Catatan Kuliah Program Linear

8/17/2019 Catatan Kuliah Program Linear

1/88

METODE VEKTOR

Suatu masalah program linear dapat dinyatakan dalam suatu sistem persamaan linear,

maka masalah yang sama tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk vektor. Maka penye-

lesaian masalah program linear tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan operasi-

operasi vektor tertentu.

Pendekatan penyelesaian masalah program linear tersebut dikenal sebagai “Metode

Vektor”.

Cara penyelesaian dengan metode vektor ditampilkan dalam penyelesaian masalah

berikut ini. Diberikan data-data sebagai berikut

Departemen

Model

!apasitas Per Periode "aktu A B C

Memotong

Melipat

Mengepak

#$,%

&,'

$,%

&

#$

#

(

'

(

(%$&

((#$

''&

!euntungan)unit * #$ * #& * ($

Misalkan diproduksi se+umlah x untuk model A, se+umlah y untuk model B, danse+umlah z untuk model C . Model matematik untuk masalah program linear dengan data-data

tersebut adalah sebagai berikutMaksimumkan

z y x f ($#$ ++=

Syarat

#$,% x & y ( z (%$&

&,' x #$ y ' z ((#$

$,% x # y ( z ''&

x $ y $ z $

Dengan menggunakan variabel “ slack ” #S , (S , /S , maka pertidaksamaan berubah

men+adi persamaan, yaitu

#$,% x & y ( z # #S $ (S $ /S 0 (%$& 1#2

&,' x #$ y ' z $ #S # (S $ /S 0 ((#$ 1(2

$,% x # y ( z $ #S $ (S # /S 0 ''& 1/2

x $ y $ z $ #S

$ (S

$ /S

$

#


2/88

3ungsi obyekti4 men+adi

21$($#$ /(# S S S z y x f +++++= 1'2

5ulis kembali sistem persamaan tersebut di atas dalam bentuk vektor

=

+

+

+

+

+

''&

((#$

(%$&

#

$

$

$

#

$

$

$

#

(

'

(

#

#$

&

%,$

',&

%,#$

/(# S S S z y x

6ika kita nyatakan

=

%,$

',&

%,#$

#V 7

=

#

#$

&

(V 7

=

(

'

(

/V 7

=

$

$

#

'V 7

=

$

#

$

&V 7

=

#

$

$

8V , dan

=

''&

((#$

(%$&

$V .

Maka bentuk vektor tersebut dapat ditulis se9ara ringkas

$/8('/(# V S V S V S V z V yV xV =+++++

1&2

Di sini #V , (V , dan /V disebut “ structural vector ” atau “vektor kerangka”, sedang 'V ,

&V , dan 8V disebut “unit vector ”7 dan $V disebut “vektor konstan” atau “vektor

keperluan”. Persamaan 1&2 adalah suatu pernyataan dari masalah tersebut dalam bentuk

ringkas dan sederhana. $V adalah sebuah vektor yang memiliki tiga komponen 1berdimensi

tiga2 yang harus dinyatakan sebagai kombinasi linear dari #V , (V , /V dan 'V , &V , 8V .

!arena $V sebuah vektor berdimensi tiga, maka diperlukan tidak lebih dari tiga vektor

bebas linear untuk menyatakannya. Sesuai uraian ini, maka masalah dapat diselesaikan

sebagai berikut

#. :yatakan $V sebagai kombinasi linear dari tiga vektor yang dipilih dari #V , (V ,

/V , 'V , &V , dan 8V .

(. ;itung keuntungan yang dihasilkan oleh setiap kombinasi, dan pilih kombinasi yang

menghasilkan keuntungan tertinggi.

Memiliki / vektor dari 8 vektor yang tersedia yang melibatkan ($


3/88

Pilihan kita terhadap 'V , &V , dan 8V sebagai basis vektor berarti kita biarkan skalar x, y,dan z bernilai nol.

Dalam persamaan 1&2 +ika kita biarkan x, y, dan z bernilai nol, kita peroleh

$/8('/(# $$$ V S V S V S V V V V =+++++182

atau

=

+

+

''&

((#$

(%$&

#

$

$

$

#

$

$

$

#

/(# S S S

Persamaan tersebut di atas pada hakikatnya dipenuhi oleh #S 0 (%$&, (S 0 ((#$, dan''&/ =S .

Penyelesaian a>al adalah x 0 $, y 0 $, z 0 $,#

S 0 (%$&,(

S 0 ((#$, dan /S 0 ''&. ?niadalah program a>al. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam 4ungsi obyekti4 yangmenun+ukkan bah>a keuntungan yang diperoleh adalah nol, yaitu

$21$2$1($2$1#&2$1#$ /(# =+++++= S S S f

Persamaan 182 men+adi

$8&'/(# ''&((#$(%$&$$$ V V V V V V V =+++++1%2

Perbaikan Program Awal

Program a>al melibatkan 4ungsi keuntungan yang bernilai nol, maka +elas bah>a programa>al harus diperbaiki.

Perbaikan program a>al mengandung arti bah>a salah satu dari vektor basis 'V , &V ,atau 8V harus digantikan oleh salah satu dari vektor bukan basis #V , (V , atau /V .Penggantian vektor basis bertu+uan meningkatkan 4ungsi keuntungan.

Pilihan terhadap vektor bukan basis #V , (V , atau /V dilakukan dengan mengingat peningkatan nilai 4ungsi keuntungan. Dari 4ungsi obyekti4 mudah dilihat bah>a substitusi satuunit /V misalnya, akan memberik keuntungan * ($.

Dalam perbaikan pertama ini, /V dipilih untuk masuk dalam program sebagai vektor

basis karena ia memberikan keuntungan * ($ per unit yang ternyata lebih besar dari padakeuntungan yang diberikan oleh #V atau (V per unitnva.

/V adalah vektor berdimensi tiga, yang selalu dapat dinyatakan sebagai korabinasi

linear dari / vektor basis 'V , &V , dan 8V , yang ada dalam penyelesalan program a>al.@ntuk menentukan kombinasi ini, ambillah

/8&' V V cV bV a =++ dengan skalar a, b dan c.

=

+

+

(

'

(

#

$

$

$

#

$

$

$

#

cba

/


4/88

Persamaan ini dipenuhi +ika a 0 (, b 0 ' dan c 0 (. Maka diperoleh /8&' ('( V V V V =++

yang dapat diartikan sebagai memasukkan # unit /V kita harus mengeluarkan ( unit 'V , 'unit &V , dan ( unit 8V .

Pemasukkan # unit /V berkaitan dengan peningkatan keuntungan sebesar

# 1($2 A (1$2 A '1$2 A (1$2 0 * ($,-.

Pemasukkan /V ditingkatkan sehingga salah satu dari vektor 'V , &V , atau 8V keluar dari solusi.

Misalkan paling banyak dapat dimasukkan vektor /V sebanyak h unit, maka dapatditulis

/8&' ('( V hV hV hV h =++

atau

$('( /8&' =−++ V hV hV hV h1B2

Persamaan (! dikurangi ("! meng#asilkan

$8&'/(# 2(''&12'((#$12((%$&1$$ V V hV hV hV hV V =−+−+−+++12

Dalam persamaan 12 vektor $V dinyatakan sebagai korabinasi linear dari /V , 'V , &V ,dan 8V . Sebagai telah di+elaskan kita hanya memerlukan tiga vektor dalam solusi. Salah satu

dari vektor basis yang 'V , &V , atau 8V harus susut men+adi nol.

'V akan keluar +ika (%$& - (h 0 $ atau h 0 #/$(,&

&V akan keluar +ika ((#$ - 'h 0 $ atau h 0 &&(,&

8V akan keluar +ika ''& - (h 0 $ atau h 0 (((,&

?ni berarti bah>a +umlah maksimum dari /V yang dapat masuk dalam solusi adalah (((,&.Maka h 0 (((,& merupakan batas bilangan yang menentukan berapa banyak unit /V yangdapat dimasukkan dalam solusi. Substitusi h 0 (((,& dalam persaman 12 menghasilkan

$8&'/(# $#/($((8$&,((($$ V V V V V V V =+++++1#$2

Maka $rogram kedua adala#

x = $ , y =$ , z = (((,&, S # = ((8$7 S ( = #/($7 S / = $.Program ini memberikan keuntungan

* ($ 1(((,&2 0 *''&$,-Sekarang vektor basis adalah /V , 'V , dan &V dan vektor non basis adalah #V , (V , dan

8V .

'


5/88

Perbaikan Program Kedua

pakah program kedua ini sudah optimalE Pertanyaan ter+a>ab setelah kita melihatnilai yang di9apai oleh 4ungsi obyekti4 setelah menggantikan salah satu dari vektor basis /V ,

'V , atau &V dengan bukan basis #V , (V , atau 8V .

Pemasukkan # unit (V memberikan keuntungan * #& yang lebih dari keuntungan yangdiperoleh +ika # unit #V dimasukkan, maka (V dipilih untuk dimasukkan sebagai vektor basis. ;aka (V harus dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor basis /V , 'V ,dan &V yang masih ada dalam solusi, diperoleh

a /V + b 'V + c &V = (V

dengan a, b dan c adalah skalar, atau

=

+

+

#

#$

&

$

#

$

$

$

#

(

'

(

cba

Persamaan vektor tersebut di atas mengandung arti

(a b 0 &'a c 0 #$(a 0 #a 0 F, b 0 ', dan c 0 B

atau

F /V ' 'V B &V 0 (V Denagn perkataan lain, memasukkan # unit (V berarti harus mengeluarkan F unit /V , 'unit 'V , dan B unit &V dari solusi.

Perubahan ini mengakibatkan perubahan dalam 4ungsi keuntungan sebesar

# 1#&2 G F 1#$2 - ' 1$2 - B 1$2 0 #$ dolar

Pemasukkan (V masih tetap merupakan suatu keuntungan sehingga salah satu dari vektor-vektor /V , 'V , atau &V harus digantikan oleh (V . Herapa unit dapat dimasukkan tanpamelanggar persyaratan yang telah ditetapkan.

Misalkan paling banyak dapat diraasukkan k unit (V , maka

#)(k /V 'k 'V Bk &V 0 k (V atau

#)(k /V 'k 'V Bk &V - k (V 0 $1##2

Persaraaan 1##2 dikurangi 1#$2 menberikan

$8&'/(# $2B#/($12'((8$12(

#&,(((1$ V V V k V k V k V k V =+−+−+−++

1#(2

&


6/88

Dalam persamaan 1#(2, $V telah dinyatakan sebagai kombinasi linear dari (V , /V , 'V ,dan &V tetapi hanya memerlukan tiga vektor sebagai vektor basis, sehingga salah satu darivektor /V , 'V , atau &V harus keluar dari solusi.

/V keluar berarti (((,& G F k 0 $ atau k 0 ''&'

V keluar berarti ((8$ - ' k 0 $ atau k 0 &8&

&V keluar berarti #/($ - B k 0 $ atau k 0 #8&

Maka k 0 #8& raerupakan batas bilangan. !ita tidak dapat memasuk lebih darl #8& unit.Substitusi k 0 #8& ke dalam persamaan 1#(2 diperoleh

$8&'/(# $$#8$#'$#8&$ V V V V V V V =+++++

1#/2Program tiga melibatkan

x 0 $, y 0 #8& , z 0 #'$, S # 0 #8$$, S ( 0 $ , S / 0 $

Program memberi keuntungan#$ 1$2 #& 1#8&2 ($ 1#'$2 0 * &(%&,-Vektor basis dalam program tiga adalah (V , /V , dan 'V dengan vekto bukan basis #V ,

&V , dan 8V .

Perbaikan Program Tiga

Sekali lagi kita tanyakan apakah program tiga ini sudah optimal. pakah progran tiga inimasih bisa diperbaiki E

Perbaikan dari program ini hanya bisa dilakukan dengan menggantikan salah satu basisvektor (V , /V , dan 'V dengan salah satu vektor bukan basis #V , &V , dan 8V . pa

pengaruh pemasukkan # unit #V

dalam programE Dapat ditulisa (V + b /V + c 'V = #V atau

=

+

+

%,$

',&

%,#$

$

$

#

(

'

(

#

#$

&

cba

Persamaan vektor tersebut di atas memberikan

a 0 F, b 0 #)#$, dan c 0 BMaka

F (V #)#$ /V B 'V 0 #V

Memasukkan # unit #V berarti mengeluarkan F unit (V , #)#$ unit /V dan B unit 'V dari solusi. =angkah ini memberikan tambahan keuntungan sebesar

#1#$2 G F 1#&2 G #)#$ 1($2 - B1$2 0 F dolar

?ni menandakan bah>a pemasukan # unit #V masih tetap menguntungkan, tetapi berapa unit

#V yang dapat dimasukkan.

Misalkan se+umlah maksimum unit #V dapat dimasukkan, maka dapat ditulis#)( (V #)#$ /V B 'V 0 #V

atau#)( (V + #)#$ /V + B 'V ! #V = $

1#'2

8


7/88

Persamaan 1#/2 dikurangi 1#'2 memberikan

$8&'/(# $$2B#8$$12#$

##'$12

(

##8&1 V V V V V V V =++−+−+−+

1#&2Salah satu dari vektor-vektor (V , /V , atau 'V harus digantikan oleh #V

(V keluar berarti #8& G #)( 0 $ atau 0 //$

/V keluar berarti #'$ G #)#$ 0 $ atau 0 #'$$

'V keluar berarti #8$$ - B 0 $ atau 0 ($$ I

5ernyata 0 ($$ merupakan bilangan pengontrol. Substitusi 0 ($$ ke dalam persaraaan1#&2 menghasilkan

$8&'/(# $$$#($8&($$ V V V V V V V =+++++

Program empat terdiri atas x 0 ($$, y 0 8&, z 0 #($ , S# 0 $ , S( 0 $ , S/ 0 $

Program anpat lni melibatkan keuntungan sebesar

#$ 1($$2 #& 18&2 ($ 1#($2 0 * &/%&,-

?ni merupakan solusi yang optimal karena #V , (V , dan /V ketiga-tiga telah men+adi vektor basis.

5etapi kita dapat +uga mengu+i kebenaran pernyataan tersebut di atas, denganmemperlihatkan pengaruh penggantian salah satu vektor basis #V , (V , /V oleh 'V , &V ,atau 8V terhadap 4ungsi obyekti4.

Pengaru# Pemasukkan 'V

mbil 'V 0 a #V b (V c /V ⇒

+

+

=

(

'

(

#

#$

&

%,$

',&

%,#$

$

$

#

cba

diperoleh a 0B

#, b 0

#8

#− , c 0

B$

#−

Pengaruh terhadap keuntungan adalah

#8

#2($1

B$

#2#&1

#8

#2#$1

B

#$ −=++−+

@ntuk setiap unit 'V yang dimasukkan, keuntungan akan berkurang#8

#dolar.

Pengaru# Pemasukkan &V

mbillah &V 0 a #V b (V c /V ⇒

+

+

=

(

'

(

#

#$

&

%,$

',&

%,#$

$

#

$

cba

memberikan a 0#8

#− , b 0

/(

& , c 0

#8$

C−

Pengaruh terhadap keuntungan adalah

%


8/88

/(

#C2($1

#8$

C2#&1

/(

&2#$1

#8

#$ −=+−++

@ntuk setiap unit &V yang dimasukkan, keuntungan akan berkurang /(#C dolar.

Pengaruh Pemasukkan 8V

mbillah 8V 0 a #V b (V c /V ⇒

+

+

=

(

'

(

#

#$

&

%,$

',&

%,#$

#

$

$

cba

Diperoleh a 0 $, b 0'

#− , c 0

B

&

Pengaruh pemasukkan # unit 8V terhadap keuntungan adalah

'

/&2($1

B

&2#&1

'

#2#$1$$ −=−+++

Pemasukkan # unit 8V akan menurunkan keuntungan se+umlah'

/& dolar.

6elas dapat dipahami bah>a program ' merupakan program optimal.

Jangkuman dari empat program berturut-turut dapat kita S6 sebagai berikut

Program Vektor Hasis Vektor Hukan Hasis !euntungan

# 'V , &V , 8V #V , (V , /V * $

( '

V , &V , /V #V , (V , 8V * ''&$

/ 'V , (V , /V #V , &V , 8V * &(%&

' #

V , (V , /V 'V , &V , 8V * &/%&

Perubahan dalam program ' akan mengakibatkan penurunan keuntungan. Maka

program ' adalah optimal.

%A% IV

METODE &IMP'EK&

. Penda#uluan

Dari berbagai metode penyelesaian program linear, Metode Simpleks merupakanmetode yang paling ampuh dan terkenal. Sebenarnya, metode gra4ik dan metode vektor diperkenalkan lebih a>al terutama untuk memberikan suatu “pengertian” yang mendalam

B


9/88

tentang 9ara penyelesaian suatu masalah program linear dan untuk memberikan pengertianyang lebih mendalam tentang mekanisme dan langkah-langkah yang perlu ditentukan dalan penggunaan Metode Simpleks.

Metode simpleks didasarkan atas pengertian bah>a solusi optimal dari masalah program linear, jika ada, selalu dapat ditemukan di salah satu dari “solusi dasar yang berlaku”. Maka dalam metode simpleks, langkah pertama adalah selalu untuk memperolehsolusi dasar yang berlaku.

Sebagai telah diuraikan dalam metode vektor, menentukan solusi dasar berartimemperoleh sekumpulan vektor basis dan sekumpulan vektor bukan basis. Selan+utnya ini berarti pula bah>a vektor persyaratan V $ dinyatakan sebagai kombinasi linear dari basisvektor. Solusi yang diperoleh selalu diu+i apakah telah men9apai nilai optimal, denganmemasukkan satu vektor bukan basis ke dalam program untuk menggantikan salah satu vektor basis yang sedang ada dalam program. 6ika terlihat adanya suatu perbaikan, penggantian inidilakukan, selalu dengan memasukkan hanya satu vektor bukan basis untuk setiap pengantian.

Pengantian ini menghasilkan suatu basis baru. Se+auh ini kita tidak melihat adanya sesuatuyang berbeda dari Metode Vektor. 5etapi kita akan melihat bah>a keindahan dari MetodeSimpleks terletak dalam kenyataan bah>a proses pergantian vektor basis berlangsungdemikian bah>a basis baru tidak melanggar persyaratan yang telah ditetapkan.

=angkah-langkah dari metode simpleks diulang-ulang sehingga di9apai suatu solusioptimal, +ika ada. 6ika tidak ter9apai adanya suatu solusi optimal, berarti bah>a masalah program linear tidak mempunyai penyelesaian atau tidak ter9apai adanya suatu nilaimaksimum yang terhingga.

Metode Simpleks, sebagai akan kita uraikan berikut ini, adalah 9ukup sederhana danmemiliki mekanisme alamiah. =angkah-langkah dalam metode simpleKks diulang-ulanghingga ter9apai suatu solusi optimal, +ika @ntuk memberikan gambaran yang +elas dan untuk

membandingkan dengan metode-metode lain dalam penyelesaian masalah program linear akan kita selesaikan 9ontoh masalah yang sama dengan masalah yang dibahas dalam metodevektor.

). Penentuan Maksimum

Suatu masalah dalam pabrik memiliki data sebagai berikut ini

5abel '.#

DepartemenModel

!apasitas Per Periode "aktu A B C

MemotongMelipat

Mengepak

#$,%&,'

$,%

&#$

#

('

(

(%$&((#$

''&

!euntungan)unit * #$ * #& * ($

=angkah pertama adalah menentukan model matematik untuk data-data yang terteradalam tabel.

Misalkan bah>a diproduksi se+umlah x unit dari produksi A, se+umlah y unit produksi B dan se+umlah z unit dari produksi C .

3ungsi Lbyekti4 z y x f ($#$$ ++=

Syarat


10/88

#$,% x & y ( z (%$&&,' x #$ y ' z ((#$$,% x # y ( z ''&

x $ y $ z $Dengan penambahan variabel “ slack ” #S , (S , /S pertidaksamaan di atas dapat diubah

men+adi persamaan. Pembuatan produksi imaginer #S , (S , /S melibatkan keuntungan nol

per unitnya. Model matematik dapat ditulis kembali sebagai berikut

Maksimumkan /(#$ $$$($#$ S S S z y x f +++++=

#$,% x & y ( z # #S $ (S $ /S 0 (%$& 1#2

&,' x #$ y ' z $ #S # (S $ /S 0 ((#$ 1(2

$,% x # y ( z $ #S $ (S # /S 0 ''& 1/2

x $ y $ z $ #S $ (S $ /S $

Metode simpleks ini yang pada hakekatnya adalah suatu metode vektor +uga yang

lebih padat dan memiliki susunan lebih rapih dan e4isien.

Metode simpleks melangkah dengan mengadakan perbaikan-perbaikan terhadap solusi

dasar yang memenuhi syarat sehingga di9apai suatu solusi optimal. Setiap program, sebagai

akan kita lihat berikut ini, diberikan dalam bemtuk matriks atau tabel.

!erangka dari tabel simpleks, se9ara umum ditampilkan sebagai berikut

5abel '.(

VariabelHasis

"c #c (c nc $ $ $

ib i #ic

" x # x ( x n x #S (S S

#S $ ##a #(a na# # $ $ #b # #

(S $ (#a ((a na( $ $ $ (b ( #

S $ #a (a na $ $ # b #

" z $

" " z c −

Keterangan*

" x variabel-variabel lengkap "c koe4isien 4ungsi obyekti4 1tu+uan2i"a koe4isien teknis

ib suku tetap atau kolom kuantitas 1tak negati42

ic koe4isien variabel basis

#$


11/88

" z ∑=

i

i"iac#

$ ∑=

iiibc

#

" " z c − selisih "c dengan " z

i # ik a

bi 1hanya untuk $>ik a di mana ik a adalah koe4isien pada kolom

kun9i2

Merancang Program Awal

Sebagaimana telah di+elaskan pada metode vektor, program pertama dalam metodesimpleks ialah program yang hanya melibatkan variabel sla9k seperti tabel berikut

5abel './

VariabelHasis

"c #$ #& ($ $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

#S $ #$,% & ( # $ $ (%$&

(S $ &,' #$ ' $ # $ ((#$

/S $ $,% # ( $ $ # ''&

" z $

" " z c −

#2 Dalam kolom “variabel basis” terda4tar variabel-variabel khusus dalam solusi 1produksi

yang dihasilkan2. Maka dalam program a>al kita produksi #S , (S , dan /S .

(2 Dalam kolom “ ic ” terda4tar koe4isien 1dalam 4ungsi obyekti42 dari variabel-variabel

basis.

/2 Dalam kolom “ ib ” terda4tar besarnya variabel yang masuk dalam solusi. Program a>al

men9akup produksi (%$& unit #S , ((#$ unit (S , dan ''& unit /S .

'2 !ontribusi keuntungan total yang dihasilkan dari program yang dimiliki dapat dihitung

dengan mengalikan angka-angka dalam kolom “ ic ” dan kolom “ ib ” bersangkutan dankemudian men+umlahkan hasil perkaliannya. Dalam program pertama, kontribusikeuntungan total adalah$1(%$&2 $1((#$2 $1''&2 0 $

&2 Hilangan-bilangan dalam bagian utama 1bilangan-bilangan di ba>ah kolom x, y dan z 2dapat di+elaskan memiliki arti 4isik. Misalnya, bilangan #$,% menun+ukkan perbandingan

pertukaran antara x dan #S , berarti memproduksl # unit x harus mengorbankan #$,% unit

#S . Melihat pada kolom di ba>ah y berarti memproduksi # unit y harus mengorbankan &

unit #S , #$ unit (S , dan # unit /S .

Mengu+i Keo$timalan Program ,ang sedang %erlangsung

##


12/88

Program a>al memberikan keuntungan nol, karena melibatkan x 0 $, y 0 $, z 0 $,

(%$ =S , (S 0 ((#$, dan /S 0 ''& dengan keuntungan

$2''&1$2((#$1$2(%$&1$2$1($2$1#&2$1#$$ =+++++= f

Perbaikan terhadap program a>al dilakukan dengan mengikutsertakan z dalam

program. Dipllih z karena # unit z memberikan keuntungan yang lebih tinggi dari keuntungan

yang diberikan oleh # unit x atau # unit y.

Pemasukan # unit z dalam program mengubah 4ungsi keuntungan men+adi

#1($2 - (1$2 - '1$2 - (1$2 0 ($

5abel '.'Program >al

VariabelHasis

"c #$ #& ($ $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

#S $ #$,% & ( # $ $ (%$& #/&(,&

(S $ &,' #$ ' $ # $ ((#$ &&(,&

/S $ $,% # ( $ $ # ''& (((,&

" z $ $ $ $ $ $ $

" " z c − #$ #& ($ $ $ $

6ika dalam baris penilaian masih terdapat bilangan positi4, berarti solusi optimal belum

ter9apai, dan program masih memerlukan perbaikan.

Perbaikan Program ,ang &edang %erlangsung

Mengenali Kolom Kunci

5iga bilangan positi4 1#$, #&, ($2 dalam baris penilaian menun+ukkan besarnyakeuntungan +ika mengikut-sertakan # unit x, # unit y dan # unit z . :ilai terbesar ($ terletak di ba>ah kolora z , maka variabel 1produk2 z adalah variabel yang pertama-tama harus diikut-sertakan. !olom ini disebut kolo kunci.

Mengenali Haris !un9i dan Hilangan !un9i

#(

!olom kun9i Haris kun9iHilangan kun9iHaris Penilaian


13/88

Setelah ditentukan bah>a variabel 1produk2 z akan diikut-sertakan dalam programuntuk menggantikan salah satu dari variabel 1produk2 #S , (S , atau /S . 5imbul pertanyaan, berapa z dapat diikut-sertakan tanpa melanggar persyaratan-persyaratan yang telah ditetapkan.

Dari tabel terlihat bah>a memasukkan # unit z berarti harus mengeluarkan ( unit #S ,' unit (S , dan ( unit /S . Program yang sedang berlangsung memproduksi (%$& unit #S ,((#$ unit (S , dan ''& unit /S . Hagilah bilangan dalam kolom N ib N dengan bilangan yang ti%ak negatif bersangkutan dari kolom kun9i, kemudian bandingkan hasil bagi tersebut. Haris berkaitan dengan bilangan hasil bagi yang terke9il men+adi baris kunci.

Perhitungan untuk menentukan barisan kun9i adalah sebagai berikut

Haris #S (

(%$& 0 #/&(,& unit

Haris (S '

((#$ 0 &&(,& unit

Haris /S (

''& 0 (((,& unit

Haris /S merupakan barisan kun9i.

Setelah kolo kunci dan baris kunci diketemukan maka tibalah saatnya untuk menentukan bilangan kun9i.

Hilangan yang terletak pada persimpangan kolo kunci dan baris kunci disebut bilangankunci 1pivot2.

Dalam 9ontoh kita ini bilangan kun9i adalah (.

Menurunkan Tabel

Penentuan kolo kunci dan baris kunci menun+ukkan bah>a variabel 1produk2 z akanmenggantikan variabel 1produk2 /S dan tidak lebih dari (((,& unit z dapat diproduksi tanpamelanggar kapasitas. 5ugas kita selan+utnya adalah menentukan penurunan #S dan (S

karena (((,& unit z dimasukkan dalam perbaikan program. !apasitas yang tersisa untuk #S

adalah (%$& − 1(((,& O (2 0 ((8$ dan untuk (S adalah ((#$ − 1(((,& O '2 0 #/($ unit.

Program kedua melibatkan x 0 $, y 0 $, z 0 (((,&, #S 0 ((8$, (S 0 #/($, /S 0 $.Program ?? ini memiliki /V , 'V dan &V sebagai basis dan menghasilkan #S , (S dan z ,maka Program ?? akan memiliki tabel baru yang ditrans4ormasikan dari tabel program ?.

5rans4ormasi dari tabel lama ke tabel baru mengikuti aturan-aturan yang telah ditetapkan.

Trans-ormasi %aris Kunci

turan Hagilah semua bilangan dalam baris kun9i dengan bilangan kun9i.Maka, baris ketiga dalam tabel 1baris z 2 diturunkan dari baris ketiga dari tabel ? 1baris (S dengan membagi setiap bilangan dengan (. Harisan baru dari z 1tabel ??2 adalah

(((,& $,/& $,& # $ $ $,&

5rans4ormasi Hukan Haris !un9i

turan

#/


14/88

Hilangan baris baru 0 Hilangan baris lama -

×

an bersangkut

tertenturasio

kun9i barisdalam

berkaitan bilangan

dengan rasio tertentu 0 kun9i bilangankun9ikolomdalamlama baris bilangan

Herdasarkan aturan tersebut, diperoleh 5abel '.& berikut

5abel '.&Program ??

VariabelHasis

"c #$ #& ($ $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

#S $ #$ ' $ # $ -# ((8$ &8&

(S $ ' $ $ # -( #/($ #8&

z ($ $,/& $,& # $ $ $,& (((,& ''&

" z % #$ ($ $ $ #$ ''&$ " " z c − / & $ $ $ -#$

Program ?? melibatkan produksi dari #S 0 ((8$, (S 0 #/($, dan z 0 (((,& unit.

Variabel /S , x dan y tidak ada dalam program. !euntungan total dari program ?? adalah

((8$1$2 #/($1$2 (((,&1($2 0 * ''&$,-Perbaikan Program II

Dalam program ??, baris penilaian masih memiliki dua bilangan positi4, maka program

ini belum optimal dan masih memerlukan perbaikan. Penurunan program ??? dari program ??

menggunakan langkah-langkah seperti yang telah di+elaskan pada trans4ormasi program ? ke

program ??.

Perhitungan di 5abel '.& menun+ukkan bah>a baris (S merupakan baris kun9i dan

variabel 1produk2 y harus masuk dalam program karena memberikan keuntungan tertinggi.

6adi kolom y men+adi kolom kolom kun9i dengan bilangan kun9i B. Sehingga diperoleh 5abel

'.8 seperti berikut

5abel '.8

Program ???

VariabelHasis

"c #$ #& ($ $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

#S $ B $ $ # -$,& -# #8$$ ($$ y #& $,& # $ $ $,#(& -$,(& #8& //$

#'


15/88

z ($ $,# $ # $ -$,$8( $,8(& #'$ #'$$ " z ,& #& ($ $ $,8(& B,%& &(%&

" " z c − $,& $ $ $ -$,8(& -B,%&

Program ??? memproduksi #S 0 #8$$, y 0 #8&, z 0 #'$. !euntungan total yang

dihasilkan program ??? adalah

#8$$1$2 #8&1#&2 #'$1($2 0 * &(%&,-

Perbaikan Program III

Haris penilaian dari program ??? masih memiliki satu bilangan positi4, yaitu di ba>ah

kolom x. ?ni berarti program ??? masih memerlukan perbaikan.

!olom di ba>ah x merupakan kolom kun9i dan dari perhitungan terlihat bah>a baris #S

men+adi baris kun9i dengan bilangan kun9i B.

Program ?V diperoleh dengan melakukan aturan-aturan yang sama seperti perbaikan-

perbaikan sebelumnya.

5abel '.%

Program ?V

VariabelHasis

"c #$ #& ($ $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

x #$ # $ $ $,#(& -$,$8( $ ($$ &8& y #& $ # $ -$,$8( $,#&8 -$,(& 8& #8& z ($ $ $ # -$,$#( -$,$&8 $,8(& #($ ''&

" z #$ #& ($ $,$8( $,&/ B,%& &/%&

" " z c − $ $ $ -$,$8( -$,&/ -B,%&

Program ?V melibatkan produksi x 0 ($$, y 0 8& dan z 0 #($, dengan keuntungan totalsebesar

($$1#$2 8&1#&2 #($1($2 0 * &/%&,-

Program ?V ini optimal karena baris penilaian dalam #&egat ?V tidak memiliki bilangan

positi4 lagi.

Program O$timal

Haris penilaian memiliki bilangan-bilangan yang bernilai nol atau negati4. !enyataan ini

menun+ukkan bah>a program optimal telah diperoleh.

. Penentuan Minimum

!asus men9ari nilai iniu akan di+elaskan dengan sebuah masalah serupa dengan

masalah NdietN yang sangat terkenal. Marilah kita rumuskan sebuah masalah di mana

seseorang memerlukan se+umlah tertentu dari masing-masing vitamin setiap harinya.

#&


16/88

Vitamin A dan B diketemukan dalam dua makanan yang berbeda # & dan ( & . 6umlah

vitamin di setiap makanan, harga per unit dari setip makanan, dan vitamin yang diperlukan

setiap harinya diberikan oleh tabel berikut ini

5abel '.B

VitaminMakanan

!eperluan perhari# & ( &

A

B

(/

'(

'$&$

;arga Makanan)unit / (,&

Data menun+ukkan bah>a # unit # &

mengandung ( unit vitamin A dan / unit vitamin B.Serupa, # unit makanan ( & , mengandung ' unit vitamin A dan ( unit vitamin B. !eperluan

sehari akan vitamin A paling sedikit '$ unit dan vitamin B se+umlah &$ unit.

5u+uan kita ialah menentukan +umlah optimal dari makanan # & dan ( & sehingga

keperluan vitamin seharinya dipenuhi dengan biaya serendah mungkin. Misalkan bah>a

untuk memenuhi tu+uan ini dibeli x makanan # & dan se+umlah y dari makanan ( & . Se9ara

al+abar masalah ini dapat ditulis sebagai berikut

Minimumkan y x f &,(/ +=

Syarat ( x ' y '$/ x ( y &$

x $, y '

Herla>anan dengan masalah yang dihadapi dalam penentuan aksiu, maka dalam

masalah penentuan iniu menangani persyaratan Nlebih besar atau samaN dengan suatu

nilai.

Mengubah pertidaksamaan men+adi persamaan memerlukan NpenguranganN dengan

variabel N slack N. Misalkan se+umlah x dan y dari vitamin A dan B diperlukan seharinya, maka

model matematik dapat ditulis kembali sebagai

Minimunkan (# $$&,(/ S S y x f +++=

Syarat ( x ' y - #S 0 '$

/ x ( y - (S 0 &$

x $, y $, #S $, (S $

Varlabel &lack Tiruan ( Artificial !

6ika variabel kerangka 1struktural2 x dan y dimisalkan nol seperti pada program a>al

metode simpleks, maka diperoleh nilai-nilai negati4 dari S # dan S ( yang tidak menenuhi

persyaratan.

#8


17/88

@ntuk tidak melanggar persyaratan-persyaratan yang telah ditetapkan dalam program-

program metode simpleks, maka di9iptakan variabel Slack (iruan.

Model matematik kita lengkapi dengan variabel sla9k tiruan A#, A( sampai An sehingga +ika x dan y bernilai nol, persamaan-persamaan persyaratan masih memiliki variabel sla9k

yang bernilai positi4. Maka model matematik se9ara lengkap ditulis

Minimunkan (#(# $$&,(/ &A &AS S y x f +++++=

Syarat ( x ' y - #S # A 0 '$

/ x ( y - (S ( A 0 &$

x $, y $, #S $, (S $, # A $, ( A $

;arap diperhatikan bah>a variabel Nsla9kN S memili!i koe4isien biaya sebesar nol, sedangkan

setiap variabel Nsla9k tiruanN A memiliki koe4isien biaya & yang tak terhingga besarnya.

Dengan mengaitkan nilai & yang tak terhingga besarnya pada koe4isien variabel sla9k tiruan

A, kita yakin bah>a variabel ini tidak akan pernah masuk dalam penyelesaian optimal.

Merancang Program Awal

Dalam metode simpleks, program a>al hanya melibatkan S #, S ( sedangkan x dan y

sebagai variabel kerangka bernilai nol. @ntuk suatu masalah berdemensi dua, ini berarti

menyatakan vektor persyaratan $V

dalam vektor basis

$

#

dan

#

$

Dalam 9ontoh yang kita tampilkan, vektor persyaratan $V 0

&$

'$ dapat dinyatakan dalan

vektor-vektor basis

$

# dan

#

$.

@ntuk memudahkan penyusunan program a>a# dari masalah penentuan minimum, maka

dengan penggunaan variabel sla9k A# dan A(, model matematik perlu ditulis kembali

selengkapnya.

Minimunkan (#(# $$&,(/ & &AS S y x f +++++= Syarat ( x ' y G #. #S $.S ( #. # A $. A( 0 '$

/ x ( y $.S # G #. (S $. A# #. ( A 0 &$

x $, y $, #S $, (S $, # A $, ( A $

Program a>al dimulai dengan memilih x, y, S l, S ( bernilai nol. Dari persamaan di atas

mudah di4ahami bah>a ini berkaitan dengan nila A# 0 '$ dan A( 0 &$.

5abel '.

Program >al

#%


18/88

VariabelHasis

"c / (,& $ $ & &

ib i #ic

" x x y #S (S A# A(

A# & ( ' -# $ # $ '$ #$

A( & / ( $ -# $ # &$ (&

" z & & 8 & - & - & & & $ &

" " z c − /-& & (,&-8 &

& & $ $

Program a>al ini melibatkan biaya sebesar $ & yang +elas besar sekali, sehingga program harus diperbaiki.

Sesuai dengan langkah-langkah perbaikan program dalam masalah penentuan maksimum

yang telah nda 4ahami, maka dalam masalah penentuan minimum pun mengikuti langkah-

langkah

1#2 perhitungan dari baris penilaian

1(2 mengenali kolom kun9i

1/2 mengenali baris kun9i dan bilangan kun9i

1'2 trans4ormasi dari baris kun9i dan baris bukan kun9i untuk memperoleh programyang diperbaiki.

da perbedaan yang perlu diperhatikan, bah>a dalam kasus men9ari minimum, nilai Nnegatif

terkecil N dalam baris penilaian menentukan kolom kun9i, dan bukan positi4 terbesar seperti

dalam kasus men9ari nilai maksimum. lasannya adalah +elas. Dalam kasus men9ari nilai

minimum, +ika bilangan dari baris penilaian di ba>ah suatu kolom variabel adalah negati4,

maka +elas bah>a keikut-sertaan variabel ini dalam basis baru akan menurunkan nilai dari

4ungsi ob+ekti4nya.

Perhitungan dari baris penilaian sudah di+elaskan dalam pembahasan metode simpleks ?.Memasukkan satu unit y akan menurunkan biaya total dengan (,& G 8 & yang diperoleh dari

#1(,&2 - ' & G ( & Q

:ilai (,& G 8 & +elas lebih negati4 daripada / - & & , maka y adalah variabel yang harus masuk

dengan mengeluarkan variabel A#.

5abel '.#$

Program ??

Variabel

Hasis

"c / (,& $ $ & & ib i #

ic x y #S (S A# A(

#B


19/88

" x

y (,& $,& # -$,(& $ $,(& $ #$ ($

A( M ( $ $,& -# -$,& # /$ #&

" z #,(&(

& (,&

-$,8(&$,

& & - &

$,8(&-

$,& & &

(&/$ &

" " z c −#,%&-( &

$$,8(&-$,& &

&

-$,8(&#,& &

$

. Program ?? +elas belum optimal karena masih memiliki nilai negati4 dalam baris

penilaian. Perbaikan program akan melibatkan penggantian variabel A( oleh x. Dalamtran4ormasi baris lama ke baris baru dalam program yang telah diperbaiki nda tetap berpedoman pada aturan-aturan yang telah berlaku

1I2 Haris kun9i dibagi dengan bilangan kun9i menghasilkan baris baru.

1II2 Hilangan dibaris lama -

×

an bersangkut

tertenturasio

kun9i barisdalam

berkaitan bilangan

0 bilangan di baris baru

Perbandingan tertentu 1 )ixe% ratio2 0kun9i bilangan

kun9ikolomdilama barisdi bilangan

5abel '.##Program ???

VariabelHasis

"c / (,& $ $ & &

ib i #ic

" x x y #S (S A# A(

y (,& $ #-

$,/%&

$,(&$,/%

&-$,(& (,&

x / # $ $,(& -$,& -$,(& $,& #&

" z / (,&-

$,#B%&

-$,B%

&

$,#B%&

$,B%& ,(&

" " z c − $ $$,#B%&

$,B%&

& -$,#B%&

& -$,B%&

Program / sudah merupakan program optimal, karena baris penilaian tidak memilikinilai yang negati4 lagi.

#


20/88

Program optimal ini berkaitan dengan pembelian #& unit makanan & # dan &)( unitmakanan & ( seharinya, dengan biaya *,(&.

Prosedur Penentuan &truktur Pers,aratan!arakteristik dari masalah program linear dapat di9akup dalam tiga +enis yang berbeda.

Pertama, persyaratan yang dalam bentuk aslinya dinyatakan oleh pertidaksamaan dari +enisNkurang atau sama denganN 1+enis 2. Kedua, persyaratan yang dalam bentuk aslinyadinyatakan oleh pertidaksamaan dari +enis Nlebih besar atau sama denganN, 1+enis 2.

Dua kelompok ini ditangani dengan mengubahnya men+adi persamaan. Ketiga, persyaratan yang dalam bentuk aslinya merupakan 9ampuran dari persamaan dan pertidaksamaan.

Penyusunan kembali model matematik diperlukan untuk siap dan dapat digunakan dalam peran9angan program a>al dari metode simpleks.

!asus ? 6enis 1 2, Nlebih ke9il atau sama denganN

Setiap pertidaksamaan dari +enis Nkurang atau sama denganN diubah men+adi persamaandengan menambahkan Nvariabel slack N yang tidak negati4 dan memiliki koe4isien $ dalam4ungsi ob+ekti4.

/onto#*

Maksimumkan y x f #$ +=Syarat ' x 8 y 8$

/ x ' y B$ x $, y $

Persamaan yang diperlukan untuk tabel simpleks adalah

' x 8 y # #S $ (S 0 8$/ x ' y $ #S # (S 0 B$

dengan 4ungsi ob+ekti4 (# $$#$ S S y x f +++=

!asus ( 6enis 1 2, Nlebih besar atau sama denganN

Setiap pertidaksaraaan dari +enis Nlebih besar atau sama dengan” diubah men+adi persamaan dengan mula-mula mengurangi dengan variabel sla9k yang tidak negati4 dengankoe4isien ongkos nol, kemudian menambah dengan variabel sla9k tiruan yang tidak negati4

dan memiliki koe4isien ongkos & yang bernilai tak terhingga./onto#*

Minimumkan y x f #B$/$$ +=Syarat B x & y B$

' x ( y %$ x $, y $

Persamaan-persamaan yang berkaitan yang dipersiapkan untuk tabel simpleks adalahB x & y − #. #S $. (S #. # A $. ( A 0 B$' x ( y $. #S − #. (S $. # A #. ( A 0 %$

3ungsi ob+ekti4(#(# $$#B$/$$ A & A & S S y x f +++++=

($


21/88

!asus ??? !asus 9ampuran

Masalah yang kita golongkan kasus ??? ialah masalah yang memiliki persamaan di

samping pertidaksamaan. Persamaan ditangani dengan melengkapinya dengan menambahkanvariabel sla9k tiruan yang tidak negati4.

/onto#*

Minimumkan y x f #&% +=Syarat ($'( ≥+ y x

/$B& =+ y x$≥ x , $≥ y

Persamaan-persamaan yang disiapkan untuk tabel simpleks adalah($$##'( (## =++−+ A AS y x/$#$$B& (## =++++ A AS y x

3ungsi ob+ekti4(#(# $$#&% A & A & S S y x f +++++=

(#


22/88

%A% V

PRIMA'0 D1A'0 DA2 DE3E2A/4 (KEMERO&OTA2!

. Penda#uluan

Setiap masalah program linear yang bertu+uan men9ari nilai “aksiu” selalu bertalian dengan suatu masalah program linear dengan tu+uan men9ari nilai “iniu”, yangdisebut “%ual ” dari masalah yang pertama.

Sebaliknya setiap masalah program linear yang berutu+uan men9ari nilai “ iniu”selalu bertalian dengan suatu masalah program linear bertu+uan men9ari nilai “ aksiun”yang disebut “%ual ” nya.

Masalah pertama disebut “ prial ” sedang masalah kedua yang tu+uannya berla>anan,disebut masalah “%ual ” nya.

@ntuk memeperoleh gambaran yang +elas tentang masalah “ prial ” dengan masalah“%ual ” nya, kita de4inisikan masalah-masalah berikut ini sebagai dual masing-masing.

1I2 Masalah Maksimum

Maksimunkan nn xc xc xc f +++= ((##Syarat

##(#(### b xa xa xa nn ≤+++

(((((#(# b xa xa xa nn ≤+++

nn b xa xa xa ≤+++ ((##

$,$,$ (# ≥≥≥ n x x x

1II2 Masalah Minimum

Minimunkan yb yb yb g +++= ((##Syarat

##((#### c ya ya ya n ≥+++

(((((##( c ya ya ya n ≥+++

nn c ya ya xa ≥+++ ((##

$,$,$ (# ≥≥≥ y y y

Masalah 1I2 dan 1II2 saling berperan sebagai primal dan dualnya. kan kita tulis kembali

koe4isien dari sekelompok persamaan 1I2 dan 1II2 dalam bentuk matriks, dengan koe4isiendari 4ungsi obyekti4 sebagai baris paling ba>ah.

1I2 Masalah maksimum

∗nn

n

n

ccc

baaa

baaa

baaa

(#

(#

(((((#

###(##

1II2 Masalah minimm

((


23/88

∗nn

n

n

bbb

caaa

caaa

caaa

(#

(#

((((#(

##(###

Dalam setiap kasus, koe4isien raatriks dari masalah dualnya dapat ditentukan sebagaitranspose dari koe4isien matriks masalah primalnya.

). Primal dan Dual

Herkaitan dengan setiap masalah program linear selalu ada dualnya. rti dari N%ual Nakan men+adi +elas setelah anda merapela+ari vitamin yang telah dibahas dalam MetodeSimpleks. @ntuk kelengkannya. kita tulis kembali data-data masalah tersebut.

5abel &.#

VitaminMakanan

!eperluan perhari# & ( &

A

B(/

'(

'$&$

;arga Makanan)unit / (,&

Marilah kita pertimbangkan makanan # & dan ( & yang di+ual di sebuah toko.Pemilik toko menyadari bah>a makanan # & dan ( & memiliki nila pasaran karenamengandung vitamin A dan B yang diperlukan untuk kesehatan.

Masalah yang ia hadapi ialah menentukan harga +ual, misalkan x dollar per unitvitamin dan y dolar per unit vitamin B. ?a menyadari bah>a harga per unit vitaminnyaharus diatur sedemikian rupa sehingga harga +ual yang ditetapkannya untuk kedua +enismakanan kurang atau sama dengan harga pasaran.

Dengan perkataan lain terhadap x dan y harus ditentukan harga, sehingga biaya yang

dihitung untuk makanan # & dan ( & kurang atau sama dengan / dan (,& dolar per unit,

masing-masing. !alau pemilik toko menetapkan harga lebih tinggi dari / dolar dan (,& dolar,

ia akan kehilangan pelanggan.

Pada saat yang bersamaan ia ingin memaksimumkan penghasilannya, yang diberikan

oleh y x f &$'$ += , karena keperluan akan vitamin seharinya adalah '$ unit dan &$ unit

untuk masing-masing vitamin.

Masalah yang dihadapi oleh pemilik toko dapat dirangkum sebagai berikut

1II2 Maksimunkan y x f &$'$ +=

Syarat //( ≤+ y x

&,((' ≤+ y x

$≥ x , $≥ y .

Sekelompok pertidaksamaan 1II2 ini merupakan N%ual N dari masalah aslinya. @ntuk mengenalinya, masalah aslinya disebut N prial N.

6ika 1II2 kita sebut N prial N maka masalah aslinya disebut N%ual N nya, dan sebaliknya.

(/


24/88

!esimpulan yang perlu diperhatikan ialah bah>a setiap masalah program linear meniliki %ual yang unik .

Masalah 1II2 dengan mudah dapat diselesaikan dengan metode simpleks.

5abel &.(Program ?

VariabelHasis

"c '$ &$ $ $

ib i #ic

" x x y #S (S

#S $ ( / # $ / #

(S $ ' ( $ # (,& #,(&

" z $ $ $ $ $

" " z c − '$ &$ $ $

Selama dalam baris penilaian masih terdapat nilai yang positi4, berarti program belum

optimal, dan program masih harus diperbaiki.

5abel &./

Program ??

VariabelHasis

"c '$ &$ $ $

ib i #ic

" x

x y #S (S

y &$ ()/ # #)/ $ # /)(

(S $ B)/ $ -()/ # #)( /)#8

" z #$$)/ &$ &$)/ $ &$

" " z c − ($)/ $ -&$)/ $

Haris penilaian masih memiliki nilai positi4 di ba>ah kolom variabel x. Variabel x

harus masuk dalam program, mengeluarkan (S .

5abel &.'

Program ???

VariabelHasis

"c '$ &$ $ $

ib i #ic

" x x y #S (S

y &$ $ # #)( -#)' %)B

x '$ # $ -#)' /)B /)#8

" z '$ &$ #& &)( ,(&

" " z c − $ $ -#& -&)(Program ??? ini sudah optimal karena baris penilaian tidak memiliki nilai positi4 lagi.

('


25/88

Pemilik toko harus menetapkan harga *#8

/ untuk vitamin A dan *

B

% untuk vitamin

B per unitnya. :ilai dari 4ungsi obyekti4 adalah

dolar (&,B

%&$

#8

/'$ =

+

= f

yang memang persis sama dengan +a>aban yang diperoleh pada masalah men9ari nilaiminimum dengan membeli makanan # & dan ( & .

Membandingkan Tabel O$timal dari Masala# Primal dan Dualn,a

Marilah kita tin+au sekarang tabel optimal dari masalah primal yang melibatkan pembelian makanan # & dan ( & 1tabel R2, kemudian tabel optimal dari dualnya danamatilah sebaik-baiknya 1tabel RR2.

3ungsi obyekti4 dari dua tabel optimal akan memberikan nilai yang sana. :ilai 4lingsi obyekti4 dari PJ?M=

5abel &.&

VariabelHasis

"c / (,& $ $ & &

ib i #ic

" x x y #S (S A# A(

y (,& $ # -$,/%& $,(& $,/%& -$,(& &)(

x / # $ $,(& -$,& -$,(& $,& #&

" z / (,& -$,#B%&

-$,B%&

$,#B%&

$,B%& ,(&

" " z c − $ $ /)#8 %)BM-

/)#8M-%)B

VariabelHasis

"c '$ &$ $ $

ib i #ic

" x x y #S (S

y &$ $ # #)( -#)' %)B

x '$ # $ -#)' /)B /)#8

" z '$ &$ #& &)( ,(&

" " z c − $ $ -#& -&)(

:ilai 4ungsi obyekti4 dari Primal

(&,*2/1#&2&,(1(

&=+= f

:ilai 4lingsi obyekti4 dari Dual-nya

(&


26/88

(&,*2'$1#8

/2&$1

B

% =+= f

Maka, penyelesaian dari masalah prial dalam program linear selalu dapat

memberikan suatu penyelesaian untuk %ual -nya.&imetri antara primal dan dual 5n,a

Simetri antara masalah prial dan %ual -nya dirangkum berikutMaksimunkan

I( x I' y '$

x x x

I/ x I( y &$

y y y

)˄ )˄Minimumkan I/ x I&,( y

Diba9a horiontal, kita memiliki masalah men9ari nilai minimum, sebagai prial .Memba9a se9ara vertikal, kita memiliki %ual yang merupakan penentuan nilai maksimun.

Marilah kita pertimbang sekarang masalah menentukan nilai maksimum sebagai prial .Masalah ini mmpunyai %ual +uga.

). Kemerosotan (degeneracy!

Dapat diingat kembali metode simpleks didasarkan pada beberapa aturan yangdiproses dari sebuah program a>al yang memenuhi syarat, yang diperbaiki dan diperbaikikembali sehingga ter9apai suatu penyelesaian optimal

Setiap program simpleks yang baru, diperoleh dengan memilih sekumpulan vektor-vektor basis yang baru. Hasis baru dipilih dengan menggantikan paling sedikit satu vektor yang masih dalam program dengan hanya satu vektor bukan basis.

Vektor yang akan masuk dalam program perbaikan berkaitan dengan kolom kun9i danvektor yang digantikan berkaitan dengan baris kun9i.

Pemilihan terhadap kolom kun9i ialah tugas simpleks, karena harus mengenali kolomyang memiliki nilai positif terbesar 1kasus maksimum2 atau nilai negatif terkecil 1kasusminimum2 dalam baris peniliaian dari tabel simpleks. 5etapi dalam memilih baris kun9i

dengan tu+uan mengganti salah satu ventor basis, kita dapat dihadapkan pada dua kesulitan, diantaranya

#. 5abel Nprogram simpleks a>alN dapat sedemikian rupa sehingga satu atau lebihvariabel dalam kolom NkuantitasN bernilai nol. 6ika ini ter+adi, maka nilai hasil pembagian yang menentukan minimum penggantian ialah nol. Maka proses penggantian tidak dapat dilaksanakan karena variabel yang harus diganti sudah bernilai nol.

(. :ilai hasil pembagian yang tidak negati4 yang menentukan baris kun9i mungkinsama untuk dua atau lebih variabel yang sedang dalam basis. 6ika ini ter+adi, makaakan ter+alin ada keterikatan dalam pemilihan terhadap baris kun9i. Penghapusanterhadap salah satu variabel yang terikat akan mengakibatkan variabel terikat lain

akan susut men+adi nol. ?ni berakibat satu atau lebih vektor basis akan memilikinilai nol.

(8


27/88

!edua peristi>a tersebut di atas menimbulkan ge+ala yang dikenal sebagaikeerosotan atau %egeneracy. @saha terhadap penyelesaian masalah program linear yangmengalami kemerosotan dapat mengakibatkan salah satu dari peristi>a berikut ini

#. Setelah berkali-kali iterasi akan diperoleh penyelesaian optimal, atau(. Masalah akan men+alani siklus sehingga menghalangi ter9apainya penyelesaian

optimal.

Dua penyebab kemerosotan ini akan dibahas lebih mendalam dengan terlebih dahulumenampikan 9ontoh kemerosotan

Contoh Masalah

Maksimumkan z y x f (&/$(( ++=Syarat #$$(( ≤+ y x

#$$( ≤++ z y x

#$$(( ≤++ z y x$≥ x , $≥ y , $≥ z

5abel &.8

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #

ic

" x x y z #S (S /S

#S $ ( ( $ # $ $ #$$ &$

(S $ ( # # $ # $ #$$ #$$

/S $ # ( ( $ $ # #$$ &$

" z $ $ $ $ $ $ $

" " z c − (( /$ (& $ $ $

5abel &.8 merupakan program a>al dari 9ontoh masalah tersebut di atas. Haris

penilaian menun+ukkan bah>a kolom di ba>ah y merupakan kolom kun9i. 5ugas kita

selan+utnya ialah menentukan variabel yang masih dalam program yang harus digantikan olehvariabel y yang baru masuk. 5ernyata tidak ada baris kun9i yang unik , karena kedua-duanya

#S dan baris /S memberikan batas limit. !asus ini dikenal dengan adanya *keterikatan”

antara baris #S dan baris /S .

Pemasukan &$ unit y akan memerlukan pemindahan semua unit dari #S dan /S dari

penyelesaian. ?ni berarti bah>a program kita berikunya akan terdiri atas &$ unit y dan &$ unit

(S . Lleh karena itu, akan nampak bah>a tabel berikutnya hanya akan terdiri atas dua baris

sa+a, bukan tiga baris. !eadaan ini +elas berbeda dengan apapun yang telah kita +umpai dan

alami sebelumnya. !ita tidak pernah menghadapi suatu kasus di mana pada satu saat lebih

(%


28/88

dari satu variabel harus dikeluarkan dari suatu basis. Dalam setiap masalah program linear

yang telah kita bahas sebelumnya, semua program dan tabel simpleks, selama semua tahap-

tahap penyelesaiannya, selalu memiliki +umlah baris yang sama. Hagaimana harus kita tangani

+ika ter+adi NketerikatanN sema9am iniE

6elas bah>a metode simpleks mensyaratkan adanya hanya satu variabel basis yang

dapat digantikan, maka kita harus mematahkan keterikatan antara baris #S dan baris /S

dengan menun+uk salah satu sebagai baris kun9i. Mekaniane untuk pelaksanaannya

dibi9arakan sebagai berikut.

Penanggulangan kemerosotan

Dalam 5abel &.8 telah ditampilkan suatu masalah yang mengalami kemerosotan.

Hagaimana kemerosotan itu dapat kita atasiE 6elas, bah>a diperlukan adanya suatu aturan bagaimana keterikatan antara dua variabel #S dan /S dapat dipatahkan. Salah satu aturan

telah disarankan bah>a variabel yang memiliki subskrip terke9il harus dikelurkan terlebih

dahulu. turan lain menyarankan agar variabel dengan subskrip yang pertama kali

diketemukan dalam tabel harus dikeluarkan terlebih dahulu. lternati4 lain tentunya adalah

mengeluarkan salah satu dari variabel yang terikat, sesuka hati kita.

5etapi, variabel terikat manapun yang kita keluarkan, kita akan terlibat dengan

kesulitan lain dalam tabel berikutnya. Tang akan ter+adi ialah bah>a dalam tabel berikutnya,

variabel terikat yang tetap dalam program akan susut men+adi nol. Maka, +ika kolom kun9idalam tabel berikutnya dipilih, kita akan mengamati bah>a kita dapat memasukkan produk

baru, karena nilai perbandingan minimum dan tidak negati4 yang menentukan suatu

penggantian ternyata bernilai nol.

=angkah yang harus kita ikuti ialah mengabaikan kenyataan ini dan melangkah ke

program tiga dengan anggapan bah>a variabel yang berkuantitas nol dalam tabel 1di sini S #

dalam tabel (2 memiliki kuantitas sangat ke9il, yaitu epsilon 1 ε2, yang kemudian dapat

dianggap mendekati nol. Dalam perhitungan yang sebenarnya kuantitas ke9il ε ini tidak perlu

nampak. @ntuk memperoleh gambaran yang +elas tentang apa yang sedang kita bahas, marilah

kita selesaikan soal tersebut di atas.

!ita miliki dua variabel yang saling terikat yaitu S # dan S /, maka penyelesaian masalah

kita tin+au dan bahas dengan dua 9ara, pertama dengan mengeluarkan S / dan kedua dengan

mengeluarkan S #.

Mengeluarkan S

5abel &.% kita tulis sekali lagi untuk menun+ukkan pengeluaran S / dari program yang

digantikan oleh variabel y.

(B


29/88

5abel &.%

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #

ic

" x x y z #S (S /S

#S $ ( ( $ # $ $ #$$ &$

(S $ ( # # $ # $ #$$ #$$

/S $ # ( ( $ $ # #$$ &$

" z $ $ $ $ $ $ $ " " z c − (( /$ (& $ $ $

5abel &.B

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #

ic

" x x y z #S (S /S

#S $ # $ -( # $ -# $ $

(S $ /)( $ $ $ # -#)( &$ #$$)/

y /$ #)( # # $ $ #)( &$ #$$

" z #& /$ /$ $ $ #& #&$$

" " z c − % $ -& $ $ $

Dalam 5abel &.B, nilai terbesar positi4 dalam baris penilalan terletak di ba>ah kolom

variabel x, maka variabel x akan masuk dalam program berikutnya. ngka penentuan baris

kun9i menun+ukkan bah>a baris #S akan merupakan baris kun9i. !ita amati bah>a kuantitas

penukaran atau penggantian terbatas sampai nol, berarti hampir tidak ada unit x yang dapat

dimasukkan. 5idak mengapa, kita lan+utkan ke 5abel &. dan kemudian 5abel &.#$.

5abel &.

(


30/88

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z

#

S (

S /S

x (( # $ -( # $ -# $ --

(S $ $ $ / -/)( # # &$ &$)/

y /$ $ # ( -#)( $ # &$ (&

" z (( /$ #8 % $ B #&$$

" " z c − $ $ -% $ -B

:ilai dari 4ungsi obyekti4 dalam 5abel &. ini adalah

((1$2 $1&$2 /$1&$2 0 #&$$.

Hasis dalam 5abel &. berlainan dengan basis dalam 5abel &.B, tetapi nilai 4ungsi obyekti4 di

5abel &.B +uga #&$$.

Dalam menangani masalah yang mengalami kemerosotan kita harus meli>ati beberapa iterasi,

dengan basis yang berubah-ubah, sedangkan nilai 4ungsi obyekti4 tetap sama.

Syukurlah bah>a tabel berikutnya menun+ukkan bah>a dalam baris penilaian tidak

terdapat lagi suatu nilai yang positi4. ?ni berati bah>a 5abel &.#$ sudah optimal.

5abel &.#$

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

x (( # $ $ $ ()/ -#)/ #$$)/

z (& $ $ # -#)( #)/ #)/ &$)/

y /$ $ # $ #)( -()/ #)/ &$)/ " z (( /$ (& &)( / ## #8&$

" " z c − $ $ $ -&)/ -/ -##

Mengeluarkan S

Herikut kita bahas penyelesaian masalah dengan mengeluarkan variabel S #. @ntuk

keperluan pembahasan yang lebih +elas, akan kita kutip sekali lagi 5abel &.%

5abel &.%I

/$


31/88

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S

(

S /

S

#S $ ( ( $ # $ $ #$$ &$

(S $ ( # # $ # $ #$$ #$$

/S $ # ( ( $ $ # #$$ &$

" z $ $ $ $ $ $ $

" " z c − (( /$ (& $ $ $

5abel &.##

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

y /$ # # $ #)( $ $ &$ --

(S $ # $ # -#)( # $ &$ &$

/S $ -# $ ( -# $ # $ $

" z /$ /$ $ #& $ $ #&$$

" " z c − -B $ (& -#& $ $

5abel &.#(

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

y /$ # # $ #)( $ $ &$ &$

(S $ /)( $ $ $ # -#)( &$ #$$)/

z (& -#)( $ # -#)( $ #)( $ --

" z (&)( /$ (& &)( $ (&)( #&$$

" " z c − )( $ $ -&)( $ -(&)(

5abel &.#/

/#


32/88

VariabelHasis

"c (( /$ (& $ $ $

ib i #ic

" x x y z #S (S /S

y /$ $ # $ #)( -()/ #)/ &$)/

x (( # $ $ $ ()/ -#)/ #$$)/

z (& $ $ # -#)( #)/ #)/ &$)/

" z (( /$ (& &)( $ (&)( #8&$

" " z c − $ $ $ -&)( -/ -##

Pada 5abel &.%I ada dua variabel yang saling terikat, yaitu S # dan S /. Se9ara sebarang

kita tentukan S # sebagai variabel yang harus keluar.

Program berikutnya ditampilkan oleh 5abel &.## variabel z akan masuk dalam program

dengan mengeluarkan S /.

Program yang telah diperbaiki memiliki 5abel &.#(. Variabel x harus masuk dalam

program untuk memperbaiki 5abel &.#( dengan mengeluarkan S (.

Setelah iterasi diperoleh program perbaikan dengan 5abel &.#/ yang memiliki x, y dan

z sebagai basis. Program ini optimal karena baris penilaian sudah tidak mamiliki nilai positi4.

!edua 9ara penyelesaian baik dengan mengeluarkan S # lebih dahulu maupun dengan

mengeluarkan S / lebih dahulu memberikan hasil yang sama.

;arap di9atat bah>a dalam masalah ini penyelesaian dari masalah yang mengalami

kemerosotan merupakan hal yang sederhana.

5idak tergantung pada variabel terikat mana yang kita pilih untuk dikeluarkan, kita

peroleh penyelesaian yang sama dengan +umlah iterasi yang sama pula.

Dua 9atatan harus diadakan pada saat ini.

Pertama, perailihan salah satu variabel terikat se9ara sebarang dapat menyebabkan langkah

dan proses yang lebih pan+ang untuk men9apai solusi optimal. Dengan perkataan lain,

pemilihan se9ara sebarang terhadap salah satu variabel yang terikat dapat mengakibatkan

+umlah iterasi yang lebih banyak untuk sampai pada solusi optimal.

Kedua, suatu situasi yang lebih ga>at dapat ter+adi, +ika pemilihan variabel terikat se9ara

sebarang mengakibatkan suatu proses N siklus” sebagai telah disebut terlebih dahulu.

Dalam siklus, kita mulai dari suatu basis tertentu, dan setelah beberapa iterasi ternyata

kita kembali pada basis yang sama, sehingga suatu penyelesaian optimal mungkin tidak

pernah ter9apai.

"alaupun N siklusN merupakan suatu ke+adian se9ara teoritis, ternyata +arang di+umpai

dalam penerapannya.

/(


33/88

"alaupun demikian, metode umum dari penyelesaian masalah dengan kemerosotan

telah ditemukan, yang +ika diikuti, akan men+amin bah>a langkah penyelesaiannya tidak akan

terperangkap oleh N siklusN. Cara tersebut telah dikembangkan oleh /#arnes dan /oo$er.

6ika susunan nilai dalam tabel dari program a>al mengikuti pola yang ditampilkan

dalam pembahasan ini, yaitu dengan matriks satuan di sebelah paling kanan dan Nbadan

utamaN di sebelah kiri dari matriks satuan, maka prosedur yang harus diikuti untuk

penyelesaian masalah dengan kemerosotan adalah sebagai berikut

#. 5entukkan variabel-varlabel NterikatN atau barisnya.

(. @ntuk setiap kolom dalam identiti 1dimulai dari kolorn paling kiri dalam identiti dengan

memproses satu demi satu ke kanan2, hitunglah suatu perbandingan dengan membagi

angka di setiap baris terikat dengan bilangan kolam-kun9i yang ada di dalam baris

tersebut./. Handingkan hasil-bagi ini, kolom demi kolom, diproses ke kanan. @ntuk pertana kali

perbandingan tidak sama, ikatan sudah putus.

'. Di antara barisan-barisan yang terikat, yang satu di mana perbandingan al+abarnya lebih

ke9il ditun+uk sebagai baris kun9i.

&. 6ika perbandingan dalam identiti tidak mematahkan ikatan, bentuklah perbandingan-

perbandingan untuk kolom-kolom dari Nbadan utamaN, dan pilihkan baris kun9i sebagai

di+elaskan dalam langkah / dan '.

Dengan mudah dapat ditun+ukkan bah>a penerapan dari prosedur di atas untuk penyelesaian kemerosotan akan berarti bah>a variabel S / telah dikeluarkan pertama-tama +ika

ikatan terbentuk dalam 9ontoh ini. !ita akan men+elaskan prosedur tersebut dengan

mnerapkannya pada 5abel &.%I.

'angka#

Perbandingan tidak negati4 dan terke9il yang menentukan pengeluaran sebuah basis

terdapat di baris S # dan S / maka kita memiliki NikatanN antar kedua baris ini.

'angka# ).

@ntuk baris S #(#

(# =

@ntuk baris S / $(

$=

'angka# dan 6

!arena perbandingan al+abar terke9il di langkah ( tampil untuk baris S /, maka baris S / adalah

baris kun9inya.

Sekali baris kun9i telah dikenali dengan penerapan aturan-aturan di atas, ikatan telah

diputuskan. !emudian kita dapat menerapkan metode simpleks dalam bentuk aslinya denganmengikuti aturan-aturan trans4ormasi yang telah dibi9arakan.

//


34/88

;arap di9atat bah>a ikatan dalam 5abel &.%I telah dipatahkan dalam langkah ' dari

prosedur untuk penyelesaian kernerosotan. 5etapi, ikatan antara barisan-barisan mungkin

nampak di sebarang tahap penyelesaian, dan agaknya mungkin perlu untuk menerapkan

semua & langkah-langkah sebelum kanerosotan dapat diatasi.

/'


35/88

%A% VI

MA&A'A7 TRA2&PORTA&I

. Pengantar

Masalah transportasi merupakan kasus khusus dari masalah program-linear dengan

tu+uan untuk Nengangkut N barang tunggal dari berbagai asal 1origin2 ke berbagai tu+uan

1%estination2, dengan biaya angkut serendah mungkin. Hanyaknya barang yang tersedia di

berbagai asal dan +umlah barang yang diminta oleh berbagai tempat tu+uan tersirat dalan

masalah yang harus ditangani.

Diberikan +uga biaya pengangkutan dari satu unit barang yang diangkut dari suatu asal

tertentu sampai ke tempat tu+uan tertentu. ;arap diingat bah>a semua hubungan adalah linear.

Dilengkapi dengan in4ormasi tentang +umlah kapasitas dari tiap-tiap asal, permintaan

total dari masing-masing tempat tu+uan, dan biaya pengiriman per unit barang untuk lintasan

yang dimungkinkan, maka model transportasi digunakan untuk menentukan program

pengiriman optimal yang menghasilkan biaya pengiriman total yang minimum.

!arena masalah transportasi adalah kasus khusus dari masalah program linear, maka

akan selalu dapat diselesaikan dengan metode simpleks. 5etapi NalgoritaN, yang akan

dikembangkan dalam bagian ini, menya+ikan suatu 9ara yang lebih e4isien untuk menangani

masalah tersebut.

). Analisis Masala# Trans$ortasi

5elah di+elaskan bah>a masalah transportasi adalah suatu kasus khusus dari masalah

perogram linear, maka berarti masalah transportasi akan memiliki 9iri-9iri khas yang dimiliki

pula oleh masalah program linear, yaitu

#2 3ungsi obyekti4 yang linear.

nn xc xc xc xc x f ++++= //((##21

(2 Struktur persyaratan =inear Setiap masalah program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear. ?ni adalah

==

≤∑∑= = n "

ib xa i

n

"

i

"i",,(,#

,,(,#

# #

dengan i"a merupakan koe4isien struktural yang men9erminkan spesi4ikasi teknik dari

masalah yang dibahas, dan ia tampil sebagai koe4isien dari variabel struktural dalam

persyaratan-persyaratan struktural. Sedangkan ib adalah sekumpulan konstanta yang

menggambarkan kapasitas maksimin atau minimum dari 4asilitas-4asilitas yang ada

/&


36/88

maupun sumber-sumber yang tersedia. Hentuk persyaratan struktural yang linear

dituliskan se9ara lengkap sebagai berikut

##(#(### b xa xa xa nn ≤+++

(((((#(# b xa xa xa nn ≤+++

nn b xa xa xa ≤+++ ((##

/2 Persyaratan 5idak :egati4

Variabel struktural, variabel slack , variabel slack buatan dari masalah program linear

terbatas pada nilai-nilai tidak negati4, ditulis7

$≥ " x , " 0 #, (, /, , n.

$≥iS , i 0 #, (, /, , .

$≥i A

!hususnya, masalah program linear dapat susut men+adi masalah NtransportasiN +ika

1#2 koe4isien dari variabel struktural, yaitu terbatas pada nilai-nilai $ atau #.

1(2 terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalan persyaratan.

@ntuk memberikan gambaran yang +elas tentang model transportasi akan kita tampilkan

sebuah 9ontoh masalah.

/onto#*

Sebuah perusahaan memiliki tiga pabrik di tiga kota yang berlainan, dan ketiga-tiganya

menghasilkan barang yang sama. ;asil produksi dari / pabrik ini diserap oleh empat

toko pen+ualan. 5iga pabrik kita tandai dengan #+ , (+ , dan / dan toko sebagai

pelanggan ditandai dengan # , , ( , , / , , dan ' , .

Data relevan tentang kapasitas pabrik maupun permintaan pelanggan dan biaya

pengiriman untuk tiap-tiap rute, ter9antun pada tabel berikut.

Sebagai ter9antun pada tabel maka rnatriks dari masalah transpotasi memiliki / baris

dan ' kolom sehingga tidak merupakan matriks bu+ sangkar. ?ni memberikan kesan bah>a

dalam masalah transportasi, suatu asal tertentu dapat se9ara simultan mengirimkan barang

kepada lebih dari satu tempat tu+uan.

/8


37/88

5abel 8.#

LJ?U?:

D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:PJ PJLD "!5@# , ( , / , ' ,

#+

##c #(c #/c #'c#b

## x #( x #/ x #' x

(+

(#c

((c (/c ('c

(b

(# x (( x (/ x (' x

/ /#

c/(c //c /'c

/b/# x /( x // x /' x

PJM?:5:5@6@: PJ

PJLD"!5@

#% (% /% '% ∑ "%

∑ ib

i"c 0 biaya pengangkutan satu unit barang dari asal i ke tu+uan ".

i" x 0 banyak unit barang yang diangkut dari asal i ke tu+uan ".

Misalkan ∑ ib 0 ∑ "%

;arap diperhatikan bah>a subskrip pertama di setiap simbol menun+ukkan asal tertentu

dan subskrip kedua menun+ukkan tu+uan tertentu. Misalnya #(c adalah biaya pengangkutan #

unit barang dari #+ ke ( , , dan variabel (' x ialah banyaknya unit barang yang diangkutdari (+ ke ' , .

!apasitas tempat asal 1origin2 dan permintaan tempat tu+uan diberikan di tepi tabel dan

laimnya disebut Nri re-uireent N atau Npersyaratan sampingN

Masalah yang kita hadapi ialah memiliki siasat pengiriman 1pengangkutan2 yang akan

memenuhi persyaratan samping dengan biaya total yang minimun.

Analisis Masala#

Masalah transportasi, seperti halnya masalah program linear, terdiri atas, tiga kamponen

Pertama, kita dapat merumuskan suatu 4ungsi obyekti4 yang linear, yang harus

ditentukan nilai minimumnya. 3ungsi ini akan me>akili biaya total pengiriman dari semua

barang yang harus dikirim dari tempat-tempat asal ke tempat-tempat tu+uan.

Kedua, kita dapat menulis sekumpulan persyaratan struktural yang linear. Masalah ini

memiliki tu+uh persyaratan, tiga di antaranya 1satu untuk setiap baris2 memberikan hubungan

antara kapasitas-kapasitas tempat asal dan barang-barang yang harus diterima oleh berbagai

tempat tu+uan. ?ni disebut Npersyaratan kapasitasN. mpat persyaratan lainnya 1satu untuk

/%


38/88

setiap kolom2 menun+ukkan hubungan antara permintaan berbagai tempat tu+uan dan barang-

barang yang akan dikirim oleh berbagai tempat asal. ?ni disebut Npersyaratan permintaanN.

Ketiga, kita dapat menentukan persyaratan tidak negati4 untuk variabel-variabelstruktural i" x . Pernyataan ini menandakan bah>a pengiriman negati4 tidak dapat dibenarkan.

!etiga komponen dari masalah transportasi ditampilkan sebagai berikut.

Minimunkan

++++++++= ('('(/(/(((((#(##'#'#/#/#(#(####21 xc xc xc xc xc xc xc xc x f

/'/'/////(/(/#/# xc xc xc xc +++

Syarat

# x #( x #/ x #' x 0 #b

( x (( x (/ x (' x 0 (b

/# x /( x // x /' x 0 /b

# x ( x /# x 0 #%

#( x (( x /( x 0 (%

#/ x (/ x // x 0 /%

#' x (' x /' x 0 '%

dan $≥i" x 7 i 0 #, (, / dan " 0 #, (, /, '.

Se9ara mudah dan sederhana, masalah ini dapat diselesaikan dengan NModel

5ransportasiN. Sebelun kita uraikan metode transporasi, marilah kita bahas beberapa

karakteristik tertentu dari masalah transportasi beserta penyelesaiannya.

Melihat kenyataan akan harus dipenuhinya pernyataan-pernyataan bah>a +umlah

kapasitas tempat asal harus sama dengan +umlah permintaan, ditulis

∑∑==

='

#

/

# "

"

i

i % b

maka setiap penyelesaian yang menenuhi enam dari tu+uh persyaratan dengan sendirinya akan

memenuhi persyaratan terakhir.

!arena itu, +ika adalah +umlah baris dan n adalah +umlah kolom dalam suatu masalah

transportasi, kita dapat menyatakan masalah se9ara lengkap dengan n - # persamaan. ?ni

berarti bah>a suatu penyelesaian dasar yang memenuhi persyaratan dari suatu masalah

transportasi hanya memiliki n - # komponen-komponen positi4.

. Metode Pen,elesaian Masala# Trans$ortasi

6ika persyaratan +umlah kapasitas tempat asal dan +umlah permintaan tempat tu+uan

dipenuhi, maka akan selalu mungkin untuk menyusun suatu solusi dasar yang a>al dan

mamenuhi persyaratan sedemikian rupa hingga semua persyaratan tepi 1J?M2 dipenuhi. ?ni

dapat dilakukan dengan metode-metode yang telah disiapkan untuk keperluan tersebut, yaitu

1#2 aturan :"C 1 orth /est Corner 2

/B


39/88

1(2 metode pendekatan VLU=

1/2 metode ?:SP!S?

1'2 metode Steppingstone

1&2 metode MLD?

Pendekatan Metode Trans$ortasi

Metode transportasi terdiri atas tiga langkah dasar.

'angka# $ertama, melibatkan penentuan pengiriman a>al, sedamikian rupa sehinggadiperoleh solusi dasar yang menenuhi syarat. ?ni berarti bah>a 1n-#2 sel atau rute darimatriks trans4ormasi digunakan untuk tu+uan pengangkutan. Sel yang digunakan untuk pengangkutan disebut Nsel yang ditempatiN, sedang sel lainnya dari matriks transportasi akandisebut Nsel kosongN.

'angka# kedua, bertu+uan menentukan biaya NkesempatanN 1opportunity2 yang berkaitandengan sel kosong. Hiaya NkesempatanN dari sel kosong dapat dihitung untuk tiap-tiap selkosong tersendiri, atau dihitung untuk semua sel kosong se9ara keseluruhan. 6ika biayaNkesempatan dari senua sel kosong tidak $ositi- . maka solusi optimal telah diperoleh. Di lain pihak, +ika hanya satu sel sa+a memiliki biaya kesampatan Nbernilai positi4N, solusi pasti belumoptimal dan kita harus melangkah ke langkah tiga.

'angka# tiga, melibatkan penentuan solusi dasar yang memenuhi syarat, baru dan lebih baik.Sekali solusi dasar yang baru dan mamenuhi syarat telah di9apai, kita ulangi langkah ( danlangkah / sampai suatu solusi optimal telah ditentukan.

'angka# Pertama Metode Trans$ortasi

=angkah pertama dalam metode transportasi terdiri atas penentuan penempatan a>aldari program pengangkutan ini, sedemikian rupa sehingga ter9apai suatu solusi dasar yangmemenuhi syarat 1+umlah sel yang terisi n-#2. 5ersedia berbagai metode untuk menentukan program a>al tersebut. kan kita bi9arakan lima metode dalam penanganan langkah pertamadalam masalah transportasi.

(! Aturan 28/ ( North West Corner !

Sesuai nama aturan ini, maka penempatan pertama dilakukan di sel paling kiri dan

paling atas 1north0est 2 dari matriks.Hesar alokasi ini akan men9ukupi salah satu, kapasitas tempat asal dari baris pertama

atau permintaan tempat tu+uan dari kolom pertama atau kedua-duanya. 6ika kapasitas daritempat asal di baris pertama terpenuhi kita bergerak ke ba>ah menyusur kolom pertama danmenentukan lain yang akan men9ukupi atau kapasitas tempat asal dari baris kedua ataumen9ukupi tu+uan yang masih kurang dari kolom pertama.

Di lain pihak, +ika alokasi pertama memenuhi permintaan tempat tu+uan di kolom pertama, kita bergerak ke kanan di baris pertama dan kemudian menentukan alokasi keduayang atau memenuhi kapasitas tersisa dari baris satu atau memenuhi permintaan tu+uan dari

kolom (, seterusnya. Dengan 9ara ini, dimulai dari sudut paling kiri dan paling atas dari

/


40/88

matriks transportasi, memenuhi permintaan tu+uan dan kapasitas tempat asal sekaligus, kita bergerak ke sel sebelah kanan yang lebih rendah sehingga ter9apai persyaratan NJimN,

;arap diperhatikan bah>a +ika kita ikuti aturan :"C, kita tidak menaruh perhatian

terhadap biaya relevan dari tiap-tiap rute >aktu kita menentukan program a>al.

@ntuk dapat menghayati penggunaan aturan :"C kita berikan matriks transportasi

yang tertera di 5abel 8.(.

5abel 8.(

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:

PJ PJLD"!5@#

, ( , / , ' , & ,

#+

#( ' & &&

(+

B # 8 8 %'&

/# #( ' % %

/$

'+#$ #& 8 #

&$

PJM?:5:5@6@: PJ PJLD"!5@

'$ ($ &$ /$ '$ #B$ #B$

Penggunaan aturan :"C mengharuskan kita mengisi sel #+ # , , yang terletak di sudut

kiri atas. lokasi ditetapkan ## x 0 '$ untuk memenuhi permintaan tu+uan yang ternyata lebih

ke9il dari kapasitas #+ . ?ni berarti bah>a permintaan tu+uan # 0 '$ dipenuhi, tetapi #+

masih memiliki 1&&-'$2 0 #& unit kapasitas yang belum disalurkan.

5abel 8./

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:

PJ PJLD

"!5@#

, ( , / , ' , & ,

#+

) 6 9 : 9&&

'$ #&

(+ ; ; "

'&& '$

/ ) 6 " "

/$#$ ($

'+< : ; 9

&$#$ '$

PJM?:5:5@6@: PJ

PJLD"!5@

'$ ($ &$ /$ '$ #B$ #B$

'$


41/88

Maka kita bergerak kekanan ke #+ ( , di baris pertama. !ita ketahui bah>a #& unit

dari kapasitas #+ , belum terpakai, maka #& unit kita kirimkan seluruhnya ke ( , , sehingga

sel #+ ( , diisi #& unit. !apasitas #+ habis terangkut, tetapi kolom ( , masihmemerlukan & unit 1($-#&2 untuk memenuhi kebutuhannya. !ita bergerak ke ba>ah

menyusur kolom ( , dan melengkapi & unit ini dari kapasitas (+ , dan letakkan & unit di

(+ ( , .

?ni mengakibatkan '$ unit dari kapasitas (+ yang belum terpakai dan kita bergerak ke

/ , , dan letakkan '$ di sel (+ / , . Permintaan #$ unit 1&$-#$2 untuk / , dipenuhi dari / ,

letakknn #$ unit di sel / / , . !apasitas / masih tersisa /$-#$ 0 ($ unit dan ini diangkut

ke ' , , letakkan ($ unit di sel / ' , . !eperluan ' , masih kurang #$ unit dan ini diambil

dari kapasitas '+ . !apasitas '+ masih tersisa &$-#$ 0 #$ unit dan ini diletakkan di sel '+

& , .

Program a>al sudah selesai ditentukan, tetapi kita masih perlu mengu+i apakah

memenuhi persyaratan bah>a n A # sel harus terisi.

n A # 0 ' & G # 0 B

Dari 5abel / terlihat bah>a ada B sel yang terisi, maka solusi tidak NmerosotN. Hiaya

total dari penmpatan ini adalah'$1#(2 #&1'2 &1#2 '$182 #$1'2 ($1%2 #$12 '$1#2 0 #$&

Sebuah solusi dasar yang memenuhi syarat dan tidak merosot telah diperoleh dengan biaya

transportasi se+umlah *#$&,-

5etapi biaya ini belum tentu optimal, dan untuk menentukan biaya optimal diperlukan

langka# dua yang masih harus dipela+ari.

()! METODE VAM (Vogel Approximation !"#$%!

Metode ini didasarkan atas suatu Nbeda kolomN dan suatu Nbeda baris” yang menentukan

beda antara dua ongkos termurah dalam satu kolom atau satu baris.

Setiap NbedaN dapat dianggap sebagai N$enaltiN karena tidak menggunakan rute

termurah. Setelah dilakukan perhitungan penalti sesuai metode VM, ditentukan penalti

tertinggi. Haris atau kolom berkaitan dengan Npenalti tertinggiN merupakan baris atau kolom

yang akan diberi alokasi pertama.

lokasi $ertama ditempatkan pada sel dengan biaya termurah yang terdapat di baris

atau kolom yang berkaitan dengan Npenalti tertinggiN.

lokasi pertama ini atau menghabiskan kapasitas tempat asal atau menghabiskan

permintaan tu+uan, atau kedua-duanya. Haris atau kolom khusus yang telah dipenuhi

'#


42/88

keperluannya, dihapus dari matriks transportasi. Proses ini diulang-ulang hingga diperoleh

program a>al yang menggunakan n 1 # route.

Metode ini memiliki si4at yang merugikan karena banyaknya perhitungan-perhitunganyang harus dilakukan, sebelum di9apai suatu solusi dasar yang memenuhi syarat. "alaupun

demikian, penggunaan VM menghasilkan biaya pengangkutan yang +auh lebih murah dari

apa yang diperoleh dengan metode :"C.

@ntuk memberikan pen+elasan lebih lan+ut tentang metode VM akan kita gunakan tabel

yang sama, yaitu 5abel 8.( yang telah digunakan untuk uraian terhadap metode :"C.

5abel 8.'

LJ?U?: D S 5 ? : 5 ? L : Heda !olom#

, ( , / , ' , & ,

#+

#( ' & #

(+B # 8 8 %

&

/# #( ' % %

/

'+#$ #& 8 #

&

Heda Haris % / ( # 8

5abel 8.&

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:

PJ PJLD"!5@#

, ( , / , ' , & ,

#+ #( ' & &&

(+

B # 8 8 %'&

/# #( ' % %

/$ $<

'+#$ #& 8 #

&$

PJM?:5:5@6@: PJ PJLD

"!5@

'$ #$ ($ &$ /$ '$

'(


43/88

5abel 8.8

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L :

Heda !olom#

, ( , / , ' , & ,

#+

#( ' & #

(+

B # 8 8 %&

'+#$ #& 8 #

&

Heda Haris ( / $ # 8

5abel 8.%

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:

PJ PJLD"!5@#

, ( , / , ' , & ,

#+

#( ' & &&

(+

B # 8 8 %'&

'+#$ #& 8 #

&$ #$6<

PJM?:5:5@6@: PJ PJLD"!5@

#$ ($ &$ /$ '$ $

5abel 8.B

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L :

Heda !olom# , ( , / , ' ,

#+

#( ' &#

(+B # 8 8

&

'+#$ #& 8

/

Heda Haris ( / $ #

'/


44/88

5abel 8.

LJ?U?:D S 5 ? : 5 ? L : !PS?5S LJ?U?:

PJ PJLD"!5@#

, ( , / , ' ,

#+

#( ' &&&

(+B # 8 8

'& (&)<

Documents

Catatan Kuliah Program Linear