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DISTRIBUCIONES ELIPTICAS MULTIVARIADAS

SINGULARES Y NO SINGULARES:

TEORIA Y APLICACIONES

Vıctor Leiva SanchezDepartamento de EstadısticaUniversidad de Valparaıso

CHILE

Y

Jose A. Dıaz GarcıaDepartamento de Estadıstica y Calculo

Universidad Autonoma Agraria Antonio NarroMEXICO

Prologo

La distribucion Normal multivariada ha servido durante mucho tiempo como modelo estandar

para observaciones provenientes de diferentes areas, siendo esta el objetivo central del analisis

multivariante clasico. Sin embargo, a traves de los anos los estadısticos han tratado de extender

la teorıa de este analisis a casos mas generales y, por lo tanto, con mayor cobertura.

Ultimamente se ha planteado una clase de distribuciones cuyos contornos de sus densidades

tienen la misma forma elıptica de la Normal, pero ademas contienen distribuciones de colas

mas y menos pesadas que las de esta. Esta clase de distribuciones simetricas se denom-

ina distribuciones Contornos Elıpticos o simplemente distribuciones Elıpticas. En el analisis

multivariante, la familia de distribuciones Elıpticas proporciona una alternativa y una gener-

alizacion de la distribucion Normal, ya que esta ultima es un caso particular de tal familia,

por lo que da origen a lo que hoy se denomina Analisis Multivariado Generalizado.

La utilizacion de distribuciones Elıpticas en problemas que solo han sido resueltos con la

distribucion Normal, permite generalizar la teorıa hasta ahora planteada. Algunos de estos

problemas ya han sido resueltos para las distribuciones Elıpticas no singulares, aunque no

ası para el caso singular. Especıficamente, cuando se muestrea desde una poblacion Elıptica,

el problema de las distribuciones de muestreo tradicionalmente usadas, esto es, las distribu-

ciones chi-cuadrado, t y F , que bajo distribuciones Elıpticas se denominan distribuciones

chi-cuadrado,t y F , ha sido parcialmente resuelto. Quedando abierto el problema desde la

perspectiva de las distribuciones Elıpticas singulares y para las distribuciones t y F doble no

centradas generalizadas. Por otra parte, el interes puede radicar en la estimacion e inferencia

1

2

de los parametros de dispersion de la poblacion en estudio. Bien se sabe que las medidas de

dispersion se utilizan para evaluar la variabilidad de un conjunto de datos, siendo la desviacion

estandar la mas utilizada; sin embargo, esta entrega poca informacion del conjunto si es in-

terpretada en forma aislada, solo cuando se la relaciona con la media su interpretacion tiene

mayor sentido. Por esta razon el coeficiente de variacion, que relaciona a ambas medidas,

es sumamente util. Este coeficiente mide la dispersion u homogeneidad de un conjunto de

datos asociados a una variable aleatoria y es una medida de variabilidad relativa, es decir,

es adimensional, pues representa a la desviacion estandar por una unidad de media y resulta

de particular interes cuando se desea comparar la variabilidad entre grupos cuyas medias y

varianzas difieren. Sus aplicaciones son diversas y se lo ha empleado con mucho exito en la

medicion de la variabilidad relativa. Por ejemplo, se lo ha utilizado ampliamente para com-

parar metodos de medicion; en Finanzas, se lo ha usado para medir el riesgo relativo de rentas

variables; en Teorıa de Inventarios para comparar la variabilidad de dos niveles de almace-

namiento y tambien se ha aplicado el coeficiente de variacion en Ciencias Fısicas, Biologicas

y Medicas. Dentro del contexto de la Estadıstica se pueden encontrar tambien aplicaciones

del coeficiente de variacion en un problema de muestreo, especıficamente en la determinacion

del tamano de la muestra, al emplear una prueba de hipotesis para el coeficiente de variacion

para evaluar la no normalidad de una variable aleatoria positiva, en Modelos Lineales y en

Confiabilidad, entre otras.

Existen en la actualidad excelentes libros y artıculos que recogen las investigaciones hechas

hasta la fecha acerca de la distribuciones Elıpticas, como lo son los libros [1], [32], [31], [39]

y [70], y diversas publicaciones, entre las que se encuentran los trabajos [50], [16], [18], [49],

[15], [12] y [83], y los trabajos recientes [5] y [54], entre otros. Aunque a partir de 1970 estas

distribuciones comenzaron su auge, se registran estudios anteriores, como lo son [72] y [56].

Asimismo, las distribuciones de formas cuadraticas y distribuciones asociadas al muestreo,

obtenidas a partir de distribuciones Elıpticas, fueron estudiadas y publicadas en [11], [34], [4]

y [78], entre otros.

3

Por otra parte, los primeros resultados distribucionales del CV de una poblacion Normal se

remontan a los estudios realizados en [59], los cuales son corroborados en [66]. Luego de casi

cuatro decadas, en [44] se retoma el tema comparando aproximaciones de percentiles del CV

muestral con los resultados hasta ahı propuestos. Posteriormente en [6] se plantea un contraste

aproximado para probar la homogeneidad de coeficientes de variacion. En [7] se encuentra un

test basado en el estadıstico de razon de verosimilitud para contrastar estas mismas hipotesis.

Luego en [63] se propone un nuevo contraste para la igualdad de dos coeficientes de variacion,

en [30] se generaliza a k muestras, y en [77] se presentan estudios de simulacion de estos

contrates. Por su parte, en [43] se realiza inferencia para el CV de una distribucion Inversa

Gaussiana. En [62], y posteriormente en [35], se presentan pruebas de hipotesis asintoticas

para el coeficiente de variacion de una, dos y k muestras, junto con estudios de simulacion. En

[40] se entregan diversos resultados que permiten probar la igualdad de coeficientes de variacion

de k muestras provenientes de poblaciones normales basados en la revision de contrastes ya

conocidos, como lo son las pruebas de Bennet, de razon de verosimilitud, de la t no centrada,

de Wald -la que extienden a k muestras y para distintos tamanos de estas- y ademas presentan

un nuevo contraste basado en la prueba de Score. En [64] se hace inferencia asintotica para el

CV de una poblacion Normal presentando formulas para estadısticos de prueba, a traves de

los cuales es posible evaluar la potencia de los contrastes planteados. Finalmente, algunos de

los resultados planteados para el CV de una poblacion Normal son extendidos en [54] al caso

de una poblacion Elıptica.

A partir de esto el queda abierta la aplicacion de las distribuciones Elıpticas singulares sobre:

las distribuciones chi-cuadrado, t y F generalizadas centradas y no centradas, las distribu-

ciones t y F generalizadas doble no centradas, y sobre la inferencia para el coeficiente de

variacion de una poblacion Elıptica.

Se estudia en este trabajo el problema de singularidad de una distribucion Elıptica, pues la

densidad multivariada no existe en todo IRn, tal como se menciona en [32] y [69]; sin embargo,

dicha densidad sı existe en un subespacio de IRn, tal como se presenta en este trabajo. Se

4

tratan tambien aquı problemas asociados con distribuciones empleadas en el muestreo, como

lo son la distribucion chi-cuadrado generalizada centrada y no centrada, la distribucion t

generalizada centrada y no centrada y la distribucion F generalizada centrada, no centrada y

doble no centrada, bajo singularidad y no singularidad de la ley Elıptica asociada. Finalmente,

a traves de las distribuciones Elıpticas, de la distribucion t generalizada no centrada y del

caso de muestras grandes, se estudia el aspecto distribucional e inferencial del coeficiente de

variacion poblacional, tanto para el caso de una poblacion Elıptica con estructura dependiente

e independiente.

Las aportaciones especıficas que se hacen en este trabajo, son:

(1) Hallar la densidad de una vector aleatorio Elıptico singular siguiendo el argumento prop-

uesto en [69, p. 527] y se hallan las distribuciones χ2, t y F generalizadas asociadas a este

vector aleatorio, en cuyo caso, y tal como se demuestra, la singularidad de la distribucion

Elıptica afecta los grados de libertad de tales distribuciones. Posteriormente, se utilizan dos

distribuciones Elıpticas singulares especıficas, como lo son la Pearson tipo VII y la de tipo

Kotz, hallando ası explıcitamente las densidades de estas distribuciones. Finalmente, se tratan

dos aplicaciones de la distribucion Elıptica singular. La primera de ellas relacionada con la

distribucion de los residuos de un modelo lineal Elıptico y la segunda relacionada con el

estadıstico t generalizado, basado en una muestra obtenida desde una poblacion Elıptica.

(2) Presentar las distribuciones t y F generalizadas, tanto para el caso centrado, no centrado y

doble no centrado, y bajo singularidad y no singularidad de la distribucion Elıptica asociada,

en cuyo caso la singularidad de la distribucion afecta los grados de libertad de las distribuciones

t y F generalizadas (vea [25]). Para las distribuciones t y F generalizadas centradas, se usa la

invarianza de tales distribuciones bajo leyes Elıpticas con parametro de posicion igual a cero,

coincidiendo con las del caso Normal. Para las distribuciones F generalizadas no centrada y

doble no centrada, se presentan sus densidades tanto en terminos de integrales como de las

derivadas de la funcion generadora de densidades asociada a cada distribucion Elıptica, y por

ende de cada distribucion F generalizada. En el caso de la distribuciones t generalizadas no

5

centrada y doble no centrada no es posible obtener esta representacion, por lo que su densidad

solo se expresa a traves de integrales. Finalmente se ilustran todos estos resultados para dos

subfamilias de distribuciones Elıpticas, como lo son la distribucion de Pearson tipo VII y

la distribucion de tipo Kotz, subfamilias que a su vez contienen como casos particulares a

las distribuciones Elıpticas t y Normal multivarian-tes, respectivamente. En esta ilustracion

y para el caso de la distribucion F generalizada, se observa la evidente simplificacion que

se produce al usar la densidad en terminos de la derivada de la gene-radora de densidades

en lugar de la expresion integral. Sin embargo, se debe tener presente que la aplicacion

de este resultado es solo posible cuando la generadora de densidades, asociada a la particular

distribucion Elıptica que se haya considerado, sea expandible en serie de Taylor, lo cual ocurre

cuando existen los momentos de dicha distribucion. Como no todas las distribuciones Elıpticas

disponen de momentos, como por ejemplo la distribucion de Cauchy, esto motiva entonces la

existencia de las dos expresiones para la densidad.

(3) Proponer un coeficiente de variacion generalizado, como una medida de varia-bilidad rel-

ativa, valido para poblaciones cuya distribucion carece de primer y segundo momento (los

momentos de una distribucion Elıptica pueden verse en [32][p. 67])). Esta medida se puede

entender como una generalizacion del CV y se define como la raız cuadrada del parametro de

escala dividido por el parametro de posicion. Se analizan aspectos distribucionales e inferen-

ciales de este CV generalizado bajo dos modelos Elıpticos, como lo son el modelo dependiente

(el vector aleatorio tiene una estructura dependiente con distribucion Elıptica multivariada) y

el modelo independiente (cada variable aleatoria del vector es independiente e identicamente

distribuida Elıptica univariada). Especıficamente, para ambos modelos (dependiente e inde-

pendiente) se encuentra el estimador de verosimilitud maxima (EVM) y, en forma alterna-

tiva, se plantea un estimador tipo momentos (EM) para el CV. El EVM queda expresado en

terminos de las funciones f y φ asocia-das a cada ley Elıptica, por lo cual en esta seccion solo

es posible hallar una expresion general para este estimador. Posteriormente se presenta la

distribucion exacta del inverso del EVM del CV para el modelo dependiente y la distribucion

asintotica del EVM y del EM del CV bajo el modelo independiente. A partir de estas distribu-

6

ciones se obtienen intervalos de confianza y pruebas de hipotesis para el CV. Los resultados

obtenidos bajo el modelo dependiente son ilustrados a traves de dos subfamilias de distribu-

ciones Elıpticas, como lo son la distribucion de Pearson Tipo VII y la distribucion de Tipo

Kotz, permitiendo encontrar ası expresiones explıcitas para los resultados planteados; partic-

ularmente se estudian las distribuciones t-multivariada y de Cauchy (esta ultima distribucion

carece de momentos), como casos particulares de la subfamilia Elıptica de Pearson Tipo VII,

y la distribucion Normal, como caso particular de la subfamilia de Tipo Kotz. Los resultados

encontrados bajo el modelo independiente se particularizan para la distribuciones univariadas

t con s grados de libertad y Normal, incluyendo ademas la eficiencia relativa asintotica (ERA)

de los estimadores hallados. Finalmente se entrega una detallada lista de aplicaciones del CV.

Este trabajo ha sido estructurado en dos partes y seis capıtulos. La primera parte presenta

aspectos introductorios de la distribuciones Elıpticas y del algebra matricia, la cual esta es-

tructurada en 3 capıtulos. En el primero de ellos se proporcionan los aspectos preliminares,

requeridos para solucionar algunos problemas que se resuelven en los capıtulos subsiguientes.

En el segundo capıtulo se introducen las distribuciones Elıpticas y Esfericas, en el se presentan

resultados conocidos de estas distribuciones y sus relaciones con la distribucion Normal. En

el capıtulo tercero se tratan las distribuciones empleadas habitualmente en el muestreo, en

este caso de una poblacion Elıptica, como lo son las distribuciones chi-cuadrado, t y F gener-

alizadas, para los casos centrados y no centrados, basados en resultados ya conocidos. En la

segunda parte se presentan los resultados de las 3 aportaciones originales propuestas en este

trabajo, solo planteadas hasta ahora en artıculos. la cual esta compuesta por los Capıtulos

cuatro, cinco y seis de este trabajo. En el capıtulo cuatro se trata la distribucion Elıptica

singular, se encuentra su densidad y se presentan dos aplicaciones de esta. En el capıtulo cinco

se presentan las distribuiciones t y F generalizadas doble no centradas, se halla su densidad

bajo singularidad y no singularidad de la ley Elıptica asociada. En el capıtulo seis se presentan

todos los aspectos relacionados con la inferencia del coeficiente de variacion de una poblacion

Elıptica con estructura dependiente e independiente, ası como los aspectos distribucionales

de los estimadores del coeficiente de variacion planteados. Finalmente, se acompana a una

7

extensa bibliografıa del tema que fue revisada por el autor.

8

Notacion y Abreviaturas

IRn : Espacio real n-dimensional.

A ∈ IRn×p : Matriz real de dimension n× p.

A,B, C, . . . : Matrices constantes.

a, b, c, . . . : Constantes reales.

X,Y,Z, . . . : Vectores aleatorios.

X, Y, Z, . . . : Variables aleatorias.

aij : El ij-esimo elemento de la matriz A.

AT : La transpuesta de A.

In : Matriz identidad de orden n.

eni : Vector unitario de orden n.

aj : j-esima columna de la matriz A.

a(i) : i-esima fila de la matriz A.

|A| : Determinante de A.

A−1 : Inversa de A.

A− : Inversa generalizada de A.

Ac : Inversa condicional de A.

9

10

rk A : Rango de A.

tr A : Traza de A.

diag A : Matriz diagonal.

UT : Conjunto de matrices triangulares superiores.

LT : Conjunto de matrices triangulares inferiores.

f(·) : Funcion real valorada f .

f ′(·) : Derivada de la funcion f .

f (2k)(·) : Derivada 2k-esima de la funcion f .

A > 0 : Matriz definida positiva.

A ≥ 0 : Matriz semi-definida positiva.

A⊗B : Producto Kronecker de las matrices A y B.

O(p) : Conjunto de matrices ortogonales ∈ IRp×p.

Vn,n−p : Variedad de Stiefel ∈ IRn×(n−p).

Im A : Imagen de A.

t.c.e.g. : Transformacion de coordenadas esfericas generalizadas.

J(X → Y) : Jacobiano de la transformacion de X a Y.

IE(X) : Valor esperado de X.

V ar(X) : Varianza de X.

11

ψX(t) : Funcion caracterıstica de X.

f.c. : Funcion Caracterıstica.

Xd= Y : X e Y tienen la misma distribucion.

Nn(·, ·) : Distribucion Normal multivariada.

ECn(·, ·; ·) : Distribucion Elıptica en IRn.

Sn(·) : Distribucion Esferica en IRn.

Beta(·, ·) : Distribucion Beta.

P V IIn (·) : Distribucion de Pearson tipo VII multivariada.

P IIn (·) : Distribucion de Pearson tipo II multivariada.

Uni{E‖X‖ = 1} : Distribucion Uniforme en la esfera unitaria.

tn(·, ·) : Distribucion t-multivariada.

Kn(·, ·) : Distribucion de tipo Kotz en IRn.

Gχ2 : Distribucion chi-cuadrado generalizada.

Gt : Distribucion t generalizada.

GF : Distribucion F generalizada.

GF ′′ : Distribucion F generalizada doble no centrada.

EMV(θ) : Estimador Maximo Verosımil de θ.

CV : Coeficiente de Variacion.

TRV : Test de Razon de Verosimilitud.

12

Contents

I ASPECTOS INTRODUCTORIOS 17

1 Preliminares 19

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Aspectos de Teorıa Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Matrices Ortogonales y Semi-ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Determinante de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 Inversion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4 Particion de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.5 Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.6 Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.7 Formas Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.8 Matrices Definidas y Semi-definidas Positivas . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.9 Proyecciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.10 Factorizaciones de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.11 Inversa Generalizada de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.12 Producto Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3 Evaluacion del Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.1 La Transformacion de Coordenadas Esfericas Generalizadas . . . . . . 34

2 Distribuciones de Contornos Elıpticos 37

2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

13

14 CONTENTS

2.2 Distribucion Elıptica No Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.1 Distribuciones Elıpticas y Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.2 Representacion Estocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3 Distribuciones Marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.4 Distribuciones Condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.5 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.6 Caracterizaciones de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.7 Distribucion Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.8 Distribuciones Elıpticas Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Distribucion de Formas Cuadraticas 49

3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Distribucion Chi-cuadrado Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2 Distribucion Chi-cuadrado Generalizada Centrada y No Centrada . . . 50

3.3 Distribucion t Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2 Distribucion t Generalizada Centrada y No Centrada . . . . . . . . . . 57

3.4 Distribucion F Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.2 Distribucion F Generalizada Centrada y No Centrada . . . . . . . . . . 63

II RESULTADOS 69

4 Distribucion Elıptica Singular 71

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2 Densidad de una distribucion Elıptica Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Distribuciones χ2, t y F Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.1 Distribucion χ2 Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

CONTENTS 15

4.3.2 Distribucion t Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.3 Distribucion F Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.1 Distribucion de los Residuos de un Modelo Lineal Elıptico . . . . . . . 85

4.4.2 Distribucion del Estadıstico t Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Distribuciones Gt y GF Doble No Centrada 91

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Distribucion Gt Doble No centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.1 Distribucion Gt No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.2 Distribucion Gt bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular . . . . . . 95

5.2.3 Distribucion Gt bajo una Ley de Tipo Kotz Singular . . . . . . . . . . 97

5.2.4 Distribucion Gt Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Distribucion GF Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.1 Distribucion GF No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.2 Distribucion GF bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular . . . . . . 103

5.3.3 Distribucion GF bajo una Ley de Tipo Kotz . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3.4 Distribucion GF Doble No Centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Inferencias para el CV bajo una Ley Elıptica 113

6.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2 Especificacion de los Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2.1 Modelo Elıptico con Estructura Dependiente . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2.2 Modelo Elıptico con Estructura Independiente . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 Estimadores del CV de una Poblacion Elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.1 Estimadores del CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3.2 Estimadores del CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Distribuciones Asociadas al Estimador del CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4.1 Distribucion del EVM del CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . . 121

16 CONTENTS

6.4.2 Distribucion Asintotica del CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Intervalos de Confianza para el CV de una poblacion Elıptica . . . . . . . . . . 124

6.5.1 Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . 124

6.5.2 Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . 125

6.6 Pruebas de Hipotesis para el CV de una Poblacion Elıptica . . . . . . . . . . . 126

6.6.1 Prueba de Hipotesis para el CV bajo el Modelo D . . . . . . . . . . . . 126

6.6.2 Prueba de Hipotesis para el CV bajo el Modelo I . . . . . . . . . . . . 126

6.7 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Part I

ASPECTOS INTRODUCTORIOS

17

Chapter 1

Preliminares

1.1 Introduccion

Este capıtulo presenta los aspectos preliminares de este trabajo y esta compuesto por dos

secciones; en la primera de ellas se encuentran definiciones y resultados conocidos del algebra

matricial, como lo son los de: matrices ortogonales y semi-ortogonales, determinante y rango

de una matriz, inversion y particion de matrices, valores y vectores propios de una matriz,

formas cuadraticas, matrices definidas y semidefinidas positivas, proyecciones ortogonales,

factorizacion de matrices e inversas generalizadas de un matriz; cada uno de los cuales se

hace necesario para el mejor entendimiento de este trabajo, ya se que emplean con bas-

tante frecuencia durante el desarrollo de este, pudiendo encontrar mayores detalles de esta

seccion en cualquier libro de Algebra Lineal, como por ejemplo en citeg:76, entre otros. En

la segunda seccion se presenta la evaluacion de jacobianos de transformaciones, enfatizando

particularmente en la transformacion de coordenadas esfericas generalizadas, ya que dicha

transformacion es utilizada ampliamente a lo largo de este trabajo, mayores detalles de esta

seccion pueden hallarse en [32], ası como en otros libros de la bibliografıa. Otros aspectos

matematicos ası como de teorıa estadıstica, utilizados en este trabajo, fueron omitidos en

estos preliminares, pudiendo de cualquier forma revisarse en [69] o [65], ası como en los antes

mencionados y en otros que aparecen en la bibliografıa.

19

20 CHAPTER 1. PRELIMINARES

1.2 Aspectos de Teorıa Matricial

Se presentan a continuacion los elementos del algebra matricial mas utilizados durante este

trabajo, ya descritos anteriormente y que juegan un importante papel en algunas secciones de

este.

Una matriz A ∈ IRn×p es un arreglo rectangular de elementos aij, tal que

A =

a11 . . . a1p

.... . .

...

an1 . . . anp

. (1.1)

Tambien se puede escribir A = (aij), aij ∈ IR.

Para la definicion anterior considere que

1. si n = p, entonces se dice que A es cuadrada de orden p.

2. AT es la transpuesta de A y tiene orden p× n.

3. si AT = A, se dice que A es simetrica.

4. si A es cuadrada y todos los elementos que estan fuera de la diagonal son ceros, entonces

A se dice que es una matriz diagonal y se denota por A = diag(aii). Si para A = (aij),

aij = 0, ∀ j < i, entonces A se dice matriz triangular superior y se denota por A ∈UT(p); si aij = 0, ∀ j > i, entonces A se dice matriz triangular inferior y se denota por

A ∈ LT(p).

5. si todos los elementos de A son ceros, entonces A se denomina matriz nula y se denota

por A = 0.

1.2.1 Matrices Ortogonales y Semi-ortogonales

[Conjunto de Matrices Ortogonales] El conjunto de matrices ortogonales, denotado por O(p),

es aquel que contiene a todas las matrices H ∈ IRp×p, tal que HT H = Ip, esto es,

O(p) = {H ∈ IRp×p | HT H = Ip}.

1.2. ASPECTOS DE TEORIA MATRICIAL 21

[Matriz Ortogonal] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, si A ∈ O(p) se dice que es una matriz

ortogonal.

[Conjunto de Matrices Semi-ortogonales] El conjunto de matrices semi-ortogonales, tambien

llamado Variedad de Stiefel y denotado por Vn,p, es aquel que contiene a todas las matrices

H ∈ IRn×p, tal que HT H = Ip, esto es,

Vn,p = {H ∈ IRn×p | HT H = Ip},

es decir, las columnas de H son ortonormales.

[Matriz Semi-ortogonal] Sea A ∈ IRn×p. Entonces, si A ∈ Vn,p, se dice que A es una matriz

semi-ortogonal.

1.2.2 Determinante de una Matriz

[Determinante] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, el determinante de A, denotado por |A|, viene dado

por

|A| = ∑π

επ a1j1 a2j2 ... apjp , (1.2)

donde∑

π denota la suma sobre todas las p! permutaciones π = (j1, ..., jp) de (1, ..., p) y επ = 1

o −1, dependiendo si la permutacion es par o impar.

Sea A ∈ IRp×p, tal que

1. si ai = 0 o a(j) = 0, para algun i o j, entonces |A| = 0.

2. |A| = |AT |.

3. |(a1 . . . ai−1 α · ai ai+1 . . . ap)| = α |A|, α ∈ IR.

4. |α A| = αp |A|, α ∈ IR..

5. |AB| = |A| · |B|, B ∈ IRp×p.

6. |A1 · . . . · An| = |A1| · . . . · |An|, Ai ∈ IRp×p, i = 1, ..., n.


7. |AAT | = |AT A| ≥ 0.

8.

A C

0 B

=

A 0

D B

= |A| · |B|, donde B ∈ IRq×q, C ∈ IRp×q y D ∈ IRq×p.

9. |Ip + BC| = |Iq + CB|, donde B ∈ IRp×q y C ∈ IRq×p.

10. |T | =p∏

i=1

tii, si T = (tij) ∈ UT(p).

11. |H| = ±1, si H ∈ O(p).

1.2.3 Inversion de Matrices

[Matriz Inversa] Sea A ∈ IRp×p y |A| 6= 0. Entonces, existe una unica matriz B ∈ IRp×p tal

que AB = Ip y B es llamada la inversa de A y se denota por A−1.

Una matriz cuyo determinante es distinto de cero se denomina no singular.

. Sea A ∈ IRp×p, tal que

1. AA−1 = A−1A = Ip.

2. (A−1)T = (AT )−1.

3. (AB)−1 = B−1A−1, si A y B son matrices no singulares.

4. |A−1| = |A|−1.

5. A−1 = AT , si A ∈ O(p).

6. Si A = diag(aii), con aii 6= 0, ∀ i = 1, ..., p, entonces A−1 = diag(a−1ii ), ∀ i = 1, ..., p.

7. Si A ∈ UT(p), entonces A−1 ∈ UT(p) y sus elementos en la diagonal son a−1ii , ∀ i =

1, ..., p.


1.2.4 Particion de Matrices

Una matriz no singular A ∈ IRp×p se dice que esta particionada en submatrices si, para

i, j = 1, 2, A puede escribirse de la forma

A =

A11 A12

A21 A22

, (1.3)

donde A11 ∈ IRm×q, A12 ∈ IRm×(p−q), A21 ∈ IR(n−m)×q y A22 ∈ IR(n−m)×p−q.

Sean A, B y C matrices de ordenes adecuados y particionadas apropiadamente. Entonces,

1. A + B =

A11 + B11 A12 + B12

A21 + B21 A22 + B22

y

2. AC =

A11C11 + A12C21 A11C12 + A12C22

A21C11 + A22C21 A21C12 + A22 + C22

.

3. Sea A ∈ IRp×p una matriz no singular, tal que B = A−1. Particione A y B de manera

similar y de la misma forma que antes, esto es,

A =

A11 A12

A21 A22

y B =

B11 B12

B21 B22

,

donde A11, B11 ∈ IRq×q y A22, B22 ∈ IR(p−q)×(p−q), con A11 y A22 no singulares.

Denote ahora

A11.2 = A11 − A12A−122 A21 y A22.1 = A22 − A21A

−111 A12. (1.4)

Entonces,

B11 = A−111.2 , B12 = −A−1

11 A12A−122.1 ,

B21 = −A−122 A21A

−111.2 , B12 = A−1

22.1 ,

B11 = A−111 + A−1

11 A12A−122.1A21A

−111 , B12 = −A11.2A12A

−122 ,

B21 = −A−122.1A21A

−111 y B22 = A−1

22 + A−122 A21A

−111.2A12A

−122 .


4. Sea A ∈ IRp×p particionada como en (2.3) y A11.2 y A22.1 como en (2.4). Ası,

(a) si |A22| 6= 0, entonces |A| = |A22| |A11.2|.

(b) si |A11| 6= 0, entonces |A| = |A11| |A22.1|.

(c) si |A11| 6= 0, entonces |A11| |A22.1| = |A22| |A11.2|.

5. Sean A ∈ IRp×p y B ∈ IRq×q matrices no singulares, C ∈ IRp×q y D ∈ IRq×p. Ası,

(A + CBD)−1 = A−1 − A−1CB(B + BDA−1CB)−1BDA−1. (1.5)

6. Si X ∈ IRn×p, entonces

XTX =

XT1 X1 . . . XT

1 Xp

.... . .

...

XTp X1 ... XT

p Xp

=n∑

i=1

X(i)XT(i). (1.6)

1.2.5 Rango de una Matriz

[Rango de una Matriz] Sea A ∈ IRn×p una matriz distinta de la matriz nula. Entonces, si

r de las columnas o filas de A son linealmente independientes, A tiene rango r ≤ min(p, n),

denotandolo por rk A = r.

Sea A ∈ IRn×p, tal que

1. rk0 = 0

2. rk A = p, si A es una matriz cuadrada y no singular.

3. rk A = rk AT = rk AAT = rk AT A.

4. rk(AB) ≤ min(rk A, rk B), B ∈ IRp×m.

5. rk(A + C) ≤ (rk A + rk C), C ∈ IRn×p.

6. rk(ABC) = rk B, si A y C son matrices cuadradas no singulares de ordenes adecuados.

7. si AB = 0, con B ∈ IRp×m, entonces rk B ≤ (p− rk A).


1.2.6 Valores y Vectores Propios

[Valor Propio] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, los valores propios de A estan dados por las raıces

de la ecuacion caracterıstica en λ, asociados al polinomio caracterıstico |A− λI|, dadas por

|A− λI| = 0. (1.7)

Para el polinomio caracterıstico considere que

1. Dado que este es de orden p, entonces tiene exactamente p raıces.

2. Las raıces del polinomio caracterıstico no son necesariamente distintas, es decir, pueden

tener una multiplicidad mayor que 1.

3. Las raıces del polinomio caracterıstico pueden ser reales, complejas o ambas.

4. Si λ1 es una raız del polinomio caracterıstico, entonces |A−λ1Ip| = 0, es decir, (A−λ1Ip)

es singular y λ1 es un valor propio de A.

[Vector Propio] Sean A ∈ IRp×p y X ∈ IRp. Entonces, los vectores propios de A estan

dados por la solucion del sistema de ecuaciones en X, dado por

(A− λI) X = 0, (1.8)

al reemplazar cada valor propio λ en dicho sistema, es decir, para cada valor propio λ existe

un vector propio X.

Sea A ∈ IRp×p, tal que

1. si A tiene valores propios λ de multiplicidad r, entonces existen r vectores propios

ortogonales correspondientes a λ.

2. si A = AT , entonces todos sus valores propios son reales, digamos λ1, λ2, ..., λp, con

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp. Entonces, los valores propios de A estan en la diagonal de una

matriz D, esto es, D = diag(λi), i = 1, ..., p.


3. los vectores propios, correspondientes a distintos valores propios de una matriz simetrica,

son ortogonales.

4. si B = PAP−1, donde A, B y P son matrices cuadradas y P es no singular, entonces A

y B tienen los mismos valores propios.

5. los valores propios de A y de AT son los mismos.

6. los valores propios no nulos de AB y de BA son los mismos. En particular, los valores

propios no nulos de AAT y AT A son los mismos.

7. si A = diag(aii), i = 1, ..., p, entonces a11, ..., app son los valores propios de A y los

vectores eT1 , eT

2 , ..., eTp son, respectivamente, sus vectores propios asociados, donde eT

i ∈IRp es un vector que tiene solo un uno en la posicion i-esima y el resto son ceros, esto

es, eTi = (0 . . . 0 1 0 . . . 0).

8. si los valores propios de A son λ1, λ2,..., λp, entonces los valores propios de A−1 son λ−11 ,

λ−12 ,..., λ−1

p .

9. si A ∈ O(p), entonces todos los valores propios tienen valor absoluto igual a 1.

10. si A ∈ UT(p) (o LT(p)), entonces los valores propios de A son a11, ..., app (los elementos

de la diagonal).

11. si A tiene valores propios λ1, λ2,..., λp, entonces (A − k Ip) tiene valores propios λ1 −k, λ2 − k, ... , λp − k.

1.2.7 Formas Cuadraticas

[Forma Cuadratica] Sea X ∈ IRp, tal que f(x1, ..., xp) = f(X) es una funcion real valorada,

esto es, xi ∈ IR, ∀ i = 1, ..., p. Entonces, se dice que f(X) es una forma cuadratica si

f(x1, ..., xp) =p∑

i=1

n∑

j=1

aijxixj = XT A X,


donde A ∈ IRp×p es llamada la matriz de la forma cuadratica.

La matriz de una forma cuadratica siempre se puede escoger simetrica.

Sean X,Y ∈ IRp y A,B y C ∈ IRp×p. Entonces, cuando es necesario hacer un cambio

de variables de xi a yi, i = 1, ..., p, a traves del conjunto de ecuaciones lineales Y = C−1 X,

donde C es una matriz no singular, la forma cuadratica XT A X se puede expresar como

XT A X = YT CT A C Y = YT (CT AC) Y = YT B Y,

donde B =T A C, de modo que A y B son congruentes.

1.2.8 Matrices Definidas y Semi-definidas Positivas

[Matriz Definida Positiva] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, A se dice definida positiva si

1. A = AT y

2. XT AX > 0, ∀ X ∈ IRn y X 6= 0.

[Matriz Semidefinida Positiva] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, A se dice semidefinida positiva si

1. A = AT ,

2. XT AX ≥ 0, ∀ X ∈ IRn y

3. XT AX = 0, para al menos un X ∈ IRn y X 6= 0.

[Matriz Definida No Negativa] Una matriz se dice definida no negativa si y solo si, es

definida positiva o semi-definida positiva.

1.2.9 Proyecciones Ortogonales

[Matriz Idempotente] Una matriz A se dice idempotente si A2 = A.

[Traza] Sea A ∈ IRp×p. Entonces, la traza de A se define como la suma de los elementos

de la diagonal, esto es,

tr A =p∑

i=1

aii.


[Matriz de una Proyeccion Ortogonal] Una matriz A se dice que es la matriz de una

proyeccion ortogonal si

1. A = AT y

2. A2 = A,

esto es, si es simetrica e idempotente.

En lo posterior, para referirse a la matriz de una proyeccion ortogonal se dira simplemente

proyeccion ortogonal, pues la proyeccion ortogonal es la aplicacion lineal de dicha matriz y su

relacion es biunıvoca.

Sea A una proyeccion ortogonal. Entonces,

1. (Ip − A) es tambien una proyeccion ortogonal.

2. tr A = rk A.

3. sus valores propios son 0 o 1.

1.2.10 Factorizaciones de Matrices

Sea A ∈ IRp×p. Ası,

1. si A tiene valores propios reales, entonces

A = H T HT , (1.9)

donde H ∈ O(p) y T ∈ UT(p), cuyos elementos de la diagonal son los valores propios

de A.

2. si A = AT , con valores propios λ1, λ2,..., λp, entonces

A = HT D H, (1.10)


donde H ∈ O(p) y D = diag(λi), i = 1, 2, ..., p. Si HT = (h1 ... hp), entonces hi es un

vector propio de A asociado al valor propio λi, i = 1, 2, ..., p. Frecuentemente, se asume

que λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp. Ademas, si λ1, λ2, ..., λp son distintos, la representacion (2.10)

es unica, salvo cambios de signo en cada elemento de la primera fila de H. Ası, se puede

reescribir (2.10) de la forma

A =p∑

i=1

λi hi hTi , (1.11)

la cual es llamada ”descomposicion espectral” de A.

3. si A > 0 (≥ 0), entonces existe A12 > 0 (≥ 0), tal que A = A

12A

12 . Ası, A

12 puede

descomponerse de la forma

A1/2 = HT D1/2H, (1.12)

donde A1/2 es llamada ”raız cuadrada simetrica”, H y D estan definidas como en (2.10)

y D12 = diag

(√λi

).

4. si A ∈ IRp×p y el rk A = r ≤ p, entonces

(a) existe una matrix B ∈ IRp×r de rango r, tal que

A = B BT . (1.13)

(b) existe una matriz no singular C ∈ IRp×p, tal que

A = C

Ir 0

0 0

CT . (1.14)

(c) existe una matriz T ∈ UT(p), tal que

A = T T T. (1.15)

Cuando los elementos de la diagonal de T son no negativos, la descomposicion

(2.15) se denomina ”descomposicion de Cholesky”. Dicha descomposicion es unica

si A > 0.


5. si A ∈ IRn×p (n ≥ p), entonces A puede descomponerse de la forma

A = U B, (1.16)

donde U ∈ Vn,p y B ∈ IRp×p y B ≥ 0. Si el rk B = p, entonces B > 0. Otra forma de

representar A es

A = U

Ip

0

B, (1.17)

donde ahora U ∈ O(p) y B esta definida como en (2.16).

6. si A ∈ IRn×p y B ∈ IRn×q, tal que p ≤ q, entonces AT A = BT B si y solo si, existe una

matriz H ∈ Vp,q, tal que A H = B.

7. Si A ∈ IRn×p (n ≥ p), entonces

A = U D V, (1.18)

donde U ∈ Vn,p, V ∈ O(p), D = diag(λi), i = 1, ..., p y λ21, ..., λ

2p, son los valores propios

de AT A. Otra representacion de A serıa

A = H (D 0)T V, (1.19)

donde H ∈ O(n), V y D son las mismas que en (2.18) y 0T ∈ IR(n−p)×p. La descom-

posicion dada en (2.18) o en (2.19) es llamada ”descomposicion en valores singulares”.

8. Si A1, ..., Ak son matrices simetricas tal que, AiAj = 0, para i 6= j, i, j = 1, ..., k, entonces

existe H ∈ O(p) tal que, HT Ai H = Di, siendo Di una matriz diagonal, i = 1, ..., k.

9. Si A,B ∈ IRn×n, con A > 0 y B = BT , entonces existe una matriz no singular H ∈ IRn×n

tal que,

A = H HT y B = H D HT , (1.20)

donde D = diag(λi) y λ1,...,λn son los valores propios de A−1B. Si B > 0 y λ1,...,λn son

todos distintos, H es unica, salvo cambios de signo en cada elemento de la primera fila

de H.


1.2.11 Inversa Generalizada de una Matriz

[Matriz Inversa Generalizada] Sea A ∈ IRn×p. Entonces, existe una matriz B ∈ IRp×n que

cumple con

1. ABA = A,

2. BAB = B,

3. (AB)T = AB y

4. (BA)T = BA,

tal que B es llamada la matriz inversa generalizada (o de Moore-Penrose) de A, se denota por

B = A−

y se usa la terminologıa g-inversa para referirse a ella.

. Sea A ∈ IRn×p. Ası,

1. toda matriz A tiene asociada una unica matriz A−

que satisface las condiciones de la

Definicion 2.28, esto es, cada matriz tiene asociada una unica g-inversa.

2. si rk A = n, entonces A−

= AT (AT A)−1.

3. si rk A = p, entonces A−

= (AT A)−1A.

4. si rk A = n = p, entonces A−

= A−1.

5. si rk A = r, entonces, rk A = rk A−

= rk A−A = rk AA

−= rk AA

−A = rk AAA

−.

6. (A−)−

= A.

7. si A es simetrica, entonces A−

tambien lo es.

8. A−

= (AT A)−AT = AT (AAT )

−.

9. (AT A)−

= A−(A

−)T .

10. (AT )−

= (A−)T .


11. si A = PQT , con P ∈ IRn×r, Q ∈ IRr×m y rk A = rk P = rk Q = r, entonces A−

=

(Q−)T P

−.

12. si A es una proyeccion ortogonal, entonces A−

= A.

13. si AT = A, entonces A = HT DH (como en (2.10)), donde H ∈ O(p) y D = diag(λi),

i = 1, ..., n. Sea

λ−

=

λ−1 ; si λ 6= 0

0 ; si λ = 0.

Entonces, A−

= HT diag(λ−i )H.

14. AA−

y A−A son proyecciones ortogonales.

[Matriz Inversa Condicional] Sea A ∈ IRn×p. Entonces, existe una matriz B ∈ IRp×n que

cumple con

ABA = A, (1.21)

tal que, B se denomina matriz inversa condicional de A o c-inversa de A y se denota por

B = Ac.

Sea A ∈ IRn×p. Ası,

1. toda matriz A tiene asociada una matriz Ac, pero no es unica.

2. rk Ac ≥ rk A = r.

3. AAc

y AcA son matrices idempotentes.

4. si rk A = r, entonces rk AcA = rk A A

c= r

5. AcA = Ip si y solo si, el rango de A es p, esto es, el rango de A es igual al numero de

sus columnas.

6. AcA = In si y solo si, el rango de A es n, esto es, el rango de A es igual al numero de

sus filas.

7. (AT )c

= (Ac)T .

1.3. EVALUACION DEL JACOBIANO 33

1.2.12 Producto Kronecker

[Producto Kronecker] Considere las matrices A = (aij) ∈ IRn×p y B ∈ IRm×q. El producto

Kronecker de dos matrices, es la matriz de orden (nm× pq) definida por

AB =

a11B a12B · · · a1pB

a21B a22B · · · a2pB...

.... . .

...

an1B an2B · · · anpB

= (aijB).

Sean A, B, C y D matrices de ordenes adecuados y sean α, β ∈ IR. Tal que,

1. ABC = (AB)C = A(BC).

2. (A + B)(C + D) = AC + BC + AD + BD.

3. (AB)(CD) = ACBD.

4. αA = α A = A α = Aα.

5. (AB)T = AT BT .

6. (AB)−1 = A−1B−1.

7. (AB)−

= A−B−.

8. si A ∈ IRn×n, con valores propios λ1, . . . , λn y B ∈ IRm×m, con valores propios δ1, . . . , δm,

entonces los nm valores propios de (AB) estan dados por

λiδj, i = 1, ...n, j = 1, ..., m.

1.3 Evaluacion del Jacobiano

Para calcular la funcion de distribucion multivariante de algunos estadısticos, en muchas

ocasiones se hace necesario hacer cambios de variables con integracion multiple; en este caso

se usa con frecuencia el jacobiano de la transformacion.


Considere la integral multiple sobre un conjunto C ∈ IRn

∫

C

g(x1, ..., xn) dx1 · · · dxn. (1.1)

Sea entonces XT = (x1 . . . xn) una transformacion uno-a-uno a nuevas variables YT =

(y1 . . . yn) a traves de la relacion yi =fi(x1, ..., xn); i = 1, ..., n, donde las {fi}’s son conti-

nuamente diferenciables. Esta relacion se denota por Y = f(X) y X = f−1(Y). El determi-

nante de∂XT

∂YT, se denota por

J = J(X → Y) =

∣∣∣∣∣∂(x1 . . . xn)

∂(y1 . . . yn)

∣∣∣∣∣y se denomina Jacobiano de la transformacion de X a Y y |J | es su valor absoluto. Ahora

(3.1) puede expresarse como∫

T

g(f−1(Y)) |J(X → Y)| dY, (1.2)

donde

T ≡ {Y | Y = f(X), X ∈ C}.Sea J(·) el jacobiano de una transformacion. Ası,

1. J(X → Y) = (J(Y → X))−1.

2. si Y = f(X) y z = g(Y), entonces

J(X → z) = J(X → Y) · J(Y → z) (1.3)

3. Si dX = A dY, entonces J(X → Y) es |A| y |J | es el valor absoluto.

1.3.1 La Transformacion de Coordenadas Esfericas Generalizadas

Sean

xj = r

j−i∏

k=1

sen φk

cos φj ; 1 ≤ j ≤ n− 2,

xn−1 = r

(n−2∏

k=1

sen φk

)cos θ ; 0 ≤ φk ≤ π, 1 ≤ k ≤ n− 2,

xn = r

(n−2∏

k=1

sen φk

)sen θ ; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r < ∞.

1.3. EVALUACION DEL JACOBIANO 35

Entonces, el Jacobiano de la transformacion de XT = (x1 ... xn) a YT = (r, φ1, ..., φn−2, θ)

viene dado por

J(x1, ..., xn → r, φ1, ..., φn−2, θ) = rn−1

(n−2∏

k=1

senn−k−1 φk

). (1.4)

Demostracion. Sea

x2n = r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)sen2 θ, (1.5)

de modo que

x2n+1 + x2

n = r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)cos2 θ + r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)sen2 θ = r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

). (1.6)

Haga ahora n = 3 y luego por induccion se generaliza para n. Ası,

x22 + ... + x2

n = x2 + x3 = r2

(1∏

k=1

sen2 φk

)= r2 sen2 φ1, (1.7)

con lo cualn∑

i=1

x2i =

n∑

i=2

x2i + x2

1 = r2 sen2 φ1 + r2 cos2 φ1 = r2. (1.8)

De esta manera

J(x1, ..., xn → r, φ1, ..., φn−2, θ) = J(xn → θ) · J(xn−1 → φn−2) · . . . · J(x2 → φ1) · J(x1 → r).

Entonces, derivando parcialmente (3.5), (3.6), (3.7) y (3.8), se tiene que

∂xn

∂θ=

1

xn

r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)sen θ cos θ,

∂xn−1

∂φn−2

=1

xn−1

r2

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)cos φn−2

sen φn−2

,

...

∂x2

∂φ1

=1

x2

r2 sen φ1 cos φ1,

∂x1

∂r=

r

x1

.


De modo que, si X′ = (x1 . . . xn) e Y′ = (r φ1 . . . φn−2 θ), entonces

J(X → Y) =

r2

xn

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)sen θ cos θ · r2

xn−1

(n−2∏

k=1

sen2 φk

)cos φn−2

sen φn−2

· r2

x2

sen φ1 cos φ1 · r

x1

.

Ası, finalmente,

J (x1 . . . xn) → (r φ1 . . . φn−2 θ)) = rn−1

(n−2∏

k=1

senn−k−1 φk

).

Los cos φk se cancelan en forma sucesiva con un termino igual que le precede en el numer-

ador. El exponente (n− k− 1) se observa como se va generalizando ya en el segundo termino

del producto.

Chapter 2

Distribuciones de Contornos Elıpticos

2.1 Introduccion

En el ultimo tiempo se ha planteado una clase de distribuciones cuyos contornos de sus den-

sidades tienen la misma forma elıptica de la distribucion Normal, pero ademas contienen

distribuciones de colas mas y menos pesadas que las de esta. Dicha clase de distribuciones se

denomina de Contornos Elıpticos o simplemente distribuciones Elıpticas.

Las distribuciones Elıpticas han sido estudiada por diversos autores, entre los que se encuen-

tran los trabajos [50], [18], [49] y [12], y los mas recientes [5] y [54], entre otros. Aunque a

partir de 1970 estas distribuciones comenzaron su auge, se registran estudios anteriores, como

lo son [72] y [56]. La mayorıa de estos trabajos, salvo los mas recientes, son recopilados en los

libros [1], [32], [31], [39] y [70], quienes entregan un adecuado tratamiento del tema.

A pesar de los diversos trabajos que se han presentado hasta ahora, aun no se encuentran trata-

dos diversos problemas que hasta ahora solo han sido abordados con la distribucion Normal,

entre ellos la densidad de una distribucion Elıptica singular, la distribucion F Generalizada

doble no centrada y la inferencia para el coeficiente de variacion, entre otros.

37

38 CHAPTER 2. DISTRIBUCIONES DE CONTORNOS ELIPTICOS

2.2 Distribucion Elıptica No Singular

2.2.1 Distribuciones Elıpticas y Esfericas

Para fijar ideas, considere un vector aleatorio n-dimensional X. Ahora bien, si X ∈ IRn es

un vector aleatorio con parametro de posicion µ ∈ IRn, matriz de escala Σ ∈ IRn×n y con

rk Σ = r ≤ n, entonces la distribucion de X se dice singular o no singular, dependiendo si

r < n o si r = n, respectivamente.

[Distribucion Elıptica] Sea X ∈ IRn. Entonces, X pertenece a la familia de distribuciones

Elıpticas de parametros µ, Σ y φ si y solo si su funcion caracterıstica es

ψX(t) = exp(itT µ) φ(tT Σt) (2.1)

y se denota por X ∼ ECn(µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y φ : IRn → IR.

Observe que la funcion caracterıstica existe aun cuando Σ sea semidefinida positiva, es decir,

cuando rk Σ = r < n, en cuyo caso la distribucion Elıptica obtenida es llamada distribucion

Elıptica singular, la cual se tratara con detalle mas adelante.

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, la densidad de X es

gX(X) = |Σ|− 1

2 f [(X− µ)T Σ−1 (X− µ)], (2.2)

siendo f(u), con u ≥ 0, una funcion real y que se denomina generadora de densidades. En

este caso, se usa la notacion X ∼ ECn(µ, Σ; f).

Ası, la condicion necesaria para que la densidad de X exista con respecto a la medida de

Lebesgue en IRn es que rk Σ = r = n, esto es, que Σ > 0, con lo cual la distribucion de X es

no singular.

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X puede representarse

de la forma

X = µ + AT Y,

de modo que

Y = (AT )−1(X− µ),

2.2. DISTRIBUCION ELIPTICA NO SINGULAR 39

con Σ = AT A, A ∈ IRn×n.

[Distribucion Esferica] Sea X ∼ ECn(µ, Σ; φ) con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n. Entonces, si

µ = 0 y Σ = In, se dice que X se distribuye Esferica y se denota por X ∼ Sn(φ), esto es,

Sn(φ) ≡ ECn(0, In; φ) o Sn(f) ≡ ECn(0, In; f).

Sea X ∼ Sn(φ). Entonces,

1. Xd= H X, ∀ H ∈ O(n).

2. ψX(t) = φ(tT t) = φ(‖t‖2), φ(u), u ≥ 0, dado como en (5.1).

3. la densidad de X puede expresarse como gX(X) = f(XTX), f(u), u ≥ 0, dado como

(5.2).

4. para XT = (X1 X2 . . . Xn) ∼ Sn(φ), aTXd= X1; ∀ a ∈ IRn y ‖a‖ = 1.

En una distribucion Esferica, para n = 1 se tienen todas las distribuciones simetricas en

IR.

2.2.2 Representacion Estocastica

Sea U (n) un vector aleatorio uniformemente distribuido en la esfera unitaria en IRn, esto es,

U (n) ∼ Un{X ∈ IRn ‖X‖ = 1} y que se denota por U (n) ∼ Un{E‖X‖=1}, U (n) se distribuye de

acuerdo a una ley Esferica.

Sea X ∼ Sn(f). Entonces, X admite la representacion estocastica

Xd= R U (n), (2.3)

donde R ≥ 0 tiene funcion de distribucion GR(·) y es independiente de U (n) ∼ Un {E‖X‖=1}.

La distribucion de R es algunas veces llamada distribucion Radial.

Sea Xd= R U (n) ∼ Sn(f) y IP (X = 0) = 0. Entonces,

‖X‖ d= R y

X

‖X‖d= U (n), (2.4)


de modo que

X = R U (n) = ‖X‖ · X

‖X‖ .

donde R ∼ GR(·) y U (n) ∼ Un{E‖X‖=1} son independientes.

Sea U (n) ∼ Un{E‖X‖=1}. Entonces,

IE(U (n)) = 0 y Var(U(n)) =1

nIn. (2.5)

Sean U (n) ∼ Un{E‖X‖=1} y R ∼ GR(·) independientes. Entonces, si IE(R) < ∞,

IE(X) = IE(R) · IE(U (n)) = 0. (2.6)

Sean U (n) ∼ Un{E‖X‖=1} y R ∼ GR(·), independientes. Entonces, si IE(R2) < ∞,

V ar(X) = IE(R2) · V ar(U (n)) = IE(R2) · 1

nIn. (2.7)

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X admite la

representacion estocastica

Xd= µ + R AT U (n), (2.8)

donde la variable aleatoria R ≥ 0 es independiente de U (n) y A ∈ IRn×n es tal que Σ = AT A.

Sea Xd= µ + R AT U (n) ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0, R ≥ 0

independiente de U (n), A ∈ IRn×n y Σ = AT A. Entonces,

Q(X) = (X− µ)T Σ−1(X− µ)d= R2, (2.9)

donde R esta dad en (5.3).

Sea X no degenerada. Ası,

1. si X ∼ ECn(µ, Σ; f) y X ∼ ECn(µ0, Σ0; f0), con µ, µ0 ∈ IRn y Σ, Σ0 ∈ IRn×n, entonces

existe una constante real c0 > 0, tal que

µ = µ0, c0Σ = Σ0 y f0(·) = f(c−10 ). (2.10)


2. si Xd= µ + R AT U (r) d

= µ0 + R0AT U (r0), donde r ≥ r0, entonces existe una constante

c0 > 0, tal que

µ = µ0, c0AT A = AT A y R0

d= c

−1/20 R br0/2,(r−r0)/2, (2.11)

donde br0/2,(r−r0)/2 ≥ 0 es independiente de R y b2r0/2,(r−r0)/2 ∼ Beta(r0/2, (r − r0)/2), si

r > r0 y br0/2,(r−r0)/2 ≡ 1 si r = r0.

En lo posterior se usara indistintamente la notacion X ∼ ECn(µ, Σ; f) o X ∼ ECn(µ, Σ; φ),

segun convenga, lo mismo ocurrira con las distribuciones Esfericas.

2.2.3 Distribuciones Marginales

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0, B ∈ IRn×m y γ ∈ IRm. Entonces,

Z = γ + BTX ∼ ECn(BTµ + γ, BTΣ B; f). (2.12)

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn,Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y considere la particion de X, µ y

Σ dada por

X =

X1

X2

, µ =

µ1

µ2

, Σ =

Σ11 Σ12

Σ21 Σ22

(2.13)

donde X1, µ1 ∈ IRm y Σ11 ∈ IRm×m. Entonces, X1 ∼ ECm(µ1, Σ11; f) y X2 ∼ EC(n−m)(µ2, Σ22; f).

2.2.4 Distribuciones Condicionales

Sea X =(XT

1 XT2

)T, donde X ∈ IRn, X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn−m. Se esta interesado en la

distribucion condicional de X1 dado X2 = x0.

Sea Xd= R U (n) ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, la

distribucion condicional de X1 dado X2 = x0 viene dada por

(X1 / X2 = x0) ∼ ECm(0, I; fm), (2.14)


cuya representacion estocastica es

(X1 / X2 = x0)d= R

(‖x0‖2

)U (m), (2.15)

donde R(·) y U (m) son independientes y

R(‖x0‖2

)d=

((R2 − ‖x0‖)2)

12 / X2 = x0

). (2.16)

Sea Xd= µ + RAT U (n) ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y considere la

misma particion de X, µ y Σ dada en (5.13). Entonces,

(X1 / X2 = x0)d= µ1.2 + Rq(x0)A

T11.2U

(n) ∼ ECm(µ1.2, Σ11.2, f), (2.17)

donde

µ1.2 = µ1 + Σ12 Σ−122 (x0 − µ2),

Σ11.2 = Σ11 − Σ12 Σ−122 Σ21,

q(x0) = (x0 − µ2)T Σ−1

22 (x0 − µ2)

y Σ11.2 = AT11.2A11.2. Ademas, para todo a ≥ 0, Ra2 es independiente de U (m) y admite la

representacion estocastica

Rq(x0)d=

((R2 − q(x0))

12 / X2 = x0

). (2.18)

2.2.5 Momentos

Si X ∼ Nn(µ, Σ), con µ ∈ IRn y Σ ∈ IRn×n, se sabe que IE(X) = µ y V ar(X) = Σ. En el caso

de las distribuciones Elıpticas no siempre existen estos momentos (por ejemplo la distribucion

de Cauchy).

Sea Xd= R U (n) ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y R independiente de

U (n). Entonces, si IE(R) < ∞ y IE(R2) < ∞, el primer y segundo momento de X existen.


Sea Xd= R U (n) ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y R independiente de

U (n), IE(R) y IE(R2) < ∞. Entonces,

IE(X) = µ y V ar(X) =IE(R2)

rk Σ· Σ.

Como se vio en el Teorema 5.62, en una distribucion Elıptica la matriz de covarianzas, Σ0,

es proporcional al parametro Σ de su distribucion y en general no es igual a este.

Sean X ∼ ECn(µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0, una distribucion no degenerada

y Mk el k-esimo momento de X. Entonces,

1. M1(X) = µ.

2. M2(X) = µµT − 2φ′(0)Σ y V ar(X) = −2φ′(0)Σ.

3. M3(X) = µµT µ− 2φ′(0)[µΣ + Σµ + vec(Σ)µT ],

si ellos existen, donde es el producto Kronecker de dos matrices definido anteriormente.

Cuando la matriz de covarianzas Σ0 de X ∼ ECn(µ, Σ; φ) existe, al considerar Σ como Σ0

solo se tiene un caso particular; la igualdad se cumple si se elige φ de manera que −2φ(0) = 1,

esto es, cuando X ∼ Nn(µ, Σ).

2.2.6 Caracterizaciones de Normalidad

La distribucion Normal pertenece a la clase de distribuciones Elıpticas. A continuacion se

presentan ciertas propiedades de esta distribucion, las que no pueden extenderse a otras dis-

tribuciones Elıpticas, caracterizando ası a la distribucion Normal.

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, X tiene una

distribucion Normal si y solo si Q(X) = (X− µ)T Σ−1(X− µ) ∼ χ2(n).

El resultado anterior de debe a que la relacion entre f y F es uno-a-uno.

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn y Σ ∈ IRn×n y Σ > 0. Entonces, cualquier distribucion

marginal es Normal si y solo si, X se distribuye normalmente.


Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ = diag(σii), i = 1, ..., n. Entonces, las

siguientes proposiciones son equivalentes

1. X se distribuye normalmente.

2. las componentes de X son independientes.

3. Xi y Xj(1 ≤ i < j ≤ n) son independientes.

Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y X1 ∈ IRm.

Entonces, X1 / X2 = x0 se distribuye normalmente con probabilidad 1 si y solo si X se

distribuye normalmente.

2.2.7 Distribucion Invariante

Un aspecto importante de las distribuciones Esfericas es el siguiente. Cuando se esta intere-

sados en hallar sus distribuciones t o F asociadas, se observa que estas son invariantes bajo

cualquiera de ellas. Ası, haciendo uso de la representacion estocastica que admiten las distribu-

ciones Esfericas, se muestra que las distribuciones de los estadısticos T y F son independientes

de la variable aleatoria R, lo cual las hace invariantes.

Ası, si X = (X1 · · · Xn)T , con X ∈ IRn, entonces

X =1

n

n∑

i=1

Xi =1

n1TX, y S =

n∑

i=1

(Xi − X)2 = XT DX, (2.19)

de modo que

S2n−1 =

S

n− 1y S2

n =S

n, (2.20)

donde D = In − 1

n11T y 1 = (1 . . . 1)T ∈ IRn.

Algunos estadısticos muy utiles en analisis univariado son

T =√

nX

Sn−1

←→ T =√

n− 1X

Sn

(2.21)

y

F =k

r

XC1X

XC2X, (2.22)


donde C1 y C2 con proyecciones ortogonales, tales que rk C1 = r y rk C2 = k y C1 C2 = 0.

Por otro lado, se sabe que

T ∼ t(n− 1) y F ∼ F (r, k),

cuando X ∼ Nn(0, In).

Se desea demostrar que este resultado es invariante cuando X ∼ Sn(f).

En efecto, considere la funcion real-valorada h(·) definida por

h(X) =√

n

1

n1TX

(1

n− 1XT DX

)12

.

Entonces,

T = h(X)d= h(R U (n)) =

√n

1

n1T R U (n)

(1

n− 1R2 UT (n)D U (n)

)12

=√

n

1

n1T U (n)

(1

n− 1UT (n)D U (n)

)12

,

(2.23)

cuya distribucion es independiente de R, de modo que lo anterior es valido para toda la clase

de distribuciones Esfericas, es decir, la distribucion t centrada generalizada es invariante bajo

distribuciones Esfericas, coincidiendo por tanto con la distribucion t centrada tradicional.

Analogamente, F ∼ F(r, k) para toda distribucion Esferica, con lo cual la distribucion Fcentrada generalizada es tambien invariante bajo leyes Esfericas. En general entonces, se

puede plantear el siguiente teorema.

Sea X ∼ Sn(f). Entonces, la distribucion del estadıstico t(X) es invariante bajo leyes

Esfericas si

t(αX) = t(X), ∀ α > 0. (2.24)

2.2.8 Distribuciones Elıpticas Particulares

A continuacion se dan ejemplos de algunas distribuciones Elıpticas y Esfericas.


[Distribucion t-multivariada] Una distribucion Esferica particular es la distribucion t-

multivariada. Ası, si X ∼ tn(0, In; ν), entonces su densidad viene dada por

gX(X) =

Γ(

ν+n2

)

Γ(

n2

)(πν)

n2

(1 +

XTX

ν

)− ν+p2

,

esto es, dicha densidad puede expresarse como

gX(x) = f(XTX),

donde

f(XTX) =Γ

(ν+n

2

)

Γ(

n2

)(π ν)

n2

(1 +

XTX

ν

)− ν+p2

,

es decir,

f(u) =(1 +

u

ν

)− ν+p2

,

con lo cual se observa que la distribucion t-multivariada pertenece a la clase Esferica de

distribuciones.

[Distribucion de tipo Kotz] Para r, s > 0 y 2m + n > 2, la densidad de X es

gX(u) = f(u) = s π−

n2 r

2m+n−22s

Γ(

n2

)

Γ(

2m+n−22s

)tm−1 exp(−r us), (2.25)

la que pertenece a la familia de distribuciones. Particularmente, la distribucion Normal mul-

tivariada es un caso especial cuando m = 1, s = 1 y r = 1/2.

[Distribucion de Pearson tipo VII] Si X ∼ P V IIIn (m, s), con m > n/2 y s > 0, entonces su

densidad es

gX(u) = f(u) = (s π)−

n2

Γ(m)

Γ(m− n

2

)(1 +

u

s

)m

, m >n

2, s > 0, (2.26)

la que forma parte de distribuciones Elıpticas. A su vez, esta familia incluye a la distribucion

t-multivariada. Recuerde que si X ∼ Nn(0,Σ), Σ > 0 e Y ∼ χ2(m), X e Y independientes.

Entonces, la distribucion de T = (√

m X)/Y se denomina distribucion t-multivariada (John-

son and Kotz [47]) y es un caso especial de (5.25) cuando m = (n + s)/2. Cuando m = 1, la

correspondiente distribucion se llama distribucion de Cauchy multivariada.


[Distribucion Uniforme en la Esfera Unitaria en IRn]

Sea X ∼ Un{E‖X‖=1}. Considere la densidad

pX(X) =

Γ(

n2

)

πn2

; sin∑

i=1

x2i ≤ 1

0 ; en otro caso

.

Se sabe que HXd= X, ∀ H ∈ O(n) y que la distribucion Uniforme en la esfera unitaria

pertenece a la clase de distribuciones Elıpticas en IRn. Entonces, X puede representarse

estocasticamente como Xd= R U (n). Ası, la densidad de R = ‖X‖ es

gR(r) =

2πn2 Γ

(n+2

2

)

Γ(

n2

)π

n2

rn−1 = n rn−1 ; si 0 ≤ r ≤ 1

0 ; en otro caso

.

[Distribucion de Laplace o Bessel generalizada]

Si X tiene una distribucion de Laplace generalizada, entonces tiene densidad

gX(u) = f(u) = 2a+n−1 π

n2 βn Γ

(a +

n

2

) u

12

β

a

Ka

u

12

β

, a > −n

2, β > 0, (2.27)

donde Ka(·) denota a la funcion de Bessel modificada de tercer tipo, es decir

Ka(z) =π (I−a(z)− Ia(z))

2 sen(aπ), | arg z| < π, a = 0,±1,±2, ...

e

Ia(z) =∞∑

k=0

1

k! Γ(k + a + 1)

(z

2

)a+2k

, |z| < ∞, | arg z| < π,

la cual pertenece a la familia de distribuciones Elıpticas.

[Distribuciones Elıpticas n-variantes]

Tabla 1 Densidades o funciones caracterısticas de las distribuciones Elıpticas que se

mencionan.


Ley Elıptica f(u), con u = XTX o φ(v), con v = tT t

Kotz f(u) = c um−1 exp(−rus); r, s > 0, 2m + n > 2.

Normal multivariada f(u) = c exp(−12u).

Pearson tipo VII (P V II) f(u) = c(1 + u

s

)−m, s > 0,m > n

2.

t-multivariada f(u) = c[1 +

(us

)]− ν+n2 , s, ν > 0.

Cauchy f(u) = c[1 +

(us

)]− ν+12 , s, ν > 0.

Pearson tipo II (P II) f(u) = c (1− u)−m,m > 0.

Logıstica f(u) = c exp(−u) (1− exp(−u))−2.

Mezcla de Normales f(u) = c

∞∫

0

vn2 exp

(− u

2v

)dF (v), F = FD.

Leyes Estables φ(u) = exp(r uα2 ), 0 < α ≤ 2, r < 0.

Uniforme multivariada φ(u) = 0F1

(n2;−u

4

).

Donde c > 0 es una constante de normalizacion que varıa dependiendo de cada distribucion,

algunas de las cuales ya se han planteado explıcitamente en los ejemplos anteriores.

[Distribucion de R2] Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y Xd= R U (n),

donde Rd= ‖X‖ y es independiente de U (n) ∼ Un{E‖X‖=1}. Entonces, haciendo uso del

Corolario 5.53 se tiene que

1. si R2 ∼ χ2(n), esto es equivalente a decir que X ∼ Nn(0, In).

2. si R2 ∼ n−1Fν,n, esto es equivalente a decir que X ∼ tn(0, In; ν).

3. si R2 ∼ Beta(n2, ν + 1), esto es equivalente a decir que X ∼ P II

n (0, In; ν).

Chapter 3

Distribucion de Formas Cuadraticas

3.1 Introduccion

La distribucion de formas cuadraticas y lineales, y expresiones relacionas, obtenidas a partir

de distribuciones Elıpticas, fueron estudiadas y publicadas en [11], [34] y [4], entre otros,

y posteriormente presentadas en los libros de [1] y [39], entre otros. Estas distribuciones

corresponden a las distribuciones χ2, t y F obtenidas bajo distribuciones Elıpticas.

Las distribuciones t y F obtenidas a partir de distribuciones Elıpticas se denominan distribu-

ciones t y F generalizadas. Sin embargo, si el parametro de posicion ν de la ley Elıptica es

igual a cero, entonces las distribuciones t y F generalizadas coinciden con las distribuciones t y

F obtenidas bajo normalidad, esto es, estas distribuciones son invariantes bajo leyes Elıpticas

cuando ν = 0 (vea [32, p.67]). Por otro lado, las distribuciones t y F generalizadas no

centradas dependen de la ley Elıptica particular bajo la cual fueron obtenidas. Asimismo,

las distribuciones t y F generalizadas doble no centradas, analogas a las del caso Normal,

dependen tambien de la ley Elıptica asociada.

49

50 CHAPTER 3. DISTRIBUCION DE FORMAS CUADRATICAS

3.2 Distribucion Chi-cuadrado Generalizada

3.2.1 Introduccion

Recuerde que si X ∼ Nn(0, In), entonces U = XTX ∼ χ2(n) y tiene densidad

gU(u) =

1

2n2 Γ

(n2

) un2−1 exp(−1

2u); u ≥ 0. (3.1)

Analogamente, si X ∼ Nn(µ, In), con µ ∈ IRn, µ 6= 0, entonces U = XTX ∼ χ2(n, δ), con

δ = (1/2)µT µ, cuya densidad es

gU(u) =

∞∑

k=0

δk exp(−δ)

k!

un2+k−1 exp(−1

2u)

2n2+k Γ

(n2

+ k) ; u > 0, (3.2)

es decir, una suma ponderada infinita de densidades χ2(n + 2k) centradas, cuyos factores de

ponderacion vienen dados por una ley de Poisson de parametro δ = (1/2)µT µ. Esta ultima

llamada distribucion chi-cuadrado no centrada con parametro de no centralidad dado por

δ = (1/2)µT µ.

De la misma forma, si X ∼ Nn(µ, Σ), con µ ∈ IRn, µ 6= 0, Σ ∈ IRn×n y Σ > 0, entonces

U = XT Σ−1X ∼ χ2(n, δ), con δ = (1/2)µT Σ−1µ, cuya densidad es la misma que en el caso

anterior haciendo la correspondiente adaptacion en el parametro de no centralidad.

3.2.2 Distribucion Chi-cuadrado Generalizada Centrada y No Cen-

trada

A continuacion se presenta la distribucion chi-cuadrado generalizada no centrada antes que

su distribucion centrada equivalente, ya que esta ultima es solo un caso particular de la no

centrada, obteniendo ambas distribuciones bajo no singularidad de la ley Elıptica asociada.

[Distribucion Gχ2 no centrada] Sea X ∼ ECn(µ, In; f), con µ ∈ IRn y µ 6= 0. Entonces,

U = XTX ∼ Gχ2(n, δ; f), con δ = (1/2)µT µ y tiene densidad dada por

gU(u) =

πn−1

2

Γ(

n−12

) un2−1

π∫

0

f(u− 2γ u(1/2) cos φ + γ2) senn−2 φ1 dφ1; u > 0, (3.3)

3.2. DISTRIBUCION CHI-CUADRADO GENERALIZADA 51

donde γ2 = µT µ = 2δ.

Demostracion. Sean X ∼ ECn(µ, In; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0 e Y = H X ∼ ECn(ν, In; f),

con H ∈ O(n); ν = (‖µ‖ 0 . . . 0)T y ‖µ‖ =√

(µT µ) =√∑n

i=1 µ2i . Note que

‖Y‖ = ‖H X‖ = (XT HT HX)(1/2) = (XTX)(1/2) = ‖X‖.

De esta manera, como

gY(Y) = f((Y − ν)T (Y − ν))

donde

(Y − ν)T (Y − ν) =

y1 − ‖µ‖y2

...

yn

T

y1 − |µ‖y2

...

yn

,

se obtiene que

(Y − ν)T (Y − ν) = (y1 − ‖µ‖)2 +n∑

i=2

y2i

= y21 − 2y1‖µ‖+ ‖µ‖2 +

n∑

i=2

y2i

=n∑

i=1

y2i + ‖µ‖2 − 2y1‖µ‖.

Ası,

gY(Y) = f

(n∑

i=1

y2i + ‖µ‖2 − 2y1‖µ‖

).

Considere la t.c.e.g. y el cambio de variables

Y1 = r cos φ1

Yj = r

j−i∏

k=1

sen φk

cos φj ; 1 ≤ j ≤ n− 2

Yn−1 = r

(n−2∏

k=1

sen φk

)cos θ ; 0 ≤ φk ≤ π, 1 ≤ k ≤ n− 2

Yn = r

(n−2∏

k=1

sen φk

)sen θ ; 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r < ∞

∞∑

k=0

Y 2i = ‖Y ‖2 = r2 = U ,


de modo que el Jacobiano de la transformacion de Y = (Y1 . . . Yn)T a Z = (r φ1 . . . φn−2

θ)T viene dado por

J = J ((Y1 . . . Yn) → (r φ1 . . . φn−2 θ)) = rn−1

(n−2∏

k=1

senn−k−1 φk

).

De este modo

gZ(r, φ1, . . . , φn−2, θ) = g

Y(z) · |J|

= f(r2 + ‖µ‖2 − 2r cos φ1 ‖µ‖

)rn−1

(n−2∏

k=1

senn−k−1φk

).

Obtenga ahora la densidad de r = ‖X‖ = ‖Y‖

gr(r) =

π∫

0

· · ·π∫

0

2π∫

0

gZ(r, φ1, . . . , φn−2, θ) dθ dφ1 · · · dφn−2

=rn−1 2π π

n−12−1

Γ(

n−12

)π∫

0

f(r2 + ‖µ‖2 − 2r ‖µ‖ cos φ1

)senn−2 φ1 dφ1

=2 rn−1 π

n−12

Γ(

n−12

)π∫

0

f(r2 + γ2 − 2r γ cos φ1

)senn−2 φ1 dφ1,

donde γ2 = ‖µ‖2. Considere ahora el cambio de variables

u = r2 −→ r =√

u,

cuyo jacobiano es

J =dr

du=

1

2√

u,

de modo que

gU(u) = gr(

√u) |J |

= gr(√

u)1

2√

u

=2 (u(1/2))n−1 π

n−12

Γ(

n−12

)(

1

2 u(1/2)

) π∫

0

f(u− 2 γ u(1/2) cos φ1 + γ2

)senn−2 φ1 dφ1

=π

n−12

Γ(

n−12

) un2−1

π∫

0

f(u− 2 γ u(1/2) cos φ1 + γ2

)senn−2 φ1 dφ1; u > 0,


con γ2 = µT µ = ‖µ‖2 = 2δ. Por tanto

U = XTX = ‖X‖2 = r2 ∼ Gχ2(n, δ),

donde δ = (1/2)µT µ = ‖µ‖2 es el parametro de no centralidad de la distribucion.

[Distribucion Gχ2 centrada] Sea X ∼ Sn(f). Entonces, U = XTX ∼ Gχ2(n; f) y su

densidad es

gU(u) =

πn2

Γ(

n2

) un2−1 f(u); u > 0. (3.4)

Demostracion. Considere el Teorema 2.79 y reemplace en la expresion (3.2.3) γ = ‖µ‖ = 0,

de modo que µ = 0 (caso centrado). Entonces,

gU(u) =

πn−1

2

Γ(

n−12

) un2−1

π∫

0

f(u) senn−2 φ1 dφ1

=π

n−12

Γ(

n−12

) un2−1 f(u)

π∫

0

senn−2 φ dφ

=π

n−12

Γ(

n−12

) un2−1 f(u) In.

La integral In es valida para toda distribucion Elıptica y en particular para la distribucion

Normal y en ese caso

f(u) =1

(2π)n2

exp(−u

2

),

obteniendo

gU(u) =

πn−1

2

Γ(

n−12

) un2−1 1

(2π)n2

exp(−u

2

)In

=1

2n2 π

12 Γ

(n−1

2

) un2−1 exp

(−u

2

)In.

Ahora bien, como gU(u) es densidad entonces

1 =

∞∫

0

gU(u) du


=

∞∫

0

1

2n2 π

12 Γ

(n−1

2

) un2−1 exp

(−u

2

)In du

= In1

2n2 π

12 Γ

(n−1

2

)∞∫

0

un2−1 exp

(−u

2

)du.

Usando ahora la funcion Gamma se tiene

∞∫

0

un2−1 exp

(−u

2

)du =

Γ(

n2

)

(1

2)

n2

= 2n2 Γ

(n

2

)

y por tanto

In =π

12 Γ

(n−1

2

)

Γ(

n2

)

Ası, finalmente

gU(u) =

πn2

Γ(

n2

) un−1

2 f(u); u > 0

y

U = YTY ∼ Gχ2(n).

Note que la densidad dada en el Teorema 2.79 esta expresada en terminos de una integral.

En Teng, Fang y Deng [80] puede verse como esta densidad es expresada en terminos de las

derivadas de la funcion f , usando expansion en serie de Taylor de dicha funcion. A continucion

se da la demostracion de ese resultado.

[Densidad Gχ2 no centrada en funcion de las derivadas de f ] Sea U ∼ Gχ2 (n, δ; f),

δ =1

2µT µ y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces, una forma alternativa de

expresar la densidad de U es

gU(u) =

∞∑

k=0

γ2kπn2

k! Γ(

n2

+ k) u

n2+k−1 f (2k)(u + γ2); u > 0, (3.5)

donde γ2 = 2δ = µ′µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·).


Demostracion. Sea U ∼ Gχ2(n, δ; f), con δ = (1/2)µT µ. Entonces su densidad viene dada

por

gU(u) =

πn−1

2

Γ(

n−12

) un2−1

π∫

0

f(u + γ2 − 2u(1/2)γ cos φ) senn−2 φ dφ. (3.6)

Considere el cambio de variable

y = u(1/2) −→ u = y2,

cuyo jacobiano es

J =dy

du= 2y,

tal que

gU(y) =

2 πn−1

2

Γ(

n−12

) yn−1

π∫

0

f(y2 + γ2 − 2 y γ cos φ) senn−2 φ dφ

=2 π

n−12

Γ(

n−12

)yn−1 In; u > 0, γ2 = 2δ.

Considere el desarrollo en serie de Taylor en IR dado por

f(v) =∞∑

l=0

al

l!vl,

procediendo analogamente a Anderson y Fang [1, pag. 85], se obtiene

In =

π∫

0

f(y2 + γ2 − 2y γ cos φ) senn−2 φ dφ

=

π∫

0

[ ∞∑

l=0

al

l!(y2 + γ2 − 2y γ cos φ)l

]senn−2 φ dφ

=∞∑

l=0

al

l!

π∫

0

(y2 + γ2 − 2y γ cos φ)l senn−2 φ dφ

=

√π

2Γ

(n− 1

2

) ∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

) y2kf (2k)(y2 + γ2)


con lo cual

gU(y) =

2 πn−1

2

Γ(

n−12

) yn−1 In

=2 π

n−12

Γ(

n−12

) yn−1

√

π

2Γ

(n− 1

2

) ∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

) y2k f (2k)(y2 + γ2)

=∞∑

k=0

γ2k πn2

k! Γ(k + n

2

) yn+2k−1 f (2k)(y2 + γ2), u > 0,

donde γ2 = µT µ = 2δ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·) respecto de u.

La expresion (2.17) solo es posible cuando la funcion generadora de densidades, f , es ex-

pandible en serie de Taylor, lo cual ocurre cuando existen los momentos de dicha distribucion.

Por tanto, este uso esta limitado para aquellas distribuiones Elıpticas que posean momentos

(por ejemplo, esta representacion no es posible para la distribucion de Cauchy). Este hecho

justifica la existencia de las dos expresiones para la densidad.

3.3 Distribucion t Generalizada

3.3.1 Introduccion

La distribucion t generalizada (Gt) juega un papel similar a la distribucion t bajo la teorıa de

inferencia Normal. Como se ha mencionado, la distribucion Gt es la distribucion de

T =X1√XT

2 X2

n

=√

nX1√XT

2 X2

,

cuando X = (X1 XT2 )T tiene una distribucion Elıptica. La notacion ECn+1(µ, Σ; f) sigue

siendo valida, tanto bajo singularidad como no singularidad de la distribucion, tal como se

menciona anteriormente.

Recuerde que si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1(0, In+1), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn, entonces

T =√

nX1√XT

2 X2

∼ t(n)

3.3. DISTRIBUCION T GENERALIZADA 57

y tiene densidad

gT(t) =

nn2 Γ

(n+1

2

)

π(1/2) Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2 ; t ∈ IR. (3.7)

Analogamente, si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1(µ, In+1), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µT = [µ1 0],

µ1 ∈ IR y µ1 6= 0, entonces

T =√

nX1√XT

2 X2

∼ t(n, δ),

con δ = µ1 y su densidad es

gT(t) =

nn2

Γ(

n2

)(n + t2)

n+12

exp

(−δ2

2

) ∞∑

k=0

Γ(

n+k+12

)δk2

k2 tk

k!(n + t2)k2

; t ∈ IR. (3.8)

Esta ultima llamada distribucion t no centrada con parametro de no centralidad dado por

δ = µ1.

De la misma forma, si X = (X1 XT2 )T ∼ Nn+1(µ, Σ), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µ = [µ1 0]T ,

µ1 ∈ IR y µ1 6= 0; Σ ∈ IRn×n y dada por

Σ =

σ21 0

0 Σn

,

Σn ∈ IRn×n y Σn > 0, entonces

T =√

nX1√

XT2 Σ−1 X2

∼ t(n, δ),

con δ = µ1/σ1.

3.3.2 Distribucion t Generalizada Centrada y No Centrada

Haciendo uso de la invarianza de la distribucion Gt bajo leyes Esfericas se presenta el siguiente

resultado, a continuacion de el se plantea la distribucion t generalizada no centrada bajo no

singularidad de la ley Elıptica.

[Distribucion Gt centrada] Sea X = (X1 XT2 )T ∼ Sn+1(f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn.

Entonces,

T =√

nX1√XT

2 X2

∼ Gt(n; f),


la cual coincide con la del caso de una distribucion Normal, esto es, Gt(n; f) ≡ t(n), ∀f .

[Distribucion Gt no centrada] Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(µ, In+1; f), con X1 ∈ IR y

X2 ∈ IRn; µ ∈ IRn+1, µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces,

T =√

nX1√XT

2 X2

∼ Gt(n, δ; f),

con δ = µ1 y su funcion de densidad viene dada por

gT(t) =

2(nπ)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yn dy; t ∈ IR (3.9)

donde δ es parametro de no centralidad y δ1 =tδ

(n + t2)(1/2).

Demostracion. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(µ, In+1; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µ ∈

IRn+1, µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces su densidad es

gX(X) = f((X− µ)T (X− µ))

donde

(X− µ)T (X− µ) =

x1 − µ1

x2

...

xn+1

T

x1 − µ1

x2

...

xn+1

= (x1 − µ1)2 +

n+1∑

i=2

x2i ,

Ası,

gX(X) = f

(n+1∑

i=2

x2i + (x1 − µ1)

2

)= h

(n+1∑

i=2

x2i

)= h(u),

esto es, la densidad anterior es funcion den+1∑

i=2

x2i , de modo que es posible aplicar el Lema

2.4.5 (vea [32], pag. 53) que para nuestro caso particular se reduce a lo siguiente y teniendo

presente que ‖X2‖ =√

XT2 X2 = R y U = R2, tal que dU = 2R dR.

I(n) =

∞∫

0

h

(n+1∑

i=2

x2i

)n∏

k=1

dxk


=π

n2

Γ(

n2

)∞∫

0

h(u) un2−1 du

=π

n2

Γ(

n2

)∞∫

0

f(u + (x1 − µ1)2) u

n2−1 du

=π

n2

Γ(

n2

)∞∫

0

f(r2 + (x1 − µ1)2) r2(n

2−1) (2r dr)

=2 π

n2

Γ(

n2

)∞∫

0

f(r2 + (x1 − µ1)2) rn−1 dr

Sea l(·) Borel medible tal que, IE(l(X1, R)) < ∞ y recuerde que

T =√

nX1

R−→ R =

√n

X1

T,

cuyo jacobiano es

J =dX1

dT=√

n1

R.

Entonces

IE(T ) = IE(l(X1, R))

=2π

n2

Γ(

n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

l(x1, r) rn−1 f(r2 + (x1 − µ1)2) dr dx1

=2π

n2

Γ(

n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

(√n x1

r

)rn−1 f(r2 + (x1 − µ1)

2) dr dx1

=2π

n2

Γ(

n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

t rn−1 f

[r2 +

(t r

n(1/2)− µ1

)2]

dr

(r√n

dt

)

=2π

n2

√n Γ

(n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

t rn f

[r2 +

(t r

n(1/2)− µ1

)2]

dr dt

=2π

n2

√n Γ

(n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

t rn f

(r2 +

t2 r2

n− 2t r

n(1/2)µ1 + µ2

1

)dr dt

=2π

n2

√n Γ

(n2

)∞∫

−∞

∞∫

0

t rn f

((t2 + n) r2

n− 2t r µ1

n(1/2)+ µ2

1

)dr dt


Ası, al hacer el cambio de variable

y =

(t2 + n

n

)(1/2)

r,

cuyo jacobiano es

J =dr

dy=

(t2 + n

n

)−(1/2)

y reemplazando adecuadamente lo anterior y δ = µ1, δ1 = (tδ)/(n+ t2)(1/2) en (3.3), se obtiene

finalmente que

gT(t) =

2πn2

√n Γ

(n2

)∞∫

0

rn f

((t2 + n) r2

n− 2t r δ

n(1/2)+ δ2

)dr

=2π

n2

√n Γ

(n2

)(

t2 + n

n

)−n2

∞∫

0

yn f(y2 − 2δ1 y + δ2

)

(t2 + n

n

)−(1/2)

dy

=2(nπ)

n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yn dy; t ∈ IR

donde δ = µ1 el parametro de no centralidad de la distribucion Gt no centrada con (n − 1)

g.l. y δ1 = (tδ)/(n + t2)(1/2).

Sea T ∼ Gt(n, δ; f). Entonces, si δ = 0 la densidad de una distribucion t generalizada no

centrada coincide con la densidad de una distribucion t centrada.

Demostracion Sea T ∼ Gt(n, δ; f). Entonces, su densidad es

gT(t) =

2(nπ)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yn dy,

si δ = 0 (caso centrado), se obtiene

gT(t) =

2(nπ)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2) yn dy (3.10)

=2(nπ)

n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2 I(n). (3.11)

La integral I(n) es valida para toda distribucion Elıptica y en particular para la distribucion

Normal, en cuyo caso

f(u) =1

(2π)n+1

2

exp(−u

2

)


y ası se tiene

I(n) =

∞∫

0

yn 1

(2π)n+1

2

exp

(−y2

2

)dy =

1

(2π)n+1

2

∞∫

0

yn exp

(−y2

2

)dy,

Considere ahora el cambio de variable

x = y2 −→ y =√

x,

cuyo jacobiano es

J =dy

dx= − 1

2√

xy |J | = 1

2√

x,

con lo cual

I(n) =1

(2π)n+1

2

∞∫

0

yn exp

(−y2

2

)dy

=1

(2π)n+1

2

∞∫

0

xn2 exp

(−x

2

)1

2√

xdx

=1

2 (2π)n+1

2

∞∫

0

xn+1

2−1 exp

(−x

2

)dx

=1

2n+1

2+1 π

n+12

Γ(

n + 1

2

)2

n+12

=Γ

(n+1

2

)

2 πn+1

2

.

Finalmente

gT(t) =

2(n π)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

Γ(

n+12

)

2 πn2+ 1

2

=n

n2 Γ

(n+1

2

)

π(1/2) Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2


3.4 Distribucion F Generalizada

3.4.1 Introduccion

La distribucion F generalizada (GF), al igual que la distribucion Gt, juega un papel similar

a la distribucion F bajo la teorıa de Normal. Como ya se menciono, la distribucion GF es la

distribucion de

V =

XT1 X1

mXT

2 X2

n

=n

m

XT1 X1

XT2 X2

,

cuando X = (XT1 XT

2 )T tiene una distribucion Elıptica. La notacion ECm+n(µ, Σ; f) sigue

siendo valida, tanto bajo singularidad como no singularidad de la distribucion.

Recuerde que si X = (XT1 XT

2 )T ∼ Nm+n(0, Im+n), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn, entonces

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ F (m,n)

y su densidad es

gV(v) =

Γ(

m+n2

)m

m2 n

n2 v

m2−1

Γ(

m2

)Γ

(n2

)(m + nv)

m+n2

; v > 0. (3.12)

Analogamente, si X = (XT1 XT

2 )T ∼ Nm+n(µ, Im+n), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n,

µ = [µ1 0]T , µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0, entonces

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ F (m,n; δ),

con δ = (1/2)µT1 µ1 y cuya densidad viene dada por

gV(v) =

∞∑

k=0

exp(−δ) δk

k!

Γ(

m+n+2k2

)m

m2

+k nn2 v

m2

+k−1

Γ(

m2

+ k)

Γ(

n2

)(n + mv)

m+n+2k2

; v > 0, (3.13)

es decir, una suma ponderada infinita (cuyos factores de ponderacion vienen dados por una

ley de Poisson de parametro δ = (1/2)µT1 µ1) de densidades F (m + 2k, n) centradas. Esta

distribucion es llamada F no centrada con m g.l. en el numerador, n g.l. en el denominador

y parametro de no centralidad δ = (1/2)µT1 µ1.

3.4. DISTRIBUCION F GENERALIZADA 63

Asimismo, si X = (XT1 XT

2 )T ∼ Nm+n(µ, Im+n), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n,

µ = [µ1 µ2]T , µ1 ∈ IRn y µ1 6= 0, µ2 ∈ IRm y µ2 6= 0, entonces

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ F (m,n; δ1, δ2),

con δ1 = (1/2)µT1 µ1 y δ2 = (1/2)µT

2 µ2 y tiene densidad

gV(v) =

∞∑

k1=0

∞∑

k2=0

exp(−δ1 − δ2) δ1 δ2

k1!k2!

Γ(

m+n2

+ k1 + k2

)m

m2

+k1 nn2+k2 v

m2

+k1−1

Γ(

m2

+ k1

)Γ

(n2

+ k2

)(mv + n)

m+n+2k1+2k22

; v > 0.

Esta ultima es llamada la distribucion F doble no centrada con m g.l. en el numerador, n g.l.

en el denominador y parametros de doble no centralidad δ1 = (1/2)µT1 µ1 y δ2 = (1/2)µT

2 µ2.

Por ultimo, se tiene una mayor generalizacion si X = (XT1 XT

2 )T ∼ Nm+n(µ, Σ), con X1 ∈IRm y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n, µ = [µ1 µ2]

T , µ1 ∈ IRn y µ1 6= 0, µ2 ∈ IRm y µ2 6= 0;

Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), dada por

Σ =

Σ11 0

0 Σ22

,

con Σ11 ∈ IRm, Σ11 > 0, Σ22 ∈ IRm, Σ22 > 0, entonces

V =n

m

XT1 Σ−1

11 X1

XT2 Σ−1

22 X2

∼ F (m,n; δ1, δ2),

donde δ1 = (1/2)µT1 Σ−1

11 µ1 y δ2 = (1/2)µT2 Σ−1

22 µ2.

3.4.2 Distribucion F Generalizada Centrada y No Centrada

De la misma forma que en el caso de la distribucion Gt, se usa la invarianza de la distribucion

GF bajo leyes Esfericas para obtener el siguiente resultado. Posteriormente se plantea la

distribucion GF no centrada bajo no singularidad de la ley Elıptica.

[Distribucion GF centrada] Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ Sm+n(f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn.

Entonces,

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ GF(m,n; f),


la cual coincide con la del caso de una distribucion Normal, esto es, GF(n,m; f) ≡ F (m,n), ∀f .

Se presenta ahora la distribucion GF no centrada como caso particular de la distribucion GFdoble no centrada, la que se presenta mas adelante.

[Distribucion GF no centrada] Sea XT = (X1 X2) ∼ ECm+n (µ, Im+n; f), con X1 ∈ IRm

y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n, µT =[µT

1 0], µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0. Entonces,

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ GF(m, m; δ; f),

con δ = (1/2)µT1 µ1 y su funcion de densidad viene dada por

gV(v) =

2πn+m−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ ym+n−1 f(y2 − 2γ∗y cos θ + γ2) dθ dy, v > 0,

(3.14)

donde γ∗ =(

m v

n + mv

)(1/2)

γ y γ2 = 2δ.

Demostracion. Considere la densidad de una distribucion F generalizada doble no centrada

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ senn−2 φ ym+n−1 f(y2 − 2y γ∗1 cos θ + γ21

−2 y γ∗2 cos θ + γ22) dy dθ dφ

donde γ∗1 =(

m v

n + mv

)(1/2)

γ y γ∗2 =(

n

m v

)(1/2) (1 +

n

m v

)−(1/2)

.

Haciendo γ2 = 0, se obtiene

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ senn−2 φ ym+n−1 f(y2 − 2y γ∗ cos θ + γ2) dy dθ dφ


=2π

n+m2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

senn−2 φ dφ

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ ym+n−1 f(y2 − 2y γ∗ cos θ + γ2) dy dθ

=2π

n+m2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2 π(1/2) Γ(

n−12

)

Γ(

n2

)

π∫

0

∞∫

0


=2π

n+m−12

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

∞∫

0


donde γ∗ =(

m v

n + mv

)(1/2)

γ.

Sea V ∼ GF(m,n, δ; f). Entonces, si δ = 0 la densidad de una distribucion F generalizada

no centrada coincide con la densidad de una distribucion F centrada.

Demostracion Considere la densidad de una distribucion F generalizada no centrada

gV(v) =

2πn+m−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ ym+n−1 f(y2 − 2γ∗y cos θ + γ2) dθ dy, v > 0,

donde γ∗ =(

mv

n + mv

)(1/2)

γ y γ2 = 2δ.

Haciendo δ = 0 (caso centrado) se obtiene

gV(v) =

2πn+m−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

(3.15)

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θym+n−1f(y2) dθ dy (3.16)

=2π

n+m−12

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

(3.17)


π∫

0

senm−2 θ dθ

∞∫

0

ym+n−1f(y2) dy

(3.18)

=2π

n+m−12

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2 π12 Γ

(m−1

2

)

Γ(

m2

)Γ

(m+n

2

)

2 πm+n

2

(3.19)

=Γ

(m+n

2

)

Γ(

m2

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

(3.20)

=Γ

(m+n

2

)m

m2 n

n2 v

m2−1

Γ(

m2

)Γ

(n2

)(m + nv)

m+n2

; v > 0. (3.21)

Note que la densidad dada en el Teorema 4.88 esta expresada a traves de una integral, en [33] se

puede ver como esta densidad es expresada, usando desarrollo en serie de Taylor, en terminos

de las derivadas de la funcion f . A continuacion de da explıcitamente la demostracion.

[Densidad GF no centrada en funcion de las derivadas de f ] Sea V ∼ GF (n, m, δ; f),

con δ =1

2µT

1 µ1 y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces una forma alternativa de

expresar la densidad de V viene dada por

gV(v) =

2 πm+n

2

Γ(

n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

n2

+ k)

∞∫

0

ym+n+k−1 f (2k)(y + γ2) dy, v > 0,

(3.22)

donde δ = (1/2)γ2 = (1/2)µT µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·).

Demostracion. Sea V ∼ GF(m,n, δ; f). Entonces su densidad es

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−(1/2)(m+n)

=

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ ym+n−1 f(y2 − 2γ1y cos θ + γ2) dθ dy, v > 0,

donde δ = (1/2)γ2 = (1/2)µT µ y γ1 =(

m v

n + mv

)(1/2)

γ.


gV(v) = c(m,n; v)

∞∫

0

ym+n−1 T (y) dy,

donde

c(m,n; v) =2π

n+m2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−(1/2)(m+n)

,

de modo que

T (y) =

π∫

0

senm−2 θ f(y2 − 2γ1y cos θ + γ2) dθ,

puede expresarse tal como en el Teorema 3.3 de la forma

T (y) = π(1/2) Γ(

m− 1

2

) ∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

) yk f (2k)(u + γ2).

Ası, finalmente,

gV(u) =

2πm+n

2− 1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

(3.23)

∞∫

0

ym+n−1 π(1/2) Γ(

m− 1

2

) ∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

) yk f (2k)(u + γ2) dy(3.24)

=2π

m+n2

Γ(

n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

(3.25)

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

)∞∫

0

ym+n+k−1 f (2k)(y + γ2) dy; u > 0,(3.26)

donde δ = (1/2)γ2 = (1/2)µT µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·).


Part II

RESULTADOS

69

Chapter 4

Distribucion Elıptica Singular

4.1 Introduccion

En este capıtulo se encuentra la densidad de una vector aleatorio Elıptico singular siguiendo el

argumento propuesto en Rao [69, p. 527] y se hallan las distribuciones χ2, t y F generalizadas

asociadas a este vector aleatorio, en cuyo caso, y tal como se demuestra, la singularidad de la

distribucion Elıptica afecta los grados de libertad de tales distribuciones. Posteriormente, se

utilizan dos distribuciones Elıpticas singulares especıficas, como lo son la Pearson tipo VII y la

de tipo Kotz, hallando ası explıcitamente las densidades de estas distribuciones. Finalmente,

se tratan dos aplicaciones de la distribucion Elıptica singular. La primera de ellas relacionada

con la distribucion de los residuos de un modelo lineal Elıptico y la segunda relacionada con

el estadıstico t generalizado, basado en una muestra obtenida desde una poblacion Elıptica.

4.2 Densidad de una distribucion Elıptica Singular

Tal como se menciono anteriormente, si X ∼ ECn(µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n y Σ ≥ 0,

es decir, rk Σ = r < n, entonces X tiene una distribucion Elıptica singular. A continuacion se

halla explıcitamente la densidad de X de forma analoga al caso de una distribucion Normal

singular, tal como en [69, p. 527] y [25].

71

72 CHAPTER 4. DISTRIBUCION ELIPTICA SINGULAR

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; φ), con µ ∈ IRn, Σ ∈ IRn×n, Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Entonces, la

funcion de densidad de X viene dada por

(r∏

i=1

λ− 1

2i

)f [(X− µ)T Σ

−(X− µ)] (4.1)

y

NTX = NT µ, con probabilidad 1, (4.2)

lo cual se denotara por X ∼ ECr

n(µ, Σ; f), donde Σ−

es un inverso generalizado simetrico de Σ,

los λi son los valores propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r) ≡ {N ∈ IRn×(n−r)/NT N = I(n−r)},la variedad de Stiefel, tal que NT Σ = 0.

Demostracion: Dado que Σ = ΣT , entonces existe Q ∈ O(n), tal que

Σ = Q

Dr 0

0 0

Q′. (4.3)

Considere ahora la particion Q = (B N), con B ∈ IRn×r y N ∈ IRn×(n−r) y observe que

QT Σ Q =

BT

NT

Σ (B N) =

BT ΣB BT Σ N

NT ΣB NT Σ N

=

Dr 0

0 0

(4.4)

y sea la transformacion

Y =

W

Z

=

BT

NT

X =

BTX

N X

,

de modo que, por Fang y Zhang [32, p. 66],

E(Z) = E(NTX) = NT µ

y

Cov(Z) = NT Cov(X) N = NT c0Σ N = c0NT Σ N = 0,

donde c0 = −2φ(0), esto es,

Z ∼ EC0(n−r)(N

T µ,0; f),

4.2. DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCION ELIPTICA SINGULAR 73

es decir,

NT (X− µ) = 0, con probabilidad 1. (4.5)

Ademas, nuevamente por Fang y Zhang [32, p. 66]

E(W) = BT µ y V ar(W) = c0BT Σ B,

esto es,

W ∼ ECr(BT µ, BT Σ B; f),

donde f(·) es la densidad restringida solo al rango de Σ, con lo cual la densidad de W es

∣∣∣BT Σ B∣∣∣−1/2

f [(BTX−BT µ)T (BT ΣB)−1(BTX−BT µ)]. (4.6)

Ası, la funcion de densidad conjunta de (W,Z) o la de X, esta definida por (7) y (8). Alter-

nativamente, observe que

1. |BT Σ B| = |Dr| =r∏

i=1

λi, donde Dr es una matriz diagonal, cuyos elementos de su

diagonal son los λi, los valores propios no nulos de Σ.

2. Como

Σ = Q

Dr 0

0 0

QT ,

entonces

Σ−

= Q

D−1r 0

0 0

QT = (B N)

D−1r 0

0 0

BT

NT

= B D−1

r BT .

De esta manera, por (2.6)

Σ−

= B (BT Σ B)−1BT , (4.7)

con lo cual se obtiene que

(BTX−BT µ)T (BT Σ B)−1(BTX−BT µ) = (X − µ)T B (BT Σ B)−1BT (X− µ)

= (X− µ)T Σ−(X− µ).


Ası, finalmente, la densidad de X esta dada por

(r∏

i=1

λ−1/2i

)f [(X− µ)T Σ

−(X− µ)] (4.8)

y

N(XT − µ) = 0, con probabilidad 1. (4.9)

lo cual se interpreta como la densidad (2.8) sobre el hiperplano (2.9).

Formalmente, la densidad de X existe con respecto a la medida de Hausdorff. Ası, uti-

lizando la notacion de Billingsley [8], W tiene densidad con respecto a la medida de Lebesgue

definida sobre el conjunto A, digamos λr(A), donde A esta definido por (2.9) y Z tiene den-

sidad con respecto a la medida de conteo C{Z}, en donde el soporte solo contiene al punto

Z = N ′µ.

Lo observado anteriormente se ilustrara de forma mas clara en el siguiente ejemplo.

Sea X =

X1

X2

∼ EC1

2

µ =

1

1

, Σ =

1 2

2 4

; f

, donde rk Σ = 1; de modo que

X tiene una distribucion Elıptica singular. Los valores propios de Σ son λ1 = 5 y λ2 = 0

y sus vectores propios asociados son de la forma (b 2b)T y (−2a a)T , respectivamente, con

a, b ∈ IR. Luego, como los vectores propios no son unicos, la densidad singular que se halla

tampoco lo es. Ası, si se consideran los vectores propios normalizados de B y N , se obtiene que

Q = (B N) =

1/√

5 2/√

5

2/√

5 4/√

5

es ortogonal. Finalmente, la densidad de X = (X1 X2)

T viene

dada por (1/√

5 f [(1/25)(x21−6x1 +4x1 x2−12x2 +9)] y −2x1 +x2 +1 = 0, con probabilidad

1; lo que se interpreta como la densidad de X con dominio en la recta L : −2x1 + x2 + 1 = 0.

A continuacion se presentan 5 graficos, dos de los cuales permiten ilustrar mas claramente

el ejemplo antes planteado (Graficos 1 y 2), ası como el caso de degenerancia (Graficos 3 y 4)

y el no singular (Grafico 5).

1. En los Graficos 1 y 2 se representan las densidades de una distribucion Elıptica singular

en IR2 de rango 1. Se ve como dicha densidad, aunque no existe en todo el espacio, sı

existe enuno de dimension menor. Se muestran dos densidades particulares sobre sus

4.2. DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCION ELIPTICA SINGULAR 75

respectivos planos; sin embargo, lo importante de este resultado es que, aun cuando

la densidad no es unica, la probabilidad de un evento se calcula a partir de cualquier

representacion de esta densidad y coincide cualquiera sea ella.

15cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/graf1y2.bmp

2. En los Graficos 3 y 4 se representan las densidades de una distribucion Elıptica singular

en IR2 de rango 0. Se ve como dicha densidad, aunque no existe en todo el espacio, en

este caso esta acumulada en un unico punto, que es la interseccion de los planos, cuya

representacion, de manera analoga al caso anterior, tampoco es unica.

3. En el Grafico 5 se representa la densidad de una distribucion Elıptica no singular en

IR2. Se ve como dicha densidad ocupa todo el espacio.


15cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/graf3y4.bmp 10cm6cmd:/aapoyovl/seminary/eliptica/graf51.bmp

Dos distribuciones Elıpticas especıficas son la distribucion de Pearson tipo VII y la de tipo

Kotz, las que a su vez contienen a las distribuciones t-multivariada, cuando m = (r + s)/2,

y Normal multivariada, cuando m = 1, s = 1/2 y t = 1, respectivamente. Ası, por Gupta y

Varga [39] y el Teorema 2.91, se presentan a continuacion ambas distribuciones para el caso

de un distribucion Elıptica singular.

Sea X ∼ ECrn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n, Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Ası, si su

densidad viene dada por

(r∏

i=1

λ− 1

2i

)Γ(m)

(πs)r2 Γ

(m− r

2

)1 +

(X− µ)T Σ−(X− µ)

s

−m

y

NT (X− µ) = 0, con probabilidad 1,

entonces X tiene una distribucion de Pearson tipo VII singular de rango r con parametros

m > r/2 y s > 0, donde Σ−

es un inverso generalizado simetrico de Σ, los λi son los valores

propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r), tal que NT Σ = 0.

Sea X ∼ ECrn(µ,Σ; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n, Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Ası, si su

densidad viene dada por

(r∏

i=1

λ−1/2i

)t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t

)[(X− µ)T Σ

−[(X − µ)]m−1 exp

(−s (X− µ)T Σ

−(X − µ)

]t)

y

NT (X− µ) = 0, con probabilidad 1,

entonces X tiene una distribucion de Tipo Kotz singular de rango r y parametros m, t y s,

con 2m + r > 2, t > 0, s > 0, donde Σ−

es un inverso generalizado simetrico de Σ, los λi son

los valores propios no nulos de Σ y N ∈ Vn,(n−r), tal que NT Σ = 0.

4.3. DISTRIBUCIONES χ2, T Y F GENERALIZADAS 77

4.3 Distribuciones χ2, t y F Generalizadas

Las distribuciones χ2, t y F generalizadas, centradas y no centradas, han sido ampliamente

estudiadas para el caso de una distribucion Elıptica no singular, incluyendo casos de Elıpticas

particulares, en los libros [1] y [32]. A pesar de ello, el uso de la densidad de una distribucion

Elıptica singular no ha sido aun estudiado. Esta singularidad de la ley Elıptica afecta los

grados de libertad de la distribucion. Particularmente, si el rango de Σ es r < n, entonces

la distribucion χ2 asociada tiene r grados de libertad, una situacion analoga ocurre con las

distribuciones t y F generalizadas.

4.3.1 Distribucion χ2 Generalizada

Sea X ∼ ECn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0, Σ ∈ IRn×n, Σ > 0 y rk Σ = r = n. Entonces,

U = XT Σ−1X tiene una distribucion Gχ2 no centrada, denotado por U ∼ Gχ2(n, δ; f) cuya

densidad es

gU(u) =

πn−1

2

Γ(

n−12

) un2−1

π∫

0

f(u− 2γ u12 cos φ + γ2) senn−2 φ1 dφ1; u > 0, (4.10)

donde γ2 = µT Σ−1µ = 2δ (vea [32, p. 82]).

Una forma alternativa de expresar la densidad de U , si f es expandible en serie de Taylor en

IR, es

gU(u) =

∞∑

k=0

γ2kπn2

k! Γ(

n2

+ k) u

n2+k−1 f (2k)(u + γ2); u > 0, (4.11)

donde γ2 = 2δ = µT µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·) (vea [80]).

Ası, bajo singularidad de la distribucion Elıptica, obtenemos el siguiente resultado.

Sea X ∼ ECrn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n, Σ ≥ 0 y rk Σ = r < n. Entonces,

U = XT Σ−X ∼ Gχ2(r, δ; f),

con δ = (1/2)µT Σ−µ.


Demostracion. Sean X ∼ ECrn(µ, Σ; f), con µ ∈ IRn, µ 6= 0; Σ ∈ IRn×n, rk Σ = r < n,

Σ = QT Q y Q ∈ IRr×n una factorizacion de rango completo e Y = Q−X. Entonces,

Y ∼ ECr(ν, Ir; f), con ν = Q−µ; luego ‖Y‖2 ∼ Gχ2(r, δ; f), con

δ = (1/2)µT Q−Q−µ = (1/2)µT Σ

−µ.

El resultado es inmediato, ya que ‖Y‖2 = XT Σ−X.

. Sea X con distribucion de Pearson tipo VII singular de rango r. Entonces, U =

XT Σ−X ∼ Gχ2(r, δ; f) tiene densidad

gU(u) =

sm− r2 Γ(m)

Γ(m− r

2

)∞∑

k=0

(m)2k

k! Γ(

r2

+ k) γ2k u

r2+k−1(s + u + γ2)−2k−m; u > 0, (4.12)

donde γ2 = 2δ = µT Σ−µ.

Demostracion. Usando la densidad de una distribucion Gχ2 expresada en terminos de las

derivadas de la funcion f , dada anteriormente, obtenemos que si U = XT Σ−X ∼ Gχ2(r, δ; f),

entonces

gU(u) =

∞∑

k=0

γ2kπr2

k! Γ(

r2

+ k) u

r2+k−1 f (2k)(u + γ2); u > 0,

donde γ2 = 2δ = µT Σ−µ y f (2k) es la 2k-esima derivada de f . En nuestro caso particular

f(u) =Γ(m)

(π s)r2 Γ

(m− r

2

)[1 +

u

s

]−m

y por tanto

f (2k)(u) =Γ(m)

πr2 Γ

(m− r

2

) sm−r/2 (m)2k (s + u)−m−2k,

donde (m)2k = m(m− 1)(m− 2) · . . . · (m− 2k + 1). Ası,

gU(u) =

sm− r2 Γ(m)

Γ(m− r

2

)∞∑

k=0

(m)2k γ2k ur2+k−1 (s + u + γ2)−m−2k

k! Γ(

r2

+ k)


. Sea X con distribucion de tipo Kotz singular de rango r. Entonces, U = XT Σ−X ∼

Gχ2(r, δ; f) tiene densidad

gU(u) =

t s2m+r−2

2t Γ(

r2

)

Γ(

2m+r−22t

)

∞∑

k=0

∞∑

z=0

γ2k (−s)2(k+1) (t(z + 2k) + q − 1)2k ur2+k−1 (u + γ2)t(z+2k)+m−1−2k

k! (k + 2k)! Γ(

r2

+ k) ,

(4.13)

donde u > 0 y γ2 = 2δ = µT Σ−µ.

Demostracion. De manera analoga al Corolario 3.97, si X tiene distribucion de tipo Kotz

singular de rango r, entonces

f(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t

) um−1 exp(−s ut

); 2m > r − 2, t, s > 0.

El resultado se sigue observando que

f(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t

)∞∑

l=0

(−r)l utl+m−1

l!,

con lo cual la derivada 2k-esima de f es

f (2k)(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t

)∞∑

z=l−2k=0

(−s)2(k+1) (t(z + 2k) + q − 1)2k ut(z+2k)+m−1−2k

(k + 2k)!.

Ası, finalmente,

gU(u) =

t s2m+r−2

2t Γ(

r2

)

Γ(

2m+r−22t

)

∞∑

k=0

∞∑

z=0

γ2k (−s)2(k+1) (t(z + 2k) + q − 1)2k ur2+k−1 (u + γ2)t(z+2k)+m−1−2k

k! (k + 2k)! Γ(

r2

+ k) ,

con u > 0 y γ2 = 2δ = µT Σ−µ.


4.3.2 Distribucion t Generalizada

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(µ, In+1; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRn+1, µ = [µ1 0 ]T ,

µ1 ∈ IR y µ1 6= 0. Entonces, T = (X1/√

(XT2 X2)/n tiene una distribucion t generalizada no

centrada, denotado por T ∼ Gt(n, δ; f), con δ = µ1 y su funcion de densidad es

gT(t) =

2(nπ)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yn dy; t ∈ IR, (4.14)

donde δ es el parametro de no centralidad y δ1 = (tδ)/((n + t2)12 ) (vea [32, p. 85]).

Sea T ∼ Gt(n, δ; f). Entonces, si δ = 0, la distribucion t generalizada no centrada coincide

con la distribucion t centrada clasica (vea [32, p. 63]).

Se presenta ahora la distribucion Gt no centrada bajo singularidad de la distribucion Elıptica

asociada, esto es, cuando X ∼ ECrn(µ, Σ; f), donde r < n es el rango de Σ. Esta singularidad

de la ley Elıptica afecta los grados de libertad de la distribucion de T , de forma similar al caso

de la distribucion Gχ2 dada anteriormente.

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ EC

(r+1)(n+1)(µ, Σ; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRn+1, µ = [µ1 0]T

y µ1 ∈ IR, µ1 6= 0; Σ =

σ21 0

0 Σn

∈ IR(n+1)×(n+1), Σn ∈ IRn×n y rk Σn = r < n. Entonces,

T =√

rX1√

XT2 Σ

−X2

∼ Gt(r, δ; f),

con δ = µ1/σ1.

Demostracion. Sea X = (X1 XT2 ) ∼ EC

(r+1)(n+1)(µ, Σ; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRn,

µ = [µ1 0]T y µ1 ∈ IR, µ1 6= 0; Σ =

σ21 0

0 Σn

∈ IR(n+1)×(n+1).

Factorice Σn = Q QT , tal que Q ∈ IRn×r, con rk Q = r < n, de modo que

Y =

σ−11 0

0 Q−

·X =

σ−11 X1

Q−

X2

=

Y1

Y2

.


Entonces, X = (Y1 YT2 )T ∼ EC(r+1)(ν, Ir+1; f), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRr; ν ∈ IRr+1,

ν =

σ−11 0

0 Q−

· µ =

σ−11 0

0 Q−

·

µ1

0

=

µ1/σ1

0

;

luego

T =√

rY1√

YT2 Y2

=√

rX1√

(Q−X2)T (Q

−X2)

=√

rX1√

XT2 Σ

−n X2

∼ Gt(r, δ; f),

con δ = µ1/σ1.

Sea X = (X1 XT2 ) con distribucion de Pearson tipo VII singular de rango (r+1). Entonces,

T =√

rX1√

XT2 Σ

−X2

∼ Gt(r, δ; f),

tiene densidad

gT(t) =

rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(r2

)Γ

(m− r

2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k(−2 δ1)k (s + δ2)

r−2m−k+12 ) Γ

(r+k+1

2

)Γ

(2m+k−r−1

2

)

k! sk Γ (m + k),

(4.15)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2)1/2.

Demostracion. Sea X con distribucion de Pearson tipo VII singular de rango (r + 1) de

parametros m > (r + 1)/2 y s > 0. Entonces

f(u) =Γ(m)

(πs)r2 Γ

(m− r

2

)[1 +

u

s

]−m

.

Ası, si T ∼ Gt(r, δ; f)

gT(t) =

2 rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

[1 +

y2 − 2δ1y + δ2

s

]−m

yr dy,

con δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2)1/2. Entonces, usando el desarrollo en serie dado en [1, p. 85],

se tiene que[1 +

y2 − 2δ1y + δ2

s

]−m

=∞∑

k=0

(−m)k

k!

(−2 δ1 y

s

)k (1 +

y2 + δ2

s

)−k−m

,


con lo cual

gT(t) =

2 rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk(s + δ2)

r−k2−m

∞∫

0

(1 +

y2

s + δ2

)−k−m (y2

s + δ2

) r+k2

dy.


u =y2

s + δ2=⇒ y =

√u (s + δ2),

cuyo jacobiano es

J =

∣∣∣∣∣dy

du

∣∣∣∣∣ =(s + δ2)1/2

2 u1/2,

de donde, finalmente

gT(t) =

rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k (s + δ2)

r−k+12

−m Γ(

r+k+12

)Γ

(2m−r+k−1

2

)

k! sk Γ(k + m)

. Sea X = (X1 XT2 ) con distribucion de tipo Kotz singular de rango r, con m = 2 y s = 1.

Entonces,

T =√

rX1√

XT2 Σ

−X2

∼ Gt(r, δ; f)

tiene densidad

gT(t) =

4rr2−1 s

r2+1

Γ(

r2

)(r + t2)−

r+12

exp(−s δ2)

∞∑

k=0

−sk(r + 2k) Γ(r + 2k)

k! (2s δ1)r+2k+1

[(r + 2k + 2)(r + 2k + 1)

(2s δ1)2− 2δ1

r + 2k + 1

2s δ1

+ δ2

],

(4.16)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2)1/2.


Demostracion. Sea X con distribucion de Tipo Kotz Singular de rango r de parametros m,

t y s, y 2m + r > 2, t > 0, s > 0. Entonces

f(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t


); 2m > r − 2, t, s > 0.

Considere el caso en que m = 2 y t = 1, con lo cual f(u) = ((2 sr2+1)/r) π

r2 u exp(−s u), lo

que conduce a

gT(t) =

2(rπ)r2

Γ(

r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

2 sr2+1

r πr2

(y2 − 2δ1 y + δ2) exp(−s (y2 − 2δ1 y + δ2)) yr dy.

Usando ahora desarrollo en serie y la funcion Gamma, se obtiene finalmente que

gT(t) =

4rr2−1 s

r2+1

Γ(

r2

)(r + t2)

r+12

exp(−s δ2)

∞∑

k=0

−sk(r + 2k) Γ(r + 2k)

k! (2s δ1)r+2k+1

[(r + 2k + 2)(r + 2k + 1)

(2s δ1)2− 2δ1

r + 2k + 1

2 s δ1

+ δ2

],

con δ = µ1 y δ1 = (tδ)/((r + t2)1/2).

4.3.3 Distribucion F Generalizada

Sea X = (XT1 XT

2 ) ∼ EC(m+n)(µ, Im+n; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n, µ = [µ1 0]T ,

µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0. Entonces, V = (n/m)((XT1 X1)/(X

T2 X2)) tiene una distribucion F

generalizada no centrada, denotado por F ∼ GF(m, n, δ; f), cuya densidad es

gV(v) =

2πm+n−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

π∫

0

senm−2 θ ym+n−1f(y2 − 2δ1y cos θ + δ2) dθ dy; u > 0,

(4.17)

donde δ2 = µT µ y δ1 = (m v/(n + mv))2δ, tal como en [32, p. 86].


Una forma alternativa de expresar la densidad de V , si f es expandible en serie de Taylor en

IR, es en terminos de las derivadas de la funcion f , quedando representada de la siguiente

manera:

gV(v) =

2πm+n−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

n2

+ k)

∞∫

0

ym+n+k−1 f (2k)(y + γ2) dy, v > 0,

(4.18)

donde δ = (1/2)γ2 = (1/2)µT µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·), tal como puede verse

en [33].

Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ EC(r1+r2)(m+n) (µ, Σ; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; µ ∈ IRm+n,

µ =[µT

1 0]T

, µ1 ∈ IRm, µ1 6= 0; Σ =

Σ11 0

0 Σ22

∈ IR(m+n)×(m+n), Σ11 ∈ IRm×m y

rk Σ11 = r1 < m, Σ22 ∈ IRn×n y rk Σ22 = r2 < n. Entonces,

V =r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

con δ = (1/2)µT1 Σ

−11 µ1.

Demostracion. Sea X = (XT1 XT

2 ) ∼ EC(r1+r2)(m+n) (µ, Σ; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn;

µ =[µT

1 0]T

, µ1 ∈ IRm y µ1 6= 0; Σ =

Σ11 0

0 Σ22

∈ IR(m+n)×(m+n), Σ11 ∈ IRm×m y

rk Σ11 = r1 < m, Σ22 ∈ IRn×n y rk Σ22 = r2 < n. Considere, ademas, la descomposicion

Σ11 = Q1 QT1 y Σ22 = Q2 QT

2 , de modo que

Y = h X =

Q−1 0

0 Q−2

X1

X2

=

Q−1 X1

Q−2 X2

=

Y1

Y2

.

Entonces, Y = (YT1 YT

2 ) ∼ EC(r1+r2)(ν, Ir1+r2 ; f), con Y1 ∈ IRr1 y Y2 ∈ IRr2 ; ν =[νT

1 0]T

,

ν1 ∈ IRr1 y ν1 = Q−1 µ1 6= 0; luego

V =r2

r1

Y1 Y1

Y T2 Y2

=r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

4.4. APLICACIONES 85

con δ = (1/2)(νT1 ν1) = (1/2)(µT

1 Σ−11 µ1) y Σ

−ii , i = 1, 2 es un inverso generalizado simetrico.

Sea V ∼ GF(m,n; δ; f). Entonces, si δ = 0, V tiene una distribucion F generalizada

centrada, la cual coincide con distribucion F centrada clasica (vea [32, p. 63]).

La distribucion GF no centrada, obtenida bajo singularidad de la distribucion Elıptica

asociada, esto es, cuando X ∼ ECrn(µ, Σ; f), es afectada en los grados de libertad de la

distribucion de V , al igual que en el caso de las distribuciones χ2 y t, dadas anteriormente.

Cuando

V =r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

con δ = (1/2)(µT1 Σ

−11 µ1), y X tiene una distribucion de Pearson tipo VII singular de rango

(r1 + r2) o una distribucion de tipo Kotz singular de rango (r1 + r2), la forma explıcita de la

densidad de X se encuentra desarrollada en [33].

4.4 Aplicaciones

En esta seccion se aplica la distribucion Elıptica singular a la distribucion de los residuos de un

modelo lineal Elıptico y a la distribucion del estadıstico t generalizado, basado en un muestra

obtenida desde una poblacion Elıptica, .

4.4.1 Distribucion de los Residuos de un Modelo Lineal Elıptico

Considere el modelo lineal de rango completo

Y = Xβ + ε,

donde ε, Y ∈ IRn, X ∈ IRn×p, β ∈ IRp e

Y ∼ ECn(Xβ, σ2In; f),

cuyos residuos estan dados por

e = Y − X = (I −XX−)Y.


De esta manera, e tiene una distribuion Elıptica singular, mas aun,

e ∼ EC(n−p)n (0, σ2(I−XX

−); f),

donde σ20 = c0 σ2, c0 = −2φ′(0), φ(·) esta dado en (2.2.1) y σ2 es el parametro de escala de la

distribucion de e.

Lo anterior debido a que

rk(distribucion) = rk(Cov(e)) = rk(Cov((I −XX−)Y)) = rk(σ2

0(I −XX−)) = n− p,

Asimismo,

eT (I −XX−)−

σ2e =

1

σ2YT (I −XX

−)Y =

1

σ2||(I −XX

−)Y||2 =

1

σ2(YTY− βTXYT ) = eTe,

dondeeTe

σ2∼ Gχ2(n− p; f).

De la expresion anterior, ahora note que la suma de cuadrados debido al modelo, YTXβ es

tal que

YTXβ = YTXX−Y = YT (XX

−)T (XX

−)Y = ||XX

−Y||2,

con

XX−Y ∼ ECp

n(Xβ, σ2XX−; f),

pues

E(XX−Y) = XX

−Xβ = Xβ,

Cov(XX−Y) = XX

−σ2

0I(XX−)T = σ2

0XX−

y

rk[Cov(XX−Y)] = rk(XX

−) = rk(X) = p,

por lo tanto

(YTXX−)(XX

−)(XX

−)

σ2Y =

YTXβ

σ2∼ Gχ2(p, δ; f),


donde δ es el parametro de no centralidad de la distribucion Gχ2 y viene dado por δ =

||Xβ||2/(2σ2).

Observe que la expresion para U dada en (11) es una acntidad pivotal para σ2, esto es, el

parametro de escala de la distribucion del vector de residuos. De etsa forma, es posible es-

tablecer una expresion explıcita para el intervalo de confianza de parametro antes mencionado

a partir de la cantidad pivotal y de los Corolarios ? y ? al reemplazar el parametro de no

centralidad δ por cero. Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 2.

Tabla 2 Formas explıcitas de los Intervalos de Confianza del 100(1− α)% el parametro de

escala de la distribucion del vector de residuos para las distribuciones Elıpticas que se

especifican.

Ley Elıptica Distribucion de U =eTeσ2

IC100(1−α)%(σ2)

Pearson VII U =s(n− p)

2m− n + pY

2m−n+ps(n−p) eTe

F1−α2(n− p, 2m− n + p)

,

2m−n+ps(n−p) eTe

Fα2(n− p, 2m− n + p)

Y ∼ F(n− p, 2m− n + p)

t-multivariada U = (n− p)Y

(eTe/(n− p)F1−α

2(n− p, s)

,eTe/(n− p)Fα

2(n− p, s)

)

Y ∼ F(n− p, s)

Tipo Kotz U = Y 1/t

eTe

(Γ1−α2(s, 2m+n−p−2

2t ))1/t,

eTe(Γα

2(s, 2m+n−p−2

2t ))1/t

Y ∼ Γ(s, 2m+n−p−22t )

Normal U ∼ χ2(n− p)

eTe

χ21−α

2(n− p)

,eTe

χ2α2(n− p)

4.4.2 Distribucion del Estadıstico t Generalizado

A continuacion se hallara la distribucion del estadıstico t generalizado, basado en una muestra

obtenida desde una poblacion Elıptica, la que involucra a la distribucion Elıptica singular,

Fang y Zhang [32, p. 63].

Sea X ∼ ECn(ν, σ2In; f), con ν = µ 1n, ν ∈ IRn, µ ∈ IR, 1n ∈ IRn , σ20 = c0 σ2,


c0 = −2φ′(0) y φ dado en (2.2.1). Entonces,

T =√

nX

S∼ Gt(n− 1, δ; f), (4.19)

donde X =n∑

i=1

Xi/n y S2 =n∑

i=1

(Xi− X)2/(n− 1) y δ = µ/σ es el parametro de no centralidad

de la distribucion Gt no centrada con (n− 1) g.l.

Demostracion. Para aplicar el Teorema 3.99 defina

Y = A X =

1

n σ1n

T

1

σD

X =

1

n σ1n

T X

1

σD X

=

Y1

Y2

,

con D = (In − (1/n)1n1nT ) = D2 = DT , de modo que

Y =

Y1

Y2

∼ ECn

(n+1)

µ/σ

0

,

1 0

0 D

; f

,

esto es, Y tiene una distribucion Elıptica singular; para ver esto observe que

E(Y) = E(A X) = A µ 1n =

1

n σ1n

T

1

σD

µ 1n =

µ/σ

µ

σD 1n

.

Ademas, rk(D) = tr(In − (1/n)1n1nT ) = n− tr((1/n)1n1n

T ) = n− 1. Entonces, observando

que D1n = 0, se tiene que E(Y) = (µ/σ 0). Por otro lado, el parametro Σ de X, digamos

ΣY, es Σ

Y= A Σ

XAT = σ2 A AT . Ahora, como

A AT =

1/σ2 0

0 (1/σ2) D

,

se obtiene que

ΣY

=

1/n 0

0 ΣY2

=

1 0

0 D

.


Finalmente, observe que Σ−Y2

= D−

= D, Ası, T se puede escribir como

T =√

nY1√√√√√YT

2 Σ−Y2

Y2

(n− 1)

=√

n

1

n σ1n

T X√√√√√√

(1

σD X

)T

Σ−Y2

(1

σD X

)

(n− 1)

=√

n

1

n1n

T X√√√√XT D X

(n− 1)

=√

nX

S,

con lo cual, por el Teorema 3.99, se obtiene queT =√

n X/S ∼ Gt(n−1, δ; f), donde δ = µ/σ.


Chapter 5

Distribuciones Gt y GF Doble No

Centrada

5.1 Introduccion

Las distribuciones t y F obtenidas a partir de distribuciones Elıpticas se denominan distribu-

ciones t y F generalizadas. Sin embargo, si el parametro de posicion ν de la ley Elıptica es

igual a cero, entonces las distribuciones t y F generalizadas coinciden con las distribuciones t y

F obtenidas bajo normalidad, esto es, estas distribuciones son invariantes bajo leyes Elıpticas

cuando ν = 0 (vea [32, p.67]). Por otro lado, las distribuciones t y F generalizadas no

centradas dependen de la ley Elıptica particular bajo la cual fueron obtenidas. Asimismo,

las distribuciones t y F generalizadas doble no centradas, analogas a las del caso Normal,

dependen tambien de la ley Elıptica asociada.

La distribucion t doble no centrada bajo una distribucion Normal ha sido estudiada en [9],

mientras que la distribucion F doble no centrada ha sido estudiada en [81]. Esta ultima

distribucion ha sido utilizada para calcular la potencia de la prueba de interaccion de efectos

en el modelo de analisis de varianza a dos criterios de clasificacion con una observacion por

celda (vea [10]). Del mismo modo, la distribucion F doble no centrada se ha utilizado para

91

92 CHAPTER 5. DISTRIBUCIONES GT Y GF DOBLE NO CENTRADA

calcular la probabilidad del error de senales binarias de recepcion multicanal adaptiva (vea

[67]). Por otra parte, estas distribuciones doble no centradas han sido tambien aplicadas

a problemas de comunicacion, en senales capturadas a traves de radar, y en patrones de

reconocimiento, donde se involucran operaciones con formas cuadraticas basadas en datos

normales (vea [82], [48], [75] y [87]).

En este capıtulo se presentan las distribuciones t y F generalizadas, tanto para el caso cen-

trado, no centrado y doble no centrado, y bajo singularidad y no singularidad de la distribucion

Elıptica asociada, en cuyo caso la singularidad de la distribucion afecta los grados de libertad

de las distribuciones t y F generalizadas (vea [25]). Para las distribuciones t y F generalizadas

centradas, se usa la invarianza de tales distribuciones bajo leyes Elıpticas con parametro de

posicion igual a cero, coincidiendo con las del caso Normal. Para las distribuciones F gen-

eralizadas no centrada y doble no centrada, se presentan sus densidades tanto en terminos

de integrales como de las derivadas de la funcion generadora de densidades asociada a cada

distribucion Elıptica, y por ende de cada distribucion GF . En el caso de la distribuciones

t generalizadas no centrada y doble no centrada no es posible obtener esta representacion,

por lo que su densidad solo se expresa a traves de integrales. Finalmente se ilustran todos

estos resultados para dos subfamilias de distribuciones Elıpticas, como lo son la distribucion

de Pearson tipo VII y la distribucion de tipo Kotz, subfamilias que a su vez contienen como

casos particulares a las distribuciones Elıpticas t y Normal multivarian-tes, respectivamente.

En esta ilustracion y para el caso de la distribucion GF , se observa la evidente simplificacion

que se produce al usar la densidad en terminos de la derivada de la gene-radora de densidades

en lugar de la expresion integral. Sin embargo, se debe tener presente que la aplicacion de

este resultado es solo posible cuando la generadora de densidades, asociada a la particular dis-

tribucion Elıptica que se haya considerado, sea expandible en serie de Taylor, lo cual ocurre

cuando existen los momentos de dicha distribucion. Como no todas las distribuciones Elıpticas

disponen de momentos, como por ejemplo la distribucion de Cauchy, esto motiva entonces la

existencia de las dos expresiones para la densidad.

5.2. DISTRIBUCION GT DOBLE NO CENTRADA 93

5.2 Distribucion Gt Doble No centrada

Tal como se menciono, la distribucion Gt es la distribucion t obtenida bajo una ley Elıptica.

En esta seccion se presentan las distribuciones Gt centrada, no centrada y doble no centrada,

obtenidas bajo una distribucion Elıptica singular y no singular.

La distribucion Gt juega un papel similar al de la distribucion t bajo la teorıa de inferencia

Normal, y corresponde a la distribucion de

T =X1√

(XT2 X2)/n

=√

nX1√XT

2 X2

, (5.1)

cuando X = (X1 XT2 )T ∈ IRn+1 sigue una distribucion Elıptica, con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn.

Ası, haciendo uso de la invarianza de la distribucion Gt bajo leyes Elıpticas con parametro de

posicion igual a cero (vea [32, p. 67]), esto es, X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(0, Σ; f), con X1 ∈ IR

y X2 ∈ IRn, Σ ∈ IRn, Σ > 0, se obtiene que

T =√

nX1√

XT2 Σ−1X2

∼ Gt(n; f), (5.2)

la cual coincide con la del caso Normal, esto es, Gt(n; f) ≡ t(n), ∀f .

5.2.1 Distribucion Gt No Centrada

A continuacion se presenta la distribucion Gt no centrada bajo singularidad y no singularidad

de la distribucion Elıptica asociada.

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(ν, Σ; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRn, ν =

[µ 0T

]T,

µ ∈ IR y µ 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1), Σ =

σ2 0

0 Σn

, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ−1

n X2

∼ Gt(n, δ; f), (5.3)

con parametro de no centralidad δ = µ/σ.


Demostracion. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(ν, Σ; f), con ν ∈ IRn, ν =

[µ 0T

]T, µ ∈ IR

y µ 6= 0, Σ =

σ2 0

0 Σn

∈ IR(n+1)×(n+1) y rk Σn = n. Considere la descomposicion Σn =

Q QT , de modo que

Y =

σ−1 0

0 Q−1

X =

σ−1 X1

Q−1

X2

=

Y1

Y2

.

Entonces, Y = (Y1 YT2 )T ∼ ECn+1(η, In+1; f), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRn; η ∈ IRn+1,

η =

σ−1 0

0 Q−1

ν =

σ−1 0

0 Q−1

µ

0

=

µ/σ

0

.

Finalmente,

T =√

nY1√

YT2 Y2

=√

nX1√

(Q−1X2)T (Q−1X2)=√

nX1√

XT2 Σ−1

n X2

∼ Gt(n, δ; f), δ =µ

σ.

De [32] se sabe que si T ∼ Gt(n, δ; f), entonces la funcion de densidad de T es

gT(t) =

2(nπ)n2

Γ(

n2

) (n + t2)−n+1

2

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yn dy; t ∈ IR, (5.4)

donde δ es el parametro de no centralidad y δ1 = (tδ)/(n + t2)1/2.

De forma analoga al caso no singular (Σ > 0), tambien es posible obtener la distribucion Gt

no centrada bajo una distribucion Elıptica singular, esto es, cuando X ∼ ECrn(ν, Σ; f), donde

r < n es el rango de Σ (Σ ≥ 0). Esta singularidad afecta los g.l. de la distribucion Gt, tal

como se vera a continuacion.

Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECr+1

n+1(ν, Σ; f), con X1 ∈ IR y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRn, ν =[µ 0T

]Ty

µ ∈ IR, µ 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1), Σ =

σ2 0

0 Σn

, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = r < n. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ

−n X2

∼ Gt(r, δ; f), (5.5)


con parametro de no centralidad δ = µ/σ y Σ−

es un inverso generalizado simetrico de Σ.

Demostracion. Es analoga a la del Teorema 1, reemplazando Q−1

por Q−, donde Q

−es un

inverso generalizado simetrico de Q, con lo cual Σ−n = Q

−Q−

y con rk Σn = r < n. De este

modo, la distribucion Gt no centrada tiene r g.l. y el mismo parametro de no centralidad

dado en (6).

5.2.2 Distribucion Gt bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular

A continuacion se estudia la distribucion Gt bajo una distribucion de Pearson tipo VII singular.

[Gt bajo una ley de Pearson tipo VII] Sea X = (X1XT2 )T con distribucion de Pearson tipo

VII singular de rango r + 1. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ

−X2

∼ Gt(r, δ; f),

tiene densidad

gT(t) =

rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(r2

)Γ

(m− r

2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k(−2 δ1)k (s + δ2)

r−2m−k−12 ) Γ

(r+k+1

2

)Γ

(2m+k−r−1

2

)

k! sk Γ (m + k),

(5.6)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2)1/2.

Demostracion. Sea X con distribucion de Pearson singular de rango r + 1 de parametros

m >r + 1

2y s > 0. Entonces

f(u) =Γ(m)

(πs)r2 Γ

(m− r

2

)[1 +

u

s

]−m

.

Ası, como

gT(t) =

2(rπ)r2

Γ(

r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

f(y2 − 2δ1y + δ2) yr dy; t ∈ IR,


con δ = µ1 y δ1 =tδ

(r + t2)12

, entonces

gT(t) =

2(rπ)r2

Γ(

r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

Γ(m)

(πs)r+k2 Γ

(m− r

2

)[1 +

y2 − 2δ1y + δ2

s

]−m

yr dy

=2 r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

[1 +

y2 − 2δ1y + δ2

s

]−m

yr dy,

usando el desarrollo en serie dado en Anderson y Fang [1, pag. 85], se tiene

[1 +

y2 − 2δ1y + δ2

s

]−m

=∞∑

k=0

(−m)k

k!

(−2 δ1 y

s

)k (1 +

y2 + δ2

s

)−k−m

,

tal que

gT(t) =

2 rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

∞∑

k=0

(−m)k

k!

(−2 δ1 y

s

)k (1 +

y2 + δ2

s

)−k−m

yr dy

=2 r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk

∞∫

0

((s + δ2) + y2

s

)−k−m

yr dy

=2 r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk

∞∫

0

(s + δ2)−(k+m)

(1 +

y2

s + δ2

)−k−m (y2

s + δ2

) r+k2

(s + δ2)r+k2 dy

=2 r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk(s + δ2)

r−k2−m

∞∫

0

(1 +

y2

s + δ2

)−k−m (y2

s + δ2

) r+k2

dy.


u =y2

s + δ2−→ y =

√u (s + δ2),


cuyo jacobiano es

J =dy

du=

(s + δ2)12

2 u12

,

con lo cual

gT(t) =

2 rr2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk(s + δ2)

r−k2−m

∞∫

0

(1 + u)−k−m ur+k2

(s + δ2)12

2 u12

du

=r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k

k! sk(s + δ2)

r−k+12

−m

∞∫

0

ur+k+1

2−1 (1 + u)−

r+k+12

− 2m−r+k−12 du

=r

r2 Γ(m)

sr2 Γ

(m− r

2

)Γ

(r2

) (r + t2)−r+12

∞∑

k=0

(−m)k (−2 δ1)k (s + δ2)

r−k+12

−m Γ(

n+k+12

)Γ

(2m−r+k−1

2

)

k! sk Γ(k + m)

5.2.3 Distribucion Gt bajo una Ley de Tipo Kotz Singular

A continuacion se estudia la distribucion Gt bajo una distribucion de tipo Kotz singular.

[Gt bajo una ley de tipo Kotz] Sea X = (X1 XT2)T con distribucion de tipo Kotz singular

de rango r, con m = 2 y s = 1. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ

−X2

∼ Gt(r, δ; f),

tiene densidad

gT(t) =

4rr2−1 s

r2+1

Γ(

r2

)(r + t2)−

r+12

exp(−s δ2)

∞∑

k=0

−sk(r + 2k) Γ(r + 2k)

k! (2s δ1)r+2k+1

[(r + 2k + 2)(r + 2k + 1)

(2s δ1)2− 2δ1

r + 2k + 1

2s δ1

+ δ2

],


(5.7)

donde δ = µ1 y δ1 = (tδ)/(r + t2)1/2.

Demostracion. Sea X con distribucion de Tipo Kotz Singular de rango r de parametros m,

t y s, y 2m + r > 2, t > 0, s > 0. Entonces

f(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t


); 2m > r − 2, t, s > 0.

Considere el caso en que m = 2 y t = 1, con lo cual

f(u) =2 s

r2+1

r πr2

u exp(−s u).

lo que conduce a

gT(t) =

2(rπ)r2

Γ(

r2

) (r + t2)−r+12

∞∫

0

2 sr2+1

r πr2

(y2 − 2δ1 y + δ2) exp(−s (y2 − 2δ1 y + δ2)) yr dy

=4r

r2−1 s

r2+1

Γ(

r2

) (r + t2)−r+12 exp(−s δ2)

∞∫

0

yr+2 exp(−s y2) exp(2s δ1 y) dy

−2δ1

∞∫

0

yr+1 exp(−s y2) exp(−2δ1 y) dy

+δ2

∞∫

0

yr+1 exp(−s yr) exp(−2s δ1 y) dy

.

Usando ahora el desarrollo en serie

exp(−s y2) =∞∑

k=0

(−s y2)k

k!

y la funcion Gamma

∞∫

0

yr+2k exp(2s δ1 y) dy =

∞∫

0

y(r+2k+1)−1 exp(2s δ1 y) dy =Γ(r + 2k + 1)

(2 s δ1 y)r+2k+1,


se obtiene finalmente

gT(t) =

4rr2−1 s

r2+1

Γ(

r2

)(r + t2)−

r+12

exp(−s δ2)

∞∑

k=0

−sk(r + 2k) Γ(r + 2k)

k! (2s δ1)r+2k+1

[(r + 2k + 2)(r + 2k + 1)

(2s δ1)2− 2δ1

r + 2k + 1

2 s δ1

+ δ2

],

con δ = µ1 y δ1 =tδ

(r + t2)12

.

5.2.4 Distribucion Gt Doble No Centrada

A continuacion se presenta la distribucion Gt doble no centrada bajo singularidad y no sin-

gularidad de la distribucion Elıptica asociada y su respectiva densidad.


[µ µT

n

]T,

µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn y µn 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1), Σ =

σ2 0

0 Σn

, Σn ∈ IRn×n y

rk Σn = n. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ−1

n X2

∼ Gt(n, δ, γ; f), (5.8)

con parametros de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σ

−1

n µn.

Demostracion. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(ν, Σ; f), con ν ∈ IRn, ν =

[µ µT

n

]T, µ ∈ IR

y µ 6= 0, µn ∈ IRn y µn 6= 0; Σ =

σ2 0

0 Σn

∈ IR(n+1)×(n+1) y rk Σn = n. Considere la

descomposicion Σn = Q QT , de modo que

Y =

σ−1 0

0 Q−1

·X =

σ−1 X1

Q−1

X2

=

Y1

Y2

.

Entonces, Y = (Y1 YT2 )T ∼ ECn+1(η, In+1; f), con Y1 ∈ IR y Y2 ∈ IRn; η ∈ IRn+1,

η =

σ−1 0

0 Q−1

· ν =

σ−1 0

0 Q−1

·

µ

µn

=

µ/σ

Q−1

µn

.


Finalmente,

T =√

nY1√

YT2 Y2

=√

nX1√

(Q−1X2)T (Q−1X2)=√

nX1√

XT2 Σ−1

n X2

∼ Gt(n, δ, γ; f),

donde δ = µ/σ y γ = (1/2) µTnΣ

−1

n µn.

De manera similar al caso no singular, es posible obtener la distribucion Gt doble no centrada

bajo una distribucion Elıptica singular. Esta singularidad afecta los g.l. de la distribucion de

T , tal como en el caso de las distribucion Gχ2, tal como se vera a continuacion.


[µ µT

n

]T,

µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn y µn 6= 0; Σ ∈ IR(n+1)×(n+1), Σ =

σ2 0

0 Σn

, Σn ∈ IRn×n y

rk Σn = r < n. Entonces,

T =√

nX1√

XT2 Σ

−n X2

∼ Gt(r, δ, γ; f), (5.9)

con parametros de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σ

−n µn.

Demostracion. Es analoga a la del Teorema 2.113, reemplazando Σ−1

n por Σ−n y considerando

que rk Σn = r < n, con lo cual la distribucion Gt doble no centrada tiene r g.l. y parametros

de doble no centralidad δ = µ/σ y γ = (1/2) µTn Σ

−n µn.

5.3 Distribucion GF Doble No Centrada

Tal como se menciono, la distribucion GF es la distribucion F obtenida bajo una ley Elıptica.

En esta seccion se presentan las distribuciones GF centrada, no centrada y doble no centrada,

obtenidas bajo una distribucion Elıptica singular y no singular.

La distribucion GF , al igual que la distribucion Gt, juega un papel similar a la distribucion

F bajo la teorıa de inferencia Normal, y corresponde a la distribucion de

V =

(XT

1 X1

m

) /(XT

2 X2

n

)=

n

m

XT1 X1

XT2 X2

, (5.10)

5.3. DISTRIBUCION GF DOBLE NO CENTRADA 101

cuando X = (XT1 XT

2 )T ∈ IRm+n, con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn, sigue una distribucion Elıptica.

De la misma forma que en el caso de la distribucion Gt, se usa la invarianza de la distribucion

GF bajo leyes Elıpticas con parametros de posicion igual a cero y de escala igual a la identidad

(vea [32, p. 67]), se obtiene que si X = (X1 XT2 )T ∼ ECm+n(0, In+1), con X1 ∈ IRm y

X2 ∈ IRn, entonces

V =n

m

XT1 X1

XT2 X2

∼ GF(m,n; f), (5.11)

la cual coincide con la del caso de una distribucion Normal, esto es, GF(m, s; f) ≡ F (m,n), ∀f .

5.3.1 Distribucion GF No Centrada

A continuacion se presenta la densidad de una distribucion GF no centrada bajo singularidad

y no singularidad de la distribucion Elıptica asociada.

Sea XT = (X1 X2) ∼ ECm+n(ν, Σm+n; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRm+n,

ν =[µT 0T

]T, µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

, Σm ∈ IRm×m y

rk Σm = m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Entonces,

V =n

m

XT1 Σ−1

m X1

XT2 Σ−1

n X2

∼ GF(m,n; δ; f), (5.12)

con parametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σ−1m µ.

Demostracion. Sea XT = (X1 X2) ∼ ECm+n(ν, Σ; f), con ν ∈ IRm+n, ν =[µT 0T

]T,

µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

, rk Σm = m, Σn ∈ IRn×n y

rk Σn = n. Considere la descomposicion Σm = P PT y Σn = Q QT , de modo que

Y = H X =

P−1

0

0 Q−1

X1

X2

=

P−1

X1

Q−1

X2

=

Y1

Y2

.


2 )T ∼ ECm+n(η, Im+n; f), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn; η =[ζT 0T

]T,

ζ ∈ IRm y ζ = P−1

µ 6= 0.


Finalmente,

V =n

m

YT1 Y1

YT2 Y2

=n

m

XT1 Σ

−1

m X1

XT2 Σ−1

n X2

∼ GF(m,n; δ; f),

con δ = (1/2) ζT ζ = (1/2) µT Σ−1

m µ.

De [32, p. 87] se sabe que si V ∼ GF(m,n; δ; f), entonces su funcion de densidad es

gV(v) =

2πn+m−1

2

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ ym+n−1 f(y2 − 2ηy cos θ + γ2) dθ dy, v > 0,

(5.13)

donde δ es el parametro de no centralidad, η = ((m v)/(n + mv))1/2 γ y γ2 = 2δ.

Sea V ∼ GF(m,n; δ; f) y f expandible en serie de Taylor en IR. Entonces, una forma

alternativa de expresar la densidad de V es

gV(v) =

2 πm+n

2

Γ(

n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

n2

+ k)

∞∫

0

ym+n+k−1 f (2k)(y + γ2) dy, v > 0,

(5.14)

donde δ es el parametro de no centralidad, 2δ = γ2 y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f .

Demostracion. Si V ∼ GF(m,n, δ; f), entonces su densidad esta dada por (12). Considere

ahora

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−1/2(m+n)

∞∫

0

ym+n−1 T (y) dy,

de modo que T (y) =

π∫

0

senm−2 θ f(y2 − 2ηy cos θγ2) dθ puede expresarse de la forma

T (y) = π1/2 Γ(

m− 1

2

) ∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

) yk f (2k)(u + γ2).


Ası, finalmente,

gV(u) =

2πm+n

2

Γ(

n2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(k + n

2

)∞∫

0

ym+n+k−1 f (2k)(y + γ2) dy; u > 0,

donde 2γ = δ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f .

De forma analoga al caso no singular, tambien es posible obtener la distribucion GF no

centrada bajo una distribucion Elıptica singular. Esta singularidad afecta los g.l. de la

distribucion de V , tal como en el caso de las distribuciones Gχ2 y Gt, tal como se vera a

continuacion.

Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ ECm+n(ν, Σm+n; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRm+n,

ν =[µT 0T

]T, µ ∈ IRm y µ 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

, Σm ∈ IRm×m y

rk Σm = r < m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = s < n. Entonces,

V =n

m

XT1 Σ

−mX1

XT2 Σ

−n X2

∼ GF(r, s; δ; f), (5.15)

con parametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σ−mµ.

Demostracion. Es analoga a la del Teorema 3.116 reemplazando Σ−1

m por Σ−m y Σ

−1

n por Σ−n ;

considerando ademas que rk Σm = r < m y rk Σn = s < n, con lo cual la distribucion GF no

centrada tiene r y s g.l. y parametro de no centralidad δ = (1/2) µT Σ−mµ.

5.3.2 Distribucion GF bajo una Ley de Pearson Tipo VII Singular

A continuacion se presenta la distribucion GF no centrada bajo singularidad y no singularidad

de la distribucion Elıptica asociada.

[GF bajo una ley de Pearson tipo VII] Sea X = (XT1 XT

2 ) con distribucion de Pearson tipo

VII singular de rango r1 + r2. Entonces

V =r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),


tiene densidad

gV(v) =

2 Γ(m) sm− r1+r22

Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

(m)2k γ2k Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2)

k! Γ(

r2

2+ k

)Γ(m + 2k)

(s + γ2)r1+r2−m−k; v > 0

(5.16)

donde γ2 = 2δ = µT1 Σ

−11 µ1.

Demostracion. Sea X con distribucion de Pearson tipo VII singular de rango r1 + r2 y

parametros m >r1 + r2

2y s > 0. Entonces

f(u) =Γ(m)

(πs)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)[1 +

u

s

]−m

y

f (2k)(u) =Γ(m)

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

) sm (m)2k (s + u)−m−2k.

Ahora, como

V =r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

con δ = (1/2) µT1 Σ

−11 µ1, se puede expresar su densidad como

gV(v) =

2 πr1+r2

2

Γ(

r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

r2

2+ k

)∞∫

0

yr1+r2+k−1 f (2k)(y + γ2) dy, v > 0,

donde γ2 = 2δ = µT µ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·).

En nuestro caso particular

gV(v) =

2 πr1+r2

2

Γ(

r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

yr1+r2+k−1 Γ(m) sm (m)2k

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)(s + y + γ2)−m−2k dy;


=2 π

r1+r22 Γ(m)

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2∞∑

k=0

γ2ksm(m)2k

k! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

yr1+r2+k−1 (s + y + γ2)−m−2k dy

=2 π

r1+r22 Γ(m)

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2∞∑

k=0

γ2ksm(m)2k

k! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

(y

s + γ2

)r1+r2+k−1

(s + γ2)r1+r2+k−1 (s + γ2)−m−2k

(1 +

y

s + γ2

)−m−2k

dy

=2 π

r1+r22 Γ(m)

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2∞∑

k=0

γ2ksm(m)2k

k! Γ(

r2

2+ k

)

(s + γ2)r1+r2−m−k

∞∫

0

(y

s + γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

s + γ2

)−(m+2k)

(s + γ2)−1 dy,

con v > 0.

Considere el cambio de variable u = y/(s + γ2) −→ y = u/(s + γ2)−1, cuyo jacobiano es

J = (s + γ2)−1, con lo cual

∞∫

0

(y

s + γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

s + γ2

)−m−2k

(s + γ2)−1 dy =

∞∫

0

u(r1+r2+k)−1 (1 + u)−(r1+r2+k)−(m+k−r1−r2 du

y de esta manera

∞∫

0

(y

s + γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

s + γ2

)−m−2k

(s + γ2)−1 dy =

Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2)

Γ(m + 2k)

y ası finalmente


gV(v) =

2 πr1+r2

2 Γ(m)

(π s)r1+r2

2 Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

γ2ksm(m)2k

k! Γ(

r2

2+ k

)(s + γ2)r1+r2−m−k Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2)

Γ(m + 2k),

=2 Γ(m) sm− r1+r2

2

Γ(m− r1+r2

2

)Γ

(r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

(m)2k γ2k Γ(r1 + r2 + k) Γ(m + k − r1 − r2)

k! Γ(

r2

2+ k

)Γ(m + 2k)

(s + γ2)r1+r2−m−k,

con v > 0.

5.3.3 Distribucion GF bajo una Ley de Tipo Kotz

A continuacion se estudia la distribucion GF bajo una distribucion de tipo Kotz singular.

[GF bajo una ley de tipo Kotz] Sea X con distribucion de tipo Kotz singular de rango

r1 + r2. Entonces

V =r2

r1

XT1 Σ

−11X1

XT2 Σ

−22X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

tiene densidad

gV(v) =

2 t s2m+r−2

2t Γ(

r1+r2

2

)

Γ(

r2

2

)Γ

(2m+r1+r2−2

2t

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k γ2(r1+r2+t(z+2k)+m−1) (−s)2(k+1)

k! (z + 2k)! Γ(

r2

2+ k

)

Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1− r1 − r2 −m− t(z + 2k))

Γ(2k + 1−m− t(z + 2k)); v > 0,

(5.17)

donde γ2 = 2δ = µT1 Σ

−11 µ1.

Demostracion. Sea X con distribucion de tipo Kotz singular de rango r1 + r2 y parametros

m, t y s, con 2m + r1 + r2 > 2, t > 0, s > 0. Entonces

f(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r2

)

πr2 Γ

(2m+r−2

2t


); 2m > r − 2, t, s > 0


y

f (2k)(u) =t s

2m+r−22t Γ

(r1+r2

2

)

πr1+r2

2 Γ(

2m+r1+r2−22t

)∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k ut(z+2k)+m−1−2k

(−s)−2(k+1) (z + 2k)!.

Ahora, como

V =r2

r1

XT1 Σ

−11 X1

XT2 Σ

−22 X2

∼ GF(r1, r2; δ; f),

con δ = (1/2) µT1 Σ

−11 µ1, se puede expresar su densidad como

gV(v) =

2 πr1+r2

2

Γ(

r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

r2

2+ k

)∞∫

0

yr1+r2+k−1 f (2k)(y + γ2) dy, v > 0,

donde γ2 = 2δ = µtµ y f (2k)(·) es la 2k-esima derivada de f(·).

En nuestro caso particular

gV(v) =

2 πr1+r2

2

Γ(

r2

2

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2∞∑

k=0

γ2k

k! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

yr1+r2+k−1t s

2m+r−22t Γ

(r1+r2

2

)

πr1+r2

2 Γ(

2m+r1+r2−22t

)

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k (y + γ2)t(z+2k)+m−1−2k

(−s)−2(k+1) (z + 2k)!dy;

=2 t s

2m+r−22t Γ

(r1+r2

2

)

Γ(

r2

2

)Γ

(2m+r1+r2−2

2t

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k γ2k (−s)2(k+1)

k! (z + 2k)! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

yr1+r2+k−1 (y + γ2)t(z+2k)+m−1−2k dy.

=2 t s

2m+r−22t Γ

(r1+r2

2

)

Γ(

r2

2

)Γ

(2m+r1+r2−2

2t

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2


∞∑

k=0

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k γ2k (−s)2(k+1)

k! (z + 2k)! Γ(

r2

2+ k

)

∞∫

0

(y

γ2

)r1+r2+k−1

γ2(r1+r2+k−1) γ2(t(z+2k)+m−1−2k) (1 + y)t(z+2k)+m−1−2k dy

=2 t s

2m+r−22t Γ

(r1+r2

2

)

Γ(

r2

2

)Γ

(2m+r1+r2−2

2t

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k γ2k (−s)2(k+1)

k! (z + 2k)! Γ(

r2

2+ k

)

γ2(r1+r2+t(z+2k)+m−1−k)

∞∫

0

(y

γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

γ2

)t(z+2k)+m−1−2k

γ−2 dy.

Considere el cambio de variable u = y/γ2 −→ y = u γ2, cuyo jacobiano es J = γ−2, con

lo cual

∞∫

0

(y

γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

γ2

)t(z+2k)+m−1−2k

γ−2 dy =

∞∫

0

u(r1+r2+k)−1 (1 + u)−(r1+r2+k)−(k+1−r1−r2−m−t(z+2k)) du.

Aplicando ahora la funcion Beta, se tienes

∞∫

0

(y

γ2

)r1+r2+k−1 (1 +

y

γ2

)t(z+2k)+m−1−2k

γ−2 dy =

Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1− r1 − r2 −m− t(z + 2k))

Γ(2k + 1−m− t(z + 2k)).

Ası, finalmente se obtiene que

gV(v) =

2ts2m+r−2

2t Γ(

r1+r2

2

)

Γ(

r2

2

)Γ

(2m+r1+r2−2

2t

) r1

r2

(r1

r2

v) r1−2

2(1 +

r1

r2

v)− r1+r2

2

∞∑

k=0

∞∑

z=l−2k=0

(t(z + 2k) + m− 1)2k γ2(r1+r2+t(z+2k)+m−1) (−s)2(k+1)

k! (z + 2k)! Γ(

r2

2+ k

)

Γ(r1 + r2 + k) Γ(k + 1− r1 − r2 −m− t(z + 2k))

Γ(2k + 1−m− t(z + 2k)).


5.3.4 Distribucion GF Doble No Centrada

A continuacion se presenta la distribucion GF doble no centrada bajo singularidad y no

singularidad de la distribucion Elıptica asociada y su respectiva densidad.

Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ ECm+n(ν, Σ; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRm+n, ν =

[νT

m νTn

]T, νm ∈ IRm, νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

,

Σm ∈ IRm×m y rk Σm = m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Entonces,

V =n

m

XT1 Σ

−1

m X1

XT2 Σ−1

n X2

∼ GF(m,n; δ, γ; f), (5.18)

con parametros de doble no centralidad δ = (1/2) νTm Σ

−1

m νm y γ = (1/2) νTn Σ

−1

n νn.

Demostracion. Sea X = (X1 X2)T ∼ ECm+n(ν, Σ; f), con ν ∈ IRm+n, ν =

[νT

mνTn

]T,

νm ∈ IRm, νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

, rk Σm = m,

Σn ∈ IRn×n y rk Σn = n. Considere la descomposicion Σm = P PT y Σn = Q QT , de modo

que

Y = H X =

P−1

0

0 Q−1

X1

X2

=

P−1

X1

Q−1

X2

=

Y1

Y2

.


2 )T ∼ ECm+n(µ, Im+n; f), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn; µ =[µT

m µTn

]T,

µm ∈ IRm, µm = P−1

νm 6= 0, µn ∈ IRn y µn = Q−1

νn 6= 0.

Finalmente,

V =n

m

YT1 Y1

YT2 Y2

=n

m

XT1 Σ

−1

m X1

XT2 Σ−1

n X2

∼ GF(m,n; δ, γ; f),

con δ = (1/2) µTm µm = (1/2) νT

m Σ−1

m νm y γ = (1/2) µTn µn = (1/2) νT

n Σ−1

n νn.

Sea V ∼ GF(m,n; δ, γ; f). Entonces, la densidad de V es

(5.19)gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ senn−2 φ ym+n−1 f(y2 − 2y η∗ cos θ + η2 − 2 y ζ∗ cos θ + ζ2) dy dθ dφ,


con parametros de doble no centralidad δ y γ, donde

η2 = 2 δ, ζ2 = 2 γ, η∗ =(

m v

n + mv

)1/2

η y ζ∗ =(

n

m v

)1/2 (1 +

n

m v

)−1/2

ζ.

Demostracion. Sea X = (XT1 XT

2 )T ∼ ECm+n(ν, Im+n; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn;

ν =[νT

m νTn

]T, νm ∈ IRm, νn ∈ IRn y νm, νn 6= 0. Considere ahora la transformacion Y = H X,

con H ∈ O(m + n), de modo que

Y = H X =

H1 0

0 H2

X =

H1 0

0 H2

X1

X2

=

H1 X1

H2 X2

=

Y1

Y2

,

esto es, Y1 = H1X1, H1 ∈ O(m), tal que ‖Y1‖ = ‖H1 X1‖ = (XT1 (HT

1 H1) X1)1/2 = ‖X1‖

y Y2 = H2 X2, H2 ∈ O(n), con ‖Y2‖ = ‖H2 X2‖ = (XT2 (HT

2 H2) X2)1/2 = ‖X2‖, de

manera que Y = (YT1 YT

2 )T ∼ ECm+n(µ, Im+n; f), con Y1 ∈ IRm y Y2 ∈ IRn; µ =[µT

m µTn

]T,

µm ∈ IRm, µm = [‖νm‖ 0T]T, µn ∈ IRn y µn = [‖νn‖ 0T]T. Ası

gY(Y) = f((Y−µ)T (Y−µ)) = f

m∑

i=1

y2i + ‖νm‖2 − 2‖νm‖ y1 +

n+m∑

i=m+1

y2i + ‖νn‖2 − 2‖νn‖ ym+1

.

Considere la transformacion de coordenadas esfericas generalizadas dada por

(Y1 . . . Ym) −→ (r θ1 . . . θm−1) = (r θ) y (Ym+1 . . . Ym+n) −→ (s φ1 . . . φm−1) = (r φ),

de manera que

gr,θ;s,φ

((r θ); (s φ)) = gY(Y) · |J | = f (r2

1 + δ2 − 2δ r1 cos θ1 + r22 + γ2 − 2γ r2 cos φ1)

rm−11 rn−1

2

m−2∏

j=1

senm−j−1 θj

(n−2∏

k=1

senn−k−1 φk

),

donde δ = ‖νm‖, γ = ‖νn‖ y |J | es le valor absoluto del jacobiano de la transformacion. Ası

la densidad de (r1, r2) es

gr1,r2(r1, r2) =

4 πm+n

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) rm−11 rn−1

2


π∫

0

π∫

0

f (r21 + δ2 − 2δ r1 cos θ1 + r2

1 + γ2 − 2γ r2 cos φ1) senm−2 θ1 senn−2 φ1 dθ1 d φ1; r1, r2 > 0.

Aplicando el cambio de variables w = r y v =n

m

r21

r22

, de modo que |J | = (1/2) (n/m)1/2 w v−3/2,

se obtiene que

gV,W

(v, w) =2 π

m+n2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) n

mwm+n−1

(n

m v

)n+22

π∫

0

π∫

0

f

(w2

(1 +

n

mv

)− 2 w δ cos θ + δ2 − 2

(n

mv

)1/2

w γ cos θ + γ2

)

senm−2 θ1 senn−2 φ1 dθ1 dφ1;

con w, v > 0. De este modo, la densidad de V =n

m

r21

r22

es

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(n

m v

)n+22

π∫

0

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ senn−2 φ wm+n−1

f

(w2

(1 +

n

m v

)− 2 w δ cos θ + δ2 − 2

(n

m v

)1/2

w γ cos θ + γ2

)dw dθ dφ,

donde γ2i = ‖νi‖, i = 1, 2.. Usando ahora el cambio de variables

y = w(1 +

n

m v

)1/2

−→ w =(1 +

n

m v

)−1/2

y cuyo jacobiano es J = (dw/dy) = (1 + n/(m v))1/2, se obtiene finalmente

gV(v) =

2πn+m

2−1

Γ(

m−12

)Γ

(n−1

2

) m

n

(m

nv)m−2

2(1 +

m

nv)−m+n

2

π∫

0

π∫

0

∞∫

0

senm−2 θ senn−2 φ ym+n−1 f(y2 − 2y δ∗ cos θ + δ2

−2 y γ∗ cos θ + γ2) dy dθ dφ

donde δ∗ =(

m v

n + mv

)1/2

δ y γ∗ =(

n

m v

)1/2 (1 +

n

m v

)−1/2

γ.

Similarmente, se puede obtener la distribucion GF doble no centrada bajo una distribucion

Elıptica singular, cuya singularidad afecta los g.l. de la distribucion de V , tal como en los

casos anteriores.


Sea XT = (X1 X2) ∼ ECm+n(ν, Σ; f), con X1 ∈ IRm y X2 ∈ IRn; ν ∈ IRm+n, νT =

[νT

n νTm

], νm ∈ IRm, νm 6= 0, νn ∈ IRn y νn 6= 0; Σ ∈ IR(m+n)×(m+n), Σ =

Σm 0

0 Σn

,

Σm ∈ IRm×m y rk Σm = r < m, Σn ∈ IRn×n y rk Σn = s < n. Entonces,

V =s

r

XT1 Σ

−m X1

XT2 Σ

−n X2

∼ GF(r, s; δ, γ; f), (5.20)

con parametros de doble no centralidad δ = (1/2) νTm Σ

−m νm y γ = (1/2) νT

n Σ−n νn.

Demostracion. Es analoga a la del Teorema 9, reemplazando Σ−1

m por Σ−m y Σ

−1

n por Σ−n ;

considerando ademas que rk Σm = r < m y rk Σn = s < n, con lo cual la distribucion

GF no centrada tiene r y s g.l. y parametros de no centralidad δ = (1/2) µTm Σ

−mµm y

γ = (1/2) µTn Σ

−n µn.

Chapter 6

Inferencias para el CV bajo una Ley

Elıptica

6.1 Introduccion

Se sabe que las medidas de dispersion se utilizan para evaluar la variabilidad de un conjunto

de datos, siendo la desviacion estandar la mas utilizada. Sin embargo, esta entrega poca

informacion de la variabilidad del conjunto si es interpretada en forma aislada, solo cuando se

la relaciona con la media su interpretacion tiene mayor sentido. Por esta razon el coeficiente

de variacion (CV), que relaciona ambas medidas, se emplea habitualmente.

Considere una poblacion de media µ y desviacion estandar σ. Entonces el CV se define como

el cociente entre la desviacion estandar y la media de esta poblacion, es decir, γ = σ/µ, con

µ 6= 0.

El CV mide la dispersion u homogeneidad de un conjunto de datos asociados a una variable

aleatoria y es una medida de variabilidad relativa, es decir, es adimensional, pues representa

a la desviacion estandar por una unidad de media y resulta de particular interes cuando se

desea comparar la variabilidad entre grupos cuyas medias y varianzas difieren.

El CV ha sido utilizado frecuentemente para medir la variabilidad relativa en diversas areas y

113

114 CHAPTER 6. INFERENCIAS PARA EL CV BAJO UNA LEY ELIPTICA

situaciones. A continuacion se presenta una detallada lista de aplicaciones. En experimentos

quımicos el CV se ha empleado para evaluar la precision de las mediciones realizadas y para

comparar dos metodos de medicion (vea [64]). En Finanzas el CV se usa para medir el riesgo

relativo de rentas variables, ya que a inversion (vea [63]). En Teorıa de Inventarios se ha

utilizado el CV para comparar la variabilidad de dos niveles de almacenamiento, evaluando ası

el riesgo de quedar desabastecidos y por ende incurrir en un costo de oportunidad (vea [64]). El

CV tambien se ha usado en Ciencias Fısicas, Biologicas y Medicas (vea [40]). Especıficamente,

en el area Biomedica se ha ocupado el CV en la evaluacion de la homogeneidad de muestras

oseas realizadas por un metodo especıfico, ya que para evaluar la efectividad de un tratamiento

sobre las propiedades del hueso es deseable obtener muestras que sean homogeneas (vea [42]).

En telecomunicaciones el CV es utilizado para evaluar el ruido de senales y el inverso del CV

es denominado ”razon senal a ruido” (vea [60, p. 78]). Dentro del contexto de la Estadıstica se

pueden encontrar tambien aplicaciones del CV. Concretamente, en un problema de muestreo

cuando se desea estimar la media de una poblacion, es posible expresar el calculo del tamano

de la muestra por n = ((Z(1−α/2) γ)/q)2, donde q(100)% es el porcentaje que se espera que

difiera la media de su estimador; note que la expresion para calcular n queda en funcion del

CV, γ (vea [68, p. 254]). Ası, si se asume que la variable es positiva y tiene distribucion

Normal, entonces la media es aproximadamente igual a tres desviaciones estandar, con lo cual

se puede suponer que γ ≈ 1/3. Otra alternativa es asumir que la desviacion estandar es tan

grande como la media y ası γ = 1; aunque en estricto rigor se sabe que numericamente la

desviacion estandar puede ser mayor que la media, una situacion ası es algo inusual; de hecho

en distribuciones de gran variabilidad como la de Poisson, por ejemplo, el CV es igual 1.

En este ultimo caso se estarıa considerando una situacion muy similar al criterio de maxima

varianza que se presenta en el caso de la estimacion de una proporcion, es decir, cuando se

desconoce cualquier informacion a priori respecto de la variabilidad de la poblacion. Por otro

lado, en Modelos Lineales y Analisis de Varianza el CV se emplea habitualmente para evaluar

la bondad del ajuste de los datos al modelo. En Analisis de Confiabilidad se han planteado

tambien diversos usos del CV, como por ejemplo. En [14] se muestra que si la vida de una

6.1. INTRODUCCION 115

maquina tiene distribucion Inversa Gaussiana, entonces dado que la maquina ha sobrevivido a

un tiempo t, la vida media residual excedera la vida media original si el CV de esta poblacion

es mayor a 1/√

2. En [13] se demuestra que si la distribucion de vida pertenece a la clase-l,

entonces el CV es menor o igual a 1, siendo exactamente 1 cuando la funcion de distribucion es

exponencial. Asimismo, a pesar del limitado uso de la distribucion Normal en Confiabilidad,

esta ha demostrado ser util modelar datos de vida si µ > 0 y el CV γ = σ/µ es pequeno, con

particular exito en modelacion de la vida de filamentos electricos (por ejemplo de ampolletas)

y resistencia de nudos de alambres de circuitos integrados (vea [60, pp. 81-82]). De igual

forma, el grafico del coeficiente de curtosis versus el CV se emplea para detectar la bondad de

ajuste de distribuciones de vida (vea [60, p.110]), entre otras aplicaciones.

Los primeros resultados distribucionales del CV de una poblacion Normal se remontan a los

estudios realizados en [59], los cuales son corroborados en [66]. Luego de casi cuatro decadas,

en [44] se retoma el tema comparando aproximaciones de percentiles del CV muestral con los

resultados hasta ahı propuestos. Posteriormente en [6] se plantea un contraste aproximado

para probar la homogeneidad de coeficientes de variacion. En [7] se encuentra un test basado

en el estadıstico de razon de verosimilitud para contrastar estas mismas hipotesis. Luego en

[63] se propone un nuevo contraste para la igualdad de dos coeficientes de variacion, en [30] se

generaliza a k muestras, y en [77] se presentan estudios de simulacion de estos contrates. Por

su parte, en [43] se realiza inferencia para el CV de una distribucion Inversa Gaussiana. En

[62], y posteriormente en [35], se presentan pruebas de hipotesis asintoticas para el coeficiente

de variacion de una, dos y k muestras, junto con estudios de simulacion. En [40] se entregan

diversos resultados que permiten probar la igualdad de coeficientes de variacion de k muestras

provenientes de poblaciones normales basados en la revision de contrastes ya conocidos, como

lo son las pruebas de Bennet, de razon de verosimilitud, de la t no centrada, de Wald -la

que extienden a k muestras y para distintos tamanos de estas- y ademas presentan un nuevo

contraste basado en la prueba de Score. En [64] se hace inferencia asintotica para el CV

de una poblacion Normal presentando formulas para estadısticos de prueba, a traves de los

cuales es posible evaluar la potencia de los contrastes planteados. Finalmente, algunos de los


resultados planteados para el CV de una poblacion Normal son extendidos en [54] al caso de

una poblacion Elıptica.

En este capıtulo se propone un coeficiente de variacion generalizado, como una medida de

varia-bilidad relativa, valido para poblaciones cuya distribucion carece de primer y segundo

momento (los momentos de una distribucion Elıptica pueden verse en [32][p. 67])). Esta

medida se puede entender como una generalizacion del CV y se define como la raız cuadrada

del parametro de escala dividido por el parametro de posicion. Se analizan aspectos dis-

tribucionales e inferenciales de este CV generalizado bajo dos modelos Elıpticos, como lo son

el modelo dependiente (el vector aleatorio tiene una estructura dependiente con distribucion

Elıptica multivariada) y el modelo independiente (cada variable aleatoria del vector es indepen-

diente e identicamente distribuida Elıptica univariada). Especıficamente, para ambos modelos

(dependiente e independiente) se encuentra el estimador de verosimilitud maxima (EVM) y,

en forma alternativa, se plantea un estimador tipo momentos (EM) para el CV. El EVM queda

expresado en terminos de las funciones f y φ asociadas a cada ley Elıptica, por lo cual en esta

seccion solo es posible hallar una expresion general para este estimador. Posteriormente se

presenta la distribucion exacta del inverso del EVM del CV para el modelo dependiente y la

distribucion asintotica del EVM y del EM del CV bajo el modelo independiente. A partir de

estas distribuciones se obtienen intervalos de confianza y pruebas de hipotesis para el CV. Los

resultados obtenidos bajo el modelo dependiente son ilustrados a traves de dos subfamilias de

distribuciones Elıpticas, como lo son la distribucion de Pearson Tipo VII y la distribucion de

Tipo Kotz, permitiendo encontrar ası expresiones explıcitas para los resultados planteados;

particularmente se estudian las distribuciones t-multivariada y de Cauchy (esta ultima dis-

tribucion carece de momentos), como casos particulares de la subfamilia Elıptica de Pearson

Tipo VII, y la distribucion Normal, como caso particular de la subfamilia de Tipo Kotz. Los

resultados encontrados bajo el modelo independiente se particularizan para la distribuciones

univariadas t con s grados de libertad (g.l.) y Normal, incluyendo ademas la eficiencia relativa

asintotica (ERA) de los estimadores hallados.

6.2. ESPECIFICACION DE LOS MODELOS 117

6.2 Especificacion de los Modelos

En la inferencia para el CV de una poblacion Elıptica se analizaran los modelos Elıpticos con

estructura dependiente e independiente, los que se presentan a continuacion.

6.2.1 Modelo Elıptico con Estructura Dependiente

Denominaremos modelo elıptico con estructura dependiente (Modelo D) a un vector aleatorio

conjuntamente dependiente con distribucion Elıptica multivariada. Especıficamente, sea X =

(X1 X2 . . . Xn)T una muestra de tamano n de una poblacion Elıptica bajo el Modelo D, esto

es, X ∼ ECn(ν, Σ; f). Entonces X tendra:

1. Parametro de posicion ν = µ 1n, con ν ∈ IRn, µ ∈ IR y 1n ∈ IRn, donde 1n = (1 1 . . . 1)T .

El parametro de posicion coincidira con la media cuando exista el primer momento del

modelo.

2. Parametro de escala Σ = σ2 In, con Σ ∈ IRn×n y σ2 > 0.

3. Matriz de covarianzas (si existe) Σ0, proporcional al parametro de escala, definida por

Σ0 = c0 Σ = c0 σ2 In, con c0 = −2 φ′(0), φ dada en (2.2.1) y φ′ es su derivada.

(6.1)

6.2.2 Modelo Elıptico con Estructura Independiente

Denominaremos modelo elıptico con estructura independiente (Modelo I) a un vector aleatorio

compuesto por variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas Elıptica uni-

variada. Concretamente, sea X = (X1 X2 . . . Xn)T una muestra aleatoria de tamano n de una

poblacion Elıptica bajo el Modelo I, esto es, Xii.i.d.∼ EC1(µ, σ2; f), con i=1,2,...,n. Entonces

Xi tendra:

1. Parametro de posicion µ ∈ IR y coincidira con la media al existir el primer momento

del modelo.


2. Parametro de escala σ2 > 0.

3. Varianza (si existe) σ20, proporcional a σ2 y definida por σ2

0 = c0 σ2, con c0 dado en

(6.2.1).

Para los dos modelos planteados (D e I), la poblacion tendra coeficiente de variacion

generalizado definido por γ = σ/µ, esto es, la raız cuadrada del parametro de escala sobre el

parametro de posicion. De este modo, siempre es posible construir una medida adimensional

de variabilidad relativa, existan o no los dos primeros momentos del modelo subyacente. Ası,

en adelante, se trate del CV o de su version generalizada, simplemente se referira a el como

”coeficiente de variacion” (CV), denotandolo por γ.

En lo posterior tambien considere lo siguiente. Sean

X =1

n

n∑

i=1

Xi =1

nXT1n, S2 =

1

n

(n∑

i=1

X2i − nX

2

)=

1

nXT

(I− 1

n1n1n

T)

X y S =√

S2.

(6.2)

Ademas asuma que µ > 0 y que IP (X < 0) es muy pequena (vea [40, Seccion 2]).

6.3 Estimadores del CV de una Poblacion Elıptica

En esta seccion se presentan dos estimadores para el CV basados en una muestra de una

poblacion Elıptica bajos los Modelos D e I, restringiendo el analisis a la estimacion puntual.

6.3.1 Estimadores del CV bajo el Modelo D

Para obtener el EVM del CV de una poblacion Elıptica bajo el Modelo D, se procede de

manera analoga al caso Normal (vea [36]), solo que en este caso se obtiene una expresion

general que depende de las funciones f y φ asociadas a toda ley Elıptica, que al especificarse

permiten encontrar una expresion explıcita para el estimador del CV.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn)T ∼ ECn(µ 1n, σ2 In; f) una muestra de tamano n y γ el CV.

6.3. ESTIMADORES DEL CV DE UNA POBLACION ELIPTICA 119

Entonces el EVM de γ bajo el Modelo D es

γD

=√

n λ(f) S/X, (6.3)

donde λ(f) es el maximo de la funcion f ∗(λ) = λ−n/2 f(1/λ) y que corresponde a una constante

que depende de cada ley Elıptica, f esta dada en (2.2.2).

Demostracion. La funcion de verosimilitud de una muestra proveniente de una poblacion

Elıptica bajo el Modelo D puede expresarse por

L(µ, γ,X) =

(1

µ2 γ2

)n/2

f

(n

µ2 γ2(S2 + (X − µ)2)

). (6.4)

Al ser f una funcion monotona, entonces L(µ, γ,X) como funcion de µ alcanza un maximo

en µ = X (vea [32, p. 129]), con lo cual la verosimilitud se reduce a

L(X, γ,X) =(

1

n S2

)n/2(

n S2

X2

γ2

)n/2

f

(n S2

X2

γ2

)=

(1

n S2

)n/2

h

(n S2

X2γ2

),

esto es, L(X, γ,X) ∝ h((nS2)/(X

2γ2)

), donde h(x) = xn/2 f(x), con x = (n S2)/(X γ)2 y

x ≥ 0. Como f es no decreciente y continua, entonces haciendo uso del Lema 4.1.2 en [32, p.

129] el EVM de γ viene dado por la solucion de f ′(x) + f(x)(n/2x) = 0, y esta es

γD

=√

n λ(f) S/X,

donde λ(f) es el maximo de f ∗(λ) = λ−n/2 f(1/λ), f esta dada en (2.2.2) y f ′ es su derivada.

Alternativamente el Teorema 3.124 puede demostrarse haciendo uso de la propiedad de

invarianza de los estimadores de verosimilitud maxima. Para ello considere los EVM de µ y

σ (vea [32, pp. 129 y 132]), dados por

EVM(µ) = µ = X y EVM(σ2) = σ2 = n λ(f) S2,

donde λ(f) es el maximo de f ∗(λ) = λ−n/2 f(1/λ), con f dada en (2). Entonces el EVM de

γ es

γD

= T (θ) = T (θ) = T([

µ σ2]T

)=

σ

µ=

√n λ(f)

S

X.

Como un estimador alternativo al de verosimilitud maxima (γD) se puede proponer uno

de ”tipo momentos” (EM) dado por γD

= S/X, con X y S dados en (4).


6.3.2 Estimadores del CV bajo el Modelo I

Para obtener el EVM del CV de una poblacion Elıptica bajo el Modelo I, se procede de la

misma manera que en el Modelo D, solo que en este caso la expresion general que se obtiene

debe resolverse numericamente, tal como se vera a continuacion.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn)T una muestra aleatoria de tamano n, con Xii.i.d.∼ EC1(µ, σ2; f)

(i=1,2,...,n), y γ el CV. Entonces el EVM de γ bajo el Modelo I es

γI

= σ/µ, (6.5)

donde µ y σ son los estimadores de verosimilitud maxima de µ y σ, respectivamente, dados

por

σ2 =1

n

n∑

i=1

wi (Xi − µ)2 y µ =

∑ni=1 wi Xi∑n

i=1 wi

, (6.6)

con wi = −2Wf (Ui), Wf (Ui) = f ′(Ui)/f(Ui) y Ui = ((Xi − µ)/σ)2 , i = 1, 2, ..., n, (6.7)

f dada en (2.2.2) y f ′ es su derivada.

Demostracion.Es directa al aplicar [2, Seccion 5.1] y la propiedad de invarianza de los

estimadores de verosimilitud maxima.

La expresion (6.3.3) no puede resolverse de forma explıcita, pero la solucion se puede

aproximar numericamente.

Similarmente al Modelo D, un estimador alternativo al de verosimilitud maxima bajo el

Modelo I es γI

= S/X, con X y S dados en (4).

6.4 Distribuciones Asociadas al Estimador del CV

En esta seccion se presentan algunos resultados distribucionales asociados a los estimadores

propuestos para el CV (γ) de una poblacion Elıptica bajo los Modelos D e I antes planteados.

6.4. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS AL ESTIMADOR DEL CV 121

6.4.1 Distribucion del EVM del CV bajo el Modelo D

A continuacion se presenta la distribucion exacta del inverso del EVM del CV de una poblacion

Elıptica bajo el Modelo D, la que esta relacionada con la distribucion t generalizada no cen-

trada. Este resultado es analogo al planteado en [40, Seccion 2.3] para el caso Normal.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn)T ∼ ECn(µ 1n, σ2 In; f) una muestra de tamano n, η = 1/γ y

ηD

el EVM de η bajo el Modelo D. Entonces

T =√

n (X/S) = n√

λ(f) ηD∼ Gt(n− 1, δ; f), (6.8)

con λ(f) dada en (6.3.1) y δ =√

n η es el parametro de no centralidad de la distribucion t

generalizada (Gt) no centrada con (n− 1) g.l.

Demostracion. Para X = (X1 X2 . . . Xn)T ∼ ECn(µ 1n, σ2 In; f) considere la transfor-

macion

Y = AX =

(1/√

n σ) 1Tn X

(1/σ) DX

=

Y1

Y2

∼ ECn

(n+1)

√

n µ/σ

0

,

1 0

0 D

; f

(6.9)

donde A ∈ IR(n+1)×n y D = (In− (1/n)1n1Tn ) = D2 = DT , con D ∈ IRn×n. Note que Y tiene

una distribucion Elıptica singular (vea [25]) y Σ−Y2

es un inverso generalizado de ΣY2

. Ası, en

base a las representaciones matriciales de X y S dadas en (5.2.2), se obtiene que

T =Y1√

1n−1

YT2 Σ−

Y2Y2

=

1√n σ

1Tn X

√1

n−1

(1σ

D X)T

D(

1σ

D X) =

√n

1n1T

n X√1

n−1XT D X

=√

nX

S,

(6.10)

con lo cual, finalmente T =√

n (X/S) ∼ Gt(n− 1, δ; f), donde δ =√

n µ/σ = µ/√

σ2/n.

Para los detalles de esta demostracion vea [25].

6.4.2 Distribucion Asintotica del CV bajo el Modelo I

Otro resultado distribucional interesante tiene relacion con el problema de muestras grandes.

A continuacion se presenta la distribucion asintotica del EVM y del EM del CV de una


poblacion Elıptica bajo el Modelo I. Este resultado es analogo al planteado en [64, Seccion 2]

para una poblacion Normal. Note que ahora se requiere de la existencia de los cuatro primeros

momentos de la distribucion, pues la ley Elıptica incide sobre esta distribucion asintotica a

traves del parametro de curtosis(κ).


(i=1,2,...,n), γ el CV y γI

el EVM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n →∞

Z =

√n (γ

I− γ)√√√√γ2

(γ2

4 a(f)+

1

4 b(f)− 1

)d−→ N(0, 1), (6.11)

donde a(f) = IE(U W 2f (U)) y b(f) = IE(U2 W 2

f (U)), U1/2 ∼ EC1(0, 1; f), (6.12)

con U y Wf (U) dados en (5.3.5), γIen (5.3.3) y ”

d−→ ” denota la convergencia en distribucion.

Demostracion. De [61, Seccion 3], y como se sabe,

√n

(X − µS2 − σ2

)d−→ N2

0

0

,

σ2

4 a(f)0

04 σ4

4 b(f)− 1

≡ N2 (0, F−1) ,

con a(f) y b(f) dadas en (5.4.4). Ahora note que γ = T (θ) = T (µ, σ2) = σ/µ es funcion de

µ y de σ2. Analogamente el EVM de γ, γI, es funcion de µ y de σ2, tal como puede verse en

(7). Entonces

√n (T (θ)− T (θ)) =

√n (T (µ, σ2)− T (µ, σ2)) =

√n (σ/µ− σ/µ) =

√n (γ − γ).

A partir de esto y aplicando el metodo-delta (vea [69, pp. 387-388]), se tiene que

√n (γ

I− γ)

d−→ N

0,

(∂ T (θ)

∂θ

)F−1

(∂ T (θ)

∂ θ

)T ,

donde (∂ T (θ)

∂ θ

)F−1

(∂ T (θ)

∂ θ

)T

= γ2

(γ2

4 a(f)+

1

4 b(f)− 1

).

6.4. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS AL ESTIMADOR DEL CV 123

Finalmente,

Z =

√n (γ

I− γ)√√√√γ2

(γ2

4 a(f)+

1

4 b(f)− 1

)d−→ N(0, 1).


(i=1,2,...,n), γ el CV y γ el EM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n →∞

Z =

√n (γ

I− γ)√√√√c0 γ2

(4c0 γ2 + 3κ + 2

4

)d−→ N(0, 1), (6.13)

con γI

dada en la Observacion 3.129,

κ = φ′′(0)/φ′(0))2 − 1 = k0/c20 − 1 (6.14)

es el parametro de curtosis de X, k0 = 4φ′′(0), φ esta dada en (2.2.1) y φ′′ es su segunda

derivada.

Demostracion. De [2, Seccion 4.2], y como se sabe,

√n

(X − µS2 − σ2

0

)d−→ N2

0

0

,

σ20 0

0 (3κ + 2) σ40

≡ N2 (0, V) .

Ahora note que γ = T (θ) = T (µ, σ2) = σ/µ es funcion de µ y de σ2. Analogamente, el EM

de γ, γI, es funcion de µ = X y de σ2 = S2, tal como puede verse en la Observacion 5, con X

y S dados en (4). Entonces

√n ((T (θ)− T (θ)) =

√n (T (X, S2)− T (µ, σ2)) =

√n (S/X − σ/µ) =

√n (γ

I− γ).

A partir de esto y aplicando el metodo-delta (vea [69, pp. 387-388]), se tiene que

√n (γ − γ)

d−→ N

0,

(∂ T (θ)

∂θ

)V

(∂ T (θ)

∂ θ

)T ,

donde(

∂ T (µ, σ2)

∂ µ

∂ T (µ, σ2)

∂ σ2

)V

(∂ T (µ, σ2)

∂ µ

∂ T (µ, σ2)

∂ σ2

)T

= c0 γ2

(4c0 γ2 + 3κ + 2

4

).


Finalmente,

Z =

√n (γ

I− γ)√

c0 γ2 ((4c0 γ2 + 3κ + 2)/4)

d−→ N(0, 1).

El parametro de curtosis κ, dado en (5.4.7), puede estimarse por el metodo de los momentos

basado en el resultado dado en [58] (en [2, Seccion 4.5]) y esta dado por:

κ =n

∑ni=1(Xi −X)4

3(∑n

i=1(Xi −X)2)2− 1. (6.15)

6.5 Intervalos de Confianza para el CV de una poblacion

Elıptica

En esta seccion se plantean intervalos de confianza del 100(1 − α)% para el CV (γ) de una

poblacion Elıptica bajo los modelos D e I antes planteados.

6.5.1 Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo D

Basados en la distribucion del inverso del EVM del CV de una poblacion Elıptica bajo el

Modelo D y el estadıstico t generado a partir de (11), se presenta a continuacion un intervalo

de confianza (IC) del 100(1− α)% para el CV.

Sea X = (X1 X2 . . . Xn)T ∼ ECn(µ 1n, σ2 In; f) una muestra de tamano n y γD

el EVM

de γ bajo el Modelo D. Entonces un IC aproximado del 100(1− α)% para γ es

(γ

D)−1 +

t%

n√

λ(f)

−1

;

(γ

D)−1 − t%

n√

λ(f)

−1

, (6.16)

con λ(f) dada en (6.3.2) y t% es el percentil (1− α/2) de la distribucion t con (n− 1) g.l.

Demostracion. A partir de la expresion dada en (5.4.6) y usando la invarianza del estadıstico

t bajo leyes ECn(0, In; f) (vea [32, p. 63]) se obtiene que

t =Y1 − (µ/σ)

√n√

1n−1

Y′2Σ

−Y2

Y2

=

√n X/σ −√n (µ/σ)

S/σ=√

nX − µ

S∼ t(n− 1). (6.17)

6.5. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA EL CV DE UNA POBLACION ELIPTICA125

Ahora observe que t es una cantidad pivotal para γ = σ/µ, con lo cual, al aplicar el metodo

de la cantidad pivotal, se obtiene que

IP

(σ

X + t% S/√

n) < γ <

σ

X − t% S/√

n

)= 1− α.

Por tanto y como σ =√

n λ(f) S es un estimador consistente de σ, un IC aproximado

para γ es

(γ

D)−1 +

t%

n√

λ(f)

−1

;

(γ

D)−1 − t%

n√

λ(f)

−1

.

6.5.2 Intervalo de Confianza para el CV bajo el Modelo I

Basados en la distribucion asintotica del EMV y del EM del CV de una poblacion Elıptica bajo

el Modelo I, y usando tambien el metodo de la cantidad pivotal, se presentan a continuacion

intervalos de confianza asintoticos del 100(1− α)% para el CV.


(i = 1, 2, ..., n), y γI

el EVM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n →∞, un IC asintotico del

100(1− α)% para γ esγ

I± Z%

√√√√ γI

2

n

(γ

I

2

4 a(f)+

1

4 b(f)− 1

) , (6.18)

con a(f) y b(f) dadas en (5.4.4) y Z% es el percentil (1− α/2) de la distribucion N(0, 1).

Demostracion. Es inmediata al aplicar el metodo de la cantidad pivotal usando (5.4.6).


(i = 1, 2, ..., n), y γI

el EM de γ bajo el Modelo I. Entonces si n → ∞, un IC asintotico del

100(1− α)% para γ esγ

I± Z%

√√√√c0γ

I

2

n

(4c0 γ

I

2 + 3κ + 2

4

) , (6.19)

con c0 en (5.2.1), κ en (5.4.8) y Z% es el percentil (1− α/2) de la distribucion N(0, 1).

Demostracion. Es inmediata al aplicar el metodo de la cantidad pivotal.


6.6 Pruebas de Hipotesis para el CV de una Poblacion

Elıptica

En esta seccion se presentan estadısticos para contrastar las hipotesis

H0 : γ = γ0 versus H1 : γ 6= γ0, (6.20)

(o una alternativa unilateral) para un γ0 dado. En el caso de una muestra proveniente de una

poblacion Elıptica bajo el Modelo D la prueba se basa en el estadıstico t generado a partir

de (11); mientras que para el de una muestra proveniente de una poblacion Elıptica bajo el

Modelo I, se plantea una prueba asintotica basada en el estadıstico Z.

6.6.1 Prueba de Hipotesis para el CV bajo el Modelo D

A continuacion se presenta una prueba de hipotesis para el CV de una poblacion Elıptica bajo

el Modelo D basada en el estadıstico t generado a partir de (5.5.2).

Sea X = (X1 X2 . . . Xn)T ∼ ECn(µ 1n, σ2 In; f) una muestra de tamano n y γD

el EVM

de γ bajo el Modelo D. Entonces a traves del estadıstico

t = n λ(f)(γ

D

−1 − γ−1)∼ t(n− 1), (6.21)

con λ(f) dada en (6.4.4), se puede contrastar las hipotesis dadas en (6.6.1) mediante la

siguiente regla de decision: Rechace H0 si |t| > t%, donde t% es el percentil (1 − α/2) de

la distribucion t con (n− 1) g.l.

6.6.2 Prueba de Hipotesis para el CV bajo el Modelo I

A partir de la distribucion asintotica del EM del CV de una poblacion Elıptica bajo el Modelo

I se plantea a continuacion una prueba de hipotesis para el CV. Este resultado es analogo al

obtenido en [64, Seccion 2] para una poblacion Normal.

6.7. EJEMPLOS 127


(i = 1, 2, ..., n), y γ el EM de γ bajo el Modelo D. Entonces a traves del estadıstico

Z =

√n (γ

I− γ)√√√√c0 γ2

(4c0 γ2 + 3κ + 2

4

)d−→ N(0, 1), (6.22)

con c0 en (5.2.1), se puede contrastar las hipotesis dadas en (6.6.1) mediante la siguiente regla

de decision: Rechace H0 si |Z| > Z%, donde Z% es el percentil (1 − α/2) de la distribucion

N(0, 1).

6.7 Ejemplos

A continuacion se aplican los resultados obtenidos para el CV bajo el Modelo D a dos sub-

familias Elıpticas, como lo son familia de Tipo Kotz, que contiene a la distribucion Normal

multivariada, y la familia de Pearson Tipo VII, que contiene a la distribuciones t-multivariada

y de Cauchy (para esta ultima distribucion no existen sus momentos), permitiendo encon-

trar ahora expresiones explıcitas. Los resultados obtenidos bajo el Modelo I son ilustrados

basandose en las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l., para s = 5, 30 y 100. Estos

resultados se resumen en la Tabla 2 para el Modelo D, y en las Tablas 4 y 5 para el Modelo I.

Tabla 3 Constante λ(f), EVM(γ), IC(γ) y estadıstico t para contrastar las hipotesis

H0 : γ = γ0 versus H1 : γ 6= γ0,

para las distribuciones especificadas bajo el Modelo D.


∗

donde t% es el percentil (1− α/2) de la distribucion t con (n− 1) g.l.

Similarmente, para el Modelo I se entregan algunos de los resultados obtenidos, ademas de

la eficiencia relativa asintotica, para γ = 1, de los estimadores de verosimilitud maxima y de

”tipo momentos” para el CV para las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l.

Tabla 4 Constantes κ, c0, k0, a(f), b(f) y w = −2Wf (u), con Wf (u) dado en (?), para las

distribuciones univariadas Normal y t con s g.l. bajo el Modelo I.

∗

Distribucion λ(f) EVM(γ) = γD IC(γ) t

Pearson VII2m− n

n s

√2m− n

s

S

X

[γ

D± t%

n

√λ(f)−1

]−1 (√n

X

S− n

√λ(f) γ−1

0

)

t(s)− n-variada1n

S

X

[X

S± t%√

n

]−1 √n

(X

S− γ−1

0

)

Cauchy1n

S

X

[X

S± t%√

n

]−1 √n

(X

S− γ−1

0

)

Tipo Kotz(

2 s t

n + 2m− 2

)1/t √nλ(f)

S

X

[γD ±

t%n

√λ(f)−1

]−1

n

(X

S−

√λ(f) γ−1

0

)

Normal1n

S

X

[X

S± t%√

n

]−1

n

(X

S− γ−1

0√n

)

6.7. EJEMPLOS 129

Distribucion κ c0 k0 a(f) b(f) w

t(s)2

s− 4

s

s− 2

s2

(s− 2)(s− 4)

s + 1

4(s + 3)

3(s + 1)

4(s + 3)

s + 1

s + u

Normal 0 1 1 1/4 3/4 1


Tabla 5 EM(γ) = γI, ERA(γ = 1), IC(γ) y estadıstico Z para contrastar las hipotesis

H0 : γ = γ0 versus H1 : γ 6= γ0

para las distribuciones univariadas Normal y t con s g.l. bajo el Modelo I.

Distribucion EM(γ) ERA IC100(1−α)%(γ) Z

t(s)S

X

Var(γI)

Var(γI)

[S

X± Z%

√Var

(S

X

)] √n (S/X − γ0)√

Var(γI)

t(5)S

X0.3491

S

X± Z%√

n

S

X

√3.333 + 2.778

(S

X

)2

√n (S/X − γ0)√

γ20 (3.333 + 2.778 γ2

0)

t(30)S

X0.9255

S

X± Z%√

n

S

X

√0.598 + 1.148

(S

X

)2

√n (S/X − γ0)√

γ20 (0.598 + 1.148 γ2

0)

t(100)S

X0.9796

S

X± Z%√

n

S

X

√0.526 + 1.041

(S

X

)2

√n (S/X − γ0)√

γ20 (0.526 + 1.041 γ2

0)

NormalS

X1.0000

S

X± Z%

n

S

X

√0.5 +

(S

X

)2

√n (S/X − γ0)√γ20 (0.5 + γ2

0)

donde Z% es el percentil (1 − α/2) de la distribucion Normal estandar y las varianzas asintoticas del EVM y

del EM de γ para la distribucion t con s g.l. son, respectivamente,

Var(γI ) = γ2 (s + 3)(

γ2

s + 1+

12 s

)y Var(γI ) = γ2 s

s− 2

(s

s− 2γ2 +

s− 12(s− 4)

).

Para obtener expresiones para el EVM de γ bajo el Modelo I, se debe hacer uso de metodos

numericos.

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140 BIBLIOGRAPHY

ANEXO

Densidad de la distribucion Gt doble No Centrada

Teorema. Sea T ∼ Gt(n, δ, γ; f), con parametros de doble no centralidad δ y γ. Entonces,

la densidad de T es

(6.23)g

T(t) =

2 πn−1

2

n1/2 Γ(n−22

)∞∫

0

vn

π∫

0

f

(1 + t2

nv2 − 2

(δ

n1/2+ γ cos φ1

)v + δ2 + γ2)

)senn−2 φ1 dφ1

dv,

con v > 0, donde δ y γ son los parametros de doble no centralidad.

Demostracion. Sea X = (X1 XT2 )T ∼ ECn+1(ν, In+1; f), con X1 ∈ IR, X2 ∈ IRn, ν = (µ µT

n )T ,

ν ∈ IRn+1, µ ∈ IR, µ 6= 0, µn ∈ IRn, µn 6= 0 y defina T = X1/√||X2||2/n. Ademas, sea

Q ∈ O(n + 1), Q =

1 0

0 P

, P ∈ O(n), tal que QX = Y = (Y1 YT

2 )T = (X1 YT2 )T

y Q ν = (µ ||µn|| 0T)T, esto es, Y = (Y1 YT2 )T ∼ ECn+1(η, In+1; f), con Y1 ∈ IR, Y2 =

(Y2 ... Yn+1)T ∈ IRn y η = (µ ||µn|| 0T)T. Note que ||Y|| = ||X|| y ||Y2|| = ||X2||, con lo

cual T = Y1/√||Y2||2/n. Ası,

gY(Y) = f((Y − η)T (Y − η)) = f

(n+1∑

i=1

y2i + ‖µn‖2 + µ2 − 2µ Y1 − 2‖µn‖ Y2

).

Considere la transformacion de coordenadas esfericas generalizadas dada por (Y2 . . . Yn+1) −→

141

142 BIBLIOGRAPHY

(r φ1 . . . φn−2 θ) = (r φ θ), cuyo jacobiano es rn−1

n−2∏

j=1

senn−j−1 φj

, de manera que

gy1,r,θ

(Y1, r φ θ) = f(y2

1 + r2 + ‖µn‖2 + µ2 − 2µ Y1 − 2‖µn‖ cos φ1

)rn−1

n−2∏

j=1

senn−j−1 φj

.

Entonces, la densidad de (Y1 r) es

gy1,r(Y1, r) =2rn−1 π

n−22

Γ(

n−22

)π∫

0

f(y2

1 + r2 + δ2 + γ2 − 2γ r cos φ1 − 2δ y1

)senn−2 φ1 d φ1,

con r > 0, δ = µ y γ = ‖µn‖.

Aplicando el cambio de variables v = r y T = Y1/√

r2/n, de modo que |J | = v/n1/2, se

obtiene que

gT,V

(t, v) =2vn−1 π

n−22

Γ(

n−22

)

π∫

0

[f

(v2t2

n− 2δ

t v

n1/2+ δ2 + γ2 − 2 v γ cos φ1 + v2

)senn−2 φ1 dφ1

]v

n1/2;

con v > 0.

Finalmente, la densidad de T es

gT(t) =

2 πn−1

2

n1/2 Γ(n−22

)∞∫

0

vn

π∫

0

f

(1 + t2

nv2 − 2

(δ

n1/2+ γ cos φ1

)v + δ2 + γ2)

)senn−2 φ1 dφ1

dv,

con v > 0, δ = µ y γ = ‖µn‖.

Documents

DISTRIBUCIONES EL¶IPTICAS MULTIVARIADAS SINGULARES Y … · ciones chi-cuadrado, t y F, que bajo distribuciones El¶‡pticas se denominan distribuciones chi-cuadrado,t y F, ha sido