Comunicaciones analgicasIng. Ricardo Vzquez Moran

Oigo y olvido. Veo y aprendo. Hago y entiendo.

Confucio

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Comunicaciones analgicas

OBJETIVO GENERAL: El alumno analizar y disear seales determinsticas y

aleatorias as como procesos de modulacin y demodulacin en sistemas de

comunicacin analgica.

CONTENIDO SINTTICO:

I.- Anlisis de Seales Determinsticas.

II.- Anlisis de Seales Aleatorias.

III.- Modulacin en Amplitud y en ngulo.

METODOLOGA:

Bsqueda de informacin por parte del alumno asesorado por el profesor.

Integracin de equipos de trabajo de alumnos para la realizacin de prcticas y ejercicios.

Presentacin conceptual del tema y resolucin de dudas, por parte del profesor.

Consulta documental por el alumno.

Elaboracin de resmenes, cuadros sinpticos y mapas conceptuales por parte del alumno.

Prcticas de los alumnos en los laboratorios, supervisados y coordinados por el profesor

Tcnicas grupales para solucin de ejercicios.

Comunicaciones analgicas

Comunicaciones analgicas

Comunicaciones analgicas

SEALES

Las seales son funciones de variables

independientes portadoras de informacin.

Por ejemplo:

Seales elctricas---

tensiones y corrientes en un circuito

Seales acsticas---seales de lenguaje o de audio (analgicas o

digitales)

Seales de video---variaciones de intensidad en una imagen

(por ejemplo, un escner, TAC)

Seales biolgicas---secuencia de bases en genes

Seal considerada como aquella observacin de una magnitud fsica en funcin de variables independientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la seal contenga informacin de los procesos observados.

Matemticamente: Una funcin de una o mas variables independientes, la cual generalmente es el tiempo.

x(t), I (x, y),Y(w)

Seales de tiempo continuo.

Una seal en tiempo continuo es aquella que puede tomar cualquier valoren cualquier instante de tiempo, donde la variable independiente tiempopuede ser cualquier instante desde - a + infinito.

= sin(2)

Seales de tiempo discreto.- Es aquella que slo est definida en ciertos instantes de tiempo, de manera que entre cada instante y el siguiente no est definida la seal.

=sin(2

+n)

Ejemplos con MATLAB de seales continuas y discretas

f(t)= Sin(x)/x

Seal discreta

Clasificacin de las Seales

Las seales se pueden clasificar por sus

propiedades en: Seal par

Seal impar

Peridica

No peridica

Determinstica

Aleatoria

Seal de energa

Seal de Potencia

Seal determinstica: es aquella que puede ser determinada para cualquier instante de tiempo. Puede expresarse por una ecuacin.

Seal aleatoria: es aquella que no es determinstica, es decir, tiene un comportamiento impredecible.

El promedio o valor medio de una sealcualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puedecalcular como la altura de un rectngulo quetenga la misma rea que el rea bajo la curvade f(t)

De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridicaf(t) representa una seal de voltaje o corriente,la potencia promedio entregada a una cargaresistiva de 1 ohm en un periodo est dada por

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y elpromedio en un periodo ser el promedio encualquier otro periodo.

De modo que el teorema de Parseval nospermite calcular la integral de [f(t)]2 mediantelos coeficientes complejos cn de Fourier de lafuncin peridica f(t);

2/T

2/T

2

T1 dt)]t(f[

o bien, en trminos de los coeficientes an, bn:

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

1n

2

n

2

n212

041

2/T

2/T

2

T1 )ba(adt)]t(f[

Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguienteresultado:

El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t) es igual a la sumade los valores cuadrticos medios de sus armnicos, es decir,

1n

2

n2

0

2/T

2/T

2

T1

2

CCdt)]t(f[

Donde: Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0es la componente de directa.

Para aclarar el resultado anterior esconveniente encontrar la relacin entre loscoeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simoy C0 es la componente de directa.

n

tjn

n0ec)t(f

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Adems, para el armnicoSu valor rms es , por lo tanto su valor cuadrtico medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms

es C0, por lo tanto su valor cuadrtico medio

ser C02.

,baC 2n2

nn

2

n

2

n21

n bac

n21

n Cc 2

n41

2

n Cc

)tncos(C)t(f n0nn 2/Cn

2/C2n

Densidad espectral La densidad espectral de una seal caracteriza

la distribucin de energa o de potencia de laseal en el dominio de la frecuencia.

Este concepto es particularmente importantecuando consideramos el filtrado en lossistemas de comunicacin.

Necesitamos ser capaces de evaluar la salidadel filtro tanto de seal como de ruido. Ladensidad espectral de energa (ESD) o ladensidad espectral de potencia (PSD) sernusadas en la evaluacin.

Densidad Espectral de Energa

La energa total de una seal energa de valor real x(t), definida sobre el intervalo ( ,), es descrita por una ecuacin. Usando el Teorema de Parseval, podemos relacionar la energa de la seal expresada en el dominio del tiempo con la energa de la misma expresada en el dominio de la frecuencia, como en la siguiente expresin:

(a

donde X(f) es la transformada de Fourier de una seal no peridica x(t). Sea x(f) que denota la magnitud al cuadrado del espectro, definido como:

La cantidad x(f) es la densidad espectral de energa de la forma de onda (ESD) de la seal x(t). Por ello, a partir de la ecuacin (a), podemos expresar el total de energa de la seal x(t) integrando la densidad espectral respecto de la frecuencia, como en la siguiente expresin:

esta ecuacin establece que la energa de una seal es igual al area bajo la curva de x(f) en funcin de la frecuencia. La densidad de espectral de energa describe la energa de la seal por unidad de ancho de banda, medida en joules/hertz. Hay una contribucin equilibrada entre ambos ejes de la frecuencia, tanto positivo como negativo, ya que para una seal real, x(t), X(f) es una funcin par de la frecuencia. Por ello, la densidad espectral de energa es simtrica en la frecuencia respecto del origen, y de este modo, el total de energa de la seal x(t) puede expresarse como:

Densidad Espectral de Potencia

La potencia promedio, Px, de una seal x(t) devalor real, lo cual se define en la ecuacin (b) Six(t) es una seal peridica con perodo To, stase clasifica como seal potencia.

La expresin de la potencia promedio de unaseal peridica toma la forma de la ecuacin,donde el tiempo promedio se toma sobre elperodo de seal To, como sigue:

El teorema de Parseval para una sealperidica de valor real toma la forma:

Donde son los coeficientes complejos de Fourier de la seal peridica.

Para aplicar la ecuacin anterior, slo necesitamos conocer la magnitud de loscoeficientes, cn . La densidad espectral de potencia (PSD), Gx(f), de una sealperidica, x(t), es real, par y no-negativa en el eje de la frecuencia que da unadistribucin de potencia de x(t), en el dominio de la frecuencia, definidocomo:

La ecuacin (1.18) define a la densidad espectral de potencia de una sealperidica, x(t) , como una sucesin de funciones delta ponderadas. Por ello, ladensidad espectral de potencia de una seal peridica es una funcindiscreta de la frecuencia.

Ejercicios y tarea:

Sistemas

Sistema: Una coleccin de elementosconectados entre si para llevar a cabo unatarea o trabajo.

- Ejemplos: sistema educativo, sistema de transporte, sistema financiero, sistema poltico, sistema biolgico, sistema meteorolgico, sistema elctrico, sistema electromecnico etc.

A travs de las seales, podemos obtenerinformacin del estado que guarda el sistema.

Sistemas

Para el anlisis de los sistemas desde el punto de vista de la ingeniera elctrica o eletronica, el sistema ser un conjunto que se encargar de recibir un estmulo de entrada (o en ocasiones varios) que transformar de tal manera para entregar una (o conjunto de) seal (seales) de salida.

HEntradas Salidas

Tipos de Sistemas

De acuerdo a la constitucin fsica del sistema, desde el punto de vista de la ingeniera se clasifican como:

Mecnicos: posicin, velocidad, aceleracin, fuerza

Hidrulicos o Neumticos: presin, flujo y nivel

Trmicos: temperatura, presin y humedad relativa

Electromagnticos: corriente, potencial y campo electromagntico

Hbridos: combinaciones de todas las variables

Sistemas

Clasificacin de Sistemas

De acuerdo a la variable tiempo, los sistemas se clasifican como:

Discreto: la transformacin ocurre en tiempo discreto.

SistemaContinuo: la transformacin ocurre en tiempo continuo.

Y de acuerdo a la relacin entrada salida:

Causal: la salida es debida a un estmulo de entrada

SistemaNo causal: la salida es independiente de la

entrada

Sistemas En atencin a la capacidad de almacenar energa, los

sistemas se clasifican en:

Con memoria: la salida se debe a entradas anteriores

y a la entrada actual

Sistema

Sin memoria: la salida se debe slo a la entrada actual

Algunos elementos capaces de almacenar energa:

Elctricos: capacitores, inductores

Mecnicos: resortes, amortiguadores

Sistemas

En relacin a la aplicacin del estmulo y su propagacin en los elementos del sistema, estos pueden clasificarse en:

Parmetros distribuidos

Sistema

Parmetros concentrados

Sistemas

Un sistema es invertible si ocurre que para distintas entradas, se obtengan distinta

salidas. Esto es:

txHty tyHtx 1

H tx ty

1H tx

Sistemas

Un sistema es invariante en el tiempo si al aplicar un estmulo se obtiene una salida determinada, y esa misma salida es obtenida

al aplicar el mismo estmulo en tiempos

distintos a la primera aplicacin.

txHty 00 ttxHtty

Hexp(-x) exp(-x)

Sistemas

Un sistema ser lineal si la transformacin cumple con las propiedades de ser homognea y aditiva. A esto se le conoce como el principio de superposicin.

txHtxHtxtxH 2121

H tx1 ty1 tx2 ty2

txtx 21 tyty 21

Sistemas

Un sistema ser estable, si ante una entrada perfectamente acotada, la salida tambin es acotada.

Hexp(-x)

exp(x)

Sistemas de las comunicaciones Las Comunicaciones desde los tiempos mas remotos, el hombre ha

ideado numerosos mtodos para poder comunicar a sus semejantes suspensamientos y necesidades.

Evolucin =

sistemas de Comunicacionessistemas Electrnic

sistemas computacionales

= aplicaciones de

hoy en da

22

Ley de Moore

Sistema de comunicacinEl objetivo de este sistema es el de transmitir la informacin desde un punto en el espacio y el tiempo, que se denomina fuente, hacia otro punto, el usuario receptor de dicha informacin.

Elementos que intervienen en la comunicacin:

Mensaje Cdigo Transductor Medio fsico Agentes nocivos Esquema de deteccin o recuperacin de la seal Procesos de Filtrado

Clasificacin de los sistemas de comunicacin

1.- Sistemas de comunicacin analgicos: diseados para transmitir informacin analgica, utilizando mtodos de comunicacin analgica.

2.- Sistemas de comunicacin digital: diseados para transmitir informacin digital, utilizando mtodos de comunicacin digital.

3.- Sistemas hbridos: que utilizan esquemas de modulacin digital para transmitir valores muestreados y cuantificados de seales mensaje analgicas.

EL ESPECTRO ELECTROMAGNTICO El propsito de un sistema de comunicaciones electrnico

es comunicar informacin entre dos o ms ubicaciones(generalmente llamadas estaciones) Esto se lograconvirtiendo la informacin de la fuente original a energaelectromagntica y despus transmitiendo la energa a unoo ms destinos, en donde se convierte de nuevo a su formaoriginal.

La energa electromagntica puede propagarse en variosmodos: como un voltaje o una corriente a travs de uncable metlico, como ondas de radio emitidas por el espaciolibre o como ondas de luz por una fibra ptica.

El espectro de frecuencias electromagnticas total quemuestra las localizaciones aproximadas de varios serviciosdentro de la banda se ensea en la figura siguiente.

Investigar la tabla de designaciones de la banda CCIR

De manera mas especifico y para inters de nuestro curso tenemos usamos la representacin siguiente.

Donde ubicamos a estos servicios por medio de la frecuencia y la longitud de onda de acuerdo a la siguiente expresin:

=

Donde c=300,000,000 m/s vel. de la luz

= longitud de onda en metrosf= frecuencia Hertz

Servicios De comunicacines Adems del espectro radioelctrico es importante la ubicacin

de los servicios que se establecen y las tendencias de las redes de nuevas generacin.

Anlisis Espectral Dominio del tiempo y Dominio de la frecuencia

Anlisis de Fourier

Ortogonalidad

El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ngulo).Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: doscalles que se cruzan en un ngulo recto presentan una configuracinortogonal. En ingeniera y matemticas el trmino se ha extendido aotros niveles y se habla por ejemplo de juegos de instruccionesortogonales en arquitecturas de microprocesadores, o de codificacionesortogonales en comunicaciones digitales inalmbricas. En esta seccin serestringir sin embargo la discusin a las definiciones de carctermatemtico que constituyen el fundamento para la comprensin delanlisis de funciones por medio de las transformadas de Fourier, Laplace,Transformada z, las llamadas wavelets y otros ms.

El objetivo ser presentar los conceptos de ortogonalidad entrefunciones, y para llegar a esto se partir de un contexto familiar: laortogonalidad de vectores, introduciendo en el camino una serie deconceptos matemticos de carcter abstracto cada vez ms utilizados eningeniera.

Un vector se especifica mediante su magnitud y su direccin.

Si consideramos la proyeccin entre dos vectores 1 2 122 1

Aproximamos a 1mediante 2 y Verepresenta el error de aproximacin.

De manera que si tomamos esta consideracin tenemos que:

De manera que la componente del vector 1 en la direccin del vector 2 estadado por 122 , en donde 12 se escoge de manera que el vector error sea

mnimo o tienda a cero en el optimo caso.

Lo cual har que la proyeccin del vector 2 1 es decir: 1 =122 + Ve

Por otro lado si 12 es cero el vector no tiene proyeccin sobre el otro y por lo

tanto los dos vectores son perpendiculares entre si y a esta caracterstica se lellama ortogonalidad entre vectores, lo cual nos indica que un vector escompletamente independiente del otro.

Analticamente esto lo podemos visualizar de la siguiente manera:

Si tomamos en cuenta el producto escalar entre dos vectores tenemos que

1. 2 = 12 cos

Despejando a cualquiera de los dos vectores que tengamos inters en aproximar tenemos que:

1 =12

2cos = 21

2 =12

1cos =12

Que son las constantes similitudes de losvectores

De manera que para ambas constantes

12 =1.2

22 o tambin 21 =

1.2

12

lo cual nos comprueba que cuando:

1. 2 = 0 2. 1 = 0

No hay componente de aproximacin en ambos casos por lo tanto los vectores son ortogonales.

Lo cual es una propiedad ampliamente aprovechada en las comunicaciones hasta hoy en da .

Ejercicios y tareas.

Aproximacin entre seales Una vez analizado la aproximacin de vectores,

ahora podemos enfocar este mismo anlisishacia la aproximacin de seales:

1

2 es una funcin con la que aproximaremos en unintervalo de tiempo determinado.

De manera que:

1 =122 +

Y despejando a :

=1 -122

De manera que un criterio que podemos tomar paraminimizar la seal de error, es reducir el valorpromedio de en el intervalo de tiempo deinters:

1

(21) 121 122

Y para compensar la parte positiva y negativa del error.

2 = de manera que desarrollando el binomio

para el error obtenemos.

1

(21) 12 12 2122 + 12

2 22()

1

De manera que para minimizar el error el cual depende de 12 es decir:

12= 0 de manera que:

12{1

(21) 12 12 21()2 + 12

2 22() ]}

Desarrollando y simplificando obtenemos que:

12 = 12 1()2

12 22

y llegamos a la misma

conclusin que en el caso de los vectores:

12 1()2 =0

hablamos de la ortogonalidad entre funciones reales

Ejercicios y tareas.

si aplicamos este mismo anlisis para un conjuntos de funcionesortogonales con las que podemos aproximar a otra funcintendremos que tomar en cuenta la constante de aproximacin dcada una de las funciones para al final determinar el errorcuadrtico medio de toda la aproximacin es decir:

11 + 22 + + = =1 ()

De tal forma que:

1

(21) 12 =1

Si elevamos al cuadrado y derivamos con respecto a la componente de aproximacin de cada funcin ortogonal obtenemos:

12 =1

()2 =0

De modo que desarrollando y simplificando obtenemos:

= 12 ()

12 2

= 1

12 ()

Al igual que en vectores y con una funcin ortogonal.

para determinar el error cuadrtico promedio de las funciones este se obtendr de la siguiente manera:

=1

(21) 1

2 2 (121 + (2

22 + + (2

Por ultimo cuando: 12 2 = =1

2 .

Y podemos decir que este conjunto de funciones ortogonales es completo y puede aproximar a cualquier funcin.

1

2

() =0 =

Series de Fourier A la representacin de f(t) mediante un conjunto

infinito de funciones mutuamente ortogonales seconoce como representacin generalizada de f(t)en serie de Fourier.

Y este mismo anlisis se puede realizar para unconjunto de funciones complejas, ya que encontrandoel valor optimo de la componente de aproximacin sepodr reducir el error como ya se ha demostrado, detal forma que :

1

2

() =

0 =

y

=1

12 ()

()

Ejemplos de Funciones ortogonales, 2

WalshLegendr

Bessel

Tarea.

Serie trigonomtrica de Fourier

Se utiliza para representar a cualquier seal peridica mediante la siguiente sumatoria:

=02+

=1

cos 0 + sin 0 (0 < < 0 + T)

Donde: 0=2p/T

0 =1

00+

= 00+ () cos 0

00+ 20

=2

00+ () cos 0

= 00+ () sen 0

00+ 20

=2

00+ () sen0

Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el trmino ancos(n0t)+bnsen(n0t) se puede escribir como:

Podemos encontrar una manera ms compacta para expresar estos coeficientes pensando en un tringulo rectngulo

)()cos( 022022

22 tnsenba

btn

ba

aba

nn

n

nn

nnn

Con lo cual nos queda la siguiente expresin matemtica:

O tambin:

Si adems definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:

As que; y

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn

)tncos(C n0n

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2

n

2

nn baC

n

n1n

a

btan

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armnico

quinto armnico

septimo armnico

Esto lo podemos ver desde el dominio de la frecuencia

Si la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca paralograr una aproximacin en suma finita de senos ycosenos, es natural pensar que a medida queagreguemos ms armnicos, la sumatoria se aproximarms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t),en donde el error de la suma finita no tiende a cero amedida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos un tren de pulsos y 13, 50 y100 armnicos:

Aproximacin con un nmero mayor de armnicos

Fenmeno de Gibbs

Esto mismo visto en frecuencia