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創意教具DIY—釘板的製作和圖形的面積問題

何謂釘板？它是一種學習數學的輔助

教具，在一個平面上排滿許多排列整齊的

釘子（為安全起見，市售的釘子多為塑膠

製）。圖 1和 2是常見的釘子排列模型，

文．圖／李祐宗

其中交點處為釘子的位置。此教具搭配橡

皮筋可以創作出許多不同的幾何形狀或有

趣圖案。教學現場最常見的是方格狀的釘

板，因此筆者主要以方格狀釘板來討論。

圖 1　正方形格子。 圖 2　正三角形格子。

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科學研習 NOV 2015 No.54-11

釘板的製作

筆者鑑於市售的教具面積不大，拿來做教學演示會有些吃力，加上手邊有些適合的材

料，於是靈機一動 DIY的釘板即呼之欲出，且這樣的教具將來不用時還可以輕易將各部分

拆下，所有零件都可以再利用。

一、製作材料

PP板（A4）、大頭圖釘、鬆緊繩、A3紙張以及泡綿板（背面有軟磁鐵，可吸附於黑

板上）。

創意教具DIY—釘板的製作和圖形的面積問題

二、製作程序

1.　 用電腦設計欲排版之樣式，並將之列印於 A3紙張上，作為上圖釘位置的依據。

2.　 將兩張 A4的 PP板以膠帶拼成一個 A3的大小。

圖 3　各項材料。

圖 5　兩片 A4拼成一張 A3。

圖 4　市售的格子點 PP板，更適合做釘板。

圖 6　將泡綿拼成 A3的形狀。

創意教具DIY—釘板的製作和圖形的面積問題

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3.　 拼湊、裁切泡綿為 A3的尺寸置

於 PP板底下。

4.　 將圖釘一一釘於排好的版面之圖

形交點處（大頭圖釘有顏色，因

此在上圖釘的時候可以隨讀者喜

好與數列搭配做排列）。圖 7　自製 A4及 A3的釘板。

創意教學

圖 8∼ 15所示圖形皆用市售的鬆緊繩（裁縫店或書局可買到）圍成，勿用橡皮筋，因

橡皮筋太緊容易使釘板圖釘掉落。

圖 8　各種正方形。

圖 11　各種三角形。 圖 12　房屋。

圖 14　英文字 K。 圖 15　愛心。

圖 13　一座山。

圖 9　各種平行四邊形。 圖 10　各種梯形。

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圖形的面積與學生常見的迷思

小學數學教過三角形、正方形、長方

形以及梯形面積公式的運算，但是若在釘

板隨意圍出一多邊形，則如何計算其面

圖形一是一個類似梯形的面積，但不

是梯形，因此有些學生一時會想不出來，

其實只要將圖形「切割」成左邊的三角形

加右邊的梯形再相加即可。此圖形面積為

（2×5）÷2 ＋ [（4 ＋ 5）×3] ÷2 ＝ 18.5

個單位方格。

創意教具DIY—釘板的製作和圖形的面積問題

欲求圖形二的面積，若將此題以切割

的方式計算，則出現的 A、B兩個圖形面

積不易計算，此時發現無論如何切割都得

圖 16　圖形一。

圖 18　圖形二。 圖 19　圖形二的切割。

圖 17　圖形一的切割。

積？筆者曾對班上學生做過實驗，發現多

數學生只要圖形是課本沒教過的就不知如

何計算。茲舉例如下（為讓圖形清楚顯示，

圖 16∼ 33所示圖形改以電腦繪圖代替實

際釘板圖形）：

圖 17左邊的三角形面積有些學生會算

成 3×6÷2。為什麼呢？因為他們將格子點

的數目當成是邊長，實際上應是 2×5÷2

＝ 5才對。先讓學生討論點數與單位邊長

數的關係，學生比較不會犯錯。

不到容易計算的方式。有時候問題可以反

過來思考，我們可以「拼補」的方式來計

算其面積。

B

圖形一

圖形二

A

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如圖 20，我們可以先用一矩形將此圖形圍住，然後將矩形面積扣掉甲、乙、丙、丁四

個三角形即可。因此圖形面積為 7×6－（2×5）÷2－（1×7）÷2－（5×1）÷2－（6×2）

÷2＝ 25個單位方格。

圖 20　圖形二的切割。

圖 21　圖形三。 圖 22　圖形三的切割。

圖 24　圖形四。 圖 25　圖形四的切割。

圖 23　圖形三的切割。

甲

乙

丙

丁

如圖形三是一個不規則的圖形，有些

人可能會進行如圖 22的切割，但如此的分

割 A部分較難計算面積，若改成圖 23的切

圖形三

割，就容易計算出來。此題的面積為 22個

單位方格。

圖形四

A

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圖 26　圖形四的切割。

圖 28　圖形五。 圖 29　圖形五的切割。 圖 30圖形五的拼補。

圖 27　圖形四的拼補。

在圖形四中，很多人直接想到的就是

圖 25的計算方式。但如此的方式會有兩

個問題，其一就是斜邊和高有根號的問題

（當然，如果學生學習過根號是有能力計算

的）；其二是有些人會將底邊當成是 7單

位，高為 2.5單位，這樣就犯了邊長與斜邊

混淆的錯誤。關於此問題，老師應該讓學

生充分討論，才能讓學生了解其迷思。

此圖形可以切割如圖 26的方式或是以拼補的方式（如圖 27）來計算面積，此圖形的

面積為 17.5個單位方格。

圖形五的面積很多人會誤以為是 3×3

＝ 9，這同樣是犯了邊長與斜邊混淆的錯

誤。其實此圖形的面積若不用根號的觀念

也可用分割的方法計算出來（如圖 29），此

圖形的面積為 18個單位方格。或者用 6×6

＝ 36，36的一半就是 18來處理也可以（如

圖 30）。

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圖形五

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有了這樣的概念之後，筆者提供圖 31∼ 33所示的三個圖形供讀者練習計算其面積。

圖 31　魚。 圖 32　星星。

圖 33　阿基米德的胃痛問題（一正方形切成 14塊拼圖）。

DIY的樂趣多，除了可以活化資源回

收物，也可以從動手操作中體驗到學習的

樂趣。不僅如此，用圖釘來作釘板的好處

是可以隨心所欲地變化釘板的排列方式，

手腦並用可以增進學習效果。只是在資訊

科技進步的現在，若沒有實體的教具，利

用電腦軟體做輔助也是不錯的選擇。

李祐宗　 澎湖縣文光國民中學數學教師、

澎湖縣國教輔導團輔導員