

Capacità produttiva di pareggio: rappresenta l’indice di sforzo economico che l’organizzazione

deve sostenere per ripianare i costi fissi (particolarmente quelli d’impianto). C.P.P. = ((Costi

Fissi/Ricavi Lordi-Costi Variabili).

Ringraziamenti

Ringrazio gli amici e colleghi del centro di ricerca Transmit dell’Università degli Studi di Verona - chiuso da poco - di cui sono stato il direttore scientifico, per la visura

critica dell’articolo e in particolare il dottor Giuseppe “Pino” Cirillo, il professore ingegnere Salvatore Montaperto e il professore ingegnere Giovanni Saccà, come pure

la dottoressa Tatiana Gennadievna Badina che ha curato con me l’impostazione editoriale, l’analisi dei grafici e il controllo degli algoritmi. Ringrazio il mio studente

Pietro Rossi per avermi aiutato a reperire i dati autostradali.

Un pensiero particolare a mons. professore Aleardo Rodella, co-fondatore dell’Università degli Studi di Verona, che mi ha sempre offerto, in tutti questi anni, un preciso

destino.

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