Capitulo 12 Sears

5/10/2018 Capitulo 12 Sears - slidepdf.com

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Estas dos inmensas galaxias ---cada una de

las cuales contiene miles de millones de es -

trelias, situadas a 1 I 4 mill one s de an 0 S Iuz

de la Tierra- han estado chocando en ca -mara lenta durante decenas de mill ones de

airos. Dicho "cheque" en realidad es una

interacci6n gravitacional entre las dos gala-

xias, (Las estrellas individuales estan tan

separadas entre si que es poco probable

que choquen unas can otras.)

L a m as a d e estas d os galaxias

juntas es mas d e 10 11 veces m ayor que la

d el S ol. ,-P or q ue, en to nces, n o arran can

f la T ierra de su orblta en torno al Sol y

la atraen hacia sl?

436

GRAVITACION

Algunas de las primeras investigaciones en el campo de la fisica nacieron de pre

guntas que la gente se hacia acerca del firmamento. l,Por que no se cae la Lu-

na? l,Por que se mueven los planetas en e1 cielo? i,Y par que no sale 1aTierra

despedida hacia el espacio exterior en lugar depennanecer en orbita en torno al Sol?

El estudio de la gravitacion responde a estas y muchas otras preguntas relacionadas.

Como sefialamos en el capitulo 5, la gravitacion es una de las cuatro clases de

interacciones que observamos en la Naturaleza, y fue la primera que se estudi6

ampliamente, En el siglo XVII, Newton descubrio que la misma interaccion quehace a una manzana caer de un arbol rnantiene a los planetas en orbita alrededor

del Sol. Ese fue el nacimiento de la mectinica celeste, 0 sea el estudio de la dina-

mica de los objetos en el espacio. Hoy en dia, nuestro conocimiento de la mecani-

ca celeste nos permite poner un satelite en una orbita deseada alrededor de la Tierra

o escoger la trayectoria ideal para enviar una nave a otro planeta,

En este capitulo estudiaremos la ley basica que gobierna las atracciones gravita-

cionales. Es una ley universal: la gravedad actua fundamentalmente de la misrna

manera: entre la Tierra y nuestro cuerpo, entre el Sol y un planeta y entre un plane-

ta y sus.lunas, Aplicaremos la ley de la gravitaci6n a fenomenos como: la variacion

del peso con la elevacion, las orbitas de los satelites terrestres y las de los planetas

alrededor del Sol.



12.1 1Ley de la gravitaci6n de Newton

12.1 I Ley de la gravitacion de Newton

EI ejemplo de atracci6n gravitacional mas conocido para ellector es seguramen-

te su peso la fuerza que 10 atrae hacia la Tierra. Al estudiarel movimiento delos planetas y la Luna, Newton descubrio el caracter fundamental de Ia atrac-

ci6n gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera. Junto con sus tres leyes del

rnovimiento, Newton publico en 16871a ley de la gravitaclon, que puede enun-

ciarse asi:

Toda particula de materia en el universo atrae a todas las dennis partfcu-

las con una fuerza directamente proporcional ala masa de'Ias particulas

e inversamente proporcional al cuadrado de la dlstancia que las separa,

Traduciendo esto a una ecuacion, tenemos

(ley de la gravitacion) (i_2.l)

donde F g es la magnitud de la fuerza gravitacional que actua sobre cualesquiera de

las particulas, ml Y m2 son sus masas, r es la distancia entre elias (Fig. 12.1) Y G

es una constante fisica fundamental llamada constante gravitacional. £1 valor

numerico de G depende del sistema de unidades ernpleado.

La ecuacion (12.1) nos dice que 1 a fuerza gravitacional entre dos particulas dismi-

nuye al aumentar la distancia r; par ejemplo, si la distancia se aumenta al doble, '1

la fuerza se reducira a la cuarta parte. Aunque muchas estrellas del firmarnento

tienen una masa mucho mayor que la del Sol, estan tan lejos que la fuerza gravr-

tacional queejercen sobre la Tierra E :S insignificante.

~~""'"""'""' .. AI ser casi iguales los slrnholos g y G, es cornun contundir las dos

cantidades gravltacianales que representan. g minuscule es la aceleracton.debi-

da' a la gravedad, que relaciona el peso w de un cuerpo con su masa m: IV =mg.

EIvalor de g varia en diferentes puntos de la superf icie terrestre y en la superfi-

cie de otros planetas. Encambio, G mayuscula relaciona la fuerza gravitacional

entre dos cuerpos con susrnasas y la distancia entre ellos. Decimos que G es una

constante universal porque tiene el mismo valor para cualesquiera dos cuerpos,

sin importar d6nde esten. En la siguiente secci6n veremos la relaci6n entre g y

G, pero recuerde que son definkiones muy diferentes.

Las fuerzas gravitacionales siempre actuan sobre 1a linea que une las dos

particulas, y forman un par accion-reaccion. Ann si las masas de las particulas di-fieren, las fuerzas de interaccion tienen la misma magnitud (Fig. 12.1). La fuerza

&atracci6n que el cLle11")0el lector ejerce sobre laTierra tiene la rnisma magnitud

.,.Ire la que la Tierra ejerce sobre el lector, Si caemos de un tramp olin a una-alber-

_ .Ia Tierra sube hacia nosotros! (z,Por que no 10notamos? La masa de la Tierra

~ nnas 1023 veces mayor que hi de una persona, asi que su aceleracion es s610 10-23

~grande como 1ade la persona.)

Hemos planteado la ley de Ia gravitacion en terminos de la interacci6n entre

- particulas. Resulta que la interacci6n gravitacional de dos cuerpos con distri-

es esfericamente simetricas de masa (como las esferas s61idas 0 huecas)

misma que se ria si se concentrara toda 1amasa en el centro, como se muestra en

_ ;:;gl!la L.2. Asi, si modelamos la Tierra como un cuerpo esferico de masa mE,

43

Fg (I sobre 2) =Fs (2 sabre l)

12.1 Aunque des particulas tengan mas amuy distintas, ejercen fuerzas de atraccion

gravitacicnal igualmente fuertes entre 8 1 .

tn ]

Ill]

JF g Fg

r

Fg

c l1!2

(a) Dos masas esfericameme (b) Dos partfcula

simenicas conmasa

12.2 El efecto gravitacional afuera de

cualquier distribucion esfericamente sime

trica de masa seria igual si toda la masa

se concentrara en el centro de la esfera,



438

12.3 Gracias a la inmensa masa de

1.90 X 1027 kg del planeta Jupiter, la atrac-

cion gravitacional mutua de su s atomos ha

h ec he q ue el planera adquiera un a forma

casi esferica, No ha sucedido 10 mismo

COilArnaltea (una de las lunas de Jupiter,

de la cual se muestra un acercamiento).

Por su masa relativamente insignificante

de 7.17 X 1018 kg, la gravitacion de Arnal-

tea es debil y esta luna tiene una forma

irregular.

12.4 Principio de la balanza de Caven-

dish, empleada para determinar el valorde G. EI angulo de desviacion se exagero

por claridad.

CAPITULO 1 2 I G rav itacio n

la fuerza que ejerce sobre una particula 0 un cuerpo esfericamente simetrico

masa m, a una distancia r entre los centros, es

Gmgm

F . =--g r2 (12

siempre que el cuerpo este afuera de la Tierra. EI cuerpo ejerce una fuerza d

misma rnagnitud sabre la Tierra. (Demostraremos esto en la seccion 12.6.)

En puntos dentro de la Tierra, la situacion es diferente. Si pudieramos t

drar un agujero al centro de la Tierra y medir Iafuerza gravitacional a diferen

profundidades, veriamos que disminuye hacia el centro, en lugar de aumentar

gun lIr2. Ai penetrar el cuerpo en \.aTierra (u otto cuerpo esferico), parte d

masa de la Tierra queda del lado del cuerpo opuesto al centro y actua en la di

cion opuesta, En el centro exacto de la Tierra, la fuerza gravitacional sobre

cuerpo es cero.

Los cuerpos esfericamente simetricos son un easo importante porque: las

nas, planetas y estrellas tienden a ser esfericos, Dado que todas las particulas

un cuerpo se atraen gravitacionalmente entre si, tienden a moverse a modo de

ducir al rninirno Ja distancia que las separa, El resultado es que el cuerpo tie

naturalmente a asumir una forma esferica, como sucede con un trozo de arc

si 10 apretamos con fuerzas iguales por todos lados. Este efeeto se reduce mu

-en los cuerpos celestes de masa baja porque la atraccion gravitacional es rne

-y estos cuerpos tienden a no ser esfericos (Fig. 123).

Determinacion del valor de G

Para determinar el valor de Ia constante de gravitacion G, debemos medir la f

za gravitacional entre dos cuerpos de masas conocidas ml Y m2 a una. distancia

nocida r. La fuerza es muy pequefia para cuerpos que caben en un laborator

pero puede medirse con un instrumento lIamado balanza de torsion queHenry Cavendish us6 en 1798 para determinar G.

En la figura12.4 se muestra una version modema de Ia balanza de torsi6n. U

varilla ligera y rigida can forma de T invertida es sostenida pOI' una fibra vert

de cuarzo ll1UY delgada. Dos esferas pequefias, de masa m l se rnontan en los

tremos de los brazos de la T . Si colocamos dos esferas grandes, de masa m2 en

posiciones mostradas, las fuerzas de atraeci6n gravitacionaIes haeen girar la T

1. La rotacion de la varilla

tuerce el eje de apoyo y

el espejo a 61sujeto

' 1 . L as r nas as m1 en la varilla

movil son atrafdas a las

3. Un rayo laser reflejado pm el espejo se de

indicando que tanto ha girado la vari lla y, pO

t an to 1 a fu er za c on q ue se at rae n las m as as lU



4392.1 I Ley de la gravitacion de Newton

angulo pequefio, Para medir el angulo, hacemos incidir un rayo de luz en un espejo

sujeto ala T . El haz reflejado incide en una escala; al girar Ia T, la luz se mueve en

la escala.

Despues de calibrar la balanza de Cavendish, podemos medir las fuerzas gravita-

cionales y asi determinar G. El valor aceptado actualmente (en unidades del 81) es

G = 6.673(10) X 10-1] N·m2/kg2

Can tres cifras significativas, G = 6.67 X 10-11 N . m2/k g 2. Dado que I N =

1 kg . m/s", las unidades de G tambien pueden expresarse (en unidades fundamen-

tales del Sistema Internacional 81) como m3/(kg . S2).

Las fuerzas gravitacionales se combinan vectorialmente. Si dos masas ejercen

cada una, una fuerza sobre una tercera, la fuerza total que actua sobre esta es la

resultante de las fuerzas individuales de las dos primeras. EI ejemplo 12.3 aprove-

cha esta propiedad, que se conoce como superposicion defuerzas.

. E jem p lo

12 .1 Ca lculo de la fuer za g ravitaciona l

(6.67 X 10-11 N' m 2/kg2)(0.0100 kg) (0.500 kg)F =~----------~~~~~~~----~g (0.0500m)2

= 1.33 x 10-11 1 N

L a m asa ntl de una de las e s fe ra s peque fi as de una balanza de Caven-

dish es de 0.0100 kg, la masa m 2 de una de las esferas grandes es de

0 .50 0 k g, y Ia d is tanc ia de centro a centro entre cada esfera grande y

l a e sf er a p eq uei ia mas cercaria es de 0_0500 m. CaIcule la fuerza gra-

,itacional F g que actua sobre cada esfera debida a la otra esfera.

,i.j!i r 3 1 ,mID EN lIF ICA R Y P LA NT EA R: Usarernos la ley de la gravitaci6n,

ecuacion (12,1), para determinar Fg

•

EVALUAR : Esta es una fuerza muy pequefia, como esperabamos;

no -sentimos una atracci6n gravitacional apreciable por los objeto

ordinarios de masa pequefia en nuestro entorno. Se requiere un obje

to en verdad masivo, como la Tierra, para ejercer una fuerza gravitacional considerable.

EJECUTAR : Cada esfera experimenta la misma magnitud de fuerza

?O f Ia otra esfera, aunque las masas sean muy distintas (como en este

esso). La magnitud de cada fuerza es

I

E jemp lo

12 .2 Ace le raci6n deb ida a la a tracc i6n g ravitacional

EJECUTAR : La aceleracion a[ de la e sf er a p eq ue ii a t ie ne m a gn itu d d

F a 1.33 X 10-10

Na , = ~ = =1.33 X 10-8 m/s2m] 0.0100 kg

La aceleraci6n U2 de la esfera mayor tiene rnagnitud de

:rpouga que una esfera grande y una pequeiiase 'quitan del apara-

;:clejemplo 12.1 y se colo can con sus centros separados 0.0500 m

~::n punto del e sp ac io le jo s de otros cuerpos. l.Que magnitud tie-

:z aeeleracion de cada una, relativa a un sistema inercial?

r, 1.33 X 10-10 Na, = -- =------ = 2.66 X 10-10 m/s2

- m2 O . S O O kgF1CAR Y PLANTEAR : Ya calcularnos en el ejemplo 12.1 la

_;: i :nd de la fuerza que a ct ua s ob re cada e sf er a, ( EI sistema de dos

~ en el espacio e sta t an distante de otros cuerpos que no necesi-

~ '" ;:unsiderar otras fuerzas.) Usarernos la segunda ley de Newton

~~ la magnitud de la aceleracion de cada esfera,

EVALUAR : Aunque las fuerzas que a ct ua n s ob re los cuerpos tienen

la misina magnitud, las magnitudes de las dos aceleraciones no so

iguales, Ademas, las aceleraciones no son coustantes; las fuerzas

gravitacionales aumentan cuando las esferas comienzan a moverse

una hacia la otra.



440 CAPiTULO 121 Gravitation

Ejemplo

12.3 Superposiclen de fuer zas g ravitaciona les

Muchas estrellas del firmarnento son en realidad sistemas de des 0

mas estrellas que se rnantienen juntas gracias a su atraccicn gravita-

cional mutua. La Figura 12.5 muestra un sistema de tres estrellas en

un instante en que estan en los vertices de till triangulo rectangulo de

45°. (Como base de comparacion, la masa del Sol -lllia estrella ti-

pica- es de 1.99 X 1030 kg, Y1adistancia Tierra-Sol es de 1.50 X

101l m. ) S upo n er no s q ue l as e st re lla s son esfericas, as f que podemos

sustituirlas par masas puntuales situadas en su respective centro, co-

1110 en la figura 12.2. Calcule la magnirud y direccion de la fuerza

gravitacional total ejercida sobre la estrella pequefia por las grandes.

, · I t ] liI3(·aI DENTIF ICAR: Usaremos el principia de superposicion: la fuerza

total que actua sobre 1 0 ' 1 estrella chica es la resultante de las dos fuer-zas debidas a las estrellas grandes,

PLANTEAR : Suponemos qne las estrellas son esferas, para poder usar

la ley de la gravitacion, Prirnero calculamos lamagnitud de cada fuer-

zacon la ecuacion (12.1); luego obrenemos la suma vectorial emplean-

do cornponentes a 1 0 largo de los ejes mostrados en la figura 12.5_

,,2.5 La fuerza gravitacional total que actua sabre la estrellape-

quefia es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sabre ella por

Jas dos estrellas grandes.

EJECUTAR : La magnitud F, de la fuerza que actua sabre la estrellapequefia debida ala estrella grande de arriba es

[

(6.67 X 10-11 N· m2/k g2) ]

X (8.00 X 1030 kg ) (1.00 X 1030 kg )

FI = (2.00 X 1012 m)" + (2.00 X 1012 m )?

"" 6.67 X 102 5 N

La magnitud F, de la fuerza debida a la otra estrella grande es

[

, (6.67 X to-it N' m1/kg 2) ]

X (8.00 X 1030kg)(l.OO X lOJOkg)F-=---_:__---_:__=-.:....;__~--___:_::':____:O_

2 - (2.00 X 1012m) 2

= = 1.33 X 1026

N

Las componentes x y y de estas fuerzas son

F lx = (6.67 X 1025 N) (cos 45°) = 4.72 X l025N

FLY = (6.67 X 102 5 N)(sen 45°) =4.72 X 102 5N

F2< = 1.33 X 102 6 N

F2], = 0

Las componentes de la fuerza total qlle acnia sabre la estrel1a chica son

F x = Flo : + Fl< = i.s: X 102 6

N

r,= F ly + Fz _ ). = 4.72 X 102 5 N

La magnirud de esta fuerza es

F = VF ,2 + F / = V(1.81 X 102 6N)2 + (4.72 X 102 5N)"

= 1.87 X 1026 N

y su direccion relativa aJeje x es

F " 4.72 X 102 5N

f J = arctan _:__= arctan - =14.6°F, 1.81 X 1026 N

EVA lUAR : S i b i en la fuerza to ta l que a ct ua s ob re la e st re lla p eque ii a e s

tremenda, no 1 0 es la magnitud de la aceleracion resultante: a = FJm =

(1.87 X 1026 N)/ (l.00 X 1030 kg) =1.87 X 10-4 m/52.

·l,Puede demostrar que la fuerza total que actua sabre la estrella

pequefia no apunta al centro de masa de las dos estrellas grandes?

(Vease el problema 12.48.)

Una . co rn pa ra cio a d e lo s e jem plo s 1 2 .1 y 1 2 .3 m u est ra q ue la s fu er za s g ra vit ac io -

nales so n insignificantes entre objetos co mo lo s q ue tenemosen nuestras casas, pero

so n considerabies e nt re o bj et os d el tamaiio de las estrellas. Efectivamente, la gravita-

ci6n es fa fuerza mas importante en la escala de los planetas, estrellas y galaxias (co-

m o las que se rnuestran en la fotografia can que abre el capitulo). La gravitaci6n

mantiene Ia integridad de nuestro planeta y la s 6 rb it as d e lo s planetas en torno aJ Sol.

La atracci6n gravitacional mutua de diferentes partes d el S ol co mp rim e lo s materia-



12.2 I Peso 44

Ies en su centro hasta alcanzar densid ades y tem peraturas m uy elevadas que hacen

p osj.ple las reacciones n ucleares q ue tienen lu gar ahi. D ichas reaccion es generan las

emisio ne s d e e ne rg ia so la r, Sill las cuales la vida no podria existir en la T ierra.

L a fu erz a g ra vit ac io na l es ta n importante en la escala c6 sm ic a p orq ue acnia a

distancia, sin contacto d irecto en tre los cuerpos. Las fuerzas electricas y magneti-cas tienen esta m ism a propiedad notable, pem son rnenos im portantes en h i escala

astronomica pO l·q ue la s acumulaciones grandes de materia son electricamente

neutras; es decir, contienen cantidades iguales de carga negativa y positiva, Por

e lla , la s fu erz as e le ct ric as y magn et ic as e nt re e st re lla s 0 p lan etas so n m uy p eq uefias

o valen cero, Las interacciones fuerte y deb il que vim os en Ia seccion 5.5 tam bien

a ct ua n a d is ta nc ia , pe w su influencia es insignificante a d istancias m ucho m ayores

que eI d iam etro de un ruicleo atom ico (cerca d e 10-1 4 m),

Una forma util d e describir las fuerzas que actuan a distancia es en term inos de

un campo. U n cuerpo establece una perturb acion 0 canlpo en todos los puntas del

espacio, y la fuerza que actua sabre otro cuerpo en un punto deterrninado es la res-

puesta al campo del prim er cuerpo en ese punto. Hay un campo asociado a cada

fuerza qu e aetna a distancia, y por ella nos referim os a can lpos: gravitacionales,electricos, rnagneticos, etcetera. N o necesitarem os el concepto de cam po para estu-

d iar la gravitacion en este capitulo, asi que no hablaremos mas de HEn capitulos

posteriores, sin em bargo, verem os que la deseripcion de cam po es una herram ien ta

muy u til p ara d es cr ib ir in te ra cc io ne s electricas y magneticas ..

Calcule la m agnitu.d de la fuerza grav itacional que actua entre dos autom oviles d e

900 kg cuando estan separados 3 .0 m . i,Las fuerzas grav itacionales desem peiian

un papel im portante en los cheques de autom oviles?

12.2 I Peso

Defin im os el peso de un cuerpo en la secci6n4 .4 como Ia fuerza de atraccion gra-

vitacional que la Tierra ejerce sobre 61 . Ahora podem os am pliar esa d efinicion . E I

peso de un cuerpo es fa fuerza gravitacionai total ejercida sobre eI por todos

lo s d ermis cuerpos del universe, Si u n c ue rp o esta ce rc a d e la s up erfic ie te rrestre,

po dem os d espreciar las d em as fu erzas g ravitacionales y considerar e1 p eso com o

la atraccion de la Tierra unicamente, En la superficie d e Ia Luna, tomaremos el

peso de un cuerpo com o la atraccion gravitacicnal de.la Luna, etcetera,

Si modelamos la T ierra com o un cuerpo esfericamente simetrico ca n rad io Rr

y masa mT, el p eso w de un cuerpo pequefio de masa m en la superficie terrestre

(a una distancia R T del centro) es

(peso de un cuerpc de masa In en Ia superficie

terrestre)

Sin em bargo , en la seccion 4 .4 tam bien vim os que el peso w d e un cuerpo es la fuerza

que causa la aceleracio n g de caida l ib re , de modo que por la segunda ley de N ewton,

w = = mg. Si igualam os esto con la ecuacion (12 .3) y d iv id im o s e nt re m, obtenernos

"

GDle r ( , 1 · .. , d c ,·d 1 da d I fi . , (124)g = R1~ acereraeion.uern aa a graveca en a super icre terrestre) ..



442

12.6 En un avian comercial a gran altitud,

estarnos m a s lejos del centro de la Tierra

que cuando estaI110Sen el suelo, y pesamos

menos, EI efecto es pequefio, pero rnedi-b le , { ,Puede demos tr ar que, a un a a1titud

de 10 krn, pesamos 0.3% men os que en

e I sue lo?

12.7 Un astronauta que pesa 700 N en la

superficie terrestre, experimenta menos

atracci6n gravitacional si esta arriba de di-

cha superficie, La distancia mostrada r es

del astronauta al centro de la Tierra (no del

astronauta a la superficie terrestre).

CAP i T U L a 12 I Gravitacion

La aceleracion debida a la gravedad g es independiente de la masa m del cuerpo

porque m no aparece en la ecuaci6n. Ya sabiamos esto, pero ahora vemos c6mo s

desprende de la ley de la gravitacion.

Podemos medir tcdas las cantidades de la ecuacion (12.14) excepto mT' asi qu

esta relaci6n nos pe rrn it e calcu la r la masa de la Tierra. Si despejamos mT Yusamo

R T = 6380 km = 6.38 X 106 m y g = 9.80 mfs 2, obtenemos

gRlmT =G 5.98 X 1024kg

muy cercana al valor actualmente aceptado de 5.974 X 1024 kg. Una vez que Ca

vendish midio G, calcule la masa terrestre precisamente asi,

En un punto arriba de la superficie terrestre a una distancia r del centro de l

Tierra (una distancia r - Rr sobre la superficie), elpeso de un cuerpo esta dad

par la ecuacion (12.13) sustituyendo R, por r:

(12.5

El peso de un cuerpo disminuye inversamente con eJ cuadrado de su distancia a

centro de la Tierra (~ig. 1 2 .6 ). L a figura 1 2 .7 mue st ra como varia el peso de u

astronauta con Ia altura sobre la Tierra si su peso es de 700 N en 1asuperficie.

El peso aparente de un cuerpo en la Tierra difiere un poco de la fuerza gravi

tacional terrestre porque la Tierra gira y, por tanto, no es precisamente un marco

inercial de referencia, Hasta ahora hemos hecho caso omiso de este efecto, supo

niendo que la Tierra es un sistema inercial. Volveremos al efecto de la rotacion e

1a seccion 12.7. '

Al explicar el peso, hemos usado el hecho de que Ja Tierra es una distribucion

de masa con simetria esferica aproximada, pero esto no implica que la Tierra se

uniforme. Para demostrar que no puede ser uniforme, calculemos primero s

densidad media, a masa par unidad de volumen. Si suponemos una Tierra esferica

el volumen es

Astronauts, rnasa In

30 0

IV '" peso del astronauta =GmTmi?

r = distancia del astronauta a 1 centro de 1aTierra

r- « Rt '" distancia del astronauta a la superficie terrestre

400

200

100

_+--__ -'--'--_J..____ '--_-----' __ ----'-_ ---1.__ r eX 106 m)o 5

0

-

1

to 15 20 25 304·1--------'1:-------'-~-_:c1---,L--~ ==r r - RT(X 106n)

5 10 15 20 25

Distancia sobre la superficie terrestre



I

I

I

su mayor :

pa rt e s o li do I

I

I

I

II

. I

I

I

III

I

M anto en

16

~ 12.-"

g8'3

C 4,

0 3 4

r(X 106 m)

2 5

12.2 I Peso

6 RT

La densidad media p (la letra griega "ro") de la Tierra es la masa total dividida en-

tre el volumen total:

mT 5.97 X 1024 kg

p.=: . VT= 1.09 X 1011m3

ee 5500 kg/rrr' = 5.5 g/crrr'

(Como referencia, la densidad del agua es de 1000 kg/nr' = 1.00 g/cm") Si la Tie-

rra fuera uniforme, cabria esperar que la densidad de rocas individuales cerca de

la superficie tuvieran este mismo valor. De hecho, [a densidad de rocas igneas su-

perficiales como granito 0 gneiss es del orden de 3000 kg/rrr' = 3 g/cnr', aunque

ciertas rocas basalticas tienen una densidad cercana a 5000 kg/nr' = 5 g/cnr'. Por

tanto, la Tierra no puede ser uniforme, y el interior debe ser mucho mas denso que

la superficie para que la densidad media sea de 5500 kg/in" = 5.5 g/cnr'. Segun

los modelos geofisicos del interior de la Tierra, la densidad maxima, e n el centroes de cerca de 13,000 kg/nr' = 13 g/crrr', La figura 12.8 es una grafica de densi-

dad en funcion de la distancia al centro.

~.

443

12.8 La densidad de 1aTierra disminnye

al aurnentar la distancia al centro.

Ejemp lo

12 .4 Gravedad-en- Mar te

lmagine que participa en el dis e fta de una misi6n tripulada a la

superficie de Marte, cuyo radio es I'M =3.40 X 106 Ycuya masa

es mM = 6.42 X 1023 kg. El peso en la Tierra del vehiculo de des-

censo es de 39,200 N, CaIcule su peso FgY[a aceleracion gM debi-

da a hi gravedad de Marte: a) 6.0 X 106 m arriba de la.superficie

(la distancia a la que esta la luna Fobos);.b) en la superficie. No

tome en cuenta los efectos gravitacionales de las diminutas lunas

de Marte.



4 4 4 CAPITULO 12 I Gravitacion

li,l!'13M1ID EN TIF ICA R Y P LA NT EA R: Obtendremos el peso F 'g empleando \>

la ecuacion (12.5) despues de sustituir mT (la masa de la Tierra) por

mM (la masa de Marte). El valor de G e s el rnismo en todo el Uni-

verso; es una constante fisica fundamental. Entonces, podremos

obtener 1a aceleracion gM a partir de F g = mgM , donde m es la ma-

sa del vehiculo. No nos dan este valor, pero pcdemos calcularlo con

base en su peso en laTierra.

EJECUTAR : a) La distancia r desde el centro de Marte es

r= (6.0 X 106m) + (3.40 X 106m) = 9.4 X 100m

La masa In del vehiculo es su peso en la Tierra w dividido entre la

aceleraci6n de la gravedad gen la Tierra:

w 39,200Nm=-= =4000kcr

g 9.8 m/52 0

La masa es la misma aunque el vehiculo este en: la Tierra, Marte 0

camino a Marte, Por la eeuacion (12.5),

GmMmF =__-g r2

(6.67 X 1O~11N ·m2fkg2) (6.42 X 1013kg) (4000 k~)

(9.4 X 106m ) 2

= 1940 N

La aceleracion debida a 1agravedad de Marte es

Fg 1940 N 0

gM = - =--- = = 0.48 m/s"m 4000 kg

Esta es tam bien 1aaceleracion que experimenta Fobes en su 6rbit

6.0 X 106 m sobre la superficie de Marte.

b) Para calcular Fg y gM en la superficie, repetimos los calculo

anteriores, sustituyendo r = 9.4 X 106 m por RM= 3.40 X 106 i

o bien, dado que Fg y gM son inversamente proporcionales a 11

(en cualquier punto afuera del planeta), pcdemos multiplicar los r

sultados de (a) por el factor

(9.4 X 10

6 m ) 23.40 X 106 m

Le sugerimos usaf ambos rnetodos para demostrar que, en la s

perficie, F g = 15,000 N YgM = = 3.7 mls2•

EVA LUAR : Los resultados de la parte (b) muestran que el peso de uobjeto y la aceleracion debida a la gravedad en la superficie marcia

na tienen valores de aproximadamente el 40% de los valo res en

superficie terrestre. Las peliculas de ciencia ficcion y los relato

que se desarrol1an sobre Marte suelen describir las bajas temperatu

ras y la atmosfera enrarecida del planeta, pero casi nunca mencionan

la experiencia de estar en un entorno de baja gravedad.

IIMarte tiene s6lo el 11% de la masa de la Tierra. i,Por que entonces la gravedad e

la superficie de Marte no es el 11% de la gravedad terrestre?

12.3 I Energia potencial~gravitacional

Cuando desarrollamos el concepto de energia potencial gravitacional en la secci6

7.1, supusimos que la fuerza gravitaoional que acnia sobre un cuerpo es constant

en magnitud y direcci6n, dando pie a 1aexpresi6n U = = mgy . Ahora sabemos que

fuerza gravitacional de laTierra sobre un cuerpo de masa m afuera de laTierra es

dada de formamas general por la ecuacion (12.2), F g = Gm-mlr' , dande m- es

masa de la Tierra y r es la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. En problemaen los que ,;cambia tanto que la fuerza gravitacional no puede considerarse constan

te, necesitamos una expresion mas general para la energia potencial gravitacional.

. Para obtener esta expresi6n, usamos la misma secuencia basica de pasos com

en 1aseccion 7.1. Consideramos un cuerpode masa m fuera de la Tierra, y calcu

lamos el trabajo efectuado por Ia fuerza gravitacional Wgrav cuando el cuerpo s

aleja del centro de la Tierra 0 se acerca a el, desde r = rl a r = = r2 (Fig. 12.9). A

Wgrav esta dado por

Ir,

Wgrav = F, dr. ,

(12.6



12.3 I Energfa potencial gravitacional

donde F, es la componente radial de la fuerza gravitacional F , es decir, la com-ponente dirigida h ac ia a fu er a desde el centro de la Tierra. Dado que F apunta al

centro de la Tierra, F " es negativa; difiere de la ecuacion (12.2), la magnitud de

la fuerza gravitacional, por un signo menos:

Gm-mFr=-~ (12.7)

Sustituyendo la ecuacion (12.7) en la (12.6), vemos que W gray esta dado par

_ _ i ' 2 dr _ GmTm _ GmTmW grav - Gm-m ? -

r, r: r2 r]

(12.8)

La trayectoria no tiene que ser recta; puede ser una curva como la de la figura

12.9. Por un argumento similar al de la seccion 7.1, este trabajo s610 depende de

los valores: inicial y final de r, no del camino seguido. Esto tambien demuestra

que la fuerza gravitacional siempre es conservadora .

Ahora definimos la energia potencial correspondiente U tal que Wgrav = U, - U2,

como en la ecuaci6n (7.3). Comparando esto con la ecuacion (12.8), vemos que la

definici6n apropiada de energia potencial gravitacional es

(energia potencial gravitacional) (12.9)I'

La figura 12.10 muestra como esta energia depende de la distancia r entre el cuer-

po de masa myel ,centro de la Tierra. Si eI cuerpo se aleja de la Tierra, r aumen-

ta, la fuerza gravitacional efectua trabajo negativo, y Uaumenta (se vuelve menos

negativa), Si el cuerpo "cae" hacia la Tierra, r disminuye, el trabajo gravitacional

es positive y la energia potencial disminuye (se hace mas negativa).

La ecuaci6n (12.9) podria parecer extrafia porque dice que laenergia poten-_~~ gravitacional siempre es negativa, pero ya hemos visto valores negativos de

_' antes. Al usar la f6rmula U = mgyen la seccion 7.1, vimos que U era negati-

;:.siempre que el cuerpo de masa m estaba en un valor de y menor que la altura

.... itraria que escogimos como y = 0; es decir, si el cuerpo y la Tierra estaban

~, cerca que cierta distancia arbitraria. (Vease el ejemplo 7.2 de la secci6n 7.1.)

efinir U con la ecuaci6n (12.9), escogimos que U es cero cuando el cuerpo

-~masa m esta infinitamente lejos de la Tierra (r = = 0 0 ) . Al acercarse el cuerpo ala

_la energia potencial gravitacional disminuye y se hace negativa. Si quisie-

~ podriamos tomar U = Oen la superficie terrestre, donde r = RT, con s6-

ar la cantidad Gmsml R; ala ecuacion (12.9). Esto haria a U positiva

r >RT, pero a cambio de complicar Ia expresion para U. EI termino su-

_ no afectaria la diferencia en U entre dos puntos, que es la unica cantidadfl--ffite significativa; par eso 1 0 omitimos y usamos la ecuaci6n (12.9) para la

• potencial. .

••••• No confunda las expreslones de fuerza gravitaciona.1 (ecuaci6n

y de energia potencial gravitacional (ecuacion 12.9), La fuerza F, es PrD'-

-donal a IIr2, y la energia potencial U es proporcional a l lr .

Con la ecuacion (12.9), ya podemos usaf relaciones de energia generales para

problemas en los que debe incluirse el comportamiento segun 1 / 1 ' 2 de la fuerza

gravitacional de la Tierra. Si esta fuerza es la unica que efectua trabajo sobre el

44

El trabajo efectuado par F gno depende del camin0

seguido (la fuerza

g ra viacion al es

couservadora)

Trayectoria

recta

curva

12.9 Cuando un cuerpo se m ueve de la

c o orden ad a radi al rIa r2 > el tra baj0> efec-

tuado sabre el por Ia fuerza gravitacional

es el mismo, ya sea que el cuerpo siga una

trayectoria recta 0 curva .

Energia potencial

gravitacional U =

Astronauta, rnasa m

u• U siernpre es negativa

• Use v ue lv e m e no s

negativa al aumentar

la distancia radial r

- - - - - - ~ - - ~ - - - - - - - - - - -r

o __1T T ~

Gm-m __ VR T

12.10 Grafica de energia potencial gravita-

cionaJ U para el sistema de la Tierra (masa

mT) Yu n a st ro na uta (m as a m) c on tra la dis

tancia r entre el astronauts y e l c ent ro de l

Tierra.



446 CAPitULO 12 f Gravitacion

EJECUTAR: a) Podemos detenninar VI con la ecuacion de conserva-

cion de la energia

cuerpo, 1aenergia mecanica total del sistema es constante, 0se conserva. En el ejem-

plo que sigue usaremos este principio para calcular larapidez de escape, larapidez

que debe tener un cuerpo para escapar por completo de un planeta.

Ejemp lo

12 .5 "De fa Tierra a la luna"

~n la historia de Julio Verne can ese titulo (J 865), tres hombres viaja-

ron a la Luna en lID casco disparado desde un caiion gigante hundido

en el suelo de Florida. a) Calcule la rapidez inicial necesaria para

disparar el casco verticalmente hasta una altura sabre laTierra igual

al radio de esta, b) Calcule Ia rapidez de escape; es decir, la rapidez

inicial que perrnitiria al casco escapar de la Tierra. Desprecie la

resistencia del aire, la rotacion de laTierra y la atracci6n gravitacio-

na l de la Luna. El radio de la Tierra es R T =6380 km =6.38 X 106

my su masa es m T = 5.97 X 1024 kg (vease el apendice F).

" { . ) I ' t a ( m .I D E N T I F I C A . R : Una vez que el casco sale del caiion, s610 la fuerza

gravitacional (conservadora) efectua trabajo, asi que se conserva la

e ne rg ia m e ca nic a. U sa remo s esto para determinar la rapidez del casco

al salir del canon en la parte (a), donde el casco se detiene a una dis-

tancia de dos radios terrestres respecto al centro del planeta, y en la

parte (b), donde el casco se detiene a una d i st a nc ia i n fi n it a de la Tierra.

P L A N T E A R : La ecuacion que u sar emos /en ambas partes e s la e xp re -

si6n de conservaeion de la energia, KI + VI =K 2 + V2, donde la ener-

gia potencial U esta dada par la ecuacion (12.9). Sea el punto 1 donde

el casco sale del cafion con rapidez v I (la inc6gnita). En este punta, la

distancia al centro de fa Tierra es rl=RT, el radio de laTierra. El pun-

ta 2 es donde el casco alcanza su altura maxima; en laparte (a) es en r,

= 2 R T (Fig. 12.11), mientras que en laparte (b) es a una distancia infi-

nita de laTierra, en r, =00. En ambos casas, el casco esta en reposo en

el punta 2 , as! que V, = = O . Sea m la masa del casco (con pasaj eros).

12.11 Proyectil disparado desde lit superficie terrestre hasta una

a lt it ud ig ua l al radio de In Tierra.

lm v 2 + (_ G I n _ r m ) = = o + (_ G m T m )2 I R T . 2 R T

Reacomcdando, obtenemos

v I= ( G ; ; ; : ; .\fR;

=6.38 X 106 m

= = 7900 m/s ( =28,400 km/h = 17,700 mi/h )

b) Querernos que el casco apenas "llegue" a t': ~ 00, sin energia cine-

rica sobrante, as i que K 2 = 0 Y V2 = 0 ( Ia energ ia potencial es cera en

el infinite; vease la figura 12.10). La energia mecanica total es enton-

c es c er o; por tanto, al dispararse eJ casco, B U e ner gi a c in e ti ca po si ti va

KI Y su energia potencial negativa VI tambien deben sumar cera:

lm v 2 + (_ G m " t r n ) = 02 I R T _

V 1 = ( 2 i i ; ; ; : ;\f~2(6.67 X 10-11 N·rn2fkg1)(5.97 X 1024 kg)

6.38 X 106 m

1.12 X 104 m/s (=40,200 km/h 0 25,000 mi/h )

E V A L U A R : Este resultado no depende de la masa del casco ni de la

direccion en la que se lanza, Las naves modernas lanzadas desde

Florida deben alcanzar practicarnente la misma rapidez para escapar

de la Tierra. Una nave en tierra en Cabo Canaveral ya se esta mo-

viendo a 410 m/s al este par la rotacion terrestre; si el lanzamiento

es hacia eJ este, la nave aprovecha esta contribucion "gratuita" a la

rapidez de escape.

Generalizando nuestro resultado, la rapidez inicial VI que un

cuerpo necesira para eseapar de la superficie de una masa esferica

M can radio R (despreciando la resistencia del aire) es

V I = = P f i (rapidez de escape)

Se puede usar este resultado para calcular la rapidez de escape de

otros cuerpos. Obtenernos 5.02 X J 03 rn/s para Marte, 5,95 X 104 mls

para Jupiter y 6.18 X 105 para el Sol.



12.4 I Movimiento de sateli tes

Ma s sob rela fuerza gra vita dona l y,la energia p oten cia l

La relacion entre la fuerza gravitacional que aetna sobre un cuerpo, dada par Ia

ecuacion (12.7), Y BU energia potencial gravitacional, dada por la ecuacion (12.9),

puede expresarse de otra forma usando los metodos de la seccion 7.4. Las ecua-

ciones (7.17) Y (1.18) muestran que Ia componente de la fuerza en una direccion

dada es igual al negative de la derivada de U respecto ala coordenada correspon-

diente. Para movimiento en el eje z,

dUF =--.r dx

(12.10)

La fuerza gravitacional tiene componente s610 en la direccicn radial, asf que sus-

tituimos x por r en la ecuacion (12.10). Obtenemos

F '" _ dU = _ . ! ! _ ( _ GI1JTm) = _ GI1J'f11J

,. dr dr r ,,2(12.11)

Esto concuerda con la F e inicial de la ecuacion (12.7). Como ya sefialamos, F " es ne-gativa, 10que indica que la fuerza apunta en la direcci6n opuesta a la de r creciente.

Como 110ta final, demostremos que, si estamos cerca de la superficie terrestre, Ia

ecuacion (12.9) se reduce aU = mgy del capitulo 7. Primero reescribimos la ecua-

cion (12.18):

Siel cuerpo se mantiene cerca de la Tierra, en eJ denominador podemos sustituir

1 ' " 1 y r2 por RT, el radio de la Tierra, asl que

rl - rzWgrav = Gm-m ---2-

R TSegun la eeuaci6n (12.4), g = = GmrIR/ , asi que

Wg T " " = mg(rl - r ,J

S: sustituimos las r por y, esta es la ecuacion (7.1) para el trabajo efectuado por

~ fuerza gravitacional constante. En la seccion 7.1 usamos esta ecuaci6n para

~ueir la ecuacion (72), U = mgy, asi que podemos considerar esta expresi6n de

.a energia potencial gravitacional como un caso especial de la ecuacion (12.9).

_ ' : . : : : 1 planeta puede tener la misma gravedad superficial (es decir, el mismo valor

:eg en Ia superficie) que la Tierra y tener una rapidez de escape mayor?

2A ! Mov,imiento desatelites

~ satelites artificiales en orbita son usados en la vida'-nioderna (Fig. 12.12). Pe-

-cOnIC se rnantienen en 6rbita y que determina l a ~propiedades de sus orbitas?

L"xanns usar las Ieyes de Newton y la de la gravitacion para obtener las respues-

_ " E n la siguiente seccion, veremos como el movimiento de los planetas se pue-

:..r; -,--lizar del mismo modo.

~ comenzar, recordemos lo dicho sobre el movimiento de proyectiles en Ia

--!n3.3. En el ejemplo 3.7, un motocic1ista se Ianza horizontalmente del borde

447

12.12 Con una longitud de 13.2 my una

m asa d e 1 1,"000 k g, el telescopioespacial,

Hubble se cuenta entre lossatelites m a sgrandes que se han puesto en 6rbita.



448 CAPiTULO 12 I Gravitacion

(7)

(6)

Trayectorias (1) a (7):

proyectil lanzado desde A

hacia B con rapidez

creciente

12.13 Trayectorias de un proyectil lanzado desde el punto A en la direccion AB con

diferentes velocidades iniciales. Las orbitas (1) Y(2) se completarian como se muestr

la Tierra fuera una rnasa puntual en C. (Esta ilustracion se basa en una Figura aparecid

en los Principia de Isaac Newton.)

de un acantilado en una trayectoria parabolica que termina en terreno plano

base del acantilado. Si sobrevive y repite el experimento aumentando su rap

de lanzamiento, caera mas Iejos del punto de partida. Podemos imaginarlo lan

dose con tal rapidez que la curvatura de la Tierra se hace significativa. Al caeeaida es mas larga por la curvatura. Si la rapidez del rnotociclista es suficient

si su punto de lanzamiento es tan alto que puede librar las montafias, podria se

dando vuelta a la Tierra, sin jamas toear el suelo,

La figura 12.13 rnuestra una variacion de este tema. Lanzamos un proyectil

punta A en la direccion AB, tangente ala superficie terrestre. Las trayectorias

a (7) muestran el efeeto de aumentar la rapidez inicial, En las trayectorias (3)

el proyectil no choca con laTierra y se convierte en su satelite. Si no hay una

za que frene al proyectil, su rapidez al volver a A es la que tenia inicialmente

movimiento se repite indefinidamente.

Las trayectorias (1) a (5) terminan donde comenzaron y se denominan orb

cerradas, Todas las orbitas cerradas can elipses a segmentos de eJipses; la

yectoria (4) es un circulo, un easo especial de elipse. Las trayectorias (6) y (7)orbitas ablertas; el proyectiI nunea vuelve a su punta de partida y se aleja

ver mas de la Tierra.

Una 6rbita circular como la trayectoria (4) de lafigura 12.13 es el caso mas

ple, Tambien es un caso importante, pues muchos satelites artifieiales tienen or

casi'circulares y las orbitas de los planetas alrededor del Sol tambien son aprox

damente circulares, La unica fuerza que actua sobre un satelite en orbita circula

rededor de la Tierra es la atraccion gravitaeional de esta, dirigida hacia el centr

la Tierra y, por tanto, hacia el centro de la 6rbita (Fig. 12.14). Como vimos en la

cion 5.4, esto implica que el satelite esta en movimiento circular uniforme y su

dez es constante. EI satelite no cae hacia la Tierra; mas bien, cae constanteme



12.4 I Movimiento de satelites

Orbi ta circular: aceleracion Ii

perpendicular a la velocidad {i,

pOI ella, 13 rapidez v es constante

a lr ed ed o r d e 1aTierra. En una 6rbita circular, la rapidez es exactamente la necesa-

ria pam mantener constante la distancia entre el satelite y el centro de la Tierra.

l,C6mo podemos calcular la rapidez constante v de un satelite en 6rbita circu-

lar? EI radio de la 6rbita es r, medido desde el centro de Ia Tierra; la aceleracion

del satelite tiene magnitud "rad = v2/r y siempre esta dirigida hacia el centro del

circulo. Par la ley de la gravitaci6n, la fuerza neta (la gravitacional) que actua so-

bre el satel ite de masa m tiene magnitud Fg : ' GmTm/i). y tiene la direcci6n de 1a

aceleraci6n. La segunda ley de Newton (~F = mii) nos dice que

GmTm mo'

---=--r

Despejando v, tenemos que

? r

v =,~ (6rbita circular) (12.12)

Esta relaci6n muestra que no podemos escoger el radio de la 6rbita r y la rapidez

u independienternente; pam un radio dado, la rapidez de la orbitacircular esta de-

terminada.

La ecuaci6n (12.12) tambien muestra que el movimiento del satelite no depende

de su masa porque m no aparece en la ecuacion, Si pudieramos partir un satelite a

la mitad sin alterar su rapidez, cada mitad seguiria con el movirniento original.

Una astronauta a bordo de un transbordador espacial tambien es como un satelite

de la Tierra, mantenido por la atracci6n gravitacional en la misma 6rbita que la na-

ve. La astronauta tiene la misma velocidad y aceleraci6n que la nave, asi que nada

la empuja contra el piso 0 las paredes de la nave. El111.esta en un estado de ingravi-

de z apar e nte , como en un elevador en caida 1ibre; veJse la explicacion que sigue al

ejernplo 5.10 en la seccion 5.2. (La verdadera ingravidez s610se lograria si 1aastro-

nauta estuviera infinitamente lejos de cualquier otra masa, de modo que la fuerza

gravitacional sobre ella fuera cero.) De hecho, cada parte de su cuerpo esta aparan-

temente ingravida (carece de peso); ella no siente que nada empuje e1est6mago

contra los intestinos ni la cabeza contra los hombros (Fig. 12.15).

449

12.14 La fuerza F g debida ala atracciongravitacional de la Tierra proporciona la

aceleracion centripeta que mantiene a unsatelite en orbita, Compare esta figura con

la 5.29

4 .6 Satelites en 6rbita

12.15 Estos astronautas del transbordador

espacial estan en un estado de ingravidezaparente. l.CulHes estan parades y cuales

estan de cabeza?



450

(a)

(b)

12.16 (a) La Estacion Espacial Jnternacio-

nal esta en orbita a una altitud de aproxi-

madamente 4 00 km , 0 sea, a cerca de 6800

km del centro de la Tierra. Su rapidez orbi-

tal es de aproximadarnente 7.7 kmls y su

periodo orbital es cercano a 93 minutes.

(b) La Luna esta en orbita terrestre a unadistancia mucho mayor de aproximadamen-

te 384,000 km, Por ella, tiene una rapidez

orbitallenta (cerca de 1.0 km/s) y un pe-

riodo orbital largo (27.3 dias).

12.17 Los ani lIos de Saturno se componen

de inumerables particulas de hielo, cada

lUla de las cuales es un satelite indepen-,

diente en 6rbita alrededor de Saturno.

CA.PiTULO 1 2 I G rav itac io n

La ingravidez aparente no se da solo en orbitas circulares; existe siempre que

la graved ad es la {mica fuerza que'actua sobre una nave espacial; par tanto, se ex

perimenta en orbitas de cualquier forma, incluidas las abiertas como las (6) y (7

de la figura 12 . 13 .

Podernos deducir una relacion entre el radio_r de una 6rbita circular y el perio-

do T, la duraci6n de una revoluci6n. La rapidez v es la distancia 27Jr recorrida en

una revoluci6n dividida entre e1periodo: .

v (12.13)T

Obtenemos una expresion para T 8 1 despejamos T de la ecuacion (12.13) Ysus-

tituirnos v de la ecuaci6n (12.12):

( 6rbi r a circular) (12. I 4~,

Las ecuaciones (12.12) Y(12.14) muestran que las 6rbitas mas grandes correspon-

den a velocidades mas bajas y periodos mas largos (Fig. 12.16).

Es interesante comparar la ecuacion (12.12) con el calculo de la rapidez de escape

en el ejemplo 12.5. Vemos que la rapidez de escape de un cuerpo esferico con radio

R es v'2 veces la rapidez de un satelite en una 6rbita circular con ese radio. Si nues-

tra nave esta en 6rbita circular alrededor de cualquier planeta, deberemos multiplicar

nuestra rapidez por v2para escapar a 1 infinite, no importando 1amasa del plan eta.

Dado que la rapidez u en una 6rbita circular esta dada por la ecuacion (12.12)

para un radio orbital r dado, la energia mecanica total E = K + U tambien esta de

terminada, Usando las ecuaciones 02.9) y (12.12), tenemos

1 ( G m ' [ m ) = _ 1 m (G ln T ) _ G m T I nE=K+ U=-mv+ -----

2 r 2 r r

GmTInE=---

2r( 6rbita circular) 02.15)

La energia mecanica total en una orbita circular es negativa e igual ala mitad

de 1a energia potencial. Aumentar el radio orbital r implica aurnentar la energia

mecanica C Q sea, hacer E menos negativa). Si el satelite esta en una orbita re

lativamente baja y toea los rnargenes de la atmosfera, la energia rnecanica dismi-

nuira a causa del trabajo negativo efectuado por la resistencia del aire; en con-

secuencia, el radio orbital disminuira hastaque el satelite caiga a tierra 0 se queme

en la atmosfera,Hemos hablado casi exclusivamente de satelites terrestres, pero podemos apli-

car el fnismo analisis al movimiento circular de cualquier cuerpo sometido a la

atracci6n gravitacional de un cuerpo estacionario. Otros ejemplos son: la Luna,

las lunas de otros planetas y los anillos de Saturno. Si estos anillos fueran un cuerpo

rigido eh rotacion, todas sus partes tendrian el mismo periodo orbital T y, por la

ecuaci6n (12.13), las regiones exteriores de los anillos (r grande) tendrian mayor

rapidez que lasinteriores (r pequefio). Sin embargo, dado que los anillos estan

formados por muehas particulas en orbita, las ecuaciones (12.12) y (12.14) nos di-

cen que las particulas de las regiones exteriores tienen un periodo mas largo y se

mueven mas lentarnente que las de las regiones interiores (Fig. 12.17).



12.4·1 Movirniento de satelites- 451

E jemp l o

12.6 liJnabrb it a de s a t'e lit e

Suponga que desea poner un satelite metereologico de 1000 kg en 6r-

bita circular a una altura de 300 km sabre la superficie terrestre. a)l,Que r ap id e z, p er io d o. y a ce le ra ci on radial debe tener? b) l,Cu.anto tra-

bajo se requiere para poner el satelite en 6rbita? c) l,Cuanto trabajo

adicional s e nece s it ar ia para que el satelite escapara de la Tierra? EI

radio de laTierra es x- =6380 km y su masaes zn- =5.97 x Itf'l kg.

1 l 1 " ' l i i "ttlI O E N T I P , I C A R : E l s ate lite e st a en orbita circular, asi que podemos

u sa r la s e cu ac io ne s que deduc imos en e st a s ec ci on .

: P L A : N T E A R : En laparte (a) nos dania altura del satelite, asi que prime-

ro calcuiamas el radio de s u o rb it a y luego l a r apid ez v y el periodo T

usando las ecuaciones (12.12) y (12.14). La aceleraci6n en una orbita

circular esta dada por la formula que vimos en el capitulo 3, a"d =u 2/r . Para los p ro ce so s d e sc ri to s en las partes (b) y (c), el trabajo re-

querido es la diferencia entre las energias rnecanicas in ic i al y final que,

en el caso de una 6rbita circular, estan dadas por la ecuacion (12.15).

~EJEOUTAR:a) EI radio de l a o r bi ta del satelite es

r = 6380 km + 300 Ja n =<180km = 6.68 X 106 Il1

Por la ecuaci6n (12.12),

(6 .67 X 10-11 N · m2/kg2)( 5.97 X 1024 kg )

..._ ... 6 .68 X 106 m

=7720 m/s

Por la ecuacion (12.14),

_ 2 7 T r 27T(6 .68 X 106m)T = _' = ~~. ___:_

u 7720 mls

= 5440 s = 90.6 min

La aceleracicn radial es

v" (7720 m/sFarad = - = ,

r 6.68 X 106 m

= 8.92 rn/s"

Este es el valor de g a una altura de 300 kill sabre la superficie te-

rrestre; es till poco rnenor que en la superficie,b) EI trabajo requerido es la diferencia entre E 2, la energia mecanica

total cuando el satelite esta en orbita, y E ]o la energia rnecanica ori-

ginal cuando el satelite estaba en reposo en su plataforma de lanza-

miento. En 6rbita, si usamos la ecuaci6n (12.15) la energia es

GmrmE2=-~

(6.67 X 10-11 N . m2/kg 2) (5.97 X H P~ kg }( 1 00 0 kg )

2(6.68 X 106 m]

= -2.99 X 1010 J

En repose en la superficie terrestre, la energiaes exclusivamente

potencial:

£1 =K , + U, = 0 + (_ GmTm)R T

(6.67 X 10-11 N·m2/kg2)(5.97 X l(i~kg)(HlOOkg)

6.68 X r o 6m

= -6.25 X 1010 J

a si q ue

Wrcqucrido= E2 - EI = = -2.99 X 1010 J - (-625 X 1010 1)

= 3 .26 X lO w J

c) En la parte (b) del ejernplo 12.5, vimos que, pID2. ~ fillsateli-

te escape al infinito, la energia rnecanica total debe sa- CCTQ. Laenergia mecanica total en la orbita circular es E - : _=-L 9 9 X 1010

J; para elevar esto a cero tendriamos que efecmar nn mibajo de

2 .99 X 1010 1 . Esta energia extra podria 'lew de coheres unides al

satelite.

E V A - L U A R : En la parte (b), hicimos case omiso de J a mcrgia: einerica

inicial que el satelite tenia par la rotacion terresne cuando aim estaba

er r la plataforma de lanzamiento. Le s ug er ir no s v er if ic ar ]a irrtpcrtan-

cia de la diferencia (en el ejemplo 12.5 se da n dams fui les).

I

Un transbordador espacial y un sate lite estan en la misrna orbita circular pero en

lados opuestos de la Tierra. Explique como el transbordador podria hacer contac-

to con el satelite maniobrando hasta colocarse en una 6rbita circular cop un radio

un poco menor, i.El contacto tambien podria establecerse colocandose en una or-

bita circular con radio un poco mayor?

\

.'-;



452

y

12..18 Geometria de una elipse, La suma

de las distancias SP y S ' P es la misma para

todos los puntas de la curva. Se exageraron

los tarnafios del sol (S) y del planets (P)

par claridad,

I'I

r \

s ~P = l inea del Sol

al planeta

C a )

(b)

(c)

12.19' (a) El planeta P se mueve alrededor

del Sol (S ) en una 6rbita eliptica, (b) EnUD tiempo dt, la linea SP barre un area

dA =Hr de ) r = = 1 , 2 de . (c) La rapidez del

planeta varia de modo que la linea SP

barre la misma area A en un tiempo

dado 1, sea cual sea la posicion del planeta

en su orbita.

CAPfTU to 12 I Gravitaci6n

12.5 I L a s le ye s d e Kep le r y e l mov im ien tode los p lane ta s

La palabra planeta viene de un vocablo griego que significa "vagabundo"; efectiva-mente, los planetas cambian continuamente su posicion en el cielo relativa al fondo

estrellado. Uno de los grandes logros intelectnales de los siglos XVI y XVll fue dame

cuenta de tres descubrimientos: que laTierra es unplaneta, que todos los planetas es-

tan en orbita alrededor del Sol y que los movimientos aparentes de los planetas

vistos desde la Tierra pueden servir para determinar con precision sus orbitas,

Los primeros dos descubrimientos fueron'publicados por Nicolas Copernico

en Polonia en 1543. La determinacion de las orbitas planetarias entre 160 I Y 1619

corrio a cargo del astr6nomo y matematico aleman Johannes Kepler, utilizando un

voluminoso conjunto de datos precisos acerca de los movimientos planetarios

aparentes compilado por su mentor, el astronomo danes Tycho Brahe. Por medio

de prueba y error, Kepler descubri6 tres leyes empiricas que describian con exac-

titud los movimientos de los planetas:

1. Cada planeta se mueve en una 6rbita eliptica, con el Sol en uno de los

focos de la elipse.

2. Una linea del Sol a un planeta dado barre areas iguales en tiempos

iguales,

3. El periodo de un planeta es proporcional a la longitud del eje mayor de

su 6i-bita elevado a la potencia l'---

Kepler no sabia par qu e los planetas se movian asi, Tres generaciones despues,

cuando Newton dirigi6 su atencion al movimiento de los planetas, descubrio que

las leyes de Kepler pueden deducirse; SOIl consecuencias de las leyes del movi-miento de Newton y de la ley de la gravitacion. Veamos de d6nde surge cada una

de las leyes de Kepler.

Consideremos primero las 6rbitas elipticas descritas en la primera ley de Ke-

pler. La figura 12.18 muestra la geometria de la elipse. La dimension mas larga es

el eje mayor, siendo "a" la mitad de su longitud; esta distancia se denomina eje

semimayor. La suma de las distancias de SaP y de S' aPes la rnisma para todos

los puntas de la.curva, S y S' son los focos. E1Sol esta en S, y el planeta esta en P;

consideramos a ambos como puntas porque su tamafio es muy pequefio en com-

paraci6n con la distancia entre ellos, No hay nada en el otro foco S' .

La distancia de cada foco al centro de la elipse es ea, donde e es un numero adi-

mensional entre 0 y 1 llama do excentricidad. Si e = = 0 , la e lip se es un circulo. Las

orbitas reaJes de los planetas son casi circulares; sus excentricidades varian entre0.007 para Venus y 0.248 para Plut6n (Ja 6rbita de la Tierra tiene e := 0.017). EJ

punto de la orbita mas cercano al Sol es el perihelia, y el mas lejano, el afelio.

Newton pudo demostrar que, para U1 1 cuerpo sobre el que acuia una fuerza de

atracci6~proporcional a lIr2 las unicas 6rbitas cerradas posibles son un circulo 0

una elipie; tambien demostr6 que las orbitas abiertas (las trayectorias (6) y (7) en

la Fig. 12.13) deben ser parabolas 0 hiperbolas. Estos resultados pueden deducir-

se aplicando directamente las leyes de Newton y la ley de la gravitacion, junto can

ecuaciones diferenciales mas complejas que las que podemos enfrentar.

La segunda ley de Kepler se muestra en lafigura 12.19. En un lapso pequefio

dt, la linea del Sol Sal planeta P describe un angulo de. EI area barrida es el trian-



12.5 I Las Ieyes de Kepler y el movimiento de los planetas 45

gulo coloreado de altura r, base r dB y 'area dA = ± r2 de (Fig. 12.19b). La rapidezcon la que se barre area, dAldt, se denomina velocidad de sector:

dA 1 2 de-=~r ~

dt 2 dt(12.16)

La esencia de la segunda ley de Kepler establece que la veJocidad de sector tiene

el mismo valor en todos los puntos de la orbita, Cuando el planeta esta cerca del

Sol, res pequefia y deldt es grande; cuando el planeta esta lejos del Sol, res gran-

de y de/dt es pequefia,

Para ver como la segunda ley de Kepler es consecuencia de las leyes de Newton,

expresamos dA / dt en terminos del vector de velocidad li del planeta P. La compo-

nente de v perpendicular a la linea radial-es v r, = v sen ¢.Por la figura 12.19b, el

desplazamiento en la direccion de v .L durante el tiempo dt es r dB, de modo que

tenemos v _l = r deIdt. Usando esta relacion en la ecuacion (12.16), obtenemos

dA 1---- = = r u sen ¢

dt 2

(velocidad de sector) (12.17)

Ahora bien, rv sen ¢es la magnitud del producto vectorial F x V , que es 11m ve-

ce s la cantidad de movimiento angular l= r x m v del planeta respecto al Sol.

Tenemos entonces

dA ' 1 1 _ ~I L- = -- r X mu, =-dt 2m 2m

Por tanto, la segunda le)/jde Kepler, establece que la velocidad de sector es cons-

tante, iimplica que la cantidad de movimiento angular es constante!

Es facil ver por que la cantidad de movimiento angular delplaneta debe ser cons-

tante, Segun la ecuacion (10.29), la rapidez de cambio de t. es igual al momentade torsi6n de la fuerza gravitacional F que aetna sabre el planeta:

(12.18)

di _ ~ --='T=rxFdt

En nuestra s i tuacion, r esel vector del Sol al planeta, yFesta dirigida del planeta al Sol.

Par tanto, estos vectores siempre estan en la rnisma linea y su producto r x F vecto-

rial e s cero, y iildt = O . Esta conclusion no depende del compor tamiento segun l1r2de

la fuerza; la cantidad de movimiento angular angular se conserva para cualquier fuerza

que siem pre aetn a so bre Ia linea que une l a part icu la a un punfo fijo, denominadafoer-

za central. (La primera y tercera leyes de Kepler solo Son validas para fuerzas 1Ir2.)

La conservacion de Ia cantidad de movimiento angular tambien explica por que

la 6rbita esta en un plano. EI vector i. = r x m v siempre es perpendicular al pia-

no de -; y v ; dado que Ies cons tan te en magnitudy direccion, r , y v siempre estan

en el mismo plano, que es el plano de la orbita del planeta.

Ya deducimos la tercera ley de Kepler parael caso particular de orbitas circu-

lares. La ecuacion (12.14) muestra queel pE<riodpde un sateliteo planeta en una

6rbita circular es proporcional al radio de la orbita elevado a la potencia ~ New-

ton pudo demostrar que esta misma relacion se eumple para una orbita eliptica,

sustituyendo e l radio r por el eje semimayor a: I I

27ra3 1 2

T=:--

~-

(orbita eliptica alrededor del Sol) , - (12.19)

Dado que el planeta esta en orbita alrededor del Sol, no de la Tierra, sustituimos

mT enla ecuacion (12.14) par la masa del Sol, ms. Observe que el periodo no



454 CAPiTULO 12 I Gravitacion

tivar vease la Fig. 12-.10),lo_eual se da cuando r es minima.Por tan-

to , la rap id ez .u es m ax im a en el perihelio.

Aqui podemos aprovechar 10 que nos dice la intuici6n acerca de

los cuerpos que caen, Al caer el planeta.hacia el Sol, adquiere rapi-

dez, y su rapidez es maxima c ua nd o e sta 1M s c er ea del Sol. Por el

mismo razonamiento, el planeta se frena al alejarse del Sol, y su ra-

pidez es minima en el afelio.

. 'depende de la excentricidad e.Un asteroide en una 6rbita eliptica alargada con eje'

semimayora tiene elmismo periodo orbital-que un planeta en una orbitacircular

de radio a. La diferencia clave es que la rapidez del asteroide varia a 1 0 .Iargo de

.su orbita eliptica (Fig. 12.190), mientras que Ia del planeta es constante.

.: E jem plo

C o nce ptua l 1 2. 7 lapi'deces mrbitafes

lEn qu e punto de una 6rbita eliptica(Fig, 12.18) tiene mayor rapi-

dez un planeta?

·'~hi'j(·aLa energia mecanica se conserva al desplazarse el planeta en su 6r-

bita. La energia cinetica del planeta, K = ! m v 2 es maxima cuando

la energia potencial U =, - Gm-mh: es minima (es decir, mas nega-

Ejemp lo

12.8 - lelrceriIJ ~ey'de Kep le r

E1. as tero ide Pallas tiene un periodo orbital de 4,62 afios y una ex-

cenrricidad orbital de 0.233. Calcule el eje semimayor de su 6rbita.

1 1 · w " a t . g l

I D E N i l lF [ C , I I l R Y P I L A N i l E A R : Los asteroides estan en orbits alrededor

del Sol; asl que podemos usar la tercera ley de Kepler en la forma de la

ecuacion (12.19) para determinar el eje semirnayor a a partir del perio-

do dado T.Observe que no necesitamos el valor de la excentricidad,

. .II~f £ J I E C l 1 I i l i A R : , Por la eeuaci6n '(12.19), aJ!2 = ( v a ; ; ; T)I2Tr. Para

despejar a,elevamos esta expresicn a la potencia ~:

a = (Gm

sT2)lI34Tr2

Puesto que G = 6.67 X 10-1 1 N.nl/kg2 y ms = 1.99 x J0, 0 kg (la

masa del Sol, del apendice F) esta dada en unidades del Sistema In-

E j e m p l o

12.9

ternacional 81, deberemos expresar eJperiodo Ten segundos, no en

aiio s, em ple an do un fa cto r de c on ve rsio n d el ap en dice E : T'= (4.62

afios) (3.156 X la' s/afio) = 1 .46 x 10 8 s. Con este valor, obtene-

mos a =4.15 X 10 1 )n. (Haga el calculo para comprobarlo.)

EVAI!.I!J~R::Nuestro resultado es intermedin entre los ejes semima-

yores de Marte yJupiter (vease el apendice F). Efectivamente, la

mayor parte de los asteroides estan en un "cinturon de asteroides"

entre las 6rbitas de esos dos planetas .

Como nota historica, Pallas se descubrio apenas en 1802, casi

des siglos despues de la publicacion de la tercera ley de Kepler,

Aunque Kepler dedujo sus tres leyes a partir de los movimientos de

los cinco planetas (aparte de la tierra) que se conocian en ese enton-

ces, dichas leyes han demostrado ser validas para todos los planetas,

astercides y cornetas que se descubrieron posteriormente en orbita

alrededor del Sol.

E I come1!a J l 1 a l l ! e y

El cometa Halley se mueve en una orbita eliptica alargada alrede-

dor del Sol (Fig. 12.20). En el perihelio, el cometa esta1a 8.75 X 10'

km del Sol; en eJ a felio, esta a 5.26 X 109 krn del.Sol. C~lcule el eje

semimayor, la exeentricidad y el periodo de la orbita. II

' N ! 1 1 4 i 1 t " ~ I )IDE~nfJ(AR V' P I ! . A N > l i E A R : : Dadas las distancias' en el perihelio y

el afelio, podemos obtener el eje semimayor y la excentricidad 'a

partir de Lafigura 12.18. Una vez que conozcamos eleje semima-

yor, podremos obtener el periodo orbital con la ecuacion (12.19).

E J E ' C l ! J l i A R : . Par la figura 12.18, la longitud del eje mayor es la su-

. rna de las distancias corneta-Sol en el perihelio y en el afelio. La

longitud de ese eje es 2a, asi que

8.75 X 10 7 km + 5.26 X 109 km _ 9

a = = 2 - - 2 .67 X 10 km

Si analizamos la figura 12.18 veremos que la distancia corneta-

Sol.en el perihelia esta dada par

a~ea=a(l-e)



12.5 I Las leyes de Kepler y.el movimiento de los.planetas

(a)

455

H em os supuesto q ue, m ien tras un planeta 0 com eta se m ueve alrededor d el Sol, es-

te perm an ece ab so lutam en te estacio nario . D esd e luego, esto no puede ser correcto; el

Sol ejeree una fuerza gravitacional sabre el planeta, asi que este debe ejercer sabre

el Sol una fuerza d e la m ism a m agnitud pero d ireccion opuesta, D e hecho, tanto el S 61

como el planeta giran alreded or de su centro d e m asa com un ( Fi g. 1 2 . 2 1) , No o bs ta n-

te, nuestro erro r al d espreciar este efecto es pequefio; la rnasa d el S ol es unas 750 veces

m ayor q ue Ia m asa com binada de todos los planetas, de modo que el centro de masa del

sistem a solar no esta lejos del centro del SoL Resulta in teresante que los astronornos

ban aprov echad o este efecto para d etectar la presen cia d e plan etas en o rb ita alred ed or

d e o tras estrellas. L os telesco pio s m as sen sib les pued en d etectar el " bam bo leo " aparen -

te d e una estrella en 6rbita alred ed or d el centro d e m asa co rm in-d e Ia estrella Y . u n p la -

n eta aco rn pafian te q ue n o p ued e v erse. (L a lilz reflejad a ·po i·lo s-plan et.as es d em asiad o

ten ue para o bserv arse d irectam en te.) A naliz an do lo s cl~ talles d e eso s " bam bo leo s" , lo s

astr6no mo s han d escub ierto planetas en orbita alred ed or d e d ocenas d e estrellas,

Los astronomos m od erno s usan a d iario los resultad os d el analisis de los m ovi-

m ien to s plan etario s efectu ad o po r N ew to n. N o o bstan te, el resu ltad o m as n otab le-d e la

labor de N ew ton es que los m ovim ientos de los cuerpos celestes obedecen las mismas

ye s que los cuerpos en la Tierra. E sta sintesis newtoniana, como se ha llamado, es

Conccemcs esta distancia (8,75 x 107 km), asi que la excentrici-

dad es

EVALUAR : La excentricidad es casi 1, asi que la orbita delcometa

es muy alargada (vease Ia figura 12,20a), EI corneta Halley estuvo

en su perihelia a principios de 1986; llegara otra vel al peri!le!io u

periodo despues, en el afio 2061'.

\Orbita del planeta

. t "s~O Estrella

.fOrbita de la estrella

(b)

12.20 .(a) Drbita del cometa Halley. (b) EI corneta en 1986. En el

corazon del cometa hay un cuerpo helado, llamado nucleo, de

unos 10 km de diarnetro. Cuando el cometa se acerca el .Sol, el'calor de este hace que el nucleo se evapore parcialmente. EI material

evaporado forma la cauda, qu e puede tener decenas de kilometres

de Iongi tud,

8.75 X 107 km 8.75 X 107km

e = 1 - = 1 - - = 0.967a 2.67 X 109 km

El periodo esta dado pm.:r ecuacion (12.19):

27.a312 27.( 2.67 X 1012 m)J/2T=~= .. -

~ V(6.67 X 10 llN·m2

/kg2

)(1.99 X 103

[)kg)=2.38 X 109 S = = 75.5 aiios

Planeta

IJp

12.21 U na estrella y su planeta estan en or-

bita alrededor de su centro de masa comun.

La estrella tiene una masa mucho mayor y

esta mucho m a s cerca del centro-de masa

(mucho mas qu e 10que se rnuestra aqui). El

planeta y l a e st re ll a e st an e n l ad es o pu es to s

del centro de masa en todo momento ,



1 · r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

456

p

m

I,

'I

(a)

s

p

iTTr - f cos ~ I

r

il(b)

12.22 (a) Para calcular los efectos gravita-

cion ales afuera de un casco esferico, pue-

de considerarse que toda la masa M esta

concentrada en el centro. (b) La distancia s

es la hipotenusa de un triangulo rectangulo

can catetos (r - R cos ¢) y R sen ¢.

CAPITULO 12 I Gravitacion

uno de los grandes principios unificadores de la ciencia y afecta profundamente la for-

ma como vemos el universe: no como un reino de misterio impenetrable, sino como

una extensi6n directa de l mundo cotidiano, sujeta al estudio cientifico y el calculo.

La 6rbita del corneta X tiene un eje semimayor cuatro veces mas grande que el

eje semimayor del corneta Y Calcule la raz6n de los periodos orbitales de los dos

cometas.

*12.6 I D i stribuc iones esfe ricas de masa

Hemos usado, sin demostrarla, Ia afirmacion de que la interaccion gravitacional

entre dos distribuciones de masa esfericarnente simetricas es la misma que seria si

la masa de cada una estuviera concentrada en su.centro, Ya estamos en condicio-nes de demostrar esto. Newton busc6 varios afios una demostracion, y aplaz6 Ia

publicacion de Ia ley de la gravitaci6n hasta que la encontro,

He aqui 10 que haremos. En vez de comenzarcon dos masas esfericamente si-

metricas, atacaremos eJproblema mas sencillo de una masa puntual m que interac-

nia con un casco esferico delgado con masa total M.Demostraremos que, si m esta

fuera de la esfera, la energla potencial asociada a esta interaccion gravitacional es

la que seria siM estuviera concentrada en 1 3 1 centro de la esfera, Segun la ecuacion

(12.10), la fuerza es la derivada negativa de la energia potencial, asi que lajUerza

que actua sobre m es la misma que para una masa puntual M . Toda distribucion

e sfe ri camen te s ime tr ic a de masa puede considerarse formada por muchos cascos es -

fericos concentric os, asi que nuestro resuljado sera valido para cualquier M esfe-

ricamente simetrica,

Comenzamos por considerar un anillo en la superficie del casco (Fig. 12.22a),

centrado en la linea del centro del casco a m. Hacemos esto porque todas las par-

ticulas del anillo estan a la misma distancia s de lamasa puntual m. Por la ecuacion

(12.9), la energia potencial de lainteraccion entre la tierra (masa mT ) Yuna masa

puntual m separada una distancia r es U = - Gm-mlr. Cambiando la notacion en

esta expresion, vemos que, en la situacion de la figura 12.22a, la energia potencial

de interaccion entre m y una particula de rnasa m , del anillo esta dada por

Gmm,U = -----I S

Para calcular la energia potencial de interacci6n entre myel a11i11ontero de ma-

sa dM ='iilni' sumamos esta ex presio n d e Ui para todas las particulas del anillo.

Llamamos a esta energia potencial dU, y vemos que

" " ~ Gmmi ) Gm ~ Gm elMdU = L..Uj = L.. --- = ---- L.Jmi = - .j j. S S j S

Para cohtinuar, necesitamos conocer la masa d J 1 . 1 del anillo, que podemos calcular

con un poco de geometria, El radio del casco es R, asi que, en terminos del angu-

1 0 < p de la figura, el radio del anillo es R sen cp, y su circunferencia es 2r.R sen cp

La anchura del anillo es R dcp, Y su area dA es aproximadamente su anchura mul-

tiplicada par su circunferencia:

(12.20)



12_6 I Distribuciones esfericas de masa 457

La relacien entre la masa del anillo dM y la masa total M del casco es la misma

que hay entre el area dA del anillo y el area total A = 4 1TR2 del casco:

dM

M

21TR2 sen ¢ d¢ 1--4-1T-R- 2 : _ _ _ _ _ : _ = " 2 sen ¢d¢ (12.21)

Ahara despejamos dIvly sustituimos el resuJtado en la ecuaci6n (12.20) para obte-

ner la energia potencial de interaccion entre la mas a puntual myel anillo:

GMm sen¢d¢dU = - ---:_____:_

2s(12.22)

La energia potencial total de interaccion entre la masa puntual myel casco M

es la integral de la ecuacion (12.22) para toda la esfera, desde tjj'= 0 hasta ¢ = = tr

(ina 21Tl) y desde s = = r ~ R hasta s = r + R . Para realizar la integracion, de-

bemos expresar el integrando en terrninos de una sola variable; escogemos s.

Para expresar ¢y d¢ en terminos de s necesitamos otto poco de geometria. En la

figura 12.22b es evidente que soes la hipotenusa de un triangulo rectangulo con ca-

tetos (r - R cos < /» y R sen ¢, asi que, por el teorema de Pitagoras:

S2 = (r - Rcos< /> )2 + (Rsen¢)2

= ,.2 - 2rR cos ¢+ R2 (12.23)

Diferenciamos ambos miembros:

2s ds = 2rR sen < /> d</>

Ahora dividimos esto entre 2rR y sustituimos el resultado en Ia ecuacion (12.22):

GMm s ds GMmdU = -----_ = ---ds

2s rR 2rR(12.24)

') A ho ra podemos integrar la ecuacion (12.24), ree-ordandoques varia de (r - R) a (r + R):

GMm I " + R GMm -U= ~-- ds= --[(r+R) - (r-R)]

2rR r-R 2rR(12.25)

Par ultimo, tenemos

U= _ GMm

r(masa puntual m afuera de un casco esferico M ) (12.26)

Esto es igual ala energia potencial de dos masas puntuales m y 1\1a una distancia r,

asi que hemos demostrado que la energia potencial gravitacional del casco esferico

M y la masa puntual m a cualquier distancia r es la rnisma que seria si fueran mas as

puntuales. Dado que la fuerza esta dada por FI" = -dU/ar, 'Ia fuerza es la rnisma.

Cualquier distribucion esfericamente simetrica de masa puedeconsiderarse comouna combinacion de cascos esfericos concentricos. Par el principia de superposi-

cion de las fuerzas, 10 que es valido para un ~asco es valido para Ia comb inaci on.

Por tanto, hemos demostrado -Iamitad de 10 que nos propusimos, que la interac-

cion 'gravitacional entre una distribucion esfericamente simetrica de masa y una

masa puntual es la misma que seria si toda la masa de la distribucion estuviera~concentrada en su centro.

La orra mitad consiste en demostrar que dos distribuciones esfericamente sime-

mcas de masa interactuan como si fueran puntos. Esto es mas facil, En la figura

.22, las fuerzas que los dos cuerpos ejercen entre S 1 son un par accion-reaccion, y

ooedecen la tercera ley de Newton. Par tanto" hemos demostrado que la fuerza que

ejerce sabre Ia esfera M es la que ejerceria siM fuera un punta. Si ahara sustitui-



458

p

M

12.23 Si una mas a puntual m esra dentro

de un casco esferico uniforme de masa M,

la energia potencial es la misma sin impor-

tar en que punta del interior del casco estela masa puntual. La fuerza de Ia interac-

cion gravitacional mutua de las mas as

es cera.

CAPiTULO 12 I Gravitaci6n

mos m per una distribucion esfericarnente simetrica de masa centradaen la posi-

ci6n de m, la fuerza gravitacional que actua sabre cualquier parte de M es la mis-

rna que antes, y 10 mismo se cumple para la fuerza total. Esto cornpleta la

demostracion . '

M asa pun tual dentro de un casco esferico

Supusimos al principia que la rnasa puntual m estaba afuera del casco esferico, as

que nuestra demostracion 5610es valida si m esta afuera de una distribuci6n esfe-

ricamente simerrica de masa. Si m esta adentro de un casco esferico, la geometria

es la que se muestra en la figura 12.23. EI analisis es el mismo; las ecuaciones

(12.20) a (12.24) siguen siendo validas, pero en la ecuacion (12.25) los hmites de

integraci6n deben cambiarse a R - ry R + r. Entonces tenemos

GMm iR+

r. GMm

U= --, -, ds= --' -[(R+r) - (R-r)]2r R R-I' 2r R

(12.27)

y el resultado final es

GMmU=---

R(masa puntual m dentro de un casco esferico M ) (12.28)

Compare este resultado con la ecuaci6n (12.26): en lugar de tener r, la distancia entre

m y el centro 'deM, en el denominador, tenemos aR, el radio del casco. Esto implica

que U en la ecuacion (12.28) 110depende de r y per tanto tiene elmismo valor en to-

do el interior del casco. Sim semueve dentro del casco, no se efectua trabajo sabre ella

'1 asi que la fuerza que aetna sabre m en cualquier punta dentro del casco debe ser cero

En terminos mas generales, en cualquier punta del interior de una distribucion

esfericamente sirnetrica de masa (no necesariamente hueca), a una distancia r del

centro, la fuerza gravitacional que aetna sabre una masa puntual m es la misma

que existiria si eliminaramos toda la masa situada a una distancia mayor que r del

centro y concentraramos la masa restante en el centro.

; : E jem p lo

: . 12 .10 "Viaje al centro de la T ierra"

Suponga que hace un agujero que atraviesa la Tierra (radio RT ,

masa mT) siguiendo un diametro y deja caer una rnochila de correo

(masa T I l ) par el, Deduzca una expresi6n para la fuerza gravitacional

que aetna sabre la mochila en funci6n de su distancia r al centro.

Suponga que la densidad de la Tierra es uniforme (un modele no

muy realista; vea la Fig. 12.8).

,I D E N T I F IC A R V P lA N T E A R : Como vimos, la fuerza gravitacional

a una distancia r del centro s610 depende de 1a masa M dentro de

una esfera de radio r (Fig. 12.24). I

E J E C U T A R : Can densidad uniforme, la rnasa es proporcional al volu-

men de la esfera, que es 1 ' 1 l " r J para esta esfera Y1 1 T H ? para la Tierra.Tenemos

M 1 1 T ? ?-=--=-

12.24 Agujero por el centro de la tierra (que suponemos unifor-

me). Si un objeto esta a una distancia r del centro, solo la rnasa

dentro de una esfera de radio r ejerce una fuerza gravitacional neta

sobre 61 .



la expresion anterior da Fg = GmTmIRT2, como es de esperar. En

siguiente capitulo aprenderernos a calcular el tiempo que la moch

la tardaria en Ilegar al otro lado -de I a Tierra. Por ahara, tenga pr

sente que el supuesto de densidad uniforme de la Tierra es, como

agujero, pura fantasia. Ya vimos la variacion de la densidad detierra en Ia seccion 12.2.

12.7 I Peso aparente y rotaci6n terrestre

La magnitud de l a fuer za g r av i ta ciona l que actua sabre m esta dada por

GMm GmTm rJ GIn'[1nF =-- = ----- = ---:--r

g 1'2 r2 Ri R i

EVALUAR : Dentro de la Tierra, F g es d ir e ct amen te p r opor c iona l a

r, no a 1/~como afuera de la esfera. En la superficie, donde r = RT,

45

En la novela clasica de ciencia ficci6n En el centro de fa Tierra,escrita en 1913

por Edgar Rice Burroughs, ciertos exploradores descubren que la Tierra es una

esfera hueca y que toda una civilizacion vive en el interior de la esfera. LSeria po-

sible pararse y caminar en la superficie interior de un planeta hueco?

*12.7 I Pesoaparente y rotacien terrestre

Puesto que la Tierra gira sobre su eje, no es precisamente un marco de referencia

inercial, Por esta razon, el peso aparente de un cuerpo-en la Ti;;n.a no es exactamen-

te igual ala atracci6n gravitacional terrestre, a la que llamaremos peso verdadero w adel cuerpo. La figura 12.25 es una vista recortada de la Tierra que muestra tres ob-

servadores. Cada W1Q sostiene una balanza de resorte (dinam6metro) de 1a cual cuel-

ga un cuerpo de masa m. Cada balanza aplica una fuerza de tensi6n F al cuerpo, y 1a

lectura de cada baJanza es Iamagnitud F de dicha fuerza. Si los observadores no son

conscientes de la rotacion de la Tierra, piensan que la lectura de la bascula es igual

Polo norte 0 sur:

peso aparente = =

peso verdadero

! V Q =peso verdadero de un_objeto de masa m

if ' = fuerza ejercida por la balanza sobre el objeto

de masa III

F + W o = = fuerza neta que acnia sobre el objeto de masa Ill;

debido a la rotacion terrestre, no es cero

(excepto en los poles) _

iii =peso aparente = = opuesto de F

N

--"'i. . . . . . . . . . . . . ---. . . . . . . . . _ _ _ _ _

g o-iirad

Lejos poles:

la rotacion terrestre,

el pes a aparente

no es igu al a I peso

verdadero

12.25 Excepto en los poles, la lectura de

una bascula en la que. se pesa un objeto (e

pe so apar ent ej es men or que la fuerza de

atraccion gravitacional que actua sobre el

objeto (e l p es o v er d ad er o y. Ella se debe a

que se requiere una fuerza neta que propor

cione Ia aceleracion centripeta, pues el

objeto gira junto con la Tierra. Por claridad

en e l dibujo se exagera considerablemente

el angulo f 3 entre los vectores de peso ver-

dadero y peso aparente.



46 0 CAPITU LO -12 [ Gravitaci6n

al p eso d el cu erp o p org ue creen q ue este esta en eq uilib rio . A si, cad a o bserv ad or

p ien sa q ue a la te ns io n F a la q ue Ilam am os p eso aparen te. P ero si lo s cu erp os g iran

j un to c on la T ie rr a, no e sta n p re ci samen te e n e qu ili br io . N u es tro p ro b lema e s e nc on -

t ra r la r ela ci on e nt re e l p es o a pa re nt e lV , y e l v er da de ro W o o

S i s up on emo s que la T ie rr a e s e sfe ric ame nt e s im e tr ic a, e l p es o v erd a de ro w a ten-

d r a magn it ud GmtmlRr2, donde mT YRr so n lam asa y el rad io d e la T ierra. E ste v a-

lo r e s el m ismo p ara to do s lo s p un to s e n la su perfic ie te rre -s tre. S i p od em o s tom ar el

cen tro d e la T ierra como el o rig en d e un sistem a in ercial d e co ord en ad as, el cu erp o

q ue es ta e n e l p o lo n orte re alm en te esta e n e qu ilib rio e n u n sis tem a in ercia l, y la le e-

tum d e la b ala nz a d e re so rte d e es e o bs erv ad o r e s ig ua l a Woo E n cam bio , el cuerpo en

el ecu ad or se m uev e en u n circu lo d e rad io Rr con rapidez u, y d eb e h ab er u na fuer-

z a n et a h ac ia a d en tr o ig u al a la ma sa mu lti plic ad a p ar la a ce le ra ci on c en tr ip eta :

mu2W -F=-

o RT

P or tan to, la rn ag nitud d el peso aparente (ig ual a la m ag nitud d eF)

esmu'

W = Wo _ -_-

Rr

S i la T ierra n o g irara y el cuerp o se so ltara, este ten dria un a aceleracio n d e cai-

d a li br e go := wo lm . C om o la T ierra si g ira , la ac ele rac io n rea l d el cu erp o re lativ a

al ob serv ad or en el ecuad or es g = wlm. D iv id ie nd o la e cu aci6 n (1 2 .2 9 ) en tre m y

u sa nd o e st as r ela ci on es , o b te nemos

~( en el ecuador) (12 .2 9)

v2g =go _-

RT

Para evaluar u21 R T > ob servam os q ue, en 8 6,1 64 s, un punta en el ecuad or se m uev e

u na d ista nc ia ig ua l ala c irc un fe re nc ia d e la T ie rra , 2 7 1 " R T = 2 ' 1 T ( 6 . 3 8 X 106

m ). (E ld ia so lar, 8 6,4 00 s, es 3~5 m as larg o po rq ue, en un d ia, la T ierra tam bien reco rre 3~5

d e su 6rb ita alred ed or d el S ol.) P or tan to ,

271"(6 .38 X 106m}u = 8 6,1 64 s = 4 65 m /s

( e n el ec uad or)

v2 (465rn1s)2- =. .:= 0 .0 33 9 m /s2

RT 6.38 X 10 6 m

A si, para un a T ierra esfericam en te sim etrica, la aceleracio n d eb i da a la g rav ed ad

debe ser cerca d e 0 .03 m ls2 m en or en el ecuad or q ue en los palo s.

E n p un tas in term ed io s en tre el ecu ad or y lo s p olo s, el p es o v erd ad ero W o y la

aceleracion centripeta no estan en la m ism a linea, y necesitam os escribir unaecuaci6 n v ecto rial co rresp on dien te a la ecuaci6 n (1 2 .2 9). P or la fig ura 1 2 .2 5, es

ev id en te q ue la ecu aci6n ap ro piad a es

(12.30)

La d ifere~ia en las m agnitudes de g y go esta entre 0 y 0 .0339 m/s'', Como se

ap recia en la fig ura 1 2 .2 5, la direccion d el p es o ap are nte d ifie re d e la d ire cc io n h a-

cia el centro d e la T ierra en W1 angu lo p equef io { 3 , que es 0 .1 0 a m en os.

L a tab la 1 2.1 d a los v alo res d e g en v arios lug ares, rn ostran do las v ariacio nes

co n la latitu d. T am bien h ay o tras v ariacio nes p eq uefias d eb id as a q ue la T ierra n o

t ie ne u na s im e tr ia e sf er ic a p erf ec ta , v ar ia ci on es lo ca le s e n la d e ns id ad y diferencias

en e levaci6n .



12.8 I Agujeros negros

Tabla 12.1 V ariacio nes d e g co n la latitu d y la elevadon

Estaci6n Latitud norte Elevacion (m) g (m/s")

9° •

18°

32°

40°

40.5"

42"

70°

o

o

o

1638

235

oo

9.78243

9.78591

9.79806

9.79609

9.80118

9.80398

9.82534

Zona del Canal

Jamaica

Bermuda

Denver

Pittsburgh, Pa.

Cambridge, Mass.

Groenlandia

Nuestro anal isis del peso aparente tambien puede aplicarse a1fen6meno de la

ingravidez aparente en las naves en orbita, que describimos en la secci6n 12.4. Los

cuerpos dentro de la nave tienen peso; la atracci6n gravitacional de la Tierra sigue

actuando sobre ellos igual que si estuvieran en reposo relativos a la Tierra. El peso

aparente de un cuerpo en una nave esta dado tambien por 1aecuaci6n (12.30):

Sin embargo, para una nave en 6rbita, asicomo para un cuerpo dentro de la nave,

la aceleraci6n a r o d hacia el centro de 1aTierra es igual al valor de 1aaceleraci6n de la

gravedad g o en la posici6n de 1anave. Por tanto

y el peso aparente es

w = O

Esto es a 10 que nos referimos al decir que un astronauta u otro cuerpo en una

nave aparentemente no tiene peso. Observe que no supusimos nada acerca de la

forma de la 6rbita; como dijimos en la seccion 12.4, un astronauta carecera de peso

aparente sea cual sea su 6rbita (Fig. 12.26).

~Que rapidez v tendtia que tener un punto en el ecuador para que un objeto ahi

tenga un peso aparente de cera?

12.8 I Agujero s n egro s

El concepto de agujero negro es una de las consecuencias mas interesantes y descon-

certantes de la teoria gravitacional modema, pero la idea.basica puede entenderse

con base en los principios newtonian os. Pensemos primero .en las propiedades de

nuestro Sol. Su masa M = 1 .99 X 1030

kg Y radio R = 6 .9Q_X 108

m son muchomayores que los de cuaIquier planeta pero, en comparaci6n con otras estrellas, el

Sol no es excepcionalmente masivo.

~Que densidad media p tiene el Sol? Podernos calcularla como hicimos para la

Tierra enla secci6n 12.2\

M M 1.99 X \~030 kg

p = . v = ~7TR3 = !7T(6.96 X 108 m}3

= 1410 kg /n r'

La temperatura del Sol varia entre 5800 K (unos 5500°C) en la superficie y 1.5 X 10 7 K

en el interior, as! que seguramente no contiene s6lidos ni liquidos. No obstante, la

461

12.26 Sobre este astronauta en orbita ac-nia la gravedad de la Tierra, pero el siente

que no tiene peso porque su aceleraci6n

es igual a g .



462

(a)

(b)

12.27 (a) Si el radio R de uncuerpo esmayor que el radio de SchwarzschiIdRs, 1aluz puede escapar de la superficie del cuer-

po. Al alejarse, la luz se "desplaza al rojo"hacia longitudes de onda rnayores. (b) Si elcuerpo esta dentro del horizonte de eventos(radioRs), esun agujero negro con una ra-pidez de escapemayor quela rapidez de laIuz.En tal caso esmuy poca Iainforma-cion que podemos obtener acerca de el,

CAPITULO 12 ] Gravitacicn

atraccion gravitacional junta los atomos de gas hasta hacer al Sol, en promedio, 41%

mas denso queel agua y unas 1200 veces mas denso que el aire que respiramos.

Veamos ahora la rapidez de escape de un cuerpo en la superficie del Sol. En el

ejemplo 12.5 (seccion 12.3) vimos que la rapidez de escape de la superficie de una

masa esferica de masa My radio R es v = V2G.MIR. Podemos relacionar esto can

la densidad media. Sustituyendo M = pV = P(17tR3) en Ia expresi6n para la ve-

Iocidad de escape tenemos

(12.31)

Can cualquier forma de esta ecuacion, podemos calcular la rapidez de escape pa-

ra un cuerpo en la superficie solar, esta es v = 6.18 X 105 mls (cerca de 2.2 X 106

km/h). Este valor, que es cerca de 1/500 de la rapidez de la Juz, es independiente

de la masa del cuerpo que escapa; s610depende de la masa y el radio (0 1adensidad

media y el radio) del Sol.

Consideremos ahora diversas estrellas can la misma densidad media p y diferen-

tes radios R. La ecuacion (12.31) muestra que, para un valor dado de p, Ia rapidez

de escape v es directamente proporcional a R. fon 1783, John Mitchell, un astr6-

noma aficionado, sefialo que, si un cuerpo cop la rnisma densidad media que el

Sol tuviera un radio 500 veces mayor, la magnitud de 3U rapidez de escape seria

mayor que la rapidez de la luz c. Al apuntar que "toda la luz emitida de semejan-

te cuerpo tendria que regresar a el", Mitchell se convirtio en Japrimera persona en

sugerir la existencia de 10 que ahara J1amamos agujero negro.

La prirnera expresion para la rapidez de escape de la ecuacion (12.31) tambien su-

giere que un cuerpo de masa M actua como agujero negro si su radio R es menor 0

igual que cierto radio critico. (,C6mo podemos deterrninar dicho radio critico? Po-

drfamos pensar que se puede determinar su valor con s610hacer v = cen la eeuaci6n

(12.31). De hecho, esto si da el resultado correcto, pero s610porque dos errores se

compensan. La energia cinetica de la luz no es mell2, y la energia potencial gravita-

cional cerca de un agujero negro no esta dada par la ecuacion (12.9). En 1916, Karl

Schwarzschild us6 la teoria general de la relatividad de Einstein (que en parte es

una generalizacion y extension de Ia teoria gravitacional newtoniana) para dedu-

cir una expresi6n para el radio critico R s , llamado ahora radio de Sehwarzschild.

El resultado es elmisrno que si hubieramos igualado v a c en la ecuaciorf (12.31):

c = ( 2 G M'iR;

Despejando el radio de Schwarzschild xs, tenemos

{12.32)- .~.

Si un cuerpo esferieo sin rotacion con masa M tiene un radio menor que Rs, nada

(ni siquiera la luz) podra escapar de su superficie, y eJ cuerpo funcionara como

agujerp negro (Fig. 12.27). En este caso, todos los cuerpos que estell a rnenos de

una dis\anciaRs del centro del agujero negro quedaran atrapados por su atracci6n

gravitaciona! y 110podran escapar de el.

La superficie de la esfera con radio Rs que rodea a un agujero negro se denomi-

na horizonte de eventos porque, dado que 1aluz no puede escapar del interior de la

esfera, no podemos ver los eventos que ocurren ahi. Lo unico que un observador

afuera del horizonte de eventos puede conocer acerca de un agujero negro es su ma-

sa (POl'sus efectos gravitacionales sobre otros cuerpos), su carga electrica (porlas

fuerzas electricas que ejerce sobre otros cuerpos cargados) y su cantidad de movi-



1 2.8 I A gujeros negros 463

m iento angular (porque un agujero negro en ro taci6n tiende a arrastrar el espacio

- y todo 1 0 qu e contiene-s- junto con 61). Toda la demas informacion acerca del

cuerp o se pierd e irrem isiblem ente cu and o se colap sa d entro d e su horizo nte d e eventos.

Calculos de agu je ros neg ros

Las tear/as de astrofisica modernas sugieren que una es tr el la que-

mada puede colapsarse bajo su propia gravedad para formar un

aguj ero negro si su masa es de cuando menos trIOS masas solares. En

tal easo, i ,que radio tend ria el horizonte de eventos?

EVALUAR : Si el radio de semejante objeto es exactamente igual

Rs, la densidad media tiene el increiblemente alto valor de

1 1 1 ] . I H i u m llD ENTIF ICAR . Y P lANT EAR : El radio en cuesrion lO S Rs, dado par

la eeuaei6n (12.32). "Tres masas solares" signifies M = 3 (1.99

X 1030 kg) = 6.0 X 1030 kg.

M 6.0 X 1030 kg

P = ~ 1 T R 3 = ~ 1 T ( 8 . 9 X 10) m)3

=2.0 X 101& kg/m?

EJECUTAR: Po r l a e cu ac io n (12.32):

2GM 2(6.67 X 10-11 N .l112/kg2) (6.0 X 1030 kg)

R - -- - ~.----,---------=----:-:-----S - c2 - (3.00 X 109rn/s )?

= 8.9 X 103 ill= 8.9 km

Esto lOS del orden de 10 1:5 v ec es la d en sid ad d e la m ate ria ordinaria

en Ia Tierra y lO S comparable can la densidad de los niicleos at6mi

cos. De hecho, una vez que el cuerpo secolapsa a un rad io de Rs

n ad a p ue de ev ita r q ue se co la pse m a s : T cd a la rnasa se o om prim e

un solo punta Hamada singularidad en el centro del horizonte d

... eventos, Este punto: tiene volumen cero y,por tanto, densidad mjinita

que es menos d e 6 m illa s.

En puntos alejados de un agujero negro , sus efectos gravitacionales son los m is-

mas que los de cualquier cuerpo normal can la m isma masa. S i el So l se co lapsara

p ara f orm a r un agujero negro, las orbitas de los planetas no se afectarian. Sin em -

bargo, en las cercanias d el agujero n egro las cosas so n d rasticam ente distintas, Si ellector decid iera convertirse en un m artir de la ciencia y saltara a un a gu je ro n eg ro ,

quienes se qued aran arras ob servarian vario s efectos extraiios al m overse usted hacia

el horizon te d e eventos, casi todos asociadas a la relatividadgeneral, S i u st ed I le va ra

un rad iotransrniso r para inform ar d e sus experiencias, habria queresinton izar el re-

ceptor continuam ente a frecuencias cada vez m as bajas par el efecto denom inado

desplazamiento gravitacional al rojo. JW 1ta can este d esp laz am iento, los ob serva-

d ares percibirian que los r elo je s d e u st ed (e le ct r6 nic os 0 biol6gicos) avanz an cad a

vez m as len tam ente por el efecto Ilam ado dilatacion del tiempo, De hecho, a los ob-

servadores no les alcanzaria la vida para ver com o U d. Ilega al horizonte de eventos.

En su marco de referencia, usted Ilegaria al horizonte d e e ve nto s e n L In tiem po m uy

corto pero d e fo rm a un ta nto d esc on certan te . A l caer con los pies por delante hacia el

agujero negro, la atraccion 'gravitacional sobre los p ies sed a-m ayor que sabre la ca-

beza, que estaria lin poco m as lejos d el agujero. Las diferencias en la fuerz a gravi-

tacional que actua sobre las d istintas partes de su cuerpo sed an suficien tes para

estirarlo a usted en la d ireccion hacia el agujero negro y c om prim irlo e n la d ire cc io n

p erp en dic ular. E sto s efec to s (lla rn ad os fuerzas delmarea) separarian sus atom os y

lu ego lo s d esgarrarian, antes d e qu e usted lIegase al horiz onte d eeventos.

S i la luz no puede escapar d e un agujero negro, y ~\ lo s agujeros negro s son tan p e-.

q ue fi os c omo sugiere e l e jemp lo 12.11, (,c6m a pod em os saber que tales casas existen?

Si hay gas 0 polvo cerca de un agujero negra, tendera a form ar un disco de acrecen-

tamiento que girara en torno del agujero y caera en eI , .como en un remolino (Fig.

12 .2 8). L a friccion d entro d el m aterial del d isco hace que p ie rd a e ne rg ia m ec an ic a y

eaiga en espiral hacia el agujero n egro, cornprim ierid ose alhacerlo. E sto causa un ca -

lentam iento del 'm aterial, com o suced e con el aire com prim .ido en una bom ba para b i-



464

12.28 Sistema de estrell a binaria en el qlIe

una estrella ordinaria y un agujero negro

giran uno alrededor del otro. EI agujero

negro rita de la materia de la estrella ordi-

naria para formar un disco de acrecenta-

miento a su alrededor. El gas de.1discose

cornprime y calienta a ternperaturas tan al-

tas que se convierte en una fuente intensade rayos x.

12.29 Esta imagen de color falso muestra

los movimientos de estrellas en el centro

de nuestra galaxia durante un periodo de

cinco afios. Un analisis de estas orbitas Call

la tercera ley de Kepler indica que las es-

trellas se rnueven alrededor de Ullobjeto

invisible cuya masa es 2.6 X 106 veces la

del SoL La barra de eseala indica una

longitud de 1014m (670 veces la distancia

entre la Tierra y el Sol) a la distancia del

centro galactico,

CAPfTU La 12 1 Gravitacion

cicleta. S e pued en alcan zar tem peraturas por en cim a d e 1 06 K en el d isco d e acrecen ta-

m ien to , d e m od o q ue n o s61 0 s e em ite luz v isib le (co mo hacen lo s cuerpos al " ro jo v iv o"

o a l " rojo b la n co " ), s in o tambien rayos x. Los ast ronomos buscan esto s ray os x (emitidos

antes de que e l material cruce el h oriz on te d e eventos) para detectar la presen cia d e un

a gu je ro n eg ro . S e h an h alla do v ario s c an d id ate s p rom et ed o re s, y lo s astro no mo s h an ex -

p resad o u na co nfian za co nsid erab le en la ex isten cia d e lo s ag ujero s n eg ro s.

La masa de los agujeros negros en sistem as de estrella binaria COUlO el de la

figura 12.28 es unas cuantas veces m ayor que la del Sol, y cada vez hay mas 'prue-

bas de la ex isten cia d e agujeros negros supermasivos rnucho mayores. Se cree q ue

hay uno en el centro de nuestra galaxia, la V ia Lactea, a unos 2 6,000 alios luz de

1a T ierra en la d irecci6n de la constelacion Sagitario. Im ag eries d e alta definicion

d el c en tr o galactico revelan estrellas que giran a m as de 1500 km/s en to rno a uh

objeto invisib le que coincide con la posicion de una fuente de ondas de rad io 11a-m ada Sgr A'" (Fig. 12.29). Al analizar estos m ovim ientos, los astronom os pued en

in ferir el periodo Ty e l eje semimayor a d e la 6rbita d e cad a estrella. A si, s e pued e

calcular 1 a m asa mx del objeto invisib le utilizando la tercera ley de Kepler en la

form a que se da en la ecuacion (12.19), sustituyendo la m asa del Sol ms POl'mx:

21Ta31 2

41 T2a1

T = ~~ as! q ue mx = ~.-,?-- vGmx GT

La conclusi6n es que el misterioso objeto oscuro en el centro de la galaxia tiene

una m asa de 5.2 X 1036

kg, 0 sea, 2 .6 millones de veces la m as a del Sol. Sin em -

barge, observaciones efectuadas co n radiotelescopios revelan que su rad io no es

m ayor que 'lO ll ]11, una d istancia com parable a 1a que hay entre la T ierra y el Sol.

E s ta s obser vac ione s sugieren que tal objeto m asivo y compacto es un agujero ne-gro con un rad io de Schw arzschild de 7 .8 X 10

91 1 1 . Los astronomos conflan en

mejorar la d efin icio n d e sus o bserv acio nes a ta l grade que, en unos p oco s aiio s,

pod ran ''Ier el horizonte de eventos de ese agujero negro .

Otras lineas de investigaci6n sugieren que podria haber agujeros negros aun

m as gran 'd \es, con m as de 10 9 m asas solares, en el centro de otras galaxias. Los es-

tud ios de1observaci611 y teoricos sobre agujeros negros siguen siendo un area de

in ve st ig ac i6 n v it al y estim ulan te en la flsica y astron om ia co ntem po ran eas.

Si el Sol llegara a colapsarse para form ar un agujero negro , l,que efecto tend ria ese

suceso sobre Ia 6 rb ita d e 1 a T ierra?



Resumen 4

; R E S U M E N . : ~ < _

L a ley de la gravitao i6n de N ew ton d ice que dos cuerpos cua-

lesq uie ra co n m asas-si, Y 1 r 1 - z , s ep ar ad as p or. un a d is ta nc ia r

se atraen con fuerzasinversam ente proporcionales a ,2.Tales

fu erz as fo rm an u n p ar a cc io n-re ac cio n y o be de ce n la te rc era

)ey d e N ew to n. Si d os 0 ma s c ue rp o s e je rc en f ue rz a s g ra v it a-

'cjo naJes so bre un cue l1 ?0 d aq ?, la fu erz a g rav itacio nal to tal

~que aetna so bre ese cuerpo es la sum a vectorial d e las fuerzas

, ejercid as po r 1 6s o tro s cuerpo s; (V ean se ejem plO 's 1 2.1 aJ 1 2.3 .)

E I p eso w de un c ue rp o es l a f ue rz a

gravi ta"ci~f1aI tota l ejercida sabre 61por

" tod os los dt~~as cuerpos del universe.

Cerea d e la superficie de la Tierra

(rnasa miyradio R r ),esto ell enes.en.::

~ cia igual ala fuerza gravitacional de

la Tierra, sola. (Vease ejem plo ~ 2.4 _)

1 - -w =F =Omtm

,(12.3)1 ,g, Rl -c

J

(peso en la superficie de la Tierra)

> GmT

g =-_ -, (12.4)

. 1 , . (acel~~·ci6n debida a la graV ed~d_

J en la superfioie terrestre) ., 1 '-I '

La.enetgia p o te n ci al g ra v it ac io n al U d e dos masas m y

~ separad as po r una d istancia r es inversamente pro-

porcional a r. La energia potencial nunca es positiva; es

cera s610 cuando los-des cuerpos estan infiuitamente

distantes un o del otro. (Vease ejemplo 12.5.)

, Gm -m .U=--~·

r

(l2.1)

1

tr"" RT=,38?< ]06 m j fl

Astronauta, masa m

'w =peso del astronaut. =GmTm!r2

r = distancia del astronauta

al centro deja Tierra

+ - - - , : - L - - : - ' = - - - - , L c - " " " ' : ; ; : : ; - ; ~ ~ r (X 10" rn)o 10 15, 20, 25 30" r _ /? (X 106m)

5 10 15 20 2.5 T

Dis tand a sobre Ia superficie terrestre

' ' " ' . '

(12.9)Tierra, "Astronaura,

m""amT~ ti l l. masae:~~. ,~'

. I ·0siempre esU I negativa ...

1- [ f. .s e ' n e lv e m e n o sI i1.eg~tiva al aumentar

'I ladistancia radial r_~t--±,I '__ ~."

1 - .(12.1'4) __

I "'I

v = = r a ; ; ; ( ra pi de z e n o rb it a :irCUlar) ( 1 2 .1 2 , )\/~ _

Si unsatelite se mueve en u na o rb it a ciIcu-r

lar, la atracciofi-grav itacional d e la Tierra _ iproporciona la aceleracion cen tripeta. - f(Vease ejernplo 12.6} ,

" ~ ,

_ "2'1T 'r . f f ' 2m)r iT= -- = 27Tr --- = _--

v GmT' v o ; ; ; ;~periodo 'e n 6 rb it a c irc ula r)

Las t re s le ye s d e K ep le r d esc rib en c ara cte ristic as 'pe las 6 rb it as e lip tic as d e lo s planetas

alred ed or d el Solo. d e satelites alred ed or d e un planeta, (V ean se ejem plos 1 2.7 al 1 2.9,)_ ,

t l



La interaccion gr.avitacionalde.cualquier_distribuci6n esfericamente sirnetrica de ma-

sa, ell puntosafuera deIadistribucicnes la'misma queseria si toda la tnasa estnviera

c onc en tr ad a , en el centror (V~a~e.ejemploJ2.10.) .

466 CAPiTULO 12 I Gravitaci6n

Si un a disfribucion esferica de masa sin rota>cion, con masa total M, tieneun radio O1en9I

qu e su radio de schwarzscnil!i Rs, se clasi,fica.

como agujeronegro. L a illtetacci6'i-t gravita--

donal impide que cualquier cosa, inchiida l aluz, escaPt de una esfera can radio R s . (Vease

ejernplo 12.11.)

Terminos clave

. 2GA1 ~Rs = - (12 ..)2)~ c

2

(radio de Scl1wru:zsdiild)

agujero negro, 462

constante gravitaclonal, 437eje semirnayor, 452

energ ia po tenci a l gravltaclonal, 445

excentricidad, 452

Notas del lector

horizonte de eventos, 462

ley de la gravitaclon, 4376rbita abierta, 448

orbita cerrada, 448

peso aparente, 460

peso verdadero, 459radio de Sehwarzschild, 462

rapidez de escape, 446



R es pu esta a la p reg unta in icial de l cap itu lo

La fuerza gravitacional que un objeto con masa ml ejerce sobre la

Tierra (masa m2 ) es inversamente proporcional al cuadrado de 1adis-

tancia r entre el objeto y la Tierra: F = Gmjm,/,J-. Aunque las gala-

xias son 10IIveces mas masivas que el Sol, estan 7.5 X 1Oj2veces

mas distantes de la Tierra, asi que la fuerza gravitacional con que

atraen a la Tierra es s610 (1011)/(7.5 X 10 12)2 = 1.8 X 10-15 veces

tan grande como la fuerza gravitacional del SoL Por ello, el efecto

gravitacional de las galaxias sobre la Tierra es i nsi gn if ican te .

R espuestas a las preguntas de E value

su comprension

seeeten 12.1 Por la ecuacion (12.1), Ia magnitud de la fuerza que

actua sabre eada autom6vil es

F g = (6.67 X 10-'11N ·m2/kg2)( 90 0 kg)(900 kg)f( 3 .0 m) ?

=6.0 X 10-6 N

Podemos ejercer una fuerza mas de 10,000 veces mayor que esta

can el dedo mefiique, Las fuerzas gravitacionales son insignifican,

res en los cheques automovilisticos.

Seccion 12.2 La aceleracion debida a la gravedad gMen la super-

ficie de Marte depende tanto de 1amasa m~.!del planeta como de su

radio RM: gM = GmMIR~l EI radio de Marte es 53% del de IaTierra,

y esto hace que el valor de gMsea mayor que 10que cabria esperar

co n base exclusivamente en l a ma s a,

S ec ci on 1 2. 3 S i es posible, porque las dos cantidades dependen de di-

f er en te m a ne ra de la rnasa m; y del radio Rp del planeta: el valor de g

en la superficie es Gml'IRp", mientras que la rapidez de escape es

"2GmpIRp. En el caso de Saturno, par ejemplo, mp e s a pr ox ir na d a-

mente 100 veces la masa de la Tierra y Rp es aproximadamentel Dve-

= el radio de laTierra. EI valor de g difiere del valor en la Tierra par

1 < : 1 factor (J 00)/(1W = : I (es decir, es igual que en la Tierra), mientras

~ larapidez de escape es mayor en un factor de VIDOIIO = 3.2.

Es util recordar que la gravedad superficial se refiere a las con-

- nes en la superficie del planeta, mientras que la rapidez de es-

~ (que es la que necesitamos adquirir para escapar al infinite)

de de Ias condiciones en todos los puntos entre la superficie

: : i i ! i . . planeta y el infinite. Al tener Saturno mucha mas masa que la

sus efectos gravitacionales se hacen sentir a distancias mu-

mayores y SD rapidez de escape es mas alta.

-. n 12.4 En una orbita de radio menor, el transbordador tiene

rapidez y en algun momenta alcanzara al satelite. Entonces,_~ ~podria maniobrar con sus motores para colocarse en lamisma

- que el satelite y asi hacer contacto, EI transbordador tarnbien

pasar a una orbita de mayor radio; entonces.iel sate lite ten-

::JaJm rapidez y tarde 0 temprano alcanzaria a la nave.

- 12.5 La ecuacion (12.9) muestra que el periodo orbital es

~,""" ..........,,, ala potencia ~ del eje semnnayor , Por 10lauto, el pe-~ del cometa X es mas largo que el del cometa Y por un

~Y:!=8.

12..6 Nuestro analisis muestra que la fuerza gravitacional

_:=rmcasco esferico hue co es cera . Por tanto, quienes visita-

_ _,:_~or de un planeta hueco experimentarian ingravidez, y no

pararse sobre la superficie interior ni caminar en ella.

Preguntas para analisis 4

S ec cio n 1 2.7 Queremos queg =go -(/fRr = O . Por tanto, v2 de

serigual a goRr , 0 sea,

v = ~ = V(9.80mM)(6.38 x 106m) = 7910m/s

Para que e sto su ce da , la T ie rra t en dria que girar (7910 r nl s) l( 46 5 m

= 17.0 v ec es m as rapidamente de 1 0 que 10haee.

Secdon 12.8 No habria efecto alguno, SI eI Sol se colapsara p

formar un agujero negro (cosa que, segun 10 que sabernos actu

mente de las estrellas, no puede suceder), tendria la misma ma

pero un radio mucho mas pequeiio. Dado que la atraeci6n gravitacio

nal entre el Sol y la Tierra no depende del radio del Sol, l a o rb it a

la Tierra no se alterari a.

P reg un ta s p ara anal i si s

P12.1 Un estndiante escribio: "La unica razon por la que una mazana cae hacia la Tierra en Iugar de que esta suba bacia Ia manza

es que la Tierra tiene una masa mucho mayor y por tanto tira c

mucha mayor fuerza" , C om ente esro.

P12.2 Para determinar G con una balanza de Cavendish (Fig. 12

deben conocerse las masas )111 y m2. ,',Como podriamesdetermmar

estas masas si n pesarlas?

P12.3 Si todos los planetas tuvi eran la ]]1isma densidad med

l,c6mo dependeria del radio del planeta la aceleraci6n debida a

graved ad en la superficie?

P12.4 Una libra de mantequilla, , ',es la m ism a cantid ad en Ia Tie

que en Marte? ,',Y un kilograrno de mantequilla? Explique.

P12.S El ejernplo 12.2 (seccion 12.1) muestra que la aeeleracio

de cada esfera causada por la fuerza gravitacionales inrersamenproporcional a Ia masa. l ,Por que entonces esa fuerza da a todas

masas la rnisma aceleracion cuando se.dejan caer cerea de la sup

ficie terrestre?

P12.6 GUsted Ie atrae mas al Sol al medic dia 0 a Ia media n

che? Explique,

P12.1 Dado que Ia Luna es atraida constantememe hacia la T

rra por la interacci6n gravitacional, i,Por que no choea con 1aTierr

P12.8 Imagine que el So.Iduplica su masa. iQue efecto tendria

to sobre el peso de usted en la Tierra (medido parando e obre u

bascula)? Explique.

P12.9 EI Sol tita de la Luna con una fuerza euya magnitudes m

del doble de la de Ia fuerza can que la Tierra atrae a la Luna. iP

que entonces el Sol no selleva a la Luna?P12.10 En el capitulo 7 definirnos Ia energia potencial gravitaci

nal como U = = mgy, positiva para un cuerpo de masa 1 1 1 sabre Ia

perficie terrestre (que esta en)' =0). Sin embargo, en este capitu

la definimos como U =-GmTmJ? uegativa para un cuerpo

masa m sobre la superficie terrestre (que estaen r =R r )· l ,C 6m

puede comparar estas descripciones al parecer incompatibles?

P12.11 Un planets se mueve con rapidez con stante en una or

ta circular alrededor de una estrella, En una orbits completa,

fuerza gravitacional que la estrella ejerce sobre el planeta rea

za trabajo neto: positivo, negative 0 cero? l,Y si la 6rbita del p

neta es eliptica, de modo que la rapidez del planeta no

constante? Explique.



46 8

12.3 Dos e sf er as unifonnes c on m a sa s ml Y m2 tienen sus centros

separados por una d is ta nc ia r l2 Y ejercen entre sf una fuerza gravi-

tacional de magnitud F12 • ~Que magnitud de fuerza gravitacional

ejerce entre sf un segundo par de esferas uniformes con masas nm )

y nm 2 Y una separacion entre centros de nrl2> donde n es cualquiernumero positive?

12.4 Dos esferas uniformes, arnbas Callmasa M y radio R , se to-

can. l,Que magnitud tiene su fuerza de atraccion gravitacional?

12.5 Una nave interplanetaria pasa par el punto en el espacio en el

que se cancel an exactamente las fuerzas gravir aciona les que el Sol y

la Tierra ejercen sobre Ia nave. a) l,A que distancia del centro de [a Tie-

ITaesta 1anave? Use los datos del apendice F. 0) GQue sucede, si su-

cede algo, cuando la nave pasa por el punta descrito en (a)? Explique.

12.6 a) En Ia figura 12.30, l,que magnitud y direccicn tiene la fuer-

za gravitacional neta ejercida sabre la esfera uniforrnc de 0.100 kg

par las otras dos esferas uniformes? Los centros de las tres esferas

estan en 1amisma linea. b) Segun la tercera ley de Newton, lla esfe-

ra de 0.100 kg ejerce fuerzas de la misma magnitud que su respues-ta a la parte (a), pero con direccion opuesta, sobre cada una de las

otras dos esferas?

CAPiTULO 12 I Gravitacion

P12.12 La rapidez de escape para un objeto en la superficie terres-

tre, i,depende de la direccion en que se lanza? Explique. ,;,Sures-

puesta depende de: si incluye 0 no los efectos de la resistencia del

aire?

P12.13 Si un proyecril se dispara hacia arriba desde la superficieterrestre, ,;,quesucedera si la energia mecanica total (cinetica + po-

tencial) es: a) menor que cero? b) i,Mayor que cere? Desprecie la

resistencia del aire y los efectos gravitacionales del Sol, la Luna y

los dernas planetas.

P12.14 Analice la siguiente afirrnacion: "Eo ausencia de resistencia

del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado cerca de la superfi-

cie terrestre es una elipse, no una parabola".

P12.15 La Tierra esta mas cerca del Solen noviembre que ell mayo.

GEncual mes es mayor su rapidez orbital? Explique.

P12.16 Una ernpresa de comunicaciones desea poner en orbita

un satelite que siernpre este directamente sobre el paralelo 45 (la-

titud 45° norte). Esto implica que el plano de la orbita no pasara

por el centro de la Tierra. l,EKposible tal 6rbita? lPor que 5 1 0 porque no?

P12.11l,En que punta de una 6rbita eliptica es maxima la acelera-

ci6n? I .Y minima? Justifique su s respuestas.

P12.18 I.Que viaje requiere mas combustible, de laTierra a la Luna

a de la Luna a la Tierra'? Explique.

P12.'9 i,Cuiil seria la tercera ley de Kepler para orbitas circulares

si una modificaci6n a la ley de la gravitacion de Newton hiciera a

[a fuerza gravitacional inversamente proporcional a /.'1 (,Afectaria

este cambia a las otras dos leyes de Kepler? Explique.

P12.20 En la orbita eliptica del cometa Halley que se muestra en la

f'igura 12.20a;.Ja graved ad del Sol hace que el cometa caiga desde

el afelio hasta el perihelia. Pero, l,que hace que el cometa suba otra

vez del perihelia al afelio?P12.21 Muchas personas creen que los astrcnautas.en 6rbita sien-

ten no tener p es op or qu e e st an " fu era del alcance de la gravedad te -

rrestre". l,Que tan lejos tendria que viajar una nave para estar

realmente fuera de la influencia gravitacional de la Tierra? En tal

case, ~permaneceria en orbita la nave'! Explique, l,Cual es la raz6n

real par la que los astronautas en 6rbita se sientan sin peso?

P12.22 Como parte de BU adiestramiento, los astronauras viajan en

un avi6n qlle vuela en la misma trayectoria parabolica que un pro-

yectil en caida libre. Explique par que esto proporciona la misma

sensacion de ingravidez que estar en orbita,

Ejercicios

secc l on 12.1 Le y de fa gravitaci6n de Newton

12.1 ~Qlle relaci6n hay entre la atracci6n gravitacional del Sol

sobre la Luna y [a de la Tierra sobre la Luna'? (Suponga que la

disrancia entre la Luna y el Sol es aproximadarnente 'Ia misrna

que entre la Tierra y el Sol.) Use los datos del apelldi'8e F. l ,Es

mas precise decir que la Luna esta en orbita alrededor de la Tierra

o del Sol?

12.2 Un satelite de 2150 kg ernpleado en una red de telefonos ce-

lulares esta en una 6rbita circular a una altura de 780 km sabre la

10.0kg

5.00kg 0.100kg

~---------~~~-----------~~-

~ O A O O m --"'*0------0.600 m ------?

Figura 12.30 Ejercicio 12.6.

12.1 Una persona adulta en promedio tiene una masa aproximada

de 70 kg. l,Que fuerza ejerce una Luna llena sobre ella si esta direc-

tamente arriba con su centro a 378,000 km ?

12.8 EI Sol tiene una masa 333,000 veces mayor que la de la Tie-

rra. Para una persona en 1aTierra, la distancia media al centro del

Sol es 23,500 veees la distancia al centro de la Tierra. En magnitud,

(.que relacion hay entre las fuerzas gravitacionales del Sol y la Tie-

rra que acnian sabre esa persona?

12.9 Calcule la magnitud y direccion de 1a fuerza gravitacional

neta que actua sobre la L un a d eb id a a la Tierra y el Sol cuando la

Luna esta en cada una de las posiciones mostradas en la figura

12.31. (La figura no esta a escala, suponga que el Sol esta en el pla-

SO~

superficie terrestre, i.Que fuerza gravitaciona! actua sobre el? i,Que (a) (0)

fraccion es esta de su peso en la superficie? Figura 12.31 Ejercicio 12.9.A"

(e)



no de la orbita Tierra-Luna, aunque esto nonnalmente no sucede.)

Use los datos del apendice F.

12.10 Cuatro rnasas identicas de 800 kg cada una se coloean en las

esquinas de un cuadrado que mide 10.0 ern por lado. (,Que fuerza

gravitacional neta (magnitudy direccion) actua sobre una de lasmas as, debida a las otras tres?

12.11 Tres masas identic as de 500 kg cada una se colocan sobre el

ejex. Una masa esta en x = -10 ern, una esta en el origen y Ia otra

esta en x =0 em. ,;,Quefuerza gravitacional neta (magnirud y direc-

cion) actua sobre lamasa que esta en el origen, debida a las otras dos?

12.12 Determine la rnagnitud y direcci6n de la fuerza gravitacio-

nal que aetna sobre una particula de masa mala mitad del camino

entre dos objetos esfericarnente simetricos, uno de mas a ml Y otro

de masa IIIb don de 1112> ml, cuyos cen t ro s e st an separados una dis-

tancia d.

12.13 Dos esferas uniforrnes de

0.260 kg estan fijas en los pun-

tos A Y B (Fig. 12.32). Calculelamagnitud y direccion de la ace-

leracion inicial de una esfera

uniforrne de 0.010 kg que s e s ue l-

ta del reposo en P, suponiendo

que solo a ct ua n so bre ella las fuer-

zas gravitacioriales de las otras

dos esferas.

B _ --. ..,

"igura 12.32 Ejercicio 12.13.

Seccion 12.2 Peso

12.14 Use la masa y el radio de Pluton dados en el apendice F pa-

ra calcular la aceleracion debida a la gravedad en su superficie,

12.15, l.A que distancia sobre la superficie terrestre es la acelera-

cion debida a la gravedad 0.980 m/s ' , si en la superficie tiene una

magnitud de 9.80 m/s"?

12.16 La masa de Venus es el 81.5% de la de la Tierra, y su radio

es el 94,9% del de la Tierra. a) Calcule Ia aceleraci6n debida a la

gravedaden la superficie de Venus con estes datos. b) i_,Cmlntope-

sa una roca de 5.00 kg en la superficie de Venus?

12.17 Titania, la luna mas grande de Urano, tiene idel radio te-

rrestre y 17~ la masa de Ia Tierra. a) Calcule la aceleracion debida a

la gravedad en su superficie, b) Calcule la densidad media de Tita-

nia. (Es rnenor que la densidad de las rocas, 1 0 cual es una prueba

que Titania esta constituida principalmente por hielo.)

12.18 Rea, una de las lunas de Saturno, tiene un radio de 765 km y

una ace le ra ci on deb ida a la graved ad de 0.278 m/s! en su superfice.

Calcule s u r na sa y densidad media.

12.19 Calcule la fuerza gravitacional que 1aTierra ejerce sobre un

astronauta de 75 kg que esta reparando el telescopic espacial Hub-

ble a una altura de 600 km sobre 1asuperficie terrestre y compare

ese valor con 8U peso en la superficie. Con base en 8U resultado, ex-

plique por que decimos que los astronautas no tienen peso cuando

estan en orbita alrededor de la Tierra en un satelite corho el trans-

bordador espacial,

12.20 Las estrellasde neutrones, como Iaque esta en el centro de la

nebulosa del Cangrejo, tienen aproximadarnente la misma masa que

el Sol pero un diametro mucho mas pequefio. Si una persona pesa 675

N en laTierra, , ;,cmintopesaria en lasuperficie de una estrella de neu-

rrones que tiene la misma masa que el Sol y un diiimetro de 20 km?

Ejercicios 4 6

12.21 En una medicion de G usando la balanza de Cavendish

se observe que una esfera uniforme de 0.400 kg atrae a otra

0.00300 kg con una fuerza de 8.00 X 10-10 N cuando Ia distan

cia entre sus centros es de 0.0100 m. La aceleracion debida a

gravedad en la superficie terrestre es de 9.80 m/s2

y el radiola Tierra es de 6380 km. Calcule la masa de la Tierra can esto

datos.

12.22 En el ejernplo 12.4 (seccicn 12.2), despreciarnos los efe

tos gravitacionales de las lunas de Marte. La mayor, Fobos, tien

un radio aproximado de 12 km y una densidad media de 200

kg/nr'. a) Calcule la fuerza gravitacional que Fobes ejerce sobr

el vehiculo del ejemplo si el vehlculo esta sobre la superficie

Fobos. b) Comente si la aproxirnacion hecha en el ejemplo fu

apropiada 0 no.

Seccion 12.3 Energia potencial gravitacional

12.23 EJ asteroide Dactilo, descubierto en 1993, tiene un radio d

solo 700 III Yuna masa aproximada de 3.6 X 1012

kg, Use los resutados del ejemplo 12.5 (secci6n 12.3) para calcular larapidez de e

cape de un objeto en la superficie de Dactilo. i,Podrla una person

alcanzar esta velocidad caminando?

12.24 Cierto satelite de cornunicaciones en orbita azrae a Ia Tierr

con una fuerza de 19.0 kN, y la energia potencial gravitacional Ti

rra-satelite (relativa a cero a una separacion infinita] es de -139

l O l l J. a) Calcule la altura del satelite sabre la superfieiejerresrre.

b) Determine la rnasa del satelite,

12.25 Use los resultados del ejernplo 12.5 ( ecciOn 1:3) par

calcular la rapidez de escape de una nave: a) de fa ieie d

Marte; b) de la superficie de Jupiter. Use los dams. m-l;:¢ndice

c) i,Por que la rapidez de escape de la nave es independi e de s

m as a?

12.26 Diez dias despues de lanzarse hacia Marte en mciembre d

1998, la nave Ma r s C lima te -O rb ite r (masa de 6~9 kg es;ilia a :::.

X J 06 km de la Tierra, viajando con rapidez de 1_ ~o -bn. 'h rlativa a le Tierra. Paraese memento, calcnle: a) Ia ~ cin€:ri

de 1,'1nave, relativa a la Tierra; b) la energia porencial ,. sistem

Tierra-nave.

Seccion 12.4 Movimiento de satelltes

12.27 Un sateli te terrestre se mueve en una tubna cin'ular co

rapidez orbital de 6200 m/s. a) Calcule so periodn.. bJ Calcnle

aceleracion radial del satelite en Sll 6rbita..

12.28 ,;,Que periodo de revolucicn tiene un sare~ de masa m e

orbita circular con radio de 7880 Ian(unos 1500 km sobre Ia super

ficie terrestre)?

12.29 Si se desea colocar un satelite en 6rlrita circular 780 km so

bre la superficie terrestre, l.que rapidez oibiml se le debe impartir?

12.30 Suponga que Ia 6rbita de la TieITII.en tomo at Sol es circular

Use el radio y el periodo orbitales de IaTierra dados en el apendice

F para caloular la masa del Sol.

12.31 Deimos, una Juna de Marte. tiene un diametro-aproximado

de 12 km y una masa de 2.0 X 1015kg. Suponga que esta varado so

lo en Deimos y quiere jugar beisbol. [Usted mismo seria el lanza

dar y el bateador! i,Con que rapidez tendria que Ianzar la pelota

para que entre en orbita y vuelva a' donde usted esta Iisto para ba

tearla? l,Cree que podria lanzarla con esa rapidez?



470

do esperado cuando xes mucho mayor que L. iSugerencia: Use l

expansion en forma de serie de potencias que se da en el apendice

B para In (1 + x). b) Use F . , = - dllldx para calcular la rnagnitud

direcci6n de la fuerza gravitacional que la varilla ejerce sobre [a es

fera. Demuestre que su respuesta se reduce al resultado esperadocuando x es mucho mayor que L.

*12.39 Considere el cuerpo con .

forma de anillo de Ia figura 12.34.

Una particula de rnasa m se colo-

ca a una distancia x del centro

del a ni ll o, s obr e la linea que pasa

par el centro y es perpendicular

al plano del aniLlo. a) Calcule la F i gura 12 .3 4 Ejercicio 12.39

"energia potencial gravitacional y problema 12.82.

U de este sistema. Tome U = 0

cuando los des objetos estan

muy alejados, b) Demuestre que su respuesta a la parte (a) se redu-

ce al resultado esperado cuando x es mucho mayor que el radio adel anillo. c) Use F T = -dU/dx para obtener Iamagnitud y direcci6n

de la fuerza que acnia sobre la particula, d) Demuesrre que su res-

puesta a la parte (c) se reduce al resultado esperado cuando x es mu-

cho mayor que a. e) i,Cuanto valen U y F, cuando x = O?Expl ique

por que son logicos estos resultados.

CAPITULO 12 I Gravitaci6n

Sec cion 12.5 L a s le ye s de Kepler y e l movim ie nto

de los p lane ta s

12.32 Planets Vulcano. Suponga que se descubre un planeta entre

eJ Sol y Mercurio, con una orbita circular de radio igual a·~del ra-

dio orbital medio de Mercurio. (LJeg6 a postularse la existencia detal planeta, en parte para explicar la precesion de la orbita de Mer-

curio. Incluso recibio elnombre Vulcano, aunque no tenernos prue-

bas de que exista realmente. La precesicn de Mercurio se ha

explicado con base en la relatividad general.) ~Que periodo orbital

tendr ia ese planeta?

12.33 La estrella Rho] Cancri esta a 57 alios luz de la Tierra y BU

rnasa es 0.85 veces la del Sol. Se ha detectado un planeta en orbita

circular en torno a Rhol Cancri , con un radio orbital igual a 0.11 ve-

ces el radio de la orbita de la Tierra alrededor del Sol. Calcule a) la

rapidez orbital y b) el periodo orbital del planeta de Rho' Cancri,

12.34 Venus tiene una orbita easi circular. Use los datos de radio or-

bital yperiodo de Venus del apendice F para calcular Ia masa del Sol.

12.35 Use la figura 12.18 para demostrar que la distancia Sol-pla-neta en el pe ri h el io e s (J - e) G,que en el afelio es (1 + e) a y que, por10tanto, la suma de estas distancias es 2a. b) Suele decirse que Plu-

ton es el planeta mas exterior pero, en su perihelio en 1989, estaba

casi 100 millones de Ian mas cerca del Sol que Neptuno. Los ejes

semimayores de las orbitas de Pluton y Neptune SOl1 5.92 X 1012 11 1

Y4.50 X 1012 m, respectivamente, y sus excentricidades son 0.248 y

0.010. Calcule ladistancia m~.scorta de Plutonal Sol y la.mas Iar-

ga de Neptune al S61. c) i,Cuantos anos despues de su perihelio en

1989 volveraa estar Plut6n en perihelio?

-12.36 La estrella 70Virginis esta a 59 a008 Iu z de laTierra y tiene unamasa de ·].9 X 1030 kg. a) Se sabe que un planeta grande con masa de

1.3 X 1 " 0 28 kg esta en una orbita alrededor de esa estrella, la cual lo

atrae con una fuerza de 3.3 x 1026

N, cuando la separacion entre suscentros es igual aleje semimayor de la 6rbita del planeta. Calcule es-

ta distancia (en km). b) Calcule el periodo (en dias) de la orbita de ese

planeta. c) Podria haber otros planetas, aun no descubiertos, en orbita

alrededor de 70Virginia Si hubiera un segundo planeta en orbita circu-

lar, con periodo orbital igual a ocho veces ei valor obtenido en la parte

(b), i.,queradio (en Ian) tendria la orbita del segundo planeta?

12.37 La nave Helios B tenia una rapidez de 71 krn/s cuando esta-

ba a 4.3 X·I07 km del Sol. a) Demuestre que no estaba en orbita circu-

laralrededor del Sol. b) Dernuestre que su orbita alrededor del Sol

era cerrada y, por tanto, eliptica.

~

I

*Seccion 12 .6 D i st ribuci ones este ric as de masa*12.38 Una varil la delgada uniforme tiene longitud L y .rnasa M .Una esfera uniforme pequefia de masa tn se coloca a una distancia

x de un extreme de la varilla, sobre el eje de esta JFig. 12.33). a)

Calcule laoenergia potencial gravitacional del sistema varilla-esfe-

ra, Tome U = 0 cuando la varilla y la esfera estan separadas una

distancia infinita, Dernuestre que su respuesta se reduceial resulta-

1 1 1 In

-----.----0·~-------L--------~

F i gura 12 .3 3 Ejercicio 12.38 y problema 12.83.

~ - - - - - ~ - - - - - - ~

M

Sec cion 12, 7 P e so a pa re nte y rotaclen terrestre

* 12.40 EI peso de una persona en el ecuador, determinado por una

balanza de resorte, es de 690 N. i,En cuanto difiere de la verdadera

fuerza de a r raccion grav i tac iona l en el mismo punto? Suponga que

la Tierra es esfericamente sirnetrica.

*12.41 La aceleracion debida a la gravedad en el polo norte de Nep-

tuno escercana a 10.7m/s2

Neptuno tiene una masa de 1.0 X 1026

kgun radio de 2.5 X 104 Ian Y un periodo de rotacion aproximado de 1

h. a) Calcule la fuerza gravitacional que actua sobre un objeto de 5.0

kg en el polo norte de NeptU110b) l.Que peso aparente tiene ese

mismo objeto en el ecuador de Neptune? (Nota: La "superficie" de

Neptuno es gaseosa, no solida, asl que no podriamos pararnos ahi.)

seee ten 12.8 Agujeros negros

12.42 a) Demuestre que un agujero negro atrae a un objeto con

masa m con una fuerza de m e Rs!(2?), donde r es la distancia entre

. el objeto y el centro del agujero negro. b) Calcule la magnitud de la

fuerza gravitacional ejercida por un agujero negro con radio de

Schwarzschild de 14.0 mill sabre una masa de 5.00 kg a 3000 krn

de distancia. c) i.Que masa tiene este agujero negro?12.43 En el centro de 103.alaxia, Los astronornos han 0bservado

un objeto pequefio y masivo en el centro de nuestra galaxia, la Via

Lactea (scccion 12.8). Un anillo de material con un diametro apro-

ximado de 15 afios luzy rapidez orbital aproximada de 200 km/s

esta en orbita a su alrededor. a) Determine la masa del objeto central

de la Via Lactea, De su respuesta en kg y en masas solares (una ma-

sa solar es la masa del Sol, calcule la relacion: masa del objeto/masa

del Sol). b) Observaciones de estrellas y teorias acerca de su estructu-

ra sugieren que es imposible que una estrella tenga una masa mayor

que unas 50 masas solares, ~Podria el objeto masivo ser una sola es-

trel1a ordinaria? c)·Muchos astronomos creen que el objeto masivo

central de la Via Lactea es un agujero negro. De ser asi, lque radio



de Schwarzschild tendria? Un agujero negro de este tamafio, l,ca-

bria dentro de la orbita de la Tierra en torno al Sol?

12.44 Deduzca Ia relacion Rs = (3,0 km/masa solar)M, donde M

esta en mas as solares. (Una masa solar es la masa del Sol.) l,Que tan

exacta es esta relaci6n?12.45 l,A que fraccion de su radio actual tendria quecomprirnirse

la Tierra para convertirse en agujero negro?

Problemas

12.46 Tres esferas uniformes es-

ta n fijas en las posiciones indica-

das en Ia figura 12.35. 'a) l,Que

magnitud y direcci6n tiene Ia

fuerza que acrua sobre una parti- 0 .50 m

cula de 0.0150 kg colocada en P?

b) Si las esferas estan en el espa-cio lejano fuera de alguna atrac-

cion gravitacional adicional, y

una particula de 0.0150 kg se F i gura 12 .3 5 Problema 12.46.

suelta del reposo a 300 m del ori-

gen sobre una linea inclinada 45° bajo el eje -x, l,que rapidez tendra

la particula cuando llegue al origen?

12.47 Una esfera uniforme de 60.0 kg se sostiene con su centro en

el origen, y una segunda esfera uniforme de 80.0 kg se sostiene con

su centro en el punto x = O,y = 3.00 m. a) l ,QW! magnitud y direc-

cion tiene la fuerza gravitacional neta que estas esferas ejercen so-

bre una tercera esfera uniforme de 0.500 kg colocada en x = = 4.00

m, Y =- O?b) l.En que posicion, que no sea a una distancia infinita,

podria colocarse la tercera esfera de modo que la fuerza gravitacio-nal neta que aetna sobre ella debido a las otras dos esferas sea cera?

12.48 a) Demuestre que Ia fuerza gravitacional que aetna sabre la

estrella pequefia debida a las dos estreIIas grandes del ejemplo 12,3

(secci6n 12.1) no esta dirigida hacia el punto a medio camino-entre

las estrellas grandes. b) Considere que las dos estrellasgrandes for-

man un solo cuerpo rigido (como si estuvieran unidas por una vari-

lla de rnasa despreciable). Calculeel momenta de torsion ejercido

par 1a estrella pequefia sobre el cuerpo rigido respecto a un pivote

en su centro de masa. c) Explique c6mo el resultado de la parte (b)

demuestra que el centro de masa no coincide con el de graved ad.

i,Por que sucede esto en esta situaci6n?

12.49 En cierto instante, la Tierra, la Luna y una nave estacionaria

de 1250 kg estan en los vertices de .untriangulo equilatero cuyos la-dos miden 3.84 X 105 km cada uno. a) Calcule la magnitud y direc-

cion de la fuerza gravitacional que la Tierra y la Luna ejercen sabre

la nave. Exprese la direceicn en forma de angulomedido a partir de

una linea tendida entre, la Tierra y la nave. En un dibuj 0, muestre 1a

Tierra, la Luna, la nave y el vector de fuerza. b) (,Que captidad mi-

nima de trabajo tendria que efectuarse para desplazar Ia\bave hasta

un punto distante de la Tierra y la Luna? Pueden despreciarse los

efectos gravitacionales debidos a los demasplanetas y al Sol.

12.50 Se realiza un experimento en el espacio lejano con dos esfe-

ras uniformes, una de 25.0 kg y la otra de 100,0 kg. EI radio de las

dos esferas es el mismo, r = 0.20 m. Las esferas se sueltan del re-

peso can sus centrosseparados 40.0 m, y aceleran una hacia la otra

y

O.50m

Problemas 471

x

por su atracci6n gravitacional mutua. (Haga caso omiso de todas la

demas fuerzas gravitacionales.) a) ExpJique per que se eonserva l

cantidad de movimiento lineal. b) Cuando sus c en tr es e st an separa

dos 20.0 m: i) l,que rapidez tiene cada esfera? ii) j,Con que magni-

tud de velocidad relativa se acerca una esfera a l~ otra? c) i,A qu

distancia de [a posicion inicial del centro de 1aesfera de 25.0 kg

chocan las superficies de las dos e sf er as ?

12.51 Suponga que 1aorbita de la Luna es circular. A partir del pe

riodo orbital observado de 27.3 dlas, calcule la distancia de IaLuna

a1centro de laTierra, Suponga que los rnovimientos de la Luna sOl

estan determinados por la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce

sabre ella, y use la masa de la Tierra dada en e1apendice F.

12.52 Campo gravltaclonal. EI campo g ra vi ta c iona l g producido

por un objeto se define como la fuerza gravitacional F g que el ob

j et o e je rc e sabre una pa rt ic u la p equei ia de prueba can masa m, di

vidida entre m. Es decir, g = Fg fm . lQue magnitud y direccion

tiene el campo gravitacional producido por un objeto esfericamente

simetrico de 20.0 kg que esta en un punta situado 1.50 ll1 directa-mente arriba el centro del objeto?

12.53 Satelites geosincronlcos. Muchos satelites se mueven en un

circulo en el plano ecuatorial de [a Tierra y estan a tal altura que

siempre perrnanecen sabre el mismo punta. a) Determine la altura

de estos satelites sabre la superficie terrestre. (Decimos que una 6r-

bita asi es geosincronica .y b) Explique, con un dibujo, por que las

sefiales deestos satelites no pueden Ilegar directamente a recepto-

res terrestres situados a mas de 81,3° de 1atitud norte.

12.54 Un modulo de descenso COil masa de 12,500 kg esta en orbit"

circular a una distancia de 5..75 X 105m sabre la superficie de un pla-

neta, EI periodo de la 6rbita es de 5800 s. Los astronautas del modu-

lo han determinado que el diametro del planeta es de 9.60 X 106 m

EI m6dulo desciende en el polo norte del planeta. l,Cuanto pesara unastronauta de 85.6 kg al pararse en la superficie del planeta?

12.55 Determine la rapidez de escape de un asteroide de 300 km

de diametro y densidad de 2500 kg/nr',

12.56 a) Los asteroides tieuen densidades medias del orden de

2500 kg/m' y radios desde 470 km hasta menos de 1km. Suponien-

do que un asteroide tiene una distribucion esfericamente simetrica

de masa, estime el radio del asteroide mas grande del que podria es-

capar con s610saltar, (Sugerencia: Puede estimar su rapidez de salto

relacionandola can la altura maxima que puede saltar en la Tierra.)

b) Europa, una de las cuatro lunas grandes de Jupiter, tiene un radio

de 1570km. La aceleracion debida a lagravedad en so snperficiees de

1.33 m/s2 . Calcule su densidad media.

12.57 a) Suponga que esta en el ecuador de la Tierra y observe unsatelite que pasa directamente arriba en direceion oeste a este.

Exactamente 12.0 horas despues, observa otra vez et satelite direc-

tamente arriba de su cabeza. GAque altura -sobre la superficie te-

rrestre esta la 6rbita del satelite? b) Ahora observa otro sateli te que

se rnueve de este a oeste y pasa directamente arriba de su cabeza. E

satelite vuelve a estar en esa posicion 12.0 horas despues, i.,Aque

distancia sobre in superficie terrestre esta.su 6rbita?

12.58 El planeta X gira de forma analogs a 1aTierra, en torno a un

eje que pasa por sus polos: norte y sur, y es perfecramente esferico.

Un astronauta que pesa 943.0 N en la Tierra pesa 915.0 N en el polo

norte del planeta X y s610 850.0 N en su ecuador. La distancia entre

el polo norte y el ecuador es de 18,850 krn, medidos sobre la super-



472 CA P IT uL o 12 I Gravitacion

fide del planeta X. a) l,Que duracion tiene el dia en el planeta X?

b) Si un satelite de 45,000 kg se coloca en orbita circular 2000 Ia n

arriba de la superficie del planeta X, , ',que periodo orbital tendra?

12.59 Hay dos ecuaciones para calcular el cambia en la energia

potencial gravitacional U del sistema de una masa m y la Tierra.

Una es U = mgy (ecuacion 7.2) Y la otra es U = - GmTmJr (ecua-

cion 12.9). Como se dernostro en la seccion 12.3, la prirnera s610es

correcta si la fuerza gravitacional es constante dentro del eambio de

altura ~y. La segunda siempre es correcta, En realidad, la fuerza

gravitacicnal nunea es exactamente constante dentro de ningun

cambia de altura pero, si la variation es pequefia, podernos despre-

ciarla, Considere la diferencia en U entre una masa en la superficie

terrestre y a una distancia h arriba de ella usando ambas ecuacio-

nes, y determine el valor .de h . can el que la ecuacion (7.2) tiene un

error de 1%. Exprese h como una fraccion del radio de la Tierra y

tambien como valor nurnerico.

12.60 'Imagine que usted es ingeniero cientifico de Ia nave Despis-

tado Errante, la cual se posa en el misteri oso 'planeta Mongo. Usted

efectua estas mediciones: una piedra de 2.50 kg lanzada hacia arri-

ba desde el suelo a 12.0 rn/s vuelve al suelo en S.OOs; la circunfe-

rencia de Mongo en el ecnador es de 2.00 x 105 km; yel planeta

carece pracricamente de atmosfera. El capitan Confusion, coman-

dante dc la nave, pide la informacion siguiente: a) t,Que masa tiene

Mongo? b) Si 10 1Despistado Errante se coloca en una orbita circular

30,000 Ian arriba de la superficie de Mongo, i,cu.!mtashoras tardara

en dar una vuelta completa al planeta? .

12.61 Calcule la diferencia porcenrual entre el peso que tiene en

Sacramento, cerca del nivel del mar, y en la cima del monte Everest,

a'SSOOm sabre el nivel del mar.

12.62 En el ejemplo 12.5 (seccion 12.3), despreciamos los efectos

gravitacionales de la Luna sabre una nave que viaja dela Tierra ala

Luna. De heche, debemos incluir tambien la energia potencial gra-

vitacional debida a la Luna. Para este problema, desprecie los movi-

mientos de ambos cuerpos. a) Si la Luna tiene radio RL y la distancia

entre los 'cenh'os de la Tierra y la Luna es RTL, calcule la energia po-

tencial gravitacional tota] de los sistemas particula- Tierra y particu-

la-Luna euando una particula de masa m esta entre ambos cuerpos,

a una distancia r del centro de la Tierra. Sea la energia potencial

gravitacional cera cuando los objetos estan muy alejados entre si .

b) Hay un punta en la linea entre la Tierra y la Luna donde la fuerza

gravitacional neta es cera. Use I a expr es ion que dedujo en (a) y va-

lores numericos del apendice F para calcular la distancia de este

punta al centro de Ia Tierra. GCan que rapidez debe lanzarse una na-ve desde la superficie terrestre para llegar apenas a este punto? c) Si

se lanzara una nave de la superficie terrestre a la Luna can una rapi-

dez inicial de 11.2 km/s, ,' ,querapidez tendria al chocar Gonia Luna?

12.63 Una nave no tripulada esta en orbita circular alrededor de la

Luna, observando la superficie lunar desde una altura de 5 Q { 0 km (vea

el apendice F). Para consternacion de los cientificos en 1~.'lTierra,WI

desperfecto electrico hace que un motor a bordo se encienda y reduz-

ca la rapidez de la nave .en 20.0 m/s, Si no se corrige la orbita, Gcon

que rapidez (en km/h) chocara la nave can la superficie lunar?

*12.64 l,Cuanto duraria un dia (es decir, la duracion de una revolu-

cion de la Tierra sabre su eje) si la rapidez de rotacion de Ia Tierra

fuera tal que g = 0 en el ecuador?

12.65 Martillo que cae. Un martillo de masa m se deja caer del re-

poso desde una altura h arriba.de la superficie terrestre, no necesa-

riamente pequefia en comparaci6n can el radio RT de la Tierra.

Despreciando la resistencia del aire, deduzca Una expresi6n para la

rapidez u del martillo cuando llega a la s up er fi ci e, S u e xp re si on de-

bera ineluir h, RT Y mT, la masa de la Tierra.

12.66 a) Calcule cuanto trabajo se requiere para lanzar una nave de

masa m desde la superficie de la Tierra (masa InT' radio RT) y colo-

carla en una orbita baja circular, es decir, una 6rbita euya altura sa-

bre la superficie terrestre es mucho menor que RT. (POl' ejemplo, la

E stacio n E spaeial Intern acio nal esta en orbita baja a un a altura apro-

ximada de 400 km, m uch o m en or que R-r = = 6380 km .) Se puede des-

preciar la energia cinetica que la nave tiene en tierra debido a la

rctacion del planeta. b) Calcule la cantidad minima de trabajo adicio-

na l requerida para pasar la nave de una .orbita baja a una distancia

muy grande de Ia Tierra. Se puede h ace r c aso om iso de los efectos

gravitacionales del Sol, la Luna y los demas planetas. c) Justifique la

afirmacion ell el sentido de que "en terminos de energia, una 6rbitabaja esta a Iamitad de la distancia

a los confines del universo",

12.67 Se va a lan zar una nave de

Ia superficie terrestre de 1110do

que escape del Sistema Solar. a)

Calcule la rapidez relativa al cen-

tro de la Tierra con que se debe

lanzar. Tenga en cuenta los efec-

tos gravitacionales de la Tierra y

el Sol, e incluya los efeetos de la F ig ur a 1 2.3 6 Problema 12.67.

rapidez orbital de la Tierra, pero

desprecie la resistencia del aire,

b) La rotacion teJTeSITepuede ayudar a esta nave a alcanzar la rapidezde escape. Calcule la rapidez que la nave debe tener relativa a la su-

pel/ide terrestre si se Ianza de Florida en el punta indicado en la

Figura 12.36. Los movimientos rotacional y orbital de la Tierra tienen

Ia misma direccion, Las instalaciones de lanzamiento de Florida es-

tall 28.5° al norte del ecuador c) La Agencia Espacial Europea (ESA)

usa instalaciones de lanzamiento en la Guyana Francesa (inmediata-

mente al norte de Brasil), 5.15° al norte del ecuador. (,Que rapidez re-

lativa a la superficie terrestre necesitaria adquirir una nave-para

escapar del Sistema Solar si se lanza desde laGuyana Francesa?

12.68 Potencial gravitacional. Podemos definir una cantidad util

Hamada potencial gravitacional de la Tierra (denotado can c P ) si es-tipularnos que el producto de su valor ell cua.lquier punta y la masa

de una particula colocada en ese punta nos da la energia potencialgravitacional.de ese sistema Tierra-particula, (Usaremos una cantidad

analogs, el potencial electrico V, cuando veamos las interacciones

electricas en el capitulo 23.) a) Determine las unidades SI para el

potencial gravitacional y demuestre que son equivalentes a . m2/s2

b) Deduzca la ecuaci6n para el potencial gravitacional en cualquier

punta fuera de la Tierra 5i se toma como cero a una distancia infini-

ta de ella. c) Calcule el anrnento en elpotencial gravitacional entre

la superficie de laTierra y la altitud a la que esra la Estacion Espacial

Internacional (400 km). d)Use el resultado de laparte (c) para calcu-

lar el trabajo que debe efectuarse contra Ia fuerzagravitacional

de la Tierra para llevar unacarga util de 15,000 kg.de la superficie

terrestre a una altitud de 400 Ian.

oSol



12.69 Huecos.de Kirkwood. Cientosde miles de asteroides giran

alrededor del Sol en lafranja de asteroides, que se extiende desde

aproxim adam ente 3 x 1OS Ian hasta 5 .X 108 kill del Sol. a ) C al cu -

le el periodo orbital (en afios) de un asteroide en: i) la on lla interior

de la franja y ii) la orilla exterior de la franj a. Suponga orbitas circu-

lares. b) En 1867, el astronomo estadounidense Daniel Kirkwood

seiialo que existeu varies huecos en la franja de asteroides donde se

encuentran relativamente pocos asteroides, Ahara se sabe que esos

huecos de Kirkwood se deben ala atraccicn gravitacional de Jupi-

ter, el planeta mas grande, cuyo periodo orbital alrededor del Sol es

de 11.86 afios. Por ejemplo, si un asteroide tiene un periodo orbital

que es la mitad del de Jupiter, 0 sea, 5.93 alios, en cada segunda 6r-

b ita el astero id e estara a una distancia minima de Jupiter y experi-

mentara una fuerte atraccion hacia ese planeta, Dicha atraccion, aJ

acruar repetidamente en orbitas sucesivas, podria ir sacando a los

asreroides del hueco de Kirkwood. Ut il ice es ta h ipo te si s para deter-

minar el radio orbital de ese hueeo de Kirkwood. c) Otro hueco de

Kirkwood aparece a una distancia del Sol en Ia que el periodo orbi-tal es 0.400 veces el de Jupiter. Explique esto y calcule el radio or-bital de ese hueco de Kirkwood. rnasa del SoL Suponiendo que las orbitas son circulares, determin

12.70 Si un sa te lit e e st a en una 6rbita 1 0 b ast an te b aja , experimenta- el radio de l a o rb it a y la ra~idez orbit.al d e cad a o~jeto. C~mp;;re s

, .. d It'!". te t D d I tr I·~' respues. tag con el radio orbital de laTierra y su rapidez orbital alredra arras..ie 1 0 a a mOSlera nes re o a 0 que e arras e rell.lZa rra- < : - - _ . - - - . . .

b . . (I di ·6 d I f I _ .. ) I dor del Solajo negative a IIeCCl n . e a uerza lOSopuesta a movmuentoj, a .12.73 Los cometas viajan alrededor del Sol en orbitasellpticas

energia mecanica disminuye, Segun Ia ecuacion (12.15), si E dismi-gran excentricidad, Si un cometa tiene una rapidez de 2.0 x 104 m

nuye (se hace mas negativa), el radio r de la orbita disminuira. Si el 'cuando esta a una distancia de 2.5 X 10IIIIIde) centro del S·ol,l.q

arra st re lO Srelativamenre pequefio, puede considerarse que el satelite ..rapidez tiene cuando esta a 5.0 X 1011 1 m?

esta en una orbita circular con radio continuarnente decreciente, a)12.74 Cuando Marte viaja en torno ill Sol en su 6rbita ellptica

S eg un la e cu ac io n (12.12), si el radio de l a o rb it a circular de un sate-su distancia de mayor acercamiento al centro del Sol (en 1 0 1 perihe

lio) es de 2.067 X lO ll m, y su distancia maxima (en el afelio)

de 2.492 X 10 I ru. Si Ill.rapidez orbital de Marte en el afel io es2.198 X 104 m/s,l,que rapidez tiene en el perihelio? _(Desprecie

influencia de los demas p lauet as .)

12.75 Considere una nave en 6rbita_ellptica alrededor de la Ti

rra. En el punto bajo (perigee) de su 6rbita, Ill.nave esta 400 k

arriba de la superficie; en el puntoalto (apogee), esta a 4000 la

a) Calcule elperiodo de Ill.orbita, b) Uaandola conservacion

la cantidad de movimiento angular, calcule la relac!6n entre la r

pidez de la nave en el perigeoy en el apogeo. c) Usando Ill.con

servacion de la energia, determine la rapidez en el perigeo y en

apogee. d) Se de sea que Ia nave escape totalmente de la fT ie rr a ..

sus cohetes se encienden en el perigeo, lcu:l.nto tendra que a

mentarse la rapidez para lograrlo? i. .Y si los coheres se dispara

en el apogeo? l Q U i e punta de la 6rbita se_puede usar con mayo

eficiencia?

12.76 Urano tiene illl radio de 25,560 km y una aceleraci6n debid

a la gra'vedad en su superficie de 11.1 m/s2 en los polos. 8u Jun

Miranda (desCllbierta e n 1948 por Kuiper) esta en una 6roi ta circu

lar a.una altura de 104,000 kIn sobre la superficie del planeta y ti

ne una masa de 6.6 X 1019 kg.y un radiode 235 kIn. a) Calcule

lllasU de Urano a partir de estos datos. 0) Calcule la magllitu?

acel~raci6n de Miranda debida a su 111ovimiento orbital altededo

de Urano. c) Calcule la aceleraci6n debida a la gravedad de Miran

da en la superficie de Miranda.-d) i .Las respuestas a las partes.(b)

(c) implican que un objeto soltado 1 m arriba de Ia st~pei-ficie d

lite disminuye, Jarapidez orbital v del satelite aumenta. i,C6mo pue-

de conciliar esto con la afirrnacion de que la energia mecanica

disminuyel iSugerencia: l,Es el arrastre la unica fuerza que realiza

trabajo sobre el satelite al disrninuir el radio orbital?) b) Por el arras-

Ire del aire, el radio de la orbita circular de un satelite disminuye de r

a r - D ..r , donde Ia cantidad positiva D . . r es m ucho m enor que r , La

masa del s at el it e e s m, Demuestre que elaumento en la rapidez orbi-

tal es t. .u = + (6rI2) VGm-lr '; que e l c amb io de en ergia cin etica es

J..K =+(GmTm!2?).6.r,que eI cambia de energia potencial gravita-

cional lO S .6 .U= -2M = - (GmTmlr ) . 6 . r y que la cantidad de trabajo

efectuado por la fuerza de arrastre es - W = (GmTmI2r ) . 6 . r . Inter-

prete estos resultados a la luz de sus comentarios de la parte (a). c)

Un satelite de 3000 kg esta inicialmente en una 6rbita circular 300

km arriba de la superficie terrestre, A causa del arrastre el aire, la

altura del satelite disrninuye a 250 km. Calcule la rapidez orbital ini-cial, 1 0 1 aumento en dicha rapidez, la energia mec:l.nicainicial, el cambio

de euergia cinetica, el cambio de energia potencial gravitacional, el

cambio de energia mee:l.niea y el trabajo realizado POlj la fuerza de

armstre del aire. d) Tarde 0 temprano, un satelite descended a ulla al-

ana tan baja en la atm6sfera que se quemara. y los resto~icaeran a la

5Uperficie. i,Que pasa con la energia mec:l.nica inicial? '\

12.71 Estrella binaria-masas iguaIes. Dos estrellas identicas de

masa M est:l.n en 6rbita alrededor de su centro de masa. Las dos

oibilas sOllcirculares con radio R, de modo que las dos estreLlas

simlpre estan en lados opuestos del circulo. a) Calcule la fuerza

gravitaeional que una estrella ejerce sobre la otra. b) Ca1cule la ra-

Problemas 47

pidez orbital de cada estrella y el periodo de Ia 6rbita. c) i,Cuan

energia se requeriria para separar las estrellas hasta el infinite?

12.72 Estrella blnarla-masas distintas. Dos estrellas, de ma

MI YM2, estan en orbitas circulares alrededor de su centro de mas

La primera tiene una orbita de radio R j, la segunda, R2. a) Demuest

que la relacion de los radios orbitales de las dos estrellas es igu

al reciproco de Ia relacicn de sus masas, es decir, R/R2 = M2IM

b) Explique por que las dos estrellas tienen 1 0 1 mismo periodo orb

ta l TyqueesteestadadoporT=21T(RI + R2) l l l rVG(Mt + M2

c) Las dos estrellas de cierto sistema binario, Alfa y Beta,se

mueven en o rb ita s c irc ulares . A lfa tien e una rapidez orbital

36.0 km/s, y Beta, de 12.0 krn/s, El pericdo orbital es de 1

~dias. Calcule las masas de las estrellas. d) Uno de los mejore

candidates para agujero negro esta en el sistema binario llamad

A0620-0090. Los dos objetos del sistema son una estrella an

ranjada, V616 Monocerotis, y un obj eto compacto que se cree

un agujero negro (Fig. 12.21). El periodo orbital de A0620-0090

es de 7.75 horas.' Se estima que la masa de V616 Monocerotis

0.67 veces la masa del Sol, y la del agujero negro, 3.8 veces



474

la densidad de la Tierra es uniforme, eon esta aproximacion poco

realista, la fuerza gravitacional que aetna sobre un objeto de masa m

ubicado dentro de la Tierra auna distancia r del centro tiene mag-

nitud F g =GmTmr iR / (como se demostro en el ejemplo 12.9) y

apunta hacia e1centro de la Tierra. a) Deduzca una expresion para la

energia potencial gravitacional U(r) del sistema objeto- Tierra en

funcion de la distancia del obj et o al centro de la Tierra. Tome U = 0

cuando el objeto esta en el centro de la Tierra. b) Si un objeto se

deja caer par el pozo desde la superficie terrestre, 2,querapidez tendra

cuando llegue al centro de la Tierra?

CAPiTULO 12 I Gravitacion

Miranda en el lado que da hacia Urano caera h ac ia a r ri ba relative

a Miranda? Explique.

12.77 Una nave de 3 00 0 kg esta en 6rbita circular 2 0 00 k :m arriba de

la superficie de Marte, 2,Cuanto trabajo deben efectuar sus motores

para llevarla a una orbita circular 4000 km arriba de Ia superficie?

12.78 En el ejemplo 12.9 (secci6n 12.5) s e c al cu lo el periodo or-

bital del cornera Halley en 75.5 afios, Muchos otros cornetas tie-

nen orbitas que se extienden mucho mas lejos del Sol y por tanto

tienen period os mucho mas largos. a) En e l a fel io , un cometa tipico

de periodo largo esta a unos 8 X 10 12 km del Sol; en el perihelia,

pasa dentro de la 6rbita dela Tierra. E st ime : e l p er io d o orbital en

afios de semejante cometa. b) Estime la rapidez de un corneta tipi-

co de periodo largo en el perihelia (Sugerencia: En el afelio, el co-

meta se mueve muy lentamente), c) El nucleo masivo de un cometa

contiene unos 10·' kg de material. Estime la energia cinetica que

tendria un cometa de periodo largo justo antes del impacto si cho-

cara con la Tierra. (Sugerencia: £1 movimiento del cometa 5edebe

primordialmente a la atraccion gravitacional del Sol, no de laTierra.

GPor quej) Compare esta energia con Ia Iiberada en una eruption

volcanica muy grande, cerca de 6 X 10· 8 .T , Y con la que se l ibe ra r ia

quemando todos los combustibles fosiles de la Tierra, unos 2 X 102 3

1. AI parecer, un impacto de este tipo se dio hace 65 millones de

afios en Yucatan, y tuvo que ver con la desaparicion de los dinosau-

rios y muchas otras especies antiguas.

12.79 Uno de los cometas mas brillantes del siglo xx fue el corneta

Hyakutake, que pasocerca del Sol a principios de 1996. Se estimo

que el periodo orbital de ese cometa es de unos 3 0,0 00 a fio s. C alc u-

le el eje semi mayor de la orbita de este cometa y comparela can la

distancia media.entre Pluton y el Sol y con la distancia aAlfa Cen-

tauri, la estrella mas cercana al Sol, que esta a 4.3 alios luz.

12.80 Los planetas no tienen un interior uniforme. Normalrnente,

son mas densos en el centro y su densidad se reduce hacia la superfi-

cie, Modele un planeta esfericarnente simetrico, can el mismo radio

que la Tierra, suponiendo que su densidad disminuye lineaLmente al

aumentar la distancia al centro. Sea Ia densidad en el centro de 15.0

X 10 3 kg/rrr', y en la superficie, de 2.0 X 10 J kg/m', Determine la

a ce le ra cio n d eb id a a Ia g raved ad en la superficie de e se p la n et a,

12.81 Un a lambre un if o rme con masa M y longitud L se dobla pa-

ra formar un sernicirculo. Calcule la magnitud y direccion de la

fuerza gravitacional que este alambre ejerce sobre una masa PWl-

tual m colocada en el centro de curvatura del semicirculo,

*12.82 Un objeto en forma de un anillo circular delgado tiene ra-

dio a y rnasa M. Una esfera uniforme de masa m y radio R se coloca

con su centro a una distancia x a la derecha del centro del anillo, a 10

largo de una linea que pasa pOI'el centro del anillo y es perpendicular

a su plano (Fig. 12.34). l .Que fuerza gravitacional ejerce Ia esfera

sobre el anillo? Demuestre que 5U resultado se reduce al valor es-

perado cuando x es rnucho mayor que a.

*12.83 Una varilla uniforme delgada tiene una longitud L y una

masa 1 1 ' 1 . CaJcule la magnitud de la fuerza gravitacional CJ,~ejerce

sobre una particula de masa m S 1 tuada en un PWltOa 10largo del eje

longitudinal de la varilla y a una distancia x de un extreme (Fig.

12 .33) . Dernuestre que su resultado se reduce al valor esperado

cuando x es mucho mayor que L.

*12.84 Se perfora un pozo de la superficie al centro de la Tierra

(Fig. 12.24). Como en el ejemplo J2.l 0 (secci6n 12.6) , suponga que

P rob lemas de desafio

12.85 a) Cuando un objeto esta en U11aorbita circular de radio r ale

rededor de la Tierra (rnasa niT), el periodo de la 6rbita es T [dado

por la ecuacion (12.14)] y la rapidez orbital es v [dada por la ecua-

ci6n (12.12)]. Dernuestre que, cuando el objeto se pasa a una 6rbi-

ta circular con radio un poco mayor r + Sr , donde !:J.r« r, sunuevo periodo es T + !:J.Ty su nuevarapidez orbital es v - !:J.v , don-

de S r, !:J.Ty Llu son cantidades positivas y

. 3 1 T d r ~ 1 T t : . . rLlT = -- y u.U =--

v T

(Sugerencia: Use la expresion (1 + x)" = 1 + 1lX, valida para

Ix l «.) b) La Estaci6n Espacial Internacional (ISS, de sus siglas

en Ingles) esta en una o rb ita c asi circular a una altitud de 398.GO km -.

Una cuadrilla de mantenimiento esta a punto de Ilegar en un trans-

bordador espacial que tambien esta en una 6rbita circular en el mis-

rna plano orbital que la ISS, pero can una altitud de 398.10 km . La

cuadril la acudi6 para retirar un cable electrico inutilizado con una

longitud de 12 5 m que esta unido a la ISS por un extremo, con el

otro extreme flotando I ibre en el espacio. El plan es que el transbor-

dador pesque el extrema libre en un memento en que la nave, la ISS

yeJ centro de la Tierra es tan a l ineados, AI t en sa rs e e l cable, se sol-

tara de la ISS. l.Cuantos minu to s d e sp ue s de que el transbordador

atrapa el extremo suelto el cable se soltara de la ISS? c) Demuestre

que, si el transbordador no logra pescar el cable, la cuadril la debera

e sp er ar u n tiempo t ee T2/!:J.T para tener otra oportunidad. Ca1cule

el valor numerico de t y expJique 5 1 valdria la pena esperar.

12.86 Navegaclon interplanetaria. La forma mas eficiente de en-

viar una nave de la Tierra a otro planets es usar una orbita de

F igura 12 .37 Problema de desafio 12.86.



transferencia de Hohmann (Fig. 12.37). Si las orbitas de los plane-

tas de origen y de destino son circulares, la orbita de transferencia de

Hohmann es una orbita eliptica cuyo perihelia y afelio SOl1 tangen-

tes a las orbitas de los dos planetas, Los cohetes se encienden breve-

mente en el planeta de origen para colocar la nave en la 6rbita de

transferencia; a continuaci6n, la nave viaja sin motor hasta !legar al

planeta de destino. En ese momento, los cohetes se encienden otra

vez para poner a la nave en la misma orbita alrededor del Sol que el

planeta de destine, a) Para un vuelo de la Tierra a Marte, l,en que di-

reccion se deben disparar los cohetes en la Tierra y en Marte: en la

direccion del movimiento 0 en la direcci6n opuesta? l,Y en un vuelo

de Marte a la Tierra? b) l,Cuanto tarda un viaje de ida de la Tierra a

Marte, entre los disparos de los cohetes? c) Para llegar a Marte des-

dela Tierra, el instante dellanzamiento debe calcularse de modo que

Marte este en el lugar correcto cuando la nave llegue a la orbita

de Marte alrededor del Sol. En el lanzamiento, l .que angulo deben

f0D11arlas l ineas Sol -Mar te y So l-T ie rr a? Use datos del apendice F .

12.87 Fuerzas de marea cerca de un agujero negro. Una astro-

nauta, dentro de una nave que la protege de las radiaciones dafiinas,

esta en orbita alrededor de un agujero negro a una distancia de 120

km de su centro. EI agujero tiene 5.00 veces la masa del Sol y un ra-

dio de Schwarzschi ld de 15.0 k 1 1 1 . La astronauta e st a s it uada dentro

de la nave de modo tal que una de sus orejas de 0.030 kg esta 6.0

cm mas lejos del agujero negro que el centro de masa de la nave, y

la otra oreja esta 6.0 em mas cerca. a) i,Que tension hay entre las

orejas?l,Seria diflcil para la astrcnauta evitar ser desgarrada por

las fuerzas gravitacionales? (Puesto que rodo su cuerpo esra en 6rbi-

ta can I a misma velocidad angular, una oreja se mueve can dema-

siada lentitud para el radio de su orbita y la otra 10 hace con

demasiada rapidez. Porello, la cabeza debe ejercer fuerzas sabre las

gravitacional (magnitud y direc-

cion) que actua entre esta masa Y Figura 12.38 Problema

una particula.de masa m situada de desafio 12.88.

a una distancia x arriba del cen-

tro del disco (Fig. 12.38). ~Su r es ul ta d o s e reduce a la e xp re si on co

rrecta cuando x se hace muy grande? (Sugerencia: Divida el disco

en anillos concentric os infinitesimalmente delgados, use la expre

si6n deducida en el problema 12.70 para la fuerza.gravitacional de

bida a cada anillo, e integre para

obtener la fuerza total.)

*12.89 La masa M esta distri-

buida uniformemente a 1 0 largo

de una linea de longitud 2L . Una

particula de mas a m esta en un

punta a una distancia a arriba

del centro de la linea en su bisec-

triz perpendicular (el punto P en

l a F ig . 12.39). Para la fuerza gra-

vitacionaJ que Ja linea ejerce sa-

bre la patticula, calcule las componentes perpendiculary paralela a

la linea ..lSu resultado se reduce a faexpresion correcta cuandozz se

hace muy grande?

Problemas de desafto

orejas para mantenerlas en sus

orbitas.) b) lEI centro de grave-

dad de I a ca be za es ta en el mismo

punto que su centro de masa? Ex-

plique.

*12.88 La . rnasa M esra distri-

buida uniformementeen un dis-

co de radio a. Calcule la fuerza

475

m,I

M

Figura 11~.39Problema".

de desafio 12.89..

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Capitulo 12 Sears