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Capitolo 12. Movimenti di massa, Subsidenze e Costruzioni

Classificazione delle frane. La piu vecchia é quella di Almagià (1910) e prevede:- lame o frane di dilavamento: sono in pratica le lame- creep e le colate d fango;- frane di cedimento o scoscendimento: avvengono per un aumento di peso per imbibizione d’acqua;- frane di scivolamento: sono quelle di slittamento che avviene su uno strato lubrificante ;- frane per crollo: che avvengono su roccia per diminuzione della coesione o scalzamento al piede;- frane di rotolio: falde detritiche che superano l’angolo di natural declivio;- frane miste.Tipologia ed analisi sulle frane. La velocità delle frane è molto variabile. Il soliflusso – creep è un movimento molto lento della zona piu superficiale del pendio senza una vera superficie di rottura. Le colate di fango sono costituite da un fluido viscoso fatto di un miscuglio di formazioni superficiali e acqua. La velocità dipende dalla viscosità e dalla pendenza del versante. Tali colate seguono spesso il letto dei torrenti e in tal caso vengono chiamate lave torrenziali ("lahar" nel caso il materiale é cenere vulcanica). I crolli sono i piu rapidi e avvengono per caduta di blocchi di roccia da falesie. La velocità invece di scivolamenti di strati di roccia lungo i versanti di montagna può assumersi pari a 10 cm per giorno: tale valore varia durante l’anno (piovosità, presenza neve, ecc.). Tali movimenti traslazionali avvengono su una superficie per-esistente costituita da livelli argillosi–marnosi in genere. Si può ritrovare spesso che la superficie di rottura é una curva che simula una sezione cilindrica, come gli archi di cerchio di rottura a taglio delle fondazioni, che si muove rapidamente e i movimenti sono detti scoscendimenti. Infine le frane possono anche essere di tipo misto (per lo più scoscendimento a monte e colata al piede).

Tipica frana mista

L'acqua svolge un ruolo fondamentale sulla stabilita di un versante dato che la pressione idrostatica sviluppata da una falda va a sommarsi alla forza di gravita. Vedremo per le fondazioni che il fattore di sicurezza Fs é pari alla pressione di rottura del terreno diviso la pressione sulla fondazione. Allo stesso modoper i pendii si può definire come rapporto tra la condizione di collasso (frana) e la situazione effettiva in locosenza movimenti in atto. Quando avviene una frana Fs = 1, mentre la stabilita secondo normativa, vale per Fs = > 1,3. Per un pendio di lunghezza indefinita, la stabilita della coltre superficiale in condizioni asciutte si scrive: Fs = tg φ/ tg β, mentre Fs = 0,5 (tg φ / tg β) in condizione di saturazione con filtrazione d’acqua parallela alpendio. Nel caso di saturazione d’acqua ma senza filtrazione come può essere la sponda immersa in un lago (livello lago costituisce il livello falda orizzontale) il valore di Fs é simile alle condizioni asciutte. Al contrario nel caso di filtrazione orizzontale si ha l’instabilità maggiore dato che: Fs = φ / 2 β. Il valore f = tgφ é il coefficiente di attrito mentre β é l’inclinazione del pendio. I terreni plastici come le argille sature d’acqua sono instabili su versanti anche a debole pendenza (una

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pendenza di 1% é sufficiente ad innescare colate di fango). La vegetazione limita l’infiltrazione dell’acqua piovana e l’erosione superficiale del suolo, che sono spesso le cause di instabilità, per cui il rimboschimento fa diminuire la franosità di una data zona.

Crollo (A) e scivolamento(B). Nel primo caso si ha un distacco improvviso di rocce lapidee sconnesse per alterazione meteorica (gelo-disgelo, calore, ecc.) o per erosione al piede. Nel secondo caso la superficie di scivolamento é data dagli strati marnosi; può anche avvenire senza stratificazione come in rocce ricche in fillosilicati (inclinazione assunta 0,5 [φ + β] )

. Scivolamenti gravitativi antichi di calcari giurassici su marne (Catena subalpina).

Colamenti di una serie marnosa che si verificano spesso dopo intense piogge.

Movimento rotazionale (frana di scoscendimento) attuale di La Clapière (St Etienne-de-Tinée): il distacco avviene secondo una superficie curva-cilindrica (Fonte: Durouchoux).

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In generale per ricavare il fattore di sicurezza di un pendio potenzialmente soggetto a frane di scoscendimento si scrive: Fs = momento resistente / momento agente. Per una rottura in argilla che passa per il piede del pendio il Fellenius (1936) ha stabilito due angoli α1 e α2 che permettono di valutare il centro del raggio R. R α α2 . H α1

Cerchio critico passante per il piede in una argilla con α in genere maggiore di 80° . pendenza del pendio α1 α2 60° 29° 40° 45° 28° 37° 34° 26° 35° 27° 25° 35° Qualora la rottura non passa per la base bisogna cercare il cerchio critico per tentativi ovvero trovare il cerchio (R) che da il minimo Fs.

α R H L1 L2 W1 D

W2Rottura di un pendio argilloso di coesione c secondo un arco di cerchio di pendio; i baricentri delle forze peso si ricavano dalla statica grafica classica.

Per la fig. precedente si ha: momento agente = W1L1 - W2L2 ; momento resistente = c R2 α. Es: W1 = 10 KN; W2 = 1,6 KN; L1 = 1,2 m; L2 = 0,5 m; R = 7 m; α = 120° = 2,1 rad;quindi la coesione critica é la coesione per Fs = 1 ovvero: cr = 10 (1,2) - 1,6 (0,5) / 49 . 2,1 = 0,11 KN / m2

Misurando da prove di laboratorio (compressione semplice) la coesione c effettiva per il materiale del pendio pari a 0,09 si ha: Fs = 0,11/ 0,09 = 1,22 < 1,3 (poco stabile). Risulta evidente che per un cerchio di piede la quantità W2L2 = 0.Nel caso di pendio omogeneo di altezza finita il Taylor ha predisposto un abaco sia per cerchio passante per il piede (inclinazioni del pendio > = 53°) sia per cerchio profondo di pendio. Per quest’ultimo caso bisogna definire anche nd = H + D / H, dove H é l’altezza del pendio e H + D lo spessore max verticale interessato dal cerchio critico supposto tangente a un substrato rigido profondo. Per il cerchio di piede D = 0 e nd = 1.

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Il metodo di Taylor trova sovente applicazione per valutare l’inclinazione da dare a sbancamenti di costa o trincee, infatti considerando l’altezza critica Hc = 1,5 H e nota la coesione c e la densità Y si ricava il fattore di stabilita: Ns = Y Hc /c e quindi l’inclinazione di scavo β tramite il seguente abaco.

Abaco del Taylor.

Frana di scivolamento Spinta laterale in galleria

Nello scivolamento franoso di un versante costituito da banchi di roccia esiste una forza normale costituita dal peso W del blocco (densità della roccia per il volume), mentre nella galleria si ha solo la forza tagliante a causa delle spinte laterali. Il grado di sicurezza per il pendio in questi casi vale: Fs = resistenza a taglio roccia / pressione tagliante (o componente tangenziale di W). Ovvero: Fs = τ / W sin β = c L + W cos β tg φ / W sin β Per il caso della galleria ponendo la coesione c = 0 lungo la superficie di scivolamento lunga L, si elimina il peso W nonché la componente tangenziale di tale peso Wsin β, giungendo alla semplice analisi in 2D, simile allo scorrimento di una coltre sciolta superficiale, in condizioni secche: Fs = tg φ / tg β. Nel caso di rocce argillose-marnose la spinta laterale può essere superiore a quella verticale litostatica, per cui la verifica di stabilità perde significato, dato che sono sempre necessari contrasti (armatura della galleria).La prova di taglio in laboratorio fornisce i valori di c e φ. Nel caso della galleria si considera il coefficiente di attrito minimo lungo la superficie di scivolamento. Coefficiente attrito f = tg φ = 0,7-1,2 arenaria, 0,26 - 0,6 argilla, 1-1,8 granito, 0,7-1,2 calcare. Per le terre la prova di taglio si esegue in laboratorio con la scatola di Casagrande di dimensioni 6 x 6 cm o 10 x 10 cm dove il taglio viene applicato ad una velocità predefinita.Prima del taglio, nel caso di terre, il provino viene consolidato sotto una pressione normale σ. Quindi si applica una azione tagliante e misurando la deformazione laterale si può desumere la deformazione laterale massima e di conseguenza la forza di taglio massima che l’ha generata. I valori cosi trovati di sforzo normalee taglio massimo consentono di individuare un punto nel piano Mohr – Coulomb ( taglio - pressione normale). Quindi caricando con sforzi normali via via maggiori altri provini ed eseguendo i rispettivi tagli é

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possibile disegnare la retta a rottura τ = c + σ tg φ e ricavare la coesione (intercetta sull’ordinata) e l’angolodi attrito (inclinazione retta) della terra: parametri che consentono il calcolo della stabilita dei versanti.

Scatola di taglio del Casagrande per le terre e risultati che consentono di disegnare la curva intrinseca o retta Mohr- Coulomb.Per le rocce si utilizza un altro metodo ma i risultati si presentano allo stesso modo

Le terre argillose hanno un comportamento plastico mentre quelle granulari elastico, più in generale per le terre miste é elastoplastico (terre dotate di coesione e angolo di attrito, secondo la legge Mohr-Coulomb). Terre con meno di 25% di argilla sono più dure; in genere la coesione dipende dai legami tra le particelle e i tipici valori di coesione e angolo di attrito sono:

argilla : c = 20 KPa = 20° Valori tipici medi

sabbia : c = 0 = 35°

Cause delle frane. Le frane sono causate da: azioni umane, azioni naturali. Azioni umane: scavi, rilevati, emungimento acque, esplosioni, disboscamenti, perdite condotte d’acqua, modificazioni corsi d’acqua e suoli, costruzioni di manufatti. Azioni naturali: variazioni geometriche (incremento della pendenza a causa di erosione al piede, movimenti tettonici, perdita di resistenza di un substrato marnoso sotto rocce acquifere), variazioni delle spinte (aumento della pressione d’acqua nel terreno, diminuzione della coesione, sovraccarico per acque sorgive o accumulo detriti). Inoltre la diminuzione della coesione é causata dall’alterazione della roccia, idratazione diminerali argillosi, soluzione del cemento in rocce clastiche, rimozione della tensione capillare o coesione apparente in suoli argillosi ovvero a causa di un rammollimento dovuto all’acqua. Da quanto esposto si evince che l’acqua associata alle condizioni litologiche sfavorevoli (rocce alterate, argille molli, rocce argillose, rocce ricche in fillosilicati come talco, cloriti, miche) e geologiche sfavorevoli (faglie, giunti di stratificazione, di scistosità, zone milonitiche, argille compatte fessurate, presenza di intercalazioni plastiche,stratificazione a franapoggio meno inclinata del pendio, scoscendimenti ad uncino, alternanza di strati impermeabili e permeabili sensibili all’acqua) sono la principale causa responsabile delle frane. Interventi stabilizzanti. Hutchinson (1977) classifica gli interventi stabilizzanti per i movimenti franosi come: i) opere di scavo e riempimento: rimozione di materiale a monte e riporto al piede del versante, gradonatura, sostituzione di materiale altamente permeabile;ii) opere di drenaggio: canalette superficiali, trincee drenanti, speroni drenanti, dreni suborizzontali, paratie drenanti e pozzi verticali, elettro-osmosi per terreni a bassa permeabilita';iii) opere di sostegno: muri di sostegno, gabbionate, pozzi di fondazione, palificate o micropali eventualmente tirantati in testa. In genere le opere di contenimento come muri e gabbionate si usano quando la profondita' non e' elevata e per uno spostamento contenuto, mentre nel caso di spessori maggiori si utilizzano micropali tirantati che vanno collegati nella zona di maggior estensione del corpo in frana.

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Versante stabilizzato con ancoraggi: bullone con base ad espansione ed armatura tesata; tirante attivo costituito da trefoli di armatura tesata protetta da una guaina e nel tratto di fondazione la malta e’ iniettataa pressione tramite valvole al di sotto dell’ otturatore. Il tirante passivo invece é una semplice barra di armatura con malta gettata a gravita per l’intero tratto senza tesatura dell’armatura ma sempre con elementi di bloccaggio.

Riprendiamo l’equazione: Fs = resistenza a taglio / pressione tagliante; in questo caso oltre alla resistenza a taglio τ della roccia bisogna aggiungere la resistenza fornita dall’ancoraggio passivo e quindi da figura qui sopra: Fs = (T cos β / i) + c L + W cos α tg φ / W sen α L’interasse lungo il pendio é in genere i = 2 - 3 m, mentre per tiranti passivi T = n * t max * A, ovvero la resistenza a taglio massima per la sezione dell’armatura A per il numero n di tiranti passivi. Nel caso di tiranti attivi pretesi invece si scrive : Fs = c L + W cos α tg φ / W sen α – ( T cos β / i) Il valore minimo di T si ha per β = φ quindi si tende ad assumere β < φ o meglio α + δ = φ, dove δ é l' inclinazione del tirante attivo rispetto all'orizzontale. In questo caso T = n* Tes dove Tes é la trazione di tesatura in esercizio. Il rock-bolt ovvero il bullone in roccia con espansione della base, presenta un diametro tipico sui 20-25 mm, lunghezza 3-4 metri di cui 1-2 m in roccia sana e capacita di 10 tonnellate. Viene in genere tesata l’armatura al 60% ovvero sui 6 ton (Tes). Il tirante passivo é quello con semplice barra non tesata interamente in malta. Una barra di armatura non tesata del diametro di 30 mm ha una capacita resistivadi 8 ton ed in genere deve rimanere in roccia stabile per 2 m. I tiranti pretesi costituiti da trefoli hanno resistenze variabili e superiori, in funzione del numero di trefoli e della pressione di iniezione della malta.

Dowels (chiodi), rock bolts (bulloni di ancoraggio), rock anchors (tiranti attivi), weepholes (barbacani - semplici tubi di pvc che attraversano in superficie una soletta di calcestruzzo proiettato) , inclined drainhole (drenaggio tubolare suborizzontale), dentition (placche murarie in mattoni con malta o in calcestruzzo) Fonte: Zhaou.

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Abbiamo precedentemente parlato dei drenaggi, vediamo ora piu in dettaglio :- dreni superficiali: questi sono i fossi di guardia scavati tutti intorno alla zona di distacco e che non permettano alle acque ruscellanti di entrare nella massa instabile, le captazioni di sorgenti e le canalette in calcestruzzo di scolo disposte a reticolato sul pendio riducono l’infiltrazione. Spesso si fanno canali riempiti di pietrame perché più deformabili;- dreni poco profondi: trincee di 3 m riempiti di materiale granulare con rivestimento di geotessile per non far occludere i vuoti con la testa argillosa come tappo.

Trincee drenanti (Fonte: Pagliaroli)

Per pendio indefinito: Fs = (Yz – Y hw / Yz) (tg φ / tg β), con Y densita del terreno e z lo spessore dello strato instabile ovvero del dreno e Hw il carico idraulico sul substrato stabile. Per Hutchinson l’efficienza dei dreni é m = hw – hw* / hw in funzione del rapporto s/hw ovvero tra spaziatura s delle trincee e hw la profondita delle trincee rispetto alla falda non influenzata originaria. Il valore hw* invece é il nuovo valore del carico idraulico a causa dell’ abbassamento della tavola d’acqua influenzata dal dreno. Cosi da tabelle perun dato valore s / hw si ricava m e quindi hw* = hw – ( m hw); il nuovo valore di Fs si trova ponendo hw* al posto di hw. - dreni profondi: gallerie e trincee profonde conveniente armate costruite su materiale stabile, captano una cospicua circolazione di acqua sotterranea; in questo caso l’abbattimento della tavola d’acqua si ricava dalla portata smaltita pari a: Q = K (H2 2 - h1

2 ) /2L ; con K il coefficiente di permeabilità del terreno, H2 il carico idraulico statico e H1 quello dinamico ed L la distanza orizzontale della galleria dal piede del versante.

Influenza del raggio della galleria sull’abbattimento della falda

- dreni orizzontali tubolari: l’infissione di tubi di drenaggio fenestrati o microfessurati (in roccia fessurata) messi in fori di sonda eseguiti al piede della massa instabile é efficace se la permeabilità del sottosuolo é elevata e non si ha pericolo di rotture dei dreni; - dreni verticali: si costruiscono talora pozzi di drenaggio muniti di pompe automatiche specialmente per interventi di urgenza. Alcuni volte i pozzi sono arrivati al di sotto del corpo di frana argillosa fino ad un acquifero profondo sabbioso. Altro tipo di dreni verticali sono i pali di sabbia che accelerano l’espulsione

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dell’acqua verso la superficie per graduale consolidamento di limi-argillosi sotto il carico di un rilevato artificiale; attualmente si usano anche geo-dreni a nastro di materiale plastico inseriti da apposite macchine.

- schermi impermeabili: per isolare un’area di limitata superficie dalla circolazione sotterranea si possono realizzare paratie impermeabili di pali accostati o secanti o anche pannelli in calcestruzzo, o veli di iniezione di cemento o argilla-cemento o di sostanze impermeabilizzanti;- coperture impermeabili con barbacani: per impedire rigonfiamenti per idratazione o degradazione meteorica si può rivestire il pendio o una parete o una frana con lamiere metalliche o spruzzare sopra, in casodi roccia lapidea, malta di cemento a forte pressione (gunite) o bentoncino (malta di cemento con ghiaino) in pressione; la soletta deve avere barbacani (tubi in pvc) passanti, per lo scolo delle acque a tergo; - congelamento: per bloccare un movimento di terreno acquifero o per eseguire lavori di scavo e di sostegno si possono infiggere dei tubi e inviare azoto liquido che provoca il congelamento dell’acqua e il rassodamento del terreno;- elettrosmosi: nei terreni poco permeabili la sottrazione di acqua può essere ottenuta dal passaggio di corrente elettrica. L’acqua migra ai catodi donde può essere pompata e incanalata. Se gli anodi sono in alluminio si corrodono e mandano ioni Al3+ nel terreno, i quali contribuiscono a rendere irreversibile il consolidamento. Il metodo provoca una diminuzione del volume di terreno trattato per cui non può essere applicato sotto edifici esistenti. Monitoraggio dei movimenti franosi. Ogni programma di indagine per la valutazione dei movimenti franosi e' costituito da due fasi distinte e complementari: i) indagini preliminari, consistenti nell'acquisizione di tutti i dati disponibili come: acquisizione dati morfologici tramite aereo fotointerpretazione, carte topografiche di dettaglio e interventi antropici recenti, sopralluoghi per evidenziare le caratteristiche geologico-strutturali dei terreni ed infine misure topografiche in situ tramite triangolazioni o trilaterazioni per evidenziare eventuali movimenti e calcolare le velocità di movimento.

Li Mi

Triangolazione superficiale utilizzando apparecchi topografici con 2 capisaldi fuori e 1 dentro la frana. Considerando una base fissa di cui si conosce esattamente la distanza, si fa stazione in esse per misurare le

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distanze tra queste e i capisaldi (croci) e le eventuali variazioni degli angoli di base alfa e beta. Quindi le variazioni delle distanze: Li = Li ; Mi = Mi

ii) indagini di dettaglio per evidenziare e delimitare il corpo di frana tramite: geofisica di superficie (geoelettrica e sismica), sondaggi e prove geotecniche di laboratorio (umidità, limiti di Atterberg, taglio) ed infine controlli strumentali tramite l'installazione nei fori di sonda di tubi piezometrici (valutazione profondità della falda) e inclinometrici (valutazione spostamenti laterali). Ulteriore strumentazione di controllo può essere anche di tipo meccanico con misure dirette (fessurimetri, pendoli inversi ed estensimetrimeccanici a barre) o di tipo indiretto tramite centralina di controllo (shear strip o indicatori resistivi di rottura, estensimetri e deformometri elettrici). Estensimetri e piezometriI movimenti sotterranei di masse rocciose si possono misurare installando nei fori di sonda degli estensimetria filo, che registrano gli aumenti della distanza fra le due estremità del foro, oppure dei deformometri, che registrano le distorsioni dell’asse del foro secondo le due direzioni x e y, ortogonali fra loro e all’asse medesimo.

Esempio di estensimetro a filo dentro un tubo in pvc, riempito di ghiaietto, dove una estremità del cavetto viene cementata e l’altra viene fissata alla testa del tubo e collegata all’apparato di misura costituito da un potenziometro lineare.

L’acquisizione dei dati dell’estensimetro e del deformometro avviene tramite trasduttori elettrici. Un trasduttore (o sensore) è un dispositivo in grado di rilevare una grandezza fisica di tipo qualsiasi (termico,luminoso, magnetico, meccanico, eccetera) e di trasformarla in una grandezza di altro tipo, generalmente elettrica (tensione o corrente). I trasduttori si distinguono in 2 tipi: “attivi” (producono direttamente tensione o corrente) e “passivi” (hanno bisogno dall’alimentazione per funzionare). I trasduttori possono essere poi “primari” dove la grandezza di ingresso viene trasformata direttamente nella grandezza di uscita, per esempio: - trasduttori di temperatura come le resistenze di platino, termocoppie, termistori; - estensimetri come gli “strain gauge” per la valutazione della deformazione; - sensori di posizione come i potenziometri lineari e rotativi ; - trasduttori ottici di posizione. Oppure possono essere “secondari”dove la grandezza di ingresso viene convertita in una intermedia e quest’ultima poi convertita nella grandezza di uscita: - sensori di forza e pressione basati sugli estensimetri; - sensori di spostamento basati sull’effetto Hall. Cosi un materiale termoresistivo (resistenza al platino) al variare della temperatura varia la resistenza elettrica in maniera proporzionale. Allo stesso modo un materiale piezoresistivo (estensimetro) che si

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deforma meccanicamente presenta una deformazione relativa detta in inglese strain: ε = Δ L/ L (valori < 0,005 cm/cm), che risulta proporzionale alla variazione di resistenza elettrica Δ R/ R e precisamenteil “factor gauge” vale: Gf = (Δ R/ R) / (Δ L/ L) = 2. L’estensimetro monoassiale (costituito da una griglia di filo conduttore con supporto in plastica) misura la deformazione in una direzione, e se viene messo su un dato materiale (ingl. bonded resistance strain gauge) di modulo elastico E consente di ricavare la tensione tramite la legge di Hook: σ = E ε, dove ε é la microdilatazione rilevata dall’estensimetro. L’estensimetro biassiale o coppia é fatto da due estensimetri disposti a 90° l’uno dall’altro e consente di definire uno stato di tensione piano: σ x = ( E / 1 – v 2) ( εx + v εy ) ; σ y = ( E / 1 – v 2) ( εy + v εx ); con v il rapporto di Poisson.Infine l’estensimetro triassiale o rosetta estensimetrica é costituito da tre estensimetri disposti a 45° l’uno dall’altro e quindi si ricavano le deformazioni εx, εy, ed un valore a 45° fra esse ε b. Applicando la teoria analitica del cerchio di Mohr si ricavano le deformazioni principali massima ε max e minima ε min e di conseguenza le corrispondenti tensioni (pressioni) principali. Cosi in gallerie esplorative si esegue il metodo del sovracarotaggio che consiste in un breve foro in parete, quindi si installa una rosetta sul fondo ed in seguito si approfondisce il foro, misurando le deformazioni della carota in via di formazione e, noti E e v della roccia, applicando la teoria della elasticità si risale alle tensioni geologiche principali in sito. Il potenziometro lineare di spostamento presenta due resistori in serie e la resistenza totale viene considerata come quella di un resistore rettilineo di sezione S e lunghezza totale Lt . Nel caso il potenziometro é attraversato da una corrente costante la misura di resistenza diventa una misura di tensione di uscita: Vu = Vi L / Lt, proporzionale quindi allo spostamento lineare L, con Vi la tensione di alimentazione. La linearità, ossia la proporzionalità tra segnale di ingresso (= spostamento) e segnale di uscita ( = tensione Vu), è assicurata se la resistenza dell'elemento conduttore si mantiene costante. Allo stesso modo in un trasformatore differenziale (LVDT) la proporzionalità tra segnale di ingresso (spostamento) con quello di uscita (tensione) é assicurata dalla costanza dell’induttanza. Tipici “estensimetri secondari” sono gli estensimetri a corda vibrante (ingl. vibrating wire strain gauge) che presentano al loro interno una corda di acciaio, tesa tra due blocchetti da fissare alla superficie della struttura da controllare mediante saldatura o resina, oppure annegandoli nel calcestruzzo. Le estremità della corda sono ancorate in modo da assicurare un'eccellente stabilità a lungo termine. Una bobina elettromagnetica, disposta in prossimità della corda, induce delle vibrazioni che vengono poi convertite in segnali elettrici di corrente alternata la cui frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda. Le variazioni della lunghezza della corda, dovute al carico cui è soggetto l'elemento della struttura in esame, alterano la frequenza del segnale, che un'apposita centralina di lettura digitale misurerà in microstrain. Oltre a misurare la deformazione di una struttura l’estensimetro a corda vibrante può essere installato dentro un cilindro inossidabile metallico (piezometro elettrico) per la valutazione della pressione ovvero la deformazione é calibrata proporzionalmente con la pressione agente. Le falde idriche vengono studiate eseguendo misure periodiche del livello dell’acqua nei fori, appositamente attrezzati a piezometri, con un rivestimento finestrato in acciaio o in plastica (piezometro aperto o semplice). Oltre a questi esistono anche i piezometri “ detti chiusi”.Quelli a tubo finestrato si usano per falde libere e sono molto semplici, quindi vi é anche il “tipo Casagrande” (sempre aperto con tempi di risposta più rapidi e quindi per terreni meno permeabili), mentre i piezometri chiusi si usano per la misura delle pressioni interstiziali per falde in pressione o nelle fondazioni di dighe. Nell’aperto si ha solo il tubo in pvc (standpipe) fenestrato alla base, eventualmente avvolto con tessuto non tessuto, e cieco nella zona cementata (grout sealing). Intorno alla base si pone della sabbia come filtro per il drenaggio dell’acqua di falda. Il diametro di tale tubo varia tra 1 e 2 pollici e il livello d'acqua viene rilevato attraverso una sondina galvanometrica calata nel tubo. Nel caso del piezometro di Casagrande si ha invece al posto della semplice fenestratura del tubo, un filtro (filter) costituito da un cilindro in pietra porosa di lunghezza 200-300 mm e diametro 30-50 mm. L'estremità superiore e' collegata al tubo in PVC di diametro 12,5 mm. Si possono avere anche due tubicini collegati. Quando si pone in opera la sabbia nel

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diametro da 150 mm (diametro foro di sonda) si dovrà avere che il cilindro abbia sopra e sotto di esso sui 50 cm di sabbia. Al di sopra poi della sabbia si realizza un sigillo impermeabile, spesso 0,5 -1 m, con palline di bentonite. Infine si riempie la parte soprastante con boiacca di cemento (grout). Hvorslev ha introdotto un slag test per ricavare la permeabilità. Si prende una altezza iniziale tra base foro e acqua nel tubo (standpipe) pari a Ho al tempo t = 0, e quindi incrementi dH = H - h (sempre considerando la base foro come datum di riferimento) nei tempi t. Si costruisce la retta in coordinate dH /H - Ho (ordinata) e i tempi t in ore (ascissa).Si considera il valore dH/ H-Ho = 0,37 e da qui si fa partire la parallela all’ascissa fino ad incontrare la retta per ricavare il valore dello slag time To, quindi: K = 3,14 r 2 / F To Dove d = 2 r é il diametro interno del tubo piezometrico ed F il fattore di forma (m) del filtro sabbioso.

Piezometro di Casagrande a sinistra e chiuso a corda vibrante a destra.

Come si può notare piu' e' basso K e piu' piccolo deve essere il diametro del tubo piezometrico (standpipe) per diminuire il tempo di risposta To che é un tempo di lettura. Tra i piezometri chiusi ci sono quelli idrauliciche presentano un manometro Bourdon in testa, mentre quelli attualmente piu usati sono gli elettrici a corda vibrante (ingl. vibrating wire) o a resistenza, e possono consentire la misurazione di pressioni fino al valore massimo di circa 7 MPa. In alcuni modelli a resistenza é possibile raggiungere i 20 MPa. Il diametro di questi piezometri è dell’ordine dei 25 mm mentre la lunghezza è dell’ordine dei 220 mm. L’alimentazione, per entrambe i modelli, viene effettuata mediante corrente continua a 12-24 Volt. Possono essere infilati in un piezometro aperto da 2 pollici o immorsati in malta di permeabilità inferiore a quella di una argilla. In entrambi i casi il cavo o cavi vengono collegati alla centralina per le letture delle pressioni dell’acqua. Subsidenza delle argille. La subsidenza consiste nell’abbassamento della superficie provocate da varie cause che possono essere di origine antropiche e naturali. Cause naturali: movimenti orogenetici, attività vulcanica, sismica, carichi dei sedimenti, soluzione di Sali nelsottosuolo; Cause artificiali: estrazione di fluidi (acqua, petrolio e gas) e solidi (carboni, minerali), applicazione di carichi, esplosioni, bonifiche per drenaggio e colmata.

Le maggiori subsidenze artificiali sono quelle legate alla applicazione dei carichi e ai conseguenti cedimenti delle argille a causa di costruzioni che trasmettono delle pressioni superiori al valore di resistenza limite per il terreno di fondazione, come é avvenuto per la Torre di Pisa o il palazzo delle belle Arti a Città del

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Messico. Per tutte le terre si possono valutare i cedimenti considerando il terreno come una molla ovvero dalla fisica: p = Ke l s Dove p é la pressione agente, Kel la costante elastica della molla ed s lo spostamento della molla. Per analogia p é la pressione di esercizio che trasmette la fondazione al terreno s il cedimento mentre la costante elastica viene definita Kr ovvero modulo di reazione del terreno in Kg/cm3 (sabbia di mare fine: 1,5-2; terra umida: 2-3,5; terra secca: 5-10; sabbia compatta 10-20; ghiaia compatta: 20-30).Tale espressione non vale per le argille molli inorganiche o organiche ovvero per quei terreni in cui si verifica il fenomeno della “consolidazione” che consiste nello spostamento dell’acqua, che permea il terreno,dalla zona sottocarico a quelle adiacenti non caricate. Tale processo involve una variazione di volume del terreno, quindi non é applicabile la teoria elastica come prima, ed il cedimento dipende dallo spessore H dell’argilla e da un coefficiente detto di compressibilità volumetrica mv (cm2/ kg), ovvero: s = p H mvNelle argille alluvionali si ha un cedimento immediato pari al 10% del valore complessivo di consolidazione mentre il rimanente 90% avviene in un tempo molto lungo. Per le argille cenozoiche invece si ha un cedimento immediato pari al 50% di quello di consolidazione.La torre di Pisa alta 58 m, ha un peso di 14000 ton. con una fondazione di base di 175,86 m2 per cui si ha una pressione al suolo di: p = 14000 / 175,86 = 79,6 ton /m2 = 7,96 kg / cm2

Le argille alluvionali molli iniziano a 10 m di profondità e sono spesse 10 m, quindi la tensione indotta in mezzeria dello strato argilloso vale: Δp = p K = p B / B + 2 ZAssumendo la larghezza B pari al diametro 15,4 m, e la profondità in mezzeria dell’argilla Z = 10 + 5 = 15 m, si ha: Δp = 7,96. 15,4 / 15,4 + 2. 15 = 2,7 Kg/cm2 = 0,27 MN/ m2

Assumendo H = 10 m ed mv = 0,4 m2/MN si trova: s = 0,27 .10 . 0,4 = 1,08 metri.Il cedimento immediato risulta 0,1. 1,08 = 0,108 m = 10,8 cm.Quest’ultimo valore é il doppio di quello che si dovrebbe avere per non avere cedimenti differenziali pericolosi, per cui gia durante la costruzione la Torre iniziò ad inclinarsi.Il fatto che non sia crollata é dovuto a vari fattori, legati alla storia stessa della torre: durante la costruzione i lavori rimasero interrotti per 90 anni, correzioni della pendenza prima della fine della costruzione nel XIV sec, intervento con cementazioni di fondo nel 1934 (basse pressioni di iniezioni di boiacca di cemento attraverso 361 perforazioni). Recentemente é stata bonificata facendo perforazioni e togliendo terreno dalla parte opposta alla pendenza in modo da far cedere la torre da quel lato e quindi raddrizzarla.Quando non si vogliono cedimenti si realizzano le “ fondazioni compensate” ovvero si toglie un peso di terreno di scavo uguale al carico della struttura.Tra le azioni causate da estrazioni di metano, nota é la subsidenza del ravennate. La prevenzione sulla possibile subsidenza superficiale a causa dell’estrazione di giacimenti di olio e gas, avviene con il riempimento di acqua e CO2 che consente anche di aumentare il fattore di recupero dei giacimenti.Alterazione del calcare. Il calcare é unico perché pur duro e compatto é totalmente solubile. Infatti la CO2 sciolta nell’acqua conferisce una certa acidità che provoca la corrosione delle rocce carbonatiche. I parametri più importanti che regolano il fenomeno sono: pH dell’acqua, la temperatura, la quantità di CO2 disciolta in mgr/litro. Tra le tipiche morfologie carsiche superficiali si hanno: doline piatte a scodella o imbuto (sinkhole) ed i campi piani (karst surface). In Italia e specialmente nel Carso i campi piani sono chiamati Polje. Tra le forme carsiche di superficie ne esistono alcune di costruzione ossia legate alla precipitazione e ricristallizzazione del carbonato di calcio come il travertino (in prossimità di sorgenti ) le caliche (all’interno del regolite superficiale). Le forme di erosione profonde tipiche sono le caverne o grotte (cavità) che possono essere secche o avere molta acqua. Le forme di costruzione calcitiche nelle grotte più tipiche sono le stallatiti al tetto e stalagmiti alla base. L’individuazione di cavità, quando si ha a che fare con un calcare carsico, fondamentali per la geologia delle fondazioni si esegue tramite una prospezione microgravimetrica di superficie o meglio facendo delle trivellazioni rapide a distruzione secondo una maglia stretta.

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Geomorfologia carsica

Subsidenza nei calcari. Questa é rappresentata praticamente dai collassi delle doline, di forma conica, cilindrica ma anche irregolare, di profondità da 1- 50 m e larghe da 1 a 200 m. Quando una formazione calcarea potenzialmente cavernosa, presenta un scarso affioramento superficiale é bene evitarla. I crolli avvengono in genere per: - copertura sopra la caverna meno spessa della larghezza; - copertura sotto la base di un condotto meno di 5 volte il diametro dello stesso; - copertura fatta da una lastra meno spessa di 3 m; - copertura in roccia alterata (cavity migration) meno di 10 volte l’altezza della cavita.

Il chalk presenta UCS = 5-27 MPa, ma avendo una porosità di 30-50 %, quando é saturato in acqua la UCS si riduce di 50-70% (rammollimento). Certi calcari vacuolari o conchigliari hanno un comportamento simile ed in tal caso qualora si utilizzano pali di fondazione bisogna tener presente alcune regole. Il valore di Nspt (numero di colpi del penetrometro standard dinamico per 30 cm di affondamento) deve essere almeno superiore a 25 per considerare “buono” il terreno. Nel caso di pali battuti di fondazione si trascura la resistenza di punta del palo, per ventuali problemi legati alla soluzione di cavita sotto la base e quindi si fa affidamento solamente alla resistenza laterale ultima lungoil fusto pari a : qs = 2 Nspt (KPa) < = 130 KPa. Una volta noto il carico di esercizio sulla testa del palo Qes scriviamo: Qes = qs Al / 2Da cui ricaviamo l’area laterale del fusto Al ovvero in definitiva la lunghezza del palo.

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Subsidenze dovute a costruzioni in ambiente urbano. I cedimenti differenziali causati per sovrapposizionedegli effetti é un caso tipico. Questo é in genere causato da due edifici vicini dove sotto la zona comune si concentrano gli sforzi. La lesione tipica nelle murature é quella traversale con angolo rispetto all’orizzontale sui 45° che si forma per rotazione a causa del cedimento differenziale delle fondazioni con allungamento della diagonale della struttura fuori terra.

Poco frequenti sono le subsidenze che si verificano per vaporizzazione dell’acqua di falda a causa di locali dicaldaie messi sotto il piano campagna, mentre più frequenti sono le subsidenze dovute a prosciugamento del terreno. Scavi profondi per parcheggi in presenza di edifici intorno, sono causa di cedimenti negli edifici esistenti. Si tende quindi a realizzare durante gli scavi delle paratie di pali o micropali accostati eventualmente tirantati a diverse profondità per stabilizzare gli scavi e di conseguenza anche gli edifici esistenti. Quando vi é pericolo di cedimenti superficiali anche con l’esecuzione di paratie si esegue un diaframma (muro in cemento armato sotto-fondato spesso sui 0,5 m) in collegamento con le vecchie fondazioni superficiali esistenti. Una particolare subsidenza infine che interessa una zona limitata di superficie é quella che si ha al di sopra digallerie in costruzione quando la copertura é modesta.

Controllo e misura della subsidenza (Genova).

Il cedimento superficiale dipende dal rapporto profondita' /diametro del cavo. In genere per profondita' maggiori aumenta la larghezza della subsidenza mentre diminuisce il cedimento differenziale della curva teorica gaussiana subsidente. La curva a campana di abbassamento nella figura precedente non e' simmetrica a causa del carico asimmetrico superficiale (civico n°5). In tali situazioni e' molto importante il metodo di scavo che deve indurre minimi cedimenti differenziali in superficie. Il massimo cedimento differenziale per il caso prima esposto e' stato di 19 - 11 = 8 mm.Sottofondazioni. Le opere di sottofondazione ( ingl. underpinning) sono opere di allargamento delle fondazioni preesistenti o di creazione di fondazioni indirette per raggiungere strati profondi di terreno più

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resistente (micropali radice, pali ad elica, pali mega) quando nelle esistenti si hanno cedimenti. Si può procedere anche al costipamento del terreno per consolidamento ottenuto tramite micropali in legno (diametro 15-30 cm), calcestruzzo (diametro 15-20 cm), sabbia o ghiaia, (diametro sui 30 cm) oppure tramiteiniezioni cementizie.

Eseguire un micropalo sottofondato significa eseguire un foro passante la fondazione superficiale esistente e infilare un tondino di ferro (pali radice) o un tubo (pali tubo). La pressione critica di un’asta snella caricata intesta vale: p cr = 18 kg /mm2 per il ferro. Eseguendo un foro da 100 mm e inserendo un tubo da 60,3 mm didiametro (esterno) si ha una sezione resistente di 1876 mm2, e un carico critico a compressione: N cr = 1876 * 18 = 33,7 ton; adottando un fattore di sicurezza di 1,5 si ottengono 22,4 tonnellate che sono il carico ammissibile a trazione per il micropalo. I valori visti possono aumentare nel caso che la malta di chiusura del tubo venga iniettata ad alta pressione. Per i pali mega (pezzi prefabbricati che si collegano tra loro), infissi tramite un martinetto e una zavorra di contrasto, si legge direttamente la pressione raggiunta al manometro della pompa (in KN) una volta arrivati ad un livello resistente profondo.Liquefazione. Avviene in sabbie e sabbie limose uniformi sature d’acqua quando il materiale passa da uno stato solido ad uno fluido. Secondo il principio degli sforzi efficaci del Terzaghi la tensione litostatica totale σn é la somma tra l’effettiva σ* che compete allo scheletro solido e la idrostatica U relativa all’acqua nei pori, quindi in condizioni di saturazione la resistenza a taglio effettiva risulta τ = c + f ( σn – U ) E’ noto che per sabbie sature d’acqua la coesione é nulla e quando si ha liquefazione, per scossa sismica, si ha pure che il coefficiente di attrito tra i grani f = 0 ovvero la resistenza a taglio della terra si annulla.Fenomeni di liquefazione sono le sabbie mobili, le quick clay, le correnti di torbida. Tra i materiali sabbiosi siltosi bisogna ricordare anche il loess che é potenzialmente soggetto a liquefazione. Le bonifiche preventive in zone sismiche si eseguono tramite apposite macchine perforatrici che scavano e iniettano, in risalita, a forte pressione della calce, specie in terre limose. Sollevamenti Possono verificarsi per rigonfiamento d'un substrato argilloso per imbibizione d’acqua, per l’arresto di lavoridi scavo in sotteraneo, per la risalita della falda a causa di un arresto di pompaggio in un campo pozzi.

Sollevamento del quartiere della stazione di St Lazare (Paris) seguito per interferométria radar satellitare. La causa é l’arresto dei lavori della stazione

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metropolitana e del pompaggio pozzi. L'ampiezza della deformazione é di qualche mm a partire dal 1998 (document BRGM).

I suoli rigonfianti si ritrovano spesso nei depositi lacustri per la presenza di minerali quali la halloysite e montmorillonite che rigonfiano al contatto con l’acqua esercitando delle forti pressioni sulle strutture rigide; ma possono anche al contrario ritirarsi parecchio durante la stagione secca.

Importanza dei danni a causa di variazione di volume di suoli argillosi. In ordinata l’indice di plasticita e in ascissa la percentuale di argilla desunta da una analisi granulometrica (Fonte: Williams).

ll diagramma qui sopra evidenzia il rischio per strutture e infrastrutture poste su argille rigonfianti. Per diminuire l’effetto delle pressioni si costruiscono particolari fondazioni: platea con denti oppure pali con base allargata. Le gole profonde scelte per costruire una diga sono indice di rocce resistenti, ma bisogna fare attenzione, perché se escavate dal fiume in un periodo relativamente breve hanno tensioni interne residue chefacilitano il verificarsi di fessurazione parallela al pendio, durante gli sbancamenti parietali, e il sollevamentodel fondo roccioso dopo gli scavi in alveo. Sbancamenti profondi di miniere a cielo aperto possono portare ugualmente a sollevamenti del fondo. Meccanica delle strutture Abbiamo familiarità con tutti i materiali strutturali perché alcuni sono familiari come il legno e la pietra e altri costruiti dall’uomo come: mattoni il cemento e l’acciaio il più forte di tutti. In passato le prime costruzioni erano in pietra e la tipologia strutturale tipica era il trilite costituito da due pilastri ed una architrave. I pilastri soggetti a compressione erano anche molto alti mentre l’architrave soggetta a flessione aveva lunghezze limitate (templi greci e romani). Con le travi di legno nella costruzione dei solai si e’ aumentata la resistenza a flessione ma i tronchi d’albero non potevano dare lunghezze piu di 5 o 6 metri. Sotto carico un materiale si deforma elasticamente (togliendo il carico la deformazione ritorna alla condizione iniziale) o plasticamente (togliendo il carico il materiale risulta avere una deformazione residua). Se una flessione é maggiore di quanto si ci aspetta da un comportamento elastico lineare, si puo dedurre che il materiale é sottoposto ad uno stress eccessivo. Negli elementi strutturali si sviluppano compressioni e trazioni. Cosi anche una trave rettangolare orizzontale appoggiata agli estremi, che costituisce in se l’elemento base strutturale, flettendosi ha degli stress di compressione nella parte in alto e di trazione in quella in basso. L’asse neutro della trave é quello in cui i due stress si eguagliano ovvero lo stress é nullo e non si hanno deformazioni; per una trave di materiale omogeneo l’asse neutro passa per il centro o a metà altezza della trave.

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Antoine Parent (1713) sancisce la corretta formulazione assumendo la distribuzione triangolare delle tensioni di compressione e trazione; con moderna terminologia la tensione interna a causa di una flessione risulta pari al momento flettente diviso il modulo di resistenza a flessione ovvero: σ = M / (bh2 /6)

Certi autori considerano le forze di taglio che si sviluppano lungo l’altezza della trave inflessa come un terzo tipo di forze ma combinando forze di taglio orizzontali e verticali ci si rende conto che essi sono equivalenti a trazioni e compressioni lungo le due direzioni diagonali. Altri elementi strutturali sono:- l’asta che può essere singola verticale a funzionare come un pilastro (l’instabilità avviene per flessione laterale sotto pressione in testa) o insieme ad altre a formare una capriata (tetti, ponti). L’elemento più semplice di capriata e’ il cavalletto in cui le due aste oblique lavorano a compressione e la terza di collegamento orizzontale a trazione. La tensione nel pilastro e nelle aste oblique del cavalletto é solo di compressione ovvero: σ = N/A.Tale espressione vale anche nel caso di forza di trazione nell’asta orizzontale del cavalletto; - l’arco, definito da Leonardo la congiunzione di due debolezze. Infatti se si divide in due l’arco, ambedue non possono stare in equilibrio ma mettendo una chiave di volta l’arco sta su. Un arco rinforzato sull’imposta sviluppa una compressione lungo una curva ed é quindi un elemento curvo ingrado di coprire distanze orizzontali. Infatti gli antichi Romani per risolvere il problema delle lunghezze degli architravi in pietra e delle travi in legno hanno costruito ponti ad arco. Poiché la spinta verso l’interno delle imposte sull’arco é essenziale per il suo corretto funzionamento, la debolezza dell’imposta é spesso la causa dei crolli dei ponti ad arco. Una compressione in chiave si divide in due parti ed ognuna a causa dei vari pesi dei conci viene rifratta ma la risultante deve arrivare sul piedritto in modo che cada all’interno del terzo medio. Questo significa dire che l’eccentricità ovvero la distanza tra il punto di applicazione della risultante e il centro del piedritto sia inferiore a b/6. Per eliminare l’eccentricità si può allargare il piedritto (arco rinforzato all’imposta) come mostrato nella figura seguente. Qualora l’eccentricità é maggiore di b/6 ovvero esterna al terzo medio, bisogna usare una catena orizzontale di ferro dato che si sviluppa anche una trazione sull’imposta.

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Il legno resiste sia a compressione che trazione e fin dall’antichità é stato usato a formare telai per costruire case e ponti. Ma data la scarsa lunghezza del legno massiccio si é passati dalle strutture in legno a quelle in muratura ad arco per far lavorare il materiale solo a compressone dato che la muratura ha scarsa trazione. Con l’introduzione del ferro nelle struture si é potuti ritornare ad un materiale sia resistente a compressione che trazione. Nell’ottocento con la possibilità di avere un acciaio molto resistente, si sono costruiti telai imponenti, unendo puntoni (aste in compressione) e tiranti (aste in trazione) per mezzo di connessioni a cerniera per costruire grandi ponti e coperture (stazioni ferroviarie). In particolare nell’ottocento le connessioni a cerniera erano eseguite avvitando grossi bulloni attraverso buchi alle estremità delle barre da collegare, mentre oggi si usano per lo più saldature. Esempio : determinare la sezione di un tirante di acciaio di tensione ammissibile σ a = 1200 kg/cm2

soggetto in esercizio ad una trazione pari a 10000 kg = 10 ton.A = N/ σ a = 10000 /1200 = 8,33 cm2

Tondino di ferro di diametro 34 mm (A = 9,07), sezione quadrata 30 x 30 mm (A = 9 cm2).Nel caso si vuole determinare la sezione di un puntone di legno di tensione ammissibile σ a = 60 kg/cm2

e soggetto ad una compressione di 10000 kg si ha : A = 10000/ 60 = 166,6 cm2

quindi un palo in legno di sezione 12 x14 cm = 168 cm2 Esempio: verificare la resistenza a taglio di una trave di legno lunga L = 4 m di sezione 20 x 35 cm, semplicemente appoggiata agli estremi su cui agisce un carico pari a: q = 1000 kg/mIl taglio vale T = q L /2 = 1000 * 4 / 2 = 2000 kg Lo sforzo di taglio: τ = T /A = 2000 / 20 * 35 = 2,86 kg /cm2

Questo valore é minore di 10 kg /cm2 che é la tensione di taglio ammissibile nel legno per cui la verifica é accettata. Verifichiamo ora la sezione alla flessione, il momento flettente vale: M = qL2 /8 = 1000*16 /8= 2000 kgm. Il modulo di resistenza a flessione W = bh2 / 6 = 20 * 35 2 / 6 = 4083 cm3 σ = M / W = 2000 / 4083 = 48,98 kg /cm2 Essendo σ < σa = 60 kg/cm2 verifica accettata.

Gli elementi strutturali vengono messi insieme tramite connessioni per formare sistemi strutturali. Questi collegamenti (chiamati vincoli in meccanica dei materiali) possono essere di taglio, che permettono solo la rotazione degli elementi adiacenti (vincoli a cerniera), oppure rigidi detti collegamenti momento-resistenti (non si hanno ne rotazioni e ne traslazioni definiti anche vincoli ad incastro). La cerniera tipica é quello che si ha collegando solo l’anima delle travi di ferro (profilato ad I) ai pilastri portanti in ferro, mentre nella rigida si collegano sia l’anima che le ali come nella figura seguente.

Nel calcestruzzo armato, introdotto a fine ottocento, si incrociano i ferri di armatura della trave in quelli del pilastro, quindi poi con il getto di calcestruzzo nelle casseforme si collobora il tutto formando un

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collegamento rigido. Strutture con collegamenti rigidi sono piu resistenti nei confronti delle forze laterali come vento e terremoti, ma aumentano gli sforzi indotti dalle variazioni di temperatura e dagli assestamenti del terreno. Quelle con collegamenti a cerniera hanno caratteristiche contrarie. Alla fine del settecento si cercavano di fare strutture (ponti e tetti) dette isostatiche ovvero che si potevano risolvere con la meccanica classica newtoniana (tre equazioni della statica, Sum Fx = 0, Sum Fy = 0, Sum M = 0 che risolvono al max tre incognite) e quindi anche per via grafica e non solo analitica. Con L.Navier (1785 -1836) si iniziano a risolvere le strutture iperstatiche (con vincoli sovrabbondanti) risolvibili con la doppia integrazione della linea elastica o con il principio dei lavori virtuali.I reticoli spaziali non sono altro che una combinazione tridimensionale di telai paralleli con elementi diagonali nelle strutture in ferro o ancora da una intelaiatura in calcestruzzo armato che consiste in piastre di solaio portate da travi, travi portate da pilastri verticali e pilastri portati dalle fondazioni. Dato che il calcestruzzo resiste solo a compressione é necessaria l’armatura di ferro per la resistenza a trazione degli elementi strutturali. Nella trave di calcestruzzo armato la relazione σ = M/W vale sempre tenendo presente però che il modulo di resistenza a flessione con armatura alla base : W = 0,9 h Af Dove h é l’altezza utile di una sezione rettangolare e Af la sezione dell’armatura alla base.Per l’armatura di ferro si ha:Fe B 22 K , Fe B 32 K attuale B450 A barre tonde lisce da 5 a 12 mm;Fe B 38K, Fe B 44 K attuale B450 C barre ad aderenza migliorata da 6 a 50 mm;Il vecchio numero indicava il valore del limite di snervamento in kg/mm2 mentre il nuovo é in MPa. La tensione ammissibile in genere si pone pari a meta snervamento. L’aderenza tra calcestruzzo e armatura vale invece lo snervamento diviso 160, ovvero 450 /160 = 2,8 MPa. Questo valore diviso 2 ovvero 1,4 MPa rappresenta la massima resistenza a taglio del calcestruzzo armato, mentre il calcestruzzo senza armatura ha una resistenza a taglio di 0,4 - 0,6 MPa.Esempio: facciamo lavorare il calcestruzzo con σc = 30 kg/cm2 e l’armatura, costituita da tondini di ferro, conuna tensione di trazione σ t = 1000 kg/cm2 , in questo modo la sezione dell’armatura di base per la trave si trova con la semplice : A f = 0,0025 (M b ) 0,5 (cm2)Dove la larghezza della trave b si impone e il momento flettente si calcola con la M = QL/8 per una trave semplicemente appoggiata agli estremi (ovvero con vincoli carrello-cerniera ovvero con possibile movimento di rotazione e di traslazione orizzontale). Se L = 5 m e Q = 0,8 ton ed imponendo b = 20 cm.A f = 0,0025 (800. 500. 20 / 8) 0,5 = 2,5 cm2

Un tondino di diametro da 12 mm presenta una sezione di 3,14 x 1,2 x 1,2 /4 = 1,13 cm2 per cui bastano 3 tondini. Per aumentare la resistenza a taglio lungo i bordi si prolunga qui il tondino. Per calcolare l’altezza utile della trave scriviamo: h = M / 0,9 A f σ t = 50000 / 0,9. 2,5. 1000 = 22 cm Ponendo 4 cm di copriferro l’altezza totale della trave risulta 26 cm. La tensione ammissibile nel ferro é sui 2000 Kg/cm2 mentre per il calcestruzzo é 60 kg/cm2 per cui abbiamo usato dei valori in esercizio la metà di quelli massimi possibili.

La valutazione del peso proprio di una struttura mette il progettista di fronte ad un paradosso: esso non può essere calcolato finché la struttura non é progettata, ma la struttura non può essere progettata finché non é stato calcolato il peso proprio (died load = carico morto in inglese o permanente in italiano). Assumendo 2,5

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ton/m3 come densità del cemento armato, per l’esempio di prima risulta: 2,5 x 5 x 0,26 x 0,2 = 0,65 ton, quindi il valore precedente di Q può essere assunto solo come peso proprio.Associato al carico permanente vi é quello accidentale (live load = carico vivo in inglese) che può essere: il peso dei mobili, persone, merci, finiture, neve, ecc. I carichi visti sono detti statici e agiscono insieme per cuise la nostra trave precedente fa parte di un edificio bisogna sovradimensionarla per tenere conto anche dei carichi accidentali (per un solaio civile di piano valore tipico dei carichi accidentali é 200 kg/m2) oppure farla lavorare vicino ai valori limiti di esercizio. Esistono anche carichi dinamici, ovvero applicati all’improvviso, come vento e terremoti.I collegamenti rigidi sono più costosi delle cerniere, quindi molti grattacieli moderni sono fatti con intelaiature in ferro incernierate, ma presentano un blocco centrale in cemento armato rigido (in cui vi sono gli ascensori) per resistere meglio alle forze laterali. In alcuni edifici per resistere meglio alle forze laterali, sifanno delle alte pareti sottili dette pareti di taglio che sono all’interno dell’edificio o fanno parte dei muri esterni.Fondazioni di edifici. Tutti i carichi che gravano sugli edifici devono essere sostenuti dal terreno che non é omogeneo e presenta una diversa safe baring pressure come abbiamo visto. Quando il terreno ha un buon valore si adottano fondazioni superficiali a plinto (SBP = 3 kg/cm2) dove ogni plinto sostiene un pilastro oppure travi rovesce (SBP = 2 kg/cm2) dove ogni trave sostiene una fila lineare di pilastri che vengono incastrati tramite l’armatura, o infine quando il terreno é scarso si pone una platea (SBP = 1 kg/cm2) dove tutti i pilastri sono incastrati ad una piastra che ricopre l’ingombro dell’edificio. Per edifici civili non impegnativi con muri portanti si può eseguire un semplice cordolo in cemento armato, senza armatura trasversale, che sostiene il muro.

Le sporgenze e dal pilastro nel caso della trave rovescia e del plinto basso (con d < e ) detto elastico, sono considerate come due mensole in cemento armato alte d incastrate al pilastro e caricate dalla reazione del terreno. Per cui la trazione si sviluppa nella parte in alto (contrario della trave semplicemente appoggiata vista in precedente) e di conseguenza si pone una doppia armatura (base e tetto fondazione). I pilastri esterni possono avere un carico eccentrico e di conseguenza le fondazioni sotto tali pali pilastri devono essere considerate con una capacita portante minore come già visto.Quando i carichi sono elevati come per i grattacieli o il terreno superficiale presenta una falda acquifera superficiale si usano i pali di fondazione: in ferro o calcestruzzo.

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• se si incassa in roccia il palo resiste praticamente solo di punta;• se un palo dopo aver attraversato terreni più o meno argillosi si ferma su un terreno incoerente (ghiaia) resistente a media profondità, allora il palo resiste sia di punta che per attrito laterale.• se il palo risulta lungo e sospeso in argilla, resiste solo per attrito laterale lungo il fusto.In qualche caso i pali i fondazione sono stati costruiti solo per avere un controbilanciamento orizzontale di reazione nel caso che una sovrastruttura alta e snella fosse sottoposta ad una elevata forza del vento (Torre Latinoamericana).I pali infissi possono essere prefabbricati in ferro (sezione ad I vista prima) o in cemento armato e quindi battuti con maglio oppure si infigge un tubo forma si rimuove il terreno e quindi si getta il calcestruzzo. I pali trivellati invece si eseguono facendo un foro con una trivella poi si mette la gabbia di armatura simile a quella di un pilastro, ed infine si getta il calcestruzzo. L’incastro del palo al plinto o al cordolo avviene tramite l’incrocio delle armature di ferro.

Altezza h max fondazione deve essere superiore a 50 cm, mentre ho > 30 cm o almeno 20 volte il diametro dell’armatura del palo; il prolungamento dei ferri c deve essere almeno 30 volte il loro diametro(12 o 14 mm in genere), infine l’interasse i tra pali é in genere 3 volte il diametro del palo.

I cedimenti delle fondazioni possono provocare in una struttura in cemento armato sforzi inaccettabili esattamente come accade per le variazioni termiche.

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La distorsione angolare per strutture in cemento armato consente una verifica della struttura nel suo insieme semplificata come telaio; qualora non si ha un progetto di massima ovvero non si conoscono le distanze fra i pilastri, si consiglia di considerare i valori conservativi di cedimento massimo assoluto di 5 cm (argille) e 2,5cm (sabbie) che coinvolgono un basso cedimento differenziale ( talora cedimenti assoluti doppi di 10 e 5 cm si sono verificati in sito anche senza danni, perché si sono avute rotazioni molto contenute).Costruzioni nella piana alluvionale. Generalmente nei paesi industrializzati si evita di costruire nelle zone interessate da piene con tempo di ritorno centennale, e nel caso vi sono costruzioni già eseguite si mappa concarte del rischio idraulico. Le alluvioni hanno uno spessore che varia tra 1 a 100 m e indagare il sottosuolo diuna piana con depositi spessi, tramite sondaggi geognostici puntuali, non sempre si possono eseguire correlazioni sicure, per la complessità di variazioni verticali e laterali dei terreni che si possono avere. Per cercare queste variazioni si eseguono profili geoelettrici e geosismici nonché sondaggi di taratura.

Complessita di depositi lungo la piana alluvionale (floodplain): peat (torba), back swamp (palude retrostante), alluvial fan (conoide), old fan (antica conoide sepolta), scrolls sands (barre sabbiose di meandro), terrace sediments (sedimenti di terrazzo e quelli piu alti sono piu antichi e consolidati), old channel (antico canale), old channel fill (antico canale riempito), bed alluvium (stratificazione di sedimenti alluvionali), levee silt (argine limoso).

Terreni sabbiosi si possono caricare con edifici e capannoni correnti che trasmettono alle fondazioni da 1 a 5 bar, in funzione della grossezza dei grani e densità relativa del terreno di fondazione; problemi di sifonamento si possono avere in sabbie sciolte a bassa densità relativa a causa di una alta pressione d’acqua U tra i grani. Le argille recenti invece si caricano con 0,5 - 2 bar, in funzione della loro storia geologica di consolidamento. Il drenaggio dell’acqua in entrambi i terreni aumenta la resistenza effettiva a taglio perché diminuisce la pressione idrostatica U. Sifonamento nelle alluvioni. La densità immersa o di galleggiamento ovvero la densità di un terreno sotto

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falda vale: Yg = Gs -1 / (1+ e); quando Gs = 2,7 gr/cm3 (peso specifico dei minerali), ed e = 0,7 (indice dei vuoti), abbiamo : Yg = Yacqua = 1 gr/cm3. Ciò significa che il gradiente idraulico risulta: j = Yg/Yw = h/L = 1/1 = 1 (condizione critica). Nell’esempio che segue la reazione R sul setaccio a causa del peso di terra soprastante di sezione A e spessore L, può scriversi come: R/A = Yg L – Yw h. Per J = 1, tale equazione diventa: Yg L = Yw h, ovvero si ha una reazione nulla e si ci trova in una condizione simile alle sabbie mobili. Con il termine di “piping” in pratica s’intende un tubo (ingl. pipe) d’acqua che passa al di sotto di una argine o diga in cui le particelle di sabbia galleggiano in uscita, a causa di un gradiente idraulico critico in uscita.

Sifonamento

Questo fenomeno detto sifonamento (in ingl. piping), si può verificare sul fondo di scavi sotto falda o anche nel corpo e nelle fondazioni di dighe e argini (costruiti con materiale alluvionale). Il sifonamento si evita disponendo dei “filtri” di materiali più grossolani, che alleggeriscono la pressione neutra U e aumentano con il proprio peso la pressione effettiva σ*. Secondo Terzaghi la regola dei filtri é data dalla: D 15 (filtro) < 4 D85 (terra) - criterio di ritenzioneD 15 (filtro) > 5 D15 (terra) - criterio di permeabilitàDopo aver fatto un’analisi granulometrica sulla terra e filtro si considerano i diametri corrispondenti al passante del 15 e 85 per cento per la terra, e al 15 per cento per il filtro. Qualora non é sufficiente un filtro si mettono più filtri a diversa granulometria (filtri inversi) oppure si sfruttano le geomembrane che riorganizzano il terreno come un filtro inverso. Tufi calcarei e travertino. Depositi chimici di calcite che formano piccoli spessori o ghiaie cementate che possono essere scambiati per il substrato roccioso durante indagini geotecniche. La diga di Cheurfas in Algeria costruita nel 1885 ebbe seri problemi a causa di fenomeni di sifonamento, dopo l’invaso, nel tufo calcareo (calcarenite porosa) di fondazione. Torba. Suolo organico, generalmente presente in lenti e che risulta molto compressibile. Si puo ritovare anche su aree estese in ambiente periglaciale (torbiera). Nel caso di lenti importanti in genere si costruiscono rilevati artificiali per poter far cedere la torba preventivamente.Costruzioni lungo la costa bassa. In genere i terreni sabbiosi sciolti vengono spesso bonificati e i metodi migliorativi della capacita portante su grandi aree (zone portuali di stoccaggio) fanno riferimento al tamping e alla vibroflottazione. Il tamping si esegue con massa battente da 8- 40 ton che cade da una altezza di 5-30 m per costipare il terreno. Il terreno deve avere meno del 20% di fino (silt + argilla) e viene discretamente costipato fino a 12 m di profondita'. Il metodo piu' usato e' di far cadere la massa su uno stesso punto per 5-10 volte utilizzando una maglia quadra, larga da 5 a 15 m a seconda della densita' relativa Dr iniziale del terreno.Il Vibroflot non e' altro che un palo in ferro vibrante a punta conica; il peso proprio fa aumentare la penetrazione ma qualche volta si utilizza anche l'acqua in pressione che esce alla base per favorire la penetrazione stessa. Il cedimento di uno strato saturo di sabbia spesso h, previo costipamento, può scriversi come: s = Dr * h. Il valore delle densita relativa: Dr = emax – e / 1 + emin.L’indice dei vuoti e risulta quello naturale in posto mentre il massimo e minimo possibili per quella sabbia siricavano con una prova standardizzata ASTM in laboratorio. Nella vibroflottazione la maglia tipica delle

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penetrazioni puntuali e' quadrata con una distanza per lato di 2,5 m per profondita' medie sui 8 m, fornendo dopo trattamento una densita relativa di 0,7. Il terreno comunque deve avere anche qui meno del 20% di fino(silt + argilla) e viene discretamente costipato fino a profondita' di 15 m. Il controllo del trattamento puo' essere desunto da una prova penetrometrica statica, essendo: Dr = 66 log (Rp / √ σ *) – 98.Con i valori della pressione litostatica effettiva σ* in ton/m2

Il modulo elastico invece: E = (1 + Dr 2) Rp. Dove Rp é la resistenza alla punta del penetrometro statico. A volte si può riempire dal lato con ghiaia, comein figura seguente, la cavità prodotta dal vibroflot, realizzando delle colonne di ghiaia che lavorano come pali.

La realizzazione di colmate su terreni compressibili nelle opere marittime prevede la realizzazione di colonne di ghiaia .

Se il materiale é anche ghiaioso si usa il metodo del jet grouting che utilizza macchine perforatrici, pompe adalta pressione della perforazione petrolifera, aste e un tricono con speciali ugelli, dai quali esce boiacca di cemento ad altissima pressione (sui 300 bar) che realizza, in risalita, pali di calcestruzzo (boiacca di cementoiniettata + ghiaia e sabbia naturale in posto).Costruzioni nella roccia alterata.Grado di alterazione. La zona con grado II é la roccia madre o substrato roccioso non ben definito ed ancora fessurato, e si ritrova tra 1 a 5 m di profondità in zone temperate. La roccia sana con grado I si ritrovaspesso in zone fredde-temperate ai 20 m di profondità. In zone tropicali i materiali della zona a grado IV possono raggiungere profondità tra 5 - 20 m. In Hong Kong ammassi granitici alterati in grado III, raggiungono comunemente i 30 e più metri di profondità.

Grado di alterazione di rocce ignee (sinistra) e sedimentarie (destra)

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Classificazione Tecnica della roccia alterata

La resistenza a compressione semplice (uniaxial compressive strenght UCS) o monoassiale puo essere eseguita con pressa semplice senza confinamento laterale (monoassiale = unconfined). Con semplice pressa iprovini cubici sono di 7,1 o 10 cm di lato. In funzione dei risultati ottenuti (forma delle curve sforzi -deformazioni prodotte), si distinguono 3 modelli reologici fondamentali.I corpi elastici: la deformazione ε é reversibile nonché proporzionale all’intensità della pressione σ applicata secondo la nota espressione di Hooke, σ = E ε, dove E é il modulo elastico del materiale. Il tempo non interviene nella deformazione (ovvero se si mantiene la forza nel tempo si ha la stessa deformazione) ed il modello teorico é dato da una molla elicoidale perfettamente elastica senza massa. I corpi plastici: la deformazione si produce a partire da un dato valore di pressione o stress o sforzo e si mantiene anche se cessa la forza di agire. Il modello reologico teorico é un pattino su un piano orizzontale rugoso; se tiriamo il pattino esso si muove quando la forza di trazione raggiunge un dato valore.Comportamento dei corpi reali: i corpi reali non sono perfettamente elastici o plastici. Inoltre, il loro comportamento può variare nel corso di un aumento delle deformazioni. Nel caso generale, per le rocce e terre si ha una combinazione elasto-plastica. Ovvero si comportano elasticamente fino ad una data deformazione per divenire poi plastiche quando la deformazione diventa elevata ovvero quando la roccia subisce modificazioni irreversibili nella sua struttura cristallina. Il passaggio dallo stato elastico a plastico é detto punto di rigidità o critico. La roccia può avere un ampio campo plastico (comportamento duttile) o un breve campo plastico (comportamento rigido). Nel caso di comportamento duttile del materiale, senza che avvenga una evidente rottura si sviluppa il comportamento viscoso (fluage o deformazione che aumenta sottocarico costante nel tempo) del materiale. La temperatura é il parametro che influisce maggiormente facendo passare velocemente una roccia da elastica a plastica a viscosa. Dalla prova di compressione semplice é possibile anche risalire al modulo elastico qualora durante la compressione si misura la deformazione verticale. La deformazione si valuta come: ε = (L1 - L0) / L0.

Con L1 e Lo = lunghezza finale e iniziale del provino. Si ricorda che si possono distinguere da una prova di compressione semplice tre moduli elastici distinti nelle prove di laboratorio. Questi sono il modulo elastico medio E av che in genere é simile al modulo tangente valutato al 50 % dello sforzo massimo definito Et 50 ed infine uno minimo definito secante Es50, sempre valutato al 50% dello sforzo massimo, detto anche modulo di deformazione. Tali moduli si ricavano dalle pendenze r delle curve sforzi-deformazioni verticali percentuali: modulo elastico secante (r1) e tangente (r2).

σ r1 plasticita ideale 50%

r2 elasticita ideale εs εt ε (v)% punto critico o di rigidità

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Valori di Eav medi in Gigapascal è precisamente: granito = 59,3; basalto = 62,6; gneiss = 58,6; scisto = 42,4; marmo = 46,3; arenaria = 15,3; argillite = 13,7; (10 Gigapascal = 10 5 kg/cm2)

Il rapporto Es50 / UCS é intorno a 350 per la maggior parte delle rocce mentre é inferiore per rocce tenere o per le rocce plastiche deformabili come le argilliti. Da quanto esposto le rocce dure come graniti e calcari compatti non fratturati e/o non alterati hanno un comportamento prevalentemente rigido con il valore di UCSche é elevato. Qualora però aumenta la fratturazione e/o l’alterazione, il valore di UCS diminuisce e si sviluppa maggiormente il comportamento duttile-plastico tipico delle argilliti e delle terre coesive. Se l’alterazione interessa una roccia non molto resistente quando é sana come il Chalk, al posto delle prove con pressa in laboratorio si può utilizzare una prova penetrometrica dinamica in foro di sonda SPT, che consiste nel rilevare il numero di colpi (N value) per infiggere una punta conica per 30 cm. Con il termine safe bearing pressure si intende la capacita portante di sicurezza ovvero quella pressione, minore del punto critico, che agisce su una data roccia da fondazione, con le deformazioni che rimangono in fase elastica. Crolli. Le case con pelle esterna (muri) costituite da mattoni legate con malta hanno una buona resistenza a compressione ma debole a trazione. Nel gergo strutturale una forza di taglio cerca di far scivolare uno strato superiore di mattoni su uno inferiore; quando si ha un terremoto avviene una spinta improvvisa alla base della muratura. L’inerzia della struttura, come un braccio invisibile che cerca di trattenere il movimento deglistrati superiori di mattoni, provoca la comparsa di fessurazioni lungo una linea diagonale. Se l’oscillazione avviene sia verso destra che sinistra, allora si avranno due fessurazioni diagonali ovvero una X. Una corda lineare di violino vibra principalmente in direzione trasversale mentre una struttura é tridimensionale e presenta diverse rigidezze nelle 3 direzioni (su e giu, avanti e indietro, lateralmente) e risponderà diversamente quando viene “pizzicata” nelle 3 direzioni simultaneamente.Negli Stati Uniti in una struttura autostradale a due piani detta Cypress, accadde che la frequenza principale verticale era quasi identica alla frequenza imposta dal terremoto. Questa coincidenza causò una amplificazione delle vibrazioni detta “risonanza” con un conseguente elevato spostamento degli appoggi e la struttura crollò con pochi spostamenti laterali. Ponti sono crollati sia per fenomeni di risonanza che per rotture di connessioni nonche per rottura delle fondazioni a causa dell’erosione fluviale (si veda scour depth).I crolli delle dighe sono per lo piu legate alla geologia come la tragedia della diga di Malpassant in Francia (sottile strato di argilla nella roccia adiacente alla sponda sinistra che aveva fatto da lubrificante provocando uno spostamento e la conseguente fessurazione della diga ad arco che si ruppe come un guscio d’uovo) e la tragedia del Vajont in Italia (dopo intense piogge una paleofrana si rimise in moto cadendo nel lago artificiale, con formazione di un onda che scavalco la diga e precipitò a valle). In prima istanza é necessario guardare le strutture tettoniche ovvero la disposizione degli strati.Per strati a reggipoggio o orizzontali in genere si hanno pochi pericoli. Al contrario per strati a franapoggio con livelli lubrici argillosi si hanno seri problemi come nel caso seguente dove il carico delle pile può innescare frane.

Strati a franapoggio con intercalazioni marnose-argillose; la zona instabile sarà da bonificare con ancoraggi. Fonte: Insa

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Nel caso di rocce che presentano lenti di materiale meno resistente o letti marnosi-argillosi conviene stare molto al di sotto della pressione di rottura (UCS) del terreno principale ovvero conviene utilizzare per il terreno di fondazione un alto fattore di sicurezza (Fs = 15-20). Dalla casistica dei maggiori danni risulta che gli edifici (a parte quelli su pendii instabili) risentono poco delle condizioni geologiche strutturali mentre sono piu importanti le caratteristiche geotecniche come: subsidenza di argille, subsidenza calcari, filtrazioni di acqua, morene a permeabilità diversa, presenza di vecchie fondazioni. Al contrario per le dighe, l’aspetto geologico strutturale diventa predominante nella causa dei crolli. Dove manca la resistenza necessaria o dove questa può diminuire a causa di un rammollimento, per saturazione d’acqua, si interviene nella roccia con perforazioni e iniezioni di boiacca di cemento (cemento + acqua). Nel metodo tradizionale delle iniezioni di boiacca si considera inizialmente un rapporto acqua-cemento A/C = 2/1 per Unita Lugeon > 10. Quindi man mano che aumenta il volume assorbito di boiacca si riduce il rapporto A/C aumentando progressivamente la pressione di iniezione, fino a raggiungere per valori di A/C = 0,5 la pressione massima prevista (in roccia sana il Lugeon consiglia 50 bar al massimo) fino a rifiuto della miscela (0,1 litro / min). In rocce fessurate la pressione massima in bar è come visto 1/3 della profondità in metri. Se l’iniezione é di consolidamento si verifica dopo l’iniezione il modulo elastico della roccia, mentre se l’iniezione é a scopo di ridurre la permeabilità UL deve essere di 3 Lugeon al massimo dopo trattamento. Nelle ghiaie e terre sabbiose grossolane le iniezioni di boiacca di cemento sono ancora valide mentre nelle sabbie fini e sabbie limose bisogna usare miscele speciali più costose e ed iniettare a forte pressione (superiore ai 10 bar). Nelle applicazioni della meccanica delle rocce lapidee quindi é quindi fondamentale la conoscenza della distribuzione statistica delle superfici di discontinuità presenti nella massa lapidea, rappresentabili in proiezione stereografica. Bisogna determinare la proiezione del polo di un piano e quindi in seguito valutando la densità dei poli si evidenzia il valore rappresentativo.

A sinistra la rappresentazione su diagramma polare di Schmidt dei poli rappresentativi dei piani delle discontinuità; in seguito con il reticolo di base trasparente (diagramma polare diviso in 100 areole elementari) si esegue il conteggio dei numeri di poli in modo da tracciare, a destra, delle curve di livello di densità dei poli per evidenziare il valore rappresentativo (centro della zona ad alta concentrazione in neretto) da considerare per ogni giunto presente.

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Capitolo 12. Movimenti di massa, Subsidenze e …geologia2000.anisn.it/GAMBIENT_6.pdf · superficie di rottura é una curva che simula ... St Etienne-de -Tinée): il ... di disegnare