Capitulo 14 Sears

5/8/2018 Capitulo 14 Sears

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MECANICADEFLUIDOS

L os fluidos desempefian un papelcrucial en muchos aspectos de la vida cotidia-na. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan POl' nuestro organis-me y contralan el clima. Los aviones vuelan en ellos y los barcos flotan en ellos. Untluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el termino tanto para liquidoscomo para gases. Norrnalmen te, pensamos que los gases son faciles de comprimir yque los Hquidos son casi incompresibles, empero hay casos excepcionales.

Comenzaremos nuestro estudio con la estatica de fluidos, 0 sea el estudio detluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equi-librio, esta se basa en la primera y tercera leyes de Newton. Exploraremos los con-ceptos clave de densidad, presi6n y flotacion. La dlnamica de fluidos, es decir, elestudio de fluidos en movimiento, es mucho mas cornpleja; de heche, es una delas ramas mas complejas de la mecanica. Por fortuna, podemos analizar muchassituaciones irnportantes usando modelos idealizados sencillos y los principios queya conocernos, como las leyes de Newton y 1aconservacion de la energia. Aun asi,apenas tocaremos la superficie de este tema ta b amplio e interesante,

1 \14.1 I DensidadUna propiedad importante de cualquier material es su densldad, la cual es definidacomo su masa por unidad de volumen. Un material homogeneo, como el hielo 0 elhierro, tiene la misma densidad en todas sus partes. Usamos la letra griega p (ro) pa-ra la densidad. Si una masa m de material tiene un volumen V, la densidad p es

Este cic1ista olimpico manta una bicicleestacionaria en un tunel de viento. Obsevando el flujo de aire en torno a su cuer(can la ayuda de estelas de burna), loscientificos pueden determinar que disefde bicicleta y tecnicas de cieliSill a redual minima la resistencia del aire y aumetan al maximo el desempeiio,

E n diverso s p untos alred ed orciclista, el aire se ve obligado a pasarp or m arc ad as c onstric cio nes (c om o ene l b ra zo y el tronco). tE sta hace que ea ire se fren e, se ac elere 0 ninquna dedos casas?

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14.1 EI precio del oro se cotiza porpeso(digamos, en d6Iares por onza), Dado que61 oro es uno de los m etales m as densos, esposible almacenar una fortuna en oro en unvolumen pequefio,

,-

CAP f T U L 0 14 I Mecanica de fluidos

m:p=-V (definicion de densidad) (14.1)La densidad de algunos materiales varia de un punto a otro dentro del material;ejemplos de ello son 1aatmosfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) ylos oceanos (que son mas densos a grandes profundidades), En el caso de estos ma-teriaJes, la ecuacion (14.1) describe Ia densidad media. En general, la densidad deun material depende de los factores ambientales como la temperatura y la presion.

La unidad de densidad en e) 81 es eI kilogramo por metro cubico (1 kg/nr'),Tambien se usa mucho la unidad cgs, gramo por centimetro cubico (l g/cnr'). Elfactor de conversion

1 g/cnr' = 1000 kg/rrr'resulta util, En la tabla 14.1, se dan las densidades de varias sustancias cornunes atemperaturas ordinarias (vease tambien la Fig. 14.1). Observe la amplia gama demagnitudes. EI material mas denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio(p = 22,500 kg/nr'), pero esto no es nada en eomparaci6n con la densidad de losobjetos astronornicos exoticos como las estrellas enanas blancas y las estrellas deneutrones.Tabla 14.1 Densidadesae algunas sustancias comunesMaterial Densidad (kg/m3) * Material""",_, _ _ _ _ - _ . " " . _ . " " . , _ _ - _ _ ,,,- _ _ _Aire (1 atm,20"e) 1.20 Hierro, aceroEtanol 0.81 X 10 3 LatonBenceno 0.90 X 103 CobreHielo 0.92 X 103 PlataAgua 1.00 X 103 PlomoAgua de mar 1.03 X 103 MercurioSangre 1.06 X 10 3 OroGlicerina 1.26 X 10 3 PlatinoConcreto 2 X 10J E stre lla enana blancaAluminio 2.7 X 103 Estrella de neutrones

Densidadf kg/nr'}""",_." _ _ _ - _ .. , .

7. 8 X 10 '8,6 X 1038.9 X 10310.5 X 10 311.3 X tO J13.6 X 10319.3 X 103 .21.4 X 1031010

l O i S*Para obtener las densidades en gramos por centimetro cubico, divida entre 103

La gravedad especifica de un material es la razon entre su densidad y la delagua a 4.0C, 1000 kg/nr'; es un numero puro sin unidades. Par ejemplo, la grave-dad especificadel aluminio es 2.7. Aunque "gravedad especifica" no es un buentermino, pues nada tiene que ver con la gravedad; habria sido mejor 1a definici6nde "densidad relativa",

La medicion de la densidad es una tecnica analitiea importante. POl' ejemplo,podemos determinar el nive! decarga de un aeumu!ador midiendo la densidad desu electrolito, 0 sea una disolucion de acido sulfurico (H2S04), Al descargarse labaterla, el H2S04 se combina con el plomo de las plaeas del acurnulador para for-mar sulfato de plomo (PbS04) insoluble, 10 que reduce la concentracion de la di-solucion. -~ a densi~ad baja de 'cerca de 1.30 x 103 kg/m ' en un acumuladorcargado a 1".15X 10' kg/m' en uno descargado.

Otro ejemplo automotriz es el anticongelante permanente, que suele ser una di-solucion de etilen glicol (p = 1.12 x lo? kg/nr') y agua. EI punto de congelacionde Ia disolucion depende de la concentracion de glicol, el cual puede determinar-se rnidiendo su gravedad especifica, Tales rnediciones se realizan en forma rutina-ria en los talleres de servicio automotriz por medio de un dispositivo Ilamadohidr6metro, el cual estudiaremos en la seccion 14.3.


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-14.2 1 Presion en un fluido 5.1

Ejemplo14.1 Peso de un cuarto lIeno de aire

E 1 peso del aire esalcule la masa y el peso del aire de una estancia cuyo piso rnide4 .0 m X 5.0 m y que tiene una altura de 3.0 m. l,Que masa y pesotiene un volumen igual de agua?1 1 " . I I . [I )~IIDENTIFICAR: Suponemos que eJ aire es hornogeneo, asi que ladensidad es la misrna en todo el cuarto, (Es verdad que el aire esmenos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero Ja va-riacion de densidad a 1 0 largo de la altura de 3.0 m del cuarto esdespreciable; vease la secci6n 14.2.)PLANTEAR: Usarernos la ecuacion (14,1) para relaeionar la rnasa(la incognita) con el volumen (que calculamos a partir de las di-mensiones del cuarto) y Ja densidad (de la tabla 14.1).EJECUTAR: EI volumen del recinto es V=(3,0 m)(4.0 m) X (5.0 m)=60 m3La masa m,irc esta dada por la eeuaci6n (14.1):

In.ire = Pm" V = (1.2 kg/m") (60 rrr') = = 72 kg

W,ire = maireg =(n kg) (9.8 m/s2) = 700 N = 160,lbLa masa de un volumen igual.de agua es

m.gua = Pagu .V= (l000kg/ml)(60mS) =6.0 X 104 kgEI peso es

Wag u = tnaguag =_(6.0 X 104kg)(9.8m/s2)= = 5.9 X 105 N ~I.3 X 1051b = 66 tons

EVAlUAR: JEI aire contenido en un cuarto pesa aproxirnadamente10que pes a una persona adulta! EI agua es casi mil veces mas desa que el aire, y SIl masa ypeso son mayores en la misma propercion, De hecho, el peso de un cuarto lleno de agua seguramentehundiria el piso de una casa com lin.

~Qu6 volumen de agua tendria la misma masa que un metro eubico de platino? Siesa agua ocupara un cubo, ~cuanto mediria cada lado?14.21 P resion en un fluido

Area pequefia dA dentro del fluidouando un fluido (liquido 0 gas) esta en reposo, ejerce una fuerza perpendiculara cualquier superficie en contacto con 6 1 , como la pared de un recipiente 0 uncuerpo sumergido en elfluido. Esta es la fuerza que sentimos en las piemas al me-terlas en una piscina. Aunque el fluido global esta en reposo, las moleculas que 1 0componen estan en movimiento; la fuerza ejercida por el fluido se debe a los cho-ques de las moleculas con su entomo,

Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido a cada lado de ellaejerce fuerzas iguales y opuestas sobre ella. (Sf no, lasuperficie se aceleraria y elfluido no permaneeeria en reposo.) Considere una superficie pequefia de area dAeentrada en un punto en el fluido; la fuerza n01111alque e1fluido ejerce sobre cadalado es dF1. (Fig. 14.2). Definimos la presion p en ese punto como la fuerza nor-mal por unidad de area, es decir, la razon de.dF1. a dA:

Fuerzas norm ales igualesejercidas sobre ambos ladospor el fluido circundante

14.2 La presion que aetna sobre amboslados de un area pequefia dentro de unfluido es p = d F j _/ dA ,

(14.2)

Si la presion es Ia misma en todos los puntas de una superficie plana finita de areaA, entonees

(definicion de presion),\

(14.3)


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518La presion no tieue direccionpropia: puede producir unafuerza dFl_ 0= P dA encualquier direccion

14.3 La presion es un escalar (no tienedireccion intrinseca) y sus unidades sonnewtons par metro cuadrado. En contraste,l a f ue rz a es un vector y sus u ni da d es s onnewtons.

CAPfTULO 14 I Mecanica de fluidos

donde r.es Ia fuerza n01111alneta en un lado de la superficie. La unidad en el SIde la presion es el pascal, donde

I pascal = = 1 Pa = = N/m 2Ya presentamos el pascal en el capitulo 11. Dos unidades relacionadas, que se em-plean principal mente en meteorologia, son el bar, igual a 105 Pa, y el milibar,igual a 100 P a .

La presion atmosferlca P es la presion de la atmosfera terrestre, es decir, lapresion en el fonda del mar de aire en que vivirnos. Esta presion varia can el esta-do del tiempo yean Ia altitud. La presion atmosferica normal al nivel del mar (va-lor medio) es 1 atmosfera (atm), definida como exactamente 101,325 Pa.Concuatro cifras significativas,

( P a ) l l l e d = = 1 atm = = 1.013 X 105 Pa= = 1.013 bar = = 1013 milibares = = 14.70Ib/pulg.2

_"-"'-!J"-=~-' En.el lenguaje ordinario, las palabras "presion" y "fuerza" signifi-can casi 1 0 mismo, pero en la mecanica de fluidos describen cantidades distintascon caracteristicas diferentes (Fig. 14.3). Lapresion de fluidos actua perpendicu-lar a cualquier superficie en el fluido, sin importar su orientacion. Par tanto, la'presion no tiene u'rta direcci6n intrinseca: es un escalar. En cambio, la fuerza esun vector con direccion definida. Recuerde que la presion es fuerza por unidad

- de area.

La fuerza del aire

En la estancia del ejernplo 14.1, i,que fuerza total actua hacia abajosabre el piso debida a una presion del aire de 1.00 atm?"IIIiA[IV'IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La presion es uniforrne, as! que usa-mas [a ecuaci6n (14.3) para determinar la fuerza Fj_ a partir de Iapresion y el area

FJ. =pA = = (1.013 x 105 Nlm')(20m2)= 2.0 X lOGN =4.5 X Io 5lb =: 225 toneladas

EVAlUAR: Al igual que en el ejemplo 14.1, esta fuerza basta parahundir el p i s o , i,Por que no 1 0 hace? Porque hay L l 1 1 a fuerza hacia a n i -ba en el lade de abajo del piso. Si la casa tiene sotano, dicha fuerzaes ejercida par el aire bajo el piso. Ell este caso, si despreciamosel espesor del piso, la fuerza neta debida a la presion del aire es cera.EYALUAR: El area del piso es A = = (4.001) (5.0 m) =20 m". Por laecuaci6n{14.3) la fuerza totalhacia abajoes

P resion, profundidad y ley de P ascalSi pedemos despreciar el peso del fluido, la presion en un fluido es 11.1misma entodo su volumen. Usamos esta aproxirnacion al ver eI esfuerzo y la deformacionde volumen en la seccion 11.4, pero muchas veces el peso del fluido no es despre-ciable, La presion atmosferica es menor a gran altitud que a1nivel del mar, 10 queobliga a presurizar 1a cabina de un avion que vuela a 35;000 pies. Al sumergirnosen agua profunda, los oidos nos indican que la presion aumenta rapidamente al au-mental' la profundidad.

Podemos deducir una relacion general entre la presion P en cualquier punta deun fluido en reposo y la altura y del punta. Supondremos que la densidad pyla


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14.2 I Presion en un fluido

(p + dp)A

(a)

aceleracion debida a la gravedad g son las mismas en todo e1fluido. Si e1fluidoesta en equilibrio, cada elemento de volumen esta en equilibria. Considere un ele-mento delgado, de altura dy (Fig. 14.4). Las superficies inferior y superior tienenarea A, y estan a distancias y y y -l = dy par arriba de algun nive1 de referencia don-de y = O . E l v olumen del elemento es dV =A dy, su masa es dm = p dV = pA dy,y su peso es dw =dmg = pgA dy.

l .Que otras fuerzas acnian sobre este elemento? Llamemos a Ia presion en la su-perficie inferior p; la componente y de fuerza total bacia arriba que aetna sobre esasuperficie espA. La presion en la superficie de arriba es p ). dp, y la componentey de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es - (p + dp)A. El elemento defluido esta en equilibrio, asi que la componente y de fuerza total, inc1uido e1peso ylas fuerzas en las superficies de arriba y abajo, debe ser cera:

2 :F y = 0 as f que p A - (p + dp )A - p gA dy = 0Dividiendo entre el area A y reacomodando, obtenemos

dp-= -p gely (14.4)Esta ecuacion indica que, siy aumenta,p disminuye; es decir, a1subir en e1fluidola presion disminuye, como esperariamos. Si PI YP2 son las presiones en las altu-ras Yl y )1 2 respectivamente, y si p Y g son constantes, entonces,P 2 ~ PI = -p g(Y2 - )'1) (preston en unfluido de densidad uniforme) (14~5)Suele ser util expresar la ecuacion (14.5) en terminos de 1aprofundidad bajo la

superficie de un fluido (Fig. 14.5). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en elfluido y sea p la presion en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superficie del flui-do, donde la presion es Po (e l subindice indica profundidad cera). La profundidaddel puntoI es h = )12 - Y l> Y 1a ecuacion (14.5) se convierte en

Po - P = -pg(Y2- Y I ) = -pghP = Po +: pgh (presion en un fluido de'd@1lSidaduniforme) (14.6)

ilLa presion p a una profundidad h es mayor que la presion Po en la superfi de, en unacantidad pgh. Observe que la presion es la misma en cualesquier dos puntas situa-dos en e1mismo nivel en el fluido. Laforma del recipiente no importa (Fig. 14.6).

La ecuacion (14.6) nos dice que, si aumentamos la presionjz, en la superficie, talvez usando un piston que embona hermeticamente en e1recipiente para ernpujar

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14..4 Fuerzas que actuan sobre unelemento de fluido en equilibrio.

Y 2 - Y I =h. J )'2Pp It

Y I~

14.5 La presi6np a una profundidad heun fluido es mayor que en la superficie,par pgh.

14.6 La presion en ia parte superior deda co Iumna de fluido es igual a Po, la prsion atrnosferica ..La presion s610 depende Ia altura, no de la forma del recipienasi que todas las columnas de fluido tienla misma altura.


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520La presion en este

lado actua sobre un areamayor y produce mayor fuerza\ .e aplicauna

fuerza pequefiaen este lado\r .t

Presion p debida a F,transmitida -par todo el fluido

(ley de Pascal)14.7 Principio del elevador hidraul ico, unaaplicacion de la ley de Pascal, EI tamafio delrecipiente Ileno de fluido se ba exageradopar clar idad,

E jemplo.' . .14.3 Determinacion de presion absoluta y manometrlca

C A r-f r o L 0 14 I Mecanica defluidos

contra la superficie del fluido, la presi6n p a cua1quier profundidad aumenta en 1amisma cantidad exactamente. EI cientifico frances Blaise Pascal (1623-1662) reco-noci6 este hecho en 1653, y se llama ley de Pascal: La presion 'apltcada a un flui-do encerrado se trans mite sin dismtnucion a todas las partes d~J fluido y lasparedes del recipiente.El elevador hidraulico que se muestra esquematicamente en la figura 14.7 ilus-tra la ley de Pascal. Un pist6n COil area transversal pequeiia Aj ejerce una fuerzaFI .sobre la superficie de un liquido (aeeite). La presi6n aplicada p = F/AI setransmite a traves del tuba conector a un piston mayor de areaA2. La presion apli-eada es Ia misma en ambos cilindros, asi ques, F2 A 2P = - = - Y F2 = - F (14.7)A l A2 A lEI elevador hidraulico es un dispositive multiplicador dela fuerza con un factorde rnultiplicaci6n igual al cociente de las areas de los pistones. Las sill as de losdentistas, los gatos hidraulicos para autos, muchos e1evadores y los frenos hidrau-licos usan este principio.En el easo de los gases, el supuesto de que Ia densidad p es uniforrne s610 esrealista en distaneias verticales cortas. En un cuarto de 3.00 m de altura Ileno deaire con densidad uniforme del.2 kg/m', 1a diferencia de presion entre el piso yel techo, dada pOI' la'ecuacion (14.6) es

pgh = (1.2kg/ml)(9.8m/s2)(3.0m) = 35Pao sea, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequefia. En cambio, entre el ni-vel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambiaen un factor de casi 3, yno podemos usar la ecuacion (14.6). Los liquidos, en cam-bio.: son ca.si incompresib1es, y suele ser una buena aproximacion considerar sudensidad como independiente de la presion. Una presi6n de varios cientos de at-m osferas s610 causa un pequef io incremento porcentual en la densidad de la m a-yor parte de los liquidos,P resio n a bso lu ta , p resio n m a nom etrlca y manemetrosSi la presi6n dentro de un neum atico es igual ala presion atmosferica, e l n euma t icoestara desinflado. La presion debe se r mayor-que la atmosfer ica para poder sostenere l v eh ic ulo , a si que la cantidad significativa es la diferencia entre las presiones inte-rior y exterior. Si decimos que la presion de un neumatico es de "32 libras" (en rea-lidad 321b!puli, igual a 220 kPa 0 2.2 X 105Pa), queremos decir que es mayor quela presi6n atmosferica (I4.7-1b!puli 0 1.01 X 105 Pa) en esa cantidad. La presiontotal en el neum atico es de 47 Ib/pulg", 0320 kPa. El exceso de presi6n mas alla dela atmosferica sue!e lIamarse presion manometrica, Y la presion total se llama pre-sion ali s o l uta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para "lb/pulg' rnano-metrica" y "lb/pulg" absoluta", respectivamente. Si la presi6n es menor que 1aatmosfer ica, como en Wl vacio parcial, la presi6n manometr~ca es negativa,

Un sistema de calentamiento solar del agua usa paneles solares co-locados en el teeho, 12.0 m arriba del tanque de almacenamiento.La presion del agua en e l n iv el d e los paneles es de I atm. l,Quepre-sion absoluta hay en el tanque? l,Y emil es la presion manometrica?

' 1 1 1 1 1 r ; uDIDENTIFICAR: El agua es casi incompresible. (Imagine que trata dec orn prim ir c an u n p is to n u n c ilin dr o I le no de agua, iN o podria hacer-lol) P or t an to , c on sid eram os q ue e l flu id o t ie ne d en sid ad u nif orm e ,


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PLANTEAR: 1 nivel de los paneles corresponde al punto 2 de la La presion manornetrica esFigura 14.5, y et del tanque, al punto I. Per tanto, la incognita es pen'laecuacion (14.6); nos danpo = I atm = = 1.01 X 105 Pay h = 12.0 m. P - P o = (2.19 ~ 1.01) X 105 Pa

= 1.18 X 105 Pa = 1.16 atm = 17.1 lb/pulg!

14.2 I Presi6n en un fluido

EJECUTAR: Por la ecuacion (14.6), la presion absoluta esp =P o + pgh=(1.01 X 105 Pal + (1000 kg/m3)(9.80 m/s") (12.0 m)

EVALUAR: Si un tanque asi tiene un medidor de presion, seguramente 'estara calibrado para indicar la presion manometrica, nopresion absoluta. Como sefialarnos, la variaci6n en la presi6n amosferica a esta altura es despreciable,2.19 X 105 Pa = 2.16 atm =31.8 lb/pulg?

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Po = PEI medidor de presi6n mas senciIlo es el manometro de tubo abierto (Fig. 14.8a).El tubo en forma de U contiene un liquido de densidad p, can frecuencia mercu-rio a agua. Un extrema del tuba se conecta al recipiente donde se medira la pre-sion, y el otro esta abierto a la atm6sfera, con P o =P o ' La presi6n en e1fondo deltubo debida a1fluido de la columna izquierda esp + pgYl> Y la d eb id a a l flu id o dela columna derecha es P + P G Y 2 ' Estas p re sio ne s se m id en eIl,e1mismo punta, asique deben ser iguales: -

P + pgYl =P. + pgY2P - P = pg(Y2 - YI) = pg h (14.8)

En 1a ecuaci6n (14.8),p es lapresion absoluta, Y la diferenciap - P a entre lapresi6n absoluta y la atmosferica es 1apresi6n manometriea, Asi, la presi6n ma-nometrica es proporcional ala diferencia de altura (Y 2 - Y l) de las columnas,

Otro medidor de presion comun es el barometro de mercuric, que consiste enun tubo de vidrio largo, cerrado por un extreme, que se Ilena can mercurio y lue-go se invierte sobre un plato con mercurio (Fig. (14.8b). E1espacio arriba de Ia co-lumna s610 contiene vapor de mercurio, cuya presi6n es insignificante, asi que lapresion zi, arriba de la columna es practicamente cera. Por la ecuacion (14.6),

Po = p = 0 + pg(Y2 ~ YI) = pg h (14.9)Asi, el barornetro de mercurio indica la pres ion a tmosferica P.directamente por laaltura de la columna de mercurio,

En muchas ap1icaciones, las presiones suelen describirse en terminos de la al-tura de la columna de mercurio correspondiente, como "pulgadas de mercuric" a"milimetros de mercurio" (abreviado m m H g). Una presi6n de 1 m m J-Iges 1 torr, "por Evangelista Torricelli, inventor del barometro de mercurio. Sin embargo Iestasunidades dependen de la densidad del mercurio, que varia can la temperatura', y delvalor de g, que varia con el lugar, y por ella se prefiere el pascal como unidad depresion . '

Un d isp ositiv o c om un para medir la presi6n arterial, llamado esfigmomanome-fro, usa un manometro lleno de mercurio. Las lectwas de l a p r es ion arterial, como130/80, se refieren a las presiones manometricas maxima y minima en las arterias,medidas en rnm'Hgo torrs. La presi6n arterial varia con la altura en el cuerpo: elpunto de referencia estandar es la parte superior del brazo, a 1aaltura del coraz6n ..

Muchos tipos de medidores de presi6n u san u n recipiente flexible sellado (Fig.14.9). Un cambio en la presion dentro fuera del recipiente causa un cambio ensus dimensiones, que se detecta optica, electrica 0mecanicamente.

p + pgYl(a)

P . + pgY2Po = = 0

1r

Y 2 -}'1(h)

(b)

14.8 Dos tipos de medidores de presion.(a) Man6metro de tubo abierto, (b) Baro-metro demercurio.


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I~

522 CAPITULO 14 I Mecanica de fluidos

(a) (b)

14.9 (a) Medidor de presion de Bourdon. AI aumentar la presion dentro del tuba espiralmetalico, este se endereza y desvia la aguja unida a 61.(b) Medidor de presion tipoBourdon empleado en un tanque de gas compr imido.

E jemplo14.4 His to ria de dos flu idosU n tu bo de man or ne tr o s e l le na p a rc ia lme nt e con agua. Des pu es s evierte aceite (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidadque el agua) en el brazo izquierdo del tuba hasta que 1a in te r fazaceite-agua esta en eI punto medio del tubo (Fig. 14.10). Ambosbrazos del tubo estan abiertos al aire. Determine la relacion entrelas alturas h"oit< y h.gu,.' i e l . I I i U H 'IDENTIFICAR: La relacion entre presion y profundidad en un flui-do s610 es valida para los fluidos de densidad uniforme. Por tanto,

Tr14.10 Tubo con forma.de U que contiene aceite (a la izquierda) yagua (a [a derecha), iQue relacion hay entre [as alturas de las doscolumnas de fluido?

no podernos escribir una sola ecuacion para el aceite y el agua jun-tos. Lo que 5 1 podemos hacer es escribir una relacion presion-pro-fundidad para cada fluido por separado, tomando en cuenta queambas columnas de fluido tienen la rnisma presion en la base (don-de estan en contacto y en equilibrio, as! que las presiones deben seriguales) y en la parte superior (donde amb as e st an en contacto conla atmosfera y en equilibrio can ella).PLANTEAR: Seapo la presi6n atmosferica, y p, la presi6n en e1 fen-do del tubo. Las densidades de lo s dos fluidos son Pagua Y Paoeile (quees menor que Pagua). Usamos la ecuacion (l4.6) para cada fluido.EJECUTAR: Para los dos fluidos, la ecuacion ( J 4.6) se convierte en

p =o + Pagu.git.guap =P o + p,cei"ghacei,e

Puesto que la presion pen la base del tuba es Ia misma para ambosfluidos, igualamos las dos expresiones y despejamos haceite en ter-minos de haglla- Puede demostrarse que eI resultado es

Pagliahace.itc :::;;--h(lgJ.la

Paceite

EVALUAR: Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra-zon P,gu,lPaceire es mayor que la unidad y hacito es mayor que hagu(como se muestra en [a Fig. 14.10). Este resultado es logico: se ne-cesita una mayor altura de aceite menos dense para producir lamis-rna presi6n P en la base del tubo.


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14.3 I F1otaci6n

El mercuric es menos denso a altas temperaturas que a bajas temperaturas. Supon-ga que saca al exterior un barometrode mercurio que estaba dentro de un refuge-rador bien sellado, en un caluroso dia de verano, y observa que la columna demercurio se mantiene a la misma altura en el tubo. Compare la presion del aire enel exterior con la del'interior del refrigerador, (Haga caso orniso del cambia aunmenor en las dimensiones del tuba de vidrio debido al cambio de temperatura.)

14.31 FlotacienLa floraclon es un fenomeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parecepesar menos que en e l aire, Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flo-ta o El cuerpo humano nonnalmente flota en el agua, y un globo I leno de helio flotaen e l a ir e.1principio de Arquimedes establece que: Si un cuerpo esta parcial 0 total-mente sumergido en un tluido, este ejerce una fuerza hacia arriba sobre elcuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo, Para demostrar esteprincipia, consideremos una porcion arbitraria de fluido en reposo. En la f ig ur a14.11a, el contorno irregular es la superficie que delimita es.~aporcion de fluido.Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la super-ficie de frontera.

Todo el fluido esta en equilibrio, asi que la suma de todas las componentes y defuerza sobre esta porcion de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las compo-nentes y de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de igual mag-nitud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Ademas, la suma de losmemen tos de torsi6n sabre la porcion de fluido debe se r cera, asf que la linea_deaccion de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por elcentro de gravedad de esta porei6n de fluido.

Ahora quitamos el fluido que esta dentro de la superficie y 1 0 reemplazamos porun cuerpo solido cuya forma es identica (Fig. 14.11b). La presion en cada punto esexactamente la misma que antes, de modo que Ia fuerza total hacia arriba ejercidapar el fluido sabre el cuerpo tarnbien es la misma, igual en magnitud al peso mgdelfluido que se desplazo para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arribala fuerza de flotacion que aetna sobre el cuerpo s6lido. La linea de accion de lafuerza de flotacion pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no ne-cesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo),

E lement o d e f lu id oen equilibrio

F lu id o r eemp la za do po rc ue rp o d e f orma i de nt ic a: e x pe rimen ts

l a m i sma f ue rz a d e f lo ta ci on

(a) (b)

52

14.11 Principio de Arquimedes. (a) Unelemento de un fluido en equilibria. Lafuerza de flotacion del fluido circundantees igual al peso del elemento. (b) Si el elementa de fluido se sustituye par un cuerpode identica forma, 1 2 1 cuerpo experimentala misma fuerzade flotacion que en (a).Esta fuerza es igual al peso del fluido desplazado


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524 CAP fTU L 0 14 I Mecanica de fluidosSi un globo flota en equilibrio en el aire, su peso (incluido el gas en su interior)

debe ser igual al del aire desplazado por el globo. Si un submarino sumergido es-ta en equilibrio, su peso debe ser igual al del agua que desplaza, Un cuerpo euyadensidad media es menor que la del liquido puede flotar pareialmente sumergidoen la superficie superior libre del liquido. Cuanto mayor es Ia densidad delliqui-do menor sera la porci6n sumergida del euerpo. Si nadamos en agua de mar (den-sidad 1030 kg/m '), flotamos mas que en agua dulce (I000 kg/rrr'), Aunqueparezca improbable, e l plomo flota en el mercurio ..El "vidrio flotado" de superfi-de muy plana se fabrica flotando vidrio fundido en estafio fundido y dejandoloenfriar.

Otro ejemplo conocido es e l hidrometro, empleado para medir la densidad delos liquidos (Fig. 14.12a). El flotador calibrado se hunde en el fluido hastaque elpeso del fluido que desplaza es igual a su propio peso. El hidrometro flota mas al-to en los liquidos mas densos que en los liquidos menos dens os, y tiene un pesoen su base para que la posicion enderezada sea estable; una escala en el tallo su-perior perrnite leer directamente la densidad, La figura 14.12b muestra un tipo dehidrometro de uso carotin para medir la densidad del acido de un acumulador 0 delanticongelante. La base del tubo grande se sumerge en el liquido; se aprieta el bul-bo para expulsar el aire y luego se suelta, como S 1 fuera un gotero gigante. E l H -quido sube par el t u Q . ? exterior, y el hidr6metro flotaen Ia muestra de liquido.

(a) (b)

14.12 (a) Hidrometro sencillo. (b) Uso deun hidrornetro para prober acido de unacumulador 0 del anticongelante.

Flotacion . .Una estatua de oro s6lido de 15.0 kg de peso esta siendo Ievantadade un barco hundido (fig. 14.13a). i,Que tension hay en el cablecuando [a.estatua esta en repose y a) totalrnente sumergida? b)i,Fuera del agua?

en equilibrio (en reposo) y considerarnos las Ires fuerzas que acniansobre ella: su peso, Ia fuerza de flotaci6n y la tension en el cable.

P L A N T E A R : La figura 14.13b rnuestra el diagrama de cuerpo librede la estatua en equilibrio, La incognita es la tension T. Nos dan elpeso mg y podemos calcular la fuerza de flotacion B usando el prin-cipiode Arquirnedes. Lo haremos en dos cases: (a) cuando la esta-tua esta surnergida en el agua y (b) cuando esta fuera del agua ysumergida en el aire.

11.jUt;t.l~1I D E N T I F I C A R : Cuando la estatua esta sumergida, experimenta unafuerza de flotacion bacia arriba igual en magnitud a l peso del fluidodeplazado. Para calcular la tension, observamos que la estatua esta

E J E C U T A R : a) Para ralcular la fuerza de flotaci6n, primero calcu-lames el volurnen de la estatua, usando Ia densidad del oro de Ia ta-bla 14.1:

y

tI---"----x v = _In_ =__ 1_5_.O_k_g_ = = 7.77 X 10-4m3Poco 19.3 X 103 kg/nr'Usando otra vez la tabla 14.1, calculamos el peso de ese volumende aguade mar:wam .= m,rr,g =PamVg= (1.03 X 103'kg/m')(7.77 X. 10-4003)(9.80 m/s2)=7.84N

Esto es igual a [a fuerza de flotacion B.La estatua esta en repose, asl que la.fuerza extema neta que ac-

. rna sobre ella es de cero. De la figura 14.13b,k F ) ' =B + T + (~mg) =0

T= m g _ B = (15.0kg)(9.80m/s'-) -7.84N= 147N -7.84N =139N

m g = 147 N

(b)a)14.13 (a) La estatua completamente sumergida en-repose.(b) Diagrama de cuerpo Iibre de la estatua sumergida.

\ \


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Si bay una balanza de resorte unida al extreme superior del cable,marcara 7.84 N rnenosde 1 0 que marcaria si la estatua no estuvierasumergida en agua de mar. Por elIo, la estatua sumergidaparece pe-sar 139 N, cerca de 5% menos que su peso real de 147 N.b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kg/rrr', asi que la fuerzade flotacion de} aire sobre la estatua es

B = P.;reVg = (1.2 kg/m") (7.77 X 1O-4m3) (9.80 m/s2)= 9.1 X 10-3 N

Esto es solo 62 millonesimas del peso real de la estatua. Este efec-to es menor que la precision de nuestros datos, a~i que 10 desprecia-

14J I Flotacion 52 5mos. La tension en el cable con la estatua en el aire es igual al pesde la estatua, 147 N.EVALUAR: Recordemos que la fuerzade flotacion es proporcionalala densidad del fluido, no la de la estatua, Cuanto mas denso esfluido, mayor sera la fuerza de flotacion y menor sera la tension e

- el cable. Si el fluido tuviera la misma densidad que la estatua,fuerza de flotacion seria igual al peso de la estatua y la tension seria cero (el cable se aflojaria). Si el fluido fuera mas denso queestatua, la tension seria negativa: la fuerza de flotacion seria mayoque el peso de la estarua, y se requeriria una fuerza hacia abajo para evitar que suba la estatua,

Ejemp loc on ce p tu al 1 4.6 Cuestion de peso

Se coloca un recipiente con agua de mar en una balanza y se anotala lectura; luego se suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua(Fig. 14.14). GComo cambia la lectura?liIIlIiltSConsidere el agua, la estatua y el recipiente juntos como un sistema;elpeso total no depende de si la estatua esta sumergida 0 no. La fuer-za total de soporte, inc1uida la tension T y la fuerza hacia arriba F dela balanza sobre el recipiente (igual a la lectura) es Ia mismaen am-bos casos. Sin embargo, en el ejemplo 14.5 vimos que T disminuyeen 7.84 N cuando la estatua esta sumergida, asi que la lectura de labalanza debe aumentar en 7.84 N_Otra forma de verlo es que el aguaejerce una fuerza de flotacion de 7.84 N sabre la estatua, as! que es-ta debe ejercer una fuerza igual hacia abajo sobre el agua, haciendaa Ia lectura 7.84 N mayor que el peso del agua y el recipiente,

14.14 i ,C6mo cambia la lectura de la balanza cuando la estatua ssumerge en agua?

Un objeto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire,flota con una parte de su volumen bajo la superficie, Por otra parte, un dip puededescansar sabre una superficie de agua aunque su'densidad es varias veces mayorque la del agua. Esto es un ejemplo de tension superficial: la superficie del liqui-I .do se comporta como una membrana en tension (Fig. 14.15). La tensi6n superfi-cial se debe a que las moleculas del1fquido ejercen fuerzas de atraccion entre S 1 .La fuerza neta sobre una molecula dentro delvolumen del liquido es cero, perouna molecula en la superficie es atraida hacia el volumen (Fig. 14.16). Por elio, elliquido tiende a reducir al minimo su area superficial, tal como 1 0 hace una mem-brana estirada,

Tension superficial

14.15 La superficie del agua aetna comomembrana sometida a tension, y permite aeste zancudo caminar literalmente sobre eagua.


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5 2 6

14.16 Cada molecula de un liquido esatraida por las demas moleculas, Unarnolecula en la superficie es atraida haciael volurnendelliquido, y esto tiende areducir e1area superficial del liquido,

14.-11- L:i tensj6n superficial dificulta elpaso 'del agua por aberturas pequeiias, Lapresion requerida ppuede reducirse usando.agua,caliente conjabon, 'tode 10 cual 'reduceUdensi.6nsuperficial.

-,.; -

Tubo de flujo14.1'8 Tubade flujo delimitado par lineasde flujo, En flujo estable,el fluidono puedeCIUZar las paredes de un tuba de flujo.

CAP f.T U L0 14 I Mecanica de fluidos

La tension superficial explica por que las gotas de lltiVia en caida libre son es-fericas (no con forma de lagrima): unaesfera tiene rp.enor area superficial para unvolumen dado que cualquier otra forma. Tambien explica por quese usa agua ja-bonos a caliente en el lavado de la ropa. Para Iavarla bien, se debe hacer pasar elagua por los d im i nu to s e sp ac io s e nt re las fibras ( Fi g. 14 .17 ). Esto implica aumen-tar el area superficial del agua, 10que es dificil por la tension superficial. La tarease facilita aumentando latemperatura del agua y afiadiendo jaben, pues ambas co-sa s reducen la tensi6n superficial.

La tension superficial es importante para una gota de agua de 1 rum de diame-tro, que tiene un area relativamente grande en cornparacion con su volumen. (Unaesfera de radio-r tiene area471T2 y volumen (41T13)r3 La razon superficie/areaes3fr, yaumenta aldisminuir el radio.) En carnbio, si la cantidad de Iiquido es gran-de,la razon superficie/volumen es relativamente pequefia y la tension superficiales insignificante en comparaci6n con las fuerzas de presion. En el resto del capi-tulo, s610 c on sid era remo s v olum en es g ra nd es de fluidos, asi que h arem os c asoorniso de los efectos de la tension superficial. .

Un objeto can densidad uniforme flota en agua con un tercio de su volumen sobrela superficie.- Compare Ia densidad del objeto con la del agua.

14.4 I F lu jo d e flu id osAhora ya e st amos p repa rados para c on sid er ar e l movimiento de un fluido. El flujode fluid os suele ser ex tr emadamen te complejo, como s e ap rec ia en las corrientes delos rapidos de los rios 0 en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones sepueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideales incompresible (su densidad no puede cambiar) y no tiene friccion interna (llama-da viscosidad), Los I iquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas lassituaciones, y tambien podemos tratar a un gas como incompresible si las diferen-cias de presion de una region a otra no sonmuy grandes, La friccion intema en unfluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas de fluido adyacentes tienenun movimiento relative, comocuando un tluido fluye dentro de un tubo 0 alrededorde un obstaculo, En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte encomparaci6n con las fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presion,

El camino de W1aparticula individual en un fluido en movirniento se llama li-flea de flujo. Si el patron global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tene-mos un flujo estable, En un flujo estable, cada elemento que pasa par un puntodado sigue la misma linea de flujo. En este caso, el "mapa" de las veloeidades delfluido -en distintos puntas del espacio pennanece constants, aunque la velocidadde una particula especifica pueda cambiar tanto en magnitud como en direcciondurante su movimiento. Una linea. de corriente es una curva cuya tangente encualquier'punto tiene la direccion de 1avelocidad del fluido en ese punto. Si el pa-tr6n de flujo cambia COil el tiernpo, las lineas de corriente no coinciden con las deflujo. ConsIderaremos s610situaciones de flujo estable, en las que las lineas de flu-jo y las de corriente son identicas,

Las lineas de flujo que pasan par el borde de un elemento de area imaginario, co-mo A en la figura 14.18, forman un tubo Ilamado tubo de flujo. Por la definicion delinea. de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede cruzar las paredes lateralesde W1tuba de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse,


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14.4 I Flujo de fluid os

14.19 Flujo laminar alrededor de obstaculos con diferente forma.

La figura 14.19 muestra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha al-rededor de varios obstaculos, Las fotografias se tomaron inyectando un tinte en elagua que f luye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representa-tivos del flujo laminar, en e l que capas adyacentes de fluido se deslizan suave-mente una sobre otra y eI flujo es estable. (Una lamina es una hoja delgada.) Si latasa de flujo es suficientemente alta, 0 si las superficies de frontera causan cam-bios abruptos en la velocidad, el flujo puede hacerse irregular y caotico Esto sellama flujo turbulento (Fig. 14.20). En flujo turbulento no hay un patron de esta-do estable; el patron de flujo cambia continuamente.La ecuacion d e c on tin u id adLa masa de un fluidoen movimiento no cambia al fluir. Esto da pie a una relaci6ncuantitativa importante Hamada ecuacion decontinuidad. Considere una porci6nde un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias can areas A ] yA 2 (Fig. 14.21). La rapidez del fluido en estas secciones es VI YVz, respectivamen-teoNo fluye fluido par los costados del tuba porque la velocidad del fluido es tan-gente a la pared en todos sus puntos. Durante un tiempo corto dt, el fluido en A Ise mueve una distancia VI dt, asi que un cilindro de fluido de altura VI dt y volu-men dV I ;, Alvi d t fluye hacia el tubo a traves deAl' Durante ese mismo lapso, uncilindro de volurnen dV2 = A2v2 dt sale del tubo a traves de A2 .Consideremos primero el caso de un fluido incompresible euya densidad p tie-ne el rnismo valor en todos los puntos. La masa dm , que fluye al.tubo por A] en eltiempo dt es dm, = pA IV I dt. Asi mismo, la masa dm 2 que sale por A 2 en .e l mis-mo tiempo es dm, = pA2v2 dt. En flujo estable, la masa total en el tubo es cons-tante, as! que dm, = dm2 Y

pA j v I d t = pA2v '~d t 0 seaAlv, = A2V2 (ecuacion de.continuidad, fluido'incompresible) (14.10)I< ~

El producto Aves la razon deflujo de valumen dVldt, la rapidez eon que el volu-men cruza una seccion del tubo:

dV-=Avdt ' :. (razon de flujQ de volumen) (14.11)

5

14.20 E1 flujo de humo que sale de estopalitos de incienso es laminar hasta ciertpunta; Iuego se vuelve turbulento.

14.21 Tuba de flujo con area de secciontransversalcambiante, Si el fluido es in-compresible, el producto Av t ie ne e l,m i s 1 1 1valor en tcdos los puntas a 10 largo del tub


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528 CAPITU La 14 I Mecanica de fluidosLa razon de flujo de masa es el flujo de masa por unidad ue tiempo a traves de unaseccion transversal, y es igual a la densidad P multiplicada par la razon de flujo devolumen dVldt.

La ecuacion (14.10) indica que la razon de flujo de volumen tiene el mismo va-lor en todos los puntas de cualquier tuba de flujo. Si disminuye la seccion de untuba de flujo, la rapidez aumenta,y viceversa. La parte profunda de un rio tienemayor area transversal y una corriente mas lenta que la parte superficial, pero lasrazones de flujo de volumen son las mismas en los dos puntos. El chorro de aguade un grifo. se angosta al adquirir rapidez durante su caida, pero dVldt tiene elmis-mo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 em de diametro se conecta aun tuba de 1 cm de;diametro, la rapidez de flujo es cuatro veces mas grande en elsegundo tuba que en el primero.. Podernos generalizar la ecuaci6n (14.10) para el caso en que el fluido no es in-cornpresible. Si PI y P 2 son las densidades en las secciones 1 y 2, entonces

(ecuacion de continuidad, fluido compresible) (14.12)Dejamos los detalles como ejercicio. Si el fluido es incornpresible, de modo quePl y P 2 siempre son iguales, la ecuacion (14.12) se reduce a la ecuaci6n (14.10).

E j e m p J o14.7 F lu jo de flu ido incompresib leComo parte de un sistema de lubricaci6n para maquinaria pesada, unaceite con densidad de 850 kg/rrr ' se bombea a traves de un tuba cilin-drico de 8.0 cm de diametro a raz6n de 9:5 iitros par segundo, a) Calcu-le la rapidez del aceite y la razon de flujo de masa, b) Si e l d iame trodel tuba se reduce a 4.0 cm, ique nuevos va lo r es t end ran la rapidez yla raz6n deflujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible,'il l i I 3 l tm !ID EN tlF IC AR Y P LANT EAR: Usarernos la definici6n de razon deflujo de volumen [ecuacion (14.11)J para determinar la rapidez VIen la secci6n de 8.0 em de diametro. La razon de flujo de masa esel producto de Ia densidad y la razon de flujo de volumen, La ecua-cion de continuidad para flujo incompresible, ecuacion' (14.1 0), nospermite obtener la rapidez V2 en la seccion de 4.0 cm de diametro.EJECUTAR: a) La raz6n de flujo .de volumen dV/dt es igual al pro-ducto Aiv], donde AI es el area transversal del tuba de 8.0 cm dediametro (radio 4.0 cm). Por tanto,

dV/dt (9.5 Us) (1O-3m'(L)Vi =-- =----:--.:.....:...--::----:-::--1.9 mrsAI 71(4.0 X lo-2m)"

La razon de flujo de rnasa es p dV/dt = (850 kg/rrr") (9.5 X 10- 3m3/s) = 8.1 kg/sob) Puesto que el aceite es incornpresible, Ia razon de flujo de volu-men tiene el mismo valor (9.5 Lis) en ambas secciones del tubo. Parla ecuacion (14.10),

Al 1 T ( 4.0 X 10-2 m) 2V2=-UJ=( _0 ) , ( . I .9m(5)=7.6m/5A2 71 2.0 X 10 - m -

EVALUAR: La segunda seccion de tuba tiene la mitad del diametroy Ia cuarta parte del area transversal de la primera seccion, Por tau-to, la rapidez debe ser cuatro veces mayor en [a segunda seccion, yeso es precisamente 1 0 que muestra nuestro resultado (V2 =4v i) .

;: c, \. \ ;< '\, '~ . \ T ~ ~

EI aireen Ia atmosfera es casi incompresible. Use este hecho para explicar por queen los pasos montafiosos se observan vientos especialmente rapidos,

,\14.5 I Ecuaci.on de Bernoull iSegun la ecuacion de continuidad, 1arapidez de flujo de' un fluido puede variar a 1 0largo de las trayectorias del fluido. La presion tambien puede variar; depende de laaltura igual que en 1asituacion estaticatseccion 14.2) y tambien de la rapidez de flu-


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14.5 1 Bcuaeion de Bernoulli

jo. Podemos deduciruna relaci6n importante, Hamada e cu ac io n d e B er no ul li, que re-laciona la presi6n, la rapidez de flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. Laecuacion de Bernoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas, deplomeria, las estaciones generadoras hidroelectricas y el vuelo de los aviones.

La dependencia de la presi6n respecto a 1arapidez se sigue de la ecuaci6n de con-tinuidad, ecuaci6n (14.10). Si un fluido incompresible fluye por un tubo con secciontransversal variable, su rapidez debe cambiar, asi que un elemento de fluido debe te-ner una aceleraci6n. Si el tuba es horizontal, la fuerza que causa esta aceleraci6n de-be ser aplicada por el fluido circundante. Esto implica que la presi6n debe serdiferente en regiones con diferente secci6n transversal; si fuera la misma en todos la-dos, la fuerza neta sobre cada elemento de fluido seria cero. Si un tubo es horizontalse estrecha y llilelemento de fluido se acelera, debe estarse moviendo hacia una re-gion de menor presion para tener una fuerza neta hacia adelante que 10 acelere. Si laaltura tambien cambia, esto causa una diferencia de presion adicional.

Para deducir la ecuaci6n de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y laenergia al fluido en una secci6n de un tubo. En la figura 14.22, consideramos eIelemento de fluido que en algun instante inicial esta entre las dos secciones trans-versales a y c. Las rapideces en los extremos inferior y superior son v 1 . y V2' En unpequefio intervalo de tiempo dt, el fluido que esta en a se mueve a b, una distan-cia ds, = u.dt, y el fluido que esta inicialmente en c se mll;eve a d, una distanciadS2 = V2d t . Las areas transversales en los dos extremos s'OnA I YA 2, como semuestra. El fluido es incornpresible, asi que, por la ecuaci6n de continuidad, ecua-ci6n (14.10), el volumen de fluido dV que pasa par cualquier seccion transversaldurante d t es eI mismo, Es decir, dV ~ A Ids] = = A2 ds-:

Calculemos el trabajo efectuado sobre este elemento durante d t. Suponemos quela friccion interna del fluido es despreciable (es decir, no hay viscosidad), asi que lasunicas fuerzas no gravitacionales que efectuan trabajo sobre el elemento fluido sedeben a la presi6n del fluido eircundante. Las presiones en los extremes son P lYP2 ; la fuerza sobre la secci6n en a es pjAI' Yla fuerza en c es P2A2' EI trabajo netodWefectuado sobre el elemento por el fluid~ circundante durante este desplaza-miento es entonces

(14.13)El segundo terrnino tiene signo negativo porque la fuerza en c se opone al.despla-zamiento del fluido.

EI trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservado-ra, asl que es igual al cambio en la energia mecanica total (energia cinetica masenergia potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energia mecanicapara el fluido entre las seeeiones bye no cambia. Al principi_o de dt , el fluido en-tre a y b tiene vo lumenAJds] , masa pA j ds, Yenergia cinetica1P(AI ds,)v/. AI fi-nal de d t, el fluido entre c y d tiene energia cinetica 4 p (A 2 ds2) vi. EI cambio netode energia cinetica dK durante d t es

1 .:dK = -pdv(vl __:_n2 (14.14).1l,Y que hay del cambio en la energia potencial gravitacional? Al iniciar d t, laenergia potencial para Ia masa que esta entre a y b es dm gy ] = P dV gyj. Al fillEtlde d t, la energia potencial para la masa que esta entre c y d es dm gy2 =P dV ghEl cambio neto de energta potencial dU durante dt es

(14.15)

5

Y l

14.22 EI trabajo neto realizado sobre unelemento de fluido par la presion delfluido circundante es igualal cambio .enlenergia cinetica m:is el cambio en la enerpotencial gravitacional.


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I

(PI - p~)dV = ~P dv(vl- vn + p dV g ( ) '2 - )'1)_ 1 ( 2 2 ) ( )PI - P2 - 2f V 2 - VI + pg Y2 - Yl (14.16)

530 CAPiTULO 14 I Mecanica de fluidosCombinando las ecuaciones (14.13), (14.14) Y (14.1SJen la ecuacion de energiadW = dK + dU, obtenemos

Esta es la ecuacion de Bernou l li , y dice que el trabajo efectuado sobr~ un vo-lumen unitario de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cam-bios de las energias cinetica y potencial por unidad de volumen que se dan duranteel f1ujo. Tambien podemos interpreter la ecuacion (14.16) en terrninos de presio-nes. El primer termino de la derecha es la diferencia de presion asociada al cam-bio de rapidez del fluido; el segundo es la diferencia de presion adicional causadapor el peso del fluido y la diferencia de altura de los dos extremos.

Tambien podemos expresar la ecuacion (14.16) en una forma mas util:1 1PI + pgYI + _p V 1 2 =P2 + pgY2 + -pvl (ecuaci6n de Bernoulli) (14.17)2 2

Los subindices 1 y 2 se refieren a cualesquier dos puntos del tuba de flujo, asi quetambien podemos escribir

1 ,p + pgy + -pv2 = constante2 (14.18)Observe que, si el fluido no se mueve (VI = = v2 = 0), la ecuacion (14.17) se reducea la relaci6n de presi6n que dedujimos para un fluido en reposo (ecuaci6n 14.5).

[tJ.lIjaiioD] Subrayamos de nuevo que la ecuaci6n de Bernoulli s610 es validapara un flujo estable de un fluido incompresible sin fricci6n interna (sin vlscosi-dad). Esuna ecuaci6n senci Ila y facil de usar; no por ello vaya a aplicarla ensituaciones en que no esvallda,

Es trat eg i a pa rar es o lv e r p r ob lemas Ecuacion de BernoulliLa ecuaci6n de Bernoulli se deduce del teorema del trabajo y Iaenergia, asi que gran parte de las estrategias sugeridas enla sec-cion 7.1 puede aplicarse aqui, I

PL AN T E AR el problema. siguiendo estos pasos:1, Siempre cornience par identificar claramente los puntas I

y 2 a los que se refierela ecuaeion de Bernoulli.2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en

quey =O.3. Raga Iistas de las cantidades conocidas y desconocidas de

la ecuacion (14.17). Las variables sonpl,P2, Vl, V2,yl YY2 ,Ylas constantes son p y g . Decida que incognitas debe de-tenninar.

IDENTlFlCAR los conceptos pertinentes: Primero, asegurese deque e1flujo del fluido sea estable y que el fluido sea ineompresi-ble y no tenga fricci6n interna. Este caso es una idealizacion, pe-1'0 se acerca mucho a la realidad en el caso de fluidos que fluyenpor tubes suficientemente grandes y en el. de flujos dentro degran des cantidades de fluido(como aire que fluye alrededor

- de un avion 0 agua que fluye alrededor de un pez).


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14.5 1 Ecuacion de Bernoulli

EJECUTAR L a so lu cio n c omo s ig ue : Escriba la ecuacion de Ber-noulli y despeje las incognitas, En algunos problemas, habra queusar la ecuacion de continuidad, ecuacion (14.10), para tener unarelacion entre [as dos rapideces en terminos de areas . t ransvers alesde tubos a recipientes. 0 tal vez se tienen ambas rapideces y hayque determinar una de las areas. Tal vez necesite tambien 1aecua-cion (14.11) para calcular la razon de flujo de volumen.

EVALUAR la respuesta: Como siempre, verifiqueque los resutados sean 16gicos fisicamente. Compruebe que las unidadesean congruentes, En elS T, la presion esta en Pa, la densidad ekg/m" y la rapidez en mfs. Reouerde tambien que las presionedeben ser todas absolutas 0 todas rnanometrioas.

Ejemplo14.8 P resion de agua en el hagar

Entra agua en una casa por lUJ tuba can diametro interior de 2.0 erna una presion absoluta de 4.0 X 10; Pa (unas 4 atm). Un tuba de 1.0em de diamerro va al euarto de bafio del segundo p is o, 5 .0 D1 masarriba (fig. 14.23). La rapidez de flujo en el tuba de entrada es de1.5 m/s. Calcule la rapidez de flujo, presion y razon de flujo de vo-lumen en el cuarto de bafio.Ii"! i t 3 [ I )~IID EN T IF IC .A R Y P LAN TE AR: Tomarnos los puntos 1 y 2 ell el i t l O ode entrada y el cuarto de bafio, respectivamente. Nos dan la rapidez

Tanque deagua caliente

Del suministrode agua(tuba de 2 em),14.23 I.Que presion tiene el agua en el cuarto de bafio del segun-do piso de esta casa? . .

VI Yla presion p, en el tubo de entrada, y los diametros de los ten los puntos J y 2 (con 1 0 cual caleulamos las areas A IYA2)rnamos Y I = 0 (en la entrada) y Y2 = 5. 0 jn(en el cuarto de bLas dos prirneras incognitas son la rapidez V2 y la presion h. Pto que tenemos mas de una incognita, usamos tanto la ecuacioBernoulli como la ecuacion de continuidad. Una vez que tengaV2, calcularemos la razon de flujo de volumen V~2 en el punto

EJECUTAR: La rapidez V2 en el cuarto de bafio se obtieneecuacion de continuidad, ecuacion (14.10):

Al 7T (1.0 cm)2 V2 = ~VI = ( )2 (1.5 rn/s) = 6.0 m/sA2 7T 0.50 em

Nos dan PI Y VI, Y podemos obtener P2 can la ecuacion de Berno_ 1 ( 2 2 ) ( ) _ . 5P2 - PI - zP Uz - VI - pg Y2 - Y I - 4.0 X 10 Pa

- l.( 1.0 X W kg/m3) (36 m 2 / s 2 - 2.25 m 2 / s 2 )2 .- (1.0 X 103 kg/m3) (9.8 Ill/52) (5.0 m )

=4.0 X 10" Pa - 0.l7 X 105 Pa - 0.49 X 10' Pa= 3.3 X 10' Pa =3.3 atm = 481b/puIg2

La razon de flujo de volumen es"

dV ( _ , )?( )- =Azv2 = 7T 0.50 X 10 - m - 6.0 m/sdt .= 4.7 X 10-4 m3/s = 0.47 Lis

EVALUAR: Esta es una razon de flujo razonable para UD lava,ducha. Cabe sefialar q lle, al cerrar el agua, el termino t P (vl -de la ecuacion de la presion desaparece, y la presion sube a 310' Pa.

Ejemplo14.9 Rapidez de salida

La figura 14.24 muestra un tanque de almacenarniento de gasolinacon area transversal A], lleno hasta una altura h. El espacio arribade la gasolina contiene aire apo Yla gasolina sale pO T un tubo cor-

to de area A2. Deduzca expresiones para la rapidez.de.flujo enbo y la razon de flujo de volumen. . ' ',)


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5 3 2 CAPiTULQ 14 I Mecanica de fluidos

Esto e s, l a r ap id ez de salida por una abertura a una distancia h bajoPL ~ANTEAR L t I 2 I f 1424 ' I rfi -~-lasuperficie de l liquido es la misma que un cuerpo adquirirfa ca -: os pun os y en a' Igllra . estan en a supe 1- o. _, d I li 1 ib d I'd .; E 1 venda libremente una altura. h. Este resultado es el teorema d e To-ere e a gaso rna y en e tu 0 corto e sa 1 a, respectrvarnente, n e '. II' 'I'd 'I b 1 b d

I I " , . . I ? I " I " c . , . rnce I y es va 1 0 no so 0 para una a ertura en a ase e unpunto , a preSIOn es Po , en e punto -, a presion es a atmostenca, ' , . bie . d funT, - I b d I'd ' i-I - 0 P recrpiente, smo tam len para un agujero en una pare auna P I O -Pa' , omarnos Y - en e ill 0 e sa [ a, as] que) I - IYY2 - . ues- did d h b' I rf ~ E la razc d flui d I~, . 1 a aJO a supe icie, n este caso a razon e UJO e vo u-to que Ales mucho mayor que A2, el nivel de la gasolma en el tanque 'men esbajara l1lUY lentamente, asi que podemos considerar a VI practica-mente ignal a cera. Obtendremos la variable meta V2 can la ecuacion(14.17) y la razon de flujo de volumen con la ecuacion (14.11).

14.24 Calculo de la rapidez de salida de gasolina por el fondo deun tanque de a lm ac en am i e nto ,

IDENTIFICAR: Podemos considerar todo el volumen de Iiquido enmovimiento como un tuba de flujo, asi que podernos usar el princi-pio de Bernoulli.

EJECUTAR: Aplicando la ecuacion de Bernoulli a los puntos 1 Y 2Y tomando y = 0 en la base del tanque, tenemos

1 2 _ 1 2Po + "2PVI + pgh - P + ' 2PV22 _ 2 + 2Po - Pa + 2 hV2 - V I P g

Con V I = 0, renemos2 2Po ~ P + 2 hVo = --- g- P

Por la ecuacion (l4~11), la razon de flujo devolumen es dV l d t =u1A 2.EVALUAR: La rapidez Vb conocida como r ap id ez d e s al id a , depen-de tanto de la diferencia de presion ( P o - P o) como de la altura h delliquido en el tanque. Si el tanque esta abierto por arriba a la atmos-fera, no habra exceso de presion: P o =Pa YP o - P =0. En ese caso,

V 2 =V 2 i h

dV c c:':- =A?v2l!hd t - . 0

E j e m p l o14.10 E I medidor Ven tu ri

La figura 14,2.5mu es tra u n med ido r V ent ur i, que se usa pam medirla rapidez de flujoen un tubo, La parte angosta del tubo se llamagarganta. Deduzca una expresi6n para la rapidez de flujo V I en ter-minos de las areas transversales A IYA 2 Yla diferencia de altura hdel liquido en los dos tubos verticales,,it]lil3 t I Dn )ENTIF iCAR Y PLANTEAR : Aplicamos la ecuacion de Bernoulli alas partes ancha (punto I) Yangosta (punto 2) del tubo. La diferen-cia de altura entre los des tubosverticales indica la diferencia depresion entre los puntos I y 2.

14.25 EI medidorVenturi.

EJECUTAR: Los dos puntos tienen la rnisma coordenada vertical(Y t = = Y2) , asi que la ecuacion 04.17) dice

12_ . 1. 2PI + '2PV I - P2 + ' 2PV2Por la ecuacion de continuidad, vi = (A / A 2)v I'Sustituyendo y rea-comodando, obtenemos

_I 2 ( A ? )PI - P 2 - " 2 pu l A l - 1- - -La diferencia de presion P I -PI tambien es igual a pgh, donde hes la diferencia de nivel del Iiquido ell los dos tubos. Combinandoesto con el resultado anterior y despejando VI, obtenemos

EVALUAR: Puesto que Al es.mayor que A 2 > V2 es mayor que V I y Iapresion P 2 en la garganta es menor que P i- Una fuerza neta a la de-recha acelera el fluido al entrar en la garganta, y una fuerza neta ala izquierda 1 0 frena al salir,


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14.6 I Viscosidad y turbulencia

Ejemp loc o nc ep tu al 1 4.1 1 sustentadon en un ala de avlonLa figura 14.26 muestra lineas de flujo alrededor de un corte del alade un avion. Las Iineas se aprietan arriba del ala, 1 0 que correspondea una mayor rapidez de flujo y una presion reducida en esta region,igual que en la garganta del Venturi. La fuerza que actua hacia arri-ba sobre ellado inferior del ala es mayor que la que actua hacia aba-jo sobre el Iado superior; hay una fuerza neta bacia arriba, 0susteniacion, La sustentacion no se debe solo al impulso del aireque incide bajo el ala; de hecho, la presion reducida en la superfi-cie de arriba del ala es 10 que mas contribuye a Ia sustentacion. (Es-ta explicacicn muy simplificada no considera la formacion devortices; un analisis mas completo los tendria en cuenta.)

Ta rn b ie n podemo s e nt en d er la fuerza de sustentaci6n en terminosde cambios de cantidad de movimiento. La figura 14.26 muestra quehay un cambio neto h a ci a a baj o en l a cornponen te vertical de la can-t idad de movimiento del aire que f luye pOTel ala, correspondiente al a f u er za hacia abajo que el ala e je rce s ob re el a ir e, La f ue rza de reac-cion que actua sabre el ala es h a cia a rr ib a , como h ab iamos v is to .

Se observa un patron de flujo y una fuerza de sustentacion siw.J-lares en Jas inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando had:viento (vease el flujo de aire sobre la espaJda del ciclista en la foto-grafia inicial del capitulo). En un viento bastante intense, la fuerza de

sustentacion que aetna sobre la parte superior de un paraguas ahpuede hacer que este se doble bacia arriba. Tambien acnia una fude sustentacion sobre un automovil que va a gran velocidad porqaire se mueve sobre el techo curvo del vehlculo, Esa sustentacpuede r edu c ir l a t ra cc ion de los neumaticos, yes por ello que muautomoviles estan equipados con un "spoiler" aerodinamicoparte trasera. EI spoiler se parece a un ala invertida y hace quef ue rz a h a ci a abajo acme sobre l as rued a s t ra se r as ,

P i5b !::.p(aire)Pf14.26 Lineas de flujo alrededor de Ull ala de avian. La cantidadde rnovimiento de una po rc ion de aire (relativa al ala) es P i antellegar al ala y P I despues,

No_es sorprendente que un viento que sopla directamente contra una puerta abier-ta haga que se cierre de golpe, Utilice el principia de Bernoulli para explicar co-mo un viento que sopla paralelo ala abertura de una puerta puede hacer que estase cierre, (Suponga que la puerta se abre hacia adentro.)*14.6 I Viscosidad y turbulenciaAl hablar del flujo de fluidos supusimos que el fluido no tenia friccion interna yque el flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son validos, enmuchas situaciones fisieas importantes los efectos de la viscosidad (frieci6n inter-na) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Exami-nemos someramente algunas de esas situaciones.Viscosi~adLa viscosidad es friccion interna en un fluido, Las fuerzas viscosas se oponen almovimiento de una porci6n de un fluido relative a otra. La viscosidad hace quecueste algun trabaj 0 remar una canoa en aguas tranquilas, pero tambien es 10 que ha-ce que funcione el remo. Los efectos viseosos son importantes en el flujo de fluidosen las tuberias, en el flujo de la sangre, en la lubricaci6n de las partes de un motory en muchas otras situaciones. "

Los fluidos que fluyen con faeilidad, como el agua y la gasolina, tienen menorviscosidad que los liquidos "espesos" como la miel 0 el aceite para motor. Las vis-cosidades de todos los fluidos dependen mueho de la temperatura, aumentan paralos gases y disminuyen para los Jiquidos a1 subir 1atemperatura (Fig. 14.27). Unobjetivo importante en el disefio de aeeites para lubricar motores es reducir 10masposible la variacion de la viscosidad con la temperatura.

14.27 La lava es un ejemplo de fluidocoso. La viscosidad disminuye al aumenla temperatura: cuanto mas caliente estalava, mas facilrnente fluye.


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IfR.i. v contra r

'14.28 Perfil de velocidad para un fluidoviscose en un tuba cilindrico.

'.

CAPlTULO 14 I Mecanica de fluidos

Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie solida que esta en contac-to con ella. Hay una capa defrontera delgada de fluido cerca de la superficie, enla que el fluido esta casi en reposo respecto a ella. Es par eso que las particulas depolvo pueden adherirse a un aspa de ventilador aun cuando este girando rapida-mente, y a que no podamos limpiar bien un auto con solo dirigir el chorro de aguade una manguera hacia el.

La viscosidad tiene efectos importantes sobre el flujo de los liquidos a traves detuberias, y esto incluye el flujo de la sangre por el aparato circulatorio, Pensemos pri-mere en un fluido con cero viscosidad, para poder aplicar la ecuacion de Bernoulli,ecuacion (14.17). Si los dos extremes de un tuba cilindrico largo estan a la rnismaaltura, (Y I = Y2 ) Yla rapidez de flujo es la misma en ambos extremos (v ] = v2), laecuacion de Bernoulli nos indica que la presion es Ia rnisma en ambos extremos. Sinembargo, este resultado simplernente no.es valido si tomamos en cuenta la viscosi-dad. Para ver por que, considere la figura 14.28, que muestra elperfil de rapidez de flu-jopara el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilindrico largo. Debido alaviscosidad, la rapidez es cera en las paredes del tube (a las que se adhiere el fluido) ymaxima en el centro del tubo. EI movirniento semeja muchos tubos concentricosquese deslizan W10S relativosa otros, con el tuba central moviendose mas rapidamente yel mas exterior en reposo. Las fuerzas viscosas entre los tubos se oponen a este des-lizamiento; si quere.Q_J.osmantener el flujo, deberemos aplicar una mayor presionarras del flujo que delante de el , Es par ello que necesitamos seguir apretando un tu-bo de pasta dentifrica 0 una bolsa de salsa catsup (ambos fluidos viscosos) para quesiga saliendo el fluido del envase. Los dedos aplican detras del flujo una presion mu-cho mayor que la presion atmosferica al frente del flujo.

La diferencia de presion requerida para sostener una razon dada de flujo de vo-lumen a traves de un tubo de pasta cilindrico de longitud L y radio R resulta serproporciona I a L/ R 4. Si disminuimos R a la mitad, la presion requerida aurnenta 24= 16 veces; si disminuimos R en un factor de 0.90 (una reduccion del 10%), la di-ferencia de presion requerida aumentara en un factor de (1/O.90l = 1.52 (un au-mento de 52%). Esta sencilla relacion explica el vinculo entre una dieta alta encolesterol (que tiende a angostar las arterias) y una presion arterial elevada. Debi-do a ladependencia R4 , incluso un estrechamiento pequefio de las arterias puedeelevar considerablemente la presion arterial y forzar el rruisculo cardiaco.TurbulenciaSi la rapidez de U11 fluido que tluye excedecierto valor critico, el flujo deja de serlaminar. EI patron de flujo se'vuelve muy irregular y complejo, y cambia conti-nuamente con el tiempo; no hay patron de estadoestable. Este flujo irregular yca6fico se denomina turbulencia. La figura 14.20 muestra el contraste entre flujolaminar y turbulento para humo que asciende en el aire. La ecuaci6n de Bernoullino es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estable,El que un flujo sea laminar 0 turbulento depende en parte de la viscosidad delfluido, Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir encapas y.es mas probable que el flujo sea laminar. (Cuando hablamos de la ecua-cion de Bernoulli en la secci6n 14~5,supusimos que el flujo era laminar y que elfluido tenia cero viscosidad. De hecho, se requiere un poco de viscosidad paraasegurar que eI flujo sea laminar.)

Para Wl tluido de cierta viscosidad, la rapidez de flujo es un factor determinante,Un patron de flujo que es estable a baja velocidad se vuelve inestable de repen-te cuando se alcanza una rapidez critica. Las irregularidades en el patron de flujopueden deberse a asperezasen la pared del tuba, variaciones en la densidad deltluido y muchos otros factores. Si la rapidez de flujo es baja, estas perturbacionesse eliminan por amortiguacion; el patron de flujo es estable y tiende a mantener su


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14.6 I Viscosidad y turbulencia 5naturaleza laminar. Cuando se alcanza la rapidez critica, el patron de flujo se ha-ce inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta des-truir el patr6n de flujo laminar.

EI flujo de sangre normal en la aorta human a es laminar, pero una alteraci6npequefia, como una patologia cardiac a, puede haeer que el flujo se vuelva turbu-lento. La turbulencia haee ruido; por ello, escuchar el flujo sanguineo con un es-tetoscopio es un procedimiento de diagn6stico util,

E jemploc on ce p tu al 1 4.1 2 La curvalUnlanzamiento de eurva en beisbol es rea/mente una curva? Sin du-da, y l a r az on es la tu rbu lencia , La figura 14.29a muestra una bola quese mueve en el aire de izquierda a derecha. Para un observador que semueve junto con el centro de la bola, la eorriente de aire parece mo-verse de derecha a izquierda, como mues tr an la s li ne as de flujo de laf igura. Las v elo cid ad es suelen ser altas (cerca de 160 krn/h), as! quehay una region de flujo turbulento detras de la bola.

La figura 14.29b rnuestra una bola que gira con "top spin". Ca-pas de a ir e c er ca de la superficie de la bola son llevadas en la direc-cion del giro par la friccion entre la bola y el aire y por la fricci6~interna (viscosidad) del aire. La rapidez del aire relativa a la super-ficie de la bola se hace menor en la parte de arriba de la bola que enla parte de abajo, y la turbulencia se presenta mas hacia adelanteen el lado de arriba que en el de abajo. Esta asimetria causa una. di-ferencia de presion; Ia presi6n media en la parte de arriba de la bo-

(j" .(a) ~.~.c (e)14.29 EI rnov imien to del aire de derecha a izquierda, relativo a labola, corresponde al movimiento de una bola por a ir e i nmov il de iz-quierda a derecha. (a) Unabola que no gira tiene una regi6n de tur-bulencia s im e tr ic a a rr as . (b) Una bola que gira an-astra capas de airecerca de su superficie, (c) La region de turbulencia asimetricaresultante y la desviacion de la corriente de aire por la bola girato-ria, La fuerza que se muestra es la que la corriente de aire ejercesobre la bola; empuja la bola en la direccion de [a velocidad tan-gencia! del frente de la bola. La fuerza puede (d) ernpujar una bolade tenis bacia abajo 0 (e) curvar una bola de beisbcl.'

la es ahora mayor que abajo. La fuerza neta desvia la bola babajo, como se muestra en Ia figura 14.29c. Es por esto que seel "top spin" en tenis para evitar que un servicio rapido se salgala cancha (Fig. 14.29d). En un lanzamiento de CUPiaen beisbolbola gira alrededor de un eje casi vertical, y la desviacion reaa unlado. En un caso asi, la figura 14.29c es una vista superiorl a s i tu a ci on, Una curva lanzada por un lanzador zurdo s e c urv a haun bateador derecho, y es m as d ific il golpearla (Fig. 14.2ge).

Un efecto similar se da con las pelotas de golf, que siemprenen "giro bacia arras" por el imp acto con la cara inclinada del pLa diferencia de presion resultante entre la parte de arriba y dejo de la bola causa una fuerza de sustentacion que mantiene la ben el aire mucho mas tiempo del que seria posible sin el giro..golpe fuerte bien dado parece hacer que la bola "flote" 0 inclusocurve hacia arriba durante la porci6n inicial del vuelo, Este esefecto real, no una ilusion. Los hoyuelos de Iapelota d esem pefianpapel fundamental; la viscosidad del aire hace que una b ola siny ue lo s te ng a una trayectoria mucho mas corta que una co n hoyuecon la misma velocidad y giro iniciales. La figura 14.30 muestrgiro de una pelota de golf j us to d es pu es de se r golpeada por un p

(e)

14.30 Fotografia estroboscopica de una pelota de golf golpeadapar un palo. La imagen se tomo a 1000 destellos por segundo. Lbola gira aproximadamente una vez cada ocho imageries, 10 qLcorresponde a una rapidez angular de J 25 revis, 0 7500 rpm.

(,Cuanta mas presion debera aplicar una enfennera con el pulgar para adrninistrar unainyeccion COil una aguja hipodermica de diametro interne de 0.40 rnm, en compara-cion con una aguja con diametro interno de 0.55 rnm? Suponga que las dos agujas tie-nen la misma longitud y que la raz6n de fluj0de volumen es la rnisma en ambos casos.


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536 CA PIT U L 0 14 I Mecanica de fluidos

- R E S U M E N

Densidfu:! es rnasa por unidad de:volumen. Si una.masa m dematerial homogeneo tiene un volumen V , su densidad p es elcociente.mIV. La gravedad especifica I :;S .la relacion entre ladensidad de un material y la del agua. (V ease el ejem plo 14.1.)

mp =-V

Presion es fuerza normal por unidad de area. La ley de Pascalestablece que la presion aplicada a l a super fi c ie de u n f lu id oencerrado se transmite s i n d i sr n inu c ion a t od a s- l as p o rc io n esdel f luido, La presion absoluta e s la p re sio n total en un flui-do; lapresion manometrica esla diferencia entre la.presionabsoluta y I a a tmos fe r ic a . La unidad SI de presion es el pas-cal (Pa): I Pa = 1 Nlm2 , (Vease el ejemplo 14.2.) .

_ La diferencia de presion-entre do s puntas 1 y2 enun fluido estatico con densidad uniforrnep (u n flui.do incornpresible) es proporcional ala diferenciaentre las alturas p, y Y2' Si la presion enla superfi-cie de un lfquido incompresible en reposo es Po, la, pI;eSJorta una profundidad h es mayor en una canri-dad pgh. (Veanse los ejemplos 14.3 y 14.4.)

(14.1)

(14.2)

P 2 - Pl = -pg(Y2 - y d(presion en un fluido de d en si da d u ni-fo~e'" (14.5)

p =Po + pgh(presion en un fluido de densidad uni-forme) (14.6)

El principio de Arquimedes dice. que, si un cuerpo se sumergeen un fluido, este ejercesobre el una fuerza de flotacion hacia arriba igual al peso del fluido que el cuerpo des-plaza. (V e an se lo s ejemplos 14.5 y 14.6.)

Un fluido ideal e s i n compre si b le y no t ie n e v i sc o si da d (no hay friccion mterna). Una li-nea de flujo esla trayectoria de una 'particula de fluido; una linea de corriente es una cur-va tangente en todo punto al vector de velocidad en ese punto. Un mba de flujo es untubo delimitado en sus costados por lineas de f lujo. En flujo laminar, las capas de fluidose des li zan suavemente unas sobre otras. En flujo torbulento.hay gran desorden y el pa-tron de flujo cambia constantemente,

La conservacion de Ia masa en un fluid o incom-presible se express con la ecuacion de continui-dad, que relaciona las rapideces de flujo VI y V2para dos seceiones t ransversales Al y A2 de untuba de flujo. El producto Au es la ra zo n de flujode volumen, dVldt, la rapidez con que el volu-men cruza una seccion del tubo. (Vease el ejem-plo 14.7.)

Alu\ =A2uz(ecuacion de continuidad, fluido incom-presible) (14,10)(N-=Avdt .

(razon de flujo de volumen)(14.11)

Area pequefia < fA d en tro d el fhiido

Fluido reemplazado por un cuerpo de forma idsntica:experirnenta 1.misma fuerza de f lo t a cion


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Neta s d el le ct or 5

La ecuac ie n g~Be rn oul li r el ac io na I apresion p, la rapidez de flujo V yl a a lt ur a ji de dos punros 1 y 2 cuales-qui er a, s up oni en do f lu jo estable enun fluido ideal. (Veanse los ejemp!os14.8 a 14.11.)

. 1 2_ .! 2P I + I 2 . g ~ 1 + ZPV l - P2 + pgY2 - I - ' 2 PV2(ecuacion de Bernoulli) (14,1'7)

Term inos c lavebarometro de mereurlo, 521densidad, SISdinamlca de fluidos, 515ecuaclon de Bernoulli, 530ecuacion de continuidad, 527estatica de fluidos, 515flotacion, 523fluido ideal, 526flujo estable, 526

flujo laminar, 527flujo turbulento, 527fuerza de flotacidh, 523gravedad especiflca, 516ley de Pascal, 520linea de corriente, 526linea de flujo, 526pascal, 518presion, 517

presion absoluta, 520presion atmosferlca, 518presion manometrica, 520principio de Arqufmedes, 523tension superficial, 525tubo de flujo, 526turbulencia, 534viscosidad, 526vlscosldad, 533

No ta s d el le cto r


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538 CAPiTULO 14 I Mecanica de fluidosR espuesta a la preg unta inicialdel cap itu lo

P14.S Tal vez haya notado que, cuanto menor es la presion de uneumatico, mayor es el area de contacto entre el y e1pavimento,loPorque?P14.6 Un globo de aire caliente se llena con aire calentado par uquemador en 1a base. l ,Por que debe calentarse el aire? loComo scontrola el ascenso y el descenso?P14.7 AI describir el t a m a i i o de e L 1 1barco grande, se dice por ejempia, "desplaza 20,000 toneladas". i ,Que significa esto? loSepuedeobtener de este data el peso .del barco?P14.8 Se deja caer una esfera solida de alurninio en urt cuba dagua que descansa en el suelo, La fuerza de flotacion es igual al peso del agua desplazada, que es menor que el peso de la esfera, asque esta se hunde. Si l levamos eIcuba a un elevador que acelera haS ec tio n 1 4.1 Por Ja tabla 14.1, la densidad del platino es 21.4 ve- cia arriba, el peso aparente del agua aumenta y , por tanto, aumenta l

ces la del agua (21.4 X 103 kg/rrr' contra 1.00 X I o j kg/nr'), Por la fuerza de floracion que actua sabre la esfeti.-loLa aceleracion del eleecuacion (14.1), el volumen y la densidad son inversamente propor- vador podria ser tan grande que haga que la esfera flote en el agua?cionales, asi que la misma mas a de agua tiene 21.4 veces eI volu- Explique.men que e~latino, a sea, 21.4 m", La longitud de cada lado del P14.9 Un dirigible rigido mas ligero que el aire, lleno de helio, ncubo seria 3 21.4 m3=2.78 m. puede elevarse indefinidamente, i,Por que no? (,Que determina lS ec tio n 1 4.2 Por la ecuacion (14.9), la presion exterior.es igual al alti tud maxima alcanzable?prcducto pg h . La densidad p decrece, mientras que la altura h de la P14.10 La presion del aire disminuye al aumentar la altitud. loPcolumnade mercuric no cambia; por tanto, la presion debe ser me- que entonces el aire cerca de la superficie no es succionado continor afuera que dentro del refrigerador, -".., nuamente hacia las regiones altas que estan a baj a presion?secelen 14.3 El objeto desplaza dos tercios de su volumen V, as! P14.11 Puede probarse la pureza del oro pesandolo ell aire y eque la fuerza de flotacion hacia aniba es B =~ ' g " " Vg. EI objeto es- agua. i,Como? i,Cree que podria hacer pasar por oro un lingote dta en equilibria, asi que B es igual.al peso del objeto, Pobjeto Vg. Por material mas barato chapeado con oro?tanto, P"bjelo =POg,I~' Este.esun ejemplo de una regla general: si un P14.12 Durante 1agran inundacion del rio Mississippi de 1993, loobjeto flota un un Iiquido con una fraccion x de su vo lumen sumerg i- diques en San Luis tendian a r om pe rs e p rim ero en la base. ~Poda, la densidad media del objetc es x veces la densidad del liquido, que?S ec tio n 1 4.4 Dado que el aire es casi incompresible, la razon de P14.13 Un barco carguero viaja del Atlantico (agua salada) al lagflujo d e volumen del aire es practicarnenre constante, Cuando sopJa Ontario (agua dulce) par e1 ri o San Lorenzo. E1 barco se sume vaaire a traves de una constriccion, como un paso montafioso, su rapi- rios centimetres mas en el agua del lago que en el oceano. Expliquedez aumenta para mantener constante la razon de flujo de volumen. par que.Sec ci on 1 4.S Por laecuacion de Bernoulli, un aumento en la rapi- P14.14 Un submarino es mas compresible que el agua, loComodez de flujo v corresponde a una disminucion en 1apresion del aire puede entonces un submarino rodeado completarnente par agua esp. La presion reducida del aire en el lado "exterior" de la puerta ha- tar solo en equilibrio inestable?ce que ia puerta oscile hacia ese lada, cerrandose, P14.15 Una vieja pregunra reza asf: "i,Que pesa mas, una libra deSec cion 1 4. 6 La presion requerida es proporcional a lilt, Con_1a plumas 0una de plorno?" Si el peso en libras es la fuerza gravitacio-aguja de menor diametro,: Ia presion es mayor en un factor de nal, (,una libra de plumas equilibrara una libra de plomo en charolas[( 0.55 mm l ' (0.40 rnm] ]" = 3.6. opuestas de uua balanza de brazos iguales? ExpJique, considerando

las fuerzas de flotacion,P re gun ta s p ara analisis P14.16 Suponga que la puerta de un cuarto embona hennetica--rneute, pero sin friccion en su marco, l,Cree que podria abrir lapuerta si la presion del aire en un lado fuera la presion atmosfericaestandar yen el otro difiriera en un 1%7 Explique,P14.17 Un globo es menos compresible que el aire, lComo es quehay una altura en.la que un globo inflado Call helio esta en equili-bri a estable?P14.18 Un trozo de hierro esta pegado encima de un bloque demadera. Si este se coloca en una cube ta de agua con el hierro arri-ba, flota. Ahara se voltea el bloque para que el hierro quede sumer-gido bajo el bloque. /,EI bloque flotara 0 se hundira? L E I nivel deagua en la cubeta sub ira, bajara 0no cambiara? Explique,P14.19. Se toma una jarra de vidrio vacia y se mete en un tanque deagua con la boca hacia abaj 0, atrapando el aire dentro de la jarra. Smete mas la jarra en el agua, locambia la fuerza de flotacion que ac-

EJ aire mantiene casi la misma densidad al pasar por semejanteconstriccion, asi que puede aplicarse laecuacion de continuidad pa-ra un fluido incornpresible [ecuacion (14.10)], Una constriccion co-rresponde a un area de seccion transversal reducida, asi que larapidez v debe aumentar,Respue sta s ~ [as preg untas de E valuesu comprensron

P14.l Si el peso de un cuarto lleno de agua es tan grande (ejemplo14.1, seccion 14.1), ,:,porque no se colapsa el piso de las casas consotano cuando se inundan hasta el techo del sotano?P14.2 Una manguera de hule se,conecta a un embudo y el extremelibre se dobJa hacia arfiba, Si sevierte aguaen el embudo, sube almismo nivel en la manguera que en el embudo, a pesar de que-estetiene mucha mas agua. loPorque? \P14.3 Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 de las secciones 14.1 y14.2, parece que 700 N de aire ejercen una fuerza hacia abajo de 2;0X 10" N sobre el piso, loComo es posible? .P14.4 La ecuacion (14.7) muestra que una relacion de area de 100a 1 puede dar 100 veces mas fuerza de salida que de entrada. ~Noviola esto la conservacion de la energia? Explique.


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uta sobre la jarra? Si 10 hace, l,aumenta 0 disminuye? Justifique surespuesta.P14.20 Imagine que flota en una canoa en el centro de una a lbe rca ,Una amiga esta en la orilla, tomando nota del nivel exacto del aguaen la pared de l.aalberca. Usted lleva consigo en la canoa una bola deboliche, la cual deja caer cuidadosamente por la borda. La bola sehunde hasta el fonda de la alberca. l,El nivel de agua en la albercasube 0baja?P1 4 ..21 Imagine que flota en una canoa en el centro de una alber-ca. Un ave grande llega volando y se posa en su bombro, l,El nivelde agua en la alberca sube 0 baja?P14.22 Imagine que esta nadando en una alberca y se encarama enun a balsa inflable de plastico que esta flotando en e 1 agua, Si usted es -ta totalmente fuera del agua cuando es ta ar riba de la balsa, l,el nivel deagua en [a alberca sube 0 baja cuando usted '5e sube a la balsa?P14.23 Un cuba de hielo flota en un vasa de agua. Al derretirse elhielo, i,el nivel de agua en el vasa subira, bajara 0 no cambiara? Ex-plique,P14.24 Le dicen que "la ecuacion de Bernoulli nos dice que, don-de Ja rapidez del fluido es mas alta, su presion es mas baja, y vice-versa". i,Es verdad siempre esa afirmacion, incluso en eJ caso de unfluido idealizado? Explique,P14.25 Si en un fluido en flujo estable la velocidad en cada puntoes constante, i,c6mo puede acelerar una particula de fluido?P14.26 En una exhibicion de escaparate, una pelota de -ping-pongesta suspendida en LlD chorro de aire expulsado por Ia manguera desalida de una aspiradora de tanque, La pelota se mueve un poco pe-rc siempre regresa al centro del chorro, aunque este no este vertical.l,Como ilustra este comportamiento la ecuacion de Bernoulli?P14.2~ Un tornado consiste en un vortice de aire que gira rapida-mente. i,Por que es la presion mucho mas baja en el centro queafuera? i,C6mo explica esto la potencia destructiva de un tornado?P14.28 Los aeropuertos a gran alti tud tienen pistas mas largas pa-ra los despegues y aterrizajes, que los aeropuertos que estan a l ni-vel del mar. Un motivo es que los rnotores de los avionesdesarrol1an menos potencia en el aire enrarecido. Cite otro motive,P14.29 Cuando un chorro de agua fluye suavemente de un grifo,se angosta al caer, Explique este fenorneno.

EjerciciosS ec ci6 n 1 4.1 D en sid ad i

I 14.1 En un trabajo de medio tiernpo, uIl',~peivisorie pide traer delalrnacen una;arilla ciHndTi~a d~ acero d~.8 crude longitudy2.85 em de diametro. i,NeCesltara usted un carnto,? (Pam contesrar,calcule el peso de la varilla.) ....~.\ " .',14.2 EI radio de la Luna es de 1740 km ; su masa ~scle7.35 X ,1012kg. Calcule su densidad media. - \... ,14.3 Imagine que compra una pieza rectangular de me't~i de 5.0 X15.0 X 30.0 rnm y masa de 0.0158 kg. El vendedor Ie dice queesde oro. Para verificarlo, usted calcula la densidad media de la ple-za. i,Que valor obtiene? i,Fue una estafa?14.4 Un secuestrador exige un cubo de platina de 40.0 kg comorescate, i,Cuanto mide por lade?

Ejercicios 5314.5 Una esfera uniforrne de plorrro y una de aluminio tienenmisma masa , i,Que relacion hay entre el radio de la esfera de aluminio y el dela esfera de plomo?14.6 a) Calcule Ia densidad media del Sol. b) Calcule [a densidadmedia de una estrella de neutrones que tiene la misrna masa queSol pero lin radio de solo 20.0 ian.

S ecci6 n 14.2 P resi6n en un flu id or 14.7 i,A que profundidad del mar hay una presion manometrica d

L O O X 1 0 5 Pa?14.8 En la alimentacion intravenosa, se inserta una aguja en unvena del brazo del paciente y se conecta un tuba entre la aguja y udeposito de fluido (densidad \050 kg/rrr') que esta a una altura IIsobre el braze, El deposito esta abierto a la atmosfera por arriba. Sipresion manometries dentro de la vena es de 5980 Pa, i,que valominima de h permite que entre fluido en la vena? Suponga quediametro de la aguja es 1 0 bastante grande como para despreciar lviscosidad (seccion 14.6) del fluido,

114.9 Un barril conriene una capa de aceite (densidad de 60kg/nr ' ) de 0.120 IIIsobre 0.250 m de agua , a) i,Quepresion manometrica hay en la interfaz aceite-agua? b) l,Quepresi6n manometri-ca hay en el fondo del barril?14.10 Una vagoneta vacia pesa 16.5 kN. Cadaneumatico tiene unpresi6n manornetrica de 205 kPa (29.7Ib/pulg2). a) Calcule el arede contacto total de los neumaticos con el suelo. (Snponga que laparedes del neumatico son flexibles de modo que la presion ejercida pOI el neumatico sobre el suelo es igual ala presi6n de aire en sinterior.) b) Con la misma presion en los neumaticos, caleule el aredespues de queel auto se carga con 9.1 kN de pasajeros y carga,14.11 Se esta diseiiando una campana de buceo' que resista la presion del mar a 250 m de profundidad, a) lCmbi.to vale la presionmanometric a a esatprofundidad? (Desprecie el cambio en la densidad del agua con I d profundidad.) b) A esta profundidad, i,que fuerza neta ejercen el agua exterior y el aire interior sobre unaventanilla circular de 30.0 em de diametro si la presion dentrode lcarnpana es la que hay en la superficie del agua? (Desprecie la-pequefia variaci6n de presion sobre la superficie de la ventanilla.)14.12 l.Que presion manometrica (en Pa'Y a rm ) debe producir.unabornba para subir agua del fonda del Gran Cafion (elevacion 730 ma Indian Gardens (elevacion 1370 m)?

r 14.13 El liquido del man6metro de mbo ab ie rt o de la figura 14.8a emercurio.y, =3.00 em Y Y 2 = = 7.00 em. La presi6n atrnosferica es d980 r ni li ba re s. a ) i,Que presion absoluta hay en la base del tubo eU? b) i,Yen el tube abierto 4.00 em abajo de la superficie libre? ci,Que presion absoluta tiene el aire del tanque? d) i,Que presion rnanometricatiene el gas en pascales?14.14 Hay una profundidad maxima ala que-un bUZD puede respirapor un "snorkel" (Fig. 14,31) pues, al aumenrar Ia pro fundi dad, aumenta la diferencia de presion quetiende a colapsar los pulmonesdel buzo, Dado que el snorkel conecta los pulmones con la atmosfera, la presion en ellos es la atmosferica, Calcule la diferencia dpresi6n interna-externa cuando los pulmones del buzo estan a 6.1 mde profundidad, Supcnga que el buzo esta en.agua dulce. (Un buzoque respira el aire comprimido de .un tanque puede operar a mayores profundidades que uno que usa snorkel, porque illpresion de


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540 CAP rr U L 0 14 I Mecanica de f luidos14.23 Un objeto con densidad media p'flota sobre un fluido de den-sidad PUlIi


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0.105 m2? ii) 1,0.047 m2? b) Calcule el volumen de agua descarga-da del extreme abierto del tubo en l.00 h.

J 14.31 Fluye agua por un tubo circular de sec cion transversal varia-ble, llenandolo en todos sus puntos. a) En uri punto, el radio del tu-bo de 0.150 m. i,Que ra pid ez t ie ne e l agua en este punto si la razonde flujo de volumen en el tu bo es de 1.20 nrvs? b) En otro punto, larapidez del agua es de 3.80 m/s. i,Que radio tiene el tubo en estepunto?14.32 a) Deduz ca la e cu ac io n ( 14 . 12).b) Si la densidad aumenra en un1.50% del punto I a12, (,que sucede con la razon de flujo de volumen?s ec ele n 1 4.5 E c ua ci6 n d e B ern ou ll i14.33 Un tanque sellado que contiene agua de mar hasta una altu-ra de 11.0 m contiene tambien aire sabre el agua a una presi6n rna-nometriea de 3.00 atm. Sale agua del tanque a traves de un agujeropequefio en el fondo, Calcule la rapidez de salida del agua,14.34 Se corta un agujero circular de 6.00 mrn de diametro en elcostado de un tanque de agua grande, 14.0 m debajo del nivel delagua en el tanque, EI tanque esta abierto al aire por arriba. Calcule a)la rapidez de salida; b) el volumen descargado por unidad de tiempo.14.35 l.Que presi6n manornetrica se requiereen una tom a munici-pal de agua para que el chorro de una manguera de bomberosco-nectada a ella alcance una altura vertical de 15.0 m? (Supcnga q u " ela toma tiene un diametro mucho mayor que la manguera.)14.36 En un punto de una tuberia, la rapidez del agua es de 3.00m/s y 10 1 presion manornetrica es de 5.00 x 104 Pa. Calcule la pre-sion manometries en otro punto de la tuberia, 11.0 m mas abajo, siel diametro del tuba ahi es el doble que en el primer punta.14.37 Sustentacton en un avhin, EI aire fluye horizontalmentepor las alas de una avioneta de modo que SlI rapidez es de 70.0 m/sarriba del ala y 60.0 m/s debajo, Si la avioneta tiene una masa de1340 kg Y un area de alas de 16.2 m", /,que fuerza vertical neta (in-cluida la graved ad) actua sobre 1anave? La densidad del aire es de1 .20 kg /m" ,14.38 Una bebida no alcoholics (principalmente agua) fluye poruna tuberia de una planta embotelladora con una razon de flujo demas a que llenaria 220 latas de 0.355 L por minute. En el punta 2del tu bo , la presion manometric a es de 152 kPa y el area transver-sal es de 8.00 em", En el punto 1, 1.35 m arriba del punto 2, el areatransversales de 2.00 cnr'. Calcule a) 10 1 razon de flujo de rnasa; b)la razon de flujo de vo

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Capitulo 14 Sears