Capitulo 13 - Metodo de La Transform Ada Integral

8/2/2019 Capitulo 13 - Metodo de La Transform Ada Integral

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Dayet"I

C A P i T U L O.1 ,13

M etodo de la tran sform adaintegralI E s t r u d u r a d e l c a p i t u l o )

-r,"

13.1 F unci6n de erro r13.2 A plicac iones de la tran sfo rm ada de L ap lace13.3 In teg ra l de F ou rier13.4 T ran sfo rm ad as d e F ou rier13.5 T ransfo rm ad a rap ida de F ou rie r

E jerc ic io s de repaso del cap itu lo 13

, "I

.'tI"

E l rn e todo de sepa ra c i6n de var iab les que ern p lea rno s en lo scapi tu los 11 y , 12 e s pode ro so , m as no un ive rsa lm en te ap licab lep ara reso lve r p rob lem as de va lo re s en la fro n te ra . S i la e cu ac i6nd ife ren c ia l p a rc ia l qu e e s tam os tra tando es no ho rnoqenea , s ila s cond ic ion es d e fron te ra son depend ien te s d e l tiem po , 0 s i e ldom in ic d e lavar iab le esp ac ia l e s in fin ito (-00, (0) , 0 semi inf in i to(a , (0) , debem os ser capaces d e u tiliza r un a tran sfo rm ada in teg ra lp a ra reso lve r e l p rob lem a. E n la secc i6n 13 .2 reso lve rem osp rob lem as que invo lu cran las e cu ac ion e s d e ca lo r y la s d e ondam ed ian te la ya conoc id a tran sfo rm ad a d e L ap la ce . E n la se cc i6n13 .4 p resen ta rem os y u tiliza rem os tres nuevas tran sfo rm adasin teg ra les : la s tran sfo rm ada s d e Fou rie r .

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0.80.60. 40.2

1.5F i gu ra 13.1 G ra fic as d e erf (x)y erfc(x) para x :2: 0

Tabla 13.~f(t), a> 0 ~ {f(t)} = F (s )

I I 13.1 Funcion de erro r J In tro du cc io n En matematicas existe una gran cantidad de funciones que se definenmediante una integral. Por ejemplo, en muchos libros de calculo tradicionales, ellogaritl11onatural se define como: In x =J ; ' ~ dt, x > O. En capftulos anteriores ya hemos visto,aunque de manera breve, la funci6n de error erf(x), la funci6n de error complementa-ria erfc(x), la funci6n integral seno Si(x), la integral seno de Fresnel Sex ) y la funci6ngarnmaI'(o-); todas estas funciones estan definidas en terrninos de una integral. Antesde aplicar la transfonnada de Laplace a problemas de valores en la frontera, necesita-mos conocer un poco mas acerca de la funci6n de error y de la funci6n de error COI11-plementaria. En esta secci6n analizamos las graficas y algunas de las propiedades masevidentes de erf(x) y erfc(x) . Propied ad es y g rM i c a s De la ecuaci6n (14) presentada en la secci6n 2.3, recuerdeque las definiciones de funcion de error erf(x) y funcion de error complementariaerfc(x) son, respectivamente,

2 I X ,erf(x) = y;;. 0 e-U - du 2 f c o ,erfc ( x ) = y;;. .r e -u- duo (1)Con ayuda de coordenadas pol ares se puede demostrar que1 00 2 -r:o : du =~2o 2 1 00 ,y;;. 0 e-''- du = 1.Por 10 tanto, a partir de la propiedad del intervalo aditivo de las integrales definidas, elultimo resultado es 10 mismo que

2 [ I X f c o ]- e-// 2 du + e-//' du = 1y;;. 0 xLo anterior demuestra que erf(x) y erfc(x) estan relacionadas mediante la identidad

erf(x) + erfc(x) =1. (2)Las graficas de erf(x) y erfc(x) para x 2: 0 estan dadas en la figura 13.1. Observe queerf(O) = 0, erfc(O) = 1, Yque erf(x) -7 1, erfc(x) -7 0 conforme x -7 00.

Otros valores numericos de erf(x) y erfc(x) pueden obtenerse des de un CAS 0 me-diante el uso de tab las. En las tablas, a menudo la funci6n de error se denomina integralIe probabiJidad. EI dominio de erf(x) y erfc(x) es (-00,00). En el problema 11 de losejercicios 13.1 se Ie solicita obtener la grafica de cada funci6n incluida en este intervaloy deducir algunas propiedades adicionales.

La tabla 13.1, transformadas de Laplace, sera de utilidad en los ejercicios de la si-guiente secci6n.

f(t), a> 0 ~{f(t)} = F(s)1 .1. -- e-a' / 4 1-r:a 'I. --- e~{/-412v:,;}

3. erfc( ,C l r )2 V t s

e -av' s

e-av's

584 C APITU LO 13 M etodo de la transfo rm ada in tegral


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EJERCICIOS 13.1 Las respuestas a los prob lem as im pares se lecdonados com ienzan en la pag ina RE,pP-29 ., 1 I e "L a) Demuestreque erf(Vt) = y;fo y;(iT.

b) Uti lice el teorema de convolucion y los resultadosde los problemas 41 y 42 de los ejercicios 4.1 parademostrar que

~{erf(Vt)} = .. sVs+!2. Utilice el resultado del problema I para demostrar que

;{erfc(Vt)} = _ ! _ [ I - ~ ] .s s + I3. Mediante el uso del problema I, demuestre que

~{e'erf(Vt)} = IVs(s - I )

4. Uti lice el resultado del problema 2 para demostrar que

~{e'erfc(Vt)} = Vs ~. s( s + 1 )5. Sean C, G, R Y x constantes. Utilice la tabla 13.1 para

demostrar que

6. Sea a . una constante, Dernuestre que~ - l {senh a V s } =ssenh Vs~ [ . ( 2 1 1 + 1 + a ) ( 2 1 1 + I' -. a ) ].; erf - erf ,'.

11=0 2Vr 20[Sugerencia: Utillce la definici6n exponencialdel senohiperb6lico. Expanda 1/(1 - e-2\/,) en una serie georne-trica.]

I I:'7. Utilice la transformada de Laplace y la tabla 1 .3 . 1 pararesolver la ecuaci6n integral

f ' ) I ( T )y ( t ) =I- < = = dr .o V t - T ,i:,,'8. Mediante el uso de los enunciados tercero y quinto de la

tabla 1 3 . 1 , d e r n u e st re el sexto enunciado de la misma tabla.b 1 y; ,','

9. DemL,lestre que f o e - I I du =-2-[erf(b) :- erf(a)].(f 1 .....i10. Demuestre que f _ o e - I I du = V 7T erf(a).'

Tareas para ellaboratorio de compute11. Las funciones erf(x) y erfc(x) estan definidas para:x < O.

Uti lice un CAS y sobreponga las graficas de .e'rf(x) yerfc(x) sobre los mismos ejes en - 10 :s I :s J O. i,Lasgraficas tienen alguna simetrfa? Determine Ifm,--.;_CIJerf(x) y IfmHCIJ erfctr)?

I 13.2 ApLic ac iones de La t rans formadade L apL ace'-----7----------"" In trod ucci6n En el capitulo 4 definimos la transformada de Laplace de una fun-ci6nf(t), t 2': 0, como~U(t)} = f o o e-'j'(t) dt,

osiempre que la integral i r np r op i a converja, Esta integral transforrna una funci6n f(t) enotra funci6n F del parametro de transformaci6n s; es decir, ~ { f C t ) } = F(s). La princi-pal aplicacion de la transforrnada de Laplace en el capitulo 4 fue la soluci6n de ciertostipos de problemas de valor inicial que involucraban ecuaciones diferenciales ordinarias

13 .2 A plicac io n es d e la tran sfo rm ad a d e L ap lace 585


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lineales con coeficientes constantes. Recuerde que en tales ecuaciones 'Ia transformadade Laplace reduce la ecuaci6n diferencial ordinaria a una ecuaci6n algebraica. En estasecci6n vamos a aplicar la transformada de Laplace a ecuaciones 'diferenciales parcialeslineales. Veremos que esta transformada reduce una ecuaci6n diferencial parcial a unaecuaci6n diferencial ordinaria . Transform ada de derivadas parc ia les Los problemas de valores en la Fronteraque se estudian en esta secci6n involucran las ecuaciones de calor y las de onda en unadimensi6n, 0 ligeras variaciones de estas ecuaciones. Estas ecuaciones diferenciales par-ciales involucran una funci6n desconocida de dos variables independientes u(x, t), dondela variable I representa el tiempo t 2: O. Definimos la transformada de Laplace de u(x, trespecto a I usando la expresi6n .

. ; e { u ( x , t) } = f o o e - " U ( X , t ) d t = U (x , s ) ,o

donde x recibe el tratamiento de un parametro. A 10 largo de esta secci6n se supondrjque todas las propiedades operativas de las secciones 4.3 y 4.4 se aplican a funcionesde dos variables. POI' ejemplo, mediante el teorema 4.4, la rransforrnada de la derivadaparcial a u / a t es

c o { a a ~ t l }L = s . ; e { u ( x , t ) } - u(x, 0);{ a u }; e - = s U ( x , s) - u(x, 0 ).a t

De manera similar, . ; e { ~ : ~ } =S 2 U ( X , 0 5 ) - su(x, 0) - u,(x, 0).(1sto es,

(2Como estamos realizando una transformaci6n respecto a t, suponemos que es legftimointercambiar la integraci6n y la diferenciaci6n en la transformada de a 2u/ax 2:

esto es, (3)

En vista de (I) Y (2) podernos observar que la transformada deLaplace resulta ade-cuada en problemas con condiciones iniciales, es decir, problemas asociados COil laecuaci6n de calor 0 la ecuaci6n de onda.

E jemp lo 1 La transfo rm ada de L ap lace de una ecuaci6n d iferenc ia l parc ia la 2u a 2uEncuentre la transfonnada de Laplace de la ecuaci6n de onda a2 -0 = -0 t > O.. a x - a t -Solucion A partir de (2) y (3),

se convierte end 2a 2 - ' -2 . ; e { u ( x , t) } = S 2 . ; e { U (X , t ) } - s u ( x , 0) - u , ( x , 0)dx

o bien o d2U 0a: dx2 - s'U =-su(x, 0) - u,(x, 0). (4) 0

586 C APITU LO 13 M etodo de la tran sfo rm ada in teg ra l


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L a tra n s fo rm ad a d e L a p la c e c o n re sp e c to a r d e la e c u a c i6 n d e o n d a 0 d e la d e c a lo re lim in a d ic h a v a r ia b le ; y p a ra la s e c u a c io n e s e n u n a d im en s io n , la s e c u a c io n e s tra n s -f o rm a da s so n en to nc es ecuaciones diferenciales ordinaries e n la v a ria ble e sp ac ia l x. A lre so lv e r u n a e cu a c i6 n tra n s fo rm ad a , s e t ra ta a .I' c om o p ar a m etro ,

E jem plo 2 U so de la tran s fo rm ada d e L ap lace para reso lver un p roblem ade va lo res en la fron te raa 2u a 2u

Resu e l v a 2 ? 0 < x < I, r > 0a x a r -s u je ta a u (O , t), = 0, u ( I, t) = 0 , t> 0

a U I:- = s e n 7T'X ,a t I~ Ou(x, 0) = 0, O


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s o p o r te 1vertical-s-i"en (X1 :

1-t--+-------+x1111. : . . - d ' \r11

u

01

F i gu r a 1 3.2 C adena la rg a c ayend opo r su p ro p io 'p eso

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Las condiciones inicial y de Frontera son, respectivamente,u(O, t ) = 0, aulim ~ = 0,

x--->oo dx t> u(x, 0) = 0, a U I-::- = 0,d t I~ O x> O .

La segunda condici6n de Frontera lfmv-->::ou/ax = indica que la cadena es horizontal auna distancia mayor desde el extrerno izquierdo. Ahora, a partir de (2) y (3),

se convierte en

5 { a 2 ~ , 2 L : } _ 5 { g } = 5 { ~ 2 U }a _ c d t2? d2 U g ?a- - - - = s-U - su(x 0) - u (x 0 )dx' S ' " I'

0, en vista de las condiciones iniciales,d2U S2 g---U=-dx 2 a 2 a 2s'

Las transformadas delas condiciones de Frontera son

5 ( u (O , f) } =U (O , s ) = {au }y 5 l im ~x--->oo dx

dU=lim -;= 0.x--->oo dx '

Con ayuda de coeficientes indeterminados, es posible declucir que la soluci6n general dela ecuaci6n transformada es

U(x s) =c e -(x/a)s + c e(x/a)s - j5 _" 1 2 s3'La condici6n de frontera lfmr_w) dU/dx = implica que C2 = y U(O, s) = nos daCI = g / S 3 . Por 10 tanto,

UU(, s) = ~ e~(x/a)s - ~.s sAhora, mediante el teorema de la seguncla traslaci6n se tiene

o bien

{ g g } 1 ( X )2 ( x ) I(x , t) = 5 - 1 - e-(x/a)s - - = - g f - - O iL t - - - - gt2S3 S3 2 a a 2{

I ? - - : - ' 2 sr,u(x, t) =_ _ _ L , ? (2axt - X 2 ) ,Za' ,

xOs t es fijo. Para s Sat, la cadenatiene la forma de una parabola que pas a por (0, 0) y (at, -~ gt2). Para x > at, la cadena sedescribe mediante la lfnea horizontal u =- ~ g r . Consulte la figura 13.2. 0

Observe que el problema del ejemplo siguiente pudo haberse resuelto mediante el pro-cedimiento de la secci6n 11.9. La transformada de Laplace ofrece una soluci6n alterna.

Ejemplo 4 U na so lu ci6n en te rm inus de e r f ( x )Resuelva la ecuaci6n de calor

a 2u s 0< x < 1 , t '> sujeta a u(O , t) =0,

u(x, 0) = 0,u( I, t) = UO , f > O


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Solucion De las ecuaciones (1) y (3) y la condici6n inicial dada,

se convierte en

:{a2~} =:{~u}ax- a (d 2U--1 - sU = O .dr. ( 7 )

Las transformadas de las condiciones de Frontera sonU(O , s) =0 y UoU(l, s)=-.

s( 8 )

Puesto que estamos interesados en un intervalo finito en el eje x optamos por escribir la 'soluci6n general de (7) como

U(x , . 1 ' ) = c, cosh (\I5x) + C2 senh (\I5x).Aplicar las dos condiciones de Frontera en (8) nos cia, respectivamente, c,OyC2 =uo/(s senh \15). Por 10 tanto,

U(x , . 1 ' ) =U n senh (\I5x)ssenh \15 .La transformada inversa de est a ultima funci6n no se encuentra en la mayorfa de las,

tablas. Sin embargo, escribiendosenh (\I5x)s senh \15

eC,-I)V'X - e - ( x + I)';;:. 1 ' ( I - e-2\;;:) I,I

y utilizanclo la serie geometricaco~ e - 2 1 1 V S//=0

I : :

encontramossenh (\I5x)s senh \15

Si suponemos que la transformada inversa de Laplace puede resolverse terrnino por ter-mino, a partir del enunciado 3 de la tabla 13.1 puede deducirse que_I {Senh (\I5x)}u(x, t) =uo : , r:s senh v s

cc [ _ { e - ( 2 1 1 + I-X)\/,} _ { e - ( 2 1 1 + I+ X ) V S } luo~: I _: I1 1 = 0 s S=LIO~ ' [erfc(211 +~ - x ) - erfc(211 +~ + x ) l .1 1 = 0 2 t 2 t

La soluci6n (9) puede vol verse a escribir en t e r r n inos cle la funci6n de error utilizandoerfc(x) = 1 - erf(x):

( 9 )

u(x, t) = Uo ~ [erf(2f! +~ + x) - erf(2n +.~ - x ) l .11-0 2 t 2 fLa figura 13.3a ) , obtenida con ayuda de la funci6n grafica 3D cle un CAS, muestra la

superficie de la regi6n rectangular 0::0; x::O; 1,0::0; f::O; 6 definida mediante la suma parcialS , O ( X , t) de la soluci6n (10). A partir de la superficie y de las dos graficas bidimensionalesque la acompafian, resulta evidente que para un valor especffico de x (la curva cle inter-secci6n de un plano recortando la superficie perpendicular al eje x en el intervalo 0 ::0;x ::0;I), la temperatura u(x, t) aumenta considerablemente hacia un valor constante cuando seincrementa el t i e r npo : Consulte las figuras 13.3b) y c). Para un t i e r npo especffico (la curvade intersecciori de un plano recortando la superficie perpendicular en el eje t) " la tempera-tura uix, f) aUI1:enta de manera natural cle 0 a LOO.Yea las figuras 13.3d) ye ) .

o

13 .2 A plicac io n es d e la tran sfu rm ad a d e L ap lace


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10075II(X, t)

a) 110= 10011(0.2, t) 11(0.7,/)100 10080 8060 60 i f40 4020 r 20

0 2 3 4 5 6 0 2 3 4 5 6b)x=0.2 c) x = 0.7

I . / (X , 0.1) lI(x,4)120 120100 10080 8060 6040 4020 20

r x0 0.6 0.8 0 0.2 0.4 0.6 0.8d) t= 0.1 e) t= 4

u(x, 0) = 0, a U i = 0, x> o .a t 1=0

F i g ur a 1 3.3 G ra fica d e la so lu c i6 n d ad a en (10) . E n b ) y c ), x se m a ntie ne c on sta nte .E n 0) y e ), t se m a ntie ne c on sta nte

EJERCICIOS 13.2 Las respuestas a los prob lem as im pares se lecc ionados com ienzan en la pag ina R E SP -2 9.'- ~ - - - - - ,- - - ~ = - -

1. Una cadena se estira a 10 largo del eje x entre (0, 0) y(L, 0). Calcule el desplazamiento u(x, t) si la cadenaparte des de el reposo en la posicion inicial A sen( TrxIL).

2. Resuelva el problema de valores en la fronteraa 2u a 2u

? a 2u a l ua- ax2 = at2' x > 0, t > 0u(O, t ) = f ( t ) , 11m u(x, t ) = 0, t > 0

x~oo

En los problemas siguientes utilice las tablas segun sea nece-sario.

O


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5. E n e l e jem p lo 3, c alc u le e l d e sp la za m ie n to u(x, t) c u a n -d o a l e xt rem a izq u ie rd o d e la c a d e n a u b ic a d o e n x =0se Ie im p rim e u n r n ov im i en t o o sc i la to rio d esc r ito p orf(t) =A s e n cot.

6. E I d e s p la z am i e n to u(x, t) d e u n a c a d e n a a c c io n a d a p o ru n a fu e rz a exte rn a se d e te rm in a a p a r tir d ea 2u a 2u

-7 + s e n TT X s e n cot. " = - -: -- -; ; 0 < x < 1, t > 0a x - iWu (O, t) = 0, u(l, t) = 0, t 0u(x, 0) =.0, a u I = 0, 0 < x < 1 .a t 1= 0

Despe j e u(x, O .7. U n 'a b ar ra u n ifo rm e esta a n cla d a e n x = 0 y s e e n cu e n tr a

in ic ia lm en te e n re p o so . S i u n a fu e rz a c o n s ta n te F o sea p lic a a l e xtrem a lib re lo ca liz a d o e n x =L, e l desplaza-miento l o ng i t ud i n a l u(x, t) d e la se c c i6 n tra n s v e r sa l d e lab a rra s e d e te rm in a a p a rt ir d e

7 a 2u a 2ua: -7 = - - : - - - ; ; , . 0 < x < L, t > 0a x - itt:u (O, t) =0,

a u 1E -;- = F o , E e s u na c o n s ta n te , t > 0a x x=L ., a u Iu(x, 0) = 0, -:- = 0,a t 1=0 0< x < L.

Despe j e u(x, O . [Sugerencia: Ex p a n d a I/( I + e-2sUa) e nu n a s er ie geometrica.]

8. U n a v ig a e la st ic a uniforrne s em i i n f i n i t a q u e se mueve a 10la rg o d el e je x a v e lo cid ad c o ns ta n te - Vo se d etie n e a l g ol-p e a r u na p are d e n e l tiem po t =O. C o nsu lte la f ig ura 13.4.E I d e sp la za m ie n to lo n g itu d in a l utx, t) e s t a deterrninado p a r

7 a 2u a 2ua- - = - x > 0, t > 0a x 2 a t2' a ul im -;- =0,x-->oo n xa U I = -vo,a t 1=0

u (O, t) =0, t> 0u(x,O) = 0, x> O .

Despe j e u(x, t) .

paredF ig u ra 1 3 .4 V ig ae la stic a e n m o vim ie ntod e l p ro b lem a 8

9. Re s u e lv a e l p ro b lem a d e va lo re s e n la f ro n te raa 2u a 2ua x 2 a t 2 'u (O, t) =0,

x> 0, t> 0li m u (x , t ) = 0, t > 0 ,

X-H)O

a U I(x , 0) = xe ", - = 0, x > O.a t 1=0

1 0. Re su e lv a e l p ro b lem a d e va lo re s e n la fronteraa 2u a 2 ua x 2 a t 2 'u (O, t) = I,

x> 0, t > : : : Oli m u(x, t) ~ 0, t> 0

u(x, 0) = e-X, a u l = 0, 'x > O .a t 1=0E n lo s p ro b lem a s d e l I I a l 1 8 , u ti l ic e la tr a n s fo rm ad a d eL ap la c e p a ra re so lv e r la e c u a c i6 n d e c a lo r urx ! ' ; = U" X > 0, t 0su je ta a la s c o nd ic io ne s d ad as .

11. u (O, t) = uo, li m u(x, t) = UI' , u(x, .(})=UI.v-eco ;"

12. u (O, t ) Ifm u(x, t) u (x ,O) =UIXuo, ---= UI,x~oo X13. ~ U I = u (O, t ) ,a x x=o !lim u (x , t) = uo, !: ui x , 0) = Ito'14. : ~ ; I x = o = u (O, t) - 50, I\f~~u(x,t) = : , ; 0 , u(x ,O)=O15. u (O , t) =(t), l t rn u (x , t) =0, , u C ~ , 0) =0

x~oo[Sugerencia: U ti lic e e l teorema d e c o n v o lu c i6 n .]16. a u r =-f(t), lim u(x, t) =0, t : ( ~ ' " 0) =0a x 1'=0 x-->oo17. u (O, t) = 60 + 40 V U ( t - 2), lim u ( .x :~ f) = 60,

.r400 Iu(x, 0) =60

18. u (O, f) = { 2 0 ,0, 0< t < It 2: I' li m u (x t) =100 ,x-toou (x ,O) =1 00

19. Re su e lv a e l p ro b lem a d e va lo re s e n , l a fronteraa 2u a ua x 2 a t'a u I ( ) , ( ) ,---:- = 100 - u 1, t , lIm u x? t ;.0,ih .r= I .\-->-00,u (x ,O) = 0, -00< x < 1.

-oo , 0,a x 2 a t '( ) a u : f > 0u 0, t = 0, lfm - = 0,.

.r-eco a xt '> 0

u(x, 0) = 0, x > 0,o n d e re s c o n s ta n te , e s ta d a d a p o r

"I'

u (x , t) = r t - r J / e r f c ( ~ ) J I T .o 2%:'

21. U n a va ri l la d e lo ng itu d L se m an tie ne a u na tem p era tu rac o n s ta n te L to e n s u s extrernosr = 0 y x = L. S i la tem p e-ra tu ra in ic ia l d e la v a ri l la e s Uo + Uo sen(x7TIL) , r e s u e l v a, l a e c u a c i6 n d e c a lo r u. rx = u., 0 < X < 4 " t > o p a ra lat empe r a t u r a u (x , f) . :

13 .2 A plic ac io nes de la tra n sfo rm ada d e L ap lac e 591


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22. S i h a y tr a n s fe r e n c ia d e c a lo r d e sd e la s u p e r f ic ie la te ra ld e u n a lam bre d e lg a d o d e lo n g itu d L h a c ia u n medio ate m p era tu ra c on sta nte ull" e n to n c e s la e cu a c i6 n d e c a lo r. t o rn a la fo rm a

a ua t ' 0< x < L, t > 0,

d o n d e li e s u na c on sta nte . D ete rm in e la te m pe ra tu ra u (x , f)s i la tem pe ra tu ra in ic ia l e s u n a co n s ta n te Uo e n , to d o e lp ro ce so y lo s ex trem o s x = 0 y x = L e s t an a i s l a d o s .

23. U n a varilla d e lo ng itu d u ni ta ria esta a is la d a e n x = 0 yse mantiene a tem pe ra tu r a d e c e ro e n x = 1 . S i la tem -p e ra tu ra in ic ia l d e la v a r il la e s u n a c o n s ta n te uo , r e s u e l -v a ku; = u., 0 < X < I, f > 0 [p ara la tem p era tu ra u(x,I). [Sugerencia: E xp an d a 1 /(1 + e-2\/'/k) en u n a s e r ie

, g e o r n e tr ic a . ]24., U na lo s a p o ro s a in fin ita d e an cho u n i ta r io esta s um e r g i d a

en u na so lu c i6 n c u y a c o n ce n tra c i6 n co ns ta n te e s' C o . U n asu s t a n c i a di sue l t a e n la so lu c i6 n s e d ifu n d e e n la lo s a . L acon c en t r a c i 6 n c(x, t) en la lo sa e sta d ete rm in ad a m ed ia nte

a 2e a eD=- O 0e ( x ,O ) =0, O c x c L,

25.d o n d e D es u n a c o n s ta n te . E n cu en tre e l v a lo r d e e ( x , f) .U n a l in ea te le f6 nic a m uy la rg a s e e nc ue ntra in ic ia lm e n-te a u n p ote n cia l c o ns ta n te uo . S i la l in ea esta a t e r r i zadaen x = 0 y a is la d a e n su extreme d e re c ho , e n to n c e s e lp o t e n c i a l ui, t) e n un p u n t o x a 10 la rg o d e la lin e a ene l ti er np o f es t a de t e r r n i n a do med i a n t ea 2u a u

'- - RC - - RGu = 0a x 2 a t ' x> 0, t > 0u (O, t) = 0, a ul im - = 0,,--too a x

x > 0,t> 0

ui, 0) = Uo ,

26.

d o n d e R, C y G so n c o n s ta n te s c o n o c id a s c om o re s is -te nc ia , c ap ac ita I~ cia y c on du cta nc ia , re s p ec tiv a m en te .De sp e j e u C x , f) . [Sugerencia: Yea e l p ro b lem a 5 d e lo se je rc ic io s 1 3 .1 .]A p a r ti r d e f = 0, u n a c a rg a co nc en tra d a d e m ag n i tu d F os e m u ev e a v elo cid ad c on sta nte V o p O I' u na c a de na s em i in -f in ita . E n e s te c a so , la e c u a c io n d e o n d a s e c o n v ie r te e n

? a 2u a 2u ( x )- -? = -? + F o D t - - ,a x - a f - V od o n d e o(t - x /vo l e s la fu nc i6 n d el ta d e D ira c . Re su e lv ala e c u a c i6 n d if e re n c ia l p arc ia l s u je ta a

u (O, t) = 0, li m u ( x , f) = 0 , f > 0.rr-+co

u ( x , 0) = 0,a) c u a n d o "o ' * ab) c u a n d o V o = a .

27. Dem ue s tre q u e u n a so lu c i6 n d e l p ro b lem a d e v a lo re s e nl a f ro n t er a

,iu a u~ - hu =-, x > 0, t > 0 , h con s t a n t e(Ix- a tu (O , /) = uo , li m u(x , f) = 0, t > 0

X-)CX)

e su (x , 0) = 0 , x > 0

= ~ y ; I W Y f f e-"73 - ; 2 " /47 dr .u ( x , t) u2 7T 0 TTareas para ellabora torio de compute28. a) L a te m pe ra tu ra e n u n s6 lid o s e m iin fin ito esta mo d e -

la d a m ed ia n te e l p ro b lem a d e v a lo r e s e n la f ro n te raa 2u a uk-= -, x > 0, f > 0a x 2 a t

u (O, f) = uo , li m u(x, f) = 0 , f .> : 0u (x , 0) =0, x > O.

E nc u e n tr e e l v a lo r d e u(x, f) . U ti l ic e la s o lu ci6 n p ar ad e t e rm i n a r ana l f t i c a rnen t e e l v a lo r d e l il1 1HOO u(x, t),x> O .

b) U til ic e u n C AS p a ra g ra f ic a r u(x, /) e n u n a re g i6 n 're c ta n g u la r 0 :S X :S 10 ,0 :S r s: 1 5. S u p o n g a qu e 'U o = 1 00 Y k = I. I n d iq u e la s d o s c o n d ic io n e s d ef ro n te ra y la c o n d ic i6 n in ic ia l d e su g ra f ic a . U se la sg ra f ic a s 2D y 3D d e u C x , t) p a ra co rn p ro b a r s u re s -p ue s ta a l in cis o a).

29. a ) En e l p ro b lem a 28 , s i ex is te u n f lu jo co n s ta n te d ec alo r h ac ia e l s 6lid o e n s u f ro nte ra iz qu ie rd a, e nto nc esla cond ic ion d e f ro nte r a e s a u l = -A, A > 0, I> O .a x \~ oE nc u e n tr e e l v a lo r d e u(x, f) . U ti l ic e la s o lu ci6 n p ar ad e te rm in a r a n a l it ic am en te e l v a lo r d e i f l1 1Hcou(x,1 ), x> O .

b) U ti l ic e u n C A S p a ra g ra f ic a r ui, t) s o bre la re g i6 nre c ta n gu la r 0 :S X :S 1 0 , 0 ,:S t :S 1 5. S u p o n g a qu ei/o = 1 00 Y k = 1 . U se la s g r a f ic a s 2D y 3D d e L I ( X , 1 )p a ra co rn p ro b a r s u re sp u e s ta a l in c is o a).

30. L o s h um an o s c a p ta rn o s la m ayo r p a r te d e la i n f o r r n a -c i6 n qu e p o s e em os d e l m un d o e xte r io r m ed ia n te la v is tay e l o id o . S in em ba rg o , m uch a s c r ia tu r a s u ti liz a n s e i ia -le s q u im ic a s c om o fo rm a p r in c ip a l d e c om un ic a c i6 n ;p O I ' ejem p lo , la s a b e ja s , c u a n d o e xp er im en ta n u n e s ta d od e a la r rn a , em ite n c ie r ta s u s ta n c ia y ag ita n su s a la s p a r ap a s a r e l m e n s a je a la s a b e ja s q u e a t ie n d e n a la re in a .E s to s m en s a je s m o le cu la re s e n tre m iem b ro s d e u n am ism a e sp e c ie s e l l a rnan fe ro m on as . L as se f i a l e s p u e d e ntra nsp or ta rs e p O I' e l m o vim ien to d el a i re 0 d el a gu a, 0 p O I 'u n p ro c e so d e d ifu s i6 n e n e l q u e e l m ov im ie n to a le a to -r io d e m ole cu la s d e g a s t ra n sp o r ta e l q u im ic o le jo s d e sufu en te . L a f ig u ra 1 3 .5 m ue s tra a u n a ho rm ig a ernitiendou n a a la rr na q ufm ic a h a c ia e l a ir e q u ie to d e u n n in e l. S i

592, C APITU LO 13 M etodo de la transfo rm ada in tegral


11/32

c(x, t) expresa la concentraci6n del quimico a x centfrne-tros de la fuente en el tiempo t, entonces c(x, t) satisface

a 2c a ck -? = -, x > 0, t > 0;a x - a t .

b) Uti lice un CAS para graficar la solucion del incisoa ) para x > 0 en los tiempos t = 0.1, t ,i= 0.5, t = 1,t =2, t =5. ' I : '!:

y I < es una con stante positiva. La emisi6n de ferorno-nas como pulsos discretos da origen a una condici6n defrontera de la forma

c) Para un determinado tiernpo t, 'de:muestre queI:c (x,t) d x = A k . Por 10 tanto, A I < representa lacan tid ad total de descarga quf rn i c a .

oa u I -A8(t),a x X~ O

don de o(t) es la funci6n delta de Dirac.a) Resuelva el problema de valores en la frontera si

adernas se sabe que c(x, 0) =0, x > 0 y lfmr-->oo (x, t)= 0, t> O .

F ig u ra 1 3 .5 ' H o rm ig as d e l p ro b lem a 3 0

I 13.3 In teg ra L de Fou rier ) In troducc i6n En los capitulos anteriores, la serie de Fourier se utiliz6 para re-presentar una funci6n f definida en un intervalo finito (~p, p) 0 (0, L). Cuando f yl'son continuas en dicho intervalo finito, una serie de Fourier representa la funci6n enel intervalo y 'converge hacia la extensi6n peri6dica de f fuera del intervalo. De estamanera, .estarnos justificados de afirmar que las series de Fourier solamente se asociancon funciones periodicas. Ahora procederemos a deducir, aunque no rigurosamente, unaforma para representar ciertos tipos de funciones no periodicas que esten definidas en unintervalo infinito (-00, (0) 0 semiinfinito (0, (0) .

II

De L a s e rie d e F ou rie r a L a in teg raL de F ou rie r Suponga que una funci6n f estadefinida en (-p, p). Si utilizarnos las definiciones integrales de los coeficientes (9), (10)y (11) de la secci6n 10.2 en la expresi6n (8) de esa seccion, entonces la serie de Fourierdefen el intervalo es

I I I ' I co [( I I ' 1 1 7 T ) 1 1 7 T ; ( I " n 7 T ) 1 1 7 T ]f(x) = - f(t) dt + - ~ f(t) co s-telt co s-x + f(t) sen ++t dt sen-x.2p p I/~I P P P P= -rp -I' (1)Si establecemos 0'1/ = = 1 1 . 7 T l p , Cl.O'= 0'1/+ I - 0'1/ = 7 T l p , entonces (I) se convierte en

, i:

Ahora varnos a expandir el intervalo ( - p, p) haciendo que p -7 00. Como p -7 00 implicaque Cl.O'~ 0, ellfmite (2) tiene la forma Ifm",,,-->o ~oo F(O'I/)Cl.O', la cual sugiere la de-, 11=1finici6n de la integral J~ F(O') da. POI' 10 tanto, si JOO_co f( t) d t existe, el limite del primertermino incluido en (2) es cero y el lfrnite de la suma se convierte en

f(x) =~ f < X l [ ( I < X l f( t) C O SO 'td t)C O SO 'X + ( I OO f(t) senO'telt)senO'x] da. (3)o -00 -co

EI resultado que se proporciona en (3) se llama integral de Fourier defen (-00, (0).Tal como seiiala el resumen siguiente, la estructura basica de la integral de Fourier nosrecuerda la forma de una serie de Fourier.

1 3 .3 In te g ra l d e F o u r ie r 593


12/32

y

2--1----1----\--- r

Figura 1 3 .6 F u n c i6 n d e l e jem plo1 d ef in id a p a ra (-00, (0)

594

DEFIN IC ION 13 .1. - In teg ra l d e F ou rie rLa integral de Fourier de una funci6nf c1efinida en el intervalo (-00, (0) esta dadapar

1 f o of(x) = 7T [A(a) cos ax + B(a) sen ax] da,o

don de A(a) = J o o f(x)cosax dx-00

J60B(a) = f(x) sen ax dx.-00

Converg en cia d e la in teg ra l d e Fourie r Las condiciones suficientes en las que laintegral de Fourier converge hacia f(x) son simi lares a, pero ligeramente mas estrictasque, las condiciones de Ia serie de Fourier.

T E O R E M A 13.1 C on dic ion es pa ra la co nvergen ciaSeanfy f' continuas en cada intervalo finito, y seafabsolutamente integrable en(-00, (0). * Entonces la integral de Fourier de f en el intervalo converge haciaf(x)en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la integral de Fourierconvergera hacia el promedio

f(x-t-) + f(x-)2

donde f(x+) y f(x- ) expresan el limite de f en x desde la derecha y desde la izquier-da, respectivamente.

E jemp lo 1 Rep re sen tac i6 n d e la in teg ra l d e F ou rie rEncuentre la representaci6n de la integral de Fourier de la funci6n

{O ,

f(x) = 1,. 0,

x


13/32

Por sustituci6n de estos coeficientes en (4) obtenemosf(x) =~rl(e: 20' )cos ax + (l - ~os 20' )sen ax J da .

oCuando hacemos usa de identidades trigonornetricas, la ultima integral se simplifica a2 1 00 sen 0' cos a(x - I)f(x) = 1T 0' da. (7)

o oLa integral de Fourier p u e d e utilizarse para ev a l u a r integrales. POI'ejemplo, en x =I,se deduce a partir del teorerna 13.1 que (7) converge haciaj'(I); esto es,

J o o sena 1T--dO=-.o 0' 2Vale la pen a destacar este ultimo resultado ya que no puede obtenerse de la r n a n e r a"usual"; el integrando (sen x)/x no tiene una antiderivada que sea funci6n elemental. In te gra te s seno y coseno Cuando f es una funci6n par en el intervalo (-00, (0),entonces .e l producto lex) cos ax 10 es tam bie n , m ien tra s q u e f (x) sen ax es una funci6nimpar. Como una consecuencia de la propiedad g) de la secci6n 10.3, B(a) = 0, pOI' 10que (4) se convierte en

. f ( x ) =~ f O ( f X ) f(t) cos 0' 1 dt)C O S ax da.o 0

Aquf tambien se ha utilizado la propiedadf) de la secci6n 10.3 para escribirII

J o o f(t)co sa t d t =2 1 00 f ( t)cosat dt.-00 0

De mauera similar, cuandofes una funci6n i r npa r en (-00,00), los productosf(x) cos axy f(x) sen ax SOil funciones impares y pares, respectivamente. Por 10 tanto, A(a) = 0 y

f (x) =~ J o o ( J o o f(t) sen M dt )senm: da.o 0

P re sen tam os u n resumen de 10 anterior en la definici6n siguiente.

DE FIN IC ION 13 .2

2 1 00f(x) =1T A(a) cos ax da,o

( 8 )

In teg ra le s sen e y c o sen o d e F ou r ie ri) La integral de Fourier de una funci6n par en el intervalo (-00, (0) es Laintegralcoseno

donde A ( 0 ' ) = 1 o o f ( X ) cos ax dx.o

(9)

ii) La integral de Fourier de una funci6n impar en el intervalo (-00, (0) es La inte-gral seno

. 2 1 00f(x) = - B(a) sen ax da ,. 1T o (10)donde B(a) J

oo .f(x) sen ox dx .

o(11)

1 3 .3 In teg ra l d e F o u rie r 595


14/32

y

III, III---!--f-----,-+---- x-a aF i g u ra 1 3.7 F un ci6 n d el e je m plo2 d efin id a e n e l in te rva le (-00, (0)

yI

F i g u ra 1 3.8 F un ci6 n d el e je m plo3 d e fin ida en (0, (0)

y

,/. . . . . ",----""'"

a) Integral cosenoy

b) Integral senoF i g u ra 1 3.9 0 ) e s la exten s i6 n p ard e f; b) es la exte n s i6 n im par de f

596

E j e m p l o 2 Repre sen tac io n m ed ian te la in teg ra l co senoEncuentre la representaci6n integral de Fourier de la funci6n

f(x) =g : Ix ] < aIx ] > a .So lu c io n A partir de la figura 13 .7 resulta evidente quefes una funci6n par. De a qu f querepresentamos f mediante la integral coseno de Fourier (8). A partir de (9) obtenemos

A ( O ' ) = f O O f(x) cos ax dx = r f(x) cos O '~ dx + r o o f(x) cos ax dxo 0 aJ a sen ao := cos ax dx = --0'-,o.() 2 J 00 sen 0.0'cos axt x = - c / O ' .. 7T 0'o

Las integrales (8) y (10) pueden utilizarse cuandofno es impar ni par y definirse unicamente ala mitad de la Iinea (0, (0). En este caso, (8) representa af en el intervalo (0,(0) y a su extension par (pero no peri6dica) hacia (-00, 0), mientras que (l0) representaaf en (0, (0) y a su extensi6n impar hac!a el intervalo (-00, 0).

par 1 0 que (12)0

E j e m p l o 3 Rep re sen tac ion e s m ed ian te las in teg ra les sen e y cos enoRepresentarf(x) = e-X, x >'0 a) mediante la integral coseno; b) mediante la integralseno.So l u c i o n La grafica de la funci6n se proporciona en la figura 13 .8 .a) Usamos la integraci6n par partes y encontramos que

J OO 'IA ( O ' ) = e-xcos ax dx = ---?I+ a-. 0Por 1 0 tanto, la integral coseno de f es_ ~ J o o cos axf(x) - ? da.

7T 0 I + 0'- (13)b) De manera similar, tenemos

Joo. 0'B ( O ' ) = e-xsenax dx = ---?o 1 + 0'-

La integral seno de f es entonces2 J 00 0'sen ax,f(x) =- ' 2 da.7Tb 1+0'

( 14)

La figura 13.9 muestra las graficas de las funciones y sus extensiones representadas me-diante las dos integrales. 0

Form a com pleja La integral de Fourier (4) tambien tiene una formulacion COI11-pleja equivalente 0 formulacion exponencial, esto es analogo a Ja forrnulacion comple-ja de una serie de Fourier (consuJte la secci6n J 004) . Cuando (5) y (6) son sustituidas en(4), entonces

1 [ " " f " "(x) =;. f(t)[ cos at cos ax + sen at sen ax] dt da'0 -00

C APITU LO 13 M etoda de la transfo rm ada in tegra l


15/32

I ( C O f C O=;. J f(t) cos C i(t - x) dt dao -co

1 f c o f c o= 27 T f(t) cos C i(t - ~t)t da-00 -00I f c o f c o= 27T _~ _~ f(t)[ cos C i(t - x) + isen C i(l - x) J dt do

I f c o f c o .= 27 T f(t)e'C l(I-x ) dt da-00 -coI f C O ( f C O =r27T ' f(t) e'a/dt e-1 CixdC i.-00 -00

(15)

(16)

(17)Podemos observar que (15) deriva del hecho de que el integrando es una funcion par deC i. En (16),' simplemente hemos sumado un cero al integrando,

i f co fX lf(t)SenC i(t - x)dtdC i = 0,-00 -00

ya que el integrando es una funcion impar de C i. La integral (17) puede expresarse como1 f c o . 'f(x) = 27 T C(Ci)e-I 0 en (13) puede escribirse como f(x) = Ifmb-->ooFb(x), donde2 I b cos C iX 'Fb(X) =- -'--? da,

7T 0 I+ C i-Y a x se Ietrata como un parametro. De modo similar, la representacion de la integral senode Fourier def(x) =e-X, x > 0 en (14) puede escribirse como f(x) = l imb-->ooG,,(x), donde

2 I " C i sen C iXG,,(x) =- ? da.7T 0 I+ C i-Debido a que las integrales de Fourier (13) y (14) convergen, las graficas de las integra-les parciales Fb(x) y ObeX) para un valor especffico de b > 0 seran una aproximacion dela grafica defy sus extensiones pares e impares ilustradas en las figuras 13.9a) y b), res-pectivamente. Las graficas de Fb(x) y Gb(x) para b =20 dad as en In figura 13.10 se obtu-vieron mediante el uso de Mathematica y su aplicacion Hamada NIntegrate. Con suite elproblema 21 de los ejercicios 13.3.

'y1.51

0.5a x

-0.5-I-3 -2 -I ,0 2

a) G20 (x) !y1.5

10.5

a x-0.5-I-3 -2 -I 0 2 ' 3

IJ ) [:20(.\')

Figura 13.10 G ra f ic as d e la si nt eg ra le s p a rc ia le s

-,E JE RC le lO S 1 3.3 Las respuestas a los prob lem as im pares se lecdonados com ienzan en la pagina, ~E SP -2 9., ,r X 27 Tr x< o3. f(x) = x, 0


16/32

2x 0 6. f(x) = {ex,0, I x l < 1I x l > 1

[Sugerencia: 0'e s u n a v a r ia b le d e p ru eb a e n la in te -g r a c i o n . ] , J o o s e n kxb ) De rn ue stre q ue , e n g en era l, p ara k > 0, -- dxxw 0

{O , ,

4. f(x) = s e n x ,0,, { O ,5. f(x) = _\e .,

x -n

E n lo s p ro blem a s d el . 7 a 1 12 , u t il ic e la in te g ra l s e n o 0 la c os en oad e c u a d a p a ra r e p re s e n ta r la fu n c io n q u e s e p ro p o rc io n a . '

2 0 . U ti l ic e la fo rm a c om p le ja (1 5) p a r a c a lc u la r la re p r e s e n -ta c io n d e la in te g ra l d e F ou rie r def(x) =e-ix i . Demu e s t r eq u e e l r e s u lta d o e s e l m ism o o b te n ic lo e n (8 ) .

9. f(x) = {~~' 10. f(x) = {~:

Tareas para ellaboratorio de compute21 . M ie n tra s q u e la in te g ra l (1 2 ) p u d o g ra f ic a rs e d e ig u a l

m an e ra a c om o se e s tu d io e n la p ag in a 597 p a r a o b te n e rla f ig u r a 1 3 .1 0, e s ta p ue c le e xp re s a r s e ta rn bie n e n te rm i-n o s d e u n a fu n c io n e sp e c ia l q u e e s p a r te d e u n C AS .a) U til ic e u na id en tid ad tr ig on orn et r ic a p ara d em o stra r

q u e u n a fo rm a a lte rn a d e la re p re s e n ta c io n d e la in -te g ra l d e F o u r ie r (1 2 ) d e la fu n c io n j ' d e l e jem plo 2( con a =I ) e s. j J o o s e n O'(x + 1 ) - s e nO '(x - I)f(x) =- d e c .. W 0'ob) C om o u n a c o n s e cu en c ia c le la p a r te a),f(x) =1 1 m ,don c l e b->oo

r ' x O .J OO s e n 2x -tt19. a) U ti lic e (7) p a r a d em o s tra r q u e --- dx = = - .o x 2

II 13.4 T ra nsfo rm ada s de Fou rier ) In tro du cc io n H a s ta e l m em en to , s o lo b em os e s tu c l ia d o y u ti liz a d o u n a tra n s f e r -m ad a in te g r a l : la t ra n s fo rm ad a d e L ap la c e . S in em ba rg o , e n la s e c t io n 1 3 .3 e s tu d iam o sq u e la in te g ra l d e F ou r ie r te n ia t re s fo rm as a lte rn a s : la in te g ra l c o s e n o , la in te g ra l s e n o ,y la fo rm a co mp le ja 0 I~ e xp on e n c ia l . E n e s ta s e c c io n co ns id e ra rem o s e s ta s t re s fo rm asd e la in te g ra l d e F o u r ie r y la s d e s a r ro lla rem o s en tre s n u ev a s t ra n s fo rm ad a s in te g r a le sl lam ad a s t ra n s fo rm ad a s d e F o u r ie r . A d em as , am pl ia rem os e l c o n c e p to d e u n p a r d et ra n s fo rm ac io n , e s to e s , u n a tra n s fo rm ad a in te g ra l y su in v e rs a . A sim ism o , s e p o d ra v e rq u e la in v e rs a d e u n a tra n s fo n n a d a in te g r a l e s , e n sf m ism a , o tr a tr a n sfo rm a da in te gra l. P a r e s d e tr a n s fo rm ac io n L a tra n s fo rm ad a c le L ap la c e F(s) d e u na fu nc io nj '(r ) e s tad e f in id a m ed ia n te u n a in te g r a l ; s in em ba rg o , b a s ta e l m em en to , h em os e s ta c lo u s a n d ola r e p re se n ta cio n s im b olic a j '(r ) = ~-I {F(s)} p a ra exp re s a r la tra n s fo rm ad a in v e rs a d e

598 C APITU LO 13 M etodo de la transfo rm ada in tegra l


17/32

aplace de F(s). En realidad, la transformada inversa de Laplace t a r nb i en es una trans-integral. Si

~{J(t)} = Jooe-Sj"(t)dt = F(s),o

ntonces, la transfonnada inversa de Laplace esI f Y+io o~-l{F(s)} = -. e"F (s) ds = j(t).2m .Y-IOO

a ultima integral se llama integral de contorno; su evaluaci6n requiere eluso de varia-es complejas y su analisis queda mas alia del alcance del -presente estudio, EI tema a

aquf es: las transformadas integrales aparecen como pares de transformacion, Siransformamosj(x) en F(a) mediante la transformada integral

F(a) = r - s i, x) dx,a

ntonces 13'funci6njpuede recuperarse mediante otra transformada integral

f"(x ) = F (a) H (a, x) da,c

amada transformada inversa. Las funciones K y H presentes en el integrando de (3)(4) se llaman micleos de sus respectivas transformadas. Identificamos a K(s, t) =e"omo el micleo de la transformada de Laplace, y a H(s, t) =e'' '/27Ti como el micleo de laransformada inversa de Laplace .

Pares de t r an s fo r rnac ion d e F ou rie r La integral de Fourier es la fuente de tresuevas transformadas integrales. Las ecuaciones (8) y (9), (10) y (11), Y (18) y (19) dea secci6n anterior nos impulsan a definir los siguientes pares de transformacion de

DEFIN IC ION 13.3 P are s d e tran sfo rm aci6n de Fou rie r

( 1)

(2)

(3)

( 4 )"II: '

I'I

i) Transformadas de Fourier: ~{J(x)} = f X J j(x)eicu dx = F(a) (5)-co

Transforrnada inversa 1 f o o .~-l{F(a)} = 2 7 T F(a)e-mx cia = j(x) (6)de Fourier: -00

ii) Transformada seno ~s{F(x)} =" " j(x) sen ax dx ,= F ( a ) (7)de Fourier: 0

2 J o oTransformada seno ~~l{F(a)} = 7 T F(a) sen ax da =j(x) ( 8 )inversa de Fourier: 0 : .!, .

iii) Trausformada coseno ~c{F(x)} = f O X > j(x)co sa.'( dx = F(a) (9)de Fourier: 0

2 f o oTransformada coseno . ~;l{F(a)} = 7 T F(a) cos ax da = j(x) (1 0 )inversa de Fourier: 0

13 .4 T rans fo rm adas de Fou rie r 599


18/32

Ex is ten cia Las condiciones en las cuales (5), (7) Y(9) existen son mas estrictas que lasde la transformada de Laplace. POl' ejemplo, ellector debe comprobar q~le ~{l}, ~s { I} Y~ c { I} no existan. Las condiciones suficientes para que existan son que f sea absoluta_mente integrable en el intervalo apropiado y que f y f' sean continuas en cada intervalofinito. P rop ied a d e s d e opera ci6n Puesto que el objetivo inmediato es aplicar estas nue-vas transformadas a problemas de valo res en la frontera, necesitamos examinar las trans-formadas de derivadas.I ransformada d e F ou rie rSuponga que f es continua y absolutamente integrable en el intervalo (-00, (0) y quef' es continua en cad a intervalo finito. Sif(x) --7 0 a medida que x --7 ::'::00,entonces laintegraci6n por partes nos da

~{ff(X)}= f o o f '(x)eiaxdx-00

= f(x)eiaxl~o o - ia L : f(x)e,a \ dx= +a f o o f(x)eiCfX dx ;

-00

esto es, ~{ff(X)} =-io:F(o:). (ll)De manera similar, bajo los supuestos adicionales de que f' es 'continua en (-00, 00),f"(x) es continua en cad a intervalo finito, y f' (x ) --7 0 conforme x --7 ::'::00, tenemos

~{fff(X)} = (-io :f ~{ f(x)} = -0:2F(0:). (12)Es muy importante estar conscientes de que las transforrnadas senD y coseno no sonapropiadas para transfonnar la primera derivada (0, para el caso, cualquier derivada deorden impary. Se puede dernostrar facilmente que

~s{f f (X)} = -O:~c{f(x)} Y ~c{f'(x)} = a~\{ f(x)} - f(O ).La dificultad es evidente; h i transformada de f' (x) no esta expresada en terrninos de latransformada integral original.Ir ansfo rm a da se no d e F ou rie rSuponga quefy f' son continuas, quef es absolutamente integrable en el intervalo [0, 00),y que f" es continua en todos los intervalos finitos. Si f --7 0 y f' --7 0 conforrne x --7 00,entonces

esto es,

~s{fff(X)} = 1 ' ' ' ' ' f"(x)seno:x dxo

='(x) sen ax 100 _0:(00 f ' (x )cosaxdxo . J o= -a[ f(x) cos ax I ~+ a1 00f(x) sen ax ".= af(O) - 0:2~s{f(x)};

97's{f"(x)} =-a 2F(a) + af(O). (J 3)Trans f o rmada co sen o d e F ourierBajo los mismos supuestos que nos llevaron a (9) encontramos que la transformada co-seno de Fourier de f"(x) es

(14)

600 C AP IT UL O 13 M etodo de la tran sfo rm ad a in teg ra l


19/32

Una pregunta natural es: "~Como sabemos cual transforrnada utilizar en un determi-nado problema de valores en la frontera?" Resulta evidente que, para usar una transfor-mada de Fourier, el dominio de la variable a eliminar debe ser (-00, (0). Para utilizar latransformada seno ola coseno, el dominio de al menos una de las variables del problemadebe ser [0, co), Sin embargo, el factor determinante al optar por la transformada seno 0la coseno es el tipo de condicion de frontera especificada en el cero.

En los ejemplos dados a continuacion, supondremos, sin mayor comentario, que tanto ucomo au/ax (0 au/ay) se aproximan a cero a medida que x ~ 00. Esto no es una restric-cion significativa ya que estas condiciones son validas en la mayorfa de las aplicaciones.

E j e m p l o 1 U so de la transform ada de Fou rie ra 2u a uResuelva la ecuacion de calor k -2 = -:-, -00 < X< 00, t> 0, sujeta aa x a t

u(x, 0) =f(x), donde f(x) ={uo ,0,I x l < II x l > 1 .

Soluci6n EI problema puede interpretarse como el calculo de la temperatura u(x, t) enuna varilla infinita. Como el dominio de x es el intervalo infinite (-00, (0) utilizamos latransformada de Fourier (5 ) y definimos

~{u(x, t) } = f ' " u(x, t)e ia x dx = U(a,,t).-00Transformar la ecuacion diferencial parcial y utilizar (12)2 dU=ka U(O ', t) = - 0d t

dU ?- + kO' -U(O' , t) = O .dtnos daResolvemos la ultima ecuacion para obtener U(O' , t) =ce =". Ahora la transformada dela condicion inicial es

~{u(x, O )} = J o o f(x)eia , dx = r uo eia x dx = uo eiC i ~ae-iCi-00 -I, ~nQEste resultado es 10 mismo que U(O' , 0) = 2 uo - -. Aplicando esta condicion a la solu-0' 'cion U(O' , t) nos da U(O' , 0) =c =2uo sen 0')/0' , por 10 que

sena ,U(a , t ) = 2uo - - e-kcn.aA partir de la integral de inversion (6) es posible deducir que

U o I o o sen o .! .u(x, t ) =- -- e-kal e'"?" da.7r a-00 '

La ultima expresion puede simplificarse de alguna manera mediante la formula de Euler. I o o sen o ,e '?" = cos O 'X - isen O 'X y observando que -a-e-k[.-! sen O 'X d a = 0 puesto que-00

el integrando es una funcion impar de 0'. Asf, por ultimo, tenemos(. ) _ Uo I o o sen a cos ax -ka'lU X, t - e da.7r a-00 (IS) 0

Se deja allector la dernostracion de que la solucion (IS) puede expresarse en terrni-'nos de la funcion de error. Consulte el problema 23 de los ejercicios 13.4.

1 3.4 T ra ns fo rm a da s d e F ou rie r

,:LC6mo s a bemo . sl :q u e

tr an sf orm a da ~ tl1 ~z ar?

, i

1 '

, ,


20/32

Vex, 0') = CI cosh ax + C2 senh ax. (16)

E j e m p l o 2 U so de la transfo rm ada co senoLa temperatura constante de una placa semiinfinita esta determinada por

a 2u 'a 2u-2 + -? =0,a x a yu(O, y ) =0,

0< x < 7T, y > 0U(7T, y) = r, y > 0

a u I = 0,a y y~OEncuentre el valor de u(x, y) .

0< x < 7T.

So luc idn EI dominio de la variable y la condici6n prescrita en y =0 indican que s epuede aplicar la transformada coseno de Fourier al problema. Definimos,

9 F e{u(x, y ) } = f ) O u (x, y) cos O'y e l y = V(x,O').o

{ a 2u } , { a 2u }9 F e -2 + 9 F e - = - - - 2 =9 F e {O }a x a yEn vista de (14),se convierte en

d2V-? - 0'2V(X, 0') - ur(x, 0) =0 0dx- .

c P u ?-? - cc'U =O .dx-Puesto que el dominio de x es un intervalo finito, optamos por escribir la soluci6n de laecuaci6n diferencial ordinaria como

Ahora, 9 F c ! u ( O , y) } =9 F c { O } Y 9 F c (u ( 7T, y) } =9 F c {e -Y } son, a la vez, equiva l en t e s aV (O , 0') =0 y IV(7T, 0') = ---?I+ 0'-

Cuando aplicamos estas iiltimas condiciones, la soluci6n (16) nos da C1 = 0 y C2 =1/[(1 + 0'2) senh O'7TJ. Por 10 tanto,senh axU( x , 0') = (1 + 0'2) senh 0'7T '

de modo que, a partir de (10), llegamos al siguiente resultado:, 2 J o o senharu(x, y ) =- (') cos 0')' da.7T 0 I + 0'- senh 0'7T .

Si en el ejernplo 2 se hubiera dado ui x, 0) en lugar de u/x, 0), entonces la transforrna-da seno hubiera resultado mas apropiada.

(17) 0

E JE RC IC IO S 1 3.4 Las respuestas a los prob lem as im pares seleccionados com ienzan en la pag ina RESP - 30 .- "'. -~ _ . .,. - ~ ~ - - ~~.~"" ,En los problemas dell al 21, utilice las transformadas integra-les de Fourier de esta secci6n para resolver el problema de va-lores en la frontera que se plantea. Forrnule supuestos respectoa los acotamientos donde sea necesario.

a 2u a u '1 . k - = - - - 2 =-, -00 < x < 00, t > 0a X a tuix, 0) = e-1 x l , -00 < x < 00

a 2u a u2. k - = -, -00 < x < 00, t > 0a x 2 a t

{

0,-100, ,u(x 0) =, 100,

0,

x


21/32

3. Determine la temperatura u(x , t) en una varilla semiinfi-nita si u(O , t) = Uo, t> 0 Y Lt(x , 0) = 0, x > O.

f c o sen ax 7T4. Con el resultado --0- da = 2 ' x > ' 0, demuestre, 0que la soluci6n del problema 3 puede escribirse como

_ 2uo f c o sen ax - k a ' iu(x , t ) - Uo - - --e c ia .7T ao

5. Determine la temperatura u(x , t) en una varilla semiinfi-nita si u(O , t) =0, t> 0, y

. {I,' 0< x < Iu(x , 0 ) = 0, x> 1 .6. Resuei'va el problema 3 si en la Frontera izquierda la

condici6n es a U I -A,t>O.a x FO7. Resuelva el problema 5 si el extrema x = 0 e s t a aislado.8. Determine la temperatura u(x, t) de una varilla semiinfi-

nita si u(O, t) = l,t> 0 y u(x , 0) = e-x, x > O.? a 2u a u9. a) a: -? = -, -00 < x < 00, t > 0a x - a t

, a u I .u(x, 0) = f(x), - = g(x ) , -00 < x < 00a t I~ Ob) Si g(x ) = 0, demuestre que la soluci6n del inciso

a) puede escribirse como u(x, t) =~f(x + at ) +fC x - at)].

10. Calcule el desplazamiento u(x, t) de una cadena semiin-finita si

u(O , t) = 0, t> 0u(x, 0) = xe-X, a u I =0, x> O .a t I~ O

1 1 . Resuelva el problema del ejemplo 2 si se invirtieran lascondiciones de Frontera en x = 0 y x = 7T:

u(O, y) = e> , U ( 7 T , y ) = 0 , y > O .12. Resuel va el problema del ejemplo 2 si la condici6n de

Frontera en y = 0 es u(x, 0) = I, 0 < x < 7T.13. Determine la temperatura de estado estable u(x, y) de

una placa definida por x 2: 0, Y 2: 0 si la Frontera x =0esta aislada y, en )i=0,

( ) {50,. 0 < x < IU x, 0 = 0, x> I.14. Resuelva el problema 13 si la condici6n de Frontera en

x = o es u(O , y ) = 0, y > O. 'a 2u a 2u15. -::--; + -? = 0, X > 0, 0 < Y < 2cJr . ay -u(O, y) =0, 0 < y < 2u(x, 0) =f(x) , u(x, 2) =0, x> 0

a 2u a 2u16. -::--;+ -? = 0,0 < Y < 7T, y > 0cJr ay -u ( O , y ) = f ( y ) , : : I X ~ 1 T = 0, Y > 0a u I = 0, 0 < x < 7Tay y~ O

Ell los problemas 17 y 18, determine la temperatura de estadoestable u(x , y ) de la placa mostrada en la Figura. [Sugerencia:Una forma de pro ceder es expresar los problemas F y 18 comodos 0 tres problemas' de valores en la frontera, respectivamente.Utilice el principio de superposici6n (consultela s e c c i o n 1i.5).]

, "

17. y

1I = e-Y

u = e-XF i gu r a 1 3.1 1 P la ca d el p ro blem a 1 718.

u = o"."

III= Ioo/'''{oL.,..--r~..;Ln--X

II=/(x)F i gu r a 1 3.1 2 P la ca d el p ro blem a 1 819. Uti lice el resultado ~{e -x'/4P'} = 2v:;;.pe ~ ; " a : ' para re-

solver el problema de val ores en la Frontera!'a 2u a uk -? =-, -00 < x < 00, t>0a x - a t .

u(x, 0) = e-x', -00 < x < 00.20. Si ~(f(x)} = F (ex) y ~{g(x) } = G(ex) , entcnces el teo-

rema de convoluci6n para la transformada de Fourieresta dado por ,

f c o f ( T ) g (X - T ) dt = ~-I{F(a)G(a)} .-co

Utilice este resultado y la transformada ~{e-\2/4P'} delproblema 1 9 para demostrar que una s o l u c i o n del pro- .blerna de val ores en la Frontera !: '

a 2u a uk -2=-, -00 < x < 00, t > 0a x a t ' '"u(x, 0) =(x), -00


22/32

21. Utilice la transformada ~{ e -x'/4P'} del problema 19 paraencontrar la temperatura de estado estable u(x, y )' en latira infinita que se muestra en la figura 13.13.

23. Utiliceel problema20,el cambiode variables v =(x - T)/2Yki, y el problema 9 de los ejercicios 13.1, para demos-trar que la solucion del ejemplo 1puede expresarse como

y 10 [ ( x + I ) ( x - I ) JI (x , t) =2 erf ,~ - erf ,~ .2 ~kt 2~ktTareas para ellaboratorio de compute24 . Suponga que 1 0 = 100 Y k = 1 en I a s ol uc io n del proble-

ma 23. Utilice un CAS para graficar u(x, t) en la r e g i onrectangular -4 "S x "S 4, 0 "S t "S '6 . Use una grafica 2Dy sobreponga las graficas de u(x, t) para t =0.05,0.125,0.5., 1,2,4,6, Y I S en el intervalo -4 "S x "S 4. Empleelas graficas para formular un juicio acerca de los valoresde IfmHoo u(x, t) y 1[111,-400(x, t). Luego demuestre ana-Ifticamente estos resultados utilizando las propiedadesde erf(x).

a i s l adoF ig u ra 1 3 .1 3 P la c a d e l p ro b lem a 21

22. La solucion del problema J 4 puede integrarse. Utilicelos enunciados 42 y 43 de la tabla del apendice III parademostrar que

100 [ x I 'x + I I x - I J=- arctan - - - arctan -- - - arctan -- .7T Y 2 y 2 yu ( X , y )

I 13.5 Transformada r a p i d a de Fou rierf(IIT)~,

I II II II II II II II I

In tro du c c io n Considere una funcionj" que este definida y sea continua en el intervalo[0 , 2p]. Si Xo, XI, X2, ... , x " ' '... son puntos uniformemente espaciados en elintervalo,entonces se diceque los valores funcionales correspondientesJoJ".li, ... , i;...mos t r a -dos en la figura 13.14 representan u n muestreo di sc re t o de l a f u nc io n j" La noc i on de lasmuestras discretas de una funcion es importante en el analisis de seiiales continuas.

En esta seccion, la forma compleja 0 exponencial de la serie de Fourier juega un papelmuy importante. Se recomienda efectuar un repaso de la seccion lOA.

F ig u ra 1 3 .1 4 M ues treo d e u n af un c i6 n c on tin u a

T ra n s fo rm ad a d is c re ta d e F o u r ie r Considere una funcion j'definida en el intervalo[0, 2p]. En la seccion lOA, a partir de la expresion (11), estudiarnos que J puede escribir-se como una serie cornpleja de Fourier,

00J(x) =Lc.e'?" donde1/= -00

I 1 2 1 ' .c" =- J(x)e- lllWX dx,2p 0 (I)donde w =27T/2p = -trlp es la frecuencia angular fundamental y 2p es el periodo funda-mental. Sin embargo, en el caso discreto, la entrada es j(), II' .Ii, .. ;, que son los valoresde la funcionj en puntos uniformemente espaciados x = n'T, n = 0, 1,2, .... E I numeroT se llama velocidad de muestreo 0 longitud del intervalo de muestreo. * SiI es continuaen T, entonces la muestra de I en Testa definida como el producto I(x)8(x - T), donde8(x - T) es la funcion delta de Dirac (vea la seccion 4.5). Podemos entonces representaresta version discreta de 1, 0 sefial discreta, como la suma de impulsos unitarios que ac-tuansobre la funcion en x = n ' I ' :

00L J(x )o(x - nT ). (2)1/=-00

Si aplicamos la transformada de Fourier a la serial discreta (2), tenemosL : ,,~oo J(x ) 0 (x - nnei"x dx . (3)" 'O bse rv e q u e e l s fm bo lo T u t il iz a d o a q u f n o tie n e e l m ism o s ig n i f ic a d o q u e e n la s e c c i6 n 1 0.4 .

604 C APITU LO 13 M etoda de la transfo rm ada in tegra l


23/32

M ed ia n te la p ro p ie d a d d e a n a l is is d e la fu n c io n d e l ta d e D ira c (y e a lo s Comentarios in -c lu id o s a l f in a l d e la seccion 4.5), (3) e s 1 0 mismo q u e

coF(a) =L f(nT)ei cOIT ( 4 )

1/= -00

L a expresion F(a) e n (4) s e l la m a transformada discreta de Fourier (DF T ) d e la fu n -c io n f E n (4), a rnenudo escribimos l o s c o e fi c ie n te s f (nT) c o m o fen) 0I;Tambien va l ela p en a observar q u e d e b id o a qu e eiax e s periodica e n a y eiaT = ei(aT+27f) = ei(cr+27rlT)T,s o l amen t e es n e c e sa r io c o ns id era r la funcion pa r a a e n [0, 21TITJ. S e a N = 21TIT. Es t oc o lo c a a x e n e l intervalo [0, 21T]. P o r 1 0 ta n to , d eb id o a qu e m ue s tre am os so b re u n perio-d o , la sum a en (4) e s r e alm e nte f in ita .

A ho ra c o ns id e re lo s 'v a lo r e s fu nc io n ale s f(x) e n p u nto s N u nifo rm e m en te e sp ac ia do s,x =nT, n =0, 1 ,2 , ... , N - 1 , e n e l in te rv alo [0 , 2 1T J, es to e S,.f i ) J I ,ji , ... , .tV -I ' U sa nd oe s t o s N te rr r i in os , la s e rie d is c re ta (f in ita ) d e F ou rie rf(x) = Loo C , / " ' X n o s d a

11=-00

fa = C o + cleil'O + C2ei2O + ... + cN_lei(N-I)'Ot, = C o + clei2rriN + c2ei4TfIN + ... + cN_lei2(N-I)7TINf: = C + C ei47fIN + C2eiS"/,v + ... + ,c,v_lei4(N-I)7rIN. 2 0 I

. 21T 21T 'S i e st ab le c em o s WII = e'h/ll = c o s - + is e n - y a p lic am o s la s le y e s d e lo s exponen-/1 . n .

te s , e s te s is tem a d e ecuaciones e s 1 0 m ism o qu efo = C o + C I + C 2 + ...I, = C o + CIWN + C2W~ +. I i = C o + C IW~ + C2Wt +

+ C,v - I+ N-ICN-IWN+ 2(N-I)CN-IWN (5)

A l u ti liz a r la n ota c io n m a tr ic ia l (y e a la s s e cc io ne s 7.J Y 7.2), e n t o n c e s (5) e sfo C oI, ? N-IWN w iv WN C If2

? 4 W2 (N-I)W iv W,v N C 2

fN-1 1 iV-I W~,v- I ) (N~ I) ' CN - IN WN

(6)

Dejem os qu e la matrizde N X N e n (6) qu e d e exp re sa d a m ed ia n te e l sfrnbolo F N' Dad a sla s e ntra da s fo ,f I ,.I i , ... ' , .t ;V -I , (.~ xis te u na fo rm a se n c i lia d e encontrar lo s c oe fic ie nte s d eF ou rie r C o ,C I, C2, ... , C N-I? S i F ,v e s la m a tr iz co ns t itu id a p ar lo s c om p le jo s c o n ju g ad o sd e lo s e lem en to s d e FN Y s i I exp r e s a la m atr iz id e n t id a d d e N X N, e nto nc es te ne m os

p a r 1 0 q u eA p a r ti r d e (6 ) y d e la u l t im a ec u a c io n e s p o s ib le d e d u c ir qu e

C o faC I 1 I,C 2 = -F,v f2N ,

C,v - I ,{;V-I

13 .5 T ransfo rm ada rap id a de Fou rie r 605


24/32

IF(a)13

2.5

0.5 1.5 2 2.5

2

1.5

F ig u ra 1 3 .1 5 G ra f ic a d e IF(a)1p a ra e l e jem plo 1

606

P a r d e tra n s fo rm ad a s d is c re ta s De la s e c c i o n 13.4, recuerde que en el par detransformadas de Fourier u t i l i z a r nos una funcion f(x) como entrada y calculamos loscoeficientes que proporcionan la amplitud para cada frecuencia k (Ck ' en el caso de fun-ciones periodicas con periodo 27T ), 0 calcularnos los coeficientes que proporcionnn laamplitud para cada frecuencia a ( F (e x ) en el caso de funciones no periodicas).

Asimismo, dadas estas frecuencias y estos coeficientes, podrfamos reconstruir la fun-cion original f(x). Para el caso discreto, usamos una muestra de N valores de la funcionf(x) como entrada y calculamos los coeficientes que proporcionan la amplitud para cadafrecuencia de la mue s t r a , Dadas estas frecuencias y estos coeficientes, es posible recons-truir los n valores muestreados def(x). EI par transformado, el par de la transformadadisereta de Fourier, esta dado par

1 -e = - Fyf y f = FiVe.N /Co f aCI I ,

donde e= C2 y f= j;

C N -I j~-I

( 7 )

Ejempl~ 1 Transform ada disc re ta de Fou rierEstablecemos N =4 en forma tal que la entrada seafo,fl,ji,f3 en los cuatro puntosx =0,7 1 ' / 2 , 7T , 3 7 T / 2 . Como W4 = ,e i7f !2 = cos ( % ) + ien ( % ) = i, la matriz F4 es

F,~ ( ! ~ ~ - :Por 10tanto, a partir de (7), los coeficientes de Fourier estan dados por e =~F4f:

-i -I-1 1-I

Si establecemos jj.j] , 1 2 , 1 3 como 0, 2, 4, 6, respectivamente, podemos deducir, a partir dela matriz producto anterior, que

3Observe que obtenernos el mismo resultado utilizando (4), esto es, F ( e x ) = L,,~of(nT)eiO!"T, con T = 7 T / 2 , e x = 0,1,2,3. Las graficas de I c " l , n = 0, 1,2,3,0, de modo equiva-lente, I F ( e x ) 1 para e x =0, 1,2,3, estrin dadas en la figura 13.1S. 0

EI calculo de los coeficientes involucra la multiplicacion de las matrices F" y F wDebido a la naturaleza de estas matrices, estas multiplicaciones pueden realizarse de ma-nera muy eficiente, desde el punto de vista computacional, mediante el uso de la transfor-mad a rapida de Fourier (TRF), la cual se estudia mas adelante en esta seccion,

C APITU LO 13 M etoda de la tran sfo rm ada in teg ra l


25/32

a 2u a uk - = - -00 < x < : 00, t > 0a x 2 a t ' ( 8 ) E cu ac io n de caLor Y ser ie dis creta de Fourier Si la funci6n f incluida en el pro-blema de valor inicial

u(x, 0) =f(x)es peri6dica con periodo 27T , la soluci6n puede escribirse en terrninos de la serie deFourier paraf(x). Tarnbien podemos aproximar esta soluci6n con una suma finita

11- [

u(x, t) = L C k ( t ) e'",k= OSi analizarnos ambos miembros de la ecuaci6n unidimensional de calor dada en (8),podemos observar que

a ua t

11 - 1 de.L_J e ijxj= O dt

y

d'e'!"puesto que --2- =(i))2eU x .dx

Se igualan estas dos expresiones para obtener la ecuaci6n diferencial de primerorden

!,!:

La tarea final consiste en encontrar los val ores c/O). Sin embargo, recordemos que1 1 - 1 .u(x, t) = Lk=ock(t)e,h y u(x, 0) = f(x), por 10 que c/O) son los coeficientes de la serie

discreta de Fourier de f(x). Compare esto con la secci6n 11.3. E cu ac io n de c aL or y t r an s fo r rnada d is creta d e F ou rie r 'EI problema (8) de valorinicial puede interpretarse como el modelo matematico para la temperatura u(x, t) pre-sente en una barra de longitud infinita. En la secci6n 13.4 vimos que podemos resolver(8) utili zan do la transformada de Fourier, y que la soluci6n u(x, t) depende de la trans-formada de Fourier F(ex) def(x) (consulte la pagina 601). Es posible aproximar F(ex)enfocando la transformada discreta de Fourier desde otro punto de vista.

En primera instancia, aproximarnos los val ores de la transformada discretizando laintegral W e (f(x)} = F (ex) = r::,,,,/(x) e i o :x dx. Considere el intervale [a, b]. Hagamos quef(x) este dado por los n puntos unifonnemente espaciados

b-axj=,a+--), )=0,1,2" .. ,11-1.nA continuaci6n, aproximamos:

b - a"-I ,F(ex) =_- L'f(xJ e ' O : X jn j= Ob-a"- ( b-a),= --.- Lf a + --) e''"!n j= O nb - a 11- I ( b - a )' .>:=-- Lf a + --) e , o : a e , o : - , - , J

n j= O '~b - a . II-I ( b - a )' r=.=-- e , o : aL f a + --) e ' O : - , - , .I.n j= O n

13 .5 T ran sfo rm ad a rap ida d e F ou rie r 607I~I": 1


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I x l < 1I x l > 1

2nMSi ahora seleccionamos un valor apropiado para 0', digamos -- donde M es un ente-b - aro, tenemos '

( 27TM) b - a i ' " M , , ' ~ I { b - a ' . ) i" iMF -- =-- e h-" L .J a + -- 7 e "b - a n j~O' n vb - a i ' " ,M " '~l ( b - a .) 'M=--eh-


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.I~ F n ~II r~ '1Ir rs 1It r , 7 {t : : : :ZOOM Tr-ace RE?Graph Math Draw. r r~ A 1\ !\ A II It

V V V V V V V VMAIN R A D A U T O rUNe0) y = sen 20rrx : .vrango: [0, I]: v range: [-I, I]

~ ~ t0) y = sen207rX; x rango:[D, I]; Y rango: [-I, I]

iJ)y=sen 1007l 'x:x rango: [0, I];yrango: [-I, II Figura 13.17 TIc92

b)y=sen 10D7rx;xrango: [0, I];yrango: [-I, I] Figura 13.18 TIc83

En una calculadora como la Texas Instruments TI-83, las graficas de la Figura 13,18muestran el efecto diente de sierra en forma un tanto mas clara.

EI problema estriba en el hecho de que e 2 /1IT =cos 2 r m + i sen 2 1 ' 1 7 T =; = I para val ores en-teros de 1 1 . La serie discreta de Fourier no puede distinguir ei/l.r de I, ya que estas funciones

2 1 mson iguales en los puntos de muestreo x =--. La frecuencia mas elevada se ve como7 T 1 7 /1 7 7 T 1 ? 'la mas baja. Considere las funciones cos - y cos --. Si muestreamos en los puntos2 2

1 1 =0, 1.,2, ... , estas dos funciones parecen identicas, se supone la frecuencia mas baja,y las amplitudes (coeficientes de Fourier) asociadas con las frecuencias mas elevadas sesuman con la amp l i t u d de menor frecuencia. Sin embargo, si a altas frecuencias estoscoeficientes de Fourier son pequefios, ello no representa un gran problema. En el teore-ma del muestreo que presentamos 11']aSadelante, veremos que instancia puede hacersecargo de este problema . P ro c e s am ie n to d e s e f ia le s Mas a l la de la resoluci6n de ecuaciones diferencialesparciales, como las que h e r n o s estado haciendo con anterioridad, las ideas presentadasen esta secci6n resultan de gran utilidad en el procesamiento de sefiales, Podremosreconstruir una s e ii al t ra n s rn i ti d a por el muestreo en sus puntos discretos. Considere alas funciones con ql1e hemos trabajado como seiiales provenientes de una fuente. EI pro-blema que representa realizar el calculo de un mimero infinito de coeficientes de Fouriery sumar una serie infinita para reconstruir una seiial (funci6n) no es practice. Una sumafinita podria ser una aproximaci6n satisfactoria, sin embargo, ciertas sefiales pueden re-construirse mediante un mi r n e r o finito de mu e s t r a s ,T E O R E M A D E L M U E S T R 'E O. ~.

Si una seiial f(x) esta Iimitada en banda, es decir, si el rango de frecuencias de lase r i a l se encuentra en la banda - A < k < A, entonces la se i i a l puede reconstruirsemuestreando dos veces cada ciclo de la frecuencia mas alta presente; de hecho,

~ (1 7 7 T ) sen (Ax - 1m )f(x) = L.; f -/I=+ oo A Ax - n 7 T

13 .5 T rans fo rm ada rap id a de F ou rie r

".,

609


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F ( a ) = f c o f(x)e iC Y, dx-00

( 9 )

P ara ju stif ic a r e ste Teorema del muestreo, c o n s id e re a la tr a n s fo rm ad a d e F o u r ie rF ( a ) d e f ( x ) c om o u n a exte n s i6 n p e r i6 d ic a e n fo rm a ta l q u e F ( a ) este d ef in id a p arato d o s lo s v a lo re s d e a, n o so lam en te p a ra a q u e llo s in c lu id o s e n -A' < k


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Sefiales lim ita d as en ban da Una serial que contenga muchas frecuencias puedefiItrarse de tal manera que solamente queden intactas las frecuencias presentes en unintervalo, por ello la se f i a l se considerara limitada en banda. Considere la se f i a l f(x).Multiplique la transformada de Fourier F ( e x ) defpor una funci6n G ( e x ) que sea 1 en elintervalo que contiene lap frecuencias e x a conservar, y 0 en cualquier otra frecuencia,Esta multiplicacion de dos transformadas de Fourier en el dorninio de la frecuencia esuna convoluci6n de f(x) y g(x) en el dominic del tiernpo, Recuerde que el problema 20de los ejercicios 13.4 establece que

3 J P - I{ F ( e x ) G ( e x ) = f x o f(T )g (X - T ) dt .-00

'T TPor 10 tanto, a partir de las muestras en intervalos -, pueden reconstruirse todos losAval ores def Observe que si establecemos e iAx (en otras palabras, si establecemos k =A),entonces el teorerna del muestreo no procedera. Si, por ejemplo,f(x) =sen Ax, entoncestodas las muestras seran 0 y fn o podra ser reconstruida, ya que se presentara el fenorne-no de diente de sierra .

La integral que aparece en el segundo mie r nb r o de la ecuacion se llama convoluclonde f y g , y se expresa como f*g. El ultimo enunciado puede ,escribirse de manera mascompacta como

3JP{f*g ) = F ( C / . ) G ( C / . ) .La idea analoga para las transforrnadas de Laplace se encuentra en la secci6n 4.4. Laf . , () sen Ax . f I IF' 1 f . , 1uncion g x =--, - nene como su trans ormac ace ouner a .uncion pu so' T T X

G ( e x ) ={ I ,0, - A < e x < Aen cualquier otro lugar.Lo anterior implica que la funci6n (j"'g)(x) esta limitada en banda, con frecuencias den-tro del rango de -A YA. C a lcu lu s con la tra nsform a d a rapida d e F ourie r Regresemos a la transformadadiscreta de Fourier de fer) , donde tenemos a f muestreada en n . puntos uniforrnemen-te espaciados por una distancia T entre ellos, por ejemplo 0, T , 2T , 3 T , ... , (n - l)T(Utilizamos T =T T / n al comienzo de esta seccion.) Sustituyendo 10 anterior, la transfer-mada discreta de Fourier '

( 2 'T T M ) _ b - a i2m\1a ' ~ I . ( b - a . ) jMF --- - -- e b-a L. J j a + -- } w ilb - a n j= O n(2 ' T T k ) II-I .se convierte en F -- = T 2:f(jT )(lJ~ ', k =0, 1,2, ... , n - 1., nT j= O

Por simplicidad de notaci6n, escriba 10 anterior como11-1

ci > 2 : fiw~j,j= O

Esto Ie debe recordar a (6), donde tenfamos

k = 0, I, 2, ... , n - 1.

f o Cot, ? 1 1 - [WII w~ WII CIh ? w~ W2(1I-1)(rJ~ II C2

1,,-1 ( V ; ; - I 2 (1 1 - 1 ) W(II-I)' C I1-1II II

o ) P,F2,v-, (13)of =Fllc. La clave de la TRF son las propiedades de WII y la factorizaci6n de matrices. Sin = 2 1 1 ' , pod em os escribir FII de la manera siguiente (la cual no se dernostrara):

13 .5 T ran sfo rm ada rap id a d e Fou rie r I I 611


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donde 1 k es la matriz identidad k x k, y P es la matriz permutaci6n que modifica a lamatriz c de tal. forma que los subindices pares se colocan en la parte superior mientras losimpares van en la inferior. La matriz D es una matriz diagonal definida por,

( )2"'-1_1W2N ,

Observe que cada una de las F2'v-1 matrices puede, a su vez, factorizarse. Al final, la r n a -triz F I1 con /12 elementos diferentes de cero se factoriza como el producto de n matricesmas sencillas, 10 cual significa un gran ahorro en cuanto a la cantidad de calculos nece-sarios que deba realizar una computadora,

E jemp lo 3 La transfo rm ada rap ida de FourierSean 11 = 22 =4 Y F4 la rna tr iz clel ejemplo J:

-1 )1 -I-i -I iA, partir de (13), la Iactorizacionde F 4 que se desea es

F, ~ ( ! ~ H ) ) ( ~ ~ ~ ' f I ) ( ~ ! i ~)14)A B P

He r n o s insertado Ifneas discontinuas en las matrices marcaclas como A y B cle tal maneraque usted pueda identificar.las subrnatrices 1 2 0 D 2 , - D 2 Y F 2 cornparando (14) directamen-tecon (13). Ta rnb i e n se Ie exhorta a multiplicar el segunclo miembro de (14) y comprobar

que se obtiene F,. Ahora, si ,~ ()), ' " , 0 0 " "

F" ~ ( ! ~ - ! _ ~ )~ - ~ ~ _~ )( ~ !~~) )(~! . ! - ~ ) ~ - ~ ~ J ) U )(~ ~ ~ ~) ( ~ ~ ) ( - 5 ~ 6 1 5 i ) = f.J 0 -I 0 25 -14o 0 -t -15 -5 + lS i 0

Sin entrar en detalles, el calculo de F I1 requiere de /12 operaciones, mientras que eluso cle la factorizaci6n de 'matrices (la TRF) significa una reclucci6n en la canticlacl decalculos a una cifra proporcional a 1 1 In 1 1 . Haga la prueba con valores mas grandes de /Iy vera que esto representa ahorros significativos.

612 C AP IT ULO 13 M etodo de la tran sfo rm ada in teg ral


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1. Demuestre que F4 [=JF4.2. Demuestre la propiedad de analisis de la funci6n delta

de Dirac: f X l f(x)i5(x - a)dx =f(a).-00

[Sugerencia: Considere la funcion

{I2'o J x - a) = 0,

[x - a l < t:en cualquier otra parte.

Utilice el teorema del valor medio para las integrales y,despues, establezca E --7 0.]

3. Determine la transformada 'de Fourier para la funci6ndelta de Dirac 8 ( x ) .

4. Demuestre que la funci6n delta de Dirac es la idellti-dad implfcita en, la operaci6n de convoluci6n, es decir,muestre /':'0 = 8 *f =f [Sugerencia: Utilice las trans-formadas de Fourier y el problema 3.]

5. Demuestre que la derivada de la funci6n delta de Dirac8' (x - a .) tiene lit propiedad que examina la derivada deunafunci6n fe ll a . [ Sug er encia .: Uti lice la integraci6npor partes.]

6. Utilice un CAS para demostrar que la transformadades enAx es la funci6nourier de la funci6n g(x)

pulso. 7TX

{I,G(ex) = 0, -A < ex < Aen cualquier otro Iado.7. Escri ba la matriz F s y, despues, escrfbala en forma fac-

torizada (13). Compruebe que el producto de los facto-res es F a - Si se le solicita comprobar el resultado, utiliceun CAS para hacerlo. 'Ii '

. 2 7 T 2 7 T : ' .8. Sea oi; = e '21r1 " = cos - + isen -. Como e '27Tk = 1,1 1 n

. k ' ,todos los mimeros w , ; , k = 0, 1, 2, . .'., n, -rr-: 1, tienen lapropiedad de que (w~) " = l.Debido a l~ anterior, w~,k = 0, 1,2, ... , n - I, se llaman rakes lH~simasdela unidad y son soluciones de la ecuacion z " - ' I = O .Encuentre las rakes octavas de la unida91 y graffquelasen el plano xy donde un mimero complejo se escribecomo z =x + iy . i,Que puede observar?

T area s p ara el Iaboratorio de compute9. Utilice un CAS para comprobar que la funcionj'eg, donde

, sen 2x If(x) = e-5r y g(x) =-- ,est a limitada en la banda.7TX.S i su CAS 10 puede hacer, trace las graficas de 3 7 P { f : ' g } y

F(cx)G(ex) para comprobar el resultado.10. Si en su CAS hay un comando para ejecutar'la transforma-

da discreta de Fourier, seleccione seis puntos cualesquieray compare los resultados obtenidos utilizando ese coman-do con los obtenidos a partir de la ecuacion C =~F6 f .

IEJERCICIOS DE REPASO DEL CAPiTULO 13 Las respu estas a los proble mas im pare s, se leccionados com ienzan en la pag ina R E SP -30.

En los ejercicios dell al 15, resuelva cad a problema de va-lores en la frontera dado mediante una transfonnada integralapropiada. Cuando sea necesario, formule supuestos acerca delacotamiento.a 2u a 2u1. -2 + -? = 0" X > 0, 0 < y < 7 Ta x a y -

a U I:- =0, 0 < Y < 7 Tax\~oail I .u(x, 0) = 0, - = e" x > 0a y )'~7T '

a 2u a u2. -2 + -, 0 < x < 1, t > 0ax atu(O, t) =0, u(l, t) =0, t> 0u (x , ,0) = 50 sen 27TX, 0 0, x > 0, t > 0ax2' a t'

u(O, t ) = 0, a ulim -:- = 0, t > 0x--+oo axx>Oix , 0) = Lta,

a u a 2u -"1 ' " 04. - - -. - =e '" , -00 < x < 00, t .> 'at ax2u (x ,O) = Llo, -00 0ax- iJtu(O, f) = t, 11mu(x , t) = 0

.\"---+00

u(x, 0) = 0, x> 0 [Sugerencia: Utilice elteorema 4.9.]a 2u.2 0 < X < I, t > 0a , '

1/(0, t) =0, u ( I, r) =0, t > 0ui, 0) = sen 7TX, - sen 7 T X , 0 < x < 1

CAP ITU LO 13 E jerc ic io s d e repaso ""i.T

613


32/32

a2u a 'u7 k - =- -00 < x < 00,. ax 2 at '

{O ,

u(x, 0) = uo , 0 < x < 1T0,

t > 0 au 0< x < 1, t > 0a t'x t 0X>1T u(x, 0) =0, 0 < x < I

o a Oa-u ~ - 08. 0 + 0 - , 0 < x < 1T, y > 0ax- ay-[Suge renc ia : U t i l ic e la id en tid ad

s e n h (x - y ) = s e n h x c o s h y - c o s h x s e n h y,

{O ,

u(O, y ) = 0, U(1T, y ) = 1,0,

O O

a 2u14. 2ax auat' x > 0, t > 0 0ax 2 at 'au I;- = 0 , u(l,t) = 0, t > 0dx . 1= 0

u(x,O)= 1 00, x> 0 .1 5. D e rn u e s t re q u e u n a s o lu c io n a l p ro b lem a d e v a lo re s e n

l a f ro n t er au(x, 0) = 0 , 0 < x < 1 a 2u a 2u-0 + -0 = 0, -00 < x < 00, 0 < Y < Ia x - a y

au I = 0 u(x , I) = j(x), --:00< x < 00ay 1'=0 'u(O, y) =A, 0 < y < 1Ta u I = 0, a u I = Be-X , x > 0ay 1 '= 0 ay y = 1 T 1 1 00 I oo c o s h O 'y c o s O '( t - x )e s u(x , y ) = -1T j(t) cit da.c o s h 0'o -00

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Capitulo 13 - Metodo de La Transform Ada Integral