Variable discreta Una variable discreta es una variable
cuantitativa que toma valores aislados, es decir no admite valores
intermedios entre dos valores especficos. Por ejemplo: El nmero de
hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua Una variable continua es una variable
cuantitativa que puede tomar valores comprendidos entre dos nmeros.
Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69,
1.75. Un atributo esencial de una variable continua es que, a
diferencia de una variable discreta, nunca se la puede medir
exactamente. Con una variable continua debe haber inevitablemente
un error de medida.
Distribuciones de probabilidad
Una distribucin de probabilidad es un conjunto de valores o
medidas que describen la frecuencia relativa con que un evento
ocurre. Pueden ser de variables discretas o de variables
continuas.
Simulacin Los modelos de simulacin estocsticos utilizan
distribuciones de probabilidad para representar una multitud de
eventos de ocurrencia aleatoria.
Ejemplos: Los tiempos de llegada de los clientes que entran a un
sistema Defectos en maquinaria Cualquier proceso que se producen
repetitiva, procesos que varan por iteracin se pueden representar
con una distribucin de probabilidad.
Distribuciones discreta Son distribuciones de variable discreta,
las ms importantes son: Distribucin binomial Distribucin binomial
negativa Distribucin Poisson Distribucin geomtrica Distribucin
hipergeomtrica Distribucin de Bernoulli Distribucin Rademacher
Distribucin uniforme discreta,
Distribuciones continuas Son distribuciones de variable
continuas, las ms importantes son: Distribucin Beta Distribucin
exponencial Distribucin F Distribucin Gamma Distribucin
chi-cuadrada Distribucin normal Distribucin t de Student
Creando una distribucin de probabilidad
El primer paso al crear una distribucin de probabilidad es
obtener datos empricos (datos brutos ) Los datos empricos es
informacin registrada, conteos o medidas directamente del evento
original.
Cadenas de nmeros aleatorios y Semillas Una Cadenas de nmeros
aleatorios es una sucesin de nmeros al azar en el que cada nmero
generado es calculado del valor anteriormente generado. El nmero
inicial es llamado como la semilla del nmero aleatorio y determine
el punto de partida del generador de nmeros aleatorios. Nmeros al
azar con valores entre cero y uno ejecuta un papel importante al
extraer los valores de las distribuciones de probabilidad usadas
para generar comportamiento estocstico en simulacin. (Generador de
variables aleatorias)
semilla
cadena
0 0.340458 0.960446 0.42781 0.746406 0.344936 0.903609 0.621724
0.37929 0.97423 0.40057
18 1 20 15 15 3 1 5 12 4
13 17 5 8 2 24 5 12 5 4
Datos empricos 3 29 8 1 1 14 6 2 46 2 40 2 6 23 1 24 10 14 18 19
9 22 10 29 40 8 54 12 2 1 29 1 3 9 8 14 12 1 2 25 10 22 1 34 6 28
13 33 6 12
3 1 11 17 6 12 1 23 2 3
8 4 13 10 8 18 22 7 39 5
10 32 2 4 1 7 45 5 7 1
Tabla de datos 100 lecturas de tiempos entre llegadas para
paquetes a un muelle de entrega (en minutos).
Creando una distribucin de probabilidad
El segundo paso es crear un histograma de frecuencia relativa de
datos Esto se realiza agrupando los datos en intervalos o clases.
El nmero de intervalos es normalmente entre cinco y veinte, depende
de la cantidad de los datos recabados. Con pocos datos, los
intervalos son menos.
La tabla de clases muestra diez intervalos de clase
seleccionados de la tabla de datos
Clasifique el intervalo 0-5 06-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35
36-40 41-45 46-50 >50
La frecuencia 36 21 15 7 8 4 3 3 1 1 1 100
La probabilidad 0.36 0.21 0.15 0.07 0.08 0.04 0.03 0.03 0.01
0.01 0.01
La tabla de clases muestra diez intervalos de clase
seleccionados de la tabla de datos
la cantidad de El campo de frecuencia describe0-5 06-10 11-15
16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 >50 36 21 15 7 8 4 3 3
1 1 1 100 0.36 0.21 0.15 0.07 0.08 0.04 0.03 0.03 0.01 0.01
0.01
observaciones que caen en cada intervalo. La frecuencia relativa
o probabilidad son calculadas al dividir el nmero de frecuencia por
el nmero total de Clasifique el intervalo La frecuencia La
probabilidad datos
Funciones de densidad de probabilidad El histograma simplemente
refleja el porcentaje de todos los puntos de datos encontrado en
cada intervalo.Histograma de frecuencia relativa40% 36%
Porcentajes del total de observaciones
35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 21% 15%
7%
8% 4% 3% 3% 1% 1% 1%
Intervalo de clases
probabilidad relata las Una funcin de densidad de
Funciones de densidad de probabilidad
probabilidades correspondiendo a valores individuales de x
asociados con una variable aleatoria X. Un histograma de
probabilidad asocia probabilidades con grupos de valores de x.
Funciones de densidad de probabilidad
Las funciones asocian pares de nmeros que son descritos por una
ecuacin matemtica. Pueden expresarse grficamente los valores en
pares. Un eje horizontal para los valores de x y un eje vertical
para valores de y. Los valores de y de una funcin de densidad de
probabilidad se asocian con las probabilidades vinculadas con
valores individuales de x. Es por este motivo que una funcin de
densidad de probabilidad es normalmente denotada por y=f(x)
de frecuencia relativa La forma de un histograma
Funciones de densidad de probabilidad
proporciona pistas para encontrar una distribucin estndar
representativa. La forma del histograma indica que una distribucin
exponencial es un candidato probable para representar la
distribucin de probabilidad de los datos observados.PISTA
describe una funcin de La ecuacin matemtica quedensidad es a
menudo difcil para establecer. Frecuentemente se puede aproximar
encontrando una distribucin de probabilidad estndar Normal Gamma
Exponencial
Funciones de densidad de probabilidad
Que representan exactamente la distribucin de frecuencia
relativa de los datos reales.
Distribucin exponencial
Una distribucin exponencial tiene una funcin de densidad de
probabilidad que represente matemticamente como sigue donde la
(beta) es un parmetro de escala para la distribucin. El valor para
la (beta) en una distribucin exponencial el la media de la
distribucin. El promedio calculado para los datos de tiempo entre
llegadas es de 12.41 minutos. La siguiente grfica muestra una
distribucin exponencial con un parmetro de (beta) igual a
12.41.
Media Una media es el promedio La media de una distribucin de
probabilidad puede ser vista como su masa La masa representa la
densidad de la probabilidad. El valor de la media es el punto en
que la distribucin se balancee se cuando la ponemos en un punto de
soporte
Varianza La varianza de una distribucin de probabilidad mide la
distancia entre los valores de variable aleatoria y la media de la
distribucin
Desviacin estndar Es una medida de dispersin, que nos indica
cunto pueden alejarse los valores respecto al promedio (media), por
lo tanto es til para buscar probabilidades de que un evento
ocurra.
Por qu utilizar distribuciones de probabilidad estndar?
Las distribuciones estndares son usadas para representar
distribuciones de datos empricos porque ayudan a eliminar las
irregularidades que pueden existir debido a la omisin de algunos
datos durante el perodo de recopilacin de datos.
Por qu utilizar distribuciones de probabilidad estndar?
Los datos empricos son frecuentemente recogidos sobre intervalos
de tiempo cortos. Valores extremos quizs no ocurran durante estos
intervalos. Por ejemplo, el tiempo entre llegadas de clientes a un
banco son entre 0 y 60 los minutos. Las llegadas de cliente son
registradas sobre un perodo de dos das, pero ningn tiempo de
llegada supera los veinte minutos.
Por qu utilizar distribuciones de probabilidad estndar?
Valores generados aleatoriamente sobre los datos observados, no
producirn valores sobre veinte minutos. Excluir estos valores de un
anlisis puede influir significativamente en las respuestas de
desempeo.
Distribuciones estndar
La curva acampanada, por ejemplo, es la figura tpicamente
asociado con una distribucin normal. Muchas funciones de densidad
de probabilidad tienen parmetros que controlan sus caractersticas
de escala y de forma. Dos de los ms comunes son (alfa) el parmetro
que define la forma de la distribucin y (beta) el parmetro que
describe los valores de rango de la distribucin. Los medias y
varianzas de estas distribuciones son definidos como (alfa) y
(beta).
Distribuciones de probabilidad ms utilizadas Continuas
Uniforme: Para cantidades que varan "aleatoriamente" entre
valores a y b, y que no se conocen ms datos. Exponencial: Tiempos
entre llegadas de "clientes" a un sistema, y que ocurren a una tasa
constante. Tiempos de falla de mquinas. Gamma, Weibull: Tiempo de
servicio, tiempos de reparacin. Normal: Errores. Sumas grandes!
Teorema central del lmite.
Distribuciones de probabilidad ms utilizadas Discretas
Binomial. Uniforme discreta. Geomtrica: nmero de observaciones
error. Binomial negativa: nmero n-simo error. Poisson: Nmero de
eventos que ocurren a una tasa constante.
Distribucin Exponencial
Normalmente se utiliza para generar valores aleatorios del
tiempo entre llegadas de clientes a un sistema. Utilizado en
sistemas de colas. Otras posibles aplicaciones el tiempo para
completar una tarea y el tiempo de falla de componentes
electrnicos. Ejemplos: Paquetes llegando a un puerto
Parmetros: media y semilla.
Distribucin Exponencial
Funcin de densidad de probabilidad:Para x 0, si no 0
Funcin de distribucin acumulativa:
Distribucin Exponencial
Distribucin Gamma
Se utiliza para representar el tiempo que se necesita para
terminar una tarea o un grupo de tareas. Puede usarse para generar
valores que representen el tiempo total requerido para completar n
tareas diferentes. Alfa es igual a n. Parmetros: alfa, beta y
semilla aleatoria. (cuando alfa =1 dist. Exponencial)
Distribucin Gamma
Funcin de densidad de probabilidad: a > 0 (forma)b > 0
(escala)
Funcin de distribucin acumulativa:
Distribucin Gamma
Distribucin Normal
Se utiliza para medir varios tipos de error. Operaciones de
recepcin/inspeccin frecuentemente requieren el uso de instrumentos
calibrados para medir las dimensiones de varios componentes.
Las mediciones reveladas por el instrumento se asume que se
distribuyen normalmente con respecto a las dimensiones reales del
componente. Parmetros: media, desviacin estndar y semilla.
Funcin de densidad de probabilidad:
Distribucin Normal
Distribucin Uniforme.
Una distribucin uniforme con valores entre cero y uno son las
bases para generar valores para distribuciones de probabilidad
estndar (Generacin de Nmeros aleatorios). Otra aplicacin comn es
para representar la duracin de una tarea cuando se tiene poca
informacin de los tiempos de la tarea. Parmetros: media, rango
medio y semilla.
Distribucin Uniforme.
Distribucin Uniforme.
0.340458 0.42781 0.746406 0.344936 0.903609 0.621724 0.37929
0.773438 0.447081 0.945824 0.350002 0.167789
Distribucin Weibull
Se utiliza para generar valores del tiempo de falla de una pieza
en un equipo o el tiempo promedio de vida de un componente
electrnico. Parmetros: alfa, beta y semilla
Distribucin Triangular Se usa en situaciones donde nicamente se
conocen tres piezas de la informacin acerca de la tarea. Si le
preguntamos a operadores en una lnea de ensamble cuanto tiempo
tarda una operacin ellos pueden responder por lo regular y pero
puede tener un rango de x a z Parmetros: Valor mnimo (x), Moda (y),
Valor mximo (z) y semilla.
Distribucin Lognormal
Puede ser usada para representar el tiempo utilizado para
ejecutar una tarea. Parmetros: Media, desviacin estndar y
semilla.
Distribucin Earlang
Es un caso especial de la distribucin gamma que es
frecuentemente utilizada en sistemas de colas para representar las
distribuciones del tiempo de servicio para varias tareas.
Parmetros: Media, k y semilla (k est restringida a valores enteros
mayores que cero. Para k = 1 dist. Exponencial).
Ejemplo: Por ejemplo supongamos que una tarea se debe repetir 10
veces, y el tiempo para terminar la actividad es descrita por una
distribucin exponencial con media 2. El tiempo para llevar acabo
las 10 operaciones puede ser representada por una distribucin
Erlang con media 20 (calculada 2 * 10) y k = 10.
k
Distribucin Beta
Se utiliza para representar fenmenos pertenecientes a
proporciones. Dos valores se necesitan para representar a la
distribucin beta y producir diferentes formas. Tambin es usada para
representar el tiempo de una actividad cuando no se tiene
informacin disponible de la duracin de la misma. Parmetros: alfa1,
alfa2 y semilla
Distribucin Poisson Usualmente asociada con tasas de llegada. La
distribucin de Poisson es una distribucin discreta limitada en la
parte inferior con 0 y sin limite en la parte superior . La
distribucin de Poisson refleja la probabilidad asociada con un
numero finito de xitos (llegadas) durante un determinado intervalo
de tiempo de llegada. Esto incluye muchos eventos en el tiempo o
espacio tales como llamadas de telfono, llegadas, defectos en
semiconductores manufacturandos. La distribucin de Poisson alcanza
el mximo cercana de lambda y cae rpidamente del otro lado.
Parmetros: media (lamda) y semilla
Distribucin Binomial
Se utiliza en sistemas donde se producen dos posibles
resultados: xito o fracaso. El parmetro p representa la
probabilidad de xito del evento. Se utiliza para representar el
numero de productos defectuosos en un lote de tamao n. Parmetros: p
y semilla
Distribucin Uniforme Discreta.
Distribucin discreta que nos proporciona valores enteros entre
el mnimo y el mximo. Parmetros: Valor mnimo (a), Valor mximo (b) y
semilla.
Bibliografa: Simulacin Un enfoque prctico Ral Coss Bu Simulacin
de Sistemas para Administracin e Ingeniera Francisco Garca, Jorge
Sierra, Virginia Guzmn
