QPE-1

量子物理工学 I

神戸大学工学部 電気電子工学科

小川 真人12009/04/23

先週の復習

QPE-122009/04/23

古典的な波の式（波動関数）

( ) ( )tkxAtxy ω−= cos,

AC

B

Ｘ

ｙ（ｘ，ｔ）

ｙA（ｘ，ｔ０）

vxtt −=0A点とC点の時間差： ( ) ( )0, tytxy A=

C点の変位はｔ０でのA点の変位と同じ：

大丈夫？角周波数とは？ 波数とは？ 振幅とは？ 周期とは？位相とは？2009/04/23 3 QPE-1

古典的な波動方程式

( ) 0,12

2

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂ txu

tvx

( ) ( ) ( )vtxgvtxftxu −++=,

( ) ( )tkxAtxu ω−= cos,

（例） ( ) ( ) 0,, 2

2

002 =

∂∂

−∇t

tt rErE με

（一般解）

（正弦波の解（の１つ））

（phaser表示→物理量は「実数」）

（どこかで見た？）

（どこかで見た？）

( ) ( ) ( )tkxAtkxjtxu ωω −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= cosexpARe,

~

（２．１）

2009/04/23 4 QPE-1

本日の内容

• 位相速度と群速度

• 平面波の表現(古典的な波)• 物質波の満たすべき式

→(時間に依存する) Schrödinger方程式の導出 （教科書）

• Schrödinger方程式の作り方適用先 （教科書） 発展– 自由粒子 （3章） 固体中の電子の運動

– 量子井戸 （3，4章） 量子井戸、量子細線 トランジスタ， LD– トンネル効果 （5章） トンネルダイオード，トランジスタ

– 調和振動子 （6章） フォノン

– 水素原子 （7章） 半導体結晶

– etc. 5

位相速度と群速度

kvp

ω=

dkdvgω

=

位相速度＝位相一定の点の移動速度：

一般の波…正弦波の重ね合わせ群速度＝包絡線の移動速度

なぜ下のような違いが出てくるかは教科書p.28 あるいは授業参照。

2009/04/23 6 QPE-1

平面波(1)

2009/04/23 QPE-17

位相=一定 の面が平面である波

直線じゃないかって？

平面波(2)

( ) ( )[ ]rkr ⋅−−=Ψ tit ωexpA,~

位相

位相=一定 の面が平面である波

( )rF V−∇=

( ) Fr=2

2

dttdm

導いてください

( ）Fr =&&m

( ) rrF dVVP

CPPP ⋅−=− ∫2

12 1

rrF d⋅)(

)(rF

rd

P1

P２

=（一定）かつ（連続量）( ) ExVxm =+2

21

&

（1次元の場合）dxdVF −=

保存力場

2009/04/23 9 QPE-1

粒子の運動方程式

• ラグランジアン（Lagrangean）～作用

• ハミルトニアン（Hamiltonian）～全エネルギー

( ) ( )rr VtmL −= 2

21

& 0=∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

rrLL

dtd

&

( ) ( )rrpq VtmLH +=−⋅= 2

21

&&

（Lagrangean） （Lagrangeの運動方程式）

William RowanHamilton

Joseph LouisLagrange

解析力学

2009/04/23 10 QPE-1

de Broglie & Einsteinの関係を満たすにはどうする？

QPE-1

• 波の性質 （電磁波）

• 粒の性質 （フォトン）光

ωh=Eλhkp == h

• 波の性質 （物質波）

• 粒の性質 （粒子）物質

Schrödinger方程式へ

de Broglie

112009/04/23

ωh=E λhkp == h

• 波の性質 （物質波）

• 粒の性質 （粒子）物質

Schrödinger方程式へ

de Broglie

波の性質をみたすような粒子の方程式

Schrödinger方程式

2009/04/23 12 QPE-1

Schrödinger方程式

VTH +=

xipp

∂∂

=→hˆ xxx =→ ˆ HH ˆ→

( ) ( )txti

txH ,,ˆ Ψ∂∂

−=Ψh

古典的なハミルトニアン（全エネルギー）

■ 演算子への置き換え

→

（時間に依存する） Schrödinger方程式

( )tx,Ψ ：波動関数に作用させて

2009/04/23 13 QPE-1

Schrödinger方程式の例（自由粒子→３章）

mpTH2

2

==ポテンシャルは働かない

（運動エネルギー）のみv

xipp xx ∂

∂=⎯⎯⎯ →⎯hˆ演算子化

2

22222

221

2ˆˆ

2 xmximmpH

mpH

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==→=hh

tiEE∂∂

=⎯⎯⎯ →⎯ hˆ演算子化

( ) ( )txt

itxxm

,,2 2

22

Ψ∂∂

=Ψ∂∂

− hh

自由粒子の（時間に依存する） Schrödinger方程式 14

Schrödinger方程式の例（調和振動子→６章）

どこかでやったことがある 理解して下さいyes

no

やって下さい

15

問

• 位相速度とは？

• 群速度とは？

• 粒子の全エネルギーを運動量とポテンシャルで表すと？

• de BroglieとEinsteinの関係式は？

• 平面波の式が上２式を満たすにはどんな演算を施さないといけないか？→Schrödinger方程式

162009/04/23 QPE-1

QPE-1

量子物理工学Ⅰ

2009/04/23 17

QPE-1

２００８（入学!） ２００９ ２０１０（良い研究をして卒業）

２０１１ ＼(^O^)／

P系

S系

E系

情報通信系研究室

電力系研究室

卒研有資格者

182009/04/23

結晶格子中の電子電子

ブロッホ電子、つまり原子の格子により“整列”させられた電子のこと

m m*(有効質量)0

電子

結晶格子

干渉による強め合い

19 QPE-12009/04/23

光電効果(1) 電圧 V を十分高くして, 光電効果により 飛び出した

電子 (光電子) を 全て陽極に集めると， 流れる電流は陰極に照射した 光の強さに比例する．

(2) どのような金属面に対しても， 光電効果の 起こり得る最小の振動数があり，それ以下の振動数の光ではどんなに強い光でも光電効果は 起こらない．

(3) 光電子のもつ最大の運動エネルギーは光の強さに無関係である．

(4) 光電子のもつ最大の運動エネルギーは光の振動数によって直線的に変化し， アインシュタインの 仮説

E = hν - Wに完全に一致している．

QPE-1202009/04/23

バンド構造 → 固体物性（３年）→ P系研究室

Bandstructure at High SymmetricPoints Iso-Surface of the Conduction Band

バンド構造 = 材料の中で電子の動きを表現する図

QPE-1212009/04/23

物質の比熱，理想気体の比熱

RkNC23

23

BA ==

理想気体（単原子分子）の比熱

0.2533 BA === RkNC

結晶の比熱：Dulon-Petitの法則←古典論

低温では一致しない

格子振動の量子化⇒フォノン（調和振動子：第6章）

[J/mol・K]

Debyeモデル =

Al

QPE-1222009/04/23

コンプトン散乱

電磁波を物質に照射した時に、散乱してでてくる電磁波の波長が入射電磁波のそれより大きくなるという現象

Arthur Holly Compton (USA @1923)QPE-1232009/04/23

たくさんの波の重ね合わせ→「波束（はそく）」

（p.43参照）

2009/04/23 24 QPE-1

波束

• 平面波の波動関数

– 波数の値が一つ（コヒーレント波）

– 存在確率密度 (一定値)

• 空間に局在した波動関数＝波の重ね合わせ

( ) ( )ikxAx exp=ψ

( ) 22 Ax =ψ

2009/04/23 25 QPE-1

波の重ね合わせ(以前やった通り)( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }( )[ ] ( )tkxtkxi

tkxitkxitkxitxkkitxkki

ωωωωωωωωω

Δ−Δ−=Δ−Δ+Δ−Δ−−=Δ+−Δ++Δ−−Δ−

cosexp2expexpexp

expexp

ピンクの包絡線の移動速度＝群速度

dkdvgω

=

2009/04/23 26 QPE-1

波束

( ) ( ) ( ) L+−+= 00 kkdkdkk ωωω

( ) ( ) ( )( )[ ]tkkxixfdkx ωψ −= ∫ exp

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−= ∫

tdkdxFtkxki

tkkdkdixkkikdkftkxkix

ωω

ωωψ

00

0000

exp

expexp

場所によって違う振幅（F(x－[dω/dk]t)）

2009/04/23 27 QPE-1

波束

• 平面波の波動関数– 波数の値が一つ（コヒーレント波）

– 存在確率密度 (一定値)

• 空間に局在した波動関数＝波の重ね合わせ– ガウス型波束

( ) ( )ikxAx exp=ψ

http://www.nep.chubu.ac.jp/~nepjava/javacode/WaveMap/WaveMap.html

( ) 22 Ax =ψ

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

00 2

1expexpσ

ψ xxxikAx

2009/04/23 28 QPE-1

2009/04/23 QPE-129

量子閉じ込め→量子物理I→P系研究室（QD LD）

QPE-1

電子の波長 λ 程度で閉じ込め → 電子の波長って??

302009/04/23

GaN（窒化ガリウム）青色レ－ザ－

GaNレ－ザ （中村修二）

31 QPE-12009/04/23

Vertical-Cavity Surface-Emitting Laser(VCSEL)

ブラッグ反射面の積層

GaAs多重量子井戸

光

32 QPE-12009/04/23

量子細線（QWR）トランジスタ（P4）

QPE-133シリコンの量子ワイヤーの断面

1nm = 10 原子

3nm

9 nmVD

VS

VG

VG

0.7 nm

Source

Drain

Cross section

4nm

SiO2

SiO2Si

2009/04/23

水素原子→固体物性，半導体電子工学→物性研究

http://www2.kobe-u.ac.jp/~ssouma/handoutai1.html

水素原子の角度部分→結晶の電子状態 QPE-12009/04/23 34

固体中の電子

電子の一部は格子の中を殆んど自由に動き回る

“電子の海”

電子の海

金属中の原子核

普通の原子

35 QPE-12009/04/23

量子井戸（QW）

InGaAs/GaAs 中の複数の量子井戸

電子のドブロイ波長 λ は量子井戸の幅ほど２次元の電子の運動

接点

基盤

36 QPE-12009/04/23

自己集合したゲルマニウムのピラミッド大きさ：１０ｎｍ

ニッケル合金蒸着のピラミッド大きさ：３０ｎｍ

量子ドット（QD）

37 QPE-12009/04/23