Capitulo 13 Sears

5/14/2018 Capitulo 13 Sears

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Los relojes de pendulo han marcado lashoras desde mediados del siglo XVI. Se ba-san en el principio de que el tiempo quetarda una oscilacion cornpleta, de ida y re-greso, practicamente no depende de la am-plitud de 1aoscilacion. Por ella, un reloj dependulo marc a la hora correcta aunque elmecanisme impulsor pierda fuerza y lasoscilaciones del pendulo se hagan mascortas por la friccion.

Suponqa que aum enta al doblela masa del pendulo de un r elo j ( qu ein clu ye la v arilla y la pe sa e n su e xtre mo)sin alterar su s dim ensione s. LE I relo j seadelantarfa 0 se a t rasa rfa?

II~I

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MOVIMIENTOPERIODICO

MUChOS tipos de movimiento se repiten una y otra vez: la vibracion de uncristal de cuarzo en un reloj de pulso, el pendulo oscilante de un reloj conpedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete 0 un tuba de organoy el movimiento pericdico de los pistones de un motor de autom6vil. A esto 11a-mamos movimiento periedico u oscilaci6n, y sera el terna del presente capitulo.Su comprension sera indispensable para nuestro estudio posterior de las cndas, elsonido, las corrientes electricas alternantes v la luz. . .Un cuerpoque tiene un movimiento.periodico se caracteriza por una posici6n

de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posicion y se suelta, entra en accionLillafuerza 0 unmomento de torsion para volverlo al equilibria. Sin embargo, pa-ra cuando llega ahi, ya ha adquirido cierta energia cinetica que 1 0 hace pasarsehasta detenerse delotro lado, de donde sera impulsado otra vez hacia el equilibrio.Imagine una pelota que rueda dentro de un taz6n redondo, 0 un pendulo que osci-la pasan~o pOl' su posicion vertical.En este capitulo, nos concentraremos en dos ejernplos sencillos de sistemas

con movimiento periodico: los sistemas resorte-masa y los pendulos, Tambien ve-remos par que algunas oscilaciones tienden a parar con el tiernpo y otras tienendesplazamientos cada vez mayores respecto al equilibrio cuando actuan fuerzasperi6dicamente variables.


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13.1 I D e sc rip cio n d e la o sc ila cio n

13.1 I Descripcion de la osc ila ci6nUno de los sistemas mas simples que puede tener movirniento peri6dico se muestraen l a fig ur a 13,1a. Un cuerpo con masa m se mueve sobr e una guia horizontal sinfricci6n, como un riel de aire, de modo que s6lo puede desplazarse en el eje x. EIcuerpo e st a c on e ct ad o a un resorte de masa despreciable que puede estirarse 0 com-primirse. EI extrerno izquierdo del resorte esta fijo, y el derecho esta unido al cueropo. La fuerza del resorte es la unica fuerza horizontal que aetna sabre el cuerpo; lasfuerzas normal y gravitacional verticales siempre suman cero. Las cantidades: x, Unax y F " se refieren a las cornponentes x de los vectores de: posici6n, velocidad, ace-leracion y fuerza, respectivamente, y pueden ser: positivas, negativas 0 cero.Lo mas sencillo es def inir nuestro sistema de coordenadas co n el origen 0 en lapo -

sicion de e qu ilib rio, d on de e l resorte no e s ta e s ti rado ni cornprimido. Asi, x e s la com-ponente x del desplazamiento del cuerpo respecto al equilibrio y tam bien el cam biode longitud del resorte. La componente x de aceleraeion, G.y> esta dada par G, =Ffm:La figura 13.1b muestra diagramas de cuerpo libre para tres posiciones del

cuerpo. Siernpre que el cuerpo se desplaza respecto a su posicion de equilibrio, lafuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posicion. LIamamos a una fuerza conesta caracteristica fuerza de restitution. S6Io puede haber oscilaci6n 'si hay unafuerza de restituci6n que tiende a regresar el sistema al equilibrio.Analicemos c6mo se da la oscilacion en este sistema. Si desplazamos el cuer-

po ala derecha hasta x=A Y 1 0 soltamos, la fuerza neta y la aceleracion son haciala izquierda. La rapidez aumenta al aproxirn arse el cuerpo a la posicion de equili-brio O. Cuando el cuerpo est:'! en 0, la fuerza neta que acnia sabre el es cero pe-ro, a causa de su movimiento (velocidad), rebasa la posicion de equilibrio. En elotro lado de esa posicion, la velocidad es ala izquierda pero Ia aceleracion es a laderecha; la rapidez disminuye hasta que el cuerpo para. Despues demostraremosque, con un resorte ideal, el punto de detencion es x = -A. Ahora elcuerpo ace-lera hacia la derecha, rebasa otra ve z el equilibrio, y se detiene en e l punto inicialx = A, listo para repetir todo el proceso. iEI cuerpo esta oscilando! Si no hay fric-cion u otra fuerza que e lim in e e ne rg ia m eca nica del sistema, el movimiento se re -petira eternamente; la fuerza de restitucion tirara perpetuamente del cuerpo haciaIa posicion de equilibrio, la cual, el cuerpo rebasara una y otra vez,En situaciones diferentes, la fuerza puede depender de diversas maneras del

desplazamiento x respecto al equilibria, pero siempre habra oscilaci6n si la fuerzaes de restitucion y tiende a volver el sistema al equilibrio.He aqui algunos terrninos que usarernos al analizar movimientos peri6dicos de

todo tipo:La amplitud del movimiento, denotada can A, es la magnitud maxima del despla-

zamien to respecto al equilibrio; e s d ec ir , el valor maximo de I x l y siemp re e s positi-va . Si el resorte de la figura 13.1 es ideal, el range global del rn ovim ien to es 2A. Launidad deA en el SI es el metro. Una vibracioncompleta, 0 ciclo, es un viaje redon-do, digamos deA a-A y de vuelta aA, 0 de 0 a A "regresando por 0 hasta - A y vol-viendo a O. El movimiento de un lado al otro (digamos, de -A aA) es medio cicio.El periodo, T, es el tiempo que tarda un cicle, y siempre es positive. La uni-

dad del periodo en el sistema internacional SI esl~I segundo, pero a veces se ex -presa como "segundos por ciclo",. La frecuenela.j', es eJ numero de ciclos en la unidad de tiernpo, y siempre es

positiva. La unidad de l a f re cuenci a en el sistema internacional ST es el hertz:1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo/s = 1 S-l

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Desplazarniento a la izquierda,fu er za r es ta ur ad or a a l a d er ec ha

Desplazamiento cera, fuerzarestauradora cera

Desplazamiento a la derecha,fuerza restauradora a la izquierda(a)

y

Ia t...... n

(b)

13.1 Modelo de rnovirniento periDcfiro..(a) E n la posicion de equilibrio, elre=-=e je rc e fu erz a c era . C ua nd o el ~e sta d es pla za do r es pe cto a fa posici-:r .ze qu ilib rio e J r eso rte e je rc e u na ~de restitucion dirigida bacia lap0sici6:::&equi li br io . ( b) DiagmmasdecmYjJOde la s tres posiciones,


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478 CAPITULO 13 I Movimientoperi6dicoEstaunidad se llama asi en honor del fisico aleman Heinrich Hertz (1857-1894),un pionero en la investigaci6n de las ondas electromagneticas.La frecuencia angular, w, es 2 1 T veces la frecuencia:

w = 2 1 T fPronto veremos para que sirve w ; representa la rapidez de cambio de una cantidadangular (no neeesariamente relacionada can un movirniento rotacional) que siem-pre se mide en radianes, de modo que sus unidades son rad/s. Dado quejesta enciclos/s, podemos considerar que el numero 2 1 T tiene unidades de rad/ciclo.

Por las definiciones de periodo Ty freeuenciaj, es evidente que uno es el reci-proeo del otro:

f = . 1 .T T= -f (relaciones entre frecuencia y pertodp) (13.1 )Tambien, por Ia definicion de w,

Un transductor ultras6nico (una especie de altavoz) empleado para eldiagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MHz =6.7 X 106Hz. l,Culintotarda cada oscilacion, y que frecuencia angular tiene?

, i t l N 3 t . V 'IDENTIF ICAR Y PLANTEAR : Las incognitas son: el periodo T y lafrecuencia angular w . Nos dan la frecuenciaf, as! que podemos ob-tener esas variables empleando las ecuaciones (13.1) y (13.2), res-pectivamente.

(frscuencia angular)

Ejemplo13.1 Per iodo, f recuenc ia y f recuenc ia . angula rEJECUTAR: Par las ecuaciones: (13.1) y (13.2):

1 1T = - = = 1.5 X 10-7 s = 0.15 ,usf 6.7 X 106 HzW = 27rf= 211"(6.7 X 106Hz)

.; (2 11"rad/ciclo ) ( 6 . 7 X {06 c ic lo s/ s )= 4.2 X 107 rad/s

EVALUAR : Esta es una vibraci6nmuy rapida, confy w grandes yTpequefio; una vibracion lenta tienefy O J pequefias y T grande.

Fuerza de restitucion F,

Desplazamiento x- - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - -

13.2 La fuerza de restitucion de un resorteidealizado es directamente proporcional aldesplazamiento. Esta es la ley de Hooke,F" =+lcx. La oscilacion con una fuerza derestitucion que obedece la ley de Hooke sedenomina movimiento armonico simple.

Una lancha anclada sube y baja con las olas. La lancha alcanza 6.0 ern arriba y6.0 em abajo de su posicion de equilibria, ydescribe un ciclo completo de ascen-so y descenso cada 5.00 s. Calcule: la amplitud, periodo, frecuencia y frecueneiaangular, del movimiento,

113.2 II Movim'iento arm6nico simple1\El tipo mas sencillo de oscilacion se da cuando la fuerza de resti tucion F; es direc-t ament e p r opo r ci ona l al desplazamiento x respecto al equilibrio. Esto sucedesi elresorte de la figura 13.1 es ideal y obedece la ley de Hooke. La constante de pro-porcionalidad entre F, y x es la constante de fuerza k. (Repase, si es necesario, laseccion 6.3.) En ambos lados de la position de equilibrio, F, y x siempre tienen


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13.2 I Movimiento armonico simple

signos opuestos. En la secci6n 6.3, representamos la fuerza que actua sabre un re-sorte ideal estirado como F~ = kx. La componente x de la fuerza que el resorteejerce s ob re el e ue rp o es el negative de esta, asi que la componentex de lafuerzaF" sobre 1 3 1 cue rp o es

(fuerza deres tituci 6n de uQresort~i3eal) '"(13.3)Esta ecuacion da la magnitud y signa correctos de la fuerza, sea x: positivo, negati-vo 0 cera (Fig. 13.2). La constante de fuerza k siempre es positiva y tiene unidadesde N!m (tambien resultan 'Mileslas unidades de kg/s''). Estamos suponiendo que nohay fricci6n, asi que la ecuaci6n(13.3) cia la fuerza neta que aetna sabre el cuerpo.

Si lafuerza de restitucion es directamente proporcional al desplazamieiuo res-pecto of equilibria, segun fa ecuacion (13.3), la oscilacion se denomina movt-miento armonlco simple, que se abrevia MAS. La aceleracion ax = d2x!dt2 =F.jm de un cnerpo en:MAS esta dada par"

.. _ -- - -: : : : : ; : - =_(mbvimiento armen'ico simple) C r 3 } 4 )EI signa menos indica que la aceleracion y el desplazamiento siempre tienen sig-nos opuestos. Esta acele rac ion no es constan te , asi que olvidese de usar las ecua-ciones para aceieracion constante del capitulo 2. En breve ~et~mos como resolveresta ecuacion para obtener el desplazamiento x en funcion del tiempo. Un cuerpoque esta en rnovimiento arm6nico simple se denomina oscilador armonieo,z,Porque es importante e1movimiento armonico simple? Tenga presente que no

todos los movimientos peri6dicos son arm6nicos simples; en el movimiento pe-riodico en general, la relacion entre la fuerza de restitucion y el desplazamiento esmas complicada que la ecuacion (13.3). No obstante, en muchos sistemas, la fuer-za de restitucion es aproximadamente proporcional aJ desplazarnientosi este espequeiio (Fig. 13.3). Es decir, si la amplitud es pequefia, las oscilaciones son maso menos armenicas simples y la ecuaci6n (13.4) las describe aproximadamente.Asi, podemos usar e1:MAS como modele aproximado de muchos movirnientosperi6dicos distintos, como la.vibracion del cristal de cuarzo de un reloj de pulso,el movimiento de un diapason, la corriente electrica en un circuito de corriente al-terna y lasvibraciones de los atomos en molecules y s6lidos.

Ecuaciones de l mov imien to armonico simplePara explorar las propiedades del movimiento armonico simple, debemos expresar eIdesplazamiento x 'del cuerpo osci lan te en funcion del tiempo, x (t). La segunda deriva-da de esta funci6n, d2X!dt~,deb~ ser igual a (-kim) multiplicado por la funci6n mis-rna, como 10 pide la ecuacion (13.1). Como ya dijimos, las f6rmulas para aceleraci6nconstants de la seccion 2.4 no sirven porque la aceleracion cambia constantemente aleambiar x. En vez de ella, obtendremos x (t) aprovechando la notable similitud entre elMAS y otra forma de movimiento que ya estudiaraos detalladamente,La figura 13.4 muestra una vista superi or de un disco horizontal de radio A con

una bola pegada a su borde en e1punto Q. El disco Ikira con velocidad angular' cons-tante w (en rad/s), asi que la bola tiene-movimiento circular unifarme. Un haz deluz horizontal incide en el disco y proyecta la sombra de la bola en una pantalla, Lasombra en P oscila conforme la bola se mueve en un circulo, Luego instalamos uncuerpo sujeto a un resorte ideal, como la combinaci6n de la figura 13.1, de mod.oque el cuerpo oscile paralelo.a l a sombra. Demostraremos que el movimiento del

4Fuerza de restitucion F,

-,,),Caso"ideal(F, '" -kx) Desplazamienro

Caso realtfpico" /"""-,

13.3 En casi todas las osc il ac iones r ea lela fuerza de restitucion no es directarnentp ro por cio na l a t d esp la za rn ie nto. N o ob s-tante, F"""-kx suele ser una buenaaproximacion si el desplazamiento xes suficientemente pequefio.

La luz brilla en etaparato , creandoIa s om bra de J a bola ell laopantalla

13,4 L a b ola e n e l.p un to Q gila en movimiento circular un if orme an ti hor a ri o,Su sornbra en el punto P se mueve.enrnovirniento armonico simple, exactamenigual que un cuerpo que oscila enunresorts ideal.


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480 CAP f T U L 0 13 I Movimiento periodico

cuerpo y el de la sombra de la bola son identicos si Ia-amplitud de la oscilaciondel cuerpo es igual al radio del disco A y si la frecuencia angular 27T f del cuerpo 08-cilante es igual ala rapidez angular w del disco. Esto es, el movimientoarmonicosimple es la proyeccion del movimiento circular uniforme sobre un d iame tro .Podemos comprobar esta notable afirmacion calculando la aceleraci6n de lasombra en P y comparandola con la aceleracion de un cuerpo en MAS, dada por

la ecuaci6n (13.4). El circulo en el que la bola se mueve de modo que su proyec-ci6n coincide con el movimiento del cuerpo oscilante se denomina drculo de re-ferencia; llamaremos a Q el punta de referencia. Tornamos el circulo dereferenda en el plano xy, con el origen 0en el centro del circulo (Fig. 13.5a). Enel instante t, el vector OQ del origen al punto de referenda Q forma un angulo () con eleje +x . Al girar Q en el circulo de referencia con rapidez angular constante t, el vec-tor OQ gira can la misma rapidez angular. Semejante vector giratorio se denomi-na fasor. (Este terrnino estaba en uso mucho antes de inventarse el arma delmismo nombre del program a de TV "Viaje a las estrellas". El metodo de fasorespara analizar oscilaciones es uti! en muchas areas de la fisica. Usaremos los faso-res cuando estudiemos los circuitos de corriente alterna en el capitulo 31 y la in-terferencia de la luz en los capitulos 35 y 36,)La componente ; del fasor en el instante t es la coordenada x del punto Q:

- - - " ' e ; . x = A cos eEsta es tambien la coordenada x de la sombra P, que es laproyeccion de Q sobreel eje z. POl' tanto, laaceleracion de P sobre el eje x es igual ala componente x delvector de aceJeraci6n del punto de referencia Q (Fig. l3.5e). Puesto que Q esta enrnovimiento circular unifonne, su vector de aceleracion a Q siempre apunta haciaO. A dem as, la magnitud de u Q es constante y es igual ala velocidad angular alcuadrado multiplicado por el radio del circulo (vease la secci6n 3.4):La figura l3.5c muestra que la componente x de ~Q es ax = ~aQ cos ().Combinan-do esto can las ecuaciones (l3.5) y (13.6), vemos que la aceleracion de P es

a . : = =o cos () = = -w2A cos ()o sea

La aceleracion del punto P es directamente proporcional al desplazarniento x ysiempre tiene el signo opuesto. Estas son precisarnente las caracteristicas del mo-vimiento arrnonico simple.La ecuaci6n (13.8) es exactamente igual a laecuacion (l3.4)_para laacelera-

ci6n de un oscilador ann6nico, siempre que Ia velocidad angular wdel punto dereferencia Q este relacionada con la constante de fuerza k y la masa m del cuerpooso~lantf por, ' i ;sea OJ = -InHemos estado usando el.mismo simbolo O J para la velocidad angular del punta de re-ferencia Q y lafrecuencia angular del pW1tOoscilante P. La razon es que estas can-tidades son iguales, Si Q eompleta una revoluci6n en un tiempo T , P completa uncicIo de oscilacion en el mismo tiempo; par tanto, T es el periodo de la oscilaci6n.Durante el tiempo T , el punto Q gira 2 7 T radianes, as) que su rapidez angular es w '""21TIT .

(13.5)

(13.6)

(13.7)

(13.8)

(13.9)


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13.2 I Movimiento armonico simple

yDesplazamiento < E - . . . Velocjdad

(a) (b)13.S (a) La coordenada x de la sombra de la bola P (Fig. 13.4) cambia al girar la bola Qen movimiento circular unifonne. (b) y (c) La velocidad x y la aceleracion x de P son lascomponentes x de los vectores de velocidad y aceleracicn, respectivamente, de Q.

Esra es la ecuaci6n (13.2 ) para la f r ec ue nc ia a n gula r de P , y esto ve rifica 10 q ue b e-mos d l C D O scerce de Jas dos lnterp retac iones de c a .E s p er e J 1 0 que introdujimos Isfrecuencia angular en 1 a secci6n 13.1; es la cantidad que conecta la oscilaci6n y elmovimiento circular. As! pues, reinterpretamos la ecuacion (13{1) como un a ex pre -sion de la f recuenc ia angular del movimiento arm6nico simple para un cuerpo de ma-sa m sobre el que actua una fuerza de restituci6n con constants de fuerza k :

(movimiento armonlco simple) (13.10)Cuando un cuerpo comienza a oscilar en MAS, no podemos escoger el valor de UJ,pues esta predeterrninado por los valores de k y m. Las unidades de k son N/m 0kg/s', asi que kim esta en (kg/s2)/kg =S-2. Cuando obtenemos laraiz cuadrada enla ecuaci6n (13.10), obtenemos S-l 0, mejor dicho, radls, porque se trata de unafrecuencia angular (recuerde que elradian no es una unidad verdadera).Segun las ecuaciones (13.1) y (13.2), la frecuenciafy el periodo Tson

=- w - - ; - - J E o kj---- -' 2 . . 1 T 2 1 7 m movimiento arm_f>~icosimple)~-~ -. {i3.H)T = 1 : . = 2 1 1 ' = 2 1 T [ ; 0j W '[Y (movimiento armenico simple) (13 .12 )

Par la ecuaci6n (13.12), vemos que una masa mayor m, con su mayor inercia, tienemenos aceleracion, se mueve mas lentamente y tarda mas en completar un ciclo(Fig. 13.6). En contraste, un resorte mas duro (con mayor constante de fuerza k )ejerce una mayor fuerza para una deformacion x 4ada, causando una mayor acele-raci6n, velocidades mas altas y ciclos mas cortos., ,I_",""'-"''''""''''''"''''"'Podemos meternos en problemas's) no distinguimos entre fre-cuenciafy frecuentia angular w = 2r.f Lafrecuencia nos dice cuantos clclos deoscilaci6n se dan par segundo; w nos dice a cuantos rad!anes por segundo (0-rresponds esto en el circulo de referenda. AI resolver problemas. ffjese bien siel objetivo esobtener f u w.

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y

(c)

Brazos can masa grande m:frecueucia bajaj" = 128 Hz

Brazos con masa pequeiia m :frecuencia alra f = 4096 Hz

13.6 Cuanto mayor es la masa m de losbrazos de un diapason, mas baja es la fre-cuencia de oscilacion f = (~1T)~Y mas bajo es el tone del sonido producidopor el diapason.


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482 CAP f T U L 0 13 I Movimiento periodicoLas ecuaciones (13.11) y (13.12) muestran que el periodo y la frecuencia de

movimiento armonico simple estan determinadas solamente por la masa m y lcon stante de fuerza k. En el movimiento armonico simple, elperiodo y lafrecuen-cia no dependen de fa amplitudA. Para valores dados de m y k, el tiempo de unaoscilaei6n eompleta es el mismo, sea la amplitud grande 0 pequefia, La eeuaei6n(13.3)muestra por que esto es 16gico. Una mayor A impliea que la mas a alcanzavalores mayores de 1 . . 1 ' 1 y se somete a fuerzas de restauraei6n mayores. Esto aurnen-ta la rapidez media del euerpo durante un cicio completo, 1 0 que.compensa exac-tamente l a necesidad de recorrer una mayor distancia, de modo que el tiempo totales el mismo.Las oscilaciones de un diapas6n son en eseneia movimiento annonico simple, 1

que implica que siempre vibra can la rnisma frecuencia, sea eual sea la amplitud.Esto permite usar el diapason COIPO estandar para tono musical. Si no fuera por esta earacteristiea del movimiento armonico.simple, seria imposible haeer que losrelojes mecanicos y electr6nieos que eonocemos fueran exactos, 0 toear af inadamen-te la mayor parte de los instrumentos musicales. Si encontramos un euerpo oscilanteeuyo periodo sf depende de la amplitud, su movimiento no es armonico simple.

Ejemplo13.2 F r ecuenc ia angu la r, fr ecu en cia y periodo en MA S

Un resorte se monta horizontalmente con 5n extremo Izquierdo fi-jo. Con e ct an do u na balanza de resorte al extremo libre y tirando haciala derecha (Fig. 13.7), determinamos que Ia fuerza de estiramientoes proporcicnal al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causaWI desplazamiento de 0.030 Ill. Qu it amo s l a b al an za y conectamos uncuerpo de 0.50 kg al extremo, tiramos de 61hasta moverlo 0.020 m,1 0 soitamos y vemos como oscila, a) Determine ia constante defuerza del resorte. b) Calcule: la frecuencia angular, la frecuencia yel periodo de la oscilaci6n.'NiiI'tlDIDENT IF ICAR; Dado que la fuerza del resorte (con magnitud iguala la fuerza de estiramiento) es proporcional al desplazamiento, elmovimiento es annonico simple.P LANTEAR : Obtendremos el valor de k usando la ley de Hooke,ecuacion (13.3), Ylos valores de w,J y T, usando las ecuaciones(13 .10) , (13.11) y (13.12), respectivamente.E J ECUTAR : a) Cuando x = 0.030 m, la fuerza que el resorte ejercesobre el cuerpo es F, = - 6.0 N. Por la ecuacion d3.3),l

F, -6.0N '2k = __:_= --- = 200 N/m = 2 00 k g/~x 0.030 m l~b) Usando m =0.50 kg en la ecuacion (13.10), vemos quew = j = 2 00 k"/s20.50 ;g = 20 rad/s

La frecuencia f esw 20 rad/s(=- = . = 3.2 ciclos/s = = 3.2 Hz. 27. 2 7 T rad/ciclo

EI periodo T es ei reciproco de la frecuenciaf:i IT =~= . = 0.31 sf 3.2 ciclos/s

EI periodo por Joregular se da en "segundos", no en "segundos porciclo",EVAL t f AR : La amplitud de la oscilacion es de 0.020 m, la distanciaala derecha que rnovirnos el cuerpo conectado al resorte antes desoltarlo, No n ec es it amo s e st a informacion para calcular: la frecuen-cia angular, la frecuencia ni el periodo porque, en MAS, ninguna deesas cantidades depende de la amplitud.

o O.030m13.7 La fuerza ejercida sobre el resorte (indicada por el vectorF):6ene componente x F, =+6.0 N. La fuerza ejercida por.elresorte tiene eornponente x F, = ~6.0 N.


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13.2 I Movimiento arm6nico simple

Desp lazamien to , ve loc idad y aceleraclon en MA SAim necesitamos 0btener el desplazamiento x en funcion del tiernpo para un osci-Iador arrnonico. La ecuacion (13.4) para un cuerpo en rnovimiento armonico sim-ple en el ej exes identica a 1aecuacion (13,8) para la coordenada x del punta dereferericia en movimiento circular uniforrne con rapidez angular constanteU > = ~. Se sigue que la ecuaci6n (13.5), x =A cos e , describe la coordenadax para ambas situaciones. Si, en t = 0, el fasor OQ forma un angulo c P con el eje+x, en cualquier instante posterior t, este angulo sera e =. cot + c p o Sustituimos estoen la ecuaci6n (13.5) para obtener

igesp)az?l.tpiento en MAS ) (13.13)donde.oi = ~. La figura 13.8 muestra una grafica de la ecuaci6n (13.13) pa-ra el caso en que c P =.0. EI desplazamiento x es una funcion peri6dica de t, comose espera en MAS. Tambien podriamos haber escrito la ecuacion (13.13) en termi-nos de la funcion seno en lugar de coseno usando la identidad cos 0' = sen (0' +7 i/2 ). E n e l m ov im ien to a r m on ico sim ple , L ap osic io n es una func ion periodica se -noidal del tiempo. Hay muchas otras funciones periodicas, pero ninguna tan con-tinua y simple como una funcion sene a coseno.

El valor del coseno siempre esta entre ~ 1 Y 1, asi que en-lro:ecuaci6n (13 .13)xsiempre esta entre -A y A~Esto confirrna que A es la amplitud del movirniento,La figura 13.9a muestra la grafica de x contra t para diversos valores de A .EI periodo T es 1 0 que tarda un ciclo de oscilacion, La funci6n coseno se repite

cada vez que la cantidad entre parentesis en la ecuacion (13.13) aumenta en 27i ra-dianes. Si comenzamos en t = = 0, el tiempo Tpara completar un cicio esta dado po r

wT= ~ T= 27i a T = 2 7 r . J que es la ecuaci6n (13.12), Un cambio de mole altera el periodo de oscilaci6n, co-mo se muestra en las figuras 13.9b y 13.9c.La constante de la ecuacion (13. 13 ) es el angulo de fase; nos dice en que

punto del ciclo elrnovirniento estaba en t = (0 en q ue p arte del circulo estabael punto Q en t = 0). Denotainos la posicion en t = 0 con X o . Sustituyendo t = yx = Xo en Ia ecuaci6n (13 .13) obtenemos

Xo = A cos (13.14)

x

o~I 3(a) A aurnenta; mismas k y II!

xI 2 3

I'1 \(b) In aumenta; mismas A y k

13.9 Variaciones del movimiento armonico simple. En todos los cases, c f> =O.(a) La am-_!itud A aumenta de la curva 1a la 2 ala 3. El cambio de amplitud no afecta el periodo,) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo. (c) La constan-de fuerza k aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar k sola reduce el periodo,

483,~w2T \

-A

13.8 Grafica de x contra t [ecuaci6n(13.13)] para movimiento armonico sim-ple. Aqui, c f> =O.

x3 2 1

(e) k aumenta; rnismas A yin.


9/39

484

x I Diferente < / ! ; mismas A, k y m I

Ao ~~~--~~~~~~-A

I I-T r4 2

13.10 Estas tres curvas ilustran unMAScon el mismo periodo y ampJitudperoangulos de fase distintos.

~~. I.E-T~Ao tI- -A

(a) Desplazamiento

. U ~ X : :um, " (13.17)P~a c~lcular , divida.la ecuaci6n (13.17) entre la ecuaci6n (13.14). Esto elimi-na A y produce una ecuaci6n de la que podemos despejar :-

1 \,V 0:,Xo .

-wA sen ---~ = -w tan A cos

..I.. .' ( v o x )iJ = arctan ~-, WXo (angulo de fase en MAS) (13.18)


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13.2 I Movimiento.armonico simple 48Tambien es facil calcular la amplitud A si conocemos X o Y Vox ' Bosquejaremos ladeduccion y dejarernos los detalles al lector. Eleve al cuadrado la ecuacion(13.14); divida la ecuacion (I3.17) entre w, elevela al cuadrado y sumela al cua-drado de la ecuaci6n (13.14). EI miembro derecho seniA2(sen2 + cos2 1;), quees igual a A2 . El resultado final es .

?V -A = = X02 +4w-Observe que, si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial X o Yuna velocidad ini-cial Vo.< distinta de cero, la amplitud A no es igual al desplazamiento inicial. Eso eslogico, Si el cuerpo parte de un X o positive y se le imparte una velocidad positivaV o . < > llegara m a s lejos que X o antes de regresar.

(amplitud en MAS)

Estra tegia pararesolver problemas

9.1 Graficas y ecuaciones de posic io

(13.19)9.2 Descripcion de movimientosde vibracion .9.5 M ono.deja caer a Tarzan

Movimiento armenlce simple IIDENTIF ICAR lo s conceptos relevantes: Un sistema oscilante E J ECUTAR l a solucion como sigue:tiene movjmiento. arm6~ico simple (MAS) .unicam.ente si 1a 1. u , ; t a ; ecuaciones d~das en las secciones 13.1 Y 13.2 pa-fuerza de restitucion es directamente proporc onal al desplaza- /_ obtener las incognitas.miento. Asegurese de que es~ose cumpl.a en la S1 cion del pf(~.- _ _ _ - - 2 . Si necesi ta calcul~r el lingula de. f ase, tenga cuidado. deblema antes de tratar de aplicarcualquiera de los resu ~ expresarlo en radianes. La cantidad wt de la ecuacionesta seccion, Como siempre, identifique las incognitas. (13.13) esta naturalmenteen radianes, por 10 qhe c p debe

estarlo tambien,PLANT EAR elproblema siguiendo estos pasos:1 . Identifique las cantidades conccidas y desconocidas, y

determine. cuales son las incognitas,2. Resulta util distinguir des clases de cantidades. Las pro-

piedades basicas del sistema in cluy en la mas a m y laconstante de fuerza k. (En algunos problemas, In, k 0 am -bas se pueden determinar a partir de otra informacion.)Tarnbien incJuyen cantidades derivadas de In y k, como elperiodo T, la frecuenciafy la frecuencia angular c a . Laspropiedades del movimiento describen c6mo se comportael sistema cuando se pone en rnovimiento de una formaespecifica, e incluyen la amplitud A, la velocidad.maximavm'XJ el angulo de fase c p y los valores de: x, Vx Y ax en uninstante dado.3. Si es necesario, defina un eje x como en la figura 13.6.

3. Si necesita hallar los valores de: x, v" y a x en diverses ins-tantes, use las ecuaciones (13.11), (13.15) Y(13.16). Si sedan la posici6n xo y 1avelocidad inicial v O x , se puede deter-minar: el angulo de fase y la amplitud a partir de las ecua-ciones (13.18) y (13.19). Si el cuerpo tiene un.desplazamientoinicial positive X o pero velocidad inicialcero ( v O x = 0), la amplitud es A =X o Y el angulo de fase esq ; , = O. Si el cuerpo tiene velocidad iniciaJ pesitiva peron in g un d e sp la za rn ie n to i ni cia l (io = 0 ), Ia amplitud es A =v r J w y el angulo de fase es r p = -71/2.

. E V A LUAR .la respuesta: Compruebe sus resultados para asegu-rarse de que sean congruentes, Por ejemplo, suponga que us6laposici6n y la ve lo c id ad i n ic ia l es para ob tene r expre si one s gene-.rales para: x y: Vx en el instante t. Si sustituye t = 0 en estas ex-presiones, deb era obtener los valores correctos de X o Y v O x '

Ejemplo- 13.3 Descripcien del MASVolvamos al sistema de masa y resorte horizontal-que consideramosen el ejemplo 13.2, con k '" 200 N/rn y m - = 0.50 kg: EJ$avez impar-tiremos a l cuerpo un de sp l az amien to inicial de+0.015,m y llna ve-locidad inicial de +0.40 m/s. a) Determine: el periodo'jamplitud yangulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones p'ara: el des-plazarniento, velocidad y aceleraci6n en funcion del tiempo.'i! l I 3(InIDENTIF ICAR: Igual que en e1 ejemplo 13.2, las ascilaciones son!vIASy podemos usar las expresiones desarrolladas en esta secci6n.

P lANTEAR : Nos dan los valores de: k , m, X o Y VOr Con base eellos; calcularemos las incognitas: T , A y rj J y las expresiones parx, Vx ya, en funci6n del tiempo,E J ECUTAR : a) El periodo es exaetamente el mismo del ejempl1 3.2 , T = 0.31 s. En el movimiento armonico simple, el periodo ndepende de la amplitud, s610 de los valores. de k y m.

En el ejemplo 13.2, deterrninamos que w = 20 rad/s, asi que, pla ecuacicn (13.19),


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rI

486 CAP f r U-L 0 l3 I Movimiento periodico

x = (0.025 m ) cos [(20 radls)t - 0.93 rad]v, = - (0.50 mls) sen [(20 rad/s ) t - 0.93 fad)ax = - (10 1 1 1 / s 2 ) cos [( 20 rad/s ) t - 0.93 rad]

La velocidad varia senoidalmente entre -0.50 m/s y +0.50 mls. Laaceleraci6n varia senoidalmente entre -10 m/s? y + 10 Ill/52.

A =

2 (0.40 m/s)2(0.015111) + ( ) 220 radJs= 0.025 m

Para obtener el angulo de fase < p , usamos la ecuacion (13.18): EVALUAR : Puede cornprobar los resultados para x y u, en funci6ndel tiempo sustituyendo t =0 y evaIuando el resultado, Debera ob-tener x =X o = 0.015 II I YVx = = v o x = 0.40 m/s, l,Es a s i ?

(-VOr )< p " " arctan ----

(tlx{)

( ~0.40 mls )=arctan - = ~53=-0.93 fad(20 tad/s) (0.015 Ill)b) EI desplazamiento, la velocidad y Ia aceleraci6n en cualquierinstante estan dados pOT las ecuaciones (13.13), (13.15) Y(13.16),respectivamente. Sustituyendo los valores, obtenemos

- \

Se da la posicion de ierto obje to en MAS en funci 'n 'del tiempo: x = (0.050 m)co s [(290 radJs)t + (2.5 rad)]. Ca lcule : la ~ periodo, angulo de fase y po -sic i6 n in icia l p ar a e ste rn ov im ie nto .f\

\ 13.3 I E n erg ia en el mo vim ien to armenico simpleA d l VP LONL NEn ys cs

P od emo s a pr en de r aun mas a ce rc a d el movimiento a rm 6 nic o s im p le usando cons idera -ciones de energfa. Exam inem os otra vez el cuerpo que oscila en el extrem o de un resor-te en la figura 13.1. Y a s~alam os que la fuerza del resorte es la un ica fuerza horizon ta lqu e actua sobre el cuerpo. La fuerza ejercida par un resorte i de al e s c on se rv ad or a y la sfuerzas verticales no efecn ian trabajo, asi que la energia m ecanea total de l sistem a seconserva. Tambien su po nd re mo s q ue 1 a m asa d el re so rte e s d esp re cia ble .

La energia cinetica d el c ue rp o es.K = tmv2 y la energia potencial del resortees U = !k x 2, igua l que en 1a secci6n 7.2. (Seria util repasar es a seccion.) No hayfuerzas no conservadoras que efecnien trabajo, asi que la e nergia mecanica totalE = K + U se co nse rv a:

9.3 Enerqta de vibraci6n9.4 Dos fortnas de medir la masa

del joven Tarzan9.6 Liberaci6n de un esquiador

que vibra I9.7 l.iberacion de un esquiador

que vibra II - 1 2 1 2E = -.mv + - kx = constanje- 2 x 2 I (13.20)(D ado .que e l m ovim ien to es un idim en sion al, v

2= v /. )- La energia m ecanica total E ta mbie n e sta r ela cio na da d ire cta me nte c on la a mp litu d

A del m ovim ien to. C uando el cuerpo llega al punto v =A, su de spla zam ien to es m axi-m o'respecto al equilibria , se detie ne m om en tan ea rn en te a nte s de volve r ha cia la posi-cion de equilibrio. Es decir, cuando x =A C o -A), VX = O. Aqui, la energia es s6 lopotencial \ Y E = !kA2. P ue sto que E es constan te, esta can tidad es igual a E e n cu al-quier otropun to. C om bin an do esta expre sion con la ecua ci6 n (13.2 0), obten em os

1 1 - 1 -E = -mv2 +=-kx2-= -kAz-= constante2 x 2 .2 - .(en ergia rn ecan ica total' en MAS)

(13.21)


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13.3 I Energfa en el movimiento arrnonico simple 48

v , ' " J3i4 V m a x v . . - ' " V"';lx v , = j3i4 V m a xax= 0_ _ O = -- ;: L'- -; I= -a _ ., _= _ am _ a x_ - -- -- '~ -- -- T ' - 'I L a -x -" '- am - ax - ' 1_2 _j[]--- ,- , ~_a_ . t_=~-_am_~-, / -2 - , -~ . ' -- - -G-l x -=- ~ ---a-m _a x - ' - " " ' i ' " " ' " - - - - _ x

~A -A12 0 AI2 A

o

"

I I .E K U E t< uK U E K U

Podemos verificar esta ecuaci6n sustituyendo x y v, de las ecuaciones (13.13) y(13.15) y usando w2 =kim de 1aecuaci6n (13.9):

E = .lmv} + .lkx2 = .lm[-wA sen (w t + H + .lk[A cos (wt + )F~)2 221 2

kA 2 sen? (wt + ) + "2kA2 cos? (wt + )A 2 -""2 \ .

(Recuerd~e serr' a + cos? a= 1.) Por tanto, nuestras expr.eSiones para e1despla-zamiento y a velocidad en MAS son congruentes con la conservaci6n de 1aener-gia, como ebe ser,PodeJl:1osusar 1a ecuaci6n (13.21) para ca1cular la velocidad Vx del cuerpo en

un desplazamiento v :

(kV ? ?V, = :!:\!;; A - - r (13.22)El signo implica que, para un valor de x dado, el cuerpo se puede estar movien-do en cua1quiera de las dos direcciones (de ida 0 de regreso). Por ejemplo, cuandox= AI2 ,

La ecuacion (13.22) tambien muestra ~a rapidez maxima v m a x se da en x =O.Utilizando la ecuacion (13.10), c a = V kim, fina1mente encontramos quev ' = /kA = wAmax - t ; (13.23)

Esto concuerda can la ecuacion (13.15), que mostro que Vx oscila entre - wA y +wA.La figura 13.12 muestra las energias: E , K y u,en: x = 0, x = = :!:A12Yx = A. La

figura 13.13 es una representaci6n grafica de 1a ecuacion (13.21); 1aenergia (ci-netica, potencial y total) se grafica verticalmenteuy la coordenada r, homontal-mente. La curva parab61ica de la figura 13.13 a representa 1a energia potencialU =: ~kx 2. La linea horizontal representa la energia mecanica total E, que es cons-tante y no varia conx. Esta linea interseca la curva de energia potencial en: x=-Ay x =A, donde la energia es s610 potencial. En cualquier valor de x entre - A YA,la distancia vertical entre el eje x y la parabola es U; dado que E=K + U, 1a dis-

v = 0x

E K U13.12 En el MAS, la energia rnecanica total E es constante, transformandose conti-nuamente de energia potencial U a energiacinetica K y de regreso conforme el cuerpooscila.

9,8 Sistemas vibratorios de uno y dosresortes9,9 Vibrojuego

(a)

(b)

U.13 Energia cinetica K, energia poten-cial U y energia mecanica total E enfunci6n de 1aposicion en MAS. Paracada valor de x, 1asuma de K y U esig ua l a l valor constante de E.


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488 CApfTU L0 13 I Movimiento periodicotancia vertical restante hasta la linea horizontal es K La figura 13.13b muestraK y Ucomo funciones de x.AI oscilar el cuerpo entre -A YA, la energia se transforma continuamente de potencial a cinetica y viceversa.La figura 13.13a illuestra Ia relaci6n entre la amplitud A y la energia mecanica

total correspondiente, E = !A 2. Si trataramos de hacer a x mayor que A (0 menor que -A), Useria mayor que E y K tendria que ser negativa. Esto es imposible,as! que x no puede sel' mayor que A ni menor que -A.

Velocidad, aceleraci6n~ ene rg ia en MASEllla oscilaci6n descrita en el ejemplo 13.2, k= 200 N/m, m~ ~50 kg J ! ; )200 N/my la masa oscilante se suelta del reposo. en x = 0.020 m. a) Calcule U x = U n a , = A = (0.020 ill) = 0.40 m/s\ 0.50 kglas velocidades: maxima y minima que alcanza el cuerpo al osc ar,b) Calcule la aceleracion maxima. c) Determine: la velocidad yaceleracion cuando el cuerpo se ha movido a Ia rnitad del caminohacia el centro desde su posici6n inicial. d) Determine las energias:total, potencial y cinetica en esta posicion.

Estrategia pararesolver problemas Movimiento armenlco s imp le IILa ecuacion de energia (ecuacion 13.21) es una relacion alternautil entre: velocidad y posicion, sobre toda cuando tambien sepiden energias. Si el problema implica una relaci6n entre: posi-cion, velocidad y aceleracion sin referencia al tiempo, suele sermas facil usar la ecuaci6n (13.4) (de la segunda ley de Newton)o la (13.21) (de la conservacion de la energia) que usar la expre-

-Ejemplo13.4 :,..

IDENTIF ICAR: Observe que el problema se refiere al movimientoen diversas posiciones del movirniento, no en instantes especificos,Esto nos sugiere que podemos usar las relaciones de energia quededucimos en esta seccion, despejando de ellas las incognitas.PLANTEAR : La figura 13.14 muestra que escogimos el eje x. Encualquier posicion x, usarernos las ecuaciones (13.22) y (13.4) paraobtener la velocidad v, y la aceleracion a" respectivamente. Te-niendo la velccidad y la posicion, usaremos la ecuaci6n (13.21) pa-raobtener las energias:K, Uy E.

tas imaqenes equiespaciadas del cuerpo no estan equiespaciadasen el t iempo.

EJECUTAR: a) La velocidad vx para cualquier desplaza71iento x es-ta dada po r la ecuacion (13.22):

, r-;;--;u, = V A " - x',

La velocidad maxima se da cuando el cuerpo se mueve hacia la de-recha y pasa por la posicion de equilibrio, donde x ~ 0:

sion general para: x, v .< Yax en funcion de t [ecuaciones (13.13),(13.15) y (13.16), respectivarnente]. Dado que en 1aeeuacion deenergia intervienen X Z y u/, no podemos conocer el signo de xni de u . , ; debemos inferirlo de la situacion. Par ejemplo, si e.lcuerpo se rnueve de la posicion de equilibrio hacia al punto dedesplazamiento positivo maximo, x y v-' seran positivas. '

La velocidad minima (la mas negativa) se da cuando el cuerpo se mueve hacia laizquierda y pasa por x '" 0; su valor es -Urn< = -0.40 mls) Par Ia ecuaci6n (13.4), ka x =--xm

13.14 Un cuerpo se conecta a un resorte, se neva a una distanciaA deIa posicion de equilibrio y se suelta, La figura rnuestra lavelocidad y aceleraci6n en nueve puntos del rnovimiento,


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13.3 I Energia en e1movimiento armonico simple 4La aceleracion maxima (mas posit iva) se da en el valor mas negati-vo de x, 0 sea, x 0= -A; por tanto,

k 200 Nlm 2Qm,[x = = - - ; ( -A) =- 0.50 kg (- 0.020 m ) = = 8.0 m/s

La aceleraci6n minima (mas negativa) es -8.0 m/s? y seda en x =+A =+0.020 m.c) En un punto a Ia mitad del camino hacia el centro desde la posi-c io n i ni ci al , x =AI2 =0 .0 10 U1. Por la ecuacion (13.22),

Escogemos la raiz cuadrada negativa porque el cuerpo se mueve de ~x =A haeia x = O. Per la ecuaci6n (13.4),

200N/m ?a,=- 0.50 kg (0.010 ill) = -4.0 m/sEn este punto, la velocidad y la aceleracion tienen el mismo signo,as ! que la rapidez esta aumentando. En la fig ura 1 3.1 4, se rnuestranlas condiciones en x = 0 , x = :t.A/2 Y x = :t.A.

d) La energia total tiene el mismo valor en todos los puntos durte el movimiento:

La energia potencial es1 ? l( )( )'U = '2kr = 2 : 200N/ill O.OlOm - = 0.010J

y la energia cinetica es1 ? I ( o . s ) ( ) ' .= '2 mu; = '2 0.)0 kg -0.35 m/s - = 0.030 J

EVALUAR : En el punto x =A12, la energia es una cuarta parte engia potencial y tres cuartas partes energia cinetica. Puede compbar este resultado examinando la fig. I3 .13b. .

Ejemplo. 13.5 Energia y cantidad de movimiento en MASUn bloque con mas aM, conectado a un resorte horizontal con cons-tante de fuerza k, se mueve en movimiento arm6nico simple conamplitud A J. En el instante en que el bloque pasa por su posici6n deequil ibrio, se deja caer un trozo de rnasilla con masa m verticalmen-te sobre el bloque desde una altura pequefia y se pega a el (Fig.

Posi ci on de equ il i b ri o .(a)

Masilla

~"~Oh

AI (!Pos icion de equi libr ia

(b)

13.15 (a) Un trozo de mas ilia cae sobre un bloque oscilante alpasar este por el equilibrio. (b) Un trozo de masilla cae sobre=1bloque enx =AI.

13.15a). a) Calcule l a amp li tu d y e l p erio do ' a ho ra , b).Repita la pte (a) suponiendo que la masilla se deja caer sobre el bloque enextremo de su trayectoria (Fig. 13.15b).'1I j.. r;[laI DENT I F ICAR : EI problema irn plica e l movimiento en'una posicidada, no un instante dado, as! que usaremos metcdos de energiara resolverlo. Antes de que la masilla toque el bloque, la energmecanica del bloque y resorte son constantes, EI contacto entremasilla y el bloque es un choque totalrnente inelastico (seccic8.3); la componente horizontal de la cantidad de movimientoconserva, pero la energia cinetica disminuye. Despues del choqula energia mecanica se mantiene constante con un valor diferenUsaremos este principio para ca1cular la nueva amplitud (que erelacionada con Ia energia total del sistema). Obtendremos el nuvo periodo empleando la relacio n en tre p eriod o y masa ,P LANT EAR : La figura 13.15 muestra las coordenadas que escogmos. Las incognitas en cada parte son: la amplitud A2 y el perioT2 despues del choque. En cada parte, consideraremos que sucedantes, durante y despues del choque.E J ECUTAR : a) Antes del choque, la energia meeanica total del bque y el resorte es E, = !kA}. Puesto que el bloque esta en la poci6n de equilibrio, U= 0 y Ii i e ne rg ia e s purarnente cinetica, S i VIla rapidez del bloque en la posicion de equilibrio, tenemos

Durante el c he qu e, l a c ompon en te x de la cantidad de movimiendel sistema de bloque y masilla S O l conserva. (l,Por que") Justo a


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J 490 CAP f T U LOU I Mov im i en to periodicotes del cheque, esta components es la suma de MUI (para el bloque)y cero (para la wasilla). Justo despues del cheque, e .1 bJoque y la

Determinar el periodo de oscilacion despues del cheque es laparte facil, Usaudo la ecuacion (13.12), tenemosmasilla se mueven Juntos con rapidez U2, y SU cornponente x de can-tidad de movimiento combinada es (M - t- m )v 2 Po r l a c on se rv a cio nde la cantidad de movnniento.

~

T2=2'if~M b) Al c ' Ia masilla sobre el bloque, este esta momentaneamente

MVI + 0 = (M + II1)V2 asf que v2 = ---V como enei toda la energia rnecanica esta almacenada en el resorteM_+m ' .co 0 energia potencial. La componente x de Ia cantidad de movi-El choque dura muy poco, asi que poco despues el bloque y Ia /niento es cero tanto; antes como despues del cheque. El bloque te-masilla ann estan cerca en laposicion de equilibrio. La energia Sl~ nia cero energia cinetica justo antes del choque, y el bloque y lasiendo exclusivamente cinetica, pero menor que ante~eqUe: masilla tienen cera energia cinetica inmediatamente despues. En

1 1 M'- M ( 1 . ) este caso, pues, Ia adicion de lamasa extra n o a f ec ta ia energia me-, = -(M + m)v} = --u? = --- -Mu? canica ..Es decir,- 2 . 2M -t-m M+m2

(M ) E = E = _ !_ kA l= M + mE] 2 I 2 I

Y la am plitud despue s _delchoque es lamisma CA 2=AI )' E lp e ri od o51 cambia al agregarse la masilla; su valor no depende de como seagrego la rnasa, s610 de la masa total.As!, T 2 _ es el mismo que obtu-vimos en la parte (a), T2 = 27TV(M - t- m )Ik.

Dado que 2 =~kAl, dondeA2 es la amplitud despues del choque,tenemos1 ( M ) 1-kA} = ~-- -kA?2 - M+m2 ~VALUAR: ,',Porque se pierde energia en la parte (a) pew no ell la

(b)? La diferencia es que, en la parte (a), Ia masilla se desliza con-tra el bloque en movimiento durante el choque; esto disipa energiapar friccion cinetica,Cuantomayorsealamasam deIamasilla, menorserala amplitud final.

Si queremos duplicar la energia total de llll sistema masa-resorte en oscilacion,,',en qu e factor deberemos aurnentar la amplitud? , ',Que efecto tiene este cambiasobre la frecuencia? Suponga MAS.13.4 I Ap lic ac ione s del movim ien to armonic o simp leHasta ahora, hemos examinado globalmente una . situacion en la que hay movi-miento armonico simple (MAS): un cuerpo conectado a un resorte ideal horizon-tal. Sin embargo, el MAS puede presentarse en cualquier sistema en el que haya1 i I r a fuerza de restitucion directamente proporeional al desplazamiento respectoalequilibrio, segun Ia ecuacion (13.3), F;=+kx. Dicha fuerza se origina de diferen-tes maneras y en distintas situacioues, por 1 0 que debe determinarse la constantede fuerza k para cada caso examinando la fuerza neta que actus sabre el sistema.Una vez hecho esto, es facil ca1cular: la frecuencia angula:r w, la frecuenciafy elperiodo T; basta susti tuir el valor de k en las ecuaciones (13.10), (13.11) Y(13.12),respectivamente. Utilicemos estas ideas para examinar varios ejemplos de rnovi-miento a;rm6nico simple.,

MAS vertlcal .Suponga ~ue colgamos un resorte can constants de fuerza k (Fig. 13.16a) y sus-pendemos de el un cuerpo de masa m. Las oscilaciones ahora seran verticales;(,seguinin siendo MAS? En la figura 13.16b, el cuerpo cuelga en repose, en equi-librio. En esta posicion, el resorte se estira una distancia 1 1 / apenas suficiente pa-ra que la fuerza vertical kl11 del resorte sobre el cuerpo balancee su pesomg:

- k l1 1 "'" mg


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13.4 I Aplicaciones del movimiento arm6nico simple

T I -l-(a) (e)b)

13.16 (a) Resorte colgante, (b) Cuerpo suspendido del resorte. Cuando el resorte estAesrirado 10 suficiente como para que la fuerza hacia arriba del resorte tenga la mismarnagnitud que el peso del objeto, el objeto esta en equilibrio, (c) Si el cuerpo obedece1a ley de Hooke, su movimiento sera arm6nico simple.

-~Sea x =0 la posici6n de equilibrio, con la direccion +x hacia arriba, Cuando el

cuerpo esta una distancia x arriba de su posicion de equilibrio (Fig. 13.16c), la ex-tensi6n del resorte es t:.l - x. La fuerza hacia arriba que ejerce sobre el cuerpo esk(t:.l - x), y la componente x neta de fuerza sobre el cuerpo es

FIlet. = k(t:.l- x ) + ( -mg) = -kxesto es, una fuerza neta hacia abajo de magnitud kx. De forma similar, cuando elcuerpo esta debajo de la posicion de equilibrio, hay una fuerza neta hacia arribade magnitud kx. En ambos casos, hay una fuerza de restitucion de magnitud kx. Sie1cuerpo se pone en movimiento vertical, oscilara en MAS con 1amisma frecuen-cia angular que si fuera horizontal, w = v;;J;;;. Por tanto, el MAS vertical no di-fiere en su esencia del horizontal. EI unico cambio real es que la posici6n deequilibriq x = = 0 ya no corresponde al punto donde e1resorte no esta estirado, Lasmismas icbtas son validas cuando un cuerpo cou peso mg se coloca sobre un resor-te compresible (Fig. 13.17) Y 10 cornprime una distancia t:.l.

49

O bje to d esp la za do d elequilibrio: la f ue rz a n etae s pr op or cio ua l a l

mg d esp Ja zamie nto ; la soscilaciones SOIl MAS

Ob je to e n eq ui li br io :( fu er za d e l r es or te ) =( pe so d el o b je to ),

13.17 Si el peso mg comprirne el resorteuna d is tanci a A I , 1 acons tan te de fuerza esk =mgt I : : . l y la frecuencia angular paraMAS vertical es to = ~; igual que siel cuerpo estuviera suspendido del resorte(Fig. 13.16.)

, - E j e m p lo13.6 MAS vertical en un auto viejoLos amortiguadores de un auto viej 0 de 1000 "kg e~tan vencidos.Cuando una persona de 980 N se sube lentamente al auto ell su cen-tro de graved ad, el auto baja 2.8 em. Cuando el auto, 'con la perso-na a bordo, cae en un bache, cornienza a oscilar vertiblmente enMAS. Modele el auto y la persona como un solo cuerpo en un soloresorte, y calcule el periodo y la frecuencia de la oscilacion,

adicional nos da la constante de fuerza, que podemos usaf para otener el periodo y la frecuencia (las incognitas).EJECUTAR : Cuando la fuerza aumenta en 980 N, el resorte se comprime otros 0.028 Ill,Yla ccordenada x del auto cambia en -0.028m. Por tanto, la constante de fuerza efectiva (incluido el efectotoda la suspension) es

k = - (, = - 98 0 N = 3. 5 X l O4 kg /s ?x -0.028 IIIlilj'it3lm.

- IDE NT IF IC AR Y P LA NT EA R: La situaci6n es parecida a la de laFigura 13. J 7. La compresion del resorte cuando se afiade el peso


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La masa de la persona es wig = (980 N)/(9.8 m/s2) = = 100 kg. La ma-sa oseilante total es rn = 1000 kg + 100.kg = 1100 kg. EI pericdo T es

~1 1 00 kgT = 27 1 = 27 1 4? = 1.11 s

3.5 X 10 kg/s"

. . , 4 9 2

y la frecuencia es

13.18 Rueda de balance de un reloj meca-nico, El resorte ejerce un momento de tor-sion de restitucion que es proporcional aldesplazarniento angular e . Per tanto, elmovimiento es MAS angular.

4 ' .

CAP tr U L 0 13 I Movimientoperi6dicoI 1f= - =-- = 0.90 HzT 1.11 s

EVALUAR : Una oscilacion persistente con un periodo aproximadode un segundo es m u y molesta. EI prop6sito de I ; b s amortiguadoreses eliminar tales oscilaciones (vease la secci6n 3.7).

MAS angula rLa figura 13.18 muestra Ia rueda de balance de un reloj mecanico. La rueda tieneun memento de inercia Ialrededor de su eje. Un resorte espiral ejeree un momen-to de torsion de restitucion Tz proporeional al desplazamiento angular e respecto ala posicion de equilibrio. Escribimos Tz = -Ke, donde K (Ia letra griega "kappa")es una constante Hamada constante de torsion. Ernpleando la analogia rotacionalde la segunda ley de Newton para un cuerpo rigido, $T, =Ia, =I d2(jldt2, la ecua-cion del movimiento es

o bienLa forma de esta ecuacion es identica a la de la ecuaci on (13.4) para la aceleracionen movimiento arm6nico simple, sustituyendo x por e y kim por KIf. As i, e stamostratando con una forma de movimiento arm6nico simple angular. La frecuenciaangular w y la frecuenciaj estan dadas par las ecuaciones ( 13 .1 0 ) Y (13 .1 1 ), res-pectivamente, can la misrna sustitucion:

r ; : I r ; :w = \jI y f = 2 7 1' ~ I (11AS angular) (13.24)El movimiento esta descrito por la funci6n

e = e cos (wt + < p )donde e ("theta" mayuscula) hace las veces de una amplitud angular.Es bueno que el movimiento de una rueda de balance se a armonico simple. Si

no 10 fuera, la frecuencia podria dependerde Ia amplitud, y el reloj se adelantariao se retrasarla al ir disminuyendo la tensi6n del resorte.* V ib ra ciones de rneleculasEn la 'siguiente explicacion de las vibraciones de las moleculas se usa el teoremabinomial, Si el estudiante no esta familiarizado con este teorema, le recomenda-mosestudiar la seccion apropiada de su.libro de matematicas,

Si do's atomos estan separados menos de unos cuantos diametros atcmicos,pueden el~rcer fuerzas de atraccion entre si. Por otra parte, si los atomos estan tallcercanos 'que sus capas electr6nicas se traslapan, las fuerzas entre ellos son de re-pulsi6n. Entre estos limites, hay una separaci6n de equilibria en la que los atomosforman una molecula. Si los aromos se desplazan ligeramente del equilibrio, osci-laran, Veamos si tales oseilaciones pueden ser armonicas simples.Como ejemplo, consideremos un tipo de interaccion entre atomos llamada inte-

raccion de Va n der Waa ls . Nuestro objetivo inmediato es estudiar las oscilaciones,


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13.4 I Aplicaciones del movimiento armonico simple

Cer ca d el e qu il ib ri o, F, s e p ue deu FrlOUolRo

U (aproximacion)--~._-_ F, (aproximaeion)

E qu il ib ria e n r = Ro(U e s minima)-2Uo - IOUOIRO Equilibria ell r =RO(Fr e s e er o)(a) (b) (e)

13 .1 9 (a) Dos atornos can sus centros separados una distancia r . (b) La energia potencialUde la interacci6n de Van der Waals en funci6n de r. (c) La fuerza F, sobre el atornoderecho en funci6n de r ,

as! que no entrarernos en detalles respecto al origen de la interacci6n. Tomemos elcentro de un atorno como el origen; el otro estara a una distancia r (Fig. 13.19a). Ladistancia de equilibrio entre los centros es r = o . Se ha obse ado exper:imental-mente que esta interaccion se puede describir con la funci6n de energia potencial.

donde Uo es una constante positiva con unidades de joules. Si los atomos estan muyseparados, U = 0 ; si estan separados por la distancia de equilibrio r = R o , U = _ U o .La fuerza sobre el segundo atomo es la derivada negativa de la ecuacion (13.25),d U [ 1 2 R o l 2 6 R o 6 ] U o [ ( R o ) 13 ( R o ) 7 ]F r = _- = U a -- _ 2-_ = 12~. - ~ - (13.26)dr ,,I3 r' R o r ,.

La energia potencial y la fuerza se grafican en las figuras 13.19b y 13.19c respec-tivamente. La fuerza es positiva para r < Ro Y negativa para r >Ro, asi que es unafuerza de restitucion.A fin de estudiar oscilaciones de amplitud pequefia alrededor de la separacion

de equilibrio r =Ro, introducirnos la cantidad x para representar el desplazamientorespecto al equilibrio:x = r _ Ro asf que r = R o + x

En terminos de x, la fuerza F, de la ecuacion (13.26) se convierte en

F , . = 12 ~: [ ( R o R ~ x t _ ( R o R ~ x r J = 12~:[ (1 + ~ / R o ) 13 _ (1 + ~ l R o p ](13.27)Esto no se parece en nada a la ley de Hooke, F ; = + kx, y podriamos precipitarnosala conclus.i6n de que las oscilaciones moleculares no pueden ser MAS. Sin em-bargo, limitemonos a oscilaciones depequeiia amplitud, de modo que el valor ab-soluto del desplazamiento x sea pequefio en comparaci6n con Ro y el valorabsoluto de la raz6n x lR o sea mucho menor que 1.Ahora podemos simplificar laecuacion (13.27) usando el teorema binomial:

n(n _ 1)" n ( n _ 1)( n _ 2) 3(l+u)"=l+nu+ u-+ u + ... (13.28)2! 3!

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494 CAP fr UL0 13 I Movimiento periodicoSi lu ies mucho menor que 1,cada tennino sucesivo de la ecuacion (13.28) es muchomenor que el anterior, y podemos aproximar (1 + u)" can s610los dos primeros ter-minos. En la ecuacion (13.27), u es reemplazado por xlRoy n es -13 0 -7, asi que

1 x~--...,....,..,. = (1 + x IR o) - 1 3 =1+ (-13)-(I + xlRo) 13 Ro1. )7 = (I +xIRo )-7=1+ (-i).!....(I + xlRo Ro

r, 12~:[(1 + (-13)~J - (1 + C - 7 ) : J J = ~e!~o)x (13.29)Esta es la ley de Hooke can k = 72Ur/Rl (Observe que k tiene las unidades co-rrectas, 1 1m 2 a N/m.) As], las osci1aciones de las moleculas unidas par interaccionde Van der Waals pueden ser movimiento arm6nico simple si la amplitud es pe-queiia en comparaci6n can R(), haciendo valida la aproximaci6n I x / R a l 1 em-pleada al deducir 1aecuacion (13.29).Tambien podemos dernostrar que la energia potencial U de la ecuaci6n (13.25)

se puede escribir como V = 1kx2 + C, donde C = - Va y k es de nuevo igual a72Vr/R{ La suma de una constante a la energia potencial no afecta la interpreta-ci6n fisica, asi que=e],sistema de dos atomos no es fundamentaImente distinto deuna masa unida a un resorte horizontal para el que U = ikx2. Se deja la demos-traci6n como ejercicio.

V ib racion mo lecu la rEjemplo13.7Dos atomos de argon pueden formar una molecula debilrnente uni-da, Arb .gracias a una interaccion de Van der Waals COil UII= 1.68 X10-11 J y Ro=3,82 X 10-)0 Ill. Calcule la frecuencia de oscilacio-nes pequeiias de un atomo alrededor de su posicion de equilibrio.l ie l!1(3uU'IDE NT IF IC AR Y P LA NTE AR : Puesto que las oscilaciones son pe-quefias, podemos usar la ecuacion (13.11) para obtencr la frecuen-cia del movimiento armonico simple. La constante de fuerza estadada por la ecuacion (13.29).E J ECUTAR : La constante de fuerza es

72Uo 72 (1.68 X 10-2) 1) 2k = -,- = ( 'JO )' = 0.829 JIm = 0.829 N/mR o - 3.82X]0-m-Esta es comparable a la constante de fuerza de los resortes de ju-guete f1ojos, como SlinkyTM.

De la tabla periodica de los elementos (apendice D), la masaatomica media de argon es (39.948 u) (1.66 X 10-20 7 kg!.] u) = 6.63X 10-26 kg. Si uno de Jos atornos esta fijo y el otro oscila, la fre-cuencia de oscilacion es

1~. 1-- _--2 7 1 " m 2 7 TLa rnasa oscilante es muy pequefia, asi ~uetnsuso un resorte flojocausa oscilaciones muy rapidas.EVALUAR : Sin embargo, laf que calculamos no es del to Q__correctao Si no actua una fuerza externa neta sobre la molecula, suCentrode masa (situado a la mitad de la distancia entre los atomos) no ~--ne aceleracion, Para que haya aceleracion, ambos atornos deben os-cilar con la misma amplitud en direcciones opuestas, Nos podemosdar cuenta de esto sustituyendo In por m/2 en la expresion para!(Vease el problema13.8L) Esto aumentafen III factor de V2, as !que j =\12(5.63 X lOJJ Hz) = 7.96 X lOll Hz. Una cornplica-cion adicional es que, para la escala atomica, debemos usar meca-nica cuantica, no newtoniana, para describir la oscilacion y otrosmovimientos; felizmente, la frecuencia tiene elmismo valor en me-canica cuantica.

O.S2 9N/m _. )t.,~ -26 - 5.63 X 10 Hz6.6.) X 10 kg

Suponga que uno de los atomos.de argon de una molecula de Ar2 (ejemplo 13.7)se desplaza 1.00 X 10-:" m respecto al equilibria y despues se suelta. l ,Que mag-nitud tiene la aceleracion inicia1 del atomo?


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l3.5 I El pendulo simple

'13.5 I E I pendule simpleUn pendulo simple es un modele idealizado que consiste en una masa puntualsuspendida de un hila sin mas a y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de suposici6n de equilibria (vertical), oscilara alrededor de dicha posici6n. Situacionesordinarias, como una bola de dernolicion en el cable de una grua, la plomada deun teodolito y un nino en un columpio, pueden modelarse como pendulos simples.

La trayectoria de Ia masa puntual (Hamada pesa) no es recta, sino el arco de uncirculo de radio L igual ala longitud del hila (Fig. 13.20). Usamos como coorde-nada la distaneia x medida sabre el arco, Si el movimiento es arm6nico simple, lafuerza de restitucion debe ser direetamente proporcional a x 0 (porque x =Le) a 8.GLoes?

En Ia figura 13.20, representamos las fuerzas que actuan sobre la masa en ter-minos de componentes tangencial y radial. La fuerza de restituei6n Fo es la corn-ponente tangencial de la fuerza neta:

F o = -m g sen 8 (13.30)

49

L

mg sen e\\\\\\\ _ .\ _.mg

La fuerza de restitucion se debe a la graved ad; la tension T s6lo actua para hacer 13.20 Dinamica de un pendulo simple.que la mas a puntual deseriba un areo. La fuerza de restituei6n es proporcional noa e sino a sen e , ast que el movimiento no es arm6nico simple. Sin embargo, si elcingula f) es pequeiio, sen e es casi igual a e en radianes (Fii (13.21). Par ejern-pia, si f) =0.1 rad (unos 6), sen e =0.0998, una diferencia de s610 0.2%. Can es-ta aproximacion, la ecuaci6n (13.30) se convierte en

xF e = -mg8 = -m.g- 0 seaLm.gF e = --xL (13.31)

La fuerza de restitucion es entonces proporcional a la coordenada para desplaza-mientos pequeiios, y la constante de fuerza es k =m gl L . Por la ecuacion (13.10),la frecuencia angular tde un pendulo simple con amplitud pequefia es

w = f k _ = / m i l L = fi\jT n - \j---;;;-\j Z(j:ieB.dulosimple, amplitud pequefra)

(13.32)

Las relaciones de frecuencia y periodo correspondientes son:

(pendulo simple.emplitud pequena (13.33)

?

'"2 ' l T 1 . ~ (P ' .... .)T ~-_ = - = 27T ' - endUIQr' _amphtud pequefia) (l3.34wf g ~"- _ ,dObserve que en estas expresiones no interviene H i masa de Ia particula. La razones que Ia fuerza de restituci6n, una componente del peso de l~particula, es propor-cional a m. As!, la masa a:parece en ambos miembros de 2: .F = mil y se cancela,(EI principio fisico es el mismo que haee que dos cuerpos con diferente masa caigancon la misma aceleraci6n en el vacio.) Si la oscilaci6n es pequefia, el periodo deun pendulo para un valor dado de g depende s610 desu longitud.

F e2mg - F e = -mg sen e(real)

- F e= -mge(aproximada),,/2 {j (rad)-,,/2

-mg-2111g

13.21 Si el desplazamiento angular fJ espequefio, la fuerza de restitucion paraun pendulo simple, F e = -m g sen B, esaproximadamente igual a - mg8; es decir,es aproximadamente proporcional a e , ylas oscilaciones son arm6nicas simples.


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496 CAPITULO 13 I Movimiento periodico

A c t - I vP LONt NEnyscsLa dependencia de L y g en las ecuaciones (13 .32) a'(l3 .34) es justa 10espe-

rado. Un pendulo largo tiene un periodo '"mas largo que uno corto, Si aumenta gaumenta la fuerza de restitucion, causando un aumento de la frecuencia y.una disminucion del periodo ..Enfatizamos otra vez que el movimiento de un pendulo es s610 aproximada-mente armonico simple. Si la amplitud no es pequefia, la divergencia respecto a

MAS puede ser considerable. Pero, ~que tan pequeiia es "pequefia"? El periodopuede expresarse can una serie infinita; si el desplazamiento angular maximo ee, el periodo Testa dado por

( 1 2 e 12 32 e )T= 2 ' 7 1 1 + ~sen2- + --sen4- + ...g 22 2 2 2 4 2 2

9.10 Frecuencia de pendulo9.11 Arriesgado paseo con pondulo

(13.35)Podemos calcular el periodo con la precisi6n deseada tomando suficientes termi-nbs de la serie. Compruebe que, si e= 15 (a cada lado de la posicion central), eperiodo verdadero es mas largo que Ia aproximaci6n dada por Ja ecuaci6n (13.34)en menos de 0.5%.La utilidad del pendulo en relojes depende de que el periodo ses practtcamen-

te independiente de la amplitud, siempre que esta sea pequefia, Asi, al perder impulso un reloj de pendulo y disminuir un poco la amplitud de las oscilaciones, laexactitud del reloj'rasi no se altera .

. Ejemplo ..13.8 U n pendulo simple

Ca lc ul e e l p er io do y la frecuen cia de un pe ndulo sim ple de 1.0 00 mde longitud en un lugar donde g = 9.800 mls2

EVALUAR : EI periodo es casi exactamente 2 s, De h ec ho , wando seestablecio el sistema rnetrico, el segundo se definio como la mitaddel periodo de un pendulo de 1 m. Sin embargo, este no fue un estandar muy bueno para el tiempo porque el valor de g varia segun el ug ar , Y a hablamos de estandares de tiempo mas modern os en laseccion 1.3.

l i ,]lIMltIIDE NT IF IC AR Y P LA NT EA R : Usaremos l a e cu a ci on (13.34) paradetenninar el periodo T de un pendulo a partir d e s u lo ng it ud , y laecuacion (13.1) para obtener Ia f recuenc ia f a part ir de T.EJECUTAR : Po r l as e cu a ci on s (13.34) y (13.1),

J f I.aOOmT = 2"lT = 21i 2 =2.007 sg 9.800 mls1 .f= T = 0 .4 98 3 H z

L o ~ .epositos mineral es 0 de pei:r6leo afectan el valor local de g porque su densi-dad difiere de Ia de su entorno, Suponga que un pendulo simple de 1.000 m tieneun perioqo de exactamente 2.000 s en cierto lugar. (,Cuanto vale g ahi?

1.3.6 I E I pendulo fis icoUn pendulo fisico es cualquier pendulo real, que usa uncuerpo de tamafio finito,en contraste con el modele idealizado de pendulo simple en el que toda Ia masa se


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A c t " I VP h y s c s(13.37) 9.12 Pendulofisico

13.6 I El pendulo ffsico

concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequefias, el analisis del movimien-to de un pendulo real es casi tan facil que el de uno simple. La figura ...13.22 rnues-tra un euerpo de forma irregular que puede girar sin friccion alrededor de un ejeque pasa por el punto O. En Ia posicion de equilibrio, e l c en tr o de gravedad estadirectarnente abajo del pivote; en la posicion mostrada en la figura, el cuerpo es-ta desplazado del equilibrio un Angulo e que usarnos como coordenada para el sis-tema. La distancia de 0 al centro de gravedad es d, el momento de inercia delcuerpo alrededor del eje de rotacion es J y la masa total es m. Cuando el cuerpo sedespJaza como se muestra, el peso mg causa un momenta de torsi6n de restituci6n

'fz = - (mg )( d sen e ) (13.36)El signo negativo indica que el momenta de torsi6n es horario si el desplazamien-to es antihoriario, y viceversa.

S i se suelta el cuerpo, oseila alrededor de su posici6n de equilibrio. El movi-mien to no es arm6nico simple porque el momento de torsion 7'z es proporcional asen e , no a e ; pero si e es pequefio, podemos aproximar sen e con e en radianes, yel movimiento es aproximadamente armonico simple. Entonees,

7, = - (mgd)eLa ecuaci6n de movimiento es ~T z =Ia, asi que

Si comparamos esto con la ecuaci6n (13.4), vemos que el papel de (kim) en el sis-tema masa-resorte 1 0 desempeiia aqui la cantidad (mgd/I). Por tanto, la frecuenciaangular esta dada por

,., _ _ + /m id [gdVJ \j [- ( pe ndu lo f is ic o, amplitud pequefia) (13.38)

La frecuenciaj es 1 I 2 1 T veces esto, y el periodo Tes

T = Z 1 T !I._\j;wi (pendulo fisico, amplitud pequefia) (13.39)La ecuaci6n (13.39) es la base de un metodo comun para determinar experi-

mentalmente el momento de inercia de un cuerpo de forma compleja. Primero, selocaliza el centro de gravedad del cuerpo pot balanceo. Luego, se suspende elcuerpo de modo que oscile libremente alrededor de un eje, y se mide el periodo Tde oscilaciones de amplitud pequefia. Usando la ecuacion (13.39), puede calcular-,I .se e l momenta de inercia J del cuerpo alrededor db' ese eje a partir de T, la m a sadel cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad (vease el ejercicio13.50). Los investigadores en biomecanica usan este metodo para calcular los mo-mentos de inercia de los miembros de W1 animaL Esta informaci6n es importantepara analizar como camina un animal, como veremos en el segundo de los ejem-pi os que siguen.

497

mg

13.22 Dinamica de un pendulo fisico,


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498 CAP J T U L 0 J 3 I Movimiento peri6dico

Ejemplo13.9 .Pendulo fisico contra pendulo slmple

Suponga que el cuerpo de la figura 13.22 es una varilla uniforrne delongitud L que pivotaen un extreme. Calcule el periodo de su mo-vimiento,li.j!1I3uBI D ENT IF ICAR Y P I.AN IEAR : Usaremos latabla 9.2 (secci6n9.4) parah alla re l m em en to de inercia de l a v ar in a; l ue go , s us ti tu ir er no s ese va -lor en l a e cuac ion (13.39) para d ete rm in ar e l periodo de oscilacion.E JECUIAR : Por la tabla 9.2, el memento de inercia de una varillauniforms respecto a un ejeen 5U extreme es I = tML2. La distan-cia del pivote al centro del graved ad es d = L/2. Por la ecuacion(13.39),

EVALUAR : Si la varilla es un metro (L = l.00 m) y g = 9.80 m/entonces

_ ~ 21l.00 m)T =27 f ( 2 ) = l.64 s3 9.80 m /sEI periodo e s r ne no r, en un factor de vm =0.816 que el dependulo simple con la misma iongitud, calculado en el ejemp13.8 (seccion 13.5).

Ejemplo13.10 Tyrannosaurus rex y el pendulo fisico

Todos los animales que carninan, incluido el ser humane, tienen ~paso natural para caminar, un numero de pasos por minuto, que esmas comedo que un ritrno mas rapido 0mas lento. Suponga que es-Ie paso natural es igual al periodo de la pierna, vista C Om O una va -rilla uniforme can pivote en la cadera, a) " ,Como depende el pasonatural de la longitud L de la pierna, medida de Ia eadem al pie? b)Pruebas fosiles muestran que T yr a nn osa ur us r ex , un dinosaurioblpedo que vivio hace 65 mill ones de afios al final del pericdo Cre-tacico, tenia una longitud de pierna L =3.1 IIIYuna iongitud de paso(Ia distancia de LIlla huella ala siguiente del mismo pie) S = 4.0 m(Fig. 13.23). Estirne la rapidez can que el T rex caminaba,

. i . 1liI3 ( ' m 1I.D E N liF IC AR Y P L AN IE AR : Trataremos Iapierna como un pend10 flsico, can el periodo de oscilacion quedeterminarnos en el ejep lo 1 3.9 . Las incognitas son: a) la relacion entre el paso al andar ylongitud de la pierna y b) la rapidez can que caminaba el T . r ex .E JECUIAR : a) Por el ejernplo 13.9, el pericdo de oscilacion depierna es T = 2 '1TV1L13g, que es proporcional a vL. Cada perdo (una oscilacicn de ida y vuelta de la piema) corresponde a dpasos, asi que el ritrno alcaminar en pasos par unidad de tiempo

-If'

.. LOngit\1d~

13.23 La rapidez al caminar del T y ra n no sa u ru s r ex se puede estirnar a partir de Ialongitud de su pata L y la de 811 paso S.


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13.7 I Oscilaciones amortiguadas

dos veces la freeuencia de oscilacionj"> liT. Par tanto, el paso esproporcional a !lVI.Los animales can piernas cortas (L pequeiio)como los ratones a perros chihuahueiios carninan can ritmo rapido;las personas, las jirafas y otros animales can piernas largas (L gran-de) caminan mas lentamente.b) Segun nuestro modelo del ritrno del andar natural, el tiempo queel T rex tarda en dar un paso es.

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EVALUAR : Nuestra estimacion par fuerza tiene cierto error porqueuna varilla U)).ifOI1l1eo es un buen modele de una pierna. Las piernas de muehos animales, entre ellos el T rex y las personas, no SOuniformes; hay mucha mas masa entre la cadera y la rcdilla que entre esta y el pie. Asi, el centro de masa est! a menos de L l2 de la cadera; una estimacion razonable seria Ll4. El memento de inertia emucho menor que ML213, tal vez del orden de ML2115 . .Pruebe estacifras con el analisis del ejemplo 13.9; obtendra un periodo de oscilacion mas corto y una rapidez al andar aun mayor para ei T rex./

2(3.1 m)T = 2 1 T = 2 1 T \ ( ' ) = 2.9 sg 3 9.8 rn/s'La distancia que se mueve en este tiempo es la 10ng1/Jd de paso S,asi que la rapidez al andar es

S 4.0mv = . . , . . =-- = 1.4 m/s = 5.0km/h = 3.1 rni/hT 2.9 sjEsta es mas a menos la rapidez can que camina una persona!

Suponga que e1cuerpo de 1afigura 13.22 es una varilla uniforme con masa m ylongitud L que pivota en su punto medio. El momenta de inercia para este puntopivote es1= i2 ml.2. Determine el periodo de oscilaci6n e iriterprete su resultado.13.7 I Oscilac io .nes amortiguadasLos sistemas oscilantes idealizados que hemos visto hasta ahara no tienen fricci6n.No hay fuerzas no con se rv ador as , la e ne rg ia mecanic a total es constante y un sistemapuesto en movimiento sigue oscilando eternamente sin disminucion de la amplitud.

Sin embargo, los sistemas del mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras,y las oscilaciones cesan con el tiempo si no hay un mecanismo que reponga 1aenergia mecanica disipada (Fig. 13.24). Un reloj mecanico de pendulo sigue an-dando porque la energia potencial almacenada en el resorte 0 en un sistema de pe-sos colgantes repone 1a energia mecanica perdida por friccion en el pivote y losengranes. En algun momento, el resorte perdera su tension 0 los pesos llegaran alfondo de su trayecto. Al no haber mas energia disponible, la amplitud de las osci-laciones del pendulo disminuira y el reloj se parara.La disminucion de Ia amp1itud causada por fuerzas disipadoras se denomina

amortiguacton, y el movimiento correspondieote se llama oscllacion amorti-guada. EI caso mas sencillo para un analisis detallado es tin oscilador armonicosimple con una fuerza de amortiguacion por friccion directamente proporcional ala oelocidad del euerpo oscilante, Este cornportamiento se observa en la friccionpOT flujo de fluidos viscosos, como en los amortiguadores de los autos 0 el desli-zamiendo de superficies lubricadas con aceite. Asi, sobre el cuerpo actua unafuerza adicional debida a la friccion, F, = ,bvx , donde Ux = = dxldt es la velocidady b es una constante que describe la iritensid~d d~ la fuerza amortiguadora. EI sig-no menos indica que la fuerza siempre tiene direccion opuesta a la velocidad. Lafuerza neta que actus sobre el cuerpo es entonces.]

"" F = =kx - bv. t . J x x ( 13.40)y Ia segunda ley de Newton para el sistema es

+kx - bu; = ma x 0 bien (13.41)

13.24 Si una campana que oscila se dejade impulsar, tarde 0 temprano las fuerzasamortiguadoras (resistencia del aire y fric-cion en el punta de suspension) haran quedeje de oscilar.


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500

13.25 Grafica de desplazamiento contratiempo para un oscilador con poca amorti-guacicn [ecuacion (13.42)] y angulo de fa-se c /J = = 0 , Se muestran curvas para dosvalores de la constante de amortiguacion b.

CAPiTULO 13 I Movimiento periodico

La ecuacion (13.41) es una ecuaci6n diferencial en-X;-seria igual ala ecuaci6n(13.4), que da la aceleracion en MAS, si no fuera por el termino adicional -bdxldt. La resolucion de esta ecuacioh es un problema sencillo en ecuaciones dife-renciales, pero no entraremos aqui en detalles, Si la fuerza de amortiguacion es rela-tivamente pequeiia, el movimiento esta descrito par

x = Ae-(bI2m)lcos (6)'t+ ) (oscilador con poca amortiguacion) (13.42)La frecuencia angular de la oscilaci6n co ' esta dada por....

(khZto' = \j -;;;4,;;2 (osoilador con poca amortiguacion (13.43)

EI lector puede verificar que la ecuaci6n (13.42) es una solucion de la ecuacion(13.41) calculando la primera y segunda derivadas de x, sustituyendolas en laecuaci6n (13.41) y viendo si los miembros derecho e Izquierdo son iguales, Esteprocedimiento es sencillo aunque algo tedioso.El movimiento descrito por la ecuaci6n (13.42) difiere del caso no arnortigua-

do en dos aspectos. Primero, la amp litud Ae-(bl2l11)1 no es constante sino que dismi-nuye con eJ tiempc;-"'a'causa del factor exponencial decreciente e-(bI2m)l. La figura13.25 es una grafica de la ecuaci6n (13.42) para el caso < p =0; muestra que, cuan-to mayor es b, mas rapidarnente disminuye la amplitud,

Seg~~a freeuencia angular oi'; dada por la ecuaci6n (13.43), ya no es iguala t = V kim, sino un poco rnenor, y se hace cero si b es tan grande que

k b2- - - = 0 0 bien b = 2~m 4m2 (13.44)Si se satisface la ecuacion (13.44), la condici6n se denomina amortiguaclon cri-tica, El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posici6n de equilibrio sin os-cilar cuando se le desplaza y suelta.

xA - b =O.l.jkn;

- b =O.4.jkn;

-A

Mayor amortiguacion (b mas grande): La amplitud disminuye masrapidamente (curvas de guiones)

E l p er io do T aumenta(T o = periodo sin amortiguaci6n)


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13.7 1 Oscilaciones amortiguadas

Si b es mayor que 2y'b;;, Ia condici6n se denomina sobreamorriguaclen.'I.Aqui tampa co hay oscilaci6n, pero eI sistema vuelve al equilibrio mas lentamen-te que can amortiguacion critica. En este caso, las soluciones de la ecuacion(13.41) tienen 1aforma

donde C1 YC2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y al ya2son constantes determinadas par m, k y b.Si b esmenor que el valor critic,lt,como en Iaecuaci6n (13.42), la condici6n se lla-

ma subamortiguaci6n. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.En un diapason 0cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos la minima

amortiguaci6n posible. En cambio, la amortiguacion es benefica en las oscilacio-nes de la suspensi6n de un auto. Los amortiguadores proveen una fuerza amorti-guadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pasa par un bache, nosiga rebotando eternamente (Fig. 13.26). Para optimizar la comodidad de los pasa-jeres, el sistema debe estar criticamente amortiguado 0 un poco subamortiguado.AI hacerse viejos los amortiguadores, el valor de b disminuye y eJ rebote persistemas tiempo. Esto no s610 causa nauseas, perjudica la direccion porque las ruedasdelanteras tienen menos contacto positivo con el suelo. Asi, la amortiguaci6n esuna ventaja en este sistema. Demasiada arnortiguacion seriz-sontraproducente; si bes excesiva, el sistema estara sobreamortiguado y la suspension volvera al equilibriomas Ientarnente. En tal caso, si el auto cae en otro bache, justo despues del prime-ro, los resortes de la suspensi6n todavia estaran comprimidos un poco par el primergolpe y no podran absorber plenamente el impacto.En oscilaciones amortiguadas, la fuerza amortiguadora no es conservadora; la

energia mecanica del sistema no es constante, sino que disminuye continuamente,acercandose a cero despues de un tiempo largo. Si queremos deducir lma expre-sion para la rapidez de cambia de energia, primero escribimos una para Ia energiamecanica total E en cualquier instante:

1 . '2 1 ?E = = +mu : + =kx"2 .r 2Para ca1cular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo:

dE du, dx-:==mv-' +kx-dt x dt dtPero dv..Jdt = a x y dx/dt = vx, as! que

dE ( )dt = v, ma x + kxPor la ecuaci6n (13A 1), max + lex = - b dxl dt=-bvp asi que

dE_ ( )_ 2-d - Vr =btr; - -bvxt . . (oscilaciones amortiguadas ) (13.45)El miembro derecho de la ecuacion (13.45) sieri:t1prees negativo, sea v positiva 0negativa. Esto indica que E disminuye continuamente, aunque no con rapidez uni-forme. EI termino -bv} = (-bvx)vx (fuerza multiplicada por velocidad) es la ra-


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502

A

Mayor amortiguacion (b nuts grande): EI pica se ensancha El pica se hace menos agudo El pica se desplaza haciaI re cu e nc i a s ma s bajasSi b > ,/lkm, el picodesaparece par complete

13.27 Grafica de la amplitud A de oscila-cion forzada en funcion de la frecuencia Wdde la fuerza impulsora. Ei eje horizontalindica el cociente de (Udy la frecuencia an-gular w = .v'[i;; de un oscilador no, amor-tiguado, Cada curva tiene un valor distintode la con stante de amortiguacion h.

CAP i T U L 0 13 I Movimiento periodico

Se observa un cornportamiento similar en circuitos electricos que contienen inductancia, capacitancia y resistencia, Hay lrna frecuencia de oscilaci6n natural,la resistencia desernpefia el papel de la constante de amortiguaci6n b. En ta1es circuitos, suele ser deseable reducir al minima la amortiguacion, pem nunea puedeevitarse par complete. Estudiarernos esto con detalle en los capitulos 30 y 31.

Considere otra vez Ia combinaci6n masa-resorte del ejemplo 13.2 (seccion 13.2), conk=200 N/m y m = 0:50 kg. Sin amortiguaci6n, este sistema tiene una frecuenciaangular W =20 rad/s ..Determine la frecuencia angular si hay amortiguacion conb = 10 kg/s. i,Con que valor de b hay amortiguacion critic a'?

13.8 I Osci laciones forzadas y resonanciaUn oseilador amortiguado aislado dejara de moverse tarde 0 temprano, pero pode-mos mantener una oscilacion de an)plitud eonstante aplicando una fuerza que variecan el tiempo periodica 0 ciclicamente, con periodo y frecuencia definidos. Poejemplo, considere a su primo Tito en un columpio. Usted puede mantenerlo osci-lando con amplitud constante dandole un empujoncito una vez cada cicio. Llama-mas a esta fuerza~cional fuerza impuIsora.

Si aplicamos una fuerza impulsora que vade periodicarnente con frecuenciaangular Wd a un oscilador arm6nico amortiguado, el movimiento resultante se llama oscilacion forzada Uoscilacion impulsada, yes diferente del movimiento quese da euando el sistema se desplaza del equilibria y luego se deja en paz, en euyocaso el sistema oscilara con una freeuencia angular natural w' detenninada parm, k y b, como en la ecuaei6n (13.43). En una oscilacion forzada, en cambio, lfrecuencia angular con que la masa oseila es igual a la frecuencia angular impul-sora, Wd, Ia cual no tiene que ser igual ala frecuencia angular to' con que el siste-ma oscilaria sin W1afuerza impulsora. Si usted sujeta las cuerdas del columpio deTito, puede obligar al columpio a oscilar con cualquier frecuencia que desee.

Suponga que se obliga al oseilador a vibrar con una frecuencia angular Wd casigual ala frecuencia angular w' que tendria sin fuerza impulsora. z,Que sucede? Eoseilador tiende naturalmente a oscilar con W = w', y cabe esperar que Ia ampli-tud de la oscilacion resultante sea mayor que cuando las dos frecuencias son muydiferentes. Analisis y experirnentos detallados muestran que esto es 10 que suce-de. 1 caso mas facil de analizar es una fuerza que varia senoidalmente, digamosF( t ) =F m a x cos wdt. S i variamos la frecuencia Wd de la fuerza impulsora, la ampli-tud de la oscilaci6n forzada resultante variara de manera interesante (Fig. 13.27)Si hay muy poca amortiguaci6n (b pequefia), la amplitud tendra un pica marcadoal acercarse Wd ala frecuencia angular de oseilaei6n normal Wi . Si se aumenta laamortiguaci6n (b mayor), el pieo se ensancha y se hace menos alto, desplazando-se hacia frecuencias mas bajas.'~Odl~al110Sdeducir una expresion que muestre c6mo 1aamplitud A de la osci-

lacion forzada depende de la frecuencia de una fuerza impul sora senoidal, COil va-lor maximo Fmx. Ello impliearia resolver ecuaciones diferenciales para las queaim no e'Jtamos preparados, pero el resultado seria:A = Fm6.x (amplitud de un oscilador impulsado ) (13.46)VUe - mwi)2 + b2wl

Si k - mwi =0, el primer termino bajo el radical es cero, y A tiene un maximoeerea de Wd = ViJiii. La altura de la curva en este punto es proporcional a lib;


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13.8 I Oscilaciones forzadas y resonancia

cuanto menor es la amortiguacion, mas alto es el pico, En el extreme de baja fre-cuencia, con Wd = 0, obtenemos A = Fm;_/k . Esto corresponde a una fuerza cons-tante FmilK Y undesplazamiento constante A =Fma)k respecto a l equilibria, comoesperariamos,EI hecho de que haya un pica de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas a

la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia. En fisica, abundan losejemplos de resonancia; uno es aurnentar las oscilaciones de un nifio en un colum-pia empujando can una frecuencia igual a la natural del columpio. Un ruido vibra-torio en un auto que se escucba solo a cierta velocidad del motor 0 de rotacion delas ruedas es un ejemplo muy conocido. Los altavoces baratos a menudo emitenun retumbo 0 zumbido molesto cuando una nota musical coincide con la frecuen-cia resonante del cono del altavoz a del bafle. Un circuito sintonizado en una ra-dio 0 un televisor responde vigorosamente a ondas can frecuencias cercanas a sufrecuencia de resonancia, y aprovechamos esto para seleccionar una estacion y re-chazar las demas, Estudiaremos la resonancia en circuitos electricos con detalleen el capitulo 31.La resonancia en los sistemas mecanicos puede ser destructiva, Una campania

de soldados una vez destruyo un puente marchando sabre el al rnismo paso; la fre-cuencia de sus pasos era cercana a una vibracion natural del puente, y la oscila-cion resultante tuvo suficiente amplitud para desgarrar el p ente. Desde entonces,se ha ordenado a los soldados que romp an el paso antes de cruzar un puente. Hacealgunos afios, las vibraciones de los motores de cierto avion tuvieron justo la fre-cuencia correcta para resonar con las frecuencias naturales de las alas. Las oscila-ciones iban creciendo y a veces se caian las alas.Casi todo mundo ha vista la pelicula del colapso del puente de suspension 1a-

coma Narrows en 1940 (Fig. 13.28). Esto suele citarse como ejemplo de resonan-cia ~mpulsada por el viento, perc hay dudas al respecto. El viento no tenia quevariar periodicamente con una frecuencia cercana a la natural del puente. EI flujode aire por el puente era turbulento, y se formaban rernolinos en el aire can unafrecuencia regular que dependia de la velocidad de t1ujo. Es concebible que esta fre-cuencia haya coincidido con una frecuencia natural del puente, pero la causa bienpuede haber sido algo mas sutil lIamado oscilacion autoexcitada, en la que lasfuerzasaerodinamicas causadas por un viento constante al soplar sobre el puentetendieron a alejarlo mas del equilibrio en momentos en que ya se estaba alejandodel equilibria. Es como S 1 tuvieramos una fuerza amortiguadora como el termino=bu; de la ecuacion (13.40) pero con el signo invertido. En lugar de extraer ener-gia mecanica del sistema, esta fuerza antiamortiguadora bombea energia a el, au-mentando las oscilaciones hasta amplitudes destructivas, La ecuacion diferencialaproximada es Ia (13.41) can el signo del terrnino en b invertidc, y la solucion os-cilante es la ecuacion (13.42) con un signo p os itiu 0 en el exponente. Puede verseque nos esperan problemas. Los ingenieros han aprendido a estabilizar los puen-tes suspendidos, tanto estructural como aerodinamicarnente, a fin de evitar talesdesastres.

m : . . , , , ,r '~."\.:.. ,'-,1, oJ lMencionamos que cierto avion experimento una resonancia indeseable entre lasvibraciones de los motores y las de las alas. EI problema se corrigio hacienda masrigida la estructura de las alas. Utilice el concepto de resonancia para explicar co-mo funciono esa solucion,

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13.28 EI puente Tacoma Narrows se desplorno cuatro meses y seis dias despuesabrirse al trafico. El darn principal tenia2800 pies de longitud y 39 pies de anchufa, con vigas de 8 pies de altura para dadrigidez en ambos costados, La amplitudmaxima de las vibraciones torsionalesfue de 35-; la frecuencia fue de cercade 0.2 Hz.


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504 CAPiTULO 13 I Movimiento petiodicoI -,. ;_ A?- _ RES U MENUn movimiento peri6dico se repite en un cicio definido;se presenta siempre que un cueipo tiene una posicion deequilibrio estable Yuna fuerza 0memento de torsionde restitucion que acfua~cual1do el cuerpo se desplaza delequilibrio. EI periodo T es 10 que tarda un cic1o. La fre-cueneiaj'es el numero de ciclos por unidad de tiempo.La frecuencia angular w es 21 T veces la frecuencia.

- (Vease el ejemplo 13.1.)

Si la fuerza neta es U11afuerza de restitucion F; directa-menteproporcional al desplazamiento x, el movimientoes arm6nico simple (MAS). En muchos casos, esta con-dicion se satisface siel desplazamiento respecto al equili-brio es pequefio.

1t= -T1T=-f

2 1 TW=27Tf=-. T

1

F~= +kxF", ka = - =--xr In In

EI circulo de referencia usa un vector giraiorio,. llamado fasor, cuya Jongitud es igual ala am-plitud del movirniento. La proyecci6n del fasor en.el eje horizon't11>representa el movimientoreal de un cuerpo en movimiento armonico simple.

La frecuencia angular, la frecuencia y e l pe ri odo en "MASno dependen de la amplitud, s610 dependen de la masa my la constante de fuerza k. (Veanse los ejemplos 13.2,13.6 Y 13.7.)

JI3.1)

(13.3)(13.4)

(1.3..l0)

(13.11)(13.12)

I!En "MAS, el desplazamiento, la velocidad y la aceleracion son j x "'"A cos (w t + 4 (13.13) 1 .'funciones senoidales del tiempo. La frecuencia angular es .w =~ la amplitud A y elangulo de fase 4 > estan deterrni- {nados por: la posicion y velocidad iniciales del cuerpo. (Vease e1 1ejemplo 13.3.)

La enetgiase conserva en M:AS. La ener- \g ia t ot al , s e puede expresar en terminos dela constante de fuerza I e y la amplitud A. .(Veanse los ejemplos 13,4 y 13.5.) ..

\ lEn el'movimiento armonico simple angular, lafrecuenciay 1


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Un pendulo simple cousiste en Una masa puntual m en elextreme de un hilo sin masa de longitud L. Su movimientoes aproximadam'ente annol1ico simple s i I a -amplitud e s pe -quefia; entonces, laJreouellciaangular, frecnencia yperiododependen solo degi L, no'de la masa ni de la amplitud,(Yease el ejemplo 13.8.1

Un pendulo fisioo es.un cuerpo suspendido de un eje de ro-tacion < t o e esta alma distancia d de s u centro de gravedad.Si el memento de inercla respecto al e i e de rotacion es J,Iafrecuencia angular y el periodopara oscilaciones de amp ii -tud p';queiia sou independientes de Ia amplitud. (Veanse losejemplqs 13.9 y 13_10.)

81 a un o sc il ad or a nn on ic o s e aplica una' fu e rz a amo r ti gu ado ra 1~~ =" - b~x pr~porcion~1 ala velocidad, el movimiento ~e deu?- - . J111maoscilacion amortiguada. Para una fuerza de amornguacionJ;elativamente pequena, el movimiento es senoidal con amplituddecreciente y ttecn~nc:ia angular to' mas baja que la que tendriasin amortiguacion, Esta situaclon se presenta cuandob < 2Vkm, (condicion de subamortiguacion). Si b = 2v'kni.,el sistema esta cri ticamente amortiguado y

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Capitulo 13 Sears