Experiences in the development and Application of Mathematical Models in Hydrology and Water Resources in Latin America (Proceedings of the Tegucigalpa Hydromath Symposium, September 1983). IAHSPubl.No.152.

MODELOS DE POLUCION EN CUERPOS DE AGUA

W. A. Castagnino

Consulter en Poluciôn de agua

SUMMARY

This paper starts remarking the recent expansion of water quality modeling indicating the new conceptions and the availability of comput ing facilities as the main reasons for it. Four elements are esencials: information, structure, modeling calibration and projections for the future. Primary evaluation of data including hydrologie, morfologic, water quality and loads usually permit to recognize the time and space scales pertinent to the model structure. After pointing out the dif­ferent structures and the fundamental actions for propagation of con­taminants; namely dispersion, advective transport and reactions; indi_ cates an idea of derivation of the basic differential equation and meth_ ods of its solution.

Very important for developing countries and specially for Latin America is the rational conception exposed in Chapter II. The import­ance of the objetive and the constraints clearly established tending to the use of water resources accordingly the possibilities in each case, is implicitly oppossed to on "a priori" effluent standards or even stream standars. The result could be a significant saving in po­llution removals at the sources, resulting usually in large cost re­ductions ,

After explaining, in Chapter III, the fundamentals of modeling developing and the usual methods for determining some aproximate va­lues of modeling constants, the Chapter IV develops a simplyfied es­tuary model and its application to the Guayas river, Ecuador.

It is pointed out that the model use matrix inversion by a scien tific calculator. Therefore this simplyfied model only has 8 seg­ments. Several results, including graphs and tables illustrate the reasonable accuracy obtained. This kind of preliminary modeling could be used for some decisions by some authorities in Latin America and other developing countries, with minimun costs and giving time to prepare more precise modeling.

Finally, the Guaiba, RGS, Brasil modeling effort is presented. This is an example of the important savings resulting from modeling a water body close to a large metropolitan area. Disposal of waste from the sewerage system faced the need to protect water intakes for potable treatment plants and recreation beaches nearby. The steps in the modeling and the coupling of water quality models with an eco­nomic decision model are the highlights of this part of the presenta_ tion.

203

204 W.A.Castagnino

DESCRIPCION CONCEPTUAL DE MODELOS DE CALIDAD DE AGUAS

INTRODUCCION

Un modelo matemâtico de calidad de aguas debe estar concebido pa_ ra conocer la respuesta de un cuerpo de agua a cargas de polucion que se introduzcan al mismo. Hace mas de 50 aiïos Streeter y Phelps, esta diando el cxxigeno disuelto del rîo Ohio en Estados Unidos expresaron en terminos matemâticos una version simplificada de un modelo de ca­lidad de aguas. Cuâl es, entonces, la razôn de que afirmemos que la evoluciôn de estos modelos es reciente? Para simplificar la respues­ta a esta pregunta quizâs debemos decir que obedece a dos razones:

1. Una concepciôn matemâtica y fïsico-biolôgica mas avanzada.

2. La disponibilidad de nuëvas herramientas de câlculo.

Es posible obtener una comprensiôn mayor de la importancia de las razones expuestas reconociendo que los modelos de calidad de aguas cons_ tan de cuatro elementos esenciales;

a.. El programa, de informaciôn, en campo y laboratorio. b. La estructuraciôn del modelo en si. c. Las pruebas del modelo d. La proyecciôn futura de la respuesta del cuerpo de agua.

En realidad, la estructura del modelo es lo bâsico. De esa es-tructura debe derivar la informaciôn a conseguir y sus alcances. Los otros elementos estân también evidentemente interligados a los dos pri_ meros.

Varias yeces se ha dicho que un modelo es tan bueno como lo es la informaciôn disponible u obtenible. Creemos sin embargo que la utili-dad va un poco mas alla de esa simple afirmaciôn. En casos donde la informaciôn sobre las propias cargas de polucion, ahora o en el futu-ro (o sobre los datos hidrolôgicos, para citar otro aspecto) no esta suficientemente desarrollada se puede aûh conseguir una vision de cier_ tos fenômenos que ayudan al técnico o al politico a tomar decisiones de importancia en sus campos de acciôn. Para concebir la estructura de. un modelo hay que partir, sin embargo, de una evaluaciôn de datos principalmente hidrolôgicos, morfolôgicos, de cargas de polucion y de yariaciones de ciertos parâmetros de calidad de aguas que sean perti­nentes al probleroa. Esta evaluaciôn primaria deberîa permitir la de­cision esencial respecto al modelo de calidad o sea: définir las es-calas de tiempo y de espacio en que se aplicarâ el mismo.

Los modelos de calidad de agua son, pues, mecanismos de predic-ciôn especîfica para cada caso. El anâlisis de las influencias que se Ban mencionado asi como un conocimiento cabal de las inevitables simplificaciones que introducen los modelos, permitirân predecir lo que pasarâ a ciertos parâmetros en un cuerpo de agua en el espacio y en el tiempo. y esto cada vez mas se constituye en un esencial reque rimîento de las sociedades modernas si se piensa en lo limitado de

Modelos de Poluciàn 205

sus recursos hîdricos y el legado que legitimamente esperan las futu ras generaciones.

ESTRUCTURA DE MODELOS DE CALIDAD DE AGUAS

Para que un modelo de calidad de aguas pueda ser aplicado confia blemente para predecir las condiciones de los diverses parâmetros en" el futuro, tiene que cumplir una condiciôn bâsica: reproducir acep-tablemente las condiciones actuales,

Por esto se quiere decir que si uno o mas parâmetros estân indi-cados para ser seleccionados como representatives de los cambios de calidad que interesa investigar, es esencial que el modelo elegido calcule los "=lores de concentraciôn en el momento actual (o ligera -mente anterior) de modo que sean sensiblemente iguales a los que se determinen por pruebas de campo y laboratorio. Esto es lo que se lla­ma calibraciôn de un modelo. Como la calibraciôn se refiere general-mente a un interyalo de tiemoo (por ejemplo estacional o con détermina das condiciones hidrometeorologicas) normalmente se valida la calibra­cion y el modelo con otro perïodo estacional o. lapso de modo que tam-bién se reproduzcan las condiciones actuales.

En la figura (.1) (también con condiciones en un punto) se aprecian estos conceptos. La concentraciôn se estudia de modo de que el modelo reproduzca el valor de campo en A (Calibraciôn) con condiciones indica_ das por la temperatura Ti pero que en realidad refleja las variables estacionales. La validacion serïa la reproducciôn del punto B para condiciones T2. Tanto la calibracion como la validacion reflejan las diversas influencias que inciden en los modelos aplicados. Cambiando ciertos valores de los componentes de los modelos, tanto el calibrado como la validacion cambiarân en diverses grados. Esto es el fundamento de las pruebas de sensibilidad de estas operaciones de comprobaciôn. Con ellas es posible apreciar el impacto de cada componente del modelo en el ajuste a las condiciones actuales. Conviene pues ahora indagar algo en los mencionados componentes de la estructura de los modelos. Cuando una carga de contaminante se introduce en un cuerpo de agua, a-quel sufre très acciones fundamentales:

a. Dispersion b. Transporte advectivo c. Transformaciôn (reacciôn o degradaciôn)

Si nosotros hallamos la manera de conocer como se producen estos cambios de concentraciôn por esas acciones, en el tiempo y en el espa_ cio, tendremos definido nuestro modelo.

En la figura (2) se présenta un aspecto intuitivo del concepto de dispersion. Suponemos que en un compartimiento introducimos agua a -una temperatura T., (digamos 80°C) y en el otro a temperatura T2 (Por

ejemplo 3 0°C). Si las alturas de agua son iguales, al abrir el orifi-cio 0 en la pantalla P, no pasara agua por efectos hidrodinâmicos pero la temperatura se igualarâ en ambos compartimientos, al cabo de cierto

206 W. A. Castagnino

tiempo. Es évidente que la temperatura pasa de uno a otro (mejor di-cho el calor) por dispersion, realmente por difusiôn en este caso. Tarn bien debemos apreciar que a mayor area de orificio y a mayor gradiente de temperaturaAT/A I el efecto sera mas rapide En consecuencia la dispersion sera proporcional a la superficie de contacto y al gradien_ te de concentracion.

La siguiente figura (3) trata de introducir el concepto de trans­porte advectivo. En un curso de agua el segmento 1, con su concentra­cion de contaminante, pasa al segmento adyacente 2 en el intervalo A t Es claro que al variar la forma y yolumen del segmento no varia la con_ centraciôn, lo cual es una consecuencia del arrastre por adveccion pro_ vocado por el flujo Q del agua en el curso.

La tercera accion es la transformaciôn del contaminante por reac-ciones fîsicas, quïmicas, biolôgicas o combinaciôn de ellas. Esto se traduce en un incremento positivo o negativo de la concentracion que es independiente en sus causas de los anteriores.

De lo expuesto, pudiéramos indicar desde ya que la estructura de nuestros modelos sera una forma mas o menos complicada de lo siguiente:

- Cambio de concentracion por unidad de tiempo = Efectos dispersi-vos + Efectos advectivos + Efectos reactivos + Insumos.

El ultimo têrmino toma en cuenta los cambios en cada elemento de espacio por efecto de la introducciôn o extraccion de cargas del conta_ minante.

TIPOS DE MODEL OS

De acuerdo a lo que se ha visto lo que se busca es conocer la con_ centraciôn de un contaminante en el tiempo y en el espacio o sea deter minar:

C = C (x,y,z,t,)

En un numéro de casos, C es el resultado de acciones o cargas que se reproducen por perîodos y que no varian en un lapso mayor. Tal es el caso por ejemplo de un rïo que reciba cargas de polucion que no va­rian sensiblemente dîa tras dîa y que nuestra preocupaciôn sea hallar los nivelés de oxîgeno disuelto a lo largo del curso. Podrïamos decir entonces que :

C = C(x,y,z)

o que el contaminante se distribuye en estado permanente o estable ("steady state").

En estos casos, el primer miembro que se mostro en la estructura general anterior se hace cero. Esto no quiere decir que no transcurra un lapso para que una masa de agua se traslade de un punto a otro sino

Modelos de Poluciôn. 207

que los valores en un punto (de la concentraciôn de un paramètre) no varïan.

Otra distinciôn esencial entre modelos dépende del tipo de para­métra en cuanto sea este sujeto o no a transformaciones o reacciones. El efecto reactivo es nulo en los contaminantes conservatives, como pueden serlo los cloruros por ejemplo.

En el siguiente cuadro (1) se puede ver algunas aplicaciones de modelos dependiendo del tipo de cuerpo de agua en el cual se emplean. No es una categorizaciôn absoluta, sino una expresiôn de ayuda para guiar en la elecciôn.

CUADRO I

Nota: Se expresa con * la aplicaciôn del modelo

Cuerpo de agua/Parâmetro Cloruros Bacteria DBO OD Nutrientes Fitoplancto

Rïos * * * *

Estuarios * * * * * *

Lagos - - * *

Ocëanos - * - -

LA EXPRESION BASICA

Supongamos un cuerpo de agua que recibe una carga de poluciôn W en el punto x = 0. El caudal Q es el encargado de transportar advecti vamente al contaminante. Si no existiera dispersion, el contaminante se trasladarîa como un ëmbolo y su concentraciôn variarïa por dos ra-zones:

1. Por variaciôn del caudal advectivo (o morfolôgicas). 2. Por cambios debidos a reacciones fisicas, quimicas, biolôgicas o

una combinaciôn de ellas.

Pero como existe, en principio, dispersion; se altera aûn mas la concentraciôn résultante en cada punto. En la figura (4) se muestran estos efectos en conjunto.

Entre dos secciones del cuerpo de agua pudiéramos seiïalar enton_ ces que las diferencias entre lo que sale de la secciôn aguas abajo respecto a lo que entra en la secciôn aguas arriba, en un lapso deAt serxa:

Por efecto de transporte advectivo: - Q A C A

208 W. A. Castagnino

Por e fec to de r e a c c i o n e s : — K C A A x A t

Por e fec to de d i s p e r s i o n : E A A x A t -A x Ax

Por efecto de la carga: W A t

donde E es el coeficiente de dispersion, A el area de la secciôn, K la reacciôn y C la concentraciôn del contaminante.

Esa suma deefectos deberia ser pues igual a la variacion del con taminante en el volumen A Ax o sea:

A A x A C =E A A x A t A__ (& £ ) _ Q AC A t - K C A A x A t +\yt A x A x '

En e l l i m i t e , d iv id iendo por A A x A t q u e d a :

AÇ_ _ E ! ^ c _ i L — - K c + w ( i ) at 3x2 A 9 x

en la cual cada término esta expresado en grs,/m3dîa, por ejemplo.

Es fâcil ver que 2

M ~m > M - i . [Q] m3

dïa ' L*J dîa

La expresiôn anterior esta derivada con falta de rigor (de expro_ feso) pero es correcta. Debe observarse que en el caso de estado pe£ manente (o sea que en el lapso de validez del modelo la concentra­ciôn en un punto determinado no varia) résulta, al ser 9 C _ Q gUe;

MrS - - V I T - K C + w - o 9(2) d x z A d x

donde las derivadas parciales se convierten en totales, por ser un cuerpo de agua unidimensional y no depender del tiempo.

Esta expresion es la bâsica para estuarios unidimensionales. La concentraciôn de contaminante es (C) y puede representar cloruros, de_ manda bioquimica de oxîgeno, bacterias coliformes u otro parâmetro. En el caso de rïos en los cuales las cargas se pueden asumir constan tes respecto al intervalo considerado de tiempo, el valor de la diper sion se puede considerar cero. La ecuaciôn résultante es:

Q dC — K C + W • 0

A dx Si (C) représenta la D. B. O.; acoplando una ecuacion similar para el oxîgeno disuelto como parâmetro (introduciendo una constante de rea-ereacion) se deduce la ecuacion de Streeter-Phelps para un caso par­ticular. Estas ecuaciones pueden resolverse analiticamente en cier-tos casos, con condiciones apropiadas de limites y bordes.

Es importante puntualizar ahora que en la ecuacion (2) estân ex puestos los valores bâsicos a conocer; los cuales responden a:

Modelos de Poluciôn. 209

** Valores hidrolôgicos representados por Q -• Valores morfolôgicos indicados por A.

Cargas de poluciôn mostradas por W

asî como dispersiones (E) y reacciones o dëgradaciones (K); o sea en suma, las acciones fundamentales que afectan la propagaciôn del con­taminante. De una manera similar a la derivaciôn de la ecuaciôn (1) puede extenderse el planteamiento a 2 o 3 dimensiones. Tal es el ca so; frecuentemente; de estuarios, bahïas, y zonas costeras. Perc si en muchos casos es imposible resolver analxticamente (y en otros casos dificultoso) la ecuaciôn (2), es de imaginarse la impotencia pa. ra cuando las condiciones del problema exigen considerar mas de una dimension espacial. Y es aguï que la disponibilidad de las nuevas he rramientas de calcule, a las que aludïamos al principio, encuentran su campo de acciôn.

Si en lugar de huscar la concentraciôn en todo punto por métodos analîticos nos contentamos con conocerla en diversos compartimientos del cuerpo de agua (asumiendo que en un determinado compartimiento la concentraciôn del contaminante no varia) es posible aplicar diferen-cias o segmentes finîtes como aproximaciones de la ecuaciôn diferen-cial. Con un desarrollo de este tipo, R. V. Thomann planteô las ba­ses de todo el avance posterior cuando lo aplicô al estuario del Dela_ ware y otros similares. Varias puMicaciones informan sobre esta de­rivaciôn 1,2. Lo importante es que, en lugar de una ecuaciôn dife-rencial (o varias), nos encontramos con que la soluciôn del problema se convierte ahora en obtener la resoluciôn de un sistema de ecuacio-nes algebraicas, lineales. Y para este tipo de problemas es que son especialmente aptas las computadoras digitales.

La soluciôn de ese sistema de ecuaciones, cuyas incognitas son los valores del contaminante en cada compartimiento, tiene algorit-mos o programas de computaciôn ya desarrollados cuyo procëso final es la inversion de una matriz de coeficientes que dependen de los dates y valores bâsicos anteriormente enunciados, (hidrolôgicos, neorfôlôgi-cos, dispersiones, reacciones y cargas de poluciôn).

En casos mas avanzados, aunque no menos reaies, las incognitas en cada compartimiento no son independientes. Por ejemplo, la degra daciôn de D.B.O. que tiene incidencia en su variable acoplada: el ox£_ geno disuelto. Mucha mayor complicaciôn lo presentan casos como la, concentraciôn de fitoplankton y de nutrientes acoplados como fôsforo y nitrôgeno. En cada compartimiento hay varias variables o incogni­tas interligadas, con diversas tasas de reacciôn o degradaciôn. Se puede decir, en general, que a medida que aumentan las variables y las tasas, la complicaciôn crece en forma exponencial. No obstante, mucho se ha avanzado en la concepciôn y resoluciôn de los problemas de cam­po, laboratorio y gabinete; y es de esperar que estos avances vayan aclarando muchos puntos obscuros que aûn subsisten.

210 W.A. Castagnino

t ^

B / '

A 1 ».

r t Figura (1)

A 1

< * , -

• f

^ ~ _ _ i _

gr7 w ^ J i ^ —

/A Ap A /

Figura (2)

'iguca (3)

Figura (4)

E-PCCro 3er tfEACClaN

ENFOQUES DE CONTROL DE POLUCION DE AGUA

El desarrollo de los recursos hîdricos fue planteado, hasta las primeras decadas de este siglo, en base a un uso prépondérante y para satisfacer una necesidad de momento. En otras palabras si era adecua_ do algûn punto en un sistema hidrico para cierto aprovechamiento o si este pudiera ser usado en conjunto para comunicacion o almacenamiento con fin especîfico, entonces se desarrollaba esa posibilidad. Si se podîa usar lo que quedaba con otro propô^ito, tanto mejor. Era, a to dos los efectos prâctivos, un desarrollo puntual.

Pero desde la dêcada de los afios 30, hubo avances significativos en el aprovechamiento racional de los cuerpos de agua. El T.V.A. (Te nnessee Valley Authority) fue creado con vistas a un desarrollo se-cuencial y en conjunto; combinando control de crecientes, hidroelec-tricidad y navegaciôn. Sin embargo, no estaba claro aun que esos de-sarrollos fueran lo mejor, para el vasto sistema de aguas,en el futu­re Y ello se comprueba hoy en dïa, cuando la recreacion tiene tal importa.ncia que ha modificado el manejo de las aguas, estructuras y equipos.

Durante y despues de la gran conflagraciôn (segunda guerra mun-dial) hubo otros eventos significativos que marcaron nuevos avances

Modelos dePoluciôn. 211

en el planeamiento racional del aprovechamiento de los recursos hî-dricos. Danzing desarrollô en EEUU el algorxtmo de la programaciôn lineal y ësto exigiô ademâs mejoras en las balbucientes computadoras de los afios 40. A su vez, estas posibilidades de câlculo promovie-ron el desarrollô de nuevos algorîtmos. En la década de los afios 60 un brillante grupo de investigadores, reunido en la Universidad de Harvard sentô las hases teoricas del planeamiento hldrico en un memo rable libro que guiô gran parte de los desarrollos posteriores. (.3) •

Entre otros aspectos, claramente se yio que lo importante era fi jar el objetivo socio-econômico del desa.rroilo hxdrico, Si el objetï vo se cambia, también lo hara la mejor u optima soluciôn. Este obje~ tiyo se complementa con las llamadas restricciones o sea un conjunto de condiciones que limitan el libre juego de las variables o «paramè­tres que tambiën figuran en la funcion que expresa el objetivo.

En términos analïticos, si F = FCx- x2, ,xn)

es la expresiôn de la funcion objetivo (que pudiera ser un beneficio neto o un costo, siendo x1f x2, ,xn ias variables o paramé-tros) lo que se busca es el mâximo o el mxnimo; segûn los casos; de le funcion F.

Esta funcion estarïa condicionada por las restricciones

g! (xlf ...,xn) < G-,

g2(xl},

9m Cxi,

y el problema es hallar los valores de x-\ , x2, . . . , xn de modo que ha-gan maxima (o mînima) F y satisfagan las restricciones gi para esos va lores de xi, x 2 / • ., xn.

Esto cambia, en nuestro caso, el antiguo concepto de poluciôn. En el CEPIS hemos desarrollado estos aspectos. Las variables y funciones deben reflejar lo que queremos hacer del recurso hîdrico ahora y en"el futuro. Ya no hay desarrollos puntuales o aislados, sino que estable-ciendo la funcion objetivo del recurso, habra que obtener' los valores de las variables que satisfagan esas necesidades no solo en el manejo de la cantidad de aguas sino en la calidad de las mismas. Pudiéramos decir ahora que lo que buscamos es hallar la mejor distribucion del re­curso hxdrico entre los diversos aprovechamientos, en cantidad y cali_ dad, en cada punto y a lo largo del tiempo.

Cuando se hable de la mejor distribucion habrxa que preguntar me_ jor para quién o para quienes? Por ejemplo lo que puede ser bueno pa_ ra los habitantes de una municipalidad puede no serlo para .los habitan tes de la cuenca de la cual se aprovecha la municipalidad; lo mismo pv diera decirse para otro âmbito o para un sector economico.

,xn) < G2

'xn) < Gm

212 W.A. Castagnino

Es évidente, pues, que el objetivo no puede ser solo el reflejo de la voluntad de un têcnico o de un grupo sino que debe representar una conjunciôn de deseos y voluntades. que lleven consigo la disposi-ciôn a pagar por lo que se requière.

Como se puede facilmente derivar de lo anterior, la funcion obje­tivo es en realidad una funcion clasificadora de soluciones, que dice que una soluciôn es mejor que otra, o sea que clasifica las posibili-dades. Y, lo que es mâs importante para nosotros es que, si queremos preservar usos del recurso estrechamente ligados con calidad de aguas (como pueden serlo usos récréatives, abastecimientos de agua o protec-ciôn ecologica) tenemos que incluir las condiciones correspondientes en las restricciones de la funcion objet:vo.

Ahora vemos claro, entonces, que calidad de agua se interliga con cantidad de agua y debe estar incluîda en el plantée Esto no lo desa_ rrollaron los investigadores de Harvard pero lia sido impulsado por CE-PIS en la dêcada de los afios 70. En el ejemplo que se desarrolla para el estuario del Guaiba (Porto Alegre, RGS, Brasil) se ilustran estos avances.

DESARROLLO DE MODELOS DE CALIDAD DE AGUAS

Todo cuerpo de agua maneja los contaminantes segûn sus propias ca racterîsticas. Aunque puedan reconocerse analogias, ellas no son sufi_ cientes para que las acciones y constantes sean "transplantadas"; pre-tendiendo que las formulaciones asx establecidas satisfagan al resol-verse, los valores reaies de concentraciones que se buscan. Es as£ que debemos tratar de hallar los valores de constantes a aplicar con cierta aproximaciôn que corresponda a las zonas del cuerpo de agua en estudio antes de incluirlas en el programa de computacion, apelando a ciertas simplificaciones y similitudes. Para ello, es imprescindible contar con informacion previa, adaptada a esas simplificaciones a apli_ car.

La informacion debe comprender, como antes se dijo, no solo los resultados de un programa de muestreo y anâlisis sino también datos morfolôgicos, hidrolôgicos e hidrodinâmicos. Pero antes de desarro-llar esa informacion es menester el anâlisis de las escalas de tiempo y espacio que rigen el problema. Si las carqas de polucion que afec-tan un cuerpo de agua son de impacto local o se presume que son de im pacto general, el modelo a desarrollar es diferente y tambien el tipo de informacion. En algunos casos, un tipo de contaminante cuyas con­centraciones sa buscan conocer en determinados puntos en el futuro puede dar lugar a modelos de diferente estructura al pretender desa­rrollar la respuesta a otro contaminante en los mismos puntos.

Por ejemplo un gran rîo o lago puede tener respuesta de semanas o meses en un determinado punto mientras que rîos o cuerpos de agua menores presentan valores significativamente diferentes, en el conta­minante de interés en dîas u horas. Una descarga masiva de un toxico aguas arriba de una toma de agua puede exigir estudios hidrolôgicos

Modelos de Poluciôn. 213

de una precision mayor que si se busca la condicion general de esa to ma de agua frente a un problema de salinidad. Y no solo precision ma yor sino que variarâ el lapso en que se debe obtener esa y otra infor maciôn que corresponda al problema en estudio.

Como los modelos son mécanismes de prediccion especïfica respec to a concentracion de contaminantes, en determinados puntos y lapsos, es natural que nuestra primera preocupaciôn es examinar el objetivo al que antes aludîamos y sus restricciones. Supongamos el caso en que, en determinados trechos de un estuario, nos interese protéger la pesca de mariscos bivalvos. Si en ese estuario hay descargas de aguas residuales, es lôgico pensar que pudiera haber impactos bacteriologi-cos o virales que incidieran en la calidad del producto. Entonces de berîamos estudiar la distribuci6n de concentraciones de un indicador bacteriano adecuado, como pueden ser los coliformes fécales en este ca so. Y como esos mariscos concentran la bacteria en sus organismos por su funciôn de "filtrar" cantidades apreciables de agua en su lapso vi tal, nos interesa la concentracion en el trecho a protéger de carâcter promedial y no el mâximo eventual en determinado momento. Es asî que, a primera vista elegirïamos un modelo de carâcter estacionario o per­manente y la concentracion de bacteria como variable fundamental.

Volvamos ahora a nuestras ecuaciones fundamentales. Ya vimos que en el caso de estuario unidimensional, en carâcter estacionario:

d2 C Q dC

E — - _ K C + W'= O d x2 A d x

y, para problemas de cuerpos de agua que exigen desarrollarse en 2 o 3 dimensiones, se extiende esa expresiôn bâsica por diferencias fini-tas, de modo de obtener valores de concentraciones en cada uno de un numéro de compartimientos.

Es claro que entonces, si tenemos uno de los compartimientos:

E2 ÎQ2

(Direcciones de O <?1 El, K

E4 lQ

E3 — Q3 a r b i t r a r i a s )

FIG. - 5 <4 deberîamos hallar los valores de las (E), las (Q) y el valor de (K); para que en conjunto con todos los demâs compartimientos, confeccionen las ecuaciones algebrâicas (derivadas de las diferenciales) que satis_ fagan los valores de (C) que nos dan los muestreos.

Como se ve, aparece el valor de (K) o sea la constante de reac-cion o degradaciôn. En el caso de nuestro ejemplo, (K) es la mortali dad de los coliformes fécales. En otros casos puede ser la tasa de transformaciôn de amonio a nitritos, o de degradaciôn de D.B.O. o de un pesticida o de reaereacion; para citar algunos.

Suponiendo que la geometrîa es conocida; tendrïamos que darle va­lores a las (E), a las (Q) y a las (K). Y esto hacerlo de modo de que razonaBlemente, reproduzcan los valores que corresponden del muestreo

214 W.A. Castagnino

actual. Una vez asl calibrado el modelo (y validado estacionalmente para otras condiciones) podrîamos conocer en el futuro, con cargas W diferentes, los valores de las (C) que obtendrîamos en esas nuevas con_ diciones. En otras palabras, calibrar y validar un modelo es hallar las constantes (E), (Q) y (K) que satisfagan los muestreos en condicio_ nes actuales.

No pretenderemos aqui explicar cômo se hallan valores aproxima-dos de esas constantes en todos los casos, para despuês ir corrigien_ do con sucesivas corridas computacionales. Pero si daremos algunas ideas ilustrativas de artificios usadas.

En un estuario unidimensional, si en un tramo como el que se ilus_ tra, llamamos (C) a la concentraciôn de cloruros (por ejemplo) la reso lucion de la ecuacion (2) si no existen cargas en ese tramo

FIG. - 6 -(_a_\ ;

es, para Q=constante: G,, = G0 e^6*''

siendo x la distancia entre 0 y 1. En un estuario bidimensional esto no puede aplicarse, en rigor, pero puede dar una aproximacion. Los va_ lores Co y C, saldrïan de un promedio estadîstico adecuado del muestreo A, Q y x son medibles.

Entonces: ;(nir> «_£a_ .*• e = QX_ A uos9c(-êj-)

Si, como en el ejemplo anterior, el valor de (K) es la tasa de mo£ talidad de bacteria coliforme fecal, pudiéramos hallar sus valores te niendo en cuenta lo siguiente:

a) El modelo es de carâcter permanente, asî que los valores de K se-rîan resultado de valores nocturnos y diurnos. Ellos son diferen tes porque las tasas son dependientes de la radiaciôn solar.

b) La tasa no es la misma en la superficie del agua que en profundi-dad, ya que hay un coeficiente de extinciôn de luz, que llamamos Ke..

c) La radiaciôn solar tiene un andamiento aproximadamente sinusoidal desde la salida del sol hasta su puesta.

f1/" X i.dîa. Esto se representarîa por: -4- t

FIG.

Modelos de Poluciôn. 215

Si llamamos KBo a la tasa de mortalidad en la superficie del aqua (que es proporcional a la radiaciôn I), como por la ley de extinci6nj=T0 — ReZ

siendo z la profundidad del agua, resultarîa que el valor Kg pro-medio serîa ^

T lo cual darîa Jo

siendo H la profundidad a la que llegan los efectos. Ademâs habrïa que agregar una tasa K^ qUe no dépende de la luz sino que es una mortalidad producida por el medio adverso que significa el mar o estuario, los pre_ dadores, los antibioticos, etc. y una tasa por sedimentaciôn.

Se tendrxa pues, en cada compartimiento:

V\B ^«^ -,feH-e - ) + estando K en métros y T (temperatura) en °C..

1.7 El valor de Ke se puede aproximar por;^>e. = Pro fund, del Disco Secchi

donde la Profundidad del Disco Secchi se determinaria en cada comparti­miento. El valor KBO podrla hallarse con una experiencia en recipiente sumergido a unos 50 cm de la superficie. A este recipiente tapado se le llenarïa con agua del mar o estuario o rîo que tuviera un porcentaje de agua residual. Mediante extracciones periodicas se tendrlan valores de concentraciones de coliformes fécales cada cierto tiempo. En general se halla un valor llamado Tgo que représenta el tiempo que transcurre hasta produci.r una mortalidad del 90%. Si la ley es o*-*. — — Kr,(de reac ciôn de 1er. orden) entonces <>t:

^ e V coo ) Siendo Co la concentraciôn inicial y C(t) la concentracion al cabo del tiempo t.

Para nuestro caso C- C*) = <Tr) .:**. = ^""'éSi

Como, por definiciôn de T90. O^.— = -40 résulta Y\ =* ct. > .

Entonces hallando el T90 o b t e n g o ^ p a r a a p l i c a r l o a nuestro caso ha bria que repetir todo en cada compartimiento. Lo que se hace es detejr minarlo en algunos lugares de aguas diferentes y entonces tomar valo­res intermedios entre los mismos, corrigiendo por profundidad.

Pero calibrar, una vez seleccionados esos valores aproximados, es ir ajustando las constantes mediante sucesivas corridas de conputacion. Pero como las acciones de dispersion, transporte advectivo y reacciones

216 W, A. Castàgnino

son independientes, es conveniente eliminar reacciones mediante la apli_ cacion del modelo seleccionado a concentraciones de substancias conser_ vativas como pueden serlo cloruros (que no reaccionan) u otras semejan_ tes. Asî, se calibran los valores de dispersiones y transporte adve£ tivo. Para los contaminantes con reacciones, entonces, habrîa que ca-librar cambiando sucesivamente solo las (K) o sea se harian sucesivas corridas de computaciôn con una sola variable por compartimiento, ya que las dispersiones y transporte advectivo son las mismas.

MODELOS SIMPLIFICADOS - EJEMPLO DEL GUAYAS

En America Latina, muchas empresas de distribuciôn de agua pota­ble, de alcantarillado, de desarrollo hîdrico o aûn de elaboracion de diversos productos industriales imprescindibles para las sociedades mo dernas, tienen têcnicos de alta capacitacion en sus tareas especîficas pero no poseen el montaje de têcnicos y equipos para desarrollar, des_ de un priricipio, los modelos sofisticados de calidad de aguas que pue den series necesarios.

En muchos casos resultarla altamente provecboso que el personal de decision tuviera elementos que en una primera aproximaciôn, dieran ide_ a de la magnitud del problema de polucion en el future Para ello, mo delos simplificados que pudieran desarrollarse sin complicados progra-mas de computaciôn serïan beneficiosos, de modo que sus resultados pe£ mitan esas decisiones ya sea para montar el equipo necesario o para co_ nocer las necesidades de futuro o aûn para, razonablemente, determinar que son problemas que pueden esperar lapsos apreciables.

Debe aqui hacerse notar que, desarrollar modelos de calidad de a-guas mediante contratacion con compafiïas que no entrenen y capaciten a personal de las propias empresas no es una solucion deseable. Un mo delo de calidad de aguas es una herramienta de uso contînuo y perfec-cionable, sujeto a cambios por nuevas cargas de polucion o transforma^ ciones morfolôgicas o hidrologicas.

Un modelo simplificado ilustrativo se desarrollo y aplicô para él estuario del Guayas, en Ecuador. La principal interesada' fue la En -presa de Alcantarillado de Guayaquil (EMAG) pero los resultados prima-rios fueron de alta utilidad para otras empresas régionales y estata-les.

Un esquema simplificado del llamado rio Guayas se muestra en la figura 8. En él se ven los formadores, los rîos Daule y Babahoyo y los brazos principales del Guayas hasta su union con el Golfo de Guaya_ quil que comunica con el océano Pacîfico. No cabe duda que el Guayas es, a los efectos de calidad de aguas, un estuario. Sus mareas de va rios métros producen dispersiones por gradientes de salinidad, que se propagan a los formadores. La ciudad de Guayaquil se extiende en la margen derecha y su râpido crecimiento hacîa necesario saber el empla zamiento de las plantas de tratamiento (y su eficiencia) para proté­ger la toma de agua de Guayaquil y otros aprovechamientos aguas abajo.

Mod

elas

de

Pol

uciô

n.

21

7

M

t>

je/

O

•"1

o

0\

cr

>

p

r

rf,

c:

> D

o

ta'

O

ç -4

O

f

Dû

o

»

218 W. A. Castagnino Modelos de Poluciôn.

La CEDEGE (Comisiôn de Estudios del Guayas) tenia un razonable estudio hidrolôgico de la compleja cuenca de los formadores. Excepto en condiciones de estiajes prolongadas, las mareas (y su salinidad) eran controladas, en la toma de la planta de tratamiento de agua pota_ ble de Guayaquil, (ver esquema), por los caudales de agua dulce que bajaban por el rxo Daule. Pero en esos estiajes la salinidad en el agua cruda podxa sobrepasar los 250 ppm de cloruros que es aceptable para el suministro de agua potable en una planta convencional. Habrxa interés, ademâs, en conocer el mînimo caudal de agua dulce porque la ereccion de una gran presa aguas arriba en el Daule iba a provocar cambios en la hidrologia del sistema, por los caudales que se iban a emplear en irrigacion.

Por otra parte, el interés de la Empresa EMAG era, como se dijo, la ubicacion de las plantas de tratamiento de aguas residuales y el alcance de. su eficiencia bacteridogica principalmente, de modo que no produjeran un impacto en la toma de agua o en los desarrollos ca-maroneros; que estuviera sobre lo admisible. En este ultimo aspecto, la concentracion del contaminante de interés era la de bacterias coli_ formes.

Por lo tanto, habîa que desarrollar, primero, un modelo de cloru­ros de carâcter estacionario y luego otro, de bacterias, del jxiismo ti-po. En el segundo modelo se podrïan usar las dispersiones y transpor­tes hallados en el primero; como antes se explicô, de modo de cali-brarlo con el juego de las mortalidades K.

El modelo simplificado que se aplicô fue de solo 8 segmentes, co_ mo se ve en la figura 8. En estos segmentos se efectuaron determina-ciones batimitricas, de areas y de distancias. Se corrigieron por pro_ medios de amplitud de mareas de sicigia (alcanza,n a mas de 4 m ) , obte niendo las amplitudes de marea en los interfaces de segmentos por in-terpolaciôn cuando los datos no coincidxan con esas interfaces. Los muestreos se realizaron en perxodos estacionarios de marea alta, con frecuencia quincenal. Esto responde a que los valores de cloruros, por ej., son diferentes en baja y alta marea; y ademâs, porque el ti-po de modelos (estacionarios) no exigxan frecuencia mayor, en este ca so. —

La razôn de que la segmentaciôn fuera tan reducida se debio a que se desarrollo un modelo en que las incognitas eran las concentra ciones en cada segmente Al desarrollar un modelo de segmentos finT-tos, se obtenia un sistema de 8 ecuaciones algebrâicas con 8 incogni­tas. La matriz de resoluciôn de ese sistema puede ser invertida con una calculadora cientxfica como la que se empleô (TI-59), que lo hace con una matriz de 8 x 8 como mâximo.

En primer lugar se hallaron dispersiones aproximadas en los pia­nos de interfaz de segmentos; con procedimientos como el antes descri_ to y otros de esa indole. Los valores hallados sirvxeron de base pa~ ra las dispersiones iniciales del modelo de cloruros con que se ini-ciô el trabajo.

Modelos de Poluciôn. 219

Al transformar el planteo por diferencias finitas, se obtienen ecuaciones algebrâicas del tipo

^«.-i, * y «.-v son las concentraciones del contaminante en très segmentos sucesivos,- con los valores extremos representando las condi ciones de borde. Los coeficientes responden a la ecuaciôn general ~

Los valores a--».m> Ç "T Ly son las transformaciones de las concentraciones de los segmentos a los valores de las interfaces y son semejantes a las transformaciones de rigideces en una viga al transformarlos hacia los nudos. Los valores g' son unas constantes definidas por en la interface de los segmentos Çl) (vs.) ç=' __ ç=_. _L

En consecuencia, las ecuaciones de los a ^ son-

donde se adopta una convencion en el sentido que los Qik serân negati-vos si entran al segmente. En definitiva, la solucion del sistema de ecuaciones

donde las W!|' son la suma de las Wl v las condiciones de borde; las que son del tipo( Ç-'u, - ^^k» \to ) Gtosiendo (b) el borde correspondiez te. En definitiva; si llamo [A] a la matriz de coeficientes (aik), (C) a la matriz columnar de concentraciones y (W) a la matriz de los W", también columnar, résulta:

[A] (C) (W)

y por tanto

c.c) =[A.y\w)

Al procéder al câleulo con la calculadora cientifica; o bien es-cribimos el programa, o lo adaptamos al de inversion de matrices que generalmente es parte de los bâsicos de la calculadora. En la hoja que sigue se pueden ver los resultados del câleulo efectuado para el

220 W. A. Castagnino

modelo simplificado de cloruros del estuario del Guayas con la seg-mentaciôn indicada en la figura 8. Esta allî expuesta la matriz co-rrespondiente a la corrida (prueba) 10 y los valores de las concen -traciones de cloruros. Es dé hacer notar que las dispersiones cal-culadas previamente son muy cercanas a las del modelo completo de 60 segmentes, como se ve en la figura 9. Los resultados estân grafi-cados en la figura 10. Obsërvese que son valores promedios y los re_ sultados estân dentro de una faja aceptable de aproximaciôn. Con las dispersiones y transportes advectivos que suministro el modelo de cloruros se pasô al modelo simplificado de coliformes; con prue-Bas sucesivas de valores de K.

Modelas de Poluciôn. 221

1 0 ' « e / i HODBLO SE 0L0SCB03

,*- y

>'' s

,*' / *'" "

t

\ t 3 4 5 7 'il | SEGMBHTOS KODELO SIMPLIFICADO

PKUEBA H o . 1 0 M. SIMPLiyiOJUX)

PROHEDIOS DE MUESIKSO

*.--*-

ESCALA HORIZONTAL loot 8kB

Como antes se explicô, se efectuaron pruebas con repicientes su mergidos para hallar los valores Kb y KBOf durante d£a y noche. Pa­ra dar una idea de las modificaciones sucesivas de KB e n cada segmen to (partiendo de los valores de las pruebas y tratando de ajustar la calibracion del modelo) se presentan en la Tabla 1 valores de KB to­rnados en sucesivas corridas, siendo la corrida 11 la que se conside-ro de calibracion.

Segmentes Corr idas 7 y 8 Corr ida 11

Tabla 1

1 1.0 0 . 5

- Valores de Kg (dia

2 3 1.0 2 . 0 0 . 5 0 . 5

1

4 2 . 0 1.5

5 3 . 0 3 . 0

7 3 . 0 3 . 0

8 4 . 0 3 . 0

Notese que si aumento de KB hacia aguas abajo es lôgico por mayor cla-ridad del agua y por mayor influencia de agua ocëanica.

El resultado puede verse en la figura 11, donde se aprecia la ce-rrada concordancia obtenida con el modelo simplificado de bacterias y el muestreo. Esto permitiô realizar pruebas de simulacion de descar-gas en distintos puntos posibles de salidas del alcantarillado segûn el Plan "Maestro incluyendo diferentes eficiencias de plantas. El ca-râcter lineal de las ecuaciones diferenciales de base, permite cono -

222 W. A. Castagnino

cer la influencia de cada descarga por separado. Entonces se aplican las constantes del modelo calibrado y se anulan todas las descargas excepto la que se esta investigando. De esa manera se elimino, en es­te caso y como ejemplo, la posibilidad de efectuar una descarga en Pascuales por su influencia inaceptable en la toma de agua de la pla£ ta de agua potable de Guayaquil. Los valores de las constantes obte-nidas con los modelos simplificados permitieron reducir considerable-mente las dificultades de calibracion de los modelos completos de 60 segmentos.

Modelos de Potuciôn. 223

MODCtO DE CLORUROS SIMPUFICADO

S * O N * K Ï Q

0

1

_^J 3

B l

4

5

6

. ..*iL 7

_ 8 _ . 9

L u

'"' io.ooo

U . 5 0 0

9.000 7.250

10.300

a. 500

10.000

_ . 10.000

.19.000 _20.000

L A ,

I . I

b .000

2. 000

-„ ?_• 5 ° °-

_JL-.?A°-.

—

L « ,

I - I

7. 300

4 . 000

4 . 000

0 » U * * « i O * J »

1 ., aœntlûo longltudin

L^2 «ntoa do bords

Lyj doipui» de borda

,..,«, 0 - 1

1,-2

2 -3

J - 4 U - 4

*rs 4 - 6

5 - 6

Azl 7-B2.. 7-8

J-BJL B - 9

Q . i o 4

2 ,01

2 , 01

2 ,01

.. 2 , 0 1 3. 37

__1J_0J_

4 , 3 1

1 ,07

J>, 38

.JL.iî. . 3 .89

r _ U l A -2 ,69

A

1710

201 S

3095

J Ï J 5 101 10

^ a b 7 _

11511

4416

16660

_.6 388 „ 1B20Q

_e 77 ? .. 19769

E

12 ,5

15 ,0 17 ,0

1 7 , 5 23 ,0

iiO

15 ,0

6 , 0

1 3 t 5

J . J L . 17 .0

, 30 ,„Q,

( l l . t j J / 7

11 .750

11 . 250

S. 125

a_73S 7. 650

E' . io*

i , e :

2 , 69

l u i ! _ j . , s i _ . 3 0,40.

._5_i l i a M » . 1 0 . 1 5 0

7. 900

ig_^ooù_

3.750

. IXsAQQ.

1 9 . 500

n , oj,

3,35

- 3 2 J .SJ _

30,41

o<

0, 50

. û, 5 3 |

.0, *J 0 ,81

J ^ 4 9 ,

0, 46

0, 50

_ J L ^ 5 _ 0 ,51

n

0 ,50

g, 41

._0j_SJ„

_ . 0 * J U _

. L l i . 0, 19

.JJAL. 0, 54

Qj^Q_

0, 49

«_- «i 10 (col Ibracirtn).

M À T f t I Z DE C û E F I C I E N T E S

4 ,69

- 3 , e e

0

0

0

0

0

0

• - 1 , 8 7

9 , 2 5

- 7 , 38

0

0

0

0

0

0

. -5.37

1 4 , 4 1

- 9 . 0 4

0

0

* 0

0

0

0

-7 ,03

5S . 48

- 3 , 0 5

- 1 9 . 1 2

0

0

0

0

0

5.82

0

0

0

0

0

- 2 . 77

- 2 5 , 21

0

0

0

0

56,45

- 2 3 , 9 1

0

0

- 2 0 , 0 2

81 ,11

\

/

2 , 8 3 x 0 , 4 0 7

W'i

I I , -2 x 1 4 , 7 8 ,

29 ,09 x 17 ,945

2 8 , U x 16 , 30}

/ \ 1,15

9 8 1 , 1 1

\ /

d o t [ A ) • 9 , 8 9 , 9 0 9 2 7 x 1 0 5

C ] = [ A ] [ W ]

Pruoba N* 10 ( c a l l b r a c l ô n )

i h

r PBovtc io HOOCVO MJiic>**ra,o DC CÀUOAD OC - Ù U - Ï (fïu-iyjfi)

Modolo d« C l o r u r '

224 W. A. Castagnino

NODELO BE BACTERIAS SIMPLIFICADO

n»«M>u

0 t

I

) \

% 1

_ 7 _ a :

__8 __

Lu

3.000 8 .800

13-500

9 .000

7.250 *

10. J00_

8 .500

10.000 _

JO.OO_Q_

J O . 0 0 0 . ..

L » i

S.ooo

2.000

J-6P°

* • » !

7 . j o o

i . 0 0 0

.<.U«TAj

1- 2

2- i

"•- 5

_ S i . £.

i _ 8-

a- 12

2 .70

1.70

! .70_

? . 70

_ l j t . -

7.11

1.81

A

1710

2015

3035

) . 3 ) 5

! 0 . 1 HJ

2 . 8 U .

1..M6

__4J3«..

E

. 0

l ! . S

15.0

H - B

17.S

- J î l i

- i . O . . .

17,0

( l l . | | ) / l

11.150

1 ] .250

8 J 2 5 ._

8 . 7 7 1

. S . 2 > 0 . _

10.150

. ?.JPS_

. J . J50 .

10.000

E ' . i o '

J U I

J . 8 5 . .

j o . ' t o

17.01

„ J J i . . .

02 .52

U - J l

<*

J . - . q

0.61

_ 0.1.0—

- O.itS. .

0.67

. . J L U _ _

0 i<3

0 . «

._0^5 iL

a.se .

n

. _o. fca—

O . i i . . .

O.».!

0 . 5 '

0.51.

a.),:-,:. (caJlura:

M A T R I Z OE C O f F I C I E N T E S

10,1} - Oj o2__

? . ? 7 -^ i . . .

0

Û.

• • > 7 , H 1

.-. i^lH.

- l v . 5 9

0

u

0. _

z. U i i .

id._Zi,

0

- i i i i i . .

2b,G8J

\

-J

„. liliiZ

«8 ,65

/

W'=

\

M . O

«5.0

JJU.Q—

.5,057,6

\

Î . 0

I O U

de l [ A ] -l , idB967i x 1003

( C ] = [ A] [W 'J

/ \ SL.iL

iOJ

_ _ i , 5 5

n CMPRCI* M-*«C*W.OÏ *iji*«iÀ»A.uiûo on <xm»

FKVI** «i 1 1 (-.allaracitn)

Modelos de Polucion. 225

DESARROLLO DE MODELOS EN EL ESTUARIO GUA1BA - PGS - BRASIL

Porto Alegre es un vasto centro metropolitano que se extiende en la margen izquierda del llamado rio Guaiba. El Guaiba esta sujeto a mareas meteorolôgicas y a los fines de un modelo de calidad de aguas, es un estuario. Al Guaiba lo forman varios rîos. El principal es el Yacui que forma un delta con los otros tributarios. El caudal medio anual en la boca del delta es del orden de los 1,000 m3seg_

El Departamento Municipal de Aguas de Esgotos de Porto Alegre re solvio, oportunamente, encontrar la soluciôn mas economica para dis-poner las aguas residuales del area sin provocar dificultades y prote_ giendo las zonas de utilizaciôn. Estas zonas comprenden, entre otras, los puntos de captacion para sus 2 plantas de tratamiento de agua po­table (Moinhos de Vento y Menino Deus) y las playas usadas para re-creacion. (en total 10 playas al sur de la zona densamente habitada).

Eos valores adoptados como limites, en un porcentaje alto del tiempo, fueron:

En las captaciones de las plantas—4000 Coliformes fecales/100 ml.

En los balnearios — ,-__ _-,- n.QOO Colif ormes fecales/100 ml.

y como proteccion de cadenas troficaS'— 5 mg/1 de oxîgeno disuel-to..

Tambien se modelaron crecimientos de fitoplankton y ciertas pro-pagaciones de toxicos, aunque en grado menor.

Entre los productos del estudio, ademâs de determinar el plan de obras maestro de la region metropolitana, se debe contar çomo de sa-liente importancia la capacitaciôn de un nûcleo de técnicos de relie_ ve guiados por el consulter y la expansion del laboratorio y facili-dades conexas que pudiera copar con los complejos problemas de polu­cion de la vasta zona poblacional-industrial.

Procesos de Soluciôn

a) Se.cuencia de modelos

El Guaiba es un cuerpo de agua dulce. En consecuencia no pudo d£ sarrollarse un modelo de cloruros o conductividad preliminar y hubo que calibrar, directamente, un modelo de bacterias coliformes (fécales) seguido de un modelo acoplado de D.B.O. - O.D. Cuando esos modelos es_ tuvieron calibrados (o sea representaron los resultados reaies de ana_ lisis de aguas a lo largo del tiempo hasta la actualidad) se proyecta ron para el futuro, demostrando que la alta polucion ahora existente alcanzarîa valores inaceptables a brève plazo.

El segundo gran paso consistio en establecer la influencia de ca da punto posible de descarga en todos los puntos a protéger. Estos resultados de las "Cargas Unitarias" mostraban las influencias cita-

226 W. A. Castagnino

das, las que multiplicadas por las descargas previstas formaban las ecuaciones de restricciôn.

El tercer paso fundamental lo constituyô el desarrollo de un mo­del© "Econômico" que analizô las diversas alternativas de emisarios de BomBeo de aguas residuales, plantas de tratamiento de los mismos y eventuales emisarios subacuâticos para hallar la solucion mâs eco-noinica que respetara los limites antes indicados en las zonas a pro­téger.

bX Estructura de modelos

Los modelos de calidad de aguas (con excepciôn de ciertos estu-dios de tôxicos y fitoplankton) fueron de carâcter permanente, para cada caso de constancia de cargas y caudales. Para desarrollarlos se analizaron los resultados de un vasto monitoreo empezado varios alios antes y proseguido durante los estudios, que considerando incluî_ dos los muestreos en las descargas de aguas residuales representô un total de mâs de 27Q00 datos, aunque muchos no fueron de utilizacion.

En la figura N°12 se ve el estuario del Guaiba y el delta de a-guas arriba y la ubicaciôn de las estaciônes de monitoreo.

Se contrataron estudios hidrologicos de flujo y de trazadores radioactivos. Estos ûltimos dieron ôrdenes de magnitud para coefi-cientes de dispersion (con bromo 82 y con oro 198) cômo se ve en un resultado de la figura N°13. Tambiën se estudiaron degradaciones bacterianas y consumes de oxîgeno de aguas y lodos de fondo.

Ajustando sucesivamente tanto la segmentaciôn (se pasô de un mo delo inicial de 48 segmentes a uno final de 102 segmentos en el Guai_ ba; ver figura No. 14) como la distribuciôn de caudales, dispersiones y degradaciones se llego al cabo de mâs de 100 corridas de computa-ciôn al resultado que se muestra en la figura N° 15 (calibracion y validaciôn con diverses caudales en el estuario, para bacterias).

Para resolyer el conjunto de ecuaciones de los jmodelos de calidad se empleô el modelo HARO-3 proyeetado para una computadora IBM 370 con 75 K para, ser usada hasta 60 segmentos.

Una mayor subdivision fue necesaria para dilucidar problemas en zonas de aita incidencia de cargas llegândose a 102 segmentos, exten -diendo el programa y corriéndolo en una Burroughs 6700. Finalmente se acoplô el modelo segmentado del delta con 95 segmentos haciendo un to­tal de 197 segmentos.

Los ensayos de sensibilidad con los modelos de calidad de aguas sirvieron para establecer que, en el Guaiba, pequeiîas variaciones en el caudal y en las dispersiones producen en las zonas de mârgenes va­riaciones significativas en la concentracion de coliformes fécales pe--ro ëstos son de menor entidad en los segmentos de mayor flujo.

Modelas de Poluciôn. 227

El modelo economico fue elaborado con base a los modelos de cali-dad de aguas a travës del desarrollo de la influencia de las cargas u-nitarias que componen las ecuaciones de restriccion.

Para mostrar la forma de estas ecuaciones de restriccion, vease la figura N°16 en la cual se muestra una configuraciôn de plantas de

?ss PO

SI en

228 .W. A. Castagnino

Modelos de P

oluciôn. 22

9

23

0 W

. A. C

asta

gn

ino

o

Uj

Uj

&

I 5 I ft.

ce

o|

O

UJ

<* -

OQ

o

I o

8 y s

Q

-9

Q

O

S

"f03

J 3kiyO

JI100 -dMN

Modetos de P

oluciôn. 231

232 W. A. Castagnino

bombeo (PB J, estaciones de tratamiento de aguas residuales (ETAR) y lî_ neas de bombeo. En los nudos indicados se reciben los caudales de las diferentes cuencas de alcantarillado, sefialados por Qi. Como se ve en la figura, en esa configuraciôn hay 9 ETAR de las cuales se asumen las 2 y 4 como <fle tratamiento secundario y las restantes de tratamiento primario.

Si se adopta que el lîquido crudo tiene 108 NMP/100 ml como con-centracion de coliformes, entonces en NMP/m3 résulta 10"12 NMP/m3.

ftsumiendo eficiehcias en coliformes de 90% para el primario y 99% para el secundario. se tendrîa que los afluentes de las plantas 2 y 4 ten-drîan 1010 NMP/m3 y los restantes 1011 NMP/m3.

Si las incognitas del modelo econômico son los caudales de descar_ ga de cada planta de tratamiento (q) y llamamos Xj j_ a la influencia del vertimiento i en el lugar a protéger j veamos cômo serra la influeri cia de la descarga de los puntos de vertimiento en j = 2 (planta de tratamiento de agua potable de Menino Deus).

Para i = 1 (ETAR n° 1) tendrîa:

en unidades M,A\\ ya, que las unidades

f X.rfl = ^ / ^ -

M - ~yV fao"3 = HM>ry Mt

y del mismo tipo para i = 2, 3, ,.. siempre para j = 2. En consecuen-

cia sumando las influencias de cada descarga en la toma de la planta de

Menino Deus tendrîa: ^ X r *. *V "V <, ^P^X^ *• A ^ *&&/»?

para j = 2 porque ese yalor de (j) identifica la toma de esa planta.

El yalor de À » es la concentraci6n en NMP/m3 en el punto i (se-gûn el tratamiento o la condiciôn de bprde que se aplique en los for-madores).

En consecuencia para cada punto (j) a protéger tengo una ecuacion del tipo lineal en las descargas (qi) o sea (j) ecuaciones del tipo:

"S X j ^ i Xv 4 AV>

Modelos de Poluciôn. 233

donde Mj puede tomar los valores 4 x lO? (si es toma de agua) o 10? si

es playa; expresados en NMP/m3.

Hay ademâs, los siguientes tipos de restricciones:

a) De continuidad en los nudos (la sumatoria de caudales con su sig-no es cero).

b) De capacidad de estaciones de tratamiento (debe igualar o excéder el caudal mâximo a tratar en el ano de construcciôn siguiente).

c) De capacidad de lîneas de bombeo (misma condiciôn)

d) De capacidad de plantas de bombeo (misma condiciôn).

Todas ellas son funciones lineales de los qi que correspondan.

La funciôn objetivo es, en este caso, de mînimo costo. Los cos-tos que intervienen son los de capital y operacion de las ETAR, de las PB, de las lîneas de bombeo y de emisarios subacuâticos; todos los cua_ les pueden ser llevados a ser representados, aproximadamente, por fun ciones lineales en sus (qi). Entonces se tiene en realidad, que las iunciones de costo son del tipo:

a. q. + b.

Y si Yi es una variable binaria de decision que indica si la lînea o planta debe ser construxda o no, supongamos que toma el valor 1 si se construye y cero si no se construye. Cada costo se expresa ahora asî:

ai Si + bi Yi

El modelo darâ los valores de las variables continuas qi y de las va­riables binarias Yj. Estas variables binarias toman el valor 1 si qi 0 y son cero si qi = 0.

Como la funciôn objetivo debe ser minimizada, se puede poner mo restricciones adicionales;

Yi > ki qi

donde ki son valores arbitrariamente pequeïïos. Notese que aûn si qi toma un valor muy pequefio, Yj_ = 1 mientras que si qi = 0 entonces y .= 0

ya que la funciôn objetivo de costos debe ser minima. Entonces el pro-blema es uno, de programaciôn lineal entera, en que algunas variables de decision estân restringidas a valores cero o uno.

234 W. A. Castagnino

La estrategia de soluciôn serïa entonces:

1. Se empieza por eliminar las restricciones en los Yj_f Xo cual con-vierte el problema en uno de programaciôn lineal. Pero no se el_i minarân las restricciones:

0 < Yi < 1 qi ;> 0

Se obtiene asî una soluciôn que da valores fraccionarios a las Yi, lo que hace la soluciôn no factible (normalmente).

2. Si todas las variables binarias no son enteras, se selecciona una y se le da sucesivamente valor 1 y valor cero. Se resuelven los dos nuevos problemas de programaciôn lineal y se elige el menor valor de la funciôn objetivo.

3. Se sigue adelante de esta manera, en cada etapa el numéro total de restricciones se incrementa en una unidad.

Al final, todas las variables binarias serân cero o uno. El pro-grama a aplicar es uno llamado MPSX - MIP de la IBM.

Se ha visto en lo que precede cômo se procediô, racionalmente, a hallar cuâles estaciones de tratamiento de aguas residuales hay que construi (y con cuales eficiencias y caudales), cuales lîneas y plan­tas de bombeo y los eventuales emisarios en el caso del Guaiba.

A pesar de los costos relativamente altos del estudio, ëstos han sido una pequena fracciôn de los ahorros (decenas de millones de dôla-res) efectuados sobre los costos de una soluciôn convencional basada en pareceres têcnicos sin el beneficio de los modelos. Cabe resàltar, finalmente, que los modelos de calidad de aguas desarrollados en el ca­so del Guaiba (especialmente el de bacterias coliformes) fueron absolu tamente esenciales para hallar la soluciôn optima de mînimo costo. Sin ellos, no pueden desarrollarse las restricciones de calidad de aguas que expresan la voluntad de protéger balnearios y tomas de las plantas de tratamiento de agua potable existentes. Entonces, con esas y las otras restricciones mencionadas se compléta el conjunto de limitaciones de la funciôn objetivo de mînimos costos finales.

BIBLIOGRAFIA

1. ïhomann,. Robert V. - "System Analysis & Water Quality Management" Environmental Science Services Division - New York - 1971.

2. Castagnino, Walter A.- "Poluciôn de Agua - Modelos y Control" OPS - Division de Salad Ambiental - Série Tëcnica N° 20 Centro Panamericano de Ingenierîa Sanitaria y Ciencias del Ambien te (CEPIS) - Lima - 1977. ~

3. Maass, A; Hufschmidt, M; Dorfman, R; Thomas, H; Marglin, S. Fair "Design of Water Resource Systems" Harvard University Press - Cam bridge, Mass - 1962. —