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Die Multiple-Multipol- Methode (MMP)

Einführung in die Computerorientierte Feldtheorie (CoFT-2) Sommersemester

Daniel Erni

Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE), Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Universität Duisburg-Essen, D-47048 Duisburg

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Agenda

�• Kategorienbildungen der Feldberechnungs- methoden

�• Feldgleichungen und Multipolentwicklungen (als allgemeinste Basislösungen).

�• Mathematische Abstützung

�• Kurze Einführung in die «Randmethoden»

�• Die MMP-Methode

�• Zum Streuproblem und dem Eigenwertproblem

�• Beispiel: «Plasmonische Partikel»

�• Weiterentwicklungen in MMP

Verknüpfungen (connections) Scripting Effiziente Parametersweeps

�• Kurze Zusammenfassung

Ein MMP-Beispiel: Aufsicht auf eine «neuartigen» Lichtführungs- anordnung (Wellenleiterkanal in einem sog. photonischen Kristall), welche die Realisierung von sehr engen Kurven ermöglicht.

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Feldberechnungsmethoden I Kategorienbildung nach der Raumdiskretisierung

(1) Gebietsmethoden (domain methods):

�• Feldvolumen G wird diskretisiert.

�• Die Feldwerte fijk (im Gitter) selbst sind die Unbekannten.

�• Freiheitsgrade des numerischen Verfahrens wirken lokal (cf. «Molekül» und Voxel im Diskretisierungsgitter).

�• Konsequenz: Dünnbesetzte (sparse), grosse Matrizen oder direktes Updating (im Zeitbereich) möglich.

FEM: Finite-Elemente-Methode(n) FD: Finite-Differenzen-Methode(n) FIT: Finite-Integrations-Methode(n) FV: Finite-Volumen-Methode(n)

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Feldberechnungsmethoden II Kategorienbildung nach der Raumdiskretisierung

(2) Randmethoden (boundary methods):

�• Der Rand G des Feldgebiets wird diskretisiert.

�• Ansätze von Näherungsfunktionen für die Felder f werden gesucht (cf. Ansatz- methoden).

�• Freiheitsgrade des Verfahrens sind die Parameter der Näherungsfunktionen. Diese wirken nicht- oder bedingt lokal.

�• Konsequenz: Kleine, vollbesetzte Matrizen.

MMP: Multiple Multipole Method CSM: Ersatzladungsverfahren MMT: Mode Matching Technique SDA: Spectral Domain Analysis, etc.

MoM: Momentenmethode MoL: Methods of Lines BPM: Beam Propagation Method BEM: Boundary Element Method

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Feldberechnungsmethoden III Kategorienbildung nach dem Approximationstypus Qualität der Lösung und des zugehörigen Verfahrens:

Randbedingung exakt erfüllt

Randbedingung approximativ erfüllt

Feldgleichungen exakt erfüllt

Feldgleichungen approximativ erfüllt

analytisch Sehr, sehr kleine Lösungsmenge !

semianalytisch Randmethoden BEM, MoM, MoL, MMP, CSM, SDA,�…

vollnumerisch Exoten Cellular Automata Monte-Carlo,�…

seminumerisch Gebietsmethoden FD, FEM, FV, FIT,...

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Feldberechnungsmethoden IV Kategorienbildung nach dem Lösungsbereich der Felder

Zeitbereich

�• FDTD

�• FVTD

�• FE-TD

�• MoM-TD

Frequenzbereich

�• FDFD

�• FE-FD

�• MMP

�• CSM

�• SDA

�• MoL

gemischte Verfahren

�• Split-Step-Methoden: BPM,�…

�• MoM

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Feldberechnungsmethoden V MMP-Methode

Die «Visitenkarte»

Die Multiple-Multipol-Methode (MMP) ist eine semianalytische Randmethode im Frequenzbereich.

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×E = j µH×H = J0 + j E

× j µj ×

�ˆA

EHf

=0J0q0

�ˆA f = q0

Darstellung der Feldgleichungen I Feldgleichungen in Operatorenschreibweise (1) Maxwell-Gleichungen für die harmonische Zeitabhängigkeit :

(2) Homogene Gleichung:

Inhomogenen ersten zwei Maxwell- Gleichungen in Operatorform mit Maxwell-Operator Â.

�ˆA f = 0× j µj ×

EH

=00

det �ˆA = �ˆ0 det× j µj ×

= × ×( )( )

2µk2 = 2 c2

= �ˆ0

Nulloperator

(Felderzeugung)

(Feldausbreitung)

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Darstellung der Feldgleichungen II Feldgleichungen in Operatorenschreibweise (2) Homogene Gleichung (keine Quellen):

(entkoppelte, homogene Wellengleichung)

det �ˆA = �ˆ0 det× j µj ×

= × ×( )( )

2µk2 = 2 c2

= �ˆ0

�ˆ0 f = 0( ) k2 0

0 ( ) k2EH

=00

mit : E( ) =Q :=0 µH( ) 0

+ k2 00 + k2

�ˆG

EHf

=00

�ˆG f = 0(3) Helmholtz-

Gleichung:

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Darstellung der Feldgleichungen III Feldgleichungen in Operatorenschreibweise (4) Zusammenstellung der Feldgleichungen:

Maxwell-Gleichung

Helmholtz-Gleichung

(entkoppelte Wellengleichung)

�ˆD f =0 : homogen

q0 : inhomogen

(5) Allgemeine Schreibweise: Stellvertretend für beide Formulierungen schreiben wir für die Feldgleichungen:

Feldoperator in G

�ˆA f =0 : homogen

q0 : inhomogen

bzw.

�ˆG f =0 : homogen

p0 : inhomogen

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Darstellung der Feldgleichungen IV Feldgleichungen in Operatorenschreibweise (6) Rand- bzw. Grenzbedingungen:

�ˆR f = g0

Die Rand- bzw. Grenzbedingungen lassen sich in Operatorenschreibweise wie folgt angeben:

n× E+ E( )G= 0

n× H+ H( )G= JF

n +E+ E( )G=

n µ+H+ µ H( )G= 0

Randoperator in G

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Lösung der Feldgleichungen Homogene Lösungsansätze (1) Erzeugung der Basisfunktionen:

(A) Formaler Zugang über die Greenschen Funktionen:

�ˆDG r ,r( ) = r r( ) Die Greenschen Funktionen G sind die «räumlichen

Stossantworten» des Feldsystems bzw. Feldraums, entwickelt in den entsprechenden Koordinatensystemen. Sie entsprechen somit den Basislösungen/-funktionen.

(B) Pragmatischer Zugang über den Separationsansatz:

�ˆD f = 0

fh =X x( ) :1D

R r( ) ( ) :2D

R r( ) ( ) ( ) :3D

�ˆD fh = 0

harmonische Dgl. :1D

Besselsche Dgl. :2D

Legendresche Dgl. :3D

Bernoullische Produkteansätze

homogene Lösungen = Basisfunktionen

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2D Basisfunktionen I (1) Eindimensionale Geometrie:

(2) Zylindrische Geometrie:

e i x= cos x( ) + i sin x( )

Hm x( ) = Jm x( )+ i Nm x( )

Exponentialfunktion (ebene Welle)

Hankelfunktion (Zylinderwelle)

Jm :Nm :

Besselfunktion

Neumannfunktion

sin x( )

cos x( )

Nm x( )

Jm x( )

m = 0

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2D Basisfunktionen II 2D-Fall Analogien:

Zur radialen Abhängigkeit R(r) der Basisfunktion

( )=cos m( )sin m( )

R r( )

Zur azimutalen Abhängigkeit ( ) der Basisfunktion

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2D Basisfunktionen III (3) Zum Abklingverhalten von Zylinderfunktionen:

2D-Stehwellen bzw. 2D-Strahlungsfelder

Jm r( )Nm r( )

1rcos r 2 m 1

2[ ]( )sin r 2 m 1

2[ ]( ) r

r0m( )

Im r( )Km r( )

1r

e r

e r r2D evaneszente Felder

(4) Lösungen des statischen, zylindrischen Feldproblems (k 0):

Jm kr( )Nm kr( )

rm : m 0{ }ln r( ) : m = 0; r m m

k 0

2D statische Felder; Entspricht der Umgebung

r 0

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z r = r, ,( )

3D Basisfunktionen 3D-Fall �– Sphärische Multipole (spherical harmonics):

R r( ) =1rH +1 2

1( ) kr( )1rH +1 2

2( ) kr( )

( ) = eim

e im

( ) = Pm cos( )Qm cos( )

Assoziierte Legendrefunktionen 1. Art (P m) und 2. Art (Q m) (Kugelflächenfunktionen)

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f r( ) = f0 r( ) + Ai fi

n( ) ri( ) +i=1

Mn

Aik fikp( ) ri( )

k=1

Ni

i=Mn +1

Mp

+ r( )

Anregung

Basisfunktion z.B.vom Bessel-Typ z.B. vom Hankel-Typ

Fehler n: Normalentwicklungen (ohne Singularitäten)

p: Multipolentwicklungen (mit Singularitäten)

ri steht für den Ortsvektor, der im lokalen i-ten Koordinaten- system ver- masst ist.

Mathematische Abstützung I Feldapproximation durch Multipolentwicklungen Entwicklungsansätze:

Die Feldbeschreibung im Gebiet G besteht aus örtlich angesetzten Reihenentwicklungen mit Basisfunk-tionen, welche eine Ursprungssin-gularität aufweisen (p-Entwicklung in den Löchern Li) und solchen ohne Singularität (n-Entwicklung in G).

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Mathematische Abstützung II Zum Approximationsvermögen in 2D Das Theorem von Vekua:

(kompakte Schreibweise)

f r( ) = f0 r( ) + Aik fik ri( )

k=1

Ni

i=1

M

+ r( )

In einem mehrfach zusammenhän- genden 2D Gebiet G (mit Löchern Li) sind Lösungen z.B. der Helmholtz- gleichung durch Ansätze f (wie unten angegeben) beliebig genau approximierbar, wenn die obere Grenze N der Summation genügend gross gewählt wird. Der Ansatz über n-Normalentwicklungen entfällt, falls G Punkte im Unendlichen enthält.

Merke: Es werden keine Angaben über N, gemacht. Bei endlichen Reihenansätzen definieren die Wahl von N und die Entwicklungsorte ein Optimierungsproblem.

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Mathematische Abstützung III «Konvergenzbeweis» in 2D (Beweisskizze) (1) Komplexe Einbettung in einen Sobolev-Raum:

Sobolev-Norm verschwindet monoton mit N, falls u von N Punktquellen (Monopolen) stammt: Konvergenz.

u :E - Feld

v = �ˆMu :H - Feld1, 2

�ˆRu = u + i un 12

=uv

2 = �ˆF u, �ˆMu, �ˆRu1,2{ }d

12

Nmonoton 0

Sobolev-Norm:

quadratintegrabler Ausdruck (energieartig)

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Mathematische Abstützung IV «Konvergenzbeweis» in 2D (Beweisskizze) (2) Relativierung des «Konvergenzbeweises»:

�• Der «Konvergenzbeweis» benutzt etwas seltsame Randbedingungen.

�• Der «Konvergenzbeweis» beruht auf einem skalaren Feld u.

�• Die Quellen von u bestehen aus sehr vielen, linienförmig verteilten Monopolen (fictitious sources).

�• In Anlehnung an Vekua kann MMP aber zeigen, dass die Feld- approximationen mittels Multipolentwicklungen in der Praxis

viel, viel rascher konvergieren, als theoretisch mit Hilfe des «Konvergenzbeweises» vorausgesagt wird.

�• Der «Konvergenzbeweis» gilt nur in 2D (und nicht für 3D).

�• In 3D zeigt MMP ein besseres Konvergenzverhalten als in 2D (liegt am lokalen Verhalten der Ansatzfunktionen bzw. deren rascheren Abklingverhalten).

�• Vertrauenswürdiger ist bei Randmethoden vielmehr die Information über das Verhalten des Randfehlers (Residuum).

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Prinzip der Randmethoden I Die Ansatzfunktionen im Lichte des Feldoperators (1) Feldgleichungen für das Feldgebiet G (ohne Rand):

�ˆD f = q0 mit dem Ansatz : f r( ) := f0 r( ) + Aik fik ri( )k=1

Ni

i=1

M

+ r( )

�ˆD f = �ˆD f0 + Aik �ˆD fikk=1

Ni

i=1

M

+ �ˆD = q0

�ˆD f0 = q0 Aik �ˆD fikk=1

Ni

i=1

M

+ �ˆD = 0

�ˆD fik = 0 �ˆD = 0 aber 0

Anregung bzw. Quellenterm sind synonym (cf. partikuläre Lösung)

Grösstmögliche Freiheit der Wahl von Aik falls die homogene PDG gilt: die Ansätze fik sind gerade die Basisfunktionen!

homogene PDG Konsequenz: Fehler ist vom Typ Feld !

inhomogene PDG

Es braucht mindestens iMNi Glei-

chungen für die Aik.

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Prinzip der Randmethoden II Die Ansatzfunktionen im Lichte des Feldoperators (2) Ein erstes Fazit:

�• Das Feld wird mit Reihenansätzen approximiert, wobei jede zugrundeliegende Basisfunktion für sich genommen die Feldgleichungen auch erfüllt.

�• Im Prinzip sind für die Feldapproximation alle Funktionen zulässig, welche die Feldgleichungen erfüllen!

�• Tritt ein ein Approximationsfehler auf, z.B. wegen der endlichen Summation oder von ungenügend gut erfüllten Randbedingungen herrührt, so ist dieser Fehler stets «feldartig».

�• Die partikuläre Lösung (Anregung durch ein gegebenes Feld f0 bzw. durch eine Quelle q0) erfüllt die Randbeding- ungen im Allgemeinen nicht.

�• Die Lösung des Feldproblems erfordert daher noch zusätzlich die Erfüllung der Randbedingung.

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Prinzip der Randmethoden III Die Ansatzfunktionen im Lichte des Randoperators (1) Feldgleichungen auf dem Rand G :

�ˆR f = g0 mit dem Ansatz : f r( ) := f0 r( ) + Aik fik ri( )k=1

Ni

i=1

M

+ r( )

�ˆR f = �ˆR f0 + Aik �ˆR fikk=1

Ni

i=1

M

+ �ˆR = g0 Aik �ˆR fikk=1

Ni

i=1

M

= g0 �ˆR f0 �ˆR

Np Punkte auf dem Rand des Lochs : rp G

�ˆR fik rp( )Mpk

i

Aikk=1

Ni

i =1

M

= g0 rp( ) �ˆR f0 rp( )hp

�ˆR rp( )ep

i : Mpki Aik[ ] = hp + ep

Basisfkt. # Gleichungssystem für die Ni Koeffizienten Aik der i-ten Reihen- entwicklung in k.

bekannt gesucht

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Prinzip der Randmethoden IV Die Ansatzfunktionen im Lichte des Randoperators (2) Ein zweites Fazit:

�• Es braucht mindestens iMNi Gleichungen für die

Bestimmung aller Aik. �• Sinngemäss sind deshalb mindestens Np = i

MNi Rand- punkte p erforderlich, in denen die Randbedingungen zu erzwingen sind.

�• Werden im Randoperator z.B. K Feldkomponenten in Betracht gezogen, so steigt die Anzahl erforderlicher Gleichungen/Randpunkte entsprechend um den Faktor K.

�• Das Erzwingen der Randbedingungen in diskreten Randpunkten wird auch «Kollokation» oder «point matching» genannt.

�• Problem: Der Randoperator (Folie 11) verrechnet Feld- komponenten von E, H, B, D welche sich durch Grössen- ordnungen voneninader unterscheiden. Numerisch besser erweisen sich:

Np =K Nii=1

M

E, µH , 1

µ B,1 D

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�• Kn : Konturpunkte (Übereinstimmung des Potentials) �• Qj : Ersatzladungen (nicht im Feldgebiet ansetzen) �• VE : Elektrodenpotential (vorgegeben)

Beispiel: Ersatzladungsverfahren I Prinzip:

pij =14

1rKi rj

Ki= pi1 Q1 +�…+ pin Qn :=VE

K j= pij Qj :=VE

j=1

n

Beim Ersatzladungsverfahren (auch Bildladungsverfahren) wird das (Potential-)Feld einer vorhandenen Oberflächenladung mit Hilfe des Feldes fiktiver, diskreter Ersatzladungen Qj (wie z.B. Punkt-, Linien- oder Ringladungen im Innern der Elektrode) nachgebildet.

: Potentialkoeffizient (Basisfunktion)

Gleichungssystem für unbekannte Ersatzladungen Qj.

Symmetrie- Achse

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1. Vorgabe von j Ersatzladungen (nach Elektrodenform und Symmetrien).

2. Wahl von n Konturpunkten Ki (n # Ersatzladungen)

3. Aufstellen des Gleichungssystems für Qj :

4. Lösen

5. Potentialfeld:

6. Fehler- kontrolle im Testpunkt T

Beispiel: Ersatzladungsverfahren II Vorgehen:

p11 p12 �… p1np21 p22 �… p2n

pn1 pn2 pnn

Q1Q2

Qn

=

VEVE

VE

r( ) = pj r( )

j=1

n

Qj

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-Q1 -Q2

Spiegel- Ladungen

Beispiel: Ersatzladungsverfahren III Beispiel (in p.u.)

K1=Q1

12 3

12+ 3

+Q21

2 2.51

2+2.5

K2=Q1

14 3

14+ 3

+Q21

4 2.51

4+2.5

Qj =Qj

4

K1=Q1 0.80+Q2 1.78:= 1

K2=Q1 0.86+Q2 0.51:= 1

Q1Q2

=1.1300.053

T =Q1

11

162 +12

+Q21

0.52 +121

5.52 +12= 0.98

im Test- punkt T

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= 1V

= 0V

�• Ansatz mit zwei Ersatzladungen ergibt lediglich 2% Fehler.

�• Wahl der Ersatzladungen, d.h. Typ und Position ist «kritisch».

�• Das Feld auf dem Rand G der Elektrode G soll in diskreten Punkten die Randbedingungen möglichst exakt erfüllen. Randmethode.

�• Randmethoden sind semianalytisch:

Beispiel: Ersatzladungsverfahren IV

Lösung:

r( ) = pj r( )

j=1

n

Qj

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Die MMP-Methode I Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden (1) «Simples» Point-Matching:

�• Als Basisfunktionen werden Multipolentwicklungen angenommen.

�• Die diskreten Randpunkte heissen Matching-Punkte.

�• Die Feldapproximation basiert auf multiplen Multipolentwicklungen (MMP):

f r( ) := f0 r( ) + Aik fik r( )k=1

Ni

i=1

M

+ r( )Rf =g0 r := rp

i : Mpki Aik[ ] = hp + ep

Np K Nii=1

M

: point matching

: Gleichungssystem für die Entwicklungskoeffizienten Aik.

: Bedingung für die Anzahl der Matching-Punkte (�„>�“ ergibt überbestimmtes Gleichungssystem).

Matching-Fehler Null setzen!

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Die MMP-Methode II Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden (2) Projektionsmethode:

: Projektion auf Testfunktion t

: «anderes» Gleichungssystem für die Entwiklungskoeffizienten Aik.

f r( ) f r( ),t r( ) mit : f ,t = f t*dAG

�ˆR f ,t = g0 ,t r := rp

i : Mpki Aik[ ] = hp + ep

t r( ) = r rp( ) :point matching

f r( ) :Galerkin

(b) Spezialfälle:

(a) Testfunktion erzeugt Matrixelemente der Matrixgleichung:

wird Null gesetzt

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Die MMP-Methode III Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden (3) Fehlermethode:

Matching-Fehler

(a) Idealfall:

Aik �ˆR fik g0 �ˆR f0( )0

k=1

Ni

i=1

M

= �ˆR

Aik �ˆR fik 0k=1

Ni

i=1

M

=

�ˆR f g0 = 0

(b) Reale Situation:

(c) Fehlerquadrat minimieren:

Aik �ˆR fik 0

k=1

Ni

i=1

M 2

= 2 minAik

2( ) = 0 r := rp

i : Mpk

i Aik[ ] = p Np >K Nii=1

MMMP löst überbestimmtes Gleichungs-system durch Fehlerminimierung !

gesucht gegeben unbestimmt, aber möglichst klein

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Die MMP-Methode IV Vorgehensweise im Sinne der Randmethoden (3) Fehlermethode:

(d) Gleichungssystem lösen:

Mpki , p{ } Aik[ ]

1[ ]= 0[ ] p

= 0[ ] : Eigenwertproblem

0[ ] : Streuproblem

Mpki , p{ } vollbesetzte, kleine, im

: überbestimmten Fall nichtquadratische Matrix

�• Direktes Verfahren mittels Givens-Rotation.

�• Ergibt rechte, obere Dreiecksmatrix D.

�• Letzte Unbekannte enthält Anregung bzw. Normierung.

�• Rückwärts einsetzen der ak ergibt Lösung.

D

0

0�… 0

00

0

=

a1

aNk

Nk =K Nii+1

Np

rückwärts einsetzen

:=1Dkk

Eigenwerte sind die Nullstellen des Matrixelementes Dkk,

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Die MMP-Methode V Fazit

�• Ist das Gleichungssystem gelöst, verfügen wir bei MMP über eine (komplizierte) analytische Funktion des Feldes für das gesamte Feldgebiet !

�• Die Lösungsfunktion könnte demnach auch als «Basisfunktion» eines übergeordneten, noch komplexeren Feldproblems aufgefasst werden (mehr darüber später).

�• MMP verfügt mit dem Matching-Fehler über ein explizites Fehlermass, welches im Fall der Fehlermethode vom Typ «Energie» ist.

�• Die Orte der Multipolentwicklungen stellen einen weiteren Freiheits- grad der Problemstellung dar, welcher zur Minimierung des Matching- Fehlers (Randfehlers) mitberücksichtigt werden kann.

�• Wo sind die Multipolentwicklungen demnach am besten anzusetzen?

Analytische Feldlösung

f r( ) f0 r( ) + Aik fik r( )

k=1

Ni

i=1

M

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Die MMP-Methode VI Zu den Entwicklungsorten Die «Sehwinkel-Bedingung»:

Das gegebene Streuproblem

p2

2Ni +1

�• Einflussgebiet des Multipols umfasst einen Sehwinkel von maximal 90°.

�• Sampling-Theorem bezüglich der Matching- Punkte (Sehwinkel-Bedingung):

Matching- punkte

Multipol- Entwicklungen

pi

p

Dj

pi+1

Ni ist die höchste Multipol- Ordnung der Multipol- Entwicklung i.

Matching- Fehler !

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Erstes Beispiel I «Plasmonische Partikel»

�• Silberpartikel

�• Anregung mittels (p-polarisierter) ebener Welle bei = 340 nm.

�• «Negative Ecken» sind extrem kritisch: daher abgerundet.

(1) Metallisches Dimer-Partikel als Benchmark:

3D-FEM s

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Erstes Beispiel II «Plasmonische Partikel» (2) Metallisches Dreieck-Partikel:

o : Green�‘s Tensor Technique (Referenz) �– : 2D-MMP

Abgerundete Ecken (keine Feldsingularität)

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Weiterentwicklungen in MMP I Verknüpfungen (Connections) Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:

Folie 33: Lösungen sind stets vom Typ Entwicklungssfunktion.

Connections erlauben den Einbau von Lösungsfunktionen untergeordneter Problemstellungen in ein komplexeres, übergeordnetes Feldproblem.

Vereinfachte Problemstellung: (der einzelne «Gitterzahn»)

Umgekehrt: Die Nahfeld-zu-Fernfeld- Transformation erlaubt die Lösung eines komplexen Feldproblems im Fernfeld mittels eines einzigen Multipol-feldes zu approximieren.

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Weiterentwicklungen in MMP II Verknüpfungen (Connections) Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:

Connection für die hinlaufende (Anregung) und reflektierte Eigenmode.

Connection für die transmittierte Eigenmode.

Matching-Kontur für die Nahfeld-zu-Fernfeld-Transformation

Fiktive Grenzschicht (bessere Problemaufteilung)

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Weiterentwicklungen in MMP III Verknüpfungen (Connections) Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:

Nichteriodische Gitteranordnung

Einzelner Gitterzahn

Einbettung und Verknüpfung der Einzellösungen

n1 = 1.33

n2 = 2.35

n3 = 1.57

d2 = 150 nm

d1 = 10 nm

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Weiterentwicklungen in MMP IV Verknüpfungen (Connections) Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:

(a) Einzelner Gitterzahn:

(b) Zwei «distanzierte» Gitterzähne:

Fernfeld

Poynting-Feld

= 785 nm

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Weiterentwicklungen in MMP V Verknüpfungen Beispiel: «Nichtperiodisches Gitter»:

(c) Zwei nahestehende Gitterzähne:

Poynting-Feld @ 785 nm

Fiktive Grenzschicht

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Weiterentwicklungen in MMP VI Scripting und effiziente Parametersweeps (1) Scripting:

�• Die MMP-Implementierung MaX-1 enthält eine Metasprache für das Scripting.

�• Automatisierter Ablauf eines Simulationsprotokolls möglich wie z.B. Parametersweeps (Frequenzsspektren, kontinuierliche Formänderungen, Lageänderungen, usw.).

(2) Effiziente Parametersweeps:

�• Die MMP-Implementierung muss Gleichungssysteme mit kleinen, vollbesetzten Matrizen direkt (mittels Givens-Rotation) lösen: sehr aufwändig vor allem bei Parametersweeps.

�• Trick: Zwei Arbeitspunkte durchrechnen. Matrixelemente dann mittels fortwährender Parameterestimation (PET) abschätzen. Geschätzten Matrixelemente liegen jeweils nahe bei vorhergehenden Parametern. Dadurch können schnelle iterative Gleichungslöser wie z.B. Conjugated-Gradient Solver verwendet werden

�• Speedup: Bis zu zwei Grössenordnungen! Beispiel: Bei 100 Frequenzpunkten dauert die Berechnung der beiden Startpunkte gleich lang wie die restlichen 98 Punkte.

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Weiterentwicklungen in MMP VII Scripting und effiziente Parametersweeps Beispiel: «Photonic Crystal Bend»

Kleine Sensation im Jahr 2001: (a) Sehr kleines Rechengebiet (computational window) (b) Erstes exaktes Transmissionsspektrum

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Weiterentwicklungen in MMP VIII Scripting und effiziente Parametersweeps Beispiel: «Photonic Crystal Bend» Transparent:

Totalreflexion: ( r = �– 30%)

geht auch via n 5%

Kurve als Schalter J. Smajic, Ch. Hafner, D. Erni, Opt. Express, 11(12), 1378-1384, June 16, 2003.

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Zusammenfassung MMP

�• MMP ist eine (semianalytische) Randmethode im Frequenzbereich.

�• MMP lässt sich nur auf stückweise homogene, lineare Feldprobleme anwenden.

�• Randmethoden sind inhärent schnell und sparsam (keine Volumendiskretisierung, analytische Lösungen).

�• Aber: Die numerische Berechnung der Basislösungen ist nicht trivial (z.B. Zylinderfunktionen für grosse Argumente).

�• Aber: Die Lösung von Gleichungssystemen mit (kleinen) vollbesetzten Matrizen ist aufwändig (Abhilfe: PET).

�• Nähe zu analytischen Lösungen und das vorhandene Fehlermass geben MMP den Status eines Referenz- codes.

�• MMP ist extrem flexibel (spezifische funktionen, connections)

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Literatur Christian Hafner, Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder; Berlin: Springer Verlag, 1987.

Christian Hafner, The generalized multipole technique for computational electromagnetics; Boston: Artech House, 1990.

Christian Hafner, Lars Bomholt, The 3D electrodynamic wave simulator: MMP code for personal computers; Chichester: John Wiley & Sons, 1993.

Christian Hafner, Post-modern electromagnetics �– Using intelligent Maxwell solvers; Chichester: John Wiley & Sons, 1999.

Christian Hafner, MaX-1: A visual electromagnetics platform; Chichester: John Wiley & Sons, 1999.

Bücher:

E. Moreno, D. Erni, C. Hafner, and R. Vahldieck, «Multiple multipole method with automatic multipole setting applied to the simulation of surface plasmons in metallic nanostructures,» J. Opt. Soc. Am. A, vol. 19, no. 1, pp. 101-111, January, 2002.

Simulations- Beispiel:

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