DISERTASI KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA

DISERTASI

KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA VIRUS INFLUENZA H5N1 DAN H1N1

PANDEMIK

( THE CONSTRUCTION OF MATHEMATICS COALISION MODELS BETWEEN H5N1 AND PANDEMIC H1N1

INFLUENZA VIRUS)

HARIYANTO NIM. 090810117-D

PROGRAM STUDI S3 MIPA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA 2014

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Disertasi KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI

HARIYANTO



HARIYANTO

DAFTAR ISI Halaman

PENGESAHAN i

DAFTAR ISI ii

PRAKATA v

UCAPAN TERIMAKASIH vi

DAFTAR GAMBAR vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR LAMPIRAN xi

DAFTAR SINGKATAN xii

DAFTAR SIMBOL xiii

INTISARI xiv

ABSTRACT xvi

MOTTO xviii

BAB I PENGANTAR

1.1 LATAR BELAKANG 1

1.2 RUMUSAN MASALAH 3

1 3 TUJUAN PENELITIAN 4

1.4. MANFAAT PENELITIAN 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 DEFINISI 6

2.1.1 Phenomena Obyek 6

2.1.2 Pemodelan Matematika 9



HARIYANTO

2.1.3 Bilangan Reproduksi Dasar 17

2.1.4 Traveling Wave dari Virus 22

2.1.5 Analisa Persistensi dan Well-Posed 25

BAB III KONSEP ILMIAH

3.1 KONSEP ILMIAH 29

3.2 ROADMAP PENELITIAN 37

3.3 PETA TEORI PENELITIAN DISERTASI 40

BAB IV METODE PENELITIAN

4.1 JUSTIFIKASI METODE PENELITIAN TERHADAP

PENELITIAN SEBELUMNYA

43

4.2 RANCANGAN PENELITIAN 44

BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN

5.1 KONSTRUKSI MODEL KOALISI 50

5.1.1 Perubahan Iindividual Populasi pada Lokasi

Spasial dan Temporal

50

5.1.2 Perubahan Individual Populasi karena Reaksi

Biologi

56

5.1.3 Mengkonstruksi Model Matematika Koalisi 61

5.1.4 Reduksi Konstruksi Model Matematika Koalisi

Berdasarkan Perubahan Individual Populasi

86

5.2 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI

MODEL MATEMATIKA KOALISI TAHAPAN

PERTAMA

92

5.2.1 Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

Koalisi tahapan pertama

100

5.2.2 Analisa terhadap Densitas Populasi 108

5.2.3 Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain 116



HARIYANTO



KEDUA

121

5.3.1. Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

Koalisi tahapan kedua

129

5.3.2. Analisa terhadap Densitas Populasi 138

5.3.3. Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain 144



KETIGA

153

5.4.1. Well-posedness dari Konstruksi Model Matematika

Koalisi tahapan ketiga

158

5.4.2. Analisa terhadap Densitas Populasi 168

5.4.3. Analisa Persistensi terhadap Virus Super-Strain 176

5.5. ANALISA PENYEBARAN VIRUS SUPER-STRAIN 181

5.5.1. Analisa Persistensi Virus Super-strain 182

5.5.2. Analisa Model Traveling Wave dari penyebaran

Virus Super-strain

192

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 KESIMPULAN 202

6.2 SARAN 203

DAFTAR PUSTAKA 204



HARIYANTO

PRAKATA Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan naskah disertasi ini.

Disertasi dengan judul “ KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA

KOALISI

ANTARA VIRUS INFLUENZA H5N1 DAN H1N1 PANDEMIK “ disusun untuk

memenuhi salah satu syarat dalam menenpuh ujian kelayakan, tertutup dan terbuka dalam

rangka untuk memperoleh gelar Doktor MIPA di FAKULTAS SAINS DAN

TEKNOLOGI - UNAIR.

Saya pilih judul dari disertasi ini dengan pertimbangan bahwa kedua virus tersebut telah

menyebar di Indonesia yang bersifat endemik maupun pandemik lokal, kajian dari

disiplin ilmu matematika terhadap gerakan spasial dan temporal dari individual sehingga

terjadi koalisi dari kedua virus belum pernah dilakukan. Oleh karena itu hasil yang

diperoleh dari disertasi ini diharapkan dapat memberikan masukan lebih dini pada

pengambil kebijakan.

Penyusunan naskah disertasi ini tidak terlepas dari dukungan berbagai pihak.Oleh

karena itu, saya sampaikan rasa hormat dan ucapan terimakasih kepada:

1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc selaku Promotor yang telah memberikan

pengarahan tentang materi disertasi maupun publikasi internasional.

2. Dr. C.A Nidom, drh. M.S selaku Kopromotor yang telah memberikan pengarahan

tentang materi disertasi.

3. Prof. Dr. I Nyoman Budiantara, M.Si selaku Kopromotor yang telah memberikan

pengarahan tentang materi disertasi.

4. Rektor ITS yang telah memberikan ijin untuk studi lanjut S3

5. DITJEN-DIKTI Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan yang telah

memberikan beasiswa BPPS

6. Prof. Win Darmanto,M.Si. PhD selaku Dekan FST-UA yang telah memberikan

kesempatan untuk menyelesaikan studi S3



HARIYANTO

Kritik dan saran sangat diharapkan dalam rangka kesempurnaan naskah disertasi

ini, semoga dapat bermanfaat untuk perkembangan teori pemodelan matematika dalam

bidang biologi maupun epidemiologi.

Hariyanto.



HARIYANTO

UCAPAN TERIMA KASIH

Saya sampaikan pula kepada berbagai pihak yang telah mendukung dalam penyelesaian

disertasi ini antara lain:

1. Prof. Dr. Darminto, M.Sc selaku Pembantu Rektor IV yang telah mengajukan

permohonan bantuan penyelesaian studi S3

2. Ketua LPPM-ITS yang telah memberikan kesempatan untuk mengikuti penelitian

dari sumber dana Penelitian Hibah Doktor/ BOPTN – ITS 2012.

3. Prof. Dr. R Y Perry Burhan, MSc dan Dr.Mahmud Yunus, MSi. selaku Dekan

dan Pembantu Dekan FMIPA-ITS yang selalu memantau perkembangan studi

S3.

4. Prof. Dr. Suhariningsih, M.Si selaku ASDIR I Program Pasca Sarjana UNAIR

yang telah memberikan semangat dan motivasi.

5. Prof. Dr. Bambang Irawan, MSc selaku Kaprodi S3 MIPA FST UNAIR yang

telah memberikan kemudahan dalam penyelesaian disertasi

6. Prof. Dr. Marjono, M.Phil, Dr. Abadi, M.Sc, Dr. Fatma, Dr. Imam Utoyo selaku

anggota Tim Penguji telah memberikan masukan pada penelitian disertasi.

7. Dr. Erna Apriliani, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA –ITS yang

telah memberikan semangat, motivasi dan pendanaan.

8. Dr. Subchan, M.Sc selaku Kepala Laboratorium Pemodelan dan Sistem Jurusan

Matematika FMIPA-ITS yang telah memberikan fasilitas untuk menyelesaikan

disertasi ini.

9. Dr. Miswanto, M.Si selaku Ketua Departeman Matematika FST-UA yang telah

memberikan masukan dalam penyelesaian naskah disertasi

10. Teman-teman dari Dosen Matematika FMIPA-ITS terutama Dr. Subiono yang

telah memberikan masukan dan diskusi dalam penyelesaian disertasi ini.

11. Teman-teman S3 MIPA FST-UA tahun 2008 yang telah memberikan motivasi

dan masukan dalam penyelesaian disertasi.

12. Istri dan anak-anak tercinta Nisa,Kiki,Ufi dan Bagus serta cucu Ibang yang selalu

memberikan dukungan dalam penyelesaian disertasi



HARIYANTO

DAFTAR GAMBAR Halaman

Gambar 2.1 : Network dari perubahan keadaan 10

Gambar 3.1 : Interaksi diantara subsistem melalui bidang singgung 32

Gambar 3.2 : Perubahan Dinamis pada lokasi 1 33

Gambar 3.3 : Proses terjadinya koalisi 33

Gambar 3.4 : Roadmap Penelitian Disertasi 37

Gambar 5.1 : Aliran individual bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2 51

Gambar 5.2 : Aliran individual pada volume kendali. 51

Gambar 5.3 : Gerakan silang individual populasi pada masing-masing

lokasi. 54

Gambar 5.4 : Model transmisi virus multistrain multiinfeksi 57

Gambar 5.5 : Infeksi dinamis dari virus influenza H1N1-p 58

Gambar 5.6: Network kontak individual pada penyebaran virus H1N1-p

lokasi 1 62

Gambar 5.7 Network kontak individual pada penyebaran virus H5N1

lokasi 1. 65

Gambar 5.8 Network kontak dan intyeraksi individual pada penyebaran

virus H1N1-p lokasi 1 70

Gambar 5.9 Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran

virus H5N1 lokasi 1 73



HARIYANTO

Gambar 5.10 Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran

virus H1N1-p dan H5N1 serta subtitusi asam amino di

lokasi 1

78

Gambar 5.11: Relasi nilai karakteristik dengan kecepatan penyebaran 195

Gambar 5.12 : Traveling Wave virus super-strain 201



HARIYANTO

DAFTAR TABEL Halaman

Tabel 2.1 Konfirmasi tentang manusia terinfeksi virus H5N1 di

Indonesia

7

Tabel 2.2 Pandemik virus influenza A - manusia 8

Tabel 2.3 Perubahan pada status individual 10

Tabel 3.1 Keterangan dari komponen Roadmap Penelitian Disertasi 37

Tabel 3.2 Teori Penelitian Disertasi 40

Tabel 5.1 Aliran perubahan populasi terhadap penyebaran virus

H1N1-p

63

Tabel 5.2 Aliran perubahan populasi unggas dan manusia

terhadap penyebaran virus H5N1 tahapan pertama

66

Tabel 5.3 Aliran perubahan populasi manusia terhadap

penyebaran virus H1N1-p tahapan pertama

Tabel 5.4a Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

virus H5N1 tahapan kedua

71

73

Tabel 5.4b Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

virus H5N1 tahapan kedua

74

Tabel 5.5a Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

virus H5N1 dan H1N1-p tahapan ketiga

Tabel 5.5b Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran

virus H5N1 dan H1N1-p tahapan ketiga

79

80

Tabel 5.6a Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus 87



HARIYANTO

Tabel 5.6b Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus 88

Tabel 5.7 Perubahan/transisi subpopulasi karena recovery 89

Tabel 5.8 Perubahan/transisi subpopulasi kemampuan melakukan

transmisi

90



HARIYANTO

DAFTAR LAMPIRAN Halaman

Data Pribadi I

Riwayat Pendidikan. I

Riwayat Kerja. I

Daftar Penelitian. II

Daftar Publikasi. II



HARIYANTO

Singkatan DAFTAR SINGKATAN

H1N1-p,H5N1 Jenis virus A yang juga virus pandemik flu babi dan virus avian

yang dapat menyerang manusia.

Outbreak Penularan atau penyebaran virus yang terjadi diseluruh dunia.

Pandemik Seperti pada Outbreak tetapi hanya regional saja.

Endemik Penyebaran atau penularan virus yang setiap saat muncul.

Host Individual populasi yang berpotensi untuk terinfeksi virus.

Epidemiologi Ilmu yang mempelajari tentang penyakit atau penularan virus.

Virulence Karakteristik virus yang dapat diamati pada pengaruh individual

setelah terinfeksi.

Susceptible Individual populasi yang tidak terinfeksi.

Ekspose Individual populasi yang terinfeksi tetapi belum mentransmisi

Infection Individual populasi yang terinfeksi dan mentransmisi.

Recovered Individual populasi yang terinfeksi dan sembuh.

Transmisi Penularan virus.

Singelton Biasanya digunakan pada himpunan yaitu himpunan yang hanya

mempunyai 1 elemen.

Strain Regenerasi dari virus sebelumnnya dan mempunyai karakteristik

yang berbeda walaupun dalam satu garis keturunan.

Co-infeksi individual populasi yang terinfeksi lebih dari 1 virus.

Co-transmisi Suatu kondisi sebelum terjadinya Co-infeksi.

Cross-transmisi. Transmisi virus yang terjadi diantara individual populasi terinfeksi.



HARIYANTO

Simbol DAFTAR SIMBOL

1Ω Domain dari individual populasi yang bergerak di lokasi 1.

2Ω Domain dari individual populasi yang bergerak di lokasi 2.

)( −∗− Operator dari integral konvolusi

0R Bilangan reproduksi dasar.

R Bilangan real.

)( 0Rmaks Nilai maksimum dari 0R yang digunakan.

−U Titik kesetimbangan bebas virus.

+U Titik kesetimbangan endemik.

)( 0uϕ Operator ϕ yang didefinisikan pada .0u

JD1 Koefisien diffusi dari virus super-strain di lokasi 1

)),(( ttXf Norm matriks. )),(( ttXf adalah nilai maksimum dari )(tk yang

memenuhi )),(( ttXf makstk )(< X .

),( 1 RC Ω Himpunan fungsi kontinu dengan domain di lokasi 1 untuk Rt∈

2∇ Operator Laplacian

xΔ Operator beda pada .x

∫Ω1

Operator integral untuk integrand dengan domain di lokasi 1.

),( KMπ Menyatakan himpunan .,:),( KtMxtx ∈∈π

∑ Deret penjumlahan.



HARIYANTO

INTISARI

KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA VIRUS

INFLUENZA H5N1 DAN H1N1 PANDEMIK

Hariyanto

Jurusan Matematika FMIPA-ITS

Basuki Widodo

Jurusan Matematika FMIPA-ITS

C.A. Nidom

AVIAN Influenza Researc Center - UNAIR

I. Nyoman Budiantara

Jurusan Statistik FMIPA ITS

Keberadaan Genotipe dari virus H5N1 menunjukkan bahwa semua novel

genotipe selalu ditemukan dalam bentuk isolasi pada unggas dan burung domestik, virus

H5N1 mampu beradaptasi pada binatang maupun manusia jika terjadi mutasi pada asam

amino protein PB2 nomor 627 dan 701, sedangkan Virus H1N1-p sudah mampu

beradaptasi terhadap binatang maupun manusia tanpa mutasi 627. Kedua virus tersebut

mempunyai struktur yang sama yaitu 8 gen yang saling lepas sehingga sangat mudah

untuk terjadi koalisi, untuk mengetahui proses terjadinya koalisi serta potensi terjadinya

pandemik dari strain baru maka pada penelitian dilakukan konstruksi model matematika

dengan mengamati setiap perubahan subpopulasi yang disebabkan oleh gerakan dinamis

dan evolusi genetika pada setiap individual populasi. Analisis persistensi terhadap

penyebaran virus influenza H5N1, H1N1-p dan Super-Strain dilakukan pada setiap

tahapan konstruksi model yang didefinisikan sebagai metric transmisi, sedangkan untuk

mengetahui penyebaran secara global maupun lokal dapat dilakukan dengan menganalisis

terhadap kecepatan gelombang penyebaran dan kemampuan virus dalam melakukan

transmisi.Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa virus super strain persisten terhadap



HARIYANTO

perubahan yang terjadi pada penyebaran virus influenza H1N1 pandemik akan tetapi

persisten terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada kondisi stabil.

Kata Kunci : Model Matematika, Koalisi virus influenza, Persistensi, Kecepatan

gelombang..



HARIYANTO

ABSTRACT

The Construction of Mathematics Coalision Models between H5N1 and

Pandemic H1N1 Influenza Virus

Hariyanto

Mathematics Departement of ITS and Doctorate student in Airlangga University

Basuki Widodo

Mathematics Departement of ITS

CA Nidom

AVIAN Influenza Reseach Center - UNAIR

I. Nyoman Budiantara

Statistics Departement of ITS

The existence of genotypes of H5N1 viruses show that all novel genotype are

always found in the form of isolation in poultry and domestic birds. The H5N1 virus

adapting to humans and animals if there is a mutation in the PB2 protein amino acid

numbers 627 and 701. While, the pandemic H1N1 virus has been able to adapt to

animals and humans without mutations of 627. Both the virus have the same structure

that is independent of the other eight genes that are so very easy to happen coalition. To

understand the process of the coalition, as well as the potential for a pandemic of a new

strain have been done. The construction of a mathematical model is applied to observe

any changes in subpopulations that cause a dynamic movement and evolution genetics

of each individual of the population. The analysis of the persistence of the spread of the

H5N1 and the pandemic of H1N1 influenza virus and Super - Strain perform at each

stage of the construction of the model. The model is defined as a metric transmission, in

which it determines the spread globally and locally. It can be done by analyzing the

spread of the wave speed and the ability of the virus to transmit. The oftained results



HARIYANTO

show that the super virus strains against persistent changes in the spread of the pandemic

H1N1 influenza virus. However, if against persistently the spread of H5N1 influenza

virus in a stable condition.

Keywords: Mathematical Model, Influenza virus coalition, Persistence, wave speed.



HARIYANTO

Barang siapa menemukan ( merintis ) sesuatu yang baru dan baik

maka baginya pahala atas penemuannya dan pahala bagi orang

yang mengamalkannya ( Al- Hadits )



HARIYANTO

1

BAB I PENGANTAR

1.1 LATAR BELAKANG

Koalisi diantara virus akan terjadi jika material genetika dari beberapa species

bergabung dan menghasilkan species baru yang mempunyai karakteristik berbeda tetapi

masih mempunyai garis keturunan dari species sebelumnya. Koalisi dari virus influenza

terjadi berasal dari genome yang terdiri dari 8 segmen berbeda pada RNA dan segmen-

segmen tersebut mirip dengan minikromosom yang setiap saat akan menyatu. Jika host

yang berperan sebagai mixing vessel terinfeksi oleh 2 virus dengan strain yang berbeda

maka kemungkinan yang terjadi adalah terbentuknya pasangan viral partikel baru. Partikel

tersebut terbentuk oleh segmen-segmen asli, yang dapat berasal dari salah satu strain.

Pasangan viral partikel tersebut disebut sebagai strain baru, yang akan menjadi bagian dari

kedua virus tersebut.

Pada umumnya koalisi yang terjadi berbentuk genetik shift, antara lain pandemik

dari strain virus influenza Asian H2N2 pada tahun 1957, rekombinasi yang terjadi antara

virus H5N1 dan H1N1 tahun 1918 dan potensi terjadi pandemik dari virus influenza H1N1

sebagai rekombinasi antara virus influenza burung,babi dan manusia (Trampuz et al.,

2004,Flahault et al.,2009). Penyebaran virus influenza burung H5N1 secara global juga

terjadi di Indonesia yang berpotensi terjadinya koalisi dengan virus manusia. Beberapa

penelitian di laboratorium telah dilakukan antara lain koalisi antara H5N1 unggas

A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06H5N1 dengan H3N2 A/Tokyo/UT-SK-

1/Tok07.H3N2 yang menghasilkan virus dengan patogen tinggi. Mutasi genetika yang

dihasilkan dari outbreak flu babi pada tahun 2009 adalah H1N1 Pandemik yang sangat

mudah dan cepat menyebar dari manusia ke manusia serta mampu beradaptasi terhadap

manusia tanpa melalui asam amino.Virus influenza H5N1 sangat mudah berkoalisi dengan

virus influenza H1N1-p jika kedua virus bertransmisi pada host yang sama (Lie et

al.,2009;WHO.,2008).

Untuk mengetahui pola penyebaran virus influenza secara global, Arino et al.,(2005)

mengkonstruksi model berdasarkan pada transmisi virus pada multi species single strain



HARIYANTO

2

dimana individual bergerak dinamis pada beberapa lokasi sehingga model dapat digunakan

untuk mengetahui pola penyebaran pada lokasi lainnya terhadap lokasi utama. Model yang

diperoleh berbentuk sistem persamaan differensial biasa. Sedangkan Byluss,K.B.,(2005)

mengembangkan konstruksi model global dengan menggunakan operator integral konvolusi

dan operator diffusi sebagai distribusi lokasi dan global sehingga model yang diperoleh

berbentuk sistem reaksi-diffusi. Pada penelitian yang lain, Coburn et al.,(2011)

mengkonstruksi model penyebaran virus influenza H1N1 dan H5N1 berdasarkan pada

kontak dan interaksi yang terjadi pada multi species sehingga transmisi dari multi strain

yang terjadi pada individual berada pada lokasi yang tetap. Pergerakan dinamis dari

individual hanya diamati pada satu lokasi secara tertutup.

Domain dari penelitian disertasi adalah koalisi antara virus influenza H5N1 dan

H1N1 pandemik. Penyebaran dari virus influenza H5N1 diamati menyerang pada unggas

dan manusia dan H1N1-p menyerang pada manusia, pola penyebaran virus tersebut

dinamakan multi strain multispecies. Konstruksi model matematika dilakukan secara

bertahap berdasarkan pada proses koalisi, yang terdiri dari kontak dan interaksi dari 2 jenis

individual yang bergerak pada 2 lokasi. Telah diketahui bahwa virus influenza H5N1

mempunyai patogenitas tinggi dan H1N1 pandemik mampu beradaptasi pada manusia

sehingga pada setiap lokasi mempunyai peluang yang sangat besar untuk terjadi koalisi

pada manusia.

1.1.1 Kajian Masalah

Berdasarkan pada latar belakang masalah tersebut maka kajian masalah yang

dilakukan adalah:

1. Penyebaran virus H5N1 dan H1N1 pandemik yang mempunyai 8 gen saling lepas

mempunyai peluang yang sangat besar terjadinya koalisi. Selain itu kedua virus

tersebut sangat mudah untuk bermutasi melalui asam amino dan kedua-duanya

mampu beradaptasi terhadap manusia dan binatang.

2. Persistensi terhadap pathogenitas dari virus tersebut mencerminkan eksistensi virus

yang memberikan peluang untuk bermutasi maupun koalisi.



HARIYANTO

3

3. Di Indonesia, virus H1N1 pandemik beradaptasi terhadap manusia, demikian pula

flu burung (H5N1) beradaptasi pada hewan dan manusia artinya dengan mobilitas

yang dinamis dari individual populasi dapat memperluas wilayah penyebaran, oleh

karena itu terdapat peluang terjadinya pandemik dari koalisi antara virus H5N1

dengan H1N1 pandemik.

1.2 RUMUSAN MASALAH

1. Bagaimana membangun konstruksi model matematika koalisi virus influenza H5N1

dengan H1N1 pandemik sebagai suatu model sistem yang terdiri dari subsistem-

subsistem sesuai dengan proses koalisi sampai pada co-infection dan akhirnya

terdapat subpopulasi strain baru.

2. Bagaimana melakukan analisa persistensi terhadap penyebaran virus influensa

H1N1 pandemik dan H5N1 pada masing-masing rangkaian tahapan konstruksi

model koalisi, analisa eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari masing-masing

tahapan proses koalisi dan bagaimana melakukan analisa terhadap model sistem

koalisi sebagai sistem dinamik.

3. Bagaimana membangun model sistem traveling wave front dari model subsistem

strain baru dan menganalisis kecepatan penyebaran virus baru serta menentukan

jumlah gelombang dan panjang gelombang penyebaran virus baru.

1.2.1 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Lokasi sebagai obyek mempunyai jarak atau saling bersinggungan, dan pada

penelitian ini diambil 2 lokasi.

2. Virus influensa H5N1 dan H1N1 pandemik distribusi penyebarannya merata pada

kedua lokasi tersebut dengan spesifikasi bahwa H5N1 mempunyai phatogenitas

tinggi yang transmisinya melalui kontak dan interaksi dari unggas ke manusia.

Sedangkan H1N1 pandemik beradaptasi pada manusia dan binatang, kedua virus

tersebut mempunyai gen yang saling lepas sehingga mudah untuk koalisi.



HARIYANTO

4

3. Populasi host yang terdiri dari manusia dan unggas bergerak dinamis sehingga

lokasi dianggap sebagai domain yang terbuka.

4. Fungsi transmisi dari kedua virus berbentuk qIpSISf β=),( dengan 1== qp dan

dibangun dengan menggunakan hukum energi dengan mass infection sebagai

landasan untuk formulasi kwantiti pada perubahan setiap subpopulasi.

5. Virus influensa H5N1 pada penelitian ini diambil khusus untuk virus yang hanya

invasi pada manusia dan unggas.yaitu salah satu tipe virus dari 170 varian yang

berada di Indonesia.

1.3 TUJUAN .PENELITIAN

Tujuan dari penelitian desertasi ini adalah memberikan penyelesaian yang berkaitan

dengan permasalahan obyek penelitian, permasalahan tersebut berkaitan dengan strategi

pencegahan dan pengelolaan penyebaran virus influenza. Secara khusus; tujuan penelitian

ini adalah:

1. Membangun konstruksi model matematika koalisi virus influenza H5N1 dengan

H1N1 pandemik sebagai suatu model sistem yang terdiri dari subsistem-subsistem

sesuai dengan proses koalisi sampai pada co-infection dan akhirnya terdapat

subpopulasi strain baru.

2. Melakukan analisa persistensi terhadap penyebaran virus influensa H1N1

pandemik dan H5N1 pada masing-masing rangkaian tahapan konstruksi model

koalisi, analisa eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari masing-masing

tahapan proses koalisi dan melakukan analisa terhadap model sistem koalisi

sebagai sistem dinamik.

3. Membangun model sistem traveling wave front dari model subsistem strain baru

dan menganalisis kecepatan penyebaran virus baru serta menentukan jumlah

gelombang dan panjang gelombang penyebaran virus baru.



HARIYANTO

5

1.4 MANFAAT PENELITIAN

Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian disertasi ini adalah:

1. Virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik merupakan virus dengan genetika yang

tidak stabil sehingga sewaktu-waktu dapat berubah dengan melalui berbagai macam

sebab antara lain mutasi dan koalisi, oleh karena itu penelitian disertasi ini dapat

memberikan informasi lebih awal melalui kajian berbentuk analisa pada konstruksi

model matematika koalisi.

2. Kecepatan gelombang penyebaran diprediksi berdasarkan pada penyelesaian sistem

persamaan traveling wave yang dapat memberikan gambaran terhadap pengambil

kebijakan yang berkaitan dengan akan terjadinya pandemik.



HARIYANTO

6

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 DEFINISI

Pada penelitian disertasi dimulai dengan melakukan beberapa kajian yang berkaitan

dengan tujuan penelitian antara lain mengumpulkan beberapa materi yang diperlukan yang

terbagi dalam 5 bagian yaitu:

1. Phenomena obyek, menjelaskan beberapa pustaka rujukan berupa jurnal dan artikel

yang membahas tentang virus influenza A antara lain virus influenza H5N1, H1N1

pandemik dan koalisi dari kedua virus tersebut di Indonesia.

2. Pemodelan Matematika, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan

dengan model matematika untuk penyebaran virus dengan berbagai pendekatan

antara lain model matematika penyebaran virus spasial, antar kota/wilayah, network

spasial dan model matematika dibangun berdasarkan perubahan yang terjadi pada

genetika virus.

3. Reproduksi dasar, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan

trasnmisi kedua pada individual susceptible yaitu bilangan reproduksi dasar .0R

4. Traveling wave, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan

kecepatan gelombang penyebaran virus antara lain transformasi/ reduksi model

pada penyebaran virus influenza.

5. Analisis, menjelaskan beberapa pustaka rujukan yang berkaitan dengan analisa

persistensi, eksistensi dan ketunggalan.

2.1.1 Phenomena obyek.

Virus influenza H5N1 dan H1N1 Pandemik

Kode genetik dari virus influenza tipe A adalah hemaglutinin atau disingkat H dan

neuraminidase atau disingkat N dengan masing-masing terdiri dari 16 subtipe H dan 9

subtipe N, subtipe dari kode genetik pada virus influenza sangat mempengaruhi invasi virus

tersebut pada manusia, unggas dan binatang. Perubahan yang terjadi pada kode genetik



HARIYANTO

7

mengakibatkan terjadinya evolusi genetik yang berbentuk mutasi atau koalisi (Al Hajjar

and Mcintosh.,2010; Liu et al.,2009).

Pandemik adalah epidemik dengan penyebaran yang sangat luas ( penyebaran

virus yang diukur berdasarkan pada lokasi penyebarannya ) disebabkan oleh novel virus

yang berpengaruh terhadap sebagian atau semua kelompok usia dengan satuan bulan untuk

periode penyebarannya, novel virus dapat pula terjadi epidemik yang lebih besar dan

meluas pada beberapa negara dalam waktu yang sama. Beberapa indikator yang

menunjukkan terjadinya pandemik pada penyebaran virus influenza yaitu munculnya strain

baru dan menyebar dari manusia ke manusia.

Di Indonesia, penyebaran virus influenza dimulai pada unggas dan kemudian menyebar

pada manusia. Penyebaran tersebut dalam jumlah kasus rendah dengan angka kematian

( case fatality rate) sangat tinggi yaitu 60%-80% (Trampuz et al.,2004;WHO,2008).

Tabel 2.1: Konfirmasi tentang manusia yang terinfeksi virus influenza A-H5N1 di

Indonesia.

Sumber: (WHO.,2008).

184 orang positif terinfeksi dan 152 orang meninggal

Sampai dengan 24 Januari 2012

11 kasus yang terjadi di tahun 2011

Sampai dengan April 2010

136 orang meninggal

19 orang meninggal

20 kasus

1 Januari 2009 s/d 28 Desember 2009

101 orang meninggal 112 orang meninggal

124 kasus 135 kasus

Sampai dengan Januari 2008

.Sampai dengan Juni 2008

479 kasus komulatif, 33 kasus konfirmatif

74 orang positif terinfeksi, 56 meninggal

Juli 2005-Nopember 2006

Jumlah meninggal Jumlah kasus Tahun

Juli 2006- Juni 2007

42 orang meninggal



HARIYANTO

8

Virus swine H1N1 merupakan subtipe dari virus influenza A secara kontinu

bersirkulasi pada babi, di US,Asia dan Eropa antigenik virus tersebut relatif stabil.

Transmisi silang dari virus H1N1 swine secara periodik terjadi pada manusia, dan terjadi

outbreak di Hongkong pada tahun 2009 yang dikenal dengan virus influenza H1N1

pandemik.

Pandemik dari virus influenza A manusia diberikan pada tabel berikut ini

Tabel 2.2: Pandemik virus influenza A –manusia

Sumber(WHO.,2008).

Dari Tabel tersebut diatas dapat diketahui bahwa periode terjadinya pandemik virus

influenza A – manusia antara 9 s/d 38 tahun. Muncul strain baru sebagai hasil koalisi

antara virus influenza A-manusia ( H2N2 dan H3N2 ) dengan virus influenza A – burung

sebanyak 2 kali. Sedangkan, 1 kali terjadi outbreak flu babi pada tahun 2009, virus tersebut

mampu beradaptasi pada manusia maupun binatang tanpa harus bermutasi dengan asam

amino Pb2 kode 627.

1977

China ,Russia

Russian flu

Low mortality

Reappereance of 1950 H1N1 virus

H1N1

Negara asal

Viral gene

Tahun

Nama virus

Meninggal Subtipe

25-50 juta

Unclear,contains mamalian and avian gene

1918-1919

China, Europe, South America

H1N1 Spanishflu

1957

>1juta

Reassortment with avian

virus

China

H2N2

Asian flu

1968

China

H3N2

Hongkong flu

Reassortment with avian

virus

>1juta

Meksiko

2009

Swain flu

Terdapat 137.232 kasus

Diduga terjadi karena co-infection dan reassortment

H1N1



HARIYANTO

9

Koalisi virus influenza di Indonesia

Virus influenza H5N1 mulai masuk ke Indonesia pada tahun 2003 dan sampai

tahun 2009 berada ada phase 4 dengan FCR sebesar 76,28%, kondisi yang sangat

mengkawatirkan pada awal tahun 2010 dengan 20 kasus 19 diantaranya meninggal dunia.

Berdasarkan hasil dari penelitian menunjukkan bahwa di Indonesia terdapat 170 variant flu

burung yang terdiri dari 3 jenis virus dengan variasi invasi yang berbeda-beda tarhadap

Host. Virus influenza H1N1 pandemik diperkirakan menyebar di Indonesia sekitar awal

tahun 2010 dengan kharakteristik yang mudah menyebar dari manusia ke manuisa dan

mudah beradaptasi, jika virus H5N1 yang beradaptasi pada manusia melalui Pb2 bertemu

dengan virus influenza yang transmisinya melalui kontak dari manusia ke manusia maka

kedua virus tersebut akan sangat mudah untuk berkoalisi(Liu et al.,2009;Lie et al.,2009;

WHO,2008).

2.1.2 Pemodelan matematika

Model matematika influenza sebagai model epidemiologi dibangun berdasarkan

model kompartemen, phenomena epidemiologi sebagai obyek terdiri dari komponen

individual populasi yang bergerak dinamis. Salah satu metode pendekatan yang dapat

digunakan untuk membangun model epidemiologi adalah menyusun jaringan kontak pada

populasi individual (host ). Pada pustaka ini, model matematika dibangun dengan

menggunakan model kompatemen standar yaitu SIS atau SIR dengan tujuan untuk

menentukan keterkaitan antara managemen virulence dengan struktur kontak pada

individual populasi. Evolusi virulence pada host yang berkaitan dengan kontak network

diantara host ekivalen dengan transmisi virus.

Jika multiple infeksi merupakan faktor yang menentukan terjadinya evolusi

virulence maka akan terdapat umpan balik melalui epidemiologi. Banyaknya strain

menyebabkan host bergantung pada wilayah populasi virus maupun perubahan yang terjadi

pada evolusi virulence, host diasumsikan dalam bentuk sosial network yang tetap, jika

setiap host melakukan kontak dengan host lainnya sebanyak n maka kontak yang tarjadi

merupakan hasil dari interaksi host terhadap sekelilingnya ( host pada graph dinyatakan

sebagai vertex sehingga terdapat n + 1 vertex ). Setiap host dapat dinyatakan sebagai



HARIYANTO

10

individual susceptible S dan dapat terinfeksi oleh satu dari dua strain I dan J (recovered

dan immune). Perubahan yang terjadi pada host ditunjukkan pada Tabel berikut ini:

Tabel 2.3. Perubahan pada status individual

Sumber: (Kelling et al.,2005).

Dalam bentuk network, tabel tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2.1. Network dari perubahan status individual.

Mixing network diantara populasi susceptible dan terinfeksi terjadi karena terdapat

kontak antara individual susceptible 1S dengan individual terinfeksi 2I atau ditulis secara

simbolik 1S ,2I transmisi virus pada 1S menyebabkan terjadi perubahan pada 1S sebesar

1S 2I , demikian pula untuk individual populasi lain yang dinyatakan pada network tersebut

(Kelling et al.,2005).

•1R

•1J

•2S

•1I

•1S

•2I

ρ

11 SR →

S

Loss of immunity

11

12

RJRI

→

→

J R

2Iϑ

1Jϑ

Recovery

2Iβ

1Jβ

Infection

Rate Mirror image Event

111

212

JSJISI

→

→

I I

J S J J



HARIYANTO

11

Pada bembahasan berikut, ditunjukkan bahwa transmisi suatu virus pada individual

dapat berbentuk fungsi transmisi ),,( IST fungsi transmisi atau rate incidence adalah

banyaknya kasus baru persatuan waktu dan merupakan komponen utama dari setiap model

epidemiologi. Untuk model susceptible dinyatakan ),()( ISTtSdtd

−= dengan fungsi

transmisi ),( IST sebagai kontak sebarang antara S dan .I Jika model dengan ukuran

populasi konstan maka akan terdapat 2 fungsi transmisi yang berasal dari 2 titik dengan

pupulasi sebagai peubah. Fungsi transmisi yang berbentuk bilinear dapat digunakan pada

model epidemiologi yaitu

qp ISIST β=),( , 0, >qp 2.2

Bentuk fungsi transmisi tersebut digunakan bergantung pada keadaan phenomena yang

diamati, berikut penjelasannya:

1. Fungsi transmisi berbentuk ISIST pβ=),( digunakan untuk mengamati

konsekuensi dari bermacam asumsi jika hukum atau aturan yang berkaitan dengan

phenomena tidak diketahui.

2. Fungsi transmisi berbentuk qSIIST β=),( adalah fungsi transmisi yang

digunakan untuk fungsi transmisi yang tidak linear.

Untuk mendapatkan formulasi model digunakan asumsi bahwa populasi susceptible

dan infeksi heterogen dan misalkan ),( 1wtS dan ),( 2wtI menyatakan densitas dari

susceptible dan infeksi yang independen sehingga ).()(),( 221121 wwww βββ = Jika

banyaknya susceptible dengan nilai 1w yang terinfeksi oleh individual terinfeksi dengan

nilai 2w maka

),().,(),( 212.1 wtIwtSwwβ = ),()(),()( 2221.11 wtIwwtSw ββ

dan total perubahan pada subpopulasi terinfeksi dengan nilai karakteristik 2w adalah

,),(),(...),(),(

),(),(){,(),(),(),(.

11211212212

11112112111

212

nnn

ii

n

ii

wwtSwwwwtSww

wwtSwwwtIwwtSwwwtI

Δ+Δ

+Δ=Δ∑=

ββ

ββ

untuk n besar dapat diperoleh



HARIYANTO

12

1121

1

2 ),(),(),(. dwwtSwwwtI ∫Ωβ = 111

1

1222 ),().(),()( dwwtSwwtIw ∫Ωββ 2.3

dengan kondisi awal

),0( 2wI = ),0(),0( 2 Iwpi ),0( 1ws = )0(),0( 1 Swps (Novozhilov, A.2008).

Model spasial dari influenza pertama kali dikembangkan pada tahun 1960,

kemudian dikembangkan menjadi bentuk model penyebaran geografik dari influenza di

Uni Sovyet dengan menggunakan data perjalanan. Untuk melakukan kajian pengaruh dari

perjalanan terhadap model pandemik influenza dilakukan kuantifikasi terhadap perjalanan

tersebut sehingga dapat diketahui penyebaran influenza secara geografik. Model epidemik

influenza yang terjadi di 9 kota di Eropa digunakan untuk mengestimasi derajat keterkaitan

antara epidemik di kota utama dan juga digunakan untuk mengetahui sinkronisasi spasial

dan temporal dari epidemic influenza yang terjadi di kota lainnya (Coburn et

al.,2011;Flahault et al.,2009).

Pemodelan berikutnya dibangun berdasarkan pada asumsi bahwa individual

bergerak dan akan kembali pada lokasi tetapnya artinya bahwa individual mempunyai

tempat ataupun lokasi yang tetap untuk waktu tertentu, dengan demikian individual

melakukan gerakan terbatas dan populasi dari individual mempunyai distribusi uniform.

Misalkan setiap individual mempunyai posisi spasial x dengan lokasi tetap ,hx individual

yang berada pada lokasi tetap konstan tetapi posisi individual berubah berdasarkan pada

random walk atas waktu, secara khusus, diasumsikan bahwa individual adalah attracted

pada lokasi tetapnya dengan rangkaian perubahan tempat dari lokasi tetapnya sebesar

.hxx − Misalkan posisi awal y dengan density probabilitas ),,,( thxyxp jika individual

bergerak dari y ke lokasi tetapnya kemudian bergerak ke posisi spasial x maka pergerakan

individual tersebut merupakan gerak Brownian berbentuk

])[(2

2

pxxxx

pDtp

h−∂

∂+

∂

∂=

∂

∂α 2.4

dengan kondisi awal ),()0,,( yxhxyxp −= δ D sebagai rate diffusi dan α adalah

kekuatan atractive dari individual terhadap lokasi tetapnya. Persamaan 2.4 mempunyai

penyelesaian:



HARIYANTO

13

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

−−−−−

−−=

).21(2

.)()[(

)21(2

1),,( teD

tehxyhxxExp

Dtethxyxp α

αα

ααπ 2.5

Model tersebut digunakan untuk menunjukkan bahwa terdapat kecepatan minimum ∗c

pada penyelesaian traveling wave dan dalam keadaan yang realistis kecepatan gelombang

lebih besar dari ∗c (Reluga et al.,2011).

Metode pemodelan berikutnya membagi populasi menjadi beberapa subpopulasi

dengan menyertakan komparteman latent, jika individual berada pada periode latent yang

kemudian berada pada klas infeksi maka rate dari perubahan populasi terinfeksi pada

waktu t dan lokasi x bergantung pada individual baru terinfeksi persatuan waktu ,tt Δ+

misalkan terdapat peubah penyakit dalam individual a selama τ dapat ditulis ),,( xatE yang

menyatakan density dari populasi ekspose pada waktu t dan lokasi .x

Model standar yang sering digunakan dengan populasi yang terbagi dalam struktur usia

maka diffusi spasial dapat dinyatakan sebagai berikut (Li and Zou. 2009):

t

xatE∂

∂ ),,( + a

xatE∂

∂ ),,( = 2

2 ),,()(x

xatEaD∂

∂ - ),,())()(( xatEdaa ++ γσ 2.6

dengan )(aD , )(aσ dan )(aγ adalah rate diffusi, rate mortalitas dan rate recovery pada

usia a dan d rate kematian natural dengan kondisi batas

∞<∞± ).,,( atE 2.7

∫∞

=τ

daxatExtI ).,,(),( 2.8

∫=τ

0).,,(),( daxatExtL 2.9

dari persamaan (2.8) dideferensialkan terhadap t diperoleh:

∫∞

∂

∂=

∂

∂

τdaxatE

txtI

t)),,((),(

=∂

∂ ),( xtIt

),,( xtE τ + ∫∞

τ( 2

2 ),,()(x

xatEaD∂

∂ - ),,())()(( xatEdaa ++ γσ da 2.10

menyatakan perubahan yang terjadai pada populasi terinfeksi(Li and Zou,2009).



HARIYANTO

14

Andaikan terdapat populasi yang terletak pada 2 lokasi yaitu 1Ω dan 2Ω dengan ukuran

1L dan ,2L populasi dibagi dalam 3 klas yaitu susceptible, infected dan recovered dengan

densiti spasial ),,( txS ii ),( txI ii dan ),( txR ii yang saling berhubungan dalam lokasi i

dengan 2,1=i , densiti dari total populasi pada 2 lokasi tersebut adalah ),( 11 txN dan

),( 22 txN maka total populasi pada kedua lokasi tersebut adalah

∫ ∫Ω Ω

+=

1 2

222111 ),(),()( dxtxNdxtxNtTP . 2.11

Diasumsikan bahwa pergerakan individual kelokasi 1 sama dengan proporsi dari populasi

pada lokasi 2 yang bergerak ke lokasi 1, jika diasumsikan bahwa transmisi dari virus

terjadi pada kontak tertutup ( yaitu susceptible dapat terinfeksi hanya setelah kontak dengan

beberapa individual terinfeksi dilokasi pada titik yang sama) dan tidak terdapat periode

latent maka model penyebaran spasial dari epidemik pada 2 lokasi dapat ditulis dalam

bentuk sebagai berikut:

)()1()(),( 22112111111 SSKSKSSSKISSft

S∗+∗−∗+=

∂

∂

)()1()(),( 221121111111 IIKIKIIIKrIISIftI

∗+∗−∗+−=∂

∂ 2.12

)()1()(. 2211211111 RRKRKRRRKrIt

R∗+∗−∗+=

∂

∂

dengan ii IS , dan iR adalah vector dari individual susceptible, infected dan recovery pada

model tersebut diatas diasumsikan bahwa penyakit menyebabkan terjadinya immunity

permanent artinya setelah individual recovery dengan rate recovery memenuhi

0≥r (Blyuss,K.B. 2005).

Tinjauan pustaka berikutnya dirujuk dari Ruan,S.(2006) yang melakukan

generalisasi terhadap model Kermark-MCKendrick berbentuk persamaan diferensial

integral yang bergantung pada ruang. dengan ),,( ∞−∞=R ).,0[ ∞=+R

Misalkan ),(),,( txItxS dan ),( txR menyatakan density lokal dari individual susceptible,

terinfeksi dan removed untuk +∈Rt dan Rx∈ dengan total populasi yang tidak bergantung



HARIYANTO

15

pada waktu ,t diasumsikan bahwa semua individual terinfeksi dengan rate infeksi

berbentuk ∫∞

−∞− dyyxKtxI )(),(β dengan 0>β konstan dan density 0)( >− yxK yang

mempunyai kontribusi terhadap individual susceptible menjadi terinfeksi pada lokasi x

setalah melakukan kontak dengan individual terinfeksi yang berasal dari lokasi .y

Individual yang removed dinyatakan sebagai immune atau mati dengan rate removal 0>γ

berbentuk ),( txIγ ( ),( txIγ menunjukkan bahwa mati disebabkan oleh penyakit yang

menyebar berarti terjadi penggabungan individual pada subpopulasi removed dan tidak

mempengaruhi perubahan yang terjadi pada subpopulasi terinfeksi ), dengan penjelasan

tersebut diatas maka model Kendal dapat dinyatakan sebagai berikut:

∫∞

−∞−−=

∂

∂ dyyxKtyItxStS )(),(),(β

),()(),(),( txIdyyxKtyItxStI

γβ −∞

−∞−=

∂

∂∫ 2.13

),( txItR

γ=∂

∂

Kondisi tunak dari sistem 2.13 diberikan oleh 0, === RIS σ dengan 0>σ konstan.

Untuk melakukan kajian tentang perilaku asimtotik dari penyelesaian sistem tersebut

diberikan oleh nilai awal sebagai berikut:

σ=)0,(xS , )(0)0,( xIxI = , RxxR ∈= ,0)0,( 2.14

dengan 0)(0 >xI kontinu sedemikian hingga 0)( ≡xI dan 0)( ≠xI dalam ),[ 0 ∞x untuk

suatu Rx ∈0 (Ruan,S. 2006).

Model yang akan dibahas berikutnya adalah model multi species yang dibangun

berdasarkan pada transmisi silang diantara 2 species yaitu burung sebagai host dan nyamuk

sebagai vektor sehingga model sistem diperoleh dari interaksi antara burung dengan

nyamuk yang terinfeksi, sedangkan submodel sebagai bagian dari sistem dibangun

berdasarkan pada transmisi yang terjadi pada burung dan untuk transmisi pada nyamuk

dapat diperoleh submodel yang dinamakan model vector.



HARIYANTO

16

Populasi individual burung dibagi dalam subpopulasi susceptible ( BS ), infection

( BI ), recovered ( BR ) dan mati ( BX ) dengan indek menyatakan burung dengan total

populasi burung dinyatakan dengan BN =( BS + BI + BR ), sedangkan pada nyamuk dibagi

dalam larva ( NL ), susceptible ( NS ), exposed ( NE ) dan infection ( NI ) untuk nyamuk

perempuan dimana total populasi nyamuk perempuan dinyatakan oleh NN =( NI + NS +

NE + NI ), diharapkan model yang diperoleh secara esensial dapat mencakup dinamika dari

penyakit yang berkaitan dengan WN dengan penjelasan sebagai berikut:

1. Model dibangun hanya untuk mengamati penyebaran virus west nile melalui

transmisi silang antara nyamuk sebagai vektor dan host burung tanpa malakukan

prediksi terhadap kemungkinan terjadinya pandemik.

2. Submodel dari nyamuk memberikan gambaran tentang pertumbuhan populasi

nyamuk yang heterogen sehingga sangat mempengaruhi populasi nyamuk yang

terinfeksi virus west nile dan berakibat meningkatkan rate trasnmsisi dari virus

(Wonham et al.,2004).

Model berikutnya merupakan pengembangan dari model pada Wonham et al.(2004)

dengan 3 species dan model berbentuk sistem persamaan diferensial biasa yang digunakan

sebagai landasan untuk melakukan monitoring terhadap populasi dinamik temporal dari

nyamuk perempuan susceptible ),(tM u nyamuk perempuan terinfeksi ),(tMi burung

susceptible ),(tBu burung terinfeksi ),(tBi manusia susceptible ),(tS manusia terinfeksi

tanpa tanda-tanda ),(tE manusia terinfeksi dengan tanda-tanda ),(tI manusia terinfeksi

dengan penanganan rumah sakit ),(tH manusia yang terinfeksi kemudian sembuh

),(tR model dibangun berdasarkan karakteristik phenomena dari west nile yaitu:

1. Terjadi transmisi silang antara vector nyamuk dengan host burung artinya nyamuk

terinfeksi oleh karena mendapatkan makanan berupa darah dari burung, demikian

pula dapat terjadi pada burung terinfeksi, oleh karena gigitan nyamuk yang

terinfeksi maka penyebaran virus dapat terjadi pada masing-masing species

sehingga diperoleh model penyebaran pada nyamuk dan model penyebaran pada

burung sebagai submodel.



HARIYANTO

17

2. Transmisi virus pada manusia terjadi jika transmisi dilakukan oleh nyamuk melalui

gigitannya dan transmisi pada manusia tidak simetris, belum terjadi transmisi virus

pada species yang sama.

)()( tMtMN iuM += menunjukkan total populasi dari nyamuk perempuan dalam

komunitas, )()( tBtBN iuB += adalah total populasi dari burung dalam komunitas dan

)()()()()( tRtHtItEtSNH ++++= adalah total populasi manusia.

Populasi dari nyamuk perempuan susceptible meningkat melalui burung atau migrasi dari

nyamuk susceptible pada tingkat konstan ,MΠ populasi tersebut akan berkurang oleh

karena terinfeksi dan meninggal dengan rate ,Bµ submodel dari nyamuk dapat dinyatakan

dalam bentuk sistem persamaan differensial sebagai berikut:

( )uM

B

iuHBMM

u MN

BMNNNbdt

dMµ

β−−Π= 11 ,,

( )iM

B

iuHBMi MN

BMNNNbdt

dMµ

β−= 11 ,, 2.15

dengan ( )HBM NNNb ,,1 adalah tingkat gigitan nyamuk per kapita pada host ( burung )

utama. 1β adalah probabilitas dari transmisi West Nile dari burung terinfeksi ke nyamuk

tak terinfeksi, oleh karena nyamuk menggigit burung dan manusia dan jika jumlah rata-rata

dari gigitan nyamuk yang diterima oleh burung dan manusia bergantung dari total populasi

dari nyamuk, burung dan manusia pada komunitasnya maka dapat didefinisikan bahwa

tingkat gigitan merupakan fungsi dari total populasi ( )HBM NNNbb ,,11 = (Boman et

al.,2005).

2.1.3 Bilangan reproduksi dasar Analisa terhadap penyebaran virus dapat dilakukan melalui 3 kuantiti threshold

σ,0R dan R yang ketiganya saling terkait walaupun masing-masing muncul pada keadaan

yang berbeda. 3 kuantiti threshold adalah

1. bilangan reproduksi dasar yang didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya terinfeksi

kedua terjadi jika individual terinfeksi masuk kedalam populasi host susceptible,



HARIYANTO

18

perlu dicatat bahwa 0R juga disebut sebagai ratio reproduksi dasar atau tingkat

reproduksi dasar, secara implisit dapat diasumsikan bahwa individual yang

terinfeksi berada diluar populasi susceptible dan berada pada populasi terinfeksi

selama periode infeksi.

2. Bilangan kontak σ didefinisikan sebagai rata-rata banyaknya kontak yang cukup

dari individual terinfeksi selama periode infeksi, pengertian kontak yang cukup

adalah individual yang cukup untuk melakukan transmisi.

3. Bilangan replacement adalah rata-rata banyaknya individual terinfeksi kedua yang

disebabkan oleh typical infective selama periode infeksi, beberapa peneliti

menggunakan bilangan reproduksi dari pada bilangan replacement.

Perlu diketahui bahwa 3 kuantiti σ,0R dan R semuanya sama pada saat penyakit infeksi

mulai menyebar pada populasi susceptible.

Pada literatur pemodelan epidemiologi, bilangan reproduksi dasar 0R sering

digunakan untuk kuantiti threshold yang ditentukan pada saat penyakit menyerang

populasi, dengan demikian 0R hanya didefinisikan pada waktu invasi sedangkan σ,R

didefinisikan pada semua waktu. Pada beberapa model matematika yang berkaitan dengan

penyebaran infeksi bilangan kontak σ konstan sehingga kedua kuantiti threshold selalu

sama dengan bilangan reproduksi dasar 0R dan σ dapat digunakan secara bergantian.

Pada teorema invasi dapat ditentukan untuk kedua kuantiti tersebut akan tetapi untuk model

matematika tertentu bilangan kontak σ lebih kecil dari bilangan reproduksi dasar 0R

sesudah terjadinya invasi(Hectcote,H.W. 2000).

Bilangan reproduksi dasar untuk network dengan n kota dapat diperoleh dengan

menyelesaikan nilai eigen dari matriks Yacobian berukuran 4n x 4n. Seperti halnya pada

perubahan parameter, nilai eigen harus dihitung kembali pada setiap kasus. Estimasi

terhadap kondisi threshold )( 0T dilakukan secara analitik yaitu ketika terjadi penyebaran

infeksi 10 >R atau setelah terjadi penyebaran infeksi 10 <R dan estimasi tersebut

diperoleh akan memberikan makna tentang perilaku epidemik.



HARIYANTO

19

Bilangan reproduksi dasar untuk multicity dapat diperoleh dengan menghitung bilangan

reproduksi dasar untuk setiap kota dengan asumsi bahwa penyebaran virus diisolasi pada

setiap kota dan selanjutnya dapat digunakan sebagai petunjuk untuk melakukan estimasi

terhadap bilangan reproduksi untuk kota yang lain. Batas atas 0R kota ke-k untuk waktu

maksimum bergantung dari infeksifitas maksββ = yang dinyatakan dalam bentuk

)(0 αφβ+

=k

krmaksR

dengan αφ +k

1 sebagai waktu rata-rata individual terinfeksi pada kota ke-k dan kφ

didefinisikan sebagai jumlahan dari rate mortalitas dan migrasi keluar dari kota –k dengan

bentuk

∑=

+=k

ikik D

1

µφ . 2.16

Definisi untuk batas atas dari kondisi threshold pada sistem penyebaran beberapa kota

ditentukan melalui definisi bilangan reproduksi untuk setiap kota karena jika penyebaran

epidemik terjadi pada satu kota maka akan terjadi persisten untuk seluruh populasi,

formulasi untuk kondisi threshold tersebut adalah :

)( 00 kRmaksT = untuk k=1.2.3…n 2.17

Bentuk formulasi tersebut sebagai ukuran untuk nilai threshold saja dan bukan bilangan

reproduksi dasar, sedangkan 0T akan menunjukkan indikasi yang akurat jika epidemik pada

persisten populasi pada beberapa kota atau penyebaran virus berhenti. Berdasarkan pada

data dari CDC tentang baseline parameter diperoleh 02.10 =T dan terjadi di Pittsburgh.

Jika terjadi 100 ≈≈ TR maka model akan sensitive terhadap perubahan kecil dari rβ dan

jika 02,0>ε maka bilangan reproduksi yang efektif akan berada dibawah 1 pada musim

summer, indikasi tersebut menunjukkan bahwa influenza tidak persisten selama kondisi

summer, oleh karena 0T dan 0R bergantung secara linear pada jumlah kontak perhari maka

dilakukan strategi efektif untuk memperlambat outbreak awal dari epidemik yaitu dengan

10 ≈R (Hyman and LaForce,2004).



HARIYANTO

20

Model spasial dari proses transmisi lokal dimulai dari fungsi )(rU sebagai

probabilitas dari transmisi penyakit dengan jarak rr = diantara individual, )(rU

biasanya dinyatakan sebagai kernel dan bentuk normal untuk setiap individual dalam

populasi sebesar N adalah:

1)( =∫ drrUQ

2.18

dengan Q sebagai luasan yang menyatakan terjadinya transmisi.dan )(rU adalah rata –rata

dari semua individual yang berada pada luasan tersebut, Hazard infeksi didefinisikan

sebagai individual terinfeksi i pada lokasi iy bergerak menuju ke host susceptible j pada

lokasi jx sehingga diperoleh )( ij yxU −β dengan β sebagai rate kontak yaitu kontak

antara individual terinfeksi dan susceptible, dapat pula didefinisikan bahwa fungsi hazard

adalah individual yang sembuh dari infeksi sebesar .γ

Beberapa contoh tentang bilangan reproduksi dasar dari pergerakan individual populasi

antara lain:

∫Ω +

−= drrU

R ))()(1

11(0

γβ

, untuk model spasial 2.19

))1(

11(0

γτ

+−= nR , untuk model network (Ruan,S.2006).

Pada umumnya untuk menghitung bilangan reproduksi dasar pada populasi heterogen yang

dinyatakan dengan 0R dapat dilakukan dengan menentukan nilai eigen dari operator liniear

generasi mendatang, jadi dengan menggunakan iterasi pada operator tersebut dapat

diperoleh banyaknya individual terinfeksi pada generasi yang susceptible, model tersebut

juga telah dikembangkan pada derajat 2 dalam γβ yaitu

)1(0 nR

γβ

γβ

−= 2.20



HARIYANTO

21

Untuk ∞→n diperoleh γβ

=0R artinya bahwa model network spasial konvergen ke mass

action (Parham and Paul,2006).

Bilangan reproduksi dasar dapat pula sebagai ukuran dari penyebaran suatu virus, suatu

sistem yang spasial maka heterogenitas populasi yang bergerak dapat dilihat pada koefisien

diffusinya sehingga untuk koefisien diffusi yang lebih besar nol dapat mengurangi

terjadinya penyebaran virus yang labih luas.

Bilangan reproduksi dasar dapat diformulasi sebagai rate transmisi virus dibagai dengan

koefisien diffusi ditambah dengan rate recovery dan akan maksimum jika rate recovery

mendekati nol.

Misalkan domain terbatas Ω )1( ≥∈ mRm dengan Ω∂ smooth jika 1>m maka model

reaksi diffusi SIS berbentuk

,IIS

SISdtS

S γβ

++

−Δ=∂

∂ ,Ω∈x 0>t 2.21

,IIS

SIIdtI

I γβ

−+

+Δ=∂

∂ ,Ω∈x 0>t

bilangan reproduksi dari model 2.21 ditunjukkan pada Lemma berikut ini

Lemma 2.1

Didefinisikan bilangan reproduksi dasar dari model 2.21 adalah

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+∇Ω∈=

∫

∫

Ω

Ω

22

2

10

)( γϕϕ

βϕ

ϕ IdHSupR maka 2.22

(a). 0R adalah fungsi positif dan monoton turun bila 0>Id

(b) 0R → }:)()({ Ω∈x

xxMax

γβ untuk 0→Id

(c) 0R →∫

∫

Ω

Ω

γ

β untuk ∞→Id



HARIYANTO

22

(d) 10 >R jika ,0<∗λ 10 =R jika 0=∗λ dan 10 <R jika 0>∗λ (Allen et al.,2010).

2.1.4 Traveling wave dari virus

Model yang dibangun berikut ini, merupakan pengembangan dari model Kendal

dengan membagi populasi menjadi subpopulasi yang homogen, individual bergerak

dinamis yang bergantung pada ruang dan waktu dengan subpopulasi terinfeksi yang spasial,

misalkan ),(),,( txItxS dan ),( txR menyatakan density lokal dari individual susceptible,

terinfeksi dan removed.pada waktu t dalam lokasi Rx∈ dengan rate infeksi

∫∞

−∞− dyyxKtxI )(),(β ,

oleh karena individual pada subpopulasi bergerak dinamis maka akan terdapat perubahan

status terhadap penyakit. Individual yang bergerak pada setiap titik pada subpopulasi

bergantung pada kecepatan traveling wave, persamaan traveling wave dapat dibangun

dengan transformasi )),(),,(),,(( tctxRtctxItctxS −−− terhadap model sistem sehingga

dengan menyelesaikan persamaan traveling wave dapat diperoleh kecepatan traveling

wave(Ruan,S,2006).

Perhatikan model oleh Li and Zou.(2009) yang dibangun berdasarkan pada struktur

usia dan diffusi berbentuk:

t

xtS∂

∂ ),( = 2

2 ),(x

xtSSD

∂

∂+µ - ),( xtdS - ),(),( xtSxtrI 2.23

=∂

∂

txtI ),(

2

2 ),,(x

xatIDI ∂

∂ - ),( xtIβ + dyyxfytSytrI )().,(),( −∞

∞−−∫

−αττε

dengan απα

α4

41)(

2x

exf = , d++= γσβ , Rxt ∈> ,0 2.24

Penyelesaian traveling wave front dari persamaan tersebut diatas adalah penyelesaian

khusus dari bentuk )(),( ctxxtS += φ dan )(),( ctxxtI +=ψ dengan 0>c sebagai

kecepatan gelombang, jika persamaan 2.23 dan 2.24 mempunyai 2 kondisi tunak konstan

),( −−=− ISU dan ),( ++=+ ISU sedemikian rupa sehingga fungsi φ dan ψ memenuhi



HARIYANTO

23

persamaan −=−∞ S)(φ , −=−∞ I)(ψ , +=+∞ S)(φ dan +=+∞ I)(ψ maka penyelesaian

traveling wave disebut sebagai traveling wave front. Secara biologi, traveling wave front

merupakan kondisi terjadinya perubahan dari kesetimbangan −U menuju kesetimbangan

+U berdasarkan pada nilai dari kondisi tunak −U dan .+U Sedangkan kecepatan

gelombang dapat menjelaskan kecepatan penyebaran spasial dari penyakit dan kemudian

dapat mengukur bagaimana kecepatan penyakit tersebut menyerang secara geografik.

Dengan demikian traveling wave front sangat penting untuk model penyakit dengan

heterogenitas yang spasial.

Model spasial dari penyebaran virus WN merupakan pengembangan secara spasial

terhadap model dinamika non spasial yang menghasilkan model kompleks, reduksi model

dilakukan agar supaya lebih mudah untuk melakukan analisa terhadap penyebaran virus

dengan memberikan beberapa asumsi sehingga diperoleh model berbentuk:

2

2

)(xI

IdIANI

tI V

VVVVR

RRV

V

∂

∂+−−=

∂

∂εβα

2

2

xIDII

NIN

tI R

RRVR

RRRR

R

∂

∂+−

−=

∂

∂γβα 2.25

dengan RV NA , konstan dan 0)0,()0,( >+ xIxI RV atau dapat ditulis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂

R

V

R

V

R

V

II

fII

xD

II

t 2

2

2.26

dengan Tfff ),( 21 dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

DD

00ε

Untuk mendapatkan penyelesaian traveling wave, perhatikan definisi berikut ini:

Definisi 2.1

Penyelesaian traveling wave dengan kecepatan c untuk model sistem 2.25 adalah

penyelesaian yang mempunyai bentuk ( ))(),( ctxIctxI RV −− dan berhubungan dengan titik

kesetimbangan penyakit endemik dan bebas penyakit dari sistem sehingga

),(),(lim)(

∗∗

−∞→−= RVRVctx

IIII dan )0,0(),(lim)(

=∞→−

RVctxII



HARIYANTO

24

Penyelesaian traveling wave dengan kecepatan c dari model 2.25 adalah

VVVVR

RRVV

v IdIANII

dtdI

c −−+=− )(βαε

RRVR

RRRRRV

R IIN

INDIIdt

dIc γβα −−

+=− 2.27

dengan kondisi batas pada ∞± dapat ditentukan penyelesaian stasioner dari sistem diatas.

Teorema 2.1

Jika kecepatan minimal dari traveling wave adalah 0c sedemikian hingga untuk setiap

0cc ≥ maka pada model sistem tak linear akan mempunyai penyelesaian traveling wave

non-increasing ( ))(),( ctxIctxI RV −− dengan kecepatan c yang memenuhi

),(),(lim)(

∗∗

−∞→−= RVRVctx

IIII dan )0,0(),(lim)(

=∞→−

RVctxII

dan jika 0cc < maka bentuk tersebut diatas bukan traveling wave.

Teorema 2.2

Jika kecepatan wave minimal dari sistem tak linear 2.27 adalah 0c maka kecepatan

minimal 0c sama dengan rate penyebaran ∗c dari sistem tersebut (Lewis et al.,2006).

Seperti yang dinyatakan pada model penyebaran spasial dari penyakit rabies

berikut ini:

),(),(),(

),(),(

2

2

txItxItxStID

tI

txItxStS

µβ

β

−+∂

∂=

∂

∂

−=∂

∂

2.28

dengan β adalah koefisien transmisi, 1−µ harapan hidup dari anjing terinfeski dan D

koefisien diffusi. Bilangan reproduksi dasar dari model dinyatakan oleh R0 = .0

µβ

S Jika

R0 < 1 maka tingkat mortalitas akan lebih besar dari tingkat individual yang baru terinfeksi.

Pada kasus dimana R0 > 1 menunjukkan adanya penyakit yang bertahan pada daerah



HARIYANTO

25

homogen spasial, diffusi spasial pada model merupakan penyebaran penyakit yang

berkembang dari daerah dengan luas yang kecil menuju ke daerah yang lebih luas.

Kecepatan gelombang penyebaran dapat ditentukan berdasarkan pada penyelesaian dari

persamaan traveling wave yang diperoleh dari transformasi )(),(),(),( zgtxSzftxI ==

dengan peubah gelombang ,ctxz −= kecepatan gelombang c ditentukan oleh persoalan

nilai batas asimtotik dari persamaan traveling wave

0,0 1111 =−=−++ fgcgffgcfDf βµβ 2.29

∞=−∞=+∞=±∞ SgSgf )(,)(,0)( 0

dengan ∞S menyatakan banyaknya individual susceptible yang ada ( tersisa ) setelah

gelombang penyakit berlalu dan dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut

ini(Thieme,H.R.2000)

1)ln(0

1

0

=− ∞−∞

∞

SSR

SS 2.30

2.1.5 Analisa persistensi, well-posed

Misalkan X ruang metric dengan metric d dan R menyatakan himpunan bilangan

real dengan struktur aljabar dan topologi dan misalkan +R dan −R menyatakan himpunan

bilangan real nonnegatif dan negatif maka aliran kontinu ),,( πRXF = didefinisikan pada

X dengan π : XXxR → kontinu sedemikian hingga xx =)0,(π untuk semua Xx∈ ,

Rst ∈, , jika XM ⊂ dan RK ∈ maka ),( KMπ menyatakan himpunan

}.,:),({ KtMxtx ∈∈π

Definisi 2.2

Aliran F disebut

1. Weakly persistence jika untuk semua ,•

∈ Ex .0)}),,(({ >∂∞→

EtxdSuptLim π

2. Persistence jika untuk semua ,•

∈ Ex .0)}),,(({ >∂∞→

EtxdInftLim π

3. Weakly uniformly persistence jika terdapat 00 >ε sedemikian hingga untuk semua



HARIYANTO

26

•

∈Ex .)}),,(({ 0επ >∂∞→

EtxdSuptLim

4 Uniformly peersistence jika terdapat 00 >ε sedemikian hingga untuk semua •

∈Ex

0)}),,(({ επ >∂∞→

EtxdInftLim (Das and Mukherjee.2009;Freedman et al.,1994).

Pada Das and Mukhejee.(2009), kajian persistensi pada model penyakit Chagas

dengan melakukan analisa terhadap model sistem yang dibangun berdasarkan karakteristik

penyakit antara lain penyakit yang berbentuk kronik dengan level rendah dan klinik

sehingga analisa persistensi sistem harus dilakukan pada masing-masing komponen,

misalkan )(tx merupakan komponen dari sistem persamaan diferensial biasa dikatakan

persisten ( uniformly strongly ) jika terdapat konstan 0>k sedemikian hingga

kttLim >∞→

)min( dengan ,0)0( >x sistem dikatakan uniformly strongly persistemce jika

setiap komponen uniformly persistence. Berdasarkan pada analisa yang dilakukan

diperoleh beberapa teorema tentang persistensi penyakit yang dikaitkan dengan parameter

model yaitu:

Teorema 2.3

Jika l

l

bgcrq

1

111

++> , rkb +< 1 dan ll rb 22 < maka penyakit disebut sebagai uniformly

waekly persisten pada ε>∞→

=∞ )(.sup1 1 titLimi dengan 0>ε yang tidak bergantung pada

data awal dan ditunjukkan oleh .0)0(1 >i

Teorema 2.4

Jika suatu penyakit memenuhi Teorema 2.3 maka penyakit tersebut adalah uniformly

strongly persisten pada ε≥∞→

=∞ )(sup1 1 titLimi dengan konstan ε yang tidak bergantung

pada data awal dan ditunjukkan oleh 0)0(1 >i ( Freedman et al.,1994).



HARIYANTO

27

Well-posedness konstruksi model

Rangkaian dari membangun model matematika pada suatu sistem yang terdiri dari

komponen partikel bergerak spasial dan temporal adalah well-posed, model yang

mencerminkan phenomena obyek harus mampu memberikan jawaban dan bersifat tunggal

terhadap persoalan obyek, oleh karena yang diamati bergerak secara dinamis maka setiap

komponen dari sistem harus dipastikan berbentuk aliran kontinu..

Pengujian terhadap konstruksi model dinyatakan well-posed jika

1. Konstruksi model mempunyai penyelesaian dan bersifat tunggal.

Misalkan sistem dinamik tak linear berbentuk ),),(( ttXfdtdX

= 0)0( XX = 2.31

dengan nRX ∈ dan ,+∈Rt untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian

global dari model digunakan asumsi dari Desoer dalam De Carlo and Raymond,1989

yaitu

1. +⊂ RT memuat titik-titik berhingga persatuan interval.

2. untuk setiap nRX ∈ , ),( tXf kontnu pada Tt∉

3. untuk setiap Tti ∈ , ),( tXf mempunyai limit kiri dan kanan pada itt =

4. :f nn RRR →× memenuhi global Lipschitz yaitu terdapat fungsi kontinu

sebagian demi sebagian :k ++ → RR sehingga

2121 )()),(()),(( XXtkttXfttXf −<− untuk semua +∈ Rt dan semua titik

., 21 nRXX ∈

2. Konstruksi model merupakan sistem dinamis.

Jika model sistem dinamik dapat dinyatakan dalam bentuk

),{ 2

2

φφφ k

xDF

t ∂

∂=

∂

∂ 2.32

dengan k parameter epidemiologi maka dapat didefinisikan bahwa

:F ),( 1 RC Ω → ),( 1 RC Ω atau :F ),( 2 RC Ω → ),,( 2 RC Ω ),,( πRCG = sebagai aliran

kontinu pada ),,( 1 RC Ω ),( 2 RC Ω dan ),( RC Ω∈φ secara eksplisit dapat dinyatakan



HARIYANTO

28

sebagai ),(),(: RCxRRC Ω→Ωπ sedemikian hingga untuk semua ),( RC Ω∈φ dan untuk

semua bilangan nyata Rts ∈, berlaku (Thieme et al.,2007)

),()0),,(( txtx φφπ = dan ),()),,(( stts += φπφππ 2.33



HARIYANTO

29

BAB III KONSEP ILMIAH

3.1. KONSEP ILMIAH

Konsep ilmiah dari penelitian yang dilakukan merupakan teori yang digunakan

maupun dikembangkan untuk memperoleh teori baru dari permasalahan phenomena obyek,

konsep ilmiah dalam hal ini lebih menekankan pada alur pikir yang diinginkan peneliti

walaupun bukan berbentuk metodologi.

Terdapat 3 tahapan yang perlu disampaikan untuk konsep ilmiah yaitu:

1. Konsep ilmiah tentang koalisi virus H5N1 dan H1N1-p yaitu rancangan konsep berupa

penjelasan tentang virus H5N1 dan H1N1-p yang dapat berkoalisi pada babi maupun

manusia dan mempunyai peluang munculnya strain baru, rancangan yang dimaksud adalah

peluang terjadinya koalisi antara virus H5N1dan H1N1-p.

Beberapa koalisi virus H5N1 dan virus H1N1 dengan virus lainnya yang pernah

terjadi antara lain:

a. Koalisi yang terjadi antara virus avian H5N1 dengan virus manusia H2N2

sehingga muncul virus baru sebagai subtipe H2N2 yang disebut sebagai

virus Asian dan terjadi pada tahun 1957 di Cina.

b. Koalisi yang terjadi antara virus avian H5N1 dengan virus manusia H3N2

yang memunculkan virus baru sebagai subtipe H3N2 yang disebut sebagai

virus Hongkong dan terjadi di Cina pada tahun 1968.

c. Koalisi dan co-infeksi yang terjadi antara virus avian H1N1 dengan virus

lainnya yang memunculkan virus baru sebagai subtipe H1N1 yang disebut

virus Swain dan terjadi di Meksiko pada tahun 2009.

d. Penelitian pada Laboratorium dengan melakukan percobaan terhadap

kombinasi semua tipe sebanyak 254 dari koalisi virus antara

A/chicken/south Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1) dan A/Tokyo/UT-

SK-1/Tok07.H3N2 virus influenza dengan reverse genetic, dari data dapat

diperoleh bahwa koalisi antara virus avian H5N1 dengan pathogen rendah

dan virus human H3N2 pada tikus dapat menghasilkan virus dengan



HARIYANTO

30

pathogen tinggi dan fungsi Pb2 pada virus manusia H3N2 berlatar belakang

virus avian H5N1 yang sangat jelas meningkatkan virulence dari pathogen

virus human H3N2.

e. Para peneliti di Avian Influenza-zoonosis Research Center- Universitas

Airlangga (AIRC- UNAIR) telah melakukan penelitian tentang pola virus

influenza di lapangan dan di laboratorium. tahun 2006, dilakukan mutasi

buatan pada virus H5N1 dari unggas di Indonesia tanpa koalisi.,ternyata

diperoleh bahwa virus H5N1 unggas yang berkoalisi dengan H3N2 lebih

virulence.

Dari rangkaian kejadian koalisi terdapat koalisi dengan pathogenitas tinggi pada

virus avian yang terjadi secara alamiah menghasilkan virus baru dengan pathogenitas

tinggi, sedangkan koalisi dari hasil percobaan antara virus H5N1 pathogenitas rendah

dengan vurus H3N2 juga menghasilkan virus dengan pathogenitas tinggi. Virus H5N1 dan

Virus H1N1-p mempunyai struktur yang sama yaitu 8 gen yang saling lepas sehingga

sangat mudah untuk terjadi mutasi didalam gen maupun diantara gen ( koalisi ).

Berdasarkan penjelasan tersebut diatas konsep ilmiah dari penelitian yang berkaitan

dengan phenomena koalisi disusun berdasarkan pada penyebaran virus H5N1 dengan

pathogenitas tinggi dan virus H1N1-p pada host manusia dan unggas yang disebut dengan

transmisi multiple strain pada multple host. yaitu:

a. Transmisi virus H5N1 dan H1N1-p pada multiple Host manusia, unggas

dengan memperhatikan transmisi yang sebelumnya terjadi, transmisi

dinyatakan dalam bentuk fungsi transmsisi dengan menggunakan hukum

energi dengan mass infection sebagai landasan untuk formulasi kuantiti pada

perubahan setiap subpopulasi.

b. Host sebagai individual populasi akan terbagi menjadi subpopulasi sebagai

akibat dari mixing random.

c. Kontak random pada individual ekivalen dengan transmisi virus, oleh

karena transmisi virus tidak selalu simetris atau dapat dikatakan bahwa

transmisi yang terjadi simetris maka disusun petakontak dalam rangka untuk

memudahkan dalam membangun sistem network.



HARIYANTO

31

d. Lokasi terbatas yang dianggap sebagai pusat terjadinya koalisi dan

berbentuk spasial dengan memperhatikan penyebaran pada lokasi

persekitaran.yang dapat berkembang pada lokasi yang lain.

e. Setiap perubahan yang terjadi pada subpopulasi karena gerakan individual

yang dinamis digunakan hukum kesetimbangan.

f. Peluang terjadinya transmisi oleh karena kontak dan interaksi individual

maupun pergerakan individual dari satu lokasi ke lokasi yang lain

dinyatakan oleh fungsi densitas Kernel.

g. Model Network spasial sebagai pijakan untuk membangun model

matematika dirancang sedemikian rupa sehingga terdapat co-transmisi dan

co-infeksi pada manusia.

2. Kerangka konsep yang berkaitan dengan model matematika dimulai dari definisi baku

tentang model, pemodelan matematika maupun model matematika yaitu:

a. Model secara obyektif didefinisikan sebagai berikut: M sebagai obyek akan

disebut model dari obyek atau phenomena P jika M dapat menggantikan

P sehingga dengan mengamati atau menyelidiki M akan mendapatkan

informasi tentang .P

b. Pemodelan matematika didefinisikan sebagai melakukan formulasi

matematik yang menyatakan diskripsi dari suatu kejadian yang berasal dari

model fisika, kimia,biologi dll.

c. Model matematika didefinisikan sebagai himpunan persamaan-persamaan

bersama dengan syarat awal,syarat batas dan sinyal terhadap nilai batas.

Pada penelitian desertasi, pemodelan matematika dilakukan dengan pendekatan

sistem sehingga obyek dapat dibagi dalam subsistem-subsistem yang saling berinteraksi,

subsistem dapat diinterpretasikan sebagai:

a. Subpopulasi yaitu bagian dari populasi individual yang dapat berubah

terhadap peubah jarak dan waktu karena pergerakan dinamis, perubahan

status, mengalami diffusi, dalam hal ini subpopulasi dapat berupa

subpopulasi infeksi, ekspose dengan pembagian yang bergantung pada

phenomena obyek dan tujuan dalam pemodelan.



HARIYANTO

32

b. Lokasi sebagai obyek dalam melakukan pengamatan terhadap phenomena

obyek, 2 lokasi pengamatan yang saling berinteraksi dan lokasi 1 ditetapkan

sebagai daerah terjadinya koalisi virus dan pusat penyebaran strain H5N1

atau H1N1-p terhadap daerah persekitaran maupun global.

Dengan demikian sistem yang dibangun terdiri dari 2 subsistem sebagai lokasi

pengamatan dengan komponen-komponen yang berbentuk subsistem dengan elemen

subpopulasi, oleh karena itu pada masing-masing subsistem selalu berinteraksi melalui

interface. Seperti pada Gambar berikut ini:

Interaksi diantara subsistem dengan diskripsi subpopulasi pada titik A,B,C di Lokasi 1

sebagai subsistem lokal, demikian pula pada lokasi 2 interaksi terjadi pada titik D,E,F

sedangkan interaksi diantara subsistem lokasi terletak pada titik G sebagai interface.

• •

• A

B C •

• •

D

E F

•

Lokasi 1 Lokasi 2

G

Gambar 3.1. Interaksi diantara subsistem melalui bidang singgung



HARIYANTO

33

Pada Gambar 3.2 menunjukkan perubahan dinamis yang terjadi pada lokasi 1

sebagai akibat dari interaksi diantara subpopulsi dalam bentuk kontak individual sehingga

terjadi transmisi virus H5N1 dan H1N1-p dan masing-masing subpopulasi mengalami

perubahan, hal tersebut juga terjadi jika terdapat migrasi keluar maupun masuk dari

subpopulasi pada lokasi 2, koalisi terjadi pada saat transmisi kedua virus tersebut terjadi

dan dapat dinyatakan seperti pada Gambar berikut:

Penggabungan individual pada subpopulasi

• •

•

Subpopulasi

Subpopulasi

Subpopulasi

Transmisi virus Transmisi virus

Gambar 3.2. Perubahan dinamis yang terjadi pada lokasi 1

Proses koalisi

•

• •

•

•

•

•

1S

2S

α1I

α1I

α1I

2I

−I coinfection

Gambar 3.3. Proses terjadinya koalisi



HARIYANTO

34

Proses koalisi yang terjadi seperti pada Gambar 3.3 diawali adanya transmisi virus

H5N1( salah satu jenis virus H5N1 yang beredar di Indonesia ) dan virus H1N1-p sehingga

terdapat individual terinfeksi α1I dan .2I Jika terdapat individual susceptible melakukan

kontak dan interaksi maka akan terdapat individual yang akan terinfeksi oleh virus H5N1

dan H1N1-p atau disebut sebagai individual co-infeksi dan co-transmisi.

Jika perubahan dinamis juga terjadi pada subsistem lokasi 2 maka konstruksi model

sistem yang dapat dibangun adalah sebagai berikut:

Misalkan ),( txUU = individual pada subpopulasi dan ),(11 txUU = perubahan yang

disebabkan pergerakan dinamis individual pada subpopulasi yang mengalami diffusi,

),(22 txUU = perubahan yang disebabkan oleh transmisi virus dan ),(33 txUU =

perubahan yang disebabkan oleh individual yang masuk pada lokasi 1 berasal dari lokasi 2.

),(44 txUU = perubahan yang terjadi disebabkan oleh individual yang keluar dari lokasi 1

Dengan menggunakan hukum kesetimbangan maka total perubahan subpopulsi pada lokasi

1 adalah

),(1 txU + ),(2 txU + ),(3 txU + ),(4 txU atau dapat ditulis ),(4

1

txUUi

i∑=

= artinya

individual pada subpopulasi yang bergerak di lokasi 1 akan mengalami perubahan terhadap

waktu yang disebabkan oleh gerakan individual itu sendiri menyebabkan terjadinya fluks,

demikian pula untuk subpopulasi yang lain ),,(4

1

txVVi

i∑=

= ),(6

1

txWWi

i∑=

= untuk lokasi 1

maupun pada lokasi 2.

Model sistem yang terbentuk adalah:

),,(6

1

txUUi

i∑=

= ),,(6

1

txVVi

i∑=

= ),(6

1

txWWi

i∑=

= 3.1

0)0,( UxU = , 0)0,( VxV = , 0),( =txV untuk ∞→t .

Misalkan model sistem 3.1 dapat dinyatakan

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−

∂

∂

∂

∂∫ ∫Ω Ω

dxxyKpdyyxiKipifppx

ipD

tip

G iiji )(,).(.,,,, 2

2

α = 0 3.2



HARIYANTO

35

3.2.1, =ji dan ji ≠ menyatakan jenis subpopulasi.

),( txpi adalah densitas dari subpopulasi yang terdiri dari individual –individual bergerak

secara spasial dan temporal.

D adalah koefisien diffusi.

iK . adalah densitas Kernel.

α adalah rate transmisi.

kondisi awal:

0)0,( ii pxp = , untuk ∞→t dan ji ≠ terdapat 0),( =txpi atau .0),( =txp j

kondisi batas:

00 ==∂

∂xx

pi dan 0==∂

∂Lxx

pi untuk ],0[ Lx∈

Pada persamaan 3.2 menyatakan sistem persamaan diferensial yang secara implisit

menunjukkan adanya perubahan waktu pada densitas individual subpopulasi pada lokasi

tertentu, perubahan pada subpopulasi dapat disebabkan oleh pergerakan individual secara

lokal, global ( bergerak lintas lokasi ) maupun oleh kontak individual yang menyebabkan

terjadinya transmisi. Untuk melakukan analisis terhadap penyebaran infeksi maupun

traveling wave maka dilakukan transformasi koordinat ctx +=ξ dengan c sebagai

kecepatan gelombang penyebaran sehingga terdapat penyelesaian traveling wave berbentuk

)(),( ξii wtxp = yang memenuhi sistem persamaan:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−∫ ∫

Ω Ω

ςξςξςξαξξ

dKwdiKiwiwifwwd

iwdD

didw

cG iiji )(,).(.),(,,, 2

2

= 0 , 3.3

dengan kondisi batas:

. 0)(lim wwi =∞→

ξξ

dan 1)(lim wwi =→−∞

ξξ

dengan 0w sebagai titik kesetimbangan bebas virus dan 1w sebagai titik kesetimbangan

endemik.

Kecepatan penyebaran yang dinyatakan oleh penyelesaian model sistem traveling

wave dapat dikatakan sebagai ukuran dari penyerangan virus terhadap indivdiual populasi,

pada saat itu dapat dilakukan formulasi yang berkaitan dengan bilangan reproduksi dasar



HARIYANTO

36

atau bilangan reproduksi invasi, sesuai dengan definisi bahwa bilangan reprodukasi dasar

sebagai ukuran dari virulensi suatu virus dengan memperhatikan individual populasi yang

terinfeksi pada kedua kalinya berarti dalam melakukan formulasi hanya memperhatikan

subpopulasi individual terinfeksi saja.

Formulasi dari bilangan reproduksi dasar 0R dinyatakan sebagai ratio perbandingan

antara koefisien dari rate perubahan pada subpopulasi yang masuk pada subpopulasi

terinfeksi dengan rate perubahan yang keluar dari subpopulasi terinfeksi dan untuk model

sistem 3.2 reproduksi dasar dinyatakan 0R = 1fα dengan if menyatakan rate perubahan

yang keluardari .ip

3 Konsep teori yang berkaitan dengan analisa dirancang sesuai dengan tujuan

yang diharapkan dari penelitian ini, rancangan konsep analisa pada penelitian ini adalah:

a. Analisa terhadap penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi.

b. Analisa eksistensi dan ketunggalan penyelesaian serta analisa sistem dinamis dari

konstruksi model matematika koalisi.

c. Analisa persistensi terhadap model sistem koalisi maupun terhadap virus H5N1 dan

virus H1N1-p, dalam hal ini analisa juga dilakukan terhadap submodel sistem.

d. Analisa permanen terhadap model sistem traveling wave dari model sistem koalisi

dari virus H5N1 dan virus H1N1-p yang mempunyai penyelesaian tunggal.

e. Analisa terhadap kecepatan gelombang maksimum dan minimum jika terjadi

pandemik terhadap koalisi antara virus H5N1 dan H1N1-p.



HARIYANTO

37

3.2. ROADMAP PENELITIAN DISERTASI

Gambar 3.4 Roadmap Penelitian Disertasi

E G

J

M L

I B

H

K

N

D

F

C

A

O

Tabel 3.1 Keterangan dari komponan Roadmap Penelitian Disertasi

Penulis/Tahun/Judul Model Matematika Metode Pemodelan

A Hariyanto.2014.Konstruksi Model MatematikaKoalisi antara virus

influenza- H5N1dan H1N1 Pandemik

Network spatial. multi strain

multi species

Sistem Persamaan differensial Parsial

Integral

B. Coburn,B.J.Cosner,C and Ruan,S. 2011. Emergence and Dynamic of Influenza

Super strain.

Kompartemen Multi strain multi species

Sistem Persamaan Differensial Biasa.

C Reluga,T.C. Medlock,J and Galvani,A.P. 2011.A Model of spatial epidemic spread

when individuals move within overlapping home range.


Integral

. Gerak Brownian, individual terinfeksi

bergerak overlapping pada lokasi tetap.

O Hariyanto.Widodo,B. Nidom,C.A.

Budiantara,I.N.2013THE Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in

Indonesia.


Integral

fungsi transmisi dikonstruksi

sesuai dengan peta kontak pada

penyebaran lokal dan global



HARIYANTO

38


D Li,J.and Xou,X.2009. Modelling

spatial spread of infectious diseases with a fixed latent periode in a

spatially continous domain


Integral

model diturunkan dari bentukstandar diffusi

spasial,. populasi dibagi berdasarkan dalam

struktur usia.

F Coburn,B.J.Wagner,B.G and

Blower,S.2009.Modelling influenza epidemics and pandemics : insights into the future of swine flu.

Sistem Persamaan Differensial Biasa.

Model kompartemen

I Novozhilov,A.2008.

Heterogenious Susceptibles

Infectives models


Integral

fungsi transmisi dikonstruksi

sesuai dengan peta kontak, populasi

heterogen

E Ruan,S and Wu,J.2009. Modelling spatial spead

of communicable diseacesinvolving

animal host.


Integral

Model dibangun dari sistemreaksi difusi, penyebaran local maupun global

G Flahault,A. Vergu,E and

Boelle,P.Y.2009. Potensial for a Global Dynamic of

influenza A (H1N1).

Sistem distribusi Binomial

. Metapopulasi.

J Blyuss,K.B.2005.

On a model of spatial spread of epidemics with long – distanc.


Integral

Metode Konvolusi, mengamati pergerakan

individual pada 2 daerah, 2. Strain tunggal species

tunggal.



HARIYANTO

39


M Kelling,M.J and

Eames, K.T.D. 2005. Network and

epidemic models.

Sistem persamaan differensial

biasa, parsial.

transmisi virus berdasarkan kontak

dan interaksi.,kontak individualdikonstruksi dengan menggunakan

teori graph.

L Hyman,J.M.LaForce,T

.2004.Modelling the spread of

influenza among cities.

Sistem persamaan differensial biasa

Model kompartemen SIR.

H Arino,J.Davis,J.R.

Hartley,D.Jordan,R, Miller,J.M and

Drissche,P.V.D. 2009. A multi species

epidemic model with spatial dynamics.


transmisisi multispecies dan penyebaran

geografik.

K Boman,C.Gumel,A.B. Driessche,P.V.D Wu,J

and Zhu,H. 2005. A mathematical models

for assessing control stratedies agains west nile virus.


Sistem Kompartemen .

dengan transmisi strain tunggal

pada 3 species. .

N

Wonham,M.J.de-Carmino-Beck,T and

Lewis,M.A.2004 .An Epidemiological

model for West Nile virus :invasion analysis and control

application.


Sistem Kompartemen .

dengan transmisi strain tunggal

pada 3 species. .



HARIYANTO

40

3.3. PETA TEORI PENELITIAN DISERTASI

Peta Teori Penelitian Disertasi disusun berdasarkan Roadmap Penelitian Disertasi,

pembahasan dalam bentuk tabel 3.2 sesuai dengan cabang pada Gambar 3.4.

Tabel 3.2 : Teori Penelitian Disertasi

Penulis,Tahun, Judul

Ruang Lingkup

Teori mendukung

disertasi

Kesimpulan

Konsep Ilmiah Keterangan

Kosentrasi pemodelan terletak pada subpopulasi ekspose dengan masa latent yang ditentukan secara periodic.

Model penyebaran penyakit yang dibangun dari model dasar difusi spasial dengan struktur populasi yang dibuat oleh Metz dan Dickmann.

Li,J.and Xou,X.2009. Modelling spatial spread of infectious diseases with a fixed latent periode in a spatially continous domain.

Model matematika yang terbentuk merupakan model khusus untuk penyakit yang beradaptasi pada host.

Konstruksi perubahan pada subpopulasi terinfeksi ditentukan oleh perubahan masa penyakit berada pada host.

Model penyebaran dengan bentuk latent, pengembangan dari model Metz dan Dickmann

Penyebaran virus super strain sebagai hasil dari koalisi virus influenza H5N1 dan H1N1 pandemik pada 2 lokasi

Hariyanto, 2014. Construcsion Models Coalision Between H5N1 and H1N1 Pandemic Influenza Virues.

Penyebaran virus super-strain diamati dalam 3 tahapan dengan transmisi virus melalui kontak,interaksi individual, subtitusi asam amino dilakukan melalui subpopulasi susceptible pada tahapan ketiga.

Konstruksi model koalisi mempunyai penyelesaian positif dab well-posed. Virus super-strain persisten sangat kuat terhadap virus H5N1 dan H1N1-p.

model matematika dikonstruksi bersifat spasial-temporal, oleh karena Konstruksi model pada setiap tahapan proses koalisi adalah well-posed.

Pendekatan spasial temporal, model bergantung pada proses koalisi,multi strain multispecies,model well-posed dan mempunyai penyelesaian positif,analisa terhadap densitas,persistensi virus dan traveling wave.



HARIYANTO

41


Ruang Lingkup

Teori mendukung

disertasi

Kesimpulan


Terdapat metode pemodelan dengan struktur populasi untuk gerakan spasial temporal yang menghasilkan model matematika berbentuk sistem reaksi diffusi

Model matematika dibangun berdasarkan pada struktur populasi host dan gerakan dinamis dari individual host secara local maupun global.

Metode yang diterapkan memberikan variasi model yang berbeda-beda, untuk populasi heterogen tidak terdapat fluks, spasial temporal terdapat model dengan koefisien diffusi yang sama

Bebarapa metode pemodelan matematika yang khusus berkaitan dengan penyebaran spasial dari penyakit yang berasal dari binatang

Ruan,S and Wu,J.2009. Modelling spatial spread of communicable diseaces involving animal host.

Model dengan pendekatan spasial temporal pada populasi heterogen, individual bergerak dinamis diperoleh variasi model dengan koeffisien diffusi sama dan berbeda

Pergerakan populasi dari y menuju x merupakan gerak Brown sehingga peluang dari setiap individual yang bergerak dinyatakan sebagai fungsi densitas kondisional.

Model matematika terdiri dari model distribusi kontak, model distribusi terinfeksi, digunakan untuk memprediksi transmisi penyakit pada populasi.

Pemodelan matematika penyebaran penyakit berdasarkan pada populasi yang bergerak pada daerah persekitaran

individual begerak sebarang dan mempunyai titik tetap, setiap individual yang bergerak keluar daerah persekitaran akan kembali pada titik tetap.

Reluga,T.CMedlock,J and Galvani,A.P.2011.A Model of spatial epidemic spread when individuals move within overlapping home range.

Model lokal atau model pada daerah persekitaran, transmisi untuk single strain

Hasil yang diperoleh secara epidemiologi dipengaruhi oleh 3 faktor yaitu: 1. Kontak antara babi dengan manusia. 2. Transmisibilitas super strain pada manusia. 3. Transmisibilitas dari babi ke manusia.

Model dikonstruksi sebagai model penyebaran dengan menekankan pada subpopulasi Co-infection, oleh karena itu model sistem kompartemen dinyatakan sebagai aliran virus pada babi.

Penyebaran virus super strain dinyatakan dalam model matematika yang terdiri dari 3 species yaitu manusia, burung dan babi dengan babi sebagai mixing vessel .Transmisi virus melalui kontak, interaksi.

Penyebaran virus super strain sebagai hasil dari rekombinasi virus H1N1 dan H5N1.

Coburn,B.J.Cosner,C and Ruan,S. 2011. Emergence and Dynamic of Influenza Super strain.

Model dengan memperhatikan proses recombinasi, pendekatan sistem kompartemen,bentuk model sistem persamaan differensial biasa, multispecies multistrain, analisa persistensi dan stabilitas.



HARIYANTO

42

Subpopulasi didefinisikan dalam ruang metric, transmisi virus terjadi pada

)(dInf atau

).(dSup Persistensi virus bergantung pada nilai reproduksi dasar.

fungsi transmisi dikonstruksi sesuai dengan Network kontak pada penyebaran lokal dan global

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013The Construction of a Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in Indonesia.

Model well-posed dan mempunyai penyelesaian positif, persistensi virus terhadap system ditentukan oleh nilai maksimum dari densitas subpopulasi susceptible.

Perbandingan densitas susceptible, terinfeksi maupun kondisi kestabilan menentukan persistensi virus terhadap system.

Model penyebaran multiple virus pada multiple lokasi dan multiple species, densitas susceptible yang monoton naik menyebabkan virus persisten terhadap perubahan sistem.

Novozhilov,A. 2008. Heterogenious Susceptibles Infectives models

Fungsi transmisi dengan hukum energi pada populasi yang heterogen.

Fungsi transmisi dikonstruksi berbentuk bilinear dengan asumsi kontak individual bersifat random mixing, formulasinya berbentuk nonlinear.

Model metematika dibangun dari subpopulasi yang heterogen dengan fungsi transmisi yang mempunyai rate transmisi berbeda pada setiap titik sebarang untuk rate kontak tetap dinyatakan dalam lapangan rata- rata.

Model dengan transmisi mass action dari single virus yang menyebar pada populasi heterogen.

Model matematika berbentuk persamaan diferensial parsial intergral

Arino,J.Davis,J.R. Hartley,D. Jordan,R,Miller,J.M and Drissche,P.V.D. 2009.A multi species epidemic model with spatial dynamics..

Pemodelan matematika dari virus tunggal yang menyebar secara spasial dan temporal, populasi bersifat heterogen.

Transmisi virus pada penyebaran geografik, individual bergerak melalui lintasan dari beberapa titik, formulasi model dilakukan berdasarkan pada kontak diantara species.

Penyebaran virus dengan model kompartemen multispecies multi- lintasan, dengan memasukkan subpopulasi latent.

Model digunakan untuk memprediksi dan analisis stabilitas linear pada kesetimbangan bebas penyakit


Ruang Lingkup

Teori mendukung

disertasi

Kesimpulan


Model dengan pendekatan sistem kompartementransmisi dari single virus pada populasi heterogen. analisa model terhadap perilaku sistem



HARIYANTO

43

BAB IV METODE PENELITIAN

4.1 JUSTIFIKASI METODE PENELITIAN TERHADAP PENELITIAN

SEBELUMNYA

Metode penelitian disertasi ini merupakan pengembangan dari penelitian yang telah

dilakukan, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan penelitian yang sudah dilakukan

terkait dengan konstruksi model matematika yang akan dikembangkan yaitu:

1. Konstruksi model matematika pada kajian pustaka Coburn et al.,(2011) dibangun

berdasarkan transmisi dinamis dari influenza pada 3 species yaitu burung, babi

dan manusia, model yang diperoleh ditentukan oleh factor epidimiologi dari

reassortan superstrain pada manusia antara lain transmisibilitas pada manusia,

transmisi dari babi ke manusia dan kontak dari babi ke manusia, model

matematika yang diperoleh berbentuk sistem persamaan diferensial biasa antara

lain model avian yang terdiri dari burung susceptible dan terinfeksi oleh strain

avian, model manusia yang terdiri dari manusia susceptible dan terinfeksi oleh

strain manusia musiman dan manusia yang terinfeksi oleh super strain dan model

swine yang terdiri dari babi yang susceptible, babi terinfeksi oleh strain avian dan

babi terinfeksi strain manusia musiman, babi yang terinfeksi kedua strain dan

babi sipembawa super strain sebagai hasil rekombinasi selama periode co-infeksi.

2. Konstruksi model matematika yang dilakukan pada kajian pustaka

Blyuss,K.B.(2005) dibangun berdasarkan pada gerakan individual pada 2 lokasi,

redistribusi dari gerak dinamis individual diantara lokasi tersebut dinyatakan oleh

operator integral yang bermakna sebagai probabilitas dari gerak dinamis diantara

2 lokasi, sedangkan gerak individual pada masing-masing lokasi dinyatakan oleh

operator difusi. Model yang dibangun juga membicarakan tentang migrasi dari

individual yang bergerak pada daerah persekitaran (migrasi sebagai pergerakan

individual yang keluar masuk daerah dengan batasan minimal pada persekitaran)

yang berarti bahwa setelah individual bergerak pada daerah lain dianggap menjadi

bagian dari populasi lokasi tersebut. Jika diasumsikan bahwa transmisi dari

infeksi yang terjadi pada kontak tertutup ( yaitu susceptible dapat terinfeksi hanya



HARIYANTO

44

setelah kontak dengan beberapa individual terinfeksi dilokasi pada titik yang

sama) maka model spasial yang diperoleh berbentuk sistem persamaan diferensial

parsial integral.

3. Konstruksi model dari kajian pustaka Arino et al.,(2005) dibangun berdasarkan

pada transmisi dari virus yang menyebar pada beberapa kota yang berbentuk

model spasial dari penyebaran geografik virus influenza berdasarkan pada data

perjalanan, untuk melakukan kajian terhadap pengaruh dari perjalanan dengan

menggunakan jasa penerbangan terhadap model pandemik influenza dilakukan

kuantifikasi terhadap perjalanan tersebut sehingga dapat diketahui penyebaran

influensa secara geografik. Seperti halnya kajian yang telah dilakukan dalam

membangun model potensial untuk epidemik influenza yang terjadi di 9 kota di

Eropa, model tersebut digunakan untuk mengestimasi derajat keterkaitan antara

epidemik di kota utama.dan juga digunakan untuk mengetahui sinkronisasi spasial

dan temporal dari epidemic influensa yang terjadi di kota lainnya.

Pengembangan dari penelitian yang dilakukan oleh Arino et al.(2005),

Blyuss,K.B.(2005) dan Coburn et al.,(2011) digunakan untuk penelitian disertasi dengan

domain penelitian pada penyebaran virus influensa A di Indonesia yaitu virus influenza

H5N1 dari subtipe yang melakukan invasi pada unggas dan manusia dan virus influenza

H1N1-p. Konstruksi model matematika dilakukan berdasarkan pada kontak dan interaksi

dari 2 jenis individual yang bergerak dinamis pada 2 lokasi dengan masing-masing lokasi

terjadi transmisi dari kedua virus tersebut, telah diketahui bahwa virus influenza H5N1

mempunyai patogenitas tinggi dan H1N1-p mudah beradaptasi pada manusia sehingga pada

setiap lokasi kedua virus mempunyai peluang yang sangat besar untuk koalisi pada

manusia.

4.2 RANCANGAN PENELITIAN

Penelitian disertasi yang telah dilakukan merupakan pengembangan dari penelitian

yang pernah dilakukan dan dibahas pada road map,peta teori penelitian disertasi pada bab 3

dan subbab 4.1, rancangan disusun dalam bentuk langkah-langkah yang dilakukan sesuai

dengan tujuan penelitian.



HARIYANTO

45

1. Metode Penelitian yang berkaitan dengan konstruksi model matematika koalisi disusun

dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Membangun Sistem Koalisi.

Transmisi penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak antara

individual host populasi yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau lokasi 2 maupun

lintas lokasi, host populasi pada kedua lokasi sama yang terdiri dari manusia, unggas

dengan masing-masing individual host diklasifikasikan dalam subpopulasi. Lokasi

sebagai obyek dalam pengamatan penelitian dianggap sebagai sistem yang terdiri dari

komponen individual populasi yang saling kontak dan interaksi secara dinamis, untuk

mencapai tujuan penelitian, obyek dibagi dalam rangkaian proses koalisi yang terdiri

dari 3 tahapan yang berkaitan dengan pengembangan bentuk transmisi sehingga

terdapat 3 rangkaian pengamatan penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap

unggas dan manusia. Misalkan pada lokasi 1, rangkaian awal dari pengamatan obyek

adalah penyebaran virus influenza H1N1-p dari manusia ke manusia dan virus

influenza H5N1 dari unggas ke unggas dan ke manusia sehingga akan terdapat

individual manusia terinfeksi H1N1-p,individual unggas terinfeksi H5N1 dan

individual manusia terinfeksi H5N1. Rangkaian tahapan kedua, transmisi virus

dikembangkan melalui kontak dan interaksi dengan harapan muncul individual Co-

infeksi, transmisi virus melalui kontak dalam hal ini didefinisikan sebagai transmisi

yang disebabkan oleh pertemuan diantara individual susceptible dan ndividual

terinfeksi atau individual terinfeksi dengan individual terinfeksi dalam selang waktu

yang cukup, sedangkan transmisi melalui interaksi sama seperti pada kontak akan

tetapi individual susceptible dan terinfeksi mempunyai tempat yang tetap dalam

selang waktu yang lama.

Rangkaian tahapan ketiga merupakan pengembangan dari kedua dengan melakukan

subtitusi asam amino pada individual susceptible, sedangkan transmisi virus sama

seperti pada rangkaian kedua. Pada lokasi 2, subsistem ini diamati sama seperti pada

lokasi 1.

Jadi pada setiap tahapan dari rangkaian proses koalisi saling terkait oleh individual

populasi terinfeksi virus influenza H1N1-p dan H5N1 pada tahapan sebelumnya.



HARIYANTO

46

b. Mengkonstruksi Network kontak individual.

Network kontak disusun berdasarkan pada penyebaran virus influenza yang pernah

terjadi, transmisi virus influenza H5N1 terjadi jika terdapat kontak antara unggas ke

unggas, unggas ke manusia, sedangkan transmisi virus influenza H1N1-p terjadi sama

dengan transmisi yang terjadi pada pandemik swain flu pada tahun 2009 yaitu

manusia ke manusia sehingga Network kontak yang telah tersusun dapat diketahui

individual populasi terinfeksi, susceptible dan ekspose. Jika rate transmisi dari virus

influenza H5N1 dan H1N1-p diketahui maka fungsi transmisi dapat diinterpretasikan

sebagai populasi individual yang terinfeksi, formulasi dari fungsi transmisi

bergantung pada pergerakan individual, jika individual bergerak atau melakukan

kontak dengan individual pada lokasi yang sama maka fungsi transmisi dapat

dinyatakan sebagai total populasi terinfeksi atau SItxF β=),( dengan β rate

transmisi, sedangkan untuk individual yang bergerak secara global atau lintas lokal

pergerakan individual ditentukan oleh fungsi densitas kernel.

c. Mengkonstruksi model matematika koalisi.

Model matematika pada penelitian dikonstruksi dalam bentuk sistem sehingga model

yang dibangun berdasarkan pada pengamatan terhadap pergerakan sembarang dari

populasi individual dalam melakukan kontak individual, jika pengamatan dilakukan

pada populasi individual terinfeksi maka perubahan yang terjadi pada populasi

tersebut ditentukan dengan menggunakan hukum kesetimbangan konservasi, total

perubahan yang terjadi pada populasi individual adalah perubahan populasi individual

terinfeksi karena adanya transmisi, perubahan yang disebabkan oleh kematian dan

kelahiran. Perubahan pada populasi individual global artinya perubahan populasi

individual terinfeksi yang disebabkan oleh pergerakan individual dari dan ke lokasi

lain dan untuk memperoleh model dari perubahan tersebut digunakan hukum Ficks.

Bahasan tersebut diatas merupakan landasan untuk mengkonstruksi model matematika

koalisi dari virus influenza H5N1 dan H1N1-p, model matematika dirancang sedemikian

rupa sehingga koalisi terjadi pada manusia, oleh karena itu dalam mengkonstruksi model

dilakukan pada seluruh proses koalisi sampai terbentuknya subpopulasi super- strain.

Untuk mengkonstruksi model matematika sistem koalisi dapat dilakukan secara bertahap



HARIYANTO

47

pada setiap lokasi dengan mengamati penyebaran awal dari masing-masing virus sampai

terbentuknya virus dengan strain baru.

Misalkan 1),(),,(),,(),,(),,( WtxItxStxEtxItxS UUmmm ∈ dan ,Ω∈x +∈ Rt densitas

susceptible, terinfeksi dan ekspose pada lokasi 1 dari penyebaran virus influenza H1N1-p

pada manusia maupun virus influneza H5N1 pada unggas maka perubahan yang terjadi

dapat disebabkan oleh pergerakan individual pada lokasi 1, evolusi genetika dan gerakan

individual yang keluar maupun masuk lokasi 1.

Ambil sebarang 1),( WtxS ∈ sebagai individual susceptible maka perubahan pada

),( txS yang disebabkan oleh pergerakan individual susceptible pada lokasi 1 digunakan

persamaan diffusi yang dibangun dari hukum Ficks Pertama dan Persamaan kontinunitas

sehingga diperoleh ),(),( 2 txSDt

txS∇=

∂

∂ → 2

2 ),(),(x

txSDt

txS∂

∂=

∂

∂ , perubahan individual

populasi yang terjadi karena recovery dapat dinyatakan ),( txIγ dengan individual terinfeski

),,(),(),( txItxSISF β= individual yang bergerak masuk pada lokasi 1 berasal dari lokasi

2 berbentuk ∫Ω

−= dyxyKtySisG )(),(.),(1 dengan )( xyK − sebagai fungsi bobot yang

berbentuk fungsi densitas Kernel dan individual yang bergerak keluar dari lokasi 1

dinyatakan dalam bentuk .)(),(),(2 ∫Ω

−= dxyxKtxSisG

Dengan demikian perubahan yang terjadi pada subpopulasi susceptible ),( txS pada lokasi

1 adalah perubahan yang terjadi karena pergerakan individual subpopulasi susceptible

didalam lokasi 1, pergerakan individual subpopulasi susceptible yang bergerak keluar

lokasi 1 dan pergerakan individual susceptible dari lokasi 2 masuk ke lokasi 1, model

matematika ),( txS dapat dinyatakan dalam bentuk

−∂

∂=

∂

∂2

2 ),(),(x

txSDt

txS+),(),( txItxSβ −−∫

Ω

dyxyKtyS )(),(

.)().,( ∫Ω

− dxyxKtxS 4.1



HARIYANTO

48

d. Mereduksi konstruksi model matematika koalisi.

Konstruksi model matematika koalisi dilakukan berdasarkan gerakan dinamis dari

individual populasi pada lokasi yang sama dan individual yang bergerak secara

global ( lokasi 1 ke lokasi 2 atau sebaliknya ), oleh karena itu konstruksi model

matematika koalisi berbentuk sistem persamaan differensial parsial integral. Untuk

mempermudah dalam melakukan analisa maupun penyelesaian dilakukan reduksi

model tanpa merubah makna dari model semula, reduksi dilakukan berdasarkan

perubahan atau transisi dari setiap subpopulasi karena transmisi virus, recovery dan

kemampuan melakukan transmisi.

2. Metode penelitian yang berkaitan dengan analisa terhadap persistensi, eksistensi dan

ketunggalan penyelesaian dari konstruksi model matematika koalisi dengan langkah

langkah sebagai berikut:

a. Analisa Persistensi.

Analisa persistensi pada setiap tahapan dari konstruksi model matematika koalisi

dilakukan terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p, H5N1 dan virus super-strain.

b. Eksistensi dan Ketunggalan.

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dilakukan pada setiap tahapan dari

konstruksi model matematka dengan menggunakan asumsi Desoer.

3. Metode Penelitian yang berkaitan traveling wave dari penyebaran virus super-strain

dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Mengkonstruksi model sistem traveling wave

Model sistem traveling wave front dikonstruksi dari model subsistem strain baru dari

masing-masing lokasi ( lokal ) dengan melakukan subtitusi ctxz += terhadap

peubah lokasi dan waktu sehingga populasi individual ),( txJ menjadi ).(),( zJtxJ =

Misalkan terdapat persamaan berbentuk

+∂

∂=

∂

∂2

2 ),(),(x

txJDt

txJJ −∑

=

),(),(5

1

txJtxfa ii

i ,),(3

1∑

=ii txJb 4.2

dengan melakukan reduksi terhadap subpopulasi yang mengalami transisi maka

model persamaan 4.2 menjadi



HARIYANTO

49

+∂

∂=

∂

∂2

2 ),(),(x

txJDt

txJJ −∑

=

),(5

1

txJmi

i ,),(3

1∑

=ii txJb dengan melakukan substitusi

ctxz += dapat diperoleh model traveling wave berbentuk

−= 2

2 )()(dz

zJdDdz

zdJc J −∑=

)(5

1

zJmi

i ∑=

3

1

)(i

i zJb 4.3

dan misalkan )()( zUdz

zdJ= maka persamaan 4.3 menjadi

)()( zUdz

zdJ=

dz

zdU )( = )(zUDc

J

−− ∑=

)(1 5

1zJm

D ii

J∑

=

3

1)(1

ii

J

zJbD

4.4

dengan kondisi batas )0,0(),( =→−∞

UJzLim dan ),(),( USUJzLim =∞→

untuk

)0,0( sebagai titik kesetimbangan bebas virus dan ),( US titik kesetimbangan

endemik.

b. Menentukan kecepatan traveling wave.

Model traveling wave 4.4 merupakan model sistem linear +•

+= 1bAXX sehingga

kecepatan traveling wave dapat ditentukan oleh nilai karakteristik dari matrik ,A

jika pada model 4.4 terdapat kecepatan minimum sedemikian hingga cc <min maka

terdapat kecepatan traveling wave pada model 4.4.



HARIYANTO

50

BAB V HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

5.1. KONSTRUKSI MODEL KOALISI

Konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1H1-p

dibuat berdasarkan pada rancangan dari subpopulasi yang terinfeksi oleh virus influenza

H5N1 dan H1N1-p sampai terjadinya evolusi pada species yang sama, konstruksi model

dilakukan berdasarkan pada pengamatan terhadap gerak dinamis dari setiap species dalam

ruang keadaan maupun perubahan genetika yang disebabkan oleh transmisi, evolusi dan

pola invasi virus. Ruang keadaan sebagai domain dalam mengamati gerak 2 species

manusia dan unggas pada 2 lokasi, setiap species atau sebagai individual dianggap sebagai

partikel yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau 2 dan bergerak pada lokasi 1 dan 2, jika

setiap individual melakukan kontak maupun berinteraksi terhadap individual lain pada

salah satu lokasi atau keduanya maka distribusi dari semua individual yang bergerak akan

dinyatakan sebagai densitas populasi pada masing-masing lokasi.

Koalisi dari 2 virus merupakan proses evolusi genetika yang dikonstruksi dalam

tahapan pengamatan yaitu mengamati transmisi virus influenza H5N1 dan H1N1-p pada

unggas dan manusia melalui kontak dan mengamati transmisi melalui kontak dan interaksi.

Selama proses koalisi setiap individual subpopulasi mengalami perubahan-perubahan yang

digunakan sebagai landasan dalam mengkonstruksi model matematika koalisi, pada

pembahasan berikut ini akan dijelaskan beberapa perubahan individual.

5.1.1 Perubahan individual pada lokasi spasial dan temporal

Perubahan individual populasi pada salah satu lokasi yang disebabkan oleh

mobilitas individual populasi dinyatakan oleh model diffusi yang terdiri dari diffusi lokal

dan diffusi global, seperti yang diberikan pada gambar berikut ini



HARIYANTO

51

Volume kendali pada masing-masing lokasi dipilih berbentuk kubus yang berlaku

sebagai kendali terhadap aliran individual yang bergerak pada lokasi 1, gerakan random

dari individual pada lokasi 1 dapat diamati melalui fluxs pada volume kendali, seperti yang

diberikan pada gambar berikut ini

Jika banyaknya individual yang mengalir pada volume kendali adalah VtxU Δ),( dengan

),( txU jumlah partikel pada posisi x waktu t maka jumlah individual yang berada pada

volume kendali persatuan luas 2)( xΔ persatuan waktu tΔ adalah

32 )(

)(),(),( x

txtxxUtxU

ΔΔΔ

Δ+− 5.1

yang juga disebut sebagai fluxs dari aliran individual.

x

txUtxxUt

xJΔ

−Δ+

Δ

Δ−=

),(),()( 2

atau

x

txUDJ∂

∂−=

),( 5.2

1Ω x

Lokasi 1

2Ω

y

Lokasi 2

Gambar 5.1. Aliran individual bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2

n

),( 1 txxU +

J ),( txU

xΔ Gambar 5.2. Aliran individual pada

volume kendali



HARIYANTO

52

untuk 0→Δx dan t

xDΔ

Δ=

2)( didefinisikan sebagai koefisien diffusi.

Misalkan R⊂Ω1 himpunan tertutup ,1Ω∈x ),( txU fungsi densitas individual

populasi dan )(tUi untuk ni ...2.1= adalah individual populasi yang berpeluang untuk

bergerak pada selang waktu t sampai pada batas ,1Ω jika ip peluang individual populasi

bergerak maka banyaknya individual populasi yang bergerak sampai pada batas 1Ω dapat

dinyatakan dengan∑=

n

iii ptU

1

)( atau disebut fungsi densitas populasi, demikian pula untuk

setiap individual populasi )(tUi yang berpeluang untuk bergerak sepanjang 1Ω∈ix pada

selang waktu t sampai pada batas 1Ω adalah .)(1∑

=

n

iii ptU

Jika individual populasi )(tUi bergerak pada sebarang lintasan Rxi ∈ dan +∈ Rt

maka total individual populasi yang sampai pada batas 1Ω dinyatakan sebagai densitas

populasi =),( txU ,)(1∑

=

n

iii ptU misalkan setiap individual populasi bergerak dengan peluang

sama maka total populasi dapat dinyatakan

∫ ∫Ω Ω

= dxtxUpdxtU ),()(

atau

=)(tU ∫Ω

dxtxU ),( 5.3

dengan .1=∫Ω

pdx

Misalkan terdapat elemen dL pada lokasi 1, individual populasi bergerak didalam maupun

keluar dL sehingga perubahan total populasi pada dL didefinisikan sebagai perubahan

yang disebabkan oleh individual populasi yang keluar, kelahiran dan kematian

+−= )()( tJdt

tdU kelahiran – kematian, 5.4

substitusi persamaan 5.2 dan 5.3 pada persamaan 5.4 diperoleh



HARIYANTO

53

∫∫ ∫ΩΩ

−+−=∂

∂

11

),()(),(),( dxtxUdbOdtxJdxtxUt O

atau

∫∫ ∫ΩΩ

+∂

∂−−=

∂

∂

11

)),(,,(),(),( dxtxUtxFOdx

txUDdxtxUt O

dengan )),(,,( txUtxF menyatakan perubahan yang disebabkan oleh kematian dan

kelahiran. Jika )),(,,( txUtxF menyatakan reaksi biologi yang disebabkan oleh transmisi

virus maka )),(,,( txUtxF dapat dinyatakan sebagai individual subpopulasi susceptible,

terinfeksi,ekspose dan recovery.

Berdasarkan Teorema Divergensi bahwa Odx

txUD∫Ω ∂

∂

1

),( dapat dinyatakan dalam bentuk

∫∫∫Ω

=∂

∂•∇=

Ω ∂

∂

11

)),((),( dxnx

txUDdxdynx

txUD ∫Ω ∂

∂

∂

∂

1

}),()({ dxx

txUxDx

sehingga diperoleh perubahan total individual populasi karena perubahan waktu t

berbentuk:

=∂

∂∫Ω1

),( dxt

txU∫Ω ∂

∂

∂

∂

1

}),()({ dxx

txUxDx

+ ∫Ω1

)),(,,( dxtxUtxF

atau

)).,(,,()),()((),( txUtxFx

txUxDxt

txU+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ 5.5

Bentuk persamaan differensial reaksi-diffusi 5.5 menyatakan gerakan individual pada

lokasi 1 dengan )),()((x

txUxDx ∂

∂

∂

∂ sebagai diffusi lokal dan )),(,,( txUtxF menyatakan

reaksi biologi, diffusi lokal pada lokasi 1 menunjukkan adanya gerakan individual populasi

pada lokasi 1 yang mempunyai distribusi ).,( txU Jika diambil sebarang titik ,1Ω∈ix

ni ...3,2,1= dan individual populasi bergerak dari titik x menuju ketitik 1Ω∈ix maka

akan terdapat fungsi ∑=

Δ−=n

iiiii xxxBxf

1

)()( dengan )( ii xxB − sebagai fungsi densitas



HARIYANTO

54

Kernel atau fungsi bobot yang mempunyai kontribusi sedemikian rupa sehingga individual

dari titik x sampai di titik .ix Total individual populasi yang sampai di titik ix adalah

),( txU i )( ixf atau ),( txU i )( ixf = ∑=

Δ−n

iiiii xxxBtxU

1

)(),(

dan untuk ∞→n diperoleh

∫Ω

−

1

)(),( dxyxBtxU

dalam bentuk Konvolusi dinyatakan dalam bentuk ),)(( txBU • = )),()((x

txUxDx ∂

∂

∂

∂

dengan )(xB sebagai fungsi bobot atau fungsi densitas Kernel.

Gerakan random individual populasi pada sistem merupakan gerakan individual

pada lokasi 1 atau lokasi 2, individual pada lokasi 1 bergerak secara random pada lokasi 2

atau sebaliknya dapat digunakan sebagai interface diantara subsistem-subsistem ( lokasi

sebagai subsistem ). Interaksi individual populasi antara individual pada lokasi 1 dengan

lokasi 2 juga akan memberikan perubahan terhadap distribusi atau densitas individual

populasi pada masing-masing lokasi, oleh karena itu perubahan densitas dari setiap

subsistem atau lokasi merupakan perubahan lokasi spasial yang terdiri dari perubahan lokal

maupun perubahan global ( non lokal ), perubahan lokal dan global dinyatakan oleh

gerakan individual seperti pada gambar berikut ini

Lokasi 1, 1Ω Lokasi 2, 2Ω

)( yxK −

)( xyK −

),(2 txU

1Ω∈x

2Ω∈y

),(1 txU

Gambar 5.3. Gerakan silang dari individual populasi pada masing-masing lokasi.



HARIYANTO

55

Pada gambar 5.3 menunjukkan mobilitas individual populasi yang bergerak dari lokasi 1

menuju lokasi 2 dan sebaliknya dengan asumsi bahwa individual populasi well-mixed pada

setiap lokasi yang menjadi tujuannya artinya individual akan menjadi bagian dari individual

populasi pada lokasi tersebut, demikian pula setiap individual populasi yang bergerak pada

lokasi lain akan kembali pada lokasi semula.

Perhatikan individual populasi yang bergerak dari lokasi 1 menuju lokasi 2, total individual

populasi yang bergerak menuju lokasi 2 adalah ∑=

Δ−n

iiiii xxyBtxU

11 )(),( dengan

)( xyBi − sebagai fungsi bobot yang dinyatakan sebagai fungsi densitas Kernel, untuk

∞→n dapat diperoleh ∫Ω

−

1

1 )(),( dxxyKtxU yang akan menjadi bagian dari individual

populasi lokasi 2, sedangkan total populasi yang bergerak dari lokasi 2 menuju lokasi 1

adalah

∑=

Δ−n

iiii yyxBtyU

12 )(),( = ∑

=

Δ−n

iiii yyxBtyU

12 )(),(

∫Ω

−

2

2 )(),( dyyxKtyU

demikian pula untuk gerakan individual populasi lokasi 2 menuju ke lokasi 1.

Dengan dimikian perubahan yang disebabkan oleh gerakan global dari individual populasi

adalah

=∂

∂

ttyU ),(2 ∫

Ω−

1

1 )(),( dxxyKtxU - .)(),(1

2 ∫Ω

− dyyxKtyU 5.6

=∂

∂

ttxU ),(1 ∫

Ω−

2

2 )(),( dyyxKtyU - ,)(),(2

1 ∫Ω

− dxxyKtxU 5.7

ruas sebelah kanan dari persamaan 5.6 dan 5.7 disebut diffusi global dengan )( yxK − atau

)( xyK − sebagai fungsi densitas Kernel yang mempunyai kontribusi terhadap individual

populasi yang bergerak pada lokasi1 atau 2 maupun bergerak pada kedua lokasi.



HARIYANTO

56

5.1.2 Perubahan individual populasi karena reaksi biologi

Perubahan individual populasi karena reaksi biologi yang berkaitan dengan virulence

virus influenza H5N1 dan H1N1-p adalah perubahan genetik yang disebabkan oleh mutasi,

koalisi dan subtititusi asam amino pada virus influenza H5N1 yang mempunyai pengaruh

sangat besar terhadap perubahan densitas populasi atau terjadi redistribusi pada setiap

lokasi penyebaran. Pada penelitian yang telah dilakukan, penyebaran kedua virus diamati

secara bersamaan pada masing-masing lokasi maupun kedua lokasi ( global ) dengan

asumsi bahwa viirulence virus inflenza H5N1 tinggi dan virus influenza H1N1-p mampu

beradaptasi terhadap manusia, setiap individual populasi yang terinfeksi akan dikatagorikan

dalam dua status yaitu individual terinfeksi dengan kemampuan mentransmisi dan

individual terinfeksi berada pada periode ekspose ( pada penelitian yang telah dilakukan

periode ekspose dianggap tetap ).

Pada pembahasan berikut akan dijelaskan mengenai faktor khusus yang

mempengaruhi perubahan individual populasi antara lain transmisi virus, densitas

individual terinfeksi, densitas individual recovered, evolusi genetika dan subtitusi asam

amino.

Transmisi virus

Transmisi virus melalui kontak maupun interaksi antara individual subpopulasi

susceptible dengan terinfeksi menyebabkan terjadinya perubahan individual dari

susceptible menjadi terinfeksi, transmisi virus H5N1 melalui kontak atau interaksi

menyebabkan perubahan pada individual susceptible, sedangkan pada virus influenza

H1N1-p mengakibatkan perubahan individual menjadi ekspose dan pada akhir periode

ekspose terjadi perubahan individual ekspose menjadi individual terinfeksi yang mampu

mentransmisi virus.

Transmisi virus multistrain multi infeksi akan dijelaskan melalui gambar berikut ini



HARIYANTO

57

Penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p dikonstruksi terdapat kontak dan

interaksi indivdual seperti pada gambar 5.4 yang menjelaskan transmisi virus melalui

kontak individual subpopulasi ),( txS dengan ),,(11 txI individual subpopulasi ),( txS

dengan ),(12 txI dan individual subpopulasi ),(11 txI dengan ),,(12 txI sedangkan interaksi

individual dikonstruksi antara ),(1 txI dengan ),( txS dan ),(2 txI dengan ),( txS sehingga

dari kontak dan interaksi tersebut akan terdapat perubahan individual subpopulasi

susceptible ),( txS menjadi individual subpopulasi terinfeksi ),(11 txI dan ).,(12 txI Jika

),(11 txI merupakan individual subpopulasi terinfeksi H1N1-p dan ),(12 txI individual

subpopulasi terinfeksi H5N1 maka akan terdapat individual co-infeksi dari kedua virus

tersebut.

Transmisi virus dinyatakan sebagai fungsi transmisi dengan menggunakan metode mass

action yaitu transmisi virus yang diformulasikan berdasarkan pada kejadian bilinear

dengan subpulasi berbentuk fungsi densitas, jika γ menyatakan rate transmisi maka

transmisi virus H1N1-p dari individual subpopulasi terinfeksi ),(11 txI ke ),( txS dapat

dinyatakan dalam bentuk ,),( 1111 SIISf γ= demikian pula peluang individual subpopulasi

terinfeksi ),(12 txI akan terinfeksi virus influenza ),(11 txI dengan rate transmisi ν dapat

dinyatakan dengan fungsi transmisi .),( 11121112 IIIIf ν=

),(12 txI

),(11 txI

),( txS

),(2 txI

),(1 txI

ν α

δ

γ

β

Gambar 5.4.Model transmisi virus multistrain multiinfeksi



HARIYANTO

58

Densitas individual terinfeksi

Misalkan terdapat densitas individual terinfeksi pada masing-masing lokasi terdiri

dari individual populasi terinfeksi yang mampu mentransmisi virus dan individual

terinfeksi yang berada pada periode ekspose, kedua densitas tersebut digunakan khusus

pada penyebaran virus yang mempunyai periode ekspose yaitu suatu virus atau penyakit

yang mempunyai waktu tunggu sebelum batas akhir periode ekspose atau sebelum

mempunyai kemampuan untuk dapat mentransmisi virus.

Pembahasan tentang perubahan individual populasi akan dijelaskan dengan Gambar berikut

ini:

Perubahan individual populasi yang disebabkan oleh penyebaran virus influenza

H1N1-p dapat dinyatakan dengan mengikuti aliran dinamis seperti pada Gambar 5.5,

terdapat 3 status individual populasi terhadap virus influenza H1N1-p yaitu individual

subpopulasi susceptible,ekspose dan terinfeksi. Setiap perubahan individual subpopulasi

susceptible menjadi ekspose bergantung pada rate transmisi, demikian pula rate transisi

untuk perubahan dari ekspose menjadi terinfeksi. Masa infeksi sangat bergantung pada

masa inkubasi dari virus tersebut, jika individual mempunyai kekebalan alamiah maka

individual tersebut tetap susceptible, akan tetapi individual tersebut akan berada pada

periode ekspose bila individual tidak mempunyai kekebalan.

Batas awal individual susceptible terinfeksi Masa terjadinya

perubahan genetika

Masa infeksi

Individual populasi

susceptible Periode infeksi Periode Ekspose

Batas akhir individual susceptible dinyatakan terinfeksi

Batas akhir individual terinfeksi pada status ekspose

Batas awal individual terinfeksi mampu mentransmisi virus

t

Gambar 5.5.Infeksi dinamis dari virus influensa H1N1-p



HARIYANTO

59

Perubahan individual dari ekspose ke terinfeksi harus melalui masa perubahan

genetika yaitu suatu keadaan dimana virus mulai aktif untuk mampu transmisi pada

individual lain, virus influenza H1N1-p yang mampu beradaptasi pada manusia mempunyai

periode ekspose yang cukup lama dibandingkan dengan virus influenza H5N1,

Individual populasi recovered

Penelitian yang telah dilakukan tidak membahas yang berkaitan dengan recovered

dan perubahan individual populasi terinfeksi menjadi recovered, dalam hal ini recovered

diasumsikan tetap artinya kekebalan individual setelah melampaui batas periode infeksi

tetap sehingga individual tersebut langsung dikatakan sebagai individual subpopulasi

susceptible.

Subtitusi asam amino

Subtitusi asam amino dilakukan pada individual subpopulasi susceptible dengan

harapan bahwa individual tersebut mempunyai peluang untuk terinfeksi, Individual

subpopulasi susceptible dikonstruksi dalam 2 pengamatan yaitu mengamati individual

populasi yang mempunyai peluang terinfeksi virus influenza H1N1-p dan individual yang

mempunyai peluang terinfeksi virus influenza H5N1. Subtitusi ini dilakukan agar supaya

virus influenza tersebut mampu beradaptasi pada manusia sehingga peluang terjadinya

koalisi diantara kedua virus influenza tersebut sangat besar.

Misalkan a banyaknya asam amino yang disubtitusikan dan )(aτ adalah rate

transmisi yang merupakan fungsi dari asam amino artinya virus influenza H5N1 akan

mengalami mutasi setelah beradaptasi pada manusia sedemikian rupa sehingga

mempengaruhi perubahan transmisi penyebaran. Oleh karena subtitusi dilakukan melalui

densitas individual subpopulasi susceptible maka perubahan terhadap transmisi penyebaran

juga akan mempengaruhi distribusi individual subpopulasi susceptible atau dapat dikatakan

bahwa a merupakan peubah sebarang. Misalkan ),,( taxS fungsi densitas individual



HARIYANTO

60

subpopulasi susceptible maka total individual subpopulasi susceptible yang pernah

terinfeksi virus influensa H5N1 dengan 21 aaa ≤≤ dinyatakan dengan .),,(2

1

∫a

adataxS

Perubahan terhadap subpopulasi susceptible yang disebabkan oleh perubahan

subtitusi asam amino dan perubahan waktu mengakibatkan terjadinya evolusi genetika pada

individual subpopulasi susceptible. Dengan demikian perubahan pada subtitusi asam amino

ekivalen dengan perubahan waktu dinyatakan ta Δ≈Δ untuk ).(taa =

Perhatikan fungsi densitas ),,( taxS = )),(,( ttaxS maka perubahan subpopulasi susceptible

terhadap t dinyatakan dengan

t

ttaxS∂

∂ )),(,( = dtda

aS

tS

∂

∂+

∂

∂ untuk .+∈ Rt

Perhatikan dtda

aS∂

∂ yang bermakna sebagai perubahan subpopulasi susceptible yang

disebabkan oleh subtitusi asam amino sedemikian hingga terjadi evolusi genetika atau

,ta Δ≈Δ jika M adalah rate mutasi maka tMa Δ=Δ atau Mdtda

= untuk .0→Δt

Dengan demikian perubahan pada subpopulasi susceptible dapat dinyatakan

t

ttaxS∂

∂ )),(,( = a

taxSMt

taxS∂

∂+

∂

∂ ),,(),,(

dan perubahan pada subpopulasi susceptible karena perubahan subtitusi asam amino dan

diffusi adalah

ataxSM

ttaxS

∂

∂+

∂

∂ ),,(),,( = diffusi lokal + diffusi global + reaksi biologi 5.8

dengan M sebagai rate mutasi.

Transmisi penyebaran virus influenza H5N1 pada individual subpopulasi

susceptible melalui kontak maupun interaksi individual, reaksi biologi yang terjadi pada

individual subpopulasi susceptible menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi, dengan

demikian redistribusi terhadap individual subpopulasi susceptible yang terjadi sebagai

akibat dari perubahan subtitusi asam amino adalah ).,,()(),( taxSatxI τ Sedangkan



HARIYANTO

61

redistribusi terhadap individual subpopulasi terinfeksi yang terjadi pada lokasi yang sama

sebagai akibat dari perubahan individual subpopulasi susceptible adalah

∫2

1

),,()(),(a

a

dataxSatxI τ 5.9

dengan )(aτ rate transmisi yang bergantung pada banyaknya subtitusi asam amino.

5.1.3 Mengkonstruksi model matematika koalisi

Misalkan 1Ω , 2Ω menyatakan himpunan tertutup terbatas pada lokasi 1 dan lokasi 2

dan 1Ω , R⊂Ω2 dengan 1Ω = [ ]1,0 L , 2Ω = [ ]2,0 L , jika X himpunan dari individual

populasi yang bergerak pada 1Ω dan 2Ω maka reaksi biologi dan gerakan spasial-temporal

menyebabkan terjadinya perubahan distribusi pada masing-masing lokasi.

Konstruksi model matematika dilakukan berdasarkan pada pengamatan terhadap perubahan

distribusi masing-masing lokasi dengan batasan-batasan sebagai berikut:

1. Setiap individual yang bergerak pada lokasi lain dianggap sebagai populasi pada

lokasi tersebut dan akan kembali pada lokasinya semula.

2. Recovery dianggap tetap sehingga setiap individual yang sembuh akan mempunyai

kekebalan tetap.

3. Pergerakan individual populasi terinfeksi dibatasi hanya pada pergerakan lokal

kecuali untuk individual terinfeksi yang berada pada periode Ekspose.

4. Setiap kelahiran pada setiap individual populasi dianggap mempunyai kekebalan

natural yang tidak terinfeksi oleh kedua virus influenza tersebut.

5. Lokasi 1 simetri dengan lokasi 2, oleh karena itu konstruksi model matematika

dapat dilakukan pada lokasi 1 atau lokasi 2.

Model matematika dikonstruksi berdasarkan pada network kontak dari penyebaran

virus influenza H5N1 dan H1N1-p. Konstruksi model mengikuti proses koalisi yang terdiri

dari 3 tahapan pada setiap lokasi yaitu

1. Tahapan pertama, konstruksi model pada tahapan pertama terdiri dari model

matematika penyebaran virus influenza H1N1-p melalui kontakindividual, model

matematika penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas melalui kontak



HARIYANTO

62

individual dan model matematika penyebaran virus H5N1 dari unggas ke manusia

melalui kontak individual. Konstruksi model pada tahapan pertama dilakukan pada

lokasi 1 dan lokasi 2.

2. Tahapan kedua, konstruksi model tahapan kedua sama seperti pada konstruksi

model tahapan pertama. Pada tahapan kedua, transmisi penyebaran virus influenza

dikonstruksi melalui kontak dan interaksi individual, demikian pula dilakukan

pengamatan terhadap transmisi silang antara individual terinfeksi virus influenza

H5N1 dan H1N1-p.

3. Tahapan ketiga, konstruksi model pada tahapan ketiga merupakan pengembangan

dari tahapan kedua yaitu dengan melakukan subtitusi asam amino pada individual

subpopulasi susceptible.

Mengkonstruksi model pada Tahapan Pertama

Pada tahapan pertama, konstruksi model penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p

dibangun berdasarkan pada Gambar 5.6 yaitu penyebaran virus influenza H5N1 melalui

rangkaian kontak individual antara unggas dengan unggas dan unggas dengan manusia,

kontak individual antara manusia dengan manusia pada penyebaran virus influenza H1N1-

p. Konstruski model dimulai dari penyebaran virus influenza H1N1-p melalui kontak

diantara individual subpopulasi manusia susceptible dengan individual subpopulasi

manusia terinfeksi pada lokasi 1.

Domain dari penyebaran virus influenza H1N1-p terdiri dari 3 kondisi individual

terhadap virus yaitu individual subpopulasi susceptible dan ekspose yang bergerak pada

),(11 txmI

),(11 txmS

),(11 txmE

•),(11 txmI

δ

γ

α α

δ

Gambar 5.6.Network kontak individual pada penyebaran Virus H1N1-p lokasi 1



HARIYANTO

63

lokasi 1 dan 2 dan individual subpopulasi terinfeksi yang bergerak pada lokasi 1atau lokasi

2, Jika α menyatakan rate transmisi maka kontak antara ),(11 txI m dengan ),(11 txS m dapat

dinyatakan sebagai fungsi transmisi berbentuk ).,(),()),(),,(( 11111111 txItxStxItxSF mmmm α=

Pada Gambar 5.6, Terdapat 4 perubahan individual populasi yaitu perubahan

individual subpopulasi susceptible menjadi ekspose yang disebabkan oleh transmisi virus,

perubahan individual subpopulasi ekspose menjadi terinfeksi dengan rate infeksi γ dan

perubahan individual subpopulasi terinfeksi dan ekspose menjadi susceptible dengan rate

recovered .δ Perubahan individual subpopulasi dapat dinyatakan pada Tabel berikut ini

Tabel 5.1. Aliran perubahan populasi.terhadap penyebaran virus H1N1-p

),(11 txS m ),(11 txE m ),(11 txI m

Keterangan α : rate transmisi, δ : rate recovered, γ : rate infeksi perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

Garis aliran perubahan Fungsi densitas yang mengalami perubahan

mE11γ+

mE11γ− mE11γ+

mE11γ−

mI11δ−

mE11γ−

mI11δ+

mE11γ+

),(11 txmI

),(11 txmS

),(11 txmE

•),(11 txmI

δ

γ

α α

δ

mE11δ

mmIS 1111α

mE11δ−

mm IS 1111α−



HARIYANTO

64

Berdasarkan pada aliran perubahan individual subpopulasi maka konstruksi model

matematika dapat dinyatakan sebagai berikut:

Perubahan densitas populasi susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi

Perubahan densitas populasi ekspose = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi

Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi 5.10

atau dapat dinyatakan dalam bentuk model sistem sebagai berikut:

mmm

MmmmmmSm

EdxxyKSdyyxKS

bSdSIISxS

Dt

S

112 1

1112

1111111111211

2

1111

1

)()( δ

δα

+−−−

++−+−∂

∂=

∂

∂

∫ ∫Ω Ω

∫ ∫Ω Ω

−−−−

+−−−+∂

∂=

∂

∂

2 1111112

1111111111211

2

1111

)()( mmm

mmmmmmEm

EdxxyKEdyyxKE

bEdEEISxE

Dt

E

δ

γα 5.11

mmmmmIm IbIdIE

xI

Dt

I111111112

112

1111 δγ −−−+

∂

∂=

∂

∂

Kondisi awal

Kondisi awal ditentukan berdasarkan pada penyebaran virus influenza H1N1-p yang

diawali adanya virus yang berada pada manusia, oleh karena itu untuk 0=t terdapat

),0()0,( 01111 SSxS mm == ,)0,( 01111 mm IxI = .)0,( 01111 mm ExE =

Kondisi batas.

Kondisi batas pada model ditentukan oleh individual subpopulasi bergerak pada 1Ω∈x di

lokasi 1 atau 1Ω∈x di lokasi 2, jika ],0[1 L=Ω maka individual subpopulasi pada 0=x

atau Lx = akan terjadi individual subpopulasi maksimum atau minimum, dengan

menggunakan prinsip maksimum atau minimum diperoleh

=∂

∂)0(11

xS m ,0)(11 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(11

xE m =

∂

∂)(11 L

xE m 0, =

∂

∂)0(11

xI m 0)(11 =

∂

∂L

xI m 5.12

sedangkan individual subpopulasi terinfeksi. virus H1N1-p diisolasi di lokasi 1 atau 2

sehingga pada dx = individual subpopulasi terinfeksi minimum atau ,0)(211

2

>∂

∂L

xI m



HARIYANTO

65

kondisi batas tersebut diatas disebut kondisi batas Newmann.

Total populasi pada konstruksi model tahapan pertama ).()()()( 11111111 tItEtStN mmmm ++=

Konstruksi model berikutnya membangun model matematika penyebaran virus

influenza H5N1 melalui kontak individual seperti pada network kontak berikut ini:

Domain dari penyebaran virus influenza H5N1 terdiri dari 4 perubahan subpopulasi

individual yaitu perubahan individual subpopulasi unggas susceptible ),(21 txS U menjadi

terinfeksi, individual subpopulasi manusia susceptible ),(21 txS m menjadi terinfeksi dan

perubahan individual subpopulasi manusia terinfeksi ),(21 txI m menjadi susceptible setelah

recovered. Transmisi penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dinyatakan

),(),()),(),,(( 21212121 txItxStxItxSF UUUU β= dengan β sebagai rate transmisi dan

transmisi penyebaran virus influenza H5N1 pada manusia

),(),()),(),,(( 21212121 txItxStxItxSF UmUm∗= β dengan rate transmisi .∗β

Perubahan densitas individual subpopulasi sebagai akibat dari reaksi biologi dapat

ditunjukkan pada Tabel berikut ini.

Gambar 5.7. Network kontak individual pada penyebaran virus H5N1 lokasi 1

β

δ ),(21 txuI•

),(21 txuS ),(21 txmS

),(21 txmI•

*β *β



HARIYANTO

66

Berdasarkan pada perubahan individual subpopulasi yang terjadi maka konstruksi model


Perubahan densitas populasi unggas susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi

biologi

Tabel 5.2 Aliran perubahan populasi unggas dan manusia terhadap penyebaran virus influenza H5N1 tahapan pertama..

Garis aliran perubahan

Fungsi densitas yang mengalami perubahan

Keterangan α : rate transmisi, δ : rate recovered, γ : rate infeksi β : rate transmisi virus H5N1 dari unggas ke unggas.

∗β : rate transmisi virus H5N1 dari unggas ke manusia perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

),(21 txI U ),(21 txS U ),(21 txI m ),(211 txS m

UU IS 2121β− UU IS 2121β+ Um IS 2121

∗− β

δmI 21− δmI 21+

Um IS 2121∗+ β

β

δ ),(21 txuI•

),(21 txuS ),(21 txmS

),(21 txmI•

*β *β



HARIYANTO

67

Perubahan densitas populasi unggas terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

Perubahan densitas populasi manusia susceptible = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi

biologi 5.13

Perubahan densitas populasi manusia terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

atau dapat dinyatakan dalam bentuk

∫ ∫Ω Ω

−−−

++−−∂

∂=

∂

∂

2 12122

21212121221

2

2121

)()( dxxyKuSdyyxKuS

ubSudSuIuSx

uSD

tuS S β

ubIudIuIuSx

uID

tuI I

21212121221

2

2121 −−+

∂

∂=

∂

∂β

mIdxxyKmSdyyxKmS

mbSmdSuImSx

mSD

tmS S

212 1

2122

21212121221

2

2121

)()(

*

δ

β

+−−−

++−−∂

∂=

∂

∂

∫ ∫Ω Ω

5.14

mImbImdIuImSx

mID

tmI M

2121212121221

2

2121 * δβ −−−+

∂

∂=

∂

∂

kondisi awal dan batas dikonstruksi seperti pada konstruksi model 5.11 yaitu

kondisi awal

),0()0,( 02121 SSxS mm == 02121 )0,( mm IxI =

,)0,( 02121 UU SxS = 02121 )0,( UU IxI = .

kondisi batas Newmann dan dilakukan isolasi terhadap individual subpopulasi terinfeksi

H5N1 pada manusia dan unggas

=∂

∂)0(21

xS m ,0)(21 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(21

xI m ,0)(21 =

∂

∂L

xI m ,0)(2

212

>∂

∂L

xI m 5.15

=∂

∂)0(21

xS U ,0)(21 =

∂

∂L

xS U =

∂

∂)0(21

xI U ,0)(21 =

∂

∂L

xI U ,0)(2

212

>∂

∂L

xI U

dengan total populasi )()()( 212121 tItStN mmm += , ).()()( 212121 tItStN UUU +=

Jika dilakukan pengamatan terhadap penyebaran kedua virus secara bersamaan maka

akan diperoleh model subsistem pada lokasi 1 yaitu model matematika dari penyebaran



HARIYANTO

68

virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak individual tanpa interaksi pada lokasi 1

yang berbentuk:

mImIdxxyKmSdyyxKmS

mbSmdSmImSuImSx

mSSDtmS

11212 1

12

1111121121

2

11

)()(

*

δδ

αβ

++−−−

++−−−∂

∂=

∂

∂

∫ ∫Ω Ω

∫ ∫Ω Ω

−−−−

+−−−+∂

∂=

∂

∂

2 1111112

1111111111211

2

1111

)()( mEdxxyKmEdyyxKmE

mbEmdEmEmImSx

mEEDtmE

δ

γα

mmmmmIm IbIdIE

xI

Dt

I111111112

112

1111 δγ −−−+

∂

∂=

∂

∂

mImbImdIuImSx

mID

tmI M

2121212121221

2

2121 * δβ −−−+

∂

∂=

∂

∂ 5.16

∫∫ΩΩ

−−−

++−−∂

∂=

∂

∂

121

222

21212121221

2

2121

)()( dxxyKSdyyxKS

bSdSISxS

Dt

S

UU

UUUUUSU β

ubIudIuIuSx

uID

tuI I

21212121221

2

2121 −−+

∂

∂=

∂

∂β

dengan kondisi awal

,)0,( 011 σ== mm SxS ,)0,( 01111 mm IxI = ,)0,( 01111 mm ExE = .)0,( 02121 mm IxI =

,)0,( 02121 UU SxS = 02121 )0,( UU IxI =

dan kondisi batas Newmann

=∂

∂)0(1

xS m ,0)(1 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(11

xE m =

∂

∂)(11 L

xE m 0, =

∂

∂)0(11

xI m 0)(11 =

∂

∂L

xI m

=∂

∂)0(21

xI m ,0)(21 =

∂

∂L

xI m 0)(2

212

>∂

∂L

xI m

=∂

∂)0(21

xS U ,0)(21 =

∂

∂L

xS U =

∂

∂)0(21

xI U ,0)(21 =

∂

∂L

xI U 0)(2

212

>∂

∂L

xI U 5.17

dengan total populasi

),()()()()( 21111111 tItItEtStN mmmmm +++= ).()()( 212121 tItStN UUU +=



HARIYANTO

69

Konstruksi model sistem dari penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p pada lokasi 1

dan 2 dalam bentuk umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

jmEjmIjmIk j

dxxyKjmSdyyxKkmS

jmbSjmdSjmIjmSjuIjmSx

jmSSjD

tjmS

112

122

2

)()(

*

δδδ

αβ

+++Ω Ω

−−−

++−−−∂

∂=

∂

∂

∫ ∫

∫ ∫Ω Ω

−−−−

+−−−+∂

∂=

∂

∂

k jjEdxxyKjEdyyxKkE

jbEjdEjEjIjSx

jEjD

tjE

mmm

mmmmm

mEm

111

111112

12

1

1

)()( δ

γα 5.18

mimmUmm

mIIm

jIijbIijdIjIjSjExijI

jDjDtijI

δβγ −−−++∂

∂+=

∂

∂

212

2

21*)(

∫ ∫Ω Ω

−−−

++−−∂

∂=

∂

∂

k jdxxyKjuSdyyxKkuS

jubSjudSjuIjuSx

juSjD

tjuS

S

)()(22

22222

22

2

2β

jubIjudIjuIjuSx

juIjD

tjuI

I22222

22

2

2−−+

∂

∂=

∂

∂β

dengan kondisi awal

,)0,( σ=xjSm

,0)0,( ijmIxijIm

= 0)0,( ijmExijEm

= ,)0,( 02 UUSxjS = 02

)0,( UUIxjI =


=∂

∂)0(

xjSm

=∂

∂)(L

xjSm

=∂

∂)0(2

xjSU ,0)(2

=∂

∂L

xjSU

=∂

∂)0(1

xjEm

=∂

∂)(1 L

xjEm 0 5.19

=∂

∂)0(

xijI

m 0)( =∂

∂L

xijI

m , ,0)(2

2

>∂

∂L

xijI

m=

∂

∂)0(2

xjIU ,0)(2

=∂

∂L

xjIU ,0)(2

22

>∂

∂L

xjIU

dengan total populasi:

),()()()()(211

tjmItjmItjmEtjmStjmN +++= ),()()(222

tjItjStjNUUU

+=

indeks 2,1=i menyatakan penyebaran virus influenza dengan 1=i untuk virus influenza

H1N1-p dan 2=i untuk virus influenza H5N1, indeks 2,1=j menyatakan lokasi dengan



HARIYANTO

70

1=j untuk lokasi 1 dan 2=j untuk lokasi 2,.indeks m menyatakan penyebaran virus

influenza pada manusia, indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada

unggas dan untuk .indeks k = 1 jika 2=j dan k = 2 jika 1=j menyatakan diffusi

global.

Mengkonstruksi model pada Tahapan kedua

Konstruksi model pada tahapan kedua merupakan pengembangan dari model

tahapan pertama. Transmisi penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p diamati melalui kontak

dan interaksi individual susceptible dengan terinfeksi, demikian pula untuk transmisi silang

antara individual terinfeksi H5N1 dengan individual terinfeksi H1N1-p.

Konstruksi transmisi dinyatakan dalam network kontak berikut ini

Pada Gambar 5.8, konstruksi model pada tahapan kedua menunjukkan transmisi

penyebaran virus influenza H1N1-p melalui interaksi individual yang dikonstruksi

mempunyai rate transmisi > rate transmisi melalui kontak individual sehingga ekspetasi

terhadap densitas subpopulasi terinfeksi ),(11 txI m sangat besar.Dengan demikian transmisi

silang virus influenza H1N1-p melalui ),(11 txI m terhadap ),(21 txI m mempunyai peluang

yang sangat besar terjadinya ).,(inf txIco−

δ

1ρ

γ

α

1e

α

1ρ

δ

),(11 txmI

),(21 txmI

),(11 txmI

),(11 txmI

),(11 txmS

( )txIco ,inf•

),(11 txmE

δ

Gambar 5.8. Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran virus H1N1-p lokasi 1



HARIYANTO

71

Perubahan densitas subpopulasi sebagai akibat reaksi biologi ditunjukkan pada Tabel

berikut ini.

Garis aliran perubahan Fungsi densitas yang mengalami perubahan

),(11 txE m

),(11 txS m

mm IS 1111α+

mm ISe 11111− mm ISe 11111+

mm IS 1111α−

),(11 txmI

),(11 txmI

α

),(11 txI m δ

1e

),(11 txmS

),(11 txE m ),(11 txI m ),(11 txS m ),( txI ifnco−

Keterangan α : rate transmisi kontak, 1e : rate transmisi interaksi, δ : rate recovered γ : rate infeksi, 1ρ : rate transmisi perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

mI11δ−

inf0−− cIδ

mI11δ+

inf0−+ cIδ

mE11γ+ mE11γ−

mI 21

1ρ mE11

•mS11 infcoI• γ

δ

mI11

δ

Tabel 5.3 Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran virus influenza H1N1 tahapan kedua..



HARIYANTO

72

Berdasarkan pada aliran perubahan individual subpopulasi maka konstruksi model



Perubahan densitas populasi ekspose = Diffusi lokal + Diffusi global + reaksi biologi

Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi 5.20

Perubahan densitas populasi co-infeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi


inf01

111111

21211111111111112

112

1111

)(

)(

−

Ω

Ω

+++−

−−++−−−∂

∂=

∂

∂

∫

∫

cmmm

mmmmmmmmSm

IEIdxxyKS

dyyxKSbSdSISeISxS

Dt

S

δδδ

α

∫∫ΩΩ

−−−−+

−−−++∂

∂=

∂

∂

11111

21211

1111111111111211

2

1111

)()( mmmm

mmmmmmmEm

EdxxyKEdyyxKEbE

dEEISeISxE

Dt

E

δ

γα 5.21

mmmmmIm IbIdIE

xI

Dt

I111111112

112

1111 δγ −−−+

∂

∂=

∂

∂

infinfinf112112inf

2

inf0inf

−−−−

−− −−−+

∂

∂=

∂

∂cococomm

coIc

co IbIdIIIx

ID

tI

δρ

dengan kondisi awal

,)0,( 01111 σ== mm SxS ,)0,( 01111 mm IxI = ,)0,( 01111 mm ExE = ,0)0,(inf =− xIco

kondisi batas Newmann

=∂

∂)0(11

xS m ,0)(11 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(11

xE m =

∂

∂)(11 L

xE m 0, =

∂

∂)0(11

xI m 0)(11 =

∂

∂L

xI m

,0)(211

2

>∂

∂L

xI m =

∂

∂ − )0(inf0

xI c ,0)(inf0 =

∂

∂ − Lx

Ic 0)(inf0 >∂

∂ − Lx

Ic 5.22

dan total populasi ).()()()()( inf11111111 tItItEtStN commmm −+++=

Pada langkah berikutnya melakukan konstruksi model pada penyebaran virus influenza

H5N1 yang dapat diamati pada aliran kontak dan interaksi pada gambar berikut ini:



HARIYANTO

73

Pada gambar 5.9, transmisi penyebaran virus influenza H5N1 melalui interaksi dikonstruksi

sama seperti pada penyebaran virus influenza H1N1-p dengan rate transmisi > rate

transmisi melalui kontak. Perubahan densitas subpopulasi yang terjadi sebagai akibat reaksi

biologi ditunjukkan pada tabel berikut ini

Tabel 5.4a. Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran .virus H5N1 tahapan kedua

),(21 txmI ),(11 txmI

),(21 txuI

),(21 txmS ),(inf txIco•

),(21 txuI

1ρ

δ

2e

*β δ

1ρ

Gambar 5.9. Network kontak dan interaksi individual pada penyebaran Virus H5N1 lokasi 1

mI 21δ− mI 21δ+

UmISe 21212−

Um IS 2121∗+ β

UmISe 21212+

Um IS 2121∗− β

•

),(21 txmI

),(21 txuI

),(21 txmS

),(21 txuI

δ

2e *β

),(21 txS m

Fungsi densitas yang mengalami perubahan Garis aliran perubahan

),(21 txI m

),( txI ifnco−



HARIYANTO

74

Berdasarkan garis aliran perubahan pada tabel 5.4.a dan 5.4.b maka konstruksi model



Perubahan densitas populasi terinfeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi

Perubahan densitas populasi co-infeksi = Diffusi lokal + reaksi biologi 5.23


Tabel 5.4b. Aliran perubahan populasi manusia terhadap penyebaran virus.H5N1 tahapan kedua

Keterangan δ : rate recovered, ∗β : rate transmisi kontak, 1e : rate transmisi interaksi, 1ρ : rate transmisi perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadinya pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

mm II 11211ρ+

inf0−− cIδ mmII 11211ρ− inf−+ coIδ

mmII 21111ρ−

mmII 21111ρ+

•mS21

mI11

mI 21 1ρ

inf−• coI δ

),(21 txS m


),(21 txI m

),( txI ifnco−



HARIYANTO

75

inf211

212

2221

21212122121221

2

2121

)()(

*

−

ΩΩ

++−−−+

+−−−∂

∂=

∂

∂

∫∫ comm

mUM

ImIdxxyKSdyyxKSmbS

mdSSIeuImSx

mSD

tmS

δδ

β

mImbImdI

IISIeuImSx

mID

tmI

mmmUm

212121

21111212122121221

2

2121 *

δ

ρβ

−−

−−++∂

∂=

∂

∂ 5.24

infinfinf11211211112inf

2inf0

21inf

−−−−−− −−−++

∂

∂=

∂

∂cococommmm

cocco IbIdIIIIIx

ID

tI

δρρ

dengan kondisi awal

,)0,( 02121 σ== mm SxS ,)0,( 02121 mm IxI = 0)0,(inf =− xIco

kondisi batas Newmann

=∂

∂)0(21

xS m ,0)(21 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(21

xI m 0)(21 =

∂

∂L

xI m ,0)(2

212

>∂

∂L

xI m

=∂

∂ − )0(inf

xIco ,0)(inf =

∂

∂ − Lx

Ico 0)(inf >∂

∂ − Lx

Ico

dengan total populasi ).()()()( inf212121 tItItStN commm −++=

Jika pada lokasi 1 diamati secara bersamaan terhadap penyebaran dari kedua virus tersebut

maka akan diperoleh model subsistem berbentuk konstruksi model matematika dari

penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p melalui kontak dan interaksi sebagai

berikut:

inf1111211

12

211

1212111121111121

2

11

)()(

*

−

ΩΩ

++++−−−++

−−−−−∂

∂=

∂

∂

∫∫ commmm

mUmmmmS

IEImIdxxyKSdyyxKSmbSmdS

SIeSIeuImSISx

mSD

tmS

δδδδ

βα

∫

∫

Ω

Ω

−−

−−+−−−++∂

∂=

∂

∂

11111

21211111111111112

112

1111

)(

)(

mm

mmmmmmmmmEm

EdxxyKE

dyyxKEbEdEEISeISxE

Dt

E

δ

γα

mmmmmIm IbIdIE

xI

Dt

I111111112

112

1111 δγ −−−+

∂

∂=

∂

∂ 5.25



HARIYANTO

76

mImbImsdI

IIIISIeuImSx

mID

tmI

mmmmmUI

212121

11211211111212211221

2

2121 *

δ

ρρβ

−−

−−−++∂

∂=

∂

∂

infinfinf11211211112inf

2inf

21inf

−−−−− −−−++

∂

∂=

∂

∂cococommmm

cococo IbIdIIIIIx

ID

tI

δρρ

dengan kondisi awal

,)0,( 011 σ== mm SxS ,)0,( 01111 mm IxI = ,)0,( 01111 mm ExE = 0)0,(inf =− xIco

,)0,( 02121 σ== mm SxS 02121 )0,( mm IxI =


=∂

∂)0(1

xS m ,0)(1 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(11

xE m =

∂

∂)(11 L

xE m 0, =

∂

∂)0(11

xI m 0)(11 =

∂

∂L

xI m

,0)(211

2

>∂

∂L

xI m =

∂

∂ − )0(inf0

xI c ,0)(inf0 =

∂

∂ − Lx

Ic 0)(inf0 >∂

∂ − Lx

Ic 5.26

=∂

∂)0(21

xI m 0)(21 =

∂

∂L

xI m 0)(2

212

>∂

∂L

xI m

dengan total populasi ).()()()()()( inf21111111 tItItItEtStN commmmm −++++=

Bentuk umum dari model matematika penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p

melalui kontak dan interaksi diantara individual subpopulasi pada lokasi 1 dan 2 adalah

jcojmjmjjmkmjj

jjn

njmjmn

njS

jj


uImSISx

mSD

tmS

inf11212

2

2

11

2

12

2

)()( −

ΩΩ

=

∗

=

++++−−−++

−−−∂

∂=

∂

∂

∫∫

∑∑

δδδδ

βα

∫∫∑∑ΩΩ==

−−−+−+∂

∂=

∂

∂

11

211

4

11

2

121

2

11 )()( dxxyKEdyyxKEEdIS

xE

Dt

Ejmkmjm

nnjmjm

nn

jmEj

jm α

jmn

njmjmI

jjm IdE

xI

Dt

I1

3

112

12

11 ∑

=

−+∂

∂=

∂

∂γ 5.27

mIdIIIIuImSx

mID

tmI

jn

njmjmjmjmjjn

njI

jj

2

3

11212112

2

12

22

22 ∑∑

==

∗ −−−+∂

∂=

∂

∂ρρβ

inf

3

11212112

inf2

infinf

−=

−−

− ∑−++∂

∂=

∂

∂co

nnjmjmjmjm

cojco

co IdIIIIx

ID

tI

ρρ



HARIYANTO

77

dengan kondisi awal

,)0,( 0ijmijm IxI = ,)0,( 011 jmjm ExE = ,0)0,(inf =− xIco σ== 0)0,( ijmijm SxS


=∂

∂)0(

xS jm ,0)( =

∂

∂L

xS jm =

∂

∂)0(1

xE jm =

∂

∂)(1 L

xE jm 0, =

∂

∂)0(

xI ijm 0)( =

∂

∂L

xIijm

,0)(2

2

>∂

∂L

xIijm =

∂

∂ − )0(inf

xIco 0)(inf =

∂

∂ − Lx

Ico 5.28

dengan total populasi ),()()()()()( inf211 tItItItEtStN cojmjmjmjmjm −++++=


H1N1-p dan 2=i untuk virus influenza H5N1, indek. 2,1=j menyatakan lokasi dengan

1=j untuk lokasi 1 dan 2=j untuk lokasi 2, indeks m menyatakan penyebaran virus


unggas dan .untuk indek k = 1 jika 2=j dan k = 2 jika 1=j yang menyatakan

pergerakan individual pada lokasi 1 atau 2.

Mengkonstruksi model pada Tahapan ketiga

Pada tahapan ketiga, virus influenza H5N1 dikonstruksi untuk mampu beradaptasi

pada manusia. melalui subtitusi asam amino. Oleh karena substitusi asam amino dilakukan

pada individual subpopulasi susceptible maka perubahan densitas subpopulasi susceptible

bergantung pada banyaknya asam amino. Transmisi silang dari kedua virus secara

significan menghasilkan co-infeksi, evolusi genetika pada ),(inf txIco− diharapkan muncul

virus dengan strain baru.

Network kontak dan interaksi dari konstruksi model tahapan ketiga ditunjukkan pada

Gambar berikut ini



HARIYANTO

78

Aliran individual melakukan kontak dan interaksi digunakan sebagai landasan

untuk mengkonstruksi model matematika. Fokus pengamatan ditujukan kejadian yang

sangat penting dalam menentukan adanya transisi atau perubahan yang terjadi pada

individual subpopulasi co-infeksi yaitu kontak dan interaksi antara individual subpopulasi

terinfeksi ),(11 txI m dan ),(21 txI U terhadap individual subpopulasi susceptible

),,(1 txS m dengan subtitusi asam amino dan transmisi silang antara ),(11 txI m dan

).,(21 txI m akan diperoleh individual subpopulasi terinfeksi ).,(inf txIco−

Perubahan densitas subpopulasi dapat dinyatakan pada tabel berikut ini.

),(inf txIco− 1e

),( txJ•

),(21 txI U

),(11 txI m

),(11 txI m

),(11 txS m

),(11 txI m •

),(11 txE m

),(21 txI m

),(11 txI m

),(21 txI m

),(21 txI U

2e

f

n

m

k α

δ

δ

δ

δ

δ

∗β

1ρ

γ

1ρ

Gambar 5.10. Network kontak,interaksi individual pada penyebaran Virus H1N1-p dan H5N1 serta subtitusi asam amino pada H5N1 di lokasi 1.



HARIYANTO

79

Keterangan :δ :rate recovered, 1,,,, ρfnmk rate transmisi, γ rate perubahan, a banyaknya asam amino,. perubahan atau transisi dari individual populasi menyebabkan terjadi pengurangan total populasi dari individual awal sehingga diberi tanda (-) dan akan terjadi pertambahan pada total populasi dari perubahan individual akhir dan diberi tanda (+).

inf−coIδ

JfS m1−

mI11δ−

JkI m11−

Jδ

mE11γ

mE11γ−

mI 21δ

mI11δ

),(11 txI m

),(11 txE m

),(1 txS m

),( txJ

),(21 txI m ),(inf txIco−


JmI m21−

mm II 11211ρ

JkI m11

mI 21δ−

inf−− coIδ

JmI m21

mm II 21111ρ−

mmII 21111ρ

mmII 11211ρ−

Jδ−

inf−− conI JfS m1

inf−conI

mI11

inf−coI

k

δ

f

γ 1ρ

δ

δ

n

m

δ

J

mE11 mI11

mS1

mI 21

mI 21 1ρ

Tabel 5.5a Aliran perubahan populasi manusia.terhadap penyebaran virus H5N1 dan H1N1 tahap ketiga



HARIYANTO

80

Dengan demikian konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H5N1 dan

H1N1 dengan subtitusi asam amino dapat dinyatakan dalam bentuk

JI

EImIdxxyKSdyyxKSmbSmdSIS

JfSISeSIaeuImSax

mSD

aMS

tS

co

mmmmmm

mmmmUSmm

δδ

δδδα

β

+

++++−−−++−

−−−−−∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

−

ΩΩ∫∫

inf

1111211

12

211111

11111121221121

2

111

)()(

)()(*

∫

∫

Ω

Ω

−−

−−+−−−++∂

∂=

∂

∂

11111

21211111111111112

112

1111

)(

)(

mm

mmmmmmmmmEm

EdxxyKE

dyyxKEbEdEEISeISxE

Dt

E

δ

γα

mmmmmmIm IbIdIJkIE

xI

Dt

I11111111112

112

1111 δγ −−−−+

∂

∂=

∂

∂ 5.29

),(11 txE m

),(1 txS m

),(21 txI m


mI 21δ−

UmISae 2112 )(−

daSaI mU 11

21 )(∫Ω

∗β mm IS 111α

mmIS 111α−

daSaeI mU 11

221 )(∫Ω

mmISe 1111 mmISe 1111−

mI 21δ

mE11δ

mS1

mE11 mI11

mI 21

mI11

uI 21 uI 21

1e

α

1e

*β δ

δ

Tabel 5.5b. Aliran perubahan populasi manusia.terhadap penyebaran virus H5N1 dan H1N1 tahap ketiga



HARIYANTO

81

mmmmm

mmmmUmUmIm

IbIdIII

IIJmIdaSaeIdaSaIxI

Dt

I

21212111211

1 1211112112211212

212

2121 )()(

δρ

ρβ

−−−

−−−++∂

∂=

∂

∂∫ ∫Ω Ω

∗

infinfinfinf21111112112inf

2

inf0inf

−−−−−

−− −−−−++

∂

∂=

∂

∂cocococommmm

coIc

co IbIdInIIIIIx

ID

tI

δρρ

bJdJJJfSnIJmIJkIxJD

tJ

mcommJ −−−++++∂

∂=

∂

∂− δ1inf21112

2

1

dengan kondisi awal


,)0,( 02121 σ== mm SxS ,)0,( 02121 mm IxI = 0)0,( =xJ


=∂

∂)0(1

xS m ,0)(1 =

∂

∂L

xS m =

∂

∂)0(11

xE m =

∂

∂)(11 L

xE m 0, =

∂

∂)0(11

xI m 0)(11 =

∂

∂L

xI m

,0)(211

2

>∂

∂L

xI m =

∂

∂ − )0(inf0

xI c ,0)(inf0 =

∂

∂ − Lx

Ic 0)(2inf0

2

>∂

∂ − Lx

Ic 5.30

=∂

∂)0(21

xI m 0)(21 =

∂

∂L

xI m ,0)(2

212

>∂

∂L

xI m =

∂

∂ )0(xJ 0)( =

∂

∂ LxJ 0)(2

2

>∂

∂ LxJ

dengan total populasi ).()()()()()()( inf21111111 tJtItItItEtStN commmmm +++++= −

Bentuk umum dari konstruksi model matematika koalisi antara virus influenza H1N1-p dan

H5N1 dengan subtitusi asam amino pada lokasi 1 atau 2 adalah

JIEImIdxxyKSdyyxKSmbS

mdSISJfSuImSax

mSD

aMS

tS

cojmjmjj

jmk

kmj

jjmjmn

njmjjn

njS

jjmjm

δδδδδ

αβ

+++++−−−+

+−−−−∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

−

ΩΩ

==

∗

∫∫

∑∑

inf112

1

2

12

2

12

2

)()(

)(

∫

∫∑∑

Ω

Ω==

−

−−+−−+∂

∂=

∂

∂

jjm

kkmjm

nnjmjmjm

nn

jmEj

jm

dxxyKE

dyyxKEEdEISxE

Dt

E

)(

)(

1

11

3

111

2

121

2

11 γα

∑=

−−+∂

∂=

∂

∂ 3

11112

12

11

njmnjmjm

jmIj

jm IdJkIExI

Dt

Iγ 5.31



HARIYANTO

82

jmn

njmjm

j jjmjmjmjmjUjmjU

jmIj

jm

IdII

IIJmIdaSaeIdaSaIxI

Dt

I

2

3

1121

211222222

2

22 )()(

∑

∫ ∫

=

Ω Ω

∗

−

−−−++∂

∂=

∂

∂

ρ

ρβ

∑=

−−−− −−++

∂

∂=

∂

∂ 3

1infinf211212

inf2

infinf )(

nconcojmjmjmjm

cojco

co IdnIIIIIx

ID

tI

ρ

jn

njjmcojjmjjmjJ

jj JdJfSnIJmIJkI

xJ

Dt

J∑

=− −++++

∂

∂=

∂

∂ 3

1inf212

2

dengan kondisi awal


,)0,( 02121 σ== mm SxS ,)0,( 02121 mm IxI = 0)0,( =xJ


=∂

∂)0(

xS jm ,0)( =

∂

∂L

xS jm =

∂

∂)0(1

xE jm =

∂

∂)(1 L

xE jm 0, =

∂

∂)0(

xI ijm 0)( =

∂

∂L

xIijm

,0)(2

2

>∂

∂L

xIijm =

∂

∂ − )0(inf

xIco ,0)(inf =

∂

∂ − Lx

Ico 0)(2inf

2

>∂

∂ − Lx

Ico 5.32

=∂

∂)0(

xJ j 0)( =

∂

∂L

xJ j 0)(2

2

>∂

∂L

xJ j

dengan total populasi ),()()()()()()( inf211 tJtItItItEtStN jcojmjmjmjmjm +++++= −


H1N1-p dan 2=i untuk virus influenza H5N1. 2,1=j menyatakan lokasi dengan 1=j

untuk lokasi 1 dan 2=j untuk lokasi 2.sedangkan indeks m menyatakan penyebaran virus

influenza pada manusia dan indeks u menyatakan penyebaran virus influenza H5N1 pada

unggas..Untuk indeks k = 1 jika 2=j dan k = 2 jika 1=j yang menyatakan pergerakan

individual pada lokasi 1 atau 2.

Dengan demikian konstruksi sistem dari model matematika koalisi antara virus influenza

H5N1 dan H1N1-p terdiri dari

Model tahapan pertama sebagai subsistem pertama dari penyebaran H5N1 dan H1N1-p

adalah



HARIYANTO

83

jmEjmIjmIk j

dxxyKjmSdyyxKkmS

jmbSjmdSjmIjmSjuIjmSx

jmSSjD

tjmS

112

122

2

)()(

*

δδδ

αβ

+++Ω Ω

−−−

++−−−∂

∂=

∂

∂

∫ ∫

∫ ∫Ω Ω

−−−−

+−−−+∂

∂=

∂

∂

k jjEdxxyKjEdyyxKkE

jbEjdEjEjIjSx

jEjD

tjE

mmm

mmmmm

mEm

111

111112

12

1

1

)()( δ

γα 5.33

mimmUmm

mIIm

jIijbIijdIjIjSjExijI

jDjDtijI

δβγ −−−++∂

∂+=

∂

∂

212

2

21*)(

∫ ∫Ω Ω

−−−

++−−∂

∂=

∂

∂

k jdxxyKjuSdyyxKkuS

jubSjudSjuIjuSx

juSjD

tjuS

S

)()(22

22222

22

2

2β

jubIjudIjuIjuSx

juIjD

tjuI

I22222

22

2

2−−+

∂

∂=

∂

∂β

dengan kondisi awal

,)0,( 0 σ== jmmSxjS ,0)0,( ijmIxijI

m= ,0)0,( ijmExijE

m= ,)0,( 022 jUU

SxjS =

022)0,( jUU

IxjI =


=∂

∂)0(

xjSm

=∂

∂)(L

xjSm

=∂

∂)0(2

xjSU ,0)(2

=∂

∂L

xjSU

=∂

∂)0(1

xjEm

=∂

∂)(1 L

xjEm 0

=∂

∂)0(

xijI

m 0)( =∂

∂L

xijI

m , ,0)(2

2

>∂

∂L

xijI

m=

∂

∂)0(2

xjIU ,0)(2

=∂

∂L

xjIU 0)(2

22

>∂

∂L

xjIU

dengan total populasi

),()()()()(211

tjmItjmItjmEtjmStjmN +++= ).()()(222

tjItjStjNUUU

+=



HARIYANTO

84

Model tahapan kedua sebagai subsistem kedua merupakan kelanjutan dari model tahapan

pertama sampai munculnya subpopulasi co-infeksi dengan jUI 2 dan JmI1 sebagai interface

adalah

jcojmjmjjmkmjj

jjn

njmjmn

njS

jj


uImSISx

mSD

tmS

inf11212

2

2

11

2

12

2

)()( −

ΩΩ

=

∗

=

++++−−−++

−−−∂

∂=

∂

∂

∫∫

∑∑

δδδδ

βα

∫∫∑∑ΩΩ==

−−−+−+∂

∂=

∂

∂

11

211

4

11

2

121

2

11 )()( dxxyKEdyyxKEEdIS

xE

Dt

Ejmkmjm

nnjmjm

nn

jmEj

jm α

jmn

njmjmI

jjm IdE

xI

Dt

I1

3

112

12

11 ∑

=

−+∂

∂=

∂

∂γ 5.34

mIdIIIIuImSx

mID

tmI

jn

njmjmjmjmjjn

njI

jj

2

3

11212112

2

12

22

22 ∑∑

==

∗ −−−+∂

∂=

∂

∂ρρβ

inf

3

11212112

inf2

infinf

−=

−−

− ∑−++∂

∂=

∂

∂co

nnjmjmjmjm

cojco

co IdIIIIx

ID

tI

ρρ

dengan kondisi awal

,)0,( 0ijmijm IxI = ,)0,( 011 jmjm ExE = ,0)0,(inf =xI jco 0)0,( ijmijm SxS =


=∂

∂)0(

xS jm ,0)( =

∂

∂L

xS jm =

∂

∂)0(1

xE jm =

∂

∂)(1 L

xE jm 0, =

∂

∂)0(

xI ijm 0)( =

∂

∂L

xIijm

,0)(2

2

>∂

∂L

xIijm =

∂

∂ − )0(inf

xIco 0)(inf =

∂

∂ − Lx

Ico

dengan total populasi ).()()()()()( inf211 tItItItEtStN cojmjmjmjmjm −++++=

Model tahapan ketiga sebagai subsistem terakhir dari rangakian proses koalisi sampai

munculnya virus dengan strain baru atau disebut super strain adalah



HARIYANTO

85

JIEImIdxxyKSdyyxKSmbS

mdSISJfSuImSax

mSD

aMS

tS

cojmjmjj

jmk

kmj

jjmjmn

njmjjn

njS

jjmjm

δδδδδ

αβ

+++++−−−+

+−−−−∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

−

ΩΩ

==

∗

∫∫

∑∑

inf112

1

2

12

2

12

2

)()(

)(

∫

∫∑∑

Ω

Ω==

−

−−+−−+∂

∂=

∂

∂

jjm

kkmjm

nnjmjmjm

nn

jmEj

jm

dxxyKE

dyyxKEEdEISxE

Dt

E

)(

)(

1

11

3

111

2

121

2

11 γα

∑=

−−+∂

∂=

∂

∂ 3

11112

12

11

njmnjmjm

jmIj

jm IdJkIExI

Dt

Iγ 5.35

jmn

njmjm

j jjmjmjmjmjUjmjU

jmIj

jm

IdII

IIJmIdaSaeIdaSaIxI

Dt

I

2

3

1121

211222222

2

22 )()(

∑

∫ ∫

=

Ω Ω

∗

−

−−−++∂

∂=

∂

∂

ρ

ρβ

∑=

−−−− −−++

∂

∂=

∂

∂ 3

1infinf211212

inf2

infinf )(

nconcojmjmjmjm

cojco

co IdnIIIIIx

ID

tI

ρ

jn

njjmj

cojjmjjmjJ

jj JdJfSnIJmIJkI

xJ

Dt

J∑

=

−++++∂

∂=

∂

∂ 3

1inf212

2

dengan kondisi awal


,)0,( 02121 σ== mm SxS ,)0,( 02121 mm IxI = 0)0,( =xJ


=∂

∂)0(

xS jm ,0)( =

∂

∂L

xS jm =

∂

∂)0(1

xE jm =

∂

∂)(1 L

xE jm 0, =

∂

∂)0(

xI ijm 0)( =

∂

∂L

xIijm

,0)(2

2

>∂

∂L

xIijm =

∂

∂ − )0(inf

xIco ,0)(inf =

∂

∂ − Lx

Ico 0)(2inf

2

>∂

∂ − Lx

Ico

=∂

∂)0(

xJ j 0)( =

∂

∂L

xJ j 0)(2

2

>∂

∂L

xJ j

dengan total populasi ),()()()()()()( inf211 tJtItItItEtStN jcojmjmjmjmjm +++++= −



HARIYANTO

86


H1N1-p dan 2=i untuk virus influenza H5N1, indeks 2,1=j menyatakan lokasi dengan

1=j untuk lokasi 1 dan 2=j untuk lokasi 2, indeks m menyatakan penyebaran virus


unggas dan untuk indeks k = 1 jika 2=j dan k = 2 jika 1=j yang menyatakan

pergerakan individual pada lokasi 1 atau 2.

5.1.4. Reduksi konstruksi model matematika koalisi berdasarkan pada

perubahan/transisi subpopulasi

Konstrukai model dapat direduksi melalui perubahan individual subpopulasi yang

disebabkan oleh transmisi virus dan recovery, seperti pada gambar 5.5, reduksi model pada

penyebaran virus influenza H1N1-p dilakukan dengan mengamati perubahan individual

pada masa infeksi dan masa perubahan genetika, sedangkan reduksi pada penyebaran virus

influenza H5N1 dilakukan dengan mengamati pada masa infeksi.

Terdapat beberapa indikator yang berkaitan dengan evolusi genetika pada individual

populasi yaitu

1. Transmisi virus :

Fungsi transmsisi virus influenza H1N1-p berbentuk ,),( 111111 mmmm SIISF α= pada

saat awal penyebaran terjadi proses reaksi antara phatogen dan antigen sampai

menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi, misalkan τ=t sebagai waktu tetap

yang menunjukkan adanya perubahan maka untuk τ>t terjadi transisi individual

,11111 mmm ESI →α proses tersebut berjalan terus sesuai dengan lama waktu

penyebaran sehingga terdapat sebarang τ=t sedemikian hingga +∈∀ Rt akan

terdapat individual subpopulasi susceptible yang terinfeksi atau terdapat individual

baru terinfeksi H1N1-p. Dengan demikian mmSI 111α untuk +∈∀ Rt mempunyai 2

bentuk perubahan yaitu mmm rSSI 1111 =α yang bermakna individual subpopulasi

susceptible pada masa awal terinfeksi dengan r sebagai rate transisi dan

mmm kESI 11111 =α sebagai individual baru terinfeksi dengan k sebagai rate



HARIYANTO

87

perubahan, perubahan/transisi dari setiap individual pada subpopulasi dinyatakan

pada tabel berikut ini

Tabel 5,6a. Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus

1h

mmU ShSIe 111212 →

2e mU SIe 1212

2h

mmU IhSIe 2121212 →

mU SIe 1212

2e

m mUm mSIS 1211 →∗β

Um IS 211

∗β

∗β

Jenis virus

Fungsi transmisi

Parameter lama

Model perubahan/transisi Parameter baru

H1N1-p manusia

1f mmm SfSIe 111111 →

1e mmSIe 1111

r mmm rSSI 1111 →α α mm IS 111α

k mmm kESI 11111 →α mm IS 111α α

2f

mmm EfSIe 1121111 →

mmSIe 1111

1e

H5N1 manusia

p mUm pIIS 21211 →∗β ∗β

Um IS 211

∗β

4h JkI m11 → mIh 113 JkI m11 k

1m JmI m21 → mIm 211 m JmI m21

Super-strain



HARIYANTO

88

2. Recovery

Setiap individual subpopulasi pada konstruksi model terdapat perubahan yang

disebabkan oleh recovery dan recovery tetap pada konstruksi model dipandang

sebagai kekebalan tetap sehingga setiap individual yang sembuh menjadi individual

susceptible.

Perubahan atau transisi individual subpopulasi karena recovery dinyatakan pada

tabel berikut ini.

Tabel 5.6b. Perubahan/transisi subpopulasi karena transmisi virus

Model perubahan/transisi Parameter baru

Parameter lama

Fungsi transmisi

Jenis virus

H5N1 &

H1N1-p manusia

inf111211 −→ comm IwIIρ

1ρ

mmm IwII 21211211 →ρ

mm II 11211ρ

mm II 11211ρ 1w 1ρ

1ρ

1ρ

2w

inf121111 −→ comm IwIIρ

mmII 21111ρ mmm IwII 21221111 →ρ 2w

mmII 21111ρ 1w

JkI m11 k 3h JkI m11 → mIh 113

Super-strain

3f JfS m1 → mSf 13 JfS m1 f

JfS m1 → Jf 4 4f

JfS m1 f

2m JmI jm2 → Jm2 JmI jm2 m



HARIYANTO

89

3. Kemampuan melakukan transmisi

Kemampuan individual subpopulasi melakukan transmisi virus influenza H1N1-p

setelah melampaui batas periode ekspose dan berada pada masa perubahan genetika.

Perubahan atau transisi individual dinyatakan pada tabel berikut ini.

Tabel 5.7 Perubahan/transisi subpopulasi karena recovery

δ mI11δ

v mm vII 1111 →δ

Parameter lama

Jenis virus

Parameter baru

Model perubahan/transisi Populasi recovery

1q mm SqI 1111 →δ

H1N1-p

δ mI11δ

2q mm SqE 1211 →δ mE11δ

δ

n mm nEE 1111 →δ mE11δ

δ

mm uII 2121 →δ

o mm oSI 121 →δ

δ u mI 21δ

H5N1

mI 21δ

δ

infinf −− → coco cIIδ

mco wSI 1inf →−δ H5N1 & H1N1-p

δ w inf−coIδ

c inf−coIδ δ

q

Super-strain 3q

Jδ → qJ

Jδ → mSq 13 δ Jδ

Jδ δ



HARIYANTO

90

Dengan demikian konstruksi model matematika koalisi dapat direduksi menjadi model

terreduksi yang terdiri dari

Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama

mm SSqqobdrmx

mSSDtmS

212121

2

11 )( µµ +−−−+−++−

∂

∂=

∂

∂

mm EEnbdlkx

mEEDtmE

1211211

2

1111 )( µσµ ++++++−−

∂

∂=

∂

∂

mmIm Ivbda

xI

Dt

I112

112

1111 )( +++−−

∂

∂=

∂

∂

mIubdpx

mID

tmI I

21221

2

2121 )( +++−−

∂

∂=

∂

∂ 5.36

UUUSU SSbdm

xS

Dt

S222132

212

2121 )( µµ ++−+−

∂

∂=

∂

∂

.)( 211221

2

2121

uIbdpx

uID

tuI I ++−−

∂

∂=

∂

∂

Tabel 5.8. Perubahan/transisi subpopulasi karena kemampuan melakukan transmisi

Parameter baru

Model perubahan/transisi Parameter lama

Perubahan populasi

Jenis virus

l

a

mm lEE 1111 →γ

mm aIE 1111 →γ

γ mE11γ H1N1

-p

mE11γ γ

inf−conI

inf−conI → Jn2

inf−conI → inf1 −coIn n

2n

1n

Super-strain

n inf−conI



HARIYANTO

91

Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua.

mmS SSwqqobdfhmr

xmS

DtmS

21211121

2

11 )( µµ +−−−−+−++++−

∂

∂=

∂

∂

mmmEm EEnbdlfk

xE

Dt

E121122

112

1111 )( µσµ ++++++−−−

∂

∂=

∂

∂

mmIm Ivbda

xI

Dt

I112

112

1111 )( +++−

∂

∂=

∂

∂ 5.37

mmIm Iubdwhp

xI

Dt

I21222

212

2121 )2( ++++−−−

∂

∂=

∂

∂

.)2( inf12inf

2inf

21inf

−−− +++−−

∂

∂=

∂

∂co

cococo Icbdwx

ID

tI

Model terreduksi dari konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga.

mmS SSqwqqobdfrfAhmA

xmS

DtmS

2132113121

2

11 )( µµ +−−−−−+−+++++−

∂

∂=

∂

∂

mmmEm EEnbdlfk

xE

Dt

E121122

112

1111 )( µσµ ++++++−−−

∂

∂=

∂

∂

mmIm Ivbdha

xI

Dt

I1132

112

1111 )( ++++−−

∂

∂=

∂

∂ 5.38

mmIm IubdwmAhp

xI

Dt

I212122

212

2121 )2)(( ++++++−−

∂

∂=

∂

∂

inf112inf

2

inf0inf )2( −

−−

− ++++−−∂

∂=

∂

∂co

coIc

co Icbdnwx

ID

tI

JqbdfnmhxJD

tJ J )( 42242

2

1 +++−−−−−∂

∂=

∂

∂



HARIYANTO

92

5.2. ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA

KOALISI TAHAPAN PERTAMA

Analisa kualitatif pada konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama

melalui parameter antara lain untuk menunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian

tunggal dan bersifat dinamis, terdapat perubahan pada subpopulasi untuk ∞→t dan

pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan subpopulasi.

Perhatikan konstruksi model tahapan pertama 5.36

mm SSqqobdrmx

mSSDtmS

212121

2

11 )( µµ +−−−+−++−

∂

∂=

∂

∂

mm EEnbdlkx

mEEDtmE

1211211

2

1111 )( µσµ ++++++−−

∂

∂=

∂

∂

mmIm Ivbda

xI

Dt

I112

112

1111 )( +++−−

∂

∂=

∂

∂

mIubdpx

mID

tmI I

21221

2

2121 )( +++−−

∂

∂=

∂

∂ 5.39

UUUSU SSbdm

xS

Dt

S222132

212

2121 )( µµ ++−+−

∂

∂=

∂

∂

.)( 211221

2

2121

uIbdpx

uID

tuI I ++−−

∂

∂=

∂

∂

dengan total populasi ),()()()()()()( inf211 tJtItItItEtStN jj

cojmjmjmjmjm +++++=

bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p ,))(( 1111

01 ndbDvdbDkaR IE ++++++

=

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia udbD

pR I +++=

2102 dan

bilangan reproduksi dasar virus influenza unggas .21

10 dbD

pR IU ++=

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan pertama ditunjukkan pada pembahasan

berikut ini,seperti yang ditunjukkan pada 5.39 bahwa konstruksi model subpopulasi

susceptible pada lokasi 1 adalah



HARIYANTO

93

mm SSqqobdrmx

mSSDtmS

212121

2

11 )( µµ +−−−+−++−

∂

∂=

∂

∂

dan konstruksi model populasi susceptible pada lokasi 2

mm SSqqobdrmx

mSSDtmS

122122

2

22 )( µµ +−−−+−++−

∂

∂=

∂

∂

sedangkan konstruksi model populasi susceptible pada kedua lokasi dinyatakan dalam

bentuk

+∂

∂

tS m1

tS m

∂

∂ 2 = +∂

∂21

2

1(xS

D mS −∂

∂)2

22

2 xS

D mS −+ )( 21 mm SSm −+ )( 21 mm SSr ++ )( 21 mm SSd

++ )( 21 mm SSb −+ )( 21 mm SSµ ++ )( 21 mm SSµ ++ )( 21 mm SSo

++ )( 211 mm SSq )( 212 mm SSq +

atau

mmSm Sqqobdrm

xS

Dt

S)( 212

2

++++−−−+∂

∂=

∂

∂ untuk mmm SSS =+ 21 dan koefisien

diffusi untuk lokasi 1 sama dengan lokasi 2, penyelesaian dari persamaan differensial

tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan Transformasi cosinus Fourier

)0(2)()( )1(2)2( fkfkkfπ

−−= sehingga diperoleh persamaan differensial berbentuk

)()()0(2)()()(

212 kSdrmqqob

dxdS

kSikDdt

kdSm

mm

Sm −−−+++++−=π

atau

)()()(

212 kSdrmqqobkD

dtkdS

mSm −−−++++−=

dengan penyelesaian berbentuk =)(kSm ),)(( 21

2 tqqobdrmkDCExp S −−−−+++−

untuk 0=t diperoleh

=)(kSm ))(( 212 tqqobdrmkDExp S −−−−+++− )0,(kSm

atau dapat dinyatakan

=)(kSm ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )( 2tkDExp S− ).0,(kSm



HARIYANTO

94

Dilakukan invers terhadap penyelesaian tersebut dengan menggunakan

transformasi cosinus Fourier =),( txSm π2∫Ω

kxdktkSm cos),( sehingga diperoleh

=),( txSm ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++−π2∫Ω

− dkkSkxtkDExp mS )0,()cos()( 2 ,

Ekspansi menurut deret Mc-Laurin terhadap )( 2tkDExp S− diperoleh )( 2tkDExp S− = 1 +

)((!

2

1tkDExp

dkd

nk S

n

n

n

n

−∑∞

=

sehingga transformasi cosinus Fourier dari ),( tkSm menjadi

=),( txSm π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ∫

Ω

dkkxkSm )cos()0,( +

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )((

!1 2

1tkDExp

dkd

nS

n

n

n−∑

∞

=∫Ω

dkkxkSk mn )cos()0,(

atau

=),( txSm π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm +

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )((

!1 2

1tkDExp

dkd

nS

n

n

n−∑

∞

=n

mn

n

xxS

i∂

∂−

)0,()(2

π,

untuk ∞→x dan ...3.2.1=n maka 0)0,(→

∂

∂n

mn

xxS untuk ),( txSm fungsi eksponensial.

Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD) adalah

=),( txSm π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ).0,(xSm

Dengan demikian dapat diperoleh

=),(2 txS m π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm - ),(1 txS m

atau

),(1 txS m =π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm - ).,(2 txS m



HARIYANTO

95

Untuk langkah selanjutnya perhatikan konstruksi model pada lokasi 1

mmmm SSqqobdrm

xSSD

tS

212121

2

11 )( µµ ++++−+−−−+

∂

∂=

∂

∂ dapat dinyatakan

++++−+−−−+∂

∂=

∂

∂m

mm SqqobdrmxSSD

tS

12121

2

11 )( µ

π2

µ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm - ),(1 txS mµ

atau

+−−−++++−∂

∂=

∂

∂m

mm SqqobdrmxSSD

tS

12121

2

11 )2( µ

π2

µ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ),0,(xSm

dengan menggunakan Tranformasi cosinus Fourier dapat diperoleh

+−−−+−+++−= )()2( 1212

11 kSqqobdrmkSD

dtdS

mm µ

π2

µ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(kSm yang mempunyai penyelesaian reduksi

berbentuk

=),(1 tkS m ))2(( 212

1 tqqobdrmkDExp S −−−−++++− µ )0,(1 kS m

atau

=),(1 tkS m ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ )0,(1 kS m ).( 21 tkDExp S−

Dilakukan invers terhadap penyelesaian tersebut dengan menggunakan

transformasi cosinus Fourier =),(1 txS m π2∫Ω

dkkxtkS m )cos(),(1 sehingga diperoleh

=),(1 txS m

π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ ∫

Ω

− dktkDExpkxkS Sm )()cos()0,( 2

11



HARIYANTO

96

atau

=),(1 txS m

π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ ∫

Ω

)cos()0,(1 kxkS m {1 +

)((!

21

1tkDExp

dkd

nk S

n

n

n

n

−∑∞

=

} dk untuk deret Mac-Laurin )( 21 tkDExp S− = 1 +

)((!

21

1tkDExp

dkd

nk S

n

n

n

n

−∑∞

=

=),(1 txS m

π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ { dkkxkS m∫

Ω

)cos()0,(1 +

)((!

21

1tkDExp

dkd

nk S

n

n

n

n

−∑∞

=

dkkxkSk mn )cos()0,(1∫

Ω

}

=),(1 txS m π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ { )0,(1 xS m +

)((!

1 21

1tkDExp

dkd

nS

n

n

n−∑

∞

=n

mn

n

xxS

∂

∂−

)0,()1(2 1

π},

untuk ∞→x dan ...3.2.1=n maka 0)0,(1 →

∂

∂n

mn

xxS untuk ),(1 txS m fungsi eksponensial.

Jadi Penyelesaian Umum Persamaan Reduksi (PUPR) adalah

=),(1 txS m π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ { ).0,(1 xS m

Perhatikan persamaan lengkap

+−−−+−+++−= )()2( 1212

11 kSqqobdrmkSD

dtdS

mm µ

π2

µ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ),0,(kSm



HARIYANTO

97

untuk mendapatkan penyelesaian partikulir misalkan pdtd

= maka persamaan lengkap

tersebut diatas menjadi

=−−−+−++++ )()2( 1212

1 kSqqobdrmkSDp mµ

π2

µ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(kSm

atau

=),(1 tkS m

π2

212

1 2)0,(

qqobdrmkDpkS

Sm

−−−−+++++ µµ ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++−

atau

=),(1 tkS m π2

µ ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++−µ2

12

1 +kDS ),0,(kSm

dilakukan invers terhadap ),(1 tkS m diperoleh

=),(1 txS m

π2

π2

µ ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ∫Ω +

dkkxkSkD mS )cos()0,(

212

1 µ dan

ekspansikan µ2

12

1 +kDS menurut deret Mc-Laurin diperoleh

µ212

1 +kDS = ∑∞

=+

−+1

1

2

)1(1n

n

nn k

µµ sehingga penyelesaian partikulir menjadi

=),(1 txS m πµ2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ∫

Ω

dkkxkSm )cos()0,(1{µ

+

∑∞

=+

−1

1

1)1(n

nn

µ})cos()0,(2∫

Ω

dkkxkSk mn

=),(1 txS m π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm + ∑

∞

=+

−1

12 1)1(

nn

n

µ,

)0,(2

12

nm

n

xxS

∂

∂



HARIYANTO

98

untuk densitas individual populasi dalam rumpun eksponensial misalkan densitas Gauss

diperoleh 0)0,(

21

2

→∂

∂n

mn

xxS untuk ∞→x dan nilai ...3,2,1=n sehingga diperoleh

penyelesaian partikulir persamaan differensial (PPPD) berbentuk

=),(1 txS m π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ).0,(xSm

Jadi PUPD adalah

=),(1 txS m π2 ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ )0,(1 xS m +

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ).0,(xSm

Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial dari subpopulasi

terinfeksi virus influenza H1N1-p berbentuk

mmIm Ivbda

xI

Dt

I112

112

1111 )( +++−−

∂

∂=

∂

∂

dilakukan transformasi cosinus Fourier diperoleh persamaan berbentuk

)()())0(2)()(( 1111

112

1111 kIvbda

dxdI

kIikDdt

dIm

mm

Im +++−−−−=π

atau

)()()( 11112

1111 kIvbdakIkD

dtdI

mmIm +++−−−=

atau

),()( 112

1111 kIvbdakD

dtdI

mIm +++−−=

penyelesaian dari persamaan tersebut adalah

)0,(})({),( 112

1111 kmItvbdakDExptkI Im +++−−= .

atau

=),(11 tkI m })({ tvbdaExp +++−− )0,(11 kmI },{ 211 tkDExp I−



HARIYANTO

99

dengan

menggunakan invers transformasi Fourier =),(11 txI m ∫Ω

dkkxtkI m )cos(),(211π

dapat

diperoleh

=),(11 txI m π2 })({ tvbdaExp +++−− { ∫

Ω


+

∫∑Ω

∞

=

− dkkxkIkdk

tkDExpdn m

nn

In

n)cos()0,()0(

)(!

111

221

1

atau

=),(11 txI m π2 })({ tvbdaExp +++−− { )0,(11 xI m +

)0()(

!1 2

21

1n

In

n dktkDExpd

n−

∑∞

=n

mn

n

xxI

∂

∂−

)0,()1( 11 }.

Populasi terinfeksi merupakan rumpun eksponensial sehingga untuk ∞→x dan semua

...3,2,1=n dapat diperoleh n

mn

n

xxI

∂

∂−

)0,()1( 11 sehingga PUPD adalah

=),(11 txI m π2 })({ tvbdaExp +++−− ).0,(11 xI m

Untuk penyelesaian persamaan differensial lainnya pada konstruksi model koalisi tahapan

pertama dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian

berbentuk


π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− ).0,(xSm

=),(11 txE m π2 ))(( tknbdlExp −+++++− µσµ )0,(11 xE m +

21 ))(( tknbdlExp −−++++− µσµ )0,(xEm



HARIYANTO

100

=),(11 txI m })({2 tvbdaExp +++−−π

)0,(11 xI m 5.40

=),(21 txI m π2 })({ 2 tpwudbExp −+++− )0,(21 xI m

=),(21 txS U π2 ))2(( 3 tbdmExp −++− µ )0,(21 xS U +

π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU

=),(21 txI U })({2 tpbdExp −+−π

).0,(21 xI U

Pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan

bersifat dinamis.

5.2.1. Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan Pertama

Konstruksi model tahapan pertama 5.39 menunjukkan bahwa model penyebaran

dibangun berdasarkan pada perubahan yang terjadi terhadap fungsi densitas populasi atau

terdapat redistribusi terhadap gerakan individual populasi pada lokasi 1 dan lokasi 2,fungsi

densitas populasi yang well-defined akan memberikan penyelesaian dari model sistem yang

positif. Dengan demikian densitas populasi maupun diffusi lokal dan global dapat

dinyatakan sebagai berikut:

0),(),,(),,(),,( 2111111 >txItxItxEtxS mmmm , 0),(),,( 2121 >txItxS UU untuk setiap 1, Ω∈yx

0),(),,(),,(),,( 2212122 >txItxItxEtxS mmmm 0),(),,( 2222 >txItxS UU untuk setiap 2, Ω∈yx

,0)()(2 1

12 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKSdyyxKS mm ,0)()(2 1

21 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKSdxxyKS mm

,0)()(2 1

1112 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKEdyyxKE mm ,0)()(

2 11211 >−−−∫ ∫

Ω Ω

dyyxKEdxxyKE mm

,0)()(2 1

2122 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKuSdyyxKuS 5.41

.0)()(2 1

2221 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKuSdxxyKuS

Langkah selanjutnya untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan

dibahas berikut ini



HARIYANTO

101

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari model digunakan

definisi yang menyatakan bahwa setiap penyelesaian dari model sistem dapat dinyatakan

dalam Norm matriks dan bergantung pada konstante Lipschitz )(tk untuk setiap ,Rt∈

Dengan demikian sebagai langkah awal adalah melakukan reduksi terhadap model sistem

dalam bentuk total populasi maupun perubahan genetika yang terjadi pada setiap individual

populasi.

Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.16 pada lokasi 1 dinyatakan dalam

bentuk

dxtxStS mm ),()(1

11 ∫Ω

= dan dxt

txSdt

tdS mm ∫Ω ∂

∂=

1

11 ),()(

maka diperoleh konstruksi model matematika dalam sistem persamaan differensial biasa

berbentuk ).),(( ttXfdtdX

=

Misalkan himpunan subpopulasi pada lokasi 1

},

0,0,0,0,0,0{

1212112111111

212121111111

MISNIIESISIIESX

UUmmmm

UUmmmm

=+=+++

>>>>>>= 5.42

dan himpunan subpopulasi pada lokasi 2

,},

0,0,0,0,0,0{

2222222212122

222222121222

MISNIIESISIIESX

UUmmmm

UUmmmm

=+=+++

>>>>>>= 5.43

jika dibangun himpunan baru yang terdiri dari semua subpopulasi pada 1X dan 2X yaitu

himpunan subpopulasi X pada lokasi 1 dan 2 maka dapat didefinisikan bahwa

21 XXX ∪=

atau

}.,,,,,,,,,,0,0,0,0,0,0{

22212221

22221112111121121

211

UUUUUU

mmmmmmmmmmmm

UUmmmm

IIISSSIIIIIIEEESSS

ISIIESX

∈∈

∈∈∈∈

>>>>>>=

5.44

Misalkan terdapat vektor

),( 21

111 mmm SSS = , ),( 2

2122 mmm SSS = , ),( 2

1111111 mmm EEE = , ),,( 2

1211212 mmm EEE =



HARIYANTO

102

),( 211

11111 mmm III = , ),( 2

1211212 mmm III = , ),( 2

2112121 mmm III = , ),( 2

2112121 UUU III = ,

),( 222

12222 UUU III =

maka akan terdapat )),(( 1 ttXf dan )),(( 2 ttXf dengan

},,,,,,,,,,,{ 122

121

122

121

122

121

112

111

112

111

12

11

1UUUUmmmmmmmm IISSIIIIEESSX = dan

}.,,,,,,,,,,,{ 222

221

222

221

222

221

212

211

212

211

22

21

2UUUUmmmmmmmm IISSIIIIEESSX = 5.45

Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian global dan tunggal

digunakan asumsi Desoer yaitu







., 21 nRXX ∈ 5.46

Misalkan terdapat interval ],[ ii ba dengan titik kesetimbangan endemik nRY ∈ dan

untuk sebarang Ttt ∉= 1 maka terdapat ),( 1tYf untuk 1tt = sehingga

),(1

tYfLimtt→

= ),( 1tYf

berarti terdapat interval yang memuat titik berhingga, langkah berikutnya akan dicari

konstante Lipschitz )(tk yang memenuhi

2121 )()),(()),(( XXtkttXfttXf −<− , perhatikan

)),(()),(( 21 ttXfttXf − = ,

61

51

41

31

21

11

aaaaaa



HARIYANTO

103

jika elemen-elemen pada Norm dapat dinyatakan 6...2.1,111 =+= icba iii maka

)),(()),(( 21 ttXfttXf − =

61

51

41

31

21

11

aaaaaa

= 11 ii cb +

atau

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ 11 ii cb +

dengan ∑=

=n

jijii amaksa

11 sebagai Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum

dari konstante Lipschitz )(tk sedemikian hingga memenuhi ∑=

=n

jijii amaksa

11 ,)( Xtk≤

)(tk ditentukan berdasarkan nilai maksimum dari koefisien-koefisien ija sehingga pada

konstruksi model matematika tahapan pertama dapat dinyatakan dalam bentuk

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ )(1 tk (

221

121

221

121

221

121

211

111

211

111

21

11

UU

UU

mm

mm

mm

mm

IISSIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

+

222

122

222

122

222

122

212

112

212

112

22

12

UU

UU

mm

mm

mm

mm

IISSIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

) 5.47

dengan konstante Lipschitz

)(1 tk = Maks ,( 21 drmqqob −−−+++ ,, vbdanbdlk −−−−−−−−+ µµσ

),, 13 bdpmdbubdp −−−−−−−

atau

)(1 tk = ,)()(( min21 drmqqob maks ++−+++ ,)()( minnbdlk maks ++++−+ µµσ

,)( minvbdamaks −−− ,)(,)( min3min mdbubdp maksmaks +−++−

).)()(min1 bdp maks +− 5.48



HARIYANTO

104

Model tahapan pertama dikonstruksi sebagai bagian awal dari konstruski model

koalisi sehingga perubahan dari setiap subpopulasi dipengaruhi oleh transmisi virus

influenza H1N1-p dan H5N1 melalui kontak individual antara susceptible dengan

terinfeksi, dengan demikian parameter transmisi maupun transisi maksimum

mempengaruhi konstruksi model, parameter )( vbda ++− sebagai rate perubahan atau

transisi dari ,11mI parameter )( ubdp ++− sebagai rate perubahan atau transisi dari

mI 21 dan )(1 bdp +− sebagai rate perubahan atau transisi ,21UI jika 0→d dan b

merupakan rate kelahiran dan bagian dari susceptible maka konstante Lipschitz dapat

dinyatakan dalam bentuk

)(1 tk ≈ maksa + maksp + .)( 1 maksp 5.49

Untuk menunjukkan bahwa )(1 tk adalah fungsi kontinu sebagian demi sebagian untuk

semua +∈ Rt dan untuk semua nRXX ∈21, dapat dilakukan dengan memperhatikan

perubahan atau transisi yang terjadi pada subpopulasi, perubahan atau transisi dari

Um IS 2111∗β akan menjadi mpI 21 dengan rate perubahan atau transisi yang berlaku selama

masa terinfeksi.

Demikian pula untuk perubahan atau transisi yang berkaitan dengan transmisi virus

influenza H1N1-p sehingga diperoleh individual subpopulasi terinfeksi mI11 dengan rate

transisi a setelah akhir masa ekspose.

Berdasarkan pada analisa tersebut diatas konstruksi model matematika koalisi tahapan

pertama mempunyai penyelesaian tunggal, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan

bahwa sistem adalah dinamis.

Konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama merupakan sistem dinamis Misalkan X ruang metric dengan d sebagai metric dan XRC ⊂Ω ),( adalah

himpunan fungsi kontinu dan terbatas dengan Rx ⊂Ω∈ dan Rt∈ maka fungsi – fungsi

kontinu bernilai positif dari model sistem didefinisikan sebagai

.},,0),(),(),({),( RtxtxRCtxRC ∈∀Ω∈∀>Ω∈=Ω+ φφ



HARIYANTO

105

Jika terdapat himpunan tertutup Ω∈ΩΩ 21, maka pada masing-masing himpunan tersebut

akan terdapat

},,0),(),(),({),( 111 RtxtxRCtxRC ∈∀Ω∈∀>Ω∈=Ω+ φφ

dan

},,0),(),(),({),( 222 RtxtxRCtxRC ∈∀Ω∈∀>Ω∈=Ω+ φφ

yang merupakan penyelesaian dari model sistem pada lokasi 1 dan lokasi 2.

Jika konstruksi model 5.39 dinyatakan dalam bentuk

),{ 2

2

φφφ k

xDF

t ∂

∂=

∂

∂ 5.50

dengan k parameter epidemiologi maka dapat didefinisikan bahwa

:F ),( 1 RC Ω → ),( 1 RC Ω atau :F ),( 2 RC Ω → ),( 2 RC Ω dan ),,( πRCG = adalah aliran

kontinu pada ),( 1 RC Ω dan ),( 2 RC Ω dan merupakan aktifitas dari individual populasi φ

yang dapat dinyatakan sebagai ),(),(: RCxRRC Ω→Ωπ sedemikian hingga untuk semua

),( RC Ω∈φ dan untuk semua bilangan nyata Rts ∈, berlaku

),()0),,(( txtx φφπ = dan ).),,(())),,(,(( sttxttxs += φπφππ 5.51

Perubahan dinamis yang terjadi pada konstruksi model ditunjukkan oleh perubahan

atau transisi individual populasi yang disebabkan oleh transmisi virus, periode ekspose,

periode infeksi maupun recovery tetap, akan tetapi perubahan dinamis juga disebabkan oleh

gerakan dinamis dari individual subpopulasi pada lokasi 1 atau 2 maupun bergerak secara

global pada lokasi1 dan 2.

Dengan demikian untuk menunjukkan bahwa konstruksi model sebagai sistem dinamis

maka akan ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan aliran kontinu

yang bergerak secara global sedangkan untuk individual subpopulasi terinfeksi merupakan

aliran kontinu yang bergerak secara lokal.

Misalkan =Ω ),(1 RC ( ),,(11 txI m ),,(21 txI m ),(21 txI U ) X⊂ , ),(),( 1 RCtxi Ω∈φ dan

aliran kontinu )},(),,(),,({}0),,({ 212111 txItxItxItx Ummi =φπ

=Ω ),(2 RC )),(),,(),,(( 211111 txStxEtxS Umm X⊂



HARIYANTO

106

dan


dan misalkan =Ω ),( RC ),(2 RC Ω ∪ ),(3 RC Ω = )),(),,(),,(( txStxEtxS Umm maka

)},(),,(),,({}0),,({ txStxEtxStx Ummi =φπ untuk ),(),( RCtxi Ω∈φ sebagai aliran kontinu

jika π memenuhi

}),,({)},),,(({ sttxtstx += φπφππ = }.),,({ 2111 tttxI m +π

Perhatikan bentuk penyelesaian

=),(11 txI m π2 ))(( tvbdaExp +++−− )0,(11 xI m ),(1 RC Ω∈

dan )0),,(( 11 txI mπ = ),(11 txI m , misalkan ),( 111 txI m bergerak pada selang waktu 21 ttt ≤≤

di lokasi 1 atau dapat dikatakan bahwa ),( 111 txI m bergerak pada interval waktu

210 ttt +≤≤ sehingga diperoleh

=+ ),( 2111 ttxI m π2 ))(( 1tvbdaExp +++−− ))(( 2tvbdaExp +++−− ),0,(11 xI m

misalkan )( 21 tt + merupakan batas akhir masa perubahan genetik maka

=+ ),( 2111 ttxI m ))(( 1tvbdaExp +++−− ),( 211 txI m < ),( 111 txI m

atau

=+ ),( 2111 ttxI m ))(( 1tvbdaExp +++−− ),( 211 txI m = }),),,(({ 2111 tttxI mππ

}),),,(({ 2111 tttxI mππ = }),,({ 22111 tttxI m +π untuk .0 21 ttt +≤≤

Misalkan ),( 111 txI m bergerak sebelum waktu t atau dapat dikatakan bahwa ),( 111 txI m

bergerak pada interval waktu ttt ≤+≤ 210 atau 210 ttt −≤≤ dan diperoleh

=− ),( 211 ttxI m π2 ))(( 2tvbdaExp +++− ))(( tvbdaExp +++−− )0,(11 xI m

atau

=− ),( 211 ttxI m ))(( 2tvbdaExp +++− ),,(11 txI m

misalkan )( 21 tt + berada pada periode infeksi sehingga

=− ),( 211 ttxI m ))(( 2tvbdaExp +++− >),(11 txI m ),(11 txI m



HARIYANTO

107

=− ),( 211 ttxI m ))(( 2tvbdaExp +++− ),(11 txI m = }),),,(({ 2111 tttxI mππ

atau

}),),,(({ 2111 tttxI mππ = }),,({ 2111 tttxI m −π atau }),),,(({ 2111 tttxI mππ

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual subpopulasi terinfeksi

),(11 txI m merupakan aliran kontinu.

Perhatikan bentuk penyelesaian

=),( txSU π2{ ))2(( 3 tbdmExp −++− µ +

π4 )})(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU ),( RC Ω∈

yang bergerak secara global dari lokasi 1 ke lokasi 2 pada selang waktu ,1 stt ≤≤

berdasarkan pada definisi bahwa )0),,(( txSUπ = ),( txSU penyelesaian dari konstruksi

model sistem merupakan aliran kontinu global jika memenuhi

)),),,((( 1 sttxSUππ = ).),,(( 1 sttxSU +π

Misalkan ),( txSU bergerak pada interval stt +≤≤ 10 sehingga diperoleh

=+ ),( 1 stxSU

π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++− µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+− ),( 1txSU dan

misalkan )( 1 st + berada pada akhir masa infeksi sehingga

=+ ),( 1 stxSU

π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++− µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+− ),( 1txSU < ),( 1txSU

atau

=+ ),( 1 stxSU

π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++− µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+− ),( 1txSU = )),,(( 1 sttxSU +π

)),),,((( 1 sttxSUππ = ),),,(( 1 sttxSU +π

demikian pula untuk interval tst ≤+≤ 10 atau stt −≤≤ 10 dapat diperoleh



HARIYANTO

108

=− ),( stxSU π2{ ))2(( 3 tbdmExp −++− µ +

π4 )})(( 3 tbdmExp −+−

π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++ µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+ ),0,(xSU

misalkan )( 1 st + berada pada periode susceptible atau berada pada masa infeksi sebelum

terdapat tanda-tanda klinik sehingga

=− ),( stxSU π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++ µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+ ),( txSU > ),( sxSU

atau

=− ),( stxSU π2{ ))2(( 3 sbdmExp −++ µ +

π4 )})(( 3 sbdmExp −+ ),( txSU =

)),,(( 1 sttxSU −π → ).),),,((( 1 sttxSUππ = )),,(( 1 sttxSU −π

atau

).),),,((( 1 sttxSUππ = ).),,(( 1 sttxSU +π

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan

aliran kontinu.

Untuk individual subpopulasi ),(21 txI m dan ),(21 txI U sebagai aliran kontinu dapat

ditunjukkan sesuai dengan transmisi penyebaran virus influenza H5N1, demikian pula

untuk individual subpopulasi ),(11 txE m sesuai dengan transmisi penyebaran virus influenza

H1N1-p.

Pada analisa tersebut diatas telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi

tahapan pertama adalah well-posedness, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi

model berikutnya adalah analisa densitas populasi.Pada analisa ini akan dibahas eksistensi

penyelesaian positif dari model.

5.2.2. Analisa terhadap densitas populasi

Diberikan asumsi bahwa penyebaran virus influenza H5N1 mempunyai virulence

tinggi sehingga pada kondisi pandemik akan terjadi perubahan atau transisi yang cukup

signifikan terhadap subpopulasi susceptible maupun terinfeksi, perubahan densitas



HARIYANTO

109

subpopulasi pada konstruksi model tahapan pertama berpengaruh terhadap total

subpopulasi.

Berdasarkan konstruksi model 5.16, total populasi di lokasi 1 adalah

)()()()()( 21111111 tItItEtStN mmmmm +++=

dxtxItxItxEtxSN mmmmm )},(),(),(),({ 21111111

1 +++= ∫Ω

5.52

dxt

txIt

It

txEt

txSdt

tdN mmmmm }),(),(),(

{)( 2111111

1

1

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ∫

Ω

2

212

211

2

211

2

21

2

1

1 ),(),(),({

)(x

txID

xI

Dx

txED

xtxS

Ddt

tdN mImImEmSm

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= ∫

Ω

-

- )),(),(),(),(( 2111111 txItxItxEtxSd mmmm +++ +

)),(),(),(),(( 2111111 txItxItxEtxSb mmmm −−− + ∫Ω

−+

2

122 )()),(),(( dyyxKtxEtxS mm -

..))(),(),((1

111 dxdxxyKtxEtxS mm ∫Ω

−+ 5.53

Sedangkan total populasi yang berkaitan dengan virus influenza H5N1-unggas adalah

)()()( 212121 tItStN UUU +=

dxt

It

txSdt

tdN uUU )),(

()( 21

1

2121

∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫ 5.54

−∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫ 2

212

1

221

221 ),(

()(

xI

Dx

txSD

dttdN uIUSU ++ )),(),(( 2121 txItxSd UU

+− )),(),(( 2121 txItxSb UU ∫Ω

−−

2

22 )(),( dyyxKtxS U ∫Ω

−

1

22 .))(),( dxdxxyKtxS U

Analisa densitas subpopulasi terhadap penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p yang

memenuhi penyelesaian positif dari konstruksi model dapat diperoleh total densitas

subpopulasi, misalkan 0),(21 =txI m dan 0),(11 =txI m untuk ∞→t sehingga perubahan

total populasi pada lokasi 1 adalah



HARIYANTO

110

−∂

∂+

∂

∂= ∫

Ω2

112

21

2

1

1 ),(),({

)(x

txED

xtxS

Ddt

tdN mEmSm )),(),(( 111 txEtxSd mm + +

)),(),(( 111 txEtxSb mm − + ∫Ω

−+

2


dxdxxyKtxEtxS mm .))(),(),((1

111 ∫Ω

−+

atau

=dt

tdN m )(1 )),(),((( 111

1

txEtxSd mm +−Ω∫ + )),(),(( 111 txEtxSb mm − + 5.55

∫Ω

−+

2

122 )()),(),(( dyyxKtxEtxS mm - ,).))(),(),((1

111 dxdxdxxyKtxEtxS mm ∫Ω

−+

oleh karena

==∂

∂0

),(1xx

txS m 00),(1 ==∂

∂xx

txE m dan ==∂

∂Lxx

txS m ),(1 0),(1 ==∂

∂Lxx

txE m

maka

0)),(),(

{ 211

2

21

2

1

=∂

∂+

∂

∂∫Ω

dxx

txED

xtxS

D mEmS untuk ].,0[1 Lx =Ω∈

Misalkan =dt

tdN m )(1 k dengan +∈Rk sehingga diperoleh

)),(),((( 111

1

txEtxSd mm +−Ω∫ + )),(),(( 111 txEtxSb mm − +

∫Ω

−+

2

122 )()),(),(( dyyxKtxEtxS mm - dxdxdxxyKtxEtxS mm ).))(),(),((1

111 ∫Ω

−+ = 0>k

bila ),()( 1 txSdb m− - ),()( 11 txEdb m+ + ∫Ω

−+

2


dxdxxyKtxEtxS mm .))(),(),((1

111 ∫Ω

−+ 0> dan akan terpenuhi untuk db > dan



HARIYANTO

111

)( db + < )(xK dengan diffusi global

∫Ω

−+

2

122 )()),(),(( dyyxKtxEtxS mm - .0.)(),(),((1

111 >Ω

−+ ∫ dxxyKtxEtxS mm

Misalkan 0),(1 =txS m untuk ∞→t sehingga perubahan total populasi pada lokasi 1 adalah

=dt

tdN m )(1 )),(),(),((( 211111

1

txItxItxEd mmm ++Ω−∫ + )),(),(),(( 211111 txItxItxEb mmm −−− +

∫Ω

−

2

12 )(),( dyyxKtxE m - ..))(,(1

11 dxdxxyKtxE m ∫Ω

−

atau

)),(),(),((( 211111

1

txItxItxEd mmm ++Ω−∫ + )),(),(),(( 211111 txItxItxEb mmm −−− +

∫Ω

−

2

12 )(),( dyyxKtxE m - 0..))(,(1

11 >Ω

−∫ dxdxxyKtxE m dan akan terpenuhi bila

)),(),(),()(( 211111 txItxItxEbd mmm ++−− + −Ω

−∫2

12 )(),( dyyxKtxE m

0.)(,(1

11 >Ω

−∫ dxxyKtxE m untuk )(xK )( db +> dengan diffusi global

−Ω

−∫2

12 )(),( dyyxKtxE m .0.)(,(1

11 >Ω

−∫ dxxyKtxE m

Misalkan konstruksi model koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian negatif

dengan =dt

tdN m )(1 k− untuk +∈Rk sehingga perubahan dari total populasi di lokasi 1

adalah

=dt

tdN m )(1 )),(),(),(),((( 2111111

1

txItxItxEtxSd mmmm +++−Ω∫ +


−+

2


..))(),(),((1

111 dxdxxyKtxEtxS mm ∫Ω

−+



HARIYANTO

112

atau

)),(),(),(),((( 2111111

1

txItxItxEtxSd mmmm +++−Ω∫ +


−+

2


0.))(),(),((1

111 <Ω

−+ ∫ dxdxxyKtxEtxS mm

dan akan terpenuhi bila

)),(),(),(),()(( 2111111 txItxItxEtxSbd mmmm +++−− + ∫Ω

−+

2


0.)(),(),((1

111 <Ω

−+ ∫ dxxyKtxEtxS mm untuk )(xK ),( db +< hal tersebut tidak mungkin

terjadi karena individual subpopulasi sebagai aliran yang bergerak dinamis.

Dengan demikian konstruksi model matemátika koalisi tahapan pertama mempunyai

penyelesaian positif dan berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m atau .0),(),( 2111 =∞→

=∞→

txItLimtxItLim mm

Analisa densitas subpopulasi pada konstruksi model matematika koalisi tahap pertama juga

dilakukan terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas, misalkan 0),(21 =txI U

untuk ∞→t maka perubahan total populasi unggas pada lokasi 1 adalah

dxt

It

txSdt

tdN uUU )),(

()( 21

1

2121

∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫

atau

=dt

tdN U )(21 +Ω

−∫ ),()(( 21

1

txSdb U ∫Ω

−−

2


−

1

22 ,.))(),( dxdxxyKtxS U

misalkan kdt

tdN U =)(21 untuk +∈Rk sehingga diperoleh

+Ω

−∫ ),()(( 21

1

txSdb U ∫Ω

−−

2


>−

1

22 .0))(),( dxdxxyKtxS U



HARIYANTO

113

akan terpenuhi bila

+− ),()( 21 txSdb U ∫Ω

−−

2


>−

1


untuk ,db > dbxK +>)( dengan diffusi global

∫Ω

−−

2


>−

1


Oleh karena dilakukan isolasi atau pemusnahan pada individual subpopulasi terinfeksi

H5N1 pada unggas maka perubahan total populasi unggas pada lokasi 1 tidak akan

mungkin terjadi pada 0),(2 =txS U untuk ,∞→t dengan demikian penyelesaian positif

pada konstruksi model berlaku .0),(21 =∞→

txItLim U

Berdasarkan pada hasil analisa terhadap densitas populasi tersebut diatas maka dapat

disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.1.

Jika konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama mempunyai penyelesaian positif

maka berlaku:

1. jika 0),(21 =∞→

txItLim U maka ),(21 txS U monoton naik.

2. jika 0),(1 =∞→

txStLim m maka ),(11 txI m dan ),(21 txI m monoton naik.

Bukti.

1. Penyelesaian positif pada konstruksi model tahapan pertama berlaku

0),(21 =∞→

txItLim U artinya invasi virus influenza H51N1 pada unggas berada di titik

kesetimbangan bebas penyakit sehingga sistem pada kondisi stabil dengan bilangan

reproduksi dasar ,10

<U

R perhatikan penyelesaian konstruksi model koalisi tahapan

pertama untuk populasi susceptible berbentuk



HARIYANTO

114

=),(21 txS U ))2((23 tbdmExp −++− µ

π)0,(21 xS U ))((2

3 tbdmExp −+−+π

)0,(xSU

dengan ,30 bdD

mR

UU ++

= oleh karena subpopulasi ),(21 txS U bergerak secara global maka

koeffisien diffusi UD sangat besar sehingga .10 <UR

Misalkan terdapat +∈Rk sehingga bdDkm U ++=3 atau ,3 bdDkm U +=− untuk

menunjukkan bahwa ),(21 txS U monoton naik perhatikan persamaan

=−+++ bbdm 223 µ µ2233 +−−+ bDkmm U

= ,2)2()1( 3 µ++−+ bDmk U oleh karena UD

sangat besar maka 0223 <−+++ bbdm µ atau fungsi ))2(( 3 tbdmExp −++− µ

monoton naik.

Demikian pula untuk persamaan bdm −+3 = bbdm 23 −++ = bDkmm U 233 −−+

= ),2()1( 3 bDmk U +−+ oleh karena

UD sangat besar maka 03 <−+ bdm atau fungsi ))(( 3 tbdmExp −+− monoton naik.

Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi tahapan

pertama berlaku 0),(21 =∞→

txItLim U dan ),(21 txS U monoton naik.

2 Telah ditunjukkan bahwa konstruksi model mempunyai penyelesaian positif pada

penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1 – p didapatkan ,0),(1 =∞→

txStLim m hal tersebut

menunjukkan bahwa invasi dari kedua virus mengalami outbreak sehingga pada titik

kesetimbangan endemik sistem tidak stabil atau 101 >R dan .102 >R

Perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama untuk

subpopulasi ),(21 txI m berbentuk

),(21 txI m = π2 ))(( tpudbExp −++− )0,(21 xI m

dengan bilangan reproduksi dasar udbD

pRm +++

=21

02 atau dapat dinyatakan



HARIYANTO

115

=++ ubd ,2102

mDRp− oleh karena subpopulasi terinfeksi H5N1 diisolasi pada lokasi 1

atau hanya bergerak secara lokal maka koeffisien diffusi mD21 sangat kecil sehingga

.121

02 >+++

=udbD

pRm

Perhatikan persamaan =−++ pudb =−++ pudb )(02Rp - mD21 - p

= ,)11( 2102

DpR

−− oleh karena 102 >R maka

0<−++ pudb atau fungsi ))(( tpudbExp −++− monoton naik sehingga diperoleh

),(21 txI m monoton naik.

Demikian pula penyelesaian konstruksi model matematika koalisi tahapan pertama untuk

subpopulasi ),(11 txI m berbentuk

),(11 txI m = π2 ))(( tvbdaExp +++−− )0,(11 xI m dengan bilangan reproduksi dasar

211

01 )( vdbDkaR

m +++= atau dapat dinyatakan )( vbd ++ = ,11

01mD

Rka

− oleh karena

subpopulasi diisolasi maka 011 →mD sehingga .1)( 2

1101 >

+++=

vdbDkaR

m

Untuk menunjukkan bahwa ),(11 txI m monoton naik perhatikan persamaan

vbda +++− = )( vbda +++−

= +− a ,1101

mDRka

− untuk 101 >R maka

0<+++− vbda atau fungsi ))(( tvbdaExp +++−− monoton naik sehingga diperoleh

),(11 txI m monoton naik.

Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model matematika koalisi tahapan

pertama berlaku 0),(1 =∞→

txStLim m maka ),(11 txI m dan ),(21 txI m monoton naik.



HARIYANTO

116

Berdasarkan analisa terhadap densitas populasi diperoleh aturan biner terhadap penyebaran

virus influenza H1N1-p dan H5N1 untuk ,∞→t hasil dari analisa tersebut digunakan

untuk melakukan analisa persistensi terhadap virus influneza yang akan dibahas berikut ini

5.2.3. Analisa Persistensi terhadap virus influenza

Individual subpopulasi yang bergerak dinamis pada lokasi 1 atau lokasi 2

menyebabkan terjadinya penyebaran virus influenza H5N1 dan H1N1-p secara meluas,

indikator gerakan individual dan kemampuan virus invasi terhadap manusia sangat

mempengaruhi terhadap perubahan sistem. Jika virus influenza H5N1 mempunyai

virulence tinggi maka virus influenza H5N1 dapat dikatakan persisten terhadap sistem,

demikian pula virus influenza H1N1-p persisten terhadap sistem.

Untuk melakukan analisa persistence pada kedua virus tersebut perhatikan penyelesaian

konstruksi model tahapan pertama 5.40 dan definisikan bahwa

:F ),( 1 RC Ω → ),( 1 RC Ω atau :F ),( 2 RC Ω → ),( 2 RC Ω

dan ),,( πRCG = aliran kontinu pada ),( 1 RC Ω dan ),( 2 RC Ω maka untuk menunjukkan

persistensi dari virus terhadap sistem digunakan definisi berikut ini

Definisi 5. 1.

Metric d adalah kontak individual susceptible dengan terinfeksi sehingga terjadi transmisi

virus.

Berdasarkan pada definisi tersebut bahwa transmisi virus maksimum terjadi sebagai hasil

kontak, interaksi atau kontak dan interaksi dari individual, sedangkan individual yang

berada pada daerah terbatas dengan individual yang berada pada daerah interior maka

kontak yang terjadi dapat menimbulkan transmisi minimum.

Jika mind ~ maksmm txItxS )},(),({ 1111α atau )(dInf ~ )),(( 11 txIMaks m maka akan terdapat

individual subpopulasi susceptible terinfeksi yang terbesar dan sebaliknya jika

maksd ~ .)},(),({ min1111 txItxS mmα atau )(dSup ~ )),(( 11 txIMin m maka akan terdapat

individual subpopulasi susceptible terinfeksi terkecil.



HARIYANTO

117

Rangkaian perubahan yang terjadi dari setiap subsistem yang terhubung merupakan

proses koalisi dan hasil yang diperoleh dari proses tersebut adalah virus dengan strain baru,

sebagai rangkaian dalam proses koalisi dapat diamati pengaruh transmisi terhadap

perubahan sistem dimulai dari penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 yang

dikonstruksi dalam model matematika tahapan pertama.

Misalkan ),),,((),( 1111 ttxStxS mm π= CtyI m ∂∈),(11 penyelesaian dari konstruksi model dan

•

Ω∈∀ yx, maka metric dari individual populasi yang bergerak untuk +∈ Rt ke individual

populasi yang berada pada daerah terbatas didefinisikan sebagai

)),),,((( 11 CttxSd m ∂π = )),(),,(( 1111 tyItxSd mm = dxtyItxS mm∫Ω

− ),(),( 1111

maka analisa persistensi terhadap penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dan

penyebaran virus influenza pada H1N1-p diformulasikan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 2.

1. Jika bilangan reproduksi dasar untuk virus influenza H5N1 pada unggas 10 >UR

maka virus influenza H5N1 pada unggas strongly uniformly persistence.

2. Jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p 101 >R maka virus

influenza H1N1-p strongly uniformly persistence.

Bukti.

Pada teorema 5. 1 telah ditunjukkan bahwa konstruksi model matematika koalisi

mempunyai penyelesaian ∞→t pada subpopulasi ),(1 txS m dan ),(11 txI m maka pada

pembuktian berikut ini penyelesaian dari konstruksi model untuk ∞→t dapat digunakan

untuk menunjukkan pengaruh penyebaran virus terhadap perubahan sistem.

Pada pembuktian 1, perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika pada 5.40 untuk

densitas subpopulasi susceptible dan terinfeksi pada unggas berbentuk


π2 ))(( 3 tbdmExp −+− ),0,(xSU

=),(21 txI U π2 ))(( 1 tpbdExp −+− )0,(21 xI U



HARIYANTO

118

dengan )0,(xSU densitas subpopulasi global pada kondisi awal dan )0,(21 xI U densitas

subpopulasi terinfeksi lokasi 1 pada kondisi awal maka pengaruh transmisi dari virus

influenza H5N1 pada unggas terhadap perubahan yang terjadi pada sistem di lokasi 1 dapat

dinyatakan dengan definisi 5.1 sebagai metric

)),(),,(( 2121 txItxSd UU = dxtxItxS UU∫Ω

− ),(),( 2121

dengan

),(),( 2121 txItxS UU − = π2 ))2(( 3 tbdmxpE −++− µ )0,(21 xS U +

π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU - ))(( 1 tpbdExp −+− )0,(21 xI U

atau

)),(),,(( 2121 txItxSd UU = π2 ))2(( 3 tbdmxpE −++−∫

Ω

µ )0,(21 xS U +

π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU - ))(( 1 tpbdExp −+− ,)0,(21 dxxI U

untuk ),(),( 2121 txItxS UU ≥ dapat diperoleh

)),(),,(( 2121 txItxSd UU = π2 ))2(({ 3 tbdmExp −++− µ )0(21US +

π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0(US - ))(( 1 tpbdExp −+− )},0(21UI

transmisi virus influenza H5N1 pada unggas terjadi setelah terdapat kontak individual

antara individual subpopulasi terinfeksi )}0(21UI dengan ),0(US dengan demikian perubahan

yang terjadi pada masing-masing individual subpopulasi mencerminkan ukuran dari

)).,(),,(( 2121 txItxSd UU

Oleh karena penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas mengalami outbreak

dengan 10 >UR maka untuk ∞→t terjadi perubahan pada subpopulasi ),(21 txS U dan

)},(21 txI U yang dapat dinyatakan dengan



HARIYANTO

119

0),(21 =∞→

txStLim U dan ,),(),( 2121 maksUU txItxItLim =∞→

dengan demikian ))2(({ 3 tbdmExp −++− µ dan ))(( 3 tbdmExp −+− fungsi monoton turun

dan ))(( 1 tpbdExp −+− fungsi monoton naik untuk ∞→t sehingga terjadi transmisi virus

influenza H5N1 pada unggas sebagai hasil kontak individual pada daerah persekitaran

dengan jarak minimum atau dapat dinyatakan

)).),(),,((( 2121 txItxSdInftLim UU∞→= )0(21UNI−

dengan N nilai maksimum dari ))(( 1 tpbdExp −+− untuk ,∞→t dapat pula ditunjukkan

untuk ),(),( 2121 txItxS UU < diperoleh

)).),(),,((( 2121 txItxSdInftLim UU∞→= )0(21UNI

sehingga untuk sebarang ),(21 txS U dan ),(21 txI U terdapat N=0ε sedemikian hingga

)).),(),,((( 2121 txItxSdInftLim UU∞→= )0(21UIN > N=0ε

dan virus influenza H5N1 disebut Strongly uniformly persistence untuk 10 >UR atau dapat

dikatakan bahwa transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan

sistem pada lokasi 1.

Untuk pembuktian 2, perhatikan penyelesaian konstruksi model koalisi pada 5.40 berbentuk


π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− )0,(xSm

dan

),(11 txI m = π2 ))(( tvbdaExp +++−− )0,(11 xI m

dengan )0,(xSm dan )0,(11 xI m densitas subpopulasi pada kondisi awal sehingga pengaruh

dari transmisi virus influenza H1N1-p terhadap perubahan pada sistem di lokasi 1 dapat

dinyatakan dengan metric

)),(),,(( 1111 txItxSd mm = dxtxItxS mm∫Ω

− ),(),( 1111



HARIYANTO

120

dengan

=− ),(),( 1111 txItxS mm π2 ))(( 21 tqqobdrmxpE −−−−++− +)0,(xSm

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− −)0,(xSm

))({ tvbdaExp +++−− .)0,(11 xI m

atau

)),(),,(( 1111 txItxSd mm = π2∫Ω

−−−−++− ))((( 21 tqqobdrmExp +)0,(xSm

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− −)0,(xSm

))({ tvbdaExp +++−− dxxI m .))0,(11

sehingga untuk ),(),( 1111 txItxS mm ≥ dapat diperoleh

)),(),,(( 1111 txItxSd mm = π2 ))((( 21 tqqobdrmExp −−−−++− +)0(mS

π2 ))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− −)0(mS

))({ tvbdaExp +++−− )),0(11mI

oleh karena penyebaran virus influenza H1N1-p mengalami outbreak dengan bilangan

reproduksi dasar 101 >R maka untuk ∞→t terjadi perubahan pada individual subpopulasi

susceptible ),(11 txS m dan terinfeksi ),(11 txI m atau dapat dinyatakan dengan

0),(11 =∞→

txStLim m dan ,),(),( 1111 maksmm txItxItLim =∞→

dengan demikian fungsi ))2(( 21 tqqobdrmExp −−−−+++− µ dan

))(( 21 tqqobdrmExp −−−−++− monoton turun serta fungsi ))(( tvbdaExp +++−−

monoton naik untuk ∞→t sehingga terjadi transmisi virus sebagai hasil kontak

individual subpopulasi ),(11 txS m dengan terinfeksi ),(11 txI m pada daerah persekitaran

dengan jarak minimum atau dapat dinyatakan dalam bentuk

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= )0(111 mIN−

dengan 1N sebagai nilai maksimum dari ))(( tvbdaExp +++−− untuk ,∞→t dengan cara

yang sama dapat diperoleh



HARIYANTO

121

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= )0(111 mIN untuk ),(),( 1111 txItxS mm <

sehingga untuk sebarang ),(11 txS m dan ),(11 txI m terdapat 10 N=ε sedemikian hingga

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= .)0(111 mIN > 10 N=ε

dan virus influenza H1N1-p disebut strongly uniformly persistence untuk 101 >R atau dapat

dikatakan bahwa transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan


Berdasarkan pada analisa kualitatif pada konstruksi model tahapan pertama terhadap

transmisi virus influenza H1N1-p dan H5N1 melalui kontak individual dapat diketahui

pengaruh penyebaran virus influenza H1N1-p terhadap penyebaran virus influenza H5N1

dan pengaruh penyebaran kedua virus terhadap perubahan sistem, pada pembahasan berikut

akan dilakukan analisa kualitatif dengan mengembangkan transmisi melalui kontak dan

interaksi yang dinyatakan dalam konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua.

5.3 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA

KOALISI TAHAPAN KEDUA

Analisa kualitatif melalui parameter pada konstruksi model matematika koalisi

tahapan kedua antara lain untuk menunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian

tunggal dan bersifat dinamis, perubahan yang terjadi pada subpopulasi untuk ∞→t dan

pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan yang terjadi pada

subpopulasi.

Perhatikan konstruksi model tahapan kedua 5.37 berikut ini

mmm

mmmmmS

wSSqSqmoS

SSmbSmdSSfShmmSrSx

mSD

tmS

112111

121111111121

2

11

+++

+−++−−−−−∂

∂=

∂

∂µµ

mmmmmmmmmEm nEEEbEdElEEfkE

xE

Dt

E111112111111112112

112

1111 −−+−−−++

∂

∂=

∂

∂µµσ

mmmmmIm vIbIdIaI

xI

Dt

I111111112

112

1111 −−−+

∂

∂=

∂

∂ 5.56



HARIYANTO

122

muImbImsdIIwIhmpIx

mID

tmI

mmI

21212121221221221

2

2121 2 −−−−++

∂

∂=

∂

∂

infinfinfinf12inf

2inf

21inf 2 −−−−

−− −−−+∂

∂=

∂

∂cocococo

cococo cIbIdIIwx

ID

tI

dengan total populasi ),()()()()()( inf211 tItItItEtStN cojmjmjmjmjm −++++=

bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p: ,))((

)(

1111

201 vdbDndbD

afkR IE ++++++

+=

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia:udbD

hpR I +++

+=

21

202 dan

bilangan reproduksi co-infeksi: .2

inf0

1inf0 cdbD

wR Ic

co +++=

−

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan kedua ditunjukkan pada pembahasan

berikut ini

Konstruksi model subpopulasi ekspose di lokasi 1

,11111211111111211211

2

1111


xE

Dt

E−−+−−−++

∂

∂=

∂

∂µµσ

konstruksi model populasi ekspose di lokasi 2


xE

Dt

E121211121212122122

122

1212 −−+−−−++

∂

∂=

∂

∂µµσ

dan konstruksi model populasi susceptible pada kedua lokasi adalah

tE m

∂

∂ 11 + t

E m

∂

∂ 12 =

mnEmEmEbEdElEEfkExE

D mmmmmmE

11111211111111211211

2

11 −−+−−−++∂

∂µµσ +

mnEmEmEbEdElEEfkExE

D mmmmmmE

12121112121212212212

2

12 −−+−−−++∂

∂µµσ

tE m

∂

∂ 11 + t

E m

∂

∂ 12 =



HARIYANTO

123

)()()()()(

)()()()(

12111211111212111211

1211121121211212

2

12211

2

11

mmmmmm

mmmmmEmE

EmEnEmEEmEEEbEEd

EElEEfEEkxE

DxE

D

+−+−+++−+

−+−++++∂

∂+

∂

∂

µµσ

atau

=∂

∂

tE ,22

2

nEEEbEdElEEfkExEDE −−+−−−++

∂

∂µµσ

untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan tersebut dilakukan transformasi cosinus

Fourier sehingga diperoleh

)()(

)()()()()()(),0(2)()( 22

knEkE

kEkbEkdEklEkEfkkEdx

tdEkEikDdtdE E

−

−+−−−++−−=

µ

µσπ

atau

=dtdE )()()()()()()()()( 2

2 knEkEkEkbEkdEklEkEfkkEkEkDE −−+−−−++− µµσ

=dtdE )()( 2 kEnbdlkkDE ++−+++−− µµσ yang mempunyai penyelesaian terreduksi

berbentuk =),( tkE })({ 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσ )0,(kE dan

dengan menggunakan invers transformasi Fourier =),( txE ∫Ω

dkkxtkE )cos(),(2π

dapat

diperoleh

=),( txE ∫Ω

)0,(2 kEπ

}{ 2tkDExp E− })({ 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ )cos(kx dk

atau

=),( txEπ2 })({ 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ∫

Ω

)0,(kE kxcos }{ 2tkDExp E− dk

=),( txEπ2 })({ 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ∫

Ω

)0,(kE (1 +



HARIYANTO

124

}{(!

2

1tkDExp

dkd

nk E

n

n

n

n

−∑∞

=

) dk untuk ekspansi }{ 2tkDExp E− menurut deret Mc Laurin

berbentuk )( 2tkDExp E− = 1 + ),((!

2

1tkDExp

dkd

nk E

n

n

n

n

−∑∞

=

dengan demikian diperoleh

penyelesaian berbentuk

=),( txE

π2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ { ∫

Ω

)0,(kE )cos(kx dk +

}{(!

1 2

1tkDExp

dkd

nE

n

n

n−∑

∞

=∫Ω

)0,(kEk n )cos(kx dk }

atau

=),( txEπ2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ { )0,(xE +

}{(!

1 2

1tkDExp

dkd

nE

n

n

n−∑

∞

=n

nn

xxE

∂

∂−

)0,()1( ).

Untuk ,∞→x 3,2,1=n ... dan densitas populasi ekspose merupakan rumpun eksponensial

diperoleh 0)0,()1( →∂

∂− n

nn

xxE sehingga PUPD adalah

=),( txEπ2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ )0,(xE

atau

+),(11 txE m =),(12 txE m π2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ )0,(xE

atau

=),(11 txE m π2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ )0,(xE - ).,(12 txE m

Untuk mendapatkan penyelesaian dari konstruksi model pada lokasi 1,



HARIYANTO

125

perhatikan persamaan


xE

Dt

E111112111111112112

112

1111 −−+−−−++

∂

∂=

∂

∂µµσ

atau

+dt

dE m11 =+++++−− mE EnbdlfkkD 112

211 )( µ ,12mEµσ dengan melakukan subtitusi

=),(12 tkE m ))(( 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσ )0,(kE ),(11 tkE m− pada

persamaan tersebut diperoleh

+dt

dE m11 =+++++−− mE EnbdlfkkD 112

211 )( µ

))(( 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσµσ )0,(kE ),(11 tkE mµσ−

atau

+dt

dE m11 =++++++−− mE EnbdlfkkD 112

211 )( µµσ

))(( 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσµσ )0,(kE dengan penyelesaian

tereduksi berbentuk

=),(11 tkE m ))(( 2 tnbdlfkExp ++++++−−− µµσ )0,(11 kE m },{ 211 tkDExp E−

jika dilakukan invers dengan menggunakan invers transformasi Fourier maka diperoleh

penyelesaian umum persamaan reduksi berbentuk

=),(11 txE m π2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++++++−−− µµσ ).0,(11 xE m

Untuk mendapatkan penyelesaian partikulir, perhatikan persamaan lengkap

+dt

dE m11 =++++++−− mE EnbdlfkkD 112

211 )( µµσ

))(( 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσµσ ),0,(kE

misalkan pdtd

= maka dapat diperoleh persamaan berbentuk

=++++++−−+ mE EnbdlfkkDp 112

211 )( µµσ

))(( 22 tnbdlfkkDExp E ++−+++−−− µµσµσ )0,(kE



HARIYANTO

126

atau

=),(11 tkE m

µσ ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσµσ2

)( 2tkDExp E− ),0,(kE

dengan melakukan ekspansi perderetan pada µσ2

)( 2tkDExp E− maka diperoleh

=),(11 tkE m

21 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ( 1 + }{

!2

1tkDExp

dkd

nk E

n

n

n

n

−∑∞

=

) ),0,(kE

dengan menggunakan invers transformasi cosinus Fourier diperoleh

=),(11 txE m 21 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ( dkkxkE )cos()0,(∫

Ω

+

)(!

1 2

1tkDExp

dkd

nE

n

n

n−∑

∞

=

dkkxkEk n )cos()0,(∫Ω

)

atau

=),(11 txE m 21 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ( )0,(xE +

)(!

1 2

1tkDExp

dkd

nE

n

n

n−∑

∞

=

,)0,()1( n

nn

xxE

∂

∂− densitas subpopulasi ekspose merupakan

rumpun eksponensial maka 0)0,()1( 2

22 →

∂

∂− m

mm

xxE dan 0)0,()1( →

∂

∂− n

nn

xxE untuk ∞→x

dan semua nilai ...3.2.1, =mn sehingga PPPD adalah

=),(11 txE m 21 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ).0,(xE

Dengan demikian PUPD berbentuk

=),(11 txE m π2 ))(( 2 tnbdlfkExp ++++++−−− µµσ ).0,(11 xE m +

21 ))(( 2 tnbdlfkExp ++−+++−−− µµσ ).0,(xE



HARIYANTO

127

Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial berikut ini

mmmmmmmIm uIbIdIIwIhpI

xI

Dt

I212121212212212

212

2121 2 −−−−++

∂

∂=

∂

∂


)()()(

)(2)()(),0(2)(){(

212121

2122122121

212

2121

kuIkbIkdI

kIwkIhkpIdx

tdIkIikD

dtdI

mmm

mmmm

mIm

−−

−−++−−=π

)()(

)()(2)()()(

2121

2121221221212

2121

kuIkbI

kdIkIwkIhkpIkIkDdt

dI

mm

mmmmmIm

−

−−−++−=

atau

),()2( 21222

2121 kIubdwhpkD

dtdI

mIm ++++−−−=


=),(21 tkI m )0,())2(( 21222

21 kItubdwhpkDExp mI ++++−−− .

atau

=),(21 tkI m ))2(( 22 tubdwhpExp ++++−−− )0,(21 kI m }( 221 tkDExp I− dan dengan

menggunakan invers transformasi Fourier =),(21 txI m ∫Ω


dapat

diperoleh

=),(21 txmIπ2 ))2(( 22 tubdwhpExp ++++−−− { ∫

Ω

dkkxkI m )cos()0,(21 +

∫∑Ω

∞

=

− dkkxkIkdk

tkDExpdn m

nn

In

n)cos()0,()0(

)(!

121

221

1

)

atau

=),(21 txmIπ2 ))2(( 22 tubdwhpExp ++++−−− { )0,(21 xI m +

)0()(

!1 2

21

1n

In

n dktkDExpd

n−

∑∞

=n

mn

n

xxI

∂

∂−

)0,()1( 21 ).



HARIYANTO

128

Populasi terinfeksi merupakan rumpun eksponensial sehingga untuk ∞→x dan semua

...3,2,1=n dapat diperoleh 0)0,(21 →

∂

∂n

n

xxmI

sehingga PUPD adalah

=),(21 txmIπ2 ))2(( 22 tubdwhpExp ++++−−− ).0,(21 xI m


kedua dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk

=),(1 txS m π2 )))()(2(( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )))()((( 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− )0,(xSm

=),(11 txE m π2 )))((( 2 tnbdlfkExp +++++++−− µµσ )0,(11 xE m +

21 )))((( 2 tnbdlfkExp ++−++++−− µµσ )0,(xEm 5.57

=),(11 txI m ))((2 tvbdaExp +++−−π

)0,(11 xI m

=),(21 txI m π2 ))2(( 22 thpwudbExp −−+++− )0,(21 xI m

=− ),(inf txIco )0,())2((2inf1 xItcbdwExp co−+++−−

π


π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU

=),(21 txI U ))((2 tpbdExp −+−π

)0,(21 xI U

Berdasarkan pada penyelesaian konstruksi model koalisi tahapan kedua pada pembahasan

berikut akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat

dinamis.



HARIYANTO

129

5.3.1 Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan

Kedua

Bentuk pengembangan pada konstruksi model koalisi tahapan kedua sebagai

rangkaian proses koalisi adalah transmisi virus influenza melalui kontak dan interaksi dan

transmisi silang sehingga terdapat subpopulasi baru co-infeksi, langkah-langkah untuk

menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed sama seperti yang dilakukan pada

konstruksi model koalisi tahap pertama.

Misalkan densitas populasi dari konstruksi model koalisi tahapan kedua bernilai

positif yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

untuk setiap 1, Ω∈yx pada lokasi 1

0),(),,(),,(),,(),,( inf2111111 >txItxItxItxEtxS commmm , 0),(),,( 2121 >txItxS UU

dengan diffusi global

0)()(2 1

12 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKmSdyyxKmS dan 0)()(2 1

1112 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKmEdyyxKmE

untuk setiap 2, Ω∈yx pada lokasi 2

0),(),,(),,(),,(),,( inf2212122 >txItxItxItxEtxS commmm 0),(),,( 2222 >txItxS UU

dengan diffusi global

0)()(1 2

21 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKmSdxxyKmS

dan

,0)()(1 2

1211 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKmEdxxyKmE 5.58

untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan dibahas berikut ini

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Untuk menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian dari model digunakan

definisi yang menyatakan bahwa setiap penyelesaian dari model sistem dapat dinyatakan

dalam Norm matriks dan bergantung pada konstante Lipschitz )(tk untuk setiap .Rt∈



HARIYANTO

130

Dengan demikian sebagai langkah awal adalah melakukan reduksi terhadap model sistem

dalam bentuk total populasi maupun perubahan-perubahan genetik yang terjadi pada setiap

individual populasi.

Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.21 pada lokasi 1 dapat dinyatakan

dalam bentuk

dxtxStS mm ),()(1

11 ∫Ω

=

dan

dxt

txSdt

tdS mm ∫Ω ∂

∂=

1

11 ),()(


berbentuk

).),(( ttXfdtdX

=

Misalkan Himpunan subpopulasi pada lokasi 1

},

0,0,0,0,0,0,0{

1212111inf2111111

211inf2121111111

MISNIIIESIISIIESX

UUcommmm

UcoUmmmm

=+=++++

>>>>>>>= 5.59

dan himpunan subpopulasi pada lokasi 2

,},

0,0,0,0,0,0,0{

2222222inf2212122

2222222121222

MISNIIIESISIIIESX

UUcommmm

UUmcoinmmm

=+=++++

>>>>>>>= 5.60



21 XXX ∪=

atau

}.,,,,,,,,,,,,

0,0,,0,0,0,0{

22212221inf2inf1inf

22221112111121121

211

UUUUUUcococo

mmmmmmmmmmmm

UUcoifmmmm

IIISSSIIIIIIIIIEEESSS

ISIIIESX

∈∈∈

∈∈∈∈

>>>>>>=

5.61


),( 21

111 mmm SSS = , ),( 2

2122 mmm SSS = , ),( 2

1111111 mmm EEE = , ),( 2

1211212 mmm EEE = ,



HARIYANTO

131

),( 211

11111 mmm III = , ),( 2

1211212 mmm III = , ),( 2

2112121 mmm III = , ),( 2

2112121 UUU III = ,

),,( 21inf

11inf1inf cococo III = ),,( 2

2inf1

2inf2inf cococo III = ),( 222

12222 UUU III = dan

),( 222

12222 mmm III = 5.62


},,,,,,,,,,,,,{ 122

121

122

121

122

12inf

11inf

121

112

111

112

111

12

11

1UUUUmcocommmmmmm IISSIIIIIIEESSX =

dan

}.,,,,,,,,,,,,{ 222

221

222

221

22inf

21inf

222

221

212

211

212

211

22

21

2UUUUcocommmmmmmm IISSIIIIIIEESSX =

Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian global dan tunggal

digunakan asumsi Desour yaitu

1. +⊂ RT memuat titik-titik berhingga persatuan interval






nRXX ∈21, 5.63

Misalkan terdapat interval ],[ ii ba dengan titik kesetimbangan endemik nRY ∈ dan

untuk sebarang Ttt ∉= 1 maka ),( 1tYf ada untuk 1tt = sehingga

),(1

tYfLimtt→

= ),( 1tYf

berarti terdapat interval yang memuat titik berhingga dan untuk langkah berikutnya

akan di cari konstante Lipschitz )(tk yang memenuhi

2121 )()),(()),(( XXtkttXfttXf −<− ,



HARIYANTO

132

perhatikan

)),(()),(( 21 ttXfttXf − = ,

61

51

41

31

21

11

aaaaaa

jika elemen-elemen pada norm dapat dinyatakan 6...2.1,111 =+= icba iii maka

)),(()),(( 21 ttXfttXf − =

61

51

41

31

21

11

aaaaaa

= 11 ii cb +

atau

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ 11 ii cb + dengan ∑=

=n

jijii amaksa

11 sebagai

Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum dari konstante Lipschitz

)(tk sedemikian hingga memenuhi ∑=

=n

jijii amaksa

11 ,)( Xtk≤ )(tk ditentukan

berdasarkan nilai maksimum dari koefisien-koefisien ija sehingga pada konstruksi model

tahapan kedua menjadi

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ )(2 tk (

221

121

221

121

21inf

11

221

121

211

111

211

111

21

11

UU

UU

cofcoin

mm

mm

mm

mm

IISSIIIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

−

+

222

122

222

122

22inf

12inf

222

122

212

112

212

112

22

12

UU

UU

coco

mm

mm

mm

mm

IISSIIIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

−

) 5.64



HARIYANTO

133

dengan

)(2 tk = Maks ,( 1121 dfhmrwqqob −−−−−++++

,,2 vbdanbdlfk −−−−−−−−++ µµσ ,2 22 ubdwhp −−−−+ .

,2 1 cbdw −−− ), 13 bdpmdb −−−−

atau

)(2 tk = ,)()(( min1121 dfhmrwqqob maks ++++−++++

,)(,)()( minmin2 vbdanbdlfk maksmaks ++−++++−++ µµσ,)2()( min22 ubdwhp maks +++−+ . ,)()2( min1 cbdw maks ++−

).)()(,)( min13 bdpmdb maksmaks +−+− 5.65

Konstruksi model tahapan kedua merupakan submodel dari model sistem koalisi,

oleh karena itu terdapat interface antara submodel 1 dan submodel 2 yaitu pada mI11 dan

UI 21 yang berlaku sebagai input eksternal pada submodel 2.

Konstante Lipschitz pada tahapan kedua dikonstruksi berdasarkan pada parameter

min)( vbdamaks ++− sebagai rate perubahan atau transisi dari mI11 yang berasal dari

individual populasi ekspose setelah mengalami transisi mmaks Ea 11 pada akhir masa ekspose,

parameter min22 )2()( ubdwhp maks +++−+ sebagai rate perubahan atau transisi dari

mpI 21 setelah terjadi kontak maupun interaksi dengan individual susceptible, parameter

min1 )()( bdp maks +− sebagai rate perubahan atau transisi dari UI 21 dan parameter

min1 )()2( cbdw maks ++− sebagai rate perubahan atau transisi mI 21 setelah terjadi kontak

dengan ,11mI dengan demikian konstante Lipschitz dapat dinyatakan

)(2 tk ≈ +maksa makshp )( 2+ + maksp )( 1 + maksw )2( 1 5.66

untuk 0→d dan b rate kelahiran yang diasumsiskan sebagai bagian dari populasi

susceptible.

Untuk menunjukkan bahwa )(2 tk adalah fungsi kontinu sebagian demi sebagian untuk

semua +∈ Rt dan untuk semua nRXX ∈21, dapat dilakukan dengan cara yang sama



HARIYANTO

134

seperti pada submodel 1 yaitu dengan memperhatikan perubahan atau transisi yang terjadi

pada subpopulasi antara lain

1. Transmisi virus influenza H5N1 dengan perubahan atau transisi mShp 12 )( + sebagai

akibat kontak dan interaksi individual dalam bentuk Um ISe 21112 )( +∗β dengan rate

perubahan atau transisi yang berlaku selama masa terinfeksi, sedangkan pada akhir

masa terinfeksi terdapat mIhp 212 )( + yang bergantung pada saat tanda-tanda terinfeksi

muncul.

2. Terdapat rate perubahan atau transisi dari individual akspose mE11 sebesar −maksa

min)( vbd ++ sehingga selama periode ekspose berlaku maksa mE11 dan pada akhir masa

ekspose atau berada pada masa infeksi terdapat maksa mI11 artinya pada saat terjadinya

tanda-tanda terinfeksi rate perubahan tidak berlaku pada individual ekspose atau

sebaliknya.

3. Transmisi virus influenza H1N1-p dapat pula terjadi pada individual terinfeksi H5N1

dengan rate perubahan atau transisi sebesar min1 )()2( cbdw maks ++− sehingga terdapat

individual co-infeksi infcoI dengan rate perubahan atau transisi maksw )2( 1 hanya berlaku

selama masa terinfeksi.

Berdasarkan pada analisa tersebut diatas menunjukkan eksistensi dan ketunggalan global

pada konstruksi model sistem koalisi tahapan kedua, pada pembahasan berikut akan

ditunjukkan bahwa sistem adalah dinamis.

Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua merupakan sistem dinamis Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua merupakan rangkaian dari

proses koalisi pada penyebaran virus influenza H5N1 unggas dan H1N1-p, pada konstruksi

model koalisi tahapan kedua, transmisi kedua virus dikembangkan melalui kontak dan

interaksi antara individual susceptible dengan individual terinfeksi dan juga transmisi

silang antara individual terinfeksi oleh virus influenza yang berbeda.

Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan fungsi kontinu

=Ω ),(1 RC ( ),,(11 txI m ),,(21 txmI ),,(inf txIco ),(21 txI U ) X⊂ , ),(),( 1 RCtxi Ω∈φ



HARIYANTO

135

dan aliran kontinu

)},(),,(),,(),,({)0),,(( 21inf2111 txItxItxItxItx Ucommi =φπ

sebagai aliran kontinu jika memenuhi

)),,(()),),,((( sttxtstx += φπφππ = ),),,(( 2111 tttxI m +π

misalkan himpunan fungsi kontinu


dan


dan misalkan himpunan populasi global

=Ω ),( RC ),(2 RC Ω ∪ ),(3 RC Ω = )),(),,(),,(( txStxEtxS Umm

maka aliran kontinu

)},(),,(),,({)0),,(( txStxEtxStx Ummi =φπ untuk ),(),( RCtxi Ω∈φ

sebagai aliran kontinu jika π memenuhi

)),,(()},),,((( sttxtstx += φπφππ = ).),,(( 21 tttxSm +π Perhatikan bentuk penyelesaian

=),( txEm π2{ )))((( 2 tnbdlfkExp +++++++−− µµσ +

21 )))((( 2 tnbdlfkExp ++−++++−− µµσ } )0,(xEm

yang bergerak dari lokasi 1 ke lokasi 2 pada selang waktu ,1 stt ≤≤ jika

)0),,(( txEmπ = ),( txEm merupakan penyelesaian konstruksi model maka ),( txEm

merupakan aliran kontinu global jika memenuhi )),),,((( 1 sttxEmππ = ).),,(( 1 sttxEm +π

Oleh karena ),( txEm bergerak pada interval stt +≤≤ 10 maka dapat diperoleh

=+ ),( 1 stxEm π2{ )))((( 12 tnbdlfkExp +++++++−− µµσ +

})))(((21

12 tnbdlfkExp ++−++++−− µµσπ2{

)))((( 2 snbdlfkExp +++++++−− µµσ +



HARIYANTO

136

21 )))((( 2 snbdlfkExp ++−++++−− µµσ } ),0,(xEm

misalkan pada )( 1 st + merupakan batas masa ekspose sehingga fungsi

π2{ )))((( 2 snbdlfkExp +++++++−− µµσ +

21 ))))((( 2 snbdlfkExp ++−++++−− µµσ

monoton turun dan diperoleh

=+ ),( 1 stxEm π2{ )))((( 2 snbdlfkExp +++++++−− µµσ +

21

)))((( 2 snbdlfkExp ++−++++−− µµσ } ),( 1txEm < ),( 1txEm

atau ).),,(( 1 sttxEm +π = ).),),,((( 1 sttxEmππ

Misalkan ),( txEm bergerak pada interval tst ≤+≤ 10 atau stt −≤≤ 10 sebelum t

sehingga

=− ),( stxEm π2{ )))((( 2 tnbdlfkExp +++++++−− µµσ +

21

)))((( 2 tnbdlfkExp ++−++++−− µµσ }π2{

)))((( 2 snbdlfkExp +++++++− µµσ +

21 )))((( 2 snbdlfkExp ++−++++− µµσ } ),0,(xEm

oleh karena ),( txEm bergerak sebelum batas masa ekspose maka akan terjadi peningkatan

penyebaran virus influenza H1N1-p atau

fungsi π2{ )))((( 2 snbdlfkExp +++++++− µµσ +

21

))))((( 2 snbdlfkExp ++−++++− µµσ monoton naik sehingga

=− ),( stxEm π2{ )))((( 2 snbdlfkExp +++++++− µµσ +

21

)))((( 2 snbdlfkExp ++−++++− µµσ } ),( txEm > ),( sxEm



HARIYANTO

137

atau

=− ),( stxEm π2{ )))((( 2 snbdlfkExp +++++++− µµσ +

21

)))((( 2 snbdlfkExp ++−++++− µµσ } ),( txEm = ).),),,((( 1 sttxEmππ

sehingga diperoleh

).),),,((( 1 sttxEmππ = ).),,(( 1 sttxEm −π

atau

).),),,((( 1 sttxEmππ = ).),,(( 1 sttxEm +π

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible merupakan

aliran kontinu global dan dapat ditunjukkan pula untuk individual subpopulasi susceptible

sebagai aliran kontinu global.

Perhatikan bentuk penyelesaian dari subpopulasi co-infeksi

=− ),(inf txIco )0,())2((2inf1 xItcbdwExp co−+++−−

π),(1 RC Ω∈

atau

)0),,(( inf txIco−π = ),,(inf txIco−

misalkan individual subpopulasi ),(inf txIco− bergerak terbatas pada lokasi 1 pada selang

waktu 21 ttt ≤≤ atau dapat dikatakan bahwa ),(inf txIco− bergerak pada interval waktu

210 ttt +≤≤ sehingga diperoleh

=+− ),( 21inf ttxIco π2 ))2(( 21 tcbdwExp +++−− ))2(( 11 tcbdwExp +++−− ),0,(inf xIco−

misalkan )( 21 tt + batas akhir dari masa infeksi sehingga pada interval 21 ttt ≤≤ terjadi

penurunan penyebaran virus influenza H1N1-p pada individual subpopulasi terinfeksi

H5N1 dan diperoleh fungsi ))2(( 21 tcbdwExp +++−− monoton turun, dengan demikian

dapat diperoleh

=+− ),( 21inf ttxIco π2 ))2(( 21 tcbdwExp +++−− ),( 1inf txIco− ),( 1inf txIco−<



HARIYANTO

138

atau

=+− ),( 21inf ttxIco π2 ))2(( 21 tcbdwExp +++−− ),( 1inf txIco− = }),),,(({ 21inf tttxIco−ππ

)),),,((( 21inf tttxIco−ππ = )),,(( 221inf tttxIco +−π untuk .0 21 ttt +≤≤

Misalkan subpopulasi ),(inf txIco− bergerak pada interval ttt ≤+≤ 210 atau 210 ttt −≤≤

dengan )( 21 tt + berada pada masa infeksi sehingga fungsi ))2(( 21 tcbdwExp +++−−

monoton naik dan diperoleh

=−− ),( 2inf ttxIco π2 ))2( 21 tcbdwExp +++− ),(inf txIco− > ),( 1inf txIco−

atau

=−− ),( 2inf ttxIco π2 ))2( 21 tcbdwExp +++− ),(inf txIco− = )),),,((( 21inf tttxIco−ππ

dapat dinyatakan )),),,((( 21inf tttxIco−ππ = )),,(( 21inf tttxIco −−π atau

)),),,((( 21inf tttxIco−ππ = ).),,(( 21inf tttxIco +−π

Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa individual populasi co-infeksi merupakan aliran

kontinu lokal.

Transmisi penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 digunakan sebagai pedoman

untuk menunjukkan bahwa individual subpopulasi pada konstruksi model tahapan kedua

sebagai aliran kontinu.


tahapan kedua adalah well-posed, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi model

berikutnya adalah analisa densitas populasi.

Pada analisa ini akan dibahas eksistensi penyelesaian positif dari model.

5.3.2. Analisa terhadap densitas populasi.

Penyelesaian positif pada konstruksi model tahapan pertama berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m atau ,)),((),( 1111 maksmm txItxItLim =∞→

oleh karena ),(11 txI m merupakan

interface dengan konstruksi model tahapan kedua maka transmisi virus influenza H1N1-p



HARIYANTO

139

melalui kontak dan interaksi mengabatkan ,)),((),( 1111 maksmm txEtxEtLim =∞→

demikian pula

transmisi silang yang terjadi antara ),(11 txI m dan ),(21 txI m dengan virus influenza H1N1-p

lebih dominan sehingga diperoleh ),(inf txIco− monoton naik atau ),(11 txI m monoton turun.

Jika konstruksi model mempunyai penyelesaian positif maka perubahan dari total

populasi pada masing-masing lokasi juga mempunyai nilai positif, perhatikan total populasi

5.26 pada lokasi 1 berikut ini.

)()()()()()( inf21111111 tItItItEtStN commmmm −++++=

atau

,)),(),(),(),(),(()( inf211111

1

11 dxtxItxItxItxEtxStN commmmm −++++Ω

= ∫ 5.67

dxt

txIt

txIt

txIt

txEt

txSdt

tdN cmmmmm )),(),(),(),(),(

()( inf0211111

1

11

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

Ω ∂

∂= −∫

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫ 2

212

211

2

211

2

1

21

21 ),(),(),(),(

()(

xtxI

Dx

txID

xtxE

Dx

txSD

dttdN m

Im

Im

Em

Sm

−−−−−+∂

∂−

− )),(),(),(),(),((),(

inf21111112inf0

2

txItxItxItxEtxSbx

txID commmm

cI

+++++ − )),(),(),(),(),(( inf2111111 txItxItxItxEtxSd commmm

;).)()),(),(()()),(),((1

111122

2

dxdxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm ∫∫Ω

−+−−+Ω

Misalkan individual subpopulasi bergerak pada ],0[1 L=Ω dengan kondisi batas

Newmann

,0),(

01 =∂

∂=x

m

xtxS

,0),(

011 =∂

∂=x

m

xtxE

,0),(

011 =∂

∂=x

m

xtxI

,0),(

021 =∂

∂=x

m

xtxI

0),(

0inf =∂

∂=

−x

co

xtxI sehingga diperoleh

−−−−−Ω

= −∫ )),(),(),(),(),(()(

inf2111111

1

1 txItxItxItxEtxSbdt

tdNcommmm

m

+++++ − )),(),(),(),(),(( inf2111111 txItxItxItxEtxSd commmm 5.68



HARIYANTO

140

,).)()),(),(()()),(),((1

111122

2


−+−−+Ω

misalkan kdt

txdN m =),(1 untuk +∈Rk maka

−−−−−Ω

−∫ )),(),(),(),(),(( inf2111111

1

txItxItxItxEtxSb commmm


0).)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxdxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm

untuk

−−−−− − )),(),(),(),(),(( inf2111111 txItxItxItxEtxSb commmm


,0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm

misalkan berlaku 0),(11 =∞→

txEtLim m sehingga pertidaksamaan diatas menjadi

++++−− − )),(),(),()((),()( inf21111 txItxItxIdbtxSdb commm

0.)(),()(),(1

1

2

2 >Ω

−−−Ω

∫∫ dxxyKtxSdxyxKtxS mm

dan akan terpenuhi untuk ,db > dbxK +>)( dengan diffusi global

∫∫Ω

−−−Ω 1

1

2

2 .)(),()(),( dxxyKtxSdxyxKtxS mm ,0>

misalkan juga berlaku 0),(11 =∞→

txItLim m sehingga diperoleh

++++−− − )),(),(),()((),()( inf21111 txItxItxEdbtxSdb commm

0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm dan

akan terpenuhi untuk ,db > dbxK +>)( dengan diffusi global

.0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω




HARIYANTO

141

Jadi konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif

dan berlaku 0),(11 =∞→

txEtLim m atau .0),(11 =∞→

txItLim m

Demikian pula dapat ditunjukkan bahwa untuk .0),(11 =∞→

txItLim m dan 0),(21 =∞→

txItLim m

dari pertidaksamaan



0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω


diperoleh

+++−− − )),(),()((),()( inf111 txItxEdbtxSdb comm

0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm dan akan

terpenuhi untuk ,db > dbxK +>)( dengan diffusi global

,0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω


misalkan berlaku 0),(inf =∞→ − txItLim co sehingga pertidaksamaan



0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω


menjadi

++++−− )),(),(),()(),()( 2111111 txItxItxEdbtxSdb mmmm

0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm dan akan


.0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω




HARIYANTO

142

Jadi konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif

dan berlaku 0),(inf =∞→ − txItLim co atau .0),(),( 2111 =

∞→=

∞→txItLimtxItLim mm

Berdasarkan pada analisa densitas populasi tersebut dapat disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.3.

Jika konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif

dan memenuhi teorema 5.1 maka berlaku

1. 0),(11 =∞→

txEtLim m sehingga ),(11 txI m monoton naik.

2. 0),(1 =∞→

txStLim m dan terdapat ),(21 txI m dan ),(11 txI m monoton naik sedemikian

rupa sehinggá ),(inf txIco− monoton naik.

Bukti.

1. Konstruksi model matematika koalisi tahapan kedua memenuhi Teorema 5.1 berarti

invasi dari virus influenza H5N1 dan H1N1 menyebabkan terjadinya ketidakstabilan pada

sistem sehingga ),(11 txI m monoton naik, pada analisa berikut ini akan ditunjukkan bahwa

konstruksi model tahapan kedua mempunyai penyelesaian positif dan berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m atau .0),(11 =∞→

txItLim m

Perhatikan persamaan 5.68

−−−−−Ω

= −∫ )),(),(),(),(),(()(

inf2111111

1

1 txItxItxItxEtxSbdt

tdNcommmm

m


,).)()),(),(()()),(),((1

111122

2


−+−−+Ω

misalkan kdt

tdN m =)(1 untuk +∈Rk diperoleh

−−−−−

Ω−∫ )),(),(),(),(),(( inf2111111

1

txItxItxItxEtxSb commmm




HARIYANTO

143

0).)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxdxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm

untuk



.0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω


Oleh karena ),(11 txI m monoton naik maka penyebaran virus influenza H1N1-p mengalami

peningkatan yang berakibat 0),(1 =txS m untuk ,∞→t dengan demikian dapat diperoleh

+++++− − )),(),(),(),()(( inf211111 txItxItxItxEdb commm

0.)(),()(),(1

11

2

11 >Ω

−−−Ω

∫∫ dxxyKtxEdxyxKtxE mm yang akan terpenuhi untuk

dbxK +>)( dengan diffusi global ∫∫Ω

−−−Ω 1

11

2

11 .)(),()(),( dxxyKtxEdxyxKtxE mm .0>

Pada kondisi setelah terjadi maksmm txItxItLim )),((),( 1111 =∞→

transmisi virus mengalami

penurunan sehingga untuk ∞→t berlaku ),(1 txS m monoton naik dan ,0),(11 =txI m

diperoleh

+−−+−− − )),(),(),()((),()( inf21111 txItxItxEdbtxSdb commm

.0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω

∫∫ dxxyKtxEtxSdxyxKtxEtxS mmmm yang akan


.0.)()),(),(()()),(),((1

111122

2

>Ω

−+−−+Ω


Jadi penyelesaian positif dari konstruksi model koalisi tahapan kedua berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m atau ,0),(11 =∞→

txEtLim m dengan demikian jika 0),(11 =∞→

txEtLim m maka

akan terjadi penyebaran virus influenza H1N1-p yang menyebabkan ),(11 txI m monoton

naik.



HARIYANTO

144

2. Pada pembuktian berikutnya telah diketahui bahwa untuk 0),(1 =∞→

txStLim m terjadi

invasi virus influenza H5N1 dan H1N1 sehingga terjadi transmisi silang yang

mengakibatkan munculnya subpopulasi co-infeksi ),(inf txIco− dan ),(),,( 2111 txItxI mm

monoton naik, perhatikan penyelesaian konstruksi model 5.57 untuk co-infeksi berbentuk

),(inf txIco− = π2 ))2(( 1 tobdwExp +++−− )0,(inf xIco−

dengan bilangan reproduksi dasar

obdD

wRco

coo +++=−

inf

1inf

2 atau infinf0

12co

co

DR

wobd −=++

obdw +++− 12 = +− 12w ,2

infinf0

1co

co

DR

w− oleh karena dilakukan isolasi

terhadap subpopulasi ),(inf txIco− maka untuk 0inf →coD diperoleh infcooR − monoton naik

atau fungsi ))2(( 1 tobdwExp +++−− monoton naik,dengan demikian dapat diperoleh

bahwa untuk 0),(1 =∞→

txStLim m akan terjadi ),(),,( 2111 txItxI mm monoton naik sedemikian

rupa sehingga ),(inf txIco− monoton naik.





Berdasarkan Teorema 5.3, penyelesaian positif konstruksi model tahapan kedua

berlaku 0),(1 =∞→

txStLim m yang bermakna bahwa transmisi virus influenza H5N1 dan

H1N1-p mengalami peningkatan sedemikian rupa sehingga maksmm txItxItLim )),((),( 1111 =∞→

dan ,)),((),( 2121 maksmm txItxItLim =∞→

dengan demikian transmisi virus influenza H5N1 dan

H1N1-p persisten terhadap sistem. Jika reproduksi dasar 101 >R dari virus influenza H1N1-

p lebih dominan dalam mentransmisi pada manusia maka kontak antara ),(11 txI m dan



HARIYANTO

145

),(21 txI m menghasilkan individual subpopulasi baru terinfeksi ),,(inf txIco− jika ),(21 txI m

monoton turun setelah mencapai maksimum maka transmisi kedua virus persisten terhadap

sistem tetapi lemah.

Berdasarkan pada penjelasan tersebut persistensi dari transmisi virus influenza H5N1 dan

H1N1-p diformulasikan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 4.

1. Jika bilangan reproduksi dasar untuk virus influenza H1N1-p 101 >R maka virus

influenza H1N1-p strongly uniformly persistence.

2. jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada 102 >R maka virus

influenza H5N1 strongly uniformly persistence.

3. jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p 101 >R dan bilangan

reproduksi dasar virus influenza H5N1 102 <R maka virus influenza H1N1-p dan

H5N1 weakly uniformly persistence.

Bukti.

Pada pembuktian (1 ), perhatikan penyelesaian konstruksi model tahapan kedua

pada 5.57 untuk densitas subpopulasi susceptible ),(1 txS m dan terinfeksi ),(11 txI m

berbentuk

=),(1 txS m π2 }))()(2({ 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− )0,(xSm

=),(11 txI m })({2 tvbdaExp +++−−π

)0,(11 xI m

dengan kondisi awal )0,(xSm dan )0,(11 xI m dari densitas subpopulasi susceptible pada

lokasi 1 dan lokasi 2 dan densitas subpopulasi terinfeksi virus influenza H1N1-p lokasi 1,

transmisi virus influenza H1N1-p di lokasi 1 dapat dinyatakan sebagai metric

=)),(),,(( 111 txItxSd mm dxtxItxS mm∫Ω

− ),(),( 111



HARIYANTO

146

dengan

=− ),(),( 1111 txItxS mm

π2 }))()(2({ 2111 twqqobdhmfrxpE −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− −)0,(xSm

))({ tvbdaExp +++−− ,)0,(11 xI m

untuk ),(),( 111 txItxS mm ≥ dapat diperoleh =)),(),,(( 111 txItxSd mm

π2 }))()(2({( 2111 twqqobdhmfrxpE −−−−−+++++−∫

Ω

µ )0,(1 xS m +

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− −)0,(xSm

))({ tvbdaExp +++−− dxxI m ))0,(11

atau

=)),(),,(( 111 txItxSd mm

π2 }))()(2({( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ )0(1mS +

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− −)0(mS

))({ tvbdaExp +++−− )).0(11mI

Transmisi virus influenza H1N1-p pada konstruksi model tahapan kedua diasumsikan

mempunyai rate transmisi interaksi > rate kontak, pengamatan terhadap invasi virus

dilakukan setelah periode ekspose dengan 101 >R sehingga penyelesaian positif dari

konstruksi model berlaku 01 =∞→ mStLim artinya terdapat fungsi ))({ tvbdaExp +++−−

monoton naik dan fungsi },))()(2({ 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ

)})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− monoton turun untuk .∞→t yang

berakibat fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H1N1-p monoton naik. Dengan demikian



HARIYANTO

147

transmisi antara individual subpopulasi ),(11 txS m dengan individual subpopulasi terinfeksi

),(11 txI m terjadi pada daerah persekitaran dengan jarak minimum yang dapat dinyatakan

dengan

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→=

π2 }))()(2({( 2111 twqqobdhmfrExpInftLim −−−−−+++++−

∞→µ )0(1mS +

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− −)0(mS

))({ tvbdaExp +++−− ))0(11mI atau

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= )0(111 mIN−

dengan 1N sebagai nilai maksimum dari makstvbdaExp ))({ +++−− untuk .∞→t

Untuk ),(),( 111 txItxS mm < dapat diperoleh

=)),(),,(( 111 txItxSd mm π2 ))({( tvbdaxpE +++−−∫

Ω

−)0,(11 xI m

}))()(2({ 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m -

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− dxxSm ))0,(

atau

=)),(),,(( 111 txItxSd mm π2 ))({( tvbdaExp +++−− −)0,(11 xI m

}))()(2({ 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ −)0,(1 xS m

π2 )})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− )),0,(xSm

fungsi ))({ tvbdaExp +++−− monoton naik dan fungsi-fungsi

}))()(2({ 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ dan



HARIYANTO

148

)})()(({ 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− monoton turun untuk .∞→t sehingga

dapat diperoleh

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= ).0(111 mIN

Dengan demikian untuk sebarang ),(11 txS m dan ),(11 txI m terdapat konstante 10 N=ε

sedemikian rupa sehingga

)).),(),,((( 1111 txItxSdInftLim mm∞→= .)0(111 mIN > 10 N=ε

atau dapat dikatakan virus influenza H1N1-p disebut strongly uniformly persistence untuk

101 >R artinya transmisi dari virus tersebut sangat berpengaruh terhadap perubahan


Pada pembuktian ( 2 ), pengaruh penyebaran virus influenza H5N1 terhadap

perubahan sistem ditunjukkan oleh interaksi dan kontak antara individual subpopulasi

manusia susceptible dengan individual subpopulasi unggas terinfeksi H5N1, transmisi

yang terjadi akan menghasilkan subpopulasi terinfeksi H5N1 pada manusia sehingga

perubahan subpopulasi susceptible dan terinfeksi H5N1 pada manusia akan menunjukkan

domain penyebaran virus.

Perhatikan penyelesaian konstruksi model 5.57 berbentuk

=),(1 txS m π2 )))()(2(( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )))()((( 2111 wqqobdhmfrExp −−−−−++++− )0,(xSm

=),(21 txI m π2 ))2(( 22 thpwudbExp −−+++− )0,(21 xI m

=),(21 txI U ))((21 tpbdExp −+−

π).0,(21 xI U

Transmisi penyebaran virus H5N1 melalui kontak dan interaksi dapat dinyatakan dalam

bentuk metric

=)),(),,(( 211 txItxSd Um dxtxItxS Um∫Ω

− ),(),( 211



HARIYANTO

149

atau

≤)),(),,(( 211 txItxSd Um } ∫∫ΩΩ

−+− dxtxItxIdxtxItxS Ummm ),(),(),(),( 2121211

≤)),(),,(( 211 txItxSd Um )).,(),,((),(),,(( 2121211 txItxIdtxItxSd Ummm +

Transmisi yang terjadi antara individual subpopulasi manusia terinfeksi virus H5N1 dengan

individual subpopulasi unggas terinfeksi H5N1 peluangnya sangat kecil, hal tersebut

terjadi karena subpopulasi ),(21 txI m diisolasi pada lokasi 1 sedangkan

),(21 txI U dimusnahan setelah diketahui tanda-tanda klinik, oleh karena itu transmisi virus

influenza H5N1 tersebut dapat dinyatakan 0)),(),,(( 2121 →txItxId Um untuk .∞→t

Dengan demikian transmisi penyebaran virus influenza H5N1 dari unggas terinfeksi ke

subpopulasi manusia susceptible dapat dinyatakan

=)),(),,(( 211 txItxSd Um ),(),,(( 211 txItxSd mm

atau

=)),(),,(( 211 txItxSd Um dxtxItxS mm∫Ω

− ),(),( 211 dengan

=− ),(),( 211 txItxS mm

π2 )))()(2(( 2111 twqqobdhmfrxpE −−−−−+++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )))()((( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−++++− −)0,(xSm

))2(( 22 thpwudbExp −−+++− ,)0,(21 xI m

untuk ),(),( 211 txItxS mm ≥ dapat diperoleh =)),(),,(( 211 txItxSd Um

π2 [ )))()((( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−++++− )2({ tExp µ− )0(1mS +

π2

−)}0(mS ))2(( 22 thpwudbExp −−+++− )].0(21mI



HARIYANTO

150

Untuk 102 >UR yang mengakibatkan 102 >mR sehingga penyelesaian positif dari

konstruksi model tahapan kedua berlaku 0),(1 =∞→

txStLim m dan ),(21 txI m monoton naik

untuk ∞→t atau dapat dinyatakan dalam bentuk

0),(1 =∞→


dengan demikian transmisi yang terjadi sebagai hasil kontak dan interaksi antara individual

subpopulasi susceptible ),(1 txS m dan individual subpopulasi terinfeksi ),(21 txI U pada

daerah persekitaran dengan jarak minimum dan dinyatakan dengan

=∞→

)),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(),( 2121 mmaksm ItxI−

atau

=∞→

)),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(211 mmaks IN−

dengan 1N nilai maksimum dari ))2(( 22 thpwudbEkp −−+++− untuk .∞→t

Untuk ),(),( 211 txItxS mm < akan diperoleh

=)),(),,(( 211 txItxSd Um π2 ))2((( 22 thpwudbExp −−+++− −)0(21mI

)))()(2(( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−+++++− µ −)0(1mS

π2 )))()((( 2111 twqqobdhmfrExp −−−−−++++− )0(mS

atau

=∞→

)),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um ).0(211 mmaks IN

Dengan demikian untuk sebarang densitas subpopulasi ),(1 txS m dan ),(21 txI U maka untuk

102 >mR terdapat konstante 10 N=ε sedemikian hingga

=∞→

)),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um ).0(211 mIN > 10 N=ε

yang menunjukkan bahwa transmisi penyebaran virus influensa H5N1 dari unggas ke

manusia mempunyai pengaruh terhadap perubahan sistem lokasi 1 atau disebut strongly

uniformly persistence.



HARIYANTO

151

Pembuktian ( 3 ), perhatikan penyelesaian konstruksi model matematika pada 5.57

untuk densitas subpopulasi terinfeksi ),,(21 txI m ),(11 txI m dan ),(inf txIco− berbentuk

=),(11 txI m ))((2 tvbdaExp +++−−π

)0,(11 xI m

=− ),(inf txIco )0,(})2((2inf1 xItcbdwExp co−+++−−

π

=),(21 txI m π2 ))2(( 22 thpwudbExp −−+++− ).0,(21 xI m

Berdasarkan pada asumsi bahwa virus influenza H1N1-p mampu beradaptasi pada manusia

tanpa melalui Pb2 dan virus influenza H5N1 dapat beradaptasi pada manusia melalui Pb2

maka transmisi silang antara subpopulasi terinfeksi ),(11 txI m dengan ),(21 txI m dapat

dinyatakan dalam bentuk metric

)),(),,(( 2111 txItxId mm = dxtxItxI mm∫Ω

− ),(),( 2111

atau

≤)),(),,(( 2111 txItxId mm dxtxItxIdxtxItxI mcocom ),(),(),(),( 21infinf11 −+− ∫∫Ω

−

Ω

−

dengan

dxtxItxI com∫Ω

−− ),(),( inf11 = π2 ))(( tvbdaxpE +++−−∫

Ω

)0(11mI -

))2(( 1 tcbdwExp +++−− dxIco )0(inf−

dan

dxtxItxI mco∫Ω

− − ),(),( 21inf = )0,())2((2inf1 xItcbdwxpE co−

Ω

+++−−∫π -

))2(( 22 thpwudbExp −−+++− .)0,(21 dxxI m

Untuk ),(),( inf11 txItxI com −≥ dan ),(),( 21inf txItxI mco <− diperoleh

dxtxItxI com∫Ω

−− ),(),( inf11 =π2 ))((( tvbdaExp +++−− )0(11mI -

))2(( 1 tcbdwExp +++−− ))0(inf−coI



HARIYANTO

152

dan

=−∫Ω

− dxtxItxI mco ),(),( 21inf π2 ))2((( 22 thpwudbExp −−+++− )0,(21 xI m -

))2(( 1 tcbdwExp +++−− ))0,(inf xIco−

dxtxItxI com∫Ω

−− ),(),( inf11 + =−∫Ω

− dxtxItxI mco ),(),( 21inf

π2 ))((( tvbdaExp +++−− −)0(11mI ))2(( 1 tcbdwExp +++−− +− ))0,(inf xIco

π2 ))2((( 22 thpwudbExp −−+++− )0,(21 xI m - ))2(( 1 tcbdwExp +++−− ))0,(inf xIco−

atau

dxtxItxI com∫Ω

−− ),(),( inf11 + =−∫Ω

− dxtxItxI mco ),(),( 21inf

π2 ))((( tvbdaExp +++−− −)0(11mI ))2((2 1 tcbdwExp +++−− +− )0,(inf xIco

))2((( 22 thpwudbExp −−+++− )),0,(21 xI m dengan demikian

≤)),(),,(( 2111 txItxId mm π2 ))((( tvbdaExp +++−− −)0(11mI

))2((2 1 tcbdwExp +++−− +− )0,(inf xIco ))2((( 22 thpwudbExp −−+++− ))0,(21 xI m

atau

=))),(),,((( 2111 txItxIdSup mm π2 ))((( tvbdaExp +++−− −)0(11mI

})2({2 1 tcbdwExp +++−− +− )0,(inf xIco ))2((( 22 thpwudbExp −−+++− )).0,(21 xI m

Penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1 dengan masing-masing bilangan reproduksi

dasar 101 >R dan 102 <R sehingga fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H1N1-p monoton

naik dan fungsi densitas subpopulasi terinfeksi H5N1 monoton turun atau dapat dinyatakan

bahwa fungsi ))(( tvbdaExp +++−− monoton naik dan fungsi

))2(( 22 thpwudbExp −−+++− monoton turun untuk ,∞→t akibatnya densitas

subpopulasi co-infeksi juga monoton turun dan diperoleh



HARIYANTO

153

=∞→

))),(),,((( 2111 txItxIdSuptLim mm N )0(11mI

dengan N nilai maksimum dari ))(( tvbdaExp +++−− untuk .∞→t

Untuk ),(),( 1inf11 txItxI com −< dan ),(),( 21

1inf txItxI mco ≥− diperoleh

=∞→

))),(),,((( 2111 txItxIdSuptLim mm N− ).0(11mI

Dengan demikian untuk sebarang subpopulasi ),(11 txI m dan ),(21 txI m

dengan 101 >R dan 102 <R terdapat konstante N=0ε sedemikian hingga

=∞→

))),(),,((( 2111 txItxIdSuptLim mm N )0(11mI > N=0ε

yang menunjukkan bahwa transmisi virus influenza H1N1-p pada individual terinfeksi

H5N1 dengan 101 >R dan 102 <R mempunyai pengaruh yang kecil terhadap perubahan

subpopulasi co-infeksi pada lokasi 1 atau disebut weakly uniformly persistence.

Transmisi virus influenza pada konstruksi model tahapan kedua dikembangkan melalui

kontak dan interaksi individual sehingga analisa kualitatif yang dilakukan menghasilkan

subpopulasi baru yaitu subpopulasi co-infeksi, oleh karena virus influenza H5N1 belum

dijamin untuk dapat beradaptasi pada manusia maka koalisi dari kedua virus influenza tidak

akan terjadi.

Pada pembahasan berikut sebagai rangkaian proses koalisi akan dilakukan analisa terhadap

co infeksi setelah dilakukan subtitusi asam amino pada individual subpopulasi susceptible

pada konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga.

5.4 ANALISA KUALITATIF PADA KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA

KOALISI TAHAPAN KETIGA

Analisa kualitatif pada konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga

bertujuan untuk mengetahui bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal positif dan

bersifat dinamis, pengaruh penyebaran virus H5N1 dan H1N1-p terhadap perubahan sistem.

Perhatikan konstruksi model tahapan ketiga 5.38 berbentuk

mmS SSqwqqobdfrfAhmA

xmS

DtmS

2132113121

2

11 )( µµ +−−−−−+−+++++−

∂

∂=

∂

∂



HARIYANTO

154

mmmEm EEnbdlfk

xE

Dt

E121122

112

1111 )( µσµ ++++++−−−

∂

∂=

∂

∂

mmIm Ivbdha

xI

Dt

I1132

112

1111 )( ++++−−

∂

∂=

∂

∂ 5.69

mmI

jm IubdwmAhp

xI

Dt

I212122

212

221 )2)(( ++++++−−

∂

∂=

∂

∂

inf112inf

2

inf0inf )2( −

−−

− ++++−−∂

∂=

∂

∂co

coIc

co Icbdnwx

ID

tI

JqbdfnmhxJD

tJ J )( 42242

2

1 +++−−−−−∂

∂=

∂

∂

dengan total populasi ),()()()()()()( inf211 tJtItItItEtStN cojmjmjmjmjm +++++= −

bilangan reproduksi dasar virus influenza H1N1-p ,))((

)(

1111

201 ndbDvdbD

afkR IE ++++++

+=

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 manusia ,)(

21

202 udbD

AhpR I +++

+=

bilangan reproduksi dasar co-infeksi cdbD

wR Ic

co +++=

−inf0

1inf0

2 dan

bilangan reproduksi dasar virus super-strain .42240 qdbD

fnmhRJ

J +++

+++=

Penyelesaian konstruksi model matematika tahapan ketiga ditunjukkan pada pembahasan

berikut ini

infinfinfinf1inf12inf

2

inf0inf 2 −−−−−

−−

− −−−−+∂

∂=

∂

∂cococococo

coIc

co cIbIdIInIwx

ID

tI

penyelesaian dari persamaan differensial tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan

transformasi cosinus Fourier )0(2)()( )1(2)2( fkfkkfπ

−−= sehingga diperoleh

persamaan differensial berbentuk

)()()(

)()(2)0(2)((

infinfinf

inf1inf1inf

inf21

infinf

kcIkbIkdI

kInkIwdx

dIIikD

dtdI

cococo

cococo

cococo

−−−

−−−

−−−

−−

−−+−−=π



HARIYANTO

155

atau

−−−+−= −−−−−− )()()(2)( infinf1inf1inf

21inf

inf kdIkInkIwkIkDdt

dIcococococo

co

)()( infinf kcIkbI coco −− −

)()2( inf1121

infinf kIcbdnwkD

dtdI

cococo

−−− ++++−−=

yang mempunyai penyelesaian tereduksi berbentuk

=− ),(inf tkIco ))2(( 1121

inf tcbdnwkDExp co ++++−− − )0,(inf kIco−

atau

=− ),(inf tkIco ))2(( 11 tcbdnwExp ++++−− )0,(inf kIco− ),( 21inf tkDExp co−−

dengan melakukan ekspansi menurut deret Mc-Laurin terhadap )( 21inf tkDExp co−− diperoleh

=− ),(inf tkIco )0,(inf kIco− ))2(( 11 tcbdnwExp ++++−− ( )(!

1 21inf

1tkDExp

dkd

nk

con

n

n

n

−

∞

=

−+∑ ),

dilakukan invers terhadap ),(inf tkIco− dengan menggunakan invers transformasi Fourier

berbentuk dkkxtkItxI coico )cos(),(2),( infinf ∫Ω

−− =π

sehingga diperoleh

=− ),(inf tkIco ))2(( 11 tcbdnwExp ++++−− dkkxkIco )cos()0,(2inf∫

Ω

−π +

))2(( 11 tcbdnwExp ++++−− )(!

1 21inf

1tkDExp

dkd

n con

n

n−

∞

=

−∑ dkkxkIk con )cos()0,(2

inf∫Ω

−π

atau

=− ),(inf tkIco )0,())2((2inf11 xItcbdnwExp co−++++−−

π +

))2((211 tcbdnwExp ++++−−

π)((

!1 21

inf1

tkDExpdkd

n con

n

n−∑

∞

=

,)1( infn

con

n

xI∂

∂− −

untuk ,∞→x ...2.1=n dan inf−coI merupakan rumpun eksponensial diperoleh

0)1( inf →− −n

con

n

dxId sehingga penyelesaian persamaan differensial tersebut adalah



HARIYANTO

156

=− ),(inf tkIco ).0,())2((2inf11 xItcbdnwExp co−++++−−

π

Pada penyelesaian selanjutnya, perhatikan persamaan differensial berikut ini

qJbJdJJfJnJmJhxJD

tJ J −−−++++

∂

∂=

∂

∂42242

2

1


)()()(

)()()()()0(2)()( 42242

1

kqJkbJkdJ

kJfkJnkJmkJhdxdJkJikD

dtdJ J

−−

−++++−−=π

atau

)()()()()()()()( 42242

1 kqJkbJkdJkJfkJnkJmkJhkJkDdtdJ J −−−++++−=

),()( 42242

1 kJqbdfnmhkDdtdJ J +++−−−−−=


=)(kJ ))(( 42242

1 tqbdfnmhkDExp J +++−−−−− )0,(kJ

atau

=)(kJ ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−−− )( 21 tkDExp J− ),0,(kJ dengan

menggunakan invers transformasi Fourier =),( txJ ∫Ω

dkkxtkJ )cos(),(2π

dapat diperoleh

=),( txJπ2 ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−−− { ∫

Ω

dkkxtkJ )cos(),(2π

+

})cos()0,()0()(

!1 2

1

1∫∑Ω

∞

=

− dkkxkJkdk

tkDExpdn

nn

Jn

n

atau

=),( txJπ2 ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−−− { )0,(xJ +

)0()(

!1 2

1

1n

Jn

n dktkDExpd

n−

∑∞

=n

nn

xxJ

∂

∂−

)0,()1( },



HARIYANTO

157

untuk ,∞→x ...3,2,1=n dan subpopulasi super strain merupakan rumpun eksponensial

sehingga diperoleh .0)0,(

)1( 1 →∂

∂− n

nn

xxJ

Dengan demikian PUPD adalah

=),( txJπ2 ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−−− ).0,(kJ


ketiga dapat dilakukan dengan cara yang sama sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk

=),(1 txS m

π2 )))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )0,(xSm

=),(11 txE m π2 )))((( 2 tnbdlfkExp +++++++−− µµσ )0,(11 xE m + 5.70

21 )))((( 2 tnbdlfkExp ++−++++−− µµσ )0,(xEm

=),(11 txI m ))((23 tvbdhaExp ++++−−

π)0,(11 xI m

=),(21 txI m π2 )))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )0,(21 xI m

=− ),(inf txIco )0,(})2({2inf11 xItcbdnwExp co−++++−−

π

=),( txJπ2 ))(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− )0,(xJ


π2 ))(( 3 tbdmExp −+− )0,(xSU

=),(21 txI U ))((2 tpbdExp −+−π

).0,(21 xI U



HARIYANTO

158

Berdasarkan penyelesaian 5.70 dari konstruksi model tahapan ketiga, pembahasan berikut

akan ditunjukkan bahwa model mempunyai penyelesaian tunggal dan bersifat dinamis.

5.4.1 Well – Posedness dari konstruksi model matematika koalisi Tahapan

ketiga

Rangkaian proses koalisi pada konstruksi model koalisi tahapan ketiga merupakan

pengembangan dari konstruksi model tahapan kedua dengan melakukan subtitusi asam

amino, diharapkan pada konstruksi model tahapan ketiga dapat menghasilkan virus dengan

strain baru, oleh karena itu subpopulasi co-infeksi dikonstruksi agar supaya virus influenza

H5N1 dan H1N1-p untuk ∞→t dapat berkoalisi.

Substitusi asam amino pada virus influenza H5N1 dilakukan pada individual

subpopulasi susceptible terutama individual susceptible yang berasal dari individual

terinfeksi H5N1 setelah recovery, oleh karena subtitusi asam amino konstan maka pada

konstruksi model tahapan ketiga tidak terdapat perubahan individual subpopulasi yang

disebabkan oleh mutasi.

Misalkan densitas subpopulasi dari konstruksi model koalisi tahapan ketiga dapat

dinyatakan sebagai berikut.

0),(),,(),,(),,( 2111111 >txItxItxEtxS mmmm , ,0),(1inf >txIco ,0),( >txJ

0),(),,( 2121 >txItxS UU untuk setiap 1, Ω∈yx pada lokasi 1 dengan diffusi global

,0)()(2 1

12 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKmSdyyxKmS ,0)()(2 1

1112 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKmEdyyxKmE

0)()(2 1

2122 >−−−∫ ∫Ω Ω

dxxyKuSdyyxKuS

dan

,0),(),,(),,(),,( 2212122 >txItxItxEtxS mmmm ,0),(2inf >txIco ,0),( >txJ

0),(),,( 2222 >txItxS UU untuk setiap 2, Ω∈yx pada lokasi 2. dengan diffusi global

,0)()(2 1

21 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKmSdxxyKmS ,0)()(2 1

1211 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKmEdxxyKmE

0)()(2 1

2221 >−−−∫ ∫Ω Ω

dyyxKuSdxxyKuS 5.71



HARIYANTO

159

Langkah selanjutnya untuk menunjukkan bahwa konstruksi model adalah well-posed akan

dibahas berikut ini

Eksistensi dan ketunggalan penyelesaian Misalkan persamaan densitas subpopulasi susceptible 5.29 pada lokasi 1 dapat

dinyatakan dalam bentuk

dxtxStS mm ),()(1

11 ∫Ω

=

dan

dxt

txSdt

tdS mm ∫Ω ∂

∂=

1

11 ),()(


berbentuk

).),(( ttXfdtdX

=

Misalkan Himpunan subpopulasi pada lokasi 1

},0,0,0,0,0,0,0,0{

12121111inf2111111

212111inf21111111

MISNJIIIESISJIIIESX

UUcommmm

UUcommmm

=+=+++++

>>>>>>>>= 5.72

dan Himpunan subpopulasi pada lokasi 2

,},0,0,0,0,0,0,0,0{

2222222inf2212122

222222inf22121222

MISNJIIIESISJIIIESX

UUcommmm

UUcommmm

=+=+++++

>>>>>>>>= 5.73



21 XXX ∪= atau

},,,,,,,,,,,,,,,0,0,0,,0,0,0,0{

2122212221inf2inf1inf

22221112111121121

inf211

JJJIIISSSIIIIIIIIIEEESSS

ISJIIIESX

UUUUUUcococo

mmmmmmmmmmmm

UUcommmm

∈∈∈∈

∈∈∈∈

>>>>>>>=

5.74


),( 21

111 mmm SSS = , ),( 2

2122 mmm SSS = , ),( 2

1111111 mmm EEE = , ),( 2

1211212 mmm EEE = ,



HARIYANTO

160

),( 211

11111 mmm III = , ),( 2

1211212 mmm III = , ),( 2

2112121 mmm III = , ),( 2

2112121 UUU III = ,

),,( 222

12222 UUU III = ),,( 2

1inf1

1inf1inf cococo III = ),,( 22inf

12inf2inf cococo III =

),,( 21

111 JJJ = ),,( 2

2122 JJJ =


,,,,,,,,,,{ 12inf

11inf

122

121

112

111

112

111

12

11

1cocommmmmmmm IIIIIIEESSX =

},,,.,, 122

121

122

121

12

11 UUUU IISSJJ

dan

,.,,,,,,,,,{ 2inf

21inf

222

221

212

211

212

211

22

21

2cocommmmmmmm IIIIIIEESSX = 5.75

},,,.,, 222

221

222

221

22

21 UUUU IISSJJ

Untuk menunjukkan bahwa model sistem mempunyai penyelesaian tunggal digunakan

asumsi Desoer yaitu




4. :f nn RxRR → memenuhi global Lipschitz yaitu terdapat fungsi kontinu sebagian

demi sebagian :k ++ → RR sehingga


nRXX ∈21, 5.76

Misalkan terdapat interval ],[ ii ba dengan titik kesetimbangan endemik nRY ∈ maka untuk

sebarang Ttt ∉= 1 terdapat ),( 1tYf sehingga untuk 1tt = ),(1

tYfLimtt→

= ),( 1tYf berarti

terdapat interval yang memuat titik berhingga. Untuk langkah berikutnya akan di cari

konstante Lipschitz )(tk yang memenuhi

2121 )()),(()),(( XXtkttXfttXf −<− ,



HARIYANTO

161

perhatikan )),(()),(( 21 ttXfttXf − = ,

61

51

41

31

21

11

aaaaaa

jika elemen-elemen pada norm dapat dinyatakan 6...2.1,111 =+= icba iii maka

)),(()),(( 21 ttXfttXf − =

61

51

41

31

21

11

aaaaaa

= 11 ii cb + atau

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ 11 ii cb +

dengan ∑=

=n

jijii amaksa

11 sebagai Norm matriks yang didefinisikan sebagai maksimum

dari konstante Lipschitz )(tk sedemikian hingga memenuhi ∑=

=n

jijii amaksa

11 ,)( Xtk≤

)(tk ditentukan berdasarkan nilai maksimum dari koeffisien-koeffisien ija sehingga pada

konstruksi model tahapan ketiga menjadi

)),(()),(( 21 ttXfttXf − ≤ )(3 tk (

21

21

21

11

21inf

11inf

221

121

211

111

211

111

21

11

UU

UU

coco

mm

mm

mm

mm

IISSJJIIIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

−

−

+

21

21

22

12

22inf

12inf

222

122

212

112

212

112

22

12

UU

UU

coco

mm

mm

mm

mm

IISSJJIIIIIIEESS

−

−

−

−

−

−

−

−

) 5.77



HARIYANTO

162

dengan

)(3 tk = Maks ,( 131321 dffAhmArqwqqob −−−−−−+++++

,, 32 vbdhanbdlfk −−−−−−−−+ ,2 212 ubdwmAhpA −−−−−+ .

,2 11 cbdnw −−−− ,4224 qbdfnmh −−−+++ ), 13 bdpmdb −−−−

atau

)(3 tk = ,)()(( min131321 dffAhmArwqqqob maks +++++−+++++

,)(,)()( min3min2 vbdhanbdlfk maksmaks +++−+++−+,)2()( min212 ubdwmAhpA maks ++++−+ . ,)()2( min11 cbdnw maks +++−

,)()( min4224 qbdfnmh maks ++−+++ ).)()(, min13 bdpmdb maks +−−− 5.78

Konstante Lipschitz pada tahapan ketiga dikonstruksi berdasarkan nilai maksimum dari

parameter –parameter pada setiap perubahan subpopulasi, oleh karena Konstante Lipschitz

)(3 tk harus memenuhi

2121 )()),(()),(( XXtkttXfttXf −<−

maka dilakukan reduksi terhadap konstruksi model sehingga diperoleh rate perubahan atau

transisi sebagai berikut

1. rate perubahan atau transisi

min131321 )()( dffAhmArwqqqob maks +++++−+++++ yang berperan

sebagai proporsi perubahan atau transisi subpopulasi susceptible menjadi

terinfeksi atau recovery dari subpopulasi terinfeksi menjadi susceptible, konstruksi

)(3 tk pada parameter ini adalah

~))()(( 1min131321 mmaks SdffAhmArwqqqob +++++−+++++

.)( 1321 mmaks Swqqqob +++++

2. rate perubahan atau transisi min2 )()( nbdlfk maks +++−+ menyatakan proporsi

perubahan atau transisi dari setiap subpopulasi susceptible yang terinfeksi pada

masa ekspose sehingga konstruksi )(3 tk adalah

mmaks Enbdlfk 11min2 ))()(( +++−+ ~ .)( 112 mmaks Efk +



HARIYANTO

163

3. rate perubahan atau transisi min3 )( vbdhamaks +++− pada akhir masa ekspose akan

merubah subpopulasi ekspose menjadi subpopulasi terinfeksi H1N1-p sehingga

konstruksi )(3 tk adalah ~))(( 11min3 mmaks Ivbdha +++− .11mmaks Ia

4. rate perubahan atau transisi min212 )2()( ubdwmAhpA maks ++++−+ pada masa

infeksi akan merubah subpopulasi susceptible menjadi terinfeksi virus influenza

H5N1 sehingga konstruksi )(3 tk adalah

.)(~))2()(( 21221min212 mmaksmmaks IAhpAIubdwmAhpA +++++−+

5. rate perubahan atau transisi min11 )()2( cbdnw maks +++− pada akhir masa inkubasi

akan merubah subpopulasi co-infeksi menjadi subpopulasi super strain sehingga

konstruksi )(3 tk adalah

.)2(~))()2(( inf1infmin11 −−+++− cocomaks IwIcbdnw

6. rate perubahan atau transisi min4224 )()( qbdfnmh maks ++−+++ pada masa

infeksi akan merubah setiap subpopulasi menjadi subpopulasi super strain sehingga

.)(~))()(( 142241min4224 JfnmhJqbdfnmh maks +++++−+++

7. rate perubahan atau transisi maksmdb )( 3−− dan min1 )()( bdp maks +− merupakan

proporsi dari penyebaran virus influenza H5N1 pada unggas dengan konstruksi

)(3 tk berbentuk UmaksUmaks SmdbSmdb 213213 )(~)( −−−− dan

.)(~))()(( 21121min1 UmaksUmaks IpIbdp +−

Jika 0→d dan b merupakan bagian dari individual susceptible makakonstruksi konstante

Lipschitz adalah

)(3 tk ≈ +maksa maksAhpA )( 2+ + maksp )( 1 + maksw )2( 1 + mmaks Efk 112 )( + +

.)( 4224 maksfnmh +++ 5.79

Untuk menunjukkan bahwa )(3 tk adalah fungsi yang kontinu sebagian demi sebagian

dapat dilakukan seperti halnya pada submodel 2.

Berdasarkan pada analisa tersebut diatas menunjukkan eksistensi dan ketunggalan global

pada konstruksi model sistem koalisi tahapan ketiga, pada pembahasan berikut akan

ditunjukkan bahwa sistem adalah dinamis.



HARIYANTO

164

Konstruksi model matematika koalisi tahapan ketiga merupakan sistem dinamis Rangkaian proses koalisi pada konstruksi model tahapan ketiga adalah melakukan

subtitusi asam amino secara konstan pada virus influenza H5N1 melalui individual

susceptible ),(1 txS m sehingga transmisi virus influenza melalui kontak dan interaksi

terhadap ).,(11 txI m dan ),(21 txI U dapat beradaptasi pada ).,(inf txIco− Gerakan individual

subpopulasi dalam proses koalisi merupakan aliran kontinu yang akan dibahas berikut ini

Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan fungsi kontinu

=Ω ),(1 RC { ),,(11 txI m ),,(21 txmI ),,(inf txIco ),,( txJ ),(21 txI U } X⊂ ,

),(),( 1 RCtxi Ω∈φ dan aliran kontinu

)},(),,(),,(),,(),,({)0),,(( 21inf2111 txItxJtxItxItxItx Ucommi =φπ

sebagai aliran kontinu .jika memenuhi

)),,(()},),,((( sttxtstx += φπφππ = ),),,(( 2111 tttxI m +π

misalkan himpunan fungsi kontinu

=Ω ),(2 RC )},(),,(),,({ 211111 txStxEtxS Umm X⊂

dan

=Ω ),(3 RC )},(),,(),,({ 221212 txStxEtxS Umm X⊂

dan misalkan himpunan subpopulasi global

=Ω ),( RC ),(2 RC Ω ∪ ),(3 RC Ω = )},(),,(),,({ txStxEtxS Umm

maka aliran kontinu

)},(),,(),,({}0),,({ txStxEtxStx Ummi =φπ untuk ),(),( RCtxi Ω∈φ

sebagai aliran kontinu jika π memenuhi

)),,(()},),,((( sttxtstx += φπφππ = ).),,(( 21 tttxSm +π

Pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa individual subpopulasi susceptible dan

terinfeksi super strain merupakan aliran kontinu,



HARIYANTO

165

=),( txSm

π2 )))()((( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )0,(xSm ),( RC Ω∈

atau

)0),,(( txSmπ = ),( txSm ,

misalkan ),( txSm bergerak terbatas pada selang waktu 21 ttt ≤≤ di lokasi 1 maka dapat

dinyatakan bahwa ),( txSm bergerak pada interval waktu 210 ttt +≤≤ dan diperoleh

=+ ),( 21 ttxSm

π2( )))()(2(( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ +

π4 )))()((( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++−

π2(

)))()(2(( 1321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ +

π4 })))()((( 1321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− ),0,(xSm

misalkan pada saat )( 21 tt + merupakan masa infeksi maka akan terjadi penurunan

terhadap subpopulasi susceptible atau fungsi

π2{ )))()(2(( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ +

π4 })))()((( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++−

monoton turun sehingga diperoleh

=+ ),( 21 ttxSm

π2{ }))()(2({ 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ +

π4 }}))()(({ 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− ),( 1txSm ),( 1txSm<



HARIYANTO

166

atau

=+ ),( 21 ttxSm )),),,((( 1 sttxSmππ → ).),,(( 1 sttxSm +π = ).),),,((( 1 sttxSmππ

Misalkan ),( txSm bergerak pada interval sebelum waktu t yaitu ttt ≤+≤ 210 atau

210 ttt −≤≤ sehingga

=− ),( 2ttxSm

π2( )))()(2(( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++µ +

π4 })))()((9 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++

π2{

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ +

π4 })))()((( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− ),0,(xSm

oleh karena ),( txSm bergerak sebelum akhir masa infeksi maka subpopulasi

susceptible mengalami peningkatan atau fungsi

π2{ )))()(2(( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++µ +

π4 })))()((( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++

monoton naik dan diperoleh

=− ),( 2ttxSm

π2{ )))()(2(( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++µ +

π4 })))()((( 2321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++ ),( txSm ),(. 1txSm>

atau

=− ),( 2ttxSm )),),,((( 21 tttxSmππ atau )),),,((( 21 tttxSmππ = )),,(( 21 tttxSm −π

atau dapat pula dinyatakan }),),,(({ 21 tttxSmππ = },),,({ 21 tttxSm +π dengan demikian

individual susceptible merupakan aliran kontinu.



HARIYANTO

167

Pada analisa berikutnya akan ditunjukkan aliran kontinu untuk individual subpopulasi

strain baru. ),( txJ , perhatikan bentuk penyelesaian

=),( txJ )0,(2 xJπ

))(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),( RC Ω∈

atau

)0),,(( txJπ = ),,( txJ

misalkan ),( txJ bergerak terbatas pada selang waktu 21 ttt ≤≤ di lokasi 1 maka dapat

dinyatakan bahwa ),( txJ bergerak pada interval waktu 210 ttt +≤≤ dan diperoleh

=+ ),( 21 ttxJ

))((224224 tfnmhqdbExp −−−−++−

π))(( 14224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),0,(xJ

misalkan )( 21 tt + merupakan batas akhir masa infeksi maka terjadi penurunan pada

subpopulasi super strain atau fungsi ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− monoton

turun sehingga

=+ ),( 21 ttxJ ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),( 1txJ < ),( 1txJ

atau

=+ ),( 21 ttxJ ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),( 1txJ = )),),,((( 1 sttxJππ

).),,(( 1 sttxJ +π = ).),),,((( 1 sttxJππ

Misalkan ),( txJ bergerak pada selang waktu s pada interval ttst ≤≤≤≤ 210 atau dapat

dinyatakan bahwa ),( txJ bergerak pada interval ttt ≤+≤ 210 sehingga untuk 21 ttt +=

diperoleh

=+ ),( 21 ttxJ

))((224224 tfnmhqdbExp −−−−++−

π))(( 14224 tfnmhqdbExp −−−−++− )0,(xJ

atau

=+ ),( 21 ttxJ ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),,( 1txJ

misalkan ),( txJ pada saat 21 ttt += berada sebelum akhir masa infeksi maka



HARIYANTO

168

=+ ),( 21 ttxJ ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− >),( 1txJ ),( 1txJ

atau

=+ ),( 21 ttxJ ))(( 24224 tfnmhqdbExp −−−−++− =),( 1txJ )),),,((( 21 tttxJππ

=+ )),,((( 21 tttxJππ ).),),,((( 21 tttxJππ

Dengan demikian konstruksi model tahapan ketiga well-posed.

Berdasarkan analisa tentang eksistensi dan ketunggalan global serta sistem dinamis pada

masing-masing konstruksi model maka dapat diperoleh kesimpulan bahwa konstruksi

model sistem koalisi antara virus influenza H5N1 dan H1N1-p dikatakan well-posed jika

memenuhi ketentuan sebagai berikut:

1. Konstante Lipschitz )(1 tk ≈ maksa + maksp + maksp )( 1 untuk konstruksi model tahapan

pertama, )(2 tk ≈ +maksa makshp )( 2+ + maksp )( 1 + maksw )2( 1 untuk konstruksi model

tahapan kedua dan )(3 tk ≈ +maksa maksAhpA )( 2+ + maksp )( 1 + maksw )2( 1 +

mmaks Efk 112 )( + + .)( 4224 maksfnmh +++ untuk konstruksi model tahapan ketiga

dengan 0→d dan b rate kelahiran yang diasumsikan sebagai bagian dari

populasi susceptible.

2. Aliran kontinu dari individual subpopulasi pada himpunan fungsi kontinu

},,{),( 123Umm SESRC =Ω dan aliran kontinu dari individual populasi pada himpunan

fungsi kontinu }.,,,,{),( 3321

2inf

111

1211 JIIIIRC mcomU=Ω dengan indeks 1,2,3

menyatakan tahapan konstruksi model dari rangkaian proses koalisi.


tahapan ketiga adalah well-posed, rangkaian analisa kualitatif terhadap konstruksi model

berikutnya adalah analisa densitas populasi.

Pada analisa berikut ini akan dibahas eksistensi penyelesaian positif dari model.

5.4 .2. Analisa terhadap densitas populasi

Densitas populasi pada konstruksi model matematika koalisi tahapan tiga lebih

berkembang dibandingkan pada konstruksi model tahapan kedua, transmisi virus influenza

H5N1 dan H1N1-p melalui kontak dan interaksi individual sedangkan transmisi virus



HARIYANTO

169

super-strain terjadi melalui kontak individual dan lebih dominan dibandingkan virus

lainnya.

Analisa densitas populasi pada konstruksi model tahapan ketiga lebih menekankan

pada invasi virus super-strain melalui kontak individual dari manusia ke manusia terhadap

seluruh subpopulasi, misalkan total populasi pada konstruksi model tahapan ketiga di lokasi

1 adalah

)()()()()()()( inf21111111 tJtItItItEtStN commmmm +++++=

atau

,)),(),(),(),(),(),(()( inf211111

1

11 dxtxJtxItxItxItxEtxStN commmmm +++++Ω

= ∫

Perubahan total populasi dari konstruksi model berbentuk

+∂

∂+

∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫ t

txIt

txEt

txSdt

tdN mmm ),(),(),(()( 1111

1

1 5.80

dxt

txJt

txIt

txI com )),(),(),( inf21

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

atau

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

Ω ∂

∂= ∫ 2

212

211

2

211

2

1

21

2 ),(),(),(),({()(

xtxI

Dx

txID

xtxE

Dx

txSD

dttdN m

Im

Im

Em

S

++++−∂

∂+

∂

∂),(),(),(),(()),(),(

21111112

2

2inf

2

txItxItxEtxSdx

txJDx

txID mmmmJ

coI

+−−−−−++ )),(),(),(),(),(),(()),(),( inf2111111inf txJtxItxItxItxEtxSbtxJtxI commmmco

∫ ∫Ω Ω

−+−−+

2 1

111111 ,))()),(),(()()),(),(( dxdxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm 5.81

misalkan individual subpopulasi bergerak pada ],0[1 L=Ω dan =dt

tdN )( k untuk +∈Rk

maka untuk kondisi batas Newmann

,0),(

01 =∂

∂=x

m

xtxS

,0),(

011 =∂

∂=x

m

xtxE

,0),(

011 =∂

∂=x

m

xtxI

,0),(

021 =∂

∂=x

m

xtxI

,0),(

0inf =∂

∂=

−x

co

xtxI

0),(0 =

∂

∂=xx

txJ



HARIYANTO

170

diperoleh

++++++−Ω∫ )),(),(),(),(),(),((( inf2111111

1

txJtxItxItxItxEtxSd commmm

+−−−−− )),(),(),(),(),(),(( inf2111111 txJtxItxItxItxEtxSb commmm

∫ ∫Ω Ω

>−+−−+

2 1

111111 0))()),(),(()()),(),(( dxdxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm

untuk

++++++− )),(),(),(),(),(),(( inf2111111 txJtxItxItxItxEtxSd commmm 5.82


.0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω

>−+−−+ dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm

Misalkan 0),(1 =∞→

txStLim m akan berlaku

++++++− )),(),(),(),(),()(( inf211111 txJtxItxItxItxEbd commm

∫ ∫Ω Ω

>−−−

2 1

1111 0)(),()(),( dxxyKtxEdyyxKtxE mm untuk dbxK +>)( dengan

diffusi global ,0)(),()(),(2 1

1111∫ ∫Ω Ω

>−−− dxxyKtxEdyyxKtxE mm

demikian pula untuk

0),(),(),(),( inf2111 =∞→

=∞→

=∞→

=∞→

txJtLimtxItLimtxItLimtxItLim comm

maka akan berlaku

++−− ),()(),()( 111 txEdbtxSdb mm

.0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω


untuk dbxKdb +>> )(, dengan diffusi global

.0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω


Dengan demikian konstruksi model tahapan ketiga mempunyai penyelesaian positif dan

berlaku



HARIYANTO

171

0),(1 =∞→

txStLim m

atau

,0),(),( 2111 =∞→

=∞→

txItLimtxItLim mm .0),(),(inf =∞→

=∞→

txJtLimtxItLim co

Berdasarkan pada hasil analisa terhadap densitas populasi tersebut diatas maka dapat

disusun Teorema sebagai berikut

Teorema 5.5

Jika =∞→

=∞→

),(),( 2111 txItLimtxItLim mm 0),(inf =∞→

txItLim co maka subpopulasi super-strain

),( txJ monoton naik.

Bukti.

Misalkan X ruang metric dengan metric d dan himpunan dari densitas subpopulasi

yang bergerak pada lokasi 1

=Ω ),(1 RC { ),,(11 txI m ),,(21 txmI ),,(inf txIco ),,( txJ ),(21 txI U } X⊂

dan himpunan dari densitas subpopulasi yang bergerak pada lokasi 1 dan lokasi 2

=Ω ),(2 RC )},(),,(),,({ 211111 txStxEtxS Umm ,X⊂

model tahapan ketiga dikonstruksi oleh transmisi penyebaran 3 virus yang terdiri dari virus

influenza H5N1,H1N1-p dan virus super strain dengan asumsi bahwa virus super strain

lebih dominan dibandingkan dengan virus lainnya.

Pada Teorema 5.3 menunjukkan bahwa 0),(1 =∞→

txStLim m mengakibatkan terjadinya

),(inf txIco− monoton naik, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan bahwa

0),(1 =∞→

txStLim m akan mempengaruhi perubahan densitas subpopulasi yang lain.

Misalkan ],0[1 L=Ω dan =dt

tdN )( k untuk +∈Rk sehingga perubahan yang terjadi pada

total populasi adalah

=dt

tdN )(++++++−

Ω∫ )),(),(),(),(),(),((( inf2111111

1

txJtxItxItxItxEtxSd commmm




HARIYANTO

172

∫ ∫Ω Ω

>−+−−+

2 1

111111 0))()),(),(()()),(),(( dxdxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm untuk

++++++− )),(),(),(),(),(),(( inf2111111 txJtxItxItxItxEtxSd commmm


,0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω


misalkan 0),(1 =∞→

txStLim m akan diperoleh

++++++− )),(),(),(),(),()(( inf211111 txJtxItxItxItxEbd commm

∫ ∫Ω Ω

>−−−

2 1

1111 0)(),()()),( dxxyKtxEdyyxKtxE mm

dan akan terpenuhi untuk dbxKdb +>> )(, dengan diffusi global

∫ ∫Ω Ω

−−−

2 1

1111 )(),()(),( dxxyKtxEdyyxKtxE mm .0>

Untuk 0),( =∞→

txJtLim akan diperoleh

+++++− )),(),(),(),(),(( inf2111111 txItxItxItxEtxSd commmm

+−−−− )),(),(),(),(),(( inf2111111 txItxItxItxEtxSb commmm

∫ ∫Ω Ω

>−+−−+

2 1

111111 0)()),(),(()()),(),(( dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm

atau

+++++−− )),(),(),(),()(),((( inf2111111 txItxItxItxEdbtxSdb commmm

∫ ∫Ω Ω

>−+−−+

2 1



∫ ∫Ω Ω

−+−−+

2 1

111111 )()),(),(()()),(),(( dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm .0>

Dengan demikian penyelesaian positif dari konstruksi model tahapan ketiga berlaku

01 =∞→ mStLim atau .0),( =

∞→txJtLim



HARIYANTO

173

Berikutnya akan ditunjukkan bahwa =∞→

=∞→


txItLim co

berpengaruh terhadap perubahan densitas subpopulasi yang lain,

perhatikan



,0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω


untuk =∞→

=∞→


txItLim co diperoleh

++−− ),(),()(),()( 111 txJtxEdbtxSdb mm

∫ ∫Ω Ω

>−+−−+

2 1



∫ ∫Ω Ω

−+−−+

2 1

111111 )()),(),(()()),(),(( dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm ,0>

untuk 0),( =∞→

txJtLim akan diperoleh

+++++−− )),(),(),(),()(),()( inf2111111 txItxItxItxEdbtxSdb commmm

.0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω



=∞→

=∞→


txItLim co atau .0),( =∞→

txJtLim

Berikutnya akan ditunjukkan bahwa =∞→

=∞→


txItLim co

dan 01 =∞→ mStLim berpengaruh terhadap perubahan densitas subpopulasi yang lain,

perhatikan





HARIYANTO

174

,0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω


untuk =∞→

=∞→


txItLim co dan 01 =∞→ mStLim diperoleh

+++− )),(),()(( 11 txJtxEdb m

∫ ∫Ω Ω

>−−−

2 1

1111 0)(),()(),( dxxyKtxEdyyxKtxE mm dan akan terpenuhi untuk ,db >

dbxK +>)( dengan diffusi global

∫ ∫Ω Ω

−+−−+

2 1

111111 )()),(),(()()),(),(( dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm ,0>

untuk .0),( =∞→

txJtLim diperoleh

+++++−− )),(),(),(),()(),()( inf2111111 txItxItxItxEdbtxSdb commmm

.0)()),(),(()()),(),((2 1

111111∫ ∫Ω Ω

>−+−−+ dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm dan akan

terpenuhi untuk dbxKdb +>> )(, dengan diffusi global

∫ ∫Ω Ω

−+−−+

2 1

111111 )()),(),(()()),(),(( dxxyKtxEtxSdyyxKtxEtxS mmmm .0>


=∞→

=∞→


txItLim co dan 01 =∞→ mStLim

atau

.0),( =∞→

txJtLim

Jika diamati pada 01 =∞→ mStLim mengakibatkan terjadinya peningkatan invasi virus

influenza H5N1 dan H1N1-p atau virus super strain, misalkan terjadi peningkatan pada

invasi virus superstrain maka pada titik kesetimbangan endemik terdapat bilangan

reproduksi dasar .10 >JR

Perhatikan penyelesaian konstruksi model untuk subpopulasi terinfeksi virus super-strain

π2),( =txJ )))((( 4224 tqdbfnmhExp ++++++−−



HARIYANTO

175

dengan bilangan reproduksi dasar

qdbDfnmhR

JJ +++

+++= 4224

0

atau dapat dinyatakan ,0

4224J

J

DR

fnmhqdb −+++

=++ 5.83

Konstruksi model tahapan ketiga mempunyai penyelesaian positif dengan 10 >JR

sehingga 0→JD dan untuk menunjukkan bahwa ),(1 txJ monoton naik perhatikan

qdbfnmh ++++++− )( 4224

dengan subtitusi persamaan 5.83 diperoleh

++++− )( 4224 fnmh JJ

DR

fnmh−

+++

0

4224 dan untuk 0→JD diperoleh

.0)( 4224 <++++++− qdbfnmh

atau fungsi )))((( 4224 tqdbfnmhExp ++++++−− monoton naik.

Jadi densitas subpopulasi super-strain ),( txJ monoton naik.

Dengan demikian transmisi penyebaran dari ketiga virus tersebut saling berpengaruh satu

dengan yang lain, hal tersebut telah ditunjukkan bahwa

1. jika 01 =∞→ mStLim maka densitas dari virus super strain monoton naik meskipun

belum maksimum, demikian pula untuk =∞→

=∞→

),(),( 2111 txItLimtxItLim mm 0

0),(inf =∞→

txItLim co

2. jika =∞→

=∞→


txItLim co dan 01 =∞→ mStLim maka

virus super strain monoton naik maksimum.






HARIYANTO

176


Analisa persistensi yang dilakukan pada konstruksi model matematika tahapan

ketiga adalah mengamati pengaruh penyebaran virus influenza H5N1 dengan subtitusi asam

amino terhadap perubahan sistem dan co-infeksi yang terjadi persisten terhadap perubahan

sistem, pada pembahasan berikut akan ditunjukkan hubungan antara substitusi asam amino

dengan bilangan reproduksi dasar dari virus influenza H1N1-p dan H5N1.

Perhatikan bilangan reproduksi dasar untuk penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1

berbentuk

=01R 22

)()(

nbdDafk

Ej +++

+ → =++ vbd01

2 )(R

afk + - EIjD

artinya pertumbuhan populasi susceptible atau disebut growth demografi dan dapat

dipandang sebagai recruitment susceptible.

. 02R = ubdD

hpAI

j +++

+

2

2 )(→ =++ ubd

02

2 )(R

Ahp + - ,2I

jD

jika rate recovery, mortalitas dan fertilitas sama untuk setiap individual terinfeksi maka

dapat diperoleh

01

2 )(R

afk + - EIjD =

02

2 )(R

Ahp + - IjD2

dan untuk koefisien diffusi lokal dari individual subpopulasi terinfeksi H1N1-p dan H5N1

sama maka diperoleh

01

2 )(R

afk + = 02

2 )(R

Ahp +

atau dapat dinyatakan

01

2 )(R

afk + = 2

02

2 ))(

(R

Ahp +→ 2A =

22

2

01

202

)()()(

hpfk

RR

+

+ a → 2A = .)

)((

)(

2

02

2

01

2

Rhp

Rafk

+

+

Oleh karena koefisien diffusi lokal untuk individual terinfeksi H1N1-p dan H5N1 sama

maka subtitusi asam amino yang dilakukan terhadap virus influenza H5N1 merupakan rasio

perbandingan diantara reproduksi dasar virus H5N1 dengan H1N1-p dikalikan dengan rasio



HARIYANTO

177

perbandingan rate transmisi virus H1N1-p dengan H5N1 karena kontak dan interaksi

dikalikan dengan rate perubahan individual dari ekspose menjadi individual yang mampu

mentransmisi virus H1N1-p, dengan demikian dapat diperoleh beberapa hal yang berkaitan

dengan subtitusi asam amino antara lain:

1. diasumsikan bahwa virus H5N1 mempunyai photogenitas tinggi dan H1N1-p

mampu berdaptasi pada manusia sehingga )( 2hp + > )( 2fk + dan diperoleh

subtitusi asam amino yang berbeda-beda.

2. )( 2fk + adalah rate transmisi dari virus H1N1-p dengan individual yang terinfeksi

berada pada subpopulasi ekspose dan untuk asam amino konstan diperoleh 01

02

RR dan

)()(

2

2

hpfk

+

+ konstan artinya bilangan reproduksi dasar 02R berada pada kondisi yang

sama dengan 01R , demikian pula rate transmisi dari virus H5N1 sama dengan rate

transmisi dari H1N1-p atau kedua virus berada pada kondisi yang sama.

Berdasarkan pada analisa tersebut menunjukan bahwa perbedaan dalam melakukan

substitusi asam amino sangat mempengaruhi keberhasilan terjadinya co-infeksi akan tetapi

perbedaan tersebut dapat menunjukan perbedaan diatara rasio rate transmisi dari kedua

virus, untuk mengetahui bahwa penyebaran dari kedua virus influenza saling persisten

dapat ditunjukkan pada Teorema berikut ini

Teorema 5. 6.

1. Jika bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada unggas 10 >UR dan

bilangan reproduksi dasar virus influenza H5N1 pada 102 >R maka virus influenza

H5N1 strongly uniformly persistence.

2. Jika bilangan reproduksi dasar virus influensa H1N1-p 101 >R dan bilangan

reproduksi dasar virus influenza H5N1 102 <R maka virus influenza H1N1-p

strongly uniformly persistence.



HARIYANTO

178

Bukti.

Pembuktian ( 1 ), penyelesaian dari kosntruksi model matematika tahapan ketiga

5.70 berbentuk =),(1 txS m



=),(21 txI U π2 ))(( tpbdExp −+− )0,(21 xI U

dan

=),(21 txI m π2 )))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− ),0,(21 xI m

transmisi virus influenza H5N1 terhadap individual susceptible dapat dinyatakan dengan

metric

=)),(),,(( 211 txItxSd Um dxtxItxS mm∫Ω

− ),(),( 211

dengan =− ),(),( 211 txItxS mm

π2 )))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrxpE −−−−−−++++++− µ )0,(1 xS m +

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )0,(xSm -

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )0,(21 xI m

sehingga untuk ),(),( 211 txItxS mm ≥ dapat diperoleh

=)),(),,(( 211 txItxSd Um

π2 )))()(2(({ 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ )0(1mS +

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )0(mS -

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )},0(21mI



HARIYANTO

179

oleh karena 10 >UR maka terdapat peningkatan subpopulasi terinfeksi H5N1 dan berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m untuk penyelesaian positif konstruksi model tahapan ketiga sehingga

diperoleh fungsi )))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− monoton naik dan fungsi

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ

dan

)))()(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− monoton turun untuk

∞→t atau dapat dinyatakan dengan

0),(1 =∞→


dengan demikian transmisi virus influenza H5N1 yang terjadi karena kontak dan interaksi

pada daerah persekitaran dengan jarak minimum dinyatakan dengan

=∞→

))),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(),( 2121 mmaksm ItxI−

atau

=∞→

))),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(211 mIN−

dengan 1N sebagai nilai maksimum dari )))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− untuk

.∞→t

Dengan cara yang sama dapat pula diperoleh

=∞→

))),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(211 mIN untuk ).,(),( 211 txItxS mm <

Dengan demikian untuk sebarang densitas subpopulasi .,(21 txI U dan ),(1 txS m dengan

102 >R dan 10 >UR terdapat konstante 10 N=ε sedemikian hingga

=∞→

))),(),,((( 211 txItxSdInftLim Um )0(211 mIN > 10 N=ε

atau dapat dikatakan bahwa virus influenza strongly uniformly persistence atau mempunyai

pengaruh terhadap perubahan sistem lokasi 1.

Pada pembuktian ( 2 ), perhatikan penyelesaian berbentuk

=),(11 txI m π2 ))(( 3 tvbdhaExp ++++−− )0,(11 xI m



HARIYANTO

180

=),(21 txI m π2 )))(2(( 212 thpAmwudbExp +−−+++− )0,(21 xI m

=− ),(inf txIco ),0,())2((2inf11 xItcbdnwExp co−++++−−

π transmisi virus influenza H1N1-p melalui kontak silang antara individual subpopulasi

terinfeksi ),(11 txI m dengan ),(21 txI m akan menghasilkan individual subpopulasi terinfeksi

oleh kedua virus dan dapat dinyatakan dengan metric

≤)),(),,(( 2111 txItxId mm dxtxItxIdxtxItxI mcocom ),(),(),(),( 21infinf11 −+− ∫∫Ω

−

Ω

−

atau

≤)),(),,(( 2111 txItxId mm )),(),,(( inf11 txItxId com − + )).,(),,(( 21inf txItxId mco−

Oleh karena virus influenza H5N1 mampu beradaptasi pada manusia setelah dilakukan

subtitusi asam amino maka terdapat maksco txI ),(inf− yang mengakibatkan adanya

))),(),,((( 2111 txItxIdInf mm dan ))),(),,((( inf11 txItxIdInf com − kecuali untuk transmisi

)).,(),,(( 21inf txItxId mco−

Dengan demikian transmisi virus influenza H1N1-p ),(11 txI m ke individual subpopulasi

terinfeksi H5N1 ),(21 txI m dapat dinyatakan dalam metric pada persekitaran minimum

))),(),,((( 2111 txItxIdInf mm = ))),(),,((( inf11 txItxIdInf com −

dengan

=− )),(),,(( inf11 txItxId com π2 ))(( 3 tvbdhaxpE ++++−−∫

Ω

−)0,(11 xI m

,))0,())2(( inf11 dxxItcbdnwExp co−++++−−

untuk ),(),( inf11 txItxI com −≥ dapat diperoleh =− )),(),,(( inf11 txItxId com

π2 ))((( 3 tvbdhaExp ++++−− −)0(11mI )),0())2(( inf11 −++++−− coItcbdnwExp

oleh karena 101 >R maka subpopulasi terinfeksi ),(11 txI m monoton naik atau

makstvbdhaExp ))(( 3 ++++−− untuk ∞→t dan untuk ))),(),,((( inf11 txItxIdInf com − akan



HARIYANTO

181

terdapat subpopulasi ),(inf txIco= monoton naik atau makstcbdnwExp ))2(( 11 ++++−− untuk

.∞→t

Dengan demikian dapat diperoleh

=∞→

))),(),,((( 2111 txItxIdInftLim mm N −)0(11mI M )0(inf−coI

dengan makstvbdhaExp ))(( 3 ++++−− = N dan makstcbdnwExp ))2(( 11 ++++−− = ,M

dengan cara yang sama dapat diperoleh untuk ),(),( inf11 txItxI com −< yaitu

=∞→

))),(),,((( 2111 txItxIdInftLim mm M −− )0(infcoI N )0(11mI

sehingga untuk sebarang ),(11 txI m dan ),(21 txI m akan terdapat )(0 MN −=ε sedemikian

rupa sehingga

>−=∞→ − )0()0())),(),,((( inf112111 commm MINItxItxIdInftLim )(0 MN −=ε

dan transmisi virus influenza H1N1-p dari ),(11 txI m terhadap subpopulasi terinfeksi

),(21 txI m berpengaruh sangat besar terhadap subpopulasi yang terinfeksi oleh kedua virus

influenza tersebut atau juga disebut strongly uniformly persistenc.

Berdasarkan Teorema 5.6 menunjukkan bahwa virus influenza H1N1-p dan H5N1 yang

berada pada ),(inf txIco− saling berpengaruh sangat kuat dan hal tersebut mengindikasikan

adanya co-infeksi untuk ,∞→t dengan demikian peluang terjadinya koalisi sangat besar.

Pada pembahasan berikut akan dilakukan analisa terhadap penyebaran virus super strain.

5. 5. ANALISA PENYEBARAN VIRUS SUPER-STRAIN

Analisa terhadap virus super - strain dilakukan berdasarkan pada konstruksi model

koalisi tahapan ketiga, oleh karena itu well-posed dari konstruksi model penyebaran super

strain merupakan bagian dari konstruksi model tahapan ketiga yang telah dibahas pada

subsubbab 5.4.1, sedangkan analisa persistensi terhadap penyebaran virus super-strain

untuk mengetahui pengaruh transmisi virus super-strain terhadap individual subpopulasi

terinfeksi H1N1-p, H5N1 dan co-infeksi sangat diperlukan untuk mengetahui adanya

traveling wave maupun gelombang penyebaran.



HARIYANTO

182

5. 5.1. Analisa persistensi terhadap virus super -strain

Perubahan yang terjadi pada konstruksi model matematika tahapan ketiga adalah

munculnya subpopulasi baru yaitu subpopulasi terinfeksi oleh virus super-strain ,J

subpopulasi ini terbentuk oleh evolusi genetika setelah kedua virus tersebut mampu

beradaptasi pada ).,(inf txIco− Persistensi penyebaran virus super-strain terhadap

penyebaran multi strain multi infeksi pada konstruksi model matematika tahap ketiga

ditunjukkan pada teorema berikut ini

Teorema 5. 7.

Jika bilangan reproduksi dasar dari penyebaran virus superstrain 10 >JR pada konstruksi

model matematika koalisi tahapan ketiga 5.69 maka

1. Virus super-strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran virus

influenza H5N1 untuk .102 <R


influenza H1N1-p untuk .101 >R


influenza H1N1-p dan H5N1 untuk .101 >R

Bukti.

Pembuktian (1), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model tahapan

ketiga 5.70. untuk subpopulasi ),( txJ dan ),(21 txI m adalah

=),( txJπ2 ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− )0,(xJ

dan

=),(21 txI m π2 }))(2({ 212 tAhpmwudbExp +−++++− ),0,(21 xI m

transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual populasi

terinfeksi ),(21 txI m dinyatakan dengan metric

)),(),,(( 21 txItxJd m = dxtxItxJ m∫Ω

− ),(),( 21



HARIYANTO

183

atau

)),(),,(( 21 txItxJd m = π2 ))(( 4224 tqbdfnmhxpE +++−−−−∫

Ω

−)0,(xJ

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− dxxI m )0,(21

dan untuk ),(),( 21 txItxJ m≥ diperoleh )),(),,(( 21 txItxJd m =

π2 ))((( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− −)0(J

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )),0(21mI

oleh karena 10 >JR dan berdasarkan Teorema 5.5 maka penyelesaian positif dari

konstruksi model koalisi tahapan ketiga berlaku 0),(21 =∞→

txItLim m dan subpopulasi super-

strain ),( txJ monoton naik sehingga transmisi virus super strain melalui kontak pada

individual subpopulasi terinfeksi ),(21 txI m berada didaerah persekitaran dengan jarak

minimum atau dapat dinyatakan

))),(),,((( 21 txItxJdInf m = π2 )))(2((( 212 tAhpmwudbExp +−++++− −)0(21mI

))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− )),0(J

subpopulasi ),( txJ monoton naik dan ),(21 txI m monoton turun untuk ∞→t sehingga

diperoleh

))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m∞→

= π2 )0(JN dengan N nilai maksimum dari fungsi

))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− untuk .∞→t

Dengan cara sama untuk ),(),( 21 txItxJ m< diperoleh )),(),,(( 21 txItxJd m =

π2 ))((( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− −)0(J

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− ))0(21mI

atau

))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m∞→=

π2

− ),0(1NJ



HARIYANTO

184

dengan demikian untuk sebarang ),( txJ dan ),(21 txI m terdapat =0ε π2 sedemikian rupa

sehingga

))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m∞→=

π2 )0(JN => 0ε π

2

atau dapat dikatakan bahwa penyebaran virus super strain mempunyai pengaruh yang

sangat besar terhadap subpopulasi terinfeksi H5N1 atau strongly uniformly persistence

terhadap ).,(21 txI m

Pembuktian (2), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model matematika

koalisi tahapan ketiga 5.70 untuk ),,(11 txI m ),,(21 txI m ),(inf txIco− dan ),( txJ adalah

=),(11 txI m π2 ))(( 3 tvbdhaExp ++++−− )0,(11 xI m

=− ),(inf txIco )0,())2((2inf11 xItcbdnwExp co−++++−−

π


dan

=),( txJπ2 ))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− ),0,(xJ


terinfeksi ),(11 txI m dinyatakan dengan metric

)),(),,(( 11 txJtxId m = .),(),(11 dxtxJtxI m∫Ω

−

Transmisi virus super strain melalui kontak terhadap individual populasi terinfeksi

),(11 txI m menunjukkan adanya transmisi multistrain diantara virus influenza H1N1-p,H5N1

dan virus super strain, oleh karena itu dikonstruksi peluang terjadinya kontak individual

pada ketiga virus tersebut yaitu

1. Transmisi virus influenza H1N1-p melalui kontak antara ),(11 txI m dengan

),(21 txI m sehingga diperoleh ),,(inf txIco−



HARIYANTO

185

2. Transmisi virus super strain melalui kontak antara ),( txJ dengan ),(21 txI m oleh

karena virus super strain lebih dominan maka akan diperoleh individual populasi

terinfeksi super strain ).,( txJ

Berdasarkan pada kontak individual dari ketiga virus diperoleh metric

≤)),(),,(( 2111 txItxId mm dxtxJtxI m∫Ω

− ),(),(11 + dxtxItxJ m∫Ω

− ),(),( 21

atau

)),(),,(( 2111 txItxId mm - ≤)),(),,(( 21 txItxJd m ≤)),(),,(( 11 txJtxId m

+)),(),,(( 2111 txItxId mm )),(),,(( 21 txItxJd m

=))),(),,((( 11 txJtxIdInf m )),(),,(( 2111 txItxId mm - )),,(),,(( 21 txItxJd m

oleh karena ),(21 txI m tidak dapat melakukan transmisi pada individual populasi manusia

dan mampu beradaptasi pada manusia setelah dilakukan subtitusi asam amino maka

),(21 txI m mempunyai ,102 <R berdasarkan pada Teorema 5.6 transmisi virus influenza

H1N1-p ),(11 txI m pada ),(21 txI m pada persekitaran minimum adalah

)),(),,(( 2111 txItxId mm = )),(),,(( inf11 txItxId com −

atau

)),(),,(( 2111 txItxId mm = =− )),(),,(( inf11 txItxId com

π2 ))(( 3 tvbdhaxpE ++++−−∫

Ω

)0,(11 xI m - dxxItcbdnwExp co 0,())2(( inf11 −++++−−

dan untuk ),(),( 2111 txItxI mm ≥ dapat diperoleh

)),(),,(( 2111 txItxId mm =

π2 ))((( 3 tvbdhaExp ++++−− )0(11mI - )).0())2(( inf11 −++++−− coItcbdnwExp

Sedangkan untuk transmisi virus super strain pada ),(21 txI m dapat digunakan pembuktian

1 yaitu



HARIYANTO

186

)),(),,((( 21 txItxJd m =

π2 ))((( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− −)0(J

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )),0(21mI

dengan demikian transmisi virus super-strain melalui kontak individual terhadap individual

subpopulasi terinfeksi ),(11 txI m pada persekitaran minimum adalah

=))),(),,((( 11 txJtxIdInf m )),(),,(( 2111 txItxId mm - )),(),,(( 21 txItxJd m

atau

=))),(),,((( 11 txJtxIdInf m

π2 ))((( 3 tvbdhaExp ++++−− −)0(11mI −++++−− − ))0())2(( inf11 coItcbdnwExp

))(( 4224 tqbdfnmhExp +++−−−− +)0(J

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− )),0(21mI

oleh karena 10 >JR dan 102 <R maka penyelesaian positif dari konstruksi model berlaku

0),(21 =∞→

txItLim m atau subpopulasi super strain ),( txJ monoton naik dan subpopulasi

),(21 txI m monoton turun untuk ∞→t , sedangkan transmisi virus influenza H1N1-p pada

),(21 txI m akan menghasilkan ),(inf txIco− bila .101 >R

Dengan demikian untuk ∞→t transmisi virus super-strain melalui kontak individual

terhadap individual populasi terinfeksi ),(11 txI m pada persekitaran minimum adalah

=∞→

))),(),,((( 11 txJtxIdInftLim m π2

−)0(( 111 mIN −− ))0(inf2 coIN ))0(3JN

dengan =1N ,))(( 3 makstvbdhaExp ++++−− =2N makstcbdnwExp ))2(( 11 ++++−−

dan =3N .))(( 4224 makstqbdfnmhExp +++−−−−

Dengan cara yang sama untuk ),(),( 2111 txItxI mm < dan ),(),( 21 txItxJ m< dapat diperoleh

=∞→


−)0(( 113 mIN −− ))0(inf2 coIN ))0(1JN



HARIYANTO

187

dengan =1N ,))(( 3 makstvbdhaExp ++++−− =2N makstcbdnwExp ))2(( 11 ++++−−

dan =3N ,))(( 4224 makstqbdfnmhExp +++−−−−

dengan demikian untuk sebarang ),( txJ dan ),(11 txI m terdapat =0ε π2 sedemikian rupa

sehingga

=∞→


−)0(111 mIN −− ))0(inf2 coIN )0(3JN => 0ε π2

atau dapat dikatakan bahwa invasi virus super strain ),( txJ mempunyai pengaruh yang

sangat beasar terhadap subpopulasi terinfeksi ),(11 txI m atau strongly uniformly persistence.

Pembuktian (3), seperti pada penyelesaian positif dari konstruksi model matematika

tahapan ketiga 5.70 untuk ),,(11 txI m ),,(21 txI m ),(1 txS m dan ),( txJ adalah

=),(1 txS m



=),(11 txI m ))((23 tvbdhaExp ++++−−

π)0,(11 xI m


=),( txJπ2 ))(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− ),0,(xJ


terinfeksi ),(11 txI m dan ),(21 txI m dinyatakan dengan metric


− ),(),( 11


− ),(),( 21



HARIYANTO

188

atau

)),(),,(( 11 txItxJd m + )),(),,(( 21 txItxJd m =

dxtxItxJ m∫Ω

− ),(),( 11 + .),(),( 21 dxtxItxJ m∫Ω

−

Transmisi virus super strain melalui kontak terhadap individual populasi terinfeksi

),(11 txI m dengan 101 >R dan ),(21 txI m menunjukkan adanya transmisi multistrain diantara

virus influnza H1N1-p,H5N1 dan virus super strain, oleh karena itu dikonstruksi peluang

terjadinya kontak individual pada ketiga virus tersebut yaitu

1. Transmisi virus influenza H1N1 melalui kontak dan interaksi antara ),(11 txI m

dengan ).,(1 txS m

2. Transmisi virus super strain melalui kontak antara ),( txJ dengan

),,(21 txI m ),(11 txI m dan ),,(1 txS m oleh karena virus super strain lebih dominan

dibandingkan dengan virus lainnya maka akan diperoleh individual populasi

terinfeksi super strain ),( txJ

3. Transmisi virus influenza H5N1 melalui kontak dan interaksi antara ),(21 txI m

dengan ).,(1 txS m

Perhatikan transmisi virus super strain melalui kontak dan interaksi antara ),( txJ dengan

),(1 txS m dinyatakan dalam metric

)),(),,(( 1 txStxJd m = dxtxStxJ m∫Ω

− ),(),( 1

atau

≤)),(),,(( 1 txStxJd m dxtxItxJ m∫Ω

− ),(),( 11 + dxtxStxI mm∫Ω

− ),(),( 111

≤)),(),,(( 1 txStxJd m )),(),,(( 11 txItxJd m + )),(),,(( 111 txStxId mm

atau

)),(),,(( 1 txStxJd m - ≤)),(),,(( 111 txStxId mm ≤)),(),,(( 11 txItxJd m

+)),(),,(( 1 txStxJd m )),(),,(( 111 txStxId mm



HARIYANTO

189

menunjukkan penyebaran dari 2 virus yaitu H1N1-p dan super strain, sedangkan

penyebaran virus H5N1 dan super strain adalah

)),(),,(( 1 txStxJd m - ≤)),(),,(( 121 txStxId mm ≤)),(),,(( 21 txItxJd m

+)),(),,(( 1 txStxJd m )),(),,(( 121 txStxId mm

dan untuk penyebaran virus influenza H5N1 unggas pada manusia dimulai adanya kontak

dan interaksi antara ),(21 txI U dengan ),(1 txS m sehingga konstruksi transmisi dapat

dinyatakan

)),(),,(( 211 txItxSd Um - ≤)),(),,(( 2121 txItxId Um )),,(),,(( 211 txItxSd mm

oleh karena subpopulasi ),(21 txI m diisolasi maka dapat diperoleh

)),(),,(( 211 txItxSd Um = )).,(),,(( 211 txItxSd mm

Dengan demikian transmisi virus super strain melalui kontak dan interaksi antara

),( txJ dengan ),,(21 txI m ),(11 txI m pada persekitaran minimum adalah

))),(),,((( 11 txItxJdInf m = )),(),,(( 1 txStxJd m - )),(),,(( 111 txStxId mm

dan

))),(),,((( 21 txItxJdInf m = )),(),,(( 1 txStxJd m - )),(),,(( 121 txStxId mm

atau

))),(),,((( 11 txItxJdInf m + ))),(),,((( 21 txItxJdInf m =

)),(),,((2 1 txStxJd m - )),(),,(( 111 txStxId mm - )),(),,(( 121 txStxId mm

dengan

)),(),,((2 1 txStxJd m =

π22 ))(( 4224 tfnmhqdbxpE −−−−++−∫

Ω

−)0,(xJ

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ −)0,(1 xS m

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− dxxSm )0,(

dan untuk ),(),( 1 txStxJ m≥ diperoleh



HARIYANTO

190

)),(),,((2 1 txStxJd m =

π22 ))((( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− −)0(J

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ −)0(1mS

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )).0(mS

)),(),,(( 111 txStxId mm =

π2 ))(( 3 tvbdhaxpE ++++−−∫

Ω

−)0,(11 xI m



dan untuk ),(),( 111 txStxI mm ≥ diperoleh

)),(),,(( 111 txStxId mm =

π2 ))((( 3 tvbdhaExp ++++−− −)0(11mI

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ )).0(1mS

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )).0(mS

)),(),,(( 121 txStxId mm =

π2 )))(2(( 212 tAhpmwudbxpE +−++++−∫

Ω

−)0,(21 xI m



dan untuk ),(),( 121 txStxI mm ≥ diperoleh



HARIYANTO

191

)),(),,(( 121 txStxId mm =

π2 )))(2((( 212 tAhpmwudbExp +−++++− −)0(21mI

)))()(2(( 321311 tqwqqobdfAhmfrExp −−−−−−++++++− µ −)0(1mS

π2 )))()((( 321311 qwqqobdfAhmfrExp −−−−−−+++++− )),0(mS

oleh karena 10 >jR maka penyelesaian positif dari konstruksi model berlaku

0),(1 =∞→

txStLim m atau subpopulasi ),( txJ monoton naik untuk ∞→t dan untuk

,101 >R 102 >R diperoleh subpopulasi ),,(21 txI m ),(11 txI m monoton naik sehingga

))),(),,((( 11 txItxJdInftLim m∞→+ ))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m∞→

=

)),(),,((2 1 txStxJdtLim m∞→- )),(),,(( 111 txStxIdtLim mm∞→

- )),(),,(( 121 txStxIdtLim mm∞→

atau

))),(),,((( 11 txItxJdInftLim m∞→+ =

∞→))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m

π2

+)0(2( 1JN +)0(112 mIN ))0(213 mIN dengan 21, NN dan 3N nilai maksimum dari

fungsi ),)(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− ))(( 3 tvbdhaExp ++++−− dan

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− untuk .∞→t

Untuk ),,(),( 1 txStxJ m< ),(),( 111 txStxI mm < dan ),(),( 121 txStxI mm < diperoleh

))),(),,((( 11 txItxJdInftLim m∞→+ ))),(),,((( 21 txItxJdInftLim m∞→

=

)),(),,((2 1 txStxJdtLim m∞→- )),(),,(( 111 txStxIdtLim mm∞→

- )),(),,(( 121 txStxIdtLim mm∞→

atau





HARIYANTO

192

π2 )0(2( 1JN− )0(112 mIN− ))0(213 mIN− dengan 21, NN dan 3N nilai maksimum dari

fungsi ),)(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− ))(( 3 tvbdhaExp ++++−− dan

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− untuk .,∞→t

dengan demikian untuk sebarang subpopulasi ),,(21 txI m ),(11 txI m dan ),( txJ terdapat

=0ε π2 sedemikian rupa sehingga



π2

+)0(2 1 JN +)0(112 mIN >)0(213 mIN =0ε π2

dengan 21, NN dan 3N nilai maksimum dari fungsi

),)(( 4224 tfnmhqdbExp −−−−++− ))(( 3 tvbdhaExp ++++−− dan

)))(2(( 212 tAhpmwudbExp +−++++− untuk ∞→t dan dapat dinyatakan bahwa invasi

virus super strain sangat berpengaruh terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p

maupun H5N1 atau virus super strain strongly uniformly persistence terhadap penyebaran

H1N1-p maupun H5N1.

Berdasarkan analisa persistensi terhadap penyebaran virus super strain dapat diperoleh

bahwa virus super strain persisten terhadap penyebaran virus influenza H1N1-p dan H5N1,

hal tersebut merupakan indikator terhadap peluang terjadinya outbreak dari penyebaran

virus super strain yang berakibat terjadinya peluang adanya gelombang penyebaran.

Pada pembahasan berikut akan ditunjukkan gelombang penyebaran virus super strain

melalui model traveling wave.

4.5.2. Analisa model traveling wave dari penyebaran virus super-strain

Model traveling wave dari penyebaran virus super-strain dibangun dengan

melakukan substitusi ctxu += terhadap konstruksi model matematika koalisi tahapan

ketiga dengan c sebagai kecepatan penyebaran virus, oleh karena terdapat banyak



HARIYANTO

193

parameter pada konstruksi model matematika tahapan ketiga maka dilakukan subtitusi

terhadap konstruski model menjadi bentuk konstruksi model tanpa dimensi.

Perhatikan model untuk subpopulasi super-strain berbentuk

qJbJdJJfJnJmJhxJD

tJ J −−−++++

∂

∂=

∂

∂42242

2

1

misalkan ∗= WLJ 2 , 21

LtDs

S

= , xyL = maka bentuk model subpopulasi super-strain tanpa

dimensi adalah

∗∗∗∗∗∗∗

++−++++∂

∂=

∂

∂ WLqbdLfWLnWLmWLhyWD

sWD JJ 22

42

22

22

42

2

11 )(

atau

∗∗∗∗∗∗∗

−++++∂

∂=

∂

∂ WeWdWcWbWayW

sW

111112

2

dengan

,1

24

1 JDLha = ,

1

22

1 JDLmb = ,

1

22

1 JDLnc = ,

1

24

1 JDLfd = JD

Lqdbe1

2

1)( ++

= = .1

21

JDLN

Khusus untuk 0→d total populasi susceptible JD

Lqdbe1

2

1)( ++

= = JD

Lqb

1

2)( + yang

berasal dari subpopulasi terinfeksi super-strain dengan rate mortalitas yang dinyatakan

oleh kekebalan alamiah dan rate recovery q tetap sehingga

=∗We1 .)(

1

2

eWD

LqbJ =

+ ∗

Jadi model subpopulasi super-strain tanpa dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut

eWdcbayW

sW

−++++∂

∂=

∂

∂ ∗∗∗

)( 11112

2

dengan subtitusi Csyz += diperoleh model traveling wave berbentuk:

eWdcbayz

dzWd

sz

dzdW

−++++∂

∂=

∂

∂ ∗∗∗

)()( 11112

2

2



HARIYANTO

194

eWdcbadzWd

dzdWC −++++= ∗

∗∗

)( 11112

2

Rdz

dW=

∗

dan eWdcbaCRdzdR

++++−= ∗)( 1111 5.84

dengan kondisi batas

)0,0(),( =∗

−∞→RWLim

Z dan =∗

∞→),( RWLim

Z)0,(

1111 dcbae

+++

dengan ∗W dan R sebagai titik kesetimbangan endemik dan bebas virus.

Model traveling wave dapat dinyatakan dalam bentuk model sistem linear

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∗

RW

dzd +

∗

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++−1

0)(

10

1111 eRW

Cdcba

dengan persamaan karakteristik

→=−+++−

−0

)(1

1111 λ

λ

Cdcba0)( 1111

2 =++++− dcbaCλλ

atau

=12λ 2)(4 1111

2 dcbaCC +++−± 5.85

dengan nilai dari akar karakteristik 12λ bergantung pada )(4 11112 dcbaCD +++−= yaitu

1. Jika 0)(4 11112 >+++− dcbaC didapatkan 12λ mempunyai 2 nilai real positif untuk

)(2 11111 dcbaC +++> atau .)(2 11111 dcbaC +++−<

2. Jika 0)(4 11112 =+++− dcbaC didapatkan 12λ mempunyai nilai real positif tunggal

untuk .)(2 11111 dcbaC +++±=

3. Jika 0)(4 11112 <+++− dcbaC didapatkan 12λ mempunyai nilai komplek sekawan

untuk .)(2)(2 11111111 dcbaCdcba +++<<+++−

Berdasarkan nilai karekateristik tersebut dapat diketahui bahwa sistem tidak stabil pada

titik kesetimbangan endemik sehingga kecepatan penyebaran 0>C bergantung pada nilai

diskriminan D seperti pada gambar berikut ini



HARIYANTO

195

Oleh karena 0>C maka terdapat 2 interval penyebaran yaitu

1. 0<D atau ,0)(4 11112 <+++− dcbaC untuk aD −= maka )(4 1111 dcba +++− =

)(4 11112 dcbaC +++− atau 0=C berarti virus super strain berada di titik

kesetimbangan bebas penyakit. Misalkan δ+−= aD untuk bilangan positif sebarang

maka akan terdapat ε+= 0C untuk bilangan positif sebarang ε sedemikian rupa

sehingga =→ +

DC

Limε

=→ −

DC

Limε

,)( δε +−= aD dengan demikian terdapat perubahan

kecepatan penyebaran dan untuk bilangan positif kecil sebarang ε maka dapat

diperoleh kecepatan penyebaran minimum .0 ε+=C Perhatikan untuk titik ,aC = jika

didekati dari arah kiri dan kanan atau 0)( ==→

=→ +−

aDDaC

LimDaC

Lim sehingga

diperoleh interval diskriminan untuk kecepatan penyebaran bila 0<D yaitu

0)( ≤≤<− DDa ε atau ,aCa ≤≤<− ε dengan demikian terdapat .min CC <

2. 0>D atau ,0)(4 11112 >+++− dcbaC perhatikan gambar 5.11

)(4 11112 dcbaCD +++−= monoton naik untuk ),0[ ∞ yang tidak mungkin terjadi,

oleh karena kecepatan penyebaran ekivalen dengan rate transmisi maka penyelesaian

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

C-kecepatan penyebaran

D-disk

rimina

n

D<0

D>0 D>0

11112 dcbaa +++=

• a− • a

Gambar 5.11. Relasi nilai karakteristik dengan kecepatan penyebaran.



HARIYANTO

196

positif dari konstruksi model berlaku 0),(1 =∞→

txJtLim atau ),(1 txS m monoton naik

sehingga maksDDCLim =

∞→ atau .maksCCzLim =

∞→

Dengan demikian pada model traveling wave terdapat kecepatan penyebaran dalam interval

.min maksCaCCa ≤≤≤=<− ε 5.86

Berdasarkan analisa tersebut diatas dapat disusun Teorema berikut ini

Teorema 5. 8.

Jika 0)(4 422422

1 <+++− fnmhLCDJ dengan C sebagai kecepatan penyebaran virus

super-strain maka pada titik kesetimbangan endemik virus super-strain melakukan invasi

dengan panjang gelombang penyebaran

.)12(

4LCn

Ln+− π

π< ω < ,

44

ππ

nLCLn

+

dan jumlah gelombang penyebaran adalah

ππ

4)12( LCn +−

< λ <π

π4

4 LCn +

Bukti.

Berdasarkan pada interval kecepatan penyebaran 5.86 terdapat minC sedemikian

hingga pada model traveling wave penyebaran virus superstrain 5.84 terdapat kecepatan

penyebaran C pada titik kesetimbangan endemik dan kecepatan penyebaran C untuk

∞→s , nilai karakteristik model traveling wave adalah

=12λ 2)(4 1111

2 dcbaCC +++−±

sehingga untuk )(4 11112 dcbaC +++− 0< atau 0)(4 4224

221 <+++− fnmhLCDJ

diperoleh nilai eigen komplek sekawan

=12λ 2)(4 2

142242 CDfnmhLiC J−+++±

sehingga pada titik kesetimbangan endemik



HARIYANTO

197

=∞→

12λZLim =

−+++±∞→ 2

)(4 214224

2 CDfnmhLiCLim

J

Z

2)(4 2

142242 CDfnmhLiC J−+++±

untuk ,0)(4 214224

2 >−+++ CDfnmhL J dengan demikian PUPD dari model traveling

wave adalah

=∗ )(zW )2

( zCExp )2

)(4cos({

214224

2

1 zCDfnmhL

KJ−+++

+

)2

)(4sin({

214224

2

2 zCDfnmhL

KJ−+++

dan dilakukan subtitusi

)2

)(4cos(

214224

2

zCDfnmhL J−+++

=

2

)2

)(4()

2)(4

(2

1422422

142242

zCDfnmhLi

ExpzCDfnmhLi

ExpJJ −+++−

+−+++

dan

=−+++

)2

)(4sin(

214224

2

zCDfnmhL J

i

zCDfnmhLi

ExpzCDfnmhLi

ExpJJ

2

)2

)(4()

2)(4

(2

1422422

142242 −+++−

−−+++

pada PUPD dapat diperoleh

=∗ )(zW )2

( zCExp2

{ 1K ( +−+++ ))(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J

+−+++− ))(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J

iK2

2 ( −−+++ ))(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J



HARIYANTO

198

)}.)(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J−+++−

Pada titik kesetimbangan endemik )0,(1111

1

dcbae

+++diperoleh

=∞→

∗ )(zWzLim∞→zLim )

2( zCExp

2{ 1K ( +−+++ ))(4

2( 2

142242 CDfnmhLizExp J

+−+++− ))(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J

iK2

2 ( −−+++ ))(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J

)})(42

( 214224

2 CDfnmhLizExp J−+++−

atau

=∞→

∗ )(zWzLim∞→zLim ))(4

22( 2

142242 CDfnmhLizCzExp J−++++

2{ 1K + )

22

iK

4224 fnmhqdb+++

++ = M )22

( 21 iKK− dan diperoleh =1K

)()(2

4224 fnmhMqdb

+++

++ dan 02 =K

dengan M sebagai nilai maksimum dari fungsi

))(422

( 214224

2 CDfnmhLizCzExp J−++++ untuk ∞→z sehingga PUPD adalah

=∗ )(zW)(

)2

()(2

4224 fnmhM

zCExpqdb

+++

++)

2)(4

cos(2

142242

zCDfnmhL J−+++

untuk )(4 11112 dcbaC +++− 0< atau .0)(4 4224

221 <+++− fnmhLCDJ

Traveling wave maksimum makszW )(∗ bila →makszCExp )2

( ∞dan

1)2

)(4cos(

214224

2

=−+++

maks

J

zCDfnmhL

sehingga diperoleh

makszW )(∗ = )(

)(2

4224

1

fnmhMMqdb+++

++ dengan 1M nilai maksimum dari makszCExp )2

( untuk

,∞→z



HARIYANTO

199

perhatikan

1)2

)(4cos(

214224

2

=−+++

maks

J

zCDfnmhL

saat makszW )(∗

sehingga diperoleh LnCDfnmhL J π2

2)(4 2

142242

=−+++

, ...2,1,0=n untuk

0)(4 422422

1 <+++− fnmhLCDJ dan +2C

=−+++

2)(4 2

142242 CDfnmhLi J

λ yang

juga disebut sebagai banyaknya gelombang penyebaran virus superstrain.

Didefinisikan jumlah gelombang berbentuk2

2 CLn

+=π

λ atau L

LCn2

4 +=

πλ dengan

panjang gelombang yang dapat dinyatakan sebagai λπ

ωn2

= atau .4

4π

πω

nLCLn

+=

Traveling wave minimum min)(zW ∗ bila 0)2

( min =zCExp dan

0)2

)(4cos( min

214224

2

=−+++

zCDfnmhL J

sehingga diperoleh min)(zW ∗ = ,0

Dilakukan pengamatan terhadap ))(( zWInf ∗ sehingga traveling wave yang terjadi adalah

))(( zWInf ∗ > )(

)2

()(

4224

min

fnmhM

zCExpqdb

+++

++)

2)(4

cos(2

142242

zCDfnmhL J−+++

diperoleh

0)2

)(4cos(

214224

2

=−+++

zCDfnmhL J

atau

L

n2

)12( π− = 2

)(4 236666 Cdcba −+++

untuk 0)(4 422422

1 <+++− fnmhLCDJ

yang dapat dinyatakan dalam bentuk

2)(4

2

236666 CdcbaiC −+++

+ = 22

)12( CL

n+

− π



HARIYANTO

200

sehingga jumlah gelombang penyebaran virus superstrain =λL

LCn2)12( +− π dengan

panjang gelombang .)12(

4LCn

Ln+−

=ππ

ω

Dengan demikian banyaknya gelombang penyebaran virus superstrain dari model traveling

wave 5.81 adalah

ππ

4)12( LCn +−

< λ <π

π4

4 LCn +

dengan panjang gelombang .)12(

4LCn

Ln+− π

π< ω < .

44

ππ

nLCLn

+

Traveling wave sebagai fungsi waktu dan lokasi pada Teorema 5.8 dinyatakan dalam

bentuk =∗ )(zW)(

)(2

4224 fnmhMqdb

+++

++ )2

( zCExp )2

)(4cos(

214224

2

zCDfnmhL J−+++

dengan ,22

)(4 214224

2

LnCDfnmhL J π

=−+++

L sebagai periode gelombang ditetapkan

2=L dan ,1=n sedangkan untuk parameter rate kelahiran dan kematian dirujuk dari data

WHO,2013 yang berlaku di Indonesia yaitu ,0063,0=b 0018,0=d sedangkan parameter

lainnya ditentukan berdasarkan pada 142240 >

+++

+++=

qdbDfnmhR

JJ sehingga

,4224 qdbDfnmh J +++>+++ oleh karena virus super strain lebih dominan

dibandingkan dengan virus influenza H1N1-p dan H5N1 maka rate transmisi virus super

strain terhadap subpopulasi lainnya diasumsikan sama sehingga diperoleh

,4 4 qdbDh J +++> dengan demikian dapat ditentukan data sebarang tentang rate

transmisi virus super strain ,4h rate recovery q dan koeffisien diffusi lokal .jD

Dengan ditetapkan kecepatan penyebaran virus super strain )(2 4224

2

fnmhDLC

J

+++=

maka traveling wave dapat dinyatakan seperti pada gambar berikut ini



HARIYANTO

201

Pada gambar 5.12, untuk 0=z diperoleh 1)0( =∗W mempunyai makna yang berbeda

dengan kondisi awal dari konstruksi model matematika koalisi sedangkan pada bidang

traveling wave )0()0( ∗∗ = maksWW bila ditinjau pada gelombang penyebaran sebelumnya,

setiap gelombang penyebaran dengan periode L mempunyai )(min zW ∗ dan )(zWmaks∗

sehingga untuk ∞→t gelombang penyebaran dengan periode L mempunyai )(min zW ∗ dan

)(zWmaks∗ semakin besar.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

-4

z-peubah lokasi

w-tra

velin

g wav

e

Traveling Wave Virus Super strain

L

C

Gambar 5.12. Traveling Wave virus superstrain



HARIYANTO

202

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 KESIMPULAN

Kesimpulan yang dapat dibuat berdasarkan dari hasil penelitian disertasi pada

adalah:

1. Konstruksi model matematika koalisi pada setiap tahapan proses koalisi berbentuk

sistem persamaan reaksi-diffusi atau sistem persamaan differensial parsial- integral.

Untuk 0=t setiap subpopulasi dikonstruski ada kecuali subpopulasi super-strain,

sedangkan kondisi batas Lx = untuk subpopulasi individual terinfeksi minimum

kecuali subpopulasi susceptible dan ekspose.

2. Konstruksi model matematika koalisi pada setiap tahapan dalam proses koalisi

adalah well-posed. Penyelesaian positif yang berkaitan dengan penyebaran virus

influenza H5N1 dan H1N1 pandemik pada tahapan pertama menunjukkan bahwa

pada kondisi sistem tidak stabil virus influenza H5N1 unggas monoton naik yang

diikuti oleh virus influenza H5N1 manusia. Pada tahapan kedua, virus influenza

H1N1-p monoton naik dan virus influenza H5N1 manusia monoton turun dan

didapatkan kedua virus mempunyai pengaruh yang sangat lemah terhadap

perubahan sistem, hal tersebut menunjukkan bahwa individual co-infeksi muncul

dalam waktu yang terbatas.Pada tahapan ketiga, virus influenza H1N1-p monoton

naik dan virus influenza H5N1 manusia monoton turun dan didapatkan virus

influenza H1N1-p mempunyai pengaruh yang sangat kuat terhadap sistem, hal

tersebut menunjukkan bahwa pengaruh susbtitusi asam amino menyebabkan virus

H5N1 mampu beradaptasi pada individual co-infeksi. Virus super-strain sebagai

hasil koalisi sangat dominan terhadap kedua virus dan menyebar melalui manusia

ke manusia.

3. Model traveling wave untuk penyebaran virus super-strain pada titik kesetimbangan

endemik diperoleh kecepatan penyebaran minimum

.22 4224min

4224maks

J

CfnmhLCCD

fnmhL ≤+++

≤≤=<+++

− ε



HARIYANTO

203

dan ..2 4224

JDfnmhLC +++

=

6.2 SARAN.

Saran yang disampaikan pada disertasi ini berkaitan dengan pengembangan

penelitian lebih lanjut adalah

1. Diffusi global pada disertasi ini dikonstruksi sebagai recruitmen terhadap transmisi

virus dan dapat dikembangkan sebagai individual populasi susceptible yang

mengalami transmisi virus, misalkan

.)(),(),()(),(),( 11111211 ∫ ∫Ω Ω

−−− dxxyKtxStxIdyyxKtyStxI mmmm αα

2. Bilangan reproduksi dasar pada disertasi ini digunakan pada saat terjadi penyebaran

virus H1N1-p dan H5N1 yang dapat dikembangkan seandainya terjadi outbreak

pada penyebaran virus influenza H5N1.

3. Eksistensi dan ketunggalan dari model traveling wave pada disertasi ini ditunjukkan

melalui titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik untuk

transformasi ,Ctxz += dapat pula dikembangkan eksistensi dan ketunggalan

tersebut dengan menggunakan teori pertubasi singular untuk traveling front dengan

bentuk transformasi .Ctxz +=



HARIYANTO

- - 204

DAFTAR PUSTAKA

Arino, J, Davis, J.R,Hartley,D,Jordan,R, Miller,J.M, and Drissche, P.V.D.2005.

A.multispecies epidemic model with spatial dynamic. Mathematical

Medicine and Biology.22 , p. 129-142.

Al Hajjar, S, Mcintosh,K. 2010. The first influenza pandemic of the 21st Century

. ANN Saudi Med [Internet] [sitasi 23 Jan 2010]; 30 (1) , p. 1-10. Didapat dari

www.saudiannals.net

Allen,L.J.S, Bolker,B.M, Lou, Y and Nevai, A.L. 2010. Asymptotic Profile of the

stedy states for an SIS Epidemic Reaction-Diffusion Model,

Boman, C, Gumel, A.B, Driessche,P.V.D, Wu,J and Zhu,H.2005. A mathematical

model for assessing control strategies against West Nile Virus, Buletin of

Mathematical Biology [Internet] ; 67 , p. 1107-1133. Didapat dari

www.elsevier.com/locate/ybulm.

Blyuss,K.B. 2005.On a model of spatial spread of epidemics with long - distance

travel, Physics Letters A [Internet]; 345 , p. 129-136. Didapat dari

www. scinecedirect.com.

Baalen, M.V. 2002. Contact Network and the Evolution of Virulence.

Cambridge University Press , p.85-103

Coburn,B.J, Wagner,B.G and Blower,S.2009. Modelling influenza epidemics

and pandemics : insights into the future of swine flu ( H1N1 ), BMC

Journal [Internet]; 7 , p.1-8. Didapat dari www. Biomedcentral.com

Coburn, B.J, Cosner, C, Ruan, S. 2011. Emergence and dynamics of influenza

super strains, BMC Journal [Internet]; 11 , p.1-10. Didapat dari .

www. Biomedcentral.com

DeCarlo and Raymond A. 1989. Linear Systems. .Prentice Hall,Inc. Hal 157-172..

Driessche, P.V.D and Watmough,J.2002. Reproduction number and sub –

threshold endemic equilibria for compartementaln models of

diseases transmission, Mathematical Bioscience [Internet]; 180, p. 29-48.



HARIYANTO

- - 205

Didapat dari www.elsevier.com/locate/ybulm.

Das, K.D. and Mukherjee D.2009. Persistence Aspects of an Epidemic Model

of Chagas Diseases, Tamsui Oxford Journal of Mathematical Science 25 (3) ,

p.301-311.

Flahault,A, Vergu,E and Boelle,P.Y.2009. Potensial for a Global Dynamic of

Inlfuenza A ( H1N1), BMC Journal [Internet]; 9. Didapat dari .

www. Biomedcentral.com

Freedman, H.I,S. Runn and Tung,M. 1994. Uniform Persistence and Flows Near

a Closed Positively Invariant Set, Journal of Dynamics and Differential

Equation 6 (4 ).

Hectcote H W. 2000. The mathematics of Infectious Diseases, SIAM [Internet]; 42 ,

p.599-653, Didapat dari www. Siam.org/journal/sirev/42-43/3710.html

Hyman,J.M, LaForce,T.2004. Modelling The spread of Influenza Among

Cities, in Computational and Applied Mathematics Program, (Center for

Nonlinea Studies, Los Alamos National Laboratory ), Los Alamos Report, p.

215-240.

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis Eksistensi

Traveling Wave Front pada Model Matematika Reassortment Virus

Influensa H5N1 dan H1N1-p, Penelitian Program Doktor,LPPM-ITS,

Surabaya.

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Mengkonstruksi

Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran Virus pada 2 lokasi

dengan strain yang berbeda. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan

Pendidikan Matematika –UNY. Yogyakarta

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis eksistensi

traveling wave pada model distribusi terinfeksi dari penyebaran virus pada

2 lokasi dengan strain berbeda. Prosiding Seminar Nasional MIPA –

UNESA.Surabaya.

Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013. THE Construction of a

Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in



HARIYANTO

- - 206

Indonesia. Applied Mathematical Sciences .99, 4899-4907. HIKARI Ltd.

Irawan.B. 2007. Genetika Molekuler. Penerbit Universitas Airlangga

Jones,C.K.R.T.2003.Geometric Singular Perturbation Theory, Devision

of Applied Mathematics Brown University.

Kelling,M.J and Eames,K.T.D.2005. Networks and Epidemic models, J R Soc

Interface , p.1-24.

Liu,D, JingHua,Y, Jun,L.W.2009. GAO.G George, Interspecies transmision and

host restriction of avian H5N1 influenza virus, Sci China Ser C- Live

Sci [Internet]; 52(5), p. 428-438. Didapat dari www. scinecedirect.com.

Li,B, Weinberger,H.F and Lewis, M.A.2005.Spreding speeds as slowes

wave speeds for cooperative systems, Math Bio Science196 , p.82-98.

Lie,C, Hatta,C.M, Nidom,C.A, Muramoto,Y, Watanabe,S, Neumann, G.2009.

Reassortmen between avian H5N1 and human H3N2 influenza virues

creates hybrid virues with substantial virulence, PNAS [Internet]; p. 1-6.

Didapat dari www. Pnas.org/cgi/content/full/0912807107/DCsupplemental

Li,J and Zou, X.2009.Modelling Spatial Spread of Infectious Diseases with

a fixed latent period in a spatially continous domain, Buletin of

Mathematical Biology ,p.1-36.

Lewis,M, Renclawowicz,J, Driessche,P.V.D. 2006, Traveling Waveand Spread

Rate for a West Nile Virus Model, Buletin of Mathematical Biology 68

,p.3-23.

Maia,M. 2011, An Evolutionary Model of Influenza A With Drift And Shift,

Departement of Mathematics University of Florida.

Novozhilov, A.2008. Heterogeneous Susceptibles - Infectives Models

Mechanistic derivation of The Power Law Transmission function, q-

bio.PE.

Parham Paul,P.E, Ferguson,N.M.2006. Space and contact networks:capturing the

locality of disease transmission, J.R Soc Interface[Internet]; 3 , p. 483-493.

Didapat dari Journal.royalsoc.ac.uk

Reluga,T.C, Medlock, J and Galvani,A.P.2011. A Model of Spatial



HARIYANTO

- - 207

Epidemic Spread when Individuals Move Within Overlapping Home

Ranges, Yale University Press.

Ruan,S and Wu,J. 2009. Modeling Spatial Spread of Communicable Diseases

Involving Animal Hosts, Depertement of Mathematics , University of

Miami, Departement of Mathematics and Statistics, York University.

Ruan,S.2006. Spatial Temporal Dynamics in nonlocal Epidemiogical

Models, Miami University Press.

Trampuz. et al.2004. AVIAN INFLUENZA : A New Pandemic Threat ?, Mayo

Clin Proc [Internet]; 79 , p.523-530. Didapat dari www. WHO.int/en/

Thieme,H R. Tridane, A and Khuang, Y. 2007.. An Epidemic model with post-

contact prophylaxis of distributed length I. Thresholds for disease

persistence and axtinction, Jurnal of Biological Dynamics ,p 1-19.

Thieme,H.R. 2000, Uniform persistence and permanence for non – autonomous

semiflows in population biology, Elsevier Science Inc [Internet];166 ,

p. 173- 201. Didapat dari www.elsevier.com/locate/mbs

Wonham,M.J, de-Camino-Beck,T and Lewis,M.A.2004. An epidemiological

model for West Nile virus: invasion analysis and control applications,

Proc.R.Soc.Loud.B. 271 , p. 501-507. .

WHO.2008. Pandemic influenza preparedness and mitigation in refuegee and

displaced populations,WHO guidelines for humanitarian agencies.



HARIYANTO

I

LAMPIRAN I. DATA PRIBADI. 1. Nama Lengkap : Drs. Hariyanto.M.Si. 2 Pangkat / Gol / NIP : Pembina / VI.A / 19531404 198203 1 002

3. NIDN : 0014045301 1. Jabatan Fungsional : Lektor Kepala 2. Perguruan Tinggi : ITS 3. Alamat Kantor : Jurusan Matematika FMIPA-ITS

Kampus ITS Keputih Sukolilo Surabaya, 60111 Telp : (031) 5943354 Fax : (031) 5996506 E-mail : Hariyanto_its@ Yahoo. Co . id

4. Alamat Rumah : Perum YKP Blok MAIE / 29 Surabaya Telp. (031) 8710345, HP.081235107705.

II .RIWAYAT PENDIDIKAN S1 S2 S3 Nama Perguruan Tinggi ITS UGM UNAIR Bidang Ilmu Matematika Matematika MIPA Tahun Masuk-Lulus 1972-1979 1995-1999 2008 - sekarang Judul Skripsi/Thesis/Desertasi

Application Matrics for Construction Analysis

Asymtotik untuk Transformasi Densitas Estimator Kernel

Konstruksi Model Matematika Koalisi antaraVirus Influensa H5N1 dengan H1N1-p.

Nama Pembibing/Promotor

Drs.Soehardjo Prof.Dr. Zamzawi Sayuti.M.Sc

Prof.Dr.Basuki Widodo M.Sc Dr.C.A.Nidom,M.Si. Prof.Dr. I.Nyoman Budiantara,M.Si.

III. RIWAYAT KERJA.

1. Dosen tetap Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 1982 – sekarang

2. Sekretaris Jurusan Matematika FMIPA-ITS, 1991 – 1993.

3. Sekertaris Program Studi Pasca Sarjana Matematika-ITS , 2003- 2004

4. Anggota Senat-ITS wakil Jurusan Matematika, 2004-2006.

5. Anggota Pusat Rekayasa Teknologi dan Energi Alternatif-LPPM-ITS, 2006-

2007.



HARIYANTO

II

IV. DAFTAR PENELITIAN.

1. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis Eksistensi

Traveling Wave Front pada Model Matematika Reassortment Virus

Influensa H5N1 dan H1N1-p, Penelitian Program Doktor,LPPM-ITS,

Surabaya.

V. DAFTAR PUBLIKASI ILMIAH.

1. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Mengkonstruksi

Model distribusi kontak pada Transmisi Penyebaran Virus pada 2 lokasi

dengan strain yang berbeda. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan

Pendidikan Matematika –UNY. Yogyakarta.

2. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N. 2012. Analisis eksistensi

traveling wave pada model distribusi terinfeksi dari penyebaran virus

pada 2 lokasi dengan strain berbeda. Prosiding Seminar Nasional MIPA –

UNESA.Surabaya.

3. Hariyanto. Widodo,B. Nidom,C.A. Budiantara,I.N.2013. THE Construction of a

Model of PRE-Coalition betwen H1N1-p and H5N1 Influenza Virus in

Indonesia. Applied Mathematical Sciences .99, 4899-4907. HIKARI Ltd.



HARIYANTO

Documents

DISERTASI KONSTRUKSI MODEL MATEMATIKA KOALISI ANTARA