Dominik Woznica - Universität des Saarlandes Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-ApproximationFreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastizit at Quellen

Modellierung elastischer Materialien Variationsformulierung Galerkin-Approximation FreeFem++ Ausblick: Lineare Thermoelastizitat Quellen

Lineare Elastizitat

Dominik Woznica

Universitat des Saarlandes

05.02.2016


Gliederung

1 Modellierung elastischer Materialien

2 Variationsformulierung

3 Galerkin-Approximation

4 FreeFem++

5 Ausblick: Lineare Thermoelastizitat

6 Quellen


Erlauterungen

Lineare Elastizitat:

tritt bei kleinen reversiblen Deformationen auf

wird durch das Hooke’sche Gesetz beschrieben

beschreibt auch Spannungen innerhalb eines Materials

wird in der Strukturanalyse verwendet


Cauchy’sche Gleichgewichtsgleichungen

Es sei Ω ein Gebiet in R3 und ω eine beliebige, offene Teilmengemit glattem Rand ∂ω und außerer Normale n.Auf ω wirken zwei Krafte:

Volumenkraft (wirkt auf das gesamte Gebiet Ω)Diese wird beschrieben durch die Kraftdichte f

Oberflachenkraft (wirkt auf ∂ω)Diese haben die Form

σ · n,

wobei σ der Spannungstensor (Tensor 2. Ordnung) ist.

Wegen Drehimpulserhaltung folgt, dass σ symmetrisch ist.


Aufsummieren der uber ω integrierten Volumen- und uber ∂ωintegrierten Oberflachenkrafte ergibt die resultierende Kraft F aufΩ

F =

∫ωf (x)dx +

∫∂ωσ · n dSx ∈ R3.

Wende den Gaußschen Integralsatz auf das Flachenintegral an underhalte ∫

∂ωσ · n dSx =

∫ω∇ · σdx ,

wobei ∇ · σ =(∑3

j=1∂σij∂xj

)i, i = 1, 2, 3.

Damit gilt

F =

∫ω

(f +∇ · σ)dx .

Im Gleichgewicht gilt F = 0.Da ω beliebig war, gilt f +∇ · σ = 0auch auf ganz Ω.


Materialmodell und Hooke’sches Gesetz

Die Verschiebung eines Partikels ist definiert durch den Vektor

u(x) = x − x0, ∈ R3

wobei x die momentane Position und x0 die ursprungliche Positioneines Partikels angibt.Unter der Annahme, dass nur kleine Verformungen auftreten,beschreibt der Verzerrungstensor ε das Maß der Deformation:

ε =1

2(∇u +∇u>)


Das Hooke’sche Gesetz setzt Spannungen und Deformationen inVerbindung. Es gilt allgemein

σ = Cε

C ist ein Tensor 4. Ordnung mit 36 unabhangigen Komponenten(elastische Moduli).In isotropen Materialien werden 2 elastische Moduli µ, λ(Lame-Konstanten) benotigt. Ist der Korper vor der Deformationspannungsfrei, so vereinfacht sich das Hooke’sche Gesetz zu

σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I ,

wobei I die Einheitsmatrix im R3 ist und

µ =E

2(1 + ν), λ =

Eν

(1 + ν)(1− 2ν)

E : Young Modul (Steifheit eines Materials),

ν: Poissonzahl (Querkontraktion).


Das Hooke’sche Gesetz lasst sich auch vereinfacht schreiben als

σ = Cε,

wobeiσ = (σ11 σ22 σ33 σ12 σ23 σ31)>,

ε = (ε11 ε22 ε33 2ε12 2ε23 2ε31)>

und

C =

λ+ 2µ λ λ 0 0 0λ λ+ 2µ λ 0 0 0λ λ λ+ 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ


Lineare Elastostatik

Werden die Cauchy’sche Gleichgewichtsgleichung und dasHooke’sche Gesetz miteinander kombiniert, erhalt man ein Systemaus zwei vektorwertigen partiellen Differentialgleichungen in denUnbekannten σ und u.Um eine Losung zu finden, werden Randdaten benotigt:

Dirichlet-Randdaten fur u: u = gD auf ΓD

Neumann-Randdaten fur σ · n: σ · n = gN auf ΓN


Das Problem in der linearen Elastostatik ist den Spannungstensor σund den Verschiebungsvektor u zu finden, sodass die Gleichungen

−∇ · σ = f in Ω

σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I in Ω

u = gD auf ΓD

σ · n = gN auf ΓN

erfullt sind.


Variationsformulierung

Sei V = v ∈ (H1(Ω))3 : v |ΓD= 0. Multipliziere f = −∇ · σ mit

v ∈ V und integriere uber Ω∫Ωf (x) · v(x)dx =

∫Ω

(−∇ · σ(x)) · v(x)dx

=

∫Ω

3∑j=1

∂σij∂xj

(x)

i

· v(x)dx

=3∑

i ,j=1

∫Ω−∂σij∂xj

(x)vi (x)dx


Einfuhrung des Frobenius-Skalarproduktes fur MatrizenA, B ∈ R3×3

A : B =3∑

i ,j=1

AijBij

und anschließende partielle Integration ergibt:

3∑i ,j=1

∫Ω−∂σij∂xj

(x)vi (x)dx

=3∑

i ,j=1

(∫∂Ω−σij(x)nj(x)vi (x)dSx +

∫Ωσij(x)

∂vi∂xj

(x)dx

)= −

∫∂Ω

(σ · n)(x) · v(x)dSx +

∫Ωσ(x) : ∇v(x)dx


Mit der Neumann-Randbedingung σ · n = gN auf ΓN und v = 0auf ΓD folgt∫

Ωσ(x) : ∇v(x)dx =

∫Ωf (x) · v(x)dx +

∫ΓN

gN(x) · v(x)dSx

Mit σ : ∇v = σ : ε(v) und dem Hooke’schen Gesetz (siehe Tafel)folgt schließlich

2µ

∫Ωε(u(x)) : ε(v(x))dx + λ

∫Ω

(∇ · u)(∇ · v)(x)dx

=

∫Ωf (x) · v(x)dx +

∫ΓN

gN(x) · v(x)dSx

Somit ergibt sich letztendlich die Variationsformulierung.



Finde u ∈ V so, dass

a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V ,

wobei die Bilinearform a : V × V → R und die Linearform` : V → R definiert sind durch

a(u, v) = 2µ


∫Ω

(∇ · u)(∇ · v)(x)dx

`(v) =

∫Ωf (x) · v(x)dx +

∫ΓN

gN(x) · v(x)dSx


Existenz und Eindeutigkeit der Losung

Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen. Zu prufensind die folgenden Punkte:• Fur die Bilinearform a(·, ·):

Bilinearitat

Beschranktheit auf V

Koerzivitat

• Fur die Linearform `(·):

Linearitat

Beschranktheit


Benotigte Hilfsmittel

• Normen fur A ∈ R3×3, b ∈ R3

‖A‖2V =

3∑i ,j=1

‖Aij‖2H1(Ω), ‖b‖2

V =∑i=1

‖bi‖2H1(Ω),

‖A‖2F ,Ω =

∫ΩA : A dx , ‖b‖2 =

∫Ωb · b dx

Korn’sche Ungleichung

Es gibt eine Konstante C so, dass die Ungleichung

C‖∇v‖2 ≤ ‖ε(v)‖2 =

∫Ω

3∑i ,j=1

εij(v)εij(v)dx

gilt fur alle v ∈ (H10 (Ω))3.

Bemerkung: Ein vergleichbares Resultat gilt auch fur v ∈ V


Beweis der Korn’schen Ungleichung

∫Ω

3∑i ,j=1

εij(v)εij(v)dx =

∫Ω

3∑i ,j=1

(1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

))2

dx

=1

4

∫Ω

3∑i ,j=1

((∂vi∂xj

)2

+ 2∂vi∂xj

∂vj∂xi

+

(∂vj∂xi

)2)dx

=1

4

∫Ω∇v : ∇v dx + 2

∫Ω

3∑i ,j=1

∂vi∂xj

∂vj∂xi

+

∫Ω∇v : ∇v dx

=

1

2‖∇v‖2

F ,Ω +1

2

3∑i ,j=1

∫Ω

∂vi∂xj

∂vj∂xi

dx


Die Behauptung folgt, wenn

0 ≤3∑

i ,j=1

∫Ω

∂vi∂xj

∂vj∂xi

dx

gilt. Zweimaliges partielles Integrieren und v = 0 auf ∂Ω ergibt

3∑i ,j=1

∫Ω

∂vi∂xj

∂vj∂xi

dx =3∑

i ,j=1

(∫∂Ω

∂vj∂xi

vinjdSx −∫

Ω

∂2vj∂xi∂xj

vi dx

)

= −3∑

i ,j=1

(∫∂Ω

∂vj∂xj

vinidSx −∫

Ω

∂vj∂xj

∂vi∂xi

dx

)=

∫Ω

(∇ · v)2dx ≥ 0


Bedingungen fur Lax-Milgram

• Beschranktheit von a(·, ·) mit Cauchy-Schwarz

|a(u, v)| ≤ 2|µ|∣∣∣∣∫

Ωε(u) : ε(v)dx

∣∣∣∣+ |λ|∣∣∣∣∫

Ω(∇ · u)(∇ · v)dx

∣∣∣∣≤ 2|µ|‖ε(u)‖F ,Ω‖ε(v)‖F ,Ω + |λ|‖∇ · u‖L2(Ω)‖∇ · v‖L2(Ω)

≤ C‖∇u‖F ,Ω‖∇v‖F ,Ω ≤ C‖u‖V ‖v‖V

• Koerzivitat von a(·, ·)

a(u, u) ≥ 2µ‖ε(u)‖2F ,Ω

≥ C‖∇u‖2F ,Ω

≥ C ′‖u‖2V


• Beschranktheit von `(·) mit Cauchy-Schwarz und Spursatz

`(v) =

∫Ωf · v dx +

∫ΓN

gN · v dSx

≤ ‖f ‖‖v‖+ ‖gN‖ΓN‖v‖ΓN

≤ ‖f ‖‖v‖V + C‖gN‖ΓN‖v‖V

= (‖f ‖+ C‖gN‖ΓN)‖v‖V


Eine Besonderheit bei der bevorstehenden Galerkin-Approximationist die 3D-Netzgenerierung. Betrachte als Beispiel dieDiskretisierung eines Quaders in drei Dimensionen durch einTetraedernetz Th mit Hilfe von freefem++.


Galerkin-Approximation

Jede Komponente von u soll mit stuckweise linearen und auf ganzΩ stetigen Funktionen approximiert werden. Sei Th = T einTetraedernetz auf Ω und

Vh = v ∈ V : v |T ∈ (P1(T ))3, ∀T ∈ Th

Die Aufgabe lautet: Finde uh ∈ Vh so, dass

a(uh, vh) = `(vh) ∀vh ∈ Vh


A priori Fehlerabschatzung

Die Finite-Elemente-Losung uh erfullt fur u ∈ (H2(Ω))3 dieAbschatzung

‖∇(u − uh)‖ ≤ Ch|u|(H2(Ω))3 ,

wobei C eine von u, uh und der Schrittweite h unabhangigeKonstante ist.


Beweis der a priori Fehlerabschatzung

Aus der Koerzivitat von a(·, ·) folgt

m‖∇(u − uh)‖2F ,Ω ≤ m‖u − uh‖V

≤ a(u − uh, u − uh) = a(u − uh, u − Πu + Πu − uh)

= a(u − uh, u − Πu) + a(u − uh,Πu − uh)

Mit der Beschranktheit von a(·, ·) gilt weiterhin

a(u − uh, u − Πu) ≤ C‖∇(u − uh)‖F ,Ω‖∇(u − Πu)‖F ,Ω

und mit der Interpolationsabschatzung‖∇(u − uh)‖F ,Ω ≤ Ch|u|(H2(Ω))3 folgt die Behauptung.


A posteriori Fehlerabschatzung

Die Finite-Elemente-Losung uh genugt der folgenden Abschatzung:

‖∇(u − uh)‖ ≤ C∑T∈Th

(RT + rT ) ,

wobei das RandresiduumRT = h

1/2T ( 1

2‖[σh · n]‖∂T\∂Ω + ‖gN − σh · n‖∂T∩ΓN) und

rT = hT‖f +∇ · σh‖T das innere Residuum ist.


Mit FreeFem++ wird die folgende Aufgabe gelost:Finde den Spannungstensor σ und den Verschiebungsvektor u mit

−∇ · σ = f in Ω

σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I in Ω

u = 0 auf ΓD

σ · n = 0 auf ΓN

Die Variationsformulierung lautet:Finde u ∈ V so, dass

a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V ,

wobei die Bilinearform a : V × V → R und die Linearform` : V → R definiert sind durch

a(u, v) = 2µ


∫Ω

(∇ · u)(∇ · v)(x)dx

`(v) =

∫Ωf (x) · v(x)dx


Hierbei istf = (0, 0,−9.82)>,

Young Modul E = 2000,

Poissonzahl ν = 0.3


Modellierung linearer Thermoelastizitat

Erhitzen bzw. Abkuhlen eines Materials fuhrt zur isotropenExpansion bzw. Kontraktion. Ublicherweise wird hierzu derVerzerrungstensor ε modifiziert:

ε = εM + εT ,

εM : mechanischer Anteil, befolgt das Hooke’sche GesetzεT : thermischer Anteil, εT = α(T − T0)I , α ist der thermaleExpansionskoeffizient, T die Temperatur und T0 eineReferenztemperatur

Es ergibt sich die Aufgabe ein σ und ein u zu finden mit:

−∇ · σ = f in Ω

σ = 2µε(u) + λ(∇ · u)I − α(3λ+ 2µ)(T − T0)I in Ω

u = 0 auf ΓD

σ · n = gN auf ΓN



Finde u ∈ V so, dass

a(u, v) = `(v) +

∫Ωα(3λ+ 2µ)(T − T0)(∇ · v)(x)dx ∀v ∈ V ,

wobei die Bilinearform a : V × V → R und ` : V → R wie obendefiniert sind.


Quellen

1 M. Larson und F. Bengzon: The finite element method:theory, implementation, and practice, Springer, 2010

2 http://www.freefem.org/ff++/ftp/freefem++doc.pdf

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