DF 2 - FIR filtri

8/18/2019 DF 2 - FIR filtri

1/55


2/55

• Impulsni oziv konačnog trajanja• Mogude je ostvariti linearnu faznu karakteristiku

Konstantno grupno (u nekim slučajevima i fazno) kašnjenje

• Nemaju polove, pa su uvek stabilni

• Manje su osetljivi na greške usle konačne preciznosti

• Jednostavni su za implementaciju

Uvek je moguda realizacija bez povratnih sprega

• Zahtevaju više izračunavanja za iste specifikacije filtra(u pogledu amplitudske karakteristike) u odnosu na IIRfiltre

FIR filtri

2


3/55

• Frekvencijski selektivno filtriranje• Ekvalizacija (pomodu transferzalnog filtra)

Minimizacija intersimbolske interferencije

Audio-ekvalizacija

• Obrada govora i slike

• Linearno prediktivno kodovanje (LPC)

• Konvoluciono kodovanje

• Audio cross-over

• Multi-rate obrada signala

Primene FIR filtara

3


4/55

FIR filtriranje

• FIR filtriranje svodi se na direktno

izračunavanje linearne konvolucije koeficijenti impulsnog odziva jednaki su

konstantama množenja u okviru irektneforme realizacije

• Projektovanje FIR filtra svodi se na

oređivanje impulsnog oziva

M

k

M

k

k

k n x k h

k n x bny

0

0

)()(

)()( x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

bM−1

z−1

bM

.

.

.

.

.

.

y (n)

4


5/55

Fazna karakteristika FIR filtra

ω

ωτ

ω

ωτ

ωnnh

ωnnh

ω

g

φ

N

n

N

n

)(

Φ

)(Φ

cos)(

sin)(

arctg)(Φ1

0

1

0

)(Φ

1

0

1

0

1

0

)(

sin)(cos)()()(

ω j

N

n

N

n

N

n

nω j

eωH

ωnnh j ωnnhenhωH

fazno kašnjenje

grupno kašnjenje

• Od interesa je odreditiuslov za impulsni odziv

tako da bude τ φ = const.

ili barem τ g = const.

Uslov za τ g = const. jeФ(ω) = aω + b, i samo za

b = 0 važi i τ φ = const.Prema tome, τ φ = const je

stroži uslov o τ g = const.

5


6/55

Fazna karakteristika FIR filtra

0))(Φsin()(

0)(Φcossin)()(Φsincos)(

cos)(

sin)(

)(Φcos

)(Φsin)(Φtg

cos)(

sin)(

arctg)(Φ

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

ωωnnh

ωωnnhωωnnh

ωnnh

ωnnh

ω

ω

ω

ωnnh

ωnnh

ω

6


7/55

Linearnost fazne karakteristike FIR filtra

• Pretpostavimo prvo stroži uslov, τ φ = const Tada je τ φ = τ g = τ , pa se može uzeti Ф(ω) = − ωτ

• Jeini način a to važi za svako ω jeste da h(n) bue simetričan

( h(n) = h(N − 1− n) ), i da pritom bude τ = (N − 1)/2 , jer je taaza svako ω:

0)sin()(

0))(Φsin()(

1

0

1

0

N

n

N

n

ωτ nωnh

ωnωnh

))(sin())1(sin( τ nωωτ nNω

7


8/55


• Fazno i grupno kašnjenje su konstantna (i međusobno jenaka)kod FIR filtara sa simetričnim impulsnim odzivom

n

h(n)

0 1 4 5 6 7 82−1

n

h(n)

0 1 4 5 6 7 832−1

τ

τ

N = 7

τ = = 3N−1

2

N = 6

τ = = 2.5N−1

2

3

• Tip I

Dužina impulsnog ozivah(n) je neparna

Grupno kašnjenje jecelobrojno

• Tip II Dužina impulsnog oziva

h(n) je parna

Grupno kašnjenje nijecelobrojno

8


9/55


•

Pretpostavimo saa blaži uslov, τ g = const Taa se može uzeti Ф(ω) = − ωτ + φ , φ ≠ 0 (inače imamo prethoni slučaj)

• Jeini način a to važi za svako ω jeste da bude φ = ± π/2

• Ovo može važiti za svako ω samo ako je h(n) antisimetričan( h(n) = − h(N − 1− n) ), i ako je pritom τ = (N − 1)/2 , jer je taaza svako ω:

0)sin()(

0))(Φsin()(

1

0

1

0

N

n

N

n

φωτ nωnh

ωnωnh

))1(cos())(cos( ωτ nNωτ nω

0)cos()(1

0

N

n

ωτ nωnh

9


10/55

n

h(n)

7 8−1

n

h(n)

6 7 8−1

τ

τ

N = 7

τ = = 3N−1

2

N = 6

τ = = 2.5N−1

2

43 5

5 640 1 2 3

0 1 2


• Grupno kašnjenje je konstantno (ali ne i fazno) ko FIR filtara saantisimetričnim impulsnim odzivom

• Tip III

Dužina impulsnog ozivah(n) je neparna

Grupno kašnjenje jecelobrojno

• Tip IV Dužina impulsnog oziva

h(n) je parna

Grupno kašnjenje nijecelobrojno

10


11/55


• Mogude su uštee u strukturi realizacije (manji broj množača)

11

N neparno

(npr. N = 7)

x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

b3

z−1

y (n)

x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

b3

y (n)

z−1

b2

b1

z−1

b0

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

x (n−1)

x (n−2)

x (n−3)

x (n−4)

x (n−5)

x (n−6)

x (n−1)

x (n−2)

x (n−3)

x (n−4)

x (n−5)

x (n−6)


12/55


• Mogude su uštee u strukturi realizacije (manji broj množača)

12

N parno

(npr. N = 6)

x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

b2

z−1

y (n)

x (n)

z−1

b0

b1

z−1

b2

y (n)

z−1

b1

b0z

−1

z−1

z−1

z−1

x (n−1)

x (n−2)

x (n−3)

x (n−4)

x (n−5) x (n−1)

x (n−2)

x (n−3)

x (n−4)

x (n−5)


13/55

Ograničenja pojeinih tipova FIR filtara

•

Specifičan izgle impulsnog oziva naveenih tipova FIR filtara uvoiizvesna ograničenja u raspore nula i izgle amplituske karakteristike

• Pre svega, ako za neko z ≠ 0 važi H(z) = 0, ona važi i H(z−1) = 0

Ako je h(n) realan, tada mora biti i H(z*) = H((z−1)*) = 0, što znači a su koovih filtara nule međusobno simetrične u onosu na jeiničnu kružnicu

• Takođe, za z = 1 i z = −1, ko pojeinih tipova obija se a prenosnakarakteristika (a samim tim i amplituska), na učestanostima ω = 0

i/ili ω = π mora imati vrednost 0

)()(

)()1()()(

111

0

1

1

0

11

0

1

0

zHzzk hz

zk hznNhznhzH

NN

k

k N

N

k

Nk N

n

nN

n

n

plus za simetričan impulsni oziv (tip I i II),minus za antisimetričan (tip III i IV)

13


14/55


plus za simetričan impulsni oziv (tip I i II),

minus za antisimetričan (tip III i IV)

)()( 11 zHzzH N

TIP I

(N neparno)

TIP III

(N neparno)

TIP II

(N parno)

TIP IV

(N parno)

z = 1 (ω = 0) z = −1 (ω = π)

H(1) = +1−N+1H(1)H(1) = H(1)

nema ograničenja

H(1) = +1−N+1

H(1)

H(1) = H(1)

nema ograničenja

H(1) = −1−N+1H(1)

H(1) = −H(1)

H (1) = 0

H(1) = −1−N+1

H(1)

H(1) = −H(1)

H (1) = 0

H(−1) = +(−1)−N+1H(−1)H(−1) = H(−1)

nema ograničenja

H(−1) = +(−1)−N+1

H(−1)

H(−1) = −H(−1)

H (−1) = 0

H(−1) = −(−1)−N+1H(−1)

H(−1) = −H(−1)

H (−1) = 0

H(−1) = −(−1)−N+1

H(−1)

H(−1) = H(−1)

nema ograničenja

Pogodan za projektovanjesvih tipova frekvencijski

selektivnih filtara

Nije pogodan za

projektovanje VF i NO

Pogodan za projektovanje

Hilbertovog transformatora


diferencijatora

Ograničenje

14


15/55


TIP I

(N neparno)

TIP III

(N neparno)

TIP II

(N parno)

TIP IV

(N parno)

z = 1 (ω = 0) z = −1 (ω = π)

H(1) = +1−N+1

H(1)

H(1) = H(1)

nema ograničenja

H(1) = +1−N+1

H(1)

H(1) = H(1)

nema ograničenja

H(1) = −1−N+1

H(1)H(1) = −H(1)

H (1) = 0

H(1) = −1−N+1

H(1)

H(1) = −H(1)

H (1) = 0

H(−1) = +(−1)−N+1

H(−1)

H(−1) = H(−1)

nema ograničenja

H(−1) = +(−1)−N+1

H(−1)

H(−1) = −H(−1)

H (−1) = 0

H(−1) = −(−1)−N+1

H(−1)H(−1) = −H(−1)

H (−1) = 0

H(−1) = −(−1)−N+1

H(−1)

H(−1) = H(−1)

nema ograničenja


svih tipova frekvencijski

selektivnih filtara

Nije pogodan za

projektovanje VF i NO


Hilbertovog transformatora


diferencijatora

Ograničenje

•

Tipovi I i II ne unose fazni pomeraj u ulazni signal (osim konstantnogvremenskog pomeraja τ ), pa su pogoni za projektovanje klasičnihfrekvencijski selektivnih filtara

• Tipovi III i IV unose fazni pomeraj od φ = π/2, pa su pogodni za projektovanje

diferencijatora i Hilbertovog transformatora

15


16/55

Projektovanje FIR filtara

• H(ω) može biti specificirano samo u nekim tačkama h(n) se oređuje preko sistema jenačina

Ako je to N ekviistantnih tačaka na intervalu 0 ≤ ω < 2π (odabiranje ufrekvencijskom domenu), h(n) se može oreiti pomodu IDFT{H(ωk )}

• H(ω) može biti specificirano na čitavom opsegu 0 ≤ ω < 2πuz zahtev a bue aproksimirano uz oređena ostupanja h(n) se može oreiti pomodu IFTD{H(ωk )}, a u vremenskom domenu

ograničiti primenom prozorskih funkcija

h(n) se može oreiti iterativnim rešavanjem sistema jenačina u cilju

zadovoljenja nekog optimizacionog kriterijuma (optimalni metodprojektovanja)

• U oba slučaja se, ako su zahtevi relativno jenostavni, možekoristiti i ad-hoc projektovanje filtra

16


17/55

Projektovanje na osnovu sistema jenačina

•

Projektovati FIR filtar linearne fazne karakteristike koji bi trebalo da propustiučestanost ω = π/3 bez slabljenja, a a učestanost ω = 2π/3 iz ulaznog signalaukloni u potpunosti.

Pošto je u pitanju frekvencijski selektivni sistem, bide korišden tip I ili tip II.

Iz ova va uslova obide se sistem o ve jenačine, tako a treba usvojitii ve nepoznate. Impulsni oziv se može pretpostaviti u obliku:

što je najkradi mogudi simetričan impulsni oziv u kom figurišu venepoznate (tip I). Ogovarajuda frekvencijska karakteristika je:

0)32(

1)3(

πH

πH

)1()()1()( nδbnδanδbnh

ωbabeabeenhωH ω j ω j

n

ω j cos2)()(

17


18/55


Uvrštavanjem uslova u izraz za H(ω) dobija se:

Odatle a = b = 1/2, pa je impulsni odziv:

a frekvencijska karakteristika je:

Tačnost obijenog rezultata se proverava uvrštavanjem vrenosti ω = π/3i ω = 2π/3 u frekvencijsku karakteristiku. Fazna karakteristika je linearna:

0)32cos(2)32(

1)3cos(2)3(

πbaπH

πbaπH

)1(2

1)(

2

1)1(

2

1)( nδnδnδnh

ωωH cos

2

1)(

n

h(n)

0 1 2−1−2

12 _

ω

H(ω)

0 π−π _ π3

1

2π __ 3

32,

32,0

0)(,

0)(,0)(Φ

πωπ

πω

ωHπ

ωHω

18


19/55


Da bi sistem bio praktično ostvarljiv, mora biti kauzalan, a kauzalnost sepostiže pomeranjem h(n) u vremenu za onoliko koliko je potrebno:

Ovakvom modifikacijom ne narušava se linearnost fazne karakteristike:

Fazno kašnjenje je takođe konstantno i jenako 1, po uslovom a se ne

uzmu u obzir fazni skokovi za π.

)2(2

1)1(

2

1)(

2

1)1()( nδnδnδnhnhk

1)(Φ

)(

0)(,

0)(,)(Φ)(Φ

cos2

1)()(

ω

ωωτ

ωHπω

ωHωωωω

ωeωHeωH

k gk

k

ω j ω j

k x (n)

z−1

z−1

y k (n)1/2

19


20/55


Nekauzalni filtar: Kauzalni filtar:

n

h(n)

0 1 2−1−2

12 _

n1 2 30−1

12 _

ω

|H(ω)|

0 π−π

1

_ π3

2π __ 3

ω0 π−π

1

_ π3

2π __ 3

ω

Ф(ω)

π−π 2π __ 3

hk (n)

|Hk (ω)|

0

π

−π

ω

Фk (ω)

π−π 0

π

−π

2π __ 3

20


21/55


Kako bi glasio odziv filtra H(ω) na signal x (n) = cos(nπ/3) + cos(2nπ/3)?

H(ω)

1

n

n

n

y 1(n)

y 2(n)

n

x (n) = x 1(n) + x 2(n)

n

n

y (n) = y 1(n) + y 2(n)

0.50.5

0.5

0.5 0.5

0

0.5

0.5

ω

ω

X 1(ω)

Y 1(ω)

_ π3

H(ω)ω

ω

X 2(ω)

Y 2(ω)

2π __ 3

H(ω)

1

ω

ω

X (ω)

Y (ω)

_ π3

2π __ 3

___ 2nπ3

x 2(n) = cos

__ nπ3

x 1(n) = cos

))1()()1((2

1)(

))1()()1((2

1)(

n x n x n x ny

nδnδnδnh

21


22/55


23/55

Projektovanje odabiranjem u frekvencijskom domenu

•

Vrednosti H(ωk ) obijaju se oabiranjem željenekontinualne funkcije Hi (ω) u tačkama ωk = 2k π/N,k = 0, 1, 2,... N−1

• Da smo tražili h(n) kao IFTD{H(ω)}, po pravilubismo dobili h(n) beskonačnog trajanja, kome biodgovarala frekvencijska karakteristika Hi (ω)

• Ovako, dobijamo N vrednosti koeficijenata h(n),

čemu ogovara frekvencijska karakteristika H(ω)koja se s Hi (ω) poklapa samo u tačkama ωk

)}(IDFT{)(

)()()( 2

k Hnh

k HωHωH Nπk ωi k

)()(

)}(FTD{)(

k i k ωHωH

nhωH

23


24/55


)2sin(

)2sin(

1

1)(,

2)(

1

1

1)(

1

1

1)(

1)(

2

11

0

1

02

2

1

02

ω

ωNe

e

eωQk

N

πωQk H

N

e

ek H

Ne

ek H

NωH

ωN

j

ω j

Nω j N

k

N

k k N

πω j

Nk N

πω j

N

k k N

πω j

Nω j

•

Postupak irektno omoguduje realizaciju filtra sa povratnim spregama

1

1

0 12

1

0 12

2

1

0

1

0

1

2

1

0

1

0

21

0

1

)(1

1

1)(

1

)(1

)(1

)()(

N

k k

N

π j

NN

k k

N

π j

NkN

N

π j

N

k

N

n

n

k N

π j

N

n

nN

k

knN

π j

N

n

n

ze

k H

N

z

ze

zek H

N

zek H

N

zek HN

znhzH

pri čemu

24


25/55


25

1

0 12

1

)(1

)(

N

k k

Nπ j

N

ze

k H

N

z

zH

• Član (1−z−N) unosi N nula na jeiničnoj kružnici

• Sekcije s povratnim spregama

unose polove koji poništavajuneke od tih nula

• Ako je propusni opseg uzak,

mnogi koeficijenti H(k ) su

jednaki nuli!

x (n)

z−N

y (n)1/N

−

z−1

H(0)

z−1

H(1)

z−1

H(N−1)

.

.

.

.

.

.

e j 2πN

__

e j (N−1)2πN

__


26/55


•

Doatna uštea može se postidi kombinovanjem sekcija sakonjugovano kompleksnim parovima koeficijenata H(k ), pošto jekod DFT realnog signala H(N−k ) = H*(k ), za k = 0, 1,... (N−1)/2

Po dve sekcije 1. reda kombinuju se u jednu sekciju 2. reda

Time je ujeno izbegnuto i množenje kompleksnim brojevima

26

21

1

2

1

2

1

2

1)(

2

1

2

2cos21

)(Re2)}(Re{2

1

)(

1

)(

1

)(

1

)()(

zzk N

π

zek Hk H

ze

k H

ze

k H

ze

k NH

ze

k HzH

k

N

π j

k N

π j k

N

π j k N

N

π j k

N

π j

k


27/55


28/55

Projektovanje korišdenjem prozorskih funkcija

•

Razlike između iealne i ostvarene frekvencijske karakteristike Konačna širina prelaznog opsega

Oscilacije H(ω) u propusnom i nepropusnom opsegu (Gibbsov fenomen)

28


29/55


•

Uticaj širine prozora (N) Što je N vede, broj oscilacija je vedi jer je spektar prozorske funkcije uži

Izbor N praktično ne utiče na veličinu oscilacija (za istu vrstu prozora)

29


30/55


•Uticaj vrste prozora Oscilacije H(ω) tim su vede što je viši prvi bočni opseg W (ω)

Prelazni opseg H(ω) tim je širi što je osnovna arkaa W (ω) šira

Pravougaona prozorska funkcija ima najužu osnovnu arkau, ali najvišiprvi bočni opseg (za isto N, H(ω) de imati najužu prelaznu zonu, ali i

najvede oscilacije) 30


31/55

31

PROZORSKE

FUNKCIJEIZRAZ

ŠIRINA OSNOVNE

ARKADE

VISINA PRVOG

BOČNOG OPSEGA

PRAVOUGAONA

2π/N 13 dB

BARTLETTOVA

(TROUGAONA)

oko 4π/N 26 dB

HANNOVA

4π/N 31 dB

HAMMINGOVA

4π/N 43 dB


drugde,0

10,1)(

Nnnw

drugde,0

10,1

2cos46.054.0

)(Nn

N

nπ

nw

drugde,0

10,1

2

cos5.05.0)( NnN

nπ

nw

drugde,0

12

1,

1

22

2

1

0,1

2

)( NnN

N

n

N

nN

n

nw


32/55


33/55


•Da bi projektovani filtar bio kauzalan, impulsni odziv idealnogfiltra treba a bue (anti)simetričan oko tačke τ = (N−1)/2umesto oko tačke 0

33

Ovaj pomeraj ne menja

amplitudsku karakteristiku

filtra, niti narušava linearnostfazne karakteristike

Prozoriranje se vrši funkcijomkoja je različita o nule naintervalu 0 ≤ n ≤ N−1

Vremenskom pomeraju

impulsnog odziva idealnog

filtra za τ odgovara faktor e− j ωτ

u izrazima za frekvencijske

karakteristike idealnih filtara

n. . . . . .

n. . . . . .

n. . . . . .

hi (n)

w (n)

h(n) = hi (n)w (n)

1

τ

τ

N−10

N−10


34/55


•

Kako glase impulsni ozivi koji ogovaraju različitim tipovimaidealnih filtara?

34

τ nπ

ω

τ nτ nπ

τ nω

nhg

g

i

,

,)(

))(sin(

)(NF

τ nπ

ω

τ nτ nπ

τ nω

nhg

g

i

,1

,)(

))(sin(

)(VF

τ nπ

ωω

τ n

τ nπ

τ nω

τ nπ

τ nω

nhgg

gg

i

,

,

)(

))(sin(

)(

))(sin(

)(12

12

PO

τ n

π

ωω

τ nτ nπ

τ nω

τ nπ

τ nω

nhgg

gg

i

,1

,)(

))(sin(

)(

))(sin(

)(12

12

NO

ωg−ωgω

|HNF(ω)|

−π π

ωg−ωgω

|HVF(ω)|

−π π

1

1

ω

|HPO(ω)|

−π π

ω

g1−ω

g1

ω

|HNO(ω)|

−π π

1

1

ω

g2−ω

g2

ωg1−ωg1 ωg2−ωg2

NF

VF

PO

NO


35/55


36/55


•

Projektovanje se odvija u nekoliko koraka: Na osnovu zadatog potiskivanja u nepropusnom opsegu an odabere se

vrsta prozorske funkcije

Na osnovu oabrane prozorske funkcije i poatka o širini prelaznogopsega filtra izračunava se potrebna užina impulsnog oziva filtra N,

a time i kašnjenje τ • Za N se u praksi često usvaja prvi neparan broj vedi ili jenak obijenom,

kako bi se dobilo celobrojno τ

Na osnovu traženog tipa filtra (NF, VF ili nešto trede) i zaatih graničnihučestanosti propusnih i nepropusnih opsega usvaja se ogovarajuda

idealna frekvencijska karakteristika• Ova karakteristika treba a sarži član e− j ωτ

Inverznom FTD dolazi se do impulsnog odziva idealnog filtra hi (n)

Impulsni odziv idealnog filtra hi (n) množi se prozorskom funkcijomw (n), i obijeni rezultat prestavlja impulsni oziv traženog filtra h(n)

36


37/55


•

Kako odabrati prozorsku funkciju na osnovu an?

37

PROZORSKE

FUNKCIJE

ŠIRINA OSNOVNEARKADE

ŠIRINA PRELAZNOGOPSEGA (Δω)

VISINA PRVOG

BOČNOG OPSEGA

POTISKIVANJE U

NEPROPUSNOM

OPSEGU (an)

PRAVOUGAONA 2π/N 1.8π/N 13 dB 21 dB

BARTLETTOVA

(trougaona)oko 4π/N 5.6π/N 26 dB 25 dB

HANNOVA 4π/N 6.2π/N 31 dB 44 dB

HAMMINGOVA 4π/N 6.6π/N 43 dB 53 dB

BLACKMANOVA 6π/N 11π/N 58 dB 74 dB

KAISEROVA

za α=90 (β=8.96)6π/N 11.4π/N 66 dB 90 dB


38/55


•

Projektovati igitalni NF filtar simetričnog impulsnog oziva, sa sleedimspecifikacijama: f p = 2.5 kHz, f n = 3 kHz, an = 50 B. Učestanost oabiranjaiznosi f s = 10 kHz.

Iz tabele prozorskih funkcija vidi se da treba koristiti Hammingovu

prozorsku funkciju, jer ona je prva koja postiže slabljenje o barem 50 B.Ogovarajude učestanosti igitalnog filtra su:

Širina prelazne zone je Δω = ωn−ω p = 0.1π, pa se, na osnovu iste tabelemože izračunati i potrebna užina impulsnog oziva filtra:

Da bi se obilo celobrojno grupno kašnjenje, usvaja se N = 67, pa je τ = 33.38

.6.02,5.02 π f

f πωπ

f

f πω

s

nn

s

p

p

.66Δ

6.6

ω

πN


39/55


Iealna frekvencijska karakteristika NF filtra sa kašnjenjem τ = 33 ima oblik:

pri čemu se za graničnu učestanost iealnog NF filtra usvaja:

i toj karakteristici odgovara impulsni odziv:

Ovaj impulsni oziv je beskonačnog trajanja, simetričan oko tačke τ = 33, itreba ga ograničiti u vremenu primenom Hammingove prozorske funkcije.

39

,55.02

πωωω n p

g

drugde,0

,)(

33

g

ω j

i

ωωeωH

.

33,55.0

33,

)33(

))33(55.0sin(

)(

n

n

nπ

nπ

nhi


40/55


Hammingova prozorska funkcija u N = 67 tačaka ata je izrazom:

pa je:

Frekvencijska karakteristika H(ω) = FTD{h(n)} zaovoljavade traženespecifikacije.

40

,

drugde,0

660,33

cos46.054.0)(

nπn

nw

.

drugde,0

33,55.0

33,660,33

cos46.054.0)33(

))33(55.0sin(

)()()( n

nnπn

nπ

nπ

nw nhnhi


41/55


•

Prednosti Izrazita jenostavnost, čak i u slučaju primene vrlo složenih prozorskih

funkcija

• Mane

Neostatak fleksibilnosti: talasanje u propusnom opsegu je približno jenako talasanju u nepropusnom, što nije uvek ono što je potrebnoostvariti

Tačne vrenosti ω p i ωn po pravilu nije mogude precizno oreiti jer jeiealna frekvencijska karakteristika izobličena na vrlo složen način

U nekim slučajevima iealna frekvencijska karakteristika Hi (ω) može biti

suviše složenog oblika a bi integral:

bilo mogude rešiti analitički, i projektovanje oabiranjem u

frekvencijskom omenu je taa pogonije rešenje 41

π

π

nω j

i i ωd eωHπ

nh )(2

1)(


42/55

Projektovanje optimalnim metodom

•

Postizanje idealne (linearne) fazne karakteristike nije problem,tako da se optimizacija svodi na minimizaciju odstupanja od

željene amplituske karakteristike*:

• Može se minimizovati:

srenja kvaratna greška

maksimalna greška

42

πωωHωHωε i 0,)()()(

*Ovde se optimizuje tzv. realna amplitudska karakteristika, A(ω)


43/55


Minimizacija srednje kvadratne greške

• Srenja kvaratna greška ata je izrazom:

• Na osnovu Parsevalove teoreme dobija se:

a pošto je van opsega 0 ≤ n ≤ N−1 h(n) svakako jednako 0, h(n) utom opsegu treba birati tako da bude upravo jednako hi (n)

Minimizacija srenje kvaratne greške ekvivalentna je primenipravougaone prozorske funkcije!

43

.)()()(222

π

π

i

π

π

ωd ωHωHωd ωεε

,)()(22

n

i nhnhε


44/55


Minimizacija maksimalne greške (Čebiševljeva aproksimacija)

• Maksimalna greška ata je izrazom:

gde je E (ω) greška ε(ω) uzeta s težinskim faktorom:

a X predstavlja uniju propusnih i nepropusnih opsega (ne i

prelaznih, jer nas u njima ponašanje karakteristike ne zanima)

• FIR filtar linearne faze koji zadovoljava kriterijum minimizovane

maksimalne greške naziva se optimalnim44

,)(max ωE E X ω

,)()()()()()( ωHωHωW ωεωW ωE i


45/55


•

Optimalna aproksimacija FIR filtra podrazumeva ostvarivanjeH(ω) sa sleedim osobinama: linearna fazna karakteristika

širina prelazne zone između propusnog i nepropusnog opsega Δω

odstupanje amplitudske karakteristike A(ω) u propusnom opsegu ±δ1

odstupanje amplitudske karakteristike A(ω) u nepropusnom opsegu ±δ2

• Propusnih i nepropusnih opsega može biti i više

• Relativni značaj pojeinih opsega efiniše se težinskomfunkcijom W (ω)

• Za zadatu vrednost E zaatak je prvo oreiti minimalnu užinuimpulsnog odziva N za koju je mogude zaovoljiti specifikacije,a zatim odrediti koeficijente h(n)

45


46/55


Projektovanje optimalnog NF FIR filtra tipa I

• Neka je impulsni oziv užine N = 2M + 1, simetričan oko tačke n = 0

• Realna amplitudska karakteristika je tada jednaka frekvencijskoj:

• Neka je potrebno aproksimirati realnu

amplitudsku karakteristiku idealnog NFfiltra, definisanu kao:

46

M

n

M

Mn

nω j ωnnaenhω A0

)cos()()()(

MnnMhnaMha 1),(2)(),()0(

πωω

ωωωD

n

p

,0

0,1)(


47/55


Parks-McClellanov algoritam

• Od 5 parametara ω p, ωn, δ1, δ2 i N, bilo koja 4 su međusobno nezavisna

• U ovom algoritmu kao nezavisni biraju se N, ω p, ωn i δ2/δ1

• Težinska funkcija efiniše se kao:

• Optimizacija se vrši minimizacijom maksimalne greške, pri čemu je funkcijagreške ata izrazom E (ω) = W (ω)( A(ω)−D(ω)), gde je X unija propusnog

(0 ≤ ω ≤ ω p) i nepropusnog opsega (ωn ≤ ω ≤ π)

• Parametar N se zadaje unapred, i za zadato ω p, ωn, δ1 i δ2 može seproceniti na osnovu formule:

47

πωω

ωωδδωW

n

p

,1

0,)(

12

1

)(7

15)log(10 21

πωω

δδN

pn


48/55


•

Parks-McClellanov algoritam zasniva se na teoremi alternacije:

• Drugim rečima, najbolja aproksimacija

jeste ona koja obezbeđuje ujenačenutalasnost (eng. equiripple)

48

Ako je A(ω) linearna kombinacija M+1 kosinusne funkcije, tada je potreban i

dovoljan uslov da A(ω) bue jeinstvena najbolja Čebiševljevaaproksimacija date funkcije D(ω) na skupu X a težinska funkcija greške,E (ω) = W (ω)( A(ω)−D(ω)), ima najmanje M+2 ekstremuma na frekvencijama

koje pripadaju skupu X .Frekvencije ω1


49/55


•

Optimalno rešenje obija se rešavanjem sistema M+2 jenačine:

gde su, za dato ωi , nepoznati koeficijenti a(0), a(1),... a(M) i δ.

•

Sistem se može zapisati i u matričnom obliku:

i rešiti efikasnim iterativnim algoritmom.49

,21,)1())()()(( Mi δωDω AωW i i i i

)(

)(

)(

)(

)(

)1(

)0(

)()1(coscos1

)()1(coscos1

)(1coscos1

)(1coscos1

2

1

2

1

2

1

22

111

222

111

M

M

M

M

MM

M

M

MM

ωD

ωD

ωD

ωD

δ

Ma

a

a

ωW ωMω

ωW ωMω

ωW ωMω

ωW ωMω

k l d


50/55


Remezov algoritam izmene

• Za bilo koju karakteristiku D(ω) postoji jeinstveno rešenje za a(0),a(1),... a(M), do kog se dolazi iterativnim postupkom u nekoliko koraka:

1. Procenjuje se potreban red filtra N = 2M + 1 (ako nije zadat)2. Utvrđuju se inicijalne vrenosti učestanosti ω1, ω2,... ωM+2

(na primer, tako da budu ekvidistantne u okviru X )

3. Izračunava se vrenost δ, prema obrascu:

čime se obezbeđuje a važi E (ωi

) = ±δ50

2

12

1

1

2

1

coscos

1,

)(

)1(

)( M

k i i i k

k M

k k

k

k

M

k

k k

ωωb

ωW

b

ωDbδ

j k j i l i d


51/55


4. Izračunavaju se vrenosti a(0), a(1),...a(M) na osnovu sistema jenačina Time je ujeno oređena i frekvencijska

karakteristika A(ω)

5. Oređuje se novi skup učestanosti ω1,ω2, ... ωM+2, kao učestanosti na kojimafunkcija greške E (ω) = W (ω)( A(ω)−D(ω))ima ekstremne vrednosti

6. Izračunava se razlika u onosu na

prethoni skup učestanosti Ako je razlika dovoljno mala, algoritam

je završen

U suprotnom, koraci 3−6 se ponavljajusa novim skupom učestanosti

51

P j k j i l i d


52/55


• Postupak po pravilu konvergira vrlo brzo (u 5−6 iteracija)• Po završetku izvršavanja algoritma treba proveriti a li su ostupanja

A(ω) od D(ω) zaista manja od δ1, odnosno, δ2 Ako nisu, to znači a je procena N bila pogrešna (a je usvojeno N bilo

premalo) i taa treba ponoviti čitav postupak za neku vedu vrenost N

• Tipovi II, III i IV FIR filtra sa linearnom faznom karakteristikom

projektuju se uz vrlo male izmene prikazanog postupka

• Na prikazani način mogu se projektovati i VF, PO i NO filtri, kao idiferencijatori i Hilbertovi transformatori, ali i drugi tipovi FIR filtara

Filtar projektovan ovim metoom može biti proizvoljno složen, po uslovoma se izračunavanja vrše sa ovoljnom preciznošdu

• U onosu na meto prozorske funkcije mogude je zaovoljiti istespecifikacije filtrom značajno manje užine impulsnog oziva

52

P j k j i l i d


53/55


53

• Projektovati igitalni NF filtar simetričnog impulsnog oziva, sa sleedimspecifikacijama: f p = 2.5 kHz, f n = 3 kHz, a p = 0.5 dB, an = 50 B. Učestanostodabiranja iznosi f s = 10 kHz.

Talasanje u propusnom opsegu je δ p = 100.5/20 = 0.0593, a u nepropusnom

δn = 10−50/20 = 0.00316.

Na osnovu obrasca za procenu potrebnog reda filtra N dobija se:

i usvaja se N = 35, što je znatno niže o vrenosti N = 67, dobijene prilikomprojektovanja istog filtra metodom prozorske funkcije

Douše, taa nije bio at poatak o potiskivanju u propusnom opsegu a p, koji jeovde usvojen proizvoljno. Da je, prema principu jednake talasnosti, usvojeno

δ p = δn = 0.00316, dobilo bi se N = 51, što je i alje značajno niže o N = 67.

Koeficijenti impulsnog odziva h(n) obijaju se korišdenjem ogovarajudegračunarskog programa.

25.341)(7

15)log(10 21

πωω

δδN

pn

Ad h j k j fil


54/55

Ad-hoc projektovanje filtra

54

•

Koristi se kada su specifikacije filtra izuzetno jednostavne• Zasniva se na poznavanju uticaja nula na amplitudsku karakteristiku

• Svoi se na irektno oređivanje položaja nula u z-ravni

Nule smanjuju vrenost amplituske karakteristike na učestanostima nakojima se nalaze, i to utoliko više što su bliže jeiničnoj kružnici

Nule na jeiničnoj kružnici znače a je na oređenoj učestanosti |H(ω)| = 0

Niz nula na jeiničnoj kružnici sprečava amplitusku karakteristiku a na tomopsegu značajno ostupi o 0, što prestavlja nepropusni opseg

Opsezi na kojima nema nula predstavljaju propusne opsege

Da bi se obio realan impulsni oziv, treba voiti računa o tome a svaka nulakoja nije realna ima svoj konjugovano kompleksni par

Ako se projektuje FIR filtar linearne fazne karakteristike, treba voiti računa i otome a se ko njega nule javljaju u recipročnim parovima

• Meto se pojenako može primeniti i na IIR filtre, kaa se premasličnim principima raspoređuju i polovi

Ad h j kt j filt


55/55

Ad-hoc projektovanje filtra

Projektovati najjenostavniji FIR filtar koji de u potpunosti potisnutiučestanost f = 1 kHz iz ulaznog signala. Učestanost oabiranja iznosi f s = 4 kHz.

Učestanosti f = 1 kHz ogovara učestanost ω = 2π f / f s = π/2, pa se nula

mora nalaziti u tački z = e j π/2 = j .

Da bi impulsni oziv bio realan, mora postojati i nula u tački z* = − j .

Prenosna karakteristika je, prema tome:

čemu ogovara impulsni oziv:

,1)1)(1()( 211 z jz jzzH

).2()()( nδnδnhω

|H(ω)|

π

1

π

2—

Re

Im

Documents

DF 2 - FIR filtri