Colegio Universitario Boston Función Exponencial · Colegio Universitario Boston Función Exponencial 191 Función Exponencial Al iniciar el estudio de este tema es de suma

Colegio Universitario Boston Función Exponencial

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Función Exponencial


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Función Exponencial

Al iniciar el estudio de este tema es de suma importancia que conozcamos algunas

de las propiedades de las potencias, puesto que algunas de estas propiedades son

utilizadas para resolver algunos tipos de ejercicios.

Propiedades de las potencias

Potencia Cero

Todo número diferente de cero elevado a la cero nos da como resultado 1.

Ejemplos

, con

Potencia Uno

Todo número elevado a la uno nos da como resultado el mismo número.

Ejemplos


192

Potencia de Uno

Uno elevado a cualquier número nos da como resultado 1.

Ejemplos

Potencia de una Potencia

Mantengo la base y multiplico los exponentes.

Ejemplos

Potencia de un Producto

En potencia de un producto elevamos cada uno de los factores al exponente.

Ejemplos


193

Potencia de un Cociente En potencia de un cociente elevamos al dividendo y al divisor al exponente.

Ejemplos

Multiplicación de Potencias de Igual Base

Mantengo la base y sumo los exponentes.

Ejemplos

División de Potencias de Igual Base

Mantengo la base y resto los exponentes.


194

Ejemplos

Potencia Negativa de una Fracción

Invertimos la base y ponemos el exponente positivo.

Ejemplos

Potencia Fraccionaria

Transformo la potencia en un radical de forma que el denominador pase a ser el

índice y el numerador pase a ser el exponente.


195

Ejemplos

Notas

Base positiva elevada a cualquier tipo de exponente nos dará siempre un

resultado positivo.

Base negativa elevada a un exponente par nos dará como resultado un

número positivo, pero si el exponente es impar el resultado será un número

negativo.

Función Exponencial.

Una función exponencial es una función de la forma , donde

representa a la base de la función, y cumple el papel de exponente.

Para que una función se considere exponencial se debe cumplir que el valor de la

base sea un número positivo y diferente de uno. Es decir y .

Para la función exponencial se tiene que:

Dominio:

El dominio de una función exponencial es el conjunto de los números reales.

Ámbito o Rango:

El ámbito de una función exponencial es el conjunto de los números reales positivos.


196

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

f x = 2x

Intersecciones con los ejes.

La intersección con el eje de las no está determinada por lo tanto:

Para el eje de las la intersección viene dada por la siguiente expresión:

Esto si y solo si la función dada es de la forma clásica , pues si la

función no es de esta forma, si que presenta la siguiente , entonces la

intersección con el eje de las tendrá la siguiente forma:

Monotonía

La monotonía de una función exponencial, estará determinada por el valor de la base

de la misma, por lo que tenemos que:

Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente creciente.


197

3

2

1

-1

-2

-4 -2 2 4

f x = 1

2

x

Si , se tiene que la función exponencial es estrictamente decreciente.

Cabe agregar que en una función exponencial de la forma si el valor de

, entonces la monotonía de la función exponencial cambiará.

Es decir que si la base nos indica que la función es creciente y el valor de , es

negativo entonces la gráfica de la función será decreciente y si la base nos indica

que la función es decreciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la

función será creciente.

Biyectividad

La función exponencial es una función de tipo biyectiva es decir sobreyectiva e

inyectiva, al mismo tiempo. Lo que nos indica que la función exponencial posee

inversa.


198

Ejemplos

Determine si las siguientes funciones son o no exponenciales y si lo son indique si

son crecientes o decrecientes y además calcule la intersección con el eje de las .

1.

Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente de

uno.

La función es estrictamente creciente, pues .

Su intersección con el eje de las es: .

2.

No es exponencial, pues la base es y es un número negativo.

3.

Si es exponencial, pues la base es , que es un número positivo y diferente

de uno.


Su intersección con el eje de las es:

4.

No es exponencial, pues la base es .

5.


de uno.



6.

Si es exponencial, pues la base es y es un número positivo y diferente de

uno.



199


7.

Si es exponencial, pues la base es , que un número positivo y diferente de

uno.



8.


de uno.

La función es estrictamente decreciente, pues , pero tenemos a

que multiplica a la función por lo que su monotonía cambia.


9.

No es exponencial, pues la base es y es un número negativo.

Práctica 1. De las siguientes funciones, ¿cuáles son exponenciales?

A. xxf )2()(

B. 2)( xxf

C. xxf 2)(

D. 2)( xxf

2. Si xx xhxxgxf )3()(,)(,3)( 3, entonces son funciones exponenciales

A. Todas

B. Solo

C. Solo

D.


200

3. Si la grafica corresponde a la función exponencial xaxf )( entonces con

certeza a pertenece al intervalo

A. 1,0

B. 0,1

C. 0,

D. ,1

4. Si la gráfica dada corresponde a la función xaxf )( entonces son características

de

A.

B. +

C.

D.

5. Según los datos de la gráfica ¿cuál es su criterio correspondiente?

A. xxf 3)(

B. xxf 3)(

C.

x

xf3

1)(

D.

x

xf3

1)(

x

y

x

y

(0,1)

x

y

1

3

1

f


201

6. La gráfica de la función dada por

x

xf5

4)( interseca al eje y en

A. 1,0

B. 0,1

C. 0,5

4

D. 5

4,0

7. De las siguientes gráficas ¿cuál representar la gráfica de

x

xf2

3)( ?

I. II. III. IV.

A. I

B. II

C. III

D. IV

8. Un par ordenado que pertenece al gráfico de la función dada por

x

xf5

1)(

A. 1,5

1

B. 5,1

C. 5

1,1

D. 5,1

x

y

(0,1)

x

y

(0,1)

x

y

(0,1)

x

y

(0,1)


202

9. La función xaxf )( , es una función creciente si se puede afirmar que

A. 0a

B. 1a

C. 10 a

D. 01 a

10. Una función exponencial decreciente corresponde a

A. xy )2,1(

B. xy )1,2(

C.

x

y2

1

D.

x

y2

1

11. Para la función dada por x

xf 5)( analice las siguientes proposiciones:

I. f es decreciente.

II. La gráfica de f interseca al eje y en 5,0

¿Cuáles de ellas son VERDADERAS?

A. Ninguna

B. Ambas

C. Solo II

D. Solo I

12. Para la función dada por xaxf )( si y entonces se cumple que

A.

B. C. 0< <1

D. 10 xa


203

13. Considere las siguientes funciones con dominio R

I.

II.

III.

¿Cuáles de ellas son decrecientes?

A. Solo la II

B. Solo I y II

C. Solo I y III

D. Solo II y III

14. Para la función dada por xxf 5)( , considere las siguientes proposiciones

I. f es estrictamente creciente.

II. La intersección con el eje y es (0,1).

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A. Solo I

B. Solo II

C. Ambas

D. Ninguna

15. El ámbito de la función

x

xf2

1)( con dominio es

A. ,0

B ,10

C. 1,

D.


204

16. Para la función dada por xxf 3)( la preimagen de 3

1 es

A.

B.

C.

D.

17. En una función exponencial f de base a si para todo , entonces se

cumple que es un elemento de

A. ,0

B. 0,

C. 1,0

D. 1,0

18. Para la función dada por xaxf )( si y entonces se cumple que

A.

B.

C. 0< <1

D. 10 xa

19. Dada la función f definida por xaxf )( con se cumple que

A. la gráfica de f interseca al eje y en (0,1)

B. tiene por dominio máximo ,0

C. es una función creciente

D. tiene por ámbito


205

20. Para la función

x

xf2

1)( y se cumple que

A. y son crecientes.

B. y son decrecientes.

C. es decreciente y es creciente.

D. es creciente y es decreciente.

21. Si , entonces el ámbito de f es

A. 9,0

B. 9,0

C. ,0

D. 0,

22. En la función exponencial f con xaxf )( , si )()(21

xfxf para 21xx

entonces se cumple que

A.

B.

C.

D.

23. El ámbito de la función dada por

x

xf2

3)( con dominio ,0 es

A. 1,0

B. 2

3,0

C. ,1

D. ,2

3


206

24. Para la función dada

x

xf2

1)( por si con certeza se cumple que

A. 1,0)(xf

B. 2

1,0)(xf

C. ,1)(xf

D. 0,)(xf

25. De los siguientes criterios de funciones

x

xx xhxgxf3

2)(,)3()(,2)(

¿Cuáles corresponden a funciones exponenciales?

A. Solo la y .

B. Solo la y .

C. Solo la y .

D. Todas.

26. La gráfica de la función f dada por xxf 23)( interseca el eje y en

A. (1,0)

B. (0,1)

C. (3,0)

D. (0,3)

27. El ámbito de 323)( xxf es

A. 3,

B. ,3

C. ,0

D.


207

28. La función inversa de 32)( 1xxf es igual a

A. 1)3(log2

x

B. 3)1(log2

x

C. 1)3(log2

x

D. 3)1(log2

x

29. El ámbito de 1)2()( xxf es

A.

B. ,0

C ,1

D. 1,

30. El dominio máximo de 32)( 3xxf es

A. 3,

B. ,3

C. ,0

D.

31. La función inversa de 12)( 3xxf es )(1 xf

A. 1)3(log2

x

B. 3)1(log2

x

C. 1)3(log2

x

D. 3)1(log2

x


208

32. El ámbito de 35)( xxf es

A. 3,

B. ,3

C. 3,

D. ,3

33. Si 72)( xxf entonces el ámbito es

A.

B. ,7

C. ,0

D. ,7

34. Sea 13)( xxf , considere las siguientes afirmaciones

I. es estrictamente creciente.

II. es estrictamente decreciente.

III. corta al eje y en el punto

De las anteriores proposiciones son verdaderas

A. solo la I.

B. solo la II.

C. solo la II y III.

D. solo la I y III.

35. Si x; ; , entonces la gráfica de interseca al eje y en el

punto:

A.

B.

C.

D.


209

36. Si 2)1,0()( xxf , considere las siguientes proposiciones

I. f es estrictamente creciente.

II. f es estrictamente decreciente.

III. f corta al eje y en el punto 100

1,0

De las proposiciones anteriores son verdaderas

A. solo I.

B. solo II.

C. solo II y III.

D. solo I y III.

37. Para la función f dada por

x

xf2

4)( considere las siguientes proposiciones

I. 32

1)2(f

II. 12

1f

De ellas son verdaderas

A. ambas.

B. ninguna.

C. solo la I.

D. solo la II.

38. Para la función xxff 2)(,1,3: el ámbito es

A.

B.

C.

D.


210

39. Para la función f dada por , con , considere las siguientes

proposiciones

I. 0)( af

II. )(1

afa

f

De ellas son verdaderas

A. ambas.

B. ninguna.

C. solo la I.

D. solo la II.

40. Dadas las siguientes graficas.

¿Cuál de ellas representa la función ?

A. I

B. II

C. III

D. IV

41. Para la función dada por , con , analice las siguientes

proposiciones:

I.

II.

De ellas son verdaderas.

A. Ambas

B. Ninguna

C. Solo I

D. Solo II


211

42. En una función exponencial de base si para todo entonces

se cumple que a es un elemento de:

A.

B.

C.

D.

43. Si f es una función tal que Bf 5,3: y su criterio es 12)( xxf , entonces

el ámbito de esa función corresponde a

A. 16 , 16

B. 16 , 16

1

C. 16 , 16

D. 16 , 16

1

44. Si el ámbito de la función 123)( xxf es 27 , 9 , entonces el dominio

corresponde a

A. 1 , 2

1

B. 2 , 2

1

C. 2 , 1

D. 2 , 2

3


212

45. El conjunto al que pertenece k para que la función 1

35)(x

kxf sea

creciente corresponde a

A.

B. 5

2,

C. ,5

3

D.

46. Sea la función xaxf )( , con 0a y 1a ; si se cumple que )5()2( ff

entonces un posible valor para “a” corresponde a

A. 5

B. 2

5

C. 110

D. 1

2

1

47. Si

y es estrictamente decreciente, entonces con certeza para <0

se cumple que:

A.

B. —

C.

D. 1


213

48. Para la función f dada por , con , considere las siguientes

proposiciones.

I.

II.

De ellas, ¿cuáles con certeza son verdaderas?

A. Ambas

B. Solo la I

C. Ninguna

D. Sola la II

Ecuaciones Exponenciales.

Inicialmente en el curso estudiamos la forma de resolver las ecuaciones cuadráticas,

ahora estudiaremos como resolver ecuaciones de tipo exponencial, este tipo de

ecuación es de suma importancia, ya que su estudio ha permitido al ser humano

resolver y explicar diferentes fenómenos que ocurren en la naturaleza.

Dentro de este apartado encontramos dos tipos de ecuaciones:

1.

2.

Ejemplos.

Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales.

1.

El primer paso que realizaremos es igualar las bases de las potencias

planteadas.


214

Podemos utilizar el siguiente resultado

Entonces:

Por lo tanto la solución de es:

2.

Para este caso en particular no se pueden igualar las bases por lo que lo más

conveniente apoyarnos en la siguiente propiedad, . Por lo

cual aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad.

Debemos apoyarnos en otra propiedad de los logaritmos, que nos indica:


215

Para finalizar aplicamos la siguiente propiedad , entonces:

Por lo tanto la solución de es:

Las propiedades antes mencionadas se estudiaran con mayor detenimiento en

el siguiente tema.

Práctica 49. La solución de

12 2793 xx es

A.

B.

C.

D.

50. El conjunto solución de 162 1x corresponde a

A.

B.

C.

D.

51. La solución de 05125 2 X es

A.

B.

C. 3

D. 2


216

52. El conjunto solución de la ecuación 72 43x corresponde a

A. 3

47log 2

B. 0

C.

D. 3

3log 2

53. La solución de 32

122 x

es

A.

B.

C.

D.


42

1x

x es

A.

B.

C.

D.

55. La solución de

2

5

1

5

25xx

es

A.

B.

C.

D.


217


4

12 xx

es

A.

B.

C.

D.


1 1x

x

es

A.

B.

C.

D.

58. El valor de “x” al resolver la ecuación x

x

2

12

933

1 corresponde a

A. 3

B. 1

C. 1

D. 3

59. El valor de “x” al resolver la ecuación 23 3

2x

corresponde a

A. 0

B. 1

C. 2log 3

D. 22log3 3


218

60. La solución de la ecuación 12

1

93

1 x

x

corresponde a

A.

B.

C.

D. 0

61. La solución de

x

x

5

15 57 corresponde a

A.

B.

C.

D.

62. La solución a la ecuación

xx 231

27

8

2

3 corresponde a

A.

B.

C.

D. 10

63. El conjunto de solución de 36333 xx es

A.

B.

C.

D.


219

64. La solución de

xx 262

4

9

3

2es

A. B.

C.

D.

65. La solución de x

x

5

3

8

642 es

A.

B.

C. 3

1

D. 15

2


42

1x

x es

A. 3

1

B.

C.

D.


9

27 x

x es

A.2

1

B.

C. 3

4

D.


220

68. La solución de la ecuación 32464x

x es

A. 0

B. 6

5

C. 19

6

D. 17

6

69. La solución de

23

3

5

25

9xx

es

A. 3

4

B. 3

5

C. 3

5

D. 3

4

70. La solución de

x

x

2

1

2

18 es

A.

B. 5

1

C. 5

3

D.


221

71. El conjunto solución de 4

12

9

4

81

16x

es

A. 8

1

B. 16

5

C. 16

9

D. 4

7

72. El valor de x para que se cumpla que 3

5

81

1

9

13

x

x es

A. 5

6

B. 3

5

C. 3

D. 1

73. El conjunto solución de 1

3

8

42

x

x es

A. 8

3

B. 8

15

C. 8

1

D. 8

3


222

74. La solución de la ecuación 121 32 xx es

A. 9log

3log

B. 6ln

2

9ln

C. 6ln

D.

2

9ln

6ln

75. El conjunto solución de 08222 36 xx es

A. 3

2

B. 3

1,

3

2

C. 3

)2(2log,

3

4log

D.

76. El conjunto solución de 132 xx es

A. 12ln

3ln

B. 2ln

1

C. 3ln2ln

3ln

D.


223

77. La solución de la ecuación 4)10()10(2 1xx es un número

A. 3logx

B. 1x

C. 3logx

D. 2

12logx


18

2

1 2

2

x

x

es

A.

B.

C. 7

2

D. 7

6

79. La solución de 32x es

A. 2

3log

B. 3log

3

C. 2log

3log

D. 3log

2log


224

80. La solución de 62 3x es

A. 3log22

B. 3log42

C. 2log

3log4

D. 2log

6log3


12

27

813

x

x es

A. 1

B. 5

9

C. -9

D. 5

3

82. El conjunto solución de 822 42 xx corresponde a

A. S

B. 3

10S

C. 6S

D. 2S


225

Soluciones.

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 C 26 D 51 A 76 C

2 C 27 B 52 A 77 C

3 A 28 A 53 B 78 D

4 A 29 C 54 C 79 C

5 C 30 D 55 A 80 D

6 A 31 B 56 B 81 D

7 A 32 D 57 C 82 C

8 B 33 D 58 B 83

9 B 34 B 59 D 84

10 C 35 D 60 A 85

11 A 36 D 61 C 86

12 A 37 A 62 B 87

13 C 38 C 63 B 88

14 C 39 B 64 A 89

15 A 40 A 65 C 90

16 D 41 A 66 C 91

17 C 42 C 67 C 92

18 A 43 B 68 D 93

19 A 44 A 69 D 94

20 C 45 B 70 C 95

21 A 46 C 71 C 96

22 C 47 A 72 A 97

23 C 48 A 73 D 98

24 A 49 C 74 D 99

25 B 50 A 75 A 100

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