SOMMAIREmariegaudin.free.fr/esme/3B/tp/TP2/TP02 COMMUNICATIONS... · Web view2m-PSK : 2 4m-QAM : 2 2m-PAM : 3 2. Validité des résultats 6 II. Etude pratique de diverses modulations

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SOMMAIRE

I. Etude théorique 21. Constellations et performances des modulations étudiées 2

2m-PSK : 2 4m-QAM : 2 2m-PAM : 3

2. Validité des résultats 6II. Etude pratique de diverses modulations 9

1. Modulation de fréquence ou FSK (frequency Shift Keying) 9a. Question théorique 9b. Question pratique 9

modulation de type 1 (2-FSK) : 10 modulation de type 2 (4-FSK) : 11

2. Modulation de phase PSK 12a. Question théorique 12b. Questions pratiques 12

2-PSK ou BPSK : 13 4-PSK ou QPSK: 13 8-PSK : 14

3. Modulation combinée d’amplitude et de phase ou QAM 14Questions pratiques 14

4-QAM: 15 16-QAM: 15 64-QAM: 16

III. Etude des performances de diverses modulations (simulations) 171. Etude des constellations 172. Etude des performances 19

IV. Réalisation d’une liaison numérique modulée en phase 21Annexe 22

De Oliveira JoséDe Oliveira JoséDe Villardi de Montlaur SébastienDe Villardi de Montlaur Sébastien PagePage 1/22Emiliyanov GrigoriyEmiliyanov Grigoriy


I. Etude théorique

1. Constellations et performances des modulations étudiées

a) La constellation d’une modulation est la représentation des différents signaux de cette

modulation dans un espace vectoriel engendré par une base de ces signaux.Dans cet espace, chaque signal est représenté par un vecteur, et le carré de la norme de ce vecteur représente l’énergie du signal.

b)

2 m -PSK :

2-PSK :

8-PSK :

On peut généraliser les formules pour les 2m-PSK :Distance minimale entre symbole :

4 m -QAM :

4-QAM :


Es2

Es : Energie par symbole

4-PSK :

16-PSK :

2 2Es

Es216-QAM :

Nombre de voisins moyens à distance minimale


Pour les 2m-QAMla distance minimale entre symbole est de :

2 m -PAM :

Pour les 2m-PAMla distance minimale entre symbole est de :

Pour l’ensemble des modulations à 2m états l’énergie par bit sur fréquence porteuse est:

Probabilité d’erreur binaire sur fréquence porteuse en fonction du rapport signal à bruit :

K : Nombre moyen de voisins à distance minimaleσ = écart type du bruit

avec

Pour le calcul de : , se rapporter au tableau suivant.

La rapidité de modulation (R) s’exprime bauds (symbole par seconde) et représente le débit des signaux :

R= avec T la période su signal.

Il existe un lien entre le débit de modulation et le débit binaire (D) :

où m représente le nombre de bits par signal. La bande minimale occupée est :


Es2






Conclusion :

Comme nous pouvons le remarquer sur le tableau ci-dessus, plus le nombre d’états de modulations est élevé et plus la bande occupée est réduite, cela signifie que l’on peut transmettre plus de bits par symbole. Néanmoins la distance minimale entre symbole diminue lorsque le nombre d’états de modulations augmente, cela signifie que la probabilité d’erreur lors du décodage est plus importante. Pour compenser la diminution de la distance minimale entre symbole, il est possible d’augmenter l’énergie par bit.

Cependant l’augmentation de l’énergie n’est possible que sur des systèmes non embarqués où celle-ci ne pose pas de problème.

Sur des systèmes embarqués il est recommandé d’utiliser des modulations 2-PSK, 4-PSK ou 4-PAM.

Sur des systèmes non embarqués, il est recommandé si on désire faire passer un maximum d’information dans un minimum de bande de fréquence d’utiliser une modulation 16-PSK.

La modulation PSK est une modulation à enveloppe constante. L'intérêt d'avoir un signal modulé à enveloppe constante est que cela permet d'employer les amplificateurs dans leur zone de meilleur rendement qui correspond souvent à un mode de fonctionnement non linéaire.

A titre de comparaison entre les différents types de modulation nous avons tracé le débit maximal admissible par ces modulations pour un taux d’erreur de 10-5.



2. Validité des résultats

a)Pour mesurer le taux d’erreurs binaire, il suffit de se fixer un nombre d’erreur définis puis

d’envoyer un succession de bits jusqu’à atteindre ce nombre d’erreurs.Par exemple si pour 1000 erreur il faut envoyer 1 millions de bits, le taux d’erreur binaire

est de : 10-3

Pour améliorer le taux d’erreur binaire sans modifier le rapport signal à bruit il suffit d’utiliser des codes correcteurs d’erreurs, en effet ceux-ci permettent de réduire le nombre d’erreur de transmission, cependant ils augmentant le nombre de bits à transmettre.


-5 0 5 10 15 20 25 30 35

0.1

10

Asy

mpt

ote

-1.6

dB

M=2

M=4, PAM

Rapport S/B par b it

R/W

(bit/

s)/H

z

QAM

PSKM=3

M=4

M=64

Signaux orthogonaux

M=8

M=32

M=128

Limite de capacité du canalC/W

Figure 1: Comparaison des différentes techniques de modulation pour une probabilité d’erreur Pb=10-5


b)D’après l’annexe nous connaissons la formule suivante :

=eqmr

Où eqm est l’erreur quadratique moyenne et eqmr est l’erreur quadratique moyenne relative.

e est l’estimateur de la probabilité d’erreur.

e=

avec n le nombre de bits erronés lors de la transmission et N le nombre de bits total transmis.

var(e)=E[(e-E(e))2] = var( )

de plus la loi statistique que l’on utilise est une loi binomiale on a : E(n)=N.p

Var(n)=N.p(1-p)

où p est la probabilité d’erreur

Calcul de l’espérance de l’estimateur :

Calcul de la variance de l’estimateur:

On en conclu :



Application :

Si r vaut 10 %, alors N.p=100.Il faut cent erreurs pour considérer le résultat statistiquement fiable à 10 %.

c)Si p=10-5, sachant que p.N=100 on obtient N=107.Pour obtenir un taux d’erreur de 10-5 au cours d’une simulation ou d’une mesure réelle il faut envoyer une séquence de bits de longueur N=107.Ainsi pour un débit de 1Mbits/s la mesure prendra 10 secondes et pour un débit de 1Kbits/s la mesure prendra 10000 secondes= 2h47min.

On remarque donc que plus le débit est faible plus la longueur des séquences de bits à utiliser au cours d’une simulation doit être petite.Il est donc nécessaire d’adapter la longueur de la séquence au débit de transmission, ou alors disposer d’un temps important pour effectuer le test.



II. Etude pratique de diverses modulations

1. Modulation de fréquence ou FSK (frequency Shift Keying)

a. Question théorique

En FSK on représente les « 0 » et les « 1 » par deux fréquences différentes. Ce système est utilisé entre autres en téléphonie portable (DECT-Digital Enhanced Cordless Telephone).

Lors d’une modulation de fréquence d’un signal m(t), le signal transmis est le suivant : s(t)=Acos(f0+f.m(t)).

Où f0 est la fréquence porteuse à l’état bas et f1 la porteuse à l’état haut.Avec f= |f1-f0|

L’indice de modulation est définit par :=f.Tb, où Tb est la période d’un bit.

b. Question pratique

Pour la partie pratique les paramètres obtenus sont :

f0=10.05 MHzf1=9.95 MHz

Spectres de la modulation de fréquence pour trois valeurs différentes de l’indice de modulation:


μ >> μc μ = μc μ << μc

Figure 2: Spectres d’une modulation FSK pour trois valeurs significatives de l’indice de modulation


μ étant l’indice de modulation : μ=

avec fb le débit binaire et μc l’indice de modulation critique : μc=

Pour μ>> μc on distingue clairement les deux fréquences porteuses.Pour μ=μc on ne distingue plus les deux fréquences porteuses, le débit binaire est trop important pour pouvoir transmettre le signal pendant un temps suffisant pour que la composante spectrale associé au symbole apparaisse.Pour μ<< μc la bande s’est élargie et on ne distingue plus les fréquences porteuses.

Pour que la transmission s’effectue correctement il faut que le débit binaire ne soit pas trop important.

La bande augmente lorsque le débit binaire augmente.

modulation de type 1 (2-FSK) :

On observe la constellation suivante :

Cette constellation ne permet pas de donner des renseignements sur le nombre d’états.En effet on se serait attendu à voir:

Cependant en faisant un stop sur l’oscilloscope on peut visualiser la constellation que l’on aurait du obtenir en théorie.


Figure 3: Constellation et spectre d’une modulation 2-FSK


La différence entre les deux constellations est du au fait que l’oscillateur et le générateur Marconi ne sont pas synchronisés, il y a donc rotation de l’arc de cercle.f0=9.95 MHzf1=10.05 MHz

Rapidité de modulation :

modulation de type 2 (4-FSK) :

On constate sur la constellation de la modulation qu’il s’agit d’une modulation à enveloppe constante. A partir du spectre de cette modulation on peut alors affirmer q’il s’agit d’une modulation 4-FSK en raison des 4 porteuses que l’on peut voir ci-dessus.f0=9.95 MHz f2= MHz


Figure 4: Constellation de la 2-FSK après avoir fait une capture d’écran de l’oscilloscope

Figure 5: Constellation et spectre d’une modulation 4-FSK

R=62 kBauds


f1=10.05 MHz f3= MHz

Rapidité de modulation :

2. Modulation de phase PSK

a. Question théorique

La modulation de phase différentielle est le codage de la différence de phase entre deux symboles consécutifs.

L’avantage de la PSK différentielle par rapport à la PSK simple est le fait de s’affranchir de la dépendance de phase entre le démodulateur et le modulateur. En effet si un déphasage intervient lors du trajet, il y aura une rotation de la constellation, ce qui peut entraîner des problèmes de décodage des symboles.

La rotation de la constellation comme dans les schémas ci-dessus peut entraîner une erreur de décodage.

b. Questions pratiques

Spectre d’une modulation 2m-PSK

Avec f0=10MHz et f1=10.01MHz

Toues les modulations 2m-PSK ont le même spectre.De Oliveira JoséDe Oliveira JoséDe Villardi de Montlaur SébastienDe Villardi de Montlaur Sébastien PagePage 12/22Emiliyanov GrigoriyEmiliyanov Grigoriy

R=31 kBauds

Figure 6: Spectre d’une modulation BPSK


B=

R=20kbauds pour toutes les modulations 2m-PSK

2-PSK ou BPSK :

B=10kHz Et R=Db=B/2

R : Rapidité de modulation et Db : Débit binaire

Db=RSoit

4-PSK ou QPSK:

Db=2.R


Figure 7: Constellation d’une modulation BPSK

Figure 8: Constellation d’une modulation QPSK

Db=20 kbits/s

Db=40 kbits/s

R=20 kBauds


8-PSK :

Db=3.R

3. Modulation combinée d’amplitude et de phase ou QAM

Questions pratiques

Spectre d’une modulation 4m-QAM :

f0=10MHz et f1=10.01MHzDe Oliveira JoséDe Oliveira JoséDe Villardi de Montlaur SébastienDe Villardi de Montlaur Sébastien PagePage 14/22Emiliyanov GrigoriyEmiliyanov Grigoriy

Figure 9: Constellation d’une modulation 8-PSK

Db=60 kbits/s

Figure 10: Spectre d’une modulation QAM


Toues les modulations 4m-QAM ont le même spectre.

B=

R=20kbauds pour toutes les modulations 4m-QAM

4-QAM:

Db=2R

16-QAM:

Db=4R


Figure 11: Spectre d’une modulation 4-QAM

R=20 kBauds

Db=40 kbits/s

Db=80 kbits/s

Figure 12: Constellation d’une modulation 16-QAM


64-QAM:

Db=6.R

Nous pouvons remarquer qu’une modulation 4m-QAM est la combinaison de deux modulation : 2m-PSK et 2m-PAM.


Figure 13: Constellation d’une modulation 64-QAM

Db=120 kbits/s


III. Etude des performances de diverses modulations (simulations)

1. Etude des constellations

a) Voir le programme Matlab en Annexe

Voici la constellation d’une BPSK avec du bruit.

b)

En utilisant le programme de simulation nous obtenons les constellations suivantes :Voici les constellations d’une 16-PSK pour des rapport signal à bruit différents :

On remarque que plus le rapport signal à bruit est faible et plus la distance entre symbole diminue, ce qui peut conduire à des erreurs de décodage, donc à une diminution des performances des modulations. Si le canal de transmission est fortement bruité cela conduit


Eb/N0=15dB Eb/N0=8dB Eb/N0=0.5dBFigure 15: Constellations d’une 16-PSK pour différentes valeurs de rapport Signal/Bruit

Figure 14: Constellation d’une BPSK bruitée réalisée sous Matlab


donc à augmenter la puissance du signal à transmettre pour obtenir une transmission avec une faible probabilité d’erreur binaire.c)

Les constellations ci-dessus ont été tracées pour un rapport signal à bruit de 6dB et avec un nombre de 3000 points pour obtenir plus de visibilité.

On remarque que les cercles ne se coupent pas dans une modulation 4-QAM, par contre dans la modulation 4-PAM ceux-ci se coupent ce qui signifie que la probabilité d’erreur binaire est plus importante dans une modulation 4-PAM que dans une modulation 4-QAM.Si le rapport signal sur bruit est de 6 dB, il est préférable de choisir une modulation 4-QAM.

De plus on remarque que la distance entre le centre de la constellation et les extrémités de celles-ci est beaucoup plus importante pour une modulation 4-PAM que pour une modulation 4-QAM, il faut donc émettre plus d’énergie pour éffectuer une modulation 4-PAM par rapport à une modulation 4-QAM.

d)

Comme nous pouvons le voir sur la constellation ci dessus, on remarque que les cercles sont plus éloignés avec cette modulation (4-PSK) qu’avec une 4-QAM ou même une 4-PSK, ce qui signifie que cette modulation est plus résistante au bruit. Elle peut donc être utilisée lorsque le canal de transmission est bruité ou alors lorsque la puissance émise est faible.Pour une modulation quaternaire, il est plus avantageux d’utiliser une modulation 4-PSK.De Oliveira JoséDe Oliveira JoséDe Villardi de Montlaur SébastienDe Villardi de Montlaur Sébastien PagePage 18/22Emiliyanov GrigoriyEmiliyanov Grigoriy

4-PAM 4-QAMFigure 16: Constellations d’une modulation 4-PAM et 4-QAM

pour un rapport Eb/N0 de 6 DB

Figure 17: Constellation d’une QPSK


2. Etude des performances

a)

b) Les modulations les plus performantes sont les modulations 4-PSK et les modulations BPSK, en effet celles-ci possèdent un meilleur rapport signal sur bruit

Le débit d’une modulation 4-PSK est deux fois plus grand que celui d’une modulation BPSK. Il est donc préférable d’utiliser cette modulation.

c)Soit un débit binaire de 2Mbits/s sur une modulation 4-PSK, avec une probabilité d’erreur de 10-4. Nous devons multiplier le débit par deux et garder la même probabilité d’erreur ainsi que conserver une modulation PSK.

Db=2Mbits/s ce qui nous donne une rapidité de modulation pour une modulation 4-PSK de :

R= =1Mbits/s d’où R=2.B avec B= Bande

B=1MHz


Figure 18: Taux d’erreur binaire en fonction du rapport Eb/N0 pour différents types de modulations


On veut multiplier le débit par deux donc DB=4Mbits/s sans changer la bande

2.B=R= avec 2m le nombre d’états de la modulation.

Ici m=4, le nombre d’états de la modulation est donc 16.

Puisqu’on désire conserver un modulation PSK, la modulation à utilisée est une modulation : 16-PSK.

Le rapport signal à bruit nécessaire au départ est de 8.5 dB.

Lorsque l’on multiplie le débit par deux avec une modulation 16-PSK pour une probabilité d’erreur de 10-4 il faut augmenter la puissance à l’émission de 9 dB.



IV. Réalisation d’une liaison numérique modulée en phase

Cette partie n’a pas pu être réalisée car la maquette de modulation/démodulation était manquante.



Annexe

Code source du programme Matlab permettant de réaliser une BPSK bruitée :

clearN = 2000;BRUIT = 0.3;

%définition des vecteursx = zeros(N,1);b = zeros(N,1);

%modulationfor i = 1:N,

tmp = rand;if tmp > 0.5

x(i) = 1;else

x(i) = 0;end

end

%On normalise entre -1 et 1x = 2 * x - 1;

%ajout du bruitfor i = 1:N,

x(i) = x(i) + BRUIT * randn;b(i) = BRUIT * randn;

end

%Représentation de la BPSK bruitéplot(x,b,'b.')AXIS([-2 2 -2 2])xlabel('Partie Reelle')ylabel('Partie Imaginaire')title('Constellation d''une modulation BPSK bruitée')grid on


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