Capitulo 5 Sears

5/9/2018 Capitulo 5 Sears

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APLlCACIONDE LASLEYES'DE N 'EWTON

Y a vim os en el capitulo 4 que las tres leyes del m ovim iento de N ewton, cim ien-tos de la mecanica clasica, tienen un plan team iento muy sencillo, pero suaplicacion a situaciones como un velero para h ielo que patina sobre un lago eon-gelado, un tobogan que se desliza colina abajo 0 un avi6n a reacci6n que efectuauna vuelta cerrada requiere capacidad analitica y tec nica p ara re so lv er p ro ble mas.En este capitulo am pliarem os las destrezas para resolver problem as que ellectorcom enz6 a desarrollar en el capitulo anterio r.

C om enzarem os can problem as de equilibrio, donde un C Uel])O e sta en reposo 0tiene velocidad constante. L uego generalizarem os nuestras tecnicas de resoluci6n d eproblem as a cuerpos que no estan en equilibrio, para 1 0 q ue n ec esitarem os e xam in arcan precisi6n las relaeiones entre fuerzas y m ovim iento, A prenderem os a describir yanalizar la fuerza de contacto que actua sobre un cuerpo que descansa 0 se desliza enuna superficie, P or ultim o, estu diarernos el im portante caso del m ovim iento circularuniforme, en el que un cuerpo se mueve en un circu lo con rapidez constante.

E n to da s e sta s s itu ac io ne s interviene el concepto de fuerza, que usarem os en todonuestro estu dio de la flsica, C er ra remo s e l c ap itu lo CO D u na m ira da a l a n atu ra le za fu n-dam ental de la fuerza y las c1 ases de fuerzas que existen en n uestro universo fisico.

Las aves planean aprovechando la prirneray tercera leyes de Newton, Las alas ernpu-jan hacia abajo el aire cuando este fluyepor el cuerpo de l ave, y el aire reaccionaernpujando las alas hacia arriba con unafuerza, -Hamada sustentacion- de igualmagnitud y direccicnopuesta, En un pla-neo estable, las fuerzas aerodinamicas so-bre el ave equilibran exactamente la fuerzahacia abajo de 1agravedad, asi que la fuer-za neta externa sobre el ave es cera. .

Suponga que el ave entra enuna corriente de aire que asclende conrapidez constante. Enesta situaci6n,l que tiene mayor magnitud: la fuerza degravedad 0 las fuerzas aerodinamicas?

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154 CAP f TUL0 5 I Aplicacion de las leyes de Newton

5.1 I Empleo de la primera ley de Newton:particulas en equilibrioEn el capitulo 4 aprendimos que un cuerpo esta en equilibria si esta en reposo 0se mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial. Una Iampa-ra colgante, un puente de suspension y un avion que vuela en linea recta a altitudy rapidez constante son ejemplos de situaciones de equilibrio. Aqui solo conside-raremos el equilibrio de un cuerpo que puede modelarse como particula, (En elcapitulo 11 veremos los principios que necesitaremos aplicar cuando esto no seaposible.) El principia fisico fundamental es laprirnera ley de Newton: 81una par-ticula esta en reposo 0 se mueve can velocidad constante en un marco de referen-cia inercial, la fuerza neta que actua sabre. ella =-es decir, Iasuma vectorial de lasfuerzas que actuan sob re ella- debe ser cero:

(par;tfcuJa en equilibria, forma vectorial)Normalmente usaremos esta ecuacion en forma de componentes:~ , : L F x = 0 : L F y = 0

(particula en equilibrie, forma de camp onente s) ,Esta seccion trafael uso de la primera ley de Newton para resolver problemas de

cuerpos en equilibrio. Algunos de los problemas parecerancomplicados, perc 10im -portante es recordar que todos estos problemas se resuelven igual. La estrategia si-guiente detalla los pasos a seguir, (A I igual que todas las Estrategias para resolverproblemas, esta sigu e el fo rm ate !PEE -Identificar, P la nt ea r, E je cu ta r y Evaluar-que presentamos en la seccion 1.2.) Estudie detenidamente la estrategia, vea comose aplica en los ejemplos y trate de aplicarla al resolver problemas de tarea.

Es t r a t e g ia p a r ar es o lv e r p r o bl ema s P rimera le y de New ton: equ ilib rio d e una partic ula

I D E N T I F I C A R los conceptos pertinentes: Es preciso usaf la pri-mera ley de Newton can cualquier problema que implique fuer-zas que acnian sabre un cuerpo en equilibrio. Reeuerde que"equilibrio" significa.en reposo 0 en movimiento con velocidadconstante. Por ejemplo, un automovil esta en equilibrio cuandoesta estacionado, perc tambien cuando viaja pOI una carreterarecta con rapidez constante.

Si en el problema intervienen dos 0mas.cuerpos, y los cuerposinteractuan, tambien sera preciso usa! la tercera ley de Newton,Ia eual nos pennite relacionar la fuerza que un cuerpo ejerce sobreOITO con la que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero.

Asegurese de identificar la(s) incognita/a). En. los proble-Jm!S de equilibrio, las incognitas suelen ser la magnitud de una' I ! = I2 s faerzas, las componentes de una fuerza 0 la direccion de:l1!fuerza,

2. Para cada cuerpo en equilibrio, dibuje un diagrama decuerpo libre. Por ahora, consideraremos el cuerpo comoparticulaasi que representelo con un punto grueso. No in -cluya en el diagrams los otros cuerpos que interacniancon el, eomo la superficie en que descansa 0 una cuerdaque tira de 0 . 1 .

3. Preguntese ahora que interactua con el cuerpo tocandolo. 0 de alguna otra forma. En el diagrams de cuerpo jjbre,dibuje un vector de fuerza para cada interaccion ..Si co-noce sn.angulo, dibujelo con exactitud y rotulelo. Unasuperficie en contacto con el cuerpo ejeree una fuerzanormal perpendicular a la superficie y tal vez una fuerza defriccion paralelaa la superficie. Recuerde que una cuer-da 0 cadena no puede empujar un cuerpo, s610 tirar de61 en la direccion de su longitud. Incluya el peso delcuerpo, excepto si su masa(y por ende su peso) es insig-nificante. Si se da la raasa, use w = mg para obtener elpeso. Rotule cada fuerza con un simbolo que representesu magnitud de la fuerza.

el problema con los pasos siguientes:~ nn chbujo sencillo de la situacion fisica, con dimensio-zes _ ~oulo'i. [No tiene que ser una obra de arte!

(5.1)

( 5 . 2 )


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5.1 I Empleo de la primera ley -de Newton: partfculas en equilibrio 155

4, No muestre en el diagrams de cuerpo libre las fuerzasque e J cuerpo ejerce sob re otro. Las sumas de las ecua-ciones (5,1) Y (5.2) sola incl uyen fiierzas que ac til ansobre el cuerpo. Asegurese de poder contestar la pre"gunta "i,Qmi otro cuerpo causa esa fuerza?" para cadafuerza. Si no puede, tal vez este imaginando una.fuerzainexistente.

5. Escoja sus ejes de cocrdenadas e incluyalas .en su diagra-rna de cuerpo libre: (Si hay mas de un cuerpo en el PIQ-blema,es precise escoger -ejes par separado para cadacuerpo.) No olvide rotular la direccion posi tiva de cada eje.Esto seHl crucial para obtener componentes de los vecto-res de fuerzacomo parte de la resclucion. Tal vez puedasirnplificar el problema escogiendo ejes adecuados, Porejemplo, si un cuerpo descansa 0 se .deslizasobre unasuperfieie plana, suele ser mas sencillo tornar eies en lasdire1ciolles paralela y perpendicular a ella, aun si estaj~,\lad? _.

EJ(CUTAR- la solucion como sigue:1. Obtenga las componentes de cada fuerza a 10 largo de ca-

da uno de los ejes de coordenadas del cuerpo. Marque conuna linea ondulada cada vector que haya sido sustituidopor sus co~ponentes, para no contarlodos veces. Tenga

E j e m p J o5 .1

presente. que, aunque la magnitud de una fuerza siernprees positiva, la componenie de una fuerza en una direcciondada puede- se r po si tiv a 0 negative,

2. Iguale a cero la suma algebraica de las componentes x defuerza. En : oUa eeuacicn, J:laga10 mismo con las compo-nentes y , (Nuflca sume cemponentes x s v en una solaecuacion.) Con estas ecuaciones podra 'despej ar hastados incognitas: magnitudes de fuerza, coinponentes 0angulos,

3. Si hay des 0mas cuerpos, repita los pasos anteriores pa-ra. cada uno. Si los cuerpos interacnian, usela terceraley de Newton para relacionar las fuerzasque ejeroenentre sf.

4. Asegurese d e tener tantas ecuaciones independientes comoeantidades desconocidas haya, Resuelva las ebuacionespara obtener las incognitas. Esraparte es algebra, no fisica,pero es un paso indispensable,

EVALUAR la respuesta: Yea si S11S resultados son logicos. Sielresultadn es una expresion sirnbolica 0 formula, trate de encontrareases especiales (valores.especifieos 0 casos extremes) para losque pueda estimar los resultados. Compruebe que su formulafuncionaen tales casos,

Equilib rio unid imensional: ten sion en una cuerda s in masaUna gimnasta de masa InG =50.0 kg se cuelga del extreme inferior deuna euerda colgante. EI extremo superior esta fijo al techo de un girn-nasio (Fig. 5,l a), ,;,Cuanto pesa la gimnasta? i,Que fuerza (magnitud ydireccicn) ejerce la cuerda sobre ella? ,;,Quetension hay en la parte su-perior de la cuerda? Suponga que la mas-ade la cuerda es despreciable.1 " 1 1 1 ( 3 , [ ' 1 1 1 1IDENTIF ICAR: La gimnasta y Ia cuerda estan en equilibrio, a s ! quepodemos aplicar la primera ley de Newton a ambos cuerpos. Lagimnasta y la cuerda ejercen fuerzas una sobre la otra -es decir,interactuan-> asi que tambien usarernos la tercera ley de Newtonpam relacionar esas fuerzas, Las incognitas son el peso de la gim-nasta, We, la fuerza que la cuerda ejerce sabre 1 " 8 . ,gimnasta (I lame-rnosla Tc aobre e) yla tension que el techo ejerce sobre la partesuperior de la cuerda (Ilarnemosla . T r , o b r o C).PLANTEAR: Dibujaremos diagramas de cuerpo Iibre individuatespam la gimnasta (Fig. 5, Ib) Y la cuerda (Fig. 5.le). Tomaremos eleje +y hacia arriba, como se muestra. Todas las fuerzas acruan vex-ticalmente, asi que solo tienen componente y.

Las dos fuerzas TCsobreG Y To sobre C son Ia fuerza bacia arriba de lacuerda sobre la gimnasta (en la Fig. 5.1b) Y la fuerza hacia abajo deIagimnasta sobre la cuerda (en laFig. 5.1c). Bstas fuerzas forman unpar accion-reaccion, asi que deben tener la misma magnitud.

y yIstas desfuerzas sonu n p ar a cc io n-

rea ccionTT scbre C

C a l Girnnasra(b) Cuerda(e)5 _ 1 (a) Una gimnasta cuelga en reposo del extremo deunacuerda vertical, (b) Diazrama de cuerpo libre de la gimnasta.(c) Diagrama d e cuerpolibre de la cuerda, suponiendo que supeso es despreciable. La fuerza hacia arriba-que la cuerda ejercesobre la gimnasta )lia fuerza hacia abajo que la gimnastaejerce sobre la cuerda son un par accicn-reaccion.

(


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156Lacuerda tira de la gimnasta haci a a rr iba con una fuerza T c sobreG demagnitud 490 N.Por Iatercera ley deNewton , l a g imnas ta t im de Ia cuer-da bacia abajo con una fu er za d e l am i sma magnitud, TGsobrec =490 N.

La cuerda tambien esta en equilibria. Hemcs supuesto que notiene peso, asi que la fuerza bacia arriba de magnitud T T scorc C queel tecno ejerce sabre su extrema superior debera 'nacer que \8 iuerzavertical neta .que actua sobre la cuerda sea igual a cera. Expresadocomo ecuacion:

c APi -T UL0 5 I Aplicaci6n de"las leyes de Newton

Vemos tambien-que el peso de la gimnasta WG es la fuerza deatraccion (bacia abajo) que la Tierraejerce sobre la gimnasta. Sufuerza de reaccicn es la fuerza de atraccion igual y opuesta (baciaarriba) que lagimnasta ejerce sabre la Tierra. Esta fuerzaactua sobreIa Tierra, no sabre Ia gimnasta, par 10 que no aparece en su diagra- -ma de cuerpo libre. Compare esto can el case de 1amanzana en elejemplo conceptual 4.9 (seccicn 4.5).EJECUTAR: La magnitud del peso de cualquier objeto es-el produc-to de Ia rnasa de ese objeto y la aceleracion debida ala gravedad, g.En el caso de la gimnasta, el peso es

lV o = mog = (SO.Okg)(9.80m/s2) =490NEsta fuerza apunta en la direccion -y, as! que su cornponente y es:-490 N. Lafuerza hacia arriba que 1acuerda ejerce sobre 1a g im -nasta tiene magnitud desconocida TCsobrc G' Par la ecuacion (5.2), da-do que la gimnasta esta en equilibrio, la suma algebraica de lascomponentes y 4e fuerza que actuan sobre ella debe ser cero:

Gimn~ 2 : F y = TesobreG + ( -wG) = 0, aSI quePc s ob re G =WG = 490 N

Cuerda: L F y = t; sobre C + (- TG so~rc c) =0 par tanto,Trsobrcc = TO,abreC =490N

EVAlUAR: La tension en cualquier punto de la cu erd a es la fuerza queactua en ese punto. En el casa de esta cuerda sin peso, la tension To sobreC en el extrema inferiortiene el mismo valor que la tension T y , o b r e C enel extreme superior. De hecho , en un a cuerda ideal sin peso, la tensiontiene el mismo valor en todos los ~untos de la cuerda. (Compare estocon 10dicho en e l e j ernplo conceptual4. \0 de l a s ec ci cn 4.5.)

Observe que definimos tension como lamagnitud de una fuerza, asque siempre es positiva. En cambio, la componente y de la fuerza queactua sobre la cuerda en su extrema inferior es - To sob re C =-490 N.

- E jem p lo5,2 Equilibrio unidimensional: tension en una cuerda con masa

Suponga que en el ejemplo 5.1, el peso de la cuerda no es desprecia-ble, sino de 120 N. Calcule 1 a tension en cada extrema de la cuerda.

" , ) ! I I S ( .m!IDENTIFICAR:Al igual que en elejemplo anterior, apLicaremos la pri-mera ley de Newton a cada uno de los dos cuerpos del problema (1agimnasta y lacuerda) y usaremos latercera ley deNewton para relacio-nar las fuerzas que la gimnasta y lacuerda ejercen una sobre la otra. Lasincognitas son las magnitudes TGsobreC YTr..,.,rec de las fuerzas que ac-man sabre laparte inferior y superior de la cuerda, respectivamente,PlANTEAR: Una vez mas, dibujamos diagramas de cuerpo libre in-dividuales para la gimnasta (Fig. S.2a) y para la cuerda (Fig. 5.2b).La unica diferencia respecto a los diagramas del ejemplo 5.1 es queahora tres fuerzas acnian sabre la cuerda: 1afuerza bacia abajo ejer-cida por la gimnasta (T G sob r e d, la fuerza hacia arriba ejercida par eltecho (Tr,obred Yla fuerza de gravedad hacia abajo (el peso de lacuerda,de magnitud W e = 120 N).EJECUTAR: EI diagrama de cuerpo libre de la gimnasta es el mismodel ejemplo 5.1, as] que su condici6n de equilibrio tampoco ha cam-biado. Por la tercera ley de Newton, TC,obreG =TOwbre C, Ytenemos

Gimnasta: 2 : F y = TC,obreO + ( -wG) = 0 as! queTC,obreO = TGsobroC = wG = 490N

La condici6n de equilibria 2 : F ; . = 0 para la euerda esCuerda: L F y =Tr,obrce + (-TOSOb,-eT) + ( -WT) = 0

y yIy

Bstas desfucrzas SOl1un paJ' accion-reaccicn

x

Gimnasta(a)

G irnnas ta y cuerdacomo unidaduerda

(b) (e)

5.2 Diagramas de cuerpo libre para (a) Ia gimnasta (peso wG) Y(b) la cuerda (peso wc) . (Compare can la Fig. 5.1.) (c) Diagramade cuerpo Iibre para la gimnasta y Ia cuerda, considerados comoun solo cuerpo compuesto.Observe que la componente y de T r s o br e C es positiva porque apuntaen la direccion +y, pero las componentes y tanto de To sobre e comode W e son negativas, Despues de despejar TrsobreC Ysustituir los va-lores TG sobre C = Te sob rc G - = 490 N y we = 120 N, tenemos

Trsobrec '= TOsobrcC + we = 490 N + 120 N = 610 N


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5.1 I Empleo de l a p r ime ra ley de Newto n: p ar tic ul as en equilibrio 157EVALUAR: C ua nd o in clu im os el peso de la -cuerda , vemos que 1. 1tension es diferente en los dos extremos de la cuerda, Esto es logico:la fuerza TT,obre e que eJ techo ejerce debe sostener tanto el peso de490 N de Ja gimnasta como el peso de 120N de 1 .1 cu er da , a si queTYSobreC = 610 N.Para ver e st o de f orma ma s e xp li cit a, d ib uje un diagrama de cuer-po libre para un cuerpo compuesto que consiste enlagimnasta y lacuerda considerados como unidad (Fig. 5.2c). S610actuan dos fuer-zas externas sabre este cuerpo compuesto: la fuerza TT,obr" C ejercidapar eltecho y el peso total WG + Wc =490 N + 120 N =610 N. (Lasfuerzas To sobre c YTC"'bfeG son intemas en 10que al cuerpo compues-to respecta. Dado que en la primera ley de Newton s610 intervienen

fuerzas exiernas, estas no vienen al caso.) Por tanto, laprirnera ley deNewton aplicada .11cuerpo co rn pu esto e sCuerpo compuesto: 2,FJ' = TTwbre C + [- (wG + we) j = 0 .,

A si que TT.obrcC =Wo + Wc =610 N .Este metodo de tratar a Iagirnnasta y la cuerda como cuerpocompuesto parece mucho mas sencillo, y quiza el-leetor se pregun-te par que DO 10 usamos al principia. La respuesta es que, con esemetodo, no podiamos obtener Ia tension TG sobre C en el extreme in-ferior de 1.1cuerda, La moraleja es: si hay dos 0 mas' cuerpos ell unproblema en el que intervienen Lasleyes de Newton, 10mas seguroes tratar a cada cuerpo individualmente,

E je mp l o .5.3 . Equi libr io bidimensionalEn la figura ~,,3a, lin motor de peso w cuelga-de una cadena unidaen el punta a a-otras dos, una sujeta al techo y la otra a la pared.Calcule las tensiones en las tres cadenas, suponiendo que se da w ylos pesos de las cadenas y el anillo son despreciables,'inllI.ItDIDENTIF ICAR: Las incognitas son las tensiones T1 , T 2 y T) en lastres cadenas (Fig. S.3a). Podria parecer extrafio despreciar el pesode las cadenas, si en el ejemplo 5.2 no despreciarnos el de una sim-ple cuerda, La razon es que el peso de las cadenas es muy peqnefioen cornparacion can el del motor. En 101ejemplo 5.2 el peso de lacuerda T 2 Y T 3 Nece-

(a)

sitamos tres ecuaciones sirnultaneas, una para cada incognita. Sinembargo, Ia aplicacion de la prirnera ley de Newton a un solo cuerposolo nos da dos ecuaciones, como en 1.1ecuacion (5.2). Par tanto,para resolver el problema, sera precise considerar mas de un cuer-po en equilibrio, Examinaremos el motor (sobre el qlte aetna T 1 ) Yel anillo (que esta unido a las tres cadenas, asi .que sobre el actuanlas tres tensiones),PLANTEAR: Las figuras 5.3b y 5.3c son diagramas de cuerpo Iibrepam elmotor y el anillo, respectivamente, Al igual que en los ejem-plos 5.1 y 5.2, hemos inc1uido un sistema de coordenadas x-y ~ cadadiagrama,

Las dos fuerzas que acttran sobre el motor son su peso w y lafuerza hacia arriba T1 ejercida POf Lacadena vertical; las tres fuerzasque aeruan sobre el anillo sari las tensionesde la cadena vertical

yI

yI : " " _ _ - ; J I T J

IIIIII-x

w

(b) (c)

5.3 (a) Motor de coche con peso w suspendido de una cadena unida en 0a otras dos.Se supone que las cadenas no tienen masa. (b) Diagrama de cuerpo libre del motor.(c) Diagrarna de cuerpo libre del anillo, despues de susti tuir it3 par sus componentes,


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158 CAP f T U LOS I Aplicaci6n de las Ieyes de Newton(T]). la cadena horizontal (t2 ) Y la cadena inclinada (TJ). Observeque la cadena vertical ejerce fuerzas de la misma magnitud T ] enambos extremos: hacia arriba sobre el motor en la figura 5.3b y ha-cia abajo sabre el anilla en la f ig ura 5 .3 c. 1 21 10se debe a que el pesode la cadena es despreciable (vease el ejernplo .5.1). Si el peso nofuera despreciable, estas dos fuerzas tendrian diferente magnitud,como fue el caso de la cuerda en el ejemplo 5.2. Recuerde que tarn-bien e sta rn os d esp re cia nd o e l peso del an i 1 1 0 , asi que no 1 0 incluirnosen 'las fuerzas de la figura 5.3c.E J E C U J A R : Las fuerzas que acnian sabre 1 0 1 motor e st an u ni camen tesabre el eje y; entonces, por la primera ley de Newton,

Motor: 2:Fy = T] + (-w) = 0 y T[ = wObserve que las cadenas horizontal e inclinada no ejercen fuerzassabre el motor, porque no estan unidas a e l, a un qu e 5 1 ap are ce n ellla aplicacicn de 1aprimera ley de Newton al anillo.

En el diagrama de cuerpo libre para el anillo (Fig. 5.3c), recuer-de que T], T 2 Y T 3 son las magnitudes de las fuerzas; los vectoresdel diagrama indican su direccion. Primero descomponernos lafu~on magnitud T 3 en sus cornponentes x y y. Asi, podremosplantear las condiciones de equilibria del anillo escribiendo ecua-clones individuales para las componentes x y y. (Recuerde 10 di-cho en la estrategia para resolver problemas, en el sentido de quenunca deben sumarse cornponentes x y yen una rnisma ecuacion.)Obtenemos ...

Anillo: 2:F, = T 3 cos 60" + (-T2) =0Anillo: 2 : 1 \ . = T 3 sen 60 + (- T [) =0

P ue st o q ue -Z ', = Hi ( pa r la e cu ac io n para el motor), podemos escri-bir la segunda ecuacion del anillo asi:

T, WT , =--- - = = - - - = 1.155wJ sen 60" sen 60

Ahora-podemos usaf este resultado en Iaprimeraecuacion del anillo:_ cos 60 ~T2 = -T 3 cos 60 = 11--- = 0.5/7wsen 60

ASI,podemos expresar las tres tensiones como multiples del peso 11del motor, que supuestamente se conoce. En sintesis,

TI = IVT 2 = 0.577wT 3 = 1.J.55w

E V A L U A R : Nuestros resultados muestran que la cadena sujeta al te-cho ejerce una fuerza sobre el anillo de rnagnitud T3, mayo r que elpeso del motor. S i le p are ce raro, observe que la componente vert icalde esta fuerza e s ig ua l a T j, que a su vez e s i gu al a w, pew como ade-mas l a f ue rz a tiene una componente horizontal, su magnitud T 3 debeser algo mayor que w. Par tanto, la cadena sujeta al techo es Iaque es-ta sometida a mayor tension y es la mas susceptible de romperse.

Es probable que, 2 ! primera vista, el lector haya pensado que elcuerpo mas importante en este problema era el motor. Sin embargo,para tener suficientes ecuaciones, tambien fue necesario considerarl as fuerzas que actuan sobre un segundo cuerpo (en e st e c as o, el ani-1 1 0 que une las cadenas). Las situaciones de este tipo son muy cornu-nes en problemas de equilibrio, as! que tenga presente esta tecnica.

Plano incl inadoEjemplo5. 4Un auto descansa en los r ie le s i nc li na do s de u na ra mp a que condu-ce a un remolque (Fig. 5Aa). S610 un cable conectado al auto y a laarmazon del rernolq ue evita que el auto baje la rampa, (Los frenosy la transmision del auto estansueltos.) Si eJ peso del auto es W,calcule la tension en el cable y la fuerza can que los rieles empujanlos neumaticos,' i . ]i1(3!tIriI O E N T l F l C A R : EI auto esta en equilibria, a si q oe u sa remos otra vez laprimera ley de Newton. Una cornplicacion e~que la ra mp a e je rc e cua-fro fuerzas sobre e1auto, una en cada neurnatico. Par sencillez, junta-remos todas estas fuerzas enuna sola. Otra simplificacion es queharernos caso omiso de la cornponente de esta fuerza que acnia para-lela a los r ie le s, E st o e qu iv ale a decir que a e tn a r nu y p oc af ri cc io n so-bre el auto. (Si la fric cio n fu era considerable, los r ie le s e j er cer ian unaf ue rz a d e f r ic ci on paralela a l a r amp a, que tenderia a impedir que elauto baje par la rampa. Aqui harernos caso omiso de este efecto, perovolveremos a el en la seccion 5.3.) Por tanto, podernos decir que la

ram pa s610 ejerce sobre el auto u na fu erz a perpendicular a los rieles.E sta fu erz a a pa re ce p orq ue los atomos de l a superf ic ie de los rieles seresisten a que los atomos de los neumaticos penetren entre ellos. A Iigual que en la seccion 4.2, l lamaremos a esta fuerza " fu e r za no rma l ".

No todas las fu erz as a cn ia n so bre el auto a 10 largo de la rnisma li-nea: la fuerza de la gravedad actua verticalmente hacia abajo, mien-tras que la normal es perpendicular a la superficie inclinada de losrides. Por tanto, tenemosdos ecuaciones distintas para laprimera leyde Newton, una para las cornponentes x de fuerza y otra para las corn-ponentes y [vease la ecuacion (5:2)]. Este es el numero de ecuacionesque necesitamos para despejar las d~s incognitas, la magnitud T de latension en el cable y la magnitud n de la'fuerza normal.P l A N T E A R : La figura 5Ab muestraun diagrama de cuerpo librepara el auto. Las tres fuerzas que actuan sabre el auto son su pe-so (magnitud w), la tension del cable (magnitud T) y la fuerza normal(magnitud n ). Esta ultima acnia hacia arriba y hacia la izquierdaporque esta impidiendo que el auto penetre en los rieles solidos.


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5.11 Ernpleo de la primera ley de Newton: particulas en equilibrio 1 59

(a)y~\ y\

\\ \\\ w cos '"\~ _ _ ., _ . . - " "w(b) (c)

5.4 (a) Un cable sostiene al auto en la rampa. (b) Diagrama decuerpo-Iibre del auto. (c) Diagrama de cuerpo Iibre en 1 0 1 que elpeso del auto se ha sustituido por sus componentes (H I sen 0"rampa abajo, w cos 0" perpendicular ala rampa).

Tomamos I os e je s de cco rdenadas x y y paralelos y perpendicula-res a InTampa, como se muestra. Esto facilita el analisis del problemap orq ue a si s 61 0 la fuerza del peso t iene componentes tanto x como y.Si escogieramos ejes horizontal y vertical, nuestra tarea seria masdificil porque tendriamos que descornponer dos fuerzas (la normal yla tension).

El angulo a entre la rampa y la horizontal es igual al angulo aentre el vector de peso w y la normal a! plano de Ia rampa,EJECUIAR: Para escribir las componentes x y y de la primera ley deNewton, necesitarnos obtener las componentes del peso. Una com-plicacion lO S que 1 0 1 angulo a en la figura 5Ab no se nude deleje +xa! +y, asi que no podemos usar las ecuaciones (1.7) directamentepara obtener las componentes. (Quiza desee repasar la seccion 1.8,pues este punto es irnportante.)

Una e stra te gia p ara o bte ne r l as c or np on en te s de iii es cons iderarlos triangulos rectangulos de la figura SAc. EI seno de a es la mag-nitud de la componente x ge i v (que es, el cateto opuesto a a deltriangulo) dividida entre la magnitud w (la hipotenusa), Asimismo,

e i cos enode 0" e s l a magni tu d de la cornponente y ( el c at et o adyacente a a del triangulo) dividida entre w. Ambas cornponentes sonegativas, asi que w . , . = -w sen (l y Wx =-wcos 0'.

Otra estrategia seria reconocer que en una cornponente de w debe intervenir el sen 0", y el cos (l en la otra. Para decidir cum es cumresulta util dibujar el diagrama de cuerpo libre de modo que el angulo a sea apreciablernente mayor 0 menor que 45. (Talcosa evalida porque DO se especifico el valor de ti'. Le recomendamos nceder a la teridencia natural de dibujar tales angulos como.cercanosa 45.) Aqui dibujamos las figuras SAb y SAc de modo que a semenor que 45, 10que implica que sen a es menor que cos a. Lfigura SAc muestra que la componente z de w es menor que la componente y, asi que en Ia primera debera intervenir sen 0", y en la segunda, cos C!:. Dado que ambas componentes soil negativas,obtenemos orra vez que Wx = - w sen-e y w!'.= - W cos a.-

Tachamos can una linea ondulada el vector original que representa el peso para recordar que no debemos ccntarlo dos veces, Lacondiciones de equilibrio nos dan .....

_kF , = T + (-w sen a) = 02:Fy = n + (-111 cos a) = 0

Asegurese deentender la relacion entre estos signos y las ccordena-das escogidas, Reeuerde que, por definicion, T, w Yn son magnitudesde vectores y por tanto positivas,

Despej ando ty n, . obtenemosT =w sen an = w cos o

EVALUAR: Los valores 0 btenidos para T y II dependen del valor da.A fin de verificar que tan razonables son estar respuestas, vamoa exarninar ciertos cases especiales, Si O Il angulo 0" es cere, entonces sen a= 0 y cos CI := 1. En este case, los riel es SOi l horizontales;nuestra respuesta nos dice que no se necesi ta la tension T del cablepara sostener al auto y la fuerza normal total n es igual en magnitudal peso. Si a = 90, sell a = I y cos a = O.Aqui la tension T eigual al peso w y la fuerza normal n es cera. i,Sonestos los resulta-dos esperados en estes casas especiales?

. . . ,. " " , - " " - " " " , , - - ~ " , , , O . . E, un error cornun suponerautornaticarnerrte quela magnitud n de la fusrza normal es igual al peso w. Nuestrore-sultad 0 dem uestra que, en ge ner a I, eso no es cierto: Siernpre ernejor tratar 11 como una variable y calcular su valor, como hidrnosaqui.

Por ultimo, preguntese c6mo carnbiarian T y n si el auto no estuviera estacionario y el cable estuviera tirandc de el para subirlopor la rampa can rapidez constante. Debera reeonocer de inmediatoque estaes otra situacion de equilibrio, pues Ia velocidad del autoes constante, Par- tanto, el calculo es identico.y T y n t ienen lomismos valores que cuando el auto esta e n repose. (Es verdad queT debe ser mayor que 11 1 sen a para ~iniciar el movirniento del autopero eg o 110 es 10 que preguntam os.)


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160 CAP iT U L 0 5 I Aplicacion de las leyes de Newton

P lANTEAR: Lafigura 5.5b es nuestro modelo idealizado del siste-ma. La figura 5.5c es el diagrama de cuerpo Iibre para la cubeta, yla 5.5d, para el bloque y el carro. Cabe sefialar que podemos orien-tar los ejes de forma distinta para cada cuerpo. Los ejes que semuestran son Ill. opcion que mas nos conviene. Representamos elpeso del bloque lenterminos de sus componentes en el sistema deejes que escogimos; obtendremos esas cornponentes ignal que enel ejemplo 5.4.

E jem p lo .55 T ension en una polea s in frie cion

5.5 (a) Una cubeta de tierra tira-de un carro que lleva uu bloque de granite. (b) Modeloidealizado del sistema. (c) Diagrarna de cuerpo libre de Ill.cubeta con ti erra. d) Diagrama, de cuerpo libre del carro con el bloque.

Se estan sacando bloques de granito de un a cantera po r una pendientede 15. Por razones ecologicas, tambien se esta echando tierra en lacantera para Ilenar agujeros. Imagine que Iehan pedido hallar una for-.rna de usar ega tierra para facilitar la extraccion del granite, Ud. disefiaun sistema en el que una cubeta can tierra (de peso W2 incluida la cube-ta ) tira de WI bloque de granito ell un carro (peso W I incluido e l c ar ro )sobre rieles de acero inclinados 15, al caer verticalmente a la cantera(Fig. 5.5a). Hacienda caso omiso de la friccion en Ill.polea yen las rue-das del carro, y el peso del cable, determine que relacion debe haberentre~ W2 para que el sistema funcione can r ap idez cons tan te .iielliIi[RIDENT IF ICAR: El carro y la cube ta se mueven con velocidad cons-tante (es decir,en linea recta can rapidez constante), Por tanto, losdos cuerposestan en equilibrio y podemos aplicar la primera ley deNewton a cada uno.

Las do s incognitas son los pesos W I Y w2' Las fuerzas que actuansobre Ia cubeta son su peso W2 y una tension hacia arriba ejercida parel cable; ambas fuerzas son exclusivamente verticales. Por tanto, laprimera ley de Newton aplicada a 1acubeta nos da una sola ecuacion,Sobre e! carro actuan tres fuerzas: su peso W I, una fuerza normal demagnitud n ejercida par los rieles y una fuerza de tension del cable.(Estamos haciendo caso omiso de la friccion, asi que suponemos quelos rieles no ejercen ninguna fuerza paralela a la pendiente.) E sta si-tuacion es identiea a la del automovil en Ill.rarnpa del ejemplo 5.4.Igual que en ese ejemplo, las fuerzas que actuan sobre eI carro no tie-nen t od as I ll . rn is ma direccion, as l que necesitaremos usar ambascomponentes de la primera ley deNewton, ecuacion (5.2),Estamos suponiendo que el cable no tiene peso, asi que las fuer-zas de tension que la.cuerda ejerce sobre el carro y Ill.cub eta tienenIll.misma magnitud T.

(al

(b)

E J ECUTAR : Aplicando 2 : . F , =0 a la cubeta en la figura 5.Sc,tenemos

L F " = T + (-W2) =0 asf que T =W2Aplicando2:.F, = 0 al bloque + carrito en la figura S.%d, obte-nemosL F x =T + (-Wj sen J5) = 0 a s f que T =WI sen 15Igualando las dos expresiones para T, tenemos

W2 = W I sen ISD = O.26w I

EVA lUAR: Si el peso de la cubeta can tierra es el 26% del peso delcarro y el bloque, el sistema se podra mover con rapidez constanteen cualquier direccion (nuestro analisis no depende de Ill.direcciondel movimientc, solo de que-la velocidad sea can stante) , i,Entiendeque pasaria si W2 fuera mayor que O .2 6w l? i,Y si fuera menor queO.26wj?

Observe que no fue necesario aplicar la ecuacion 2;F,. =0 alcarro y al bloque; solo 10 seria si quisieramos calcular n, (,Puede de-rnostrar que 11=W I cos 15'?

)'

~,l W 2

Cubeta(c)

Cano(d)


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5.2 I Empleo de la segunda ley de Newlon: dinamica de partfculas

Un semaforo can masa m pende de dos cables ligeros, uno a cada lado. Los doscables cuelgan con un angulo de 45 respecto ala horizontalgQue tension hay en ca-da cable?5 .2 I Empleo de la segunda ley de N'ewton:dlnamlca de particulasAhara podemos analizar problemas de dinamica, donde aplicamos la segunda leyde~ e",,:on a cuerpos can aceleraci6n (no.en equilibrio). E l l . est.e.caso, la.fu.erza netaqu~a sabre el cuerpo no es cero, y es igual ala masa del cuerpo multiplicada parsu aceleracion:

X'..... '"'L,;F = rna (segunda ley de Newton, forma vectorial)

::2:F; = m a x ~F~ =may (5.4)(,egunda ley ~e Ne~on, f~rmade cOIP12onentes)

La estrategia que presentaremos en seguida esmuy similar a la que seguimos para re-solver problemas de equilibria en la secci6n 5.1. Esnidiela con detenimiento, yea c6mose aplica en los ejemplos y usela para resolver los problemas al final del capitulo. Re-cuerde que todos los problemas de dinamica pueden resolverse con esta estrategia.

Insistimos en que la cantidad n U i no es una fuerza; no es un empu-j6n ni tir6n ejercido par alga del entorno. Lasecuaciones (5.3) y (5.4) solo dicenque la aceleraci6n a es proporcional a la fuerza neta LF . AI dibujar el diagramade cuerpo libre de un cuerpo en aceleracion (como la fruta de la figura 5.6a),nunce incluya "la fuerza m a porque no existe (Fig. 5.Gb). Repase la secci6n 4.3 sitodavia no Ie ha quedado claro esto. A veces dibujaremos el vector aceleraci6najunto a un diagrama de cuerpo libre, como en la figura. 5.6c, pero nunca 10rnostraremos con su cola tocando el cuerpo (posici6n reservada exclusivamentepara las fuerzas que actuan sobre el cuerpo).

Normalmente usaremos esta relacion en su forma de componentes:

E s t r a t e g ia p a r ar es o lv e r p r o b le m a s

(a )I N 0 T ( )yI

~

- x Este. ve.ctor nada tienew rna que hacer en un. _ diagrarna de cuerpo

libre porquemifno es una fuerza(b)

C O r T OyI

wI :y Se puede dibujar elvector aceleraciona un Iado del -diagrama'-------- __

(e)

5 .6 (a) La unica fuerza que aetnasobre esta fruta a1caer es la atraccicngravitational de la Tierra. (b) Diagrama decuerpo libre incorrecto. (c) Diagramade cuerpo Iibre correcto.

Segunda ley de Newton: dinamica de particu.lasIDENT I HeAR los concep tos per tinen tes : Es preciso usar-la segun-d~ ley de Newton .al resolver cualquier problema-en el que inter-vengan fuerzas que actuan sobre un euerpo con aceleracion.

A1igual que en todos los problemas, identifique la incognita,que su ele se r una aceleracion 0u na fu erz a, S i e s.o tra c os a, habra queidentificar y usar otro concepto. Por ejemplo, suponga que le pi-den detenninar con q ue rap id ez se esrn mov ien do u n trineo cuan-do llega al pie de una loma. Ello implica que Ia inccgnitaes lavelocidad final del trineo, Para obtenerla, primero necesitara usarI a segunda ley de Newton para ealcular la aceleracion del trineo,

Despues, tendra que usar las relaciones para aceleracion constastede Ia seocion2.4 y obtenerIa velocidad a partir de [aaceleraci6n.PLANTEAR el problema "s igu iendo ' es tos pasos:1. H ag au n d ib ujo sen cillo d e la situ ac io n, Id en tifiq ue u no 0

mas cuerpos en movimiento a los que aplicara lasegundaley de Newton.

2. Dibuje Ull diagrams de cuerpo libre para cada cuerpoidentificado, que rnuestre tcdas las fuerzas que acniansabre el cuerpo. (No haga undibujo rnuy elegante; sim-

1 - 6 1


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162 CAPITULO 5 I Aplieaei6ndeiasleyesdeNewton

plemente represente el objeto con un punto.) Tenga cuida-do de no incluir fuerzas que el objeto ejerza sabre algunotro objeto, Recuerde que la aceleracion de un cuerpo de-pende de Ias fuerzas que acnian sobre el, no de las fuerzasque el ejerce sobre otras cosas. Asegurese de poder con-testar la pregunta: "i,Que otro cuerpo esta aplicando estafuerza?" para cada fuerza de su diagrama. Ademas, nuncaincluya la can tidad r n a en BU diagrama de cuerpo libre; [noes una fuerza!

3. Rotule cada fuerza con un simbolo algebraico para tepre-}o;;, sentar su magnitud y el valor uumerico si se cia. (Recuer--,de que las magnitudes siempre son positivas. Los signos

menos apareceran despues cuando se obtengan las C0111-ponentes de las fuerzas.) Por 10 regular, una de las fuerzassera el peso del cuerpo; rotulelo w =mg. Si se da el valornurnerico para la masa, se podra calcular el peso.

'\. Escoja los ejes de coordenadas x y y para cada objeto ymuestrelos explicitamente en cada diagrama de cuervo li-bre. No olvide indicar emil es la direccion positiva de cadaeje. Si conoce 1a direccion de la aceleracion, las casas 110f-rnalmente se s imp li fi ca n s i s e e sc og e e sa d ir ec ci on como lad ir ec c io n p os it iv a de uno de Jos ejes, Si en el problema in-tervienen dos 0mas objetos y estos se aceleran en direcoio-nes distintas, sepueden usardistintos ejes para cada objeto.

5. Identifique cualesquier otras ecuaciones que podria nece-sitar ademas de la segunda ley de Newton, 2 : , F =ima (Se.requiere una ecuacion por cada incognita). Po r ejemplo, po-dr ia neces i ta r una 0m a s de l as e cu ac io ne s p ar a movim i en -to con aceleracion constante, Si intervienen dos 0mascuerpos, podrian existir relaciones entre sus movimientos;por ejemplo, los cuerpos podrian estar unidos con una cuer-

cia. Express todas esas relaciones en forma de ecuacionesque relacionan las aceleraciones de los distintos cuerpos.

E JECUTAR la solucion como sigue:1. Para cada objeto, determine las cornponentes de las fuerzasa 10 largo de cada eje de coordenadas del objeto. Cuandorepresente una fuerza en tenninos de sus ccmporientes,tache con una l in ea o n du la da el vector original para recorderno incluirlo dos veces.

2. Para cada objeto, escribauna ecuacion aparte para cadacomponente de la segunda ley de Newton, como en laecuacion (5.4).

3. Haga una lista de todas las cantidades conocidas y desco-nocidas, identi ficando las incognitas.

4. C ompruebe que tenga tantas eouaciones C01110 incognitashay. Si le faltan e cuac io nes, retroced a al paso 5 de "Planteare1problema". Si le sobran ecuaciones, podria habet unacantidad desconocida que no se ha identificado como tal.

5. Raga la parte facil: jlos calculosl Resuelva las ecuacionespara obtener las incognitas,

EVALUAR fa respuesta: i,Su respuesta tiene-las unidades correc-tas? (En su caso, utiliceIa conversion 1 N = I kg. m/s") l,TieneeJ signo algebraico apropiado? (Si e l problema se refiere a untrineo que se desliza por una loma, probablemente escogioel.ej ex positive de modo que apuntara pendiente abajo. Si despuesobtiene una aceleracion negativa-es decir, pendiente arriba-sabra qu e hay a lg iin e rro r e n. los calculos.) Si e s p os ib le , c on si -dere valores especificos 0 cases extremes de las cantidades, ycompare los resultados con 10 que esperaba intuitivamente. Pre-g un tese "< "e8 16gico el resultado?"

, E jem p lo5.6 Mov imiento rec:tilineo con una fuerza cons tan te

Un velero para hielo descansa en una superficie horizontal sin fric-cion (Fig. 5.7a). SopJa un viento constante (en la direccion de lospatines del trineo) de modo que, 4, 0 s despues de soltarse el velero,adquiere una velocidad de 6.0 m/s (unos 22 kmlh). i,Que fuerzaconstante Fv ejerce el viento sobre el velero? La masa total (velero+ t ri pu l an te ) e s de 2 00 k g.11.1"'3( ,8IDENT lF1CAR: Nuestra incognita es una de las fuerzas (P v) que ac-tuan sobre el velero, as] que necesitaremos usar la segunda ley deNewton. Esa ley implica fuerzas y aceleracion, pero no nos dan laaceleracion, asl que habra que calcularla. Se supone que el vientoes constante, asi que las fuerzas no cambian con el tiempo y la ace-Ieraeien producida es ccnstante. Esto implica que podremos usarm:m de las formulas de aceleracion constante,

iLa figura. 5.7b muestra el diagrama de euerpo libre pa-emy el tripulante considerados como una unidad. Las fuer-

zas que acnian sobre este objeto son el peso w, la fuerza normal nejereida por la superficie y la fuerza horizontal F v (nuestra inc6gni-ta), La fuerza nera y por tanto la aceleracion estan dirigidas a la de-recha, asi que escogemos el eje + x en esa direccion.

Puesto que 11 0 se da la aceleracion, tendremos que obtenerla apartir de OITOS datos de l problema: la velocidad final v,= 6 .0 m /sy el tiempo transcurrido t = = 4.0 s. El velero parte del repose, asique la velccidad inicial es vu,=O.En Ia seccion 2.4 virnos que unae cu ac io n q ue r el ac io na la a ce le ra ci on G, con e sa s c an tid ad es e s la e cu a-ci6n (2,8), U x = vu, + aJE JECUTAR : La fuerza F v tiene la direccion +x, mientras que lasfuerzas Iiy mg tienen las direcciones +y y ~y, respectivamente,Por tanto, las ecuaciones x y y para la segunda ley de Newtonson

L:F, = = F v =maxL:F,. = /1 . -t-' ( ~mg) =0


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5.2 I Empleo de la segunda ley de Newton: dinamica de particulas 16

(a)

(Observe que la aceleracion en la direccion y es cere; el velero nose acelera hacia arriba ni hacia abajo.) Ademas, tenemos la ecua-don de acelenici6n constante

Las canri dades conocidas son la rnasa m = 20 0 kg, I a ve loc idadfinal Dx ;;= 6 .0 m /s , la velocidad in ic ia l u u, =0 y el tiernpo transcurri-do t=4. 0 s. Las incognitas son Ia aceleracion a" la fuerza normaln y la fuerza horizontal F v (la incognita), Hay tantas incognitas(tres) como ecuaciones, asl que todo va bien.

Para obtener F v, primero obtenemos a< de la ecuacion para ace-leracion constante y la sustituimos en la ecuaci6n de ZFx:

a, = 1. ix-Ul" = = 6.0 mis - Q,mis = 1.5 m/s2.r t 4.0 s

F v =rna, =(200 kg) (1 .5 m/s") = 30 0 kg . m/s2

y,n

-x

IV = m .g

(b)

5. 7 (a) Velero 'para hielo que parte delreposo, (b) Diagrama de euerpo libredel velero y su tripulante si no hayfriccion.

Un kg . m/s' equivale a un newton (N), as i que la respuesta finalr;= 300 N (unas 67 Ib)

Observe que no necesitamos la ecuacion "i,F,. para obtener FLa necesitariamos si quisieramos obtener la fuerza normal n :

n - mg = 0tt - mg = (200kg)(9.8 m/s2)

= 2 .0 X 103 N ( unas 440 Ib)La magnitud n de la fuerza normal es igual al peso cornbinado dvelero y el tripulante porque la superficie es horizontal y no actuaorras fuerzas verticales,EVALUAR : Los valores que obtuvimos para Fir y n tienen unidadede fuerza, como debe ser. i .Le parece razonable que la fuerza F "semucho menor que el peso combinado del velero y el tripulante?

Ejemp lo5 . 7 Movimiento rectilineo con una fuerzaque varia con el tiempo

C onsid erem os orra v ez el velero que se mueve sabre hielo sin fricci6n(ejemplo 5.6), pero ahora supongarnos que, una vez que el velerocomienza a moverse, su posicion en funcion del tiempo es

Obtenga la fuerza Fir ejercida por el viento en funcion del tiempoen este caso. Determine esa fuerza en el instante t = 3. 0 s. l,En qu einstantes la fuerza es cero? i'positiva? l,Negativa?

Ii.] 'It3 [13IDENTIF ICAR: Igual que en el ejemplo 5.6, F"es nuestra incognitaas! que tendremos que usaf otra vez la segunda ley.de Newton. Nnos dania aceleracion, pero eonocemos laposicion x en funcion dtiempo t; pOI tanto, podremos determinar la aceleracicn obteniendla segunda derivada de x respecto a t, como en la seccion 2.3.

Observe que la expresion para x incluye un termino en t3, qno apareceen ninguna de las f6rmulas para aceleracion constante


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164 CAPITULO 5 I Aplicaci6n de las Ieyes de NewtonEsto nos dice que la aceleracion a x no es constante, y por tanto tam-poco 10es Ia fuerza F v. La fuerza varia en esta situacion,

PLANTEAR: EI diagrama de cuerpo libre es identico al de la figura5.7, pues es valido sea Fy constante 0 no. Para determinar la acele-racion ax a partir de laposicicn x en funci6n del tiernpo, usamos laecuaci6n (2.6):

~ EJECUTAR : Dado que el diagrama de cuerpo libre es el mismo del\:jemplo 5.6, la ecuacion para la componente x de la segunda leyde Newton ta mb ie n e s la misma:

'"""'F =Fv==ma...,; .r . xLo unico que nos falta para determinar F v es obtener ax en funci6ndel tiempo. La segunda derivada de t2 es 2, y la de /3, 6 /, as! que

d":r d2 .a. = = _ . _ . =- [(1.2m/s2)t2 - (0.20 m ls 3) t 3 J dt2 dt2.= 2.4 m/s" - (1.2 m/s 3 )t

Entonces, la fuerza del viento en funcion del tiernpo esFv = mar = (200kg)[2 .4m /s2 - (1.2 mlst]=48 0 N ~ (240 Nis) t

En el instante t = 3. 0 s, el valor de F ye s 48 0 N - (240 N/s)(3.0 s) = =- 240 N . El signo menos implica que l a di reccion de la fuerza delviento es en realidad opuesta a la gue supusimos en Ia figura 5.7.jEI viento ha cambiado y a ho ra s e opone al movimiento del velero! Lafuerza es cero cuando 48 0 N - (240 N/s)! = 0; esto sucede cuandot =2 .0 S, que es cuando el viento dejo momentaneamente de soplar.Cuando t < 2.0,s, Fve s positiva y el viento esta empujando el velerohacia la derecha en la figura 5.7 CIadirecci6n +x). Cuando t >2 .0 s,F, es negativa y el viento esta empujando bacia la izquierda.EVALUAR : La figura 5.8 mues tr a graf ica s deFvY ax en funci6n deltiempo. Observe que, en este caso, F v es la fuerza horizontal netaque a et na s ob re el velero. No debora extraf iarnos que l a fuerza neta yla aceieracion sean directamentc proporcionales; segun la segundaley de Newton, s iempre e s a si ,

Fv(N)6 0 03 0 0o I--'---"~"___.L--'-- I(s)~300- { i 0 0-900

3.01.5o r-'--'~..L...=....L-""'__ t (8)-1.5-3.0-4.5

(a) (b)5.8 (a) La fuerza neta sobre el velero es directamenteproporcional a (b) su aceleracion,

Ejemplo5.8 . Mavimienta rectilinea can friccienSuponga que e1viento esta sop lando otra vez de forma constante enla direccicn +x, como en el ejemplo 5.6, de modo que el velero tie-

...:'neuna . ace le rac ion constante a~=J . 5 m /s ". A h ora, e mp ero hay unafuerza de friccion horizontal constante con rnagni tud de"] 00 N quese opone a l movirniento del velero, i,Que fuerza F; debe ejercer elviento sobre el velero?1 1 1 j1 1 ( 3 " DI D EN T I F IC AR : Una vez mas, la incognita es Fv. Nos dan la aceleracion,as i que s610 necesi tamos l a s egunda ley de Newton para obtener F v.PlANTEAR: La figura 5.9 muestra el nuevo diagrama de cuerpo Ii-bre. La unica diferencia respecto a la figura 5.7b es Ia adici6n de lafuerza de friccion t. que apunta en Ia direccion opuesta al movi-miento, (Observe que su magnitud.f = 100 N, es positiva, pero sucomponen te en la direcci6n x esnegativae igual a +f,0 sea, - 100N.)EJECUTAR : Ahora hay dos fuerzas CIadel viento y la de friccion)con componenre r.La componentex de la segunda ley de Newton da2 : F " , =r, + (-j) =ma,

F I, =ma, + f= (2 00 k g) (1.5 rnIs2) + ( l o a N) = = 400 N

EVALUAR : Debido a la friccion, se requiere una fuerza F v mayorque la del ejemplo 5.6. Necesitamos 100 N pam veneer la fricci6ny 30 0 N mas para impartir al bote Ia aceleracion requerida,

yIn

f Fv~+-":"-x

w=mg

5.9 Diagrama de CJlerpo libre del velero y su tripulante con unafuerza de friccion f opuesta al movimiento.


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5.2 I Empleo de la segunda ley de Newton: dinamica de partfculas 1

Ejemp lo5. 9 T en sio n en un cab le de elevad orUn elevador y su carga tienen masa total de 800 kg (Fig. 5.10a) yoriginalmente esta bajando a 10.0 m/s; se le detiene con aceleracionconstante en una distancia de 25.0 m. Calcule la tensi6n Ten el ca-ble de soporte mientras se esta deteniendo el elevador,

1 1 1 1~

r " . ~.. " "I'~

T '~ L

y1

T

w=mg

Baja con rapidezdecreciente

(a) (b)5.10 (a) Un eIevador eargado en deseenso se deriene,(b) Diagrama de cuerpo libre del elevador. Al iguaJ que en lafig ura 5 .6 , d ib ujamo s e l vector de aceleracion a un lado deldiagrama de cuerpo libre porque la aceleracion no es una fuerza.

.i.tN3l tm lIDENTIF ICAR: La incognita es la tension T, que obtendremos conla segunda ley de Newton. Al igual que en el e jemp lo 5 .6 , t end re rno sque determinar la aceleracion empleando las formulas de acelera-ci6n constante.PLANTEAR: EI diagram a de cuerpo Iibre de l a f igu ra 5.1Ob mues-tra las (micas fuerzas que actuan sobre el elevador: su peso w y lafuerza de tensi6n T del cable. EI elevador esta bajando con rapidez

decreeiente, asi que su aceleracion es hacia arriba; escogemos el+ y en esa direccion,EI elevador se mueve hacia abajo, en la direccion ~y. Por tansu velocidad inicial VOy y su desplazarniento y - Yo son negativoVOl' =-10.0 m/s y Y - Yo = -25.0 m, La velocidad final es vI' =Para obtener la aeeleraci6n al' a partir de esta informaci6n, usaremla ecuaci6n (2.13) en la forma v/ =B y + 2ay(Y - Yo). Una vque tengamos ay , la sustituiremos en la componente y de la segunley de Newton [ecuacion (5.4)].EJECUTAR:Escribamos primero la segunda ley de Newton. La fuerde t ensi on a et na hac ia arriba y el peso 10 hace hacia abaj o, a sl que

2:Fy = T + ( -w ) = ma."Despejamos la inc6gnita T:

T = IV + may = mg + may =meg + ay)Para determinar ay' reacomodamos la ecuacion de aceleracionconstante u} = V 5 y + 2ay(Y - Yo):

v/-V~y (0)2-(-10.0m/s)2a = = =+2.00 m/s?,. 2 (y -yo) 2( -25.0 m)La aceleracicn es hacia arriba (positiva), como debe ser en el cade un rnovirniento hacia abajo can rapidez decreciente.

Ahora podernos sustituir la aceleracion en la ecuaci6n detension:

T =meg + ay )=9440N (800kg)(9.80m!s2 + 2.00m/5

2)

EVAL IJAR: Vemos que Ia tensi6n debe ser 1600 N mayor que el pso (w =mg =7480 N). Esto es 16gico: debe haber una fuerza nehacia arriba que produzca la aceleracion bacia arriba que detieneelevador, 2,Entiende ellector que obtendriamcs el mismo valor desi el elevador estuviera ascendiendo y aumentando su rapidezraz6n de 2.00 rn/s' '?

Ejemp lo5.10 P eso aparente en un elevador con aceleraclonUna mujer de 50.0 kg se para en una bascula dentro del elevador delejemplo 5.9 (Fig. 5.I la). i .Que marca la bascula?.iel ! II ; [ .1 1 1IDENTIF ICAR: La bascula marca Ia magnitud de la fuerza hacia

ejerci da par fa bascula sobre Ia mujer. Por tanto, nuestra inc6gnitala magnitud n de la fuerza normal,

Obtendremos n aplicando la segunda ley deNewton. Por suerte,conocemos la aceleracion de Iamujer; es Ia misma que la aceleraciodel elevador, que calculamos en el ejemplo 5.9.

abajo ejercida por la mujer sabre la bascula; por la tercera ley de PLANTEAR: La figura 5.11b es till diagram a de cuerpo libre paraNewton, esto es igual a la magnitud de la fuerza normal hacia arriba mujer. Las fuerzas que actuan sobre ella son la fuerza normal n . ejerc


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5 .11 (a) Mujer en el elevador que frena. (b) Diagrama de cuervoIibre de la mujer,

166

rl ~ ~~.~ ~" ~;, ' "I~~ ~H f -- -J , : _ _! . . . . . .\ I .

Baja con rapidezdecreciente

(a)

CAP rr U LOS t Aplicaci6n de las leyes de Newton

yI

EJECUTAR: La segunda ley de Newton da2 ; F ) ' = n + ( -mg ) =ma;.

11 =mg + may"" meg + ay )= (50.0 kg)(9.80 m/52 + 2.00 m/s") = 590 N

n ta), EVALUAR : EI valor obtenido para n implica que, mientras el elevadorse esta deteniendo, la bascula empuja a la rnujer can una fuerza de590 N hacia arriba. Por la tercera ley de Newton, la mujer empuja labascula hacia abajo eon la misma fuerza, asi que la bascula marca590 N, 100 N mas que s u peso real. La lectura e .s el peso aparentede la mujer; esta siente que el piso empuja con mayor fuerza sus piesque cuando el elevador esta parade a se mueve a velocidad constante,

"Que sentiria la mujer si el elevador estuviera acelerando haciaabajo, de modo que ay = = -2.00 m/s2? Esto sucederia si el elevadorestuviera subiendo con rapidez decreciente 0 bajando con rapidezcreciente, Para obtener la respuesta simplemente insertamos el nuevovalor de ay en nuestra ecuacion para 11 :

n =meg + a,,) = (50.0 kg)[9_80 m/s2 + (-2.00 m/s") ]= 390N

xw=490N

(b)

da por la bascula y su peso w = = mg =(50,0 kg)(9.80 m/s2) =490 N.(La fuerza de tension, que desempeiio un papel protagonico en elejemplo 5_9,no aparece aqui, Bllo se debe a que la tension no actuadirectarnente sobre la mujer, Lo que ella siente que empuj a hacia arri-ba contra sus pies esla bascula, no el cable del elevador.) Por el ejem-plo 5.9, la aceleracion de e l e levador y la m ujer es Gy = +2,00 m/s'.

Ahora la rnujer siente que pesa solo 390 N , 100 N menos que supeso real.

Ellector puede sentir estos efectos dando ll110S pasos en un ele-vador que se esta frenando despues de descender (cuando su pesoaparente es mayor que su verdadero peso w) 0 de ascender (cuandosu peso aparente es menor que w ).

A c t ' I VP h y s c s2 .1 5 C a rre ra d e a uto m 6 vile s2 .2 Lev anta r una ca ja2 ,3 Baja r una ca ja

5 .12 Los astronautas en orbita sientenque DO tienen peso porque tienen larnisma aceleracion que su nave, 110 porqueesten "fuera del alcance de la gravedadterrestre", (S i as! fuera, los astronautas ysu nave no permanecerian en orbita, seinternarian en el espacio exterior.)

Generalicemos el resultado del ejemplo 5,10. Cuando un pasaj ere de masa 1 1 1viaja en un elevador con aceleracion vertical aJ, una bascula da como peso aparentedel pasajero

n = m (g + ay )Si uy es positiva, el elevador esta acelerando hacia arriba (sube con rapidez ere-ciente a baja con rapidez decreciente) y n es mayor que el peso del pasaj ero w = mg.Si el elevador acelera hacia abajo (sube con rapidez decreciente 0 baja can rapi-dez creciente), aJ'es negativa y n es menor que w. Si el pasajero no sabe que elelevador esta acelerando, sentira que 81 1 peso cambia y de hecho la bascula in-dica eso.

E I caso extrema se da cuando elelevador tiene una aceleracion hacia abajoaJ'= - g, 0 sea, cuando esta en caida libre. En este caso, n = 0 y el pasajero sien-te que no tiene peso. As! misrno, un astronauta en 6rbita experimenta ingravidezaparente (Fig. 5.12). En ambos casas, la persona aun tiene peso, porque actua so-bre ella una fuerza gravitacional, pero el efecto de esta condicion de caida libre esel mismo que si el cuerpo estuviera en el espacio exterior sin experimentar grave-dad. En ambos casas, la persona y su vehiculo (elevador 0 nave) estan cayendojuntos con la misrna aceleracion g, as i que nada ernpuja a la persona contra el pisoo paredes del vehiculo,Una ingravidez aparente prolongada tiene importantes consecuencias fisiologi-

cas para los astrouautas. Los fluidos del organismo se redistribuyen, congestionanlos senos faciales y causan que las piernas se adelgacen. Los rmisculos y huesos


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5.2 I Empleo de la segunda ley de Newton: dinamica de parnculas 167que normalmente sostienen un peso en la Tierra tienden a deteriorarse, y la cons i-guiente perdida 6sea puede causar calculos renales, Los investigadores medicosestan explorando formas de aminorar estos y otros efectos de los vuelos espacia-les de larga duracion,

5.13 (a) Un tobogan cargado baja deslizandose por una colina sin friccion, (b) E1diagra-rna de cuerpo libre muestra que la componente x del peso, w sen a, aceiera el tobogancuesta abajo.

Ejemp fo5.11 4ce le racic in cues ta abajo

Untobogan cargado de estudiantes en vacaciones (peso total w) sedesliza por una larga cuesta nevada (Fig. 5.13a). La pendiente tieneun angulo ccnstante cr, y el tobogan esta tan bien encerado que lafriccion es despreciable. inue aceleracicn tiene e[ tobogan?Ij']1It3[,j~1IDENTIF ICAR: Nuestra incognita es la aceleracion, que obtendre-mos aplicando la segunda ley de Newton. No hay friccion, as! quelas unicas fuerzas que acnian sabre el tobcgan son su peso w y lafuerza normal it ejercida POf la colina. Lo nuevo de este ejernplo esque la fuerza normal esta dirigida con cierto angulo respecto a lavertical y no es opuesta al peso. Par tanto, deberemos usar amboscornponentes de 'Z F = m i l . en Ia ecuacion (5.4).PLANTEAR : La figura 5 .J3 b muestra el diagrama de cuerpo libre,Tomamos ejes paralelo y perpendicular a la colina de modo gue laaceleracion (que es paralela a ia colina) tenga la direcci6n +x.E JECUTAR : La fuerza normal s6lo tiene componente y, pero elpeso tiene componentes x y y : lV, = W sen a y W y =-w cos a.(Compare con el ejernplo 5.4, donde la componente x del pesoera -w sen a. La diferencia es que en el ejemplo 5.4 el eje + xera cuesta arriba yaqui es cuesta abajo.) La linea ondulada de lafigura S.13b nos recuerda que descompusimos el peso en suscomponentes.

(a)

A c t l VP h y s c s2.4 Despegue de cohete2 11 Maquina de Atwood modificada

La aceleracion es exclusivamente en la direcci6n +x, asi que av= o . La segunda ley de Newton en forma de componentes nos diceentonces que

: ; S F , = ]V sen a =ma;:SFy =n - w cos a = ma), =0

Dado que w =mg, la ecuacion para la componente x nos dice quern.g sen IT = ma" 0 sea

a x =g sen C!Observe que no necesitamos la ecuaci6n de la componente y para ob-tener la aceleracion. Esa es la ventaja de escoger e l eje x en la direccionde la aceleracion. La que nos da las componentes y es Ia magnitud dela fuerza normal que la superficiede la celina ejerce sobre el tobogan:. .

n = w cos a = mg cos a:

EVALUAR : Observe que la masa no aparece en el resultado final,Esto implica que cualquier tobogan, sin importar su masa 0numerode pasaj eros, se desliza por una colina sill.friccion con aceleraciong sen IT. En particular, si el plano es horizontal, a = 0 ya, = 0 (elrobogan no se acelera); si el plano es vertical, a=90 yax =g (el to-bogan esta en caida libre).

y/

w=mg(b)


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168 CAP f T ULOS 1 Aplicacion de las leyes de Newton

yn La cantidad lilano es una fuerza; no

tiene lugar en undiagrama de cuerpolibreLa fuerza normal noes vert ical porque 1a

superficie (que estaen el ejex) 'esra inclinada

w=mg

(a)

y/Se puede dibujar elvector de aceleracionadyacente al cuerpo(perc sin tocarlo)

La fuerza normales perpendiculara 1 : 1 sliperficie

w=mg

~.

x

(b)5.14 (a) Diagrama de cuerpo libre incorrecto para el tobogan. (b) Diagrama correcto,

Observe tambien que la fuerza normal n no es igual al peso deltobogan (compare con el ejemplo 5.4 de la seccion 5.1). No necesi-famos este resultado aqui, pero sera util despues,

J . ! ! . ! ~ ~ ' " La figura 5.14a muestra una forma incoriecte co-rnun de dibujar el diagrama de cuerpo libre del toboqan. Hay dos

errores: lafuerza normal debe ser perpendicular a la superficie, ynunca debe incluirse la "fuerza r n i i . Si recuerda que "normal" 5 1 g -nifica "perpendicu lar" y que la rnasa multiplicada por la aceIera-cion no es una fuerza, tendril siempre buenas posibilidades dedibujar diaqrarnas de cuerpo l ibre correctos (Fig. S.14b).

Ejemp lo5.12 Dos cuerpos con la m isma aceleracienImagine que empuja una bandeja de 1.00 kg sobre el mostrador deuna cafeteria con una fuerza constante de 9.0 N. Al moverse, la ban-deja empuja un envase de leehe de 0.50 kg (Fig. 5.15a). La bandejay la leche se desl izan sabre una superficie horizontal tan grasosa quese puede hacer caso orniso de la fricci6n. Obtenga la aceleracion delsistema y la fuerza horizontal que la bandeja ejeree sabre la leche,

IDENT IF ICAR: En este ejemplo hay do s incognitas: la aceleraciona, .del sistema bandeja-leche y la fuerzaFs,obreL de labandeja sabre laleche. Usaremos otra vez la segunda ley de Newton, pero tendremosque aplicarla a dos cuerpos distintos para obtener dos ecuacionesfllllil para cada inc6gnita).

lANTEAR: Hay dos formas de plantear el problema.erodo 1: Podemos tratar a la bandeja (masa mB ) Ya la leche

~ ~ como cuerpos aparte, cada uno con su propio diagramac .e fibre (Fig. S.15b). Observe que la fuerza F que usted ejerce- ~ - ~eja no aparece en el diagrama de cuerpo libre de la

- ..._ b are que la leehe se acelere es la fuerza de magnitud::-:;c-.:.. ~ '"Oandejaejerce sobre ella. Por la tercera ley de Newton,

la leche ejerce una fuerza de igual magnitud sobre la bandeja: F L sobre B=FB sobre L' Escogemos que la aceleraci6n tenga la direcci6n + x ; Iabandeja y la leche se mueven can la misma aceleracion a..

Metoda 2: Podemos tratar a la bandeja y .1aleche como un cuerpocompuesto con masa m=mB + niL = 1.50 kg (Fig. 5.15e). La unicafuerza horizontal que actua sobre este cuerpo cornpuesto es la fuerzaF que usted ejerce. Las fuerzas F B sO O" L Y F L s ob rc B no intervienen por-que son in ternas respecto a este cuerpo eompuesto, y la segunda leyde Newton nos dice que solo las fuerzas ex te rn as afectan la acelera-cion de los cuerpos (vease la seccion 4.3). Esto implica que necesita-rernos una ecuacion adicional para determinar lamagnitud Fa sob re L siempleamos este metcdo; obtenemos esa ecuacion aplicando lasegunda ley de Newton al envase de leche, igual que en elmetcdo 1.EJECUTAR: Metoda 1: Las ecuaciones de cornponente x de la se-gunda ley de Newton para la bandeja y la leche son

Bandeja: 2:rx = F - Fr_,ohceB = F - Fn sobreL = msaxLeche: 2 :F, =FB,obreL=mBax

Asi, tenemos des ecuaciones sirnultaneas con las incognitas a; YF B s o bre r- (S610 necesitarnos dos ecuaciones, 10que irnplica que las


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1 69.2 I Empleo de la segunda ley de Newton: dinamica de particulas

5 .15 (a) Se empujan una bandeja y un envase de leche sobre el rnostrador de unacafeteria. (b) Diagramas de cuerpo libre individuales para la leche (izquierda) y labandeja (derecha). (c) Diagrama de cuerpo libre para la leche y la bandeja como cuerpocornpuesto,

mil = 1.00 kg(a)

yI

FLsobreB =F F8 s ob re L

x _-_ - ... --- ... ~-

Envase de Ieche Bandeja(b)

cornponentes y no desempefian ningun papel en este ejemplo.) Unaforma facil de resolver las dos ecuaciones es sumarIas; esto elimi-na F E sobrc L Y nos da

F = mBa, + mLa, = (m8 + IIlL)a,y

Fa =----x Ins + m!..

9.0N . 2------ =60 m/s1.00 kg + 0.50 kg .Sustituimos este valor en la segunda ecuaci6n (la de la leche) y ob-tenemos

FBsobreL = InLax = (0.50kg)(6 .0m/s2) =3.0NMetoda 2: La componente x de la segunda ley de Newton para

el cuerpo compuesto con masa III es2:Fx '" F =ma,

y la aceleracion de este cuerpo cornpuesto es

yI

F

11

.1'--.----t

w

~2~Leche y bandeja como unidad

(e)

F 9.0N ,a" =- =--- = 6 0 m/s"m. L50kg .Ahora examinamos el envase de leche solo. Vemos que, si querernosimpartirle una aceleracion de 6.0 m/ 52, la bandeja debera ejercer sobreel una fuerza de

EVALUAR: Obtenemos las mismas respuestas con los dos metodos,como debe ser. Para verificar las respuestas, observe que las fuer-zas a cada lado de la bandeja son distintas: F = 9.0 N a la derechay FL,obreB = 3.0 N ala izquierda. Por tanto, la fuerza neta horizon-tal sobre la bandeja es F - FLsobre B = 6.0 N, que es exactamente laque se necesita para acelerar una bandeja de 1.00 kg a 6.0 mls2

EI metodo de tratar los do s cuerpos como un solo cuerpo compues-to funciona unicamenle si los dos cuerpos tienen larnisrna aceleracion(rnaguitudy direcci6n). Si las aceleraciones son distintas, deberemostratar los cuerpos individualmente, como en el ejemplo que sigue,


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1 70

cuerpos deben tener la misma magnitud a. Pcdemos expresar estarelaci6n asi

CAP f TU L0 5 I Aplicaci6n de las leyes de Newton

Ejemplo. 5.13 D os cue rpos con la m ism a magnitud de aceleracienEn la figura. 5.16a, un deslizador de masa ml se mueve sabre un rielde aire horizontal sin fricci6n en el laboratorio de f is ic a. E I d es li za do resta coriectado a una pesa de masa m2 mediante un cordel ligero,flexible e inelas tico que pasa por una pequeiia polea s in f ri cc io n, C a lc u-le Ja aceleraci6n de cada cuerpo y la tension en el cordel,11 . )11[ ;1 .8IDENTIF ICAR: Tenemos objetos que se estan acelerando, asi quedeberernos usar la segunda ley de Newton. Hay tres inc6gnitas: latensi6n T en el cordel y las aceleraciones de los dos cuerpos. Portanto, necesitaremos hallar tres ecuaciones simultaneas en las queintervengan esas variables.PLANTEAR: Los dos cuerpos limen diferente movimiento, uno verti-cal y el otro horizontal, asi que no podemos considerarlos juntos comoen el ejemplo 5.12. Necesitaremos diagramas de cuerpo libre indivi-duales para c ad a u no , Las figuras 5.l6b y 5.16c muestran los diagra-mas de cuerpo libre y sistemas de ejes correspondientes. Convienehacer que ambos cuerpos aceleren en la direccion positiva de un eje, as ique escogemos la dircccion + y para la pesa hacia abajo. (No hay pro-blema si usamos diferentes ejes de coordenadas para los dos cuerpos.) -

No hay friccion en la pole a y consideramos que el cordel no tienemasa, as! que la tension Ten el cordel es homogenea; aplica una fuer-za de magnitud T a cada cuerpo, (Podria ser conveniente repasar elejemplo conceptual 4.10 de la secci6n 4.5, donde v im os la fuerza detension ~jercida por un c ord el sin masa.) Los pesos son m ig Y Iil~_

Si.bien las direcciones de las dos aceleraciones son distintas, susmagn i tudes son iguales. Ello se debe a que 1 0 1 cordel no se estira;pOI_tanto, los dos cuerpos deberan avanzar distancias iguales enti~iPp~s:'i_guales,y sus rapideces en cualquier instante dado deberanseriguales, Cuando las rapideces carnbian, 10 hacen en la rnismacaniidad en un tiernpo dado, as! que las aceleraciones de los dos

(a)

ai, = azy = = aGracias a esta relacion, en realidad s610 tenernos dos incognitas: ay la tension T .EJECUTAR: Para e l desl izado r en el riel, la segunda ley de Newton da

Deslizador: :Fx = T = mlaL, = mlaDeslizador: : F v = It + ( -mig ) = mllll), = 0

En e l c as e dela pesa, las {micas fuerzas actuan en la direcci6n y, as i quePesa: L F y = = m2g + (-T) = m21l2y = ' l 1 - : ! a

En estas ecuaciones, hemos usado las relaciones all' = 0 (el desli-zador no se acelera verticalmente) y al x =a2 y = = a (los dos objetostienen la misma rnagnitud de aceleracioq).

La ecuacicn x para el deslizadoryla ecuacion para la pesa nosdan des ecuaciones sirnultaneas para las incognitas T y a:

Deslizador: T = mlaPesa: in2g - T = m2a

Sumamos estas ecuaciones para eliminar T nos da:1il2g=m iG + m2a = (ml + m2)a

Asi, la magnitud de la aeeleracion de ambos cuerpos es111,a = - gml + in 2

Sustituimos esto en la primera e cu ac io n ( la del deslizador) para obtener:

yIn

T -x

yDeslizador

(b)Pesa(c)

5.16 (a) Una pesa acelera un deslizador por un riel de aire, Diagrarnas de cuerpo Iibrepara (b) el deslizador (rnasa 1 1 1 , ) y (c) la pesa (rnasa m;) .


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ta en el presente ejemplo! La unlca estrategia segura essiempre tratar a la tensi6n como una variable, como 10 hi-cimos aqul.

5.3 I Fuerzas de friccion

EVALUAR : La aceleracion es menor que g, como cabia esperar;la pesa se acelera maslentarnente porque la tension en el cordel lafrena.

La tension T no es igual al peso m~ de la pesa; es meno r segunel factor m/(m, + m2)' Si T fuera igual a 111~, la pesa estaria enequilibria, cosa que no sucede._,=""-"=-_" Esun error (amlin supaner que, si un abjetaesta unida a un cordel vertical, la tensi6n en el cordel de-be ser: i gual al peso del objeto. Era asi en el ejempla 5.5,donde la aceleraci6n era cera, iperc la situaci6n es distin-

171

Par ultimo, revisemos algunos casas especiales. Si nl =0, lapesa cae libremente y no hay tension en el cordel; las ecuacionesdan T = = 0 ya =g cuando 1 1 1 1 = 0, Par otra parte, si m2:: 0, no es-perarnos tension ni aceleracion; en este cas a las ecuaciones danT = 0 y a =O. Asi, en ambos casos especiales, los resultadoscoinciden con la intuici6n.

Imagine que desciende por una pendiente de 3.00 en un trineo cuyos patines notienen friccion, La masa combinada de usted y el trineo es de 90 kg. Para controlarla rapidez, usted arrastra los pies en 1anieve. z,Que fuerza paralela a " 1 0 . pendiente debera ejercer para que el trineo se frene a razon de 2.0 m/s2?

5 .3 I F uerzas de frtccionHemos visto varios problemas en los que un cuerpo descansa 0 se desliza sobreuna superficie que ejerce fuerzas sobre el cuerpo, y hemos usado los terminosfuerza normal y fuerza defriccion para describirlas. Siempre que dos cuerpos inte-ractuan por contacto directo de sus superficies, llamamos a las fuerzas de interaccionfuerzas de contacto, Las fuerzas normal y de fricci6n son de contacto,

En esta seccion nos interesa principal mente la friccion, una fuerza importanteen muchos aspectos de nuestra vida, EI aceite del motor de un auto reduce la fric-ci6n entre piezas moviles, pero sin fricci6n entre las ruedas y el camino no podriaavanzar el coche ni dar vuelta. EI arrastre del aire -la fricci6n ejercida pOl'e1airesabre un cuerpo que se mueve a traves de e i " " 7 " " " reduce el rendimiento del combus-tible en los autos pero hace que funcionen los paracaidas, Sin friccion, los clavosse saldrian, las bombillas y tapas de frascos se desatornillarian sin esfuerzo y losdeportes C01110 el ciclismo y el hockey sabre hielo sedan imposibles (Fig. 5.17).F ric cio n c in eti ca yestaticaConsideremos un cuerpo que se desliza por una superficie. Si tratamos de deslizaruna caja con libros p or el piso, no 10 lograremos si no aplicamos cierta fuerza mini-ma. Luego, la caja comienza a moverse y casi siempre podemos mantenerla en 1110-vimiento con menos fuerza que la que necesitamos inicialrnente, Si sacarnos algunoslibros, necesitaremos menos fuerza que antes para poner 0 mantener en movimientola caja. i,Que podemos afirmar en general acerca de este comportamiento?Primero, cuando un cuerpo descansa 0 se desliza sobre una superficie, siempre

podemos r ep re sent ar l a fuerza de contacto que la superf ic ie e je rce sob re el cuerpo enterrninos de componentesde fuerza perpendiculares y paralelos a la superficie, Co-mo hicimos antes, llamaremos a la componente perpendicular fuerza normal, deno-tada con ii.EI vector componente paralelo a la superficie es la fuerza de friccion,denotada can]. POl'definicion, n y t son perpendiculares entre sf. Si lt~superficieno tiene friccion, la fuerza de conracto solo tendra componente normal y f sera cera.

5 .17 El hockey sabre hielo depende cru-cialmente de que exista justa la cantidadcorrecta de friccion entre los patines de losjugadores y el hielo, Si hubiera demasiadafriccion, los jugadores se rnoverian muylentamente; si la friccion fuera insuficien-te, no podrian evitar caerse,


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12

A c t l O VP h y s c s2 .5 C arnien que tira de una ca ja2 ,6 E m p uja r una ca ja h-a ciaa rrib ac on tra u na p are d2,7 E squiado r que b aja una cues ta2..8 E squiado r y c ue rd a d e re m o lq ue2, 1 0 C a m i6n que tira de do s ca jas

Piso

Las supe rf ic ie sno sonperfectameu teIisas

5.18 Las fuerzas normal y de fricci6n sur-gen de inreraeciones entre moleculas enpuntos altos de las superficies del bloquey de l piso.

CAP f T U L 0 5 I Aplicaci6n de las leyes de Newton

(Las superficies sin friccion son una idealizacion inasequible, pero podemos apro-ximarla si los efectos de la friccion son insignificantes.) La direccion de la fuerza defriccion siempre es opuesta al movimiento relativo de las dossuperficies,El tipo de fricci6n que aetna cuando un cuerpo se desliza sabre una superficie

es la fuerza de friccion cinetica f k ' El adjetivo "cinetica" y el subindice "k" nosrecuerdan que las dos superficies se mueven una relativa a la otra, La magnitud deesta fuerza suele aumentar al aumentar la fuerza normal. Es por ella que necesita-mas mas fuerza para deslizar una caja llena de libros que la misma caja vacia. Esteprincipio tambien se usa en los sistemas de frenos de automoviles; si las zapatasse aprietan con mas fuerza contra los discos giratorios, mayor es el efecto de fre-nado. En muchos casos.Ia magnitud de la fuerza de friccion cineticaj, experimen-tal es aproximadamente proporcional ala magnitud n de la fuerza normaL En talescasos, representamos 1arelacion can la ecuacion

0nagnitud de 1afuerza de fric~ion cinetica) ~ .55)donde I L k es una constante Hamada coeficiente de trlccion clnetica, Cuanto masresbalosa es una superficie, menor es el coeficiente. Al ser un cociente de dosmagnitudes de fuerza, I L k es un numero puro sin unidades,

1...!.t:!UJ~~t.I Recuerde que las fuerzas de fricci6n y la normal siempre son per-pendiculares. La ecuaci6n (5.5) no es vectorial, sino una relaci6n escalar entrelas magnitudes de las des fuerzas perpendiculares.

La ecuaci6n (5.5) s610 es una representacion aproximada de un fenomeno com-plejo. En el nivel microscopico, las fuerzas de friccion y la normal se deben a lasfuerzas intermoleculares (fundamentalmente electricas) entre dos superficiesas-peras en los puntas en que entran en contact? (Fig. 5.18). El area de contacto realsuele ser mucho mas pequefia que el area superficial total. AI deslizarse una c . q E .sobre el piso, se forman y romp en enlaces entre las dos superficies, y el munemtotal de enlaces varia; par ella, la fuerza de friccion cinetica no es perfectamemeconstante. Si alisamos -las superficies, podriamos aumentar la fricci6n, pues ~moleculas podrian interactuar y enlazarse; juntar dos superficies lisas del mismcmetal puede producir una "soldadura fria". Los aceites lubricantes funcionan per-que una peliculade aceite entre dos superficies (como los pistones y cilindros ceun motor) evita que entren realmente en contaeto.

La tabla 5.1 presenta algunos valores representativos de I L k ' Aunque damos eescifras significativas, son valores aproximados, ya que las fuerzas de friccion ilS.-bien dependen de la rapidez del cuerpo relativa ala superficie. Por ahara, h~caso omiso de este efecto y supondrernos que I L k st, son independientes de la = =pidez, para concentrarnos en los casos mas simples. La tabla 5.1 tambien da eoe-- IlCl en \e s a .e f ri .c ci 6n estuticu, C\.ueoie1 \U\1 :eUlO'6 eu \ )1:e \ le .

Las fuerzas de fricci6n tambien pueden actuar cuando no hay movimiento relzz-vo. Si tratamos de deslizar la caja con libros, tal vez no se mueva porque el ~ejerce una fuerza de friccion igual y opuestasobre la caja, Esta se llama fuerza defricci.6n estatica i: En la figura 5 .19a, la caja esta en reposo, en equilibrio, bajola aceion de su peso if. y la fuerza normal haciaarriba ii . igual en magnitud al pe-so (n =w) y ejercida por el piso sabre la caja, Ahora atamos una cuerda a la caja(Fig. 5.19b) y gradual mente aumentamos la tension T en ella. Al principio, Iacaja no. se mueve porque, al aumentar T, la fuerza de friccion estatica j, tambienaumenta (su magnitud se mantiene igual aT) .


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5.3 I F uerzas de friccion

Tabla 5 .1 C oe ficie nte s d e fricc io n ap ro xim ad osCoeficiente de' Coeficiente de

fricci6n estatica, M , fricci6n clnetica, IL katertales

173No se aplica fuerza,caja en reposof,= 0

Acero en acero 0.74 0.57A1um inio en acero 0.61 0.47Cobre en acero 0.53 0.36"Laton en acero 0.51 0.44Zinc e n hierro colado 0.85 0.21Cobre en hierro colado 1.05 0.29V id rio en vidrio 0.94 0.40Cobre en vidrio 0.68 0.53Teflon en teflon 0.04 0.04 (a)Teflon e n a ce ro 0.04 0.04R ule en concreto (seco) 1. 0 0. 8 Fuerza aplicada debil,R ule en concreto (hum edo) 0.30 0.25 I c aja permanece e n r ep os of; < /L,!l

En algun momento, T se hace mayor que la fuerza de fricci6n estatica j ; maximaque la superficie puede ejercer; la caja "se suelta" (la tension Tpuede romper los en-laces entre moleculas de las superficies de la caja y el piso) y comienza a deslizarse.La figura 5.19c es el diagrarna de fuerza cuando Z'tiene este valorcritico. S i Texee-de el valor, 1acaja ya no esta en equilibrio. Para un par de superficies dado, el valormaximo def; depende de la fuerza normal, Los experimentos han revelado que, enmuchos casas, dicho valor, Ilamado C f s ) m : h , es aproximadamente proporcional a n ;llamamos coeficiente de friction estatica al factor de proporcionalidad Ms. En la ta-bla 5.1 se dan valores representatives de fL . En una situacion dada, la fuerza de fric-cion estatica real puede tener cualquier magnitud entre cero (cuando no hay otrafuerza paralela ala superficie) y un valor maximo dado por f . L s n . En simbolos,

_ _ j ; s-P:,:1= -=-(~ag1!ihld.de la fU~1'iade fri~ci6n estatica) (5,6)Al igual que la ecuacion (5.5), esta es una relaci6n entre magnitudes, no vecto-

res. La igua1dad s610se cumple cuando la fuerza aplicada T,paralela a la superficie,a lc anza e l valor critico en que el mov im ien to e sta a punto de cornenzar (Fig. 5.19c). SiTes menor (Fig. 5.19b), Secumple la desigualdad y debemos usa!"las condicionesde equilibria ( 2 : . F = 0) para obtenerf,. Si no se aplica fuerza (T = 0), como enIa figura 5.19a, tampoco hay fuerza de friccion estatica (f, = = 0).

Apenas inicia el deslizamiento (Fig. 5.l9d), la fuerza de friccion sue1e dismi-nuir; es mas facil mantener.1a caja en movimiento que ponerIa en movimiento. Portanto, el coeficiente de friccion cinetica sue1e ser menor que el de fricci6n estati-ca para un par de superficies dado (vease la tabla 5.1). Si eomenzamos con cerofuerza apJicada en t = 0 y aumentamos gradual mente la fuerza, la fuerza de fric-cion varia un poco, como se rnuestra en la figura 5.20.En algunas situaciones, las superficies se atoran (fricci6n estatica) y deslizan

(friccicn cinetica) de forma altema, Esto es 10que causa el horrible chirrido de 1atiza aplicada con cierto angulo a un pizarron, de los limpiaparabrisas cuando el vi-drio esta casi seco y de los neumaticos deslizandose en el asfalto. Un ejemplo maspositivo es e1movimiento de un arco de violin contra una cuerda.

Cuando un cuerpo se desliza sobre una capa de gas, Ia fricci6n puede reducirsemucho. En el riel de aire empleado en los laboratories de fisica, los deslizadoresse apoyan en una capa de aire. La fuerza de friccion depende de 1avelocidad, peroe1coeficiente de fricci6n efectivo normalmente es del orden de,0.001. Un dispositi-vo similar es la mesa de aire, donde los discos de hockey son sostenidos por unamatriz de chorros de aire separados unos 2 em.

(blMayor fuerza aplicada,caja a punto de deslizarsei.= f l . - s ' !

(c)La caja se desliza

co n rapidez constanteA =/Lk'!

C d )5 .19 (a), (b), (c) Si DO ha y movimiento re -lativo de las superficies.Ja magnitud de lafuerza de friccien estaticaj, es igual 0me-nor qu e / J . , n . 'd) S i hay rnovimiento relati-vo, Ia magnitud de la fuerza de friccioncineticaJk es igual a / k k 1 1 .


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1 74 CAP f T U L 0 5 I Aplicaci6n de las leyes de Newton

f

. f i c

5.20 En respuesta a una fuerza aplicadaexternamente, la fuerza de friccionaumenta hasta (f~)m"'- Luego las superficiescomienzan a deslizarse una sobre otra y lafuerza de friccion baja a un valor casiconstante f i c . La fuer~a de friccion cineticavaria un poco al formarse y romperseuniones intermoleculares.

AI aumentar la fuerzaaplicada, la fuerza de friccionestatica aumenra paramantener la caja en reposo La caja comienza a moverse

cuando la fuerza aplicada esigual a Ia fuerza defriccionestatica maxima

Una vez que Ia caja esta enmovimiento, la friccionestatica es sustituida por lafuerza de friccion cinetica,mas deb il

~ Ningunrnovimiento relative

Movirniento relative - - - - - - - " " l

E j e m p l o5.14 " Friccion en movimiento horizontalUn transportista descargo frente a su puerta una caja de 500 N llenade equipo para hacer ejercicio (Fig. 5.21a). Usted descubre que, pa-ra comenzar a moverla hacia la ccchera, debe tirar con una fuerzahorizontal de magnitud de 230 N. Una vez que 1acaja comienza a rno-verse, puede mantenerse a velccidad ccnstante con s610 200 N. Ob-renga los coeficientes de friccion estatica y cinetica,

l i '1!iI;leHIIDENTIFICAR: El repose y elmovimiento can velocidad constants soncondiciones de equilibrio, asi que usamos la prirnera ley de Newtonexpresada por la ecuacion (5.2). En arnbas siruaciones, cuatro fuerzas

(a)

actuan sobre la caja: la fuerza hacia abajo del peso (magnitud IV =500 N), Ia fuerza normal bacia arriba (rnagnirud n) ejercida par elsuelo, una fuerza de tension (magnitud T) a la derecha ejercida por lacuerda y un a fuerza de f ric ci on a la izquierda ejercida par el suelo.Las incognitas son p . . , Y 1 1 - 1 : . ; para obtenerlas, neces itaremos las ecuac io-nes (5.5) y (5.6), en las que intervienen los coeficientes de friccion,PLANTEAR: La figura 5.21b rnuestra el diagrama de cuerpo libre lininstante antes de que la caja comience a moverse, cuando la fuerzade friccion estatica tiene Sll valor maximo posible, (1.)"'0' = ..,n. Unavez que 1a caja se esta moviendo hacia la derecha can velocidad

y yI In n

(f,)m ax . T= 230 NAT =200 Nx ---x

IV = = 500 N w = 500 NCaja al cornenzar Caja en movinuento

a moverse CO D velocidad constante(b) (c)

5.21 (a) Se tira de una caja con una fuerza horizontal. (b) Diagrarna de cuerpo libre de lacaja al cornenzar a moverse y (c) moviendose con velocidad constante.


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constante, la fuerza de friccion cambia a su forma cinetica (Fig,5.21c). Dado que la cuerda de la figura 5.21a esta en equilibrio, latensi6n es lamisma en ambos extremes. Por tanto, la fuerza de ten-sion que la cuerda eje rc e s obre la ca j a tierie I a m i sma magnitud quela fuerza que usted ejeree sobre la cuerda,EJECUTAR: Justo antes de que la caja comienee a moverse, tenemos

LF~ =n + ( - I V _ ) = 0 asl que n =w = = 500 NPara obtener elvalor de /-t" u samo s l a r el ac io n U;)m~ '=L,n. Por tanto,

(/')""x 230 N/-t. =-- =-- = 0.46s n. 500 N

Ejemp lo5.15

5.3 I Fuerzas de fricci6n 1 7

Una vez que la caja esta en rnovimiento, las fuerzas son las que smuestran en Ia figura 5 .2 1 c , y tenemos

LF, =T + (-jiJ =0 asf que .r ; =T = - 200 NLFy = n + (-w) =0 as f que n = w = 500 NAhara usamosj ' , = fLkl1 de la ecuacion (5.5):

1 1 , 200 N/-tk =- =--- = 0.40n SOONEVALUAR: Es mas facil rnantener en movimiento la caja que comenzar a moverla, por 1 0 que e l coefic ien te de f ric ci on c in et ic a ernenor que el de fricci6n estatica.

La friecion estatica puede tener un valor m enor que el m axim oEll el ejemplo 5,14, ",que fuerza de friccion hay si la caja esta en re-poso y se le aplica una fuerza horizontal de 50 N?li.l.iI;uDIDENTlFlCAR: La fuerza aplicada es mellor que la fuerza maximade friccion estatica, ( / , ) m i l . < =230 N _ Par tanto, la caja pennaneceen repose y la fuerza neta que actua sobre ella es cera, La inc6gni-ta es la magnitudj, de la fuerza de friccion.PLANT EAR : EI diagrarna de euerpo libre es el mismo de l a f ig ur a5 ,21b , pero sus ti tuyendo ( / ,)maxpor f~ y susti tuyendo T =230 N porT= 50 N.

Ejemp lo5.16

EJECUTAR: POT las condiciones de e qu il ib rio [ ec ua cio n ( 5.2 )] , te nemo s~F, = T + (-f.).= 0 aslque j, =T =50 N

EVA lUAR: En este caso.j, es menor que el valor maximo, U ; Y m a= jJ-,n. La fuerza de fricci6n puede irnpedirel rnovimiento cacualquier fuerza horizontal aplicada rnenor que 230 N.-

Reducclon de la f ric cion cinstica a l m in imoEll el ejernplo 5.14, suponga que ata una cuerda a In caja y rira deella con un angulo de 30 sobre la horizontal (Fig. 5,22a). ",Quefuerza debe aplicar para rnantener la caja en movimiento con velo-cidad constante? ",Es esto mas facil 0 diflcil que tirar horizontal-mente? Suponga w =500 N Y J . L ' k =0.40,"11 !iI;U l 1 l lIDENTIF ICAR: La caja esta en equilibrio porque su velocidad esconstante, as! que aplicamos la prirnera ley de Newton, Puesto quela caja e sta e n movimiento, el suelo ejerce una fuerza de fricci6n ci-netica. La incognita es la magnitud T de la fuerza de tension.PLANTEAR: La figura 5.22b es un diagrama de cuerpo libre quemuestra las fuerzas que actuan sobre la caja. La fuerza de friccioncineticaJk sigue siendo igual a /-tkn, pero ahora la fuerza normal

n no es ig ua l e n m ag niru d al peso de l a c aj a, La fuerza ejercidapor Ia cuerda tiene una cornponen te vertical que tien de.a levantarla caja de l pi so.EJECUTAR: Par las condiciones de equilibrio y la ecuad6nJk = J .L . . ntenemosL : F < =Tcos 30Q + (-fk) = 0 asi que Teos 30 = fLki1~ F; =T sen 30 0 + n + (- 1 1 1 ) =0 asi que n =w - T sen 30

Tenernos dos ecuaciones sirnultaneas para la s dos incognitas, T y nPara resol verias, podemos eliminar una incognita y despejar la otraHay muchas forrnas de hacerlo; una es sustituir en la primera ecuacion la expresi6n para 11, obtenida de In segunda ecuacion:


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176 CAP f TU LOS I Aplicaci6n de las leyes de Newton

(a)

y

I

:

f i _ k . " '. .O. - 4. . 0_ , . ., . . . . . r - _ - _ - _ - ~ ~ / J 3 0 0 x

w=500N

(b)

5.22 (a) Se tira de una caja aplicando una fuerza con un angulo hacia arriba.(b) Diagrama de cuerpo libre de la caja moviendose a velocidad eonstante.

Ahora despejamos T de esta ecuacion para obtenerT = .ukW = 188 Ncos 30 + ILk sen 30

Pa r u lt imo .sus ti tu imos e st e r esul tado en cua lqu ie ra de l as e cuaci onesoriginales para calcular n. S i u samos la s egunda ecuac ion, ob tendr emos

11 =W- Tsen 30 =(500 N) - (188 N) sen 30 = = 406 N

EVALUAR: La fuerza normal es menor que el peso de Ia.caja (w =500 N) porque la components vertical de ia tension tira de la cajahacia arriba. Aun asi, la tension requerida es un poco menor que Iade 200 N que es precise aplicar cuando se tira horizcntalmente(ejemplo 5.14). Pruebe tirar a 220; vera que necesita aun menosfuerza (vease el problema de desafio 5.123).

T ab ag an ca n fricclon IEjemplo- 5.1 7Volvamos al tobogandel ejemplo 5.11 (seccion 5.2). La cera seraspo y ahora hay un coeficiente de friccion cinetica ILk- La laderatienejusto el angulo necesario para que el tobogan baje can rapi-dez constante. Deduzea una expresion para el angulo en terminos dew y f.tk'l'I),iI3[RIDENTIF ICAR: La inc6gnita es el angulo a de Ia pendiente. El to-began esta en equilibrio porque su velocidad es constante, as ! queusamos otra vez la primera ley de Newton. Tres fuerzas actuan 50-breel tobogan: BU peso, la-fuerza normal y la fuerza de friccion ci-netica. Puesto que el movimiento es cuesta abajo, la fuerza defriccion cinetica (que se oporie a dicho movimiento) esta dirigidacuesta arriba. La magnitud de la fuerza de friccion esta dada por laecDEion (5.5),17, = ILkn.PI .ANTEAR: La figura 5.23 es el diagrama de cuerpo Iibre. Torna-mas ejes perpendicular y paralelo ala superficie y descomponemoselpeso en sus componentes en estas dos direcciones, como semuestra.. (Compare con la Fig. 5.13b del ejemplo 5.11.)

y/

5.23 Diagrama de cuerpo libre del tobogan con friccion,w

EJE (UTARt Las condiciones de equilibrio son~Fx "'" w sen d" + ( -j~) ""w sen a :. ... IL kn = 0L F , = n + (-wcosa) = 0


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(Usamos la relaci6nlt =ILkn en l a e cuac ion para las componentesx .) R e ac omoda nd o, o bt en emo s

fLkn =w sen 0' y n = \V cos 0'Igual que en el ejemplo 5.11, la fuerza normal n no es igual al pesow . Si dividimos la primera ecuacion entre la segunda, obtenernos

sen afLk =-_ =tan a as! que a = arctan fLkcos a

5.3 I Fuerzas de fricci6n 17EVALUAR: EI peso w no aparece en esta expresion, Cualquier tobogan, pese 10 que pese, bajara una pendiente con rapidez constanteel coeficiente de friccion cinetica es igual a la tangente del Angude inclinaci6n de la pendiente. Cuanto mayor sea el coeficiente dfriccion, mas empinada debera ser la pendiente para que e1 tobegas e de sl ic e con v el oc id ad c on st an te . E s to es jus to 10esperado.

T obogim con frlccion IIE jemp l o5.18l.QlH~su ced eria si el m ism o to bo ga n con el mismo coeficiente defriccion se desliza colina abajo como en el ejemplo 5.17, pew la co-lina es mas empinada? Ahora el tobogan se acelera, aunque no tan-to como en el ejemplo 5 . I I , donde no habia fricci6n. Deduzca unaexpresion para la aceleraci6n en terminos de g, a, fLk Y w."'llHo11lIDENTIF ICAR: EI tobogan ya no esta en equilibrio, pues tiene unaaceleracion al bajar por la ladera. Por tanto, es precise usaf la se-gunda ley de Newton, " " F =ma; en su forma de cornponentes[ecuacion (5.4)]. La incognita es la aceleraci6n cuesta abajo.PLANtEAR; : EI diagrama de cuerpo libre (Fig. 5.24) es casi el mis-rno qu~ para el ejernplo 5.17. La componente y de la aceleracion deltobogan, ay sigue siendo cero, pero la cornponente x, a., no 10 es.

IV

5.24 Diagrama de euerpo libre del tobogan con friccion, bajandopor una [adera mas empinada.

EJECUTAR:Nos c on vi en e e xp re sa r e l peso como w =mg. Entonces,utilizando la segunda ley de Newton para las c

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Capitulo 5 Sears